กลศาสตรข์องไหล (Fluid Mechanics)

315 102 General Physics I

ดร. ศรีประจกัร ์ครองสขุภาควิชาฟิสิกส ์คณะวิทยาศาสตร์1

กลศาสตรข์องไหล

�ความหนาแนน่

�ความดนัในของไหล

� แรงลอยตวัและหลกัของอาคีมดีสี

การไหลของของไหล�การไหลของของไหล

� สมการแบรน์ลูลี

�ความหนดื

2

ของไหล (Fluid)

• ของไหล คือ สารใดๆที*ไหลได ้และเปลี*ยนแปลงรปูร่างตามภาชนะที*บรรจ ุซึ*งไดแ้ก ่

ของเหลวและกา๊ซ

• กลศาสตรข์องไหล คือ การศึกษาเกี*ยวกบัของไหลที*หยดุนิ*งและของไหลที*เคลื*อนที*

บนพื2นฐานของกฎการเคลื*อนที*ของนวิตนัและหลกัการคงตวัของพลงังาน

3

ความหนาแนน่ (density: ρ)

ความหนาแนน่ คือ อตัราสว่นของมวลวตัถกุบัปริมาตร

( )1.7V

m=ρ

1

4

ในระบบ SI มหีนว่ยเป็น kg/m3 และสาํหรบัหนว่ย CGS คือ g/cm3

โดยที*

1

1 g/cm3 = 1000 kg/m3

ตารางแสดงคา่ความหนาแนน่ของสสาร

5

ความดนัในของไหล

วตัถทุรงลกูบาศกจ์มในของไหลที*อยูน่ิ*ง ของไหลจะ

ออกแรงกระทาํตอ่วตัถใุนทิศตั2งฉากกบัผิวที*สมัผสั

กบัของไหล

แรงดนัในของไหลเกิดจากการเคลื*อนที*ของโมเลกลุ

6

แรงดนัในของไหลเกิดจากการเคลื*อนที*ของโมเลกลุ

ของไหลชนกบัผวิวตัถหุรือผนงัภาชนะ

ความดนั (pressure: P) คือ

F

A

( )2.7A

FP =

มหีนว่ยเป็น N/m2 เรียกวา่ Pascal (Pa) โดยที*

1 Pa = 1 N/m2

ความดนับรรยากาศ

ความดนับรรยากาศ (P0) คือ ความดนับรรยากาศของโลกซึ*งเป็นความดนัดา้นลา่ง

ของอากาศที*เราอาศยั จะมคีา่เปลี*ยนแปลงตามลมฟ้าอากาศและความสงู

ความดนับรรยากาศปกติ

ระดบันํ2าทะเล (คา่เฉลี*ย) คือ

7

ระดบันํ2าทะเล (คา่เฉลี*ย) คือ

1 บรรยากาศ (1 atm)

1 atm = 1.013x105 Pa

ความดนัที*แปรตามความลึก

ของไหลมคีวามหนาแนน่ ρ บรรจใุนภาชนะที*เปิดสมัผสักบัชั2นบรรยากาศ P0

พิจารณาแทง่ของไหลที*มรีะยะความสงูจากผวิดา้นบน h

และมพีื2นที*หนา้ตดัเป็น A เมื*อของไหลหยดุนิ*งอยู่ใน

สมดลุสถิตจะไดว้่า แรงลพัธท์ี*กระทาํตอ่ผวิของแทง่ของ

8

สมดลุสถิตจะไดว้่า แรงลพัธท์ี*กระทาํตอ่ผวิของแทง่ของ

ไหลมคีา่เป็นศนูย ์นั *นคือ

0

0

0

0

0

0

=−−

=−−

=−−=∑

AhgAPPA

VgAPPA

MgAPPAFy

ρ

ρ

( )3.70

ghPP ρ+=

ความดนัที*ความลกึ h จะมคีา่มากกว่าความดนัที*ผวิบนเทา่กบั ρgh

ภาชนะทั2งสามบรรจขุองเหลวชนดิเดยีวกนั ความดนัที*จดุที* 1, 2 และ

3 เป็นอย่างไร?

