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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD ZACATENCO

TESIS:

LA ORIENTACIÓN ASTRONÓMICA COMO ANTECEDENTE DEL POSICIONAMIENTO

GEORREFERENCIADO.

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO CIVIL

PRESENTAN:

MISAEL TREJO BASILIO RAYMUNDO ROJAS FLORES

ASESOR DE TESIS PROFESIONAL ING. RICARDO LÓPEZ RAMÍREZ

México, D.F. 2008.



UNIDAD ZACATENCO

DEDICATORIAS

ESTA TESIS SE LA DEDICO PRINCIPALMENTE A MIS PADRES POR DARME EL APOYO TANTO ECONÓMICO COMO MORALMENTE, YA QUE SIN ELLOS NO ME HUBIESE PODIDO DESARROLLARME EN LA CARRERA PROFESIONAL. A DIOS POR PRESTARME LA VIDA QUE TENGO Y PODER DISFRUTAR DE MI FAMILIA Y MI VIDA PROFESIONAL. A MI ESPOSA E HIJA QUE GRACIAS A ELLAS ME MOTIVARON A REALIZAR LA TESIS PARA PODER BRINDARLES UN FUTURO MEJOR. DE TODO CORAZÓN: MISAEL TREJO BASILIO. ESTA OBRA SE LA DEDICO A MIS PADRES POR HACER DE MI UN HOMBRE DE BIEN Y ENSEÑARME EL CAMINO DE VALORES QUE LA VIDA OTORGA Y POR DARME LAS HERRAMIENTAS NECESARIAS PARA PODER LOGRAR, UNO DE TANTOS OBJETIVOS QUE LA VIDA DA. A MIS HERMANOS POR DARME EL APOYO ESPIRITUAL Y MORAL , GRACIAS. ATENTAMENTE: RAYMUNDO ROJAS FLORES.



UNIDAD ZACATENCO

AGRADECIMIENTOS

A MIS PADRES Y HERMANOS POR BRINDARME EL APOYO PARA PODER DESENVOLVERME DURANTE TODA MI VIDA PROFESIONAL. A MI ASESOR DE TESIS POR BRINDARME SU TIEMPO Y ESFUERZO DURANTE EL DESARROLLO DE ESTE TRABAJO. A LA ESCUELA Y PROFESORES DEL LA ESIA ZACATENCO POR BRINDARME DE SUS EXPERIENCIAS Y CONOCIMIENTOS PARA SER UN PROFESIONISTA DE PROVECHO. ATENTAMENTE: MISAEL TREJO BASILIO. A MIS PADRES Y HERMANOS POR CREER EN MI Y DARME EL APOYO ESPIRITUAL, MORAL Y ECONÓMICO DURANTE MI FORMACIÓN PROFESIONAL Y POR NO DOBLEGAR SUS ESPERANZAS PUESTAS EN MI GRACIAS. A TODOS LAS PERSONAS QUE FORMARON PARTE DE MI FORMACIÓN. A LOS PROFESORES DE LA ESIA ZACATENCO POR DARME Y TRASMITIRME SUS CONOCIMIENTOS PARA LOGRAR SER UN HOMBRE DE PROVECHO. Y A DIOS QUE ME DIO FUERZAS Y ENTENDIMIENTO PARA QUE LOGRARA SER UN INGENIERO CIVIL. DE TODO CORAZÓN ATENTAMENTE: RAYMUNDO ROJAS FLORES



UNIDAD ZACATENCO

LA ORIENTACIÓN ASTRONÓMICA COMO ANTECEDENTE DEL

POSICIONAMIENTO GEOREFERENCIADO

ÍNDICE. OBJETIVO……………………………………………………………………………………….1 UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN. ……………………………………………………………..…2 UNIDAD II.- ELEMENTOS BÁSICOS DE LA COSMOGRAFÍA…………………………….5 II.1.- LA ESFERA CELESTE…………………………………………………….…..7 II.2.- PRINCIPALES SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES…………….12 II.3.- TRIÁNGULO ASTRONÓMICO…………………………………………..…23 UNIDAD III.- MEDIDA DEL TIEMPO…………………………………………………….....31 III.1.- TIEMPO SIDEREO…………………………………………………………..33 III.2.- TIEMPO SOLAR VERDADERO……………………………………….…...34 III.3.- TIEMPO SOLAR MEDIO……………………………………………………34 III.4.- HUSOS HORARIOS…………………………………………………………36 III.5.- CONVERSIÓN DE TIEMPO EN ARCO Y ARCO EN TIEMPO…………..40 UNIDAD IV.- DECLINACIÓN DEL SOL…………………………………………………….42 IV.1.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL ANTES DE 1993…………44 IV.2.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL DESPUES DE 1993……....48 IV.3.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL CON UN ANUARIO ATRASADO………………………………………………………………….50 UNIDAD V.-DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO ELECTRÓNICO……………………………………………...….52 V.1.- CONFIGURACIÓN DEL TEODOLITO ELECTRÓNICO………………....54 V.2.- TRABAJO DE CAMPO…………………………………………………..…58 V.3.- TRABAJO DE GABINETE……………………………………………..…..65 V.4.- CÁLCULO DEL AZIMUT ASTRONÓMICO……………………………..70 V.4.1.- FORMULAS APLICADAS……………………….…………………...…73 V.4.2.- EJEMPLO………………………………………………………..……..…75 CONCLUSIONES……………………………………………………………………………..86 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………….87



UNIDAD ZACATENCO

Fundamentación: El azimut astronómico es la base para proporcionarle la dirección a cada una de los lados de una poligonal cerrada ó abierta, pero la tendencia en un futuro cercano es la de ya no utilizarla por que las normas globalizadas no pueden ser cumplidas por este procedimiento, pero afortunadamente los posicionadores por satélite resuelven en la actualidad el problema de la georeferenciación de las poligonales, solo que existe el inconveniente de que todavía su alto costo los presenta inaccesibles para trabajos como el que presentamos en la tesis, razón por la cual decidimos abordar el tema de la orientación astronómica cubriendo los aspectos mas importantes para quien consulte nuestro trabajo entienda fácilmente su aplicación en otros trabajos que presenten el problema económico que les impida utilizar un posicionador por satélite.


ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA (E.S.I.A.) UNIDAD ZACATENCO

LA ORIENTACIÓN ASTRONÓMICA COMO ANTECEDENTE

DEL POSICIONAMIENTO GEOREFERENCIADO.

1

OBJETIVO GENERAL. Presentar en este trabajo los antecedentes básicos de la cosmografía y la trigonometría esférica, necesarios para el cálculo del azimut astronómico del sol y en función de este, el azimut astronómico de un lado de la poligonal, de una forma mas directa y sencilla para que se aplique en el caso de no contar con un posicionador por satélite.





2

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN.





3

UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN. La ingeniería civil siempre requiere de un plano topográfico completo, es decir que tenga la planimetría y la altimetría del terreno donde se pretende proyectar y construir una obra civil. Para obtener la planimetría y altimetría de un terreno utilizamos poligonales que son figuras que sirven como auxiliares para integrar toda la información obtenida en campo de tal manera que nos presente todos los elementos topográficos a escala. Si analizamos planos topográficos antiguos observamos que desde entonces la preocupación en estos planos fue la orientación del terreno presentando en dichos planos, pero una orientación que no sufriera variaciones y por lo tanto la solución fueron los astros como las estrellas ó el sol, es decir que al observar en el cielo la posición de los astros, sirviera como base para la orientación de los terrenos representados en los planos antes mencionados. En el presente trabajo se habla de la orientación astronómica desde los elementos básicos mas importantes de la cosmografía como la esfera celeste y los sistemas de coordenadas celestes que se utilizan para ubicar un astro en el espacio como las coordenadas horizontales referidas como su nombre lo indica al horizonte, las coordenadas ecuatoriales referidas al ecuador, y las coordenadas eclípticas que tienen como referencia a la eclíptica. Se trata también el tema referente a los errores que se producen al observar con un teodolito al sol, que es el astro que podemos tomar como referencia para realizar la orientación astronómica, errores como los causados por la refracción y el paralaje y como se corrigen.





