ԹԻՎ 5 (113), 2017թ.

«МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке «MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ Համլետ Միքայելյան ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑՈՒՄ ՖԻՆԱՆՍԱԿԱՆ ԲԱՂԱԴՐԻՉԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԸ. ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ-8 ............................ 3 Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Միքայելյան Մ. Ա.,Կիրակոսյան Ն. ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴԻՄՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՆՐԱՆՑ ՇՓՎՈՂԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ, ՆՅԱՐԴԱՅԻՆ ԿԱՅՈՒՆՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԵՎ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ .......................................................................... 17 Ռիտա Չիչոյան ԼԵԶՎԱԿԱՆ ՀՄՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ...................................... 30 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Ալվարդ Հակոբյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԱՎՈՐՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ՏԵՔՍՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑ ............................................ 41 Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն Անժելիկա Հակոբյան ՕԺԱՆԴԱԿ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄ ՊԱՀԱՆՋՈՂ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄ ........................................... 51 Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը Նաիրա Ղազարյան, Նաիրա Հակոբջանյան ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ 7-9-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐԻ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ՉԱՓՈՐՈՇՉԻ, ԾՐԱԳՐԻ ԵՎ ԴԱՍԱԳՐՔԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ......................................................................... 59

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№ 5, 2017Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 29 .09 .2017Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ : ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑՈՒՄ

ՖԻՆԱՆՍԱԿԱՆ ԲԱՂԱԴՐԻՉԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԸ. ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ-8

Հ. Ս. Միքայելյան

Բանալի բառեր - հանրահաշիվ, ֆինանսական կրթություն, գին, ավանդ, տոկոսադրույք, տարադրամ, կշռույթ

Նկատի ունենալով վերջին ժամանակնրում ֆինանսական կրթության նկատմամբ ՀՀ կառավարության ցուցաբերած ուշադրությունը և ԿԳ նախարարության ձեռնարկած քայլերը, ներկայացնում եմ այդ ուղղությամբ հանրահաշվի [1]-[3] դասագրքերում շարադրված իմ փորձը: Նախորդ աշխատանքում [4] ներկայացրել եմ հանրահաշվի 7-րդ դասարանի դասագրքում ֆինանսական կրթության վերաբերող նյութը: Այս աշխատանքում կանդրադառնամ «Հանրահաշիվ 8»-ին:

Ֆինանսական կրթությունը «Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ-8» դասագրքի տեսական նյութերում

Հարկ եմ համարում նախ նշել, որ այս դասագրքում ևս ես պահ-պանել եմ իմ այն մոտեցումը, որ մաթեմի դասագիրքը զուտ մաթե-մատիկական նյութի հետ միասին պետք է պարունակի նաև կիրառական բնույթի նյութեր, որոնք առարկայական են դարձնում ուսումնական այս բնագավառի վերացական նյութը և հնարավորություն են ընձեռում դասավանդմանը հաղորդել նաև արժեբանական ուղղվածություն: Եվ դա

ԿՐԹԱԿԱՆ

ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

4

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

վերաբերում է ոչ միայն տեքստային խնդիրներին, այլև տեսական նյութի շարադրմանը, որտեղ մաթեմատիկական բանաձևումին նախորդում են կիրառական որևէ ոլորտից վերցրած այնպիսի իրադրության դիտարկում, որի հանրահաշվական մոդելավորումը հանգում է մաթեմատիկական այդ բանաձևումին: Ութերորդ դասարանի հանրահաշվի ծրագրային նյութը մինչաշոտյանական նորամուծությունները ներառում էր հետևյալ հիմնա-կան բաժինները՝ ամբողջ ցուցիչով աստիճան, տրամաբանության հան-րահաշիվը, պատկերների հանրահաշիվը, մեկ փոփոխականով բազման-դամներ, գծային երկանդամ, քառակուսի արմատ: Եվ այս բաժիններից առաջինի՝ բացասական ցուցիչով աստիճանին վերաբերող մասը, տր-ամաբանության և պատկերների հանրահաշիվները ուղղված են աշակեր-տի մաթեմատիկական մշակույթի ձևավորմանը: Թեև դրանք ունեն ար-ժեքների ձևավորման մեծ ներուժ (տես [5, 6]), սակայն դրանց կիրառա-կան հնարավորությունները, մանավանդ ֆինանսների ոլորտում, շատ թույլ են: Այնուամենայնիվ, այս դասագրքի տեսական նյութերում նույնպես ֆինանսական բաղադրիչի ներկայությունը ավելի քան զգալի է:

Դասագրքում ֆինանսներին վերաբերող առաջին կարևոր մաթեմա-տիկական նյութը բարդ տոկոսի հասկացությունն ու նրա հաշվման բա-նաձևն է: Համապատասխան նյութը ընդգրկված է ամբողջ ցուցիչով աս-տիճաններին նվիրված բաժնի հանրահաշվի կիրառություններին նվիր-ված պարագրաֆում: Բերենք դասագրքի շարադրանքը (էջ 18): §2. Աստիճանի կիրառությունները: 1. Քառակուսու մակերեսը: 2. Աստի-ճանային աճ: 3. Աճման բարդ տոկոս: Մենք արդեն գիտենք, որ բանկ հանձնած գու-մարը յուրաքանչյուր տարուց հետո ավելանում է ինչ-որ տոկոսով՝ բանկի տված տոկոսադրույքի չափով: Առաջին տարին լրանալուց հետո, մեր հանձնած գումարը կավելանա, և հաջորդ տարի մենք կարող ենք ստանալ նաև այդ ավելացված քանակության տոկոսը, և այդպես յութաքանչյուր հաջորդ տարում: Բանկ հանձնած մեր սկզբնական գումարը կոչվում է մայր գումար կամ դրամագլուխ, որը բանկ հանձնելուց հետո դառնում է ավանդ և բանկի տված շահույթների հաշվին պարբերաբար ավելանում է: Ինչպե՞ս որոշենք, թե մի քանի տարի հետո ինչքան է դարձել մեր ա-վանդը: Այս խնդիրը լուծելու համարմեզ անհրաժեշտ է իմանալ բարդ կամ աստիճանային տոկոսի բանաձևը:

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

5

Դիցուք բանկ հանձնած դրամագլուխը եղել է a դրամ, իսկ բանկի տարե-կան տոկոսադրույքը p % է: Առաջին տարուց հետո a դրամագլուխը կավե-լանա p տոկոսով, այսինքն՝ ap/100 դրամով և կդառնա a+ap/100դրամ կամ, որ նույնն է, a(1+p/100) դրամ:Այսինքն՝ առաջին տարվա վերջում դրամագլուխը բազմապատկվում է 1+p/100 թվով: Դժվար չէ ցույց տալ, որ յուրաքանչյուրտարվա վերջում նույնպես առաջա-ցած ավանդը բազմապատկվում է 1+p/100 թվով: Այսպիսով՝ այստեղ մենք ունենք a թվի աստիճանային աճ աճի 1+p/100 գործակցով: Համաձայն աստիճանային աճի օրենքի՝ ո տարուց հետո բանկում մեր դրամի քանա-կությունը կլինի ∙ 1 + : Հասկանալի է, որ նկարագրված իրադրության մեջ ամենևին կարևոր չէր, որ a-ն դրամի քանակություն էր. Համանման արդյունք կստանայինք, եթե դրամի փոխարեն դիտարկեինք մեծության կամայական քանակություն: Այսպիսով՝ մենք ապացուցեցինք հետևյալ կարևոր հատկությունը: Աճման բարդ տոկոսների բանաձևը Եթե որևէ մեծության a քանակությունը յուրաքանչյուր քայլում աճում է p տոկոսով և ո քայլից հետո է դառնում, ապա = 1 + : Օրինակ՝ եթե մենք ենք հանձնել 200000 դրամ, և բանկի տարեկան տո-կոսադրույքը 5% է, ապա 3 տարուց հետո մեր գումարը կկազմի 200000 ∙ (1 + 5/100) կամ 231525 դրամ:

Ֆինանսներին վերաբերող հաջորդ անդրադարձը կատարվում է նույն բաժնի քառակուսի արմատին վերաբերող նյութի շարադրանքում, որտեղ կարևորվում է քառակուսի արմատի անհրաժեշտությունը (էջ 32):

Ինչքա՞ն պետք է լինի բանկի տված տարեկան տոկոսադրույքը, որպեսզի հազար դոլարը երկու տարուց հետո դառնա 4000 դոլար:

Եթե նշանակենք x–ով բանկի տված տոկոսադրույքը, ապա, համա-

ձայն աճման բարդ տոկոսի բանաձևի, կունենանք՝ 1000 1 + =4000:Ստացված հավասարման մեջ նույնպես x անհայտը գտնելու համար

մենք պետք է կարողանանք գտնել այն 1 + թիվը, որի քառակուսու հազարապատիկը 4000 է, կամ՝ որի քառակուսին հավասար է 4-ի:

6

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

Տրամաբանության հանրահաշվի հետևությանը նվիրված թեմա-յում, հետևության ճշմարտային արժեքը հասկանալի դարձնելու համար նույնպես օգտագործվում է ֆինանսական ոլորտը (էջ 114): Դիտարկենք մեկ օրինակ: Դիցուք դուք ասել եք՝ եթե ես դրամ ստանամ, ապա գիրքը կգնեմ: Այս դատողությունը ≪ եսդրամստանամ ≫պայմանով և ≪ գիրքըկգնեմ ≫հետևանքով հետևություն է, և նրա ճշմա-րիտ լինելը պայմանավորված է այդ դատողությունների ճշմարիտ կամ կեղծ լինելուց: Եկեք քննարկենք վերջին դիտողությունների ճշմարիտ կամ կեղծ լինելու բոլոր հնարավոր դեպքերը: Պարզ է, որ մենք կունենանք հետևյալ հնարավորությունները.

1 2 3 4 ես դրամ կստանամ

ճշմարիտ ճշմարիտ կեղծ կեղծ

գիրքը կգնեմ ճշմարիտ կեղծ ճշմարիտ կեղծ Հասկանալի է, որ եթե դուք դրամ եք ստացել և գիրքը գնել եք, այսինքն 1 դեպքում դուք ձեր խոստումը կատարել եք, 3 դեպքում ևս չեք խաբել՝ չնայած դրամ չեք ստացել, այնուամենայնիվ գիրքը գնել եք: 4 դեպքում նույնպես չեք խաբել. Դրամ չեք ստացել՝ գիրք չեք գնել: Հետևաբար բոլոր այդ դեպքերում հետևությունը ճշմարիտ է: Մնում է 2 դեպքը, երբ դուք դրամ ստացել եք, բայց գիրքը չեք գնել, այսինքն՝ ձեր խոստումը չեք կատարել: ՈՒրեմն՝ այս դեպքում ձեր արած հետևությունը կեղծ է: Այսպիսով մենք կունենանք հետևյալ ճշմարտային աղյուսակը.

1 2 3 4 ես դրամ կստանամ

ճշմարիտ ճշմարիտ կեղծ կեղծ

գիրքը կգնեմ ճշմարիտ կեղծ ճշմարիտ կեղծ հետևությունը ճշմարիտ կեղծ ճշմարիտ ճշմարիտ

Ֆինանսական ոլորտն է օգտագործվում նաև չորրորդ գլխում՝ բազմանդամի գաղափարի կիրառական ակունքները պարզալու համար (էջ 173, 174):

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

7

Հիշու՞մ եք, թե ինչպես էր աճում գումարը ինչ-որ տոկոսադրույքով որևէ բանկ հանձնելիս: Նման դեպքերում յուրաքանչյուր տարուց հետո բանկում գոյացած գումարը մենք հաշվում էինք բարդ տոկոսների բա-նաձևով: Եթե դուք a գումարը տարեկան p տոկոսադրույքով հանձնել եք բանկ, ապա ո տարուց հետո գոյացած գումարը հաշվվում է = (1 +/100)n բանաձևով, որն էլ կոչվում է բարդ տոկոսնորի բանաձև: Իհարկե, բարդ տոկոսների բանաձևի իմացությունը կարևոր է. Այն լուծում է մեծ նշանակություն ունեցող մի խնդիր: Սակայն, սովորաբար մարդիկ մի ան-գամ գումարը բանկ հանձնելուց հետո, հանգամանքների բարեհաջող ըն-թացքի դեպքում, յուրաքանչյուր տարի բանկ են հանձնում նոր գումար: Նման դեպքերում իրավիճակը բարդանում է, գոյացած գումարի հաշվման համար բարդ տոկոսների բանաձևը այլևս բավարար չէ: Ահա նման դեպ-քերում մեզ հարկ է դիմել բազմանդամի գաղափարին: Մենք նշեցինք, որ եթե a գումարը տարեկան p տոկոսադրույքով հանձնում ենք բանկ, ապա հաջորդ տարում այն կդառնա (1 + /100), այսինքն կավելանա 1+p/100 անգամ: Այս 1+p/100 թիվը գումարի տա-րեկան աճի գործակիցն է: Նշանակենք այն x-ով: Պարզ է, որ բանկում գոյացած գումարը հաշվելու համար բավական է իմանալ կամ բանկի տված տարեկան տոկոսադրույքը կամ էլ տարեկան աճի x գործակիցը, քանի որ իմանալով դրանցից մեկը՝ կհաշվենք նաև մյուսը: իսկապես՝ x=1+p/100, p=100(x-1):

Օրինակ՝ եթե բանկի տրված տարեկան տոկոսադրույքը 25 % է, ապա աճի գործակիցը կլինի՝ = 1 + =1,4: Իսկ եթե աճի գործակիցն է 1,2, ապա տարեկան տոկոսադրույքը կլինի՝ p=100(1,2-1)=20, այսինքն 20%:

Օգտվելով տարեկան աճի x գործակցից, ավելի պարզ տեսքով կարող ենք հաշվել a գումարը հանձնելու դեպքում n տարուց հետո գոյացած գումարը. = 1 + = ∙ xn, = ∙ xn:

Այժմ դիտարկենք հետևյալ կիրառական խնդիրը: Հայրը Հայկի ծննդյան օրը յուրաքանչյուր տարի, սկսած 15 տարեկանից, նրա համար բանկ էր հանձնում այնքան հազար դրամ, որքան տարեկան էր դառնում

8

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

նա: Որքա՞ն դրամ կունենար Հայկը բանկում այն պահին, երբ նա արդեն չափահաս էր՝ լրացել էր նրա 18 տարին:

Լուծենք այս խնդիրը: Նախ պետք է նկատի ունենանք, որ Հայկի՝ բանկում ունեցած գումարի չափը կախված է բանկի տված տարեկան աճի գործակից. Ենթադրենք այն x է:

Այն պահին, երբ լրացել է Հայկի 18 տարին, նրա համար բանկ է հանձնվել 18000 դրամ: 17 տարեկանում բանկ է հանձնվել 17000 դրամ, որը տարեկան ավելանալով x անգամ, մեկ տարում, այսինքն Հայկի 18 տակին լրանալու պահին, կդառնա 17000x դրամ: 16 տարեկանում բանկ է հանձնվել 16000 դրամ, որը տարեկան ավելանալով x անգամ, երկու տարում կդառնա 16000 x2 դրամ: 15 տարեկանում բանկ է հանձնվել 15000 դրամ, որը տարեկան ավելանալով x անգամ, երեք տարում կդառնա 15000 x3դրամ: Այսպիսով՝ 18 տարեկանում Հյակը բանկում կունենա 18000+17000x +16000x2 +15000x3 դրամ: Այս արտահայտությունը պարունակում է միայն մեկ՝ x փոփոխա-կան, որի վրա չի կատարվում բաժանման գործողություն, ավելի ճիշտ՝ x-ը չի մասնակցում արտահայտության մեջ մտնող որևէ կոտորոկի հայտա-րարում: Այսպիսի հատկությամբ օժտված բազմանդամները կոչվում են մեկ փոփոխականով կամ՝ x փոփոխականով բազմանդամներ: x փոփո-խականով բազմանդամը երբեմն անվանում եմն նաև x փոփոխականից կախված բազմանդամ:

Ֆինանսական ոլորտը վերջին անգամ դասագրքում դիտարկվում է գծային երկանդամներին նվիրված բաժնում, գծային ոչ խիստ անհավա-սարումների դիտարկման անհրաժեշտությունը հիմնավորելու համար (էջ 210): Գծային ոչ խիստ անհավասարումներ: Մենք հաճախ ենք առնչվում այն-պիսի խնդիրների, որոնք հանգում են գծային ոչ խիստ անհավասարման լուծման: Բերենք մեկ օրինակ: Անուշն ուներ 1500 դրամ: Այն բանից հետո, երբ Ոսկեհատը կրկնապատ-կեց իր ունեցած դրամը և ստացավ ևս 200 դրամ, նրա ունեցած դրամի քանակությունը արդեն Անուշի դրամի քանակությունից քիչ էր: Որքա՞ն դրամ կարող էր ունենալ Ոսկեհատը:

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

9

Այս խնդիրը հանթահաշվի լեզվով ձևակերպելու համար, ինչպես սովորաբար մենք անում ենք նման դեպքերում, Ոսկեհատի ունեցած դրա-մի քանակությունը նշանակենք x տառով: Կրկնապատկելուց հետո Ոսկե-հատի ունեցած դրամի քանակությունը կլինի 2x, իսկ 200 դրամ ստա-նալուց հետո՝ 2x+200: Ըստ խնդրի պայմանի՝ այդ քանակությունը փոքր չէ Անուշի ունեցած դրամի քանակությունից՝ 1500 –ից: Այսինքն 2x+200≥1500:

