azzamengineering.files.wordpress.com filecreated date: 2/23/2013 7:18:54 pm

lIIII

I.:

I1.t--

;,' '

.':;i

I ,i:'

"_rr ;.-!' . I

'. --F.:

-%i_-.__,ERPUSTAKAANiI JAWA TIMUR

'h

€

.n}.*

:il*F. .:-

t /t-t,-t

'[4t .* te

=*' i*

i,:4

q

llt1//

@LPPil

Universitrs,ltisten PETRA Surabaya

'i

Pengantar

AI{AIISffi DII{AIIIIS DAI{ GEIIIPA

BenjaninLunantarna

Diterbi&an Atas Kerjasama

t Oleh: Be4iomin Lumontarno

Hak Cipta @ 2000 Pda Penulis,Dilarang memperbanyah *bagian atau seluruh isi buhu ini

dalam bentuh apapun, tanpa izin brtulis furi penulis.

Edisi PettamoCetahan Pettuma, 20(NCetahan l{edua, 2001

Pencrbit:I*mbaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakot

llnitsersitas Kristen PETRA Surabayo

don

Al,lDIJl. tu 88-40,

Tetp. (02?4) 561881 (Hunting), Fax (0274) 588282Yogalcarto 55281

Percelaharu-AT{DI OFFSWJl. b g8-40,

Telp. (02?0 561881 (Hunthw), fax (0274) 588282Yog&araa 55281

Pcrpuctahoan N asional: Katalog Dolam Terbitan

LUMANTARNA BeniamtnPengontar arwlisis dinamb dan gempa/knjaminLumantorrw' 8d.1. Cet.2 - Yogyakarto: Andi' 2001

uiii+ 108 hlm .; 16 r 23 cm.

Ditcrbithan atas herja soma lzmbaga Penelitan danPengobdian Kepada Masyarakat Uniuersitas KristznPetra Surabaya

ISBN: 979533-664.9

I. Judul1. AI,IALISilS DIN AIt'IIS2. GEMPA

DDC'21:624.1762

FIAYffi T.a. zoo

TrATA PEI|GAIT"AR

Buku ini merupakan perkembangan dari diktat kuliah da-sar-dasar Perencanaan Bangunal Tanah Gempa yang dibirikanpada Fakuitas Teknik Jurusan Sipil Universitas Kristen Petrasejak tahun 1980.

Materi dari buku ini dibagi menjadi dua bagian besar, yaituAnalisis Struktur Secara Dinamis dan Dasar-dasar PerencanaanBangunan Terhadap Gempa. Bagian Pertama, membicarakandasar-dasar perhitungan struktur dengan pembebanan dinamisbaik secara eksak maupun dengan cara pendekatan. BagianKedua membicarakan dasar-dasar perencernaan bangunan ter-hadap gempa dengan perhitungan secara dinamis.

Buku ini diharapkan dapat menjadi batu loncatan untukmempeiajari analisis dinamis maupun perencErnaan bangunanterhadap gempa secara lebih mendalam.

Surabaya, April 1999

Benjamin Lumantarna

DAI'TAR ISI

KATA PENGANTARDATTAR ISIBAGIN{ PERTAMAAT{ALISIS STRUKTUR SECARA DINAMIS1.1 Pendahuluan1.2 Idealisasi Struktur Dengan Massa Dan per1.3 Struktur Elastis Dengan Derajat Kebebasan Satu

1.3.1 Integrasi dengan Cara Numerik1.3.2 Contoh Perhitungan dan Soal-soal l"atihan1.3.3 Cara Numerik Lain

1.3.3.I Cara Percepatan dan Kecepatan Linier1.3.3.2 Cara p dari New Mark

1.4 Struktur Elastis Dengan Derajat Kebebasan Banyak1.4. I Contoh Perhitungan

1.5 StruktuyElastoplastis Dengan Derajat Kebebasan Satu1.5. 1 Contoh Perhitungan

1.6 Penyelesaian Analitis Struktur Elastis Tanpa DampingDengan Derajat Kebebasan Satu1.6.1 Getaran Bebas

1.6.1.1 Naturai Period1.6. 1.2 Natural Frequency

1.6.2 Getaran Tak BebasL.6.2.1 Beban Impuls' L.6.2.2 Beban Sebarang

1.6.3 Faktor Beban Dinamis1.6.3. 1 Contoh Perhitungan

iiiv

II2348

L2L213L416202l

232425262627282930

vr Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

1.6.4 Gerakan pada Pondasi1..7 Penyelesaian Analitis Struktur Elastis Dengan Damping

Dengan Derajat Kebebasan Satu1.7.1 Getaran Bebas dengan Damping

1.7.1.1 Dua Akar Nyata, P t I1.7.1.2 DuaAkarlmajiner,9 . t1.7.L.3 Satu Akar Nyata, p = 1

1.7 .7.4 Karakteristik Struktur dengan Damping1.7.2 Getatan Tak Bebas dengan Damping1.7.3 Getaran Tak Bebas dengan Beban Harmonis

1.8 Penyelesaian Analitis Struktur Dengan DerajatKebebasan Banyak1.8.1 Getaran Bebas Struktur dengan Derajat

Kebebasan Dua1.8.2 Getaran Bebas Struktur dengan Derajat

Kebebasan Banyak1.8.3 Natural Frequency dan Mode Shape

1.8.3.1 Cara Holzer1.8.3.2 Cara Jacobi

1.8.4 Sifat Orthogonal Mode Shape1.8.5 Persamaan Modal1.8.6 Struktur Berderajat Kebebasan Banyak dengan

Damping1.8.7 Gerakan pada Pondasi

BAGIAI{ ITEDUADASAR PERTNCAT{AAN BAI{GI'NAN TERIIADAP GEUPA2.1 Pendahuluan

2.1.1 Stmktur Bumi dan Daerah Gempa2.1.2 Istilah-istilah yang Banyak Digunakan

2.L.2.1 Seismograph2.1.2.2 Seismogram2.1.2.3 Focus atau Hypocenter dan Epicenter

2.1.3 Mekanisme Te{adinya Gempa2.1.4 Ukuran Gempa

2.1.4.1 Magnitude2.1.4.2 Energr2.t.4.3Intensity

2.2 Perencanaan2.2.1 Response Spectrum2.2.2 Modal Analysis

37

3840474t43434545

50

50

545555626466

6869

7L7l72737373767678797980818393

Daftar Isivlt

2.3flat-Hal Yang Harus Diperhatikan Daram perencanaanDATTAR PUSTAKAAPPEI$DIXSIITDEKS

94'99101

105

BAGIAN PERTAMA

N{ALISIS STRUKTI'R SECARA DINAMIS

l.l PENDATIT'LUAII

Dalam bagran ini akan dibahas dasar-dasar analisis danperencanaarl struktur terhadap beban dinamis, yaitu suatubeban yang berubah-ubah sesuai dengan waktu.

Meskipun sebagian besar dari bangunan sipil dapat direnca-nakan dengan baik dengan memakai anggapan bahwa bebanyang dipikul adalah suatu beban statis, nzunun ada beberapa haldi manh perhitungan secara statis tidak dapat dipergunakan.Misainya:

Pembebanan akibat getaran mesin;Pembebanan akibat beban bergerak, seperti beban yang ter-jadi akibat beban kendaraan yang bergerak pada jembatan;Pembebanan impak, seperti akibat ledakan; danPembebanan akibat tedadinya gempa.

Sebenarnya tidak ada satu bebanpun yang dat'at dikatakanstatis, kecuali berat sendiri. Namun demikian jelas bahwa bilaperubahan beban cukup kecil (perlahan-lahan), maka efek dina-mis tidak akan terjadi. Dengan demikian beban tersebut dapatdianggap sebagai beban statis. Seperti akan dibicarakan lebihlanjut dalam bagian lain buku ini, ternyata bahwa waktu getar(natural perioQ dari bangunan adalah suatu parameter yangsangat penting. Besar atau kecilnya suatu perubahan pembeba-nan harus dibandingkan dengan waktu getar untuk menentukanapakah suatu pembebanan bersifat dinarnis atau statis. Wa}<tu

a.b.

c.d.

Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

getar secara sederhana dapat didefinisikan sebagai waktu yangdibutuhkan oleh suatu bangunan untuk melakukan satu siklusgetararr.

Pembahasan analisis dinamis dimulai dengan idealisasi daristruktur yang kemudian dilanjutkan dengan pembahasar penye-lesaian dengan menggunakan cara numerik (numerical analysi$.Hal ini dilakukan karena pada umumnya tidak ada satu bebandinamis pun yang dapat dinyatakan dalam suatu bentuk mate-matis yang sederhana sehingga dapat diselesaikan secara eksak.Penyelesaian dengan cara numerik ini dibahas terlebih dahuluagar pembaca tidak tenggelam dalam rumus-rumus matematikasehingga kehilangan pengertian frsik dari persoalan yang dihada-pi. Dengan demikian pembaca diharapkan akan dapat merasakanarti fisik dari bermacam-macarn pembebanan dan merasakanperbedaan antara arralisis statis dan dinamis sedini mungkin se-belum menggumuli penyelesaian eksak yang lebih sulit.

1.2 IDE.ITLISASI STRUKTTIR DENGAI{ MASSA DAN PER

Pada umumnya struktur-struktur yang akan ditinjau selaludapat diidealisasikan sebagai hubungan massa dan per sebagai-mana dapat dilihat dalam Gambar 1. Gambar l.a menunjukkansuatu massa M yang diletakkan di atas suatu balok yang terletakdi atas dua buah perletakan dan dibebani dengan suatu bebandinamis F(t). Struktur ini dapat diidealisasikan scbagai suatusistem massa dan per yang mempunyai massa sebesar M [kg] dankonstanta per sebesar k [N/m] dengan beban F(t] [N]. Garnbar l.bmenur{ukkan suatu portal yang juga diidealisasikan denganmassa dan per.

r t.l

(a) (i)

Ganbrr L. Idalissi massa dan per

l-r,tLT,Jqtfu,_&H* *1,

_ Konstanta per k dicari dari kekakuan struktur yang bersang-kutan, yaitu dengan mencari besar gaya yang dibuiuhfan untukmenyebabkan pergeseran (dellectiorl sebesar satu satuan. caramencari konstanta per ini akan dibicarakan lebih lanjut dalambagian lain buku ini.

cara idealisasi struktur dengan massa dan per ini tidakdapat dipakai bila massa strulntur yang ditinjau terb-agi rata padaseluruh struktur. untuk mempelajari anatisis ainimis untukstrulrtur dengan massa yang merata, pembaca disarankan untukmempelajari referenbi pada daftar pustaka [1, 2, 3].

1.3 STRI'I(TUR EL/ISrIS DENGAII DIRA'AT XEBEBASAIYSIATU

struktur dengan derajat kebebasan satu (srngy'e Degree ofFreedom sJrtem, sDoF) adalah suatu struktur y"ng trnya dapatbergerak dalam satu arah sehingga kedudukan-dari-sistem terse-but dapat ditentukan dengan menggunakan satu koordinat. Ke-ldaan ini ditunjukkan dalam Gambar 2 di mana massa M hanyadapat bergerak datam arah vertikal (sumbu y).

Itt

l rlll

1,,,,(b)

1,,

lto

?(c)(a)

Glnblr 2. Sflrttktur elastis dengan der4iat kebebasan satu

Fengantar Analisis Dinamis dan Gempa

Persamaan gerak (yang merupakan. persamaan diferensial)dari sistem ini dapat dicari dengan menggunakan persamaankeseimbangan gaya sebagai berikut (gambar 26):

F(t)-ky=My (1)

Dalam persamaan di atas dua titik di atas y menyatakan tu-runan kedua da;r y, atau dalam hal ini adalah percepatan massaM dalam arah y.

Cara lain untuk mendapatkan persarnaan 1 di atas ialahdengan menggunakan prinsip D'Alembert untuk keseimbangandinamis {Dynamic Equilibriuml. Dalam prinsip ini pada suatumassa yang bergerak diberikan suatu gaya imajiner yang berupagaya inersia (inertia forcd sebesar M y dalam arah yang berla-wanan dengan arah gerak. Problema tersebut kemudian dapatdipandang sebagai suatu problema statis (Gambar 2.c). Dengandemikian akan diperoleh persamaan gerak sistem tersebutsebagai:

r(t)-t<'y-Mji=o 12)

Jelas bahwa persamaan 2 sama dengan persanaan 1.

Persamaan gerak I dan 2 yarrtg merupakan persamaan dife-rensial, dalam haf-hal tertentu dapat diselesaikan secara anaiitis.Namun demikian pada umumnya harus diselesaikan secara nu-merik, yaitu dengan menggunakan integrasi dengan cara numerik(Numerical Integration). Berikut ini akan dibahas penyelesaianpersamaan diferensial dengan integrasi dengan cara, numerik.

1.3.1 Integrasi dengan Cara IitumerlL

Ada bermacam-macam cara yang dapat digunakan dalamcara numerik ini. Secara umum penyelesaian dengan cara nume-rik menyelesaikan persamaan diferensial setapak demi setapak(step by s/ep dimulai dari waktu t = O di mana keadaan awal(Initial Condition$, perpindahan tempat dan percepatan biasanyadiketahui. Dalam cara ini kurun walrtu yang akan diselesaikandibagi-bagi dalam suatu interval waktu tertentu, 6 t, untukkemudian diselesaikan secara bertumt-turut dari satu waktu kewalrtu berikutnya. Untuk bergerak dari waktu ke waktu ini dapatdigunakan bermacam-macam anggapan. Dalam bagian ini akandibahas suatu cara yang sangat sederhana, yaitu cara KecepatanTetap (Constaat Velocityl.

Analisis Struktur secara Dinamis

.f-l 5 S+t

(a) (b)

Gambar 3. Constant Velocity

Dalam cara Kecepatan Tetap ini dalam suatu interval waktutertentu, 6 t, kecepatan y dianggap tetap (konstan). U"iut mem_pelajari cara ini perhatikan G;b; 3. Gambar 3.a menunjukkanhubungan antara perpindahan -tempat, y, terhadap waktu, t. Se_dangkan Gambar 3.b menunjukr<an hlb;d;;;;';.rcepat_an, y , terhadap waktu, t. Misalnya, telah Ot *t

"l, yl, p.rpirr_dahan tempat pada waktu t = ts dan ys_r, perpindahan tempatpada walrtu t = ts-r maka percepatan p"a" *.f*" , = ," Sr ",

dapatdiperoleh dari persamaan gerak (1,2) sebagai:y" =(p(t") -rv(t"))lrra (3)

. Dengan menganggap bahwa kecepatan dalam suatu intervalwalrtu adal1h tetap mala perpindahan tempat y dalam intervarwaktu tersebut merupakan suatu fungsi rini"r l"hi"a; y padawaktu t = tc+r dapat ditulis sebagai:

Ys+l = y" + y", 6t g)Di mana y., adalah kecepatan rata-rata dari t = te-r s4rlpai t = t":y., = (I" -y"-r)7at+y" ot (s)

.. . r."r*"r, memperhatikan persamaan S, persamaan 4 dapatdiubah menjadi:

Ie+r = 2y" -Ir-r +y(Ot), (6)

Persamaan 6 bcrarti bila perpindatran tempat pada duawaktu yang benrrutan, yaitu pada wakhr 1 - tc, Y", dan waktu t =

1"-1, y*i, d1gh diketahui, perpindatran tempat yang berikutnya,*aktu t = L*r juga daPat dicari.

Dengan demikian perpindatran terrpat dari sistem yang ditin-iau dapit dicari setapak demi setapak dengan menggunakan per--""*""r,

6 bila perpindahan tempat awal (initial displacemen4 dansatu perpjndahan tempat yang berikutnya telatr diketahui'

Dua cara untuk mendapatkan dua perpindahan tempat yangpertama akan dibahas berikut ini. Pada cara yang pertama, padasaat t = 16, keadaan awal dapat ditulis sebagai berikut:

Yo-0yo=0 l7l

jio = F(o)lM

Karena percepatan dianggap tetap dalam satu intenral, maka:

yr = 0.5 ji" (at)' (8)

Dalam cara yang kedua, percepatan dianggap bembah secara

linier sampai at<trir dari interval yang pertama. Dengan demikianbila percepatan awal yoadalah nol, yrdapat diperoleh sebagai

berikut (Lihat Gambar 4):

!i

fl

Giaabar 4z Keadaan awal

i--""dr i


Dari t = t6 sampai dengan t = tl,iift)= ii,(tlot)Sedangkan:

y(t) = 115i(t)at at

jir = F(t)/nr

T =2n(naTrcp

Penurunan rumus tersebut diatas akan dibicarakanbagran lain buku ini.

Ketelitian cara anarisis numerik sangat tergantung dari peng-ambilan interval 6t. semakin kecil inierval v"rrg dpiur, -akan

semakin teliti hasil perhitungannya. pemilihan besar interval inidapat dilakukan denga, cara mencoba-coba sampai akhirnyadidapatJ<an hasilyang optimum. Biggs[l] menganjurkan untukmemakai intervat 6t sebesar sepersepulutr aari natural period., T,dari sistem yang ditinjau.

Natural period, T, dari suatu sistem dengan derajat kebebas-an satu dapat dihitung sebagai berikut:

l ''

(e)

(10)

Dengan mempergunakan batas-batas integrasi 0 dan 6t danmemperhatikan persamaan g, persamaan 10 dapat diselesaikansebagai:

Yt =L/6ji, (ot), (11)

Perhatikan bahwa persamaan 11 ini memerlukan iterasikarena f , tergantung pada yr (persamaan 3).

- Biggs[U penganggap bila beban dinamis yang diberikan F(t]adalah nol pada keadaan awal, cara kedua nalus digunakankarena percepatan awal y6 adalah nol sehingga yr juga nol. Teta_pi bila kita perhatikan bahwa interval waktu 6t yang diperguna-kan tentunya cukup kecil maka'kesalahan y*g it"r, terjadidengan menganggap yr adalah nol tidaklah terlalu 6erarti. OenianT-g.uTe".B$ VanS sama, iterasi dalam persamaan t I juga dalatdihindari bila:

lt2l

(13)

dalam

MILIEBadan PerPusnlaan

1.3.2 Contoh Perhltungan dan Soal-sod Latlhan

Untuk mendalami lebih lanjut cara perhitungan numerik ini,akan dibahas suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satuyang mempunyai massa sebesar 2 kg dan kekakuan per sebesar20O0 N/m seperti terlihat dalam Gambar 5.a yang dibebani deng-an beban dinamis F(t) seperti terlihat dalam Gambar 5.b. Bebantersebut diberikan dari keadaan tidak bergerak.

(a) (b)

Gambar 6. Contoh

Natural period sistem tersebut dapat diperoleh dari rumus 13sebesar 0.198 detik sehingga interval waktu 5t dipilih sebesar0,02 detik. Karena sistem dalam keadaan awal tidak bergerakmaka untuk t - 0,0 detik, y = 0,0 m dan untuk t = 0,02 detik(interval pertama), y dapat dicari dari rumus 8 sebesar 0,005 m.Selanjutnya dapat dicari percepatan pada waktu t = 0,02 detik,jir, dd rumus 3. Setelah y, dicari maka perhitungan dapat di-lanjutkan untuk langkah berikutnya, yaitu untuk t = 0,04 detik.Perpindahan tempat untuk t = 0,04 detik, yz, dapat dihitungdengan rumus 6, kemudian dicari y2 Selanjutnya perhitungandapat dilakukan setapak demi setapak sampai waktu yang di-kehendaki. Penyelesaian soal ini sampai t = 0,34 detik ditun-jukkan dalam Tabel 1 yang secara grafrs dapat dilihat dalamGambar 6. Suatu program komputer sederhana untuk menyele-saikan soal ini dapat dilihat dalam Apendiks I.

