Κβαντικη Πληροφορια και Επεξεργασια

0. Εισαγωγη

Κβαντικοι Επεξεργαστες. Επιτευγματα, Προοπτικες. Συστηματα Κλασσικα και Κβαντικα

Εαρινο Εξαμηνο

Iωαννης Aντωνιου, Κωστας Χατζησαββας

με συνδρομη του Π. Τζουνακη

Σχολη Θετικων Επιστημων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο

Θεσσαλονικη 54124

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε Αδεια Χρήσης Creative Commons

2

Περιεχομενο

Κβαντικη Πληροφορια και Επεξεργασια 0 Κβαντικοι Επεξεργαστες. Επιτευγματα, Προοπτικες

Συστηματα Κλασικα και Κβαντικα

Ι Το Κβαντικο Συστημα

ΙΙ Συζευξη Κβαντικων Συστηματων

ΙΙΙ Εφαρμογες

3

Ι Το Κβαντικο Συστημα I.1 Κβαντικες Καταστασεις. Χωρος Hilbert, qudit

I.1.1 Κλασικες Καταστασεις.

I.1.2 Κβαντικες Καταστασεις

I.1.3 Χωρος Hilbert

I.1.4 Ορθοκανονικες Βασεις Μονοδιαστατες Προβολες

I.1.5 Ο Συμβολισμος του Dirac

I.1.6 Αλλαγη Βασης

I.1.7 Προβολη σε Υποχωρο

I.1.8 Δυαδες

I.1.9 Τα Διανυσματα οριζουν Πιθανοτητα

I.1.10 Πεπερασμενοι Χωροι Hilbert. Qubits, Qutrits, Qudits

I.2 Παρατηρησιμα Τελεστες (Πινακες)

I.2.1 Kλασικα Παρατηρησιμα Μεγεθη

I.2.2 Kβαντικα Παρατηρησιμα Μεγεθη

I.2.3 Η Αλγεβρα των Πινακων-Τελεστων

I.2.4 Ιχνος Πινακων-Τελεστων

I.2.5 Βαθμωτο Γινομενο Πινακων-Τελεστων

I.2.6 Ορθοκανονικες Βασεις στην Αλγεβρα των Τελεστων

I.2.7 Ερμιτιανοι Τελεστες

I.2.8 Θετικως Ορισμενοι Τελεστες. Αριθμητικο Πεδιο

Ι.2.9 Υπερτελεστες (Superoperators)

4

I.3 Κβαντικη Λογικη

I.3.1 Γεγονοτα ως Συνολα. Αλγεβρα Boole

I.3.2 Γεγονοτα ως Υποχωροι. Ortho-Lattice. Projections

I.3.3 Ασαφη Γεγονοτα. Effects

I.4 Κβαντικη Πιθανοτης Μιγματα, Τελεστες Πυκνοτητος Προβλεψεις

I.4.1 Πιθανοτης Kolmogorov

I.4.2 Kβαντικη Πιθανοτης

I.4.3 Mιγματα. Τελεστες Πυκνοτητος

I.4.4 Μεση Τιμη

I.4.5 Αβεβαιοτητα

I.4.6 Συμπληρωματικοτης

I.4.7 Συμβατες Παρατηρησεις. Πλαισιο Καταχωρησης

I.4.8 Contextuality

I.4.9 Ασαφης Κβαντικη Πιθανοτης. Effects

Ι.5 Μετασχηματισμοι Πυλες, Διαυλοι

I.5.1 Kλασικοι Μετασχηματισμοι

I.5.2 Kβαντικοι Μετασχηματισμοι, Συμμετριες

I.5.3 Διαυλοι

Ι.6 Χρονος, Εξελιξη

Ι.7 Παρατηρηση

Ι.8 Πληροφορια και Εντροπια

I.8.1 Τι ειναι Πληροφορια?

I.8.2 «Κλασικη» Πληροφορια

Ι.8.3 Κβαντικη Πληροφορια

5

ΙΙ Συνθεση Κβαντικων Συστηματων ΙΙ.1 Καταστασεις Συνθετων Συστηματων. Τανυστικο Γινομενο.