Այսպիսով՝ մեր դիտարկած խնդրի լուծումը հանգեց գծային ոչ խիստ անհավասարման: Ինչպե՞ս լուծենք նման անհավասարումները:

Ֆինանսական կրթությունը «Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ-8» դասագրքի խնդիրների միջոցով

Ինչպես 7-րդ,, այնպես էլ 8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասագրքում ֆինանսներին վերաբերող յուրաքանչյուր խնդիր հանդես է գալիս մաթե-մատիկական այն նյութի շրջանակներում, որին հանգում է տվյալ խնդրի մոդելավորումը: Այդ տրամաբանությամբ էլ ներկայացնենք համապա-տասխան խնդիրները: Աստիճանի կիրառությունները 2.9. Ի՞նչ է դրամագլուխը: 2.10. Ինչքա՞ն կդառնա բանկում հանձնած դրամագլուխը ո տարուց հետո, եթե բանկի տարեկան տոկոսադրույքը p% է: 88. Մի գործատեր մեկ ամսով ձեզ առաջարկում է աշխատանք, տալով առաջին օրվա համար 1000 դրամ, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ օրվա հա-մար 1000 դրամով ավելի: Մյուս գործատերը նույն աշխատանքի դիմաց ա-ռաջին օրվա համար դարձյալ տալիս է 1000 դրամ, իսկ յուրաքանչյուր հա-ջորդ օրվա համար՝ 1,2 անգամ ավելի: Ո՞ր առաջարկը կնդունեք: 89. Առաջին աշխատանքի դիմաց առաջին օրը տալիս էին 150 դրամ, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ օրը՝ 1500 դրամով ավելի: Երկրորդ աշխատանքի դիմաց առաջին օրը տալիս էին 100 դրամ, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ օրը՝ 2 անգամ ավելի: Ո՞ր աշխատանքը կատարելուց կարելի է ավելի շատ վաստակել, ա. 5 օրում, բ. 10 օրում, գ.100 օրում:

10

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

90. Ինչքա՞ն կավելանա a դրամ դրամագլուխը մեկ տարում, եթե բանկի տարեկան տոկոսադրույքը 3% է: 91. Ինչքա՞ն կդառնա a դրամ դրամագլուխը երկու տարում, եթե բանկի տարեկան տոկոսադրույքը 5% է: 92. Բանկում 5% տոկոսադրույքով ավանդ դրած 10000 դրամ դրամագլու-խը ինչքա՞ն կդառնա. ա. 1 տարուց հետո, բ.2 տարուց հետո, գ.4 տարուց հետո: 93. Ինչքա՞ն կդառնա և ի՞նչ շահույթ կբերի 30000 դրամ դրամագլուխը ո տարում, եթե բանկի տարեկան տոկոսադրույքը 5,5% է և. ա. ո=2, բ.n=3, գ. ո=10: 94. Ապրանքի գինը նախ բարձրացրին 10 տոկոսով, ապա՝ 20 տոկոսով: Արդյո՞ք նույն արդյունքը կստացվեր, եթե ապրանքի գինը միանգամից բարձրացնեին 30 տոկոսով: 98. Մեկ տարում քանի՞ տոկոսով կավելանա դրամագլուխը, եթե ամսա-կան այն ավելանում է 10 տոկոսով: 99. Ապրանքի գինը նախ բարձրացրին p տոկոսով, այնուհետև նոր գինը p տոկոսով իջեցրին: Թանկացա՞վ, թե՞ էժանացավ ապրանքը: 100. Ապրանքի գինը երկու անգամ հաջորդաբար բարձրացավ 10-ական տոկոսով: Արդյուքում քանի՞ տոկոսով բարձրացավ ապրանքի սկզբնա-կան գինը: 101. Ապրանքի գինը երկու անգամ հաջորդաբար իջեցրին 10-ական տոկոսով: Արդյուքում քանի՞ տոկոսով իջավ ապրանքի սկզբնական գինը: 103. Հայկը x դրամը ավանդ տվեց բանկ 6% տոկոսադրույքով և երկու տարուց հետո ստացավ y դրամ: ա. Գտեք խնդրի պայմաններն արտահայտող հավասարումը: բ. Գրեք x-ը, եթե y= 22472, գ. Գտեք y-ը, եթե x=10000: 108. Գտեք սխալը բ. ՈՒնենք՝ 1000 լումա=10դրամ: Հավասարության երկու մասերը բարձ-րացնենք քառակուսի՝ 1000000 լումա= 100 դրամ: Հավասարության երկու մասերը բաժանենք 1000-ի՝ 1000 լումա= 0,1 դրամ: Առաջին և վերջին հա-վասարություններից կստանանք՝ 10դրամ=0,1 դրամ: Քառակուսի արմատ 175. Տարեկան 8% տոկոսադրույքի դեպքում ինչքա՞ն կդառնա բանկ հանձնած 200000 դրամը երկու տարուց հետո:

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

11

176. Ինչքա՞ն պետք է լինի բանկի տված տոկոսադրույքը, որպեսզի 1000 դոլարը մեկ տարուց հետո դառնա 1500 դոլար: 177. Ինչքա՞ն պետք է լինի բանկի տված տոկոսադրույքը, որպեսզի 1000 դոլարը մեկ տարուց հետո դառնա 1210 դոլար: Լրացուցիչ 260. Ո՞րն է մեծ. ա. Թվի p տոկոսը՞, թե՞ p մասը, բ. թվի p տոկոսի q մասը՞, թե՞ q մասի p տոկոսը: 263. Ապրանքի գինը երկու անգամ թանկացրին 5 –ական տոկոսով, այ-նուհետև երկու անգամ էժանացրին 4 –ական տոկոսով: Արդյունքում ապ-րանքը թանկացա՞վ, թե՞ էժանացավ և քանի՞ անգամ: 264. Առաջին երեք ամիսներից յուրաքանչյուրի ընթացքում դոլարի փո-խարժեքը ամսեկան նվազեց 3 տոկոսով, իսկ հաջորդ երեք ամիսներին՝ ամսեկան ավելացավ 5 տոկոսով: Եվրոյի փողարժեքը այդ վեց ամիսնե-րին ավելացավ ամսեկան 23 տոկոսով: Հայկը ուներ 100000 դրամ: Ո՞ր դեպքում նա ավելի կշահեր, եթե սկզբում նա. ա. Ողջ դրամը փողանակեր դոլարի հետ, բ. դրամի կեսը փոխանակեր դոլարի հետ, իսկ մյուս կեսը՝ եվրոյի հետ, գ. Ողջ դրամը փոխանակեր եվրոյի հետ: Բանաձևեր 339. Առաջին առևտրականը խնձորը վաճառում էր 350 դրամ/կգ կշռույթով, իսկ երկրորդը՝ 400 դրամ/կգ կշռույթով: Երկրորդը առաջինից 40 կգ պակաս էր վաճառել և ավելի քիչ դրամ էր վաստակել, քան առաջինը: Որքա՞ն էր վաճառել երկրորդը: 387. 15 միատեսակ մետաղադրամներից մեկը կեղծ է: Երկնժարանոց կշեռքով և կշռաքարեր չօգտագործելով կարո՞ղ եք երկու կշռումով որոշել ծա՞նր է, թե՞ թեթև կեղծ մետաղադրամը: Հետևություն 527. Հաստատեք կամ հերքեք հետևությունը. դ. քանի որ դրամ ունեմ, ապա կարող եմ ավտոմեքենա գնել, ե. եթե դրամ ունենայի, ապա աշխարհի չեմպիոն կլինեի: Թվային ուղիղ 647. (Պ. Ատրունի, Թվաբանություն, Կ.Պոլիս, 1934): Ձիավաճառ մը ձի մը և երկու թամբ ունի: Թամբին մեկը կարժե երեսուն թալեր և մյուսը՝ հինգ:

12

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

Եթե աղեկ թամբը ձիու վրա դնե, անոնց արժեքը հավասար կըլլա ձիուն արժեքի կրկնապատիկին նվազյալ մյուս թամբին կրկնապատիկով: Ի՞նչ է ձիուն արժեքը: Հավասարումների և անհավասարումների գրաֆիկական պատկերումը 724. Հաստատուն՝ x դրամ առ կգ գնով վաճառելով y կգ խնձոր, վաճառո-ղը ստացավ 100000 դրամ: Ինչպիսի՞ համեմատականություն է x և y մե-ծությունների համեմատականությունը: Պատկերեք այն գրաֆիկորեն: 725. Կտորը վաճառվում էր 500 դրամ առ մետր հաստատուն կշռույթով: Ինչպիսի՞ համեմատականություն է վաճառված կտորի և նրա դիմաց ստացված դրամի քանակությունների համեմատականությունը: Պատկե-րեք այն գրաֆիկորեն: Բազմանդամներ 21.1. Ինչպե՞ս են որոշում տարեկան ինչ-որ տոկոսադրույքով բանկ դրված գումարի չափը մի քանի տարուց հետո: 21.2. Դիցուք՝ դուք յուրաքանչյուր տարի բանկ եք հանձնում ինչ-որ գումար՝ տարեկան հաստատատուն տոկոսադրույքով: Այդ դեպքում. ա. արդյո՞ք կարող եք բարդ տոկոսների բանաձևով որոշել մի քանի տա-րուց հետո բանկում գոյացած ձեր գումարի քանակությունը. բ. ինչպե՞ս պետք է որոշեք մի քանի տարուց հետո բանկում գոյացած ձեր գումարի քանակությունը: 774. Հայրը Հայկի ծննդյան օրը յուրաքանչյուր տարի, սկսած 16 տարեկա-նից նրա համար որպես նվեր, բանկ էր հանձնում այնքան հազար դրամ, որքան տարեկան էր դառնում նա: Որքա՞ն դրամ կունենար Հայկը բան-կում այն պահին, երբ նա արդեն չափահաս էր՝ լրացել էր նրա 18 տարին, եթե բանկի տարեկան տոկոսադրուքը եղել է 5%: 775. Մի գործարար ինչ-որ գործ անելու համար նախ բանկից վերցրեց 10000 դոլար տարեկան 15% տոկոսադրույքով, ապա հաջորդ տարի նույն տոկոսադրույքով վարկ վերցրեց 2000 դոլար: Նույն տարվա վերջում նա տեսավ, որ այդ գործից ստացել է 25000 դոլար: Ինչքա՞ն է եղել գործարարի ստացած շահույթը: 776. Երկու գործարարներ նույն բանկում տարադրամ ունեին: Առաջինը երեք տարի բանկ հանձնեց համապատասխանաբար 1500,2000 և 3000

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

13

դրամ, իսկ երկրորդը այդ տարիներին բանկից վերցրեց համապատաս-խանաբար 1500,2000 և 3000 դրամ: Դրանցից հետո յուրաքանչյուրը բանկում ունեցավ 50000 դոլար: Որքա՞ն գումար ուներ սկզբում յուրա-քանչյուր գործարար այդ բանկում, եթե բանկը դրամը վերցնում էր տարե-կան 4% տոկոսադրույքով և դրամը տալիս էր 10 % տոկոսադրույքով: 777. Երևանի մի բնակիչ իր ունեցած դրամը 1 դոլարը 550 դրամ կշռույթով փոխարինելով դոլարով՝ կարող էր գնել մեկ սենյականոց բնակարան: Բայց նա դրամը հանձնեց բանկ՝ տարեկան 7 % տոկոսադրույքով: Երկու տարի հետո նա կարո՞ղ էր բանկում գոյացած գումարով գնել նույն բնա-կարանը, եթե այն թանկացել էր 20 % -ով, իսդ դրամը կարելի էր փոխար-կել դոլարի հետ արդեն 1 դոլարը 380 դրամ կշռույթով: Գծային հավասարումներ և անհավասարումներ 939. Գնորդը խանութ մտավ՝ իր մոտ ունենալով 4500 դրամ: Նա 1400 դրամով գնեց մեկ կիլոգրամ պանիր, 650 դրամով՝ կես կիլոգրամ կարագ, 1100 դրամով՝ մեկ կիլոգրամ միս և 380 դրամով՝ երկու կիլոգրամ հաց: Այնուհետև նա ուզեց գնել նաև մեկ տուփ սուրճ, բայց մնացած փողը չբա-վականացրեց: Ի՞նչ կարող եք ասել սուրճի արժեքի մասին: 940. Հարութը 7000 դրամ ուներ: 2800 դրամ նա ծախսեց բենզին գնելու համար, 2500 դրամ պարտք տվեց ընկերոջը և ուզեց մնացած դրամով մի գիրք գնել, բայց դրամը չբավականացրեց: <Եթե ընկերոջս 100 դրամ քիչ տայի, ապա այս գիրքը կգնեի և անգամ մոտս փող կմնար>, մտածեց Հա-րութը: Ի՞նչ կարող եք ասել գրքի գնի մասին: 941.Հարությունը ուներ 2300 դրամ և ստացավ աշխատավարձը: Երբ նա 3400 դրամ ծախսեց խանութում, իսկ 4500 դրամ՝ սրճարանում, գրպան-ներից մեկում մնացել եր 1500 դրամ, իսկ մյուս գրպանի փողերի մեջ կար երկու հատ հարյուր դրամանոց մետաղադրամ: Որքա՞ն աշխատավարձ էր ստացել Հարությունը: 949. Իմ մերձավոր մարդկանցից մեկը, մեկնելով Բահլ, շահավոր մար-գարիտներ ձեռք բերեց: Տուն վերադառնալով և հասնելով Գանձակ, նա մարգարիտների կեսը ծախեց՝ հատը 50 դրամով, գալով Նախիջևան վա-ճառեց քառորդ մասը՝ հատը 70 դրամով, ապա հասնելով Դվին՝ ծախեց տասներկուերորդ մասը՝ հատը 50 դրամով: Երբ նա եկավ մեզ մոտ՝

14

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

Շիրակ, նրա մոտ մնացել էր ընդամենը 24 հատ մարգարիտ: Արդ՝ մնա-ցածի հաշվով իմացիր, թե ընդամենը քանի՞ մարգարիտ է եղել և քանի՞ դրամ էր մարգարիտների գինը: 950. Ես իմ ուսուցչից լսեցի, գորերը մտնելով Մարկիանիոն Տրիկլիի գան-ձարանը, գողացան գանձի կեսը և չորրորդ մասը: Գանձապահները, ներս մտնելով, մնացածը գտան՝ 421 կենդինար և 3600 դահեկան: Արդ՝ իմա-ցիր, թե ամբողջ գանձը որքա՞ն էր: 951. Սուրբ Սոֆիայի միաբանների ռոճիկը բաժանվում է այսպես. Հինգե-րորդ մասը ստանում են սարկավագները, տասներորդ մասը՝ քահանա-ները, 200 լիտր՝ եպիսկոպոսները և 2000 լիտր՝ մնացած միաբանները: Արդ՝ իմացիր, թե ամբողջ ռոճիկը քանի՞ լիտր էր: 952. Սպաների ռոճիկը բաշխվում է այսպես. Քառորդ մասը տրվում է պատվավորներին, ութերորդ մասը՝ ավագներին, իսկ 150 կենդինարը՝ մյուս հեծյալներին: Արդ իմացիր, թե ընդամենը քանի՞ կենդինար է: 958. Մի վաճառական անցավ երեք քաղաքներով: Առաջին քաղաքում նրանից մաքս վերցրին ունեցածի կեսը և երրորդ մասը, երկրորդ քա-ղաքում հաշվեցին ինչ որ ուներ, վերցրին մնացածի կեսը և երրորդ մասը, իսկ երրորդ քաղաքում դարձյալ հաշվեցին և վերցրին մնացածի կեսը և երրորդը: ԵՎ երբ այդ մարդը տուն հասավ, նրա մոտ մնացել էր 11 դա-հեկան: Արդ՝ իմացիր, թե ընդամենը քանի՞ դահեկան ուներ: 962. Ես ունեի մի ազնվացեղ ձի: Այդ ձին վաճառելով՝ ստացած գումարի քառորդով կովեր գնեցի, յոթերորդով՝ այծեր, տասներորդով՝ եզներ, իսկ մնացած 318 դահեկանով գնեցի ոչխարներ: Արդ՝ իմացիր, թե ընդամենը քանի՞ դահեկան է անում: 966. Մի մարդ մտավ երեք եկեղեցի: Առաջին եկեղեցում Աստծուց հետևյալը խնդրեց. ≪Տուր ինձ այնքան, որքան ես ունեմ, և և ես քեզ կտամ քսանհինգ դահեկան≫: Այդպես խնդրեց նաև երկրորդում և տվեց քսան-հինգ դահեկան, նույնը՝ նաև երրորդում. և նրա մոտ ոչինչ չմնաց: Արդ՝ իմացիր, թե սկզբում նա քանի՞ դահեկան ուներ: Գծային համակարգեր և համախմբեր 1003. Հայկի ունեցած դրամը բավարարում էր 3 տետր գնելու համար, բայց 4 տետր գնելու համար չէր բավարարում: Որքա՞ն էր Հայկի ունեցած դրամը, եթե մեկ տետրի արժեքը 350 դրամ է:

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

15

1006. Հայկն ուներ 150000 դրամ, որը փոխանակեց ԱՄՆ դոլարի հետ: Ի՞նչ կշռույթով է կատարվել փոխանակումը, եթե Հայկի ստացած գումարը 300 դոլարից ավելի էր, բայց 375 դոլարից պակաս: Քառակուսի արմատ պարունակող հավասարումներ և անհավասա-րումներ 1196. (Անանիա Շիրակացի, երրորդ խրախճանական): Ասա ընկերոջդ, որ ես կարող եմ իմանալ, թե որքան դրամ կա քո քսակի մեջ: Եթե նա ասի՝ թե ≪ իմացիր ≫,ասա դու նրան, թե վերցրու դրամիդ քանակությունը, այդչափ էլ ավելացրու վրան, ստացված թիվը կրկնապատկիր, ավելացրու վրան առաջին վերցրած թիվը, ստացածդ գումարը կրկնապատկիր: Երբ տվածդ հաշիվները կատարած լինի, անկախ նրանից, զույգ թիվ է եղել վերցրածը, թե՝ կենտ, ստացված գումարը, որ նա կասի, բաժանիր տասի վրա, և գտած թիվը կլինի քսակում եղած դրամի քանակը: 1224. Ապրանքի գինը երկու անգամ նույն տոկոսով իջեցրին: Արդյունքում նրա գինը իջավ 51 տոկոսով: Քանի՞ տոկոսով իջեցրին ապրանքի գինը յուրաքանչյուր անգամ:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ-7, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2006:

2. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ-8, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2007:

3. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ-9, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2008:

4. Հ. Ս. Միքայելյան, Ֆինանսական կրթության իրականացման իմ փորձը,Մաթեմատիկան դպրոցում, N3, 2017 թ.:

5. Հ. Ս. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2011:

6. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը, Մաս 2, Գեղագիտական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2015:

16

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԿՐԹԱԿԱՆ ԱՎԱՆԴՈՒՅԹՆԵՐ

ИЗ МОЕГО ОПЫТА ФОРМИРОВАНИЯ ФИНАНСОВОГО КОМПОНЕНТА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ. Алгебра-8

Г. С. Микаелян Резюме

Автор продолжает изложение своего опыта включения материалов по финансам в учебники алгебры средней школы. Настоящая статя посвящена учебниу алгебры 8-го класса общеобразовательной школы. Знания по финансам ширако применяются как в задачах учебника, так и в изложении ее теоретического материала, как средство, показивающее значимость абстрактных математических понятий в повседневной жизни.