4

El calculo del azimut astronómico de una línea de la poligonal se desarrolla en función del azimut del sol, el cual se obtiene también observando con un teodolito como el que se presenta en este trabajo en uno de los temas, ya que la observación requiere de un prisma, de un filtro ó de una pantalla. Con los datos obtenidos y aplicando las formulas de la trigonometría esférica como la del seno, coseno ó de la tangente se calcula el azimut astronómico del sol, para que en función de este y el auxilio de un croquis, se calcula el azimut astronómico de la línea de nuestra poligonal. La astronomía entonces a través del tiempo y hasta nuestros días ha sido la ciencia que nos proporciona los elementos para que todos los planos topográficos que sirvan de apoyo para el proyecto de una obra civil tengan la orientación que no presente variaciones, es decir, que siempre se mantenga constante al paso de los años, esta es una de las razones por las que decidí presentar de una forma practica y sin el empleo de equipo costosos la forma de realizar una orientación astronómica incluyendo el trabajo de campo y de gabinete, así como la parte de la cosmografía básica representada por las coordenadas celestes y la trigonometría esférica elemental representada con las formulas utilizadas durante el calculo del azimut astronómico del sol y su relación de este con el ultimo lado de la poligonal que sirvió como auxiliar para realizar el levantamiento del predio que se dividió posteriormente en tres partes iguales con fines de herencia, predio que se ubica en Remedios Zimapán, Hidalgo y esta propiedad es del señor Rodrigo Martínez Vega lo cual demostró con sus escrituras. El procedimiento para dividir el predio en tres partes decidimos no abordarlo en la tesis por que este tema es motivo de otro trabajo completo.





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UNIDAD II: ELEMENTOS BASICOS DE LA COSMOGRAFIA.





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OBJETIVO: Conocer los elementos básicos de la cosmografía como antecedentes de la orientación astronómica que así misma es antecedente de la georefenciación.





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UNIDAD II. ELEMENTOS BASICOS DE LA COSMOGRAFIA.

II.1.- LA ESFERA CELESTE. Los astros se encuentran diseminados en el espacio a distancias enormes de la Tierra y, además cada uno está a diferente distancia de los otros. Nos da la impresión de que es una esfera encontrándose todos los astros en su interior. Por estar los astros tan alejados, el observador desde la Tierra no aprecia que unos están más cerca que otros, sino que le parece que todos se encuentran a la misma distancia. Para la resolución de la mayoría de los problemas de Astronomía se supone que esta apariencia es cierta, es decir, que todos los astros se encuentran en una gran superficie esférica de radio arbitrario denominado esfera celeste. Uno de los puntos de mayor interés para el que se inicie en la afición de la Astronomía suele ser la orientación en la esfera celeste: cómo observar objetos cuya posición conocemos previamente a partir de un atlas, o deducir la posición aproximada del objeto que estamos observando, para identificarlo. Para localizar los objetos celestes necesitaremos un sistema de coordenadas. Conociendo las coordenadas del astro podremos identificarlo en el cielo, ya sea directamente mediante círculos graduados de nuestro telescopio o indirectamente mediante cartas celestes. La localización de un objeto celeste en el cielo requiere únicamente conocer la orientación que debemos dar a nuestro telescopio, ya que para verlo no necesitamos saber la distancia a la que se encuentra.





8

Por este motivo se introduce el concepto de esfera celeste: una esfera imaginaria de radio arbitrario centrado en el observador, sobre la cual se proyectan los cuerpos celestes. * Los sistemas de coordenadas que vamos a emplear en la esfera celeste serán parecidos a los utilizados para definir posiciones sobre la superficie terrestre: sistemas de coordenadas esféricas. En la superficie terrestre se emplea la longitud y la latitud terrestre. Según el centro que se tome en la esfera celeste, existen tres clases de esferas: Esfera celeste local (topocéntrica): Tiene por centro el ojo del observador. Es la que contemplamos, en un instante dado vemos una mitad de esta esfera, la que está sobre nuestro horizonte. Esfera celeste geocéntrica: Tiene por centro a la Tierra. Esfera celeste heliocéntrica: Tiene por centro el Sol. Para la esfera celeste, daremos algunas definiciones que nos ayudarán a introducir los sistemas de coordenadas. Si prolongamos la dirección de los polos terrestres tenemos el eje del mundo. * wolf/brinker 2001 Topografía, Alfa-Omega, México, Pág. 398





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Los puntos de intersección del eje del mundo con la esfera celeste constituyen los polos celestes, el polo que se halla encima del horizonte del Hemisferio Norte es el Polo Boreal, Ártico o Norte, que coincide con la estrella Polar; el otro se llama Polo Austral, Antártico o Sur. El plano perpendicular al eje del mundo forma el ecuador terrestre, y su intersección con la esfera celeste forma el Ecuador celeste. El plano del ecuador celeste forma dos hemisferios celestes, el hemisferio norte o boreal, y el hemisferio sur o austral. Los planos paralelos al ecuador forman sobre la esfera celeste círculos menores denominados paralelos celestes o círculos diurnos. La vertical del lugar es la dirección de la gravedad en dicho lugar y corta a la esfera celeste en dos puntos llamados cenit y nadir. El cenit es el situado por encima del observador y el nadir por debajo del mismo. El horizonte del lugar es el círculo máximo de la esfera celeste, perpendicular a la vertical del lugar. El horizonte divide a la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio superior o visible y el hemisferio inferior ó invisible.





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ZCenit

SN

NNadir

Q´Ecuadorceleste

QEcuadorceleste

PPolo norteceleste

p´ Polo sur celeste

Eje del mundo

HorizonteMeridiana

Figura 1:Elementos de la esfera celeste. *

Esfera celeste.

A cada lugar le corresponderá un meridiano, que será el formado por eje del mundo y la línea ZN (cenit-nadir) del lugar. Todo plano que pasa por el eje del mundo forma sobre la esfera celeste unos círculos máximos denominados meridianos celestes. Cuando dicho meridiano pasa por el cenit y por los polos se llama meridiano del lugar. * Figura 1, Esfera Celeste, wolf/brinker, 2001, Topografía, Alfa-Omega, México, Pág. 400





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La meridiana es la recta de intersección del plano del horizonte y del meridiano del lugar. La meridiana o línea norte-sur corta a la esfera celeste en dos puntos opuestos, el más próximo al polo boreal se llama Norte o septentrión y se designa Con la letra N, mientras que el más próximo al polo austral se denomina Sur o Mediodía y se designa con la letra S. La recta perpendicular a la meridiana forma en la esfera celeste los puntos cardinales Este u Oeste, el primero se designa con la letra E, mientras que el último con la letra W. A los círculos menores de la esfera celeste paralelos al horizonte se les denomina Almucantarates. El orto de un astro es su salida sobre el horizonte del lugar, y el ocaso de un astro es su puesta por el horizonte. El paso de un astro por el meridiano del lugar se llama culminación superior o paso por el meridiano.





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II.2.- PRINCIPALES SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.

COORDENADAS HORIZONTALES. *

A

A´

N

Z´Nadir

S

ZCenit

Vertical

Circulovertical

Circulohorizontal

z

h

Figura 2: Elementos de las coordenadas horizontales

Las coordenadas horizontales del astro “A”: Arco A´ A= altura (h). Arco Z A =distancia cenital (z). Arco N A´=azimut (Az). * Figura 2, coordenadas horizontales, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág. 238





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El ángulo vertical de altura (Arco A´A) se mide a partir del horizonte hacia el cenit ó hacia el nadir de 0º a 90º ó de 0º a -90º. La altura se mide con un transito. La distancia cenital (Arco Z A) se mide a partir del cenit hacia el astro de 0º a 180º. La distancia cenital se mide con un teodolito. El azimut se mide a partir del norte en sentido horario hasta el circulo vertical del astro arco (N A´). El ángulo de altura y la distancia cenital son complementarios.

