Η ΥΥέροουυσσαα...

ΗΗ ΥΥέέρροουυσσαα ΠΠλληηρρόόττηητταα

εειισσααγγωωγγήή σσττηη κκββααννττιικκήή

ππλληηρροοφφοορριικκήή

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟΤ . ΦΑΑΠΗ, PhD

Έκδοση: 2.Α-0

Μάιος 2010

Φαλάνδρι Αττικής

Έκδοση της 31ης Μαρτίου 2010

Έκδοση 2.A-0

Έχουν προηγηθεί: 0.Α – 27/10/2003, 0.Β – 26/11/2003, 0.C – 12/09/2004, 0.D – 12/10/2004, 0.E – 16/02/2005, 0.F – 10/04/2005, 1.Α – 19/12/2005, 1.Β-1c – 28/12/2006.

ΚΨΝΣΑΝΣΙΝΟΤ ΦΑΑΠΗ Η ΥΕΡΟΤΑ ΠΛΗΡΟΣΗΣΑ

ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 4/622

ΠΡΟΛΟΓΟ ................................................................................................................................................................................................... 13

ΜΕΡΟ 1: ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ........................................................................................................................................................ 25

Κεφάλαιο 1.1 Βασικά στοιχεία της γλώσσας της συζήτησής μας ...................................................................................................................................... 25

Κεφάλαιο 1.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες ....................................................................................................................... 73

Κεφάλαιο 1.3 Μετασχηματισμοί βάσεων ............................................................................................................................................................................ 85

Κεφάλαιο 1.4 τροφορμή και μέσες τιμές τελεστών .......................................................................................................................................................... 92

Κεφάλαιο 1.5 Σο φαινόμενο της συμβολής και η παράξενη μηχανική των πλατών πιθανότητας .................................................................................... 96

Κεφάλαιο 1.6 Μη-πολωμένο φως, μικτές καταστάσεις και τελεστές πυκνότητας ........................................................................................................... 100

Κεφάλαιο 1.7 Υωτόνιο διαμέσου ύλης και μοναδιακότητα ............................................................................................................................................. 104

Κεφάλαιο 1.8 Ομάδες, μετασχηματισμοί, συμμετρίες ..................................................................................................................................................... 109

Κεφάλαιο 1.9 Κυματομηχανική, τροχιακά και άτομα ..................................................................................................................................................... 130

Κεφάλαιο 1.10 Σο πείραμα EPR-Β: Υιλοσοφία και Υυσική μέσα σε δύο φωτόνια .................................................................................................... 158

Κεφάλαιο 1.11 Η συνύφανση.............................................................................................................................................................................................. 173

Κεφάλαιο 1.12 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου ............................................................................................................................................ 175

ΜΕΡΟ 2: ΚΛΑΙΚΟΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΕ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ .......................................................................................................... 180

Κεφάλαιο 2.1 Τπολογισμοί, γλώσσες και, ... πραγματικότητα ......................................................................................................................................... 180

Κεφάλαιο 2.2 ύμβολα και Κανόνες: Υλοιοί σε μια συμβολική πραγματικότητα ........................................................................................................ 183

Κεφάλαιο 2.3 Hilbert - Goedel - Turing .......................................................................................................................................................................... 185

Κεφάλαιο 2.4 Πρώτες ματιές στην δυαδική αριθμητική .................................................................................................................................................. 187

Κεφάλαιο 2.5 Χηφιακά Ηλεκτρονικά και ... υπολογιστές ................................................................................................................................................ 190

Κεφάλαιο 2.6 Flowcharts, Αλγόριθμοι και η Universal Turing Machine ..................................................................................................................... 197

Κεφάλαιο 2.7 Γλώσσες και Compilers .............................................................................................................................................................................. 201

Κεφάλαιο 2.8 Αλφάβητα, γραμματικές και γλώσσες ........................................................................................................................................................ 205

Κεφάλαιο 2.9 Μηχανές Turing, γλώσσες, μη-υπολογισιμότητα, κλάσεις πολυπλοκότητας αλγορίθμων ...................................................................... 210

Κεφάλαιο 2.10 Μια απλή CPU .......................................................................................................................................................................................... 216

Κεφάλαιο 2.11 Αριθμητική Floating-point και σφάλματα .............................................................................................................................................. 221

Κεφάλαιο 2.12 Τπολογιστικά πειράματα, κλασσική μηχανική, στατιστική μηχανική και μια πρώτη επαφή με την εντροπία .................................... 234

Κεφάλαιο 2.13 Πιθανότητες και Εντροπία ....................................................................................................................................................................... 248


ΜΕΡΟ 3: ΚΛΑΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕ .......................................................................................................... 257

Κεφάλαιο 3.1 Πιθανότητες και πάλι, λίγο πιο αναλυτικά ................................................................................................................................................. 257

Κεφάλαιο 3.2 Πληροφορία, εντροπία Shannon και bits .................................................................................................................................................. 263

Κεφάλαιο 3.3 Διαπληροφορία ............................................................................................................................................................................................ 268

Κεφάλαιο 3.4 Μετάδοση πληροφορίας: κανάλια και χωρητικότητες .............................................................................................................................. 271

Κεφάλαιο 3.5 Αλφάβητα και Κώδικες ............................................................................................................................................................................... 274

Κεφάλαιο 3.6 Κωδικοποίηση χωρίς θόρυβο ..................................................................................................................................................................... 277

Κεφάλαιο 3.7 Κωδικοποίηση με θόρυβο .......................................................................................................................................................................... 279

Κεφάλαιο 3.8 υγκρίνοντας τις εντροπίες ......................................................................................................................................................................... 283

Κεφάλαιο 3.9 Ποσοτικοποιώντας τη συνύφανση: χετική εντροπία, βαθμός συνύφανσης και fidelity ......................................................................... 286


ΜΕΡΟ 4: ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΣΙΚΟΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΕ .................................................................................... 291

Κεφάλαιο 4.1 Οι Κβαντικότητες σε σχέση με τις κλασικότητες: μια ανακεφαλαίωση ................................................................................................... 291

Κεφάλαιο 4.2 Quantum Bits και Quantum Registers ..................................................................................................................................................... 296


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 6/622

Κεφάλαιο 4.3 Η τετραγωνική ρίζα της άρνησης και άλλες κβαντικές λογικές πύλες ...................................................................................................... 309

Κεφάλαιο 4.4 Σο θεώρημα της μη-κλωνοποίησης............................................................................................................................................................ 326

Κεφάλαιο 4.5 Η πυκνή κωδικοποιηση και η βάση Bell .................................................................................................................................................... 328

Κεφάλαιο 4.6 Η Μυθική Κβαντική Σηλεμεταφορά ......................................................................................................................................................... 331

Κεφάλαιο 4.7 Κβαντική Κρυπτογραφία ............................................................................................................................................................................ 334

Κεφάλαιο 4.8 Κβαντική συμπύκνωση δεδομένων ............................................................................................................................................................. 337

Κεφάλαιο 4.9 Ο Κβαντικός Τπολογιστής γενικής χρήσης............................................................................................................................................... 340

Κεφάλαιο 4.10 Κβαντικοί αλγόριθμοι ............................................................................................................................................................................... 344

Κεφάλαιο 4.11 Decoherence και Quantum Error Correction ....................................................................................................................................... 366

Κεφάλαιο 4.12 Γενική θεωρία QEC και fault tolerant computation ............................................................................................................................. 382

Κεφάλαιο 4.13 Κβαντικά υστήματα και Παρεμβάσεις .................................................................................................................................................. 394

Κεφάλαιο 4.14 Spintronics και υπολογιστές κβαντικής τελείας ....................................................................................................................................... 416

Κεφάλαιο 4.15 Κβαντικό χάος και κβαντικοί υπολογιστές .............................................................................................................................................. 429


ΜΕΡΟ 5: O ΜΗ-ΑΝΣΙΣΡΕΠΣΟ ΚΒΑΝΣΙΚΟ ΤΠΕΡΤΠΟΛΟΓΙΣΗ ................................................................................... 457

Κεφάλαιο 5.1 Οι Καταστάσεις Cluster ............................................................................................................................................................................. 457

Κεφάλαιο 5.2 Σα συνυφασμένα Clusters αρώνoυν τα Πάντα: Ο Κβαντικός Τπολογιστής μίας Κατεύθυνσης.......................................................... 471

Κεφάλαιο 5.3 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου............................................................................................................................................... 496

ΜΕΡΟ 6: ΦΕΣΙΚΟΣΗΣΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ............................................................................................................ 503

Κεφάλαιο 6.1 τοιχεία Ειδικής χετικότητας ................................................................................................................................................................. 503

Κεφάλαιο 6.2 Σετρανύσματα .............................................................................................................................................................................................. 530

Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και χετικότητα ................................................................................................................................................... 548

Κεφάλαιο 6.4 Πέρα από την Ειδική χετικότητα ............................................................................................................................................................ 590

Κεφάλαιο 6.5 Σο φράγμα Bekenstein ............................................................................................................................................................................... 594

Κεφάλαιο 6.6 Οι κβαντικοι Τπολογιστές είναι αναλογικοί ή ψηφιακοί υπολογιστές; ..................................................................................................... 597

Κεφάλαιο 6.7 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου............................................................................................................................................... 598

ΕΠΙΛΟΓΟ .................................................................................................................................................................................................. 603

ΑΝΑΥΟΡΕ ................................................................................................................................................................................................. 609

Γενικές Αναφορές ................................................................................................................................................................................................................ 609

Διατριβές.............................................................................................................................................................................................................................. 610

Αναφορές του προλόγου (μέρος 0) .................................................................................................................................................................................... 610

Αναφορές του μέρους 1 ...................................................................................................................................................................................................... 610






Αναφορές του επιλόγου (μέρος 7) ...................................................................................................................................................................................... 621


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 7/622

ΠΡΟΛΟΓΟ ................................................................................................................................................................... 13

ΜΕΡΟ 1: ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ .......................................................................................................................... 25

Κεφάλαιο 1.1 Βασικά στοιχεία της γλώσσας της συζήτησής μας ..................................................................................................................25

1.1.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα .................................................................................................................................................................25 1.1.2 Διανύσματα ............................................................................................................................................................................................27 1.1.3 τοιχεία ανυσματικών χώρων και γραμμικών τελεστών .................................................................................................................34

α Πρόσθεση ανυσμάτων ..........................................................................................................................................................................35 β Πολλαπλασιασμός ανυσμάτων με βαθμωτό και η φύση της ονομασίας του μηδενός ................................................................35 γ Γραμμική ανεξαρτησία .........................................................................................................................................................................37 δ Διάσταση ενός ανυσματικού χώρου ...................................................................................................................................................37 ε Εσωτερικό γινόμενο και Ευκλείδειοι χώροι ......................................................................................................................................38 στ Φώροι Hilbert .....................................................................................................................................................................................39 ζ Γραμμικοί τελεστές και το πρόβλημα ιδιοτιμών ..............................................................................................................................41

1.1.4 τοιχεία μητρών και αναπαραστάσεων τελεστών ............................................................................................................................45 α Γενικά .....................................................................................................................................................................................................45 β Ειδικές μήτρες ......................................................................................................................................................................................49 γ Ίχνος και Ορίζουσα μήτρας ................................................................................................................................................................51 δ Αναπαράσταση τελεστή με μήτρα......................................................................................................................................................54 ε Ένας αναπάντεχος ανυσματικός χώρος .............................................................................................................................................56

1.1.5 Μιγαδικοί αριθμοί ................................................................................................................................................................................56 1.1.6 Σριγωνομετρία, κύκλοι και αρμονικές κινήσεις ................................................................................................................................60 1.1.7 Περιοδικές και μη συναρτήσεις ..........................................................................................................................................................62

α ειρές Αρμονικών ρων .....................................................................................................................................................................62 β Οι συντελεστές Fourier ........................................................................................................................................................................64 γ Διακριτά Υάσματα Ισχύος και το Δέλτα του Kronecker ...............................................................................................................66 δ Μετασχηματισμοί Fourier ..................................................................................................................................................................67 ε υνεχή Υάσματα και υνάρτηση Δέλτα του Dirac ........................................................................................................................70

Κεφάλαιο 1.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες ..................................................................................................73

1.2.1 Πολωμένα κύματα ................................................................................................................................................................................73 1.2.2 H Κβαντομηχανική σκοπιά ................................................................................................................................................................77 1.2.3 Πολώσεις και πιθανότητες ...................................................................................................................................................................81

Κεφάλαιο 1.3 Μετασχηματισμοί βάσεων .........................................................................................................................................................85

Κεφάλαιο 1.4 τροφορμή και μέσες τιμές τελεστών ......................................................................................................................................92

Κεφάλαιο 1.5 Σο φαινόμενο της συμβολής και η παράξενη μηχανική των πλατών πιθανότητας ............................................................96

Κεφάλαιο 1.6 Μη-πολωμένο φως, μικτές καταστάσεις και τελεστές πυκνότητας .................................................................................... 100

Κεφάλαιο 1.7 Υωτόνιο διαμέσου ύλης και μοναδιακότητα ........................................................................................................................ 104

Κεφάλαιο 1.8 Ομάδες, μετασχηματισμοί, συμμετρίες ................................................................................................................................ 109

1.8.1 Γενικά .................................................................................................................................................................................................. 109 1.8.2 Η ομάδα μητρών SO(2) ................................................................................................................................................................... 111 1.8.3 Οι μήτρες SU(2) και η σχέση τους με SO(2) και SO(3) ............................................................................................................. 113 1.8.4 Ομάδες, μετασχηματισμοί και συμμετρίες.................................................................................................................................... 116 1.8.5 Σανυστικό γινόμενο δύο ή περισσότερων χώρων Hilbert ........................................................................................................... 124 1.8.6 Πολυτμηματικά συστήματα και μερικό ίχνος ............................................................................................................................... 127