FROM MY EXPERIENCE OF FORMATION OF FINANCIAL COMPONENT IN THE COURSE OF ALGEBRA.

Algebra-8 H.S. Mikaelyan

Summary

The author continues his presentation of his experience in including materials on finance in the textbooks of the algebra of secondary school. The present article is devoted to the teaching of the algebra of the 8th grade of the secondary school. Knowledge of finances is widely used both in the tasks of the textbook and in the presentation of its theoretical material, as a means of showing the significance of abstract mathematical concepts in everyday life.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ., մ.գ.դ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և նրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

17

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴԻՄՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՆՐԱՆՑ

ՇՓՎՈՂԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ, ՆՅԱՐԴԱՅԻՆ ԿԱՅՈՒՆՈՒԹՅԱՆ ՄԻՋԵՎ ՀԱՐԱԲԵՐՈՒԹՅՈՒՆԸ

Միքայելյան Մ. Ա. Կիրակոսյան Ն.

Բանալի բառեր --- խառնվածք, էքստրավերտություն, ինտրո- վետրություն, մաթեմատիկա, ուսման առաջադիմություն

Հոդվածում ներկայացվում են անձի ուղղվածության 2 հիմնական տի-պերի՝ էքստրավերտության և ինտրովերտության բնութագրերը։ Հետա-զոտության միջոցով փորձ է արվում պարզել աշակերտների շփվողակա-նության աստիճանի և նյարդային համակարգի կայունության մակարդա-կը, կապեր գտնել մաթեմատիկա առարկայից աշակերտների ուսումնա-կան առաջադիմության և նրանց շփվողականության, նյարդային կայու-նության միջև, որոշել աշակերտի խառնվածքի և մաթեմատիկայից ունե-ցած առաջադիմության հարաբերությունը։

Շվեյցարացի հոգեվերլուծող Կառլ Գուստավ Յունգը [6] մարդկանց դասակարգում է երկու խմբերի՝ էքստրավերտների և ինտրավերտների: Այս տարբերակման հիմքում ընկած են անձի ուղղվածության առանձնա-հատկությունները: Յուրաքանչյուր անհատ աչքի է ընկնում իր հիմնական ուղղվածությամբ դեպի արտաքին, օբյեկտիվ աշխարհը կամ իր ներքին,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

18

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

սուբյեկտիվ աշխարհը: Չնայած, ինչպես նշում է Կ. Յունգը, «մաքուր» տի-պեր շատ քիչ են հանդիպում, յուրաքանչյուր անհատի մոտ կարող է ցայ-տուն ձևով դրսևորվել դրանցից մեկը:

Էքստրավերտներն այն մարդիկ են, ովքեր ուղղված են դեպի արտա- քին աշխարհը, մեծ հետաքրքրություն ունեն մյուս մարդկանց, կյանքի, տարբեր երևույթների նկատմամբ: Էքստրավերտն ավելի շատ սպառում, քան կուտակում է իր էներգիան: Նա ունակ է ակտիվորեն գործելու, արդ-յունավետ է իր գործունեություն մեջ, բայց նրան սպառնում է չափազանց արագ լիցքաթափումը, աշխատունակության անկումը: Էքստրավերտը չի կարող ապրել առանց ակտիվ հաղորդակցման և իրեն «կորցնում» է, եթե չկա հետադարձ կապ շրջապատողների հետ: Նա ունի ցածր հարմարվո-ղականություն և ձգտում է, որ մյուսներն իրեն հարմարվեն: Էքստրավեր-տը մշտապես փորձում է «դաստիարակել», «հեղաշրջել» մյուսներին, թե-լադրել իր ցանկությունները, կարծիքները:

Կ. Յունգը նշում է, որ էքստրավերտները հակված են ընդունել հասա-րակության բարքերը, չափանիշները: Նրանք անվերապահորեն ընդու-նում են այն, ինչը նորաձև է, արժևորվում է հասարակության մեծ մասի կողմից՝ լինի դա հագուստ, թատրոն, գրականություն, թե այլ արժեքներ:

Ինչ վերաբերում է մտավոր զարգացմանը, ապա, ըստ Կ. Յունգի, էքստրավերտները տարբերվում են մտքի արագությամբ և ունակ են կա-տարելու հայտնագործություններ մարդկային գործունեության ցանկա-ցած բնագավառում, բացահայտել նոր գիտական օրինաչափփություններ, առաջ քաշել նոր գաղափարներ:

Ինտրովերտները բնորոշվում են ներքին անձնային գործոնների վրա ուղղվածությամբ: Ինտրովերտի գիտակցությունն, անշուշտ, քաջատեղյակ է արտաքին օբյեկտիվ աշխարհին, սակայն նրա վարքում գերիշխող են սուբյեկտիվ դրդապատճառները: Ինտրովերտը հիմնականում կենտրո-նանում է այն տպավորությունների, զգացմունքների վրա, որոնք առաջա-նում են իր սուբյեկտիվ աշխարհում՝ արտաքին ազդեցությունների հե-տևանքով: Ըստ Կ. Յունգի բնութագրի՝ ինտրովերտը հավաքներին իրեն զգում է միայնակ, օտարված, չի սիրում հաղորդակցվել, աշխատում է մե-կուսանալ մյուս մարդկանցից: Նա չի վստահում մարդկանց, հաճախ տա-ռապում է իր զգացմունքների թերարժեքությունից, երբեմն էլ դրա հե-տևանքով դառնում է նախանձ: Ինտրովերտը համառորեն դիմադրում է

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

19

շրջապատող իրականությանը, և նրա պաշտպանական համակարգը հիմնվում է բարեխղճության, նրբանկատության, չափավորության, խնա-յողության, զգուշավորության, հիվանդագին խղճի, համառության հասնող ազնվության և ուղղամտության, քաղաքավարության և բացարձակ անվստահության վրա: Նրա ներաշխարհը Կ. Յունգը պատկերավոր կեր-պով համեմատում է անվտանգ նավահանգստի հետ, որը գտնվում է ա-մուր պատնեշի հետևում, կամ բոլորի աչքից թաքնված, հոգատարությամբ խնամված այգու հետ [տես 2]:

Անձի երկու ուղղվածություներն էլ, ինչպես նշում է Կ. Յունգը, հարա-բերական են: Նրանցում գիտնականն առանձնացնում է ևս չորս տիպ, որոնք կապված են մտածողության, զգացմունքների, զգայությունների կամ ինտուիցիայի գերիշխման հետ:

Մտածող էքստրավերտի գործունեությունը պայմանավորված է բնա-կան դրդապատճառներով և օբյեկտիվ աշխարհի ներգործություններով: Այսպիսի մարդիկ կարող են դառնալ լավ գիտնականներ, պետական գոր-ծիչներ, փաստաբաններ, լավ կազմակերպիչ են յուրաքանչյուր գործում, կարող են գիտակցել օբյեկտիվ իրադարձությունը՝ շրջանցելով հուզական երանգը: Կ. Յունգն այս տիպի անհաջող մարմնավորում է համարում, օրի-նակ, առարկություններ չընդունող ուսուցչին: Նման տիպի մարդիկ աշ-խատում են թե՛ իրենց, թե՛ մյուսներին ենթարկել «բնական բանաձևերի» կանոններին, իդեալների, սկզբունքների համակարգին, որոնք, ի վերջո, վերածվում են «պարտավոր են», «պարտական են» հասկացությունների վրա հիմնվող մի «համընդհանուր օրենքի»:

Զգացմունքային էքստրավերտը բնորոշվում է գեղեցիկի, ներդաշնա-կի հանդեպ հակումով: Էքստրավերտ զգացմունքը նրան դրդում է գնալ թատրոն, համերգ, եկեղեցի, օպերա: Նման մարդիկ անպայման մասնակ-ցում են տոնակատարությունների, հարսանիքների, հուղարկավորու-թյունների:

Զգայական էքստրավերտ տիպը բարեսիրտ է, հեշտությամբ ընկերա-նում է մարդկանց հետ, կարողանում է արագ գնահատել իրադրությունը, երբեմն էլ՝ դիմել ինքնազոհության, եթե դա կօգնի մյուսներին: Կ. Կունգը

20

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

նշում է, որ էքստրավերտի զգացմունքներն են նպաստում քաղաքակրթու-թյան զարգացմանը: Զգայական էքստրավերտը կարող է հաջող գործել իրականության մեջ՝ հարմարվելով իրերին, առարկաներին: Զուգընկերոջ մեջ, առաջին հերթին, գնահատում է արտաքինը՝ մի կողմ թողնելով նրա մտածելակերպը, զգացմունքները:

Ինտուիտիվ էքստրավերտ տիպը բնորոշվում է սպասողական դիրքո-րոշմամբ: Ինտուիցիան նմանվում է «վեցերորդ զգայարանի», որի շնոր-հիվ մարդը կանխատեսում է այն, ինչը չկա իրականության մեջ: Ինտուի-ցիայի գերիշխման դեպքում մտածողությունը և զգացմունքները ճնշվում են, առաջանում է հասուն դատողությունների բացակայություն: Այնուամե-նայնիվ, այս տիպի մարդիկ արդյունավետ գործունեություն են ծավալում տնտեսագիտության, մշակույթի բնագավառներում: Նրանք կարող են նաև լավ ճանաչել այլոց ունակությունները, ոգևորել և քաջալերել մտերիմ-ներին նրանց գործունեության մեջ:

Մտածող ինտրովերտ տիպի մարդկանց մոտ մտածողությունը պայ-մանավորված չէ արտաքին փաստերով, այն սկսվում է անհատի գիտակ-ցության մեջ և նորից վերադառնում այնտեղ, եթե նույնիսկ ուղղված է ար-տաքին օբյեկտիվ իրականությանը: Ինտրովերտ մտածողները տեսա-բաններ են, իրական փաստերի քննարկումը հաճախ փոխարինում են ե-րևակայականով: Այս տիպի մոտ հաճախ անտարբերություն է դրսևորվում ուրիշների կարծիքների նկատմամբ, իրենք հակված են ընդունել միայն սեփական գնահատականները:

Զգացմունքային ինտրովերտ տիպի մարդկանց զգացմունքների խո-րությունը կարելի է միայն ենթադրել, բայց ոչ ճանաչել: Նա լռակյաց է և անհասկանալի: Ինտրովերտի ինչպես մտածողությունը, այնպես էլ զգաց-մունքներն ուղղված են ներքին կերպարների, այլ ոչ արտաքին փաստերի վրա: Այս տիպի մարդիկ հազվադեպ են խոսում իրենց զգացմունքների մասին, բնութագրվում են՝ որպես մելանխոլիկ խառնվածքի տեր:

Զգայական ինտրովերտ տիպի համար բնորոշող է օբյեկտիվ ներգոր-ծության հետևանքով սուբյեկտիվ ուժ ունեցող զգայության առաջացումը:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

Սուբյեկտիվ զգայությունը ներթափանցում է հոգեկան աշխարհի խոր-քային շերտերը: Այս տիպին դասվող մարդիկ արտաքինից հանգիստ են, պասիվ, սակայն դա պաշտպանական դիրք է արտաքին ազդեցություն-ների նկատմամբ:

Ինտուիտիվ ինտրովերտ տիպի դեպքում մարդը պարզ տեսնում է այն ամենը, ինչ պարունակվում է իր գիտակցության խորքում: Անգիտակցա-կան կերպարները նրա մտքում հավասարարժեք են իրական օբյեկտի: Ինտուիտիվ ինտրովերտ տիպի մարդիկ ունակ են «տեսնել» ապագան, գուշակել դեռևս չիրականացած իրադրությունները, հնարավորություն-ները. նրանք պայծառատես են:

Դպրոցական ուսուցման ժամանակահատվածն անձի ընկերայնաց-ման ամենաբարդ ժամանակաշրջանն է: Ինտենսիվ ֆիզիոլոգիական աճը և դեռահասի արժեքների փոփոխվող համակարգը հանգեցնում է տար-բեր դերային պահվածքների: Նպատակներին հասնելու համար անհրա-ժեշտ անհատական վարքագծի ձևավորումը, նյարդաֆիզիոլոգիական համակարգում և միջանձնային շփման ոլորտում կատարվող փոփոխու-թյունները մեծապես կախված են անձի ուղղվածությունից։ Հետևաբար, էքստրավերտության-ինտրովերտության արտահայտվածությունը անձ-նավորության կարևորագույն բնութագրերից է, իսկ նեյրոտիզմի աստի-ճանը հարկ է հաշվի առնել երեխայի հոգեբանական դիագնոստիկայի և հետագա հոգեբանական շտկման ժամանակ:

Բացի այդ, ուսուցիչը պետք է ստույգ իմանա երեխայի անձնային ա-ռանձնահատկությունները՝ նրա հետ տարվող ուսումնադաստիարակչա-կան աշխատանքում անհատական մոտեցում ցուցաբերելու համար:

Աշակերտների էքստրավերտության, ինտրովերտության, նյարդային կայունության ուսումնասիրման, ինչպես նաև մաթեմատիկա առարկայից աշակերտների ուսումնական առաջադիմության և նրանց շփվողականու-թյան, նյարդային կայունության միջև կապեր գտնելու նպատակով իրակա-նացրել ենք հետազոտություն։ Հետազոտությունն անցկացվել է Արագա-ծոտնի մարզի Զովասար գյուղի միջնակարգ դպրոցի VI–IX դասարան-ներում սովորող աշակերտների հետ: Հետազոտությանը մասնակցել են 12-15 տարեկան 40 աշակերտներ՝ հավասար քանակությամբ աղջիկներ

22

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

և տղաներ: Կիրառել ենք դիտման, հարցման և թեստավորման մեթոդնե-րը։ Հետազոտության ընթացքում մեր առջև դրել ենք հետևյալ խնդիրները՝

• պարզել աշակերտների շփվողականության աստիճանը և նյարդային համակարգի կայունության մակարդակը,

• որոշել աշակերտների խառնվածքի տիպերը, • կատարել համեմատական վերլուծություն տղաների և աղջիկների

տվյալների միջև, • կապեր գտնել մաթեմատիկա առարկայից աշակերտների ուսումնա-

կան առաջադիմության և նրանց շփվողականության, նյարդային կա-յունության միջև,

• պարզել, թե արդյոք խառնվածքի տիպը կապվա՞ծ է սովորողի՝ մաթե-մատիկա առարկայից ունեցած առաջադիմության հետ։

Անձնավորության որակների ախտորոշման հոգեբանական միջոցնե-րի շարքում ամենատարածվածներից մեկն Այզենկի անձնային հարցա-րանն է [7]: Ա.Պանասյուկը [5] մշակել է Այզենկի հարցարանի մանկական տարբերակը, որը տեղայնացվել է Հայաստանում։ Այն նախատեսված է 10-15 տարեկան երեխաների հետազոտման համար: Հարցարանն ունի 3 սանդղակ՝ էքստրավետություն-ինտրովերտություն, նեյրոտիգմ և կեղծա-վորություն:

