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Dos problemas fundamentales de la geometría analítica
Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación
Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas
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En este capítulo haremos un estudio preliminar
de dos problemas fundamentales de la
Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
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Dada una ecuación,
interpretarla geométricame
nte
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
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Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables,
e que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada uno
x y
f x y
x y de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
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Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
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Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
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En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto número
de puntos y dibujar una linea continua que pase por
todos ellos, tal como mostramos en las
f x y
transparencias
anteriores.
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Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.
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Se necesitaPlano
cartesiano
Ecuación
Pares ordenados de puntos
Lugar geométrico ó gráfica de la
ecuación
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Al menos una de las variables debe de estar en
función de otra
y F x yxyx /,
El conjunto solución de la
ecuación, formado por los
puntos ordenados, debe
pertenecer al conjunto de los números reales
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¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
2 3 0?x y
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2 3 0x y
Esta ecuación está en la forma implícita:
, 0F x y
Debemos ponerla en forma explícita
despejando alguna de las variables.
Elegimos despejar , y tenemos 2 3
y f x
y y x
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2 3y x
x y0 -3
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2 3y x
x y0 -31 -1
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -5
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2 3y x x y0 -31 -1-1 -52 1
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5
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2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11
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2 3y x
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Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
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La intersección de la curva con el eje ,
es la abscisa del punto de intersección
de la curva con el eje.
La abscisa al origen es ,0
X
f x
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Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante
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Hacemos 0
La ecuación que resulta es 2 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
a
s
bs
3 /
ci
2
sa 3 / 2
X
x
y
x
x
2 3 0x y
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2 3y x 3
,02
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La intersección de la curva con el eje ,
es la ordenada del punto de intersección
de la curva con el eje.
La ordenada al origen es 0,
Y
f y
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Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante
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Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvem
La curva intersecta al eje en la
ordenad
3
a 3
os
x
y
y
Y
y
2 3 0x y
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2 3y x
0, 3
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El segundo punto a considerar, en
relación con la discusión de una
ecuación, es la simetría de la curva
que representa, con respecto a los
ejes coordenados y con respecto a1
origen.
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Se dice que dos puntos son simétricos con
respecto a una recta si la recta es
perpendicular al segmento que los une en
su punto medio.
l
A B
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La recta con respecto a la cual
son simétricos los dos puntos se
ll eje de simetama ría.
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
l
A B
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En la figura, los dos puntos y
son simétricos con respecto a1
eje de simetría si la recta es
perpendicular a1 segmento
en su punto medio.
A B
l l
AB��������������
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
l
A B
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Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une.
El punto O se llama centro de simetría.
A BO
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El punto O se llama centro de simetría.
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
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A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
El punto O se llama centro de simetría.
O
O
En la figura los dos puntos y son simétricos
con respecto a1 centro de simetría siempre
que sea el punto medio del segmento .
A B
O
O AB��������������
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Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje.
y
xO
P(x, y)
P’(a, b)
M(x, 0)
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24 9 36y x
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Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.
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2 29 4 36x y
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Todas las definiciones anteriores son
puramente geométricas .
Ahora interpretaremos estas definiciones
analiticamente, usando los ejes coordenados
como ejes de simetria y el origen como
centro de simetria.
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Sea , un punto cualquiera de una curva.
Si esta curva es simétrica con respecto al eje , de la
definición 3 se deduce
que debe haber otro punto
' , sobre la curva,
tal que el segmento '
queda bise
P x y
X
P a b
PP
ctado
perpendicularmente por
el eje .X
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Sea el punto medio de ';
sus coordenadas son,
evidentemente, ( ,0).
M PP
x
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Entonces, por las fórmulas del punto medio
dadas en el corolario del teorema 3,
artículo 7, tenemos
y 02 2
de donde, trivialmente,
y
a x y bx
a x b y
Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x
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Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y
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Pero como ' está sobre la curva se deduce
que sus coordenadas deben de satisfacer la
ecuación de la curva. Es decir , una ecuación
, 0 que sí se satisface para las
coordenadas , de se satisface ta
P
f x y
x y P
mbien
para las coordenadas , de ', siempre
que la curva sea simetrica respecto a1 eje .
x y P
X
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Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X.
