ü ù

-üùÿþ-ÿþÿÿ

) "úï± ! "Bï..2+10".*.2.

ùÿüÿûþýûüþ.2".2 "-#1".012 #.2!+

....22++1100"" .. **..22..

!#"%$ & ')( *,+-/. 021 3 4 576 8 9 :<;>= ?A@CB<DCE FHGJI K LAMON PRQ SUTWVAXYQJZ []\ ^A_ ` a>bdcfehgjikaAlme npo/qfr sutHvxw yz|C~< 2zCyzf pOhkYfAfH,fHJk> ¢¡¤£R>¥uk¦¥uH§¨¢© ªf£,h7p «C¥C> ¬ ­¯®7°±k²A³´ µR®·¶u± ¸ ¹»ºC¼A½7¾f¿À ÁU ÃÅÄAÆkÇAÆkÈÉCÈhÃËÊ<ÌfÇÍ%ÄAÆkÇAÆkÈÆÎÏÐAÑpÒÒ Í2ÈpÓ>ÓÕÔ,ÆÖÎÏÆkÇfÏÈ/ÊR×CÉYÌAØ<à РÆ]à ÉfÙOØ ÑAÚCÛ ÏuÇÜRÝ)Í%× Ñ Ï×,à ÐAÑpÒÒ Í2ÈÞÜRØYßÅà áâã»ä å]ä7â,æ,ç¤è/épè êÖëCìËíuîWï ðòñfóhô¯ó/ñAóRõCö ÷2ó ø7ù,ú,ûüpýfþHÿCü ú ý ú ü

üþÿùÿùüÿþÿ$ ,02+ü12+.0$ ."

!)!.. #/+ûüÿ-ÿüüÿþü

,0.2ü)22.ùÿþ-ÿþÿÿ) "úï± ! "Bï

..2+10".*.2.

ùÿüÿûþýûüþ.2".2 "-#1".012 #.2!+

ùù

!"! # $ % &(' )+*-,/. 0(132 4/5+68794: ;=<=> ?A@CBDFEGHI J-KL MNPORQ S TVUWXZY=[P\R](^ _a` bRc dfeghigjlkm n

oqp=rstpuwvlvu xzy|wZ~+( 93 /""99C9"3

q ¡¢z£¤¥¦§/¨"©ª¦"«­¬"®©ª¦"« ªCª

¯ ¤=°l± ²´³ µ´¶¸·t¹=º»9¼´½¾F¿À¿iÁZÂlÃ"ÄaÅÇÆÈRÉP¿aÆ ÊÌËaÍaÎÐÏÎ

ÑFÒÓÓÕÔÖÐ×ÐØÙ ÚÛÜ=Ý=Þ3ÛCßà"Ü áâ3ãä9åPæ"å

ç è éZêiëZê ì íî ïzðlñVðòó ôiõzö ÷ ø ùûúiüýþ8ÿ

!#"$&%&')(*+',.-0/

13254563781:9;<5=><56@?A<B1

CEDF)GHGIKJMLON P0PQ0RSUTVWXYR VSZT[KV0W\])R ^`_Sa[bQc dVe

f&ghijbklhnm#g op q rsKtuvxwyz|KZ~0w8s!rMU)Kyw Es`rM 30sxZ~yv`!yv

35538:5>5@AB

E)KMO00 ¡U¢£¤Y £¡Z¢K£0¤) ¥`¦¡§b¨ ©£ª

« r @¬0sx#~­)&@xu0y®yBzOs`r ~n¯Z®)sbvz°~r E~r ~M0

553±5E. >E85@²55

³ ´5# « r @¬0sµZ~

¶3·A¸¹5¹º5» ¶3¸E¼.¸¹½.¾E½8¿B¼B½.»

