群コホモロジーの授業ノート

野坂 武史 (東京工業大学 理学院数学系)

概 要

2017年度の後期に行った授業のメモである。但し、「群コホモロジー」と出しゃばった割に、低次元トポロジーよりではあるが。このレジュメの目的は３つ：長い証明を授業ではしょる事、板書の誤植防止, ノートの写しを極力はしょ

る事。という事もあって、授業本番では主に、粗筋とココロを述べると思われる。本レジュメの評判が良かったから、公開する事にした。なお、誤植や説明不足が多々あると思うので、

細かい事は参考文献をたどって頂ければと思う。

目 次

1 導入 3

2 非斉次座標での群 (コ)ホモロジーの定義. 42.1 低次かつ自明係数の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 (非斉次座標での)群ホモロジーの定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 カップ積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 余談：1次コホモロジーと Out(G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 射影分解による群コホモロジーの定義. 103.1 自由分解による定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 具体的な群に対する自由分解の例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 導来関手. ボクシュタイン作用素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 群コホモロジーのトポロジカルな解釈 154.1 復習：基本群, CW複体, 被覆空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 胞体ホモロジーと局所系係数ホモロジーの速成的復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 K(G, 1)-空間の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 K(G, 1)-空間の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 ５完全列. 265.1 Hopfの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Stallingの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 完全群上の普遍中心拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 補足： ５完全列の誘導射と共役作用について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 付録 2: Ganea写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.6 付録 3: 射影表現の持上げと、普遍被覆群 SL2(F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Fox 微分とその応用 356.1 Fox微分の定義と基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 多変数の Fox微分とMagnus 展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 有限表示群からのヤコビ行列。陰関数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 群表示から短完全列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.5 Lyndon完全列の位相的解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.6 Hopfの定理再考：関係子からサイクルへ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7 誘導表現とシャピロの補題とトランスファー 457.1 誘導表現のホモロジー変換とその諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Eckerman-Shapiroの補題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 トランスファーの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.4 トランスファーの性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.5 有限群のコホモロジーの計算方針 (向学者むけ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1

8 カップ積. 518.1 クロス積とカップ積の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.2 アーベル群のホモロジーと、Pontryagin積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.3 有限表示群に対する小射影分解と、カップ積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 Wreath積 (輪積)のコホモロジー. 579.1 定理 9.5の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.2 Evensのノルム写像 (乗法的トランスファー) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.3 群コホモロジー上の Steenrod 作用素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10 冪零群と高次マッセイ積. 6310.1 三重マッセイ積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.2 復習：高次マッセイ積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.3 自由群の冪零商の場合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6510.4 関係子とマッセイ積 (Fenn-Sjerveの定理) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.5 ミルナー不変量とマッセイ積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.6 Johnson準同型と マッセイ積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.7 Lie代数のコホモロジーとの関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11 スペクトル系列 7111.1 スペクトル系列の大まかな説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.2 群コホモロジーで使われるスペクトル系列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7211.3 二重複体とハイパーホモロジーの概略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.4 G-同変ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.4.1 有限群のコホモロジーの有限生成性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.5 応用例１：Evens-Venkovと、Quillen-Venkovの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.6 応用例２：Evensの定理の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.7 応用例３：Lefschetz束の符号数とMayer コサイクル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12 Dickson代数, 不変式論, 特性類との関連 8312.1 お話し： C上リー群と随伴表現の場合. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8312.2 Fp 上の Dickson代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

13 安定性定理. (メモに近い) 8713.1 証明方針１; Hatcher-Wahl[HW]に基づいて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8813.2 証明方針２; 直交群の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

14 コホモロジー作用素 9314.1 コホモロジー作用素と対称群の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9314.2 巡回群の場合. Steenrodの公理について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9514.3 対称群のホモロジーに関するメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

15 オイラー標数 9815.1 複体の射影的長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9815.2 オイラー標数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9915.3 双対群（工事中） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

16 閉 3次元多様体の基本類 10216.1 一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.2 Dijkgraaf-Witten不変量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10316.3 恒等子による基本 3類の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

17 Scissors congruence 11017.1 Scissors congruenceの導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11017.2 Bloch群との関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11217.3 双曲 Scissors congruenceとの関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2

18 Chern-Simons類, 不変形式, 拡大Bloch群, 2重対数 11618.1 主 G束の分類空間と、単体的多様体の微分形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11618.2 Chern-Weil理論による (１次)特性類の考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11818.3 Chern-Simons類の概説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12018.4 Dupontによる構成法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12118.5 拡大 Bloch群と Dilogarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A 高校の微積分感覚で計算出来るコホモロジーの例 126

B コホモロジー群・環の例 127B.1 Lie型有限群のコホモロジー群の例（工事中） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

C 結び目群の群ホモロジー (専門家向き) 129

1 導入

群コホモロジーとは、Hurewiczや Hopfの時代に始まり、色々な形で発展してきた分野である。定義によれば、非可換群から可換環論的な情報を取り出すものである。それも代数的議論と位相的議論の両方からアプローチできる領域である。実際、次の定理によれば、空間のホモロジーはある群のホモロジーに帰着される事になる。

定理 1.1 (Kan-Thurston). 任意の弧状連結な空間Xに対し、群πと、そのEilenberg-MacLane

空間からの連続写像ψ : K(π, 1)→ Xがあって、その誘導射はどんな局所系係数Mのホモロジーとコホモロジー上で同型である。つまり

ψ∗ : H∗(π;M) = Htop∗ (K(π, 1);M) ∼= Htop

∗ (X;M) と ψ∗ : H∗top(X;M) ∼= H∗(π;M).

だから空間のワザ (代数トポロジー)が群コホモロジーでは代数的な議論に落とし込めるはずになる (例えばコホモロジー作用素など)。またこの事より、色々な定理がどちらの証明も定理の種類により一長一短がある為、両方同時に学ぶと良いものである。また他に、(有限位数の群に限るが) ある程度の強力な情報がある事も知られている：

定理 1.2 (Evensの定理). ψ : G1 → G2 を有限群の間の準同型とし、その誘導射 ψ∗ :

H∗(G2;Z)→ H∗(G1;Z)が環同型とする。この時、ψは同型である。

加えて、Evens-Quillenなどの仕事により、有限群の範疇ではコホモロジーの計算方針も確立されている (7.5節参照). また計算プログラムもある (GAPなど). この様に、定量的または定性的な研究手法がある事は強みである。その際に高尚な数学的手法が使われ、深く遠大な話題もある点も魅力である (と私は思う)。また, 群コホモロジー理論は難しいものの, 色々な分野で現れ、応用されたりした。門外漢の私が書くに大変恐れ多いが、応用例をリストアップしてみた。

• 群の (中心)拡大・crossed加群の判定• 群が可換性のコホモロジー環による判定条件 (Serreの定理 3.21).

• 類対論の群コホモロジーによる定式化 (古い？), 代数的K群との関連• 低次元トポロジー, 写像類群との関連• 球面などの空間への作用の制限 ([中岡 2]など参照)

• scissors congruence, Hilbertの第３問題• ２次特性類の記述. Chern-Simons類

3

　以上は、非常に大まかな群コホモロジーの導入である。この講義では、上記のトピックのうち幾らかを説明したい。とはいえ、この講義は学部４年以上向けである為、基本事項から定義し説明する。但し、難しい所は粗く説明する事もある。予備知識は学部３年までの群論と代数とホモロジー理論と多様体論を知っていると良い。参考文献として、本は [Ben, Bro, AM, Dup2, Evens]1を参考にしている ([Aki]も良い参考資料). とはいえ、簡単な本はそうなく, 和書も皆無である。この講義が、勉強の機会や整理に役立てればと思ふ. 筆者しるす

記号の設定 テンソル積⊗は、言及がなければZ上のテンソルを意味する。但し、環A上のテンソルは⊗Aとかく。またAが群環 Z[G]であるときは、⊗Gと略記する事が多い. 環は単位元１を必ず持つとする。Gや Γは群を意味するとする。左 R-加群M,N に対して,

HomR(M,N)を, M からN への左R加群準同型全体の集合とする.

2 非斉次座標での群 (コ)ホモロジーの定義.

本章では非斉次座標で群 (コ)ホモロジーに関する定義や性質を紹介する。ここで非斉次を選ぶ理由は、初学者が実体感あるものとして、捉え易いからである。さらに初学者に向けて、2.1節では低次の場合に限定して詳しく説明を行う。次の 2.2節では、局所系係数つきで高次の定義を述べる。2.3節ではカップ積も導入しておこう。

2.1 低次かつ自明係数の場合

初学者の為に低次の群 (コ)ホモロジーの定義と性質から紹介する。群Gと環Aを固定する。n ∈ N≥1に対しCn(G;A)をGnの元で自由生成される自由A-加群と定める：明確には

Cn(G;A) := A⟨Gn⟩ =∑

k

a(k)[g(k)1 | · · · |g(k)n ]

∣∣ a(k) ∈ A, g(k)i ∈ G

である。n = 0では、C0(G;A)をAと定める。そして n ≤ 3に対し、バウンダリー作用素∂n : Cn(G;A)→ Cn−1(G;A)を次で決まるA加群準同型と定める：

∂1[g1] = 0, ∂2[g1|g2] = [g1]− [g1g2] + [g2],

∂3[g1|g2|g3] = [g2|g3]− [g1g2|g3] + [g1|g2g3]− [g2|g3].

∂4[g1|g2|g3|g4] = [g2|g3|g4]− [g1g2|g3|g4] + [g1|g2g3|g4]− [g1|g2|g3g4] + [g1|g2|g3].

（これには或る規則性があり高次の定義 2.14へと一般化される）。すると結合則から ∂n−1 ∂n = 0が容易に確かめられる。この時、n次の群ホモロジーを次の商群で定めるとする。

Hn(G;A) :=Ker(∂n : Cn(G;A)→ Cn−1(G;A)

)Im(∂n+1 : Cn+1(G;A)→ Cn(G;A)

) . (1)

0と 1次ホモロジーに関し特徴づけが出来るため、ざっと考察しよう：

1[Bro]は標準的な教科書となっている良書ではあるの。冗長な部分もあり、初読には飛ばし読みでも良いと思う。なお、C. A. Gerig氏により、[Bro] の演習問題の沢山の解答がネット上に落ちている。

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例 2.1. まず ∂0の定義より、０次の時、次が示せる：

H0(G;A) = A/ Im(∂1) = A/0 ∼= A.

さらにA = Zで１次の時、次が示せる：

H1(G;Z) = Z⟨G⟩/((g1)− (g1g2) + (g2))g1,g2∈G∼= Gab = G/[G,G].

(ここで最後の同型は、次の命題にAG = Z⟨G⟩/((g1)− (g1g2) + (g2))g1,g2∈Gとし、f(ng) :=f(gn)を代入すればよい。)

命題 2.2 (アーベル化の普遍性). あるアーベル群AGと準同型 p : G→ AGが次を満たすとき、AGはアーベル化群Gabに同型である。「任意のアーベル群Bと準同型 f : G→ Bに対して、f = f pとなる準同型 f ] : AG → B

が一意的に存在する。」

しかし、2次以上となると計算や特徴づけは絶望的である。加えてホモロジー群の性質をいう定理は多くない。例えば、H2(G;Z)ですら、次の事実の様に条件がいる (用語と証明は 5.3節を見よ).

定理 2.3 (普遍中心拡大). Gを完全群とする、つまりGab = 0. この時、次の同型がある：

H2(G;Z) ∼= Gの中心拡大の同型類 .

次にコホモロジーに着目しよう。実際、普遍係数定理 2 という定理があり、ホモロジーの情報をコホモロジーから大体還元する。その上、現代数学ではコホモロジー群を考える方が妥当である。そしてコホモロジー群の方が、色々な定理や性質が多い。定義を述べよう。Cn(G;A)をGnからAの写像全体の集合としよう：Cn(G;A) = Map(Gn, A)。

n ≤ 3に対し、余境界準同型 δn : Cn(G;A) → Cn+1(G;A)を次で定める：f ∈ C1(G;A),

g ∈ C2(G;A), h ∈ C3(G;A)に対して

(δ1f)(x, y) = f(y)− f(xy) + f(x),

(δ2g)(x, y, z) = g(y, z)− g(xy, z) + g(x, yz)− g(x, y),

δ3h(x,y,z,w) = h(y,z,w)−h(xy,z,w)+h(x,yz,w)−h(x,y,zw)+h(x,y,z),

と定める (x, y, z, w ∈ G)。すると n次コホモロジー群が次の商群で定められる：

Hn(G;A) := Ker(δn)/ Im(δn−1).

例 2.4. まず 1次を調べよう。δ1f = 0を満たす f は f(y)− f(xy) + f(x) = 0を満たす。つまり、例 2.1の考察をすると、fはGabを経由する関数と見做せる。よって次の同型を得る：

H1(G;A) ∼= Hom(G,A) ∼= Hom(Gab, A).

例 2.5 (H2と中心拡大). 次に 2次を考察しよう。コホモロジーの場合、H2と中心拡大との関係が深い。少々長いが紹介していく。ここで (Gの)Aでの中心拡大とは、全射群準同型 p : G→ Gのことで、その核がAと群同型であり、Gの中心に含まれるものをいう。二

2普遍係数定理とは以下の通り。R を単項イデアル整域 (例えば Z や体）としたとき、分裂する次の短完全列がある：0→ Ext1R(Hi−1(G;Z), R)→ Hi(G;R)

h→HomR(Hi(G;Z), R)→ 0

5

つの中心拡大, p : G → Gと p′ : G′ → Gが同型であるとは、群同型 f : G → G′があり、p′ f = pを満たす事をいう。他方で、写像 ψ : G2 → Aが δ2(ψ) = 0を満たす事は

ψ(g, h)− ψ(g, hk) + ψ(gh, k)− ψ(h, k) = 0, ∀g, h, k ∈ G,

と同値である。ここで ψ(g, 1) = ψ(1, g) = 0も仮定してよい (実際、a = ψ(1, g) = ψ(g, 1)

とすると、定値関数 κ(g) = aを持ってきて、ψを ψ − δ∗κに置き換える). この時、直積集合A×Gに次の２項演算を入れる。

(a, g) · (b, h) := (a+ b+ ψ(g, h), gh).

コサイクル条件より群構造を与え、さらに射影A × G → Gは、中心拡大である（簡単なチェックのため省略）。この構成は次の様な綺麗な 1対 1対応が作れる。

定理 2.6. 今の対応 ψ 7→ A×Gは次の同型写像を誘導する

H2(G;A) ∼= A→ G→→ G :中心拡大　 /中心拡大の同型.

Proof. 逆写像の候補を構成する。中心拡大A→ G→→ Gが与えられたとする。切断 s : G→Gを選んで、ψ(g, h) := s(g)s(h)s(gh)−1とすると、Imψ ⊂ M であり、ψは２コサイクルである (事がすぐ解る 3). 注意することに、もし他の切断 s′ を選ぶと、ψ′ − ψ = δ1(s−1s′)

が確かめられる。この構成から Gの同型類によらない事もわかろう。つまり、この写像はwelldefinedである。証明は、あとは行ったり来たりを確かめれば、全単射性が解る（この議論の詳細は [Ros, 4.1節]）。

例 2.7 (巡回群). 8.2節で示されるがm, kが互いに素となる整数の時、H2(Z/m;Z/k) = 0

である。実際、中心拡大は直積 Z/k × Z/mしかない 4.

しかしH2(Z/m;Z/m) = Z/mである。この生成元に対応する中心拡大は、自然な中心拡大 Z/m→ Z/m2 → Z/mである。またH2(Z/m;Z) = Z/mだが、こちらは Z m 倍−→ Z→ Z/mに対応する。他方で、奇数mに対し直積アーベル群 (Z/m)kを考えよう。するとH2((Z/m)k;Z/m) =

Z/m(k2−k)/2が 8.2節で示される。背後にある中心拡大として、G = (∧2(Z/m)k)× (Z/m)k

に群演算 (α, a) · (β, b) := (α + β + a ∧ b, a + b)を入れる。この Gは (Z/m)kのコホモロジーに対応する中心拡大である事が確かめられる。

次いでながら、H1とH2ですら関係がある（証明せず紹介に留める）。

定理 2.8 (Roquette[]. 証明は [Evens, 定理 2.4.1]). pを素数とし、Gを位数 pnの有限群とする。この時、Fp-係数コホモロジーの階数で次が成立する：

4 · rkH2(G;Fp) >(rkH1(G;Fp)

)2.

この様に、低次のコホモロジーが大きくなると高次に影響を与える事が多い。なお、H3に関しては、crossed加群という概念に対応するが、記述は容易ではない（[AM,

Cha. I] [Bro, Cha. IV.5], [Wei, §6.6]に概説があり、詳細は [Mac]を参照の事）。3実際、ψ(g, h)ψ(gh, k) = s(g)s(h)s(gh)−1s(gh)s(k)s(ghk)−1 = s(g)s(h)s(k)s(ghk)−1 であり、ψ(h, k)ψ(g, hk) =

s(h)s(k)s(hk)−1s(g)s(hk)s(ghk)−1 = s(g)s(h)s(k)s(ghk)−1 だからである。今, 最後の式で中心性で s(g) を前に出した。4一般に、Schur-Zassenhaus 定理がある： m,n を互いに素となる自然数とする。|G| = m かつ |K| = n となる任意の群拡大

0→ K → E → G→ 0 は分裂する。証明などは [Wei, Theorem 6.6.9] を見よ。

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2.2 (非斉次座標での)群ホモロジーの定義.