Διαχωρισιμοτης και Διεμπλοκη

ΙΙ.2 Παρατηρησιμα. Τελεστες (Πινακες) Συνθετων Συστηματων

ΙΙ.3 Κβαντικη Λογικη Συνθετων Συστηματων

ΙΙ.4 Κβαντικη Πιθανοτης, Κβαντικα Μιγματα, Προβλεψεις Συνθετων Συστηματων

ΙΙ.5 Μετασχηματισμοι, Πυλες, Διαυλοι

ΙΙ.6 Χρονικη Εξελιξη

ΙΙ.7 Παρατηρηση

ΙΙ.8 Εντροπια Συνθετου Συστηματος

ΙΙ.9 Διεμπλοκη ΙΙ.9.1 Εμφανιση Διεμπλοκης

ΙΙ.9.2 Εκτιμηση Διεμπλοκης

ΙΙ.9.3 Εφαρμογες Διεμπλοκης

6

ΙΙΙ Κβαντικη Επεξεργασια. Εφαρμογες ΙΙΙ.1 Κβαντικες Πυλες και Κυκλωματα

ΙΙΙ.2 Υλοποιηση Κβαντικων Υπολογιστων

ΙΙΙ.3 Ελεγχος Κβαντικων Συστηματων. Από το Φαινομενο του Ζηνωνα στον Bang-Bang Control

ΙΙΙ.4 Κβαντικη Αναζητηση

ΙΙΙ.5 Κβαντικη Κρυπτογραφια

III.6 Προσομοιωτής Κβαντικων Υπολογισμων

7

0.1 Tι είναι Υπολογιστης Διαφορα Υπολογιστη – Ανθρωπου Τι είναι Κλασσικος Υπολογιστης Κλασσικη Λογικη – Πιθανοτητα Τι είναι Κβαντικος Υπολογιστης

Κβαντικη Λογικη - Πιθανοτητα

8

0.2 Quantum Computing is Natural Computing

Natural Computing

Nature-inspired Computation Models And Software

Cellular Automata Computation

Neural Nets Computing

Evolutionary Computation

Swarm Intelligence

Artificial Immune Systems

Membrane Computing

Net Computing (including Amorphous Computing)

Dynamical Systems (including Fractals) based Computation

Probabilistic Computation

Quantum Computing

Nature-inspired Hardware

Self-Assembly

Bio-Transport Computing

Protein Nets Computing

Cell Computing

DNA Computing

Molecular computing

Quantum Computing by Molecules, Atoms, Light

Nature as Information Processor Information is more fundamental than Matter or Energy

Systems biology

Synthetic biology, Artificial life

The Universe is a self-updating Cellular Automaton

The Universe as a Space-time Net

The Universe as a Quantum Computer

9

0.3 Κβαντικοι Επεξεργαστες Βηματα

Το 1970 ο Gordon Moore απο την εταιρία Intel παρατήρησε οτι η χωρητικότητα σε μνήμη ενος chip διπλασιάζονταν περίπου κάθε δυο και μισό χρόνια, ενω το chip διατηρούσε περίπου το ίδιο μέγεθος. [en.wikipedia.org/wiki/Moore%27s_law] Αυτό σήμαινε οτι ο αριθμός των ατόμων που χρειάζονταν για να αποθηκεύσουν ενα bit πληροφορίας συνεχως μειώνονταν. Οπως υπολόγισε ο Keyes αν συνεχιστεί αυτή η τάση, γύρω στο 2020 οι υπολογισμοί θα γίνονται στο ατομικό επίπεδο. [Robert W. Keyes IEEE Solid-State Circuits Society Newsletter, Vol.20, Issue 2006]

10

Στο ατομικο επίπεδο κυριαρχεί η κβαντική θεωρια, η πιο επιτυχης θεωρία στην ιστορία της επιστήμης. Ολα τα πειράματα εχουν ως τωρα επιβεβαιώσει τις προβλέψεις της. Τα άτομα, οι πυρήνες και τα στοιχειώδη σωμάτια μπορούν να περιγραφούν, μόνο όταν χρησιμοποιηθεί το μαθηματικό πλαίσιο της κβαντομηχανικής. Αν και η Νευτώνεια μηχανική χρησιμοποιήθηκε για 4 αιώνες και εξηγεί με ακρίβεια την κίνηση των μακροσκοπικών αντικειμένων της καθημερινής εμπειρίας, αποδείχτηκε ότι είναι δινει λαθος προβλεψεις στα ατομα της υλης. Αρα κατ’αναγκην θα χρειαστει η δημιουργια κβαντικων υπολογιστών. Στις αρχές της δεκαετίας 1980 παρουσιάστηκε για πρωτη φορά η ιδέα του κβαντικού uπολογιστή απο τον Benioff και τον Feynmann. [Richard P. Feynmann, International Journal of Theoretical Physics, Vol.21, Nos 6/7, 1982] Θεωρητικά "δεν υπαρχει φυσικος νομος που να απαγορευει να κωδικοποιηθει η μοναδα πληροφοριας bit στο μέγεθος ενός ατόμου. Το 1989 ο Deutsch εισήγαγε την καθολική (universal) κβαντική λογική πύλη με 3 qubits. [D. Deutsch, Quantum Computational Networks, Proceedings of the Royal Society of London, A.Mathematical and Physical Sciences, 425 (1868) : 73-90, 1989] Το 1994 ανανεώθηκε πολύ το ενδιαφέρον για τους κβαντικούς uπολογιστές με την ανακάλυψη απο τον Shor του πρώτοu αλγόριθμου για κβαντικό υπολογιστή για παραγοντοποίηση ακεραίων.

