Vektorrum

Vektorer pa en ret linje

Som vi tidligere har set adskillige gange, kan punkterne pa en uendelig retlinje entydigt identificeres med de reelle tal. (Man taler jo ligefrem om denreelle talakse, eller blot om den reelle akse.)

Vi vælger saledes to forskellige punkter O og E pa den rette linje,og retningen fra O til E kalder vi den positive retning. Hermed er denrette linje blevet en orienteret ret linje med en positiv og en negativ gen-nemløbsretning. (Den negative gennemløbsretning er den modsatte af denpositive gennemløbsretning.)

Punktet O kaldes nulpunktet eller origo, og det identificeres med tallet0. Tilsvarende kaldes punktet E for enhedspunktet, og det identificeres medtallet 1.

Det er nu let nok (i hvert fald i princippet) at identificere et givet punktP pa den orienterede rette linje med et reelt tal x1. Denne rette linje omtalesderfor ogsa som en tallinje eller en abscisseakse.

Vi ser ogsa, at ethvert reelt tal x1 6= 0 kan identificeres med det orien-terede rette linjestykke OPx1 fra punktet O til det punkt Px1 pa tallinjen,som svarer til tallet x1. Det orienterede rette linjestykke OPx1 repræsentererstørrelsen x = (x1), og linjestykket OPx1 kaldes sa en repræsentant for vek-toren x = (x1).

Hvis x1 = 0, indfører vi den sakaldte nulvektor 0 = (0), som blot svarertil punktet O. Nulvektoren kaldes ogsa den uegentlige vektor, mens alleandre vektorer siges at være egentlige.

Vi indfører nu mængden R1 af alle vektorer pa den orenterede rettelinje, og vi ser, at

R1 = {x = (x1) | x1 ∈ R}.Mængden R1 kaldes et vektorrum, eller mere præcist det 1-dimensionaletalvektorrum. Tallet x1 kaldes koordinaten for vektoren x = (x1).

REGNING MED VEKTORER

Lad os betragte to vektorer x = (x1) og y = (y1) fra vektorrummet R1, og lados endvidere betragte en vilkarlig skalar λ ∈ R. Vi bemærker nu, at vektoren

(x1 + y1) svarer til tallet x1 + y1, og at vektoren (λx1) svarer til tallet λx1.Hermed har vi defineret summen x+y = (x1+y1) af vektorerne x = (x1)

og y = (y1) som vektoren

x + y = (x1) + (y1) = (x1 + y1)

og produktet λx af tallet λ og vektoren x = (x1) som vektoren

λx = λ(x1) = (λx1).

Vi har saledes, at (3) + (8) = (11), og at 7(−11) = (−77).

Vi ser ogsa, at enhver vektor x = (x1) kan tillægges en længde, somnetop er længden af det orienterede linjestykke OPx1 , hvis x1 6= 0. Nulvek-toren x = 0 tillægges længden 0. Længden af en vektor x = (x1) kaldes ogsanormen af x og betegnes med ‖x‖, og vi ser, at

‖x‖ = |x1|.

Vi bemærker, at ‖0‖ = 0, og at ‖x‖ > 0, hvis x 6= 0. Fx er ‖(12)‖ =‖(−12)‖ = 12.

Vi har saledes, at x ·0 = 0, for enhver vektor x ∈ R1, og at (5) ·(7) = 35,og (1

2) · (−16) = −8.

SKALARPRODUKTET

Lad nu x = (x1) og y = (y1) være to vilkarlige vektorer fra vektorrummetR1. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x · y af x og y forstas tallet

x · y = (x1) · (y1) = x1y1.

Vi bemærker, at x · x = x21 = ‖x‖2.

Lad os antage, at de to vektorer x = (x1) og y = (y1) er egentlige, oglad os betragte de to til vektorerne x og y hørende rette linjestykker OPx1

og OPy1 . Hvis x1 og y1 har samme fortegn, har disse to linjestykker sammeretning, og hvis x1 og y1 har forskellige fortegn, er de to tilhørende rettelinjestykker modsat rettede.

Hvis θ betegner vinklen mellem de orienterede linjestykker OPx1 ogOPy1 , ser vi, at θ = 0o, hvis x1 og y1 har samme fortegn, og at θ = 180o, hvisx1 og y1 har forskellige fortegn.

Vinklen θ vil vi ogsa kalde vinklen mellem vektorerne x = (x1) og y = y1,og da cos(0o) = 1, og cos(180o) = −1, far vi straks, at

x · y = (x1) · (y1) = ‖x‖‖y‖ cos(θ).

Hvis x = 0, eller y = 0, eller x = y = 0, er skalarproduktet x · y = 0, ogda vinklen θ mellem nulvektoren 0 og en hvilken som helst vektor kan sættestil hvad som helst, ser vi, at formlen

x · y = (x1) · (y1) = ‖x‖‖y‖ cos(θ)

abenbart passer for alle vektorer x, y ∈ R1.

Vektorer i planen

Lad os nu betragte mængden af alle punkter i planen, og lad os i planenvælge et sædvanligt retvinklet koordinatsystem. Ethvert punkt P i planenkan identificeres med punktets entydigt bestemte koordinatsæt (x1, x2), ogdet orienterede linjestykke OP fra O (nulpunktet eller origo) til P kaldervi en repræsentant for vektoren x = (x1, x2). Tallene x1 og x2 kaldes hen-holdsvis første og anden koordinat for vektoren x = (x1, x2). Man siger ogsa,at vektoren x = (x1, x2) er en stedvektor for punktet P = (x1, x2).

Vi ser nu, at mængden af alle sadanne vektorer i planen kan identificeresmed mængden R2 af alle reelle talpar, altsa

R2 = R×R = {x = (x1, x2) | x1, x2 ∈ R},idet talsættet 0 = (0, 0) ogsa regnes for at være en vektor (den uegentligevektor eller nulvektoren). Punketet O regnes for en repræsentant for nul-vektoren. Alle andre vektorer x ∈ R2, hvor altsa x 6= 0, kaldes egentligevektorer.

Mængden R2 kaldes det 2-dimensionale talvektorrum.

REGNING MED VEKTORER I PLANEN

Lad x = (x1, x2) og y = (y1, y2) være to vilkarlige vektorer og lad λ ∈ Rvære en vilkarlig skalar. Vi definerer nu summen x + y af vektorerne x og yog produktet λx af tallet λ og vektoren x ved

x+y = (x1, x2)+(y1, y2) = (x1 +y1, x2 +y2) og λx = λ(x1, x2) = (λx1, λx2).

Vi har saledes, at x + 0 = x, for enhver vektor x ∈ R2, og at

(2, 3) + (7,−5) = (9,−2) og 11(7,−4) = (77,−44).

Vi kan ogsa udregne differensen x− y, idet vi selvfølgelig har, at

x− y = (x1, x2)− (y1, y2) = (x1 − y1, x2 − y2),

sa (7, 9)− (5,−13) = (7− 5, 9− (−13)) = (2, 22).

Lad nu P = (x1, x2) og Q = (y1, y2) være to vilkarlige punkter i planen.Idet

(y1, y2) = (y1 − x1, y2 − x2) + (x1, x2),

er vektoreny − x = (y1 − x1, y2 − x2)

den vektor, der har en repræsentant, som er det orienterede linjestykke fraP til Q. Vi siger, at P er begyndelsespunktet, og at Q er slutpunktet (ellerendepunktet) for vektoren v = y − x.

Hvis fx P = (2, 8) og Q = (10, 23), finder vi, at vektoren v = y − x, derhar P som begyndelsespunkt og Q som slutpunkt, er givet ved

v = (10, 23)− (2, 8) = (8, 15).

Enhver vektor x ∈ R2 har en norm ‖x‖ (eller længde), som netop erlængden af det orienterede linjestykke OP , hvor P = (x1, x2). Altsa gælderdet, at

‖x‖ = ‖(x1, x2)‖ =√

x21 + x2

2,

jvf. Pythagoras’ læresætning. (Dette er længdeformlen).Man har saledes, at ‖(5,−12)‖ =

√25 + 144 =

√169 = 13.

Vi ser straks, at

(1.) ∀x ∈ R2 : ‖x‖ ≥ 0 ∧(‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

).

(2.) ∀λ ∈ R ∀x ∈ R2 : ‖λx‖ = |λ|‖x‖.(3.) ∀x, y ∈ R2 : ‖x± y‖ ≤ ‖x‖‖y‖.

Den sidste regel kaldes trekantsuligheden.

Lad nu P = (x1, x2) og Q = (y1, y2) være to punkter i planen. Afstandend(P,Q) mellem punkterne P og Q (eller afstanden d(x, y) mellem vektorerne

x og y) er længden af linjestykket PQ, og dermed er d(P,Q) = d(x, y) ligmed normen af vektoren y − x, sa vi har derfor, at

d(P,Q) = d(x, y) = ‖y − x‖ =√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2.

Dette er afstandsformlen.

Vi bemærker, at følgende regler er opfyldt

(1.) ∀x, y ∈ R2 : d(x, y) ≥ 0 ∧(d(x, y) = 0 ⇔ x = y

).

(2.) ∀x, y ∈ R2 : d(x, y) = d(y, x). Afstandsfunktionen d er symmetrisk.

(3.) ∀x, y, z ∈ R2 : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Den sidste regel kaldes trekantsuligheden (for afstandsfunktionen d).

Vi vil herefter se pa nogle eksempler.

Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (3, 5) og y = (7,−2). Daer ‖x‖ =

√9 + 25 =

√34 og ‖y‖ =

√49 + 4 =

√53. Endvidere ser vi, at

y − x = (4,−7), sa

d(x, y) = ‖y − x‖ =√

16 + 49 =√

65.

Eksempel. For et vilkarligt t ∈ R betragter vi vektorerne x = x(t) =(t, 1 + t) og y = y(t) = (7, 5− 2t).

Vi finder, at

‖x‖ = ‖x(t)‖ =√

t2 + (1 + t)2 =√

2t2 + 2t + 1,

sa ‖x(0)‖ = 1, og ‖x(−2)‖ =√

5.Desuden har vi, at

‖y‖ = ‖y(t)‖ =√

49 + (5− 2t)2 =√

4t2 − 20t + 74,

sa ‖y(1)‖ =√

58, og ‖y(−1)‖ =√

98.Endvidere far vi, at

v = v(t) = y(t)− x(t) = (7− t, 4− 3t),

sa

d(x(t), y(t)) = ‖y(t)− x(t)‖ =√

(7− t)2 + (4− 3t)2 =√

10t2 − 38t + 64.