本小節では高次の群 (コ)ホモロジーの定義を行う。その際に、係数を一般に左G加群へと拡張した方が、理論を展開しやすい為、その一般化された定義を紹介する。ここで左 G-加群とは、アーベル群M の事で、任意の g ∈ Gに対し加群同型 g : M →

M ; (a 7→ g · a)が定まり、次の二式を満たすものをいう。

∀g, h ∈ G, a ∈M, gh · a = g · (h · a), 1G · a = a.

例えば、自然な左作用G Gで、Z⟨G⟩がG-加群となる。他に、任意のアーベル群Aに対し、g · a = aとすれば、G-加群である (この様なAを自明係数という). それとG-加群の概念 (圏)には、G-準同型や直和や直積など自然に定義できる。

定義 2.9. Gを群とし、M を左G加群とする。次の加群を考える：

Cn(G;M) := Map(Gn,M) = f : Gn →M.

そこで f ∈ Cn(G;M)に対し、δn(f)(g1, . . . , gn+1) ∈ Cn+1gr (G;M)を次で定義する

g1 · f(g2, . . . , gn+1) +∑

i: 1≤i≤n

(−1)if(g1, . . . , gigi+1, . . . , gn+1) +(−1)n+1f(g1, . . . , gn).

ここで第一項に g1が掛かっている事に注意しておこう。とはいえ、∂n+1 ∂n = 0が簡単に確かめられるから、次により群コホモロジーを定義する：

Hn(G;M) := Ker(δn)/ Im(δn−1).

例 2.10. f ∈ C1(G;A), g ∈ C2(G;A)に対して次が確かめられる。

(δ1f)(x, y) = x · f(y)− f(xy) + f(x),

(δ2g)(x, y, z) = x · g(y, z)− g(xy, z) + g(x, yz)− g(x, y).

例えば、n ≤ 3かつM = Aが自明係数である場合、今定義したものは、前節の余複体と一致する。以下, 低次のコホモロジーを例示しよう：

例 2.11 (H0について). a ∈ M に対し、定義より δ0(a)(g1) = a− g1 · aである。よって次の同型を得る：

H0(G;M) ∼= a ∈M | a = g · a, ∀g ∈ G.

この右辺は、不変部分と呼ばれる。標準的にはMGと書く。

例 2.12 (Z1について). 写像 α : G → M が導分であるとは、δ1(α) = 0となる場合をいう。よって、1-コサイクルの集合Z1(G;M)は導分の集合とみなせる。（この一般化は 6節を参照）。以下の様に、半直積による解釈もある。直積M × G上に次の２項演算で、群構造を入れる：

(a, g) ⋆ (a′, g′) := (a+ g · a′, gg′), ∀ a, a′ ∈M, g, g′ ∈ G.

この群を, 半直積といい、M ⋊ G と書く。HomG(G,M ⋊ G)を群準同型G → M ⋊ GでidG上のものの集合とする。すると、簡単に確かめられることに、群１コサイクルの集合からの次の写像は全単射である：

Z1(G;M) ∼= HomG(G,M ⋊G); h 7−→ (γ 7→ (h(γ), γ)).

7

注意 2.13. 高次の局所系係数コホモロジーは特徴づけが難しい。しかし局所系係数の２コホモロジーも意外な所で使われる。よくある話だと、２次コホモロジーが消えている時、ある条件式を２コサイクル条件に帰着し、1-coboundaryの存在を利用する方法である。微分方程式の解（KZ方程式とか）を扱う上でも使える。[Wei]に有名な２次コホモロジーが消える条件を与える消滅定理が幾つかある。

双対的に、局所系版のホモロジー (+α)も定義しておく。

定義 2.14. 群Gとし、M を左G 加群とする。Cn(G;M) :=M ⊗Z Z[Gn],とおいて、境界準同型 ∂n(a⊗ [g1| · · · |gn]) ∈ Cgr

n−1(G;M)を次式で定義する：

(g−11 · a)⊗ [g2| · · · |gn] +∑

i: 1≤i≤n−1

(−1)ia⊗ [g1| . . . |gi−1|gigi+1|gi+2| · · · |gn]

+(−1)na⊗ (g1, . . . , gn−1). (2)

ここで第一項に逆元 g−11 が掛かっている事に注意しておこう。これにより、ホモロジーが定義される。

例 2.15 (H0について). a ∈M に対し、定義より ∂1(a)(g1) = a− g−11 · aである。よって次の同型を得る：

H0(G;M) ∼= M/a− g · a, ∀g ∈ G, a ∈M.

この右辺は、余不変 (coinvariant)と呼ぶ。MGとも書き、今後よく出てくる。

定義 2.16. a ∈ Cn(G;M), f ∈ Cn(G;M ′) = Map(Gn,M ′)に対し f(a) ∈ M ⊗Z M′が定

義できる。この f(a)を ⟨f, a⟩とも書き、クロネッカー積とも呼ばれる。すると双線形写像Hn(G;M)⊗Hn(G;M ′)→ (M ⊗ZM

′)G = H0(G;M ⊗M ′)を誘導する事が容易に確かめられる。

閑話休題：余談であるが、M を非可換な群とした場合、０次と１次のみ (コ)ホモロジーHi(G;M)が定義できる。この非可換係数のホモロジーは数論や代数群などに対し有用である（[Neuk, PR]など参照）。

2.3 カップ積.

二つG加群M,M ′が与えられた時、コホモロジー上にカップ積が定義できる。以下、定義と性質を説明しよう。天下りの説明だが、u ∈ Cp

gr(G;M) と v ∈ Cqgr(G;M

′) に対し、カップ積 u v ∈Cp+q

gr (G;M ⊗M ′)を次で定義する。

(u v)(g1, . . . , gp+q)

:= (−1)pqu(g1, . . . , gp)⊗((g1 · · · gp) · v(gp+1, . . . , gp+q)

).

(何故こう定義するかは例 8.5で説明する). すると次が簡単に確かめられる：

δp+q(u v) = δp(u) v + (−1)pu δq(v). (3)

したがって、この二項演算は次を誘導する：

: Hpgr(G;M)⊗Hq

gr(G;M′) −→ Hp+q

gr (G;M ⊗M ′).

このカップ積は次の様にもっともらしい性質がある (証明は直接計算による)

8

補題 2.17. (結合性) 3つの元 ui ∈ H∗(G;Mi) (i ∈ 1, 2, 3)に対し、等式 (u1 u2)

u3 = u1 (u2 u3) がH∗(G;M1 ⊗M2 ⊗M3)内で成立する。(歪可換性) 2つの元 u ∈ Hp(G;M), v ∈ Hq(G;N)に対し、等式 v u = (−1)pqt∗(u v)

がH∗(G;N ⊗M)内で成立する。ここで t : M ⊗ N → N ⊗M は (m,n) 7→ (n,m)による写像である。

系 2.18. M = M ′ = Aを自明係数環とする。この時、H∗(G;A)には反可換な環構造が入る。

演習 2.19. (3)と補題 2.17を (直接計算で)確かめよ.

例 2.20 (G = Z/p ). pは素数で、G = Z/pとし、自明係数M = Z/pをとる。すると

α : G −→ Z/p; a 7−→ a,

β : G×G −→ Z/p; (a, b) 7−→((a+ b)p − ap − bp

)/p =

∑i:0≤i<p

i−1xiyp−i.

はコサイクルである事が容易に確かめられる。ここで pが奇素数の時、α αはコホモロガスである。実際、２乗κ : a 7→ a2を考えると

δ1(κ)(g, h) = g2 − (g + h)2 − h2 = 2gh = 2α α(g, h)

だからである。しかし、α βや β βはどうやっても消えない。実際、次の (次数付き)

環同型がある (定理 8.12で一般化され証明される).

H∗(G;Z/p) ∼=

∧∗(α)⊗ (Z/p[β]) もし p = 2の場合,

Z/2[α] もし p = 2の場合.

ちなみに、この同型は非斉次複体から初等的に証明できるが、詳細は付録Aにて.

2.4 余談：1次コホモロジーとOut(G).

1次コホモロジーとOut(G)との関連を紹介する。この小節は、[AM]の小節 II.8に書かれているメモである。そのため証明は全て端折り、主張だけ述べる。まず, 用語の確認. Out(G)は G→ G 群同型 という群である (自己同型群という)。内部自己同型群 Inn(G)は f : G → G |∃g ∈ G, f(h) = g−1hgと定める。正規性 Inn(G) ◁Out(G)がすぐ確かめられる為 Aut(G) := Out(G)/Inn(G)と定義する。Aut(G)を外部あ自己同型群という。次に、正規部分群A◁Gに対し、部分群Aut(G,A,G/A) ⊂ Aut(G)を次の様な τ で生成されるものとする。つまり同型 τ：G → G は τ(A) = Aで、商射G/A → G/Aは自明な恒等写像である。この時、次の様な性質が知られている：

定理 2.21. A ◁ Gがアーベル群のとき、G/Aが自然にAに作用し、さらに次の等式が成り立つ

H1(G/A;A) = Aut(G,A,G/A)/(A ∩ Inn(G)).

系 2.22. A◁Gが極大アーベル部分群のとき、次の写像は単射である：

H1(G/A;A) −→ Out(G); λ 7−→ (τ(g) 7→ λπ(g) · g).

9

命題 2.23. Gが有限 p群で、さらにすべての正規アーベル群A ⊂ Gは巡回群とする。さらに、もしそのようなAでH1(G/A;A) = 0のとき、p = 2でなければならず, さらにGは次の準２面体群しかない:

G ∼= (Z/2)n ⋊(2n−1−1) Z/2

次の定理が、群コホモロジーの応用例であろう (上の命題から示される).

定理 2.24 (Gaschutz の定理. 証明は [AM, p. 89]). Gを有限群で非アーベル群とする。もし素数 pに対し |G| > pなら、∃q > 1で |Out(G)| = pqである。

話が打って変わって、加群を係数とした (コ)ホモロジーを扱ってきた。しかし、０次と１次コホモロジー群に関しては、非可換な群を係数にしても定義が可能である。この (コ)

ホモロジーは数論などに役立つそうである。例えば [Neuk, PR]など参照。

3 射影分解による群コホモロジーの定義.

以上では非斉次の複体から定義したが、これは一般に扱いが難しい。一般に、コホモロジーは射影分解 (δ∗-関手)を用いて定義するのがスタンダードである。群コホモロジーに対してもそうである。実際射影分解というものを用いる事で、計算や性質が得られやすい。

3.1 自由分解による定義.

Gは群とする。手始めに、定義のために用語を用意しよう。Z[G]をGの元で生成される Z-自由加群とする：

Z[G] :=a1g1 + a2g2 + · · ·+ angn

∣∣ n ∈ N, ai ∈ Z, gi ∈ G.

Z[G]は次で定めた積が入る。この (非可換)環をGの群環と呼ぶ:

(a1g1 + · · ·+ angn) · (b1g′1 + · · ·+ bmg′m) :=

∑1≤i≤n

∑1≤j≤m

aibj(gig′j).

また左Z[G]-加群Mが与えられた時、x ∈Mと κ =∑aigi ∈ Z[G]に対し、κ·xを

∑ai(gi·x)

と定めれば、Mは左Z[G]-加群である。この事より、左Z[G]加群と左G加群の概念は同一視される。またMap(Gn,M)はHomZ[G]-加群(Z[Gn],M)と同一視される。次に添加写像 (Augumentation) とは、次の準同型をいう。

ϵ : Z[G] −→ Z; a1g1 + · · ·+ angn 7−→ a1 + · · ·+ an.

そして、ϵの自由分解とは、自由左Z[G]-加群 Fii∈Nと左Z[G]加群準同型 ∂n : Fn → Fn−1

の組で、次が完全となるものである (F0は Z[G]とする。).

F∗ : · · · ∂n+1−→ Fn∂n−→ · · · ∂2−→ F1

∂1−→ Z[G] ϵ−→ Z, (exact).

もしFiが自由でなく射影加群のとき、この列を射影分解という。ここで加群P が射影であるとは、P がある自由Z[G]加群の直和因子となる時を言う（射影加群の基礎事項は多くに書いてある為そちらを参照のこと。[河田, Wei]）。なおこの完全列の事を非輪状ともいう。

10

定義 3.1. 群Gと左Z[G]-加群Mが与えられたとする。Mopを加群M上に、m ·g := g−1 ·mの作用で右 Z[G]加群と思ったものとする。この時、群ホモロジーを次で定義する。:

Hn(G;M) :=Ker(∂∗n) :M

op ⊗Z[G] Fn →Mop ⊗Z[G] Fn−1Im(∂∗n−1) :M

op ⊗Z[G] Fn+1 →Mop ⊗Z[G] Fn. (4)

他方で、コホモロジーを射影分解から定義しよう。その為に、左Z[G]加群N,M,Lに対し、 Hom(N,L)を Z[G]加群準同型N → L全体の集合とする。ここで左 Z[G]-加準同型f : N →M に対し、f ∗ : Hom(M,L)→ Hom(N,L)が g 7→ g f で (逆方向に)自然に誘導されることに注意しよう。

定義 3.2. 群Gと左 Z[G]-加群M が与えられた時、群コホモロジーを次で定義する 5:

Hn(G;M) :=Ker(∂∗n) : Hom(Fn,M)→ Hom(Fn+1,M)

Im(∂∗n−1) : Hom(Fn−1,M)→ Hom(Fn,M). (5)

ここで、自由分解の存在性と、自由分解の取り方によらないかが問題になろうが、実際、次の命題によりこの定義は上手く行っている。

命題 3.3 (比較定理). (C∗, ∂∗)と (C ′∗, ∂′∗)を ZG上の複体とし、r ∈ Nとする。fi : Ci →

C ′ii≤rを ZG準同型の族で、∂′i fi = fi−1 ∂iを満たすとする。もしCiが自由 (もっと一般に射影)ZG加群で、任意の iでHi(Ci) = 0の時、鎖準同型 fi : Ci → C ′iに拡張される。さらに、fiはホモトープを除き一意である。6

系 3.4. F ′∗を別の自由分解とする。鎖写像 fn : Fn → F ′nと gn : F ′n → Fnがあって、fn gnと gn fnは恒等写像にホモトープである。特に、両者のホモロジーは同型である。つまり、(5)の定義はF∗の取り方によらない.

この命題はレポート課題 ([Bro, Wei]に答えあり)にし、存在性だけ言及しよう。

例 3.5 (斉次群複体). C∆n (G)を, n+ 1直積Gn+1で生成される自由Z-加群とする。つまり

C∆n (G) = Z⟨Gn+1⟩. ここで次の作用で、Z[G]-加群とする。

h · n(g0, . . . , gn) := n(hg0, hg1, . . . , hgn),∀g ∈ G, n ∈ Z.

これを対角作用という。そして (単体複体の類似で)次の準同型を考える。

∂∆n : C∆n (G)→ C∆

n−1(G), ⟨g0, . . . , gn⟩ 7→n∑t=0

(−1)t⟨g0, . . . , gt−1, gt+1, . . . , gn⟩.

補題 3.6. (C∆∗ (G), ∂

∆∗ )は自由分解を与える。

Proof. 任意の n-サイクル σ ∈ C∆n (G)が ホモロガスとなる事を示せばよい。 σは、ある

元たち g(m)i ∈ Gがあり σ =

∑m am(g

(m)0 , . . . , g

(m)n )と書ける。h ∈ Gを任意にとり、τ を∑

am(h, g(m)0 , . . . , g

(m)n )と定める。すると ∂∆n+1τ = (−1)nσが簡単に確かめられる。

5学生から「この定義は知っているがフワフワして腑に落ちない」とコメントがあった。単体ホモロジーを譬えて一つの回答を述べる。単体ホモロジーは単体分割に依らない定義だった。それにより、より良い単体分割を得れば計算が簡単になる為あった。という事は、依存しない自由度をめい一杯定義を広げた方がよい。その代数的解決法がまさに自由分解 (ないし導来関手)の定義である。群コホモロジーでは、この回答と呼応するように、(位相的定義を後に比較すれば）その自由分解性とその自由度とが対応することが見てとれる。フワフワ感は、分割を与えていない様な気がするからだろう

6ここで、別の f ′i : Ci → C′i が与えられ、fi と f ′i がホモトープであるとは、Z[G]-準同型 hi : Ci → C′

i+1 が与えられ fi − f ′i =

∂i+1 hi−hi−1∂i を満たすことを言う。特に、もし fi と f ′i がホモトープであれば、誘導射 (fi)∗, (f ′i)∗ : Hi(M⊗C∗)→ Hi(M⊗C′∗)

は等しい。

11

この例は、2.2節の定義と一致することが次でわかる。

命題 3.7. 次の写像は全単射な鎖準同型を誘導する。7

Mop ⊗Z[G] C∆n (G)→ Cn(G;M);

⟨g0, g1, . . . , gn⟩ 7→ g0[g−10 g1|g−11 g2| · · · |g−1n−1gn] (6)

Proof. 鎖写像性は直接計算による。また全単射性は次の対応から定義される逆G写像が存在するからである：

Cn(G;M)→ C∆n (G;M); [g1| · · · |gn] 7→ ⟨1, g1, g1g2, . . . , g1g2 · · · gn⟩.