Էքստրավետությունն, ինչպես արդեն նշել ենք, այնպիսի անձնավո-րության հոգեբանական բնութագիրն է, որն ուղղված է դեպի արտաքին աշխարհը: Նման մարդն աչքի է ընկնում ուրիշների և, ընդհանրապես, արտաքին առարկաների ու երևույթների նկատմամբ գերակշռող հետա-քրքրությամբ: Ինտրովերտությունն ինքնապարփակ, սեփական մտքերի և ապրումների ներաշխարհին ուղղված անձի հոգեբանական բնութա-գիրն է:

Էքստրավետություն-ինտրովերտություն ցուցանիշը բնորոշում է երե-խային հետևյալ անձնային որակների առումով՝ շփվողականություն կամ պարփակվածություն, ձգտում դեպի ուրիշները կամ քաշվողականություն, փոփոխություններին կամ հաստատված կանոններին հետևելու հակվա-ծություն, սեփական ներաշխարհն արտահայտելու միտում կամ սեփական

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

մտքերի, պատկերացումների, արժեքների աշխարհը պաշտպանելու ձգտում:

Նեյրոտիզմը բնորոշում է երեխայի հուզական հավասարակշռվածու-թյունը: Այդ ցուցանիշը թույլ է տալիս բացահայտելու փորձարկվողի հու-զական կայունության աստիճանը: Նեյրոտիզմն անհատի հոգեֆիզիո-լոգիական բնութագիր է, որը ցույց է տալիս իրադարձություններին նրա արձագանքման բնույթն ու շարժընթացը:

Եթե ինտրովերտությունն ու էքստրավերտությունը կարծես երկու հակառակ բևեռներ են, որոնք ցույց են տալիս մարդու շփման ոլորտի ուղղվածությունն ու ինտենսիվությունը, ապա նեյրոտիզմի աստիճանի հի-ման վրա կարելի է դատել նրա հուզական արձագանքման բնույթի մասին՝ ճկունության կամ ռիգիդության (կարծրության), անձի ընկալունակության կամ զսպվածության մասին:

Էքստրավերտություն-ինտրովերտություն և նեյրոտիզմ չափանիշների համատեղ ազդեցությամբ է պայմանավորվում անձի ընդհանուր բնութա-գիրը:

Կեղծավորության սանդղակը որոշում է փորձարկվողի անկեղծությու-նը ոչ թե որպես անձնային որակ, այլ միայն հարցարանին պատասխա-նելիս: Կեղծավորության աստիճանի հիման վրա փորձարկողը ստուգում է մյուս սանդղակների հարցերին տրված պատասխանների հուսալիու-թյունը:

Հետազոտության ընթացքում կիրառելով Այզենկի հարցարանի ման-կական տարբերակը [1]՝ ստացել ենք հետևյալ արդյունքները։ Աշակերտ-ների 45%-ն ունեն կայուն, 55%-ն՝ անկայուն նյարդային համակարգ։ Աշա-կերտների 55%-ի շփվողականության մակարդակը բարձր է՝ էքստրա-վերտ են, իսկ 45%-ի մոտ՝ ցածր է, այսինքն՝ ինտրովերտ են:

Ստացված տվյալների հիման վրա դուրս բերեցինք աշակերտների խառնվածքի տիպերը (տես աղյուսակ 1)։ Պարզվեց, որ 40%-ի մոտ գե-րակշռում է խոլերիկ տիպը, 22,5%-ի մոտ՝ սանգվինիկը, 12,5%-ի մոտ՝ մելանխոլիկը, 7,5%-ի մոտ՝ ֆլեգմատիկը, 17,5%-ն ունեն խառնվածքի խա-ռը տիպեր՝ նրանց մոտ գերակա են միաժամանակ խոլերիկությունը և սանգվինիկությունը, խոլերիկությունը և մելանխոլիկությունը, սանգվինի-կությունը և ֆլեգմատիկությունը:

24

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Աշակերտների խառնվածքի տիպերի դրսևորումներն՝ ըստ Այզենկի հարցարանի մանկական տարբերակի

Աղյուսակ1

Խառնվածքի տիպեր Դրսևորումները՝ տոկոսային հարաբերությամբ

Խոլերիկ 40Սանգվինիկ 22,5Ֆլեգմատիկ 7,5Մելանխոլիկ 12,5Խառը տիպ 17,5

Կատարել ենք նաև աղջիկների և տղաների տվյալների համեմատա-

կան վերլուծություն։ Տղաների 70%-ի մոտ գերակշռում է խոլերիկ տիպը, 10%-ի մոտ՝ սանգվինիկը, 10%-ի մոտ՝ մելանխոլիկը, 5%-ի մոտ՝ ֆլեգ-մատիկը, իսկ 5%-ն ունի խառը տիպ: Աղջիկների 10%-ն ունի խոլերիկ, 35%-ը՝ սանգվինիկ, 15%-ը՝ մելանխոլիկ, 10%-ը՝ ֆլեգմատիկ, 30%-ը՝ խառը տիպի խառնվածք:

Մաթեմատիկայի դասաժամերին մեր կողմից իրականացված դի-տարկումների և ուսուցիչների հետ անցկացված հարցման միջոցով ա-ռանձնացրինք աշակերտների 3 խմբեր՝ մաթեմատիկա առարկայից բարձր, միջին և ցածր առաջադիմություն ունեցողներ։ Հաշվարկեցինք մաթեմատիկայից տարբեր առաջադիմություն ունեցող աշակերտների ցուցանիշներն՝ ըստ Այզենկի հարցարանի։ Կայուն նյարդային համակարգ ունեցող աշակերտների 96,5%-ի մոտ արձանագրվել է բարձր առաջա-դիմություն մաթեմատիկա առարկայից, և միայն 3,5%-ն ունեն ցածր առա-ջադիմություն։ Անկայուն նյարդային համակարգ ունեցող աշակերտների ընդամենը 3,7%-ը մաթեմատիկայից բարձր առաջադիմություն ունի, մի-ջին առաջադիմություն ունի 4,3%-ը և ցածր առաջադիմություն՝ 92%-ը։ Ակներև է, որ նյարդայնապես անկայուն աշակերտները մաթեմատիկայի բնագավառում հաջողություններ չեն գրանցում։

Մաթեմատիկայից բարձր առաջադիմություն ունեն էքստրավերտնե-րի 92%-ը, միջին առաջադիմություն՝ 6%-ը, ցածր առաջադիմություն՝ 2%-ը։

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

Մաթեմատիկայից բարձր առաջադիմություն ունեն ինտրովերտների 67%-ը, միջին առաջադիմություն՝ 21%-ը, ցածր առաջադիմություն՝ 12%-ը (տես աղյուսակ 2)։

Աշակերտների ինտրովերսիայի և էքստրավերսիայի փոխհարաբերությունը մաթեմատիկա առարկայի

առաջադիմության հետ Աղյուսակ 2

Առաջադիմությունը մաթեմատիկա առարկայից

Էքստրավերտներ՝ տոկոսային

հարաբերությամբ

Ինտրովերտներ՝ տոկոսային

հարաբերությամբ Բարձր առաջադիմություն 92 67Միջին առաջադիմություն 6 21Ցածր առաջադիմություն 2 12

Մեզ համար անակնկալ էր այն փաստը, որ մաթեմատիկայից բարձր

առաջադիմություն ունեցողների մեջ էքստրավերտներն ավելի շատ են, քան ինտրովերտները։ Մաթեմատիկայից միջին և ցածր առաջադիմու-թյուն արձանագրվել է ավելի շատ ինտրովերտների, քան էքստրավերտ-ների մոտ։

Հետազոտության տվյալների համադրությունը ցույց տվեց, որ խառն-վածքի տիպի և մաթեմատիկա առարկայի առաջադիմության միջև առկա է հետևյալ փոխհարաբերությունը՝ խոլերիկների 89%-ը մաթեմատիկայից ունեն բարձր առաջադիմություն, 9%-ը՝ միջին, 2%-ը՝ ցածր։ Սանգվինիկ-ների 93%-ի առաջադիմությունը մաթեմատիկայից բարձր է, 6,5%-ինը՝ միջին, իսկ 0,5 %-ինը՝ ցածր: Ֆլեգմատիկների 82%-ի մոտ արձանագրվել է բարձր առաջադիմություն մաթեմատիկա առարկայից, 14%-ի մոտ՝ մի-ջին, 4%-ի մոտ՝ ցածր: Մելանխոլիկների 6%-ը մաթեմատիկայից ունեն բարձր առաջադիմություն, 15%-ը՝ միջին, 79%-ը՝ ցածր: Խառը տիպերի դեպքում ևս գրանցվել են հետաքրքրական ցուցանիշներ։ Խոլերիկ և սանգվինիկ խառնվածքների գերակայությամբ աշակերտների 92%-ը մա-թեմատիկայից բարձր առաջադիմություն ունեն, 7% -ը՝ միջին, 1%-ը՝ ցածր:

26

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Սանգվինիկ և ֆլեգմատիկ խառնվածքների գերակայությամբ աշակերտ-ների 86%-ի առաջադիմությունը մաթեմատիկայից բարձր է, 11%-ինը՝ միջին, 3%-ինը՝ ցածր: Ամենացածր արդյունքներ դրսևորել է խառնվածքի հետևյալ խառը տիպը՝ խոլերիկ և մելանխոլիկ խառնվածքների գերակայությամբ աշակերտների 18%-ը մաթեմատիկայից ունի բարձր առաջադիմություն, 29%-ը՝ միջին, 53%-ը՝ ցածր: Ստացված տվյալները ներկայացնում ենք նաև աղյուսակի տեսքով։

Աշակերտների խառնվածքի տիպի

փոխհարաբերությունը մաթեմատիկա առարկայի առաջադիմության հետ

Աղյուսակ 3

Խառնվածքի տիպեր

Մաթեմատիկա առարկայից

բարձր առաջադիմու-

թյուն՝ տոկոսյին հարաբերությամբ

Մաթեմատիկա առարկայից միջին առա-

ջադիմություն՝ տոկոսային հա-րաբերությամբ

Մաթեմատիկա առարկայից

ցածր առաջադիմու-

թյուն՝ տոկոսային հարաբերությամբ

Խոլերիկ 89 9 2 Սանգվինիկ 93 6,5 0,5 Ֆլեգմատիկ 82 14 4 Մելանխոլիկ 6 15 79 Խոլերիկի և սանգվինիկի խառնուրդ

92 7 1

Սանգվինիկի և ֆլեգմատիկի խառնուրդ

86 11 3

Խոլերիկի և մելանխոլիկի խառնուրդ

18 29 53

Տվյալները վկայում են, որ մաթեմատիկայից ամենաբարձր առաջա-

դիմություն ունեն սանգվինիկները, ապա՝ խոլերիկները, ինչպես նաև

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

27

սանգվինիկի և ֆլեգմատիկի խառը տիպը։ Վերոնշյալ տիպերին որոշա-կիորեն զիջում են ֆլեգմատիկները, իսկ մելանխոլիկների մեծ մասը մա-թեմատիկայից ունեն ցածր առաջադիմություն։

Հետազոտության արդյունքները թույլ են տալիս կատարել մի շարք եզրահանգումներ։ • Միջին դպրոցական տարիքում անկայուն նյարդային համակարգ

ունեցող աշակերտների թիվը գերազանցում է կայուն նյարդային համակարգ ունեցողներին։ Նմանապես աշակերտների մոտ էքստրա-վերտության դրսևորումները գերակշռում են ինտրովերտության հանդեպ։

• Դեռահասության տարիքում ամենից շատ արտահայտված է խոլերիկ խառնվածքը, այնուհետև սանգվինիկը, մելանխոլիկը, և ամենաթույլը՝ ֆլեգմատիկը։

• Տղաների մոտ գերակշռում է խոլերիկ խառնվածքի տիպը, իսկ աղ-ջիկների մոտ՝ սանգվինիկը։

• Հատկանշական է, որ մաթեմատիկա առարկայից ամենաբարձր ա-ռաջադիմություն ցուցաբերում են կայուն նյարդային համակարգ ունեցող աշակերտները։

• Մաթեմատիկայից ակնհայտորեն ավելի բարձր առաջադիմություն ունեն էքստրավերտները, քան ինտրովերտները։

• Ըստ խառնվածքի տիպերի՝ մաթեմատիկայից խիստ բարձր առաջա-դիմություն ունեն սանգվինիկները, սանգվինիկ և խոլերիկ խառը տիպը, ապա՝ խոլերիկները, հաջորդիվ՝ ֆլեգմատիկները։ Մելան-խոլիկները չեն առանձնանում մաթեմատիկական գիտելիքներով։

• Ցանկալի է, որ մաթեմատիկայի դասավանդման ընթացքում ուսու-ցիչները հաշվի առնեն աշակերտների անհատական առանձնա-հատկությունները։ Աշակերտի անձի ուղղվածությանը և խառնվածքի տիպին համապատասխան մեթոդական հնարների կիրառումը կնպաստի մանկավարժական արդյունավետ ներգործությանը և ուսուցիչ-աշակերտ փոխհարաբերությունների բարելավմանը։

28

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Գրականություն

Հոգեբանական թեստեր լուսավորության համակարգի համար։ Կազմող և պատասխանատու խմբ. Գ. Վարդանյան, Եր.։ Ամարաս, 1997, 186 էջ։

1. Նալչաջյան Ա. Հոգեբանության հիմունքներ, Եր.։ «Հոգեբան», 1997, 648 էջ։

2. Асмолов А. Г. Психология личности. М., 2007. 3. Елисеев О. П. Практикум по психологии личности. СПб: Питер,

2007, 512с. 4. Панасюк А. Ю. Адаптированный вариант личного опросника

Айзенка для детей․ В кн. Методическая разрабодка для специалистов и студентов. Под ред. Д. Н. Исаева. Л., 1977, с. 3-21.

5. Юнг К. Психологические типы. СПб.: Азбука, 2001․ 6. Eysenk H. J., Eysenk S. Manuel for the Eysenck Personality

lnventory. San Diego, CA,1968. 28p.

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ТИПОМ ТЕМПЕРАМЕНТОМ И ДОСТИЖЕНИЯМИ ПО МАТЕМАТИКЕ УЧАЩЕГОСЯ

Микаелян М.А. Киракосян Н.

Резюме

В статье представлены два основных типа ориентации - экстраверсия и интроверсия. С помощью исследования изучаются степень коммуникации и уровень устойчивости нервной системы учащихся. Предпринимается попытка найти связи между нервной устойчивостью, коммуникативной природой, типом темперамента учеников и достижением школьной дисциплини математики.

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

THE CONNECTION BETWEEN THE SCHOOL PERFORMANCE OF PUPILS FROM THE SUBJECT OF MATHEMATICS AND THEIR

SOCIABILITY, NERVOUS STABILITY Mikaelian M. A., Kirakosyan N.

Summary

The article presents two main personality types of orientation - extraversion and introversion. With the help of the study, the degree of communication and the level of stability of the nervous system of pupils are studied. An attempt is made to find the links between nervous stability, communicative nature, the type of temperament of pupils and the school

Միքայելյան Մ. Ա. - ՀՊՄՀ հոգեբանության ամբիոնի դոցենտ, ԵՊՀ անձի հոգեբանության ամբիոնի դոցենտ

Էլ հասցե՝ marine.mikaelian@gmail.com

Կիրակոսյան Ն. - ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի բաժնի մագիստրանտ

Էլ հասցե՝ narinekirakosyan@mail.ru

30

ԼԵԶՎԱԿԱՆ ՀՄՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԶԱՐԳԱՑՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Ռիտա Չիչոյան

Բանալի բառեր - Մատեմատիկա, հայոց լեզու, միջառար-կայական կապ, այբուբեն, նախադասություն, հանրահաշ-վական գործողություններ, արտահայտություններ, բանա-ձևեր, տրամաբանական ձևեր, խնդիրներ

Կա մի գիտություն, առանց որի անհնար է մնացածների համար: Դա մաթեմատիկան է, որի գաղափարները, դատողությունները և խորհր-դանիշերը ծառայում են որպես լեզու, նրանով գրում, խոսում և մտածում են մյուս գիտությունները: Այն բացատրում է դժվարին երևույթների օրինաչափությունները, կանխագուշակում և մեծ ճշգրտությամբ նախօրոք նկարագրում է երևույթների ընթացքը:

Ս.Սոբոլև

Մաթեմատիկան սերտ կապ ունի լեզվի հետ, այն ծառայում է նաև որպես գիտության լեզու: Գիտության տարբեր բնագավառները ներկա-յացնող տեսություններում փաստերը, օրենքները սկզբունքները շարա-դրելիս օգտագործվում են մաթեմատիկական նշաններ, պայմանանշան-ներ, արտահայտություններ և բանաձևեր, որոնց շնորհիվ ապահովվում են տեսական դրույթների ճշգրտությունն ու որոշակիությունը: Սակայն կրթության բնագավառում առավել էական դեր ունի մաթեմատիկայի կա-պը բնական լեզվի հետ, քանի որ ուսուցման գործընթացում բնական լեզ-վով են շարադրվում մաթեմատիկայի բովանդակային նյութը և այդ նյութի բացատրությունը, մեկնաբանությունն ու կիրառությունների լուսաբանու-մը: Այս առումով մանկավարժական կարևոր խնդիր է մաթեմատիկայի և հայոց լեզվի միջառարկայական կապերի բացահայտումն ու դիտարկումը,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