11

[Peter Shor : “Polynomial –Time Algorithm for Prime Factorization and Discrete Logarithm “ Proccedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, Santa Fe, NM, Nov.20-22, 1994 ] βλ. επίσης και [ arXiv : quant-ph/9508027v2] Ο αλγόριθμος του Shor αποτέλεσε την πρώτη σημαντική εφαρμογή (killer application) των κβαντικών υπολογιστών, επειδή επιλύει την παραγοντοποίηση σε χρόνο πολυωνυμικά ανάλογο του μεγέθους του αριθμού σε αντίθεση με όλους τους κλασικούς αλγορίθμους που απαιτούν χρόνο που αυξάνει εκθετικά. Λίγο αργότερα, ο Lov Grover έδειξε ότι η κβαντική υπέρθεση μπορεί να επιταχύνει την εύρεση μιας συγκεκριμένης τιμής μέσα σε μια αταξινόμητη βάση δεδομένων ( unordered or unsorted database). Μεταφορικά : «να βρεθεί μια βελόνα σε μια θημωνιά ή ψύλλος στ’ άχυρα». [ L. Grover “Quantum Mechanics helps in searching for a needle in a haystack” Phys. Rev. Lett. 79, 325-329, 1997 ] [ L. Grover “A fast quantummechanical algorithm for database search” Proc. 28th Annual Symps. on the theory of computation, NY pp 212 (1996) ] Οι κβαντικοι υπολογιστες χρησιμοποιουν αλγοριθμους, οι οποίοι επειδη είναι κωδικοποιημενοι σε κβαντικη λογικη, δεν μπορούν να «τρεξουν» σε «κλασικoυς» ψηφιακους υπολογιστες που λειτουργουν με βαση την «κλασικη» Λογικη (Αλγεβρα Boole). Οι κβαντικοί αλγόριθμοι μπορούν όμως να προσομοιωθούν σε κλασσικούς υπολογιστές (Ενδεικτικα: https://quantiki.org/wiki/list-qc-simulators).

12

Μια εφαρμογή των κβαντικων υπολογιστων, που ήδη (2017) είναι πραγματικότητα , είναι η κβαντική κρυπτογραφία, που προσφέρει ασφάλεια στις επικοινωνίες με προδιαγραφες απροσιτες για τους «κλασικoυς» ψηφιακους υπολογιστες. Οι δυνατότητες των κβαντικών υπολογιστών δεν εξαντλούνται στο σπάσιμο κωδίκων ή στην κρυπτογράφηση μηνυμάτων. Οι κβαντικοί υπολογιστές αποτελούν πρόκληση για έρευνα σε θεμελιώδη προβλήματα που αναμενεται να οδηγήσουν σε επανάσταση σχετικά με τις δυνατότητες του χειρισμού της κβαντικής πληροφορίας και τη γνώση μας για τον φυσικό κόσμο και τον ανθρωπινο Νου (Quantum Mind, Quantum Inference, Quantum Cognition) [Quantum Models of Cognition and Decision, by : Jerome R Busemeyer and Peter D Bruza, Cambridge, 2014 ]. Η Πληροφορία είναι υπαρκτη και μετρησιμη φυσική οντότητα όπως η ποσότητα ύλης και η Ενεργεια. Οι εκτιμήσεις της πληροφορίας γίνονται με μαθηματικούς τύπους, αλλά η διαχείριση της πληροφορίας απαιτεί υλικό φορέα (π.χ. ημιαγωγοί με βάση το πυρίτιο, ενώσεις του άνθρακα όπως πρωτεΐνες, DNA) είτε ενεργειακό φορέα (π.χ. ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, φως). Η διακριση Πληροφοριας και Ενεργειας είναι Οντολογικη και Εμπειρικη Tribus M., McIrvine E. 1971, Energy and Information, Scientific American Vol. 225, No. 3, pp. 179-190

13

Η εντυπωσιακή πρόοδος των τελευταίων ετων αποτελεί πηγή αισιοδοξίας για μελλοντικες προοπτικες. Παρατιθενται κατωτερω ενδεικτικα επιτευγματα

14

2011-05-31 H πρωτη πωληση Κβαντικου Υπολογιστη Nature 2011 May 31 , 474, 18 | doi:10.1038/474018a

D-Wave Systems announced that it has signed a multi-year contract with Lockheed Martin that includes the sale of its D-Wave One system, which is the first commercially available quantum computer. The contract also includes maintenance and related services. The D-Wave One system consists of a superconducting 128-qubit chip in a cryogenics system within a 10 square meter room.