El recíproco también es verdadero
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x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.010.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5
2y x
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Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.
![Page 57: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/57.jpg)
x y-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 10011 121
2y x
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3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.
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x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 72910 100011 1331
3y x
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NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3
veremos que, si una curva es simétrica con
respecto a ambos ejes coordenados, es también
simétrica con respecto al origen.
Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.
Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1
es simétrica con respecto a1 origen, pero no es
simétrica con respecto a ninguno de los ejes
coordenados.
xy
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La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.
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Es útil porque:
da la localización general de la curva en el plano e
indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.
La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y
![Page 65: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/65.jpg)
Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y
![Page 66: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/66.jpg)
2 29 4 36x y
![Page 67: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/67.jpg)
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 9
9 99 4
4 43
42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
![Page 68: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/68.jpg)
2 29 4 36 2,2x y x
![Page 69: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/69.jpg)
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 4
4 44 9
9 92
93
Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
![Page 70: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/70.jpg)
2 29 4 36 3,3x y y
![Page 71: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/71.jpg)
2 3 0y x
![Page 72: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/72.jpg)
2 3
3
0
Por t
0
anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
![Page 73: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/73.jpg)
2 3
23
0
Por tan o
t
x
y
y x
y
R
2 3 0y x
![Page 74: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/75.jpg)
Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.
![Page 76: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/76.jpg)
Esta definición implica dos cosas :1)una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente2)una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado
![Page 77: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/77.jpg)
Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal.Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical.Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.
![Page 78: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/78.jpg)
Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales.Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.
![Page 79: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/79.jpg)
Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinaciónserá , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.
![Page 80: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/80.jpg)
En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de saber
hallar ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
![Page 81: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/81.jpg)
Sea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
Las coordenadas de todos los
puntos de
l
Y
k
l
k
satisfacen , por tanto,
la ecuación .
l
x k
![Page 82: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/82.jpg)
Recíprocamente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es y situado, por tanto, a una
distancia de unidades del eje ,
y, en consecuencia , está sobre
la rec
k
k Y
ta .l
![Page 83: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/83.jpg)
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
x
k
k
Y
Y
![Page 84: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/84.jpg)
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
y
k
k
X
X
![Page 85: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/85.jpg)
Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de
y en función de . Para obtener las asintotas
verticales y horizontales, usaremos estas
mismas ecuaciones en las que
y x
x y
aparecen
despejadas las variables.
![Page 86: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/86.jpg)
Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador;
estas son las ecuaciones bus
y
x
cadas.
![Page 87: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/87.jpg)
Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para en funcion de e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denominador.
x y
![Page 88: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/88.jpg)
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
![Page 89: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/89.jpg)
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1
1
1
y x
xy y
xy y
y x
yx
![Page 90: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/90.jpg)
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
![Page 91: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/91.jpg)
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1
x y
xy y
xy y
yx
y
![Page 92: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/92.jpg)
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
0
ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0
ón:
y
y
![Page 93: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/93.jpg)
1x
0y
![Page 94: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/94.jpg)
2
2
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 95: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/95.jpg)
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xy
x
x xy
x x x
![Page 96: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/96.jpg)
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xy
x x x
![Page 97: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/97.jpg)
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1 1 1
x xy
x x x
![Page 98: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/98.jpg)
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
1
1
0
1 0
x y
xy
x
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
![Page 99: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/99.jpg)
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1
1
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
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Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1
:
y
y
![Page 101: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/101.jpg)
2
2 1
xy
x
![Page 102: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/102.jpg)
2
2 1
xy
x
1
1
1
x
x
y
![Page 103: Dos problemas fundamentales de la geometría analítica Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación Intersección con los ejes Simetría](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022081420/5665b45d1a28abb57c90e2bc/html5/thumbnails/103.jpg)
Una curva puede tener más de una
asintota vertical u horizontal.
Asi, la curva cuya ecuación es
1
1 2
tiene dos asintotas verticales,
1 y 2.
yx x
x x