一、谐波分析 三角函数系的正交性 一、谐波分析 三角函数系的正交性

二、傅里叶级数二、傅里叶级数

三、奇函数与偶函数的傅里叶级数三、奇函数与偶函数的傅里叶级数

四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正 弦级数与余弦级数四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正 弦级数与余弦级数

第六节 傅里叶 (Fourier) 级数第六模块 无穷级数第六模块 无穷级数

一、谐波分析 三角函数系的正交性 由

.,sin

,cos2sin,2cos,sin,cos,1

nx

nxxxxx

;0dcos

xnx ;0dsin

xnx

组成的函数序列叫做三角函数系， 　　三角函数系的正交性是指 : 　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘， 在区间 [, ] 上的定积分， 　其值都为零 . 这实际上只需证明以下五个等式成立 :

;),3,2,1,3,

,2,1( 0dsinsin

nmn

mxnxmx

.),3,2,1,3,

,2,1( 0dcossin

n

mxnxmx

;),3,2,1,3,

,2,1( 0dcoscos

nmn

mxnxmx

以上结果，这里就不证明了 .

二、傅里叶级数如下形式的函数项级数

)sincos(2 1

0 nxbnxaa

nnn

称为三角级数 . . ),2,1( ,,0 为常数nbaa nn

假定

. )sincos(2

)(1

0 nxbnxaa

xf nnn

且可逐项积分 ，

. ]dsin

dcos[d2 1

0

xnxb

xnxaxa

n

nn

, ),3,2,1( ,, 0 均为常数因为 nbaa nn 注

意到三角函数系的正交性， 即有

.d2

d)( 00 ax

axxf

于是有

xxf d)(

.d)(1

0

xxfa

所以

为了求出系数 an ，

我们用 cos kx 乘级数 ，然后在逐项积分

xxkxf dcos)(

1

dcoscos[n

n xnxxka

xxk

adcos

2 0

, ]dsincos

xnxxkbn

由三角函数的正交性可知，等式右端各项中，

当 k = n 时，有

nn

nn

axnx

a

xxnaxnxxka

d2

2cos1

dcosdcoscos 2

其余各项均为零 . 因此

.),3,2,1( dcos)(1

nxnxxfan

用类似的方法，可得到

.),3,2,1( dsin)(1

nxnxxfbn

注意到在求系数 an 的公式中，令 n = 0 就

得到 a0 的表达式， 因此求系数 an , bn 的公式可以

归并为

由傅里叶系数 组成的

三角级数称为傅里叶级数 .

an , bn 称为傅里叶系数 .

,),3,2,1( dsin)(1

nxnxxfbn

,),2,,10( dcos)(

1nxnxxfan

收敛定理 ( 狄利克雷 (Dirichlet) 定理 )

设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 如果它满

足条件 : 在一个周期内连续或只有有限个第一类

间断点， 并且至多只有有限个极值点， 则 f(x) 的

傅里叶级数收敛， 并且

级数收敛于

.2

)0()0( xfxf

(2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，

级数收敛于 f(x) ;(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，

其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 处的左极限，

f(x+0) 表示 f(x) 在 x 处的右极限 .

它在 [ , ) 上的表达式为

,0,1

)(x

xf

试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 ..0,1 x

设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函

例 2

数 ，

解 函数 f(x) 的图形如图所示 ，

f(x)

xO 2

这是一个矩形波，它显然满足收敛定理的条件 ，

由式 (12.6.4)

xnx xfan d)cos(

1

0

0dcos

1d1)cos(

1xnx xnx

0]sin11

]sin11

00

nxn

nxn

.)3,2,1( n

因为在计算 ,0nan 中 :0 需另计算所以 a

xxfa d)(

10 .0d

1d1)(

10

0

xx

又

xnxxfbn d)sin(

1

0

0dsin

1dsin)1(

1xnxxnx

0

0]cos

1[

1cos

11nx

nnx

n

,,5,3,1,

4])1(1[

2 nn

nn

根据收敛定理可知，　　　　　　　　　　　　当 x k (k = 0 , 1 ,

2 ， ···) 时，傅里叶级数收敛于 f(x) ，即

].)12sin(12

13sin

3

1[sin

4)(

xn

nxxxf

.,6,4,2,0 n

所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 .

图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ， ) 各点处与例 2 不同 .

当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ， ) 时，级数收敛于

.02

)0()0(

xfxf

2

f(x)

xO 2

　　例 3 　设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ，

它在 [ , ) 上的表达式为

试将其展开成傅里叶级数 .