,, det

Analisis Stfuktur secara Dinamis

e.r O,Z 0.3,, det

Gambar 6. Respons contoh lDalam Gambar. 9,..gd" yang terpotong_potong menunjukkan

Troinqa6* tempat bila soar terlebut di aLs aiseiesaita' secarastatis. Perhatikan bahwa perpindahan tempat maksimum yangterjadi bila diperhitungkan seca.a dinamis adaiah r,s9 kali lebihbesar dari perpindahan maksimum yang terjadi bila diperhitung_kan secara statis. I*"-"1 -g1ya y;g iegaai.dalam i", ,rrrt tkeadaan tinier elastis adalah ueruanalg r"*" a;G^J;.sarnya

ge-ry-ilaahan tempat -"k1 gaya yang terjadi dalam [er iuga i,SOkali lebih besar dari gaya ltuar) siatistaksimum. reinatitan putabahwa setelah beban menladi konstan maka gaya dalam perberubah-ubah secara sinusoiaa-I.

. Gerakan yang terjadi g3da massa sistem dinamis yang ditin_jau dapat dihitung dT- {li}"t dengan menggunakan programGempa ii yang dibuat oteh Raharjo aai Stevanri [01.

perhitunganslatis = F/k

10 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

\oo,ts

li

>r

aRiE EHEEs sEE:E EEESqqe qqqqq :::q(.o;dod dodcjcj 9?god dcict

N

:>r33geE :EEge 3sEE3 BBcjoog? q999d dddcjg 99

t-o,tr

LrX

ooooQ qqqq! qqqa'1sKsls qqq;N S$3*$

qd?o(f)\ftott

>')ooo

oooo 16++99,^ Q99o- torrl.;Ri6 p$es"i $$T:; sR

s

lOOt'.rOrOnl.f)c)olNC.l

lorotolJ.)|o lolJ)N C-{ e.l e-l e{ C-{ 6Itoolr)oto6r(Y)(Y)++

ooo+J

aNt@O Oe{+rroO Oe.{+\99Q a!ltYd666 =;;;; clc{oIe{e.t tocotf)o;-;- ooocici ciocicro ooo ooia

I

{).o({F

Anaiisis Stmktur secara Dinamis

Soal-sod Iatthan1. Sistem elastis dengan derajat kebebasan satu seperti Gambar

7.a dibebani dengan bermacam-macarn beban seperti terlihatdalam Gambar 7.b sampai dengan 7.e. Carilah gerakan (reslponse) sistem tersebut dengan menggunakan cafa numerikuntuk bermacam-macarn variasi dari t /T: O,l, 0,2S, O,S, 1,0dan 2,0, dan 6t/T sebesar 0,1 dan 0,2.

11

f O0O k9,/trt

*n, (b)

'oo\0",

(c) tr

tr(e)

Ganbar 7.

Untuk sistem elastis seperti soal I tersebut gunakanlah ber-macam-macam cara untuk mencari perpindatran tempat un-tuk interval yang pertamd, yr, kemudian bandingkanlah deng-an hasil yang didapatkan dalam soal 1.Suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satu diketahuimempunyai natural period sebesar I detik. Bila untuk pem-bebanan seperti terlihat daiam Gambar T.c.didapatkan per-pindahan tempat statis maksimum sebesar 2 cm, tulislah per-sarnaan gerak sistem tersebut dan kemudian carilah gerakansistem tersebut dengan menggunakan cara numerik.

(d) tr/r

F(t'l

3.

t2 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

1.3.3 Cara Nunerlk Laln

Cara kecepatan konstan yang telah dibahas di atas merupa-kan cara sederhana yang dapat memberikan hasil yang cukupbaik dengan memakai interval waktu yang cukup kecil. Selaincara kecepatan konstan tersebut masih terdapat banyak caranumerik lain [1, 3, 7, 8] yang dapat dipakai, antara lain: Carapercepatan dan kecepatan linier dan cara p Newmark.

1.3.3.1 Cara Percepatan dan Kecepatan Llnler

Pada umumnya bila percepatan dianggap linier maka kece-patan akan dianggap kuadratis (Lihat cara percepatan linierdalam Daftar Pustaka, 1 dan 8). Dalam cara ini 17, 81, meskipunpercepatan dianggap sebagai sesuatu yang linier, kecepatan jugatetap dianggap linier, sehingga hubungan antara percepatan dankecepatan dengan perpindahan tempat dalam suatu intervaldapat diturunkan sebagai berikut. Perhatikan Gambar 8 yangdapat dianggap sebagai grafrk dari fungsi percepatan maupunkecepatan terhadap waktu. Kecepatan pada waktu tz, Yz, dapat

diperoleh dari kecepatan pada waktu tr, Y r, dan percepatanpada intenral waktu tersebut sebagai:

jjz =!tt+lydt (14)

Bila percepatan dalam interval waktu 6t dianggap linier makaintegrasi dalam persamaan 14 di atas, yang merupakan luas dibawatr fungsi yang diintegrasikan, dapat diganti dengan(i,z + 9r \ tt 1Z sehingga persamaan 14 dapat diganti meqiadi:

i'z =2(itt -f ,)/6t- ji,

Dengan menganggap bahwa kecepatan dalam interval waktu6t linier, maka dengan cara yang sama akan diperoleh:'

i'z =2(lz -vr)/6t-ir '' (16)

Dengan menggunakan persamaan 15 dan 16, persamaangerak (2) untuk t = t2 menghasilkan:

(+r"r(a0'*t)v, =+u7(ot)2 y, +2Ml(6t)y, *My, +F(tr)

Persamaan 17 menunjukkan bahwa y2 atau Yn dapat diper-oleh bila data sebelumnya yt atau yn-r diketahui.

(1s)

(L7l

Analisis Stmkhrr slecara Dinamis

Cara ini dalam beberapa kasus tetah dibulrtikan memberikanhasil yang sangat baik [7, 81.

Gambar 8. Percepatan dan kecepatan linier

1.3.3.2 Cara 0 dari l{ewmark

Cara yang dikembangkan oleh Newmark [1, 3, 8] ini dapat di-tuiiskan sebagai berikut:

y z = yt + 6t $, + 9,) lZaarr

yz =yt +6ty1 +(o.S-g)ji, (ot)2 + gg,rz(at)2

Dalam persamaan di atas, p merupakan suatu variabel yangmenyatakan variasi dari percepatan dalam suatu interval walrtu.Newmark, daiam penelitian yarlg telah dilakukannya [3], menyim-pulkan bahwa hasil yang terbaik dapat dicapai dengan memakaip antara 1/6 sampai dengan \/a dan internal walrtu 6tantara1/6 sampai dengan 1/5 dari Natural Period yang terpendek.Penyelidikan lebih lanjut menunjukkan bahwa p sebesar I/6merupakan cara percepatan linier (dan kecepatan kuadratis) [3].

l3

(18).

I

t4 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

1.4 Sf,RT'KTI'R ELITS}TIS DENGAI{ DERAJAT KEBEBASANBAITYAK

Setelah mempelajari stmktur elastis dengan derajat kebebas-an satu, struktur elastis dengan der4jat kebebasan banyak (MultiDegree of Freedom System, MDOF) adalah suatu perluasan yangsederhana. Untuk mbmpela.jari hal ini, perhatikan suatu strukturelastis dengan derajat kebebasan dua seperti terlihat dalam Gam-bar 9. Persamaan gerak dari masing-masing massa dapat denganmudah diperoleh dengan menggunakan cara keseimbangan dina-mis sebagai berikut:

nonffn,nu,,

n,

trVz-ntl lurn

trI

f.(tl

G.Eb.r 9, Stulrturelastis dengw deniat kebebasn 2

Mr iir +kr yr -kr(yz-yr)-F, (t)=9

Mz i, z +kz $ z-yr)- Fz (t)= o

yang dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

Ui+Ky-F- 0

(le)

(20)

F.ltl

Anaiisis Struktur secara Dinamis 15

di mana:

![=

y?=

* =[(k, *kr) -ur1

L -kz kz')r. =(F, (t) r, (t))

[M, olIo u,]'(v, y z),

Dalam persamaan'di atas dan selanjutnya, huruf yang dite-lalkan merupakan tanda matriks. Matriks-kekakuan- Kiapatdicari dengan mudah dengan memakai definisi dari angka keka-kuan (perhatikan Gambar 10). Seperti telah diketahui elemen-elemen dari matriks kekakuan K, krr, kv, kzz dan seterusnyamempunyai arti sebagai berikut:kii: adalah gaya yang diperrukan pada massa i untuk memin-

dahkan massa i sebanyak satu satuan bila semua massayang lain ditahan pada tempatnya masing_masing.

kii: adalah gaya yang diperlukan untuk ,rrenahan ,i"""" j bilamassa i dipindahkan sebanyak satu satuan sedangkansemua massa yang lain ditahan pada tempatnya maiing_masing.

r :kr *ke

lx'

HH.

kr

kr z:-kz

kz r =-kakzz=kz

r2lt'l

Genbar lO. Menc*i matriks ketrakuan K


Dengan berpedoman pada definisi ini maka krr' krz dan keka-

kuan.kekar.""or"i""vad.apatdicaridenganmudahsepertiterli-hat dalam Gambar 10.

Penyelesaian numerik persamaan gera\ sistem dengan dera-

5at teUeUa""t U"rty"t dapat dengan mudah diturunkan dengan

mengikuti "*. vuiig did"U"" plda sistem dengan derajat kebe-

basan satu' '

Untukpenjetasanlebihlarrjut,perhatikancontohperhitung-an di bawah ini.

1.4. 1 Contoh Perhituagan

Fr(t) = 0Fz(t) = 2o0 N

Mr=2kgMz=1kBkr = 400O N/mkz = 2000 N/m

Gambar Lt. Contoh

Perhatikan sist-em dinamis dengan derajat kebebasan dua se-

perti yang terlihat p"a" C"*Uar 1I Dari dlta yang teriihat pada

Gambar S, p"r""*^u',' geratt d'ari sistem dapat ditulis sebagai:

Mi+Ky-r(t) = o Pl\

Fzltl

Analisis Stnrkarr secara Dinamis

di mana:

atau:

i=-K'y+F'di mana:

l22l

:1

_ Persamaan 6 yang diturunkan untuk sistem dinamis denganderajat kebebasan satu juga berlaku untuk kedua perpindahantempat, yr dan yz Dengan demikian dalam bentuk matriks dapatditulis sebagai berikut:

Ir+r = 2 !. -yr_r +r. (6t)2 (23l,

Periu diperhatikan di sini bahwa:a. Karena sistem yang ditinjau mempunyai derajat kebebasan

dua maka periode sistem ini ada dua buah, yang dalam hat iniadalah 0,2 detik dan 0,1 detik, sehingga interval waktu 6t ha-rus diambil0,1 dari periode yang terkecil, yaitu 0,1*0,1 = O,O1detik. Cara menghitung periode untuk struktur elastis d.engandera,jat kebebasan banyak akan dibicarakan kemudian.

b. Untuk yzr, karena adanya gaya pada M2, dapat dipakai rumus8:

yzi = 0.5 yro (6t)' e4)sedangkan untuk yrr, karena pada waktu t = 0, F(to) = 0,maka dapat dipakai rumus:

t7

K =1ooo l@*z\ -21

L -2 2J

y'=(yr yz)"

=[; :],f, =(O 2OO),

rc = M-r" =[T i],*.[_',r =rooo [3 - tl

L-2 2)

trF = M-r "

=r* [?]

eilm

yrr = jirr (ot)2 7o (25)

yang harus diselesaikan secara iterasi. Tetapi sekali lagi

aitegaskan di sini, bila 6t diambil cukup kecil, meskipun me-

makai rumus 24, di mana yrr = 0, maka tidak akan terdapatperbedaan Yang besar

Dalam v'ariabel Yr dan Yzr di atas index pertama menunjukkannomor massa. a-an inaex kedua menunjukkan nomor langkah.Jadi yu adalah perpindahan massa no 1 (Mr) pada langkahpertama, t = tr.

Hasil perhitungan untuk contoh soal ini ditunjukkan dalam

tabel 2, yatg ""c"ia

grafis ditunjukkan datam Gambar 12' BilaGambar iZ Eipertratitr,, lebih lanjut maka akan terlihat bahwaperpindahan tempat yr dan yz trerubah-ubah dalam bentuk yang

[.ii"ir Sinr4geffal aengas plrioa" + O.2 detik, yaitu natural pe-

riod yang per.ta*" liundamentat peiod\. Dengan demikian dapat

alsimpuil<ar{ bahwa'mode'i'ang pertama (mode yang berhubungan

h""g"tt natural period yang pertama) memberikan penganrh ter-

Lg; terhadap p"rg"r"t "t iati

"i"t"to yang ditinjau. Hal ini akart

dijelaskan teUitr-taqiut dalam bagran train buku ini'

0.30

0.25

0.20

.0.r 5\

0.to

o.o5

o.t0t, ,.c

tz(fz-rtl.ar'3O311 (n).., c J!4

Cranbar L2, Simpangan massa I (yil dan massa 2 (yz)

19Analisis Struktur secara Dinamis

€9Fat \O\O6l€c! q=!al,-o\ =\Ot*6tF 6\to\\o6t€ tr6rh mo\FNF o\Fo\rj6 .i(aQ(IlI_-O 6st*m ci-rui+ a.{an6N6 o-OOO- -iiiJ jJi:.; ;6Oci6 6o

ooooo ooooo <i<iooo da6a6 6a

tlgsg 3s3e$:t€eh= =.,Q€\o rhSqEI 9RHXX RERFR 9iEEE E:odooo ooooo ooooo ooooo oo

c{

taN:>

E=!eE gsEEE gEB=E EEEEE Idcidd? 9"9?9 qg99g goocjct -

C.l:>t FEEs; g66Sq qf 6EB r-eEs E :

E<)6l

oRR$E g88SR 3f888 fiB9H- c',-Gl 6tN6tNN N6ta!ma{ 6t=-

"3=E: gE3:E :::59 E5EgB\O O\or88"+

N

?,o

:>EEEE egEBs 3:gEE ggEEE g

ooooo oo??? 999?o ooooo o

rh oesGp sRFST $;Sr$ sssR^ 6,

?'

ooo

cC)tsrrlq9 h€66th tO\r.i6 O\€o-6FO orir<f+o oo=hr

^O.rORe

o8at

ood'!ls RSENA RR:Eg BRr-^ r

6q88 385t9 e=3r= :ex=e 8Fooooo dcjddd d<iooo cjcjcjdd d;

€go

olloe..=[9 ll-!E*s}H6AE*h\-

xilll >'-+

a*

Nc).oc,F

Menarik juga untuk memperhatikan bahwa gaya per yang

terjJiaJam"pi r;JA 2,67'L<attlebih besar dari gaya yang di-

berikan. Gaya yangl"qi"ai a"Um per-2 adalah 1'53 kali lebih be-

sar. Dari sini dapat ail-Uif kesimpulan bahwa gaya yang dlTm-

bulkan karena p"*U.UL"tt yang diueAkarr secara tiba-tiba akan

i;i; ;bih G""i d;;t; vane Ie'jadi bila pembebanan diperhi-

tungkan secara statis'

1.5 STRT'ITTTIR EI,A$TOPLASTIS DTNGAII DERA"IAT KEBF'

BASAI{ SATU

Suatubatrandinamakanmempunyaisifatelastoplastisbiladiagram tegangan-regangan (atau gaya-simpangan) dapat digam-

barkan seperti Cam6"t -13,b' Diagram gaya simp3ttgl" tersebut

menunjukkan bahwa sebelum m"ncapai Rm (disebut batas elas-.ti.s),;;;

b"rsifat u"i"t "r""1is, .sedangi<an.

selelal *:::T"i batas

elastis, R-, Per menjadi plastig aa1 ti{a} d"P"t l:lerima tam-

ffi;' g.y"'t"bit lairjut.- Setelah plastisitas tercapai, gaya yang

diberikan dikurant (aU"n'Ut' unloading) sehingga.-simpangan

akan berku.*g 3""g* sifat linier-elastis. Perhatikan bahwa

meskipun g^yu' y*g iiU"ti5"" telah menjadi nol kembali' narnun

masih akan terdap""t "i"" simpangan yat'g tia"t d39at kembali ke

nol. Unloading ini Japat ditatui<an ierus sampai tercapai batas

elastis daiam arat, yat'g berlawanan' -R-'

(a

(cI ' r.'ccrn

,i

Garnbar Lg. Stutrtur elastoplastis

Analisis Strukarr secara Dinamis

Perhatikan struktur dengan derajat kebebasan satu denganper yang mempunyai sifat elastoplastis seperti terlihat dalamGambar 13.a dan b. Bila stmktur tersebut dibebani dengan gayadinamis maka persamaan gerak struktur tersebut dapat ditulissebagai:

Mji+R-r(t)=e lz1l

di mana untuk R berlaku batasan-batasan sebagai berikut:

,I

i1

lI{

iIII,IItit

21

R=kyR=R-R=R--k(y--y)

untukOcycyeruntukycl<y<ynuntuk (l^-2 ycr) < y < yn (271

Dalam rumus di atas ycr adalah batas elastis sedangkan R-adalah gaya yang berhubungan dengan yer. Rumus ketiga dalampersamaan 27 menunjukkan persamaan garis yang menyatakanadanya pengurangan gaya dalam per setelah tercapainya bataselastis (unloading). Persamaan gerak 26 dapat diselesaikan secErranumerik dengan memperhatikan batasan-batasan dalam persa-maan 27. Untuk mendalami lebih l,anjut, perhatikan contoh per-hitungan di bawah ini.

1.5.1 Contoh perhltungau

Misalkan dalam sistem yang terlihat dalam Gambar 13.0,massa M adalah 2 kg, kekakuan per 2O00 kN/m sedangkan bataselastis, R-, adalah I l0 N, maka ycr = Ra/k = 0.055 m dan persa-maan gerak sistem tersebut dapat ditulis sebagai:

i = 0.5 F(t) - o.s R

di mana:

0.5R= 10O0y

0.5R=55N0.5R=55-1000(y--y)

(28)

Hasil perhitungan dengan menggunakan cara constant velo-city ditunjukkan dalam Tabel 3, sedangkan gerakan massa ditun-jukkan dalam Gambar 14. Grafrk a menunjukkan respons statis,grafik b menunjukkan respons dinamis bila per bersifat linierelastis (tidak ada batas elastis) sedangkan grafrk c menunjukkanrespons dinamis bila per bersifat elastoplastis.

untukOcy<0.O55m iuntuk0.055trr<y<yountuk (yE - O.1 1) . y . y. \


YzR= 100q,, or 55

00.00500.02000.04100.0616

o.ox820.o9280.10040.09600.0814

o.06240.04660.04030.04600.0615

0.08060.09570.1007

0.0100o.0roo0.0060

-o.oo04-o.0616

-o.oo20-0.0070-0.0120-0.0102-0.0044

o.oo320.00950.01200.00980.0036

-0.0040-0.0101

2s.o25.O

15.0-1.0

-10.0

-5.O

-17.5-30.0-25.6-11.O

8.023.830. i24.4

8.9

-to.2-25.3

o5.0

20.04r.055.O

s5.055.055.050.6*36.0*

17.0*1.2"

-5.1*0.6*

16.1*

35.2*50.3*

2530354045

5037.5252525

2525252525

2525

oo.a20.040.06o:08

o.l0o.r20.140.160.18

0.20o.220.24o.26o.28

0.30p.320.34

. Y, R - 55 - 1OOO(0.1004-Y).