Eksempel. Vi betragter punkterne A = (a1, a2) og B = (b1, b2). Midt-punktet pa linjestykket AB (fra A til B) kaldes M = (m1,m2). Vi ser,at

(m1,m2) = (a1, a2) +1

2

(b1 − a1, b2 − a2

)=

(b1 + a1

2,b2 + a2

2

),

idet vektoren (m1,m2) fra O til M fremkommer som summen af vektoren(a1, a2) fra O til A plus halvdelen af vektoren (b1 − a1, b2 − a2) fra A til B.

Hvis A = (5, 2) og B = (7, 11), er midtpunktet af linjestykket AB ligmed M = (6, 13

2).

Eksempel. I planen betragter vi den trekant 4ABC, hvor A = O =(0, 0) og B = (b1, 0), hvor b1 > 0, ligger pa førsteaksens positive del. PunktetC = (c1, c2), hvor c2 > 0, ligger saledes ikke pa førsteaksen.

Det punkt M = (m1,m2), der har en og samme afstand til vinkelspid-serne A,B og C, opfylder betingelsen

d(O, M) = d(A,M) = d(B, M) = d(M, C),

sa √m2

1 + m22 =

√(m1 − b1)2 + m2

2 =√

(m1 − c1)2 + (m2 − c2)2.

Heraf ser man, at

m21+m2

2 = m21+b2

1−2b1m1+m22 ∧m2

1+m22 = m2

1+c21−2c1m1+m2

2+c22−2c2m2

mm1 =

b1

2∧ 0 = b2

1 − c21 − 2b1m1 + 2c1m1 − c2

2 + 2c2m2 ⇔

m1 =b1

2∧ 0 = −c2

1 + b1c1 − c22 + 2c2m2 ⇔ m1 =

b1

2∧ m2 =

c21 + c2

2 − b1c1

2c2

.

Punktet

M =(b1

2,c21 + c2

2 − b1c1

2c2

)

er midtnormalernes fælles skæringspunkt, som er centrum for trekantens om-skrevne cirkel.

Hvis fx A = (0, 0), B = (8, 0) og C = (6, 9), har vi altsa, at

M =(4,

36 + 81− 48

18

)=

(4,

69

18

).

Eksempel. Den cirkel C, der har centrum i punktet M = (m1,m2),og som har radius r > 0, bestar af netop de punkter, P = (x1, x2), der harafstanden d(P,M) = r fra centrum M . Altsa er

C = {P = (x1, x2) | d(P, M) = r} =

{(x1, x2) |√

(x1 −m1)2 + (x2 −m2)2 = r} =

{(x1, x2) | (x1 −m1)2 + (x2 −m2)

2 = r2}.Ligningen√

(x1 −m1)2 + (x2 −m2)2 = r eller (x1 −m1)2 + (x2 −m2)

2 = r2

kaldes cirklens ligning.Hvis fx M = (3,−13), og r = 5, har den cirkel C, som har centrum i

punket M , og som har radius r = 5, ligningen

(x1 − 3)2 + (x2 + 13)2 = 25.

Vektorregning er nært knyttet til den analytiske geometri, som blevgrundlagt af den franske matematiker Rene Descartes (1596 - 1650). Umid-delbart efter at Descartes havde udgivet sit kendte, matematiske storværk”La Geometrie” i 1637, fik den analytiske geometri stor betydning for mate-matikkens videre udvikling, og den franske matematiker Pierre Varignon(1654 - 1722) var en stor beundrer af Descartes. Desuden var Varignongode venner med bade Newton, Leibniz og den berømte matematikerfamilieBernoulli fra Basel i Schweiz. Varignon blev i 1688 professor i matematik vedCollege Mazarin i Paris, og gennem mange ar holdt han en række forelæs-ninger, bl. a. om differentialregning og analytisk geometri. I 1731 blevdisse forelæsninger trykt og udgivet med titlen ”Elemens de mathematique”.(Bemærk stavemaden!). I dette værk finder vi følgende interessante og besyn-derlige, geometriske sætning, som naturligt nok kaldes Varignons sætning:

Varignons sætning. Lad F være en vilkarlig firkant i planen R2, oglad M1,M2,M3 og M4 være midtpunkterne pa denne firkants sider. Da erden firkant P, som har hjørnespidserne M1,M2,M3 og M4, et parallellogram.

Vi vil vise denne sætning som et illustrativt eksempel pa regning medvektorer i planen.

BEVIS for Varignons sætning. Pastanden er vist, hvis vi kan vise, at demodstaende sider i firkanten P er lige lange og parallelle.

Firkanten F , som har hjørnespidserne A,B, C og D, kan (evt. efter enflytning, dvs. en parallelforskydning efterfulgt af en drejning) anbringes i etretvinklet koordinatsystem, sa A = (0, 0), og B = (x, 0). (Lav en tegning!)Herefter er C = (α, β) og D = (ξ, η).

Vi far nu, at

M1 =(x

2, 0

),M2 =

(α + x

2,β

2

),M3 =

(α + ξ

2,β + η

2

),

og at

M4 =(ξ

2,η

2

).

Vektoren fra M1 til M2 er

v12 =(α + x

2− x

2,β

2

)=

(α

2,β

2

)

og vektoren fra M4 til M3 er

v43 =(α + ξ

2− ξ

2,β + η

2− η

2

)=

(α

2,β

2

),

sa v43 = v12.

Egentlig er vi færdige nu. Hvorfor? Men lad os alligevel ogsa udregnevektorerne v14 (fra M1 til M4) og v23 (fra M2 til M3). Vi far saledes, at

v14 =(ξ

2− x

2,η

2

)=

(ξ − x

2,η

2

),

og at

v23 =(α + ξ

2− α + x

2,β + η

2− β

2

)=

(ξ − x

2,η

2

),

og helt som ventet er v23 = v14.Hermed er Varignons sætning vist ved hjælp af elementær vektorregning.

Øvelse. Lad os betragte den firkant, der har vinkelspidserne A =(2, 8), B = (7, 9), C = (5, 19) og D = (3, 22). Bestem koordinaterne til midt-punkterne M1,M2,M3 og M4 pa sidestykkerne i denne firkant, og bestemderpa kantlængderne i det parallelogram, som er givet ved at benytte Varignonssætning.

SKALARPRODUKTET

Vi skal i dette afsnit se pa det sakaldte skalarprodukt, som er en afbildning,hvor to vektorer afbildes pa et reelt tal. Det viser sig, at denne afbildninghar stor geometrisk betydning, og derfor er skalarproduktet et meget vigtigtbegreb i vektorregningen.

Vi begynder med at definere skalarproduktet.

Definition. Lad x = (x1, x2) og y = (y1, y2) være to givne vektorer.Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x · y af vektorerne x og y forstastallet

x · y = (x1, x2) · (y1, y2) = x1y1 + x2y2.

Vi bemærker, at der hermed er defineret en afbildning s : R2×R2 → R,hvor

∀x, y ∈ R2 : s(x, y) = x · y.

Vi ser, at

(2, 3) · (7, 4) = 14 + 12 = 26, (−1, 6) · (5,−2) = −5− 12 = −17,

(0, 67) · (−23, 2) = 0 + 134, og at (−2,−6) · (−7, 5) = 14− 30 = −16.

Desuden ser vi, at for enhver vektor x = (x1, x2) ∈ R2 gælder det,x · 0 = 0, og at

x · e1 = (x1, x2) · (1, 0) = x1 og x · e2 = (x1, x2) · (0, 1) = x2,

idet e1 = (1, 0) og e2 = (0, 1), sa

∀x = (x1, x2) ∈ R2 : x = (x · e1)e1 + (x · e2)e2.

Vi har tillige, at

∀x = (x1, x2) ∈ R2 : x · x = x21 + x2

2 = ‖x‖2.

For skalarproduktet gælder følgende regler, som man umiddelbart efter-viser:

(1.) ∀x, y ∈ R2 : x · y = y · x. (Den kommutative regel).

(2.) ∀x, y, z ∈ R2 : x · (y + z) = x · y + x · z. (Den distributive regel).

(3.) ∀λ ∈ R ∀x ∈ R2 : (λx) ·y = λ(x ·y) = x · (λy). (Den associative regel).

(4.) ∀x ∈ R2 : x · x ≥ 0 ∧ x · x = 0 ⇔ x = 0.

Sadan som vi her har defineret skalarproduktet, ser der ud til, at det erafhængigt af koordinatsystemet placering i planen. Drejer man fx koordinat-systemet med en vis vinlel θ vil et givet punkts koordinatsæt blive ændret

fra x = (x1, x2) til x = (ξ1, ξ2), og dermed har punktets stedvektor ogsa faetændret sine koordinater. Tilsvarende vil et andet punkts koordinater ogsablive ændret, og den tilhørende stedvektor y = (y1, y2) vil blive ændret tily = (η1, η2).

Umiddelbart ser det altsa ikke ud til, at skalarproduktet x·y skulle væreuafhængigt af koordinatsystemets placering, altsa at ligningen

x1y1 + x2y2 = ξ1η1 + ξ2η2

skulle være opfyldt, men det er faktisk tilfældet.

For at vise denne pastand betragter vi to vilkarlige vektorer x og y. Vihusker, at x · x = ‖x‖2, at y · y = ‖y‖2, og at (x + y) · (x + y) = ‖x + y‖2, sa

‖x + y‖2 = (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y =

‖x‖2 + 2(x · y) + ‖y‖2,

hvoraf man far, at

x · y =1

2

(‖x + y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2

).

Denne formel viser, at skalarproduket x · y mellem vektorerne x og ykun afhænger af længderne af vektorerne x, y og x + y. Dermed har vi vist,at skalarproduktet ikke afhænger af, om koordinatsystemet bliver drejet envis vinkel omkring punktet O.

Eksempel. Lad os fx antage, at vi om vektorerne x og y ved, at‖x‖ = 3, at ‖y‖ = 6, og at ‖x + y‖ = 8. Vi finder da, at

x · y =1

2

(‖x + y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2

)=

1

2

(64− 9− 36

)=

19

2.

Øvelse. Bestem skalarproduktet x · y af vektorerne x og y, nar ‖x‖ =11, ‖y‖ = 12, og ‖x + y‖ = 13.

Vi vil nu vise en særdeles nyttig sætning.

