3

Глава І. СТАТИКА

1. Основни понятия, измерителна система и аксиоми.

1.1. Основни понятия в статиката.

Определение – Статиката е част от механиката, която се занимава с

равновесието на материалните тела и системите от тела.

Цел на статиката е определянето на една или няколко сили, един или

няколко геометрични елемента от конфигурацията на системата(ъгъл,

дължина), както и изучаване на устойчивостта на равновесието.

Понятие за материална точка - геометрична точка без размери,

снабдена с маса. Тяло се уподобява с точка, ако размерите му са малки

спрямо траекторията му. Примери за материални точки(фиг.1):

а) Планетите от слънчевата система. б) Електроните въртящи се около ядрото.

в) Сферично топче върху под. г) Сферите от дробинков лагер

не са материални точки.

Понятие за идеално твърдо тяло(фиг.2а) - недеформируемо тяло

(теоретично, идеализирано понятие).

Пример: греда подпряна в средата с еднакви товари в краищата(фиг.2).

Фиг.1. Примери за материални точки.

Фиг. 2. а) недеформируемо тяло; б) деформируемо тяло.

4

Математическа характеристика на идеално твърдо

тяло )(S (фиг.3): разстоянието между две произволни

точки от тялото A и B е постоянно, т.е. constAB =2

.

Примери за деформируеми тела(фиг.4, фиг.5):

constAB =2

constBA ≠′2

Понятие за сила и векторен характер на силата

Силата е интуитивно понятие, което се свързва с усилието необходимо

да се извърши върху едно тяло за да се: деформира; приведе в

равновесие; пусне в движение; измени посоката му на движение.

Силата е мярка за механичното взаимодействие на телата и причина за

промяна на скоростта и вътрешното им състояние.

Силата определя интензивността, направлението и посоката на това

взаимодействие. Тя е свързан вектор, тъй като има приложна точка.

Пример: В предния край(т. A ) на

лодка(Л), е закачено издърпващо

въже. В тази точка по дължината

на въжето действа силата ЛAF /

r,

която е свързан вектор (фиг.6).

Видове сили според произхода им: контактни и дистанционни.

1) Механични контактни сили: пораждат се когато две тела са в

контакт. Той бива точков, линеен и повърхностен(фиг.7, фиг.8).

Примери за контактни сили:

Фиг. 3. Идеално твърдо тяло.

Фиг. 4. Еластични тела. Фиг. 5. Системи от ставно свързани тела.

Фиг. 6. Лодка закачена за въже.

Фиг. 7. Действие на човешка ръка

върху гаечен ключ.

Фиг. 8. Сфера, конус, цилиндър и

призма върху равнина.

.

5

2) Механични дистанционни(полеви)сили-действат от разстояние(фиг.9)

)) 32)1

PA

F

P

F

H

i

iN

S

Earth

Видове сили според обекта на създаването им: външни и вътрешни.

1) Външни сили – силите, с които действат

материалните обекти от системата 1Σ върху

разглеждания обект или система от тела 2Σ

(фиг.10). Тук n

iiS 111 }{ ==Σ , m

jjS 122 }{ ==Σ .

2) Вътрешни сили – силите на взаимодействие

между отделните елементи на даден материален

обект или между отделните тела на дадена

система от тела 2Σ .

Пример за сили според обекта на създаването им:

Дадена е система от 3 тела - },,{ 321 SSS=Σ , която е закрепена към

фундамента 0S чрез цилиндрична става A и прът BC (фиг.11). Тяло 1S е

правата греда AB , върху която е поставена сферата 2S , а тяло 3S е

безтегловния прът BC . Съвкупността от външните и вътрешни сили за

материалната система },,{ 321 SSS=Σ се дава от механичните

взаимодействия между отделните

тела и тегловните сили 21

, SS PPrr

, т.е.

},,,,,,,{211/22/11/33/11/03/0 SS PPFFFFFFE

rrrrrrrr= .

Да се извърши класификация на

силите на вътрешни и външни, като

се разгледат различни съвкупности

от тела: },{ 211 SS=Σ , },{ 312 SS=Σ , }{ 23 S=Σ .

Фиг.9. Механични полеви сили: 1) гравитационна; 2) магнитна; 3)електромагнитна.