Perhatikan bahwa dalam melakukan perhitungan- (Tabel 3)

selalu harrs diperhatikan batas-batas yang aiUella1 dalam per-

sarnaan 28. Milahya pada saat t = 0,08 detik' 0'5 R telah men-

""p"i or,o N, hal ini tia"r. mungkin sehingga ultlk- hasa 0'5 R

i.?ii" dipakai 55 N- Unloading lada saat t = 0'16 detik' terlihat

dengan turunnya y dari 0,1064 menjadi 0,0960' Dengan demi-

kiariuntuk perumusan 0,5 R berlak-u perumusan ketiga'

Perhatikanpulabahwaresponselastismemberikansimpang-an yang tebih kecil tetapi memUeriXln gaya PeJ

yTrg lebih besar

a# ,"Ipons elastoplasiis. Terlihat jygi dari Gambar 14 bahwa

terjadi simpangan tetap sebesal !. - Yct'

Analisis Stnrktur secara Dinamis

Gaabar 14. Contoh 3 !

1.6 PEI{Y'ELESAIAN N|ALITIS gTRUKTUR ELASTTS TATPADAMPING DDNGAN DENA.'AT I(IBEBASAN SA?U

Persamaan gerak dari struktur elastis dengan der4iat kebe-basan satu telah diturunkan dalam pasal 1.3 sebagai:

P(t)-t y=My (2e)

atau:

Mi;+ky=F(t) (30)

Persamaan 30 merupakan persamaan diferensial tingkat dua.Penyelesaian umum persamaan 30 terdiri dari penyelesaian kom-plementer (Complementary Solutionl dan penyelesaian partikulir(Particular Solutionl. Penyelesaian komplementer adalah penyele-saian persamaan homogen, yaitu penyelesaian di mana bagian

t"\

?

23

PenyelesaianElasto plaslisR. ='110 (c)

.5o07ee'

r.. \ vi'.--L--- --- !.r-o!3'--T------T'----',. I 'perubahan

\ j benruk sratist, I =F/k(a)

0.r i0.2 / o.r\ ,' t. det

Penyetesaian \ IH:':',l3it, )'..-.i


kanan dari tanda sama dengan adalah sama dengan nol. Secarafisik keadaan ini dapat diartikan sebagai suatu gerakan yang ter-jadi tanpa adanya gaya luar (getaran bebas, Free Vibrationl.

1.6.1 Getaran Bebas

Persamaan gerak dari getaran bebas dapat diperoleh dari per-sarnaan 30 sebagai:

Mji+ky=Q (31)

Penyelesaian persamaan 31 ini dapat diperoleh sebagai [4, 5],

y = cr sin,f(f< /M)t + c2 cos ,f(t 7U)t ' (32)

dengan memakai tanda:

. = rf(r< I rra) (33)

Persamaan 32 dapat ditulis sebagai:

y=cl sinort+c2 cosot (34)

Dalam pers*lmaan 32 dan 34 di atas, cr, cz adalatr konstantaintegrasi yang dapat diperoleh dari keadaan awal yang telah dike-tahui. Bila keadaan awal pada walctu t ' 0 dinyatakan sebagaikecepatan awal, j,o, dan perpindatran tempat awal, yo, konstantaintegrasi cr dan ce dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Pada waktu t = 0, perpindatran tempat awal, yo dapat ditulissebagai:

yo =Gr sino(O)+c, cosro(0)

Sehingga didapatkan:

C2=]o

Sedangkan kecepatan awal dapat diperoleh dengandahulu menurunkan persamaan 34 terhadap waktumemperoleh persamaan kecepatan, yaitu:

jr=cr ocos ot-c2 rosin olt

sehingga konstanta integrasi cr dapat diperoleh, yaituberikut:

(3s)

terlebiht untuk

(36)

sebagai

Analisis Struktur secara Dinamis 25

Pada waktu t = 0, kecepatan awal, io, dapat ditulis sebagai:

y = cr o cos co (o)- c, ro sin ro (o)

c1 = yo /co (37)

Dengan menggunakan persamaan 35 dan 37, penyelesaiangetaran bebas (34) dapat ditutis sebagai:

(38)y=yolosin rot+yocosot

Persamaan 38 merupakan penyelesaian komplementer daripenyelesaian umum persamaan gerak struktur Lhstis denganderajat kebebasan satu (30).

1.6.1.1 Natural Perlod

Bentuk getaran bebas yang ditunjukkan dalam persamaan38 merupakan gerakan yang berbentuk sinusoidal. Glrakan se-perti ini dinamakan gerakan harmonis yang karakteristiknyaditentukan oleh besar amplitude dan natuial p"rioa gerakan ter-sebut.

-Dalam hal getaran bebas dengan perpindahan tempat awal

!1ja (Ca4bar 15a) maka besar amplitude yo, sedangkan biladiberikan percepatan awal saja (Gambar 15b), maka besar ampli-tudenya adalah ! o / a . Natural period T adalah waktu yang dibu_tuhkan untuk menyelesaikan satu siklus gerakan harmonis seca-ra lengkap.


Seperti terlihat dalam persamaan 38, besar amplitude tergan-tung kepada keadaan awal yang diberikan, tetapi natural periodtergantung dari ro, seperti yang didefinisikan dalam persannaan33, hanya tergantung pada karakteristik dari stmktur yangditinjau. Besaran ol tersebut di atas dinamakan Natural CircularFrequency.

o, = rf(r.tvr) [radldetik] (3e)

Besar natural period dapat diperoleh sebagai:

T=2n/o=zrrf(rralt) [detik] (40)

L.6.L.2 Natural Frequency

Natural Frequency f, didefinisikan sebagai kebalikan dariNatural Period,

f =7/T =l/2xrf(tltt) [cps, getaran per detik] (41)

Perhatikan dalam persarnaan 39, 40 dan 41 bahwa NaturalCircular Frequency ro, Natural Period T dan Natural Frequency, f,adalah karakteristik dari sistem yang tidak tergantung kepadakeadaan awal maupun pembebanan.

1.6.2 Getaran Tak Bebas

Getaran tak bebas {Forced Vibrationl adaiah getaran yangterjadi karena adanya beban luar F(t) sehingga persamaan gerakyang terjadi dapat ditulis sebagai persamaan 30:

My+kr=f(t) (42)

Bila keadaan awal dari getaran tak bebas ini tidak nol, makapenyelesaian persamaan 42 adalah penyeiesaian umum yang ter-diri dari penyelesaian partikulir dan penyelesaian komplementer.Penyelesaian komplementer, seperti telah dijelaskan sebelumnya,adalah pehyelesaian getaran bebas. Bila keadaan awal dari getar-an tak bebas ini nol maka penyelesaian persamaart 42 hanya ter-diri dari penyelesaian partikulir.

Penyelesaian partikulir untuk bentuk-bentuk tertentu dariF(t), misalnya polynomial atau fungsi harmonis, dapat dipelajaridari buku-buku matematika [4, 5]. Untuk dapat membahas cara

Analisis Stniktur Secara Dinamis

umum memperoleh penyelesaian partikulir, sebelumnya akandibahas gerakan (respons) yang terjadi akibat pembebananimpuls.

1.6.2.L Bebaa ImpulsImpuls adalah suatu gaya yang besar yang terjadi secara

tiba-tiba dan berlangsung dalam waktu yang sangat pendek(Gambar 16). Beban impuls ini dapat didefinisikan ssgngai:

F=Fdr (43)

nlltttl

27

Giambar 16. Beban Impuls

BiIa suatu sistem yang dalam keadaan diam dibebani denganbeban impuls, setelah beban impuls ini bekerja, maka gerakanyang terjadi adalah getaran bebas. Dengan demikian gerakanyang terjadi dapat diperoleh sebagai:

oy =y/rosinot+yo coso t {441

I(arena beban impuls diberikan dari keadaan diam makaperpindahan tempat awal adalah yo = Or,sedangkan kecepatanawal !.o dapat dicari dari beban impuls, yditu sebagai berikut:

(4s)jio = F/M, lrcrcepatan awal

Karena beban impuls hanya bekeda setrama dF

patan awal dapat diperoleh sebagai:

j,o =!idI=FdI/IvI

maka kece-

l47l

(4e)

(46)

yang dengan memperhatikan defrnisi impuls (a3) juea dapat ditu-lis sebagai:

j'o =ilMDengan demikian gerakan yang terjadi dapa.t ditulis sebagai:

y = F/Mtosintot (48)

Bila beban impuls baru diberikan pada walrtu t = f sedang-

kan persamaan gerak ditulis terhadap refrensi waktu t = 0, per-

sarnaan 48 menjadi:

, = r(u o)sin (t-r))

1.6.2.2 Bebaa Sebaraag

Beban sebarang (Gambar 17) dapat dibagi-bagi menjadi bebe-

rapa beban imputs sehingga penyelesaian getaran tak bebas

a"irgat beban s.uat"ng aapit diselesaikan dengan menggunakanpenyetesaian getaran akibat beban impuls (49)'

avurl

Gaabar 17. Beban *banng


Ferhatikan sistem elastis dengan derajat kebebasan satuseperti terlihat dala:n Gambar 17. Sistem tersebut dibebanidengan beban sebarang F(t) = Fr f(t) (Gambar 17). Akibat satupias yang merupakan bagian F(t), sebesar 3=E f(f)af , gerakanyang terjadi dapat ditulis selagai:

dy = i'r(uto)sin(ro(t-r)) (so)

atau:

dy = E r(rXr'a ro)sin (o{t - r))ar

Respons terhadap beban sebarang secara keseluruhan dapatdiperoleh dengan mengintegrasilcan persamaan 51:

y = IF, r(r)l(rra or)sin (a,(t -r)ar (s2)

Bila didelinisikan perpindahan tempat statis (statis deflec-tionl, yx, adalah:

ys =Fr /k =Fr /(r'M) (5g)

Persamaan gerakan (52) dapat diubah menjadi:

y = ysr or Jr(r)sin (o* -r)arPersamaan 54 di atas merupakan penyelesaian partikulir dari

persamaan gerak 42, sedangkan penyelesaian umum persamaangerak tersebut merupakan gabungan dari penyelesaian komple-menter (36) dengan penyelesaian partikulir (54).

y=iq /ro sinot+yo cos ot+y,,, Jf(f)rin(or(t-f))af (55)

1.6.3 Faktor Beban Diaanis (Dyaamtc Load Factor, DLF)

Biggs [1] mendefinisikan Faktor Beban Dinamis (DynamicIaad Factor, DLF) sebagai perbandingan antara perpindahan tem-pat dinamis pada suatu waktu terhadap perpindahan tempat sta-tis akibat suatu beban referensi, Fr, yang dipakai untuk menya-takan besar suatu pembebanan dinamis F(t) = Fr f(t). Jadi dyna-mic load factor dapat ditulis sebagai:

DLF= yly"t =y/(Fr/k)=kylFr (56)

$I*

;ltIT

29

(su

(s4)

Dari definisi di atas tampak bahwa DLF adalah suatu besar-an yang tidak mempunyai dimensi dan menyatakan gerakan yangal<an terjadi bila suatu sistem dibebani dengan suatu bentuk be-ban tertentu (tidak tergantung dari besar beban yang diberikan).

f .6.3. I Contoh Pcrhltua3la

Perhatikan sistem elastis dengan derajat kebebasan satu se-perti terlihat dalam Gambar l8a yang dibebani dengan suatu be-Lan segitiga sepcrti terlihat pada Gambar 18b dari keadaan awaldiam.

lrrttl

Ganber l.t. Bcban Segitiga

Beban segitiga tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

F(t) - Fr f(t),

dimana: f(t; =1-tltd, untuk0<t<td(t) =0, untukt>td

Respons sistem tersebut terhadap pembebanankan dapat diperoleh dengan mempergunakan 55.

(s7)

yang diberi-

Untuk O < t < ta, di mana keadaan awal yo = 0 dan Yo Per-samaan 55 menghasilkan:

y = ysr, flt -rl to )sin (o(t -r)ar (s8)

Persamaan 58 dapat diselesaikan dengan menggunakan caraIntegration by Parts [TaylorJ:

H@lo L*

t4

(b)

Fl

(a)

Analisis.Struktur secara Dinamis

i

I

II

llir

31

y = ys , J-(r-rto )/ro sin (r(r -r)a (r -r)a{ro(t -r)}y = yst, (r - r I tu )l o cos (co(t - r))* j(- r t,o )/ ro cos (ro(t - r))ar

y = yst (t - rto )cos (o(t - r))- t r(to ro) sin (o(t - r)) ) ]iMemperhatikan bahwa hasil integrasi di atas mempunyai

batas integrasi f = O dan t, maka akan didapatkan bahwa:

y=yst (t-cosrot)+l/tu (rin.t)lor-t)) (S9)

atau:

DLF= 1-cos61+ (sinolt)/ <o.tr-t/to (60)

Untuk t ) to , gerakan yang terjadi adalah gerakan bebas. Ke-adaan awal untuk bagian gerakan ini dapat diperoleh dari persa-maan 59, dengan memakai t = t6 sebagai berikut:yo = yst (sin or tu )l(ro t6 )-cos o t6 )

i = y,, {osin co tu +(cos co to )lto -tlto }

Oleh sebab itu dengan menggunakan persamaan 61, responssistem setelah t 2 t6 dapat diperoleh dari persamaan 44, yaitusebagai:

y = yst l(ol to ){sin cu t *sin o (t -td }-yst cos o r

atau:

DLF = 1 i(or to Xrino: t -sin o (t -to )-cos ol t

Gambar 19.a, 19.b dan 19.c menunjukkan respons dinamissuatu sistem elastis dengan derqjat kebebasan satu terhadappembebanan berbentuk segiempat dan segitiga. Terlihat . dalamgambar tersebut bahwa besarnya dynamic load factor sangattergantung kepada perbandingan antara larna pembebanan ta(atau periode pembebanan) terhadap periode dari sistem T.Gambar 19.d menunjukk4n pengaruh cara pemberian (penam-bahan) beban untuk mencapai suatu beban tetap. Terlihat dalamGambar 19.d, respons sistem sangat tergantung kepada perban-dingan lama pembebanan untuk mencapai suatu beban tetap ter-tentu, tr, terhadap periode sistem T.

(61)

(62)

(63)

32 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa Analisis S.tiukhrr secara Dinamis

2

I

(d)

Ganbar L9. Respons dinamis SDOF terhadap beberapa macamgaya

33


rtE

u-)o- 't.4

G'arnbar 2L. DLF untuk beban tetap dengan kenaikan beban darinol

lra= waktu te0adi respons max

Analisis Struktur $ecara Dinamis

Gambar 20.a menuqjukkan dynamic ioad factor maksimumuntuk beban berbentuk segitiga dengan puncak pada t = 0 danpersegi terhadap perbandingan antara ta dan T, sedangkan Gam-bar 20.b menunjukkan kapan dicapainya dynamic load factormaximum tersebut, t-. Gambar 21 menunjukkan besar dinamicload factor maksimum untuk beban segitiga dengan puncak yangtercapai pada waktu t = Ye t6, terhadap pJrbanding* dari waktupem-berian beban td terhadap periode T dari sistem. Ditunjukkanpula waktu dicapainya DLF maksimum ter$ebut, t-.

Gambar 21.c dan 2l.d menunjukkan dinamic load factormaksimum untuk beban tetap yang dapat dicapai dengan me-nambah beban. Dalam Gambar 22.a tampak bahwa efek dinamisdapat dihilangkan bila penarnbahan beban diberikan sedemikianrupa sehingga waktu yang diperlukan untuk mencapai bebantetap, tr, sama dengan periode sistem T.

- Persamaan gefakan dari sistem elastis dengan derajat kebe-basan satu yang tilah dianalisis datam bagian lain buku ini mau-pun

-gerakan yang ditunjukkan dalam Gambar 19 memperlihat-kan bahwa setelah beban yang diberikan berhenti bekeq'a ternya-ta gerakan tidak berhenti dan tetap berlangsung tanpa ada pe-ngurangan amplitude. Tentu saja dalam kenyataannya keadaanini tidak terjadi karena dalam keadaan yang sebenarnya dapatdiharapkan bahwa sernua gerakan bebas pada suatu saat akanberhenti. Tahanan terhadap gerakan ini dinamakan Dampingyang akan dibahas dalam bagran lain buku ini.

1.6.4 Gerakan pada Pondasi

Suatu struktur yang digerakkan pada pondasinya sepertiterlihat dalam Gambar 22.a dapat diidealisasikan dalam susunanmassa dan per seperti diperlihatkan daiam Gambar 22.b.

37

x. 9artbn toLt

i

I

MxK(z-x-) I -f

IH IL'J

Frx

s

co6o

Oerakan bman

{b)Gambar 22. Gerakan pada pondasi

38 Pengantar Analisis Dinarnis dan Gempa

Bila gerakan pada pondasi dinyatakan sebagai Yo dan gerak-an pada rnassa M dinyatakan sebagai yr maka dengan menggu-nakan prinsip dinamic equilibriurn dari D'Alembert, persamaangerak sistem tersebut dapat diturunkan sebagai berikut:

Miir+k(y,-yo)=0 F4l

, Perhatikatr bahwa untuk gaya inertia harus dipergunakanpercepatan absolut pada massa yang ditinjau, yr, sedangkan

untuk gaya perlawanan dari per menggunakan seUsih antara ge-

rakan pada massa, yr, dengan gerakan pada pondasi, yo. Bilagerakan relative dari massa terhadap gerakan pondasi, $r - Yo)'

dinyatakan sebagai y, maka:

Y=Yr-Yojr=ji-jio,dan

(6s)iir =ii+iioDengan demikian persamaan gerak 64 berubah menjadi:.

M6r*jio)*kY=0,atau

Mi+ky=-Miio (66)

Perhatikan bahwa persamaan gerak ini (66) sama denganpersamaan gerak getaran tak bebas (42), dengan gaya pada

massa M, F(tj, sebesar (-tut Vo).

1"7 PET{T'ELESAIAI{ AT{ALITIS STRUKTI'R ELASTIS DENGANDAUPIT{G DEITGAN DTRA'Af I{EBEBASAN SATU

Damping adalah suatu besaran yang rnenyatakan tahananterhadap gerakan pada suatu sistem dinamis dan merupakansalah satu sifat fisik dari sistem tersebut. Biia besar sifat lisikyang lain, massa dan kekakuan, relatif dapat dengan mudah di-t*i, A" ping yang rnerupakan mekanisme penyerapan energisangat sulit dimengerti dan didapatkan. Besarnya damping inibiasanya dinyatakan dalam presentasi dari suatu besaran yang

dinamakan Critical Damping, yaitu besar damping yang akanmenyebabkan hilangnya getaran. Ha1 ini akan dibahas lebih lan-jut dalam bagran iain buku ini. Besarnya damping ini tergantungdari berbagai macam hal.