Sætning. Lad x og y være to vilkarlige vektorer fra vektorrummet R2.Der gælder da følgende:

(1.) Lad os antage, at vektorerne x og y begge er egentlige vektorer, sax 6= 0 og y 6= 0. Da er skalarproduktet x · y af vektorerne x og y ligmed længden af den ene vektor multipliceret med den anden vektors

retvinklende projektion (regnet med fortegn) ned pa den første vektor.Vi kan altsa skrive

x · y = ‖x‖y1 = x1‖y‖,hvor y1 er den retvinklede projektion af y pa x, og x1 er den retvinkledeprojektion af x pa y.

(2.) Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, sa er x · y = 0.

BEVIS. Det er klart, at x ·y = 0, hvis enten x = 0, y = 0 eller x = y = 0.Vi antager derfor, at vektorerne x og y begge er egentlige, altsa at de ikke ernulvektoren.

Vi har tidligere indset, at skalarproduktet x · y er uafhængigt af koor-dinatsystemetes placering. Lad nu x = (x1, x2), og lad os betragte punktetPx = (x1, x2). Vektoren x er da stedvektor for punktet Px. Vi drejer nukoordinatsystemet omkring origo O = (0, 0), sa punktet Px kommer til atligge pa abscisseaksens positive halvdel. I dette drejede koordinatsystem servi, at vektoren x kan skrives som x = (‖x‖, 0), og hvis y = (η1, η2) i dettekoordinatsystem, hvor η1 abenbart er den retvinklede projektion af Y pa xregnet med fortegn, far vi, at

x · y = (‖x‖, 0) · (η1, η2) = ‖x‖η1.

Hermed er pastanden vist.

Vi vil nu udnytte denne sætning, men vi skal først have fundet ud af,hvad vi vil forsta ved vinklen θ mellem to vektorer. Lad os derfor betragtevektorerne x og y. Hvis x = 0, eller hvis y = 0, eller hvis x = y = 0, sættervi den mellemliggende vinkel θ = 90o. Dette virker maske besynderligt, mendet viser sig at være praktisk.

Hvis vektorerne x = (x1, x2) og y = (y1, y2) er egentlige, er de stedvek-torer for punkterne Px = (x1, x2) og Py = (y1, y2). Vinklen θ i origo O = (0, 0)mellem linjestykkerne OPx og OPy defineres da som vinklen mellem vektor-erne x og y. Som en direkte følge af ovenstaende sætning far vi sa følgenderesultat:

Sætning. Lad x og y være to vilkarlige vektorer, og lad θ være vinklenmellem dem. Der gælder da, at

(1.) x · y > 0 ⇔ θ ∈ [0o, 90o[. Vinklen θ er spids.

(2.) x · y = 0 ⇔ θ = 90o. Vinklen θ er ret. Vektorerne x og y er ortogonale.

(3.) x · y < 0 ⇔ θ ∈ ]90o, 180o]. Vinklen θ er stump.

Eksempel. Lad t ∈ R være en parameter, og betragt vektorerne

x = x(t) = (t,−2) og y = y(t) = (t, t).

Vi finder da, at

x · y = (t,−2) · (t, t) = t2 − 2t = t(t− 2),

sax · y = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 2 ⇔ x⊥y,

hvor tegnet ⊥ betyder, at vektorerne x og y er ortogonale eller vinkelrettepa hinanden.

Endvidere ser vi, at det for vinklen θ mellem vektorerne x og y gælder,at

θ er spids ⇔ t < 0 ∨ t > 2, og at θ er stump ⇔ 0 < t < 2.

Øvelse. Lad t ∈ R være en parameter, og betragt vektorerne

x = x(t) = (t2,−1) og y = y(t) = (2,−t + 1).

Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Bestem de t ∈ R, forhvilke vinklen θ er enten spids, ret eller stump.

Vi skal nu vise endnu en sætning.

Sætning. Lad x og y være to vilkarlige vektorer, og lad θ være vinklenmellem disse vektorer. Da har man, at

x · y = ‖x‖‖y‖ cos(θ).

Skalarproduktet x · y kan altsa udregnes som normen af den ene vektorganget med normen af den anden vektor ganget med cosinus til den mellem-liggende vinkel.

BEVIS. Lad η1 være den retvinklede projektion regnet med fortegn afvektoren y pa vektoren x. Det er da klart, at η1 = ‖y‖ cos(θ), og heraf aflæsespastanden umiddelbart.

Det er velkendt, at cos(θ) ∈ [−1, 1], og vi far da straks følgende resultat:

Sætning. Lad x og y være vilkarlige vektorer, og lad θ være vinklenmellem dem. Man har da, at

|x · y| ≤ ‖x‖‖y‖.

Denne ulighed, der er helt fundamental i vektorregningen, kaldes Cauchy-Schwarz’ ulighed.

Pa baggrund af de foregaende sætninger far vi tillige følgende sætning:

Sætning. Lad x og y være egentlige vektorer, og lad θ være vinklenmellem dem. Vi har da, at

cos(θ) =x · y‖x‖‖y‖ .

Eksempel. Lad os betragte vektorerne x = (4, 5) og y = (7,−2). Viser da, at ‖x‖ =

√41, at ‖y‖ =

√53, og at x · y = 28− 10 = 18. Hvis vinklen

mellem vektorerne x og y er θ, far vi nu, at

cos(θ) =x · y‖x‖‖y‖ =

18√41√

53, sa θ = 67, 29o.

Øvelse. Bestem vinklen θ mellem vektorerne x og y, nar

(1.) x = (5,−1) og y = (3,−10).

(2.) x = (−1, 2) og y = (4,−3).

(3.) x = (1, 10) og y = (−20, 2).

(4.) x = (12,−5) og y = (19,−71

2).

(5.) x = (2√

5, 3) og y = (7, 6√

11).

Vi fortsætter nu med at vise en sætning, som har et vigtigt geometriskindhold.

Sætning. Betragt en vilkarlig trekant 4ABC, som har siderne a, b ogc. Man har da, at

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A),

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B),

og atc2 = a2 + b2 − 2ab cos(C).

Disse formler kaldes cosinusrelationerne.

BEVIS. Ud fra hjørnespidserne A,B og C i trekanten 4ABC definerervi vektoren x som den vektor, der har begyndelsespunktet C og slutpunktetB. Desuden definerer vi vektoren y som den vektor, der har begyndelsespunk-tet C og slutpunktet A. Vinklen mellem vektorerne x og y er vinklen C i denpagældende trekant, og desuden ser vi, at ‖x‖ = a, og at ‖y‖ = b.

Vektoren z = x − y har begyndelsespunktet A og slutpunktet B, og viser, at ‖z‖ = ‖x− y‖ = c.

Vi finder nu, at

‖z‖ = ‖x− y‖2 = (x− y) · (x− y) = x · x + y · y − 2x · y =

‖x‖2 + ‖y‖2 − 2‖x‖‖y‖ cos(C), sa c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C).

De to øvrige formler vises pa analog made.

Øvelse. Cosinusrelationerne kaldes ofte ”den udvidede pythagoræiskelæresætning”. Vis ud fra cosinusrelationerne, at Pythagoras’ læresætning eropfyldt, netop nar den betragtede trekant 4ABC er retvinklet.

Vektorer i rummet

I det sædvanlige euklidiske rum (det fysiske rum), der har tre dimensioner(længde, bredde og højde) kan vi vælge et fast punkt O, der kaldes nulpunkteteller origo, og tre pa hinanden vinkelrette orienterede akser (førsteaksen,andenaksen og tredjeaksen). Nar dette er gjort, kan ethvert punkt i rummetidentificeres med et tripel (x1, x2, x3), som vi ogsa betegner som punktetskoordinatsæt, og vi skriver sa P = (x1, x2, x3).

Det er nu klart, at mængden af rummets punkter kan identificeres medmængden

R3 = R×R×R = {x = (x1, x2, x3) | x1, x2, x3 ∈ R}.

Elementerne x = (x1, x2, x3) ∈ R3 kaldes vektorer, og tallene x1, x2 ogx3 er henholdsvis første, anden og tredje koordinat for vektoren x. MængdenR3 kaldes det 3-dimensionale talvektorrum.

Nulvektoren er triplet 0 = (0, 0, 0), som ogsa kaldes den uegentlige vek-tor, mens alle andre vektorer siges at være egentlige. Hvis P = (x1, x2, x3),kan vektoren x = (x1, x2, x3) ogsa karakteriseres ved det orienterede linjestykkeOP fra O til P , og vi siger at OP er en repræsentant for x.

REGNING MED VEKTORER I RUMMET

I det 3-dimensionale talvektorrum R3 kan vi indfører addition af vektorer ogmultiplikation af en skalar med en vektor pa følgende made.

∀x, y ∈ R3 : x + y = (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

og∀λ ∈ R ∀x ∈ R3 : λx = λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, λx3).

Desuden ser vi, at

∀x, y ∈ R3 : x− y = (x1, x2, x3)− (y1, y2, y3) = (x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3).

Vi har derfor, at

(2, 3, 19) + (7, 5,−4) = (9, 8, 15) og 2(5,−6, 13) = (10,−12, 26).

Hvis λ 6= 0 er et givet reelt tal, og a = (a1, a2, a3), og b = (b1, b2, b3) ergivne vektorer, har vi saledes, at

λx + a = b ⇔ λx = b− a ⇔ x =1

λ

(b− a

),

sa

x = (x1, x2, x3) =(b1 − a1

λ,b2 − a2

λ,b3 − a3

λ

).

Længdeformlen. Enhver vektor x = (x1, x2, x3) ∈ R3 har en længdeeller en norm, som vi betegner med ‖x‖, og som er lig med længden af detorienterede linjestykke OP , hvor P = (x1, x2, x3).

Idet vi sætter p = (x1, x2, 0) og q = (0, 0, x3), ser vi, at x = (x1, x2, x3) =p+ q, og vi bemærker, at vektoren p ligger i den plan π(1, 2), der udspændesaf første- og andenaksen, mens vektoren q er parallel med tredjeaksen ogderfor vinkelret pa p.

Ved at benytte Pythagoras’ læresætning pa den retvinklede trekant4OQP , hvor Q = (x1, x2, 0), ser vi, at

‖x‖ =√‖p‖2 + ‖q‖2 =

√‖p‖2 + x2

3,

og da det er klart, at

‖p‖ =√

x21 + x2

2,

ser vi, at

‖x‖ =√

x21 + x2

2 + x23.

Denne formel kaldes længdeformlen.