°=+ 90zh





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Las coordenadas horizontales son aquellas que están referidas al horizonte del observador. El origen de coordenadas es un sistema topocéntrico cuyo eje fundamental es la vertical del lugar (línea que sigue la dirección de la plomada). El punto de intersección con la esfera celeste situado encima del observador es el cenit, mientras que el punto opuesto es el nadir. El círculo fundamental es el horizonte del lugar. Los círculos menores paralelos al horizonte del lugar se denomina almucantarates y lo semicírculos máximos que pasan por el cenit, nadir y un astro determinado se denominan círculos verticales o vertical del astro. Las coordenadas horizontales son: la altura (altitud) y el acimut. La altitud es la altura del astro sobre el horizonte (arco de semidiámetro vertical comprendido entre el horizonte del lugar y el centro del astro); se mide de 0º a 90º a partir del horizonte, y tiene signo positivo para los astros situados por encima del horizonte y signo negativo para los situado por debajo del mismo; se representa por la letra h. También se usa, en vez de la altura, la distancia cenital, es el arco de semidiámetro vertical comprendido entre el cenit y el centro del astro. Se representa por Z y se relaciona con la altura por la ecuación: 0

h = 90 º - Z





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El azimut es el arco del horizonte medido en sentido retrógrado desde el punto Sur hasta la vertical del astro. Su valor va de 0º a 360º y se representa por la letra A o a. En el sistema de coordenadas horizontales, la altitud y el acimut de los astros varían por la rotación terrestre y según el horizonte del observador. Estos ejes de coordenadas son los que tiene los telescopios con montura acimutal.





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COORDENADAS ECUATORIALES. *

A

A´´

T

Q

Q´

p

p´

meridiano del astro

Las coordenadas ecuatoriales del astro “a” son:

)(δastrodelndeclinacióAAArco =′′

)(tan βpolarciadisAPArco =

)(" αγ rectaasenciónAArco =

),(),( αβαδ AóA * Coordenadas ecuatoriales, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág. 238





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La declinación del astro se mide a partir del ecuador hacia el astro de 0º a 90º para el polo norte y de 0º a -90º hacia el polo sur. La distancia polar se mide a partir del polo norte hacia el astro de 0º a 90º y por lo tanto la distancia polar y la declinación son complementarias.

°=+ 90βδ

El arco "Aγ se mide en sentido antihorario a partir del punto llamado equinoccio de primavera ó punto gama asta el meridiano del astro en sentido antihorario de 0º a 360º ó de 0h a 24h.





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Las coordenadas ecuatoriales absolutas son: la declinación y la ascensión recta. La declinación (d) ya se ha definido en el sistema de coordenadas horarias. La ascensión recta es el arco del ecuador celeste medido en sentido directo a Coordenadas horizontales p + d = 90º partir del Punto Aries hasta el meridiano que contiene el astro. Varía de 0 horas a 24 horas y antiguamente se representaba por A.R. Pero actualmente se representa por A. La ascensión recta está relacionada con el ángulo horario por la ecuación fundamental de la Astronomía de Posición.

t = a + H Siendo t la hora sidérea. Estas coordenadas son universales ya que no dependen ni del lugar, ni del instante de la observación.





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COORDENADAS ECLIPTICAS. Las coordenadas eclípticas son aquellas coordenadas que están referidas a la eclíptica. Son las más útiles para el estudio de las posiciones planetarias ya que se mueven dentro de la franja de la eclíptica. El eje fundamental es el denominado eje de la eclíptica que corta a la esfera celeste en dos puntos denominados polos de la eclíptica. El círculo fundamental es la eclíptica. Los semicírculos máximos que pasan por los polos se denominan máximos de longitud y entre ellos, aquél que pasa por el Punto Aries se denomina primer máximo de longitud. Los paralelos se llaman paralelos de latitud celeste.

Polo norteceleste

Ecliptica

Ecuador celeste

Eje polar

Q´Q 23° 27´

21 de marzo

21 de junio

22 septiembre

22 de diciembre

Figura 4: Elementos para definir a la ecliptica. *

* Figura 4, coordenadas eclípticas, Manuel Medina Peralta, 1986, Astronomía de Posición, Limusa, México, Pág. 48.





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Las coordenadas eclípticas son: la longitud celeste y la latitud celeste. Se llama longitud celeste al arco de la eclíptica medido en sentido directo, que va desde el Punto Aries hasta el máximo de longitud de un astro; se mide en grados, desde 0º hasta 360º, y se representa por l. La latitud celeste es el arco máximo de longitud que pasa por el astro comprendido entre la eclíptica y el centro del astro, medido a partir de la eclíptica. Su valor oscila entre 0º y 90º y se representa por b. En este sistema no se toma nunca la distancia medida desde el polo de la eclíptica. Estas coordenadas son universales ya que no dependen ni del lugar, ni del instante de la observación.





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LA ECLÍPTICA. La trayectoria que sigue el Sol en la esfera celeste en su movimiento aparente recibe el nombre de Eclíptica. Esta trayectoria en la esfera celeste es un círculo máximo que forma con el ecuador celeste un ángulo de 23º 27' llamado declinación del Sol u oblicuidad de la Eclíptica. La denominación de Eclíptica proviene del hecho de que los eclipses sólo son posibles cuando la Luna se encuentra sobre la Eclíptica o muy próximo a ella, es decir en los llamados nodos. En la Eclíptica destacan cuatro puntos importantes: el punto donde el Sol alcanza su declinación máxima sobre el Ecuador del hemisferio norte, ocurre el 21 de junio y señala el día en que comienza el verano en el hemisferio norte, mientras que en el hemisferio sur el Sol alcanza el punto más bajo y señala el principio del invierno. Siguiendo su curso aparente, el 22 de septiembre, el Sol corta al ecuador celeste en la posición del Punto Libra(W), que corresponde a la entrada del otoño en el hemisferio norte y el principio de la primavera en el hemisferio sur. Nuestro Sol continúa su carrera y el 21 de diciembre llega al punto más bajo del hemisferio norte señalando el principio del invierno y el más alto en el hemisferio sur indicando el principio del verano.





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Después el Sol remonta su camino hacia el hemisferio norte y cruza el ecuador celeste el 21 de marzo, iniciándose la primavera en el hemisferio norte y el otoño en el hemisferio sur. El Sol se encuentra en dicho día en el llamado Punto Aries (g). Por último, el Sol sigue su camino hasta alcanzar el punto más alto, el 21 de junio, con lo cual ha realizado un ciclo completo. El Punto Aries o Punto Vernal (g) es la intersección del ecuador con la eclíptica o el punto del cielo en que aparece el Sol en el instante del equinoccio de primavera, el 21 de marzo. Se llama Zodiaco a una zona limitada por dos planos paralelos a la Eclíptica, cuya distancia angular es 16º. La palabra zodiaco procede el griego y significa "Casa de animales", por alusión a los nombres de las doce constelaciones. Todos los planetas (excepto Plutón) tienen órbitas cuya inclinación respecto de la Eclíptica es menor de 8º, por lo que dentro del zodiaco se mueven los planetas del Sistema Solar, así como los asteroides o planetas menores.





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II.3.- TRIÁNGULO ASTRONÓMICO. El triangulo astronómico se forma al considerar el sistema de coordenadas horizontales y ecuatoriales y se resuelve con trigonometría esférica para conocer la posición del astro “A” en el espacio, que servirá de referencia para obtener el azimut astronómico de una línea de una poligonal. Si en la esfera celeste aplicamos las coordenadas horizontales y las coordenadas ecuatoriales al astro “A” se tiene que:

Q´

SN

Q

Zp

Z´p´

A

A"

A´

Figura 5: Elementos que describen al triángulo astronómico. *

Triánguloastronómico

En la figura anterior se observa que se forma el triangulo astronómico APZ. * Figura 5 triángulo astronómico, Ricardo Toscano, 1966, Métodos Topográficos, Porrúa México, Pág. 238.





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Triángulo astronómico.

A

Z

P H

Q

Azz

Figura 6: Elementos del triángulo astronómico.

Z= Cenit. P= Polo. A= Astro. Arco ZA= Distancia cenital (z). Arco AP= Distancia polar (β )= (90- δ ). Arco PZ= Co latitud (90-ϕ ). H= Ángulo horario. Q= Ángulo paraláctico del astro. Az= azimut.





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Para darle solución al triangulo astronómico y obtener la formula para calcular el azimut astronómico del astro “A”, aplicamos la siguiente formula de trigonometría esférica (Ley de cósenos). Cos a= cos b cos c +sen b sen c cos A. ------------- (1)

A

Z

P H

Q

Az(c)

(b)

(a)

Figura 7: Elementos para darle solución al triángulo astronomico.