ընդ որում՝ խնդիրն ունի ինչպես ուսումնամեթոդական, այնպես էլ ար-ժեքային-դաստիարակչական տեսանկյուններ: Փորձը ցույց է տալիս, որ հաճախ սովորողները չեն կարողանում մաթեմատիկական գիտելիքները վարժ շարադրել հայերենի վատ իմացության պատճառով կամ լուծել խնդիրը՝ նրանում նկարագրվող իրադրությունը ոչ ճիշտ ըմբռնելու հե-տևանքով: Ուստի աշակերտներին պետք է սովորեցնել ճիշտ գրել մաթե-մատիկական տերմինները, հիմնավորել կատարվող գործողությունները, հստակ ներկայացնել սահմանումները, կանոնները, թեորեմների ձևա-կերպումները, գրագետ խոսել բանավոր աշխատանքի ժամանակ: Մաթե-մատիկայի դասերին կարելի է օգտագործել նաև գեղարվեստական ստեղծագործություններից ընտրված նյութեր, որոնք կապ ունեն առար-կայի հետ, հայտնի մարդկանց մեջբերումները մաթեմատիկա ուսումնա-սիրելու անհրաժեշտության մասին: Դա թույլ է տալիս հետաքրքրություն առաջացնել դասի նկատմամբ և ցույց տալ մաթեմատիկայի կապը նաև գրականության հետ:

Տարածված է այն թյուր կարծիքը, թե սովորողների լեզվական կա-րողությունների ու գրագիտության խնդիրները բանասերների գործն է, և այն պետք է լուծվի հայոց լեզվի ու գրականության դասավանդման մի-ջոցով: Բայց չէ՞ որ լեզվի միջոցով արտահայտվում են բազմազան իրողու-թյուններ, որոնք վերաբերում են բնությանը, մարդուն, հասարակությանը, տեխնիկային, արտադրությանը, գիտությանը, արվեստին, սպորտին, նյութական և հոգևոր ոլորտներին: Դրանցից յուրաքանչյուրն ունի լեզ-վաարտահայտչական միջոցների ու ձևերի առանձնահատկություններ, տարբեր հասկացությունների ու կշռադատությունների ներկայացման յուրահատուկ բառապաշար ու ոճ: Ուստի ուսումնական առարկաներից յուրաքանչյուրը, ընդհանրական առնչությունների հետ մեկտեղ, ինքնա-տիպ առնչություններ ևս ունի հայոց լեզվի հետ: Իսկ այդ առնչությունը երկողմանի է. մի կողմից՝ առարկայի ուսուցումը հենվում է սովորողի՝ մինչ այդ ունեցած լեզվական կարողությունների վրա, իսկ մյուս կողմից՝ ուսուց-ման գործընթացում զարգանում է նրա լեզվական հաղորդակցական կարողությունը, հարստանում է բառապաշարը, ձեռք է բերում մտքերը հստակ և ընկալելի արտահայտելու նոր հնարներ և հմտություններ:

32

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Հայոց լեզվի հետ ունեցած առնչությունների բացահայտումը նոր հեռա-նկարներ է բացում հատկապես մաթեմատիկական կրթության համար: Այդ խնդրի կարևորության մասին թեև խոսել են բազմաթիվ հեղինակներ, սակայն ամբողջական մեթոդական համակարգ մշակվել է Հ.Ս. Միքա-յելյանի աշխատանքներում [2], [3]: Միջին դպրոցի համար նրա հեղինա-կած հանրահաշվի դասագրքերում հետևողականորեն և մանկավար-ժական հմտությամբ լուսաբանվում են այն կապերը, որոնք առկա են հանրահաշվի և հայոց լեզվի միջև: Այդ կապերը դրսևորվում են երկու բնագավառների՝ հայոց լեզվի և հանրահաշվի բովանդակության կազմա-վորման ընդհանրությամբ՝ ըստ հետևյալ կառուցակարգի՝

Միջառարկայական կապերի այսպիսի կիրառությունը, հատկապես

երբ այն ներկայացվում է հանրահաշվի դասընթացի մուտք հանդիսացող «Հանրահաշվի լեզուն» թեմայի շրջանակներում, հոգեհարազատ է դարձ-նում դասընթացը, նպաստում ուսումնական նյութի ընկալմանը, ընդլայ-նում է սովորողի մտահորիզոնը, բովանդակային նյութը դարձնում է կի-րառելի և հետաքրքիր: Այս մոտեցումը հետևողականորեն շարունակվում է ամբողջ դասընթացի շարադրանքում, և դա արվում է ինչպես տեսական հարցերի քննարկման, այնպես էլ գործնական-կիրառական առաջա-դրանքների ու մշակված խնդիրների համակարգի միջոցով /տես[3]/:

Ուշագրավ են հատկապես հանրահաշվական գործողությունների հետ կապված լեզվական խնդիրների դիտարկմանը վերաբերող նյութերը, որոնք կազմում են հանրահաշվի դասընթացի հիմքը և ամփոփված են 7-րդ դասարանի դասագրքում: Այդ նյութերը արժեքավոր են նաև նրանով,

Այբուբեն Բառ Նախադասություն

Այբուբեն Արտահայտություն Բանաձև

Հ ա յ ո ց լ ե զ ո ւ

Հ ա ն ր ա հ ա շ ի վ

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

որ կարող են որպես ուղեցույց ծայառել տարրական դպրոցի մաթեմա-տիկայի դասավանդման համար ևս, որտեղ դիտարկվում են թվաբանա-կան գործողություններն ու դրանց հատկությունները: Իսկ սովորողների լեզվատրամաբանական մտածողության ձևավորման հարցերը պետք է կարևորվեն դեռևս կրտսեր դպրոցից, և ոչ թե 7-րդ դասարանից հետո միայն: Առավել հանգամանորեն անդրադառնանք այդ հարցին:

Օրինակ: Տարրական դպրոցի գործող դասագրքերում մեծություն-ների համեմատության ինտուիտիվ մակարդակում հիմնական շեշտը դրվում է երկարության և նրա լեզվակիրառական խնդիրների վրա, որին հաջորդում են արագության և զանգվածի դիտարկումները (տես [4]): Այն-ինչ, եթե հետևենք հանրահաշվի դասագրքում զետեղված մեծությունների կիրառման աղյուսակին, ապա կտեսնենք, որ կարելի է դիտարկել նաև մակերեսի, ժամանակի և ծավալի մեծությունները: Նշված աղյուսակը թույլ է տալիս նաև դիտարկված մեծություններից յուրաքնչյուրի համար առա-ջարկել հոմանիշների համակարգված ցուցակ, և առաջարկված խնդիրնե-րի համակարգը հարստացնել նոր ու կարևոր խնդիրներով: Այնուհետև, գումարման գործողության համար դիտարկվում են միավորման և ավե-լացման մոդելները: Համապասխանաբար ընդունվում են երկու սկզբունք-ներ՝

1. Ընդհանուր մաս չունեցող երկու համասեռ առարկաների միա-վորման մեծությունը հավասար է այդ մեծությունների գումարին:

2. Ավելացումից հետո ստացված քանակությունը հավասար է սկզբնական քանակության և ավելացված քանակության գումարին:

Իհարկե, խոսք լինել չի կարող տարրական դպրոցում նման ընդհանրական բանաձևումների մասին: Սակայն դրանց իմացությունը և կիրառությունը որպես ուսուցման ուղեցույց, ուսուցչին հնարավորություն կտա հարստացնելու դասագրքերում եղած խնդիրները նորերով, նշված սկզբունքները կիրառելով ստանալ համասեռ առարկաների միավորման և ավելացման վերաբերյալ խնդիրներ նաև այն մեծությունների համար, որոնց վերաբերյալ խնդիրներ դասագրքում չեն դիտարկված: Հայոց լեզվի հետ միջառարկայական կապերի տեսակետից նկատում ենք, որ առար-կաների միավորումը նշելու համար հայոց լեզվում հաճախ գործածվում են միացնել, կցել, խառնել, միասին բառերը (տես [3]): Մինչդեռ դրանց մի մասը չի ընդգրկված տարրական դպրոցի մաթեմատիկայի դասագրքերի

34

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

նյութի մեջ: Ուսուցիչը հեշտությամբ կարող Է լրացնել այդ բացը և առա-ջարկել համապատասխան խնդիրներ հիշյալ բառերի մասնակցությամբ:

Հայոց լեզվի և մաթեմատիկայի կապի հետագա խորացման և նշված բառերի ուսուցման արդյունավետության բարձրացման, սովորող-ների լեզվական մտածողության զարգացմանը մեծապես նպաստում են հետևյալ բնույթի առաջադրանքները: 1. Ի՞նչ բառեր կարելի Է դնել գծիկների փոխարեն. ա. 1 դույլ ջուրը —— 2 դույլ ջրի հետ: բ. Իրար —— 3 մետր և 4 մետր երկարություն ունեցող պարանները: 2. Հետևյալ առարկաներից որո՞նց միավորման մեծությունը որոշելիս Է գործածվում խառնել (զոդել, միացնել) բառը, ա. ջուր և հյութ, բ. պղինձ և երկաթ:

Ավելացման փոխարեն հայոց լեզվում հաճախ է գործածվում են նաև այլ բառեր (տես [3]). երկարության համար` մեծացնել, երկարացնել, բարձրացնել, խորացնել, կցել, ձգել, լայնացնել, միացնել. մակերեսի համար` մեծացնել, ընդարձակել, լայնացնել, կցել, միացնել և այլն: Այստեղ նույնպես պետք Է նկատի ունենալ միավորման գումարային սկզբունքի կապակցությամբ ասված դիտարկումները: Բերենք, օրինակ, հետևյալ տիպի խնդիրներ, որոնք հաջողությամբ կարելի Է առաջադրել տարրա-կան դասարաններում. 1. Հետևյալ առարկաներից որի՞ն նույնպիսի առարկա ավելացնելիս Է գործածվում կցել բառը. ա. փոսը, բ. ձողը, գ. շենքը, դ. թելը: 2. Ի՞նչ բառ կդնեք գծիկի փոխարեն. ա. 1 մետր կտորին —— 2 մետր կտոր, բ. 2 կգ ծիրանին —— 1 կգ շաքարավազ:

Տարրական դասարաններում ավելացման գումարային սկզբունքին զուգահեռ նպատակահարմար է կիրառել նաև հետևյալ սկզբունքը. Տրված առարկայից նրա ինչ-որ մասը պակասեցնելուց հետո ստաց-ված առարկայի մեծությունը հավասար է այդ առարկայի և պակասեց-ված մասի մեծությունների տարբերությանը: Պակասեցմանը զուգըն-թաց հայոց լեզվում գործածվող համապատասխան բառերի աղյուսակը զանազան մեծությունների համար, կարելի Է գտնել «Հանրահաշիվ 7» դասագրքում:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

35

Դրանք են. Երկարության համար՝ օտարել, առանձնացնել, փոքրացնել, կարճաց-

նել, ցածրացնել, ծանծաղեցնել, կտրել, գործածել, օգտագործել. Մակերեսի համար՝ օտարել, առանձնացնել, փոքրացնել, նեղացնել,

գործածել, օգտագործել . Ծավալի համար՝ օտարել, առանձնացնել, փոքրացնել, նվազեցնել,

բարակացնել, սեղմել, գործածել, օգտագործել, թափել. Զանգվածի համար՝ օտարել, առանձնացնել, փոքրացնել, թե-

թևացնել, քչացնել, թափել, նվազեցնել, գործածել, օգտագործել. Ժամանակի համար՝ փոքրացնել, կարճացնել, նվազեցնել Արագության համար՝ փոքրացնել, ցածրացնել, իջեցնել, նվազեցնել . Գնի համար՝ փոքրացնել, քչացներ իջեցնել, էժանացնել, գործածել,

օգտագործել, ծախսել, վճարել: Քանակությունների համեմատության հանման սկզբունքը նույնպես

կարելի Է հաջողությամբ օգտագործել տարրական դասարաններում վերը նշված նպատակներով: Երկու համասեռ առարկաների մեծությունների տարբերությունը ցույց է տալիս, թե դրանցից մեկը մյուսից ինչքանով է տարբերվում: Այստեղ աշակերտների լեզվամտածողության զարգաց-մանը մեծապես կարող Է նպաստել «Հանրահաշիվ 7» -ի աղյուսակում բերված բառերի ուսուցումը: Իհարկե համապատասխան մեթոդիկան անհրաժեշտ է մանրակրկիտ մշակել՝ առաջադրելով խնդիրների համա-պատասխան համակարգ: Օրինակ՝ Ի՞նչ բառ կդնեք գծիկի փոխարեն. ա. Արարատը ——- Արագածից-մետրով: բ. Փար ի զ ը —— Մոսկվայից- կիլոմետրով: գ. Ոսկու մեկ գրամը —— արծաթի մեկ գրամից —— դրամով: դ. Դասը- դասամիջոցից-րոպեով:

Արտադրյալի ու քանորդի մի շարք մոդելների որոշ մասնավոր դեպքեր նույնպես կարելի Է կիրառել տարրական դպրոցում, իսկ դրանք ամբողջությամբ, իհարկե, առանց համապատասխան տեսական բանա-ձևումների՝ 5-6-րդ դասարանների մաթեմատիկայի դասընթացոմ:

Չափազանց կարևոր է ավելացման գումարային և արտադրյալային սկզբունքների միջև զուգահեռի անցկացումը: Ըստ ավելացման արտադր-յալային սկզբունքի` տրված առարկան ինչ֊որ թիվ անգամ ավելաց-նելուց հետո ստացված առարկայի մեծությունը հավասար է այդ թվի

36

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

և տրված առարայի մեծության արտադրյալին: Այս սկզբունքի վերա-բերյալ առաջին խնդիրների դիտարկումից հետո արդեն կարելի է կա-տարել նշված համեմատությունը: Նպատակահարմար է այստեղ բերել հետևյալ տիպի օրինակներ. աշակերտի հասակը ավելացավ 5 սանտի-մետրով, աշակերտի ունեցած դրամը ավելացավ երկու անգամ և այլն: Աշակերտը պետք Է հստակ պատկերացնի, որ չնայած նման դեպքերում երկու իրադրության մեջ էլ ավելացում ենք կատարում, սակայն ստացված քանակությունը գտնելու համար առաջին դեպքում կատարում ենք գումա-րում, երկրորդում՝ բազմապատկում: Այստեղ նույնպես նկատենք, որ բեր-ված սկզբունքների ուսուցման մասին խոսք լինել չի կարող: Խոսքը գնում է միայն նրանց առանձին դրսևորումների մասին: Նշված զուգահեռի անց-կացումը շարունակվում է նաև քանակությունների համեմատման հան-ման և քանորդային սկզբունքների ուսուցման ընթացքում: Կարելի Է մտա-ծել նաև տարրական դպրոցում կշռույթի հասկացության նախաուսուցման հիմքեր ստեղծելու մասին:

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում սովորողների լեզվա-կան հմտությունների զարգացման վիթխարի հնարավորություններ ունի «Տրամաբանության տարրեր» բովանդակային գիծը: Այնպիսի հասկացու-թյուններ, ինչպիսիք են՝ ասույթը, համախումբը, համակարգը, համարժե-քությունը, հետևությունը, ժխտումը, այնուհետև՝ «գոյություն ունի», «ցան-կացած» և այլ տրամաբանական ձևերը ուղղակի առնչություն ունեն լեզ-վական կառուցվածքների և քերականական կանոնների հետ (տես[3]): Լեզվական իրողությունների և մաթեմատիկական մոդելների միասնա-կան դիտարկումը, ինչը բխում է բովանդակային նյութի ներքին տրամա-բանությունից, թույլ է տալիս, մի կողմից, առավել ընկալելի և մատչելի դարձնել առաջին հայացքից բարդ թվացող մաթեմատիկական բանա-ձևերի իմաստը, մյուս կողմից՝ հստակեցնել և ճշգրտել դատողությունների ներկայացման լեզվական ձևակերպումները:

Առարկայական իմացությունը շաղախված է լեզվատրամաբանա-կան մտածողությամբ, որը միշտ կապահովի արդյունավետ ուսուցման ա-ռավելագույն մակարդակ, եթե աշակերտի լեզվական արտահայտչա-միջոցների իմացություննը բավարար է: Ստորև ներկայացնենք «Մաթե-մատիկա + հայոց լեզու» միասնական թեստի մի նմուշօրինակ.