Κεφάλαιο 1.9 Κυματομηχανική, τροχιακά και άτομα ................................................................................................................................. 130

1.9.1 Κυματομηχανική ............................................................................................................................................................................... 130 1.9.2 τροφορμή, υδρογόνο, σπίν ............................................................................................................................................................ 135 1.9.3 Ατομικά τροχιακά: Τδρογόνο ......................................................................................................................................................... 147 1.9.4 Ατομικά τροχιακά: Πολυ-ηλετρονιακά άτομα .............................................................................................................................. 151

Κεφάλαιο 1.10 Σο πείραμα EPR-Β: Υιλοσοφία και Υυσική μέσα σε δύο φωτόνια............................................................................. 158

Κεφάλαιο 1.11 Η συνύφανση ........................................................................................................................................................................... 173

Κεφάλαιο 1.12 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου ....................................................................................................................... 175

ΜΕΡΟ 2: ΚΛΑΙΚΟΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΕ ΚΑΙ ΤΠΟΛΟΓΙΜΟΙ .............................................................................. 180


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 8/622

Κεφάλαιο 2.1 Τπολογισμοί, γλώσσες και, ... πραγματικότητα.................................................................................................................... 180

Κεφάλαιο 2.2 ύμβολα και Κανόνες: Υλοιοί σε μια συμβολική πραγματικότητα ................................................................................. 183

Κεφάλαιο 2.3 Hilbert - Goedel - Turing....................................................................................................................................................... 185

Κεφάλαιο 2.4 Πρώτες ματιές στην δυαδική αριθμητική ............................................................................................................................. 187

Κεφάλαιο 2.5 Χηφιακά Ηλεκτρονικά και ... υπολογιστές............................................................................................................................ 190

2.5.1 Οι κλασσικές λογικές πύλες .............................................................................................................................................................. 190 2.5.2 Οι νόμοι του DeMorgan .................................................................................................................................................................. 191 2.5.3 Η απομυθοποίηση ............................................................................................................................................................................. 192 2.5.4 Δυαδικός μονόμπιτος αθροιστής και το flip-flop ......................................................................................................................... 192 2.5.5 Λίγη ιστορία και τα κελύφη ξανά..................................................................................................................................................... 195

Κεφάλαιο 2.6 Flowcharts, Αλγόριθμοι και η Universal Turing Machine ............................................................................................... 197

Κεφάλαιο 2.7 Γλώσσες και Compilers ........................................................................................................................................................... 201

Κεφάλαιο 2.8 Αλφάβητα, γραμματικές και γλώσσες .................................................................................................................................... 205

Κεφάλαιο 2.9 Μηχανές Turing, γλώσσες, μη-υπολογισιμότητα, κλάσεις πολυπλοκότητας αλγορίθμων............................................. 210

Κεφάλαιο 2.10 Μια απλή CPU ....................................................................................................................................................................... 216

Κεφάλαιο 2.11 Αριθμητική Floating-point και σφάλματα ......................................................................................................................... 221

2.11.1 Η διαφάνεια της μηχανής ............................................................................................................................................................... 221 2.11.2 Η αναπαράσταση των ακεραίων .................................................................................................................................................... 222 2.11.3 Η αναπαράσταση των κλασμάτων ................................................................................................................................................. 222 2.11.4 Η αναπαράσταση floating point και οι ολιγοπληθείς αριθμοί μηχανής ................................................................................. 225 2.11.5 Σα σφάλματα .................................................................................................................................................................................... 229

Κεφάλαιο 2.12 Τπολογιστικά πειράματα, κλασσική μηχανική, στατιστική μηχανική και μια πρώτη επαφή με την εντροπία ......... 234

Κεφάλαιο 2.13 Πιθανότητες και Εντροπία .................................................................................................................................................... 248


ΜΕΡΟ 3: ΚΛΑΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕ .............................................................................. 257

Κεφάλαιο 3.1 Πιθανότητες και πάλι, λίγο πιο αναλυτικά ............................................................................................................................ 257

Κεφάλαιο 3.2 Πληροφορία, εντροπία Shannon και bits ............................................................................................................................. 263

Κεφάλαιο 3.3 Διαπληροφορία ......................................................................................................................................................................... 268

Κεφάλαιο 3.4 Μετάδοση πληροφορίας: κανάλια και χωρητικότητες ........................................................................................................ 271

Κεφάλαιο 3.5 Αλφάβητα και Κώδικες ............................................................................................................................................................ 274

Κεφάλαιο 3.6 Κωδικοποίηση χωρίς θόρυβο ................................................................................................................................................. 277

Κεφάλαιο 3.7 Κωδικοποίηση με θόρυβο ....................................................................................................................................................... 279

3.7.1 Κανόνες απόφασης ............................................................................................................................................................................ 279 3.7.2 Απόσταση Hamming ........................................................................................................................................................................ 279 3.7.3 Μέση πιθανότητα λάθους ................................................................................................................................................................. 280 3.7.4 Ρυθμός μετάδοσης ............................................................................................................................................................................ 280 3.7.5 Θεμελιακό θεώρημα του Shannon ................................................................................................................................................. 281 3.7.6 υνεχή φάσματα και θορυβώδη κανάλια ....................................................................................................................................... 281

Κεφάλαιο 3.8 υγκρίνοντας τις εντροπίες ..................................................................................................................................................... 283

Κεφάλαιο 3.9 Ποσοτικοποιώντας τη συνύφανση: χετική εντροπία, βαθμός συνύφανσης και fidelity ................................................ 286


ΜΕΡΟ 4: ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΣΙΚΟΙ ΤΠΟΛΟΓΙΣΕ ......................................................... 291

Κεφάλαιο 4.1 Οι Κβαντικότητες σε σχέση με τις κλασικότητες: μια ανακεφαλαίωση ........................................................................... 291

Κεφάλαιο 4.2 Quantum Bits και Quantum Registers ................................................................................................................................ 296

4.2.1 Ένα qubit, μία σφαίρα Bloch .......................................................................................................................................................... 296


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 9/622

4.2.2 Μηχανική σφαιρών Bloch ................................................................................................................................................................ 300 4.2.3 Σι είναι λοιπόν ένα qubit; ................................................................................................................................................................. 306

Κεφάλαιο 4.3 Η τετραγωνική ρίζα της άρνησης και άλλες κβαντικές λογικές πύλες ............................................................................... 309

4.3.1 Τπολογισμοί σε ένα qubit και η φοβερή μοναδιακότητα ............................................................................................................ 309 4.3.2 Δύο και πλέον qubits: χτίζωντας την κβαντική ALU ................................................................................................................... 315 4.3.3 Υυσική υλοποίηση κβαντικής λογικής πύλης ................................................................................................................................ 318 4.3.4 Ιδιότητες της κβαντικής λογικής πύλης CΦ.................................................................................................................................... 320 4.3.5 τοιχεία μηχανικής πυλών ............................................................................................................................................................... 321

Κεφάλαιο 4.4 Σο θεώρημα της μη-κλωνοποίησης ....................................................................................................................................... 326

Κεφάλαιο 4.5 Η πυκνή κωδικοποιηση και η βάση Bell ............................................................................................................................... 328

Κεφάλαιο 4.6 Η Μυθική Κβαντική Σηλεμεταφορά ..................................................................................................................................... 331

Κεφάλαιο 4.7 Κβαντική Κρυπτογραφία ........................................................................................................................................................ 334

Κεφάλαιο 4.8 Κβαντική συμπύκνωση δεδομένων ........................................................................................................................................ 337

Κεφάλαιο 4.9 Ο Κβαντικός Τπολογιστής γενικής χρήσης ......................................................................................................................... 340

4.9.1 Universal Gates ................................................................................................................................................................................. 341 4.9.2 Η Αρχή Church-Turing ................................................................................................................................................................... 342

Κεφάλαιο 4.10 Κβαντικοί αλγόριθμοι ........................................................................................................................................................... 344

4.10.1 H βασική δομή των κβαντικών αλγορίθμων ................................................................................................................................ 344 4.10.2 Οι κβαντικοί αλγόριθμοι και η πολυπλοκότητά τους ................................................................................................................ 345 4.10.3 Προσομοιώσεις φυσικών συστημάτων .......................................................................................................................................... 351 4.10.4 H κβαντική παραλληλία και η εύρεση της περιόδου μιας περιοδικής συνάρτησης ............................................................... 352 4.10.5 Κρυπτογράφηση RSA και πως σχετίζεται ο αλγόριθμος του Shor ......................................................................................... 355

α Παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών: ένα δύσκολο πρόβλημα! ................................................................................................ 355 β Κρυπτογράφηση RSA ....................................................................................................................................................................... 356 γ Ο Shor και η συσχέτιση δύο φαινομενικά ασύνδετων προβλημάτων ......................................................................................... 358 δ Μια συζήτηση της ισχύος του αλγορίθμου εύρεσης περιόδου.................................................................................................... 359

4.10.6 Βέλτιστη κβαντική επιτάχυνση: ο αλγόριθμος έρευνας του Grover ........................................................................................ 359

Κεφάλαιο 4.11 Decoherence και Quantum Error Correction ................................................................................................................. 366

4.11.1 Εισαγωγή .......................................................................................................................................................................................... 366 4.11.2 Decoherence .................................................................................................................................................................................... 367 4.11.3 υμμετροποίηση ............................................................................................................................................................................. 371 4.11.4 Κλασική θεωρία εντοπισμού και διόρθωσης λάθους κωδικολέξης .......................................................................................... 371 4.11.5 Γενικά τοιχεία των Κβαντικών Error Correction Codes ....................................................................................................... 374 4.11.6 Ένας 3-qubit κώδικας και ένας 9-qubit κώδικας ........................................................................................................................ 374 4.11.7 Σο Κβαντικό ριο Hamming και οι τελεστές σφάλματος ....................................................................................................... 380

Κεφάλαιο 4.12 Γενική θεωρία QEC και fault tolerant computation ....................................................................................................... 382

4.12.1 Χηφιοποίηση του Θορύβου........................................................................................................................................................... 382 4.12.2 Σελεστές σφάλματος, Stabilizers και Syndrome Extraction .................................................................................................... 383 4.12.3 Κατασκευή Κωδικών ...................................................................................................................................................................... 387 4.12.4 Η φυσική της παραμόρφωσης ....................................................................................................................................................... 389 4.12.5 Fault tolerant computation ........................................................................................................................................................... 392

Κεφάλαιο 4.13 Κβαντικά υστήματα και Παρεμβάσεις ............................................................................................................................. 394

4.13.1 Operator-Sum Representations ................................................................................................................................................... 394 4.13.2 Decoherence και Complex Associative Algebras .................................................................................................................... 398 4.13.3 Decoherence-free Subspaces και QECC ................................................................................................................................... 400 4.13.4 CP-Maps, διευρυμένες καταστάσεις και Positive Operator-Valued Measures ..................................................................... 404 4.13.5 Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας, Υράγμα Holevo, Προσβάσιμη πληροφορία .................................................................. 409

Κεφάλαιο 4.14 Spintronics και υπολογιστές κβαντικής τελείας ................................................................................................................. 416

4.14.1 Εισαγωγή .......................................................................................................................................................................................... 416 4.14.2 Βασικές Προδιαγραφές Κβαντικών Τπολογιστών ...................................................................................................................... 416 4.14.3 Spintronics στον υπολογιστή κβαντικής τελείας ......................................................................................................................... 417 4.14.4 Solid-state charge qubits ............................................................................................................................................................... 427


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 10/622

Κεφάλαιο 4.15 Κβαντικό χάος και κβαντικοί υπολογιστές ......................................................................................................................... 429

4.15.1 Κβαντική Φαολογία ........................................................................................................................................................................ 429 4.15.2 Σο λιώσιμο του κβαντικού υπολογιστή ........................................................................................................................................ 433 4.15.3 Φρονικά όρια ................................................................................................................................................................................... 445


ΜΕΡΟ 5: O ΜΗ-ΑΝΣΙΣΡΕΠΣΟ ΚΒΑΝΣΙΚΟ ΤΠΕΡΤΠΟΛΟΓΙΣΗ........................................................ 457

Κεφάλαιο 5.1 Οι Καταστάσεις Cluster .......................................................................................................................................................... 457

5.1.1 Οι καταστάσεις Cluster στη μία διάσταση .................................................................................................................................... 459 5.1.2 Οι καταστάσεις Cluster στις 2 ή 3 διαστάσεις............................................................................................................................... 466

Κεφάλαιο 5.2 Σα συνυφασμένα Clusters αρώνoυν τα Πάντα: Ο Κβαντικός Τπολογιστής μίας Κατεύθυνσης ................................ 471

5.2.1 Ο κβαντικός υπολογιστής μιας κατεύθυνσης ................................................................................................................................. 471 5.2.2 Κύρια σημεία περί τον υπολογιστή μίας κατεύθυνσης ................................................................................................................. 474

α. Συχαία τροφή ................................................................................................................................................................................. 474 β. Πραγμάτωση του αρχικού cluster ................................................................................................................................................. 477 γ. Διαδικασία πραγμάτωσης της πύλης CNOT ................................................................................................................................. 479 δ. Η υπέρβαση των «κλασσικών» κβαντικών κυκλωμάτων: το μεταμοντέρνο εν δράσει!............................................................ 480