Si en la ecuación (1) sustituimos: a por (90-δ ). b por (90-ϕ ). c por (z ). A por (Az). Se tiene: Cos (90-δ )= cos (90-ϕ ) cos (z ) + sen (90-ϕ ) sen z cos Az ----- (2)





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Pero se puede cambiar: Cos (90- δ )= sen δ Cos (90-ϕ )= sen ϕ Sen (90-ϕ )= cos ϕ Por tanto la ecuación (2) se obtiene de la siguiente manera: Sen δ = sen ϕ cos z + cosϕ sen z cos Az. Como lo que se requiere obtener es la formula para el calculo del azimut del astro se tiene:

Azzsenzsensen coscoscos ϕϕδ =−

Azzsen

zsensen coscos

cos=

−ϕ

ϕδ

zsenzsensenAz

ϕϕδ

coscoscos −

=

En esta formula “δ ” es la declinación del astro a la hora de observación, “ϕ ” es la latitud del lugar y “z” es la distancia cenital verdadera del astro.





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(δ ): Se calcula en función de la hora promedio y la fecha de observación del astro y auxiliándose con las referencias de astro (sol), datos que se presentan en el anuario del observatorio astronómico nacional editado por el instituto de astronomía de la UNAM para el año de la observación como se muestra más adelante. (ϕ ): Se obtiene de las tablas del anuario del observatorio astronómico en la página 225 con el titulo de “posiciones geográficas de las principales lugares de la republica” ó de una carta topográfica ó mediante una orientación astronómica. (z): Corresponde a la distancia cenital verdadera, la cual no se puede medir directamente con el teodolito, por que el astro, que en este caso el sol no lo observamos en la posición real, solo en la posición aparente, esto causado por la refracción y el paralaje principalmente como se explica a continuación.





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r

z

z´

h

h´

Sol en posición aparente

Sol en posición real

Cenit

Horizonte

Tierra

O

O: Posición del observador con el teodolito

Capas atmosfericas

Figura 8: Corrección por refracción. * r = refracción de la luz, se presenta atendiendo a la ley física que dice que cuando un rayo de luz atraviesa de un medio a otro medio de diferente densidad, este se desvía siempre acercándose a una línea llamada “normal”, que para nuestro caso corresponde a la vertical que se establece con el teodolito en el terreno y por lo tanto de la figura 8 se tiene:

rhhórzz −′=+′= * Figura 8, corrección por refracción, Manuel Medina Peralta, 1986, Astronomía de Posición, Limusa, México, Pág. 58.





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El valor del ángulo de refracción se puede obtener con las siguientes formulas:

zt

Br ′+

′′=− tan273

7.21.1 *

zzr ′−′′′=− tan06688.0tan429.58.2 * La formula (1) se aplica cuando se conoce la temperatura (t) en º C y la presión barométrica (B) en milímetros de mercurio “mm/Hg”. La formula (2) se utiliza cuando no se conocen los datos de la temperatura y la presión barométrica, por lo que entonces se maneja la refracción media. El paralaje es otra de las correcciones que se aplican a la distancia cenital obtenida con el teodolito y se presenta por que observamos al sol al centro pero, la observación no se analiza desde el centro de la tierra, por tal motivo esta corrección se presenta de acuerdo a lo explicado en las siguientes figuras: * Formulas obtenidas del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, Editorial: UNAM, México, Pág. 149





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Tierra

O

Cenit

Solz´

h´

O: observador desde un punto sobre la superficie de la tierra.

Horizonte

Nadir

O

Cenit

Sol

Horizonte

Nadir

Sol

HorizonteC

z= z´-p ó *h=h´+p

z´z

p p

h´h

Figura 9: corrección por paralaje. *´ * Formulas obtenidas del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, Editorial: UNAM, México, Pág. 149 *´ Figura 9, corrección por paralaje, Astronomía de posición, 1986, Manuel Medina Peralta, Editorial: Limusa, México, Pág. 61.





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UNIDAD III: MEDIDA DEL TIEMPO.





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OBJETIVO: Describir las tres clases de días para medir el tiempo y aplicarlo en el proceso de la orientación astronómica con el sol.





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UNIDAD III: MEDIDA DEL TIEMPO. Desde hace mucho tiempo se emplea el movimiento aparente del Sol en el cielo como base para la medida del tiempo. En cualquier punto del planeta, cuando el Sol alcanza el punto más alto en el cielo durante ese día, es mediodía. La línea en dirección Norte-Sur que pasa por el cielo en ese punto se denomina meridiano. El intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el mismo meridiano es un día, que por convenio se divide en 24 horas. Sin embargo, según el tiempo solar la longitud del día no es la misma a lo largo del año debido a las variaciones del movimiento aparente del Sol. La diferencia de duración de las 24 horas de un día en las distintas estaciones puede llegar a ser de 16 minutos. Con la invención de relojes de precisión en el siglo XVII, estas diferencias empezaron a ser significativas. Existen dos clases de tiempo solar: tiempo solar aparente y tiempo solar medio. III.1.- TIEMPO SIDEREO * Este tiempo como es lógico se establece en función del día sidéreo, que se define como el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del punto llamado equinoccio de primavera, por el mismo meridiano y por lo tanto el origen de este día es el paso del equinoccio de primavera por el meridiano. El tiempo solar basado en la posición de las estrellas se denomina tiempo sidéreo, y los relojes regulados para registrar este tiempo se llaman relojes sidéreos. * Definición de tiempo sidéreo, Ricardo Toscano, 1966, Métodos Topográficos, Porrúa México, Pág. 239





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III.2.- TIEMPO SOLAR VERDADERO Ó APARENTE El tiempo solar aparente está basado en el día solar aparente, el cual es el intervalo entre dos regresos sucesivos del Sol al meridiano. Puede ser medido con un reloj de sol, y se corresponde con el amanecer, el mediodía o el anochecer: se basa en lo que es posible observar de manera directa. III.3.- TIEMPO SOLAR MEDIO. * Como el movimiento aparente del sol alrededor de la tierra no es exactamente uniforme, se complica el poder medir el tiempo con un reloj, por lo que para solucionar este problema se considera un sol ficticio que recorre aparentemente el ecuador con movimiento uniforme y con una velocidad igual a la media del sol verdadero y se le llama “tiempo solar medio”, el cual es empleado por toda la gente en su vida común. Se define el tiempo solar medio como el tiempo medido sobre la referencia del día solar medio. Este consiste en el lapso existente entre el paso consecutivo del Sol medio por el meridiano superior del lugar, siendo un promedio del día solar verdadero, y se corresponde con el tiempo civil. Se trata fundamentalmente de un tiempo local, ya que depende de la observación del paso consecutivo del Sol medio por el meridiano de cada lugar. * Definición de tiempo solar medio, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág. 238





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Este fenómeno hace ver que depende fundamentalmente de la longitud del lugar de observación (todos los sitios con la misma longitud, con independencia de la latitud en la que se encuentren, poseen el mismo tiempo solar medio). El tiempo solar medio está basado en un sol ficticio que viaja a una velocidad constante a lo largo del año, y es la base para definir el día solar medio (24 horas u 86.400 segundos). Se corresponde con el tiempo civil y se coordina mediante el Tiempo Medio de Greenwich.





36

III.4.- HUSOS HORARIOS. El movimiento de rotación de la tierra rige la hora para cada país, estableciendo un meridiano a cada 15º en función de que la tierra recorre 360º en 24 horas, es decir: 360º = 24 h. 15º = 1 h. La tierra tiene entonces un meridiano por cada 15º hacia el este y hacia el oeste empezando en el meridiano 0 º que se encuentra en Greenwich Inglaterra hasta la línea internacional de cambio de fecha, como se observa en el siguiente mapa de zonas horarias.

Figura 10: Husos horarios. * * Figura 10, Instituto de Astronomía de la UNAM, 2004, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág. 128, 129.





37

SIMBOLOGIA.

A = 15º E B = 30º E C = 45º E D = 60º E E = 75º E F = 90º E G = 105º E H = 120º E I = 135º E K = 150º E L = 165º E M:Y = 180º N = 15º O O = 30º O P = 45º O Q = 60º O R = 75º O S = 90º O T = 105º O U = 120º O V = 135º O W = 150º O X = 165º O





38

Cada franja de 15º centrada en el meridiano horario de referencia se llama huso horario y es adoptado por los países según sus propias necesidades. Observándose en el mapa de zonas horarias anterior que estos husos horarios son modificados por accidentes orográficos ó hidrográficos ó por fronteras entre países. Cada franja de 15º se establece de la siguiente manera.