Vi finder saledes, at ‖(2, 5,−3)‖ =√

4 + 25 + 9 =√

38, og vi ser, at dergælder følgende regler vedrørende normen for vektorer i det tre-dimensionaletalvektorrum.

(1) ∀ x ∈ R3 : ‖x‖ ≥ 0 ∧(‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

).

(2) ∀λ ∈ R ∀x ∈ R3 : ‖λx‖ = |λ|‖x‖.(3) ∀ x, y ∈ R3 : ‖x± y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Den tredje regel kaldes trekantsuligheden.

Afstandsformlen. Lad P = (x1, x2, x3) og Q = (y1, y2, y3) være tovilkarlige punkter i rummet. Afstanden d(P,Q) mellem punkterne P og Q(eller mellem vektorerne x = (x1, x2, x3) og y = (y1, y2, y3)) er længden afvektoren y − x, thi

y = (y − x) + x,

sa y − x er den vektor, der har det orienterede linjestykke PQ fra P til Qsom en repræsentant.

Vi har altsa, at

d(P, Q) = d(x, y) = ‖y − x‖ =√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2.

Denne formel kaldes afstandsformlen.

Hvis P = (4,−3, 2) og Q = (−1, 0, 8), er afstanden mellem disse topunkter

d(P,Q) =√

(−5)2 + 32 + 62 =√

70,

og vi ser desuden, at der gælder følgende regler.

(1) ∀ x, y ∈ R3 : d(x, y) ≥ 0 ∧(d(x, y) = 0 ⇔ x = y

).

(2) ∀ x, y ∈ R3 : d(y, x) = d(x, y).

(3) ∀ x, y, z ∈ R3 : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Den tredje regel kaldes trekantsuligheden.

Vi vil herefter se pa et par eksempler.

Eksempel. En trekant 4ABC i rummet har vinkelspidserne A =(3, 5, 7), B = (−1, 2, 4) og C = (11, 9, 2). Vi betragter nu vektorerne x =(3, 5, 7), y = (−1, 2, 4) og z = (11, 9, 2).

Da har siden a længden

‖z − y‖ =√

122 + 72 + (−2)2 =√

144 + 49 + 4 =√

197,

siden b har længden

‖z − x‖ =√

82 + 42 + (−5)2 =√

64 + 16 + 25 =√

105,

og siden c har længden

‖y − x‖ =√

(−4)2 + (−3)2 + (−3)2 =√

16 + 9 + 9 =√

34.

Eksempel. Vi betragter den kugle K, der har centrum i punktet M =(m1, m2, m3), og som har radius r > 0. Kuglen K bestar af netop de punkterP = (x1, x2, x3), der har afstanden d(P, M) = r fra centrum M . Vi harsaledes, at

K = {P = (x1, x2, x3) | d(P,M) = r} =

{x = (x1, x2, x3) |√

(x1 −m1)2 + (x2 −m2)2 + (x3 −m3)2 = r} =

{x = (x1, x2, x3) | (x1 −m1)2 + (x2 −m2)

2 + (x3 −m3)2 = r2}.

Ligningerne√

(x1 −m1)2 + (x2 −m2)2 + (x3 −m3)2 = r

og(x1 −m1)

2 + (x2 −m2)2 + (x3 −m3)

2 = r2

kaldes kuglens ligning.Hvis fx M = (2, 8,−3), og r = 6, ser vi, at den kugle K, der har centrum

i punktet M , og som har radius r = 6, har ligningen

(x1 − 2)2 + (x2 − 8)2 + (x3 − 3)2 = 36.

Øvelse. De fire punkter A = (7, 9, 14), B = (3,−8, 5), C = (6, 7, 10) ogD = (100, 4, 99) danner et sakaldt tetraeder i rummet. Beregn længden afkantlængderne AB, AC, BC, AD,BD og CD.

SKALARPRODUKTET

Lad x = (x1, x2, x3) og y = (y1, y2, y3) være to vilkarlige vektorer fra det tre-dimensionale talvektorrum R3. Ved skalarproduktet (eller prikproduktet) x·yaf vektorerne x og y forstas tallet

x · y = (x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3.

Vi bemærker, at x · 0 = 0 for enhver vektor x ∈ R3, og vi har desuden,at

(5,−3, 1) · (7, 2, 9) = 35− 6 + 9 = 38, og

(1, 2, 1) · (10,−1

2,−9) = 10− 1− 9 = 0.

Vi ser, at der gælder følgende regler for skalarproduktet i R3.

(1) ∀ x, y ∈ R3 : x · y = y · x.

(2) ∀ x, y, z ∈ R3 : x · (y + z) = x · y + x · z.(3) ∀λ ∈ R ∀x, y ∈ R3 : λ(x · y) = (λx) · y = x · (λy).

(4) ∀ x ∈ R3 : x · x = ‖x‖2.

Ligesom i tilfældet R2, er det klart, at

x · y =1

2

(‖x− y‖2 − ‖x‖2 − ‖y|2

),

sa skalarproduktet x ·y for vektorer x, y ∈ R3 afhænger ikke af, hvordan mandrejer koordinatsystemet omkring nulpunktet O.

Hvis fx ‖x‖ = 7, ‖y‖ = 5 og ‖x− y‖ = 8, ser man, at

x · y =1

2

(64− 49− 25

)= −20.

Det er klart, at x · 0 = 0 · y = 0 · 0 = 0 for alle vektorer x, y ∈ R3.

Hvis e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) og e3 = (0, 0, 1), og hvis x = (x1, x2, x3)er en vilkarlig vektor i R3, ser vi, at

x · e1 = x1, x · e2 = x2 og x · e3 = x3,

sa

x = (x1, x2, x3) = (x · e1, x · e2, x · e3) = (x · e1)e1 + (x · e2)e2 + (x · e3)e3.

Lad nu x, y ∈ R3 være to egentlige vektorer, og vælg koordinatsystemet,sa x = (‖x‖, 0, 0), hvilket er muligt, idet førsteaksen orienteres i retningenfra nulpunktet O til punktet Px = (‖x‖, 0, 0).

Idet vi nu yderligere antager, at y ikke har en repræsentant, som liggerpa førsteaksen, vil vektorerne x og y udspænde en plan π(1, 2) i rummet. Vivælger nu andenaksen til at være vinkelret pa førsteaksen og til at ligge iplanen π(1, 2), og sa er y = (y1, y2, 0), hvor koordinaten y1 er projektionen(regnet med fortegn) af y pa x. Tredjeaksen vælges vinkelret pa bade første-og andenaksen.

Vi har nu, at

x · y = (‖x‖, 0, 0) · (y1, y2, 0) = ‖x‖y1.

Vinklen θ mellem vektorerne x og y er defineret som vinklen i pla-nen π(1, 2) mellem de to orienterede linjestykker OPx og OPy, hvor Px =(‖x‖, 0, 0) og Py = (y1, y2, 0). Vi bemærker nu, at y1 = ‖y‖ cos(θ), sa

(∗) x · y = ‖x‖‖y‖ cos(θ),

hvilket svarer nøje til et lignende resultat, vi fandt for skalarproduktet mellemto vektorer i vektorrummet R2.

Vi bemærker, at formlen (∗) ogsa er gyldig for alle vektorer x, y ∈ R3,altsa ogsa hvis x og y ligger pa en og samme linje, eller hvis en af vektorerneeller de begge er lig med nulvektoren.

I det tilfælde hvor bade x og y er egentlige vektorer, far vi, at

cos(θ) =x · y‖x‖‖y‖ .

Hvis x = 0, eller y = 0 eller hvis x = y = 0, sætter vi vinklen θ = 90o,hvilket viser sig praktisk.

Vi ser ogsa, atx · y > 0 ⇔ θ er spids,

x · y = 0 ⇔ θ er ret,

ogx · y < 0 ⇔ θ er stump.

Vi vil nu se pa et par eksempler og en øvelse.

Eksempel. Vi betragter vektorerne x = (2,−1, 7) og y = (3, 5, 12).Da er x · y = 6 − 5 + 84 = 85, ‖x‖ =

√4 + 1 + 49 =

√54 og ‖y‖ =√

9 + 25 + 144 =√

178, sa

cos(θ) =85√

54√

178, hvoraf man far, at θ = 29, 89o.

Eksempel. For ethvert t ∈ R betragter vi vektorerne x = x(t) =(t, 2t,−t) og y = y(t) = (2, t, 5t). Da er x · y = 2t + 2t2 − 5t2 = −3t2 + 2t, sa

x · y = 0 ⇔ t(−3t + 2) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t =2

3.

Lad θ være vinklen mellem vektorerne x og y. Vi har da, at

θ er spids ⇔ 0 < t <2

3,

θ er ret ⇔ t = 0 ∨ t =2

3,

og

θ er stump ⇔ t < 0 ∨ t >2

3.

Øvelse. I vektorrummet R3 betragter vi den trekant 4ABC, hvorA = (1, 2, 3), B = (7, 9, 13) og C = (5, 10, 12).

Bestem sidernes kantlængder og størrelsen af vinkelspidserne i dennetrekant.

Vektorrum af højere dimension

Vektorrummene R1,R2 og R3, siges at have dimensionerne 1, 2 og 3, og vihar i de foregaende afsnit set, at dimensionen af disse vektorrum er knyttettil geometrien henholdsvis pa en ret linje, i planen eller i rummet.

Imidlertid regnede vi med vektorerne i R1,R2 og R3 udelukkende ved atanvende vektorernes koordinater, idet vi ogsa bemærkede, at geometriske be-greber som længder, afstande og vinkler kunne bestemmes ud fra kendskabettil vektorernes koordinater.

Vi vil derfor generalisere de opnaede resultater fra omtalen af vektor-rummene R1,R2 og R3 til enhver mængde

Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) | x1, x2, . . . , xn ∈ R}

bestaende af n-sæt, hvor n ∈ N, og n > 3.Mængden Rn kaldes det n-dimensionale talvektorrum, (eller blot det

n-dimensionale vektorrum), og elementerne x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn kaldesvektorer. En vektor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn har koordinaterne x1, x2, . . . , xn,hvor xi er den i’te koordinat. Vektoren 0, hvis koordinater alle er 0, kaldesnulvektoren eller den uegentlige vektor, og enhver vektor x 6= 0 siges at væreen egentlig vektor.

Vi vil nn se pa et par eksempler.

