Cap. IV. Flexión

TENSIONES EN LA BARRA SOMETIDA A FLEXIÓN PURA

Analicemos el caso más simple de flexión, la flexión pura. Como se indico ya, se entiende por flexión pura el caso de solicitación de que en las secciones transversales de la barra aparecen solamente momentos flectores, siendo Q = 0. En los tramos de la barra donde se cumple esta condición, el momento flector, segunda la segunda expresión de (4.1), permanece constante (M=const). La flexión pura puede surgir para diversas cargas exteriores. Algunos ejemplos característicos se dan en la figura 130.

Prescindiendo de las particularidades de aplicación de las fuerzas exteriores y de las particularidades de los apoyos, analicemos solamente el tramo donde M=Const . y Q=0. En los extremos de este tramo actúan solamente los momentos M (fig. 131, a).

Debido a la acción de los momentos M la viga se flexiona. Como en todas las secciones aparece el mismo momento flector, en el caso de una barra homogénea, la variación de la curvatura en todos los tramos será la misma. Es decir, en el caso de la flexión pura el eje de la barra homogénea adquiere la forma del arco de una circunferencia.

Es fácil observar que el conjunto de puntos que, antes de la flexión, se encontraba en el plano de la sección transversal de la barra, formara después de la flexión también un plano, pero desplazado en el espacio. En efecto, veamos la sección transversal media AA (fig. 131, a). De la condición de simetría se deduce que los puntos de esta sección no pueden tener desplazamientos

preferibles ni hacia la derecha ni hacia la izquierda, puesto que las dos partes se encuentran en las mismas condiciones. Es decir que esta sección permanece plana.

Dividiendo la barra en dos partes iguales mediante la sección AA, obtendremos dos tramos de longitud dos veces menor que se encuentran en las mismas condiciones que todo el tramo de la barra (fig. 131, b). Los razonamientos anteriores se pueden repetir para cada uno de los tramos obtenidos (fig. 131, c), lo que demuestra que las secciones medias de estos tramos también permanecen planas.

Este proceso de división se puede continuar. Así se demuestra que en las proximidades de cualquier sección fijada previamente existen cuantas se quiera secciones para las cuales se cumple la condición de las secciones planas expresada anteriormente. De hecho, esto demuestra que, en general, todas las secciones de la barra homogénea, en la flexión pura, no alabean, sino que solamente giran.

Las deformaciones que acompañan a la flexión pura, se pueden considerar como el resultado del giro mutuo de las secciones transversales planas (fig. 132). Analicemos dos secciones contiguas a la distancia dz una de la otra (fig. 133) y consideremos convencionalmente que la sección de la izquierda es inmóvil. Entonces, como resultado del giro de la sección de la derecha en un ángulo dθ, las fibras superiores se alargaran y las inferiores se acortaran. Existe, claro está, una capa donde no existen alargamientos. Denominemos esta capa neutra y la representamos por el segmento CD. Como resultado del giro de las secciones la variación de la curvatura de la capa neutra será,

1ρ=dθdz

El segmento arbitrario AB=dz (fig. 133) recibirá el incremento A' B'−AB. Como las secciones permanecen planas,

A' B'−AB= ( ρ+ y )dθ−ρdθ= ydθ

Siendo y, la distancia desde el segmento AB que se analiza, hasta la capa neutra CD. La posición de esta última es por ahora desconocida.

El alargamiento unitario de la capa AB será,

e= ydθdz

= yρ (4.2)

Y según la ley de Hooke,

σ=Ee=E yρ (4.3)

Así pues, en la flexión pura, las tensiones en la sección transversal varían linealmente. El lugar geométrico de los puntos de la sección que cumplen la condición σ=0 se denomina línea neutra de la sección. La línea neutra es, claro está, perpendicular al plano de la curvatura de la barra flexionada.

Hallemos ahora la relación que existe entre la tensión σ y los factores de fuerza interiores que aparecen en la sección transversal de la barra en la flexión pura.

