القطع المكافئمقدمة

القطع الزائدالقطع الناقص

مواقع مفيدة مصطلحات رياضية

المخروطية ConicالقطوعSections

مستوى قطع إذا

قائمين مخروطين

في نهائيين ال مقلوبين

واتجاهات مختلفة أوضاع

قطوع على نحصل فإننا

7 قطوعا تسمى مختلفة

مخروطية .

المكافئ القطعParabola

هـو : المكافئ القطـع

كل مجمـــــــوعـة

المستوى في النقـــــاط

عن البعدين المتساويــــة

معطـــاة نقطة

معطى .ومستقيــــم

الرأس

البؤرة

بالبؤرة النقطة تسمىبالدليل والمستقيم

المكافئ للقطع يوجدتماثل محور

التماثل محور

الدليل

الذي المكافئ القطع معادلة

(0 , 0) رأسه

y = - pودليله ( p , 0) وبؤرته

2y ax

( , )A x y

21

4y x

p

القياسية والصورةهي :

1

4y

a 1

(0, )4a

والدليل هي البؤرة

أن حيث :

توضيح

x

y

(0, )p

y p

0p

x

y

(0, )p

y p

0p

( , )A x y

مفتوح

لألعلى

مفتوح

لألسفل

( , )A x y

المعادلة هي :

2 2 2 2( 0) ( ) ( )x y p x y p ( , )A x y

y p y p

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

( )

( ) )

2 2

4

1

4

y p x y p

y p x y p

y py p x y py p

py x

y xp

أن تكون p > 0بفرض عندما ذلك P < 0وينطبق

النقطة عن البؤرة بعد A :

النقطة عن A بعدy = - pالدليل

x

y

(0, )p

y p

( , )A x y

(1) مثال

( , )A x y

(2) مثال

الحل

2 21

8y ax y x

1 1 1(0, 2) (0, ) 2

4 4 8a

a a

(0, 2) بؤرته الذي المكافئ القطع معادلة أوجدودليله

2y (1) مثال

( , )A x y

(3) مثال

22y x للقطع والدليل البؤرة أوجدالمكافئ

(2) مثال

1 1(0, ) (0, )4 8a

1 1 1

4 4(2) 8a

2y ax22y x الصورة على

حيث 2a

1 1

4 8y y

a

البؤرة هي :

هو والدليلالمستقيم :

الحل

(3) مثال

( , )A x y

4y

القطع معادلة القياسية الصورة في أوجد

دليله حيث المكافئ

المستقيم وبؤرته هو

(0,4)

2 21

16y ax y x

1 14

4 16y a

a

الحل4y والبؤرة أفقي مستقيم وهو هو الدليل

األعلى إلى تقعومفتوح رأسي تماثل خط له القطع

األعلى إلى

الذي المكافئ القطع معادلة

(0 , 0) رأسه

- = xودليله ( p , 0) وبؤرته

p

2x ay

21

4x y

p

القياسية والصورةهي :

1

4x

a 1

( ,0)4a

والدليل هي البؤرة

أن حيث :

توضيح

( , )A x y

x

y

( ,0)p

x p

0p

( , )A x y

نحو مفتوح

اليمين

x

y

( ,0)p

x p

0p

نحو مفتوح

اليسار

( , )A x y

المعادلة هي :

2 2 2 2( ) ( 0) ( )x p y x p y

x p x p

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2

( )

( ) )

2 2

4

1

4

x p y x p

x p y x p

x px p y x px p

px y

x yp

أن عندما p > 0بفرض ذلك وينطبقالنقطة P < 0تكون عن البؤرة بعد

A :

النقطة عن A بعدy = - pالدليل

(1) مثال

( , )A x y

x

y

( ,0)p

x p

0p

( , )A x y

نحو مفتوح

اليمين

(2) مثال

2

2

2

1

x ay

x y

x y

1 1 1 1( ,0) ( ,0) 14 4 4 4

aa a

1( ,0)4

بؤرته الذي المكافئ القطع معادلة أوجدودليله

1 (1) مثال

4x

الحل

( , )A x y

23x y للقطع والدليل البؤرة أوجدالمكافئ

(2) مثال

1 1( ,0) ( ,0)4 12a

1 1 1

4 4(3) 12a

2x ay 22x y الصورة علىحيث

3a

1 1

4 12x x

a

البؤرة هي :