,

)(xf,0x≤

0 ,x .x≤

f(x)

xO 2

解　计算傅里叶系数

xnx xfan d)cos(

1

0

0dcos

1d)cos(

1xnx xxnx

000 dsin

1]sin

1[][sin

1xnx

nnxx

nnx

n

]1)1[(12

n

n

,,5,3,1

22

nn，

.,6,4,2 0 n，

xxfa d)(

10

0

0d

1d)(

1xxx

.2

xnxxfbn d)sin(

1

0

0dsin

1dsin)(

1xnxxxnx

000 dcos

1]cos[

1]cos

1[ xnx

nnxx

nnx

n

])1(21[1 n

n

,,5,3,1,3

nn

所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，即

.),2,1,0,,(

)4sin4

13sin

3

32sin

2

1sin3(

)5cos5

13cos

3

1(cos

2

4)(

2

kkxx

xxxx

xxxxf

.,6,4,2,1

nn

级数收敛

于 .2

当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , · · ·) 时，

当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ， ) 时，

级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形 .

f(x)

xO 2

展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为

正弦函数， 只含有余弦函数包括常数项的称为余弦

级数 .

假设以 2 为周期的周期函数 f(x)

在 [ , ] 内

是奇函数， 那么傅里叶级数一定是正弦级数 . 即

.sin1

nn nxb

此时傅氏系数

三、奇函数与偶函数的傅里叶级数

.),2,1,0(0 n an

.),3,2,1( dsin)( 2

0

nxnxxfbn

.

nx xnx xfan

函数

是偶中这是因为 cosd)cos(1

于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，

而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以

. nxnx xfan ),2,1,0( 0d)cos(1

又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，

故有

.),3,2,1( dsin)( 2

0

nxnxxfbn

同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数，即

.cos2 1

0

n

n nxaa

此时傅里叶系数为

. nxnx xfan ),2,1,0(d)cos(2

0

(12.6.6).),3,2,1(0 n bn

设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式

例 4

试将其展开成傅里叶级数 .

解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，

,

)(x

xf,0x≤

0 ,x .x≤

f(x)

O x

0

d)cos(2

xnx x

)0(dsin2

]sin[2

00

nxnxn

nxn

x

0d)cos(

2xnx xfan

因此我们应

根据 (12.6.6) 式计算傅里叶系数 .

由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，

,,5,3,1,

4])1(1[

2 22

nn

nn

.,6,4,2,0 n

即

.)(

)5cos5

13cos

3

1(cos

4

2)(

22

x

xxxxf

故所求的傅里叶级数收敛

于 f(x) ，

又因为 f(x) 处处连续 ，

.),3,2,1(0 n bn

,d)(2

d)(2

000

xxxxfa

(x) 称为 f(x)

的周期延拓函数 .

且以 2 为

周期的函数， 如果 (x) 满足收敛定理的条件，

我们设想有一

个函数 (x) ，设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，

它是定义在 ( ) 上

而在 [0 , ] 上， (x) = f(x).

那么 (x) 在 ( )

上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，

四、函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数

在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是

最为常用 : 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ， 使延拓后

的函数成为奇函数 ， 然后再延拓为以 2 为周期

的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓 ;

y

x32 2

O

　周期奇延拓

这种延拓称为周期偶延拓 .

将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后的函数为偶函数，

然后再延拓为以 2 为周期的函数，

周期偶延拓

y

x32 2 O

显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 其傅

里叶系数按公式 (12.6.5) 计算 .即

.),2,1,0(0 n an

),2,1(dsin)( 2

dsin)( 2

00

nxnxxfxnxxbn

)7.6.12(

( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ).

周期偶延拓的结果为余弦级数， 其傅里叶系

数公式为

),2,1(0 n bn

)1,2,(

dcos)( 2

dcos)( 2

00

n

xnxxfxnxxan

)8.6.12(

例 5 　试将

,0[24

)(2

在区间函数xx

xf

上展开成余弦级数

解　按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，

0

2

d)cos4

(2

xnx xx

an

0

2

]sin)4

([2

nxxx

n

02]cos)

2[(

2nx

x

n

.),3,2,1( 1

][sin1

203

n

nnx

n

.3

)d4

(2 2

0

2

0

xxx

a

,,0()( 上连续在由于 xf 且延拓的函数在 x = 0 ， 处连续， 因此

3cos9

12cos

4

1cos

64

22

xxxxx

(0≤ x ≤ ) .

展开成正弦级数 .

例 6 　试将函数

,

)(x

xf0≤ x ≤

2

,2

x x

2

≤

解 　按公式 (12.6.7)

dsin)( 2

0

xnxxfbn

dsin)( 2

20

xnxxf dsin)(

2

2

xnxxf

dsin 2

20

xnxx dsin)

2(

2

2

xnxx

dsin 2

0

xnxx dsin

2

xnx

)dcos1

cos(2

00

xnxn

nxn

x

2

cos1

nxn

)2

cos)1((1 1

n

nn

当 x = 时，收敛于 0.

y

2

x

o2

2

所以 xxxxf 4sin2

13sin

3

1sin)(

,),2

()2

[0,

x

,4

,2

收敛于时当 x