ÀÂÁxÃxÄ`ÅÃÆUÇ!ÈÉÊ°ËÃ)ÌÍÄ+ÁÏεÐÊOÑ`ÒÍ ËnÆZÓ)ÑbÁxÄ!Æ#Ò ÅÔ.Á+ÕÆ Ò ÅÔYÒËÆÖÑ!Ã0Æ#Ò×BÑbÍÆ È@جÕ0ÑxÆ#ËÄÙÃ8Ñ`ÒÓÉÇÏÑKÙÃ

ÚÛ ÜBÝÜßÞÂàâá&Þ ãEä|å æâçéè ê ë ìíïîÂð ñ òó)ô ôõö²÷ ø øù

úEû ü ýUþÿ

Copyright © 2005 ! "#$#%&!')(*',+$&!- ./0 1)1 2 3 4 576 8:9<;>= ?7@BA C>D:EFGCIH JLKLM NPORQ

Q)ST!UWV7X Y Z[ \!]_^`^bacad e)fWgh!ikj!lmg nopoo!orq7st u!v w xLyz |~_!!!!!7 !k*! ¡ ¢ £ ¤ ¥ ¦ §¨`©¨`©«ª¬©­­®k¯`° ±² ³_´¬µ·¶_¸,¶¹º » ¼ ½ ¾,¿À*ÁÂÄÃÅ7Å7ÆÇÀ!ÈÇ!ÆbÈÉÆÊ«Â ÃÅÆ¿ ËÌÍmÎGÏ!Ð ÑÄÒ_ÓÔÕ7Ö×Ó ØBÙ ØÚÛÝÜÞ

ß Þ,àÜáãâ7ä ßåßæ!ß*çßèéãè â7àÜÞBê·ëìÜ æ ÜÙÜíâ æ Üàîë ïð_ñ!ò,ó ôõöG÷øúùûü ýþ,ÿ ÿþ

Περιεχόµενα Οδηγός Μελέτης για ∆ιδάσκοντες και ∆ιδασκοµένους ...................................................11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Η Έννοια του Κύµατος: Ποιοτική και Ποσοτική Περιγραφή Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις .... 15

1.1 Εισαγωγή: Ορισµοί και ιδιότητες ...............................................................................18

1.2 Φυσική-ποιοτική περιγραφή της κυµατικής διάδοσης ...............................................23

1.2.1 Μια προκαταρκτική ταξινόµηση κυµάτων και κυµατικών φαινοµένων ...........23

1.2.2 Ποιοτική διερεύνηση της σχέσης µεταξύ αρµονικού κύµατος και αρµονικής

ταλάντωσης . ................................................................................................................27

Σύνοψη Ενότητας 1.2 ........................................................................................................33

1.3 Μαθηµατική περιγραφή του κύµατος σε µία διάσταση ..............................................34

1.3.1 Αρµονικά κύµατα ...............................................................................................34

1.3.2 Γενικά κύµατα . ...................................................................................................38

1.4 Χαρακτηριστική κυµατική εξίσωση ...........................................................................41

1.5 Εφαρµογή της χαρακτηριστικής κυµατικής εξίσωσης για τα ελαστικά κύµατα σε

µια στερεή ράβδο ........................................................................................................47

1.6 Κύµατα που δεν υπακούουν την κυµατική εξίσωση (1.27): Τα κύµατα της

θάλασσας ......................................................................................................................51

Σύνοψη Κεφαλαίου ............................................................................................................57

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Περιοδική Κίνηση: Ελεύθερες Ταλαντώσεις Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις ....61

2.1 Εισαγωγή: Σύνδεση µε τα προηγούµενα ....................................................................64

2.2 Φυσική και µαθηµατική περιγραφή της απλής αρµονικής ταλάντωσης .....................68

2.3 Άλλα παραδείγµατα αρµονικών ταλαντώσεων ..........................................................76

2.4 Ενέργεια ενός αρµονικού ταλαντωτή .........................................................................86

2.5 Παράσταση της αρµονικής κίνησης µε περιστρεφόµενα διανύσµατα .......................91

2.6 Σύνθεση αρµονικών ταλαντώσεων σε µία διάσταση ..................................................95

2.6.1 Σύνθεση δύο ταλαντώσεων που έχουν την ίδια συχνότητα ...............................95

2.6.2 Σύνθεση δύο ταλαντώσεων που έχουν διαφορετικές συχνότητες .....................98

2.6.3 Σύνθεση πολλών ταλαντώσεων που έχουν την ίδια συχνότητα ......................105

2.6.4 Σύνθεση πολλών ταλαντώσεων που έχουν διαφορετικές συχνότητες .............107

2.7 Σύνθεση δύο κάθετων αρµονικών ταλαντώσεων .....................................................110

2.7.1 Σύνθεση κάθετων ταλαντώσεων µε ίδιες συχνότητες ......................................110