La suma de las fuerzas elementales σ d F (fig. 134) es iguala a la fuerza normal N en la sección, pero como en la flexión pura N=0, obtendremos,

O de acuerdo con (4.3)

Es decir,

Esta integral representa el momento estático de la sección respecto a la línea neutra, ya conocido por nosotros en el capitulo anterior.

Como este momento es igual a cero, la línea neutra pasara por el centro de gravedad de la sección. Así pues, la coordenada y en las expresiones (4.2) y (4.3) queda bien definida y se mide desde el eje central perpendicular al plano de la curvatura. De la misma manera queda

determinada la curvatura 1ρ como la curvatura de la capa neutra o como la curvatura del eje de la

barra.

Ubiquemos definitivamente el sistema de ejes x, y, z fijado a la sección (fig. 134). El origen del sistema de coordenadas 0 lo situamos en el centro de gravedad de la sección. El eje z lo orientamos según la normal a la sección y el eje x lo hacemos coincidir con la línea neutra. El eje y es perpendicular al eje x, y se encuentra, pues, en el plano de la variación de la curvatura. Este sistema constituye lo que se denomina sistema móvil de ejes cuya posición en el espacio varía de una sección a otra.

El momento flector en la sección transversal de la barra, al igual que la fuerza normal, se puede expresar de manera integral por las tensiones σ, es decir,

Observemos que, en el caso general, el plano del momento flector en la sección no coincide con el plano yz (fig. 134). Es decir, la variación de la curvatura de la barra no ocurre obligatoriamente en el plano del momento flector. Este caso general de flexión lo analizaremos posteriormente, limitándonos, por ahora, al caso particular más simple de que coinciden los planos del momento y de la curvatura.

Teniendo esto en cuenta, resulta que el momento de las fuerzas elementales σ dF respecto al eje y es igual a cero y el momento de estas fuerzas respecto al eje x es igual al momento flector M. obtenemos pues,

De la primera expresión se obtiene,

I xy=0 ,

Lo que quiere decir que la variación de la curvatura ocurre en el plano del momento, si este ultimo pasa por uno del os ejes principales de la sección. Esta flexión se denomina flexión recta. En el caso general, cuando el plano del momento flector no coincide con el eje principal de la sección se obtiene la flexión desviada.

De la expresión (4.4) hallamos la relación entre la curvatura de la barra y el momento flector,

1ρ= ME I x

,(4.5)

Siendo I x , el momento de inercia de la sección respecto al eje central principal perpendicular al plano del momento flector.

EI x , se denomina rigidez de la barra a la flexión. Como en el caso de la torsión, esta magnitud es

proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones lineales de la sección cuando estos varían proporcionalmente.

Volviendo a la formula (4.3) y eliminando de ella la curvatura 1ρ , obtendremos para la tensión σ,

σ=MyI x

,(4.6)

La tensión máxima en la flexión aparece en los puntos más alejados de la línea neutra (fig. 135),

σ max=M ymax

I x.

La fracción I xymax

se denomina modulo de la sección en la flexión y se designa por W x ,

W x=I xymax

cm3 .(4.7)

Así pues,

σ max=M flec

W x.(4.8)

Esta fórmula es básica para el cálculo de la resistencia de una barra a la flexión.

En el caso de una barra de sección rectangular de lados b y h,

I x=bh3

12, ymax=

h2,W x=

bh2

6(4.9)

En el caso de una sección circular,

I x=π D4

64, ymax=

D2,W x=

π D 3

32≈0,1D3 .(4.10)

Así pues, las tensiones en la flexión son inversamente proporcionales a la tercera potencia de las dimensiones lineales de la sección.

Las formas más económicas de las secciones transversales son aquellas con las que, con un gasto mínimo de material, se obtiene el valor máximo posible del modulo de la sección W x . Para que la forma de la sección sea racional es necesario ubicar el área de la sección lo más alejado posible de la línea neutra. Así surgieron los perfiles de paredes delgadas de sección doble T y canal de la figura 136. En el caso de la flexión en el plano vertical, estos perfiles son muy ventajosos en comparación con otras formas de las secciones transversales.