5.2.3 Σο υπολογιστικό παράδειγμα του υπολογιστή μίας κατεύθυνσης .............................................................................................. 482 α. Δομικά στοιχεία και υπολογιστικά παραδείγματα ....................................................................................................................... 482 β. Μετρητικά μορφώματα και η λειτουργία τους ............................................................................................................................. 485 γ. Ανάλυση του μορφώματος μέτρησης της CNOT ........................................................................................................................ 490 δ. Ανάλυση της λειτουργίας της 4-qubit swap πύλης ...................................................................................................................... 493

Κεφάλαιο 5.3 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου ......................................................................................................................... 496

ΜΕΡΟ 6: ΦΕΣΙΚΟΣΗΣΑ ΚΑΙ ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΑ ............................................................................... 503

Κεφάλαιο 6.1 τοιχεία Ειδικής χετικότητας ............................................................................................................................................. 503

6.1.1 Η χετικότητα του Γαλιλαίου-Νεύτωνα ........................................................................................................................................ 503 6.1.2 Σο πρόβλημα του κλασσικού ηλεκτρομαγνητισμού, αιθέρας, κλπ ............................................................................................ 507 6.1.3 Ειδική χετικότητα: Σα δύο αξιώματα του Einstein .................................................................................................................. 508 6.1.4 Η χετικότητα του Φρόνου............................................................................................................................................................. 509 6.1.5 Μερικά Φαρακτηριστικά των γεγονότων του χωροχρόνου ......................................................................................................... 511

α Αμοιβαιότητα ..................................................................................................................................................................................... 511 β υγχρονισμός των ρολογιών ............................................................................................................................................................ 512

6.1.6 Η υστολή Lorentz .......................................................................................................................................................................... 513 6.1.7 Άλλο ένα Νοητικό Πείραμα με φωτόνια ....................................................................................................................................... 514 6.1.8 Ο Μετασχηματισμός του Lorentz .................................................................................................................................................. 516 6.1.9 Σο Υαινόμενο Doppler ................................................................................................................................................................... 518 6.1.10 Ο Βαθμός πουδαιότητας της Σαχύτητας του Υωτός ............................................................................................................. 520 6.1.11 Ενέργεια και Ορμή ......................................................................................................................................................................... 522

α Ενέργεια .............................................................................................................................................................................................. 522 β Ορμή ................................................................................................................................................................................................... 526 γ Επιτάχυνση και δύναμη ..................................................................................................................................................................... 528 δ ωμάτια χωρίς μάζα ......................................................................................................................................................................... 528

Κεφάλαιο 6.2 Σετρανύσματα ........................................................................................................................................................................... 530

6.2.1 Φωροχρόνος και Διαστήματα.......................................................................................................................................................... 530 6.2.2 Κανονικός Φρόνος και το Παράδοξο των διδύμων ..................................................................................................................... 531 6.2.3 Σετρανύσματα: μια γρήγορη ματιά σε μια βαθύτερη ενότητα ................................................................................................... 535 6.2.4 υμεταβλητός Ηλεκτρομαγνητισμός ............................................................................................................................................. 544

Κεφάλαιο 6.3 Κβαντική Πληροφορία και χετικότητα .............................................................................................................................. 548

6.3.1 Σρεις αδιαχώριστες θεωρίες ............................................................................................................................................................. 548 α χετικότητα και πληροφορία........................................................................................................................................................... 548 β Κβαντική μηχανική και πληροφορία .............................................................................................................................................. 548 γ χετικότητα και κβαντική θεωρία ................................................................................................................................................... 550

6.3.2 Η Κατάκτηση της Πληροφορίας .................................................................................................................................................... 551 α Ο αναποφάσιστος κβαντικός παρατηρητής του Von Neumann ................................................................................................ 551 β Η διαδικασία της μέτρησης ............................................................................................................................................................. 553 γ Decoherence και θόρυβος ............................................................................................................................................................... 556


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 11/622

δ Οι μήτρες Kraus και οι POVM ...................................................................................................................................................... 557 ε Σο θεώρημα της μη-επικοινωνίας .................................................................................................................................................... 560

6.3.3 Η χετικιστική Διαδικασία Μέτρησης........................................................................................................................................... 563 α Γενικές ιδιότητες ................................................................................................................................................................................ 563 β Ο ρόλος της σχετικότητας ............................................................................................................................................................... 565 γ Κβαντική μη-τοπικότητα; ................................................................................................................................................................. 567 δ Κλασσικά ανάλογα ............................................................................................................................................................................ 567

6.3.4 Κβαντική Εντροπία και Ειδική χετικότητα ................................................................................................................................ 569 α Μήτρες πυκνότητας εξ αναγωγής .................................................................................................................................................... 569 β ωμάτια με μάζα ............................................................................................................................................................................... 570 γ υνύφανση και ειδική σχετικότητα .................................................................................................................................................. 574 δ Υωτόνια .............................................................................................................................................................................................. 579 ε Επικοινωνιακά κανάλια ...................................................................................................................................................................... 588

Κεφάλαιο 6.4 Πέρα από την Ειδική χετικότητα ....................................................................................................................................... 590

Κεφάλαιο 6.5 Σο φράγμα Bekenstein ............................................................................................................................................................ 594

Κεφάλαιο 6.6 Οι κβαντικοι Τπολογιστές είναι αναλογικοί ή ψηφιακοί υπολογιστές; .............................................................................. 597

Κεφάλαιο 6.7 Απάντηση επιλεγμένων ασκήσεων κειμένου ......................................................................................................................... 598

ΕΠΙΛΟΓΟ .................................................................................................................................................................. 603

ΑΝΑΥΟΡΕ ................................................................................................................................................................. 609

Γενικές Αναφορές .............................................................................................................................................................................................. 609

Διατριβές ............................................................................................................................................................................................................. 610

Αναφορές του προλόγου (μέρος 0) ................................................................................................................................................................. 610

Αναφορές του μέρους 1 .................................................................................................................................................................................... 610






Αναφορές κεφαλαίου 6.1 ............................................................................................................................................................................ 618 Αναφορές κεφαλαίου 6.2 ............................................................................................................................................................................ 618 Αναφορές κεφαλαίου 6.3 ............................................................................................................................................................................ 618 Αναφορές κεφαλαίου 6.4 ............................................................................................................................................................................ 620 Αναφορές κεφαλαίου 6.5 ............................................................................................................................................................................ 621

Αναφορές του επιλόγου (μέρος 7) ................................................................................................................................................................... 621


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 12/622

ΠΡΟΛΟΓΟ1

ΑΑΘΘΩΩ τέλειωνα τη συγγραφή της τρίτης ή τέταρτης χειρόγραφης έκδοσης του

βιβλίου πριν λίγο καιρό, σκεφτόμουν πολύ πάνω σε ένα πιθανό τίτλο. Σίτλοι όπως

(α) «Οι κβαντικές πύλες της κόλασης», (β) «Η κβαντική συνύφανση αριθμού και

σύμπαντος», (γ) «Η μαθηματική μυθιστορία των κβαντικών υπολογιστών», ή το (δ) «Από

το ένα ή μηδέν προς το ένα και μηδέν» πέρασαν από το νου μου. Ο πρώτος τίτλος

απορρίφθηκε διότι θύμιζε υπερβολικά τίτλο βιβλίου της δεκαετίας του ‘50 με θέμα

την ατομική ενέργεια. Παρά την απόρριψη του τίτλου, είναι βαθιά πεποίθησή μου, και πρέπει να το

επισημάνω ευθύς εξαρχής, ότι η πρώτη χώρα στο κόσμο που θα κατασκευάσει ένα κβαντικό υπολογιστή

γενικής ή ειδικής χρήσης, θα σχοινοβατεί στο ολοκαύτωμα. Και κάτι τέτοιο πιστεύω ότι θα συμβεί μέχρι το

πολύ το τέλος του πρώτου τρίτου του εικοστού πρώτου αιώνα (δηλαδή άντε δεκαπέντε με είκοσι χρόνια

ακόμη). Ο κβαντικός υπολογιστής θα είναι πολύ ισχυρός πόρος στα χέρια ενός μόνο κράτους, και οι

ανισορροπίες που θα δημιουργήσει η ενδεχόμενη μονομερής κατασκευή του, θα είναι τόσο επικίνδυνες, όσο

ήταν οι πυρηνικές ισορροπίες τρόμου την εποχή του ψυχρού πολέμου.

Ο δεύτερος τίτλος απορρίφθηκε διότι δίνει περισσότερη έμφαση στον αριθμό από ότι θα ήθελα σε αυτό το

κείμενο, και εμπεριέχει και περισσότερες μεταφυσικές διαστάσεις από όσες θα ήθελα να προτείνω, πολύ

περισσότερες μάλιστα και από το πρώτο τίτλο. Ο τρίτος τίτλος είναι κοντύτερα από όλους μέχρι τώρα στο

κείμενο του βιβλίου, αλλά δεν καταδεικνύει το ότι συζητώ αρκετά και τα κλασσικά πράγματα μαζί με τα

κβαντικά. Ο τέταρτος τίτλος είναι ακριβής αλλά υπονοεί πολλά, τόσα πολλά που ξεπερνάνε κατά πολύ αυτά

που θα μπορούσα να πω σε ένα τόμο 500 σελίδων.

Έτσι φτάνουμε στο τίτλο του βιβλίου: «Η Υέρουσα Πληρότητα». Ο τίτλος αυτός αναφέρεται βεβαίως άμεσα

στην «πληροφορία», ως κάτι που φέρει πληρότητα. Και αυτό είναι μια επιθυμητή διάσταση του τίτλου. Η

ουσία όμως της θέσης του βιβλίου, και που ανακλάται πιστεύω στο τίτλο του, είναι το εξής: Είναι η ίδια η φύση

του (φυσικού) κόσμου αυτή που υπό κατάλληλες (φυσικές) προϋποθέσεις φέρει στον (υπο) λογισμό την πλήρωση. Η

φέρουσα πληρότητα λοιπόν, η κβαντική πληρότητα, αυτή για την οποία θα μιλήσουμε στο βιβλίο, φέρει την

τελείωση του λογισμού, οδηγεί τον λογισμό στην απύθμενα συμπαγή και πλήρη μορφή του, σε εκείνη τη

1 Μέρος του προλόγου και του επιλόγου δημοσιεύθηκε στις 2-8-2004 σαν άρθρο στο ένθετο πληροφορικής eWorking της εφημερίδας «Η Ναυτεμπορική».

ΚΚ


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 14/622

μορφή που η φύση του όντος ταυτίζεται με τη θέση αυτού σαν ο θεωρητικός κόσμος να συνυφαίνεται με τον

φυσικό. Η (νοητή) θέση του κόσμου, μικρό μέρος της οποίας είναι και ο μικρότερος από κάθε άποψη

υπολογισμός, όπως για παράδειγμα το ταπεινό «ένα και ένα», ταυτίζεται με την ίδια την φύση του κόσμου, τη

φύση του «ένα», και την φύση του «και». «Ένα και ένα» πια, είναι το «ένα και ένα» και όχι απλά η αναπαράστασή του.

Η Επιστήμη της Κβαντικής Πληροφορίας, ή Quantum Information Science, [1], ή καλύτερα, Κβαντική

Πληροφορική, είναι ένας εξαιρετικά νέος επιστημονικός χώρος που πιστεύω ότι σύντομα θα προκαλέσει

επαναστατικές αλλαγές στην επιστήμη και στην τεχνολογία. Εμπλέκει τους χώρους της Επιστήμης

Τπολογιστών, των Μαθηματικών, των Επικοινωνιών, των φυσικών μετρήσεων ακριβείας, και της θεμελιακής

κβαντικής φυσικής και στοχεύει στο να κατανοήσει πως ορισμένοι θεμελιακοί νόμοι της φυσικής που έχουν

ανακαλυφθεί στις αρχές του 20ου αιώνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βελτιώσουν δραματικά την

συλλογή, μετάδοση και επεξεργασία της πληροφορίας. Οι ρίζες της Κβαντικής Πληροφορικής δεν πάνε πίσω

ούτε 25 χρόνια, όταν πρωτοπόροι όπως ο Charles Bennett, ο Paul Benioff, ο Richard Feynman και άλλοι,

άρχισαν να στοχάζονται τι σημαίνει και τι επάγει ο συνδυασμός της κβαντικής μηχανικής και της κλασσικής

αρχέτυπης υπολογιστικής μηχανής του Turing. Γρήγορα, εξαιρετικά γρήγορα από την άποψη του ιστορικού

χρόνου, οι «επί της αρχής» αυτές σκέψεις οδήγησαν σε θαυμαστά επαγόμενα, μερικά εκ των οποίων θα

συζητήσουμε διεξοδικά στο βιβλίο.

Οι εξαιρετικές επιστημονικές ευκαιρίες που προσφέρει η Κβαντική Πληροφορική έλκουν το ενδιαφέρον μιας

συνεχώς αυξανόμενης κοινότητας επιστημόνων και μηχανικών, και έχουν δημιουργήσει πρωτοφανείς

διεπιστημονικές αλληλεπιδράσεις σε παραδοσιακά αποκομμένους μεταξύ τους χώρους. Πέραν όμως της

ακαδημαϊκής διάστασης του θέματος, πρέπει να γίνει σαφές στο μυαλό του καθένα ότι οι πρόοδοι στην

Κβαντική Πληροφορική θα γίνονται ολοένα και πιο κρίσιμες για την ανταγωνιστικότητα και κυριαρχία χωρών

σε παγκόσμιο επίπεδο στον αιώνα που μόλις άρχισε. Όπως στις αρχές του 20ου αιώνα η Κβαντική Φυσική έφερε

επαναστατικές αλλαγές στην επιστήμη, στην τεχνολογία και στην κοινωνία, έτσι φαίνεται ότι, ξανά, στις αρχές του 21ου

αιώνα, πάλι ο ίδιος ηθοποιός, δανειζόμενος (ή κατακτώντας, αν προτιμάτε), τη χλαμύδα της πληροφορίας, θα

πρωταγωνιστήσει στις εξελίξεις στην παγκόσμια επιστημονική σκηνή, ενώ πολύ πιθανό είναι να αλλάξει για πάντα και την

φιλοσοφική θεώρηση και πολιτική δομή του κόσμου.