例 3.8 (斉次群複体の正規化). ついでながら、次の部分複体を考えよう。

Dn(G) = Z⟨(g0, . . . , gn) ∈ Gn+1| ∃i, gi = gi+1 ⟩.

そこで商複体C∆

∗ (G) = C∆∗ (G)/D∗(G)を正規化という。補題 3.6と同じ議論をすれば、正

規化も自由分解を与える事が解る。正規化を考えると簡単になる場合もある為、頭の片隅に覚えて損はない。

例 3.9 (配置的複体). 無限位数の群に使える複体を紹介する。Z[G]自由な部分加群

C =n (G) := Z⟨ (z0, . . . , zn) ∈ Gn+1 | i = j =⇒ zi = zj ⟩.

をおき、境界準同型を上と同様とする。するとGが無限位数の場合、自由分解を与える。理由は以下の通り。非輪状性のみが問題になるが、n-サイクル σ =

∑j(zj)に対し、どの zi

と違う元 a ∈ Gを持ってくると、∂n+1(∑

j(a, zj)) = σとなるからである。

3.2 具体的な群に対する自由分解の例.

自由分解をうまくとる事で、(コ)ホモロジーが計算できる例を挙げよう：

例 3.10 (G = F ). Sを集合とし、F を Sで生成される自由群とする。s ∈ Sに対応する生成元を esとかく。∂1es := 1− es ∈ Z[F ]とすると、次は自由分解である。

0→ Z[F ]⊕S ∂1−→ Z[F ] ϵ−→ Z.

ゆえに、任意の Z[F ]-加群M に対するコホモロジー群は次となる。

H0(F ;M) ∼= MF , H1(F ;M) ∼=Map(S,M)

fa|a ∈M, Hn(F ;M) ∼= 0 (n ≥ 2).

ここで fa : S →Mは fa(s) := a− es · aで定める。特に、M = Zの時、H0(F ;Z) = ZでありH1(F ;Z) = Z⊕Sである。(注) 逆に、任意のZ[F ]-加群に対し、このようなコホモロジー群を持つ群は、自由群しかない事が知られている。

例 3.11 (G = Z/2 ). Z[G]は多項式環 R := Z[T ]/(T 2 − 1)と同型である。T 2 − 1 =

(T − 1)(T + 1)だから、次は自由分解である。

· · · → RT+1−→ R

T−1−→ RT+1−→ R

T−1−→ Rϵ−→ Z.

7テンソル ⊗Z[G] は初学者には意味不明に感じるかもしれないが、次の二つを解っていれば、十分である。もしM を左 Z[G] 加群とすると、Z⊗Z[G] M は商M/a− g · aa∈M,g∈G と同型である。また Z[G]⊗Z[G] M はM と同型である。

12

例 3.12 (G = Z/n ). この場合、Z[G]は多項式環R := Z[T ]/(T n − 1)と同型となる事に気づこう。N = 1 + T + · · ·+ T n−1と書くと、T n = (T − 1)N より、次は自由分解である。

· · · → RN−→ R

T−1−→ RN−→ R

T−1−→ Rϵ−→ Z. (7)

例えばM = Zのとき、T − 1が 0に、N が nになる為、ホモロジー群が次になる：

H2k−1(Z/n;Z) ∼= Z/n, H2k(Z/n;Z) ∼= 0 (k ≥ 1).

例 3.13 (一般四元数群). t ∈ Nに対し、次の様な表示の群を考える。

Π := ⟨x, y | xt = y2, xyx = x ⟩.

この群 Πは具体的に次で表される。Hを四元数体とし、x 7→ eπi/t, y 7→ j により入射Π → GL1(H)を得る。また, 位数 4tの有限群になる事も容易に解る。tが２の冪乗の時、Π

を一般四元数群という。Λを群環 Z[Π]とする。すると不定元 ap, bp, b

′p, cp, c

′p, epを持ってきて、次の周期４の列を考える。

→ X4p+4=Λap+1d−→ X4p+3=Λep

d−→ X4p+2=Λcp ⊕ Λc′pd−→ X4p+1=Λbp ⊕ Λb′p

d−→ X4p

ここで dを次で定める (ここで Lを 1 + x + x2 + · · · + xt−1, N を 1 + x + · · · + x2t−1とした。):

dap+1 = Nep, dbp = (x− 1)ap, (N := 1 + x+ · · ·+ x2t−1)

db′p = (y − 1)ap, dcp = Lbp − (y + 1)b′p, (L := 1 + x+ · · ·+ xt−1)

dc′p = (xy + 1)bp + (x− 1)b′p, dep = (x− 1)cp − (xy − 1)c′p.

すると自由分解を与えていることが直接たしかめられる。よって、例えば自明係数Aに対して、コホモロジー群を次の様に得る。

H4p−1(Π;A) = 4tA, H4p(Π;A) = A/4tA,

H4p+1(Π;A) =

2A+ 2A もし tが偶数

4A もし tが奇数.,

H4p+2(Π;A) =

A/2A+ A/2A もし tが偶数

A/4A もし tが奇数..

以上, 綺麗な例だったが、一般には綺麗でなく, よい射影分解は見つけるのが大変である。取分け, 周期的なコホモロジーは至極まれである。実際、次が知られている：

定理 3.14 (証明は [CE, XII. 11] [Bro, Cha.VI.9]参照). 有限群Gに対し、以下は同値.

1. Z係数群ホモロジーは周期的である： ∃n ∈ Z, ∃同形: H∗+n(G;Z) ∼= H∗(G;Z).

2. 任意のZ[G]加群Mの群ホモロジーは周期的：∃n ∈ Z, ∃同形:H∗+n(G;M) ∼= H∗(G;M).

3. 任意のGのアーベル部分群は、巡回群である。

4. 任意のGのシロー部分群は、巡回群または一般的四元数群である。

13

なおその様な有限群は全て分類されている (Suzuki-Zassenhausの定理. [AM, IV.6]を見よ)

演習 3.15. 例 3.13にあった行間を埋めよ。位数や完全性やホモロジーの計算など.

また有限体 Fqに対し、SL2(Fq)は定理 3.14のどれかを満たすことを示せ.

演習 3.16. 定理 3.14を証明せよ。

3.3 導来関手. ボクシュタイン作用素.

δ関手という概念があるが、群コホモロジーもその様な類がある。その中で、ボクシュタイン作用素が良く使われる。以下、それを説明する。まず

命題 3.17. (i) 自然な同型H0(G;M) ∼= MGとH0(G;M) ∼= MGとがある(ii)任意のG加群の短完全列0→M ′ i→M

j→M ′′ → 0とn ∈ Nに対し、∂n : Hn(G;M′′)→

Hn−1(G;M′)があって、次の長完全列を与える：

· · · → Hn(G;M′)

i∗−→ Hn(G;M)j∗−→ Hn(G;M

′′)∂1−→ Hn−1(G;M

′)→ · · ·

· · · ∂1−→ H0(G;M′)

i∗−→ H0(G;M)j∗−→ H0(G;M

′′)→ 0.

(ii)’先程と同じ設定で、δn : Hn(G;M ′′)→ Hn+1(G;M ′)があって、次の長完全列を与える：

0→ H0(G;M ′)i∗−→ H0(G;M)

j∗−→ H0(G;M ′′)δ1−→ H1(G;M ′)→

· · · → Hn(G;M ′)i∗−→ Hn(G;M)

j∗−→ Hn(G;M ′′)→ · · · .

(iii) P が射影Z[G]加群の時、任意の n > 0でHn(G;P ) = 0となる。

注意 : ∂∗や δ∗は群準同型G→ G′に対し i関手的である。

Proof. (i)は以前しめした (例 2.11参照). (ii)を示そう。 F をZ[G]→ Zの射影分解とする。射影加群は平坦だから、次の完全列を得る。

0 −→M ′ ⊗G F −→M ⊗G F −→M ′′ ⊗G F −→ 0.

するとこれに付随したホモロジー長完全列を取れば、(ii)を得る。(ii’)は以下の様. 射影性より、次の完全列を得る。

0 −→ HomG(F,M′) −→ HomG(F,M) −→ HomG(F,M

′′) −→ 0.

よって、長完全列を取れば、(ii’)を得る。(iii)は射影性より、F ⊗ P も完全になるからである。

演習 3.18. 長完全列の構成を明確に記述せよ (ヒント. ヘビの補題).

よく使う短完全列の設定は以下のものだろうか・・.

0 −→ Z/p −→ Z/p2 −→ Z/p −→ 0, (8)

0 −→ Z −→ C exp−→ C× −→ 0, (9)

0 −→ Z[t±1] −→ Q(t) −→ Q(t)/Z[t±1] −→ 0. (10)

14

定義 3.19. (8)が誘導する δ : Hn(G;Fp)→ Hn+1(G;Fp) をボクシュタイン作用素といい、βと書く。以下の性質が知られている（証明は [Ben]にある).

(1) β β = 0

(2) β(a b) = β(a) b+ (−1)dimaa β(b), ∀a, b ∈ H∗(G;Fp).

例 3.20 (G = Z/p ). G = Z/pとして κ : G → Fpを idFpとし 1コサイクルと思う。この

時、β(κ)は演習問題 2.20の様になる事を示せ.

ボクシュタイン作用素によって、群がアーベルであるかが判定される：

定理 3.21 (Serreの定理. 証明は [AM, III.3章 2]または [Evens, 系 6.4.2]). Gを有限 p-群らの逆極限とする。Gがアーベル群ではない必要十分条件は、或る非自明な元 α1, . . . , αr ∈H1(G;Fp) があって、p = 2のとき、α1 · · · αr = 0または pが奇数のとき、β(α1)

· · · β(αr) = 0が成立する時である。なお r ≤ 2|G|と評価できる。

次に (9)に対しコメントする。任意の有限群Gに対して、Hn+1(G;Z) ∼= Hn(G;C×)である ( 実際、(9)による長完全列と、系 7.7を比較せよ). すると線形表現 ρ : G→ GLn(C)に対して、次の様な２コサイクルが出来る：

c1(ρ) := δ(detρ) ∈ H2(G;Z).

ここで det:GLn(C)→ C×は行列式で、Hom(G,C×) = H1(G;C×)により det ρを１コサイクルと見做した。この c1(ρ)を ρの一次Chern類と呼ぶ。c1(ρ)は具体的に次で書ける：logの分岐を固定し、

c1(ρ)(g, h) =1

2π√−1(log det ρ(g) + log det ρ(h)− log det ρ(gh)

)∈ Z.

最後に (10)は無限巡回被覆などのBlanchfield双対定理 [Bla]に使われることだけ言及しておく。

4 群コホモロジーのトポロジカルな解釈

群コホモロジーを位相的観点から定義する。位相的な手法を用いる事で、簡単に証明できることが多々ある為、群コホモロジーでは避けられない話である。まず 4.1節で基本事項を復習し、4.3節でK(G, 1)空間を定義し、幾らか性質を見る。

4.1 復習：基本群, CW複体, 被覆空間.

授業で復習する内容を羅列する。証明は全て省略する。[Hat, 服部, 加藤, FF]など参照。弱位相を復習する。空間と包含関係の可算無限列A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · に対し、和集合A = ∪i≥1Anに次の様に位相を入れる。O ⊂ Aが開集合であるとは、任意の nに対し、O ∩ An ⊂ AnがAnの中で開集合とする。この位相を弱位相という。上記の様な無限列に対しては、以後、弱位相を入れる事にする。そのもとで、CW複体の定義を思い起こそう：

15

定義 4.1 (CW複体). まず次の二つの記号を固定する：

Dn = x ∈ Rn | ||x||2 ≤ 1, ∂Dn = x ∈ Rn | ||x||2 = 1 = Sn−1.

位相空間XがCW -複体であるとは、空間の (包含的)列

∅ = X(−1) ⊂ X(0) ⊂ X(1) ⊂ · · · ⊂ X = ∪n≥0X(n)

で (ここで最後の等式は、弱位相がXと同相を意味する) 次を満たす時を言う。

1. X(0)は点の集合で、離散位相となる。

2. 空間X(n−1)が定義されたと仮定する。添え字集合を Inがあって、各 α ∈ Inに対して連続写像

φα : ∂Dnα = Sn−1α → X(n−1) (11)

が与えられ（ここで Sn−1α は αで添え字づけられた (n − 1)-球面である）、Xnは次の様にかける (図 1参照):

X(n) = X(n−1) ∪⊔α∈In

φα

⊔α∈In

Dnα := X(n−1) ⊔

⊔α∈In

Dnα/(∂D

nα ∋ x ∼ φα(x)).

• X(n)を (Xの)n-切片 と呼ぶ。さらに、各 α ∈ Inに対し、 Dαまたは Imφα ⊂ Xをこのnセルと呼ぶ。加えて φαを接着写像という。

X(n)Dα

φα

φα X(n+1)

図 1: φα による接着の模式図. X(n+1) の仕上がり方

例えば、C∞-多様体はCW複体である。CW複体は良い性質が多く、またホモロジー群も計算しやすい ([Hat, 服部]等参照)。トポロジーでは、CW複体をホモトピー同値関係を除いて考える事が多い。必要な用語を復習する。

• 位相空間の間の連続写像が二つ f0, f1 : X → Y が与えられたとする。f0と f1がホモトープであるとは、ある連続写像F : X×[0, 1]→ Y があって、制限に関しF |X×i = fiとなることを言う (i ∈ 0, 1)。この時、f0 ≃ f1とかく。

• 二つの空間Xと Y が ホモトピー同値であるとは、連続写像 f : X → Y と g : Y → X

があって、g f ≃ idXかつ f g ≃ idY を満たすことを言う。この時、X ≃ Y と書く。

• CW複体間の連続写像 g : X → Y が胞体的であるとは、各 nセルDαに対して, Y のnセル Imφβがあり、g(Imφα) ⊂ Imφβとなる事を言う。

• 一点とホモトピー同値である空間Xを可縮という。

16

• ツリーとは可縮なＣＷ複体をいう。Xの極大ツリーとは, Xの部分複体で極大なツリーをいう、ここで順序関係は空間の包含関係で考えている。

• 添え字集合 I があり、各 i ∈ I に対し連結な CW複体Xiが定まっていたとする。また点 pi ∈ Xiを固定する。この時、一点和とは商空間⊔i∈IXi/ ∼をいう。ここで∼はpi, pj|(i, j) ∈ I2を含む最小の同値関係である。ホモトピー同値を除けば、一点和の定義は一意である。一点和を

∨i∈I Xiなどと書く。

次に、ホモトピー群と基本群について復習する。Xを弧状連結な位相空間として、一点x0 ∈ Xを固定する（x0を基点という）。そして次の集合を考えよう。

πn(X) := Sn → X | 連続かつ f(∗) = x0 /(基点付きホモトピー)

ここで二つの連続写像 f, gが基点付きホモトープとは、ある連続写像 F : Sn × [0, 1]→ X

で、F |Sn×0 = f と F |Sn×1 = gと F (∗, t) = x0を満たすように取れる事を言う。ここには自然な群構造が入る（単位元は一点写像）。この群は (共役同型を除き), 基点 x0の取り方によらないことがよく知られている。n = 1のとき π1(X)を (Xの)基本群といい、n ≥ 2

のとき、πn(X)を (X の)ホモトピー群という。また n ≥ 2の時は可換群になる事も良く知られている (何故か？). 弧状連結な空間X が n連結であるとは、全ての k ≤ nに対しπk(X) = 0となるものをいう。n = 1の時は、単連結という。

S1

f

f ′

X

p

U

p−1U

pX

C

図 2: 左図は基本群のホモトピー同値を表す。右側の 2図は被覆の模式図

ホモトピー群は直極限と可換である：即ち、弧状連結なCW複体の列X1 ⊂ X2 · · · に対し次が成立する：

πk( limn→∞

Xn) ∼= limn→∞

(πkXn).

(但し逆極限は本質的に非可換である！) 次も基本であろう：

定理 4.2 (胞体近似定理 ). CW 複体の間の任意の連続写像 f : X → Y に対して、胞体写像 g : X → Y で f と gがホモトープとなるのが存在する。

系 4.3. n < mならば、任意の連続写像 f : Sn → Smは一点写像にホモトープである。特に、πn(Sm) = 0.

定理 4.4. Xを連結なCW複体とする。π1(X)のアーベル化はH1(X;Z)に同型である。

また基本群に関しては、次のような貼合わせの関係式がある。

定理 4.5 (ファンカンペンの定理). XをCW複体とする。連結な開集合U1, U2 ⊂ Xに対し、X = U1∪U2でV := U1∩U2は弧状連結と仮定する (注：仮定抜き版もある). 基点 b ∈ V をとり、包含写像を ik : V → Ukとし、これが誘導する準同型写像を (ik)∗ : π1(V, b)→ π1(Uk, b)

とする。この時、次の群の完全列がある：

0 −→ N −→ π1(U1) ∗ π1(U2) −→ π1(X) −→ 0.