From the press release:

“D-Wave is thrilled to establish a strategic relationship with Lockheed Martin Corporation

Our combined strength will provide capacity for innovation needed to tackle important unresolved computational problems of today and tomorrow.

Our relationship will allow us to significantly advance the potential of quantum computing.”

Vern Brownell, D-Wave’s President and Chief Executive Officer

Tasks not indicated

D-Wave co-founder Geordie Rose with his black monolith

15

2012-02-28 Yπεραγωγιμα Qubit IBM Research Advances Device Performance for Quantum Computing Scaling up to hundreds or thousands of quantum bits becomes a possibility. http://www-03.ibm.com/press/us/en/pressrelease/36901.wss

Silicon chip housing a total of three qubits. The chip is back-mounted on a PC board and connects to I/O coaxial lines via wire bonds (scale: 8mm x 4mm). A larger assembly of such qubits and resonators are envisioned to be used for a scalable architecture.

Superconducting qubit device. 1 qubit (~ 1mm in length) is suspended in the center of the cavity on a small Sapphire chip. The cavity is formed by closing the two halves. Measurements are done by passing microwave signals to the connectors. Despite the apparent large feature size (the cavity is ~ 1.5 inches wide) for this single qubit demonstration, the team believes it is possible to scale such a system to 100-1000 qubits.

16

2012-04-12 The First Universal Quantum Network

Physicists demonstrate a scalable quantum network that ought to be adaptable for all manner of long-distance quantum communication. The network features two all-purpose nodes that can send, receive and store quantum information, linked by a fiber-optic cable from one node to another on a single photon.

The network is a prototype, but if it can be refined and scaled up, it could form the basis of communication channels for relaying quantum information. An ordinary, classical bit in everyday electronics can store one of two values: a 0 or a 1. But thanks to the indeterminacy inherent to quantum mechanics, a qubit can be in a so-called superposition, hovering undecided between 0 and 1, which adds a layer of complexity to the information it carries.

17

Quantum computers would boast capabilities beyond the reach of even the most powerful classical supercomputers, and cryptography protocols based on the exchange of qubits would be more secure than traditional encryption methods.

In the new demonstration, the qubit at each node of the network is stored in the internal quantum state of a single rubidium atom trapped in a reflective optical cavity. The atom can then transmit its stored information via an optical fiber by emitting a single photon, whose polarization state carries the mark of its parent atom's quantum state; conversely, the atom can absorb a photon from the fiber and take on the quantum state imprinted on that photon's polarization.

Because each node can perform a variety of functions—sending, receiving or storing quantum information—a network based on atoms in optical cavities could be scaled up simply by connecting more all-purpose nodes. "We try to build a system where the network node is universal," says M.P.Q. physicist Stephan Ritter. "It's not only capable of sending or receiving—ideally, it would do all of the things you could imagine." The individual pieces of such a system had been demonstrated—atoms sending quantum information on single emitted photons, say—but now the technologies are sufficiently advanced that they can work as an ensemble. "This has now all come together and enabled us to realize this elementary version of a quantum network"

http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=universal-quantum-network http://www.nature.com/nature/journal/v484/n7393/full/nature11023.html Warren R. H. 2013, Numeric Experiments on the Commercial Quantum Computer

18

Notices of the AMS Volume 60, Number 11, 1434-1438

2014-10-24 Quantum "Clippers" Distribute Entanglement across the Oceans

A global Quantum Internet may use containerships to carry qubits across the oceans

One possible future for communication is to create a quantum version of the internet that will have the ability, among other things, to send information with perfect security. This Quantum Network will use

19

entangled photons to transmit information from one location to another without it passing through the space in between, hence the security.

Photons can only travel hundred kilometres or so through optical fibres before being absorbed. Conventional optical networks get around this with repeaters that boost the optical signal as it passes by.

Quantum repeaters operating close to absolute zero with all the required cooling and power may realize quantum networks that stretch across land. But it is entirely unsuitable for undersea cables where conditions are far more hostile and the absence of infrastructure is a potential showstopper.

In fact, nobody is quite sure how it will be possible to operate the number of quantum repeaters necessary to carry one half of an entangled photon pair across the Atlantic or the Pacific. And without any technology even on the horizon that can do this job, there is a very real possibility that the quantum Internet might only ever consist of isolated quantum islands on different continents.

The idea is to transport the quantum bits or qubits across the ocean on a containership, a kind of quantum Clipper, that will shuttle back and forth across the seas with a ghostly quantum load. One of the big disadvantages is the time it takes to transport information from one location to another, the so-called latency of the system. This problem for the quantum Internet may be bypassed because information will not be carried on board the containership. Instead, the resource in transit is entanglement, the strange quantum phenomena in which two quantum objects share the same existence even when they are vast distances apart.