Analisis SE:ukhrr sec,ara Dinamis

Macem domping yang diketahui ielah:1. tuictional (Couloab) Damping

Frictional damping terjadi karena adanya gesekan i daripermukaan dua buah benda yang bergerak.

2. Viscous DampingViscous damping terjadi karena adanya gerakan dalam udaraatau cairan.

3. Internal FrictionDamping ini terjadi karena adanya geseran antara molekul-molekul dari bahan

Secara matematik damping dapat dinyatakan dengan rumus:

n = c(x)' (64)

Besar pangkat n ditentukan untuk bermacam-macam dam-ping sebagai:Frictional Damping, n = O ; D = cViscous Damping, n = 1 ; D=cxInternal Friction, n = 2; O =. (*) (65)

Perhitungan sistem dinamis suatu struktur biasanya hanyamemakai viscous damping, persarnaan 65 b. Dalam idealisasi,strukhrr viscous damping ini biasanya digambarx.au* sebagai das&paf seperti terlihat dafam Gambar 23.

GaEbar 23. Stukur dengan damplng

Dengan memperhatikan damping, pe'rsamaan gerak sistemelastis dengan derajat kebeban satu dapat diperoleh denganmenggunakan cara d5mamic equilibrium D,Alembert, yaitu:

39

f (tl

Pengantar Analisis O4glq9g31 C"

My+ci+ky=F(t) (66)

Penyelesaian persamaan ini dapat diperoleh dengan menyele-

saikan persamaan homogen (getaran bebas) yang merypakan

p""v"i"J"ian komplementer serta mencari penyelesaian partikuliryaog m"menuhi persarnaatl di atas'

1.7.1 Gctetaa iebas dcngaa Damplng

Persamaan gerak dari getaran beban dengan damping dapat

diperoleh dari firsamaan OO dengan mengganti F(t) dengan nol

schirrgga menjadi:

MY+c j'+kY=g

atau:..ck^v+;Y+;Y=vyang dapat diubah lebih lanjut menjadi:

1i+2Ptoo i+or2 Y=6

di mana:

f=*ffi dan,

rro =*/@) (701

Persamaan lraralrteristik dari persamaan 69 adalah:

(71)7 + 2proo1* oo2 =0

Persaraaan 71 mempakan persamaan kuadrat dalam yang mem-

punyai akar-akar:

'h.r = -F(Dn *." /${i) 172l

'(67)

(68)

(6e)

PenyelesaianPersamaan6gtergantungdari'sifatakar-akarp"r"*""t karakteristik, persamaaa 72, sedangkan sifa! akar-

L", p"r"*aan karalcteristik tergantung kepada besar bilangan p

sebagai berikut.

Analisis Stmkhrr sccara Dinamis 41

1.7.1.1 Dua akar nSrata, p > 1.

eig 0 > 1^ maka persarnaan T2 akan menghasilkan dua buahakar, 11 dan t2. Dari persamaan T2 dengan mudah dapat dilihatbahwa kedua akar persamaan tersebut merupakan akar yang19g1tif dan nyata sehingga penyelesaian persarnaan OS dapatditulis sebagai:

Y = Are lrt + Azelzt (73)

di mana:

11=-ptoo *...f(p, -il12=-$<oo -.".f6, -t) (741

. .. D.rg1l memperhatikan grafik dari fungsi ert yang diperli-

hatkan dalam Gambar 24 dapat diambil kesitpulan a&i por""-maan 73 bahwa bila besaran p > I maka tidak akan terjadi getar-an dari sistem dinamis yang ditinjau. Keadaan ini, p , i, dirr"*a-l*an OverDamping.

1.7.1.2 Dua aler laqftrcr, p < 1.

Dalam hal besaran p . 1, besaran di bawatr tanda r1 aaUmpersamaan 72 adalah bilangan negatif sehingga persamaan 72akan memberikan dua buah akar imajiner luit-anian kompleks)sebagai berikut:

Grrrbu 24. Grafrk dl

ao Pengantar Analisis Dinamis dan Gempaur- 4

11=p<oo +iar" [(r-9') a"rt

1e=Fon *i.,,f(r-g')Dengan demikian penyelesaian persamaap 69 menjadi:

y = sFF.nt) (e, "(,r,)

+e, eCmt))

di mana:

B=(Dn.f(l-p')

Persam4an 76 dapat dinyatakan dalam bentuk lain

berikut:

y = s(-F.o,) (e, cos (B t)+Aa sin(a t))

yang kemudiarr dapat disederhanakan menjadi:

y = 4(-o'o') rir, (." ;6 -P' )t. O)

Persamaan gerak yang dinyatakan dalam persamaan 79 di-

gambarkan dalam CamUit 25' Terlihat bahwa persamaan 79

[.p.r digambarkan sebagai suatu fungsi sinusoidal dengan per-

ubahan fase sebesar Q, dengan fungsi:

(7s)

(761

{77l.

sebagai

(78)

lTel

(80)y=4aGF"t)

sebagai enveloPe.

Ganbar 26. Keadaan under daaPing

AnalisiS Struktur secara Dinamis

Jelas terlihat dari gambar 25, bahwa keadaan p < 1 padasistim dinamis yang ditinjau akan mengakibatkan terjadinyagetaran. Keadaan ini, p < 1, dinamakan Under Danping.

1.7.1"3 Satu a&ar ayata, P = 1.

Dalam hal p = 1 maka persamaan 72 akan menghasilkan duabuah akar yang sama, il = 12 = 1, dan merupakan bilangan nyatayang negatif. Dalam keadaan ini penyelesaian persamaan 69 da-pat ditulis sebagai:

Y = Ar e-1' + A, t e-rt

di mana:

l. = 9o)o

43

(81)

(82)

. Craobar 26. Citical damping

Pada Gambar 26jelas bahwa persamaan 81 juga menunjut-kan tidak adanya getaran. Keadaan yang terakhir ini, 0 = 1,merupakan pembatas antara keadaan under damped dart overdatnped dalrr dinamakan sebagai Critical Damping.

L.7.L.4 KarakteristiL Stnrktur deagan DampingKaral<teristik dari sistem dinamis dengan damping dapat di-

peroleh dari persamaan 79. Besar circular frequency, ro, dapatdiperoleh sebagai:

44 rytgarlgr Analisis Dinarpis dan Gempa,-,

o =(Dn .ft-P') [rad/det]

Frekuensi, f:

, _ ," ,f[-pr) [rpm, cps] (84)

Periode, T:

2nT=l/f = ;:1;'-.-;\ [det],r,J [-P')

Dalam persamaan-persamaan-di atas' on adalah natural cir-

cular frequency dari sistem tanpa damping'

SuatukarakteristikpentinglaindarisistemdinamisdenganO.*OG idalah critical aamping yang dapat diturunkan sebagai

berikut. Keadaan critical damping dicapai bila besaran p' persa-

(83)

(8s)

maan 70.a, adalah 1.

p=cr,,l-(+tvt)

Untuk g , 1, g = ccrr jadi besar criticai damping adalah:

"". =..f(+ttut)

Besar damping dari suatu sistem dinamis biasanya dinyata-

kan dalam bagian, Ui"".t'y" persentase' dari critical damping'

tu"" ;"*pJrrr.iit t,, p"t"t',""tt 87' persamaan 86 dapat di-

tulis sebagai:(88)

c = 0c",

Dari persamaan 88 terlihat bahwa besaran p menunjukkan

uasi;aari critical damping. Besaran.ini F (dalam persen) biasa-

nya digun"Lan untut meiyatakan besar damping dari suatu

sistem d.inamis. Pemakaian persen-.dari critical damping (p)'

untuk menyatakanl;; damping dilandasi oleh alasan-alasan

oraktis untuk *"rrrrJJt"" pirnitungan. Tentang hal ini akan

hiu"t ^"

pada bagian lain buku ini'

(86)

(87)

!r-:il

F(t)= Pr sin(o t) (e3)

Analisis Stmktur secara Dinamis

1.7.2 Getaraa Tcls Bebag deagan Damplng

Dalam pembatrasan dalam Subbab 1.7.1 terlihat bahwahanya sistem dinamis yang underdamped yang memberikan res-pons berupa getaran. Oleh sebab itu pada bagran selanjutnyahanya kasus ini yang akan dibahas.

Seperti pada penyelesaian getaran tak bebas tanpa damping,penyelesaian gerakan tak bebas dengan damping dapat dilakukandengan menggunakan penyelesaian dari beban unit impuls (lihatpersamaan 49), yaitu dengan menggunakan convolution integral.

Dengan cara yang sarna, penyelesaian terhadap unit impulspada getaran tak bebas dengan damping dapat diperoleh, yaitu:

45

v = N{,o, ft-prl.-Foor

,ir, (.o".f(r -P'), )

Jadi penyelesaian partikulir dari getarandamping dapat diperoleh sebagai:

' = i#6;''F<,,"(r-r)'io

(., r(r - p' )t' - tl)* (e0)

y = yst ,, ifig"'eo*(t-r)

,t(,,.f,(,-p'l -.)a.

Dengan demikian penyelesai€rn umum untuk getaran tak be-bas dengan damping (yang underdamped) adalah:

Y=Y"+Yp Pzldi mana y" adalah penyelesaian komplemen (complementa4r solu-fibn), persamaart 79, sedangkan y, adalah penyelesaian partikulir$carticular solutionl, persamaan 90.

1.7.3. Getaran Tak Bebas dengan Bebaa Harmouis

Beban harmonis adalah beban-beban yang besarnya ber-ubah-ubah dalam suatu fungsi yang berbentuk sinusoidal, misal-nya:

(8e)

tak bebas dengan

(el)

MII, IE ,:d

ffi*?,[ir1,,t'

Ganbar 27. Beban harmonis

Persamaan gerak sistem dinamisseperti yang tamPak Pada Gambar 27

sebagai berikut:My+c j'+kY =F(t)

atau: , r(')!+29con !+con'Y=i'

dengan beban harmonisdiselesaikan dengan cara

(e4)

(es)

Dalam persarnaan di atas, oo adalatr natural circular fre-

quency (dari sistem Jit "*i* tanpa damping) sedangkan 0 adalah

koefisien damPing.

Bila yp,(e6)

yp = Asin(ot-a)

adalatr penyelesaian partikulir dari persamaan 94 maka y' harus

memerruhi persamaan gerak, persarrlEran 94' Dengan mempergu-

nakan persamaan 95, p";-;#aan g4 berubah menjadi sebagai

berilnrt:

-o2A sin(cx -cr)+2p rono n cos(ctt'a)+roo2Asin (ctt-c')=

(Fr / M) sin ot

Persamaan 96 dapat diuraikan lebih tanjut menjadi:

.el o' cos cr + 2p ol, (l sin cr + or1 2

cos o)sin (o +)+

e(."' rio o+ 2p rooQ cos Q + Q2 sin Q)cos clt =

(r,7Iu)sin61n,'.'*" .,*: ;o f"*, I

leTl

1,,t1..I

(e8)

Analisis Stmkhrr secara Dinamis

Karena persamaan 97 harus dipenuhi untuk semua harga T,maka koefisien sin (At) pada bagian kiri tanda sarna denganharus sarna dengan koefisien sin (Ot) pada bagian kanan,sedangkan koefisien cos (Ot) bagian kiri tanda sarna denganharus sarna dengan nol sehingga:

olo' cosa+2prooQsin o*oo2 .o.o)rin ot = \ /M, danl-^\

A(.o' sin Q+2poroOcosQ+Oz sin O)= 0 (99)

Kedua persamaan 98 tersebut dapat diselesaikan lebih lanjutsehingga didapatkan:

A cos a = (rro)(r.' -o' )4 lrta

A sin c =(t t O)Zp ronQ Fi / M

di mana:

o = (.,' -o' I +4 p2 <oo2ct2

Penyelesaian partikulir (95) dapat diperoleh setelah besaran Adan a didapatkan dari persamaan 1OO dan 1O1.

Dalam hal simpangan maupun kecepatan awal sistem di-namis adalah nol, penyelesaian umum persamaan gerak adalahsarna dengan penyelesaian partikulir sehingga penyelesaianpersamaan getaran tak bebas dengan beban harmonis (93) dapatditulis sebagai:

y = Asin(ot-c)

di mana besaran A dan o adalah:

o, =arc*[ 'P*". ]Il-(ryo")2./

47

Dari persamaan 102 diperoleh dyaamic load tactormum, DLF-*sebagai:

(100)

(1o1)

(102)

(103)

maxi-

48 Pengantar Analisis Dinamis ae! !g!qP.

(104)

Besar DLF-'" ini untuk bermacam-macarn koefisien damping'p, ditunjukkan dalam grafik yang terdapat dalam Gambar 28'

Per.hatika4 bahwa untuk sistem dinamis yang tidak mem-

punyai damping, g = 0, persalnaan 104 menjadi:

(10s)

a/t

G,anbar 28. DLFrtax untuk gerakatt tak bebas dengan bebanharaonis

Analisis Strulch,rr secara Dinamis 49

Persamaan 104 menunjukkan bahwa bila sistem dinamisyang ditinjau tidak mempunyai damping, I = 0, dan pembebanan

.yang diberikan adalah beban harmonis yang mempunyai periode(atau circular frequency) yang sama dengan periode sistemtersebut, O=on, maka akan terjadi respons y=o(DLF_* =o).Keadaan ini dinamakan keadaan resonansi yang tak terbatas{unbounded resonancQ. Lihat Gambar 28.

Gambar 28 juga menunjukkan bahwa pada pembebananharmonis akan selalu tedadi respons yang beiar (reionansi) bilacircular frequency beban, O, mendekati circular frequency, wn,sistem yang ditinjau.

Meskipun persamaan 104 menyatakan secara matematiste{adinya unbounded resoriance bila frekuensi beban, O, samadengan cAcular frequency sistem, ror,, pemahaman lebih lanjutmenunjukkan bahwa unbounded resonance ini hanya terjiaipada waktu t = o. Perhatikan penurunan berikut ini.

Untuk keadaan tanpa damping dengan simpangan dan kece-patan awal nol maka respons sistem t-rhadaj beSan harmonis(persamaan 102) menjadi:

y = Asin(o t-c)

di mana besaran A dan a menjadi:

lrI

llq

:.

ii:

i

(l06)

(107)

cr=0

A= EMolo2

Persamaan 105 menunjukkan bahwa untuk e=(on, y tidaktertentu (y = O/0). Harga y dapat diperoleh dengan menggunakanrumus L'Hospital. Penurunan pembilang dan penyebut persa-maan 105 terhadap s menghasilkan:

, = # [, *, {ctt1-'h-(q"

t))(108)

akan diperolehPersamaan 107 menunjukkan untuk 0=@s,y tertentu. Y = otranya terjadi pada waktu t = o.

50 Pengantar Analisip Dinamis dan Gempa

1.8 Penyelesalan Andttts stnrktur dengan Derqiat KebebasanBanyak

Bagian ini membahas respons dinamis dari sistem denganderajat kebebasan banyak (multidegree of freedom systeml. Jum-lah derajat kebebasan (degree of freedoml adalah jumlah koordi-nat independen yang perlu dan cukup untuk menyatakan konfi-gurasi suatu.sistem secara lengkap. Sebagai contoh, st4rktura"um Gambar 29 merupakan struktur dengan derajat kebebasan

dua karena diperlukan dua buah koordinat, y dan 0, untukmenyatakan konfigurasinya secara lengkap. Untuk menyederha-nakan pembahasan maka akan dibahas terlebih dahulu responsdinamis untuk sistem dengan dera-jat kebebasan dua.

Gambar 29. Strulctur dengan kebebasan dua.

1.E.1 Gctaran Bebas Struktur dengan DeraJat Kebebasan Dua

Perhatikan suatu strulrtur dengan derajat kebebasan duaseperti terlihat dalam Gambar 30. Persarnaan gerak sistem terse-bui dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip dinamic equili-brium dari D'Alembert.

Pe4ggunaan prinsip D'Alembert pada massa 1 dan massa 2

menghasilkan persamaan gerak sebagai berikut:

Mr ji+kr yr -kr(yr-y-)=0 dan,

Mr!i+keYz +kzbz-Yr)=0

Analisis. Strukarr secara Dinamis

492-

Gunbrr 0,O. Sistem dinanis dengan der4iat kebfusan dua

Persamaan tersebut (lO3) dapat ditulis dalam notasi matrikssebagai berikut:

Mi+Ky=Q (1lO)

Dalam persamaan di atas matriks massa t, matriks keka-kuan lt dan vektor simpangan y adalah:

u=[M' 0lLo MzJ

(l l r)

Penyeiesaian persarnaan gerak di atas dapat diperoleh sglagai;

yr =Ar sin(ro(t+o))

yz=Azsin(ro(t+a))

sedangkan percepatan massa 1 dan 2 dapat diperoleh denganmenurunkan persamaan 112 dua kali terhadap t sehingga dida-patkan:

iir =-Ar ro2 sin(o(t+cr))

! = -Az ro2 sin (to(t+a)

5l

\h lrli

IJI rtt,-rt

4izdll[r'r'tilr

,?

* _[(t,*xr) . -r, .lL -k, (k, + kr)j

y"= (yr yz)

(112)

(10e)

(113)

s2 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

Untuk memperoleh besar A dan c, persamaan :112 dan 113harus memenuhi persamaan gerak 109 atau 110 sehinggadiperoleh:

(-u,.'+k, +k2)e, *1-tr)Az =o

(-tr)e, *(-vrr 9'*k, +tr)e, =o

atau dalarn bentuk matriks:

[f "' t;,-' *u' ) (-r,,;:i, .-,il[l]]= [l]

Karena amplitude A tidak mungkin nol (A = 0 berarti tidakada gerakan), maka persamaari 115 hanya dapat dipenuhi bilaharga determinan.

lF"t, co2 +tr, +t2) , -k2 .l| -r, (-vtr.'+k, +kr)l

yang setelatr dievaluasi akan menghasilkan:

(114)

(1 ls)

(116)

( z\z [(t,+tr). (tr+ks) , kr(k,+kr)+k,k3) ^lu , -l u ?- l=v\ / [ M, M2 MrMz )

(1 r7)

Persamaan 117 merupakan persamaan kuadrat dalam oPDengan demikian terlihat bahwa suatu sistem dinamis denganderajat kebebasan dua akan mempunyai dua buah circular fre-quency yang nyata.

Untuk menjetraskan lebih lanjut, anggaplah kekakuan per kr,kz dan k3 semuanla sama, yaitu sebesar k. Begitu pula denganmassa Mr dan Mz yang sama dengan M. Dengan demikian persa-maan 117 berubah menjadi:

6,F -f+1,, *{=o (u8)\ / l.Mi Mz

Persamaan 118 akan menghasilkan dua buah akar, yaitu:

or2 = k/M dart

(1le}

atau:

ro, = rf(rlu) a"o

@z =r,.73tr(mt)

Kedua circular frequency ini merupakan natural circular fre-quency dari kedua normal modes yang ada. circurar frequencyyang lebih kecil, o1, merupakan frekuensi dari mode yang perta-ma (fundamental atau first mode, sedangkan ou adalah frekuensidari mode yang kedua (second mode.