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

37

1. Ճշմարիտ պնդում ստանալու համար լրացնել բաց թողնված բառերը. Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և .... անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու կողմերին և .... անկյանը, ապա եռանկյունները հավասար են: ա) մյուս երկու գ) նրանցով կազմված բ) նրանց առընթեր դ) երկու սուր 2. Լրացնել բաց թողնված բառը կամ բառակապակցությունը. Քառակուսի հավասարումը ունի արմատ..... դեպքում: ա) տարբերիչի գ) լուծելու բ) տարբերիչ ունենալու դ) ոչ բացասական տարբերիչի 3. Կետադրել հետևյալ նախադասությունը. ա) Երկու ուղիղներ կամ ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ կամ ընդհանուր կետ չունեն բ) Ընտրելով չափման միավորը կարելի է չափել յուրաքանչյուր հատված այսինքն նրա երկարությունը արտահայտել դրական թվով 4. Հետևյալ թեորեմներից ո՞րն է պարզ նախադասություն. ա) Հակադիր անկյունները հավասար են: բ) Եռանկյան անկյան կիսորդը հանդիպակաց կողմը տրոհում է երկու հատվածների, որոնք համեմատական են կից կողմերին: գ) Եթե երկու ուղիղները հատողով հատվելիս խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են: դ) Ներգծյալ անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա հենված է: 5. Հետևյալ ձևակերպումներից ո՞րն է սահմանում. ա) Այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է քառա-կուսի: բ) Եթե երկու ուղիղները զուգահեռ են երրորդին, ապա նրանք զուգահեռ են միմյանց: գ) Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի: դ) Կից անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի: 6. Առաջադրությունը, որի ճշտությունը ապացուցվում է, կոչվում է՝ ա) աքսիոմ բ) թեորեմ գ) սահմանում

38

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

7. Տրված բառերով ձևակերպել զուգահեռության սահմանումը` բառերն անհրաժեշտության դեպքում ենթարկելով քերականական ձևափոխու-թյան: հարթություն, երկու, ուղիղ, վրա, կոչվել, եթե, նա, զուգահեռ, հատվել: 8.Նշեցեք այն բառը, որը կազմված է միայն երկու արմատից. ա) եռանկյուն գ) սկիզբ բ) հակադիր դ) կիսորդ 9. Նշեցեք նախադասության մեջ գործածված ստորոգյալի տեսակը. Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են: ա) պարզ ստորոգյալ գ) բաղադրյալ ստորոգյալ բ) հանգույց դ) ստորոգելի 10. Ընտրել այն տարբերակը, որը տեղադրելու դեպքում քերականորեն և տրամաբանորեն ճիշտ նախադասություն կստանանք. Մեկ անհայտով հավասարումը կոչվում է նույնություն կամ նույնական հավասարում ինչ-որ թվային բազմության վրա, …… ա) եթե այդ բազմության յուրաքանչյուր տարր հավասարման արմատ է: բ) որովհետև այդ բազմության յուրաքանչյուր տարր հավասարման լուծում է: գ) եթե մի բանաձև համարժեք է մյուսին: դ) բայց պատկերում է թվային ուղղի յուրաքանչյուր կետ: 11. Որոշել տրված նախադասության բայի եղանակը. Յուրաքանչյուր արտահայտություն ունի իր հակադիրը: ա) սահմանական եղանակ գ) պայմանական եղանակ բ) ըղձական եղանակ դ) հրամայական եղանակ 12. Ո՞ր նախադասության մեջ համաձայնության սխալ կա. ա) Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը և դրանց կազմված անկյունը համա-պատասխանաբար հավասար է մյուս եռանկյան երկու կողմերին և դրանց կազմած անկյանը, ապա այդպիսի եռանկյունները հավասար են: բ) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը նաև միջնագիծ է և կիսորդ:

Նշենք, որ նման միասնական թեստերն ունեն առավելապես ուսու-ցողական նշանակություն, իսկ դրանք դեպքից-դեպք կարելի է գործածել ինչպես կրտսեր,այնպես էլ միջին և ավագ դպրոցներոմ:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

39

Գրականություն

1. Աղայան Է. Բ. Արդի հայերենի բացատրական բառարան, Եր., Հայաստան,1976թ

2. Միքայելյան Հ.Ս. Հայոց լեզվի հետ միջառարկայական կապերը հանրաշվի դասընթացում //Մաթեմատիկան դպրոցում,N2,2002թ

3. Միքայելյան Հ.Ս. Հանրահաշիվ 7, Հանրահաշիվ 8, Հանրահաշիվ 9,դասագիրք հանրակրթական դպրոցի համար,Եր.,Էդիթ-Պրինտ, 2006թ, 2007թ, 2008թ

4. Մկրտչյան Ս. և ուրիշ. Մաթեմատիկա 2, Մաթեմատիկա 3, Մաթե-մատիկա 4, դասագիրք հանրակրթական դպրոցի համար,Եր., Զանգակ, 2012թ,2013թ, 2014թ.

5. Մաշուրյան Ա. Մայրենին և մաթեմատիկան //Մաթեմատիկան դպրոցում,N1,1998թ

6. Լ.Աթանասյան և ուրիշներ, Երկրաչափություն 7,8,9, դասագիրք հանրակրթական դպրոցի համար,Եր.,Զանգակ, 2011թ, 2012թ, 2013թ.

7. Ֆ. Հ. Խլղաթյան, Հայոց լեզու 8,դասագիրք հանրակրթական դպրոցի համար,Երևան 1999 թ.

Развитие лингвистических навыков в процессе обучения математике

Рита Чичояан Резюме

В статье рассматриваются междисциплинарные связы математики и армянского языка. Основываясь на методологии, разработанной Г. С. Микаеляном, показано, что раскрытие таких ссылок существенно способствует развитию языковых и коммуникативных навыков учащихся, а учебный материал становится интересным, ощутимым и приобретает познавательное и прикладное значение.

40

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

The Development of Language Skills in the Process Teaching of Mathematics

Rita Chichoyan Summary

The article discusses interdisciplinary issues of Mathematics and Armenian Language. Based on the methodology developed by H.S. Mikayelyan, it is demonstrated that finding such links contributes essentially to the development of language and communication skills of the students, and makes the learning material interesting, perceptible and provides cognitive and practical importance.

Ռիտա Արշավիրի Չիչոյան – Երևանի N39 հիմն.դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Հեռախոս՝ 055534884 Էլ. hասցե` Rita-Chichoyan@mail.ru

41

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԱՎՈՐՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ՏԵՔՍՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ

ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՄԻՋՈՑ

Ալվարդ Հակոբյան

Բանալի բառեր - տեքստային խնդիր, մաթեմատիկական մոդել, մաթեմատիկական լեզու, բառային բովանդակության վերլուծություն, դիդակտիկ խաղ «Դոմինո», շարժում, արա-գություն, ժամանակ, հեռավորություն, մոդելի կառուցում, մոդելի լուծում:

Մաթեմատիկական կրթության առաջատար նպատակները սահ-մանվում են ժամանակակից հասարակության մեջ մաթեմատիկայի` որ-պես գիտության, տեղով և դերով, այդ հասարակության զարգացման մի-տումներով, նրա նախապատվություններով, կրթության հումանիտարաց-ման գործընթացների խորությամբ և համակարգավորվածությամբ:

Դպրոցական մաթեմատիկական կրթության կարևոր նպատակ-ներից մեկը աշակերտների մոտ պարզագույն իրական գործընթացների մաթեմատիկական մոդելների կառուցման, ըստ մաթեմատիկական մո-դելների այդ գործընթացների ուսումնասիրության, միևնույն մաթեմատի-կական մոդելով նկարագրվող գործընթացներում ընդհանուրը տեսնելու

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

42

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ունակությունների ձևավորումն է: Միևնույն ժամանակ կարևոր են աշա-կերտների գործունեության ինչպես ալգորիթմային, այնպես էլ էվրիստիկ բաղադրիչները, նրանց ստեղծագործական ներուժի բացահայտումը:

Հասկանալի է, որ նշված նպատակների իրագործման մեջ կարևոր դերը պատկանում է տեքստային (սյուժետային) խնդիրներին:

Ինչպիսի մոդել էլ կիրառվի տեքստային խնդիրների լուծումներում` թվաբանական արտահայտություն, հավասարություն, անհավասարու-թյուն կամ դրանց համակարգը, գրաֆիկ և այլն, աշակերտը մոդելը կազ-մելիս պետք է ցուցաբերի ելակետային իրավիճակի ընկալում, հնարա-մտություն, առկա գիտելիքների և պատկերացումների համակարգավոր-ման, իր կողմից կուտակած փորձի նպատակաուղղված կիրառման ունա-կություն: Ներմոդելային լուծումը մեծամասամբ կապված է մաթեմատի-կայի դպրոցական դասընթացի բովանդակային գծերի հետ, այդ իսկ պատճառով էական արժեք է ներկայացնում մաթեմատիկական խնդիր-ների լուծման ուսուցման գործում:

Յուրաքանչյուր խնդրի մաթեմատիկական մոդելը կառուցելու հա-մար պետք է սովորել թարգմանել խնդրի պայմանը` սովորական լեզվից հատուկ՝ մաթեմատիկական լեզվի: Լեզվի օգնությամբ մարդիկ իրար փոխանցում են տարատեսակ տեղեկություններ, փոխանակում տեղե-կատվությունը: Աշխարհում գոյություն ունեն 2000 տարբեր լեզուներ, որոնցով խոսում, կարդում, գրում են տարբեր ժողովուրդները: Դրանք, այդպես կոչված, բնական լեզուներն են. դրանք առաջացել և զարգացել են ժողովուրդների հետ: Մաթեմատիկայի ուսուցման ընթացքում մարդիկ աստիճանաբար ծանոթանում են մաթեմատիկական լեզվին: Մաթեմա-տիկական լեզուն պատկանում է արհեստական, հատուկ լեզուների թվին, որոնք ստեղծվում և զարգանում են այս կամ այն գիտության հետ միասին: Մաթեմատիկական լեզվով նախադասություններն ավելի կարճ ու պարզ են և, բացի այդ, հասկանալի են տարբեր լեզուներով խոսող մարդկանց: Լեզվաբանության մեջ դա կոչվում է գիտական ոճ, և այն գործառական ոճի տարատեսակներից մեկն է: Գիտական ոճի բնութագրական հատկա-նիշները պայմանավորված են դիտական ոլորտում հաղորդակցման խնդիրներով և գիտական մտածողության եղանակով։ Գիտական ոճի

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

43

բնորոշ հատկանիշներն են համարվում ընդհանրականությունը, նորմա-տիվությունը, ճշգրտությունը, շեշտված տրամաբանականություն տվյալ ոլորտի բնույթով, նրա նպատակով, խնդիրներով։ /Սերգեյ Աբրահամյան -«Գիտական ոճը և նրա առանձնահատկությունները», Երևան 1982/ Ակնհայտ է, որ այն աշակերտը, ով որոշ չափով տիրապետում է մոդելա-վորման մեթոդին, համեմատած նրա հետ, ով այդ մեթոդին չի տիրապե-տում, ավելի հաջող է լուծելու խնդիրները` հավասարում կազմելու մեթո-դով: Հասկանալով պայմանը` նա պարզապես կթարգմանի այն մաթեմա-տիկական լեզվով, կկառուցի այս խնդրի մաթեմատիկական մոդելը, այսինքն` կներմուծի փոփոխականը, կգրանցի դրա օգնությամբ խնդրում առկա բոլոր հարաբերակցությունները և կկազմի դրանք կապող մաթե-մատիկական արտահայտությունը /հավասարումը, անհավասարումը, մեկ կամ մի քանի փոփոխականներով հավասարումների ու անհավասարում-ների համակարգը/: Այնուհետև իրեն կմնա միայն գտնել փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում արտահայտությունը դառնում է ճշմարիտ թվային հավասարություն, և ստուգել` դրանցից որոնք են համապատաս-խան խնդրի պայմանին: 1. Տեքստային խնդիրների լուծման ընթացքում կատարվում է եռափուլ

աշխատանք. 1. մաթեմատիկական մոդելի կազմում.

2. ստացված մաթեմատիկական մոդելի լուծում. 3. խնդրի հարցին պատասխան:

Ինչպես ցույց է տալիս փորձը, սովորողների համար առավելագույն դժվարություն է ներկայացնում առաջին փուլը: Դա բացատրվում է նրա-նով, որ երկրորդ փուլի կատարումը մշակվում է նաև տեքստային խնդիր-ներից անկախ. լուծվում են հավասարումներ և անհավասարումներ, հա-վասարումների համակարգեր: Երրորդ փուլի կատարումը սովորաբար առանձնակի դժվարություններ չի առաջացնում սովորողների մոտ, թե-պետ այստեղ ևս կարող են խնդիրներ առաջանալ անուշադրության պատճառով. անհայտի ատացված արժեքը միանգամից գրվում է որպես խնդրի պատասխան, թեպետ խնդրի հարցը վերաբերվում էր այլ մե-ծությանը և այլն: Այդ ուղղությամբ հմտությունները զարգացնելու համար կարելի է առաջադրել մաթեմատիկական լեզվի թարգմանել տվյալ խնդրի պայմանը, կառուցել հնարավոր մաթեմատիկական մոդելը:

44

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Աշակերտները ստանում են աղյուսակ, որտեղ երկրորդ սյունն անհրաժեշտ է լրացնել: Օրինակ՝

Թիվ հ/հ

Խնդրի պայման Մաթեմատիկական մոդել

1 Առաջին մարմնի արագությունը հա-վասար է երկրորդ մարմնի արագու-թյանը:

x = y

2 Առաջին մարմնի արագությունը մեծ է երկրորդ մարմնի արագությունից 2 կմ/ժ-ով:

ա/ x – y = 2,

բ/ x – 2 = y, գ/ x = y + 2

3 Առաջին մարմնի արագությունը 3 կմ/ժ-ով փոքր է երկրորդ մարմնի արագությունից:

ա/ x + y = y

բ/ x = y – 3, գ/ y – x = 3

4 Առաջին մարմնի արագությունը երկու անգամ մեծ է երկրորդ մարմնի արագությունից:

ա/ x = 2y

բ/ = , գ/ = 2

5 Առաջին մարմնի արագությունը 4 անգամ փոքր է երկրորդ մարմնի արագությունից:

ա/ y = 4x

բ/ = , գ/ = 4: Մաթեմատիկական դիդակտիկ խաղ`«դոմինո»:

Այս խաղային մեթոդի կիրառման ընթացքում սովորողները ամ-րապնդում են մաթեմատիկական մոդելների` արտահայտությունների կամ հավասարումների կազմումն ըստ խնդրի պայմանի: Տվյալ խաղում խաղացողներին /4-ական մարդ, 2 թիմ/ առաջարկվում են թղթից պատ-րաստված դոմինոյի «խաղաքարերը» /12 նմուշ/, որոնցից յուրաքանչյուրը բաժանված է երկու դաշտերի. դաշտերից մեկում նկարագրված է խնդրի իրավիճակը, մյուսում` մեկ այլ խնդրի իրավիճակի պատրաստի մաթեմա-տիկական մոդելները: Խաղացողներին անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր խնդրի իրադրության համար ընտրել սեփական մոդելը կամ մոդելները, ընդ որում նրանք պետք է որոշեն, թե որ մեծությունները կարելի է նշել x-

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

45

ով: Խաղի կանոնը ինչպես դոմինոյում է. քայլերը կատարվում են հերթով, եթե չկա անհրաժեշտ նշան, քայլը բաց է թողնվում: Դժվարության դեպքում կարելի է խորհրդակցել: Բոլոր կտորներն առաջինը դուրս հանած թիմը հաղթում է: Որպես օրինակ ստորև ներկայացված են երեք «խաղաքարեր»:

Գրադարաններից մեկում գրքե-րը 1,5 անգամ շատ են, քան մյու-սում:

x – 25= y, y + 25= x, x – y = 25

Ընդամենը 24 մարդ է: Քանիսն են տղաներն ու քանիսը` աղջիկ-ները:

1,5 x =y, , , =x

10-ը մեծ է 8-ից 2-ով 24 – x= y, x + y = 24, 24 – y= x

«Մեկ անհայտով գծային հավասարումների բերվող խնդիրների լուծում» թեմայով դասի հիմնական նպատակն է զարգացնել տեքստային խնդիր-ների լուծման համար անհրաժեշտ մաթեմատիկական մոդելներ ձևա-վորելու կարողությունը: Այդպիսի մոտեցման առավելությունն այն է, որ աշակերտները սովորում են քայլերի հաջորդականությանը տեքստային խնդիրների լուծման առաջին փուլում, հասկանում են դրանց անհրաժեշ-տությունն ու փոխադարձ պայմանավորվածությունը:

Քննարկենք շարժման վերաբերյալ խնդրի մոդելավորման ևս մեկ օրինակ

Խնդիր. Ավտոբուսը ժամը 930 -ին դուրս էր եկել A վայրից և նա-խատեսել էր 1430-ին հասնել A-ից 250 կմ հեռավորության վրա գտնվող B վայրը: 1. Քանի՞ կմ/ժ արագությամբ պետք է ընթանա ավտոբուսը` ժամանակին B հասնելու համար: 2. A վայրից քանի՞ կմ հեռավորության վրա կգտնվի ավտոբուսը ժամը 1100-ին: 3. Շարժումը սկսելուց քանի՞ րոպե հետո ավտոբուսը կգտնվի A-ից 80 կմ հեռավորության վրա: 4. Եթե ժամը 1130-ին ավտոբուսը կես ժամ կանգ առներ, ապա քանի՞ կմ/ժ արագությամբ պետք է շարունակեր ճանապարհը, որպեսզի ժամանակին հասներ B վայրը: Անհրաժեշտ է` հիշեցնել նշված հասկացությունները, բանաձևերը,

46

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

մեծությունների միավորները, կատարել խնդրի բառային բովանդակու-թյան վերլուծություն, ընտրել խնդրին համապատասխան մոդելը, կառուցել մոդելը (գծագիր, հավասարումներ, համակարգեր) և լուծել, կատարել ստացված արդյունքների վերլուծություն (մոդելի ադեկվատության ստու-գում):

Հարց 1 Խնդրի մոդելի կառուցումը

Առաջին հարցին պատասխանելու համար նախ պետք է հաշվել

նախատեսված ժամանակը, որի ընթացքում ավտոբուսը պետք է անցնի 250 կմ ճանապարհը` 14 - 9 =5 ժամ 1/ v= = =50 կմ/ժ