Eksempel. Vi betragter vektorerne

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, . . . , 0, 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, . . . , 0, 0),

. . . . . .

ei = (0, 0, 0, . . . , 1, . . . , 0, 0),

. . . . . .

en = (0, 0, 0, . . . , 0, . . . , 0, 1),

fra vektorrummet Rn, hvor alle koordinaterne i vektoren ei er 0 bortset fraden i’te koordinat, som er 1.

Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet

εn = (e1, e2, e3, . . . , ei, . . . , en−1, en),

der kaldes den kanoniske basis eller standardbasen for vektorrummet Rn.

Eksempel. Vi kunne ogsa betragte vektorerne

f1 = (0, 1, 1, . . . , 1, . . . , 1, 1),

f2 = (1, 0, 1, . . . , 1, . . . , 1, 1),

. . . . . .

fi = (1, 1, 1, . . . , 0, . . . , 1, 1),

. . . . . .

fn = (1, 1, 1, . . . , 1, . . . , 1, 0),

fra vektorrummet Rn, hvor alle koordinaterne i vektoren ei er 1 bortset fraden i’te koordinat, som er 0.

Disse n vektorer kan vi samle i vektorsættet

ϕn = (f1, f2, f3, . . . , fi, . . . , fn−1, fn).

REGNING MED VEKTORER

Vi skal se pa, hvordan man regner med vektorer fra et vilkarligt vektorrumRn, hvor n ∈ N, og det er naturligvis vigtigt, at de regneregler, vi indførtepa vektorrummene R1,R2 og R3, er specialtilfælde af de regler, vi nu skalomtale.

Hvis x = (x1, x2, . . . , xn) og y = (y1, y2, . . . , yn) er vilkarlige vektorer fravektorrummet Rn, definerer vi summen x + y af vektorerne x og y som denvektor i Rn, der er givet ved

x + y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

sa koordinaterne i summen x + y udregnes ved addition af koordinaterne i xog y.

Desuden definerer vi den sakaldte skalarmultiplikation: Hvis λ ∈ R, oghvis x = (x1, x2, . . . , xn) er en vilkarlig vektor i Rn, er produktet λx af talletλ og vektoren x den vektor, som er givet ved

λx = λ(x1, x2, . . . , xn) = (λx1, λx2, . . . , λxn).

Vektoren 0 = (0, 0, . . . , 0), hvor alle koordinaterne er 0, er som tidligereanført nulvektoren (i vektorrummet Rn), og vektoren

−x = (−x1,−x2, . . . ,−xn)

kaldes den til x = (x1, x2, . . . , xn) modsatte vektor. Bemærk, at −x = (−1)x.

For regning med vektorer gælder følgende regler, der kaldes vektorrums-betingelserne:

(1) ∀x, y ∈ Rn : x + y = y + x. Vi udtrykker dette ved at sige, atvektoraddition er kommutativ.

(2) ∀x, y, z ∈ Rn : (x+ y)+ z = x+(y + z). Vektoraddition er associativ.

(3) ∀x ∈ Rn : x + 0 = 0 + x = x. Nulvektoren 0 er neutral ved vektorad-dition.

(4) ∀ x ∈ Rn : x + (−x) = (−x) + x = 0.

(5) ∀λ ∈ R ∀x, y ∈ Rn : λ(x + y) = λx + λy.

(6) ∀λ, µ ∈ R ∀x ∈ Rn : (λ + µ)x = λx + µx.

(7) ∀λ, µ ∈ R ∀x ∈ Rn : λ(µx) = (λµ)x.

(8) ∀x ∈ Rn : 1x = x. Tallet 1 er neutralt ved skalarmultiplikation.

Reglerne (5) og (6) kaldes de distributive love, og regel (7) er den asso-ciative lov for skalarmultiplikation.

Vi definerer differensen x−y mellem vektorerne x og y fra vektorrummetRn ved

x− y = x + (−y) = (x1 − y1, x2 − y2, . . . , xn − yn),

og desuden gælder nulreglen for skalarmultiplikation:

λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0.

Med disse grundlæggende regneregler er det nu muligt at regne medvektorer, nogenlunde ligesom man regner med reelle tal. Fx har vi, at

(5, 4, 3, 9) + 2(1,−1, 2, 4)− (3, 8,−5, 7) =

(5, 4, 3, 9) + (2,−2, 4, 8)− (3, 8,−5, 7) = (4,−6, 12, 10),

og at

∀λ 6= 0 ∀x, a, b ∈ Rn : λx + a = b ⇔ x =1

λ

(b− a

).

Lad os nu se pa et par eksempler.

Eksempel. I vektorrummet R5 betragter vi de to vektorer

a = (1, 2,−1, 3, 0) og b = (7, 9,−5, 0, 4).

Vi vil nu bestemme den vektor x = (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5, saledes at2x + a = b.

Vi finder, at

2x + a = b ⇔ x =1

2

(b− a

)⇔

(x1, x2, x3, x4, x5) =1

2

(6, 7,−4,−3, 4

)⇔ (x1, x2, x3, x4, x5) =

(3,

7

2,−2,−3

2, 2

).

Eksempel. I vektorrummet R4 betragter vi vektorerne

x = x(t) = (1, 2t, 5t,−3) og y = y(s) = (s, 9s, 2, 4),

hvor s, t ∈ R.Vi ser nu, at z(t, s) = 3x(t) + y(s) =

3(1, 2t, 5t,−3) + (s, 9s, 2, 4) = (3 + s, 6t + 9s, 2 + 15t,−5).

Hvis t = s, finder vi, at

z(s, s) = (3 + s, 15s, 2 + 15s,−5).

Hele den grundlæggende abstrakte vektorrumsteori blev udviklet af dentyske matematiker Hermann Graßmann (1809 - 1877), der i 1844 udsendteværket ”Die lineare Ausdehnungslehre. Ein neuer Zweig der Mathematik”.

SKALARPRODUKTET

Pa vektorrummet Rn indfører vi skalarproduktet (eller prikproduktet, paengelsk: The Dot Product) x · y af vektorerne x = (x1, x2, . . . , xn) og y =(y1, y2, . . . , yn) ved

x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn =n∑

i=1

xiyi,

som altsa er det tal, der opstar, nar man ganger koordinaterne i x medkoordinaterne i y og lægger alle disse produkter sammen.

Bemærk, at skalarproduktet i vektorrummet Rn er en umiddelbar gene-ralisering af skalarproduktet i vektorrummene R1,R2 og R3.

For skalarproduktet i vektorrummet Rn gælder følgende sætning.

Sætning.(Regneregler for skalarproduktet) Man har, at

(1) ∀ x, y ∈ Rn : x · y = y · x.

(2) ∀ x, y, z ∈ Rn : x · (y + z) = x · y + x · z.(3) ∀λ ∈ R ∀x ∈ Rn : (λx) · y = λ(x · y) = x · (λy).

(4) ∀ x ∈ Rn : x · x ≥ 0 ∧ x · x = 0 ⇔ x = 0.

BEVIS. Lad os betragte vektorerne

x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) og z = (z1, z2, . . . , zn)

fra vektorrummet Rn, og lad λ ∈ R være vilkarligt valgt.Man har da, at

x · y =n∑

i=1

xiyi =n∑

i=1

yixi = y · x,

x · (y + z) =n∑

i=1

xi(yi + zi) =n∑

i=1

(xiyi +x1zi) =n∑

i=1

xiyi +n∑

i=1

xizi = x ·y +x · z,

(λx) · y =n∑

i=1

(λxi)yi = λn∑

i=1

xiyi = λ(x · y)

(λx) · y =n∑

i=1

(λxi)yi =n∑

i=1

xi(λyi) = x · (λy),

x · x =n∑

i=1

x2i ≥ 0,

ogx · x = 0 ⇔

(∀ i = 1, 2, . . . , n : x2

i = 0 ⇔ x = 0).

Hermed er sætningen bevist, og vi fortsætter sa med at se pa et pareksempler.

Eksempel. Vi ser, at x · 0 = 0 for alle vektorer x ∈ Rn, og lad os ivektorrummet R4 betragte vektorerne v = (7, 1, 6, 3) og u = (1, 5,−2, 4). Vihar da, at

v · u = (7, 1, 6, 3) · (1, 5,−2, 4) = 7 + 5− 12 + 12 = 12.

Lad os endvidere betragte vektoren a = (2, 1, 3,−5) ∈ R4.Hvis a · x = 0, hvor x = (x1, x2, x3, x4), har vi altsa, at

2x1 + x2 + 3x3 − 5x4 = 0 ⇔ x2 = −2x1 − 3x3 + 5x4,

hvilket viser, at

A = {x ∈ R4 | a·x = 0} = {x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x2 = −2x1−3x3+5x4}.

Eksempel. Lad εn = (e1, e2, . . . , en) være den kanoniske basis for vek-torrummet Rn, og lad x = (x1, x2, . . . , xn) være en vilkarlig vektor i Rn.

Vi ser da, at

x · e1 = x1, x · e2 = x2, . . . , x · en−1 = xn−1 og x · en = xn,

sax = (x · e1, x · e2, . . . , x · ei, . . . , x · en) =

(x · e1)e1 + (x · e2)e2 + . . . + (x · ei)ei + . . . + (x · en)en.

LÆNGDER OG AFSTANDE

Pa basis af regel (4) for skalarproduktet indfører vi normen (eller længden)‖x‖ af en vektor x ∈ Rn ved

‖x‖ =√

x · x =

√√√√n∑

i=1

x2i ,

og afstanden d(x, y) mellem vektorerne x og y defineres sa ved

d(x, y) = ‖x− y‖ =

√√√√n∑

i=1

(xi − yi)2.

Fx har vi, at ‖(1, 7, 3 − 2)‖ =√

1 + 49 + 9 + 4 =√

63, og afstandend(x, y) mellem vektorerne x = (2, 5, 6, 3) og y = (7,−5, 3, 1) er normen af vek-toren x − y = (−5, 10, 3, 2), hvoraf vi ser, at d(x, y) =

√25 + 100 + 9 + 4 =√

138.

Vi bemærker, at normen ‖x‖ af en vektor x ∈ Rn og afstanden d(x, y)mellem to vektorer x og y er indført som en umiddelbar generalisering afbegreberne længde og afstand i vektorrummene R1,R2 og R3. Pa dennemade indfører vi geometriske begreber i vektorrummene Rn, hvor n ≥ 4.

For normer af vektorer gælder følgende regler:

Regler for normer. Vi har, at

(1) ∀ x ∈ Rn : ‖x‖ ≥ 0 ∧ ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0.