2.7.2 Σύνθεση κάθετων ταλαντώσεων µε άνισες συχνότητες ...................................115

2.8 Φθίνουσες ταλαντώσεις – Ταλαντώσεις µε απόσβεση ..............................................118

2.9 Μη αρµονικές ταλαντώσεις .......................................................................................130

2.9.1 Μη αρµονικά ελατήρια ....................................................................................130

2.9.2 Προσεγγιστικές λύσεις .....................................................................................134

2.9.2.1 Μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων ......................................................134

2.9.2.2 Μέθοδος των µικρών διαταραχών ................................................................136

2.9.3 Εφαρµογή στις θερµικές ταλαντώσεις των στερεών ........................................139

2.9.4 Εφαρµογή σε εκκρεµές µε µεγάλο πλάτος ταλάντωσης ..................................141

2.9.4.1 Προσεγγιστική λύση .....................................................................................141

2.9.4.2 Η ακριβής λύση .............................................................................................146

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7

Σύνοψη Κεφαλαίου ..........................................................................................................153

Απαντήσεις σε Επιλεγµένες Ερωτήσεις ............................................................................156

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Εξαναγκασµένες Ταλαντώσεις Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις ...157

3.1 Εισαγωγή: Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις – Γενική Περιγραφή ..............................159

3.2 Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση .......................................................162

3.3 Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις µε απόσβεση .............................................................169

3.4 Ισχύς που καταναλώνεται (απορροφάται) από τον ταλαντωτή κατά την

εξαναγκασµένη ταλάντωση ............................................................................................182

3.5 Απλές γενικεύσεις .....................................................................................................188

3.5.1 Σύνθετος ταλαντωτής .......................................................................................188

3.5.2 Σύνθετη οδηγός δύναµη . ..................................................................................189

3.5.3 Μη αρµονική περιοδική οδηγός δύναµη ..........................................................190

3.5.4 Άλλου τύπου εξωτερικές δυνάµεις ...................................................................192

3.5.5 Μη αρµονική δύναµη επαναφοράς ..................................................................193

3.6 Μηχανικά και ηλεκτρικά ανάλογα ............................................................................194

3.6.1 Συντονισµός σε κύκλωµα RLC ........................................................................194

3.6.2 Σύνθετη αντίσταση ή εµπέδηση . ......................................................................195

3.7 Άλλα παραδείγµατα συντονισµού (από τη φύση και τη Φυσική) .............................201

3.7.1 Στοιχειώδη παραδείγµατα συντονισµού από την καθηµερινή εµπειρία ..........201

3.7.2 Στοιχειώδη παραδείγµατα από την Κλασική Φυσική . .....................................202

3.7.3 Στοιχειώδη παραδείγµατα από τη Σύγχρονη Φυσική . .....................................203

3.8 Οι µεταβατικές ταλαντώσεις......................................................................................206

Σύνοψη Κεφαλαίου ..........................................................................................................209

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

Συζευγµένες Ταλαντώσεις Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις ..213

4.1 Εισαγωγή ...................................................................................................................215

4.2 Ελαστική σύζευξη δύο ελεύθερων ταλαντωτών .......................................................216

4.3 Ελαστική σύζευξη δύο οδηγούµενων ταλαντωτών (ή εξαναγκασµένες

ταλαντώσεις συζευγµένων ταλαντωτών) ........................................................................232

4.4 Ελαστική σύζευξη µερικών ελεύθερων ταλαντωτών: Ταλαντώσεις πολυ-ατοµικών

µορίων .............................................................................................................................240

4.5 Παραδείγµατα ηλεκτρικών συζευγµένων ταλαντώσεων ..........................................253

Σύνοψη Κεφαλαίου ..........................................................................................................257

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

Κανονικοί Τρόποι Ταλάντωσης σε Εκτεταµένα Μέσα (Συζευγµένες

Ταλαντώσεις ενός Μεγάλου Πλήθους Ταλαντωτών) Σκοπός, Προσδοκώµενα αποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις ..259

5.1 Εισαγωγή ...................................................................................................................262

5.2 Εγκάρσιες ταλαντώσεις ενός µεγάλου πλήθους συζευγµένων ταλαντωτών ............263

5.3 Επιµήκεις ταλαντώσεις ενός εκτεταµένου συστήµατος συζευγµένων ταλαντωτών 285

5.4 Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης συνεχών µέσων ........................................................290