Սա ուսուցման պարտադիր մակարդակն է, որը պետք է ապահովվի: Քանի որ առաջին հարցով արդեն հաշվել են արագությունը, որը մեկ ժամում անցած ճանապարհն է, յուրաքանչյուր բաժանումը նորից կիսելով, մոդելի միջոցով աշակերտները առանց հավասարում կազմելու կարող են պատասխանել երկրորդ հարցին` հաշվելով յուրաքանչյուր կես ժամում անցած ճանապարհը:

Հարց 2

1-ին եղանակով աշակերտները ըստ գծագրի առավել տեսանելի և հեշտ ձևով կորոշեն այդ հեռավորությունը` 3*25=75 կմ: Երկրորդ եղանակ` t=1,5ժ; v=50կմ/ժ S=vt=1,5*50=75կմ:

2-րդ եղանակով լուծելուց հետո կարելի է աշակերտներին հարց տալ, թե որ եղանակն իրենց ավելի դուր եկավ: Պատասխան`. 75կմ:

Հարց 3 1-ին եղանակ. Երկրորդ հարցի պատասխանից գիտենք, որ 75կմ-ը անցել է1,5 ժամում: Մնացել է 5կմ: Եթե 50կմ-ը անցնում է

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

47

1ժամում և 5կմ-ը 50-ի մասն է, ապա 5կմ-ը կանցնի ժամում, այսինքն`

=6ր-ում: Ապա 1,5 ժ կդարձնենք րոպե և կգումարենք` 1,5 ժ=90ր, 90+6=96: 2-րդ եղանակ. AK=80կմ, v=50կմ/ժ, t= = ժ= 60ր=96ր: (Սա լուծման ավանդական մեթոդ է): Պատասխան`96:

Հարց 4 (դարձյալ կօգտվենք մոդելից)

Գծագրից երևում է, որ 9 -ից 11 -ը գնացքն անցել է 100կմ, և մնում է անցնելու` PB =150կմ:

Ըստ պայմանի` նախատեսված էր անցնել 5 ժամում: Քանի որ 9 -

ից 11 -ը 2 ժամ է, և 0,5 ժամ էլ եղել է P կանգառում, ապա մնում է, որ PB հեռավորությունն անցնի` 5-2,5=2,5 ժամում: Այսինքն` V= , =60կմ/ժ: Պատասխան` 60կմ/ժ:

Դիտարկենք ևս մեկ խնդիր համատեղ աշխատանքի վերաբերյալ:

Վարպետը և աշակերտը, մասին աշխատելով, պատը կարող են շա-րել 8 օրում: Հայտնի է, որ վարպետն աշակերտից երկու անգամ արագ է աշխատում: 1. Աշխատելով առանձին աշակերտը քանի օրում կարող է շա-րել պատը: 2. Մեկ ժամում վարպետն աշակերտից քանի տոկոսով ավելի պատ կշարի: 3. Ընդամենը քանի օրում նրանք կշարեն պատը, եթե սկզբում 3 օր միայն աշակերտն աշխատի, իսկ մնացած մասն աշխատեն միասին:

4. Քանի օրում նրանք կշարեն պատը, եթե վարպետն սկսի աշխա-տել 2 անգամ ավելի դանդաղ, իսկ աշակերտը 3 անգամ ավելի արագ:

Անհրաժեշտ հասկացությունը արտադրողականությունն է, որը մի-ավոր ժամանակում կատարած աշխատանքն է, որն ըստ էության հզորու-

48

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

թյունն է (միջառարկայական կապ` ֆիզիկայի հետ): Սովորողները «ար-տադրողականություն» եզրույթը պետք է ճիշտ հասկանան և լավ յուրաց-նեն: Խնդրի առանցքային գաղափարը` «վարպետը աշակերտից երկու անգամ արագ է աշխատում» պայմանն է, որը բերում է նշանակման հայտնի սխալի. երբ երկու անգամ ավելի արագ կատարվող աշխատանքի ժամանակը նշանակում են 2x-ով, աշակերտի աշխատանքի ժամանակը` x-ով: Կատարել նշանակումներ և կազմել մոդելը (հավասարումներ) և լուծել:

Վարպետ Աշակերտ

Ամբողջ աշխատանքը մենակ x օրում, Ամբողջ աշխատանքը մենակ 2x օրում,

1 օրում` 1 օրում`

Միասին 8 օրում, 1 օրում միասին կկատարեն աշխատանքի մասը:

Կստանանք հետևյալ հավասարումը՝ + = : Լուծելով հավասարումը կստանանք հիմնական մեծությունները x=12, x=24 և անմիջապես կունե-նանք առաջին հարցի պատասխանը` 24: Պատասխան` 24 օրում:

Խնդիրների ընտրությունը, դրանց ֆաբուլայի, բարդության մակար-դակի ընտրությունը, դրանց լուծման դասավանդումը եղել և մնում է ար-դիական, ինչն էլ մղում է հանրահաշվի դասընթացում տեքստային խնդիր-ների լուծման ճանապարհների ու մեթոդների որոնմանը: Այսպիսով` որ-պես խնդրի լուծման հիմնական միջոց ընտրված է ուսուցչի նպատակա-ուղղված աշխատանքի համակարգը հետևյալ ուղղություններով՝ դպրոցա-կանների մոտ տեքստային առաջադրանքի հանրահաշվական լուծման երեք փուլերի հստակ պատկերացումների և անհրաժեշտության հասկա-ցողության ձևավորում, առաջադրանքում դիտարկվող իրավիճակի մաթե-մատիկական մոդելի կազմում, ներմոդելային լուծում, լուծման եղանակի որոնում, խնդրի լուծման իրականացում, խնդրի լուծման ստուգում, խնդրի հետազոտում, անդրադարձ խնդրի բովանդակությանը, խնդրի պատաս-խանի ձևակերպում:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

49

Գրականություն

1. Միքայելյան Հ. Ս.-Հանրահաշիվ 7-9, դասագրքեր, Երևան, Էդիտ Պրինտ, 2006, 2007, 2008թթ.:

2. Мордкович А. Г.-Методическое пособие для учителя. 2-ое изд. 2001г. 3. Նիկոլսկի Ս.Մ, Պոտապով Մ.Կ. և այլոք - «Հանրահաշիվ 9»,

դասագիրք հանրակրթ. հաստատ. համար, «Просвещение», 2000թ.: 4. Саранцев Г. И.-Методика обучении математики в средней школе,

«Просвещение»,2002г. 5. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология, 3-ее изд.,

«Академия»1999г. 6. Фридман Л.М. –Сюжетние задачи по математике. История, теория,

методика. Школьная пресса, 2002г.

7. Սերգեյ Աբրահամյան «Գիտական ոճը և նրա առանձնահատ-կությունները», Երևան 1982/:

Математическое моделирование-средство обучения

решения текстовых задач Алвард Акопян

Резюме

В данной статье представляются и рассматриваются вопросы, ка-сающиеся обучении методики решениия текстовых задач в школьной программе математики. А именно: перевод задачи на математический язык, ввод математической модели, этапы решений задач, правильная оценка постановки путающих вопросов в задаче, правильный выбор нужного ответа и т. д Представляется игровой метод для закрепления знаний в решении текстовых задач математическим моделированием.

50

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Mathematical modeling as a teaching means of solving text problems

Alvard Hakobyan Summary

The article represents and discusses issues concerning the teaching of solving text /plot problems during math lessons at school, especially about the translation of a problem into a mathematical language,the importation of a mathematical problem,the right appointment of the unknown quantity, the stages of problem solving,the right assessment of deceptive questions in problems and the right choice of the required answer. A playing method is suggested in order to fortify the knowledge of solving text problems with mathematical modelling.

Ալվարդ Հակոբյան - Արարատի մարզ Արտաշատի ավագ դպրոց մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Էլ հասցե՝ hhhhalla@mail.ru

Հեռախոս՝ 093206302, 043225239

51

ՕԺԱՆԴԱԿ ԿԱՌՈՒՑՈՒՄ ՊԱՀԱՆՋՈՂ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԴԱՍԱԿԱՐԳՈՒՄ

Անժելիկա Հակոբյան

Բանալի բառեր - Երկրաչափություն, գծապատկերի վերլու-ծություն, օժանդակ կառուցում, ստեղծագործական մտածելա-կերպ, տվյալների փոխկապակցվածություն, բանաձևային հաշվարկ, կիրառական հմտություն

Երկրաչափական խնդիրների լուծման գործընթացը լավ միջոց է ու-սուցումը ինտենսիվ դարձնելու և մտածող ու ստեղծագործող անձին բնո-րոշ հատկություններով աշակերտ դաստիարակելու համար: Սովորող-ների զարգացման գործընթացում խնդիրների լուծումը նոր գիտելիքներ և կարողություններ ձեռք բերելու լավագույն միջոցն է: Աշակերտը պետք է կարողանա ինքնուրույն գտնի խնդրի լուծման ճանապարհը: Այն խնդիրները, որոնք կարելի է լուծել միայն օգտվելով բանաձևից, կրում են նեղ ուսուցողական բնույթ: Մտածելակերպը զարգացնող երկրաչափու-թյան խնդիրները ինքնուրույն լուծելու համար դժվարություն են առա-ջացնում հետևյալ հանգամանքները՝ խնդիրները չունեն լուծման միա-տեսակ ալգորիթմ, բազմաթիվ թեորեմներից պետք է ընտրել առավել համապատասխանը: Երկրաչափական խնդիրների լուծման մեթոդները, կախված խնդրի տրված պայմաններից, երեքն են՝ 1. Երկրաչափական. երբ անհրաժեշտ պնդումը դուրս է բերվում մի շարք

հայտնի թեորեմների հիման վրա կատարված շաղկապված տրամա-բանական դատողություններից:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

52

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

2. Հանրահաշվական. երբ գտնելով խնդրի պատկերի տարրերի մեծու-թյունների միջև կախվածությունը, հնարավոր է լինում կազմել հա-վասարում:

3. Համակցված, երբ խնդրի լուծումը բաղկացած է փուլերից, որտեղ կի-րառվում են և΄ երկրաչափական, և΄ հանրահաշվական մեթոդները հաջորդաբար: Յուրաքանչյուր խնդրի լուծում անհրաժեշտ է սկսել գծապատկերի հե-

տազոտությունից, շատ հաճախ ըստ խնդրի տրված պայմանի կատար-ված գծապատկերի միջոցով դժվար է լինում գտնել փնտրվող մեծության և տվյալների կապը: Այս դեպքում օգնության են գալիս գծագրում լրացու-ցիչ կառուցումները: Լրացուցիչ կառուցումները կարող են ստեղծել այլ օ-ժանդակ պայմաններ, որոնք կապահովեն տրամաբանական կապը (իրենց միջոցով) խնդրի տվյալների և խնդրի պահանջի միջև: Կարելի է դիտարկել լրացուցիչ կառուցումների երեք հիմնական ուղղվա-ծություն:

1. Լրացուցիչ կառուցումների միջոցով պատկերների ամբողջացում, ապա որոշվող անհայտ մեծության հետ տրամաբանական կապ ունեցող տվյալների հաջորդական որոշումներ:

Խնդիր 1. Որոշել 60°-ի հավասար O անկյան ներքին տիրույթում գտնվող կետի հեռավորությունը անկյան գագաթից, եթե այդ կետի հեռավորու-թյունները անկյան կողմերից hավասար են և :

Օժանդակ կառուցում` անկյան OB կողմին տարված ուղղահայացը K կետի կողմից շա-րունակենք մինչև անկյան մյուս կողմի հետ հատվելը D կետում: Այդ դեպքում ⊿ − ում∠ = 90° −∠ = 90° − 60° = 30°, ⟹⊿ −ում = 2 = 2 , ⟹ = + = 2 + : Դիտարկենք ⊿ − ն, = ∙ 30° =(2 + ) ∙ √ : Հիմա դիտարկենք ⊿ − ն,

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

53

ըստ Պյութագորասի թեորեմի = + ; = √ + ; = ( ) + = √3 + 3 + 3 :

Պատ.՝ √3 + 3 + 3 : Խնդիր 2. EF և AG հիմքերով AEFG սեղանը գտնվում է ABCD քառակուսու մեջ, որի կողմի երկարությունը հավասար է 14, ընդ որում E,F,G կետերը գտնվում են համապատասխանաբար AB, BC, CD կողմերի վրա: Սեղանի AF և EG անկյունագծերը փոխուղղահայաց են, իսկ EG=10√2: Գտնել սեղանի պարագիծը:

Օժանդակ կառուցում՝ G կետով տանենք քառակուսու AD կողմին զուգահեռ և AB կողմը K կետում հառտող ուղիղ: Կստա-նանք ⊿ , որը ըստ Էջի և սուր անկյան հավասար է ⊿ -ին (KG=AB; ∠ = ∠ , որպես համապատաս-խանաբար փոխուղղահայաց կողմերով անկյուններ): ⊿ -ում ըստ պյութագորասի

KE=√ − = 10√2 − 14 = 2: Դիտարկենք ⊿ և⊿ նման են, ըստ նմանության առաջին հայտանիշի (∠ = ∠ = 90°; ∠ = ∠ ,որպես զույգ առ զույգ զուգահեռ կողմերով անկյուններ):⟹ = (1) Նշանակենք DG=AK= , ապա BE=14-(2 + )=12- ,⟹(1) հավասա-րությունը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ՝ = , որտեղից կունենանք, որ = = 10,5; AE= + 2 = 12,5; BE=12- = 1,5; CG=14- =3,5; ⊿ ,⊿ , ⊿ եռանկյուններում Պյութագորասի թեորեմից օգտվելով կստանանք, որ՝ EF=2,5; FG=12,5; AG=17,5. = + + + = 45 :

Պատ.՝ 45:

54

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Խնդիր 3. ABC եռանկյան AB և BC կողմերի վրա, եռանկյան տիրույթից դուրս, կառուցված են ABDE և BCKF քառակուսիներ: Ապացուցել, որ DF հատվածը 2 անգամ մեծ է ABC եռանկյան BP միջնագծից:

2. Ոչ փոխկապակցված տվյալների դեպքում լրացուցիչ կառու-ցումների միջոցով այդ տվյալները բերել կապակցված վիճակի:

Խնդիր 4. ABCD սեղանի CD փոքր հիմքի, BD անկյունագծի և AD կողմ-նային կողի երկարությունները իրար հավասար են և հավասարեն -ի, իսկ BC կողմնային կողի երկարությունը՝ -ի: Գտնել AC անկյունագծի երկարությունը:

Օժանդակ կառուցում՝ Հաշվի առնելով, որ A, B, C, կետերը գտնվում են D կետից միևնույն հեռավորության վրա՝ = = = ապա կարող ենք կառուցել p շառավղով և D կենտրոնով շրանագիծ, և գծելով AE լարը և DE շառավիղը, կունենանք նոր ABCE շրջանագծին ներգծված հավասարասրուն սեղան ( = = ): Մեզ հետաքրքրող AC անկյունագիծը՝ ⊿ –ի էջ է հանդիսանում, որը կարելի է հաշվել օգտվելով

Պյութագորասի թեորեմից՝ = √ − = 4 − :

Պատ.՝ 4 − : Խնդիր 5. հավասարասրուն եռանկյան հիմքը հավասար է , սրունքները՝ = = , ∠ = 20°, գագաթից տարված է ուղիղ, որը

սրունքը հատում է կետում և = . Գտնել ∠ − ն: Օժանդակ կառուցում՝ կառուցենք կենտրոնով և սրունքին հա-

վասար շառավղով շրջանագիծ, ապա որպես կենտրոն ընդունենք կետը և կառուցենք նույն շառավղով երկրորդ շրջանագիծը, որը առաջին շրջանագիծը կհատի երկու կետում:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

55

Խնդրի պայմանները կապակցված կդարձնի գծագրում նշված D կետը: Δ հավասարակողմ եռանկյուն է: Տանելով նաև AD լարը կստանանք Δ = Δ ըստ եռանկունների հավասարության առաջին հայտանիշի ( = , = , ∠ = ∠ −∠ = 80° − 60° = 20° = ∠ ): ∠ -ն կենտրոնային անկյուն է ⟹ ⌣ = 20°; ∠ -ն ներգծյալ անկյուն է ⟹ ∠ = ⌣ AC = 10°; ∠ = ∠ = 10°:

Պատ.՝ 10°: Խնդիր 6. ABCD սեղանի AD և BC հիմքեր համապատասխանաբար հա-վասար են և ( ): Հիմքերին զուգահեռ ուղիղը հատում է կողմնային կողերը E և F կետերերում: Գտնել EF հատվածի երկարությունը, եթե = :

3 Կապակցված, սակայն բանաձևային հաշվարկների չբերվող տվյալ-ների դեպքում լրացուցիչ կառուցումների միջոցով ստանալ տվյալներ, որոնք կբերեն բանաձևային հաշվարկների:

Խնդիր 7. ABCD ուղղանկյուն սեղանի (∠ = ∠ = 90°)BC : CD=1:2 և անկյունագծերը փոխուղղահայաց են: Միջին գծի երկարությունը հավա-սար է 10սմ: Գտնել սեղանի հիմքերի երկարությունները:

Օժանդակ կառու-ցում՝ D գագաթից AC անկյունագծին զուգահեռ ուղիղ տանենք, որը BC ուղիղը կհատի F