1 2 3

9

h

กฎของพาสคลั (Pascal’s Law)

กฎของพาสคลั คือ ความดนัซึ*งกระทาํตอ่ของไหลในภาชนะปิดจสง่ตอ่โดยไมล่ดไป

ยงัทกุสว่นของของไหลและผนงัภาชนะที*บรรจขุองไหล

เครื*องยกไฮดรอลิก เป็นตวัอยา่งของการประยกุตก์ฎของพาสคลั

จากรปูที*ระดบัเดยีวกนัความดนัเทา่กนั

และ

10

และ

P1 = F1/A1 และ P2 = F2/A2

ดงันั2น

1

2

1

2

21

A

A

F

F

PP

=

=

กฎของพาสคลั (ตอ่)

เนื*องจากของไหลไมส่ามารถเพิ*มหรือลดไดด้งันั2นปริมาตรที*ลกูสบูผลกัลงดา้นซา้ย

จะเทา่กบัปริมาตรที*ลกูสบูดนัขึ2นทางขวา นั *นคือ

22

2211

dA

AdAd

=

=

11

1

2

1

2

dA=

( )4.71

2

1

2

1

2

d

d

A

A

F

F==

ตวัอยา่ง 1 เขื*อนกั2นนํ2ามคีวามกวา้ง W ระดบันํ2าในเขื*อนมีความสงู Hดงัรปู จง

หาแรงดนัที*นํ2ากระทาํตอ่เขื*อน

พิจารณาสว่นเล็กของเขื*อนที*อยู่ลกึเป็นระยะ h จากผวิ

นํ2า ความดนัที*กระทาํตส่ว่นเล็กๆนี2คือ

( )yHgghP −== ρρdA

แรงกระทาํตอ่พื2นที*เล็กๆ dA คือ

PwdyPdAdF ==

12

( )wdyyHgdF

PwdyPdAdF

−=

==

ρ

แรงทั2งหมดที*กระทาํตอ่เขื*อนจึงมคีา่เป็น

( )

( )

2

0

2

1gwHF

dyyHwgF

wdyyHgPdAF

H

ρ

ρ

ρ

=

−=

−==

∫

∫ ∫

การวดัความดนั

Open-tube manometer

ความดนัที*ตอ้งการวดั

ความดนับรรยากาศ

( )yygPP

gyPgyP

PP BA

ρ

ρρ

−=−

+=+

=

120

201

ความดนัที*ระดบัความสงูเดยีวกนัเทา่กนั

13

( )

ghP

ghPP

yygPP

g ρ

ρ

=

=−0

120

Pg เรียกว่าความดนัเกจ (Gauge Pressure)

มคีา่เทา่กบั ρghP เรยีกวา่ความดนัสัมบรูณ ์ (Absolute Pressure)

y1

y2

การวดัความดนั (ตอ่)

Barometerความดนับรรยากาศ คือ ความดนัที*ทาํใหป้รอทใน

บารมเิตอรเ์คลื*อนที*ขึ2นไดร้ะดบัความสงู 0.760 m

หรือ 760 มลิิเมตรปรอท

PP =21

14

Hg

y1

y2

( )ghP

yygP

gyPgyP

ρ

ρ

ρρ

=

−+=

+=+

0

120

210

21

0

ตวัอยา่งที� 2 หลอดรปูตวั U หลอดหนึ*งเปิดสูอ่ากาศที*ปลายทั2งสองขา้ง คอ่ยๆเทนํ2าปริมาณ

หนึ*งลงไปในแขนขา้งซา้ยของหลอดจนกระทั *งความสงูในแนวดิ*งของลาํนํ2าเทา่กบั 15 cm ดงั

รปู จงหา

(ก) ความดนัเกจที*รอยตอ่รหว่างนํ2า-ปรอทมคีา่เทา่ใด

(ข) ความสงูในแนวดิ*ง h จากดา้นบนของปรอทไปยงัดา้นบนของนํ2า

P0ความดนัเกจที*รอยตอ่นํ2า-ปรอทคือ Pg=P1-P0

( )( )( ) 2N/m

33

01

1047.115.08.9100.1 ×=×=

=− w

P

gdPP ρ

15

15 cmh ความดนัที*ระดบัเดยีวกนัเทา่กนั

( ) ( )( )