Η Κβαντική Πληροφορική άρχισε την εκρηκτική της εξέλιξη περί τα μέσα της δεκαετίας του 1990 σαν

συνέπεια πολλαπλών και διαφορετικών επιτυχιών: Ο Peter Shor [4] έδειξε ότι ένας κβαντικός υπολογιστής θα

μπορούσε να παραγοντοποιήσει πολύ μεγάλους αριθμούς υπέρ-αποτελεσματικά, κάνοντας έτσι εν δυνάμει

ανασφαλή πολλά δημοφιλή κρυπτογραφικά συστήματα. την βιομηχανία ημιαγωγών συνειδητοποίησαν ότι η

πρόοδος των CPU με βάση το νόμο του Moore θα φτάσει σύντομα τα κβαντικά όρια και θα υπάρξει ανάγκη

ριζικών αλλαγών στην σχετική τεχνολογία. Εξελίξεις στις πειραματικές φυσικές επιστήμες παρήγαγαν


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 15/622

παγιδευμένα ατομικά ιόντα, εξελιγμένες οπτικές κοιλότητες, κβαντικές τελείες, και άλλα πολλά που έδειξαν ότι

πολύ σύντομα θα κατασκευαστούν σύνθετα κβαντικά λογικά στοιχεία. Παράλληλα, η ανάγκη για απόλυτα

ασφαλείς επικοινωνίες οδήγησε τους ερευνητές σε μεθοδολογίες κβαντικής κρυπτογραφημένης επικοινωνίας

που είναι, ούτε λίγο ούτε πολύ, απόλυτα απαραβίαστες!

Η πληροφορική, τις τελευταίες δεκαετίες, τροφοδοτείται σταθερά από καινοτομίες στην σμίκρυνση των

ηλεκτρονικών κυκλωμάτων που επιτρέπουν στην απόδοση των υπολογιστών να διπλασιάζεται περίπου κάθε 18

μήνες σε ελεύθερη ερμηνεία του νόμου του Moore. Για παράδειγμα [2], ο Pentium II στα 300MHz του 1997

είχε 7,5 εκατομμύρια τρανζίστορ, και ο Pentium IV του 2000 έτρεχε στο 1,5GHz και είχε 42 εκατομμύρια

τρανζίστορ. ήμερα, δεν ξέρω πόσες δεκάδες εκατομμύρια τρανζίστορ έχει ο Xeon, αλλά σε διαφήμιση στη

εφημερίδα βλέπω φτηνό μηχανάκι για το πλατύ κοινό με Pentium IV στα 3GHz. Τπάρχουν ενδείξεις ότι ο

νόμος του Moore θα ισχύει για τουλάχιστον έξι με οκτώ ακόμη χρόνια. Αλλά, σε λιγότερο από 10 χρόνια η

σμίκρυνση αυτή θα «χτυπήσει» στις ατομικές διαστάσεις, απαιτώντας νέο επιστημονικό παράδειγμα [3] αν

θέλουμε η «πρόοδος» να συνεχιστεί με τους ρυθμούς που έχουμε συνηθίσει. τα πλαίσια αυτά, πολύ σκέψη

και μακρόπνοος σχεδιασμός έχουν ήδη αφιερωθεί στις δυσκολίες σχεδίασης και κατασκευής αντικειμένων και

μηχανισμών στην ατομική κλίμακα, στο πεδίο που γενικά είναι γνωστό σαν νανοτεχνολογίες. Παρόλα αυτά,

είναι εδώ και καιρό γνωστό ότι τα άτομα και άλλα μικροσκοπικά αντικείμενα ακολουθούν μια φυσική η οποία

σε πολλές πλευρές της αγνοεί επιδεικτικά την κοινή λογική. Για παράδειγμα, η παρατήρηση και μόνο ενός

ηλεκτρονίου παρενοχλεί την κίνησή του, ενώ η μη παρατήρησή του το κάνει να συμπεριφέρεται σαν να

διαχέεται και να βρίσκεται σε πολλά διαφορετικά μέρη ταυτόχρονα. Μέχρι πριν δέκα περίπου χρόνια, τέτοιου

τύπου κβαντικά φαινόμενα εθεωρούντο κυρίως ένα τεχνολογικό (αλλά και φιλοσοφικό) πρόβλημα, ένα

ενόχλημα, που έκανε τους νανομηχανισμούς, για παράδειγμα, να είναι λιγότερο αξιόπιστοι από ότι οι

κλασσικοί μηχανισμοί. Αυτό που είναι πολύ νέο, και που επιπλέον κάνει την Κβαντική Πληροφορική ένα

μοναδικά ομογενές επιστημονικό και τεχνολογικό πεδίο, παρόλο που ακουμπά σε πολλές επιστήμες, είναι η

συνειδητοποίηση ότι τα κβαντικά φαινόμενα όχι μόνο δεν είναι μία ενόχληση, αλλά μπορούν να τεθούν στην

υπηρεσία σημαντικών – και μέχρι τώρα ανέφικτων – διεργασιών χειρισμού πληροφορίας. Ήδη τα κβαντικά

φαινόμενα έχουν χρησιμοποιηθεί στην δημιουργία άσπαστων κρυπτογραφιών, και, ένας κβαντικός

υπολογιστής, μόλις κατασκευαστεί, θα μπορεί εύκολα να υλοποιεί υπολογισμούς που με τους σημερινούς

υπέρ-υπολογιστές θα χρειαζόμασταν χρόνο μακρύτερο και από την ηλικία του ηλιακού μας συστήματος!

Ο τρόπος με τον οποίο τα κβαντικά φαινόμενα επιταχύνουν τους υπολογισμούς δεν έχει να κάνει με κάποια

έξυπνη ποσοτική βελτίωση στο υλικό ή στο λογισμικό, όπως είναι π.χ. η επιτάχυνση που προκύπτει από την

παράλληλη επεξεργασία. χετίζεται περισσότερο με ένα ποιοτικό άλμα στην ίδια την ουσία του υπολογισμού,

όπως, περίπου, η ευκολία που κερδίζει κάποιος στο να υπολογίζει χρησιμοποιώντας τα γνωστά δεκαδικά

σύμβολα, αντί ενός συστήματος που θα είχε π.χ. μόνο ένα ψηφίο! Για πρώτη φορά στην ιστορία, η φυσική μορφή


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 16/622

της πληροφορίας έχει ουσιαστικά ποιοτικό, αντί για απλά και μόνο ποσοτικό, αντίκτυπο στην αποτελεσματικότητα του

χειρισμού της.

Και μόνο για αυτό τον λόγο, η Κβαντική Πληροφορική, πέρα από τις σημαντικές τεχνολογικές συνέπειές της,

είναι ένας πνευματικά διεγερτικός χώρος με πολύ προχωρημένες συνέπειες για τις βασικές φυσικομαθηματικές

επιστήμες τόσο θεωρητικά όσο και πειραματικά. Ήδη παρέχει μία νέα γλώσσα για την περιγραφή του πως

«δουλεύει» η φύση, και νέους τρόπους σκέψης για ένα ευρύτατο σύνολο επιστημονικών και τεχνικών

προβλημάτων. Όπως με κάθε επαναστατικό επιστημονικό άλμα, οι μακροχρόνιες επιπτώσεις του δεν μπορούν να

καθοριστούν με ακρίβεια, αλλά υπάρχει μια διάχυτη βεβαιότητα ότι η Κβαντική Πληροφορική θα φέρει άλματα που θα

είναι από τα σημαντικότερα όλων των εποχών!

Είναι σαφές ότι ένα βιβλίο που ασχολείται με θέματα που είναι τώρα στο μέτωπο της έρευνας θα βασίζεται

ισχυρά σε papers και διατριβές και λιγότερο σε βιβλία που είναι για την ώρα λιγοστά. Τπάρχει αναλυτική

βιβλιογραφία στο τέλος και σε πολλά σημεία γίνεται ξεκάθαρη αναφορά σε συζητήσεις πρωτότυπων εργασιών

που ακολουθούμε στενά και στη δική μας συζήτηση. Παρότι η επιλογή και παρουσίαση κάποιων θεμάτων (και

όχι κάποιων άλλων), και το βάθος ανάπτυξής τους είναι δική μου επιλογή, η εκπαιδευτική παράθεση,

αντιπαράθεση και η αλληλο-ενίσχυσή τους επίσης, παρά ταύτα έχω βασισθεί σε εργασίες σημαντικών και

πρωτοπόρων ερευνητών για την ανάπτυξή τους, και αυτό είναι κάτι που συνεχώς θα τονίζω. Εργασίες

επιστημόνων όπως ο Steane, η Aharonov, o Peres, o Deutch, ο Preskill, ο Vedral, o DiVincenzo, ο Bacon,

o Ekert, o Shepelyansky, ο Zeilinger, έχουν φωτίσει ισχυρά το δρόμο που ακολουθούν τα μέρη 4, 5 και 6

μέσα στο τεράστιο επιστημονικό δάσος της Κβαντικής Πληροφορικής.

Προαπαιτούμενες γνώσεις για το βιβλίο δεν χρειάζονται πολλές. Αναγκαία μόνο είναι πολύ βασικά

μαθηματικά πράγματα όπως π.χ. τι είναι αριθμός, τι είναι γωνία, τι είναι σύνολο, το Πυθαγόρειο θεώρημα,

ρίζες, δυνάμεις, και μια λίγο πιο προχωρημένη γνώση που αφορά στα πολύ βασικά στοιχεία συναρτήσεων,

παραγώγισης, και ολοκλήρωσης αυτών. Κατά τα άλλα μέσα στο βιβλίο αναπτύσσονται τα περισσότερα

μαθηματικά εργαλεία που χρειαζόμαστε. Φρησιμοποιούμε τους bold χαρακτήρες για να δηλώσουμε

διανύσματα, π.χ. z. Ανοιχτοί κεφαλαίοι χαρακτήρες, π.χ. , δηλώνουν τελεστές, μήτρες, ή σύνολα. Θα είναι

ξεκάθαρο από τη συζήτηση περί τίνος θα πρόκειται. Ο σχηματισμός «:=» χρησιμοποιείται για να ορίσουμε

κάτι στα αριστερά του με ότι ακολουθεί δεξιά του, και το αντίστροφο για το σχηματισμό «=:». Η ύπαρξη και

των δύο ασύμμετρων συμβόλων βοηθά πολύ στη ροή του λόγου μιας συζήτησης και απλοποιεί την έκφραση

μαθηματικών σκέψεων. Πληρέστερος πίνακας με επεξηγήσεις συμβόλων υπάρχει στο τέλος του προλόγου.

το μέρος 1 του βιβλίου αναπτύσσονται, αρκετά αναλυτικά, τα βασικά νοηματικά και μαθηματικά εργαλεία

της κβαντικής φυσικής χρησιμοποιώντας ένα πολύ γνωστό φυσικό φαινόμενο: το φως. το μέρος 2


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 17/622

συζητιούνται στοιχεία υπολογιστικής και αλγορίθμων. το μέρος 3, αναπτύσσεται η κλασσική θεωρία της

πληροφορίας και των επικοινωνιών. Σα τρία πρώτα μέρη (και τα κεφάλαια 6.1 και 6.2) συμπυκνώνουν την

γνώση μέχρι τις αρχές του 1980. το μέρος 4 αναπτύσσεται η Κβαντική Πληροφορική (που αφορά κυρίως σε

γνώση της τελευταίας πενταετίας του εικοστού αιώνα). το μέρος 5 (που αφορά κυρίως σε γνώση της πρώτης

πενταετίας του εικοστού πρώτου αιώνα) συζητάμε τον κβαντικό υπερυπολογιστή, και όταν με το καλό φτάσετε

εκεί, τότε θα καταλάβετε γιατί του αφιερώνουμε ένα ολόκληρο μέρος του βιβλίου. το μέρος 6, εισάγεται η

σχετικότητα στη συζήτηση και φέρνει για άλλη μια φορά τα πάνω κάτω. υζητιέται λίγο και η κβαντική

βαρύτητα σε σχέση με τη κβαντική πληροφορία. Σο τελευταίο μέρος, ειδικά από το κεφάλαιο 6.3 και πέρα,

παίζει και ένα ρόλο ανασκόπησης των περισσότερων που έχουμε πει στο βιβλίο.