هو والدليلالمستقيم :

الحل

المكافئة القطوع Translations of Parabolasإزاحة

( , )h k( , )h p k x

y

إزاحة يجرى عندما

معادلته مكافئ قطع

T أفقيا أو

T ورأسيا وحدة

القطـــع رأس فإن

من يتحرك المكــافئ

إلى

2x ay

hk

(0,0)( , )h k

2y ax

(0,0)h

k

( , )h k ( , )h p k

المكافئ القطع لمعادلة القياسية الصورةرأسه الذي

( , )h k

الدليل ومعادلة لمعادلة البؤرة القياسية الصورةالمكافئ القطع

2( )y k a x h

2( )x h a y k

1( , )

41

4

h ka

y ka

1( , )

41

4

h ka

x ha

الذي (3,4)(1) مثال المكافئ القطع لمعادلة القياسية الصورة أوجدوبؤرته رأسه

(5, 4)

( , ) (3,4) 3, 4h k h k

2( )x h a y k

، أفقي خط على يقعان والبؤرة الرأس أن بماالرأس يمين إلى والبؤرة

وصورة اليمين إلى مفتوحا المكافئ القطع يكونهو معادلته الرأس

( , )h k

1( , )

4h k

a هي البؤرة

1 1( , ) (5,4) 3 5

4 41

8

h ka a

a

لمعادلة القياسية الصورةهي : المكافئ 21القطع

3 ( 4)8

x y

الحل

لمعادلة العامة القطع الصورةالمكافئ

2 , 0y ax bx c a

تأخذ المكافئ للقطع العامة الصورةالصورتين : إحدى

مكافئ* قطعرأسي

مكافئ* قطعأفقي

2 , 0x ay by c a

x

y

x

y

2(1) مثال 4 2 6 0x x y هي المعادلة هل؟ مكافئ لقطع

والبؤرة الرأس فأوجد ، كذلك كانت إذاوالدليل .

المتغير الحل في تربيعية المعادلة أن بما

على لنحصل إلى بالنسبة المربع نكملالقياسية الصورة

x

x

2 24 2 6 0 4 2 6x x y x x y

2 2 2 24 44 ( ) 2 6 ( ) ( 2) 2 10

2 2x x y x y

21( 5) ( 2)

2y x

المعادلة وهذه

الصورة على

2( ) ( )y k a x h

12 , 5,

2h k a

هو : هي : (2,5)الرأس والبؤرة1 1 9

( , ) (2,5 ) (2, )14 24( )2

h ka

هو : والدليل1 1 11

514 24( )2

y k ya

تدريبات

(2) تدريب النقطة رأسه الذي المكافئ القطع معادلة اكتب

هي دليله ومعادلة

(2, 4)1y

(1) تدريب التماثل محور ومعادلة ، والبؤرة ، الرأس عيaن

المكافئ للقطع الدليل )2ومعادلة 1) 4( 2)y x

(3) تدريب المكافئ القطع لمنحنى المماس معادلة أوجد

النقطة عند

2 16y x(1,4)

الناقص Ellipseالقطع

1F2F

القطعة منتصف نقطة وتسمى ، ، بؤرتين الثابتتان النقطتان تسمى

مجموعهما . اللذان والبعدان الناقص القطع مركز بينهما الواصلة المستقيمة

، هما ثابت

1d2d1F2F

المركز

2d1d

هو : الناقص القطع

كل مجموعــــة

في النقـــــاط

الذي المستوى

كل بعدي مجموع

نقطتين عن منهــــــا

7 مقدارا يساوي ثابتتين

. 7 ثابتا

2F1F

القطع محاورالناقص

األكبر : المحور

القطعة هوالمارة المستقيمة

وطرفـاهـــا بالبـؤرتيـــنويسمى القطع على

القطع رأسي طرفاهـــاالناقص .