( ) ( )

mcm2

3

33

00

21

1089.1389.13

106.13

100.1106.131515

1515

1515

−×==

××−×

=−

=

−=

−+=+

=

h

h

ghg

hgPgP

PP

Hg

wHg

Hgw

Hgw

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

P1 P2

( )( )( ) 2N/m

331047.115.08.9100.1 ×=×=gP

แรงลอยตวัและหลกัของอารค์ิเมดสี

หลกัของอารค์ิเมดสี (Archimedes’s priciple)

“เมื*อวตัถจุมในของไหลทั2งกอ้นหรือบางสว่น ของไหล

จะออกแรงดนัขึ2นตอ่วตัถเุทา่กบันํ2าหนกัของไหลสว่นที*

ถกูแทนที*”ρA

16

ถกูแทนที*”

gFB =นั *นคือ

เมื*อ B คือ แรงลอยตวั (Buoyant force)

ความแตกตา่งของความดนัระหว่างผวิบนและผวิ

ดา้นลา่งคือ

A

BghP ==∆ ρ

ρ

ρO

แรงลอยตวั

ขนาดของแรงลอยตวั ( ) ( )( )5.7MggVB

AghAPB

==

=∆=

ρρ

เมื*อ V คือ ปริมาตรของเหลวสว่นที*ถกูแทนที*

M คือ มวลของเหลวสว่นที*ถกูแทนที*

17

ในกรณีที*วตัถจุมลงไปทั2งกอ้นจะไดข้นาดของแรงลอยตวัมคีา่เทา่กบั gVB Oρ=

ดงันั2นแรงลพัธท์ี*กระทาํตอ่วตัถคุือ

( ) ( )6.7gVFB OOg ρρ −=−

ถา้ ρ > ρO วตัถลุอยขึ2นดว้ยความเรง่ a

ถา้ ρ < ρO วตัถจุมลงไปดว้ยความเรง่ a

แรงลอยตวั (ตอ่)

ในกรณีที*วตัถลุอยในของเหลว มบีางสว่นของวตัถทุี*จมในของเหลว ดงันั2นเมื*ออยูใ่นสมดลุ

gVB

FB

FB

ff

g

g

ρ=

=

=− 0

18

gVgV

gVF

OOff

OOg

ρρ

ρ

=

=

ดงันั2นจะไดว้่า

( )7.7O

f

f

O

V

V=

ρρ

ตวัอยา่งที� 2 จากรปูจงหาคา่ความหนาแนน่ของวงแหวนที*ทาํจากทองคาํ เมื*อชั *ง

นํ2าหนกัในอากาศอ่านได ้7.84 N และชั *งในนํ2าอ่านได ้6.86 N

98.086.684.72

=−=−= TFB g

ขนาดของแรงลอยตวัเทา่กบันํ2าหนกั

ของเหลวที*ถกูแทนที*ดงันั2น

98.0== ww gVB ρ

19

gFT =1 BFT g −=

2

( )( )3m

4100.1

8.91000

98.098.0

98.0

−×=

===

==

O

w

wO

ww

V

gVV

gVB

ρ

ρ

ความหนาแนน่ของวตัถ ุคือ

( )( )3

kg/m3

4

100.8

8.9100.1

84.7

×=

×=== −

O

O

O

O

OO

gV

gM

V

M

ρ

ρ

พลวตัขิองไหล (Fluid dynamics)

� ของไหลอดุมคติ

� สายกระแส

� สมการความตอ่เนื*อง

� สมการของแบรน์ลูลี

การประยกุตส์มการแบรน์ลูล ี

20

� การประยกุตส์มการแบรน์ลูล ี

ของไหลอดุมคติ

� ของไหลที*บีบอดัไมไ่ด ้นั *นคือ ความหนาแนน่ของไหลไมเ่ปลี*ยนแปลง

� ไมม่คีวามเสยีดทานภายใน ที*เรียกว่า ความหนดื

� การไหล (flow) ของของไหลเป็นแบบสมํ*าเสมอ (steady)

สายกระแส (Streamline)