17

ここでN は、自由積 π1(U1) ∗ π1(U2)の部分集合 (i1)∗(x)((i2)∗(x)

)−1 | x ∈ π1(V ) を含む最小の正規部分群である。

ファンカンペンの定理は「空間を牛刀で切る」様な一般論であるが、次の（形である）命題が実用的である（証明は [Hat, Prop. 1.26 ]等を見よ）：

命題 4.6. 連結な CW複体X に対し, 局所同相な胞体写像 φ : S1 → X が与えられたとする。これを接着写像と思い、得られたＣＷ複体X ∪φD2を Y とおく。包含写像 ι : X → Y

をおく。この時、誘導射 ι∗ : π1(X) → π1(Y )は全射であり、その核は [φ] ∈ π1(X)で生成される正規部分群である。

例 4.7. 添え字集合 I を固定する。S1の濃度 I の一点和∨I S

1の基本群は、自由群 FI である。

例 4.8. もっと一般に群 Gの群表示 P = ⟨xi (i ∈ I) | rj (j ∈ J) ⟩が与えられた設定を考える。するとG ∼= π1(KP)となる CW複体KP は次の様に作れる。まず１切片K

(1)P を

例 4.7の様に一点和∨I S

1とする（図 3の左）。そして各 S1に i ∈ Iでラベルする。次に、rj = xϵ1j1 · · · x

ϵjmjmに対し、m角形Drjを考える。その各辺に xj1 , . . . , xjmと順にラベルし、各

辺に向きを入れる（但し、ϵj = +1の時は時計回り、ϵj = −1の時は反時計回りとする）。そこで、xでラベルされたDrj の辺を、K

(1)P の xでラベルされた S1に自然に（向きに沿っ

て）貼り付ける。出来上がったCW複体をKP とすると、ファンカンペンの定理（または命題 4.6）からG ∼= π1(KP)となる（この詳細は [Hat, １章 1.2節]に書かれている）。

... ..........

xk

xixjm

xjk xjk−1

xj1 xj2

図 3: 自由群の場合のKP と、2セルとしてのm多角形Drj

定理 4.9 (空間のCW複体による近似). 任意の弧状連結な位相空間Xに対して、CW複体ΓX と、弱ホモトピー同値 8な連続写像 f : ΓX → Xがある。

次に、被覆空間について復習し、諸性質も言及する。

定義 4.10 (被覆空間など). • 連結な位相空間CからXへの連続全射 p : C → Xが被覆であるとは、すべての点 x ∈ Xに対し xの開近傍U が存在し、逆像 p−1(U)が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が pの制限写像により U と同相であることをいう。このときCを被覆空間という (図 2の右側).

• Deck変換とは同相写像 g : C → Cで p g = pを満たすものをいう。Deck変換の全体の群を, 被覆変換群という。

• 被覆 pが正則 (regular)であるとは、 π1(C)→ π1(X)の像が、π1(X)の正規部分群である時を言う。これは「任意の x ∈ X に対し、被覆変換群の p−1(x)への作用が推移的である」に同値である。

8誘導射 f∗ : πn(ΓX)→ πn(X) が同型である事。

18

• 普遍被覆とは π1(X) = 1となる空間 Xから被覆 p : X → Xをいう。

普遍被覆空間に関し、次は基本である（[Hat, 服部]等参照）。

命題 4.11. Xを連結なCW複体とする。この時、普遍被覆空間 Xは存在する。また他の普遍被覆空間 X ′があった時、同相写像 h : X → X ′があり、p′ h = pとなる。また, 正則な被覆写像 p : C → X に対し、p∗ : π1(C) → π1(X)は単射であり正規部分群と思え、pの被覆変換群は π1(X)/π1(C)である。とくに、C = X のとき、G = π1(X) である。逆に、群Gが空間Y に真性不連続かつ自由に作用していたとする。Y は弧状連結かつ局所弧状連結とする。この時、射影q∗ : Y → Y/Gは正規被覆で、群Gは商群π1(Y/G)/q∗(π1(Y ))

に群同型である。

例 4.12. 自然な射影R→ R/Z = S1は正則被覆である。Rが可縮より、普遍被覆である。特に π1(S

1) ∼= Zを得る。

以上で被覆の話を終わりにする。

4.2 胞体ホモロジーと局所系係数ホモロジーの速成的復習

CW複体Xに対して、胞体ホモロジーを速成的に復習しよう。それはホモロジー群を計算する方法でもある。本節では可換環Rを固定する。まず特異ホモロジー（の性質）をざっと復習しよう（詳細は [Hat,中岡 1]などを参照）。それは任意の空間Xに対して、アーベル群Hn(X;R)が定まり、任意の連続写像 f : X → Y

に対して準同型 f∗ : Hn(X;R)→ Hn(Y ;R)が定まるものであった。特に顕著な性質として次があった。

• f : X → Y がホモトピー同値を与える時、誘導射 f∗は同型Hn(X;R) ∼= Hn(Y ;R)である。

• Xが弧状連結の時、0次ホモロジーH0(X;R)はRに同型である。

• Xが球面 Snの時、Hn(Sn;R) ∼= Rで、k = n, 0ではHk(S

n;R) = 0であった。

加えて、球面の写像度を思い出そう。この段落ではZとW が Snにホモトピー同値とする（但し n > 0）。するとR = Zの時、Hn(S

n;Z) ∼= Zに対して、生成元の取り方がある事に注意しておこう。そこでHn(Z;Z) ∼= ZとHn(W ;Z) ∼= Zの生成元を [Z]と [W ]と夫々かく。この時、f : X → Y の写像度とは、f∗([Z]) = d · [W ]となる整数 d ∈ Zの事である。dは f のホモトピー同値類による事がよく知られている。写像度の性質は例えば [Hat, 2章2.2節]を参照頂きたい。次に結合係数について復習しよう。X を一般に連結な CW複体とする。ここで 0-切片

X(0) は一点のみと仮定しよう。そして X の各セルに向きを固定しよう、つまり (11)のSn−1α に対して、Hn−1(S

n−1α ;Z)の生成元を固定する。そして、気づきたい事に、定義より

商X(n−1)/X(n−2)は一点和∨γ∈In S

n−1γ とホモトピー同値である（ここで Snγ は γで添え字

づけられた n-球面である）。そこで、α ∈ In, β ∈ In−1に対して、次の合成写像が考えられる：

Sn−1α

φα−→ X(n−1) proj.−−−−−→ X(n−1)/X(n−2) ≃∨

γ∈In−1

Snγproj.−−−−−→ Sn−1β .

19

各セルに向きを固定していた為、写像度が考えられ、それを [σα, σβ] ∈ Zと書く。この時、任意の αに対して、[σα, σβ]が非零となる β ∈ In−1 は有限個しかない事が知られている。

定義 4.13 (胞体ホモロジー). XをCW複体でX0は一点とする。またXの各セルに向きを固定する。この時、Ccell

n (X;R)を直和R⊕In−1と定める。α ∈ Inに対応するCcelln (X;R)の生成元を、

nセルと同一視する。そこで境界準同型を次で定義する：n > 1の時

∂n : Ccelln (X;R)→ Ccell

n−1(X;R);α 7−→∑

β∈In−1

[σα, σβ]β. (12)

n = 0, 1の時は ∂n = 0と定める。

∂n−1 ∂n = 0が知られている。このホモロジーをHcelln (X;R)などと書く。すると、次は

良く知られた定理であろう：

定理 4.14. XをCW複体構造の入った空間とする。この時、次の同型が存在する：

Hcell∗ (X;R) ∼= Hn(X;R).

この定理によればHcell∗ (X;R)はCW複体の構造や、向きの取り方に依らない事を言って

いる。またHn(X;R)の計算が目的であれば、よいCW複体構造を見つける事が鍵となる。

次に局所系係数ホモロジーについて、矢継ぎ早に説明する。以下ではXは連結なCW複体とし、p : X → Xを普遍被覆とする。すると被覆の定義から、Xに自然にCW複体構造が入り、p∗ : In → Inは π1(X) : 1の写像である。特に Xの胞体複体は次で書ける：

C∗(X;R) : → R[π1(X)]⊕In+1∂n+1−→ R[π1(X)]⊕In → · · · → R[π1(X)]⊕I0

∂0−→ Z.

ここで ∂n+1は (12)で定義された境界準同型で定義する 9。左作用π1(X) π1(X)によって、R[π1(X)]⊕In+1を左R[π1(X)]-自由加群と見做す。胞体の持上げから ∂n+1は左R[π1(X)]-加群準同型であることが確かめられる。次に、右Z[G]加群M と、群準同型 ρ : π1(X)→ AutR(M)を固定する。するとテンソル積M ⊗R[π1(X)] C∗(X;R) と idM ⊗R[π1(X)] ∂n+1が定められる。するとM による局所系係数ホモロジーとは次で定められる：

Hn(X;M) := Hn(M ⊗R[π1(X)] C∗(X;R)).

良く知られたこと（[Hat, 服部]等参照）に、この定義はXのCW複体の構造によらず、Xのホモトピー同値類と ρのみに依る。この双対的な操作を行えば、左Z[G]加群M と、群準同型 ρ : π1(X)→ AutR(M)に対して、M による局所系係数コホモロジーが定義できる。Shapiroの補題を紹介しよう。全射な群準同型 f : π1(X) → Gを固定し、その核に付随する被覆空間を XGとする。

定理 4.15 (Shapiroの補題). M を群環R[G]とし、ρ : π1(X)→ AutR(M)を ρ(g)(h) = gh

と定める (g ∈ π1(X), h ∈ G)。この時、次の複体同型が存在する。

M ⊗R[π1(X)] C∗(X;R) ∼= C∗(XG;R)9細かい事だが n = 0, 1 の時の ∂n の定義は次の様である：n = 0 の時は、∂0 を添加写像とする。n = 1 では、φ1

α : S1 → X2 を基本群の元 γα ∈ π1(X) と思い、∂(φ1

α) := 1− γα ∈ Z[π1(X)] と定める。

20

特に同型Hn(X;M) ∼= Hn(XG;R)が存在する。

注意 4.16. コホモロジーに関する Shapiroの補題は少々厄介で注意した方がいいだろう。

最後に、可縮性を示すときに使えるWhiteheadの定理と命題を紹介する：

定理 4.17 (Whiteheadの定理). Xを連結なCW複体とする。以下の 3点は同値である.

1. Xは可縮である。つまり一点にホモトピー同値である。

2. Xの基本群が自明で、すべてのホモトピー群は０である。

3. Xは基本群が自明で、1次以上のホモロジー群が０である。

命題 4.18. Xを連結なCW複体とする。ρ : Dn → Xを胞体写像とし、Y := X ∪∂Dn ρ(Dn)

とする。包含写像 i : X → Y に対し、同型 i∗ : πj(X) ∼= πj(Y )と同型 i∗ : πj(X) ∼= πj(Y )

を誘導する。ただし j < nである。

例 4.19. Snは可縮ではない。しかし例 4.3より、直極限 S∞ = limSnは可縮である。

他にも、可縮性を示す為に多用される道具で、Quillenの補題A,Bがある ([Ben]等参照)。

4.3 K(G, 1)-空間の構成

まずK(G, 1)-空間の定義を述べ、基本的な定理を述べよう。

定義 4.20 (Eilenberg-MacLance空間). Gを群とする。K(G, 1)-空間とは、連結なCW複体K(G, 1)で次を満たすものである：

πn(K(G, 1)) ∼=

G もし n = 1

0 もし n > 1.

定理 4.21. 任意のGに対し、K(G, 1)-空間は存在し、ホモトピー同値をのぞき一意である。

Proof. 存在性は、後回しにする。一意性のみ粗筋を述べる。K(G, 1)-空間X,Y が二つあったとする。π1(X) ∼= π1(Y )より

1-切片からの写像 f1 : X(1) → Y ができる。X, Y は高次ホモトピー群がないため、“障碍理

論”([服部]参照)より f : X → Y へと拡張され、f の取り方はホモトピーを除き一意である。同様に g : Y → Xを定義できる。一意性より、f g ≃ idX と f g ≃ idY よりホモトピー同値が与えらえた。（障碍理論を用いない証明は [Hat, Theorem 1B.8]にある）

いま後回しにしたK(G, 1)-空間の構成法を述べる。幾らかあり、順々に説明する。(高次セルを貼って、作る方法)

Xを π1(X) ∼= Gとなる連結ＣＷ複体とする (例 4.8). π2(X)の元 g = 0に対し、ρ : D3g →

X で [ρ(∂D3g)] = gとなるものを取り、X にD3

g を接着する。π2(X) = 0となるまで、gを選び続けると、ＣＷ複体X3で π1(X3) ∼= G, π2(X3) = 0となるものが出来る（ここで命題4.18を使っている）。この操作を繰り返すと、空間Xkで π1(Xk) ∼= G, π2(Xk) = · · · = πk−1(Xk) = 0となるものが帰納的に出来る。そこでK(G, 1)を直極限 limXkとすればよい。包含射X → K(G, 1)

の事を, 分類写像と呼ぶことがある。分類写像は (障碍理論より)はホモトピーを除き一意

21

である。しかしながら、この構成は少々強引で、具体的なK(G, 1)の考察には余り使えない（それも構成が関手的ではない).。しかし分類写像X → K(G, 1)は低次コホモロジーに有用である。まず１次に関しては

（構成より）次の同型を誘導する。

H1(X;M) ∼= H1(G;M), H1(X;M) ∼= H1(G;M).

これによって、任意のＣＷ複体X の局所系１次 (コ)ホモロジー群は群 (コ)ホモロジーに帰着できる（特に代数的に扱いやすくなった）。加えて、２次の誘導射は全射H2(X;M)→H2(G;M)となる事にも留意しておこう。（３次に関しては 16.3節を参照）なおXkを途中で止める事も有用なテクニックである。つまり、k次ホモロジーまで知りたいなら、X として、π1(X) ∼= Gで 2 ≤∀ n ≤ kで πn(X) ∼= 0なものを考える事も多々ある。

注意 4.22. 次に進むに、K(G, 1)-空間の構成のうち、もっとも順当な構成法を注記する。その基本方針は、群Gが作用する可縮なCW複体Eをもってきて、その作用が自由 10であり、胞体的 11である事を示す事である。すると、商空間 E/GはK(G, 1)になる。なぜなら、商E → E/Gは被覆写像になる為、ホモトピー長完全列 12からE/Gが分類空間の定義を満たすからである。この構成は部分群H ⊂ Gを相対的に見る時に、役立つ。実際、制限作用H Eは自由だから、E/HはK(H, 1)空間であり、自然にE/H → X/Gという写像ができる。以下, この視点から、そのようなEを (強引ながらも)構成していく。

(単体的集合による構成法)

まず n ∈ Nに対し、次の空間を考える（n次元標準単体ないし n-単体と呼ぶ）

∆n :=(t0, . , tn) ∈ Rn+1 | ti ≥ 0,

∑ti = 1

.

この∆nにはユークリッド空間からの標準位相から定まる相対位相を入れる (図 4 参照)。また 1 ≤ i ≤ nに対し、dni : ∆n−1 → ∆nを次で定める。

dni (x0, x1, . . . , xn−1) = (x0, . . . , xi, 0, xi+1, . . . , xn−1) ∈ ∆n, (13)

すると、Gに離散位相を入れて、次の商空間 (ＣＷ複体)を考える (所謂 fat geometric real-

izationである 13):

EG :=(∪n≥0

Gn+1 ×∆n

)/ ∼ .

ここで、 (g0, . . . , gn, dni (t)) ∼ (g0, . . . , gi−1, gi+1, . . . gn, t), t ∈ ∆n, i ≤ n.

ビギナーの理解の助けとして、まずEGのCW複体構造を図示しながら大雑把に述べていこう。この空間EGは次の様に、セルを貼って構成される。

• 0-切片EG(0)は、集合Gである。

10自由であるとは、X の任意の元 x に対して「g · x = x ならば g は単位元である」が成り立つ事。11これは、任意の X の n セル eni と元 g ∈ G に対し、g(eni ) ⊂ E が E の或る n セルとなる事として定義される。12ファイバー束 F → E → B があり、B,E が連結で x0 ∈ F を固定したとき、次の完全列が存在する：→ πn+1(B)→ πn(F, x0)→

πn(E)→ πn(B)→ .13標準的な幾何実現に関しては、[May] 等を参照の事。

22

0 1t0

t1

1

0 1t0

t1

1

0 1

1

t0

t2

図 4: 0-, 1-, 2-単体の模式図. 図内の太線部が、それらに相当する。

• 1-切片EG(1)は、2個添え字集合 (g, h) ∈ G2で添字づけられた閉区間 [0, 1]をEG(0)

に次の手順で貼ったものである。ここで (g, h)に対し、0 ⊂ [0, 1]を gの０セルに、1 ⊂ [0, 1]を hの 0セルに貼り合せる。(特にEGの連結性に注意しよう。)

• 3個添え字集合(g, h, k) ∈ G3で添字づけられた三角形∆2に対し、３つの辺g, h, g, k, h, kがある。その各辺をEG(1)の添え字づけられた辺に貼りつける。この操作で貼りつけられた２次元CW複体は、2-切片EG(2)と一致する。

• 一般に n-切片 EG(n)は帰納的に定義される。実際、(g0, g1, . . . , gn) ∈ Gn+1で添字づけられた n-単体∆nは、境界が n + 1個の (n − 1)-単体となっている。その境界をEG(n−1)に添え字にそって貼りつける事で、EG(n)が構成される。

対角作用G Gnは、G EGを誘導する。これは固有かつ自由である事がわかる。この商空間EG/GをBGと書く。BGの 0-切片が一点より、2-切片を見る事でファンカンペンの定理より π1(BG) = Gが解る。

EG0 EG1

g l

h

kg l

h

k g

k

h gh

k

l

図 5: 左から、EGの 0,1,2,3-切片の模式図である (なお (g, g)となる１切片は一巡の丸で書いた。

補題 4.23. EGは可縮である。特に、BGはK(G, 1)-空間である。

Proof. BGの 0切片は１点より、BGは連結である。特に、EG→ BGは正則より、普遍被覆である。特に π1(EG) = 0. 他方でEGのセル複体は、例 3.5の複体に鎖同型である。特に、補題 3.6よりホモロジー群 Hn(EG;Z)は n > 0で全て０になるため、EGは定理 4.17

より可縮である。

またGで割ったBG := EG/Gのホモロジーに関して次を得る。

系 4.24. 任意の自明係数Aに対し、H∗(BG;A) ∼= H∗(G;A)とH∗(BG;A) ∼= H∗(G;A)が成立する。

Proof. 次の補題に留意して、例 3.5にある複体を観察すればよい。

補題 4.25. Gが CW複体 X に胞体的に自由に作用していたとする。この時、特異複体S∗(X)は Z[G]自由加群の複体で、商 Z⊗Z[G] S∗(X)はX/Gの特異複体である。

Proof. もっともらしい主張だが、鎖準同型のチェックは意外と大変である。[Wei, Lemma.