7.5º 7.5º

15º

Meridiano 90º

Una hora

Figura 11: Elementos del meridiano 90º





39

Como una franja de 15º es igual a 1h , la hora así definida se llama hora legal ó civil. La hora legal para la republica mexicana se adopto el 1º de enero de 1922, teniendo actualmente según decreto presidencial del año 2002 los usos horarios para los meridianos 75º , 90º , 105º y 120º al oeste de Geenwich. La línea internacional de cambio de fecha, es una línea irregular trazada sobre el mapa del océano pacifico, próxima al meridiano 180º y que en muchos lugares coincide con el, señala el lugar en el que los navegantes adelantan ó retrazan un día la fecha en un viaje transoceánico.





40

III.5.- TRANSFORMACIÓN DE ARCO A TIEMPO Y DE TIEMPO A ARCO. Objetivo: Describir la forma de realizar este tipo de transformación con una simple calculadora. Este tipo de cálculo se utiliza para obtener la hora en función de la longitud del lugar donde se realiza una orientación astronómica. La hora se requiere para el cálculo de la declinación del sol a la hora de la observación. Ejemplo: ¿Que hora marcara un reloj en lugar cuya longitud es de 102º 23´ 14” al oeste de greenwich en el mismo instante en que otro reloj en el meridiano 90º al oeste de Greenwich marca 9h 23m 12s? Solución: Como la tierra en su movimiento de rotación tarda 24 horas en tiempo medio, para girar 360º entonces tenemos que: 24h = 360º Por lo tanto se establece que: 1h=15º Tomando en cuenta esta relación la solución a nuestro problema se presenta de la siguiente manera:





41

Longitud del lugar = 102º 23´ 14” Longitud del M-90º = 90º 00´ 00” Diferencia de long. = 12º 23´ 14” Ahora tenemos que: 1h = 15º X= 12º 23´ 14”

82.0

15º141312º2 h

=×′′′

=X

smhh 93.3249058148148 =

Hora del meridiano 90º = 9h 23m 12s - 0º 49´ 33” Este valor se aplico con signo (-) porque Hora que marca el 8h 33m 39s hacia el oeste siempre será más temprano reloj en la longitud de 102º 23´ 14” En este ejercicio se realizó la transformación de arco a tiempo. El problema de convertir tiempo en arco se resuelve de la misma forma.





42

UNIDAD IV: DECLINACIÓN DEL SOL.





43

OBJETIVO. Comprender la importancia que tiene la eclíptica en el movimiento aparente del sol.





44

UNIDAD IV: DECLINACIÓN DEL SOL. IV.1.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL ANTES DE 1993. Cálculo de la declinación del sol a la hora de la observación con un anuario anterior a 1993. En este ejemplo se utilizo un anuario para 1988 en el que las efemérides para el sol fueron calculados en el instituto de astronomía de la UNAM para la hora del paso por el meridiano 90 al W. de G. Las efemérides del sol que se encuentran en el anuario del observatorio astronómico nacional se calcularon para el meridiano 90º al oeste de Greenwich, por lo que este es el meridiano principal para la republica mexicana.





45

21 de marzo

21 de junio

22 septiembre

22 de diciembre

Ecuador

Ecli

ptica

= +23° 27'

A B

17 h 42 m 13 sHora de observacisn de la 1 serie

12 h 00 m 24 sHora del paso por el meridiano 90° al W. de G.

= -23° 27'

figura 12: Diagrama de la posición del sol a la hora de la observación

De la figura 12 se obtiene: (A) posición de sol el 13 de abril a las 12h 00m 24s. (B) Posición de sol el 13 de abril a las 17h 42m 13s.





46

Calculo de la declinación del sol a la hora de la observación. Hora de la observación promedio de la primer serie = 17h 42m13s. Hora del paso del sol por el meridiano 90º al W. de G. = 12 h 00 m 24 s.* Intervalo de tiempo = 5 h 41 m 49 s. Intervalo de tiempo en horas y fracciones de horas = 5.696944444 h. Variación horaria = 54.2” * Corrección por intervalo de tiempo 5.6969444x54.2” = 00º 05´ 08.8” Declinación del sol a la hora del paso por el meridiano 90º al W. de G. = 9º 19´ 11” * Declinación del sol a la hora de la observación = 9º 24´ 19.8” * Datos obtenidos del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág. 149





47

Desde luego que para la orientación astronómica que presento en este trabajo hubiera sido un error al considerar esta forma de calculo para la declinación del sol para nuestra hora de observación ya que después del año de 1993 el instituto de astronomía calculo las efemérides del sol para las 0h del meridiano 90º al W. de G. y no para la hora del paso del sol por el meridiano 90º al W. de G. como se observa en el ejemplo anterior.





48

IV.2.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL DESPUES DE 1993. CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL A LA HORA DE OBSERVACIÓN CON EL ANUARIO PARA EL AÑO 2004 POSTERIOR A 1993. Datos del anuario para el año 2004. FECHA DECLINACION A LAS 0h V.H. 13 de abril 9º 10´53” 54” *

21 de marzo

21 de junio

22 septiembre

22 de diciembre

Ecuador

Ecli

ptica

= +23° 27'

= -23° 27'

13 de abril a las 17 h 42 m 13 s

13 de abril a las 0 h

= 19° 10' 53"

figura 13: Diagrama de la posición del sol a la hora de la observación.

* Datos obtenidos del instituto de Astronomía de la UNAM, 2004, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág. 128.





49

Considerando la figura anterior correspondiente al movimiento aparente del sol sobre la eclíptica y los datos del anuario tenemos.

1h =54” 95.555101

45134217 ′′′=′′×

= oh

smh

C

17h 42m 13s = C C= corrección por intervalo de tiempo. El valor de la corrección por intervalo de tiempo se considera con signo ( + ) por que el sol a las 17h 42m 13s en la eclíptica origina una declinación mayor debido al movimiento aparente, por lo tanto: 9o 10´53” = declinación a las 0h 0o 15´55.99” = corrección por intervalo de tiempo.

9o 26´48.99” = declinación a las 17h 42m 13s

El signo de la declinación del sol a las 17h 42m 13s se considera con signo ( + ) por encontrarse por encima del ecuador celeste.





50

IV.3.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL CON UN ANUARIO ATRASADO. Para el desarrollo de este tema se presenta el cálculo de la declinación del sol a la hora de observación con un anuario para el año de 1973 en lugar de un anuario para el año 2004, que fue el año en que se realizo la orientación astronómica que presento en esta tesis, con el fin de exponer la forma en que se aplica la formula C=24hN-5.8128h que nos permite actualizar los datos para el año 2004 tomando en cuenta las efemérides del sol para el año 1973. La orientación se realizo el 13 de abril del 2004 a las17h 42m 13s.

Formula: C= 24hN-5.8128hn. N= Número de años bisiestos entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril del 2004. n= Número de años comunes entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril del 2004. 2004 = Año del anuario, en que se realizo la orientación astronómica. 1973 = Año del anuario utilizado. 31= Número de años comunes entre el 13 de abril de 1973y y el 13 de abril de 2004. n = 8 años bisiestos entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril de 2004. (1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000 y 2004)





51

Datos del anuario del observatorio astronómico para el año de 1973. Fecha hora del paso δ V.H 13 de Abril 12 h 00m 30.20 s 9º 11´ 22.45” 54.22 17h 42m 13s = Hora de la observación para la primera serie -12 h 00 m 30.20 s = Hora del paso por el meridiano 90º al W. de G. 5 h 41 m 42.80 s +c =11 h 48 m 11.52 s 17 h 29 m 54.32 s = Intervalo de tiempo para el año 2004 1 h = 54.22” 17 h 29 m 54.32 s = X

67.485101

22.5432.542917 ′′′=′′×

= oh

smh

X

9º 11´ 22.45” + 0º 15´ 48.76” 9º 27´ 11.21” 9º 27´ 11.21” = Declinación calculada con el anuario para 1973. - 9º 26´ 49” = Declinación calculada con el anuario para el 2004. 0º 00´ 22.21” = Error entre ambos cálculos





52

UNIDAD V: DETERMINACIÓN DEL

AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO

ELECTRÓNICO.