Δεν ήταν πάντως δυνατό να γίνει το βιβλίο αυτόνομο και ακριβές χωρίς τα τρία πρώτα μέρη. Επίσης, από μία

άποψη, θα ήταν ομαλότερο να εξαντλούσα πρώτα την συζήτηση περί των κλασικοτήτων (κλασσική

υπολογιστική, κλασσικές επικοινωνίες, κλπ), μετά να προχωρούσα στην κβαντική μηχανική και στη συνέχεια

στη κβαντική πληροφορική. Αντί για κάτι τέτοιο ξεκινώ με την κβαντική μηχανική, συζητώ διεξοδικά την

αναγκαία μαθηματική γλώσσα, μετά πηγαίνω στις κλασικότητες και μετά καταλήγω στη κβαντική

πληροφορική. Αντί, κατά κάποιο τρόπο, να εξελίξω γραμμικά τη συζήτηση, πραγματοποιώ ένα άλμα και έτσι

αναγκάζω τον αναγνώστη να μπει κατ΄ ευθείαν «στα βαθιά», μετά να ξεκουραστεί λίγο, και τελικά να διασχίσει

ακόμη βαθύτερες κβαντικές θάλασσες. Για να μπορέσει να με παρακολουθήσει ο αναγνώστης θα πρέπει να

συνηθίσει στο μεταβαλλόμενο βάθος του βυθού και να μη το φοβάται. Είναι βέβαιο ότι κάτι τέτοιο δεν θα

γίνει εύκολα, και ίσως κανείς πρέπει να διαβάσει και δεύτερη φορά κάποια κεφάλαια. Δεν μπορώ να υποσχεθώ

ότι λέω τελικά κάτι ενδιαφέρον, άσχετα αν το πιστεύω σφόδρα, ούτε μπορώ να υποσχεθώ ότι το λέω με

ενδιαφέροντα τρόπο, πράγμα για το οποίο ποτέ δε θα είμαι σίγουρος. Σο μόνο που υπόσχομαι είναι ότι έχω

παλέψει για να μην υπάρχουν λάθη σε ότι λέω, να είναι οι συζητήσεις όσο πιο πλήρεις είναι δυνατό, και να

δίνω πάντα το δίκαιο credit σε όσων ερευνητών τη δουλειά έχω βασισθεί σε κάθε κεφάλαιο. Με δεδομένο το

ετερόκλητο του αναγνωστικού κοινού, είναι σχεδόν βέβαιο ότι οι μισοί αναγνώστες θα δυσανασχετούν από τις

πολλές επεξηγήσεις και οι άλλοι μισοί επειδή δεν θα εξηγώ αρκετές λεπτομέρειες.

Ελπίζω πάντως ακόμη και ο δυσαρεστημένος αναγνώστης μου να γοητευτεί αρκετά από την πρωτογενή

ομορφιά των θεμάτων που πραγματεύονται τα τρία πρώτα μέρη ώστε να παραμείνει στο μονοπάτι που

χαράσσουν και να φτάσει στα τρία τελευταία, άσχετα με την όποια ικανότητα ή ανικανότητά μου στην

ανάπτυξη των συλλογισμών μου. Εκεί ελπίζω να μην τρομάξει με την απεραντοσύνη του δάσους που θα

συναντήσει και να καθίσει νηφάλια να στοχαστεί τις θαυμαστές και τρομακτικές συνέπειες της Κβαντικής

Πληροφορικής.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 18/622


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 19/622

ΤΜΒΟΛΟ ΕΡΜΗΝΕΙΑ

:= Ορίζεται να είναι

=: Ορίζει το

Σαυτίζεται. Εναλλακτικά μπορεί να γραφεί :=:

=, , Ίσο, διάφορο, περίπου ίσο

>, , <, Μεγαλύτερο, Μεγαλύτερο – ίσο, Μικρότερο, Μικρότερο - ίσο

Ανάλογο. Εναλλακτικά μπορεί να γραφεί

Σανυστικός πολλαπλασιασμός

Άθροισμα

Γινόμενο

Ολοκλήρωμα

, Γνήσιο Τποσύνολο, Τποσύνολο

, Ένωση, Σομή

{ } Αγκύλες συνόλου

, Ανήκει, Δεν ανήκει

Ισοδυναμεί

υνεπάγεται

x y Ceiling του αριθμού x, δηλ. 5.7 =6 floor του αριθμού y, δηλ. 5.4 =5.

|x| Απόλυτη τιμή αριθμού x , μήκος συμβολοσειράς x

A, Μήτρα, τελεστής

a, a Διάνυσμα, μοναδιαίο διάνυσμα.

|a| Μήκος διανύσματος

, , , , ύνολα αριθμών: Υυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, πραγματικοί, μιγαδικοί

H Φώρος Hilbert

[ , ] Μεταθέτης ή εναλλάκτης

Σείνει, κανόνας παραγωγής γραμματικής , μετασχηματισμός

Τπάρχει

Για κάθε

Ανάδελτα, τελεστής παραγώγισης

Παραγώγιση, σύνορο πεδίου

Άπειρο

Μέση τιμή

|x Άνυσμα x

|| x || Μήκος ανύσματος x

Λογικό XOR (exclusive or)

Λογικό AND

Νόμος αντικατάστασης, πράξη assignment σε γλώσσες προγραμματισμού

Μετασύμβολο: Περικλείει παράδειγμα

[k], [n.k] Μετασύμβολο: Περικλείει αναφορά k στη βιβλιογραφία. τη μορφή n.k το n αναφέρεται σε κεφάλαιο.

[ ] Μετασύμβολο: Περικλείει άσκηση

Ανάσες. Φωρίζουν υποκεφάλαια εντός υποκεφαλαίων, εκεί όπου δεν υπήρχε δικαιολόγηση για ξέχωρη τιτλοδότηση και αριθμοδότηση

Πίνακας συμβόλων κειμένου


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 20/622

ΤΜΒΟΛΟ ΣΙΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ

c 299 792 458 m s-1 Η τιμή της ταχύτητας του φωτός (m meter, s second).

e 1, 602 18 X10-19 C

Η απόλυτη τιμή του φορτίου του ηλεκτρονίου (C Coulomb).

k B 1, 380 66 X10

-23 J K-1 Η σταθερά του Boltzmann (J Joule, K Kelvin).

/h 1, 054 57 X10-34 J s Η σταθερά του Plank h διαιρεμένη με 2π.

Ν Α 6, 022 14 X10

23 mol-1 Ο αριθμός Avogadro (mol γραμμομόριο).

m e 9, 109 39 X10

-31 Kgr Η μάζα του ηλεκτρονίου (Kgr kilogram).

m p 1, 672 62 X10

-27 Kgr Η μάζα του πρωτονίου.

m n 1, 674 93 X10

-27 Kgr Η μάζα του νετρονίου.

G 6, 67 X10-11 m3 Kgr-1 s-2 Η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας.

μ B 9, 274 02 X10

-24 J T-1

Η μαγνετόνη του Bohr (T Tesla). ημειώστε ότι

μ B = (e /h)/(2m

e).

ℓP 1, 62 X10-35 m Σο μήκος Plank. ημειώστε ότι ℓP = h/G/c3.

tP 5, 39 X10-44 s Ο χρόνος Plank. ημειώστε ότι tP = ℓP/c.

Πίνακας φυσικών σταθερών. Σημειώστε την χρήσιμη για μετατροπές ταυτότητα: 1 J s = 1 m2 Kgr s-1.

ΤΜΒΟΛΟ ΣΙΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ

ρ gal ≈ 3X10

-28 Kgr m

-3 Πυκνότητα μάζας σύμπαντος λόγω των γαλαξιών

ρ rad ≈ 10

-3 ρ

gal

Πυκνότητα μάζας σύμπαντος λόγω της ισοτροπικής background radiation (microwave radiation)

to ≈ 1010 years Ηλικία σύμπαντος (1 year = 3,1X10

7 sec)

Πίνακας προσεγγιστικών τιμών φυσικών ποσοτήτων

dxn

dx = n xn-1

xn dx =

xn+1

n+1

1x dx = ln|x|

cos(x) dx = sin(x)

ex = 1 + x +

x2

2! + x

3

3! + …

f(x+h) = f(x) + h f′(x) + h

2

2! f′′(x) + h

3

3! f′′′(x) + … με f′(x) := dfdx, f′′(x) :=

d2f

dx2 , …

Πίνακας απλών μαθηματικών τύπων


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 21/622

f femto

p pico

n nano

μ micro

m milli

c centi

d deci

X10-15 X10

-12 X10

-9 X10

-6 X10

-3 X10

-2 X10

-1

K kilo

M Mega

G Giga

T Tera

P Peta

E Exa

Z Zeta

X103 X10

6 X10

9 X10

12 X10

15 X10

18 X10

21

Πίνακας προθεμάτων

Ακτίνες γ Ακτίνες Φ Τπερ-ιώδεις

Ορατό φάσμα

Τπερυθρο Μικρο-κύματα

Ραδιο-κύματα

Μήκη κύματος

φωτονίου, λ

10-11 –

10-14 m

10-8 –

10-11 m

4X10-7 –

10-8 m

8X10-7 –

4X10-7 m

10-4 –

4X10-7 m

1 – 10-4 m

10-3 m και

πέρα

Ενέργεια ηλεκτρονίου,

ΔΕ 10

6 eV 10

3 eV 10 eV 1 eV 10

-1 eV 10

-4 eV 10

-8 eV

Πίνακας Ηλεκτρομαγνητικού Φάσματος. Η ενέργεια διέγερσης/αποδιέγερσης του ηλεκτρονίου σχετίζεται ως ΔΕ = hv = hc/λ με το μήκος κύματος του φωτονίου

Πίνακας Αναφορά

εντός κειμένου

ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ

1.1 Κεφ. 1.2 Τιμές των εσωτερικών γινομένων των ανυσμάτων διαφορετικών βάσεων μεταξύ τους

1.2 Κεφ. 1.2 Ο πίνακας 1.1 με χρήση κβαντοϋπολογιστικών μητρών

1.3 Κεφ. 1.3 Οι μήτρες του Pauli και οι αντίστοιχες ιδιοβάσεις

2.1 Κεφ. 2.5 Η πράξη της μονόμπιτης άθροισης

4.1 Κεφ. 4.14 Στοιχεία για GaAs κβαντικές τελείες

4.2 Κεφ. 4.14 Τρεις τεχνολογίες κβαντικής πληροφορικής και τα χαρακτηριστικά τους

5.1 Κεφ. 5.1 Οι πιο γνωστές οικογένειες ισχυρά συνυφασμένων καταστάσεων

6.1 Κεφ. 6.1 Θέματα συμφωνίας / διαφωνίας δύο παρατηρητών σε σχετική σταθερή κίνηση μεταξύ τους

Πίνακας πινάκων κειμένου


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 22/622

Πειραματικά δεδομένα

Αναφορά εντός

κειμένου ΠΕΡΙΓΡΑΥΗ

Π.Δ.1 Κεφ. 1.2.2 H ολική ενέργεια ηλεκτρομαγνητικού κύματος συχνότητας ω δεν μπορεί να λάβει

οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας h/ ω (κβάντο ενέργειας).

Π.Δ.2 Κεφ. 1.4

Aν ένα φωτόνιο κινούμενο προς την z-κατεύθυνση απορροφηθεί από άλλη μάζα Μ, τότε η

z-συνιστώσα της στροφορμής της μάζας Μ ή αυξάνει κατά h/ ή μειώνεται κατά h/ . Ποτέ

δεν παραμένει αμετάβλητη, ούτε ποτέ μεταβάλλεται κατά ποσότητα που διαφέρει από το

± h/ . Επιπλέον, δεν μπορούμε να προβλέψουμε αν η μεταβολή της z-συνιστώσας της

στροφορμής θα είναι κατά + h/ ή κατά - h/ .

Π.Δ.3 Κεφ. 1.7

Στον ασβεστίτη, για φως κόκκινου χρώματος, ο δείκτης διάθλασης n o για την Ο (ordinary)

δέσμη είναι περί τα 10% μεγαλύτερος του δείκτη n e για την Ε (extraordinary) δέσμη. Αυτό

σημαίνει ότι η Ε δέσμη ταξιδεύει γρηγορότερα μέσα στο υλικό από ότι η Ο (σημειώστε πως

v = c/n). Άρα, για τυχαία πολωμένο φως που ταξιδεύει κατά την z-διεύθυνση η σχετική

φάση των Ο και Ε συνιστωσών του θα μεταβάλλεται καθώς θα βρίσκεται μέσα στο υλικό.

Έτσι, όταν το φως θα εγκαταλείψει το υλικό θα βρίσκεται σε μία κατάσταση πόλωσης

διαφορετική από αυτή που είχε όταν συνάντησε το υλικό.

Π.Δ.4 Κεφ. 1.9

Τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, τα νετρόνια και πολλά άλλα σωματίδια (π.χ. φωτόνια,

νετρίνα), χαρακτηρίζονται από ένα είδος στροφορμής που ονομάζουμε ιδιοστροφορμή, ή,

σπιν. O κβαντικός αριθμός της ιδιοστροφορμής, μπορεί να λαμβάνει ακέραιες (π.χ. το σπιν

του φωτονίου είναι 1) και ημιακέραιες τιμές (π.χ., το σπιν του ηλεκτρονίου είναι 1/2).

Π.Δ.5 Κεφ. 1.10

Το πείραμα είναι απόλυτα συμβατό με την καμπύλη του σχήματος 1.35. Στις 22.5 μοίρες,

έχουμε τη πειραματική τιμή γ = 2,700 0,015. Ξεκάθαρα πολύ μεγαλύτερη του 2.

Επιπλέον, όλες οι μετρήσεις του Aspect πέφτουν με μεγάλη ακρίβεια πάνω στην θεωρητική

καμπύλη. Είναι ξεκάθαρο ότι ένα πραγματικό πείραμα συνηγορεί υπέρ της Κβαντικής

μηχανικής και όχι υπέρ της προσέγγισης του Einstein.

Πίνακας πειραματικών δεδομένων


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 23/622

ημαντικές πρωτότυπες εργασίες, χρονολογικά

1931: K. Goedel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,

Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173-198.

1935: A. Einstein, P. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum Mechanical description of physical reality be

considered complete?, Phys. Rev., 47, 777-780.

1937: A. Turing, On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem, Proc. Lond.

Math. Soc. (Ser. 2), 42, 230-265, a correction: 43, 544-546.

1948: C. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, The Bell System Technical Journal, Vol.

27, pp. 379-423, 623-656, July, October 1948.