(2) ∀λ ∈ R ∀x ∈ Rn : ‖λx‖ = |λ|‖x‖.(3) ∀x, y, z ∈ Rn : ‖x+y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖. Denne regel kaldes trekants-

uligheden.

For afstanden d(x, y) mellem to vektorer (her x og y) gælder følgendetre regler, som hænger nøje sammen med de tre foregaende regler for normer:

Regler for afstande. Man har, at

(1) ∀ x, y ∈ Rn : d(x, y) = ‖x− y‖ ≥ 0 ∧ d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

(2) ∀ x, y ∈ Rn : d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖y − x‖ = d(y, x).

(3) ∀x, y, z ∈ Rn : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Denne regel kaldes ogsatrekantsuligheden.

Bade for normer og adstande er reglerne (1) og (2) oplagte, mens reglen(3), altsa trekantsuligheden, først kan vises, nar vi har vist følgende interes-sante resultat, som er helt fundamentalt for vektorrumsteorien.

Cauchy-Schwarz’ ulighed. Lad x og y være vilkarlige vektorer fravektorrummet Rn, hvor n ∈ N. Vi har da, at

|x · y| ≤ ‖x‖‖y‖.

Denne ulighed kaldes Cauchy-Schwarz’ ulighed. Sadan som den fremgarher, er den første gang vist af den franske matematiker Augustin LouisCauchy (1789 - 1857) i 1821. I 1888 viste den tyske matematiker HermannAmandus Schwarz (1843 - 1921), at for to kontinuerte funktioner f og g, somer defineret pa det kompakte interval [a, b] gælder det, at

∣∣∣∫ b

af(x)g(x) dx

∣∣∣ ≤√∫ b

af(x)2dx

√∫ b

ag(x)2dx.

Dette resultat er en generalisering af Cauchys ulighed til kontinuerte funk-tioner, hvor integralet ∫ b

af(x)g(x) dx

skal opfattes som skalarproduktet mellem de to kontinuert funktioner f ogg pa intervallet [a, b]. Af og til kaldes uligheden ogsa Bunyakowskys ulighed

efter den russiske matematiker Yalovlevich Bunyakowsky (1804 - 1889), derviste uligheden i 1859.

BEVIS for Cauchy-Schwarz’ ulighed. Lad λ ∈ R være vilkarligt valgt,og lad x, y ∈ Rn være to vilkarligt valgte vektorer. Vi ser da, at

0 ≤ ‖λx + y‖2 = (λx + y) · (λx + y) =

λ2x · x + 2λx · y + y · y = λ2‖x‖2 + 2λ(x · y) + ‖y‖2.

Disse udregninger viser, at andengradspolynomiet P , som er givet ved

∀λ ∈ R : P (λ) = λ2‖x‖2 + 2λ(x · y) + ‖y‖2,

højst har en reel rod, og derfor er diskriminanten

D = 4(x · y)2 − 4‖x‖2‖y‖2 ≤ 0.

Heraf far man sa, at

(x · y)2 ≤ ‖x‖2‖y‖2 ⇔−‖x‖‖y‖ ≤ x · y ≤ ‖x‖‖y‖ ⇔

|x · y| ≤ ‖x‖‖y‖.

BEVIS for trekantsuligheden. Lad x, y ∈ Rn være vilkarligt valgt. Vihar da, at

0 ≤ ‖x + y‖2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2(x · y) + y · y =

‖x‖2 + 2(x · y) + ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2|x · y|+ ‖y‖2 ≤‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2,

hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz’ ulighed.Vi far nu, at

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖,hvilket netop er trekantsuligheden for normer.

Da x− y = x + (−y), og da ‖ − y‖ = ‖y‖, har vi ogsa, at

‖x− y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖,Lad nu x, y, z ∈ Rn være vilkarligt valgte vektorer. Vi finder da, at

d(x, z) = ‖x− z‖ = ‖(x− y) + (y − z)‖ ≤

‖x− y‖+ ‖y − z‖ = d(x, y) + d(y, z).

Hermed er trekantsuligheden bevist.

Vi er nu naet sa langt, at vi kan definere vinklen mellem to vektorer fravektorrummet Rn.

Vinklen mellem to vektorer. Hvis x 6= 0 og y 6= 0 kan Cauchy-Schwarz’ ulighed omskrives til

−1 ≤ x · y‖x‖‖y‖ ≤ 1,

og da cos(θ) ∈ [−1, 1] for ethvert θ ∈ R, definerer vi vinklen θ mellemvektorerne x og y ved at sætte

cos(θ) =x · y‖x‖‖y‖ , sa θ = Arccos

( x · y‖x‖‖y‖

).

Hvis x·y = 0, siges vektorerne x og y at være vinkelrette eller ortogonalevektorer, og vi skriver x⊥y. Nulvektoren 0 regnes for at være vinkelret paalle vektorer.

Vi ser umiddelbart, at følgende sætning er opfyldt

Sætning. Lad x, y ∈ Rn være vilkarlige vektorer, og lad θ være vinklenmellem vektorerne x og y.

Man har da, atx · y > 0 ⇔ θ er spids,

x · y = 0 ⇔ θ er ret,

ogx · y < 0 ⇔ θ er stump.

Vi bemærker, at vinkelbegrebet i vektorrummet Rn, hvor n ≥ 4, harmening, fordi Cauchy-Schwarz’ ulighed er opfyldt. Vinkelbegrebet i vektor-rummet Rn, hvor n ≥ 4, er derfor baseret pa skalarproduktet, og vi ser,at det velkendte og anskuelige vinkelbegreb i vektorrummene R1,R2 og R3

er specialtilfælde af det generaliserede vinkelbegreb, vi netop har indført ivektorrummet Rn, hvor n ∈ N.

Vi vil herefter se pa nogle eksempler.

Eksempel. Hvis x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3,−2, 4), er

x · y = 14 + 3− 10 + 12 = 19,

og endvidere er

‖x‖ =√

4 + 1 + 25 + 9 =√

39 og ‖y‖ =√

49 + 9 + 4 + 16 =√

78.

Vi far da, at vinklen θ mellem vektorerne x og y er

θ = Arccos( x · y‖x‖‖y

)= Arccos

( 19√39√

78

)= 69, 85o.

Eksempel. Lad t ∈ R, og lad os betragte vektorerne

x = x(t) = (2, t,−t, 3, t) og y = y(t) = (t, t, 5,−t, 2)

fra vektorrummet R5.Vi ser, at

x · y = 2t + t2 − 5t− 3t + 2t = t2 − 4t,

sax · y = 0 ⇔ t2 − 4t = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 4.

Vektorerne x og y er saledes ortogonale (vinkelrette), netop nar t = 0,eller nar t = 4.

Vi ser ogsa, atx · y > 0 ⇔ t > 4 ∨ t < 0,

og da er vinklen θ mellem vektorerne x og y er spids, og endvidere ser vi, at

x · y < 0 ⇔ 0 < t < 4,

og i dette tilfælde er vinklen θ stump.Vi sætter t = 1. Da er

x = x(1) = (2, 1,−1, 3, 1) og y = y(1) = (1, 1, 5,−1, 2)

Vi ser, at x(1) · y(1) = −3, og at

‖x(1)‖ =√

4 + 1 + 1 + 9 + 1 =√

16 = 4 og

‖y(1)‖ =√

1 + 1 + 25 + 1 + 4 =√

32 = 4√

2.

Vinklen θ mellem vektorerne x(1) og y(1) er da givet ved

θ = Arccos( x(1) · y(1)

‖x(1)‖‖y(1)‖)

= Arccos( −3

16√

2

)= 97, 62o.

Eksempel. En vektor u ∈ Rn kaldes en enhedsvektor, dersom ‖u‖ = 1.Vi ser, at alle vektorerne e1, e2, . . . , en−1 og en i den kanoniske basis εn

for vektorrummet Rn abenbart er parvis ortogonale, idet vi jo har, at

ei · ej = δi,j ={

0, for i 6= j1, for i = j

,

siger man, at sættet εn = (e1, e2, . . . , en) er et ortonormalsæt. Symbolet δi,j

kaldes Kroneckers delta.

Eksempel. Lad x ∈ R være en vilkarligt valgt egentlig vektor, sax 6= 0. Da er vektoren

u =1

‖x‖x

en enhedsvektor. Vi siger, at u er fremkommet ved normering af x.Lad x, y ∈ Rn være to egentlige vektorer, og lad θ være vinklen mellem

x og y. Hvis

u =1

‖x‖x og v =1

‖y‖y,

ser vi, at

u · v =( 1

‖x‖x)·( 1

‖y‖y)

=x · y‖x‖‖y‖ = cos(θ).

Dette viser, at vinklen mellem enhedsvektorerne u og v ogsa er θ.

Eksempel. Lad os se pa vektorsættet ϕ = (f1, f2, . . . , fn) fra Rn, hvorn ≥ 2, og hvor vektoren

fi = (1, 1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1, 1)

har alle sine koordinater lig med 1 bortset fra den i’te, der er lig med 0.Vi ser, at

‖fi‖ =√

n− 1

for ethvert i = 1, 2, . . . , n.For i 6= j far vi, at fi ·fj = n−2, og hvis θi,j er vinklen mellem vektorerne

fi og fj, finder vi, at

θi,j = Arccos( n− 2√

n− 1√

n− 1

)= Arccos

(n− 2

n− 1

).

For n = 100 har vi saledes, at

θi,j = Arccos(98

99

)= 8, 15o.

Vi bemærker, at

n− 2

n− 1→ 1 for n →∞, sa θi,j → 0o for n →∞.

Indre produkter

Vi bemærker, at vektorers længder, afstande mellem vektorer og vinklermellem vektorer er fastlagt udelukkende pa grundlag af skalarproduktet ogdets specifikke egenskaber, og denne iagttagelse er uhyre vigtig. Pa basis afde fire regler, der gælder for skalarproduktet, vil vi nemlig indføre indføre etmere generelt begreb, som vi skriver [x|y], og som kaldes det indre produktmellem vektorerne x og y fra vektorrummet Rn. Dette gøres saledes:

Definition. Ved det indre produkt [x|y] mellem vektorerne x og y fravektorrummet Rn forstas en afbildning, der til vektorparret (x, y) knyttertallet [x|y], sa følgende regler er opfyldt:

(1) ∀ x, y ∈ Rn : [x|y] = [y|x].

(2) ∀ x, y, z ∈ Rn : [x|y + z] = [x|y] + [x|z].