6.10.2. p.204]に詳細を回す事にする。

23

注意 4.26. もっと一般に、Mを左Z[G]加群とする。π1(K(G, 1)) = Gより、MをK(G, 1)

の局所系係数と思える. この時、群コホモロジーとの同型が与えられる：

H∗(K(G, 1);M) ∼= H∗(G;M).

注意 4.27. 非斉次との対応 (6)は、(辺のラベル付けとして)下図のごとし (左は斉次座標).

l

k

h

gg−1hh−1k

k−1l

他に、EGによる構成の長所の一つに、次の様に関手性が明快な点がある。つまり

命題 4.28. 群準同型 f : G → K に対して、連続（胞体）写像 Bf : BG → BK を誘導する。特に、右K-加群M に対し、f∗ : H∗(G;M)→ H∗(K; f∗M)と左K-加群N に対し、f ∗ : H∗(K;N)→ H∗(G; f ∗(N))も誘導する。

(ユニタリー群 U(n)の部分群)

まず思い出す事に、整数組 n ≤ N に対する Stiefel 多様体 VN,nとは、複素N 次元ベクトル空間内の n次元部分空間を成す正規直交基底の組全体であった。VN,nは (基底変換により)自然にU(N)からの推移的な作用を得る。この固定部分群はU(N − n)であり、VN,nはU(N)/U(N − n) と自然に同一視でき、これで位相を入れる。このセル構造はよく解っており、特にに最低次のセルの次元は 2N + 1である。よって Stiefel 多様体は 2N -連結である (∵ 命題 4.18). 従って、直極限EU(n) :=colim→N U(N)/U(N − n) は可縮となる。そこで有限群 Gの U(n)への埋込を固定し (例えば正則表現など) 自然な作用 G Cn

と同一視する。これと自明作用 G CN−n の直和を考えよう。その直和は作用 G U(N)/U(N−n)とG EU(n)に持ち上がり、固有であり自由である。よって、商EU(n)/G

はK(G, 1)空間である。(この手法はChern類の考察によい 14. )

(結という概念を用いる手法もある) フーズモラーの「ファイバー束」を参照。

4.4 K(G, 1)-空間の具体例

この様にK(G, 1)空間の存在が証明されたが、一般の群Gに対し、K(G, 1)空間はよく解らないものである。とはいえ、具体的な群Gに対し、K(G, 1)空間の具体的設定が鍵になる事が多い。実際、K(G, 1)が多様体などよく解った空間である場合、多くの技術が使える事がある。幾つか例示してみよう。

例 4.30 (整数群 Z). G = ZのRへの作用を n · (a) = n + a ∈ Rとする。これは胞体的に作用する。Rは可縮より、BG = R/Z = S1となる。

例 4.31 (自由群 FI). 添え字 Iに対し、xii∈I で生成される自由群を FI とする。この時、π1(∨IS1) ∼= FI であった（例 4.7）。∨IS1の普遍被覆はツリーより、BG = ∨IS1となる。

14BU(n) = EU(n)/U(n)は無限次元グラスマン多様体である事が知られ、よって、H∗(BU(n),Fp)は多項式環 Fp[c1, ..., cn]に環同型である。ここで ci は i 次 Chern 類というもの。そこで Venkov という人はファイバー束 U(n)/G→ BG→ BU(n) のスペクトル系列を計算することで、次を得ている。

定理 4.29 (Venkov). G が U(n) の有限部分のとき、H∗(G,Fp) は H∗(BU(n),Fp) の有限生成加群で、ポアンカレ級数は以下となる。ある m ∈ N, r(t) ∈ Z[t] があり、

∑r t

rdimH∗(G,Fp) = r(t)/(∏m

j=1(1− t2i)).

24

例 4.32 (巡回群). pを整数とする。G = Z/pのCnへの作用を a ∈ Z/pに対し、スカラー倍 a : Cn → Cn; x 7→ e2π

√−1a/pxと定める。この作用は S2n−1 ⊂ Cnに閉じている。次の列

と直極限を考えよう：S1 ⊂ S3 ⊂ S5 ⊂ · · · · · · · ⊂ S∞.

作用の直極限として、Z/pが S∞に胞体的に作用する。例 4.19より、S∞は可縮である。従って商 S∞/GはK(Z/p, 1)空間である。この商空間を無限次元レンズ空間という。セルの対応は図 6中央の通り。このセル複体は例 3.12の複体と一致する。

例 4.33 (閉曲面 π1(Σg)). g ≥ 1に対し、Σg を種数 gの閉曲面とする（図 6の右図）. この普遍被覆空間X は開 2次元多様体であるからHj(X;Z) ∼= 0 (j ≥ 2)となる。H1(X) =

π1(X)ab = 0だから、命題 4.17より、Xは可縮である。従って、ΣgはK(π1(Σg), 1)空間である。よって

H∗(π1(Σg)) ∼= H∗(Σg).

例 4.34 (直積). 直積G×Hに対し、B(G×H) ≃ B(G)× B(H)である (∵ BGのホモトピーの一意性による。ここで π∗(X × Y ) = π∗(X)⊕ π∗(Y )を使用した).

... ..........

図 6: 左から、自由群の場合と、巡回群の場合の１セル、閉曲面の模式図.

もっと例があるのだが、証明は難しくなる。事実だけ列挙しよう (証明略).

例 4.35. • 任意の結び目 (つまり埋込みK : S1 → S3)に対し、補空間 S3\KはB(π1(S3\

K))である（もっと一般に、non-splitingで既約 atroidalなコンパクト有向 3次元多様体もそうである）[Lic, AFW]。

• 組みひも群 Bn に対し、その分類空間は配置空間 (z1, . . . , zn) ∈ Cn| zi = zj もしi = j)/Snである。

• 完備双曲多様体M は、分類空間 Bπ1(M)になる (何故なら負曲率から普遍被覆空間が可縮だから).

• Lを Lie群とし、GをLの離散部分群とし、捩れ元がないとする。K ⊂ Lを極大コンパクト群とすると、同相L/K ∼= Rdだった (カルタン岩澤分解). Gがねじれがないと、固有かつ自由に作用する。よって、Rd/Gが多様体として実現できる。松島 [Mat].

逆に、捩れ元がない有限生成可解群Gに対し、可解 Lie群Lを見つけ離散的単射準同型L ⊂ Gを見つける事は有用な技術である。実際、可解 Lie群Lは可縮である。Gがべき零群の場合、その様な Lがいつも存在する事が知られている。

• Asphericalな超配置空間はK(G, 1)空間である [Deligne].

一般にはK(G, 1)空間は多様体にならない (定理 3.14の様に周期性のある群を考えよ).

25

とはいえ、多様体ではないが、良いCW複体として見つけることも大事である。例えば、コクセター群に対しては、Serreの複体 [Ser]や Salvetti複体 [Sal]が有用である。写像類群に対して、単純閉曲線の複体がよく使われる。最後に、Mayer-Vietoris完全列に関して言及する。

定理 4.36 (Whitehead, 証明は [Bro, II.7]参照). 対応G → K(G, 1)を, 群の圏から空間の圏への関手と思う。この時、押出しを保つ。つまり、次の左辺の押出に対し、右辺内の射は包含写像となる：

π1(Y ) //

π1(X1)

Y //

X1

π1(X2) // π1(X) X2

// X.

直ぐ解る事だが、群の押出とは、融合積 π1(X) ∼= π1(X1) ∗π1(Y ) π1(X2)を意味し、空間の押出は単なる貼合わせである。よってMayer-Vietoris完全列を掛ける事で、次を得る。

系 4.37. Gが融合積G1 ∗K G2と書けたとき (但しG1 ← K → G2は単射), 次の完全列がある。

· · · → Hn(K) −→ Hn(G1)⊕Hn(G2) −→ Hn(G) −→ Hn−1(K)→ · · · .

系 4.38. 自由積に対し、群ホモロジーは直和に分かれる：Hn(G ∗K) ∼= Hn(G)⊕Hn(K)、但し n > 0。

例 4.39. G = SL2(Z)とする。すると G = Z/4 ∗Z/2 Z/6である。準同型 j : Z/12 →SL2(Z); 1 −→ (1 ∗ 1)とする包含写像が、群ホモロジーに同型 j∗を与える (証明は簡単).

演習 4.40. もっと一般に、G = SL2(Z[1/p])も計算せよ (答えは [Knu, p.84]にあり).

なお、融合積G ∼= G1 ∗KG2から群ホモロジーを計算したい時は、Giが自由群や巡回群など簡単な場合ではないと、上記の議論が適用できない。そのような融合積を得るには、ツリーへの作用を見て調べるのがかなり有力である ([Bro, II章の章末]や [Webb]参照). ちなみに３次元多様体論では、３次元多様体M を “本質的曲面”で切ると、π1(M)をG1 = G2

を自由群として分解することが出来たりする。

5 ５完全列.

５完全列というものを紹介する。シンプルな主張だが、（中心拡大や Hopfの定理など）応用も広い。本節では主張を述べ、小節ごとに応用例も述べる。まず設定として、群拡大

0 −→ N◁−→ G −→ G/N −→ 0 (14)

を固定する。すると、a ∈ G/N と (g0, . . . , gn) ∈ C∆n (N ;A)に対し、a · (g0, . . . , gn) :=

(ag0a−1, . . . , agna

−1)と定めると、ホモロジーH∆n (N ;A)への商群G/N の作用が誘導され

る。するとH∆n (N ;A)の不変部分と余不変が考えられる。まとめると、5完全列の主張は

以下の様である。

26

定理 5.1 (５完全列.). Aを左G-加群とする。この時、次の完全列がある。

H2(G;A)inf−→ H2(G/N ;AN)

T−→ H1(N ;A)G/Nres−→ H1(G;A)

inf−→ H1(G/N ;AN)→ 0.

(15)

コホモロジーに関しては、次の完全列が成立する。

0→ H1(G/N ;AN)inf−→ H1(G;A)

res−→ H1(N ;A)G/NT−→ H2(G/N ;AN)

inf−→ H2(G;A).

(16)

この完全列にあった写像の説明は 5.4節で行う。

演習 5.2. どちらかの完全列に関し、直接的な証明を与えよ (答えは [Ros, p.178]にある).

証明は長いが、その際に関手性についても言及してほしい.

コメント： LHSスペクトル系列（11節）を使うと、証明は即座にできるが、δ∗が不明瞭となる短所がある。なお δ∗は具体的な写像として書ける（5.4節参照）.

例 5.3. N がGの中心に入り、A = Zが自明係数とする。この時、(15)は次になる：

H2(G;Z)→ H2(G/N ;Z) δ∗−→ N → Gab → (G/N)ab → 0.

この完全列は中心N を調べる上で非常に有用である。

5.1 Hopfの定理

群の 2次ホモロジーを計算するうえで、非常に強力な定理を言及する：

定理 5.4 (Hopfの定理.). F を自由群とし、Rを正規部分群とする。群Gが F/Rと書けたとする。このとき、次の同型が成立する：

H2(G;Z) ∼=R ∩ [F, F ]

[F,R]. (17)

Proof. 一般に自由群の部分群は自由群 15だから、Rもそうである。例3.10よりH2(R;M) ∼=0である。そして (15)でGを F , G/N をGと置き換えると、次を得る。

0→ H2(G;Z)δ∗−→( R

[R,R]

)G−→ F

[F, F ]−→ G

[G,G]→ 0.

ここでGのR/[R,R]への作用は、g · r = frf−1で与えられる。ここで f ∈ F は g ∈ Gのリフトである。よって、次の等式より、(R/[R,R])G = R/[F,R]をえる：

(g − 1) · r = frf−1 − r ≡ frf−1r−1 = [f, r].

だから、完全列を注意深く見れば、欲しい同型を得る。

注意 5.5. (17)の同型射は具体的に書ける（6.6節参照）。

例 5.6. G = Z2とすると、表示は ⟨g, h|[g, h]⟩である。F は二つ生成元の自由群で、R ∩[F, F ] = [F, F ] = Rとなる。一方, 前の証明より [F,R]はRを F の共役作用で割ったものになる為、H2(G;Z) ∼= R/[F,R] ∼= Zで生成元は ghg−1h−1となる。

15証明は J. P. Serre の本「trees」等を見よ

27

例 5.7. 一般の群Kに対し、K1 = Kと置き、部分群Kk := [K,Kk−1] で帰納的に定義する。列K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ · · · を降中心列という。商群K/Knをべき零商ともいう。そこでKを自由群 F とし、G = F/Fkとしよう。R = Fkを置くと、すぐ次を得る：

H2(F/Fk;Z) ∼= Fk ∩ [F, F ]/[F, Fk] = Fk/Fk+1.

例 5.8 (写像類群). まず, (Σgの)写像類群とは向きを保つ微分同相群Diff+(Σg,Σg)をイソトピー関係で割った群である。MgやΓgなどと書く。その有限表示は知られている。g ≥ 5

でその有限表示を用いるとH2(Mg;Z) ∼= Zが示せる (詳細略). [Kor]参照ちなみにであるが、単純閉曲線 γに対し、(右捻り)デーン捻りという τγ ∈Mgの元が定まる事にも注意しよう 16その表示はデーン捻りで生成されている。

例 5.9 (交代群). Anを位数 n!/2の交代群とする。n ≥ 5のとき、Anが完全となる事は有名だろう。H2に関しては以下が知られている ([Wei, §6.9]参照).

H2(An;Z) ∼=

Z/6 もし n = 6, 7の場合,

Z/2 もし n = 4, 5 または n ≥ 8の場合,

0 もし n = 1, 2, 3の場合.

このように、ある nを超すと、群ホモロジーは一定になる事が多い (安定性).

演習 5.10. 例 6.15–5.9を証明してください。

演習 5.11. H2(A5) ∼= Z/2を次の 2通りで示せ. (1) Gを ⟨x, y, z | x2 = y3 = z5 = xyz⟩と表示された群とする。A5はG/(x2 = 1)と書ける。これらをHopfの定理に掛ける。(2)KがS3 = SU(2)の有限部分群とするとき、H2(K) = 0を示す (ヒント: H2(S

3/K) = 0

を示し帰着). (1)のGがKの候補にあることを示し、5完全列に代入する。

演習 5.12 (有限表示の評価に役立つ評価法). Gが群表示として、生成元が n個で関係子がm個とする。r = rkZ(Gab) = dimQ(Gab ⊗Q)とする。H2(G)は少なくともm− n+ r個の元で生成されることを示せ (ヒント：Y を群表示に対応する２切片とする。χ(Y )を二通りで計算しよう。先ず 1− n+m = 1− rk(H1(Y )) + rk(H2(Y )) = 1− r+ rk(H2(Y ))である。よって rk(H2(Y )) = m− n+ r. あとは全射H2(Y )→ H2(G)に適用すればよい )

5.2 Stallingの定理

５完全列は、降中心列の評価にも役立つ。次の定理はその典型である：

定理 5.13 (Stallingの定理). f : G → K を群準同型とする。誘導射 f∗ : Gab → Kabが同型で、f∗ : H2(G;Z) → H2(K;Z)が全射と仮定する。この時、任意の q ∈ Nで冪零商の射f : G/Gq → K/Kq は同型である。

α

β

α◁ β

図 7: Dehn捻り

16厳密な定義は以下の様: 単純閉曲線 α と γ に対し、τγ(α) を, Σg 自身の写像で Im(γ) の外側は恒等写像で、Im(γ) の内側はf(s, t) = (se

√−12πt, t) というものである。詳細は、[FM] など参照。

28

Proof. qの帰納法で示す。群拡大 0→ Gq → G→ G/Gq → 0で 5完全列を取る：

H2(G;Z) //

全射

H2(G/Gq;Z)

同型

// Gq/[G,Gq]

// H1(G;Z)

同型

// H1(G/Gq;Z)

// 0 (exact)

H2(K;Z) // H2(K/Kq;Z) // Kq/[K,Kq] // H1(K;Z) // H1(K/Kq;Z) // 0 (exact)

.

ここで局所系ホモロジーH1(Gq;Z)はHopfの定理の証明より、べき零群Gq/[G,Gq]に同型となる事を使った。qの帰納法と 5補題から、同型Gq/[G,Gq] ∼= Kq/[K,Kq]を得る。ここで、Gq/[G,Gq]は定義よりGq/Gq+1に等しい。よって次を得る。

0 // Gq/Gq+1

同型

// G/Gq+1

// G/Gq

同型

// 0 (中心拡大)

0 // Kq/Kq+1// K/Kq+1

// K/Kq// 0 (中心拡大)

.