Penggunaan cor dan rDz ke dalam persamaan 115 tidak akandapat menghasilkan besaran Ar dan Az tetapi hanya akan meng_hasilkan perbandingan antara Ar dan Az. Hal ini terjadi karena rordan coz didapat dengan menyamakan determinan koefisien per-sarnaan 1 15 dengan nol. Harga relatif Ar dan Ae tersebut dinama_kan bentuk karakteristik (ciara cteristic shape atau characterisicvector) dari sistem dinamis tersebut.

Untuk kasus ini, dengan menggunakan ror (I2O), persamaEulpertama dari persamaan 115 menghasilkan:

(120)

(r21)

(122)

(123)

(124l,

(-r< + zt)e,, + (-k)Ar, = o

sehingga diperoleh:

Att = Azr

yang merupakan bentuk karakteristik dari mode pertama. Dalampersamaan di atas subscript kedua dari Ar dan Az menyatakannomor mode atau nomor frekuensi. Tentu saja hasil yang samaakan didapat bila orr dimasukkan ke dalam persamaan-keaua daripersamaan 115. Penggunaan az (l2O) ke dalam persamaan ll5menghasilkan:

(-er*2k)A"-+(-r)er, =osehingga didapat:

Av = -Azz

yang merupakan bentuk karakteristik dati mode kedua.

. D1.* mode yang pertama, kedua massa bergerak dalam

arah dan besar yang sama, sedangkan dalam mode kidua, kedua

tar Analisis Dinamis dan

massa tersebut bergerak dengan besar yang sama tetapi dalatttarah yang berlawanan. Dalam suatu mode tertentu kedua massatersebut bergerak dalam fase yang sarna sehingga simpanganmaksimum pada kedua massa tedadi pada waktu yang sama. Ke-adaan ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan programkomputer gempa ii [8], yaitu dengan memberikan beban harmonisyang mempunyai. periode yang sama dengan periode yang ber-sangkutan.

L.8.2 Getaran Bebas Struktur dengan Derqiat KebebasanBan5rak

Persamaan gerak struktur dengan derajat kebebasan banyakdapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai (110):

My+KY=$ (12s)

di mana M adatah matriks massa, K, matriks kekakuan dan yvektor simpangan. Db,lam kasus-kasus yang sederhana, matriksmassa ![ biasanya merupakan matriks diagonal sedangkanvektor simpangan y merupalan vektor yang elemen-elemennyaadalah variabel yang sesuai dengan derajat kebebasan sistemyang ditinjau (Lihat pembahasan untuk sistem dinamis denganderajat kebebasan dua). Matriks kekakuan selalu merupakanmatriks yang simetris dan dapat dicari dengan mudah dengannnemperhatikan sifat-sifat sistem yang ditinjau (Lihat pembahas-an sub bagian 1.a).

Penyelesaian persamaan gerak 125 dapat diperoleh sebagai:

y=Asin(ot) (126)

Dalam persarnaan 126, y merupakan vektor simpangan se-

dangkan A adalah vektor amplitude yang berpasangan untuk vek-tor simpangan tersebut. Dari persamaan 120, vel'rtor percepatan

i dapat diperoleh sebagai:

i = -coz A sin (cot) (1271

Penggunaan persamaan 126 dan 127 dalam persamaan 125menghasilkan persamaan karakteristik (characteristic equationlsebagai berikut:

ro2MA+KA=O (128)

Analisis Strulfirr secara Dinamis 55

atau:

k-r' Pr]e = s

Karena A adalah vektor amplitude maka A tidak mungkin nolsehingga dengan demikian persamaan L29 harrya dapat dipenuhibila determinan matriks koefisien dari vektor A sama dengan nol.

i *-,' * l=o (130)

(12e)

Bila sistem dinamis yang ditinjau mempunyai n buah derajatkebebasan maka persarnaan di atas adalah persamaan frekuensiyang merupakan persamaan pangkat n dalam (oz). Dari persa-maan tersebut akarr diperoleh n. frekuensi o yang nyata yang ma_sing-masing merupakan natural curcular frequency dari n buahmode yang ada.

Dari persamaarr 129, untuk setiap harga o yang diperolehdari persamaan 130 diperoleh n buah vektor amptituai yang me-rupakan bentuk karakteristik (characteristic shape, characteristicn?9tor, mode shapCldari mode yang bersangkutan. Seperti telahdijelaskan dalam pembahasan sistem dinamis dengan der4iat ke-bebasan dua, bila sistem dinamis tersebut bergetir dalam salahsatu mode maka bentuk simpangan yang terjadi selalu mengam-bil bentuk mode yang bersangkutan.

Dalam istilah matematik, persarnaan karakteristik (129) dike-nal.dengan nama persamaan Eigen, ((oz), dikenal sebagai charac-teristic ualues atau Eigenualues sedangkan characteriitic shape,A, dikenal sebagai Eigenvector. problema yang menghasillianbentuk persarnaan Eigen dinamakan Eigenuatub probtem ataucharacteri s tic ualue pro blem.

1.8.3 Natural Frequeucy daa Mode Shape

Ada bermacerm-macam cara untuk mencari natural frequency{an mode shape, yang di antara cara-cara manual terdapat caraStodola-Vianello, cara Rayleigh-Ritz [], 2, 3] dan cata Holzer.Dalam pembahasan berikut akan dibicarakan cara H6lzer.

1.8.3.1 Cara Holzer

Perhatikan suatu struktur dengan derajat kebebasan n se-perti terlihat dalam Gambar 31. untuk menyederhanakan pemba-

ii,III

56 Pengantar Analisis Dinamis dan Gernpa

hasan, struktur tirsebut dianggap tidak mempunyai damping.Seperti telah dikemukakan di muka, persamaan gerak strukturini dapat ditulis sebagai:

Pt*r--

?

Pt

-,

Giambar 3L. Cara Hdlzer

M1i+ Ky=Q

Penyelesaian persamaan tersebut di atas dapat ditulisgai:

y = A sin(rot)

(131)

seba-

(132)

Bila struktur bergerak dalam mode ke j, circular frequency or

adalah:

o=oj

sehingga simpangan untuk massa i, y;;diperoleh sebagai:

tr+r IKi+t / I

mi ( Iid

,I

l, ^,


yii = Aij sih (o; t;

dan percepatan yg sebagai:

ii,j =oj2 'e'u sin(ol, t)

yang dengan memperhatikan persamaan 134 dapat diubah men-jadi:

!'6 = ol v;1 (136)

Dengan menggunakan dynamic equilibrium dari D,Alembirt,pada massa mi dapat dianggap terdapat gaya sebesar:

P{ = }s mi (132)

Substitusi persamaan 136 ke persamaan 137 menghasilkan:

Pij = oi y,j (138)

Gaya geser antara massa mi dan massa m1i.ry dapat diperolehdengan mengalikan simpangan relatif antara massa mi dan massam(i+r). Dengan kekakuan tingkat tersebut akan didapatkan gayageser di atas lantai ke i, Q1i*ryj, sebagai:

Q1i*r); = (Y1i*r;.;yn )t1i.rl (13e)

Keseimbangan horizontal struktur di atas lantai ke'i mengha-silkan:

57

Q(i*r): = u=i,.,,

,o

Dari persamaan 139 dan 140 diperoleh:

. I -,Pniy(i+r)5-yij =T#ilatau:

n

. I..P,nk-{i+l)Iii = Y1i*r;i

r( (i+t)

(134)

(13s)

(r40)

(141)

(133)(r421


Memperhatikan persamaan 138, persamaan 142 dapht ditulissebagai:

i,r,, yri dr,6+r)

Yg =Y(;+r)i---,_) (r43)

Persamaan 143 merupakan dasar dari cara H61zer. Terlihatdari persamaan 143, bila simpangan di atas massa ke i, y6*r1i,

]1i+25, ....., Ynj, dan circular frequency untuk mode ke j, q telattdiketahui, maka simpangan pada massa ke i, y5 dapat diketahui.Dengan demikian simpangan pada rnassa-massa yang lain .(diba$rah massa ke i) iuga berturut-turut dapat diperoleh dengancara yang sama. Dalam hal circular frequency q yang dipakaiadalah circular frequency yang sebenarnya, maka simpanganpada dasar struktur, yoi adalah nol. Karena oj yang dipergunakartbelum diketahui maka proses ini hartrs dilakukan dengan caracoba-coba sampai didapatkan harga oj yang menghasilkan yqi nol.

Sebagai kesimpulan perhitungan (circular) frequency dengancara Hdlzer dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai be-rikut:1. Tentukan perkiraan circular frequency mode yang dicari, q.2. Tentukan simpangan lantai teratas, ynj, sebagai satu unit, yg =

1.3. Berturut-tumt hitung simpangan lantai-lantai di bawatrnya,

j1a-r15 sampai dengan simpangan di dasar stmktur yq.4. Bila circular frequency yang dipilih dalafn langkah pertama

adalah circular frequency yang benar maka simpangan padadasar struktur ]o; harus sama dengan nol. Bila yoi ternyata ti-dak nol maka cobalatr perkiraan q lain dan ulangilah langkahI sampai 4.

5. Setelah melakukan perkiraan o>.; dua kali maka perkiraan se-lanjutnya dapat diperoleh dengan menggambarkan gralikyang mempunyai sumbu horisontal q dan sumbu vertikal yoi.

oj yang benar dapat diperoleh dari perpotongan graJik terse-but dengan sumbu ro1(Gambar 33).

Uniuk menjelaskan lebih tanjut cara ini, ikutilah perhitungancircular frequency dari sistem dengan derajat kebebasan tiga dibawatr ini (Gambar 32).

Analisis Strukhrr secara Dinamis

Ganbar 32..Contoh cara Hdlzer

Matriks massa M dari sistem tersebut adalah:

(144)i

sedangkan matriks kekakuan K:

(14s)

Sebagai percobaan pertama ditetapkan harga or2 sebesar 0,4k/m, kemudian dilakukan perhitungan seperti terlihat dalamTabel4. Ternyata (02 yang dipilih menghasilkan ys = 0.352 sehing-ga harus dilakukan perhitungan selanjutnya. Misalnya kemudiandipilih co2 sebesar 0.8 k/m. Ternyata pilihan ini menghasilkan ys =- 0.934 (Tabel 5). Dalam taraf ini untuk mendapatkan pilihanyang lebih terarah dapat digambarkan grafft antara af dan yo(Gambar 33). Dengan memperhatikan gralik ini, misalnya dipiliha2 = O,2 k/m yang kemudian menghasilkan yo = O,216 (Tabel 6).Hasil ini juga digambarkan dalam grafik. Harga roz yang dipilihkemudian adalah O,27 k/m. Harga o2 ini menghasilkan y6 =0,007 (Tabel 7l yarry cukup dekat dengan nol. Dengan demikianharga circular freguency yang diperoleh adalah o = O,S2

rf(t lr").

59

Ir o olu=l o r ol

[o o +]

I z -r olr=l -t z -rlr<

lo-r rl


Tabel 4: cD2 = O.4 k/m

MASSAno: m mo2 v mo2y Y rlk x. l/k

3

2

I0

0.51.O

1.0 .

o.20.44.4

1.00.8o.28

-0.352

o.2o.32o.tL2

o.2o.52o.632

1.01.01.0

o.40.880.654

)mkJ/kti.r)

i

m

rumus:(n

Yir = Y(i*r)t -l Ir,\k=(i+l)

Tabel5: o2 = 0.8 k

massano: m mro2 v mo2y s rlk 2,. Llk

32

1

0

0.51.O

1.O

0.40.80.8

1.00.6

-0.28-0.934

o.40.48o.224

0.40.880.6s4

1.01.01.0

o.40.880.654

Rumus:(n \

YE = Y(i+r)1 -[_8,i,' vu mkJ/kti.rt

yo

0r2 --\_

-0,352----J-o,934

Ganber 33

y2

_ll

Analisis Struktur secara Dinamis 6i

Tabel6: o2 = A.2klm

massano: m mol2 v mo2y s Llk E. l/k

3

2

1

0

0.5

1.0

1.0

o.1

o.2

o.2

1.0

0.9

-o.62

-o.276

0.1

0.18

o.t24

o.1

o.28

0.404

1.0

1.0

1.0

0.1

0.28

0.404

rumus:("

Y,: =Y(i*r).;-l I oj\r-(i+r)

' ,u, *tJrr.6.,l

Tabel 7: w2 = A.27 k/m

massano: m mo2 v mo2y tt L/k x. l/k

3

2

Io

0.5

1.0

1.0

0.135

o.27

o.27

1.0

0.865

o.496

a.oo7

0.135

o.234

0.134

0.135

0.369

o.503

1.0

1.0

1.0

o.135

0.369

0.s03

Rumus:(2. \

Yu = Y(i*r).i -l Ir,' Yr * l/k1,.,t(r-(i+r) )Perhitungan dalam Tabel 4 dan 7 dapat dengan mudah dila-

kukan dengan menggunakan suatu program kecil dalam suatuprogramble calculator.

Dengan caraHdlz.er ini simpangan y yang didapat dari perhi-tungan di atas (Tabel 7) adafah mode shape dari circular fre-quency, o, yang bersangkutan. Eentuk mode shape ini dapatdigunakan untuk menentukan circular frequency dari mode keberapa yang diperoleh. Dalarn contoh di atas, melihat mode shape


yang diperoleh, ternyata o yang didapat adalah circular frequencydari mode yang pertama.

Sebagai pedoman bentuk mode shape ke n akan memotonggaris vertikal n kali. Jadi bentuk mode shape 1, menaotong garisvertikal I kali.

Bila struktur yant ditinjau adalah struktur yang mempunyaibanyak derajat kebebasan maka cara ini sangat tidak praktis biladigunakan untuk mencari seluruh circular frequency mode yangada. Dengan perkembangan komputer pribadi yang pesat, perhi-tungdn circular frequency dan mode shape ini dapat dilakukandengan mudah. Misalnya dengan menggunakan cara Jacobi [10,1U.

1.8.3.2 Cara Jacobl

Cara Jacobi adalah suatu cara yang dapat digunakan untukmencari Eigenvalue dan Eigenvector dari problerna Eigen yangstandar, yaitu:

[x-rr],1=o (146)

Dalam keadaan di atas, I adalah matriks satuan (bandingkandengan persamaan 150).

Bila dengan satu dan lain cara dapat ditentukan suatu ma-triks yang nonsingular dan mempunyai sifat:

X'l KX=L ll47ldi mana matriks L adalah suatu matriks diagonal, maka elemendiagonal matriks L, 1rr, 1zz adalah eigenvalue dari matriks K, se-dangkan kolom ke i dari matriks X adalah eigenvalue darieigenvaiue ri [1O].

Selain itu diketahui pula [10] bahwa eigenvalue dari duabuah matriks A dan B adalah sama bila matriks A dan B tersebutadaiatr matriks similar, yaitu mempunyai sifat:

(148)B=PrAPdi mana matriks P adalatr suatu matriks yang nonsingular.

Prinsip dari metode Jacobi adalah menghilangkan elemen-elemen matriks K yang berada di luar diagonal utama secara ber-urutan dengan menggunakan transformasi-transformasi similar

Analisis S1rukfirr secara Dinamis 63

lIli'

)rItIi

tT

It8

t

t

bansfotaationl,rotasi R. Jika elemen lqmatriks rotasi R adalah:

yaitu dengan menggunakan matriksdan kii hendak dijadikan nol malca

j

R= -s----...

c

(14e)

Dalam persamaan 149, s'adalatr sin 0 dan c adalah cos 0Besar sudut 0 tergantung kepada elemen matriks K pada trans-formasi sebelumnya, yaitu:

tan (20) = ;fr. , untuk kii ;r \ij dan,

0=n/4 untuk kii = kii (1s0)

Matriks rotasi R merupakan suatu matriks orthogonal, yaitumatriks yang mempunyai sifat R.r = Rr. Dengan demikian trans-formasi similar dilakukan berturut-turut pada matriks t( sglagai3

IQn+ly = R.r II" R. (ls1)Dalarn persamaan 128, IG adalah matriks K hasil transfor-

masi ke n.

Cara Jacobi yang dibahas di atas adalah cara Jacobi yanghanya dapat digunakan pada suatu problema eigen standar danmatriks K yang simetris dan tidak dapat digunakan secara lang-sung untuk mencari circular frequency dari suatu sistem dina-mis. Hal tersebut dapat diatasi dengan menggunakan transfor-masi berikut.

Persamaan karakteristik suatu sistem 6inamis adalah:

[*-.' nr Jl =o (1s2)


Bila matriks A kita ganti dengan:

A=U-0.s8 (153)

maka persamaan 152 menjadi:

[*-.'Ivr ]nr-o, B=o atau,

[**' -(02 M,,'s ]r=o (1s4]

Bila persarnaan 154 dikalikan di depan Qremultipliedldengan matriks M-o's akan didapatlcan:

[*t' KM{'s -co2 I]r=o (ls.s)

Matriks M-o.s I(M-o.s merupakan matriks yang simetris. Per-samaan 155 adalah problema eigen standar yang dapat diselesai-kan dengan cara Jacobi di atas.

Perhatikan bahwa dalam setiap transformasi, elemen luar di-agonal yang dalam transformasi sebelumnya sudah nol bisa sajapenjadi tidak nol kembali sehingga transformasi similar ini harusdilakukan terus sampai elemen-elemen luar diagonal matriks Kmenjadi no1 atau mendekati nol dalam suatu toleransi yang telahditentukan. Ada beberapa variasi dari cara Jacobi [11] yang mem-punyai konvergensijauh lebih cepat dari carayang dibicarakaa diatas.

1.8.4 Sifat Orthogonal Mode Shape

Dua buah vektor A dan B dikatakan orthogonal bila perkaliankedua vektor tersebut adalah nol.

ArB=0 (1s6)

Bila ro" dan ol- adalah dua buah akar dari persamaan karak-teristik dari:

[*-r'rvr]l=o (1s7)

maka akan didapatkan hubungan sebagai beiikut:

orr2UA.=KA"6)-2MA-=KA-

(ls8)

(1se)

Dalam persErmaan 158 dan 159, vektor A" dan A. masing-masing adalah karakteristik vektor (atau mode shape) dari ro- dan

l

Analisis Stmktur secara DinamisiIiII

on. Pengalian di belakan g Qnstuultiplstl tanspose persgrnaan l3gdengan vektor A- menghasilkan:

(.o' r^, )' ^. =(xrt,)r .a,.

atau:

(.n' no' t')l. = (A"r *')e,Pengalian di depan QreaultiplSl persatnaan

transpose dari vektor Ao menghasilkan:

oo,2 AoT MA. =AoT KA.Karena matriks f dan matriks K

simetris maka:

F=[danI(r=K (163)

Dengan demikian, dengan memperhatikam persamaan 163,pengurangan persamaan 161 dengqn pershmaan 162 menghasil-kan: :

(.,'-.,'ho'MA, =9 (164)

I(arena akar karakteristik ro" tidak sErha dengan orp, maka:A.r l[ A- = g (165]

Sedangkan dari persamaan 165 dan 162 serta memperha-t ryr batrwa akar persamaan karakteristik ola tidak sama dengannol maka akan diperoleh:

A"rKA-=0 (166)

Kea&an yang ditunjukkan d;- persamaa:n 165 dan 166ini menunjukkan bahwa mode shape mCmpunyai sifat orthogonialterhadap matriks kekakuan K dan rnatriks massa U. - -.