El modulo de la sección W x de los perfiles típicos está determinado para todos ellos y figura en las tablas correspondientes. Por eso, al calcular la resistencia de una barra no es necesario realizar cálculos complejos para la determinación de los momentos de inercia y los módulos de la sección. Al final de este libro se dan las tablas de los perfiles típicos. Aparte de los perfiles indicados en las tablas, existen también otros perfiles que se emplean, por ejemplo, en la construcción de aviones y que se dan en surtidos especiales.

La energía de las deformaciones elásticas de la barra en la flexión se determina por el trabajo del momento M en el desplazamiento angular mutuo dθ de las dos secciones (fig. 137),

dU=12Mdθ .

Como

dθ=dzρ

= ME I x

dz ,

Obtendremos,

Al deducir las formulas para la flexión pura de una barra recta no se admitió ninguna suposición arbitraria y, por lo tanto, la solución obtenida, en este sentido, se puede considerar exacta. Sin embargo, se debe tener en cuenta que en el problema que se analiza no se concretiza el carácter de la distribución de las fuerzas exteriores. Se considera solamente que en todos los casos estas fuerzas se reducen a momentos resultantes aplicados en los extremos de la barra. La solución resultara exacta solamente en el caso en que las fuerzas exteriores en los extremos se distribuyen linealmente como en todas las secciones transversales. Prácticamente, esta condición, claro está, nunca se cumple y en las proximidades de los extremos las leyes de distribución de las tensiones están lejos de ser iguales a las que se deducen de la flexión pura. Sin embargo, de acuerdo con el principio de Saint Venant se puede prescindir de la zona de los extremos como se indica, por ejemplo, en la figura 138.

Entonces en la parte central de la barra todas las formulas deducidas anteriormente serán válidas y podrán considerarse exactas.

Veamos algunos ejemplos elementales de determinación de las tensiones en la barra sometida a flexión pura.

Ejemplo 4.1. Encontrar la posición más favorable de la viga de sección transversal cuadrada, en la flexión. Analizar dos posiciones de ella, en una el plano del momento flector es paralelo a los lados del cuadrado y en la otra coincide con su diagonal (fig. 139),

Para dar respuesta a esta pregunta es necesario calcular los módulos de la sección W x en los dos casos. En el primero, según (4.9),

W x=h3

6

Y en el segundo

I x=h4

12, ymax=

h√22

,

Obteniendo

W x=h3

6√2,

Así pues, el primer caso resultó más ventajoso. En él, el módulo de la sección W x resulto ser aproximadamente un 40% mayor.

Ejemplo 4.2. Determinar la economía de metal que se obtiene si en la estructura que trabaja a

flexión se emplea, en lugar de la sección circular maciza, la sección hueca para la cual d2D2

=0,9

(fig. 140), si las condiciones de trabajo son las mismas.

El modulo de la sección, en caso de la sección circular maciza, se determina por la formula (4.10),

W x1=0,1D13 .

En el caso de la sección hueca W x se determina por la diferencia de los momentos de inercia de los dos círculos, dividida por ymax , es decir,

W x2=

πD 24

64−π d2

4

64D2

2

≈ 0,1D23(1− d2

4

D24 )≈0,1D2

30,343 .

De la condición de igualdad de resistencia,

W x1=W x2 yD1

D2=3√0,343=0,7

El gasto de material es proporcional al área de la sección,

F1=π D1

2

4 F2=π D2

2

4 (1− d22

D22 )=π D2

2

4 0,19 .

El porcentaje de economía del material se determina por la diferencia de las áreas referida al área del círculo macizo, es decir,

F1−F2F1

100%=(1−D 22

D 12 0,19)100%

O sea.

F1−F2F1

100%=61%

Ejemplo 4.3. En la figura 141 está representado un voladizo solicitado por dos fuerzas P. La sección de la viga es de forma T y el material de la viga, hierro fundido. Se trata de hallar la posición más racional de esta viga, con el ala arriba (variante a) o con el ala abajo (variante b).

Puesto que el punto A esta mas lejos del centro de gravedad de la sección que el punto B, la tensión en el primero será siempre mayor, en valor absoluto, que en el segundo. Cuando las

fuerzas P se orientan según se indica, las fibras comprimidas serán las de abajo. Como el hierro fundido trabaja a compresión mejor que a tracción, conviene situar el punto A en la zona de abajo, es decir, que la sección debe colocarse con el ala en la parte superior lo que indica que es preferible la variante a.