最後に、また５補題を使うことで、ほしい同型性を得る。

次の様に結び目理論への応用がある。Xを 3次元閉多様体とし、 H∗(X;Z) ∼= H∗(S3;Z)

とする。L : ⊔q(S1 ×D2)→ Xを埋込とし、その補空間X \ Im(L) を Y とする。基点を曖昧にするが L((∗ × ∂D2)ℓ) ∈ π1(Y )を経線といいmℓとかく。L((S1 × ∗)ℓ) ∈ π1(Y )を緯線といい lℓとかく (図 8参照). すると π1(Y )の冪零商群は綺麗な表示を持つ.

命題 5.14 ([Mil]). π1(Y )/π1(Y )mは次の様な群表示を持つ:⟨x1, . . . , xq

∣∣ [xℓ, w(m)ℓ ] = 1 for ℓ ≤ q, Fm

⟩, (18)

ここで 語 xiと w(m)j はそれぞれ、j-番目経線と緯線の代表元を表す。また右辺内の F は

x1, . . . , xqで生成される自由群を意味し、Fmは降中心列のm番目を意味する。

（[Tu]による証明). ∗ ∈ Y を基点とし、j番目境界 ∂(Y )j から ∗へのパス αj を一つ固定する。N を ∪αiの閉管状近傍とし、DiをN ∩ ∂(Y )j とする (図 8右を参照). きづくことに、同相N ∼= D3, Di

∼= D2であり、閉包 ∂(Y )j \Djは穴あきトーラスである。W を閉包Y \N とすると、Mayer-VietorisよりH1(W ;Z) ∼= ZqとH2(W ;Z) ∼= 0が解る。Stallingの定理より、メリディアンの入射 F → π1(W )は、群同型 F/Fm ∼= π1(W )/π1(W )mを得る。Y = W ∪ (∪qi=1Di) ∪ N より、vonKampenの定理から π1(Y ) ∼= π1(W )/⟨∂Dj⟩j≤qである。明らかな事に ∂DjはW の中で、経線緯線の交換子の像として代表される。後は、W ∩N = ∂N \ Y が、境界が∪qi=1∂Diとなる穴あき球面になっている事に気づけば、証明は終わる。

*

緯線

経線α1

α2基点

図 8: 左図は、経線と緯線の例. 右図は、証明内の αi(赤色) と管状近傍N(緑色)の模式図. 太字は L.

29

5.3 完全群上の普遍中心拡大

完全群に対して、中心拡大に普遍的なものがある。用語から説明し、定理 5.16を証明する。

定義 5.15 (普遍中心拡大). G,Hを群とする。

• 中心拡大 f : H → Gが普遍的であるとは、任意のGの中心拡大 f ′ : H ′ → Gに対してf ′ g = f となる準同型 g : H → H ′が一意に存在することをいう。

次の命題は、普遍中心拡大の基本命題である。ご存知の方は証明を読み飛ばしても良い。

定理 5.16. (I) 群Gが完全である時、つまり [G,G] = Gな時、普遍中心拡大 G→ Gが存在し、その核はH2(G;Z)と自然に同型である。(II) 中心拡大 f : H → Gが普遍的となる必要十分条件は、次の二つを満たす事である。

1. [H,H] = Hである (つまりHは完全である).

2. 任意のHの中心拡大 φ : H ′ → Hに対し、直積分解H ′ ∼= H ×Ker(φ)がある。

Proof. まず, (I)を示そう。適当にGの表示 0→ R→ F → G→ 0を選ぶ (F,Rは自由群である). Gの完全性により制限写像 [F, F ]→ Gは全射である。これを [F,R]で割ることで、次の中心拡大を得る。

0 −→ ([F, F ] ∩R)/[F,R] −→ [F, F ]/[F,R] −→ G −→ 0. (19)

中央項H := [F, F ]/[F,R]が完全となる（実際、任意の元が交換子でかける。演習問題とする)。またHopfの定理より、核がH2(G)になる。

後はこのH の普遍性を示せばよい。他の中心拡大 Z → H ′f ′→ Gを取る。F は自由群だ

から (G上の)準同型 h : F → H ′が作れる。f ′ h(R) = 0より h(R) ⊂ Zである。が Zは中心より h([F,R]) = 0である。よって、hは準同型 [F, F ]/[F,R]→ Gを誘導する。この一意性は下の補題 5.17から即座に解り、普遍性が解った。さて次に、(II)の必要性を証明する。仮定より中心拡大 f : H → Gは普遍的になるため、一意性より、H は今構成したものとしてよい。よって (a)を満たす。さらに上述の自由群 F からの構成より、任意の中心拡大 φ : H ′ → H に切断（φ σ = idH となる準同型σ : H → H ′）が存在する。よって、(b)の主張する直積分解H ′ ∼= H×Ker(φ)を持つ。よって必要性を示した。最後に、十分性を示す。中心拡大 f : H → Gが性質 (1)(2)を満たすときに、任意のGの中心拡大 τ : Y → Gに対し、次図の引き戻しを考える。

0 // Ker(τ) // Y ×G H

f

//

•−−|

H

f

// 0

0 // Ker(τ) // Yτ // G // 0.

上列は中心拡大より (2)から、切断 σ : H → Y ×GHがある。よって合成 f σより準同型H → Y が作れた。この一意性は、性質 (1)と補題 5.17から解る。これより普遍性が示された。

30

補題 5.17. GとHを完全群とし、f : H → G, f ′ : H ′ → Gを中心拡大とする。もし準同型 g1, g2 : H → H ′があり、f = f ′ giとするとき、g1 = g2である。

Proof. 中心拡大の定義より次に留意する：任意の元y, z ∈ Hに対し、中心元 c, c′ ∈ Ker(f ′)があって、g1(y) = g2(y)cで g1(z) = g2(z)c

′となる。よって等式 g1(yzy−1z−1) = g2(yzy

−1z−1)

を得る。Hは完全より、yzy−1z−1の形の元で生成されるから、g1 = g2となる。

例 5.18 (2次代数的K群). Rを非可換環とする。GLn(R) → GLn+1(R)の直極限をGL∞(R)

とかく。E∞ ⊂ GL∞(R)を基本変形が生成する部分群とする。Whiteheadにより

E∞(R) = [E∞(R), E∞(R)] = [GL∞(R), GL∞(R)]

が知られている。特に、E∞(R)は完全だから普遍中心拡大が取れる：P : St(R)→ E∞(R).

この St(R)は Steinberg群と呼ばれ、Hopfの定理から群表示が得られる (詳細略). なお、核KerP の事をK2(R)と書き、2次代数的K群と呼ばれる ([Mil, Ros]が詳しいだろう).

補足: Gをガロア群にすると、その群コホモロジーはガロアコホモロジーと呼ばれる。Brauer群がGの二次コホモロジーでなどに関係する。[Wei, 6.11節]などに初歩的事実が書かれている。完全性を抜いた場合にも普遍的なものが考案されている（工事中）

5.4 補足： ５完全列の誘導射と共役作用について

この小節では、コホモロジーの５完全列 (16)の中央にあった写像T を,非斉次複体Cn(A;M)

において具体的に定義する。ただし、途中の補題と命題の証明は冗長のため、写像の記述のみにとどめる。 その証明は [Rou]に詳述されている為参照頂きたい。群拡大 0→ N → G→ G/N → 0を思い起こそう。以下, 商群G/N をQと書くことにする。Aを左G加群として、ANをAのN -不変な部分加群とする。この時、[g] ·x = gx (g ∈G, x ∈ AN) という作用によってAN がQ加群になることに気づこう。(infと resの定義). 入射 j : N → Gの誘導射 Cn(G,A)→ Cn(N ;A)を resと書こう。そして πnを射影Gn → Qn; (g1, . . . , gn) 7→ ([g1], . . . , [gn])とする。そして、Cn(Q;AN)→

Cn(G;A)を対応 F 7→ j F πn で定めると、鎖写像である事が確かめられる。つまりδn(j F πn) = j (δnF ) πnとなる。この誘導射Hn(Q;AN)→ Hn(G;A)を infと書く。すると次が確かめられる：

補題 5.19. Im(inf) ⊂ Ker(res)であり (infH1(Q;AN)) = Ker(res) ∩H1(G;A)である。さらに、n ≥ 0に対し、res(Hn(G;A)) ⊂ Hn(N,A)Gとなる。

次に写像 T を定義する (T は Transgression, 懸垂射と呼ばれる). まず [F ] ∈ H1(N,A)G

の代表元 F ∈ C1(N ;A) ⊂ Map(N,A)を固定し、切断 s : Q → Gも固定する (ただしs(1Q) = 1Gとする). q ∈ Qに対し、s(q) · [F ] = [F ]である為、次が言える。

∀q ∈ Q, ∃η(q) ∈ A, s(q) · F − F = δ1(η(q)).

そのような F, s, ηに対して、写像 ξ : G→ Aを次で定める：

ξ(g) = F (gs([g])−1) + (gs([g])−1) · η([g]).

31

補題 5.20. 1. h ∈ Nに対し、ξ(h) = F (h)であり、q ∈ Qに対し、ξ(s(q)) = η(q)である。

2. g ∈ Gに対し、g · F − F = δ1(ξ(g)).

3. g ∈ G, h ∈ N に対し、ξ(gh) = ξ(g) + g · F (h).

そこで写像 χ : Q2 −→ Aを次式で定義する。

χ(q, q′) = (δ1ξ)(s(q), s(q′)) = s(q) · η(q′)− ξ(s(q)s(q′)) + η(q). (20)

補題 5.21. 1. χの値域はAN に含まれ、χは２コサイクルである。

2. コホモロジー類 χ ∈ H2(Q;AN)は F, s, ηの取り方によらない。

そこで T : H1(N,A)G −→ H2(Q,AN)を T [F ] = [χ]と定義する。

命題 5.22. 以上の写像, res, inf, T は定理 5.1の完全列 (16)を与える。

例 5.23. 以上は一般論であったが、実用的には、χの上記のままでは扱いづらい。以下では、ある条件下で式 (20)が簡易化されることを見よう。

1. NがMに自明に作用したとする。この時、H1(N ;A) ∼= Hom(N,A)であり、H1(N ;A)G ∼=HomG(N,A)である。そしてF ∈ HomG(N,A)に対し、h ∈ H, g ∈ Gに対しF (ghg−1) =

g ·F (h)を満たすとしよう (例えば、HがGの中心に入る場合など). すると、g ·F = F

だから、η = 0となる。よって ξ(g) = F (gs([g])−1)であり、次のように簡単になる。

χ(q, q′) = −ξ(s(q)s(q′)) = −F (s(q)s(q′)s(qq′)−1).

2. Gが半直積H⋊ϕQとすると、sが準同型としてとれる。するとχ(q, q′) = s(q) ·η(q′)−η(qq′) + η(q)となる。さらに、全射 δ0 : A → B1(N ;A)に対する切断を S とする。S(0) = 0と仮定してよい。すると η(q) = S(s(q) · F − F )より、次を得る：

χ(q, q′) = s(q) · S(s(q′) · F − F )− S(s(qq′) · F − F ) + S(s(q) · F − F ).

演習 5.24. 例 2.7の群 Gつまり、中心拡大 0→ (Z/m)k ∧ (Z/m)k → G→ (Z/m)kを考える。 T : H1((Z/m)k ∧ (Z/m)k;Z/m)→ H2((Z/m)k;Z/m)は同型である事を示せ.

さて話が一転し、共役作用について言及しよう：H ⊂ Gを群たちとし、AをG加群とし g ∈ Gを固定する。すると、写像 c(g) : H → H を h 7→ ghg−1とし、c(g) : A → Aをm 7→ gmと定める。すると c(g)∗ : H∗(H;A)→ H∗(gHg

−1;A)を誘導する。これは鎖レベルで記述できる事を見よう：F をZ[G]上のZの自由分解とする。τ : F → F

を gを書ける写像とすると、c(g)∗が F ⊗H M → F ⊗gHg−1 M ; x⊗m 7→ gx⊗ gmから誘導されるものと一致する（何故か？）。すると次を得る：

命題 5.25. もし h ∈ H であるとき、z ∈ H∗(H;A)に対して、c(h)∗z = zである。さらにH ◁Gである時、上記の c(g)によって、G/HがH∗(H;A)に作用する。

Proof. 前半は鎖レベルでみた c(g)∗が対角的であるため。後半は前半から明らか。

群コホモロジーが全て消える事を証明する事も時に必要になったりする 17。この共役作用を用いて、次も証明しよう：

17例えば、Reidemeister-捩れは完全となる複体に対して定義される（詳細は [北合森] 等を見よ）

32

命題 5.26. kを可換体、M を左 k[G]-加群とする。中心元 z = 1G ∈ Z(G)に対して、あるr = 1 ∈ k×があり、 任意のm ∈ M に対し、zm = rmとする。この時、H∗(G;A) = 0である。

Proof. zが中心に入る為、対応A → A;m 7→ zmはG加群準同型である。上記の c(z)∗における議論より、c(z)∗はH∗(G;A)の恒等写像である。一方仮定より、 zm = rmから、c(z)∗ は r倍と一致する。とくに H∗(G;A)は r − 1で消える。H∗(G;A)は k-加群だからH∗(G;A) = 0しかあり得ない。

この仮定は、kが代数閉体でM が既約表現の場合有効である。実際、Schurの補題からスカラー倍 rが存在するからである。次の例は顕著である：

例 5.27. A = knとし、G = GLn(k)が自然に作用するとする。k = F2であれば、λ = 0, 1

で λIn ∈ Z(G)が存在する。よって、H∗(GLn(k); kn) = 0である。

5.5 付録 2: Ganea写像

群Gに中心 Z があった場合、H2(G/Z;Z)がどうなるか気になる問題である。この答えの一つとしてGanea写像を紹介する：

定理 5.28 (Ganea). N ⊂ Gを群たちとし、N はGの中心に含まれるとする。G′を交換子部分群とする。この時、次の自然な完全列が存在する：

(G/G′)⊗N −→ H2(G;Z) −→ H2(G/Z;Z) −→ G′ ∩N −→ 0 (21)

Proof. 準同型N −→ G/G′, n 7→ nG′の核はG′ ∩N に気づこう。すると、例 5.3の完全列から、(21)の右側の写像が構成できた。次に完全列の左側を構成しよう。Gの群表示 F/Rをとり、さらに正規部分群 S ◁ F を

N = S/Rとなる様にとる。商射G→ G/Zの押し出しα : H2(G;Z)→ H2(G/Z;Z)はHopf

の定理より、Kerα = [F, S]/[F,R]

となる。したがって、全射準同型

(G/G′)⊗N −→ [F, S]/[F,R] (22)

を作れば証明が終わる。以下、この全射準同型を構成する。まず写像 f : F × S → [F, S]/[F,R]を次で定義する：

f(x, s) = [x, s][F,R] (x ∈ F, s ∈ S, [x, s] := xsx−1s−1).

ここで [ab, c] = a[b, c]a−1[a, c]と [a, bc] = [a, b]b[a, c]b−1であるから

f(xx′, s) = xf(x′, s)x−1f(x, s) (x, x′ ∈ F, s ∈ S),

f(x, ss′) = f(x, s)sf(x, s′)s−1 (x ∈ F, s, s′ ∈ S).

ここで [F, S] ⊂ Rかつ [F, S]/[F,R]が可換である事に気づけば次を得る：

f(xx′, s) = f(x, s)f(x′, s), f(x, ss′) = f(x, s)f(x, s′) x, x′ ∈ F, s, s′ ∈ S.

33

[F,X]/[F,R]が可換である事から f(F ′ × S) = 1である。一方, f(F × S) = 1でありf(F ×R) = 1である。したがって、f は次のアーベル群からの準同型を誘導する：

F/[F, F ]R× S/R −→ [F, S]/[F,R],

これは欲しい準同型 (22)を得ることになる (全射性は明らかだろう)。

定理内にあった準同型 (G/G′)⊗N −→ H2(G;Z)はGanea写像と呼ばれる。

系 5.29. Gを有限群とし、Z ⊂ Gを中心的な部分群とし、|H2(G/Z;Z)| = |G′ ∩Z|と仮定する。この時、Ganea写像は全射である。

Proof. 仮定より、(21)内の写像H2(G/Z;Z)→ G′ ∩Zは同型である。従って、(21)の完全性より、主張が得られる。

なお、本 [Kar2]の 5章には、この系とGanea写像を用いてH2(G;Z)の計算が幾つかある。

5.6 付録 3: 射影表現の持上げと、普遍被覆群 SL2(F)

本小節では Fは可換体とする。群 Γの (線形)表現とは群準同型 ρ : Γ → GLn(F)であった。これを扱う分野を表現論といい、一大分野である。しかしながら表現論で多々ある事に、表現ではなく射影表現と呼ばれる準同型 ρ : Γ −→

PGLn(F) が現れる：ここで

Z = aEn ∈ GLn(R) | a ∈ F×, PGLn := GLn(F)/Z

である。ここでZは中心である。そこで与えられた ρに対して、ρに持ち上がるかが問題になる。一般的な回答（命題 5.30）を与える為に、次の設定を考えよう：

Nκ // Γ // Γ

ρ

群拡大

Z = F× // GLn(F) // PGLn(F) 中心拡大.