1964: J. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics, 1, 195-200.

1966: J. Bell, On the problem of hidden variables in quantum theory, Revs. Mod. Phys., 38, 447-452.

1980: P. Benioff, The Computer as physical system: a microscopic quantum mechanical hamiltonian model

of computers as represented by Turing machines, Journal of Statistical Physics, 22, 563-591.

1982: W. Wooters, W. Zurek, A single quantum cannot be cloned, Nature, 299, 802-803.

1982: A. Aspect, P. Grangier, G. Roger, Experimental Realization of Einstein Podolsky Rosen Bohm

Gedankenexperiment: a new violation of Bell’s inequalities, Phys. Rev. Lett., 48, 91-94.

1982: R. Feynman, Simulations of Physics with Computers, Int. J. Theor. Phys., 21 (6/7), 407-488.

1985: R. Feynman, Quantum Mechanical Computers, Optics News, Feb, 11-20.

1985: D. Deutch, Quantum Theory and the Church-Turing principle and the universal quantum computer,

Proc. Roy. Soc. London A400, 97-117.

1986: R. Feynman, Quantum Mechanical Computers, Found. Phys., 16(6), 507-531.

1994: P. Shor, in Proc. 35th Ann. Symp. Foundations of Computer Science (ed. Goldwasser, S.), 124,

IEEE Computer Society, Los Alamitos, CA, 1994.

1997: L. Grover, Phys. Rev. Lett. 79, 325.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 24/622

ΜΕΡΟ 1: ΚΒΑΝΣΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ

«To me math is just the fundamental tool of philosophy, it’s a way to work out ideas, to flesh them out, to

build models to understand! As Leibnitz said, without math you cannot really understand philosophy,

without philosophy you cannot really understand mathematics, and with neither of them, you can’t really

understand a thing! Or at least that’s my credo, that’s how I operate»,

Gregory Chaitin, in «Meta Math!: The quest for Omega», page xii, Pantheon Books, New York, 2005.

Κεφάλαιο 1.1

Βασικά στοιχεία της γλώσσας της συζήτησής μας

1.1.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Ένα απλό και γνωστό φυσικό φαινόμενο, η πόλωση του φωτός, θα μας βοηθήσει να κατανοήσουμε μερικές

από τις σημαντικότερες ιδιομορφίες του κβαντικού κόσμου. Υως που κινείται κατά την κατεύθυνση z, (στα

πλαίσια της κλασσικής περιγραφής) περιγράφεται από ένα διάνυσμα E(r,t) ηλεκτρικού πεδίου της μορφής:

E(r,t) = E x(r,t) x + E

y(r,t) y + 0 z (1.1 - 1α)

αφού το ηλεκτρικό πεδίο2 του κύματος, αλλά και το μαγνητικό πεδίο B, είναι κάθετα στην κατεύθυνση προς

την οποία κινείται το κύμα. Αυτό είναι ένα επίπεδο Η.Μ. κύμα.

2 Η ποσότητα Ε(r,t) ορίζει, για την χρονική στιγμή t, ένα «διανυσματικό πεδίο». Δηλαδή σε κάθε θέση r ενός φυσικού χώρου , ορίζεται ένα διάνυσμα Ε.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 26/622

Σχήμα 1.1. Ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Οι παράλληλες επιφάνειες

υποδηλώνουν το κινούμενο μέτωπο του κύματος κατά τη κατεύθυνση z.

το Γκαουσιανό σύστημα μονάδων ισχύει: B = Ε , και

B = z x E (1.1 - 1β)

δηλαδή B x = -E

y, B

y = E

x. (Άρα, όταν ξέρουμε το Ε, ξέρουμε και το B.)

Η σχετικιστική κβαντομηχανική, περιγράφει το ίδιο κύμα με το άνυσμα κβαντικής κατάστασης του

τετρανυσματικού πεδίου |Aμ όπου το τετράνυσμα |ε

μ (k) περιγράφει τη πόλωση του κύματος:

|Aμ = |ε

μ (k) e

-i( )ωt-kTr

(1.1 - 2)

Επειδή όμως στο σημείο αυτό μεγάλο ποσοστό των αναγνωστών δε θα μπορεί να παρακολουθήσει την

εξέλιξη της συζήτησης (όσοι μπόρεσαν πάνω από 80%, τότε ας πηδήξουν στο κεφάλαιο 1.2), πριν συνεχίσω με

τη πόλωση και τις κβαντικότητες πρέπει να μιλήσω και για κάποιες κλασικότητες, ώστε, ακόμη και αν η

πρωτογενής δυσκολία των θεμάτων παραμείνει ισχυρή, τουλάχιστον η συζήτησή μας να είναι σαφής και χωρίς

«τρύπες». σο και αν θέλω να μιλήσω για το Bauhaus, πρέπει να πω πρώτα λίγες κουβέντες για τον

Παρθενώνα. Δεν γίνεται αλλιώς!

Θα αρχίσουμε με λίγα βασικά για τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, αυτά που κάποτε όλοι κάναμε

στο λύκειο, θα προχωρήσουμε στους ανυσματικού χώρους, και περνώντας γρήγορα από τους τελεστές και τις


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 27/622

μήτρες θα τελειώσουμε το κεφάλαιο 1.1 με τους μιγαδικούς αριθμούς και τους μετασχηματισμούς Fourier.

Από όλα αυτά τα τεράστια θέματα θα συζητήσουμε μόνο εκείνα τα στοιχεία που μας αφορούν για την

συνέχεια του βιβλίου. Έτσι, παίρνοντας μια βαθιά ανάσα, ας κάνουμε το πρώτο μακροβούτι.

1.1.2 Διανύσματα

Ένα διάνυσμα a μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά από ένα βέλος μήκους a, a = |a|, που ξεκινά από ένα

σημείο Ο (δικής μας επιλογής), και καταλήγει – ακολουθώντας την «σωστή» κατεύθυνση στο χώρο – στο

σημείο P (πάλι δικής μας επιλογής).

Σχήμα 1.2. Τυπικό σκαρίφημα διανύσματος.

Εάν, γενικότερα, το σημείο Ο είναι το σημείο «μηδέν» των αξόνων ενός δεξιόστροφου τρισορθογώνιου

συστήματος συντεταγμένων, με άξονες Ox, Oy, Oz, τότε, σημείο P, εντοπίζεται από τις τρεις συνιστώσες του,

δηλαδή: a = a x x + a

y y + a

z z. Σα διανύσματα με το «καπελάκι» εκφράζουν τα μοναδιαία διανύσματα. Σα

συγκεκριμένα μοναδιαία διανύσματα ορίζουν το ίδιο το σύστημα συντεταγμένων, είναι διανύσματα βάσης:

κάθε διάνυσμα του χώρου μπορεί να εκφρασθεί με χρήση αυτών.

Σχήμα 1.3. Ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και μια τυπική αναπαράσταση διανύσματος.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 28/622

την συγκεκριμένη περίπτωση θεωρούμε ότι όλα έχουν την αρχή τους στο μηδέν των αξόνων και το καθένα

τελειώνει στην θέση 1 του κάθε άξονα. Αποδεχόμενοι και ακολουθώντας αυτή την σύμβαση, παρατηρούμε ότι

ένα διάνυσμα ορίζεται πλήρως από τρεις αριθμούς, π.χ., a x = x, a

y = y, a

z = z, τις συντεταγμένες, τις οποίες

συνήθως γράφουμε σε μία στήλη,

a =

xyz

. (1.1 - 3α)

Γράφουμε επίσης και

aT = (x y z), (1.1 - 3β)

δηλαδή το σύμβολο Σ σημαίνει ότι κάνουμε τις στήλες γραμμές (και το ανάποδο).

Προσοχή τώρα! Κάθε διατεταγμένη τριάδα αριθμών δεν αντιστοιχεί σε διάνυσμα. Πρέπει η τριάδα αυτή, ή

πιο σωστά «το σύνολο των τριάδων που είναι τα διανύσματα» να έχει κάποιες επιπλέον ιδιότητες:

(α) Να υπάρχει εντός του συνόλου το διάνυσμα μηδέν, 0, με 0 + p = p, (που έχει και τις τρεις συντεταγμένες

του μηδέν).

(β) Να υπάρχει εντός του συνόλου το γινόμενο πραγματικού αριθμού με διάνυσμα. Δηλαδή το λp, είναι

διάνυσμα που δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με το p, αν λ>0, προς την αντίθετη αν λ<0, έχει μήκος λ

φορές μεγαλύτερο, δηλαδή λp = λ p (και έχει συντεταγμένες λp x, λp

y, λp

z).

(γ) Να υπάρχει εντός του συνόλου το άθροισμα p + q (διάνυσμα με συντεταγμένες p x+q

x, p

y+q

y, p

z+q

z).

Μια ωραία ερώτηση τώρα είναι η ακόλουθη: εάν ξέρουμε τις συντεταγμένες, πως βρίσκουμε το μήκος ενός

διανύσματος? Για διευκόλυνσή μας, ορίζουμε μια νέα οντότητα, το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Σο

γινόμενο αυτό είναι μία κάπως παράξενη οντότητα διότι είναι βαθμωτό μέγεθος (δηλαδή αριθμός). Με άλλα

λόγια παίρνουμε δύο διανύσματα και από αυτά παράγουμε κάτι που δεν είναι διάνυσμα, αλλά απλός αριθμός!

Από έξι συνολικά αριθμούς, παράγουμε μόνο έναν! Να πως το γράφουμε και πως το υπολογίζουμε:


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 29/622

pTq := ( )p x p

y p

z

q x

q y

q z

= p xq

x + p

yq

y + p

zq

z. (1.1 - 4)

Προφανώς

pTq = qTp.

Προσοχή όμως pTq qpT. Σο δεύτερο γινόμενο δεν είναι αριθμός αλλά μήτρα (σύντομα θα μελετήσουμε τις

μήτρες για όσους δεν τα θυμούνται), η μήτρα:

q x p

x

q y p

x

q z p

x

q x p

y

q y p

y

q z p

y

q xp

z

q y p

z

q z p

z

Δεν θα έπρεπε μάλιστα να χρησιμοποιήσουμε καν το σύμβολο της μη-ισότητας, αλλά κάποιο σύμβολο μη-

ομοιότητας, αφού δεξιά και αριστερά του συμβόλου υπάρχουν οντότητες διαφορετικής φύσης.

Μια ενδιαφέρουσα ποσότητα που μπορούμε άμεσα να παράγουμε είναι το εσωτερικό γινόμενο ενός

διανύσματος με τον εαυτό του! Έχουμε:

pTp = p xp

x + p

yp

y + p

zp

z = p

2x + p

2y + p

2z, (1.1 - 5)

το οποίο γράφουμε p2 αλλά και p2. Λοιπόν, που καταλήξαμε? Με πολύ λίγη γεωμετρική φαντασία,

παρατηρώντας τα ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται από το p και τους τρεις άξονες του συστήματος

συντεταγμένων, και ενθυμούμενοι τον Πυθαγόρα, συνειδητοποιούμε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των

συντεταγμένων ενός διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του. Δηλαδή

p 2 = p2 = p2, (1.1 - 6)

από όπου

p = p := pTp. (1.1 - 7)


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 30/622

Κοιτάξτε τώρα κάτι ακόμη ενδιαφέρον. Έχουμε δει ότι, γενικά, a = a xx + a

yy + a

zz. Έτσι, το εσωτερικό

γινόμενο των a, x, δηλαδή το xTa θα δώσει 1 a x + 0 a

y + 0 a

z = a

x, αφού οι συντεταγμένες του xΣ είναι εξ

ορισμού (1,0,0), του yΣ είναι (0,1,0) και του zΣ είναι (0,0,1). Και επίσης, yTa = a y και zTa = a

z. Δηλαδή το

εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος με τα μοναδιαία διανύσματα της βάσης από-δίδει τις συντεταγμένες του

διανύσματος. Έτσι, μπορούμε να γράφουμε

a = x( )xTa + y( )yTa + z( )zTa (1.1 - 8)

Με άλλα λόγια, το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος a με ένα διάνυσμα βάσης προβάλλει το a πάνω στον

άξονα που αντιστοιχεί το διάνυσμα βάσης και μας δίδει έτσι την συντεταγμένη που αντιστοιχεί.

[Άσκηση 1.1 - 1: Ξαναγράφοντας την σχέση (1.1 - 8) λίγο πιο φορμαλιστικά, ως a = ( )xxT + yyT + zzT a,

επιβεβαιώστε ότι όντως 1 = ( )xxT + yyT + zzT . Αν δεν θυμάστε τις πράξεις με μήτρες, επιστρέψτε σε αυτή

την άσκηση μετά το υποκεφάλαιο 1.1.4.]

Η προβολικότητα αυτή ισχύει και πιο γενικά με το εσωτερικό γινόμενο. Έτσι το pTq = qTp μας δίδει την

προβολή του p στο q και την (ίση) προβολή του q στο p.

Εδώ κάτι συμβαίνει! Η μόνη βαθμωτή οντότητα που μπορεί να ορίζουν δύο διανύσματα, και να έχει αυτή την

ιδιότητα ισοδυναμίας στην θέαση, είναι η μεταξύ τους γωνία. Έστω λοιπόν ότι τα διανύσματα p και q καθώς

ξεκινούν από το μηδέν των αξόνων ορίζουν μεταξύ τους μία γωνία θ. Ας βρούμε ποια είναι αυτή.

Σχήμα 1.4. Η μόνη βαθμωτή οντότητα που μπορεί να ορίζουν δύο διανύσματα, και να έχει

την ιδιότητα ισοδυναμίας στην θέαση, είναι η μεταξύ τους γωνία.