5.4.1 Συνεχείς χορδές ................................................................................................290

5.4.2 Άλλα µονοδιάστατα παραδείγµατα . .................................................................300

5.4.3 Παραδείγµατα κανονικών τρόπων ταλάντωσης σε δύο και τρεις διαστάσεις . 303

5.4.4 Τα όρια της προσέγγισης του συνεχούς µέσου . ...............................................310

5.5 «Πλήρης» µαθηµατική περιγραφή των κανονικών τρόπων ταλάντωσης: Σειρές

Fourier .............................................................................................................................314

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9

5.5.1 Ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις ..........................................................................314

5.5.2 Η γενική κίνηση µιας χορδής – Ανάλυση σε σειρές Fourier … .......................316

5.5.3 Πληρότητα των κανονικών τρόπων ταλάντωσης .............................................322

5.5.4 Γενίκευση για χορδή µε ένα ή δύο ελεύθερα άκρα (αλλαγή οριακών

συνθηκών) . ................................................................................................................325

5.5.5 Γενίκευση για συναρτήσεις έξω από το διάστηµα [0,L]. Περιοδικές

συναρτήσεις ...............................................................................................................325

5.5.6 Γενίκευση για ιδιοσυναρτήσεις άλλων τελεστών. Μη οµογενή µέσα . ............328

5.6 Ενέργεια που µεταφέρεται από ένα κύµα .................................................................334

5.7 Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις ενός εκτεταµένου συστήµατος συζευγµένων

ταλαντωτών......................................................................................................................337

Σύνοψη Κεφαλαίου ..........................................................................................................341

Απαντήσεις σε Επιλεγµένες Ερωτήσεις ............................................................................343

Λύσεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Αυτοαξιολόγησης ...........................................................347

Οδηγός Μελέτης

Για ∆ιδάσκοντες και ∆ιδασκοµένους

Το βιβλίο αυτό γράφτηκε µε δύο φιλόδοξους στόχους:

1) Τη διδασκαλία της Κυµατικής Φυσικής και των εφαρµογών της, από το

στοιχειώδες µέχρι το προχωρηµένο προπτυχιακό επίπεδο ενός αντιπροσωπευτικού

τµήµατος Φυσικής.

2) Την προετοιµασία του µαθήµατος της Κβαντοµηχανικής, και ιδιαίτερα την

παρουσίαση των πιο αφηρηµένων εννοιών και θεωρητικών µεθόδων, οι οποίες

δύσκολα βρίσκουν αντίκρισµα στην καθηµερινή εµπειρία, µέσα από πιο προσιτά

θέµατα και παραδείγµατα.

Και για τους δύο στόχους καταβλήθηκε προσπάθεια, ξεκινώντας από ουσιαστικά

«µηδενική βάση», για σαφήνεια, εκπαιδευτική αρτιότητα, υψηλό επίπεδο, αλλά και

πληρότητα. Έχει, επίσης, δοθεί σηµαντική προτεραιότητα στην όσο το δυνατόν πιο

επιστηµολογική παρουσίαση και εννοιολογική ανάλυση των θεµάτων. Εξ όσων

γνωρίζει ο συγγραφέας, τέτοιου είδους εγχείρηµα δεν έχει µέχρι τώρα επιχειρηθεί

στην ελληνική, αλλά πιθανώς και στη διεθνή βιβλιογραφία.

Ως αποτέλεσµα, ο συνολικός όγκος των πληροφοριών και, κατά συνέπεια, του

βιβλίου είναι αναπόφευκτα µεγάλος για εξαµηνιαίο µάθηµα (όχι όµως για ετήσιο,

όπως είχε αρχικά προγραµµατιστεί) το οποίο θα κάλυπτε πλήρως την

Κβαντοµηχανική). Ο διδάσκων του µαθήµατος όµως (ή ο συντονιστής του

προγράµµατος σπουδών), ανάλογα µε τον επιδιωκόµενο κάθε φορά σκοπό και το

επιθυµητό επίπεδο, µπορεί κατάλληλα να διαµορφώσει την ύλη και να

χρησιµοποιήσει το βιβλίο είτε ως εστιασµένο εγχειρίδιο είτε ως γενικό βιβλίο

αναφοράς (µε πολλά παραδείγµατα και λυµένες ασκήσεις) για ταλαντωτικά και

κυµατικά φαινόµενα. Και στις δύο περιπτώσεις υπάρχει µια σειρά από εναλλακτικούς

τρόπους κατανοµής της ύλης.