Ejemplo 4.4. Calcúlese la sección doble T de la viga de dos apoyos (fig. 142), garantizando un coeficiente de seguridad igual a dos, si P=2 tf , a=1m y σ tf=3000 kgf /cm

2

El momento flector máximo aparece en el tramo de la flexión pura y es igual a Pa. La tensión σ max no deberá superar la mitad de σ tf . Por lo tanto,

PaW x

≤ 30002

,

De donde se obtiene,

W x≥2000 ∙100 ∙23000

=133 cm3

De la tabla del surtido de perfiles laminados (véase el apéndice del libro) escogemos el perfil doble T Nº18 para el cual,

W x=148cm3 .

Ejemplo 4.5. Un alambre de diámetro d se enrolla en un tambor de diámetro D. determinar la tensión originada, por la flexión, que aparece en las secciones transversales del alambre, si d≪D.

La curvatura de alambre enrollado es,

1ρ= 2D

Sin determinar el momento flector, por la formula (4.3), se obtiene directamente,

σ max=E2 ymaxD

=E dD

.

Es decir, que cuando la curvatura es constante, la tensión σ max crece proporcionalmente al diámetro del alambre.

TENSIONES EN EL CASO DE FLEXIÓN TRANSVERSAL

Hemos visto que durante la flexión pura, en las secciones transversales de la barra surgen solamente tensiones normales. Las fuerzas interiores correspondientes se reducen a un momento flector que actúa en la sección. En el caso de la flexión transversal, en la sección de la barra, surge no solo el momento flector, sino también la fuerza cortante Q, que constituye la resultante de las fuerzas elementales distribuidas en el plano de la sección (fig. 143.). Por lo tanto, en este caso, en las secciones transversales de la barra surgen no solamente tensiones normales, sino también tangenciales.

Las tensiones tangenciales τ van acompañadas de deformaciones angulares Ƴ. Por lo tanto, aparte de los desplazamientos fundamentales, propios de la flexión pura, cada área elemental de la sección dF recibe también ciertos desplazamientos angulares elementales adicionales originados por el deslizamiento. Las tensiones tangenciales se distribuyen en la sección de manera no uniforme, es decir, que los desplazamientos angulares tampoco se distribuyen de manera uniforme. Así pues, en la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen ya planas.

En la figura 144 está representado el cuadro típico de alabeo de las secciones transversales de la barra.

Sin embargo, este alabeo del plano de las secciones transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales.

En el caso particular cuando la fuerza cortante Q no varía a lo largo de la barra, las formulas (4.6) y (4.8),

σ=MyI x

y σmax=MW x

,

Que fueron obtenidas para el caso de flexión pura, en el caso de la flexión transversal son absolutamente exactas. En efecto, cuando Q=const ., el alabeo de todas las secciones resulta ser

igual (fig. 145) y, por lo tanto, durante el giro mutuo de dos secciones contiguas el alargamiento de la fibra longitudinal AB será el mismo, independientemente de que la sección permanezca plana o no.

Cuando la fuerza cortante varia a lo largo del eje de la barra, las formulas de la flexión pura conducen a cierto error en el valor de σ . Mediante un análisis no complicado, se puede demostrar

que la magnitud de dicho error es del orden de hl en comparación con la unidad, siendoh, la

dimensión de la sección transversal en el plano del a flexión y l, la longitud de la barra. Según la definición dada en el subcapítulo 2, la barra se caracteriza por el hecho de que las dimensiones de

su sección transversal son muy inferiores a la longitud. Por lo tanto, la magnitud de hl es

relativamente pequeña, resultando pequeño también el error indicado.

Lo expuesto nos permite admitir la hipótesis de las secciones planas. En adelante, consideraremos que el conjunto de puntos que forman el plano de la sección transversal antes de la flexión, forma también un plano después de la flexión, pero girado en el espacio. Esta suposición es admisible en la medida en que las deformaciones angulares y de la sección se pueden considerar sensiblemente inferiores que los desplazamientos angulares originados por la variación de la curvatura de la barra.