Bila suatu matriks Q dibentuk'dengan menggunakan charac-teristic vector, Ar, Az, ....., l|la1 maka:.,,

0'xo=K'd

0'mo=M'd . (167)

adalah matriks

(160)

(16U

159 dengan

(1621

yang

ililll

l

Subscript d pada matriks K* dan il* menuqjukkan bahwakedua matriks tersebut adalah matriks diagonal.

1.8.5 PerraEean Modd

Perhatikal persarnaan gerak getaran tak bebas untuk sistemberderajat kebebasan banyak di bawah ini:

Mi+Ky=(t)misalkan:

y-0y'dan

y=9y

di mana Q adalah matriks dengan elemen-elemen karakteristikvektor A,, sehingga persamaan gerak 168 menjadi:

M0Y'+K{Y'=P(1) (170)

Pengalian di depan (premultiply) persamaan 17O dengan ma-

triks {r menghasilkan:

Sr M0 i' +0' K0 y' = 0' r(t) (171)

Dari sifat orthogonal mode shape (166), persarnaan 171 men-jadi:

Md'y'+Kd'y'=0t r(t) $721

Terlihat bahwa persamaan 172 adaTah Persalnaan yang ter-urai (uncoupled), yaitu terdiri dari n buah persamaan getaran

dengan derajat kebebasan satu (single degree of freedomsysieml. persamaan yang telah terurai ini dapat diselesaikansebagai getaran dengan derajat kebebasan satu, yaitu:

mii' ji'r +kii' = i0,, Fr(t), i = 1 ....... nl.= 1

Karena kdrakteristik vektor A" hanya merupakan sr'latu per-

bandingan maka perbandingan ini dapat dibuat sedemikian rupamenjadi A*', sehingga:

Anlr M ADl= 1

(168)

(16e)

(173)

(t74l.

:'

Analisis Strr,lktur secara Dinamis

Karakteristik vektor A"'yang mempunyai sifat seperti persa-maan 173 dinamaka;:, notmalized characteristic vector. Bila suatumatriks $' dibentuk dengan menggunakan normalized characte-ristic vector, maka:

0'r MO' = I

Dari persamaan 153, untuk ol didapat hubungan:

K0'=.i2 M0' G76l

Pengalian di muka (premultiply) persamaan 176 dengan g'rmenghasilkan:

o'r ro'=roi2 0r Mo' $TTl

Menggunakan persamaan 175, persarnaan 177 menghasilkanhubungan:

O'r0' = oi2d (1zg)

yaitu suatu matriks diagonal yang diagonal utamanya adal,ahkuadrat dari circular frequency oli.

Bila untuk pembentukan matriks g dipakairacteristic vector:

y={'y' dan

y=9'y

maka persamaan 172 menjadi:

Io' y'+co,2a y' =OT F(t)

Persamaan 180 adalah n buah persamaan yang terurai(uncoupled), yaitu n buah persamnan getaran dengan derajat kebebasan satu (srngle degree of freedom systeml, yaitu:

y'i +ro,2 r'=iO',, E(t) , i=l ... n

67

(17s)

normalized cha-

(t7el

tl80)

(181)

i.- IIngat bahwa y* bukan merupakan penyelesaian yang sebe-

narnya. Selain daripada itu harus diingat bahwa y* yang didapatdari persamaan 181 tidak sama dengan y* yang didapat daripersamaan 173. Penyelesaian sebenarnya dapat diperoleh daripersamaan 169 atau 179:

1.8.6 Stnrktur Berderqfat Kebebaaan Banyak dengan Damping

Persamaan gerak struktur berderajat kebebasan banyakdengan damping dapat diturunkan sebagai:

My+Ci+ry=r(1) (182)

Seperti pada struktur tanpa damping, dengan menggunakan:

y=0y'

y=qy

i=0i' (18s)

di mana $ adalah matriks dengan elemen-elemen norlnalizedcharacteristic vector, Iu'. Persamaan 1 6O. dapat diubah menjadi:

M0!i'+C0i'+K$y'=r(1) (184)

yang bila dikalikan di muka dengan Qrmenjadi:

0r MOi'+0'c0i' +O'x.6y' =0r r(t)4

atau:

i' + 0t c0 i' + o)i2d y* = 0t (t)O

Persamaan 186 hanya dapat menjadi n buah persamaanyang terpisah bila suku kedua dari persamaan 186, yaitu perka-

lian matriks 0rC0 menghasilkan matriks diagonal. Hal ini hanya

mungkin bila besar damping, C, dapat dinyatakan dalam kombi-nasi antara matriks M dan matriks K sebagai:

C= aM+ bK (187)

Misalnya C adalah sedemikian nrpa sehingga:

(18s)

(186)

AitQ15=6

&rCAr=20or

untuk i * juntuk i = j (188)

Qengan demikian (persamaan 188), persamaan 186 menjadi:

!'+2proi y'*coi2 r'=i0,, E(t) , i=l ... n (189)'1.=

1

Analisis Stnrktur secara Dinamis

Anggapan dalam persamaan 187 sama dengan mengansgapbahwa koefisien damping dalam suatu mode tertentu aaalatrsebesar P kali critical damping dalam mode tersebut.

C, = p Ccri (1e0)

(lel)

69

Perhatikan bahwa dalam persamaan 189, roi adalah circularfrequency untuk sistem tanpa damping (natural circular fre-quency).

1.8.7 Crcrakaa pada Pondari

Persamaan gerak suatu struktur berderajat kebebasan ba-nyak yang digerakkan pada pondasinya dapat diturunkan dengancara yang sama dengan penurunan persamaan gerak untukstruktur dengan derajat kebebasan satu sebagai berikut. Bilagerakan pada pondasi dinyatakan sebagai yo dan gerakan padamassa mt dinyatakan sebagai yri, maka dengan menggunikanprinsip dynamic equilibrium dari D,Alembert persamaan geraksistem tersebut dapat diturunkan sebagai:

Mlir +c(i, -ir)*K(y, -yo)=0Perhatikan bahwa untuk gaya inersia harus dipergunakan

percepatan absolut pada massa yang ditinjau, 1l5, sedangkanuntuk gaya perlawanan dari per digunakan selisih antara gerakanpada massa, yli, dengan gerakan pada pondasi, yo. Bila gerakanrelatif dari massa terhadap gerakan pondasi, (yri - yo), dinyatakansebagai y, maka:

v=(vr-yo)

Y=(i, -Yo)

!i=(i,-Yo),d*Yr=Y+Yo (L921

Dengan demikian persamaan gerak 191 berubah menjadi:

M(i, * lio)+ Ci + Ky =0, atau

Mi+Ci+Ky=-M!;o (le3)

Perhatikan bahwa persarnaan gerak ini (193) sarna denganpersamaan gerak getaran tak bebas (persamaan 182), denganmatriks gaya pada massa F(t) sebesar (-U 9o. Dengan demikiansemua pembahasan yang telah dilakukan juga berlaku untuk ge-rakan pada pondasi. Dengan anggapan-anggapan dan cara yangsama, persamaan 193 dapat diuraikan menjadi n buah persa-maan yang terpisah sebagai:

'i'; +29coi y' *oi2 y'

Di mana:

v=0rDalam persamaan 195, matriks $ adalah matriks yang

elemen-elemennya terdiri dari normalized characteristic vector Ar'Perlu diingat pula bahwa dalam hal geralcan pada pondasi,simpangan y adalah simpangan relatif antara dua massa yangberurutan.

= -yo io,, *rl=1

, i=l ... n (1e4)

(1es)

BAGIAN KEDUADASAR PERTNCAIIAAIT BANGI'I{AN TERHADAP GEMPA

2.1 PENDAHULUAN

Dalam bagian pertama telah dibicarakan dasar-dasar analisisdan perencernaan struktur terhadap beban dinamis. Dalam bagi-an ini akan dibahas secara khusus respons dinamis bangunanterhadap beban gempa. Q3!ah__salu- cara perhitungan respons su-atu bangunan terhadap 'gemfi'b.aatafr dengan cara stitic equi_ualent, yaitu suatu cara di mana beban dinamis diubah menjadibeban statis yang mempunyai efek ekuivalen dengan beban dina-mis yang diharapkan. Beban static equivalent ini biasanya diaturdalam peraturan-peraturan bangunan tertentu. cara static equi-valent ini tidak akan dibicarakan di datam bagian ini. cara yangakan dibicarakan adalah cara perhitungan secara dinamis.

Perhitungan respons dinamis suatu bangunan terhadap be_ban gempa dapat dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu perhi-tungan respons riwayat waktu (time history analysi$ yang biasa_nya dilakukan dengan memakai analisis numerik, serta perhi-tungan dengan cara analisis ragam spektrum respons (modalanalysi$.

Cara analisis numerik untuk beban yang diberikan padamassa strukturlyang ditinjau telah dibahas aaiam bagian perta-ma. Karena pembebanan pada pondasi (dalam hal ini gempil aa_pat ditinjau sebagai pembebanan pada massa strqltu_r/ makgpenyelesaian dengan cara numerik yang telah dibahas dalam balgian satu dapat langsung dipakai untuk perhitungan respons

I

I

Pengantar Analisis Dinamis dan

terhadap gempa. Dalam bagian ini secara spesifrk akan dibicara-kan cara analisis ragam spektrum respons (modal analysis).

2. 1. 1t Stnr&trrr Bg-mi, dan Daerah Gempa

Struktur bumi'(Gambar 34;, diperkiralq4 terdiri dari bebera-pa lapisan. l,apisan yang terluai adalah kerak bu,Jni (earth crusfl.kerak bumi ini merupakan lapisan yang keras dan mempunyaitebal yang berwariasi antara 5 sampai 60 km! Di daratan kerakbumi ini dapat mencapai tebal 4O krn, sedangkan di daerah yang

bergunung tinggi dapat mencapai sekitar 60 km. Di lautan yangdatam, kerak ini bisa setipis 5 sampai 8 km saja' Lapisel yang

[edua, di bawah kerak bumi, terdapat suatu lapisan batu-batuanv"rrg dinamakan mantel (mantlQ. Mantel ini diperkirakan ada

dalam keadaan plastis atau semiplastis dengan kedalaman men-capai 29OO km. Lapisan ketiga adalah suatu lapisan yangdinamakan inti luar (outer core). Inti luar ini berada dalam ke-adaan cair dan diperkirakan sampai kedalaman 5000 km. tapis-an yang paiing dalam dinamakan inti dalam (inner corQ yan.gpa-dat dan dioerkirakan terdiri atas besi, nikel dan ?at'"at padatlainnya.l peikir""r, lapisan bu4i -,ini didapatkan berdasarkan teori

igetombang bumi yang tidak akan dibahas di sini"l Tekanan di'dd^* bumi diperkirakan dapat mencapai tiga juga atmosfer'

D {16a9sJ.5oo0I kmr kmI

A-- KerakB-- MantelC-- Inti Luar ycrng CairD-- tnti Dalam yang Padat

tzgoo!1@

dda-

{30k8lt

Gambar 3,4. Struktur bumi

Dasar Perehcanaan Bangunan terhadap Gempa

Gambar 35 menunjukkan gempa yang terjadi di dunia yangdilaporkan oleh US Coast and Geodetic Survey. Pada tahun 1966distribusi secara geografis yang ditunjukkan dalam gambar ter-sebut merupakan representasi dari gempa yang tercatat dalamabad ini. Gambar tersebut juga menunjukkan edegyg_.-{U*- hg3bj-e!*r utqna gemPa, Yaitu:/1. Jalur Sirkum Pasifik (Circum Pacilik Belfl yang dimulai darii Amerika Selatan naik ke Utara mengelilingi l,autan Pasifrk

untuk kemudian turun ke Selatan melewati Jepang, Taiwan," Phlipina, Sulawesi, Irian dan berakhir di New ?*aJartd., 2. Jalur Trans,Asiatik (?rans Asiatic Be|fl yang melalui Medite-

rania, Himalaya, kernud.ian melalui Sumatra menunju Jawa,, Nusa Tenggara untuk kemudian bergabung dengan jaiur sir-i, kum pasifik di Sulawesi. Satu cabang dari jalur trans asiatik

ini menuju ke daratan Cirra.

Gambar 36 menunjukkan jalur gempa di Indonesia secaralebih mendetail.

2.L.2 Istilah-istilah yang Banyak Digunakan

Untuk memperlancar pembahasan lebih lanjut maka dalambagran ini akan dibahas beberapa istilah yang sering digunakan.dalam pembahasan mengenai gempa. Istilah-istilah lain yanglebih spesifik akan dijelaskan pada waktu diperlukan.

2.L.2.L Selsmograph

Seismograph adalah suatu alat yang digunakan untuk men-catat gerakan-gerakan tanah, misalnya simpangan (displace-menfl, kecepatan (velocity) atau percepatan (accelerationl, ter-gantung dari alatnya, bila aiat tersebut mencatat percepatan(acceleration) gerakan tanah, alat tersebut dinamakan Accelero-graph.

2.1.2.2 Seismograa

Seismogram adalah catatan yang berupa gralik yang didapat-kan dari seismograph. Grafik yang mencatat percepatan (accele-ration) gerakan tanah dinamakan Accelerogram.

73


i,!.!4'..r*r.r..,.

rli

.o--- a.- -Y

;I

_..- L_

Gambar 35. Gempa yang terjadi sampai dengan tahun 1966 Grabrr 36. Jalurgemp di Indonesia

3

I

t

iT4

\

i

I{

ad.t-rJFZLU\)a"LtJ

lJ-OA

Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

2.1.2.3 Focus atau Hypocenter dan Eplcenter

Ganbar 3?. Focus dan EPicenter

Focus atau hypocenter adalah pusat gempa yang terdapat didalam bumi sedangkan epicenter adalah titik di permukaan bumitepat di atas hipocenter (Lihat Gambar 37).

Suatu gempa dinamakan gempa dangkal (shaUow focusearthquakCl bila focus datri gempa terletak antara 0 sampai 70km. Sedangkan bila focus gempa terletak antara 70 sampai de-ngan 300 krn maka gempa tersebut dinamakan gempa menengah(intetntediate focus earthquakel. Gempa yang mempunyai focuslebih dalam dari 300 km dinamakan gempa dalam (deep focusearthquakQ.

I'i Z.t.g Mctraalrrae TerJadlnya Gerapa

Seperti problema-problema mendasar dalam -bi{e.11g

sains,mekanisme fedadinya gempa sampai sekaraog masih lgtap meru-pakan tanda tanya. Dahulu orang mengira bahwa penyebab terja-dinya gempa adalah Dewa Atlas yang capai mendukung bumidankemudian memindahkan beban bumi dari bahu yang satu kebahu lainnya,'atau karena adanya ikan lele raksasa yang meng-

76

rl\t\i\\_y-.--

1

Fokus

,//-'r1

goyangkan badannya, atau yang agak bersifat ilmiah yang menya-takan adanya gua-gua maha besar di dalam tanah yang sewaktu-waktu runtuh atau karena adanya impak akibat jatuhnya meteorke bumi. Sekarang.o9+g percaya bahwc. gempa terjadi akibatadanya letusan gunung birapi atau karen" -"drry" f..-gi"t.r, i.t-tonik di dalqm bumi. Gempa yang terjadi karena adanya letusangunung berapi dinamakan gempa vulkanik sedangkan gempaya5lg terjadi karena adanya kegiatan tektonik dinamakan gempatektonik.

Untuk mempelajari proses perencanaan struktur terhadapgempa tentu diperlukan pengetahuan tentang gempa itu sendiri.Hal ,ini sebetulnya merupakan, bidang ilmu lain yang dinamakanseismologi. Berlainan dengan seorang seismolog, seorangyasawan (engineer) hanya tertarik kepada gempa-gempa besar(strong motion earthquakQ. Gempa-gempa besar ini biasanyamerupakan shallow focus earthquake yang terjadi karena suatuproses tektonik. Proses ini antara lain menyebabkan terjadinyagunung-gunung. Ledakan gunung berapi tidak lagi dianggapsebagai penyebab gempa dangkal yang besar. Salah satu teoriyang banyak dianut untuk menjelaskan shallow earthquake ialahElastic Rebound Theory,

Teori elastic rebound ini diusulkan oleh HF. Reid berdasar-kan studi terhadap retakan yang tedadi di San Andreas Faultpada waktu terjadi gempa San Francisco pada tahun 1906.{g1t*-9ryt,._gri tgktonik lempeng, lerak bUmi te*rdiri atas beberapale-mp'eng y.ang- bgrgelCk satu terhadap lainnya, ,Bata$ aiitara duab.1t"h lemp_giig. dinamakan iCiCkan kerak bumi- atau -BEsiiian(faulti. Meriurut teori elastic rebound, sebab dari gempa adalahadanya pelepasan elastic strain energ;l yang terjadi dengan tiba-tiba. Elastic strain enerS/ ini tertumpuk karena adanya gerakanantara lempengan kerak bumi. Bila pada suatu tempat tertentufra.cture strength dari kerak bumi terlampaui, titik ini akanmelepaskan elastic straln energr yang mlrupakan penyebabterlampauinya fracture strength di titik-titik lainnya (Gambar 38).Dengan demikian maka akan tedadi pelepasan energi yang besarsekaii yang mengakibatkan terjadinya gempa.


(a) &) (c)

Gaabar 38. Elastic Rebound TheorY

2.L.4llluren GcnprSuatu contoh accelerogram adalatr accelerogram dari gempa

El Centro, 18 Mei 1940 (Gambar 39). Gambar tersebut menunjuk-kan komponen Utara-Selatan dari Gempa El Ccntro.

/)

o.2

-ol

t

=2oEIaaq

He

a.Oa

ftME tN SECS

Ganbar 39. Gempa El Centro, komponen utara-Setatan, 18 Mei1940

/ Bagr seorang yasawan struktur, hal yang penting diperhati-'kan tentulah efek gempa tersebut terhadap bangunan' Ada tigaI *""* ukuran g"t"p" yang biasa dipakai untuk menyatakan

besarnya suatu gempa, Yaitu:

1

Dasar Pprencanaan Bangunan terhadap Gempa

a. Magnitudeb. Enerry yang dilepas dan

,,c. Intensity

.: 2.L.4.L Magnltude

Magnitude adalah suatu besaran yang menggambarkanbesarnya strain energ/ yang dilepaskan walctu tedadinya gempa.Ada beberapa rumusa$ untuk menc4ri magnitude ini, yang-palingfmum dipakai ialatr defrnisi magnitude yang diberikan olehS_c-h!"r,M=l0logA-rologAo

79

I

iit

llir

di.dalam persamaan diatas,A adalah amplitudo maximum dalamnim yang tercatat dengan alat standard pada jarak fOO km dariEpicenter. Alat standard yang dimaksud di sini adalatr suatuWood-Anderson seismograph dengan natural period 0.8 det, staticmagnification 2800 dan damping ratio 0.8. Ao adalah aplitudodari gempa standard yang besarnya adalah lo-s mm untuk jaraklj-Op.\Gempa standard ini dinamakan juga Zero shock, Lar--g3aLfrtuk A sama dengan fu akan didapat magnitude gempa M = 0,

/ataU- deilgan kata lain gempa standard adalah gempa yarigmempunyai magnitude nol pada skala Richter.