53

OBJETIVO: Conocer el manejo del teodolito electrónico, su utilización en una orientación astronómica y las ventajas que presenta.





54

UNIDAD V.- DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO ELECTRÓNICO. V.1.- CONFIGURACIÓN DEL TEODOLITO ELECTRÓNICO. Trabajo de campo para realizar la orientación astronómica con el teodolito electrónico. 1.- Se escoge la línea ó líneas a orientar de tal forma que sea visible e ínter visible entre los vértices que lo conforman. 2.- En uno de los dos vértices se centra y se nivela el teodolito. 3.- En el vértice opuesto se instala una señal especial montada sobre una base nivelante con plomada óptica. 4.- Antes de iniciar el trabajo con el teodolito electrónico, se tiene que configurar de la siguiente manera: A) Antes de encender el aparato teclear las teclas: Para que aparezca en pantalla lo siguiente:





55

Configuración de fábrica * 1: Graduación 0: Nulo. 1: Zenith 0º 0: Horizontal 0º 1: Mil 0: Nulo. 1: Decimal 0: Nulo 1: Sexagesimal 0: Gradientes 1: Zumbador 0: Apagado Encendido. 1: Pantalla 0: Pantalla en 5” en 10”

Figura 14: Pantalla con el comando de configuración. Desde luego la configuración para nuestro trabajo será: * Figura de la configuración topográfica, Pentax, 1993, Manual del teodolito electrónico ETH-10, Asahi precisión CO.LTD, Japón, Página 43.

1110010

1110010





56

De izquierda a derecha el primer número (1), indica que los ángulos se medirán con una precisión de 10”. El segundo número (1), indica que cada vez que se gire horizontalmente el teodolito y pase por 90º, 180º, 270º, y 360º se producirá un zumbido. El tercer número (1) indica que los ángulos se medirán en el sistema sexagesimal. El cuarto número (0), indica que esta opción queda apagada. El quinto número (0), indica que esta opción esta anulada. El sexto número (1), indica que los ángulos verticales medidos corresponderán a distancias cenitales. El séptimo número (0) indica que también esta opción queda nula ó anulada.





57

Después de decidirse por esta configuración se pulsa la tecla: Para apagar el teodolito y confirmar la configuración escogida. Enseguida se libera el movimiento horizontal general ó particular del teodolito y se dirige la visual hacia la señal que se encuentra en el vértice opuesto y se pulsa la tecla: Para encender el aparato apareciendo en pantalla:

H 0º 00´ 00”





58

V.2.- TRABAJO DE CAMPO. 1.- Escoger la línea ó líneas a orientar de tal forma que entre los vértices que la conforman, exista ínter visibilidad y que además sean accesibles. 2.- A uno de los vértices de la línea a orientar se le llama estación y al vértice opuesto se le llama señal. 3.- En el vértice estación se centra y se nivela el teodolito. 4.- En el vértice llamado señal se coloca de preferencia un tripie con base nivelante y plomada óptica y una mira ó señal de poligonación. 5.- Después de centrar y nivelar el teodolito en el vértice estación, con el movimiento horizontal, girar a observar la señal de poligonación. 6.- Una vez observada la señal, fijar el tornillo del movimiento horizontal particular y el tornillo del movimiento horizontal general y pulsar la tecla: Para encender el instrumento.





59

7.- Al encender el instrumento, en la pantalla se observa el ángulo horizontal.

V/%

OSET ON/OFFA.H.= 00° 00' 00"

Figura 15: Pantalla del teodolito. 8.- Si el ángulo horizontal tuviera una lectura diferente de 00º 00´00” bastaría simplemente con pulsar la tecla: Para colocar la lectura en ceros. 9.- Enseguida liberar el movimiento del tornillo horizontal particular y el tornillo del movimiento vertical, para girar a la derecha hasta observar el sol. 10.-Para observar al sol con un teodolito, es necesario hacerlo através de: a) un prisma solar. b) un filtro. c) una pantalla.

OSET





60

a) El prisma solar es poco usual utilizarlo para observar al sol principalmente por su alto costo, pero resulta muy práctico por que nos permite visar al centro del sol sin causar el menor daño posible a nuestros ojos.

Figura 16: Disco solar observado através de un prisma solar. *

b) Para observar el sol con el teodolito también se puede utilizar un filtro el cual se recomienda sea un cristal de soldador de 12 sombras ya que un simple trozo de película velada ó una radiografía en la actualidad no nos protege de las quemaduras de tercer grado que el sol provocaría a nuestros ojos. * Figura del prisma solar, wolf/brinker, 2001, Topografía, Alfa-Omega, México, Pág. 418.





61

PENTAX

FILTRO

TROZO DE PAPELENGOMADO

Figura 17: Filtro colocado en el lente objetivo del teodolito.

c) La pantalla será siempre la forma más sencilla y practica para observar al sol con el teodolito ya que al recibirlo reflejado en esta es fácil ubicarlo en el primer y tercer cuadrante para la orientación por la mañana y en el segundo y cuarto cuadrante por la tarde, en posición directa e inversa del anteojo respectivamente.





62

11.- Después de observar al sol se gira a la derecha horizontalmente con el movimiento particular hasta observar a la señal, regresando en posición inversa con un ángulo horizontal de 180 + ó – la precisión del instrumento. 12.- Todas las operaciones anteriores constituyen una serie y se recomienda realizar un mínimo de tres hasta 16 series. 13.- En cada serie se toman los siguientes datos: a) La hora. b) El ángulo horizontal. c) El ángulo vertical. Estos datos se anotan en el registro de campo como el que se muestra a continuación.





63

REGISTRO DE CAMPO LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO:

Misael Trejo Basilo. LATITUD 20º 44´20” FECHA 13 /04/04

SERIE

EST

PO

PA

HORA

A.H

A.V.

1 1 13 D 00 O 00 ´ 00 ” SOL D 17 H 40 M 18 S 173 O 23 ´ 49 ” 38 O 17 ´ 57 ” SOL I 17 H 44 M 08 S 356 O 21 ´ 57 ” 320 O 22 ´ 43 ” 13 I 180 O 00 ´ 00 ” Sumas

Promedios


Promedios

3 1 13 D 00 O 00 ´ 00 ” SOL D 17 H 54 M 35 S 173 O 28 ´ 46 ” 36 O 01 ´ 13 ” SOL I 17 H 57 M 23 S 352 O 35 ´36 ” 323 O 43 11 ” 13 I 180 O 00 ´ 00 ” Sumas

Promedios





64

LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: Misael Trejo Basilio LATITUD 20º 44´20”

FECHA 13 /04/04

SERIE

EST

PO

PA

HORA

A.H

A.V.


Promedios


Promedios


Promedios





65

V.3.- TRABAJO DE GABINETE. Cálculo de los promedios. LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO:

Misael Trejo Basilio LATITUD 20º 44´20” FECHA 13 /04/04

SERIE

EST

PO

PA

HORA

A.H

A.V.

1 1 13 D 00 O 00 ´ 00” SOL D 17 H 40 M 18 S 173 O 23 ´ 49” 38 O 17 ´ 57” SOL I 17 H 44 M 08 S 356 O 21 ´ 57” 320 O 22 ´ 43” 13 I 180 O 00 ´ 00” SUMAS

34 H 84 M 26 S

PROMEDIOS 17 H 42 M 13 S 174 O 52´ 53” 38 O 57 ´ 37”


34 H 97 M 63 S

PROMEDIOS 17 H 49 M 01.5 S 174 O 06 ´ 07” 37 O 43 ´ 54”


34 H 11 M 58 S

PROMEDIOS 17 H 55 M 59 S 173 O 02´ 11” 36 O 09 ´ 01”





66

LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: Misael Trejo Basilio LATITUD 20º 44´20”

FECHA 13 /04/04

SERIE

EST

PO

PA

HORA

A.H

A.V.