La segunda particularidad de la flexión transversal consiste en la existencia de tensiones normales en las secciones longitudinales de la barra, es decir, de tensiones que “presionan” las capas de la viga. Estas tensiones surgen solamente cuando la fuerza cortante Q es variable, y tienen una magnitud muy pequeña (las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan).

Así pues, dentro de los límites fijados por estas suposiciones, las formulas (4.6) y (4.8) para la determinación de las tensiones normales, son aplicables no solamente en la flexión pura, sino también en la flexión transversal. En la misma medida es aplicable también la formula (4.5) que nos da la relación existente entre la curvatura de la barra y el momento flector.

Calculemos ahora aproximadamente la magnitud de las tensiones tangenciales τ en la flexión transversal. La manera más fácil de obtenerlas consiste en determinar las tensiones tangenciales reciprocas a estas que aparecen en los planos longitudinales de la barra.

Separemos de la barra un elemento de longitud dz (fig. 146, a). En la flexión transversal, los momentos que aparecen en las secciones derecha e izquierda del elemento no son iguales, sino que se diferencian en la magnitud d M . Con una sección horizontal longitudinal, trazada a la distancia y de la capa neutra (fig. 146, b), dividimos el elemento en dos partes y analizamos las condiciones de equilibrio de la parte superior. La resultante de las fuerzas normales σ dF en la sección izquierda correspondiente a la zona rayada F* es,

N ¿=∫F¿

❑

σdF

*) Las zonas especiales donde se aplican las fuerzas concentradas no se analizan.

O de acuerdo a (4.6),

Siendo y1, a diferencia de y , la ordenada variable del área elemental dF (fig. 146, b). Esta integral representa el momento estático respecto al eje x de la parte del área que se encuentra por encima de la sección longitudinal (superior al nivel de y). Designando este momento estático por Sx

¿ , obtendremos

N ¿=M S x

¿

I x,

La fuerza que se desarrolla en la sección derecha será ya diferente,

N ¿+d N ¿=(M+dM )Sx

¿

I x

La diferencia entre estas fuerzas

d N ¿=dM Sx

¿

I x

Deberá equilibrarse por las fuerzas tangenciales que aparecen en la sección longitudinal del elemento (fig. 146, b y c).

Admitimos como primera aproximación que las tensiones tangenciales se distribuyen uniformemente a lo ancho b de la sección. Entonces,

dM Sx¿

I x=τb dz ,

De donde se obtiene

τ=Q Sx

¿

I x b.(4.12)

Esta fórmula se denomina fórmula de Zhuravski, científico ruso del siglo pasado que, por primera vez, investigó en forma general las tensiones tangenciales en la flexión transversal.

La expresión obtenida permite calcular la magnitud de las tensiones tangenciales que aparecen en las secciones longitudinales de la barra. Las tensiones que surgen en las secciones transversales son iguales a ellas por ser reciprocas. La relación entre τ e y dentro de la sección transversal se determina por el momento estático Sx

¿ . Al acercarnos al borde superior de la sección, el área de la parte rayada de la sección (fig. 146, b) disminuye hasta convertirse en cero. Aquí, por lo tanto Sx

¿=0 . Cuando nos acercamos al borde inferior, la parte rayada ocupará ya toda la sección y ,

puesto que el eje x es central, aquí también Sx¿=0 . Así pues, como se deduce de la formula

(4.12), las tensiones tangenciales en los puntos superior e inferior de la sección son iguales a cero.

En el caso de una barra de sección rectangular de lados b y h (fig. 147, a) tendremos,

Sx¿=b2 ( h

2

4− y2) , I x=

b h3

12, b=b

Y, por lo tanto,

τ=6Qbh3 ( h

2

4− y2) ,

Resultando que el diagrama de las tensiones tangenciales varia, en la altura de la sección, según una parábola cuadrática. La tensión máxima ocurre cuando y=0,

τ max=32Qbh

.