A -магнит; H -интензивност на магнитното поле; N -север; S -юг; i –ток; P, F -сили.

.

Фиг. 10. Външни сили от 1Σ към 2Σ .

Фиг. 11. Система от 3 тела },,{ 321 SSS=Σ ,

закрепена към фундамента 0S .

6

1.2. Измерителна система.

Измерването на сила става чрез динамометри, които биват пружинни

(фиг.13), хидравлични, пневматични и др.

Мярката за единица сила е N1 (нютон), според СИ(Международна

система измерителни единици). Други по-големи подразделения са:

NdN 101 = (деканютон); NkN 3101 = (килонютон); NMN 6

101 = (меганютон);

1.3. Аксиоми на статиката.

1 Аксиома (равновесие на едно тяло под действие на две сили): ако

едно тяло е в равновесие под действие на две сили, то тези сили имат

обща директриса, равни големини и противоположни посоки (фиг.14).

Такава двойка сили се наричат право противоположни.

0//

rrr=+ SBSA FF , или

0, // ≈SBSA FFrr

.

Ако дадена система от сили nFFFrrr

,...,, 21 е приложена върху твърдо тяло

(или материална точка) и то остава в равномерно праволинейно

движение или покой, казваме, че силите nFFFrrr

,...,, 21 взаимно се

уравновесяват или са в равновесие, т.е. 0...21

rrrr=+++ nFFF , или пък

системата сили е еквивалентна на нула, т.е. 0,...,, 21 ≈nFFFrrr

.

2 Аксиома (неизменяемост при изваждане или прибавяне на

уравновесена система сили): ако към системата сили, приложени върху

едно твърдо тяло се извади или прибави произволна уравновесена

система сили, то не се изменя ефекта от първата система.

Следствие: силата, приложена към едно твърдо тяло е плъзгащ вектор.

Фиг. 12. Пропорционална връзка между товара

и пружинната деформация dcP .= .

Фиг. 13. Пружинен динамометър.

Фиг. 14. Равновесие на едно тяло под действие на две сили.

7

3 Аксиома (принцип на равенство на действие и противодействие):

силите упражнени от две твърди тела едното върху другото са с общо

направление (директриса), еднакъв модул (големина) и

противоположни посоки (фиг.15).

4 Аксиома (независимост на действието на уравновесена система

сили от формата и размерите на тялото): ако една система от сили е

в равновесие върху едно тяло, то тя остава в равновесие и върху всяко

друго, т.е. размерите и формата на тялото не играят роля в статиката на

твърдо тяло.

5 Аксиома (принцип на втърдяването): ако едно деформируемо тяло е

в равновесие, то остава в равновесие и след втвърдяването му.

1.4. Елементи от векторната алгебра.

Скаларни величини – характеризират се само с големина(стойност).

Примери: маса, обем, температура, енергия.

Векторни величини – характеризират се с големина, направление и

посока. Векторът е отсечка от ориентирана права(фиг.16). Определя се

от две точки взети в определен ред – начало и край на вектора.

Векторите биват: свободни (съвкупност от

безброй еквиполентни вектори в пространството)

определени от 3 параметъра; плъзгащи

(съвкупност от безброй еквиполентни вектори

върху директрисата) определени от 5

параметъра; свързани (с фиксирана приложна

точка) определени от 6 параметъра.

Равенство(еквиполентност на два вектора): barr

= . Векторите са

еквиполентни, ако са равни по модул, еднакви по посока и имат

успоредни направления.

Геометрична сума на вектори: ∑=

≡+++=n

i

in aaaaa1

21 ...rrrrr

.

Фиг. 15. Контактно взаимодействие на две тела.

Фиг. 16. Ориентирана отсечка.

8

Построение: Дадена е система от n свободни вектора },...,,{ 21 naaarrr

(фиг.17). Избираме произволна точка P (полюс) и нанасяме успоредно

първия вектор 1ar

с начало P и край 1A , който става начало на

успоредно пренесения втори вектор 2ar

с край 2A и т.н. Векторът с

начало т. P и край т. nA е

търсената геометрична

сума ar на n свободни

вектори.

Разлика на два вектора },{ barr

: bacrrr

−= .

Построение: Дадена е система от 2 свободни вектора },{ barr

(фиг.18).