Πρώτα από όλα, ας θυμηθούμε τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. χεδιάζουμε ένα ορθογώνιο


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 31/622

τρίγωνο με κορυφές στα σημεία Α (το οποίο είναι απέναντι από την πλευρά α), B (το οποίο είναι απέναντι από

την πλευρά β), C (το οποίο είναι απέναντι από την πλευρά γ), έχει την ορθή γωνία του στη κορυφή C.

Προφανώς υποτείνουσα είναι η πλευρά γ και οι α, β οι δύο κάθετες.

Σχήμα 1.5. Μία προβολή, αφορά στον τρόπο με τον οποίο μια υποτείνουσα

θα σκιάσει την ευθεία στην οποία ανήκει μια εκ των κάθετων πλευρών.

Ορίζουμε λοιπόν, ημίτονο της γωνίας Α (που βρίσκεται υπό την κορυφή Α) την ποσότητα

sinA := αγ =

απέναντι κάθετηυποτείνουσα (1.1 - 9)

συνημίτονο της Α την ποσότητα

cosA := βγ =

προσκείμενη κάθετηυποτείνουσα (1.1 - 10)

και εφαπτομένη της Α την ποσότητα

tanΑ := αβ =

απέναντι κάθετηπροσκείμενη κάθετη (1.1 - 11)

Έρχεται λοιπόν εδώ κάποιος και, κάνοντας την αντίστροφη σκέψη, βλέπει ότι μία προβολή, αφορά στον

τρόπο με τον οποίο μια υποτείνουσα θα σκιάσει την ευθεία στην οποία ανήκει μια εκ των κάθετων πλευρών,

έστω η κάθετη πλευρά β. Έτσι {προβολή της γ} = β = γcosA. το συγκεκριμένο παράδειγμα «φωτίζουμε»

από το δεξί πλάι της σελίδας. Θα μπορούσαμε να «φωτίζαμε» από το «πάνω» μέρος της σελίδας, οπότε η

«σκιά» θα ήταν η πλευρά α (ίση με γcosΒ).

Σο μήκος της προβολής, έτσι, του p επί της ευθείας που ορίζει το q είναι p cosθ.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 32/622

Σχήμα 1.6. Προβολή ενός διανύσματος επί ενός άλλου.

Η κοινή αρχή του p και του q και τα δύο τέλη τους είναι τρία σημεία που ορίζουν ένα επίπεδο. Μπορεί

λοιπόν κανείς, να στρέψει στο χώρο το σύστημα συντεταγμένων που έτυχε να χρησιμοποιεί μέχρι εκείνη τη

στιγμή, έτσι ώστε το επίπεδο αυτό να ταυτιστεί με το επίπεδο που ορίζουν οι άξονες {x, y}. Σότε, όλες οι

συνιστώσες στον τρίτο άξονα θα είναι μηδέν. Η στροφή αυτή επηρεάζει αρκετά τις αριθμητικές τιμές των

συνιστωσών, αλλά δεν επηρεάζει την γενικότητα αυτού που θέλουμε να δείξουμε με τον συλλογισμό αυτόν.

Σχήμα 1.7. Ταιριάζοντας το επίπεδο xy με το επίπεδο που ανήκουν τα δύο διανύσματα,

απλοποιεί τις πράξεις χωρίς να επηρεάζει την γενικότητα της συζήτησης.

το νέο επίπεδο xy (βλ. σχ. 1.7), η γωνία θ θα δίνεται, πολύ απλά, ως θ = θ p-θ

q . Έτσι, cosθ = cos θ

p-θ

q =

cos(θ p-θ

q) = cosθ

p cosθ

q + sinθ

p sinθ

q. Σις τελευταίες δύο ισότητες θα αποδείξουμε λίγο παρακάτω, στο


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 33/622

υποκεφάλαιο 1.1.5 για όσους δεν τις θυμούνται. Έτσι, πολλαπλασιάζοντας με pq αριστερά και δεξιά,

βλέπουμε ότι: pqcosθ = pcosθ p qcos θ

q + psinθ

p qsinθ

q. Δηλαδή, «σαν από θαύμα», pqcosθ = p

xq

x+p

yq

y.

Από την τελευταία ισότητα συνάγουμε την ακόλουθη σχέση, η οποία ισχύει γενικότερα και στις τρεις

διαστάσεις: pTq = p q cosθ. Η γωνία λοιπόν στο χώρο, μεταξύ δύο διανυσμάτων δίδεται από την σχέση

cosθ = pTq

p q (1.1 - 12)

Η ομορφιά της (1.1 - 12) έγκειται στο ότι βρίσκουμε το συνημίτονο μιας γωνίας αποκλειστικά και μόνο από

συντεταγμένες (έξι αριθμοί) και χωρίς άλλη χρήση τριγωνομετρίας.

Βρίσκουμε αμέσως ότι δύο κάθετα μεταξύ τους διανύσματα θα έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν.

Η χρησιμότητά του εσωτερικού γινομένου είναι αρκετά ευρύτερη από το να βρίσκουμε μήκη διανυσμάτων ή

γωνίες μεταξύ αυτών. Πολλές φυσικές οντότητες, ορίζονται με χρήση αυτού. τη μηχανική για παράδειγμα,

το έργο W που παράγει μια δύναμη F που δρα σε αντικείμενο και το μετακινεί σε μήκος d, είναι W = FTd.

Με τη βοήθεια του εσωτερικού γινομένου μπορούμε επίσης να περιγράψουμε ευθείες στο επίπεδο, βλέπε

σχήμα 1.8, όπου rT ^ n = p, ή ισοδύναμα η1x + η2y = p. Σο μόνο που χρειάζεται να ξέρουμε είναι οι

συντεταγμένες του κάθετου στην ευθεία μοναδιαίου διανύσματος, και την απόσταση της ευθείας από το μηδέν

των αξόνων. Ομοίως στις τρεις διαστάσεις ορίζουμε επίπεδες επιφάνειες στο χώρο.

Σχήμα 1.8. Η πλαγιαστή ευθεία του σχήματος υπακούει στην εξίσωση: η1x + η2y = p.

Θα κλείσουμε την σύντομη συζήτηση για τα διανύσματα με τον ορισμό του εξωτερικού (ή διανυσματικού)

γινομένου των διανυσμάτων p και q. Σο αποτέλεσμα του γινομένου αυτού είναι ένα νέο διάνυσμα s, μόνο που


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 34/622

είναι ένα διάνυσμα κάθετο στα δύο που το παρήγαγαν, είναι «έξω» δηλαδή από το επίπεδο των p και q, και

έχει μήκος |s| = p q sinθ. Γράφουμε

s = p q. (1.1 - 13)

Δεδομένου ότι το s μπορεί να ακολουθεί μία εκ δύο δυνατών κατευθύνσεων, υπάρχει η συμφωνία ώστε η

κατεύθυνση του s να είναι τέτοια ώστε τα τρία διανύσματα {p,q,s} να σχηματίζουν δεξιόστροφο σύστημα. To

εξωτερικό γινόμενο έχει την παράξενη ιδιότητα

p q = - q p. (1.1 - 14)

Γενικά, p q = 0 εάν το p είναι παράλληλο του q. Για τις συνιστώσες του εξωτερικού γινομένου ισχύει

p q = (pyqz - pzqy) x + (pzqx - pxqz) y + (pxqy - pyqx) z. (1.1 - 15)

Παρατηρείστε πως το πλην εμφανίζεται στις διατάξεις «zxy», «xyz», και «yxz», ενώ οι διατάξεις «yzx», «zxy»,

και «xyz», έχουν συν. Εάν φανταστείτε ένα κύκλο χωρισμένο σε τρία ίσα μέρη, στα σημεία «x», «y», «z», τότε

οι δεξιόστροφες ακολουθίες των «x», «y», «z», με όποιο εκ των τριών ως σημείο εκκίνησης, είναι οι παραπάνω

διατάξεις με το συν, και οι αριστερόστροφες είναι με το πλην στην (1.1 - 15). Η «στροφικότητα» αυτή είναι

ενδογενής στο εξωτερικό γινόμενο. Μια φυσική ποσότητα με έντονη στροφικότητα είναι η στροφορμή, η

οποία για παράδειγμα, ορίζεται ως

L := r p, (1.1 - 16)

όπου p η ορμή και r ή θέση ενός κινητού σημείου (ως προς το σημείο μηδέν, Ο, κάποιου συστήματος

συντεταγμένων). αν άλλο παράδειγμα, πειστείτε ότι x y = z, και πειστείτε και για τις άλλες δύο σχέσεις

που υπολείπονται. α τελευταίο παράδειγμα, θυμηθείτε και την σχέση (1.1 - 1β).

[Άσκηση 1.1 - 2: Δείξτε ότι (a+b) c = a c + b c.]

1.1.3 τοιχεία ανυσματικών χώρων και γραμμικών τελεστών

Γενικά, διάνυσμα και άνυσμα σημαίνει το ίδιο. το βιβλίο αυτό θα επιλέξουμε να ονομάσουμε διανύσματα

εκείνο το υποσύνολο των ανυσμάτων που αφορά τα τρισδιάστατα διανύσματα της φυσικής που κάναμε στο


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 35/622

λύκειο, και για τις γενικεύσεις τους, που θα συζητήσουμε στο παρόν υποκεφάλαιο, θα χρησιμοποιήσουμε τον

όρο άνυσμα.

Ένας ανυσματικός χώρος n, είναι ένα σύνολο στοιχείων ψ1 , ψ2 , ... = { ψi }, που καλούνται ανύσματα και

για τα οποία οι πράξεις της πρόσθεσης μεταξύ τους και του πολλαπλασιασμού με αριθμό (που θα ορίσουμε

λίγο παρακάτω) ισχύουν. Ο όρος «άνυσμα» λοιπόν, στα πλαίσια του παρόντος χρησιμοποιείται με ένα

αφηρημένο τρόπο και είναι η γενίκευση όσων έχουμε πει για τα διανύσματα, στη περίπτωση περισσότερων

από τριών διαστάσεων, ακόμη και άπειρων διαστάσεων.

Τπό μία αυστηρά μαθηματική σκοπιά, ένας «χώρος» είναι ένα σύνολο στοιχείων (ανύσματα, σημεία,

συναρτήσεις, ή άλλες αφηρημένες οντότητες) για τα οποία έχουν οριστεί κάποιες μαθηματικές πράξεις. Θα

καλούμε λοιπόν «ανυσματικό χώρο», τον χώρο των στοιχείων (ανύσματα) για τα οποία έχουν ορισθεί και

ισχύουν, (για όλα αυτά τα στοιχεία), οι ακόλουθες σχέσεις:

α Πρόσθεση ανυσμάτων

1. Για όποια δύο ανύσματα ψi , ψk υπάρχει το άθροισμα ψi + ψk μέσα στον n, έτσι ώστε:

ψi + ψk = ψk + ψi .

2. Για τα ψi , ψj και ψk του n, υπάρχει το ψi + ( ψj + ψk ) στον n, τέτοιο ώστε:

ψi + ( ψj + ψk ) = ( ψi + ψj ) + ψk .

3. Τπάρχει ένα μοναδικό άνυσμα 0 (το μηδενικό), στον n, τέτοιο ώστε:

ψ + 0 = ψ για κάθε ψ του n.

4. Για κάθε άνυσμα ψ στο n, υπάρχει ένα μοναδικό άνυσμα - ψ στο n, τέτοιο που

ψ + (- ψ ) = 0 .

β Πολλαπλασιασμός ανυσμάτων με βαθμωτό και η φύση της ονομασίας του μηδενός

5. Για τα ανύσματα ψi και ψk του n, υπάρχουν τα ανύσματα α( ψi +ψk ), (α+β) ψi και α(βψi ) στο n,

τέτοια που:


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 36/622

α( ψi + ψk ) = α ψi + α ψk ,

(α + β) ψi = α ψi + β ψi ,

και

α (β ψi ) = (αβ) ψi ,

όπου τα α και β είναι δύο βαθμωτά μεγέθη, πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί (περί μιγαδικών, υπομονή, λίγες

σελίδες παρακάτω θα τους εξηγήσουμε).

6. Επίσης ισχύουν: 0 ψ = 0 και 1 ψ = ψ .

ημειώστε ότι τα δύο «μηδέν» δεν είναι τα «ίδια» στη πρώτη σχέση.

Σημαντική παρατήρηση: Η παραπάνω σημείωση ακουμπά ένα σημαντικό θέμα περί της φύσης του μηδενός και

περί της φύσης της ονομασίας του μηδενός, που καλό είναι να την ξεδιαλύνουμε από νωρίς.

Παρατηρείστε πως κάθε τι που γράφουμε εντός του σχηματισμού είναι μια ονομασία, μια ετικέτα, μια

ετικέτα κλασσικής πληροφοριακής φύσης εκτός της καθαυτό φύσης του ανύσματος . πως π.χ το ίδιο

διάνυσμα α μπορώ να το γράψω και άλφα ή α . Σο ίδιο λοιπόν θα ήταν να γράφαμε ---- αλφα αντί α , και

----

μηδέν

αντί για 0 για το 0. Απλά πρέπει να ξέρουμε από οντολογική άποψη ποιο είναι το μηδέν μας και μετά του

βάζουμε ότι ετικέτα θέλουμε! Σο «οντολογικό» μηδέν για παράδειγμα του χώρου των διανυσμάτων είναι το

διάνυσμα 0, με ιδιότητα 0 + p = p, (που έχει και τις τρεις συντεταγμένες του μηδέν, όπως έχουμε ξαναπεί).