The information transport occurs later when each half of the entangled pair is on opposite sides of the ocean. Then, a measurement on one particle immediately determines the state of the other on the other side of the planet, a phenomena that physicists can use to transmit information with perfect security.

20

So by shipping large quantities of qubits, it will be possible to send information at bandwidths measured in teraahertz. That’s faster than a quantum internet connected together with quantum routers. “Bandwidth in excess of one terahertz is feasible under realistic physical assumptions, exceeding even the fastest proposals for traditional repeater networks,” they conclude.

That’s the theory. In practice a way of storing qubits reliably for months requires to maintain a quantum object in a superposition of states for at least the time it takes to travel across an ocean–20 days from Japan to the US, for example.

One technology that looks capable of achieving this in the not-too-distant future involves diamond crystals in which one carbon atom has been replaced with a nitrogen atom. This creates an electron vacancy that can absorb a photon and store its quantum state. Because these vacancies are well insulated from the environment, they can store these quantum states for lengthy periods, potentially for months at a temperature of 4 Kelvin. What’s more, a single diamond crystal can hold huge numbers of these so-called nitrogen vacancy centres, which can be packed densely into the crystal structure and then accessed using lasers.

Of course, a certain percentage of these qubits will always decay and care will have to be taken to ensure that this does not introduce errors at an unacceptably high rate. “Extrapolating to large arrays, we find that quantum memories of 1600 qubits enable storage of logical qubits for two months with a logical error rate of 10−10.

At first glance, this is an idea that looks to have come way out of left field. But on closer inspection, it seems a thoroughly sensible approach to a thorny problem. Clearly, the technology that will allow quantum routers to operate over thousands of kilometres of undersea cables is a distant dream. But while this technology is being developed, quantum Clippers can distribute entanglement efficiently.

21

That’s a fascinating idea that raises the possibility of ocean-going quantum Clippers carrying the cargo necessary to enable a new kind of entanglement-based information economy.

http://www.technologyreview.com/view/532056/why-quantum-clippers-will-distribute-entanglement-across-the-oceans/

arxiv.org/abs/1410.3224

2014-01-02 NSA Seeks to Build Quantum Computer That Could Crack Most Types of Encryption In room-size metal boxes secure against electromagnetic leaks, the National Security Agency is

racing to build a computer that could break nearly every kind of encryption used to protect banking,

medical, business and government records around the world.

According to documents provided by former NSA contractor Edward Snowden, the effort to build “a

cryptologically useful quantum computer” — a machine exponentially faster than classical

computers — is part of a $79.7 million research program titled “Penetrating Hard Targets.” Much of

the work is hosted under classified contracts at a laboratory in College Park, Md.

22

https://www.washingtonpost.com/world/national-security/nsa-seeks-to-build-quantum-computer-that-could-crack-most-types-of-encryption/2014/01/02/8fff297e-7195-11e3-8def-a33011492df2_story.html http://www.lps.umd.edu

23

2015-10-05 Crucial hurdle overcome in quantum computing A team of Australian engineers has built a quantum logic gate in silicon for the first time, making calculations between two qubits of information possible – and thereby clearing the final hurdle to making silicon quantum computers a reality.

“We’ve demonstrated a two-qubit logic gate – the central building block of a quantum computer – and, significantly, done it in silicon. Because we use essentially the same device technology as existing computer chips, we believe it will be much easier to manufacture a full-scale processor chip than for any of the leading designs, which rely on more exotic technologies. http://www.newsroom.unsw.edu.au/news/science-tech/crucial-hurdle-overcome-quantum-computing

http://www.nature.com/nature/journal/v526/n7573/abs/nature15263.html

24

2016-08-16 China Quantum satellite for 'hack-proof' communications based on Entanglement

The project is expected to enable China to build a coveted “hack-proof” communications system

https://www.theguardian.com/world/2016/aug/16/china-launches-quantum-satellite-for-hack-proof-communications

25

http://news.xinhuanet.com/english/2016-08/16/c_135603521.htm

2016-07-18 Google’s Quantum Computer Just Accurately Simulated a Molecule for the First Time

Google's engineers just achieved a milestone in quantum computing: they’ve produced the first completely scalable quantum simulation of a hydrogen molecule. That’s big news, because it shows similar devices could help us unlock the quantum secrets hidden in the chemistry that surrounds us. Researchers working with the Google team were able to accurately simulate the energy of hydrogen H2 molecules, and if we can repeat the trick for

other molecules, we could see the benefits in everything from solar cells to medicines. These types of predictions are often impossible for 'classical' computers or take an extremely long time – working out the energy of something like a propane (C3H8) molecule would take a supercomputer in the region of 10 days.