Избираме полюс P и нанасяме успоредно първия вектор ar с начало P

и край 1A , който става начало на

успоредно пренесения втори вектор br

− с

край 2A . Векторът с начало т. P и край

т. 2A е търсената геометрична разлика cr

на свободните вектори ar и b

r.

Умножение на вектор br

с реално число R∈λ : barr

λ= .

Единичен вектор er

: 1=er

, т.е. вектор, чиято големина е единица.

Проекция на вектор ar върху ос x

r(фиг.19): αcosaax = ,

където aar

= , ),( xarr

∠=α .

Проекция на геометричната сума на вектори

∑=

=n

i

iaa1

rr върху ос x

r: ∑∑

==

≡=n

i

ii

n

i

ixx aaa11

cosα ,

където ii aar

= , ),( xaii

rr∠=α .

Разлагане на вектор в ортонормирана базисна система от вектори:

)coscos.(cos kjia

a

a

a

kajaiaa

z

y

x

zyx

rrrrrrrγβα ++≡

≡++= , 222

zyx aaaaa ++=≡r

,

където },,{ kjirrr

е ортонормирана базисна система от вектори.

Посочни косинуси: a

a

a

a

a

a zyx === γβα coscos,cos ,

където ),( iarr

∠=α , ),( jarr

∠=β , ),( karr

∠=γ .

Фиг. 17. Геометрична сума на вектори.

Фиг. 18. Разлика на 2 вектора.

Фиг. 19. Проекция на вектор.

9

Скаларно(външно) произведение на два вектора

=

=

z

y

x

z

y

x

b

b

b

b

a

a

a

arr

, :

αcos..... bababababa zzyyxx

rrrr≡++=• , ),( ba

rr∠=α .

Векторно(вътрешно) произведение на два вектора

=

=

z

y

x

z

y

x

b

b

b

b

a

a

a

arr

, :

−

−

−

=≡∧=

xyyx

zxxz

yzzy

zyx

zyx

baba

baba

baba

bbb

aaa

kji

bac

rrr

rrr, ac

rr⊥ , bc

rr⊥ (фиг.20).

Норма(големина): αsin.. babacrrrrr

=∧≡ , ),( barr

∠=α .

Антисиметрично свойство: abbarrrr

∧−=∧ .

Смесено произведение cbarrr

•∧ )( :

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

cba =•∧rrr

)( .

Свойство: )()( cbacbarrrrrr

∧•=•∧ - размяна на произведенията.

Двойно векторно произведение cbarrr

∧∧ )( или )( cbarrr

∧∧ :

acbbcacbawrrrrrrrrrr

)()()( •−•=∧∧≡ , cbabcacbavrrrrrrrrrr

)()()( •−•=∧∧≡ .

Векторно деление.

Теорема - Нека ar и b

r са два свободни вектора от E , такива, че 0

rr≠a и

barr

⊥ - ортогонални. Тогава имаме:

akabaxbaxExRkrrrrrrrrr

+∧=⇔=∧∈∃∈∀2

:, .

Казваме, че xr е резултат от “векторно делене” на b

r върху a

r.

• Необходимо условие. Ще докажем, че akabaxbaxrrrrrrrr

+∧=⇒=∧2

.

• Случай 0rr

=b : )0(:0rrrrrrr

≠=∈∀⇒=∧ aзащотоakxRkax .

• Случай 0rr

≠b : )0(0.rrrrrrr

≠⊥⇒= aзащотоbaba .

Разглеждаме ортогоналната база },,{ babarrrr

∧ . Имаме bxbaxrrrrr

⊥⇒=∧ . Тъй

като, xr е в равнината },{ baa

rrr∧ , то baKakxRKk

rrrr∧+=∈∃ :, .

От baKbaKabaKaxbrrrrrrrrrr

22)( ==∧∧=∧= получаваме .12

aKr

=

Накрая извеждаме .2

akabaxrrrrr

+∧=

• Достатъчно условие. Ще докажем, че baxakabaxrrrrrrrr

=∧⇒+∧=2

.

Наистина: ba

baaak

a

abaaak

a

baax

r

r

rrrr

r

rrrrr

r

rrrr

==∧+∧∧

=∧

+

∧=∧

2

2

22 .

Фиг. 20. Векторно произведение.