1F2F

األصغر : المحور

المستقيمة القطعة هوبالمركز المارة

المحور على والعموديةطرفاها ويقع ، األكبر

القطع . على

x

y

1F 2F

2V 1V

المحور األكبر

المحور األصغر

القطع تماثل محورا هما واألصغر األكبر المحورانالناقص

x

y

1F 2F

2V 1V

محاور أطوالالناقص القطع

O

األكبر المحور 2aطول

األصغر المحور 2bطول

البؤرتين بين 2cالبعد

2 2 2a b c

2c

2a2b

1d 2d

1 2 2d d a

الناقص القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذي

الناقص القطعاألفقي

2 2

2 21

x y

a b

هما األكبر المحور )طرفا ,0), ( ,0)a a

هما األصغر المحور ,0)طرفا ), (0, )b b

هما )البؤرتــــــــــــــان ,0), ( ,0)c c

(0,0)

1F2Fx

y

1( ,0)F c 2 ( ,0)F c

( ,0)a ( ,0)a

(0, )b

(0, )b

(0,0)

a b حيث :

المعادلة هي

الناقص القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذيالناقص القطع

الرأسي

هما األكبر المحور ,0)طرفا ), (0, )a a

هما األصغر المحور )طرفا ,0), ( ,0)b b

هما ,0)البؤرتــــــــــــــان ), (0, )c c

x

y

(0,0)( ,0)b( ,0)b

(0, )a

( ,0)a

(0, )c

(0, )c

1F

2F

(0,0)

2 2

2 21

x y

b a

a b حيث :

المعادلة هي

القطع معادلةهي : الناقص

2b المحور طوليساوي األصغر

3c

مثال(0, 3) ، بؤرتاه الذي الناقص القطع معادلة أوجد

الذي المنحنى ارسم ثم ، األصغر المحور وطوليمثله .

(0,3)

4

محور على تقعان البؤرتانالصادات

2 2 2 2

2 21 1

4 13

x y x y

b a

2 4 2b b 2 2 2

2 2 22 3 13

a b c

a

الحل

x

y

(0,3)

(0, 3)

الناقص القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذيالناقص القطع

األفقي 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

( , )h k

هما األكبر المحور )طرفا , ), ( , )h a k h a k

هما األصغر المحور )طرفا , ), ( , )h k b h k b

هما )البؤرتــــــــــــــان , ), ( , )h c k h c k

2 2 2c a b

x

y

( , )h a k ( , )h a k( , )h k

( , )h k b

( , )h k b

a b حيث :

المعادلة هي

الناقص القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذيالناقص القطع

الرأسي 2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

b a

( , )h k

هما األكبر المحور )طرفا , ), ( , )h k a h k a

هما األصغر المحور )طرفا , ), ( , )h b k h b k

هما )البؤرتــــــــــــــان , ), ( , )h k c h k c

2 2 2c a b

( , )h b k ( , )h b k( , )h k

( , )h k a

( , )h k a

a b حيث :

المعادلة هي

2a المحور طوليساوي األكبر

2 8 1 1( , ) ( , ) (3, 1)

2 2h k

القطع معادلةهي : الناقص

)(1) مثال 2, 1) طرفي ناقص قطع لمعادلة القياسية الصورة أوجد ، األكبر محوره

األصغر . محوره وطول

8

(8, 1)

2b األصغر المحور طوليساوي

2 2 2 2

2 2

( 3) ( 1) ( 3) ( 1)1 1

5 4 25 16

x y x y

2 8 4b b

2 8 ( 2) 10 5a a

المحور طرفي يمثل المجاور الشكلاألصغر والمحور ,8)األكبر 1)( 2, 1)

X

Y

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

القطع معادلة صورة

هي الناقصتمثل األكبر المحور منتصف نقطة

الناقص القطع مركز

الحل

(3, 1)

x

y

2 2 2 169 25 12c a b c

( , ) (4, 1)h k أن نالحظ الناقص القطع معادلة منهو : القطع مركز

المحور أن أي أن نالحظ أيضا المعادلة ومن T رأسيا يكون األكبر

25 169

2 169 13a a

الناقص (2) مثال للقطع تقريبيا شكال ارسم2 2( 4) ( 1)

125 169

x y

2 25 5b b

(4,12)

المحور طرفي نقطتي أن يعني وهذا

وأعلى أسفل وحدة تبعدان األكبر

و النقطتين عند أي المركز

(4, 14)

13

المحور طرفي نقطتي أن يعني وهذاوحدات تبعدان األصغر

النقطتين عند أي المركز ويمين يسار إلىو

(9, 1) ( 1, 1)

5

(4, 13)تبعدان البؤرتان أن يعني وهذا

أي المركز وأعلى أسفل وحدةو النقطتين عند

(4,11)12

الحل

(9, 1)( 1, 1) (4, 1)