: Biasanya letak seismograph yang mengukur tidak akan*,/-- murgkin tepat pada. 100 km dari epicenter $auh lebih dari 100

- km) maka amplitudo A diperoleh dengan cara extrapolasi daril.amplitudo yang tercatat.

Skala Richter adalah suatu cara yang baik untuk menya-' takan besar gempa. Tetapi karena perhitungan magnitude ini

mengabaikan ketidak-uniforman dari kerak bumi, orientasi dari.l' fault, dan lainlain, ukuran ini bukanlah ukuran yang tepat.

,/ Dalam arti kata lain, magnitude yang sama tidaklah berarti besar.r gempa yang sama.

(1e6)

besar kerusakan yang. Magnitude juga tidak menyatakan"terjadi di suatu daerah tertentu.

2.1.4.2 Eaergy

, ,'Ada beberapa perumusan yang menyatakan besarnya energi\4[empa (seismic enerry) yang dikeluarkan oleh sumber gempa.

',ffiecara umum perumusan ener5/ ini dihubungkan dengan besari' rhagnitude sebagai berikut:

rii


rotogp-ro[6gEo+aM [Erg] (197]

Diantararrya rumus yang banyak dipakai addatr:rolog E - 11.8 + 1.5 m, Rumus Newmark

tolog E - 112.24 t 1.35) + 1L.44 t 0.20) M, Rumus Bathrolog E = 11.4 + 1.5 M, Rumus Guttenberg (198)

Dalam rumus-rumus di atas, E addah besar enerry dalamerg, sedangkan M adalatr bcsar magnitude menurut skala Richter.Rumus-mmus ini mempakan rumus empiris yang dibuat berda-sarkan gempa-gempa yang telah terjadi. Hubungg,n antara ener$ltotal dan enerry gempa dapat ditulis sebagai berikut:

E-yEt,y< 1

Dalam rumus di atas Et adalah ener$I total yang dibebaskandan T adalatr kocfisien yang terganhrng dari mekanisme gempa.Dalam kenyataannya hanya sebagian kecil dari enerry-total

- diubatr menjadi energ/ gempa. Sebagai contoh suatu bom sebesar1 megaton, melepa.skan energ/ sebesar 5.1022 erg, sedangkanuntuk mendapatkan getaran gempa dengan magnitude 7.3 diper-lukan 5O megaton.

r f z.f.+.a IntcnrttyIntensity adahh ukuran dnri daya rusak (destructiveness)

suatu gempa di suatu tempat tertentu. Dengan demikian suatugempa harrya mempunyai satu magnitude, tetapi mempunyaibermacam-tnacarn intensity yang berbeda dari tempat pengamat-an ke tempat pengamatan.

Ada beberapa macam skala intensity yang diusulkan dantelatr digunakan, beberapa di antaranya ialah:

a. Modified mercalli (M.M Scale)b. Mercalli - Cancani - Sieberg (M.C.S Scale|c. Rossi- Forrel

e. Japan Meteorogical Agency (JMA Scate)

Skala M.M banyak dipakai di Ameritca Utara, M.C.S danRossi-Forrel banyak dipakai di Eropa dan tentu saja.JMA dipakaidi Jepang. Sebagai contoh skala intensitas lihatlah skala JMAdibawatrini:. -- ' :

3

IttDasar Perpncanaqlr Bangunan terhadap Gempa

Terlihat bahwa dengan skala intensitas ini sangat baik untukmemberikan gambaran kerusakan suatu daerah akibat terjadinyagempa.

Tabel3: Contoh Skala Intensitas

JMA intensity Scale

0. No sensation, registered by seismograph but no perception byhuman body.

I. slight, felt by person at rest or person especially sensitive toEarthquake.

II. Weak, felt by most persons, slight rattling of doors andJapanese latticed paper sliding door.

III. Rather strong, shaking of house and building, heavy ratiling ofdoors and sliding doors, swinging of chandeliers and otherhangrng objects, movement of liquids in vessels.

IV. Strong, strong shaking of house and building; overturning ofunstable objects, spilling of liquids out of vessel four Iifths fuu.

V. Very strong, Cracking of plastered walls, overtuining of tombstones and stine lanterns, damage to monsonOy chimneys andmud plastered warehouses.

VI. Disastrous, demolition of up to 3Oyo of Japanese woodenhouses; numerous landslides and embankments failure;fissures on flat gfound.

vll.Ruinous, demolition of more than 3a%o of Japanese woodenhouses.

2.2 PERENCANAAN

Data yang sangat penting untuk merencanakan strukturterhadap gempa adalah data percepatan tanah pada waktu terjadiqempa besar (strong-motion earthquake, strong ground motion).Strong ground motion ini hanya dapat direkam pada strong-motion accelerograph. Suatu contoh dari gempa besar adalahgempa El Centro, 18 Mei 1940, yang mempunyai magnitudesebesar 7.1 pada skala Richter (gambar 39). Gamblr 40 menun-jukkan komponen vertikal dan komponen horizontal irrah s6gEsedaagkan gambar 41 menunjukkan komponen N21E dari gempa?aft, California, 2l Juli 1952, yang mempunyai Magnitude T.Z.

-

81

(1ee)

82 PengantarAnatisis Dinamis dan Gempa

Gambar 41 juga menudukkan Percepatan dan perpindattan

t *plrt"rr.rr t;d diperoleh dglsan mengintegrasi percepatan

i"rir, v*s u"t-""rrEm[o' Untuk klperluan perencanaon' karak-

terisrik gempa t"tirt"-^ dapat ditunjukkan dengan Response

Spectmm.

*rfErt co.ruar,

Genbar (+O. Komponen Veftikal dan Komponen S69E dari gemp- Taft, California,2l Juli 1952'

$r cofxoatoi:

I

Ol'

oo

'O.

{2

a2

E,jgc

E

DaBar Perencanaan Bangunan terhadap Gempa 83- . - _ _t

Craabar 4L. Komponen N21E dari gempa ?d| Califotnia, 21 Juli1952.

2.2.L Respoase SpectrrnRespons dari geralcan tak bebas dengan damping telah ditun-

jukkan dalam bagian pertama sebagai (90):

6

!r2,B

!

8B.!o3

B

Ix.d;oe

E

)ar (200)

Atau untuk Fr = I

' = lffir1''F.,n(t-r)'io

('"'f(' - P' )tt - t)ar

Persamaan gerak dari sistem dinamis dengan derajatbasan satu bila dibebani dengan percepatan gempa ialah:

my+cY+kY=-miio

atau:

m!+2mro, Pj,+kY=-mlo

(2o1)

kebe-

(2021

(203)

tar Analisis Dinamis dan GemPa

Dalam kedua persamaan di atas, y adalah simpangan relatifantara pondasi dan massa, sedangkan io adalah percepatan pon-

dasi (percepatan gempa). Dalam hal ini penyelesaian persamaan

203 dapat diperoleh dari persamaan 201 sebagai:

,-Fo"(t-r) rio (r" {t - p, )t -rl)* (2o41

Atau bila ro' diganti dengan T, oo = 2nlT ' persamaan 2O4 men-

jadi:

v = ffi iro(t)'no*x'r) sin (+1.f(' - p' )t' - rl) *Untuk suatu accelerogram tertentu iio(t), dapat dicari y-o,

untuk damping ratio p,dan periode T yang telah ditentukan. Gra--fit dari y-* untuk damping ratio p tertentu terhadap periode Tsebagai ,.riau.t dinamakan 'displacement respons qtectrum, s6.Harus diingat bahwa y adalah simpangan relatif sehingga y-a,.

adalah si*paogan relatif maksimum. Setrain itu dapat puladigambarkan m-aximum relative vetocityyang dinamakan velocity,ispon" spectrum, S, dan maximum absolute acceleration yangdinamakan acceleration resPons spectrum, S^.

Percepatan relatif maksimum (maximum relative acceleration)yang dapat diperoleh dengan menurunkan y (persamaan 183)

fua"t terialu blrguna untuk perhitungan karena untuk menda-patkan gaya yang bekerja pada massa yang ditinjau diperlukanp"r""p"t 1 aLsohrt pada massa tersebut. Untuk rnendapatkanp"rc"patan absolut, percepatan relatif harrs ditambah denganpercepatan gempa y6 tersebut. Hal ini agak rumit sehingga ke-

mudian ditempuh cara yang lebih mudah, yaitu dengan meng-ingat bahwa gaya maksimum pada massa dapat juga diperolehae-ngan mengalikan simpangan relatif maksimum dengan keka-kuan per yang bersangkutan sehingga didapat hubungan:

Q-"* =ky-"* (206)

sedangkan Q-.,, juga dapat dinyatakan sebagai:

(2os)

Q-* = m ji-*

sehingga didapat hubungan:

" --voF)v=Jffi;

(2O71

3

II

Dasar Perqncanaan Bangunan terhadap Gempa

ji** = (t/n)y-"* (2OS)

Untuk p kecil, misalnya 9 < O.2, circular frequency, co, dapa!dikatakan sarna dengan o, sehingga:

(t lo,)= a^2 =(zntr)2

Dengan demikian persamaan 208 dapat diubah menjadi:

(r / zn) j, ^,, = (2r / T)y ^,"*

85

(2oel

t2r.0)

Memperhatikan persurmaan 210 di atas maka dapat ditulishubungan antara acceleration respons spectrum, S., dengan dis-placement respons spectrum, 56, sebagai berikut:(r7zr)s" = Sp., = (zn7r)so (2rrl

Dalam persamaan tersebut dikenalkan besaran baru, Spu,yang dinanakan Pseudovetocity Respons Spectrum yang mem-punyai hubungan dengan displacement dan acceleration responsspectrum sebagaimana terlihat dalam persamaan (211) di atas.Ultuk gempa dapat ditunjukkan bahwa pada umumnya Sp,tidak berbeda jauh dengan S, sehingga Spu. dapat dianggap se-bagai S" .

Gambar 42 menunjukkan komponen N2lE dari gempa Taft,California, 21 Juli 1952, berupa percepatan serta kecepatan dansimpangan yang diperoleh dengan mengintegrasikan.percepatantersebut. Gambar 43 menunjukkan acceleration dan velocity res-ponse spectrum dari komponen N21E dari gempa Taft tersebut.Gambar 44 dan 45 berturut-turut menunjukkan komponen N-Sdari gempa El Centro, 18 Mei 194O dan respons spectmm yangbersangkuta5r.

Newmark [3] mengusulkan suatu cara untuk menggambar-kan ketiga spectra, acceleration, velocity dan displacement, dalamsatu gambar dengan menggunakan skala logaritma tiga arah.Gambar 46 menunjukkan gambar respons spectra komponen N-Sdari gempa El Centro 18 Mei 1940 yang digambarkan dengancara tersebut. Gambar seperti ini biasanya dinamakan gamLardpanite.

Pengantar dnalisis Dinamis dan Gempa

2a6eDlzL6E20

Gambar 42. Komponen N21E gempa Taft, Californiat, 21 JuIi1952

86

a

EJ

8:9Eo

t-g.9.ss3

E

eI

;)o()

:3i

TAFT, CALIFORNIAJUI-Y 21, I9EJ?

N2r5

I{ATURA!- PERJOD. SECOtiDS

- Dasar hrencanaan BangEna! tohadap Gempa

Glambar 43. Respons Spectrun komponen N2lE gempa Taft,California, 21 Juli 1952

o?468tot2t416tE20TIME IN SECS

Ganbar 44. Komponen N-S gemp El Centro, Califomia, 18 Mei1940

87

=

69U

)3

z

o4C'

z6 0'"FE3oolrJo()

9-oa3G-(,

-ot

TATT. CALIFORNTAJULY 2t,1932

N2IE

NATURAL PERICO. SCCCiIDS

EL CENTRO. CALI FORI"IiA

MAY t8. t940N-s

TJATURAL PERIOO. SECONDS

I'IATURaL PEligO -stCONDs

Grnber 46. Respons spectrum komponen N'S gempa El Centro,California, 18 Mei 1940

tt1o'a,ttI

I

rO

u#rftar,lrl.:

Ganhrr #. Rec4tons spcctum dalam beatuk tiprtite,koaponcn N-8 gemp El Cenfro, &lifornia, 18 Mei 194O

Ganbu 17. Notaalircd acceletation tr,spr,ns sryEum komponenIrlW goap Sen Ftancltry,, I Fcbtu*i l97I

90 Pengantar Analisis Dinar:nis dan Gempa

vt3!E

ov,c.9o

6q

ireriod {sec)

Period (sec)

Period {sec)

Giambar 48. Design Spectrum

!at

coEI0B o.5i5

2.0l.o

I

"M'/

-zTi{i

ffi3.0

Karena langkanya rekaman gempa besar di suatu tempatmaka untuk merencanakan suatu struktur di suatu tempat ter-tentu tidak mudah untuk memperoleh rekaman gempa yangdiperlukan. Untuk keperluan itu biasanya dipergunakan bebe-rapa rekaman gempa di tempat lain yang tel,ah diskala percepatanmaksimumnya sehingga sesuai dengan percepatan maksimumyang diharapkan dapat te{adi di daerah tersebut. Untuk maksudtersebut maka dibuat respons spektra untuk gempa yang telahdiskala sehingga percepatan maksimumnya'menjadi satu kalikecepatan gravitasi (1g). Respons spektra seperti itu dinamakannormalized respans spectra. Gambar 47 menunjukkan nonnalizedacceleration spectrum untuk komponen N-W dari gempa San Fer-nando,9 Februari L971.

Period (sec)

Gambar 49. Bentuk TriWrtite dari Design Spectum

Untuk daerah California, Housner telah membuat suatu avarage rcspons spectra dari gempa-gempa yang pernah te{adi di

I

Iti

20

r0I6

oI

='5o6


California. Spelctnrm seperti ini kemudian dihaluskan (saootheQdarr dinamakarr design spoctum. Gambar 48 menunjukkan velo-city, acceleration dan displacement design spectrum sedangkanGambar 49 menunjukkan bentuk tripartite dari spektntm terse-but. Design spectra dari Housner ini dipakai sebagai dasar untukmenentukan design spectra yang diberikan dalam Peraturan-per-aturan gempa. .

2.2.2todd Aaelyrtr

Bila ys adalatr percepatan gempa yang bekeda pada suatustn:lktur dengan dera.iat kebebasan barryak, persamaan gerak sis-tem tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Mi+Ci+KY=-Mio I lztzy

Di datam persamaan tersebut y adalah vektor simpanganrelatif antara massa dengan pondasi/tanah sedangkan io adalahvektor yang elemen-elemennya adalah percepatan tanah (gempa),

lio'

Untuk mendapatkan respons riwayat waktu, persamaan 212dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan caranumerik, misalnya cara Constant velocity. Bila tidak dikehendakirespons riwayat waktu dan hanya dikehendaki respons maksi-mum maka cara modal analysis dapat dipergunakan.

Seperti telah dibahas dalam bagian pertama, persamaangerak dari sistem dina:nis dengan derajat kebebasan n dapat dipi-sahkan menjadi n buah persamaarl dari sistem dinamis denganderajat kebebasan satu, bila koefisien damping dalam suatu modetertentu adalah sebesar p kali critical damping dalam mode ter-sebut.

(213)

(21,41

(21s)

C, = p Ccri

Dengan demikian persamaan 190 menjadi:

!'+zp(r,I i'*(.,)3 y'=-0t ruio

di mana:

y=0y'

Dnlam persamaan di atas, matriks { adalah matriks yangelemen-elemennya adalatr normalized characteristic vector Ar'sedangkan subscript d pada matriks ox dan or2 menunjukkanbahwa matriks tersebut adalah matriks diagonal dengan elemenor dan ror2 sehingga persamaan 215 dapat ditulis sebagai n buahpersam.ran dengan derajat kebebasan satu seperti di bawah ini.y'i +2pro, j,'*rot2 y'=-!io gi ,i = I ... n 1216l

Circular frequency to1 dalam persamaan 194 adalah circularrequency dari sistem tanpa damping (natural circular frequency)sedangkan gr biasanya dinamakan modal participation factor darimode ke i yang dapa.t diperoleh dari mode shape lusebagai:

1217l

Maximum respons dari sistem dinamis dengan derajat kebe-basan satu (persamaan 216) dapat diperoleh dari respons spec-trum gempa yang bersangkutan dikalikan dengan gi. Dengan;per-kataan lain, yi* dapat dicari dengan cara sebagai berikut:

Yi' = 8i 'Sai 918)

Pada persamaan di atas gi adalah modal participation factordari mode ke i sedangkan Sa; adalah simpangan maksimumuntuk mode ke i yang diperoleh dari displacement respons spec-trum gempa yang bersangkutan.

Harrs diingat di sini bahwa yi" bukan simpangan daribangunan sesungguhnya. Untuk mendapa.tkan simpanganbangunan sesungguhnya hanrs digunakan transformasi (persa-maan 215).

,v=0/ (2L91

yang bila diuraikan lebih lanjut dapat ditulis sebagai berikut:

yi=iAiiyi',i-1....nFr r....n p)ol

Bila dalam mencari simpangan dala:n mode ke j, yj*, diguna-kan response spectmm Eaka hanya akan didapatkan yi* malcsi-


mum. Dengan demikian simpangan maksimum dari lantai ke i, yi,yang diperoleh dari persamaan 22O };ranya merupakan pendekat-an. Cara ini dinamakan Analisis Ragam Spectrum R0spons.

Untuk restrxlns bangunan terhadap gempa ternyata bahwa:1. Untuk balgunan bertingkat empat atau kurang, respons

maksimum yang didapat dengan melakukan analisis riwayatwaktu dengan caria numer* (exact solutionl {apat didekatibita dilakukan penjumlahan sebagai berikut:

(2211

2. Untuk bangunan yang lebih tinggi dari 12 tingkat simpanganmaximum dapat didekati dengan menggunakat! Root MeanSquare (RMS - sebenarnya Square Root of Sua of Square(SRSS), tetapi biasa disingkat dengan ,RMS) dari y1* maksi-

yi = iAi: B: Sa:

mum sebagai berikut:

v, = (Eh,, u, ,o,P) (2221

Selain daripada itu ternyata karena pengamh dari mode yangtinggi tidak besar, penjumlahan dengan cara RMS tidak perludijumlahkan seluruh mode tetapi culmp dijumlahkan 3 atau4 mode yang pertama:

y, =(i6, r,.u,P) (2231

Percepatan fi dan kecepatan yr pada masing-masing massadapat diperoleh dengan cara yang sama dengan menggantikanSat berturut-turut dengan S.i dan S"i.

2.3 Hal-Hal Yang Henre Dipcrhatlkan Dalam Pcrencanaan

Sampai pembahasan ini selatu diPakai anggapan bahwastruktur yang ditinjau daqpt disederhanakan menjadi massa danpr (lump mass systeal tanpa memperhatikan adanya torsi. Halini sebenarnya hanya dapat dilakukan bila pusat kekakuan(qnter of stilfiies$ berimpit dengan pusat massa lcenter of mas$.