Έτσι θα δούμε αργότερα, στα μέρη 4 και 5 του βιβλίου, ετικέτες που δεν θα ταυτίζονται πάντα με τη φύση του

ανύσματος που θα καταλογογραφούν. Για παράδειγμα, θα έχουμε ανύσματα με την ετικέτα μηδέν που δεν θα

είναι μηδενικά! Μόνο το άνυσμα « μηδέν » με την ιδιότητα: ψ + μηδέν = ψ , για κάθε ψ , θα είναι το

οντολογικό ανυσματικό μηδέν! Σο μηδέν μάλιστα δεν αντιστοιχεί σε φυσική κατάσταση στην κβαντική μηχανική.

Θα πρέπει άρα να ξεκαθαρίσουμε τι εννοούμε όταν, και γιατί, θα επιλέγουμε να έχουμε ένα 0 που δεν θα

είναι το μηδέν . Γενικά θα το κάνουμε διότι έτσι θα απλοποιούμε και θα συμπυκνώνουμε πράξεις κβαντικής

πληροφορικής. Θα έχουμε για παράδειγμα τρόπο να κάνουμε εξαιρετικά γρήγορα κβαντικές πράξεις που τα

αποτελέσματά τους θα είναι (υπό ένα ορισμένο πρίσμα) ισοδύναμα με κλασσικές πράξεις επί των κλασσικών

ετικετών τους! Θα έχουμε για παράδειγμα την ικανότητα να εκτελούμε ταχύτατα, σε ένα τικ του ρολογιού, το

+1+1+1…+1 -1-1-1…-1 (οι τρεις τελείες υπονοούν π.χ πέντε χιλιάδες άσους!) και να λαμβάνουμε το 0

χωρίς απαραίτητα το αποτέλεσμα να είναι το μηδέν , θα ανακτούμε παρά ταύτα το κλασσικό 0 μέσα από την

ετικέτα, και θα είμαστε ευτυχείς, γιατί εμείς τη κλασσική πράξη με τους δέκα χιλιάδες άσους θέλαμε να

πράξουμε.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 37/622

Κρατήστε ισχυρά στη θύμηση σας αυτή τη παρατήρηση. Οι ετικέτες θα είναι πάντα κλασσικές. Θα μας

ενημερώνουν. Σα κανάλια ενημέρωσής μας είναι κλασσικά, έτσι, για να αντλήσουμε τη πληροφορία που ο

κβαντικός κόσμος θα επεξεργάζεται για χάρη μας, θα πρέπει να το κάνουμε με κλασσικό τρόπο.

γ Γραμμική ανεξαρτησία

Ένα σύνολο n ανυσμάτων { ui } λέγεται ότι είναι γραμμικά εξαρτημένο αν υπάρχει ένα αντίστοιχο σύνολο μη-

μηδενικών βαθμωτών {αi}, τέτοιο που

α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0 (1.1 - 17)

Εάν όμως ισχύει η ισοδυναμία (όπου και το{βi}είναι σύνολο βαθμωτών):

β1 u1 + β2 u2 +...+ βn un = 0 {β1=0 και β2=0 και ... και βn=0} (1.1 - 18)

αυτό σημαίνει ότι τα{ ui }είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Έτσι για παράδειγμα οι τρεις κάθετοι άξονες του

τρισορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων μπορούν να φέρουν π.χ. τρία διανύσματα, ένα σε κάθε άξονα,

που είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητα, ενώ κάθε πακέτο τριών διανυσμάτων που ανήκουν σε ένα επίπεδο, θα

είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένα.

δ Διάσταση ενός ανυσματικού χώρου

Ένας ανυσματικός χώρος καλείται n-διάστατος, αν περιέχει ακριβώς n γραμμικά ανεξάρτητα ανύσματα. τη

περίπτωση αυτή θα γράφουμε Dim( n) = n. Ένας ανυσματικός χώρος καλείται απειροδιάστατος αν υπάρχει

ένα άπειρα μεγάλο (αλλά αριθμήσιμο) πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων ανυσμάτων. Με άλλα λόγια, σε ένα

απειροδιάστατο χώρο, πάντα θα βρίσκουμε ένα άνυσμα που θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο από όποιο

πεπερασμένο σύνολο-πακέτο επιλέγουμε.

Εάν κάθε τυχαίο άνυσμα φ του n μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμικός συνδυασμός ενός συγκεκριμένου

συνόλου ανυσμάτων { ui } ως

φ = α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un (1.1 - 19)

όπου τα {αi}είναι βαθμωτά, τότε λέμε ότι τα συγκεκριμένα { ui } καλύπτουν τον ανυσματικό χώρο n.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 38/622

Κάθε σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων ανυσμάτων που καλύπτουν τον ανυσματικό χώρο καλείται βάση του χώρου. Για

παράδειγμα τα μοναδιαία διανύσματα x, y, z, είναι βάση του τρισδιάστατου διανυσματικού χώρου του

φυσικού χώρου που κινούμαστε. Παρατηρήστε όμως ότι και το πακέτο: x, y' (= 2y), z, μπορεί να είναι εξίσου

καλή βάση όπου όμως τώρα όλες οι νέες συντεταγμένες y’ θα είναι οι μισές παλιές y. Σέτοιες οργανωμένες και

καλά ορισμένες ολιστικές πράξεις θα τις λέμε αργότερα μετασχηματισμούς βάσεων.

ε Εσωτερικό γινόμενο και Ευκλείδειοι χώροι

Ένας ευκλείδειος χώρος n είναι ένας ανυσματικός χώρος n στον οποίο όμως επιπλέον, έχει ορισθεί και

εσωτερικό γινόμενο. Σο εσωτερικό γινόμενο δύο ανυσμάτων ψ και φ γράφεται γενικά ως ψ φ και ισχύουν

για αυτό τα ακόλουθα (λ, μ μιγαδικοί αριθμοί)

ψ ψ > 0, για ψ 0 (1.1 - 20α)

ψ ψ = 0, αν ψ = 0 (1.1 - 20β)

ψ (λ φ +μ ξ ) = λ ψ φ + μ ψ ξ (1.1 - 20γ)

Η νόρμα, ή μήκος ενός ανύσματος τώρα, μπορεί να ορισθεί ως

ψ ψ := ψ ψ (1.1 - 21)

Εάν η (1.1 - 21) σας θυμίζει την (1.1 - 7), αυτό δεν είναι βεβαίως τυχαίο.

Εάν για ένα δεδομένο σύνολο ανυσμάτων { ψi } του n το εσωτερικό τους γινόμενο ανά δύο είναι ίσο με

μηδέν,

ψi ψj = 0 για i j και ψi 0 , ψj 0 , i, j = 1, 2, …, n. (1.1 - 22)

τότε το σύνολο αυτό καλείται ορθογώνιο. Εάν επιπλέον η νόρμα των ανυσμάτων του συνόλου αυτού είναι

μονάδα,

ψi = 1, i=1, 2, …, n, (1.1 - 23)

τότε το σύνολο λέγεται ορθοκανονικό.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 39/622

στ Φώροι Hilbert

Για να είναι ένας Ευκλείδειος χώρος n πλήρης, επιβάλλεται, κάθε ακολουθία ανυσμάτων ψk στον

n για την

οποία ισχύει:

ψi – ψk 0 για i και k ,

(η ακολουθία αυτή καλείται ακολουθία Cauchy), να συγκλίνει σε ένα όριο ψ* μέσα στον n. Δηλαδή:

ψk ψ* για k .

Κάθε Ευκλείδειος χώρος πεπερασμένης διάστασης, που ορίζεται πάνω σε βαθμωτά στοιχεία, είναι πλήρης.

Αυτό οφείλεται στο ότι τα σύνολα των πραγματικών αριθμών και των μιγαδικών είναι πλήρη. Ο

απειροδιάστατος χώρος των συναρτήσεων όμως, για παράδειγμα, που ορίζονται σε ένα διάστημα (a,b), δεν

είναι πλήρης. Για να γίνει πλήρης προσθέτουμε το περιορισμό της τετραγωνικής ολοκληρωσιμότητας των

συναρτήσεων (που θα δούμε αργότερα θα ερμηνεύεται και ως συνθήκη μη απειριζόμενης πιθανότητας, όταν οι

εν λόγω συναρτήσεις θα είναι κβαντικές κυματοσυναρτήσεις στη συζήτηση του υποκεφαλαίου 1.9)

Αυστηρά, ένας πλήρης και απειροδιάστατος Ευκλείδειος χώρος, καλείται χώρος Hilbert 3. Έχει επικρατήσει πάντως

γενικότερα ως ονομασία και για Ευκλείδειους χώρους πεπερασμένης διάστασης (που είναι αυτόματα και

πλήρεις), και μάλιστα, πιο συνηθισμένα, για μιγαδικούς Ευκλείδειους χώρους. υνήθως γράφουμε H για ένα

χώρο Hilbert.

Είδαμε ότι το εσωτερικό γινόμενο αναπαρίσταται από το σχηματισμό bra-ket: φ ψ , τα ανύσματα τύπου φ

καλούνται bra, και τα ανύσματα τύπου ψ καλούνται ket. Σι είναι τώρα τα ανύσματα bra?

Αν φ =

φ1

φ2

…φn

τότε φ := ( )φ1* φ2

* … φn

* (1.1 - 24α)

όπου το αστεράκι στο φj* συμβολίζει τον μιγαδικό συζυγή της συντετσγμένης φj. Παρατηρείστε ότι η σχέση

3 David Hilbert, 1862 – 1943.


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 40/622

(1.1 - 24α) είναι απόλυτα συμβατή με την (1.1 - 3β), μόνο που εκεί είχαμε πραγματικούς αριθμούς (τα x, y, z,

κλπ) όπου εκεί ο μιγαδικός συζυγής π.χ. του x ταυτίζεται με τον αριθμό x. Τπό κάθε οπτικό πρίσμα λοιπόν η

(1.1 - 24α) περικλείει και την (1.1 - 3β). Ισχύει

ψ φ = φ ψ* (1.1 - 24β)

Η συμβολογραφία των bra-kets οφείλεται στον P. A. M. Dirac [15].

Προσέξτε ότι αν στη βάση (1.1 - 19) γράψουμε

φ = φ1 u1 + φ2 u2 + ... + φn un

θα έχουμε και

φ = φ1* u1 + φ2

* u2 + ... + φn* un (1.1 - 25)

Αυτό που είναι αξιοσημείωτο εδώ είναι τώρα ότι, αν είναι ορθοκανονική η βάση { ui }, τότε

φ φ = φ1*φ1 u1 u1 + φ2

*φ2 u2 u2 + ... + φn*φn un un =

= φ1*φ1 + φ2

*φ2 + ... + φn*φn (1.1 - 26)

σχέση επίσης απόλυτα συμβατή με την (1.1 - 5). υνήθως οι βάσεις στο βιβλίο αυτό θα είναι ορθοκανονικές.

ημειώστε μια αξιόλογη ισότητα τώρα, αντίστοιχη της (1.1 - 8). Αν { ui }ορθοκανονική βάση, τότε:

φ = u1 φ u1 + u2 φ u2 + ... + un φ un

Αν η σχέση αυτή γραφτεί λίγο διαφορετικά, δηλαδή

φ = ( u1 u1 + u2 u2 + ... + un un ) φ

δεν έχουμε παρά να συνάγουμε ότι


ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 2010. 41/622

= u1 u1 + u2 u2 + ... + un un . (1.1 - 27)

όπου οι οντότητες uj uj καλούνται προβολικοί τελεστές και θα τους συζητήσουμε πολύ εκτεταμένα

αργότερα. Η σχέση (1.1 - 27) μαζί με τις (1.1 - 22) και (1.1 - 23), δηλαδή,

ui uj = δij (1.1 - 28)

ορίζουν τις ιδιότητες μιας βάσης (πληρότητα και ορθοκανονικότητα). υνήθως στη κβαντομηχανική

«κυνηγάμε» την πληρότητα και ορθογωνιότητα, διότι η κανονικότητα έρχεται εύκολα θέτοντας

uj uj / uj .

Σο λόγο για τον οποίο η αντικατάσταση αυτή δεν μας ενοχλεί στη κβαντική φυσική θα τον δούμε λίγο

αργότερα στο υποκεφάλαιο 1.2.2 (βλέπε σχέση (1.2 - 22)).

ζ Γραμμικοί τελεστές και το πρόβλημα ιδιοτιμών

Ένας τελεστής σε ένα ανυσματικό χώρο n είναι, στην ουσία, η συμπυκνωμένη έκφραση μιας μεθοδολογίας

τέλεσης πράξεων επί κάθε ανύσματος ψ του n προς εξαγωγή ενός αποτελέσματος φ , ανύσματος επίσης του

n: φ = ψ . (Γενικότερα, το αποτέλεσμα φ μπορεί να ανήκει σε διαφορετικό διανυσματικό χώρο, αλλά

δεν θα ασχοληθούμε με κάτι τέτοιο στο βιβλίο αυτό).

Για τελεστές και που θα χαρακτηρίζουμε γραμμικούς απαιτείται να ισχύουν τα ακόλουθα:

( φ + ψ ) = φ + ψ (1.1 - 29α)

( + ) ψ = ψ + ψ (1.1 - 29β)

( ) ψ = ( ψ ) (1.1 - 29γ)

α ψ = α ψ , για α βαθμωτό. (1.1 - 29δ)

ημειώστε ότι σε αντίθεση με τα βαθμωτά μεγέθη, δύο τελεστές δεν μετατίθενται πάντα, δηλαδή το δεν

είναι πάντα ίσο με το . Η διαφορά - που γράφεται συμβολικά [ , ]

[ , ] := - (1.1 - 30)

Η ΥΥέροουυσσαα...

Documents