(4,12)

(4, 14)

(4, 13)

(4,11)

تدريبات

(2) تدريب وإحدى مركزه الذي الناقص القطع معادلة جد

وحدة . األكبر محوره وطول النقطة بؤرتيه

(2,2)( 1,2)

2 10

(1)تدريب تمثل المعادلة أن أثبت

. T ناقصا Tقطعا

2 22 4 8 4 0x y x y

(3) تدريب الناقص القطع لمنحنى المماس معادلة أوجد

النقطة عند

2 2 8x y ( 2,1)

الزائد القطعHyperbola

هو : الزائد القطع

في النقـــاط كل مجموعــــة

الفرق والتــي المســــتوى

هو ثابتيـن لبعديــن المطلق

ويساوي ثابت مقدار

1 2 2d d a

بؤرتي ، الثابتتان النقطتان تسمى

الزائد القطع1F2F

2d 1d

1F2F aa

الزائد القطع محاورالتقاربية وخطوطه

القاطع المحور

بين الواصلة القطعة

الرأسينالمرافق المحور

بيـن الواصلة القطعة هــوضلعي منتصفي

الموازييــــن المستطيـــــــلالقاطع للمحور

2 2 2c a b

x

y

بؤرة

بؤرة

المرافق 2bالمحور

القاطع 2aالمحور

1( ,0)F c

(0, )b

(0, )b

( ,0)a( ,0)a2 ( ,0)F c

1L2L

، الخطان يسمى

مائلين تقاربيين خطان

1L2L

الزائد القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذيالزائد القطع

األفقي

القاطع المحور )طرفا ,0), ( ,0)a a

هما )البؤرتـــــــــــان ,0), ( ,0)c c

(0,0)

by x

a التقاربيان الخطان

هما :

(0,0) ( , )x y

x

y

( ,0)a( ,0)a( ,0)c ( ,0)c

by x

a

by x

a

2 2 2c a b حيث :

2 2

2 21

x y

a b المعادلة

هي

الزائد القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذي

الزائد القطعالرأسي

2 2

2 21

y x

a b

القاطع المحور ,0)طرفا ), (0, )a a

هما ,0)البؤرتـــــــــــان ), (0, )c c

(0,0)

ay x

b التقاربيان الخطان

هما :

( , )x y

x

y

( ,0)a

( ,0)a

( ,0)c

( ,0)ca

y xb

a

y xb

2 2 2c a b حيث :

المعادلة هي

الزائد القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذي

الزائد القطعاألفقي

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

القاطع المحور )طرفا , ), ( , )h a k h a k

هما )البؤرتــان , ), ( , )h c k h c k

( , )h k

2 2 2c a b

( )b

y k x ha

التقاربيان الخطانهما :

x

y

( , )h a k

( )b

y k x ha

( , )h k( , )h a k

( , )h c k ( , )h c k

( )b

y k x ha

حيث :

المعادلة هي

الزائد القطع لمعادلة القياسية الصورة

مركزه الذيالزائد القطع

الرأسي 2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

القاطع المحور )طرفا , ), ( , )h k a h k a

هما )البؤرتــان , ), ( , )h k c h k c

( , )h k

2 2 2c a b

( )a

y k x hb

التقاربيان الخطانهما :

( , )x y

حيث :

x

y

( , )h k a

( )a

y k x hb

( , )h k

( , )h k c ( )a

y k x hb

( , )h k c

( , )h k a

المعادلة هي

(1) مثال

وطولي القاطع المحور وطرفي بؤرتي عيaنالزائد للقطع المحورين

2 2

11 4

x y

على القطع معادلةالصورة

2الحل 2

2 21

x y

a b

إذن

2

2

4 2

1 1

a a

b b

c قيمة نجد2 2 2 2 2 4 1 5c a b c a b c

هما )البؤرتــــان ,0), ( ,0)c c ( 5,0), ( 5,0)

(2,0), ( 2,0) القاطع المحور )طرفا ,0), ( ,0)a a

يساوي القاطع المحور 2a2طول 2 2 4a

يساوي القاطع المحور 2a2طول 2 2 4a

(2) مثال

محوره طول الذي الزائد القطع معادلة جدالنقطتان هما وبؤرتاه ، المرافق

(0, 8)4

الحل

2 2

2 21

y x

a b على الزائد القطع معادلة تكون ومنه

الصورة

هما البؤرتين أن ,0)بما 8)