Για τη διευκόλυνση στην επιλογή και διαµόρφωση της ύλης, στην αρχή του κάθε

κεφαλαίου υπάρχουν επισηµάνσεις του τύπου «τι µπορείτε να παραλείψετε σε πρώτη

ανάγνωση» ή «σε τι θα πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή». Έτσι, ολόκληρες

ενότητες και υποενότητες έχουν τοποθετηθεί (όπου απαιτείται) µέσα σε πλαίσια και

σηµαίνονται µε αστερίσκο (*), προκειµένου να δηλωθεί ότι ο φοιτητής θα µπορούσε

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ 12

να τις παραλείψει, αν βέβαια αισθάνεται ότι µπορεί να συνεχίσει χωρίς πρόβληµα στη

µελέτη του βιβλίου.

Για παράδειγµα, το µεγαλύτερο µέρος των Κεφαλαίων 5 και 6 µπορεί να παραλειφθεί

σε πρώτη ανάγνωση, εάν επιδιώκουµε µια φαινοµενολογική και όσο το δυνατόν

συνοπτική περιγραφή της Κυµατικής. Εάν η θεωρία των ταλαντώσεων είναι ήδη

γνωστή, τα Κεφάλαια 2-5 µπορεί επίσης να παραλειφθούν χωρίς κανένα πρόβληµα.

Πάντως, καλό είναι, σε όλες τις περιπτώσεις, ο αναγνώστης να µελετάει (έστω και

συνοπτικά) τη σύνοψη στο τέλος κάθε µεγάλης ενότητας και στο τέλος κάθε

κεφαλαίου, για να διατηρήσει (έστω και σε κάποιον περιορισµένο βαθµό) τη συνέχεια

και τη συνέπεια του βιβλίου.

Η γενική διάταξη της ύλης έχει ως εξής:

Α) Στο πρώτο µέρος του πρώτου κεφαλαίου δίνεται µια προκαταρκτική, συνοπτική,

ποιοτική εικόνα των κυµατικών φαινοµένων και επιχειρείται µια πρώτη σύνδεση µε

τις αρµονικές ταλαντώσεις. Στο δεύτερο µέρος γίνεται µια γενική ποσοτική αναφορά

στα οδεύοντα κύµατα, µέσα από τη «χαρακτηριστική» κυµατική εξίσωση. Το δεύτερο

(θεωρητικό) µέρος του κεφαλαίου, σε µια εναλλακτική διάταξη της ύλης, µπορεί να

µεταφερθεί και να συζητηθεί λίγο πριν από το Κεφάλαιο 6, αµέσως µετά (ή εµβόλιµα

σε) το Κεφάλαιο 5.

Β) Τα Κεφάλαια 2-5 αναφέρονται στις ταλαντώσεις: ελεύθερες (Κεφάλαιο 2),

εξαναγκασµένες (Κεφάλαιο 3) και συζευγµένες (Κεφάλαια 4 και 5). Στο Κεφάλαιο 2

περιλήφθηκε µια µεγάλη ενότητα (Ενότητα 2.9) για τις µη αρµονικές ταλαντώσεις. Αν