(3) ∀λ ∈ R ∀x ∈ Rn : [λx|y] = λ[x|y] = [x|λy].

(4) ∀ x ∈ Rn : [x|x] ≥ 0 ∧ [x|x] = 0 ⇔ x = 0.

Svarende til dette indre produkt indfører vi normen [[x]] af vektoren xved

[[x]] =√

[x|x],

og afstanden δ(x, y) mellem vektorerne x og y defineres som

δ(x, y) = [[x− y]].

Da vi ovenfor viste Cauchy-Schwarz’ ulighed, benyttede vi udelukkendeskalarproduktets fire egenskaber, og da et indre produkt har netop de sammefire egenskaber som skalarproduktet, gælder Cauchy-Schwarz’ ulighed natur-ligvis ogsa for et vilkarligt indre produkt. Vi har altsa, at

∀x, y ∈ Rn : −[[x]][[y]] ≤ [x|y] ≤ [[x]][[y]],

og hvis x 6= 0, og y 6= 0, har vi tillige, at

−1 ≤ [x|y]

[[x]][[y]]≤ 1.

Vi definerer derfor vinklen Θ mellem vektorerne x og y ved

cos(Θ) =[x|y]

[[x]][[y]], sa Θ = Arccos

( [x|y]

[[x]][[y]]

).

Hvis [x|y] = 0, siges vektorerne x og y at være ortogonale (med hensyntil det valgte indre produkt), og vi skriver x⊥y. Nulvektoren 0 er ortogonalpa alle vektorer i vektorrummet Rn. Hvis u ∈ Rn har normen [[u]] = 1, sigesu at være en enhedsvektor (med hensyn til det givne indre produkt).

Vi vil herefter se pa nogle eksempler.

Eksempel. Lad os se pa det indre produkt

[x|y] =n∑

i=1

ixiyi = x1y1 + 2x2y2 + . . . + nxnyn

i vektorrummet Rn.Vi bemærker, at det enkelte led i den sum, der definerer dette indre

produkt er vægtet med koordinatnummeret i. Hvis vi specielt sætter n = 4og atter betragter vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3,−2, 4), far vi, at

[x|y] = 14 + 2 · 3 + 3 · (−10) + 4 · 12 = 14 + 6− 30 + 48 = 38,

[[x]] =√

4 + 2 · 1 + 3 · 25 + 3 · 9 =√

4 + 2 + 75 + 27 =√

108

og

[[y]] =√

49 + 2 · 9 + 3 · 4 + 4 · 16 =√

49 + 18 + 12 + 64 =√

143,

sa i dette tilfælde far man, at

Θ = Arccos( [x|y]

[[x]][[y]]

)= Arccos

( 38√108

√143

)= 76, 98o.

Hvis ikke andet er anført benytter man i praksis altid skalarproduktet.

Eksempel. Vi vil dog endnu en gang se pa et andet indre produkt. Viindfører i vektorrummet R4 det indre produkt [x|y]0, som er defineret ved

[x|y]0 =1

2x1y1 + 2x2y2 +

8

5x3y3 +

1

4x4y4.

Vi ser nu atter pa vektorerne x = (2, 1, 5, 3) og y = (7, 3,−2, 4), og vifar da, at

[x|y]0 =1

2· 14 + 2 · 3− 8

5· 10 +

1

4· 12 = 7 + 6− 16 + 3 = 0,

sa med hensyn til det indre produkt [x|y]0 er vektorerne x og y abenbartortogonale.

Eksempel. I planen (altsa i vektorrummet R2) betragter vi punkterne0, e1 = (1, 0) og e2 = (0, 1). Disse tre punkter danner abenbart en retvinklet,ligebenet trekant, nar vi benytter den sædvanlige euclidiske plangeometri, ogdet gør vi helt automatisk, hvis vi benytter skalarproduktet, altsa prikpro-duktet.

Men lad os nu i vektorrummet R2 indføre det indre produkt [x|y], somer givet ved

[x|y] = 7x1y1 + 2x2y2,

og vi ser straks, at [e1|e2] = 0, sa vektorerne e1 og e2 er ortogonale, ogsa medhensyn til dette indre produkt. Det betyder, at trekantsvinklen ved punktet0 er Θ0 = 90o.

Trekantsvinklen Θ1 ved vinkelspidsen e1, er vinklen mellem vektorerne−e1 = (−1, 0) og e2 − e1 = (−1, 1). Vi finder, at [−e1|e2 − e1] = 7, at[[−e1]] =

√7, og at [[e2 − e1]] = 3. Heraf finder vi sa, at

Θ1 = Arccos( [−e1|e2 − e1]

[[−e1]][[e2 − e1]]

)= Arccos

( 7

3√

7

)= 54, 74o.

Endvidere far vi, at trekantsvinklen Θ2 ved vinkelspidsen e2, er vinklenmellem vektorerne −e2 = (0,−1) og e1 − e2 = (1,−1). Vi finder i dettetilfælde, at [−e2|e1 − e2] = 2, at [[−e2]] =

√2, og at [[e1 − e2]] = 3. Heraf

finder vi sa, at

Θ2 = Arccos( [−e2|e1 − e2]

[[−e2]][[e1 − e2]]

)= Arccos

( 2

3√

2

)= 61, 87o.

Med hensyn til det indre produkt [x|y] er trekanten altsa retvinklet,men vinkelsummen er ikke 180o, som den er i det euclidiske tilfælde. Den erderimod

Θ0 + Θ1 + Θ2 = 90o + 54, 74o + 61, 87o = 202, 61o.

Linjer

Fra plangeometrien (og rumgeometrien) ved vi, at man kan karakterisere enlinje pa følgende to (i princippet forskellige) mader:

1. En linje er en geometrisk størrelse, som gar gennem et givet punkt P0,og som har en bestemt retning, der er fastlagt ved en vektor r 6= 0. Dennevektor kaldes en retningsvektor for linjen.

2. En linje er en geometrisk størrelse, som gar gennem to forskellige givnepunkter A og B, og som har retningen fra A til B.

Vi vil nu benytte disse (ikke særligt præcise, men dog anskuelige) karakteri-seringer til at definere, hvad man vil forsta ved linjer i et vilkarligt vektorrumRn, hvor n ≥ 2.

Definition. Lad der i vektorrummet Rn, hvor n ≥ 2, være givet etpunkt P0 = p = (p1, p2, . . . , pn) og en egentlig vektor r = (r1, r2, . . . , rn).

Ved linjen L, der gar gennem punktet P0, og som har retningsvektorenr forstas punktmængden

L = {P = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | x = p + tr, hvor t ∈ R}.

Vi har her tilladt os at identificere punkterne P0 og P med deres tilhøren-de stedvektorer p og x. Nar man opskriver en linje L pa den ovenfor anførtemade, siger man, at linjen er givet ved en parameterfremstilling, og denvariable t ∈ R kaldes en parameter.

Vi vil herefter gennemga nogle eksempler og se pa den anden karakteri-sering af en ret linje.

Eksempel. Lad P0 = (5, 8,−4, 3, 9) være et fast punkt, og lad vektorenr = (3, 2, 7, 5,−2) være en given vektor i vektorrummet R5. Den linje, L, dergar gennem punktet P0, og som har retningsvektoren r, har parameterfrem-stillingen

x = (x1, x2, x3, x4, x5) = p + tr =

(5, 8,−4, 3, 9) + t(3, 2, 7, 5,−2) = (5 + 3t, 8 + 2t,−4 + 7t, 3 + 5t, 9− 2t),

hvor t ∈ R.Vi bemærker, at punktet Q = (11, 12, 10, 13, 5) ligger pa linjen L: (Sæt

t = 2). Det er endvidere klart, at punktet Q1 = (111, 12, 10, 13, 5) ikke liggerpa linjen L.

Eksempel. I vektorrummet Rn, hvor n ≥ 2, betragter vi nulpunktetO, og de n parvis ortogonale koordinatakser K1, K2, . . . , Kn−1 og Kn, somnetop er de rette linjer, der gar gennem punktet O, og som har retningsvek-torerne henholdsvis e1, e2, . . . , en−1 og en. (Disse vektorer er vektorerne i denkanoniske basis εn for vektorrummet Rn.)

Den i’te koordinatakse Ki har derfor parameterfremstillingen

x = (x1, x2, . . . , xn) = tei = (0, 0, . . . , 0, t, 0, . . . , 0, 0),

hvor t ∈ R.

Vi vil nu benytte den anden karakterisering af en ret linje.

Lad A = (a1, a2, . . . , an) og B = (b1, b2, . . . , bn) være to forskellige punk-ter i vektorrummet Rn. Det er da klart, at den linje, L, der gar gennempunkterne A og B, har vektoren r, som gar fra A til B, som en retningsvek-tor. Altsa er

r = (b1 − a1, b2 − a2, . . . , bn − an),

og linjen L har derfor parameterfremstillingerne

x = (a1, a2, . . . , an) + t(b1 − a1, b2 − a2, . . . , bn − an)

ogx = (b1, b2, . . . , bn) + t(b1 − a1, b2 − a2, . . . , bn − an),

hvor t ∈ R.

Vi bemærker, at disse to parameterfremstillinger er forskellige - men ligegode! Desuden bemærker vi, at vektoren

s = −r = (a1 − b1, a2 − b2, . . . , an − bn)

ogsa er en retningsvektor for linjen L.For øvrigt er enhver vektor v = kr, hvor k 6= 0, en retningsvektor for

denne rette linje.

Eksempel. Lad os i vektorrummet R4 betragte punkterne A = (4, 1, 3, 7)og B = (5,−6, 9, 2). Den linje L, der gar gennem punkterne A og B har ret-ningsvektoren

r = (5,−6, 9, 2)− (4, 1, 3, 7) = (1,−7, 6,−5).

Linjen L har derfor parameterfremstillingerne

x = (x1, x2, x3, x4) = (4, 1, 3, 7)+ t(1,−7, 6,−5) = (4+ t, 1−7t, 3+6t, 7−5t)

og

x = (x1, x2, x3, x4) = (5,−6, 9, 2)+t(1,−7, 6,−5) = (5+t,−6−7t, 9+6t, 2−5t),

hvor t ∈ R.