En el caso de una barra de sección circular (fig. 147, b) después de una integración elemental, se puede obtener,

Sx¿=23(R2− y2)3 /2 ,

Como

I x=π D4

64=π R4

4, b=2√R2− y2

Obtendremos,

τ= 4Q3 π R4

(R2− y2 ) ,

Y

τ max=43

Qπ R2

.

En el caso de una barra de sección triangular de base c y altura h (fig. 147, c) tendremos,

Sx¿=13b( 23 h− y )( 13 h+ y) , I x= ch3

36

τ=12Qc h3 ( 23 h− y)( 13 h+ y) .

La tensión máxima ocurre a la distancia y=16h de la línea neutra,

τ max=32

Q12ch

.

En los dos ejemplos últimos se ve claramente el carácter aproximado de las operaciones realizadas. Esto se desprende del hecho de que, en la sección transversal, las tensiones tangenciales no solamente tienen componentes paralelas al eje y, sino también componentes paralelas al eje x. En efecto, supongamos como esto se hizo más arriba, que en los puntos A situados en el contorno de la sección (fig. 148), la tensión tangencial τ se orienta según el eje y. Descompongamos el vector τ en dos componentes, una según la normal al contorno τ n y otra, tangencial a este τ t . Según las condiciones de solicitación, la superficie exterior de la barra está libre de tensiones tangenciales y, por lo tanto, las tensiones reciprocas a τ n no existen. Es decir que τ n=0 , resultando que la tensión tangencial completa en las proximidades del contorno se

orienta según la tangente al contorno y, por lo tanto, la suposición según la cual τ está dirigida según el eje y resulta errónea. Así se establece la existencia de componentes de τ orientadas según el eje x. Para determinarlas se recurre a métodos más complicados que los expuestos. Por los métodos de la teoría de la elasticidad, se puede demostrar que en la mayoría de los casos las componentes de τ a lo largo del eje x juegan un papel muy inferior en comparación con las componentes paralelas al eje y.

De los ejemplos analizados anteriormente se puede hacer la conclusión general de que la zona de las tensiones tangenciales máximas se encuentra aproximadamente en la parte central de la sección y que τ max , en el caso de barras de paredes no delgadas, es del orden de Q /F.

Se pueden comparar los valores absolutos de las tensiones normales máximas con los de las tensiones tangenciales máximas que aparecen en las secciones transversales de la barra. Por ejemplo, en el caso de un voladizo de sección rectangular (fig. 149) obtendremos,

σ max=M flec

W x=6 Pl

bh2, τmax=

32

Pbh

,

De donde se halla,

τmaxσmax

= h4 l

,

Lo que quiere decir que la relación entre las tensiones tangenciales máximas, en la sección transversal, y las tensiones normales máximas es aproximadamente igual a la relación entre la altura de la sección y la longitud de la barra, es decir, que las tensiones tangenciales son muy inferiores a las normales. Esta apreciación, excepto algunas exclusiones posibles, es válida, en general, para todas las vigas que no sean de paredes delgadas. En lo que se refiere a las barras de paredes delgadas, este problema se analizara especialmente en el capitulo XI.

Debido a que la magnitud de τ max es pequeña, el cálculo de la resistencia en la flexión transversal se realiza teniendo en consideración solamente las tensiones normales, de la misma forma que en el caso de la flexión pura. Las tensiones tangenciales no se tienen en cuenta. Esto resulta natural si se tiene en consideración que en los puntos de la sección más alejados de la línea neutra, es decir, en los puntos más peligrosos, las tensiones tangenciales en la sección transversal son iguales a cero.

Al analizar el fenómeno desde el punto de vista cualitativo, se debe tener en cuenta que las tensiones tangenciales en las secciones transversales y las tensiones reciprocas a estas en los planos longitudinales, a pesar de ser pequeños pueden, en algunos casos, influir considerablemente cuando se juzga sobre la resistencia de la barra. Por ejemplo, durante la flexión transversal de una barra corta de madera, puede esta destruirse, no en la sección transversal del empotramiento, sino como consecuencia de la cortadura en el plano longitudinal situado cerca de la capa neutra, donde aparece τ max (fig. 150).