http://www.sciencealert.com/google-s-quantum-computer-is-helping-us-understand-quantum-physics

http://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.6.031007

26

2016-11-20 Microsoft Doubles Down on Quantum Computing Bet Microsoft is doubling down on its commitment to the tantalizing field of quantum computing, making a strong bet that it is possible to create a scalable quantum computer using what is called a topological qubit. Longtime Microsoft executive Todd Holmdahl – who has a history of successfully bringing seemingly magical research projects to life as products – will lead the scientific and engineering effort to create scalable quantum hardware and software. “I think we’re at an inflection point in which we are ready to go from research to engineering,” said Holmdahl, who

is corporate vice president of Microsoft’s quantum program. Holmdahl, who previously played a key role in the development of the Xbox, Kinect and HoloLens, noted that success is never guaranteed. But, he said, he thinks the company’s long investment in quantum research has been fruitful enough that there’s a clear roadmap to a scalable quantum computer. https://stationq.microsoft.com https://blogs.microsoft.com/next/2016/11/20/microsoft-doubles-quantum-computing-bet/#RoqP3K7FXhxIoMXt.99

27

2017-01-24 D-Wave Announces D-Wave 2000Q Quantum Computer and First System Order

D-Wave Systems Inc., the leader in quantum computing systems and software, today announced general commercial availability of the D-Wave 2000Q™ quantum computer. D-Wave also announced the first customer for the new system, Temporal Defense Systems Inc. (TDS), a cutting-edge cyber security firm. With 2000 qubits and new control features, the new system can solve larger problems than was previously possible, with faster performance, providing a big step toward production applications in optimization, cybersecurity, machine learning, and sampling. "D-Wave's leap from 1000 qubits to 2000 qubits is a major technical achievement and an important

advance for the emerging field of quantum computing," said Earl Joseph, IDC program vice president for high performance computing. "D-Wave is the only company with a product designed to run quantum computing problems, and the new D-Wave 2000Q system should be even more interesting to researchers and application developers who want to explore this revolutionary new approach to computing." https://www.dwavesys.com/press-releases/d-wave%C2%A0announces%C2%A0d-wave-2000q-quantum-computer-and-first-system-order

28

0.4 Μαθηματικα Μοντελα Κλασικα και Κβαντικα Παρατηρηση Eμπειρια, Μετρηση

Επεξεργασια Δεδομενων Εμπειρικοι Νομοι Διαισθηση Κepler

Στατιστικη Εκτιμηση Πιθανοτητας, Εκτιμηση Συσχετισεων Εκτιμηση Αιτιοτητας Ληψη Αποφασεων Κβαντικη Στατιστικη

Μαθηματικοι Νομοι Δυναμικα Συστηματα Γραμμικα Δυναμικα Συστηματα Κβαντικη Δυναμικη Unitary Dynamics (Εξισωση Schroedinger) Στοχαστικες Διαδικασιες Κβαντικες Στοχαστικες Διαδικασιες

Μαθηση, Νευρωνικα Δικτυα

Κλασσικη Μαθηση (Σακκος Δεδομενων) Κβαντικη Μαθηση (Διανυσματα Δεδομενων)

Παιγνια Κλασσικα Παιγνια Κβαντικα Παιγνια

Γενετικοι Αλγοριθμοι Κλασσικοι Γενετικοι Αλγοριθμοι Κβαντικοι Γενετικοι Αλγοριθμοι

29

Δομη Μαθηματικων Μοντελων. Καθορισμος Συστηματος - Μοντελου Ο Xωρος 𝒴 των Καταστασεων

Σε ποιες καταστασεις δυναται να υπαρξει το Συστημα

Η Αλγεβρα 𝒜 των Παρατηρησιμων Μεγεθων (ΠM)

Τι Ποσοτητες δυναμεθα να Παρατηρησουμε? Ποιες Πραγματικες Τιμες δυναμεθα να Παρατηρησουμε? το Φασμα τιμων των Παρατηρησιμων Μεγεθων

Η Λογικη 𝔏 Ποια Γεγονοτα δυναμαι να Παρατηρησω?

Προβλεψη Εκτιμηση των Πιθανοτητων να Παρατηρηθουν οι Τιμες του Φασματος των ΠΜ από τη διαθεσιμη γνωση της Καταστασης

Πλαισιο Ποιο είναι το Πλαισιο Αναφορας-Καταχωρησης των Παρατηρησεων. Ειναι η Μαθηματικη περιγραφη ανεξαρτητη του Πλαισιου Αναφορας?