Perhatjkan denah suattr stmktur yang mempunyai pusatmassa tidak berimpit dengan pusat kekakuan sePerti yang terli-hat dalam Gambar 50. Pusat massa merupakan titik tangkap darigaya akibat gempa, sedangkan pusat kekakuan menrpakan titikt

"gfop dari resultante gaya-gaya perlawanan karena kedua gaya

ini tidak berpotongan di satu titik. oleh sebab itu supaya keseim-

bangan momen dapat dipenuhi, akan terjadi puntir, sehingga per-

"*-^^n gerak yang tetat diturunkan tidak berlaku. Untuk meli-

hat gerakan yang terjadi dalam ruang' gunakan program gempa

iii [e].

G,ambar 60. Puntir

Perlu pula diperhatikan perubahan respons dari suatubangunan karena pengaruh kekakuan yang tidak diperhitung-kan, misalnya dinding pengisi yang pada waktu perhitunganstruktur tidak diperhitungkan (Lihat Gambar 51 dan 52)'

-J-\I Etcmcn i

Ganbar SL. Pengaruh dinding pengisi

Analisis Dinamis dan Gem

Gambar 51.a menunjukkan gambar portai dalam keadaansebenarnya. Portal ini biasanya direncanakan sebagai portal da-lam Gambar 5l.b di mana dinding pengisi diabaikan. Bila ternya-ta dinding pengisi cukup kuat maka dinding pengisi akan ber-tindak sebagai dinding geser (siear wal! dan mengubah responsportai yang terlihat dalam Gambar 51.b menjadi portal yangterlihat dalam Gambar 51.c.

Gambar 52 menudukkan pengaruh lain yang dapat terjadikarena adanya dinding pengisi yang tidak diperhitungkan. Bilakolom direncanakan seperti Gambar 52.b terhadap momen lentur= M, maka gaya lintang yang dipakai untuk penentuan tulanganadalah Qt = 2M/Lr. Besar gaya lintang dalam Gambar 52.b ditun-jukkan sebagai sudut kemiringan momen {i.

Bila dalam kenyataan terjadi keadaan seperti Gambar 52.c,kapasitas dari momen kolom tetap M. Untuk mengimbangl mo-men ini gaya lintang yang harus ditahan sesuai dengan pinsipstrong column weak beam adalah Qz = 2M/L2 (Lihat sudut 0zdalam Gambar 52.c) yang lebih besar d*i Q, sehingga dapatterjadi kemungkinan kehancuran akibat gaya lintang.

Harus diperhatikan juga agar tidak terjadi perbedaan keka-kuan yang besar antara kekakuan lantai satu dengan lantai yangIainnya. Hal ini akan menimbulkan kejadian yang dinamakan softstorey. Gerakan yang terjadi karena .pengaruh soft storey inidapat dilihat dengan program gempa ii [6].

1

l"J,Z

(b) 'lo.Lr---errer(")

Crambar 52. Dinding pengisi sebagian

Akhirnya karena perencanaan bangunan terhadap gempamerupakan perencanaan yang penuh ketidak-pastian maka pen-

ting sekali diperhatikan kemungkinan kehancuran (mode offailurd bila beban yang kita rencanakan ternyata terlampaui.Konsep strong column weak beam mengusahakan terjadinyamode of failure yang aman. Penting pula diperhatikan detail-detailperencanaan yang dapat menjamin daktilitas bangunan yangdisyaratkan sehingga tidak terjadi kegagalan konstruIisi yang be1-sifat getas (misalnya: runtuh akibat gaya lintang).

UI

{6

.?!Lz

.zilLt

rrui !

DAI.TAR PUSTAKA

Biggs, JM., Introduction to Structural DSmamics, Mc. GrawHill Book Company, New York, 1964

Clough, RW., Penzien, J., Dynamics of Structure.s, MC. GrawHiIl Book Company, New York, 1975

Newmark, NM., Rosenblueth, 8., FTtndamentat of EarthquakeEngineering, Prentice Hall, Inc., Newyork, l9Z1Kreyszig, E., Aduanced Engineering Mathematics, John Willeyand Sons, Inc., New York, 1972

Taylor, EA., Calculus with Analytic Geomeby, Maruzen AsianEdition, Maruzen Company Ltd., prentice HaIl, Inc., 1959

Rahardjo, B., Setiabudi, S., program Komputer untuk pen_didikan Bangunan Tahan Gempa, Skripsi No. 3lg.S, FakultasTeknik Jurusan Teknik Sipil, Universitas Kristen petra,Surabaya, 1987

Fleming, JF., Romualdi, JP., "A General procedure for Calcu_lating Dynamic Response due to Impuisive loadso, FranklinInst. Journal, Vol. 275, No. 2,}:re.l. IOT - l2O.Gondokusumo, O., Soebiantoro, 8., perbandingan BeberapaMetode Numerik untuk Penyelesaian Analisa DinamisStruktur, Skripsi No. 332.5, Fakultas Teknik Jurusan TeknikSipil, Universitas Kristen Petra, Surabaya, l9g7

l.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

B

1OO Pengantar Analisis DiqrnrsjSn G!!9P1r :t!

|

9. Tanudjaja, S., Soegiantoro, S-', Program Kom.yu!9r untuk

Pendidikan aarsun;n Tahan Gempa (3 Pi*:1:i)' SJrripsi No'

362.5, Fakultas" Teknik Junrsan Teknik Sipil' Universitas

Kristen Petra, SurabaYa, 1989

10. Stewart, GW., Intoduction to Matrix Computations' Academic

Press, NewYork, 1973'

11. Bathe, KJ., Wilson , EL', Numerical Methods in Finite Element

Analysis, Prentice HalI, 'Englewood

Cliffs' New York' 1976I

APPEI{DIKS

CONTOH PROGRAM UNTUK CONSTANT VELOCITY

TN = NATURAL PERIODDT = TIME INTERVAL UNTUK INTEGRASI NUMERIKNIN = JUMLAH INPUT DATA UNTUK GAYA DINAMIS F(T)

TIME = WAKTU DIMANA TERJADI PERUBAHAN GAYADINAMIS, BENTUK FUNGSI GAYA DIANTARA DUAWAKTU BERURUTAN DIANGGAP BERUPA GARISLURUS

= BESAR GAYA DINAMIS F PADA WAKTU T = TIME= MASSA= KEI(AKUAN PER, PERHATIKAN SATUAN XM DAN

XK HARUS DISIMPAN DALAM SUATU FILE DATABARIS PERTAMA XM, XK, NIN (2F10.2,ll0lKEMUDIAN NIN BUAH PASANGAN TIME DAN F

CHARACTER FRAME*l5DTMENSION F(100), TIME (100)WRITE (*,' (A\)')' NAMA FILE DIMANA TERDAPAT INPUTDATA?'READ (*,',(A)',) FNAMEOPEN (6, FILE ='LPI1')OPEN (9, FILE = FNAME)READ (9,1)XM, XK, NINFORMAT (2F10.2, I10)XM DAN XK ADALAH MASSA DAN KEKAKUANDO 9001 I=1, NIN

t

{i

FXMXK

CCCCCCCCccCCCCCC

C

viffiY

Pengantar Analisis Dit alqrs 3qILG.*p*

READ (9, 1) TIME(I),F(I)9OO5 CONTINUE

TN = 2*3.141592653*SQRT (XM/XK)DT = TN/ 10WRITE (*, l3)TN,DT',

13 FORMAi ( NATURAL PERIOD SISTEM

" F10.4,',sEC"/

1,', USULAN INTERVAL "F10.4,',

SEC')

wrurB (*,; (A\',)) ANDATENTUKAN DT SEBESAR?'

READ (*,',(F10.4)') DT i

WRITE (6, 1 1)XM,XK,TN,DT11 FORMAT( MASSA"FIO'+,I: KEKAKUAN

"FIO'4,/1,' NATUTUL PERIOD "F10.4/,'INTERVALYANG

DIPAKAI "2F10.4)

WRITE (6,2)2 FORMAT(8*, 't', 9x, 'Y, 9X, ',F/M" sx,', K/M Y" sx,', D2Y"

7X: D2YtDT)2',)L=2T0 = 0.0Y0 = O.O

FTO = F(L-1)FM = FTO/XMYKM = YO*XK/XMY2D0 = FM-YKMYDT = Y2DO*DT**2 'rY1 = '5*FM*DT**2

9O2O CONTINUEWRITE (6,2 1)T0,YO,FM,YKM,Y2D0,YDT

2t FORMAT (2X,6F10.4)IF ((TIME(L)-T0).IrT.0.000 1 )L*L+ 1

IF (m.GT.TIME(NIN))G0 T0 999eFTo = FT0+(F(L)-FT0) / (TIME(L)-T0)*DTT0 = TO+DTFM = FTO//XMYKM = YI*XK/XMY2D0 = FM-YKMYDT = Y2DO*DT**2Y2 = 2*Y1-Y0+YDTY0=YlYl=Y2GO TO 9020

9999 STOPEND

Appendix

C CONTOH PROGRAM UNTUK CONSTANT VELOCITY UNTUKC STRU}CUR DENGAN DERA"'AT KEBEBASAN LEBIH DARIC SATU PROGRAM INI HAT.IYA DAPAT DIPAKAI UNTUKC STRUKTUR DENGAN ITAETruX MASSA YANG DIAGONALcC DT = TIME INTERVAL UNTUK INTEGRASI NUMEzuKC NIN = JUMI"AH INPUT DATA UNTUK GAYA DINAMIS F(T}C TIME = WAKTU DIMANA TER-IADI PERUBAHAN GAYA

DINAMIS, BENTUK FUNGSI GAYA D1ANTARA DUAWAI.(TU YANG BERURUTAN DI.ANGGAP BERUPAGARIS LURUS

= BESAR GAYA DINAMIS F PADA WAKTU T = TIME= MASSA= KEI(AKUAN PER, PERHATIAN SATUAN

XM DAN XK HARUS DISIMPAN DAI,AM SUATUFILE DATABARIS PERTAMA XM, XK, NIN (2F10.2,I10)KEMUDIAN NIN BUAH PASANGAN TIME DAN F

CHARAC-TER FNAME*1sDIMENSION F(100,5), TIME(1O0,5), XM(S,5), XK(S,6)wRlTE(r,',(A\)',)', NeUe FILE DIMANA TERDAPAT INPUTDATA?'READ (*,',(A)JFNAMEOPEN (6,FILE-'LPTI')OPEN (9,FILE=FNAME)READ (9,I)NIM,NIN

I FORMAT (2r1O)C NIM = JUMI,,AH DERA"IAT KEBEBASANC NIN = JUMLq,H PUNCAK DARI BEBAN F(T)C XM DAN XK ADAI"AH MASSA DAN KEKAKUAN

DO 9002I=1, NIMDO 9002 J=1, NIM

XM(I,J)=0.009OO2 CONTINUE

DO 9OO3I=I,NIMREAD (9,2)XM0,I), (XK(I,J), J=1, NIM)

9OO2 CONTINUEDO 9001 I-1, NIM

READ (9,22l'(TIME(I,J), Ffl,J), J=1, NIM9OO1 CONTINUE22 FORMAT (10F8.4)

l03t02

t,it

i.jf

Nrt

.ti

l1

CFcxMcxKc

ccc

'i! ': ;'i:' it

I

-104 Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa

WRITE (*,',(A)',)', ANDA TENTUKAN DT SEBESAR?'READ r,'(F10.4)) DTWRITE (6, 1l)DT

11 FORMAT(' INTERVAL YANG DIPAKAI

"FlO.4,f ,', MASSA',)

DO 9004 I=1, NIMWRITE (6,23XXM(I,J),J= 1,N)

9OO4 CONTINUEWRITE (6',2t1

2t FORMAT(//,', KEKAKUAN',)DO 9005I=I,NIM

WRITE (6,23)(XK(I,J),J= 1,N)9OO5 CONTINUE23 FORMAT (5F8.4)

WRITE (6,2)2 FORMAT (8X,',t" 9X,'y',9X,'F/M" 5X, 'kl lMy',5X,'D2Y,

7X,'D2Y(DT)2',)L-2T0 = 0.0YO - 0.OF'I0 = F(L-1)FM = FT0/XMYKM = YO*XK/XMY2D0 = FM-YKMYDT = Y2D0*DT**2Yl =.S"FM*DT**2

9O2O CONTINUEWRITE (6,21)T0, Y0, FM, YKM, Y2D0, YDT

2L FORMAT (2X,6F10.4)IF ((TIME(L)-TO.LT.0. 000 1 )L=L+ 1

rF(T0.GT.TIME(NIN)) GO TO 9eeeFIO - FTo+(F(L)-FTo) / (TIME(L)-T0).DTTO = TO+DTFM = FTO/XMYKM = YI*XK/XMY2D0 = FM-YKMYDT = Y2D0*DT"*2Y2 = 2*YI-YO+YDTY0=YIYL =Y2G0 T0 9020

9999 STOPEND

IITDEKS

A

Acceleration respons spectrum,84

Amplitude, 25, 26Analisis numeik, 71Analisis Ragam Spectrum

Respons, 94Analisis ragam spektrum

respons, 7,IAverage respons spectra, 9-I

B

Beban dinamis, ,IBeban statis, ,IBeban harmonis, 46Beban impuls,27Beban sebararrg,23Bentuk karakteristik, 53, 55

cCara Holzer, 55CaraJacobi,62Cara Kecepatan Tetap, 4, 5

Cara keseimbangan dinamis,14

Cara numerik, 2, 4Cara percepatan dan kecepatan

linier, 12Cara p dari Newmark, 13Cara p Newmark, ,12Center of mass, 94Center of stiffness, 94Characteristic equation, 54Characteristic shape, 53, 55Characteristic value problem,

55Characteristic value, 56Characteristic values, 5.5Characteristic vector, 53, 55Circular frequency, 43, 52, 53,

93Circum Pasifft Belt, 73Complementary Solution, 23,

45Constant Velocity, 4Convolution integral, 45

&

Indek t07

I

l

I

Criticat damPing, 38,Y3, 44,69,92

D

D'Alembert, 69Damping, 37, 38,45Degree of freedom, 5ODerajat kebebasan barrYak, 5O

Derajat kebebasan, 5ODesign spectrum, 92Displacement resPons

spectrum, 84Dynamic Equilibrium, 4, 39, 69Dynamic load factor maximum,

47Dynamic load Factor, DLF, 29

E

Earth cntst, 72Eigenvalue problem, 55Eigenvalues, 55Eigenvector, 55Elastic Rebound Ttleoi, 77Elastoplastis, 2OEnergr yang dilePas, 79Energr, 8OEpicenter, T6

F

Faktor Beban Dinamis, 28First mode, 53Focus, 76Forced Vibration, 26Frekuensi, 44Fundamental Period, /8Fundamental, SSFrictional (Coulum) DamPing,

39

G

Gaya inersia, 4, 69Gaya inertia, 38Gempa besar, 8./Gempa tektonik, 77Gempa v:ulkanik, 77Gempa-gempabesx, 77Gerakan harmonis, 25Gerakan Pada Pondasi, 38, 69Gerakan relative, 38Getaran bebas dengan '

damping,4OGetaran bebas, Free Vibration,

24Getaran takbebas,26

H

Hypocenter, 76

Ilmpuls,27Inertia force, 4Initial Conditions, 4Initial displacement, 6Inner core, 72Integrasi dengan cara numerik,

4Integration bY Parts lTaYlotl, 3O

Intensity, 79,80Internal Friction, 39ln;ndalan, T2ln.ttluar, T2

JJalur Sirkum Pasifik, 73Jalur Trans Asiatik, 73Japarr MeteorogiceJ AgencY, 8O

JMA IntensitY Scale, 8,1

JIvIA Scale, 8O

K

Karalteristik vel*or, 64Keadaan autal,4, 6, 7Kegiatan lel<tonik, 77Kerak bumi, 72Keseimbangan dinamis, 4Koefisien damping, 46Komponen horizontal, 8JKomponen vertikal, 8/Iionstanta per, 2, 3

L

Lump mass system, 94

uMagnitude, 79Mantel, 72ManlJe,72Massa danper, 94Matriks kekakuan, ,I5Modal analysis, 71, 92Modal participation factor, 93Mode kedua, 53Mode of fanl:ure, 97Mode pertama, 53Mode shape, 55, 61, 64Mode yang pertama, .I8Modes, 53Modifred Mercalh, 8OMulti Degree of Freedom

System, MDOF, 14Multidegree of freedom system,

50

t{

Natural circular frequency*[Q,44,46, 53, 55

Natural Frequency, 26 t

Natural period yang pertamd,18

Natural period, 1, 7, 8, 25, 26Normalized acceleration

spectrum,9lNoSmalized characteristic

vector,68Normalized respons spectra, 9,1

: Numerical analysis, 2'Numerical Integration, 4

oOrthogonal, 64

. Outer core, 72Over Damping, 41

P

Particular Solution, 23Particular solution, 45PE}TYELESAIAN ANALITIS, 23Penyelesaian eksak, 2Penyelesaian komplemen, 45Penyelesaian komplementer,

23,25,26Penyblesaian partikulir, 23, 26,

29,45Penyelesaian umum, 29, 45Percepatan absolut, 38, 69Percepatan autal, 6, 7Peiode,44Perpindahan tempat awal, 6Perpindahan tempat statis, 29Persamaan Eigen, 55Persamaan homogen, 23Persamaan karakteristik, 4q

54,64Persamaan yang terurat, 66, 67Prinsip D'Alembert, 4

., ."Prinsip dinamig equilibrium, 38g i ffisip dina45riq equilibrium. . ,flari Difflembert, 50

"Pririsip strong column weakbeam, 96

;;

J

.f

ttg

t'l

ti:;

l'!,

lOE Fengantar Analisis Dinamis dan Gempa

\PseudovelocitY ResPons

Spectnrm, SSPusat kelalnran, 94Rrsat massa, 94

R

Resonansi, 49 '{'.+,

Respons riwaYat wd<ttr, 7fRichter, T9Root Mean Square, 94

ISecond mode, 53Setapak demi setaPak, 4Sifat Orthogonal Mode Shape'

&Sifat orttrogonal, 65, 66Simpangan relattf, TO

Simparrgan tetag,22Single Degree of Freedom

Syetem, SDOF, 3Sinusoidal, 45Sietem rrlasca danPt, 2Slola intcnsitas, 8JSt€la Richter, 79Soft storey, 96Square Root ofSum ofSquare

(sRssl, 94Static equivdcnt, Z/Statis detlcction, !*, 29Step by steP, 4Strong ground motlon, 8.1

Strong motion earttrquale, 27,

8t

Stnrldur berderajat kebebasanbanyak dengan damPing, 68

Strut<hrr bumi, 72Strukhrr dengan derajat

kebebasan sahr, 3Struktur elastis dengan derajat

kebebasan banYak, /4

TTeori tektonik ler.P+-lrrg, 77Time history andYsis, 7,I

Torsi,94Trans Agiatik Belt, 73Ttipartite, 86, 92

U

Uknran GenrP, 78Unbounded resonarrce, 49Uncoupled,66, 67Under DanPing, 43Unit impuls, 45

vilcbcrty lesPong elrctntm, Sv,

84Viscous damPing, 39

wWaktu getar, f

z?aro strock, 79

nI- ndItIrDrdan }rrplltrlero

r I

i*

azzamengineering.files.wordpress.com filecreated date: 2/23/2013 7:18:54 pm

Documents