και ένα µεγάλο µέρος αυτής της ενότητας µπορεί να παραλειφθεί, καλό είναι να

µελετηθούν τουλάχιστον οι Υποενότητες 2.9.1 µέχρι και 2.9.3, οι οποίες περιέχουν

µια ενδιαφέρουσα φυσική εφαρµογή στη θερµική διαστολή των στερεών. Πέρα από

της συνέπειες της αναρµονικότητας, η οποία είναι πανταχού παρούσα στην πράξη,

στην ενότητα αυτή δίνεται µε τελείως ξεχωριστό (και σχετικά απλό) τρόπο µια

εποπτική και αποφασιστικής σηµασίας σκιαγράφηση της προσεγγιστικής µεθόδου της

θεωρίας διαταραχών. Η µέθοδος αυτή, αν και απλή στη σύλληψη, συναντάται

συνήθως µόνο σε προχωρηµένα συγγράµµατα Κβαντοµηχανικής και Αναλυτικής

Μηχανικής. Αν ο διδάσκων επιθυµεί να εξοικειώσει µε κάποιο απλό και απτό

παράδειγµα τους φοιτητές του µε αυτό το θέµα, τότε θα πρέπει να επιλέξει να

ακολουθήσει ένα µεγάλο µέρος αυτής της ενότητας. Στα Κεφάλαια 4 και 5

αναπτύσσεται η θεωρητική περιγραφή των κανονικών τρόπων ταλάντωσης σε

Ο∆ΗΓΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΙΑ ∆Ι∆ΑΣΚΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ∆Ι∆ΑΣΚΟΜΕΝΟΥΣ 13

περιορισµένα (Κεφάλαιο 4) και σε εκτεταµένα (Κεφάλαιο 5) µέσα. Οι κανονικοί

τρόποι ταλάντωσης είναι συλλογικές και «µη εντοπισµένες» ταλαντώσεις. Στο

Κεφάλαιο 5 ανακαλύπτουµε ότι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης σε εκτεταµένα µέσα

(για έναν παρατηρητή µέσα στο εκτεταµένο µέσο) µπορεί να περιγραφούν ως (είναι)

κύµατα (ελεύθερα ή στάσιµα, ανάλογα µε το εάν το µέσο είναι ανοιχτό ή κλειστό).

Στο τέλος του Κεφαλαίου 5 δίνεται η µαθηµατική περιγραφή και ανάλυση της

γενικότερης κίνησης ενός εκτεταµένου µέσου ως γραµµικής επαλληλίας (σειράς) των

(άπειρων) κανονικών τρόπων ταλάντωσής του. Η ανάλυση αυτή, γνωστή ως ανάλυση

σε σειρές Fourier, µπορεί να παραλειφθεί τελείως, εφόσον είναι επιθυµητό να

ελαχιστοποιηθεί ο µαθηµατικός φορµαλισµός (ο οποίος, βέβαια, είναι αναγκαίος για

τους αρχικούς στόχους του βιβλίου) και να µειωθεί ο όγκος της εξεταστέας ύλης. Για

τον ίδιο σκοπό, µπορεί να παραλειφθεί ή να περιοριστεί δραστικά και η θεωρητική

συζήτηση για την εύρεση των κανονικών τρόπων ταλάντωσης µέσα από τα

µαθηµατικά προβλήµατα προσδιορισµού ιδιοτιµών και ιδιοανυσµάτων, κατάλληλων

«τελεστών». Απ’ την άλλη µεριά (δεύτερος στόχος του βιβλίου), η θεωρητική και

µαθηµατική µεθοδολογία που αναπτύσσεται στα Κεφάλαια 4 και 5 είναι

αποφασιστικής σηµασίας για την προετοιµασία και κατανόηση της Κβαντοµηχανικής

και του φορµαλισµού της.

Γ) Το Κεφάλαιο 6 ασχολείται µε τη γενικότερη θεωρητική περιγραφή και επέκταση

της έννοιας της κυµατικής εξίσωσης και της επίλυσής της. Στο κεφάλαιο αυτό

ανακαλύπτουµε ότι η συνηθισµένη «χαρακτηριστική» κυµατική εξίσωση που

γνωρίσαµε στο δεύτερο µέρος του πρώτου κεφαλαίου δεν είναι παρά µια ειδική

περίπτωση µιας µεγάλης γκάµας «κυµατικών εξισώσεων», ανάµεσα στις οποίες και η

περίφηµη κυµατική εξίσωση του Schrödinger στην Κβαντοµηχανική. Ο ορισµός της

γενικότερης κυµατικής εξίσωσης και του κύµατος ως λύσης της κυµατικής εξίσωσης

είναι ένα από τα κεντρικότερα θέµατα του Κεφαλαίου 6. Ένα πολύ µεγάλο µέρος

αυτού του κεφαλαίου αναφέρεται στη µαθηµατική περιγραφή της κυµατικής

εξίσωσης στις δύο και τρεις διαστάσεις, καθώς στην επίλυσή της (Ενότητες 6.2 έως

6.5). Η αντιµετώπιση της βασικότερης µεθόδου επίλυσης, της µεθόδου χωρισµού των

µεταβλητών, µέσα από την κατάλληλη αναγνώριση και εκµετάλλευση της

συµµετρίας, µας οδηγεί στην επίλυση της τρισδιάστατης κυµατικής εξίσωσης σε

καρτεσιανές, σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγµένες, µε αντίστοιχες λύσεις τα