Las tensiones tangenciales en los planos longitudinales son el reflejo de las ligaduras existentes entre las capas de la barra durante la flexión transversal. Si se destruyen estas ligaduras en algunas capas, entonces variará el carácter de la flexión de la barra. Por ejemplo, en la barra compuesta por n láminas (fig. 151, a) cada una de ellas, cuando no existen fuerzas de fricción, se flexiona independientemente de las otras. La fuerza exterior correspondiente a una lámina es P/n y la tensión normal máxima en la sección transversal de la lámina,

σ max=MW x

=

Pnl

16b( hn )

2=6Plbh2

n.

Si las láminas se unen con pernos suficientemente rígidos (fig. 151, b), la barra trabajará como una unidad. En este caso, la magnitud de la tensión normal máxima será n veces menor,

σ max=6 Plbh2

.

En otras palabras, el paquete de láminas unido es capaz, como primera aproximación, de resistir una carga n veces mayor que el paquete de láminas no unidas entre sí.

En las secciones transversales de los pernos, durante la flexión de la barra, aparecen fuerzas cortantes. La máxima de ellas ocurrirá en la sección que coincide con el plano neutro de la barra flexionada (sección AA de la figura 151, b).

Esta fuerza se determina, como primera aproximación, igualando la suma de las fuerzas cortantes en las secciones de los pernos a la resultante longitudinal de las tensiones tangenciales correspondiente a una barra monolítica,

mQ pernomax =τmaxbl=

32

Pbh

bl=32Plh,

Siendo m el número de pernos.

Es interesante comparar la variación de la curvatura de la barra en el empotramiento según la fórmula (4.5) en los dos casos cuando el paquete va unido y cuando está compuesto por láminas separadas. En el primer caso,

1ρ=M flec

E I x=12PlEbh3

Y en el segundo,

1ρ=M flec

E I x=

Pnl

E 112

b( hn )3=12PlEbh3

n2

Las flechas varían proporcionalmente a la curvatura.

Así pues, en comparación con la barra monolítica, el conjunto de láminas libres resulta n2 veces más flexible y solamente n veces menos resistente. Esta diferencia entre los coeficientes de disminución de la rigidez y de la resistencia al pasar al paquete de láminas libres se usa en la práctica para la creación de ballestas flexibles. Las fuerzas de fricción entre las láminas aumentan la rigidez del paquete puesto que restablecen parcialmente las fuerzas tangenciales entre las capas de la barra que se pretendían eliminar al pasar al paquete de láminas libres. Las ballestas requieren pues, el engrase de sus láminas y deben mantenerse limpias.

Para determinar con la flexión transversal, analicemos un ejemplo que ilustra el orden en que se han de llevar los cálculos de la resistencia de una viga en el caso de la flexión.

Ejemplo 4.6. Determinar la dimensión a de la sección transversal T representada en la figura 152, para el caso de una viga de dos apoyos, solicitada por una carga uniformemente distribuida de intensidad q. El coeficiente de seguridad referido al límite de fluencia no deberá ser inferior a dos. Se sabe que l=1m ,q=10kgf /cm y σ ft=σ fc=35kgf /mm

2 .

Calculamos las reacciones de apoyos y construimos el diagrama de los momentos flectores (fig. 152). El momento flector es,

Mmax=89q l2 .

De la condición de resistencia se deduce,

8q l2

9W x≪

σ ft

n,

Resultando para el modulo de la sección,

W x≫8 ∙10 ∙1002 ∙29 ∙3500

=50,7 cm3 .

Al analizar la sección dada hallamos la distancia desde el eje x1 hasta el centro de gravedad, que es 2918

a. El momento de inercia respecto al eje x1 será,

I x1=43a4 .

Pasando ahora al eje central x hallaremos,

I x=70726

a4 .

Por último, el módulo de la sección resulta,

W x=I x :(5a−2918 a)=707122 a3 ,De donde se obtiene el tamaño a,

a3≫50,7 122707

cm3 , a≫2,06cm.

ECUACION DIFERENCIAL DE LA LINEA ELASTICA DE LA VIGA. DESPLAZAMIENTOS EN LA FLEXIÓN

La forma del eje flexionado de la viga