上の横射は任意の群拡大でよい (N = 0かつ Γ = Γも可能)。(16)での懸垂射δ∗ : H1(N ;F×)→H2(Γ;F×)を思い出す。さらに定理 2.6からH2(G;F×)をGの中心拡大の同値類集合と同一視して、GLn(F)→ PGLn(F)に付随する２コサイクルを σn,Fと書こう。この時、

命題 5.30 ([BT, ２章の命題 1.8]). 上記の準同型 ρが ρ : Γ→ GLn(V )に持ち上がる必要十分条件は、ある準同型 α : N → F×があって、δ1(α) = ρ∗(σn,F)を満たす事である。特に、N = 0つまり Γ = Γの場合、ρが ρ : Γ→ GLn(V )に持ち上がる必要十分条件は、引戻し ρ∗(σn,F)がH2(Γ;F×)内で消える事である。

ここで持ち上がりの仕方は一般に何通りもある。しかし或る程度の条件がある場合は、αの取り方のみに依存する。

命題 5.31 ([BT, ２章の命題 1.9]). Γ→ Γは中心拡大とする。i = 1, 2に対し、αi : N → F×

に付随する持上げ ρiが存在したとする。

34

1. もし κN ⊂ [Γ, Γ]である時、ρ1と ρ2が共役である必要十分条件は α1 = α2である。

2. もし Fが代数閉体とする。ρ1と ρ2が共役である必要十分条件は α1κ−1と α2κ

−1とがκN ∩ [Γ, Γ]上で一致する事である。

他にも持上げや同値を示す条件は多くある。例えば [BT]や [Kar1, Kar2]を参照頂きたい。また具体的な群に対しては、個別の手法がある様である。最後に、SL2(F)の中心拡大について幾つか説明する。ここで Fは無限体とする、特に

SL2(F)は完全群である。するとH2(SL2(F);Z)はMilnor-Witt K2-群と言われ、A1-ホモトピー論との関連がある。またその普遍中心拡大に付随する2コサイクルθuni : (SL2(F))2 →H2(SL2(F);Z) は [HMat]で与えられている。一方で実数体での SL2(R)を Lie群と見做そう。π1(SL2(R))であるので、それに付随した普遍被覆空間 SL2(R)は SL2(R)の中心拡大になる。SL2(R)への表現の SL2(R)への持上げも色々な場万で現れる。その中心拡大に付随する 2コサイクルは Logか θuniを用いて記述できる（[HT, No3]など参照）。他方で、PGL2(R)のRによる中心拡大もたまに扱われ、例えば [LM]に 2コサイクルが書かれている。

6 Fox 微分とその応用

次に、Fox微分は組合せ群論や低次元トポロジーで基礎的な技術で多くの応用がある。群コホモロジーに関しても低次を扱う上で、大切な手法である。この節では、Fox微分に関して基本事項を紹介し、群コホモロジーへの応用や活用法や位相的解釈を紹介する。

6.1 Fox微分の定義と基本性質

以下, F を自由群とする。まず導分とは加法的準同型D : Z[F ]→ Z[F ]であって次を満たすことを言う：

D(uv) = D(u) + uD(v) (∀u, v ∈ F ).

添え字集合 I があって、部分集合 xii∈I ⊂ F が F の基底になるとする。Fox微分とは、k ∈ Iに対して、定まる写像 ∂

∂xk: F → Z[F ]を次の規則で定めたものとする。

∂xi∂xk

= δi,k,∂x−1i∂xi

= −x−1i ,∂(uv)

∂xk= u

∂v

∂xk+

∂u

∂xk, ∀u, v ∈ F.

演習 6.1. 次のwelldefined性を示せ：∀u, v, w ∈ F に対し、次式を満たす：

∂

∂xi((uv)w) =

∂

∂xi(u(vw)),

∂

∂xi(uxjx

−1j v) =

∂

∂xi(ux−1j xjv) =

∂uv

∂xi.

∂∂xkを加法的に拡張した準同型 Z[F ]→ Z[F ]も ∂

∂xkと書く。これは定義より導分である。

例 6.2. 語w = y1 · · · ynを置く。ここで yiは xkまたは x−1k の形とする。すると∂u∂xiは定義

より次になる：∂u

∂xi=

n∑s=1

y1 · · · ys−1∂ys∂xi

.

35

特に、y1 · · · yn = xni の時、∂xni∂xi

= (xni − 1)/(xi − 1) の形になる。その為

u = u0xp1i u1x

p2i · · ·uq−1x

pqi uq

の形（但し ujは xiを含まない語で pi ∈ Z）と分けたとき、次を得る：

∂u

∂xi=

q∑i=1

u0xp1i · · ·ui−1

xpii − 1

xi − 1.

加えて、Fox微分は導分の普遍的なものである。実際

命題 6.3. 任意の導分Dに対して、次が成立する。

D(u) =∑i∈I

∂u

∂xiD(xi) ∈ Z[F ], ∀u ∈ Z[F ].

これは uの語の長さの帰納法で容易に証明できる（詳細は [Fox1, p. 551]を参照）。特に、ϵ : Z[F ]→ Zを添加写像とし、導分Dを u 7→ u− ϵ(u)1と置くことで次を得る：

u− ϵ(u) =∑i∈I

∂u

∂xi（xi − 1）, ∀u ∈ Z[F ]. (23)

これをFox微分の基本公式という。また次の chain則も確かめられる。

命題 6.4. F ′を ykk∈Kを基底とする自由群とし、λ : F ′ → F を群準同型とする。次が成立する：

∂(λ(f))

∂xj=∑k∈K

(λ( ∂f∂yk

))∂(λ(yk))∂xj

, ∀f ∈ Z[F ′].

Proof. f の語の長さの帰納法による。f = y±1k の形の時は簡単である。他方で、f = abとすると

∂(λ(ab))

∂xj= λ(a)

∂(λ(b))

∂xj+∂(λ(a))

∂xj

= λ(a)∑k∈K

(λ( ∂b∂yk

))∂(λ(yk))∂xj

+∑k∈K

(λ( ∂a∂yk

))∂(λ(yk))∂xj

=∑k∈K

(λ(a)λ

( ∂b∂yk

)+ λ( ∂a∂yk

))∂(λ(yk))∂xj

=∑k∈K

(λ( ∂f∂yk

))∂(λ(yk))∂xj

.

という計算と帰納法の仮定から証明が終わる。

6.2 多変数のFox微分とMagnus 展開

Magnus 展開を紹介し、それが多変数の Fox微分で書ける事を観察する。まず Z⟨XI⟩を, 不定元Xi (i ∈ I)で生成される非可換多項式環とする。Z⟨⟨XI⟩⟩を次数によって完備化した環とする。そこでMagnus 展開とは次式で定義される乗法的準同型M : F → (Z⟨⟨XI⟩⟩)×で定義される。

M(xi) = 1 +Xi, M(x−1i ) = 1−Xi +X2i + · · ·+ (−1)kXk

i + · · · . (24)

36

次に、多変数の Fox微分を次の関係式で帰納的に定義する：

∂nf(x)

∂xjn · · · ∂xj1=∂

∂xjn

( ∂n−1f(x)

∂xjn−1 · · · ∂xj1

), ∀f ∈ F.

この式をDjn···j1f と略記すると、Fox微分の定義から次が示せる：

Djn···j1(f(x) + g(x)) = Djn···j1f(x) +Djn···j1g(x)

Djn···j1(f · g) =∑

1≤p≤n

Djn···jpf(x)Djp−1···j1g(1) + f(x)Djn···j1g(x).

ここでDjp−1···j1g(1)は ϵ(Djp−1···j1g) ∈ Zとする。故に基本公式から次を得る：

Dj1f(x) = Dj1f(1) +∑j

(Djj1f(x))(xj − 1),

Dj2j1f(x) = Dj2j1f(1) +∑j

(Djj2j1f(x))(xj − 1).

これを繰り返す事で、次の様なテーラー展開を得ることが出来る：

f(x) = f(1) +∑j1

Dj1(f)(xj1 − 1) +∑j2j1

(Dj2j1f(x))(xj2 − 1)(xj1 − 1)+

· · ·+∑jn···j1

Djn···j1(f(x))(xjn − 1) · · · (xj1 − 1).

ここで気づきたい事に、n > 1に対して ∂nxj∂xnj

= 0であり、∂nx−1

j

∂xnj= (−1)nx−nj である。従っ

て f(x) = xjと f(x) = x−1j の場合に次に気づく：

xj = 1 + (xj − 1)

x−1j = 1− (xj − 1) + (xj − 1)2 − (xj − 1)3 · · · .

故にテーラー展開とマグナス展開が一致する事が解る。即ち

M(u) =∑n

∑jn,...,j1

∂nu

∂xjn · · · ∂xj1Xjn · · ·Xj1 ,

∀u ∈ F.

演習 6.5. Jm ⊂ Z⟨XI⟩を次数≥ mなる多項式で生成される両側イデアルとする。元 g ∈ Fが、降中心列のm番目の元に入ったとする。この時、Dj1···jm−1g = 0が確かめられる。つまり、M(Fm) ∈ Jmである。このテーラー展開を用い、マグナス展開M の誘導射 F/Fm → (Z⟨XI⟩/Jm)×が単射である事を示せ。また自由群 F は被約べき零である事を示せ：∩m≥0Fm = 0. （解答は [Fox1]

参照）

注意 6.6. このことより、Fox微分は自由群の冪零商に役立つ事が察せられる。例えば [CFL]

では Fox微分を用い、商 Fm−1/Fmの（双対）基底を記述している。

37

6.3 有限表示群からのヤコビ行列。陰関数定理

有限表示 Γ = F/N = ⟨x1, . . . , xn | r1, . . . , rm ⟩を持つ群に対し, Fox微分の視点から Γを考察してみよう。その自然なものとして、Z[F ]-係数環上の行列を考えられる：∂rj

∂xi

i≤n,j≤m

∈ Mat(n×m;Z[F ]).

このヤコビ行列から Γの不変量を得ようとする試みは自然な着想だろう。任意の表示ふたつはTieze変換というもので移りあう為、それに伴ったヤコビ行列の変化を調べることは意義があろう。実際、論文 [Fox2]では、その変化が記述されている。例えば、ヤコビ行列を可換環上の係数に落す事で、結び目や (捩れ)Alexander多項式に応用されている。その詳細は本 [CF, 北合森, Lic]が解り易いだろう。

次に、Fox微分に通常の微積と似た性質も考えられる。典型例として、Birman[Bir]は次の陰関数定理を示している：

定理 6.7. Fnを階数 nの自由群とし、元 y1, . . . , yk ∈ Fnをとる。Jkn を k × nのヤコビ行列∂yj∂xi

1≤i≤n,1≤j≤k

とする。

1. k = nとする。集合 y1, . . . , ynが Fnの生成系である必要十分条件は Jnnが右逆行列を持つときである。

2. k < nとする。もし Jknが右逆行列を持つとき、集合 y1, . . . , ykは Fnの生成系である y1, . . . , ynに拡張できる。

Proof. (1) もし右逆行列B = βijがあるとき、(群環上)左逆でもある事に注意しよう。すると ∑

1≤s≤n

βis∂ys∂xj

= δij.

これに xi − 1を掛けて jに関し和を取ると、∑1≤s≤n

βis∑

1≤j≤n

∂ys∂xj

(xj − 1) = xi − 1.

よって基本公式から∑1≤s≤n

βis(ys − 1) = xi − 1 (25)

を得る。H を y1, . . . , ynで生成される部分群とし、IH を y1 − 1, . . . , yn − 1で生成されるZ[F ]のイデアルとする。(25)から、xi− 1 ∈ IHである。[Coh]の補題 4.1より xi ∈ Hだから、H = F が言えた。逆を示そう。xiが語Xi(y1, . . . , yn)と yj達で書けたとする。同様に、yiが語Yi(x1, . . . , xn)

と xj達で書くと、Yi(X1(y1, . . . , yn), . . . , Xn(y1, . . . , yn)) = yi

になるが chain則から次を得る：n∑s=1

(∂Yi(x1, . . . , xn)∂xs

)(∂Xs(y1, . . . , yn)

∂yj

)= δij

38

これはヤコビ行列に右逆行列が存在する事になる。(2)も次の様にすれば簡単に示せる：行列 J∗nk = ∂xi∂yj

1≤i≤n,1≤j≤kと置く。Jknは Jnnの (k

行までとった）部分行列で右逆を持つのだから、J∗nkは J∗nnの k列までとった部分列である。よって (2)が示せた。

演習 6.8. 『集合 y1, . . . , ynが Fnの生成系である時、それは Fnの基底となる』というNielsenの結果を示せ.

逆関数定理より次の写像が定まる：

Aut(Fn) −→ GLn(Z[Fn]); φ 7−→∂φ(xi)

∂xj

1≤i,j≤n

.

これは chain則から (準同型にならず)“crossed準同型”になる事に注意しよう。この写像もMagnus展開とも呼ばれる事がある。この応用に関しては概説 [Sak]とその引用文献を参照頂きたい。

6.4 群表示から短完全列表示

群 Γが群表示 F/R = ⟨xi(i ∈ I) | rj (j ∈ J) ⟩ されたとする (I と J は無限濃度でも良い)。Fox微分を用いて、低次の自由分解が具体的に記述される事を紹介する。その為に、恒等子という用語の定義を列挙する：

•　 (Rのコピーとして)P を自由群 ρjj∈J とする。•　準同型 ψ : P ∗ F → F を ψ(ρj) = rj, ψ(xi) = xiで定める。

•　 s ∈ P ∗ F が恒等子であるとは、s ∈ Ker(ψ)かつ、sが∏n

m=1wmρϵmjmw−1m という形であ

る事である (ここでwm ∈ F, ϵ ∈ ±1, ρjm ∈ P ).•　恒等子全体は (自由群の部分群だから)自由群である。その生成系 s := skk∈Kを固定する。

定理 6.9 ([Lyn, 4と 5節]). 次の自由 Z[Γ]加群の列を考える：

Z[Γ]⊕K∂3−−−→ Z[Γ]⊕J

∂2−−−→ Z[Γ]⊕I

∂1−−−→ Z[Γ] ϵ−→ Z −→ 0. (26)

ここで後者の ∂1は ∂1(γ) = 1− γで、∂2はヤコビ行列 ([∂rj∂xi

])i∈I, j∈J , であってさらに ∂3はヤコビ行列 ([∂sk

∂ρj])j∈J, k∈K, で定める。

この時、(26)は Z[Γ]の完全列である。つまり ϵの部分分解を与える。

代数的に証明を行う。少々長いため読み飛ばされても構わない。以下, ρ : F → F/Rを自然な全射とし、ρ(f1) = ρ(f2)という条件式を f1 ≡ f2と書こう。定理の証明では、命題 6.10が鍵となる為、紹介しておこう。

命題 6.10 ([Lyn, 定理 4.1]). この時、u ∈ F が交換子部分群 [Ker ρ,Ker ρ]に入る事と、次を満たす事は同値である：

∀i ∈ I, ρ( ∂u∂xi

)= 0.

39

Proof. dvを ( ∂v∂xi

) ∈ Z[F ]⊕Iと書くとする。d(rs) ≡ dr+dsで d(r−1) =≡ −drから、du ≡ 0

は u ∈ [Ker ρ,Ker ρ]である。逆を示そう。基本公式からdu ≡ 0はu−1 ≡ 0を導く事を気づいておこう。特にu ∈ Ker ρ

である。次に、u = xe1k1 · · · xenknという形とする、ここで ei ∈ ±1. そして u0 = 1とし、

ui = xe1k1 · · · xeikiとする。

すると、du ≡ 0の性質から次が解る： nは偶数で、1, . . . , nが n/2個のペア (is, js)に分割され, xkis = x−1kjs であり、 uis−1 ≡ ujs−1x

−1kjs

= ukjs である、ここで 1 ≤ s ≤ n. 特にuis ≡ ukjs−1に気づいておこう。従って、ρ(ui)の他の代表元 ui ∈ F として、uis = ukjs−1

かつ uis−1 = ukjs を満たす様に取れる。今の性質を ⋆とおく。すると、riを ui−1aiu−1i とお

けば、ri ∈ Ker ρである。加えて、u = r1 · · · rnである。よって性質 ⋆から ris = r−1js が解る。まとめると、uが交換子群 [Ker ρ,Ker ρ]に入る事になった。

この命題は幾つか応用がある。例えば、Fox微分はメタアーベル群を扱う際にも有用な道具となる事が (例えば、[Bach][Sak]とそこでの引用文献を参照)見て取れる。なお命題 6.10

の位相的意味は [Bro, II.5章]を参照。さて定理 6.9の証明を始めよう。

定理 6.9の証明. (Step 1) ∂2 ∂1 = 0は基本公式から明らかである。(Step 2) Ker(∂1) ⊂ Im(∂2)を示そう。v ∈ Ker(∂1)に対し v =

∑i∈I viと書ける（但し、vi

はZ[Γ]⊕Iの i ∈ I成分である）。下記の補題 6.11より、r ∈ Rがあって、 ∂r∂xi≡ viとなる。r

は∏ujr

ϵjj u−1j と書ける為、任意の導分Dに対し、Dr ≡

∑ϵjujDrjとなる。よって

∑∂r∂xi

は ∂rj∂xiの線形和で書けるから、証明が終わる。

(Step 3) ∂3 ∂2 = 0は、λを入射R → F とし、条件式 ψ(∏wmρjmw

−1m ) = 1に Fox微分

のChain則を適用すれば簡単に解る。(Step 4) Ker(∂2) ⊂ Im(∂3)を示そう。v ∈ Ker(∂2)とし、v = vi1 + · · · + vit と分解する、ここで vj は Z[Γ]⊕J の j ∈ J 番目成分である。vj を

∑k e

(j)k u

(j)k と書こう、ここで

e(j)i ∈ ±1, u

(j)i ∈ Γ. 次の元を考える：

P =∏

i1≤j≤it

∏k

u(j)k ρ

e(j)kj u

−(j)k .