4 1 13 D 00 O 00 ´ 00 ” SOL D 18 H 01 M 11 S 171 O 46 ´ 48 ” 35 O 22 ´ 49 ” SOL I 18 H 03 M 46 S 353 O 19 ´ 58 ” 324 O 26 ´ 13 ” 13 I 180 O 00 ´ 00 ” SUMAS

36 H 04 M 57 S

PROMEDIOS 18 H 02 M 28.5 S 172 O 33´ 23 ” 35 O 28 ´ 13 ”

5 1 13 D 00 O 00 ´ 00 ” SOL D 18 H 06 M 12 S 171 O 15 ´ 08 ” 34 O 27 ´ 15 ” SOL I 18 H 08 M 19 S 351 O 35´ 28 ” 325 O 15 ´ 07 ” 13 I 180 O 00 ´ 00 ” SUMAS

36 H 14 M 31 S

PROMEDIOS 18 H 07 M 15.5 S 171 O 55´ 18 ” 34 O 36 ´ 04 ”

6 1 13 D 00 O 00 ´ 00 ” SOL D 18 H 11 M 51 S 170 O 36 ´ 55 ” 33 O 43 ´ 09 ” SOL I 18 H 13 M 03 S 352 O 04 ´ 37 ” 326 O 02 ´ 13 ” 13 I 180 O 00 ´ 00 ” SUMAS

36 H 24 M 54 S

PROMEDIOS 18 H 12 M 27 S 171 O 20 ´ 46 ” 33 O 50 ´ 28 ”





67

Cálculo de los promedios de la hora, del círculo horizontal y del círculo vertical. A) Calculo de la hora promedio. Ejemplo para la serie uno

.084417.184017

inversaposiciónladeHoradirectaposiciónladeHora

smh

smh

=

=

serieprimerladehoraladepromediosmhsmh

== 1342172

268434

B) Calculo del círculo horizontal promedio. Ejemplo para la primera serie:

"00´0000"49´23173

°−°

."49´23173 directaposiciónladehorizontalÁngulo=°

"00´00180"27´21356

°−°

."57´21176 inversaposiciónladehorizontalÁngulo=°





68

."27´21176

."49´23173

inversaposiciónladehorizontalÁngulo

directaposiciónladehorizontalÁngulo

=°

=°

."53´521742

"106´44349 serieprimeraladepromediohorizontalÁngulo=°=°

Este procedimiento se aplica para cada una de las series hasta obtener el promedio del círculo horizontal correspondiente como se muestra en las tablas de las páginas 58 y 59. C) calculo del promedio del círculo horizontal. Ejemplo para la primera serie.

z1'38° 17' 57"

Sol

Posición directadel anteojo delteodolito

Cenit

Figura 18: Observación del sol con el teodolito en posición directa de su anteojo, para obtener el angulo cenital.





69

z2'Sol

Posición inversadel anteojo delteodolito

Cenit

320° 22' 43"

Figura 19: Observación del sol con el teodolito en posición inversa de su anteojo, para obtener el angulo cenital.

Para obtener el ángulo vertical z´2 es necesario realizar la siguiente operación, por que el ángulo cenital obtenido en esta posición es en ángulo conjugado del anteojo.

"17´3739"43´22320"00´00360

°°−°

."17´3739."57´1738

inversaposiciónladeverticalángulodirectaposiciónladeverticalángulo

=°=°

´"37´57382

"74´5477 zpromedioverticalángulo ==°=°

Este procedimiento se repite para cada serie hasta obtener el promedio correspondiente como se muestra en las figuras 58 y 59.





70

V.4.- CÁLCULO DEL AZIMUT ASTRONÓMICO. Cálculo de las series.

1ª SERIE 2ª SERIE

3ª SERIE

δ A LAS 0H

9 O 10 ´ 53”

9 O 10 ´ 53”

9 O 10 ´ 53”

HORA PROMEDIO

17 H 42 M 13 S

17 H 49 M 01.5 S

17 H 55 M 59 S

V.H.

00 O 00 ´ 54”

00 O 00 ´ 54”

00 O 00 ´ 54”

c

+00 O 15 ´ 56”

+00 O 16 ´ 02”

+00 O 16 ´ 08”

δ ( HORA DE OBSERVACIÓN)

+9 O 26 ´ 49”

+9 O 26 ´ 55”

+9 O 27 ´ 01”

h

51 O 02 ´ 23”

52 O 16 ´ 06”

53 O 50 ´ 59”

- r

00 O 00 ´ 47”

00 O 00 ´ 45”

00 O 00 ´ 43”

+ p

00 O 00 ´ 06”

00 O 00 ´ 05”

00 O 00 ´ 05”

h

51 O 01 ´ 42”

52 O 15 ´ 26”

53 O 20 ´ 21”

φ

20 O 44 ´ 20”

20 O 44 ´ 20”

20 O 44 ´ 20”

AZ. DEL SOL

100 O 53 ´ 41.00”

101 O 40 ´ 35”

102 O 44 ´ 28.00”

AZ DEL SOL VERDADERO

259 O 06 ´ 19”

258 O 19 ´ 25”

257 O 15 ´ 32”

A.H. PROMEDIO.

174 O 52 ´ 53”

174 O 06 ´ 07”

173 O 02 ´ 11”

AZ. DE LA LINEA 1-2

84 O 13 ´ 26”

84 O 13 ´ 18”

84 O 13 ´ 21”





71

4ª SERIE

5ª SERIE

6ª SERIE

δ A LAS 0H

9 O 10 ´ 53 ”

9 O 10 ´ 53 ”

9 O 10 ´ 53 ”

HORA PROMEDIO

18 H 02 M 28.5 S

18 H 07 M 15.5 S

18 H 12 M 27 S

V.H.

00 O 00 ´ 54 ”

00 O 00 ´ 54 ”

00 O 00 ´ 54 ”

c

+00 O 16 ´ 14 ”

+00 O 16 ´ 19 ”

+00 O 16 ´ 23 ”

δ ( HORA DE OBSERVACIÓN)

+9 O 27 ´ 07 ”

+9 O 27 ´ 12 ”

+9 O 27 ´ 16 ”

h

54 O 31 ´ 47 ”

55 O 23 ´ 56 ”

56 O 09 ´ 32 ”

- r

00 O 00 ´ 42 ”

00 O 00 ´ 40 ”

00 O 00 ´ 39 ”

+ p

00 O 00 ´ 05 ”

00 O 00 ´ 05 ”

00 O 00 ´ 05 ”

h

54 O 31 ´ 10 ”

55 O 23 ´ 21 ”

56 O 08 ´ 58 ”

φ

20 O 44 ´ 20 ”

20 O 44 ´ 20 ”

20 O 44 ´ 20 ”

AZ. DEL SOL

103 O 13 ´ 11.00 ”

103 O 51´ 17.00 ”

104 O 25 ´ 50.00 ”

AZ DEL SOL VERDADERO

256 O 46 ´ 49 ”

256 O 08 ´ 43 ”

255 O 34 ´ 10 ”

A.H. PROMEDIO.

172 O 33 ´ 23 ”

171 O 55 ´ 18 ”

171 O 20 ´ 46 ”

AZ. DE LA LINEA 1-2

84 O 13 ´ 26 ”

84 O 13 ´ 15 ”

84 O 13 ´ 24 ”

El azimut astronómico de la línea 1-13 será el promedio de los azimuts de las series realizadas, siempre y cuando no varíen entre ellos más de 10” que es la precisión del teodolito.





72

Serie Azimut astronómico de la línea 1-13. 1 84º 13´ 26” 2 84º 13´ 18” 3 84º 13´ 21” 4 84º 13´ 26” 5 84º 13´ 15” 6 84º 13´ 24” Promedio= 84º 13´ 21.67” Azimut astronómico de la línea 1-13 = 84º 13´ 21.67”





73

V.4.1.- FORMULAS APLICADAS. FORMULAS PARA EL CALCULO DE “ r ”( REFRACCIÒN)

zt

Br tan273

"7.21+

=

Esta formula se aplica si se toman datos de temperatura y presión atmosférica.

zzr ′−′= tan6688.0tan294.58 Esta formula se aplica si no se tienen datos de temperatura y presión atmosférica.