Μετασχηματισμοι Πυλες, Πραξεις, Διαυλοι, Συμμετριες Χρονικη Εξελιξη

Προκυπτει ως επιλυση Εξισωσεων-Μοντελων Μαθηματικων Νομων Διαφορικη Εξισωση, Εξισωση Διαφορων, Ολοκληρωτικη Εξισωση, Αρχη Ακροτατου

Παρατηρηση Πως περιγραφεται η Πραξη της Παρατηρησης στο Συστημα? Πληροφορια και Εντροπια

Εκτιμηση της Αβεβαιοτητος και της Πληροφοριας

Εκτιμηση της Αβεβαιοτητος και της Πληροφοριας μετα χρονο t>0

Συζευξη Συστηματων

Πως περιγραφονται τα Συνθετα Συστηματα (Composite Systems)?

30

Συστημα Κλασσικα Μοντελα Κβαντικα Μοντελα Xωρος Καταστασεων

Μετρησιμος Χωρος με Αποσταση. Π.χ. O Χωρος Φασεων Ω (Kλασική Mηχανική)

Μιγαδικος Διανυσματιος Χωρος με Βαθμωτο Γινομενο Χωρος Hilbert ℋ

Αλγεβρα 𝒜 Παρατηρησιμων Μεγεθων (ΠM)

Μετρησιμες Πραγματικες Συναρτησεις Τυχαιες Μεταβλητες

Ερμιτιανοι Πινακες-Τελεστες (εχουν Πραγματικες ιδιοτιμες)

Μετρουμε το φασμα τιμων Μετρουμε το φασμα Ιδιοτιμων Μεταθετικη Γραμμικη Αλγεβρα Μη-Μεταθετικη Γραμμικη Αλγεβρα

Λογικη 𝔏

Στοιχειωδεις Ερωτησεις Δεικτριες Συναρτησεις Αλγεβρα Boole

Προβολικοι Πινακες-Τελεστες Modular Orthocomplemented Lattice Δεν ισχυει η Επιμεριστικη Ιδιοτης

Προβλεψη

Η Μεση Τιμη της Μεταβλητης Ως προς την Κατανομη των τιμων της Συναρτησης

Η Μεση Τιμη του Ερμιτιανου Τελεστη Ως προς την Κατανομη Των Ιδιοτιμων του Πινακα-Τελεστη

Πιθανοτητα Kolmogorov Κβαντικη Πιθανοτητα Πινακες Πυκνοτητος. Διαμεριση του Χωρου Φασεων Ω Ορθογωνια Αναλυση του Χωρου Hilbert ℋ

Μετασχηματισμοι Κλασσικες Πυλες Κανονικοι Μετασχηματισμοι, Διαυλοι

Κβαντικες Πυλες Unitary Operators, Κβαντικοι Διαυλοι

Χρονικη Εξελιξη Διαφορικη Εξισωση Ηamilton Διαφορικη Εξισωση Schroedinger Παρατηρηση Καταχωρηση των τιμων που μετρωνται Η Καταχωρηση των τιμων που μετρωνται

φερει το Συστημα σε κατασταση συμβατη με το αποτελεσμα της Μετρησης

Πληροφορια Εντροπια Gibbs, Shannon Εντροπια Von-Neumann Συζευξη Συστηματων

Καρτεσιανο Γινομενο των Φασικων Χωρων

Τανυστικο Γινομενο των Χωρων Hilbert

31

0.5 ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ

• Βασικες Γνωσεις: Αναλυση Γραμμικη Αλγεβρα Πιθανοτητες, Στατιστικη Digital Literacy = Ψηφιακη Ευχερεια (Υπολογιστες, Διαδικτυο) Αγγλικα • Επαγγελματισμος Λογος Σαφης, Πληροτητα Επιχειρηματων, • Eφεση, Αγαπη Η ζωη δεν ειναι βαρετη αγγαρεια Knowing Ignorance is Strength. Ignoring Knowledge is Sickness [Lao Tsu 600BC, Tao Te Ching]

32

0.6 Βιβλιογραφια Κβαντικη Επεξεργασια Ενημερωση https://www.nature.com/subjects/quantum-information H Φυση είναι Κβαντικος Επεξεργαστης?

Wiesner Κ. 2010, Nature Computes: Information processing in quantum dynamical systems Chaos 20, 037114

Ο Νους είναι Κβαντικος Επεξεργαστης?