Hyperplaner

En ret linje i planen og en plan i rummet er karakteriseret ved at ga gennemet givet punkt P0 og ved at sta vinkelret pa en bestemt fastsat retning, somer givet ved en egentlig vektor a 6= 0.Denne karakterisering vil vi herefter benytte til at definere de sakaldte hy-perplaner i vektorrummene Rn, hvor n ≥ 1. I tilfældet n = 2 er en hyperplansaledes en ret linje i planen, og i tilfældet n = 3 er en hyperplan en sædvanligplan i det velkendte 3-dimensionale rum.

Definition. Lad vektorrummet Rn være forsynet med skalarproduk-tet (prikproduktet). Lad der endvidere være givet et punkt P0 = p =(p1, p2, . . . , pn) og en egentlig vektor a = (a1, a2, . . . , an) i Rn.

Ved hyperplanen H = H(P0, a), der gar gennem punktet P0, og som harnormalvektoren a, forstas punktmængden

H = {P = x = (x1, x2, . . . , xn) | a · (x− p) = 0} =

{P = x = (x1, x2, . . . , xn) | a · x = a · p}.

Vi siger, at hyperplanen H har ligningen

a · (x− p) = 0 ⇔ a1(x1 − p1) + a2(x2 − p2) + . . . + an(xn − pn) = 0 ⇔

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = a1p1 + a2p2 + . . . + anpn.

Da a · (x−p) = 0 er ensbetydende med, at vektorerne a og x−p er orto-gonale, kunne vi ogsa have karakteriseret hyperplanen H som punktmængden

H = {P = x = (x1, x2, . . . , xn) | a⊥ (x− p)}.

Lad os se pa et par eksempler.

Eksempel. I vektorrummet R4 betragter vi punktet P0 = p = (3, 5, 1, 2)og den egentlige vektor a = (7, 1,−1, 4). Den hyperplan H, som gar gennempunktet P0, og som har normalvektoren a, har derfor ligningen

a · x = a · p ⇔ 7x1 + x2 − x3 + 4x4 = 33.

Vi bemærker, at nulpunktet O ikke ligger i denne hyperplan.

Eksempel. Vi betragter den hyperplan, H, i vektorrummet R5, somgar gennem nulpunktet O, og som har normalvektoren a = (1, 3,−4, 5, 2), ogvi ser, at denne hyperplan har ligningen

a · x = 0 ⇔ x1 + 3x2 − 4x3 + 5x4 + 2x5 = 0.

Vi ser endvidere, at

x1 + 3x2 − 4x3 + 5x4 + 2x5 = 0 ⇔ x1 = −3x2 + 4x3 − 5x4 − 2x5 ⇔

(x1, x2, x3, x4, x5) = (−3x2 + 4x3 − 5x4 − 2x5, x2, x3, x4, x5) ⇔(x1, x2, x3, x4, x5) =

x2(−3, 1, 0, 0, 0) + x3(4, 0, 1, 0, 0) + x4(−5, 0, 0, 1, 0) + x5(−2, 0, 0, 0, 1).

Vi siger, at denne hyperplan er udspændt af vektorerne

v2 = (−3, 1, 0, 0, 0), v3 = (4, 0, 1, 0, 0), v4 = (−5, 0, 0, 1, 0) og

v5 = (−2, 0, 0, 0, 1).

Vi siger ogsa, at vektorsættet υ = (v2, v3, v4, v5) er en basis for hyper-planen H.

Eksempel. I vektorrummet R3 betragter vi koordinatplanerne π(1, 2), π(1, 3)og π(2, 3), som er givet ved

π(1, 2) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x3 = 0},

π(1, 3) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 = 0}og

π(2, 3) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = 0}.Idet vi betragter vektorerne e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) og e3 = (0, 0, 1)

fra den kanoniske basis for R3, ser vi, at π(1, 2) er den hyperplan, somgar gennem nulpunktet O, og som har normalvektoren e3. Tilsvarende servi, at π(1, 3) er den hyperplan, som gar gennem nulpunket O, og som har

normalvektoren e2, og π(2, 3) er den hyperplan, som gar gennem nulpunktetO, og som har normalvektoren e1.

Lad os herefter betragte den kanoniske basis εn = (e1, e2, . . . , en) forvektorrummet Rn. Den hyperplan H(i), der gar gennem nulpunket O, ogsom har normalvektoren ei, er da givet ved ligningen

x · ei = 0 ⇔ xi = 0.

Vi siger, at hyperplanen

H(i) = {x ∈ Rn | x · ei = 0} =

{x = (x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn) | x1, . . . , xi−1, 0, xi+1, . . . , xn ∈ R}er den i’te koordinatplan i vektorrummet Rn.

Øvelse. Vi har ovenfor set, at enhver hyperplan H i vektorrummet Rn

har en ligning af formen

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = k,

hvor a = (a1, a2, . . . , an) 6= 0 er en normalvektor for hyperplanen, og hvork ∈ R er en given konstant.

Vis, at hyperplanen H gar gennem nulpunktet O, hvis og kun hvis k = 0.Vis, at enhver mængde

M = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = k},

hvor a = (a1, a2, . . . , an) 6= 0, og hvor k ∈ R, er en hyperplan, der har a somnormalvektor.

HESSES AFSTANDSFORMEL

Lad os i vektorrummet Rn benytte det sædvanlige indre produkt, altsa”prikproduktet”. Lad os endvidere betragte den hyperplan H, som er givetved ligningen

a · x = a1x1 + a2x2 + . . . + anxn =n∑

i=1

aixi = k,

hvor a 6= 0 er en normalvektor for hyperplanen H, og k er en given konstant,sa k = a · p for et givet punkt p ∈ H.

Lad nu y ∈ Rn være en vektor, sa y /∈ H. Vektoren y ligger altsaikke i hyperplanen H, og med d betegner vi afstanden mellem punktet y oghyperplanen H. Vi vil nu bestemme en formel for d.

Idet p ∈ H, og idet vi benytter Cauchy-Schwarz’ ulighed, far vi, at

a · (y − p) = ‖a‖‖y − p‖ cos(θ),

hvor θ er vinklen mellem vektorerne a og y − p.

Vi bemærker nu, at

d = ‖y − p‖| cos(θ)|,

hvilket man kan anskueliggøre ved at lave en tegning af situationen i vektor-rummet R2, altsa i den sædvanlige tegneplan. Vi far sa, at

|a · (y − p)| = d‖a‖,

sa

d =|a · (y − p)|

‖a‖ =|a · y − a · p|

‖a‖ =|a · y − k|‖a‖ .

Dette er Hesses afstandsformel, som er fundet af den tyske matematikerLudwig Otto Hesse (1811 - 1874).

Vi vil nu se pa et par eksempler.

Eksempel. Vi betragter den hyperplan H i vektorrummet R4, som ergivet ved ligningen

2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 2.

Vi ser straks, at vektoren a = (2, 3,−1, 5) er en normalvektor for H, oghvis vi betragter vektoren y = (1, 1, 9, 3) er det klart, at

a · y = 2 + 3− 9 + 15 = 11,

sa y /∈ H. Desuden har vi, at

‖a‖ =√

4 + 9 + 1 + 25 =√

39,

og ved at benytte Hesses afstandsformel far vi, at afstanden d mellem y ogH er

d =|a · y − k|‖a‖ =

|a · y − 2|‖a‖ =

9√39

.

Eksempel. Vi vil nu betragte de to hyperplaner H0 og H1 i vektor-rummet R4, som er givet ved ligningerne

H0 : x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = 0 og H1 : x1 + 2x2 − 3x3 − 4x4 = −2.

Da disse to hyperplaner har den samme normalvektor, a = (1, 2,−3,−4),er de parallelle, og vi vil nu betemme afstanden d mellem dem. Det er klart,at denne afstand kan man finde ved at finde afstanden mellem hyperplanenH1 og et bestem punkt i H0. Vi vælger dette punkt til at være 0, thi det erjo klart, at nulpunktet O ligger i hyperplanen H0. Vi far sa, at

d =|a · x0 − k|

‖a‖ =|a · 0− (−2)|

‖a‖ =2√30

,

idet ‖a‖ =√

30.

HYPERPLANER OG INDRE PRODUKTER

Vi har i det foregaende set, at en hyperplan H i vektorrummet Rn er givetved en ligning af formen

a · x = k ⇔ a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = k,

hvor a = (a1, a2, . . . , an) 6= 0 er en normalvektor for H, og hvor k ∈ R er engiven konstant.

Vi bemærker, at hyperplanens ligning er udregnet ved at benytte skalar-produktet (prikproduktet) i vektorrummet Rn. Men vi kunne selvfølgeligogsa have opbygget en ganske tilsvarende teori for hyperplaner ved at havebenyttet et vilkarligt indre produkt.

Lad os derfor betragte et givet indre produkt [·|·] pa vektorrummet Rn.Lad a = (a1, a2, . . . , an) 6= 0 være en given egentlig vektor, og lad P = p =(p1, p2, . . . , pn) være et givet punkt.

Ved hyperplanen H, der gar gennem punktet P , og som har normalvek-toren a forstas mængden

H = H(p, a) = {x ∈ Rn | [a|x− p] = 0} = {x ∈ Rn | [a|x] = [a|p]}.

Vi siger, at ligningen

[a|x− p] = 0 ⇔ [a|x] = [a|p],

er en ligning for hyperplanen H.

Lad nu H være en hyperplan med ligningen [a|x] = k, hvor k = [a|p],og lad y være en vektor (eller et punkt, skulle vi maske snarere sige), somikke ligger i hyperplanen H. Vi kan nu let og elegant generalisere Hessesafstandsformel, hvor vi for prikproduktet benytter det givne indre produkt,og vi ser sa, at afstanden d mellem punktet y og hyperplanen H er givet vedformlen

d =|[a|y]− k|

[[a]].

Vi slutter dette afsnit med at se pa et eksempel.

Eksempel. Lad os i vektorrummet R4 betragte det indre produkt, somer givet ved

∀x, y ∈ R4 : [x|y] = 2x1y1 + x2y2 + 3x3y3 + x4y4.

Lad a = (1, 2,−3, 4) og lad P = p = (3, 0, 1,−1) være en given egentligvektor og et givet punkt. Den hyperplan H, som gar gennem punktet P , ogsom har normalvektoren a, har ligningen

[a|x] = [a|p] ⇔ 2x1 + 2x2 − 9x3 + 4x4 = −7.

Punktet y = (2, 1, 4,−1) ligger ikke i hyperplanen H, thi [a|y] = −34.Idet [[a]] = 7, er afstanden d mellem punktet y og hyperplanen H givet ved

d =|[a|y]− k|

[[a]]=| − 34− (−7)|

7=

27

7.