21

สายกระแส (Streamline)

สายกระแส คือ เสน้ทางที*อนภุาคของ

ไ ห ล เ ค ลื* อ น ที* ภ า ย ใ ต ้ก า ร ไ ห ล ที*

สมํ*าเสมอ และจะตอ้งไมต่ดักนั

ความเร็วของที*จดุใดๆในของไหลจะมี

ทิศตามแนวเสน้สมัผสั

สมการความตอ่เนื*องพิจารณาการไหลที*ผา่นพื2นที*ผวิ

สมมตุ ิ เชน่พื2นที* A จะกอ่เป็น

ทอ่ที*เรียกวา่ท่อการไหล เมื*อมี

การไหลในทอ่การไหล มวลของ

ไหลจะไมเ่ปลี*ยนแปลง จากรปู

22

ไหลจะไมเ่ปลี*ยนแปลง จากรปู

จะเห็นวา่ มวลของไหลที*ไหลเขา้

A1 จะมคีา่เท่ากบัมวลของไหล

ที*ไหลออกที* A2

constant==

=

=∆==

=∆==

2211

21

222222

111111

vAvA

mm

tvAxAVm

tvAxAVm

ρρρ

ρρρ

สมการความตอ่เนื*อง

Av = อัตราการไหล

สมการแบรน์ลูลี (Bernoulli’s Equation)

แรงที*กระทาํตอ่ปลายดา้นลา่ง F1 = P1A1

แรงที*กระทาํตอ่ปลายดา้นบน F2 = P2A2

ดงันั2น งานที*ทาํในชว่งเวลา t คือ

VPxAPxFW

VPxAPxFW

−=∆−=∆−=

=∆=∆=

2222222

1111111

23

( )VxAxA

VPxAPxFW

=∆=∆

−=∆−=∆−=

2211

2222222

Q

งานสทุธิที*ทาํ คือ W = (P1-P2)V

งานบางสว่นเปลี*ยนไปเป็นพลงังานจลนแ์ละบางสว่นเปลี*ยนเป็นพลงังานศักย ์ดงันั2นจาก

หลกัการคงตวัของพลงังานจะไดว้่า

12

2

1

2

2

2

1

2

1

mgymgyU

mvmvK

−=∆

−=∆

สมการแบรน์ลูลี (ตอ่)

หลกักการคงตวัของ

พลงังาน

( ) 22 11mgymgymvmvVPP

UKW

−+−=−

∆+∆=

24

( )

2

2

221

2

11

12

2

1

2

212

12

2

1

2

212

12

2

1

2

212

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

gyvPgyvP

gygyvvPP

gyV

mgy

V

mv

V

mv

V

mPP

mgymgymvmvVPP

ρρρρ

ρρρρ

++=++

−+−=−

−

+

−

=−

−+−=−

สมการของแบรน์ลูลี

ตวัอยา่ง 1 หลอด Venturi ใชส้าํหรบัวดัอตัราการ

ไหลของของไหล ดงัแสดงในรปูถา้ตอ้งการอตัราเร็วของไหลที*จดุที* 2

จะตอ้งร ูค้า่ความแตกตา่งของความดนั

ระหวา่งจดุที* 1 และ 2 เนื*องจากทอ่วางอยู่ในแนวราบ ดงันั2น y1 = y2

โดยการประยกุตใ์ชส้มการแบรน์ลูลี จะไดว้่า

25

( )( )2

2

2

1

12

12

2

22

2

2

2

1

2

1

2

1

2

12211

2

22

2

11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

AA

PPAv

vPvA

AP

vA

AvvAvA

vPvP

−−

=

+=

+∴

=⇒=

+=+

ρ

ρρ

ρρ

ตวัอย่างที* 2 จากรปูจงหาอตัราเร็ว v1

2 P A2

h ( ) ( )yygPP

v

gyPgyvP

vAA

22

2

1

0

0

21

2

10

212

−+−

=

+=++

≈⇒>>

ρρρ

Q

26

1

y1

y2P0

v1A1

h ( )

( )gh

PPv

yygv

22

2

0

1

12

0

1

+−

=

−+=

ρ

ρ