կետում: Ստացված BCFD

56

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

քառանկյունը զուգահեռագիծ է՝ ∥ ; ∥ ⟹ = ; = : Դիցուք = = ; = ; = 2 : Դիտարկենք ⊿ ,∠ = 90°, քանի որ ∥ և ⊥ , DC ներքնաձիգին տարված բարձրություն է ⟹ = ∙ , կիրառելով նշանակումները կունենանք՝ 4 = ∙; = 4 ;⟹ : = 1: 4 : Օգտվելով միջին գծի բանաձևից կստանանք սեղանի հիմքերի երկարությունները՝ BC=4; AD=16:

Պատ.՝ 4և16: Խնդիր 8.⊿ ուղղանկյուն եռանկյան AB ներքնաձիգը հավասար է 2, AM և BN մինագծեր են: Հայտնի է, որ ABMN քառանկյանը կարելի է արտագծել շրանագիծ: Գտնել այդ շրջանագծի շառավիղը: Դիցուք BM=MC= , AN=NC= , F-ը AB ներքնաձիգի միջնակետն է: CA-ն և CB-ն որոնելի շրանագծի հատողներն են և օգտվելով միևնույն կետից դուրս եկող հատողների հատկությունից՝ կարող ենք գրել որ ∙ =∙ ⟺ 2 = 2 ⟺ = ⟹ ⊿ –ն հավասարասրուն ուղղանկ-յուն եռանկյուն է՝ AC=BC, CF= = 1, = √ :

Օժանդակ կառուցում՝ C և F կետե-րով տանենք ուղիղ, որը հատում է ո-րոնելի շրջանագիծը E և K կետերում: Քանի որ F-ը AB-ի միջնակետն է, CF⊥ AB, A և B կետերը պատկանում են շրջանագծին, ապա կարող ենք պնդել, որ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է CF ուղղի վրա, իսկ EK-ն այդ շրջա-նագծի տրամագիծն է: Դիցուք EO=OK= , ապա EK=2 :

Կիրառելով հատվող լարերի հատկությունը՝ ∩ , կարող ենք գրել = ∙ : Հայտնի է, որ AF=1, EF հատվածի երկարությունը նշանա-կենք՝ , ապա FK=2 - , իսկ վերը նշված բանաձևը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

1= (2 - ): (1)

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

57

∙ = ∙ , միևնույն կետից դուրս եկող շրջանագծի հատողներ հատկության հիման վրա: ՈՒնենք՝ = − = 1 − , = + = 2 + 1 − , (2 + 1 − )(1 − ) = 2 = 1 (2)

(1) և (2) ից՝ կստանանք = − , − + = 1, = √ :

Պատ.՝ √ : Խնդիր 9. Եռանկյան երկու կողմերի երկարությունները հավասար են 27 և 29, իսկ երրորդ կողմին տարված միջնագծի երկարությունը հավասար է 26: Գտնել 27-ին հավասար կողմին տարված բարձրության երկա-րությունը:

Գրականություն

1. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы./М:-Лаборатория базовых знаний, 2002г.-640с./

2. Зив Б. Г. Мейлер В.М. Геометрия. Дидактические материалы.8 класс/М:-Просвещение,2010.-159с./

3. Просолов В.В. Задачи по планиметрии/М:- МЦНМО: ОАО .Московские учебники., 2006.- 640 с./

Классификация геометрических задач трбующих дополнительное построение

А. И. Акопян Резюме

В статье предлагается геометрические задачи решаемые с помощью допо-лнительного построения разделить на три вида: 1) при помощи дополни-тельного построения получить целостную фигуру, затем последовательно

58

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

определять величины, которые логически связаны с неизвестной вели-чиной, 2) при несвязанных данных задачи, при помощи дополнительного построения создать зависимость, 3) данные величины связаны, хотя не поддаются расчетам по формуле.

Classification of geometric problems requiring an additional construction

А. Hakobyan Summary

The article proposes geometric problems solved with the help of an additional construction divided into three types: 1) by using an additional construction, obtain an integral figure, then sequentially determine the quantities that are logically related to the unknown quantity; 2) For unrelated task data, using an additional construction to create a dependency, 3) these quantities are related, although they can not be calculated by the formula.

Անժելիկա Հակոբյան – Երևանի Նվեր Սաֆարյանի անվան թիվ 164 հիմնական դպրոցի մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ուսուցչուհի: Հեռախոս` 093 55 23 24 Էլ. հասցե` akopyananjelika@gmail.com

59

ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ 7-9-ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐԻ ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԻ ՉԱՓՈՐՈՇՉԻ, ԾՐԱԳՐԻ ԵՎ

ԴԱՍԱԳՐՔԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

Նաիրա Ղազարյան Նաիրա Հակոբջանյան

Բանալի բառեր – հանրահաշիվ, չափորոշիչ, ծրագիր, դասագիրք, գրաֆիկ, խնդիրներ 2011 թվականից հերթականությամբ գործածության մեջ են դրվել

միջին դպրոցի հանրահաշվի առարկայական նոր ծրագրեր և նոր դասա-գրքեր՝ Ս. Մ. Նիկոլսկու, Մ. Կ. Պոտապովի և ուրիշների հեղինակած ռու-սական դասագրքերի թարգմանությունները՝ որոշակի փոփոխություննե-րով և լրացումներով: Ելնելով դասավանդման մեր փորձից և ստացված արդյունքներից, մեր նկատառումներն ու դիտողություններն ենք փորձում անել այդ ծրագրերի և դասագրքերի վերաբերյալ: Ամենից առաջ ասենք, որ այդ առարկայի վերաբերյալ ստեղծված ծրագրերն ու չափորոշիչները, մեր կարծիքով, բավական ծավալուն են և խիստ: Վերջին տարիներին, երբ անցել ենք 12-ամյա ուսուցման համակարգին, թվում էր, թե նյութերի ծավալային և քանակական առումով յուրաքանչյուր դասարանում կարող են կրճատումներ լինել (հաշվի առնելով նաև դպրոցականների տարիքա-յին առանձնահատկությունները): Սակայն իրականում ստացվել է հակա-ռակը՝ գերծանրաբերնվածություն յուրաքանչյուր դասարանի մաթեմատի-կայի դասընթացում: Ակնհայտ է, որ դասագրքերը ստեղծված են նախա-պես կազմված ծրագրային թեմաների հիման վրա: Կան թեմաներ, որոնք զետեղված են և՛ 7-րդ, և՛ 8-րդ դասարանի դասընթացում: Օրինակ՝ իռա-

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

60

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

ցիոնալ թվի գաղափարը: Կարծում ենք, որ անհրաժեշտություն չի առա-ջանում 7-րդ դասարանի դասընթացում գործածել իռացիոնալ թվի հաս-կացությունը. այն անհասկանալի է այդ տարիքի երեխաների համար, նույնիսկ դժվարամատչելի թեմա է նաև 8-րդ դասարանցիների համար: Հիշենք, որ «Իրական թվեր» թեման սովորաբար ուսումնասիրվում է 10-րդ դասարանում:

Նշենք, որ բացի ծրագրային թեմաներին վերաբերող նյութերից, վե-րոնշյալ դասագրքերը ծանրաբեռնված են թարգմանողի կողմից լրա-ցուցիչ ներմուծված շատ ու շատ նյութերով (և՛ տեսության մեջ, և՛ առաջա-դրանքների ցանկում): Առաջադրանքների քանակն ամենուրեք անհամե-մատ մեծ է: Ծրագրով նախատեսված ժամաքանակով հազիվ թե հնարա-վոր լինի հաղթահարել ներառված խմդիրների 10-15%-ը: Այդպիսի դասա-գրքերը, մեր կարծիքով, կարող էր նախատեսվել միայն ֆիզմաթ հոսքի դա-սարանների համար:

Քանի որ մեկ հոդվածով հնարավոր չէ ներկայացնել նկատված բոլոր դետալները, այստեղ մեր նկատառումները կարտահայտենք մի քանի մասնակի օրինակներով:

1. 7-րդ դասարանի դասագրքի III գլուխը նվիրված է ֆունկցիայի հասկացությանը, որի առաջին պարագրաֆն իր երեք կետերով նվիրված է բազմության հասկացությանը, բազմությունների հետ կատարվող գոր-ծողություններին: Երկրորդ կետը, որպես ոչ պարտադիր նյութ, մտցված է թարգմանողի կողմից («Վերջավոր բազմությունների միավորման տար-րերի քանակը»), սակայն տվյալ պարագրաֆին վերաբերող առաջա-դրանքների ցանկում բերված են բազմաթիվ խնդիրներ (NN 379-389), որոնք վերաբերում են տվյալ թեմային:

2. «Հանրահաշիվ 8» դասագրքի I գլուխը նվիրված է գծային հավա-սարւմների համակարգերին: Այդ գլխի 1.9 կետը վերնագրված է այսպես. «Երկու անհայտով առաջին աստիճանի երկու հավասարումների հա-մակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը»: Մինչ այդ այդպիսի համակարգերի լուծման պարզագույն եղանակները (տեղադրման և հան-րահաշվական գումարման) սովորողների հայտնի են և, ընդամենը մեկ-երկու քայլով նրանք հեշտությամբ կարողանում են դրանք լուծել: Այդ կետում ընտրված համակարգերն այնպիսին են, որ պատասխաններում ստացվում են ամբողջ թվեր: Բացի այդ, կառուցված ուղիղների հատման

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

61

կետը որոշելու համար (եթե այն գոյություն ունի), ըստ էության, նախապես պետք է իմացվի, որ այսինչ թվազույգն է լուծումը, որն էլ կվերագրվի նրանց հատման կետին: Օրինակ, ի՞նչ իմաստ ունի գրաֆիկորեն լուծել

5 , 2, 2 1,

1, 4, 2 1

y x y x x yy x y y x

= − = − + = = − = + =

համակարգերը (տե՛ս N 68 առաջադրանքը), եթե դրանք սովորական եղանակով անմիջապես լուծվում են (նույնիսկ՝ բանավոր): Ըստ էության, ստացվում է, որ տվյալ համակարգը գրաֆիկորեն լուծելու համար նախա-պես պետք է իմացվի նրա լուծումը (պատասխանը), որպեսզի համապա-տասխան ուղիղները կառուցելիս ասվի, որ նրանց հատման կետը տվյալ թվազույգն է: Իսկ ինչպե՞ս կարելի է գրաֆիկորեն լուծել, օրինակ, ստորև բերված համակարգերը, որոնց լուծումները չեն արտահայտվում ամբողջ թվերով:

5 4 17, 4,17, 13,48, 5 7 27,34,

5 4 15, 3 2 8,95, 7,5, 8 3 49,19 :

x y x x y x yx y x y x y x y

+ = = + = − = − = − = − = + =

Մեր կարծիքով, այդպիսի համակարգերի լուծումների հնարավոր ելքերը կարելի է պարզաբանել նաև կոորդինատային հարթության վրա. այն նկատառումով, որ նրանցում մասնակցող հավասարումներից յուրաքանչ-յուրը կոորդինատային հարթության վրա ներկայացնում է ուղիղ: Այլ կերպ՝ տալ գրաֆիկական (երկրաչափական) մեկնաբանություն:

3. «Հանրահաշիվ 8» դասագրքի երկրորդ գլխի 2-9 կետերի շարա-դրանքը վերաբերում է հանրահաշվական կոտորակներին: Մեր կարծի-քով այդ թեմայի համար այդքան շատ ծավալելու կարիք չկա: Այստեղ ընդ-գրկված առաջադրանքների քանակը չափից ավելի է: Օրինակ, միայն 2.5 կետում բերված են 180 առաջարանք, մինչդեռ այդ կետը ծրագրով նախա-տեսված է 1 ժամվա համար:

Նույն դասագրքի երրորդ գլխի 3.4 կետին վերաբերող վարժություն-ների քանակը 130-ից մեծ է (էջ 117-123): Հինգերորդ գլխի 5.5 կետին վերաբերող վարժությունների քանակը 200-ից մեծ է (էջ 183-188): Մեկ նկատառում ևս. նույն կետի N 531 առաջադրանքում պահանջվում է արտադրիչը դուրս բերել արմատանշանի տակից: Այնտեղ բերված են այսպիսի օրինակներ՝

62

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

1 6 1, , , ,...

2 7 3

ax m

Հասկանալի չէ, թե այստեղ ինչ գործողություն է անհրաժեշտ կատարել:

4. «Հանրահաշիվ 9» դասագրքի II-V գլուխները, ըստ հերթակա-նության, պարունակում են հետևյալ թեմաները.

1) Ռացիոնալ անհավասարումներ (էջ 64-86), 2) Ռացիոնալ հավասարումներ (էջ 87-109), 3) Մեկ փոփոխականով բազմանդամներ (էջ 110-118), 4) Ռացիոնալ հավասարումների համակարգեր: Հավասարումների

կիրառումը խնդիրներ լուծելիս (էջ 119-148): Ելնելով տարիների մեր փորձից, ինչպես նաև մաթեմատիկական

տարբեր ձեռնակների և դասագրքերի հետ առնչվելու պրակտիկայից, կար-ծում ենք, որ բնական կլինի նշված թեմաների այսպիսի հերթականություն՝

ա) Ռացիոնալ հավասարումներ, բ) Ռացիոնալ հավասարումների համակարգեր, գ) Հավասարումների կիրառումը խնդիրներ լուծելիս, դ) Մեկ փոփոխականով բազմանդամներ, ե) Ռացիոնալ անհավասարումներ: 5. Նշված դասագրքերի ամենախոցելի կողմերից մեկը կապված է

տեքստային խնդիրների բովանդակության հետ: Այստեղ սկզբունքային հարցն այն է, թե խնդիրների տեքստում ներկայացվող իրադրությունը ի՞նչ առնչություն ունի Հայաստանի քաղաքացու կյանքի և արժեհամակարգի հետ: Վերցնենք, օրինակ, ֆինանսական կրթության հետ կապված խնդի-րը: Հայտնի է, որ ֆինանսներին վերաբերող որոշ գիտելիքներ, թեև ոչ համակարգված ձևով, ներառված են նաև մաթեմատիկայի առարկայա-կան գործող ծրագրերում և դասագրքերում: Մասնավորապես, տարրա-կան դպրոցի ծրագրում առանձին թեմա կա փողի՝ ՀՀ դրամի մասին, դի-տարկվում են ապրանքի գին-քանակ-արժեք հարաբերակցությանը վերա-բերող խնդիրներ: Միջին դպրոցի 6-րդ դասարանում ուսումնասիրվում է «Տոկոս» թեման, որի շրջանակներում դիտարկվում են նաև խնդիրներ՝ կապված ապրանքի գնի փոփոխության հետ: Սակայն վիճակն անբավարար է հատկապես միջին դպրոցի 7-9-րդ դասարանների՝ 2011թ.

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

63

գործածության մտած «Հանրահաշիվ» առարկայի ծրագրում և դասա-գրքերում: Ծրագրում առհասարակ բացակայում է որևէ նախադասու-թյուն, որը կվերաբերի մաթեմատիկական նյութի կիրառական ոլորտին, այդ թվում և ֆինանսներին: Ինչ վերաբերում է դասագրքերին, դրանցում չի ընդգրկված թեկուզ մեկ խնդիր, որի տվյալների մեջ ապրանքի կամ ծառայության գինը արտահայտված լինի ՀՀ դրամով: Լինելով ռուսերե-նից թարգմանված գրքեր, որևէ տեղայնացում չի կատարվել, և դրանցում ընդգրկված՝ առանց այն էլ սակավաթիվ, տեքստային խնդիրներում դրա-մական միավորը միայն ռուբլին է, որևէ ակնարկ չկա նաև արտարժույթի ու դրամափոխանակման մասին [2]: Նույնն է պատկերը նաև մյուս ոլորտներին վերաբերող տեքստային խնդիրներում, և դրա պատճառով անտեսվում է դաստիարակչական գործառույթը:

Գրականություն

1. Ս.Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Ռեշետնիկով, Ա.Ն. Շևկին:

«Հանրահաշիվ 7, 8, 9»: Երևան, «Անտարես» հրատ., 2011, 2012, 2013: 2. Ս.Է. Հակոբյան: Մաթեմատիկայի դասընթացում ֆինանսական

կրթության ինտեգրման հիմնահարցի մասին: Մաթեմատիկան դպրոցում, թիվ 1, 2017:

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРОГРАММЕ И УЧЕБНИКАХ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Наира Казарян, Наира Акопджанян Резюме

Естественно, что у учителей сформируются определенные мнения и

взгляды об учебниках. Опыт работы с этими учебниками позволяет выявить некоторые недостатки, относящиеся к изложению задач и тем, входящих в эти учебники. В статье делаются некоторые замечания о структуре этих учебников, в частности, о некоторых темах, рассмотренных нами.

64

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

SOME CONSIDERATIONS ABOUT THE PROGRAM AND RELEVANT TEXTBOOKS ON ALGRIBRA IN SECONDARY SCHOOL

Naira Ghazaryan, Naira Hakobjanyan Summary

Based on the experience with these textbooks, we can identify some opinions related to the presentation of the tasks and topics included in these textbooks. Naturally, teachers have formed certain opinions and views. In the present article we make some comments about the structures of these textbooks, in particular, in some of the topics that we have examined.

Նաիրա Ղազարյան – Վանաձորի թիվ 5 ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Էլ. հասցե՝ K.naira@mail.ru Հեռ.՝ 093025078

Նաիրա Հակոբջանյան – Վանաձորի թիվ 21 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Էլ. հասցե՝ hakobjanyannaira@mail.ru Հեռ.՝ 093090917