"47"08.47737º538tan"06688.0737º538tan"294.58 ==′′′×−′′′×=r

"6"53.5737º538"8.8"8.8 ==′′′=′= senzsenp





74

En función de “r” y “p” calculamos el valor de “z”.

przz −+′= prhh +−′= 7375º38 ′′′=′z 3220º51 ′′′=′h

+ 740º000 ′′′=r - 740º000 ′′′=r

428º538 ′′′ 631º051 ′′′ - 6000º00 ′′′=p + 6000º00 ′′′=p

8185º38 ′′′=z 241º051 ′′′=h Pero como también se requiere el valor de la altura del sol verdadero tendremos que:

24151º081890º-38º5º-z90 ′′′=′′′==h





75

V.4.2.- EJEMPLO. En función de los datos obtenidos de ϕδ yhz,, procedemos a calcular el azimut astronómico del sol con la formula del seno, del coseno y de la tangente. V.4.2.1.- formula para el seno.

znmsenAzsen cscseccos2

ϕ=

En donde:

2δϕ −+

=zm y 2

δϕ ++=

zn

Datos de la primera serie:

"42´0151"18´5838

"20´4420)("49´269

°=°=°=

+°=

hzϕδ

"18´5838°=z "20´44º20=+ ϕ 38"42´59z °=+ ϕ "49´269)(- °=+ δ 47"15´º50=−+ δϕz





76

"5.54´07252

"49´15502

°=°

=−+

=δϕzm

"38´4259°=+ ϕz "49´26º9)( =++ δ 87"68´68 °

"5.43´34342

"87´68682

°=°

=++

=δϕzn

znmsenAzSen cscseccos2

131 ϕ=−

"18´5838csc"20´4420sec"5.43´3434cos"5.54´07252

131°×°×°×°=

− senAzSen

589986879.1069285534.18233510424.4247086329.2

131×××=

−AzSen

5945035482.2

131=

−AzSen

7711040562.2

131=

−AzSen

"2.50´26502

131°=

−Az

soldeloastronómicazimutAz =°=− "44.41´53100131





77

Para calcular el azimut astronómico de la línea 1-13 nos apoyamos en el siguiente croquis, sobre el que primeramente graficamos el azimut astronómico del sol que por haber realizado la observación en la tarde, lo trazamos hacia la izquierda y por lo tanto el azimut astronómico del sol en realidad lo obtenemos de la siguiente manera:

100° 53' 41"

Azimut astronómicodel sol

Figura 20:croquis para obtener el azimut astronomico del sol.

E

S

W

= Azimut verdadero del sol de la primera serie

"19´06259"41´53100"00´00360

°°−°





78

Ahora en el croquis trazamos la línea orientada 1-13 en función de su ángulo horizontal promedio.

E

S

W1

1325

9° 06

' 19"

174°

52' 5

3"

Azimut astronomicode la linea 1-13

Figura 21:croquis para obtener el azimut astronomico de la linea 1-13.

Ángulo horario promedio.

De acuerdo al croquis tenemos:

= Azimut astronómico de la línea 1-13.

"26´1384"53´52174"19´06259

°°−°





79

V.4.2.2.- Calculo del azimut astronómico con la formulas del coseno.

hhsensensenAz

coscoscos

ϕϕδ −

=

Datos.

"42´0151"20´4420

"49´269

°=°=

°=

hϕδ

Sustituyendo los datos en la formula tenemos:

42´0151cos"20´4420cos"42´0151"20´4420"49´269

°×°°×°−°

=sensensenAzCos

6289360077.9352038982.)7774570716.3541096848.(1641342406.

××−

=AzCos

6289360077.9352038982.)7774570716.3541096848.(1641342406.

××−

=AzCos





80

5881834061.02753050786.01641342406.0 −

=AzCos

5881834061.0111170838.0−

=AzCos

1890070968.0−=AzCos

soldeloastronómicazimutAz =°=°= "41´53100"44.41´53100





81

El azimut astronómico del sol calculado con esta formula del coseno es idéntico al valor obtenido con el azimut astronómico de la línea 1-13 por lo que se comprueba el calculo con esta formula. Para calcular el azimut astronómico de la línea 1-13 procedemos a dibujar el croquis como en el ejemplo de la formula del seno.

E

S

W1

13

259°

06' 1

9"17

4° 52

' 53"

Azimut astronomicode la linea 1-13

100°

53' 4

1"

Figura 22: Croquis para obtener el azimut astronomico de la linea 1-13.

= Azimut astronómico verdadero del sol de la primera serie.

"19´06259"41´53100"00´00360

°°−°





82


V.4.2.3.- Cálculo del azimut astronómico del sol con la formula de la tangente.

SSSsenSsenAzTang

cos)(cos()(

2 βϕα

−−−

=

2βϕα ++

=S

Datos:

"11´3380"49´2699090"20´4420

"42´0151

°=°−°=−°=°=

°==

δβϕα h

"5.36´09762

"11´3380"20´4420"42´0151°=

°+°+°=S

"5.34´234"11´3380"5.36´0976)("5.16´2555"20´4420"5.36´0976)("5.54´0725"42´0151"5.36´0976)(

°−=°−°=−°=°−°=−°=°−°=−

βϕα

SSS

"26´1384"53´52174"19´06259

°°−°





83

"5.36´0976cos"5.34´234cos"5.16´2555"5.54´0725

2 °×°−°×°

=sensenAzTang

2392090253.09970622292.08233469152.04247020492.0

2 ××

=AzTang

238506284.03496771221.0

2=

AzTang

466112826.12

=AzTang

210831461.12

=AzTang

"72.50´26502

°=Az

"44.41´53100 °=Az

"41´53100 °=Az = azimut astronómico del sol.





84

Para obtener el azimut astronómico de la línea 1-13 procedemos de la misma manera que en las formulas de seno y del coseno dibujando el croquis correspondiente:

E

S

W1

13

259°

06' 1

9"17

4° 52

' 53"

100°

53' 4

1"

83° 13' 26"

Figura 23: Croquis para obtener el azimut astronomico de la linea 1-13.


"19´06259"41´53100"00´00360

°°−°

"26´1384"53´52174"19´06259

°°−°





85

Como se observa, al utilizar la formula del seno, la formula del coseno y la formula de la tangente; se obtiene el mismo resultado en el azimut astronómico del sol y en el azimut astronómico de la línea 1-13 de la poligonal.





86

CONCLUSIONES. La topografía actualmente ha establecido enfáticamente que en su aplicación se manejan levantamientos y trazos, en ambos casos se han presentado avances tecnológicos de gran importancia, como la georeferenciación, los teodolitos electrónicos, las estaciones totales para campo y las computadoras para el trabajo de gabinete. Desde luego que esta acelerada evolución tecnológica es muy importante pero tiene el inconveniente que los equipos modernos para campo y gabinete son todavía muy costosos, motivo por el cual en el levantamiento del predio, a dividir en tres partes, se realizo la orientación astronómica con un teodolito electrónico pero por el método tradicional tanto como el trabajo de campo como para el calculo correspondiente. También con el teodolito realizamos la medición de los ángulos horizontales y verticales, para las distancias inclinadas, se utilizo simplemente una cinta métrica de treinta metros de longitud. Con los ángulos verticales y las distancias inclinadas se calcularon las distancias horizontales con una calculadora científica, al igual que para la división del predio, pero como ya se menciono al principio de la tesis, este cálculo no presenta por que su explicación seria motivo de otra tesis.





87

BIBLIOGRAFÍA. wolf/brinker 2001 Topografía Editorial: Alfa-Omega México Pág. 398 400, 416, 418 Instituto de 1988 Anuario del Editorial: U.N.A.M. México Pág. 149 Astronomía Observatorio de la UNAM Astronómico nacional. Instituto de 1973 Anuario del Editorial: U.N.A.M. México Pág. 12, 23 Astronomía Observatorio de la UNAM Astronómico nacional. Instituto de 2004 Anuario del Editorial: U.N.A.M. México Pág. 17, 20 Astronomía Observatorio 128,129 de la UNAM Astronómico nacional. Pentax 1993 Manual del Editorial: Asahi precisión Japón Pág. 43,45 Teodolito CO.LTD Electrónico ETH-10, Pentax Manuel 1986 Astronomía de Editorial: Limusa. México. Pág. 48, 58 Medina Peralta Posición y 61 Ricardo 1966 Métodos Editorial: Porrúa. México. Pág. 238 Toscano Topográficos y 239

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