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum cognition

http://www.quantum-cognition.de/

http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum mind

33

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ στην Κβαντικη Πληροφορια και Επεξεργασια Benenti G. , Casati G. , Strini G. 2005, Principles of Quantum Computation and Information Vol I: Basic Concepts, World Scientific, Singapore. Benenti G. , Casati G. , Strini G. 2005, Principles of Quantum Computation and Information Vol II: Basic Tools and Special Topics, World Scientific, Singapore. Bernstein E., Vazirani U. 1997, Quantum Complexity Theory, SIAM J. Comput. 26, 1411-1473. Chen G., Brylinsky R. , editors 2002, Mathematics of Quantum Computation, Chapman and Hall/VRC, Florida, USA. Feynman R.P. 1967, Quantum Mechanical Computers, Foundations of Physics, 16, 507-531. Ingarden R.S. 1976, Quantum Information Theory, Rep. Math. Physics 10, 43-72. Nielsen A.M. , Chuang I.L. 2010, Quantum Computation and Quantum Information 10th edition, Cambridge University Press, Cambridge UK. Ohya M. , Petz D. 2004, Quantum Entropy and its Use, 2nd Printing, Springer, Berlin. Ohya M. , Volovich Ι. 2011, Mathematical Foundations of Quantum Information and Computation and Its Applications to Nano- and Bio-systems, Springer, Berlin. Vitanyi P. M. B. 2001, Quantum Kolmogorov Complexity based on Classical Descriptions, IEEE Transactions on Information Theory 47, 2464-2479. Watrous, J. 2018, The Theory of Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Wilde, M. M., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2nd ed.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ στην Kβαντικη Θεωρια Alicki R., Fannes M., Quantum Dynamical Systems, Oxford University Press, Oxford U.K. Beltrametti E.G. and Cassinelli G. 1981, The Logic of Quantum Mechanics, in "Encyclopedia of Mathematics and its Appl.", Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. Bohm A. 1993, Quantum Mechanics, Foundations and Applications, 3d ed, Springer, Berlin. de Muynck W. 2002, Foundations of Quantum Mechanics, an Empiricist Approach, Kluwer, New York, Boston, Dordrecht. Dirac P.A.M. 1930, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 4th edition 1958 Fock V.A. 1986, Fundamentals of Quantum Mechanics Mir Publishers, Moscow. Hall Β. 2013, Quantum Theory for Mathematicians, Springer, New York, Heidelberg Jammer M. 1974, The philosophy of Quantum Mechanics, Wiley, New-York. Jauch J.M. 1973, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts Mackey G.W. 1957, Quantum Mechanics and Hilbert Space, Αmerican Mathematical Monthly 64, 45-57. Mackey G.W. 1963, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Benjamin, New York. Prugovecki E. 1981, Quantum Mechanics in Hilbert Space, Academic Press, New York. Varadarajan V.S. 1985, Geometry of Quantum Theory, Springer, Βerlin. Von Neumann J. 1932, Mathematical Foundation of Quantum Mechanics, Princeton Univ. Press, New Jersey.

34

Wheeler J.A., Zurek W.H. 1983, Quantum Theory and Measurement, Princeton University Press, Princeton.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ στις Πιθανοτητες και Στατιστικη Halmos P. , von Neumann, J. 1942, Operator methods in classical mechanics, II, Annals of Mathematics 43 (2), 332–350 Rokhlin V. 1952, On the fundamental ideas of measure theory, Translations American Mathematical Society Series 1, 71, 1–54. Translated from the Russian original (1949). Whittle P. 2000, Prοbability via Expectation, 4th edition, Springer, New York

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ στους Πινακες και Τελεστες Axler S. 1997, Linear Algebra Done Right, 2nd Edition, Springer, New York Akhiezer N.I. and Glazman I.M. 1993, Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Vols I and II, Dover, New York Banerjee S., Roy A. 2014, Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Chapman and Hall/CRC, London, New York Dunford N. and Schwartz J. 1988, Linear Operators I : General Theory, Wiley, New York Dunford N. and Schwartz J. 1963, Linear Operators II : Spectral Theory, Wiley, New York Dunford N. and Schwartz J. 1971, Linear Operators III : Spectral Operators, Wiley, New York Frechet M.1909, Toute Fonctionelle Continue est Developpable en Serie de Fonctionelles d'order Entier, C. R. Acad. Sci. (Paris), 148, 155-156. Gustafson K., Rao M. 1997, Numerical Range. The Field of Values of Linear Operators and Matrices, Springer-Verlag, New York Hogben L., ed. 2014, Handbook of Linear Algebra, 2nd edition, CRC Press, Boca raton, London, New York Jordan P., von Neumann J. 1935, On inner products in linear metric spaces, Annals of Math. 36, 719-723 Wilson E. 1901, Vector Analysis. A text-book for the use of students of mathematics and physics. Founded upon the lectures of J. Willard Gibbs, Ph.D., LL.D., Yale University Press, New Haven, 7editions, Dover Reprint 1960, New York. p 265 Yosida K. 1980, Functional Analysis 6th Edition, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, p39 Weidmann J. 1980, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag, New York, Heidelberg.