الصادات محور على تقعان البؤرتان إذنحيث

8c

2 2 2 8a b c حيث

2b هو المرافق المحور طولحيث

2 4 2b b

2a هو القاطع المحور طولحيث

2 2 8 4 2a c b

القطع معادلة إذنهي : الزائد

2 2

14 4

y x

,(3,0)(3) مثال ( 3,0) بؤرتاه زائد قطعورأساه

الزائد ( 1 القطع معادلة أوجدالقياسية بالصورة

الخطين ( 2 من كال معادلةالتقاربيين

للقطع ( 3 البياني المنحنى ارسمالزائد

(5,0), ( 5,0)

تقع ( ) ( 1 الرأسين القاطع المحور وطرفي البؤرتين أن بماالسينات محور على

الحل

على القطع معادلةالصورة

2 2

2 21

x y

a b

( ,0) (5,0) 5

( ,0) (3,0) 3

c c

a a

2 2 2 2 2 25 9 4c a b b c a b

هي : القطع معادلة2 2

19 16

x y

x

y

1 2 4 5 63

1

2

3

4

5

-1-2-3-4-5-6-1

-2

-3

-4

-5

مثال (3) تابع

هما( 2 التقاربيان الخطانb

y xa

4

3y x

القطع( 3 رسمالزائد

(3,4)( 3,4)

( 3, 4) (3, 4)

المستطيل- نرسمرؤوسه : الذي

( , ) ( 3, 4)a b

الخطين- نرسمالمائلين : التقاربيين

4

3y x

البياني- الرسم نرسمالزائد للقطع

(1) تدريب ما أوجد ، معادلته زائد قطع

يلي :

والبؤرتين ( 1 والرأسين المركز

المرافق ( 2 والمحور القاطع المحور من كل معادلةمنهما كال وطول

التقاربيين ( 3 الخطيين

2 2( 1) ( 2)1

9 16

y x

تدريبات

(2) تدريب لقطع هي المعادلة هل

؟ زائد

لمعادلة القياسية الصورة هي فما ، بنعم أجبت إذا؟ القطع

2 24 4 8 4 0y x y x

(3) تدريب وإحدى مركزه الذي الزائد القطع معادلة جدوحدات . القاطع محوره وطول النقطة بؤرتيه

(2, 4)(7, 4)8

القطوع لمعادلة العامة الصورةالمخروطية

Ax 2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0

وشروطها المعادلةالقطع

المخروطي

كليهما وليس أو

المكافئ القطعالمكافئ القطع يكون

7 رأسيا

كان إذا

المكافئ القطع يكون

أفقيا

كان إذا

الدائرة

اإلشارة نفس لهما و كان الناقص إذا القطع

باإلشارة مختلفين و كان الزائد إذا القطع

0A 0C

0A 0C

, 0A C B

AC

AC

( 0)AC

( 0)AC

مثال

معادلته الذي المخروطي القطع نوع عيaن2 27 9 14 54 137 0x y x y

القطوع لمعادلة العامة الصورةهي المخروطية

مع المخروطي القطع معادلة بمقارنةأن : نجد ، العامة الصورة7 , 9A C

الحل

Ax 2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0

63 0A C

معادلة هي المعادلة إذنزائد لقطع

2 27 9 14 54 137 0x y x y

Conicsالقطوع

المخروطية

Focusبؤرة

Directrixدليل

Parabolaالقطع المكافئ

Parabloidسطح مكافئ

Ellipseالقطع الناقص

Hyperbolaالقطع الزائد

Centerمركز

Vertex رأس

Transverse axis القاطع المحور

Conjugate axis المرافق المحور

Asymptotes تقاربية خطوط

http://mathdemos.gcsu.edu/mathdemos/

family_of_functions/conic_gallery.html

http://math2.org/math/algebra/conics.htm

http://cs.jsu.edu/~leathrum/Mathlets/conics.html

http://www2.krellinst.org/UCES/archive/resources/

conics/newconics.html

http://www.stewartcalculus.com/data/ESSENTIAL

%20CALCULUS%20Early%20Transcendentals/

upfiles/ess-reviewofconics.pdf