επίπεδα, σφαιρικά και κυλινδρικά κύµατα. Το µεγαλύτερο µέρος αυτού του

µαθηµατικού φορµαλισµού µπορεί να παραλειφθεί, αν δε θέλουµε να πάµε σε τέτοιου

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ 14

είδους προχωρηµένα θέµατα, τα οποία όµως είναι ιδιαίτερα χρήσιµα για το µάθηµα

της Κβαντοµηχανικής.

Μπορεί, επίσης, να παραλειφθεί, σε πρώτη ανάγνωση, η µεγάλη ενότητα για τη

λεπτοµερή περιγραφή (µακροσκοπική και µικροσκοπική) της διάδοσης των

ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων µέσα στα διάφορα υλικά µέσα (Ενότητες 6.6 έως 6.9),

αρκεί να έχει µελετηθεί τουλάχιστον η Υποενότητα 6.6.4, η οποία περιέχει τη φυσική

περιγραφή της µικροσκοπικής εικόνας, και η Ενότητα 6.7 για το χρώµα του ουρανού.

∆) Τα Κεφάλαια 7 και 8 αποτελούν τα κατεξοχήν «κυµατικά κεφάλαια», σε αντίθεση

µε τα «θεωρητικά κεφάλαια» (5 και 6), των οποίων ένα µεγάλο µέρος (το

µεγαλύτερο) θα µπορούσε να παραλειφθεί από ένα εισαγωγικό µάθηµα Κυµατικής.

Το Κεφάλαιο 7 αναφέρεται στη σύνθεση και ανάλυση κυµάτων, µε

χαρακτηριστικότερα φαινόµενα τα φαινόµενα συµβολής και σχηµατισµού οµάδας

κυµάτων (κυµατοπακέτου). Οι σειρές Fourier, οι οποίες αφορούν περιοδικές

κυµατοµορφές και οι µετασχηµατισµοί Fourier, οι οποίοι αφορούν µη περιοδικές

κυµατοµορφές (κυµατοπαλµούς ή κυµατοπακέτα), µπορεί να παραλειφθούν από αυτό

το κεφάλαιο, εάν επιθυµούµε να περιορίσουµε το µαθηµατικό φορµαλισµό στο

ελάχιστο. Το Κεφάλαιο 8 ασχολείται µε τα πιο ενδιαφέροντα κυµατικά φαινόµενα, τα

οποία έχουν να κάνουν µε τη διέλευση, ανάκλαση, διάθλαση και περίθλαση κυµάτων

όταν συναντούν «εµπόδια» ή «ανοµοιογένειες» στο δρόµο τους. Και σ’ αυτό το

κεφάλαιο, εάν επιθυµούµε να κρατήσουµε τη συζήτηση όσο πιο απλή γίνεται,

µπορούµε να παραλείψουµε τη συζήτηση για τον προσδιορισµό των συντελεστών

ανάκλασης και διέλευσης από τις οριακές συνθήκες και τη σύνθετη αντίσταση ή

εµπέδηση.

Μελλοντικά το βιβλίο θα εµπλουτιστεί µε ένα ειδικότερο πέµπτο µέρος (Ε΄), το οποίο

θα συγκεντρώνει (µέσα από τα γενικότερα κεφάλαια και ενότητες των τµηµάτων Α΄,

Β΄, Γ΄ και ∆΄) και θα συνοψίζει και θα εµπλουτίζει τα διάσπαρτα σε όλο το βιβλίο

θέµατα από την Ακουστική, την Οπτική και τη Γεωµετρική Οπτική. Τέλος, σε

µελλοντική έκδοση του βιβλίου, πέρα από το απαραίτητο πέµπτο (Ε΄) µέρος (ή, αν

µετράµε τόµους, τρίτο τόµο) θα υπάρξουν πρόσθετες λυµένες και άλυτες ασκήσεις

και θα περιληφθούν και όλες οι ενότητες και οι υποενότητες που παραλείφθηκαν σ’

αυτή την έκδοση για πρακτικούς κυρίως λόγους.