簡単に解る事に、ρ ψ(P ) = 1 ∈ F/Rである。命題 6.10よりψ(P ) ∈ [R,R]である。ψ(P )は∏

s(r2s−1r2s−1r−12s r

−12s )

fiと書けるため、Q ∈ F ∗RをP · (∏

s(r2s−1ρ2s−1r−12s ρ

−12s )

fi)−1という元で定める。すると、ψ(Q) = ψ(P )ψ(P )−1 = 1となり、Qは恒等子となる。そしてZ[Γ]上では、∂3(Q) = ∂3(P ) = vi1 + · · ·+ vit = vとなった。これは欲しい題意であった。

補題 6.11. 有限個の i ∈ Iに対し vi ∈ Z[Γ]をとり、∑

i vi(xi− 1)を vと書こう。もし v ≡ 0

mod Rの時、ある r ∈ Rがあって、i ∈ Iに対し ∂r/∂xi ≡ viである。

Proof. 関係式−(xi − 1) = xi(x−1i − 1)より、有限位数の添え字集合 T = tt∈T があって、

∀t, ∃ft ∈ F, ϵk ∈ ±1 v =∑t∈T

ft(xϵtit− 1)

と書ける。T の位数による帰納法によって補題を証明しよう。

40

その為、vを分割しよう。v ≡ 0より∑ftx

ϵtit≡∑ftである。各 tに対し、h ∈ T が唯一

あって fh = ftxϵtitとなる。有限集合 T の番号を再振分けする事で次となるようにできる：

f2 ≡ f1xϵ1i1, f3 ≡ f2x

ϵ2i2, . . . , f1 = fn+1 ≡ w1x

ϵ1i1xϵ2i2 · · · x

ϵnin.

とできる。そこで v1 :=∑n

m=1wm(xϵmim− 1)とおく。v1 ≡ 0が容易に確かめられる。だから

v2 = v − v1とおくと v1 ≡ 0になる。そこで帰納法の仮定から、r2があって ∂r2/∂xi ≡ v2と出来たとしよう。r1 = xϵ1i1x

ϵ2i2· · · xϵnin

と置くことで、次を得る：

f1r1 = f1

n∑k=1

xϵ1i1xϵ2i2· · · xϵk−1

ik−1(xϵkik − 1) ≡

n∑k=1

fk(xϵkik− 1) = v1.

故に各 xiに対して、∂(f1r1f−11 )/∂xi ≡ f1∂r1/∂xi ≡ v1を得る。よって r = f1r1f−11 r2とお

けば、∂r/∂xi ≡ vとなって主張を得た。

6.5 Lyndon完全列の位相的解釈

完全列 (26)の位相的解釈を紹介する.

まず ∂2と ∂1に焦点を当てよう。よく「Fox微分のヤコビ行列は、普遍被覆空間のセル複体の 1次バウンダリー作用素 ∂1である」と言われるが、この説明をする。厳密に述べると、

定理 6.12. Y を連結な CW複体とし、Y は (CW複体として)その普遍被覆空間とする。Y (0)は一点とし、Y (1)と Y (2)とのセルの濃度は I と J と仮定する。G := π1(Y )の群表示⟨gi(i ∈ I)|rj(j ∈ J)⟩を自然に得る。この時、列 (26)の部分列

CΓ,I,J∗ : Z[Γ]⊕J

∂2−−−→ Z[Γ]⊕I

∂1−−−→ Z[Γ] ϵ−→ Z −→ 0

は、２次までの胞体複体C2(Y )→ C1(Y )→ C0(Y )→ 0に鎖同型である。

Proof. ∂1の一致性は胞体複体の定義からすぐ確かめられる.

∂2 に焦点を当てよう。Γの次の表示を考える：I = Gとし J = G × Gとする。F ′ をeg (g ∈ Γ)で生成される部分群で、R′を rg,h := egehe

−1gh (g, h ∈ G)で生成される正規部

分群とする。これに付随する２次元CW複体を Y ′と置こう。まず, Y = Y ′の場合に、定理を示そう。まずは次の式に気づこう。

∂rg,h∂eg

= 1,∂rg,h∂eh

= eg,∂rg,h∂egh

= −egehe−1gh .

従って、∂2(∂rg,h) = g(h) − (gh) + (g)となる。よって、CΓ,I′,J ′∗ は非斉次複体C∆

∗ (Γ;Z)に鎖同型である。特に、4.3節で定義したBG = EG/Gの 2-切片に鎖同型である。これは欲しい結論である。次に、一般の K を考える。自然な単射胞体写像 ι : Y → Y ′ があるため、単射鎖写像

C∗(Y ) → C∗(Y ′)とCΓ,I,J∗ → CΓ,I′,J ′

∗ を誘導する。前段落の鎖同型を, 制限する事で定理が示された (制限でちゃんと閉じている事はChain則を用いれば確かめられる).

この定理の Fox微分の有用性を表している。例えば、第一に、複体 Y に関する局所系係数の１次ホモロジー群H1(Y ;M)を計算する際に、Fox微分が役立つ。

41

例 6.13 (Alexander加群). 多様体Y と、全射準同型α : π1(Y )→ Znが与えられた状況を考える。加群M := Z[t±11 , . . . , t±1n ]に対し、m·g := mtα(g)と作用を定める (m ∈M, g ∈ π1(Y )).

この時、H1(Y ;M)はAlexander加群と呼ばれる。Y を αに付随する無限被覆とすると、Schapiroの補題 (定理 4.15)より、H1(Y ;M) = H1(Y ;Z)である。[北合森, CF, Lic]などに見られる通り、H1(Y ;M)は低次元多様体論では重宝され、上記の様にFox微分から計算される。なおH1(Y ;M)を消す最小の多項式∆Y (T ) ∈ Z[t±11 , . . . , t±1n ]/±tm1

1 · · · tmnn mi∈Zは、

Alexander多項式と呼ばれ, 歴史の長い多くの研究がある。

第二に、２次に関しては、例えばHopfの定理に位相的証明を与える事が出来る (例えば[Bro, II. 5]を参照).

最後に、∂3について位相的解釈を大まかに説明しよう。複体 Y の２次ホモトピー群を全て消した空間をX3とする。この２次ホモトピー群は恒等子に対応する事を示す。すると、この普遍被覆空間 X3の胞体複体の３次バウンダリー作用素 ∂3は、Z[Γ]K からの写像と書ける。この ∂3を代数的に記述したものが完全列 (26)に対応する。詳細は 16.3節で述べる事にする。

6.6 Hopfの定理再考：関係子からサイクルへ

5.1節で Hopfの定理H2(G) → R ∩ [F, F ]/[R,F ]を紹介した。本小節ではこの同型写像と逆写像を具体的に構成し、応用を一つのべる (命題 6.16). 本小節では、また群Gの表示F/R = ⟨xi(i ∈ I) | rj (j ∈ J) ⟩は固定する。また f ∈ F に対し、そのG内の類を f と書くことにする。まず構成法を述べる。切断 s : G → F を選んでおく。r(f, g) := s(g)s(h)s(gh)−1 とすると、r(f, g) ∈ Rである。すると、(正規化された)非斉次複体からの写像 φ : C2(G) →Rab; [g|h] 7→ r(g, h) mod [R,R]が与えられる。サイクル c ∈ Z2(G)に対し、φ(c) = 0 ∈F/[F, F ]も容易に解るため、φ(Z2(G)) ⊂ ([F, F ] ∩ R)/[R,R]も解り、加えて φ(B2(G)) ⊂[R,F ]も少し計算をすれば解る。特に、φ : H2(G)→ R ∩ [F, F ]/[R,F ]を得る (φは切断 s

の取り方に依らない事も命題 2.6の様に解る。が省略する).

さて他方で、この逆写像も示そう (命題 6.14). 以下, 記号の略記として、Z[F ] ∋ f =∑g ngg, e =

∑g′ m

′gg′に対して、[f |e] ∈ C2(G)は和

∑g′,g ngmg′ [g∥g′]を意味するとしよう。

命題 6.14 ([Bro, 演習 II.5.4.(a)]). Hopfの定理の逆写像 ψ : R ∩ [F, F ]/[R,F ]→ H2(G) は次の写像の誘導射で書ける：

ψ : R −→ C2(G); r 7−→∑i∈I

[∂r

∂xi| xi]. (27)

Proof. まずGの別の群表示F ′/R′の場合で示す. ここでF ′ := ⟨eg|⟩g∈GでR′ = ⟨egehe−1gh (g, h ∈G)⟩とする。この時、切断 G → F ′が g 7→ eg と自然に定めれる。すると φ′ ψ′ = idとψ′ φ′ = idは定義より容易に解かる。一般のF に示そう。F の生成元 yに対し、λ(y) = eyと定める。これは埋込み λ : F → F ′

を定める。λ(R) ⊂ R′も解る。この時 Hopfの定理 (の証明)によれば、λは同型 λ : R ∩[F, F ]/[R,F ]→ R′ ∩ [F ′, F ′]/[R′, F ′]を誘導する。従って、あとは ψ′ λ = ψを示せば、ψの同型性を得る。

42

任意の r ∈ Rに対し、ψ′ λ(r) = ψ(r)を示そう。Chain則より

ψ′ λ(r) =∑g∈G

[∂λ(r)

∂g| g] =

∑g∈G

∑i∈I

[λ( ∂r∂xi

) ∂xi∂g| g] ∈ H2(G) (28)

を得る。∂3(∑

g∈G[λ(∂r∂xi

)| ∂xi∂g| g])を計算することで、

∑g∈G

([λ( ∂r∂xi

) ∂xi∂g| g]− [λ

( ∂r∂xi

)| ∂xi∂g

] + [λ( ∂r∂xi

)| ∂xi∂g

g])=∑g∈G

[∂xi∂g| g]. (29)

まず最後の右辺は０である事に気づこう、実際 r = 1とおけば ∂1/∂xi = 0から解る。さらに、Foxの基本公式から∑

g∈G

([λ( ∂r∂xi

)| ∂xi∂g

]− [λ( ∂r∂xi

)| ∂xi∂g

g])=∑g∈G

[λ( ∂r∂xi

)| xi − ϵ(xi)] (30)

を得る。など, いま正規化された複体で考えているため、 ϵ(xi)は０として良い. つまり、ψの定義より、 (30)の和

∑i∈I は ψ(r)を意味する。従って、(28)と (29)と (30)を比較す

れば、 ψ′ λ(r) = ψ(r)が示された。

例 6.15 (曲面群の基本類). Σgを種数gの閉曲面 (Eilenberg-MacLane空間)とG = π1(Σg)とする。するとFをa1, . . . , ag, b1, . . . , bgで生成される階数2gの自由群とし、r = [a1, b1] · · · [ag, bg]とすれば、よく知られた事に、G ∼= F/⟨r⟩である。H2(G;Z) ∼= H2(Σg) ∼= Zの生成元は、ψ(r)を計算することで次でかける（計算の詳細は容易のため割愛する）。

g∑i=1

[Ii−1|ai] + [Ii−1aibia−1i |bi]− [Ii−1, ai]− [Ii|bi] ∈ C2(G;Z).

ここで Ii := [a1, b1] · · · [ai, bi]と交換子を略記した。

最後に、コサイクルと表示を連関させる時に Fox微分が役立つ事を見よう：

命題 6.16 ([EN, Prop. 2.3]). S を F の生成元の集合とする、つまり S = xi, x−1i i∈I .z : G×G→ Aを群２コサイクルで次を満たすとする。

z(g, 1) = z(1, g) = z(g, g−1) = 0, ∀g ∈ G. (31)

また ⟨z, •⟩ : H2(G)→ Aを zとのクロネッカー積とする。この時、この写像 ⟨z, •⟩は次で書ける：

R −→ A : r 7−→m∑j=1

z(s1 · · · sj−1, sj), (r = s1 · · · sm, sj ∈ S).

Proof. さて、r = sϵ11 · · · sϵnn とする (sj ∈ xii∈I , ϵj ∈ ±1)と書けたとする。すると命題6.14から合成 ⟨z, •⟩ ψは次となる：

∑s∈S

z(∂r

∂s, s) =

∑1≤j≤n

z(∂r

∂sj, sj) =

∑1≤j≤n

z(sϵ11 · · · sϵj−1

j−1∂s

ϵjj

∂sj, sj).

43

ここで ϵj = +1の時、欲しい式は明らか. ϵj = −1の時は

z(sϵ11 · · · sϵj−1

j−1∂s−1j∂sj

, sj) = −z(sϵ11 · · · sϵj−1

j−1 s−1j , sj) =

z(sϵ11 · · · sϵj−1

j−1 , s−1j )− z(sϵ11 · · · s

ϵj−1

j−1 , 1)− z(sj, s−1j ) = z(sϵ11 · · · sϵj−1

j−1 , s−1j )

となって、欲しい等価性が得られた。

この応用例として [EN]で、Mayerコサイクルと Lefschetz束の符号数との関係を与えている (11.7節を参照). なお、任意の群が (31)を満たす 2-コサイクル zを持つわけではない事には注意しておこう (例えばG = Z/2が考えられる).

44

7 誘導表現とシャピロの補題とトランスファー

トランスファーという概念は色々な場面で重要である。それを学ぶ上で誘導表現によるホモロジーの変化を先ず概観し、その後、トランスファーの定義や性質や応用を述べる。なお、この節ではM は左G加群とし、H ⊂ Gは部分群とする。

7.1 誘導表現のホモロジー変換とその諸性質

この章でテーマになる次の係数を考察する (いわゆる誘導表現のこと).

IndGHM := ZG⊗Z[H] M, CoindGHM := HomZH(ZG,M). (32)

初見の読者には抵抗感があるが、次の様に右商で直和をとっただけである。

命題 7.1. そのG加群 IndGHM はM をH部分加群として含み, また gM の直和である、ただし gは G/H の代表元を走る。つまり模式的にはH-加群同型 IndGHM

∼= ⊕g∈G/HgM である。

Proof. Gが左からHが作用する集合と思うと、G = ⊔g∈G/HgHと分解する。よって Z[H]

加群同型 Z[G] =⊕

g∈G/H gZ[H]がある。後は、g · (1 ⊗m) = g ⊗mにも注意すれば結論ZG⊗Z[H] M =

⊕g∈G/H g ⊗M を得る。

任意の G加群 N は H 加群と思える。その時、この H 加群を ResGHN と書こう。合成IndGHRes

GH を見よう：

命題 7.2. (a) N をG加群とする。この時が成り立つ:

IndGHResGHN = Z[G/H]⊗N.

ここで右辺のテンソル内へのGの作用は、対角的なものとする。(b) HとKの部分群とし、Eを「KgHと書ける、dobule cosetの代表元の集合」とする。任意のH加群M に対して、次のK加群同型がある：

ResGK(IndGHM

) ∼=⊕g∈E

IndKK∩gHg−1

(ResgHg

−1

K∩gHg−1gM).

特に、HがGの正規部分群である時、次のH同型がある：

ResGH(IndGHM

) ∼= ⊕g∈G/H

gM.

Proof. (a)の方は、命題 7.1の言い換えである。(b)を示す。IndGHM = ⊕g∈G/HgM を右K

加群の分解しよう。この時、G/HのK軌道はKgHに対応し、さらに gHへのK作用 の固定部分群はK ∩ gHg−1である。故に (b)が成立する (なお [Evens, Prop. 4.2.4]にもっと詳細の証明がある).

他方でHomZ[H](ZG,A)に関しては解りづらいが、有限位数では次のようになる：

命題 7.3. H ⊂ Gは有限位数の部分群とする（即ち |G/H| <∞）時、次の同型が存在する：

ZG⊗Z[H] A ∼= HomZ[H](ZG,A).

45

Proof. S := G/Hとする。次の二つの写像を考えよう。

HomZ[H](ZG,A) −→ G⊗Z[H] A; f 7−→∑s∈S

s⊗ f(s−1)

ZG⊗Z[H] A −→ HomZ[H](ZG,A);∑s∈S

s⊗ as 7−→ f

ここで as := h−1f(hs−1)とした。すると夫々が逆写像である事がわかる。

7.2 Eckerman-Shapiroの補題

誘導表現でどうコホモロジーが変わるだろうか？一つの答えが次である：

命題 7.4 (Eckerman-Shapiroの補題). 部分群H ⊂ Gと、Z[H]-加群M を考える。この時、自然な同型がある：

H∗(H,M) ∼= H∗(G, IndGHM), H∗(H,M) ∼= H∗(G,CoindGHM).

Proof. 次にF をZ[G]→ Zの射影分解とする。命題 7.1よりF はZ[H]→ Zに関してもそうである。従って

H∗(H,M) ∼= H∗(F ⊗ZH M).

だがF ⊗ZH M ∼= F ⊗ZG (Z[G]⊗ZH M) = F ⊗ZG IndGHM に気づこう。よって一つ目の同型を得た。二個目の同型は双対的な議論を行えばよい。

以上は代数的な議論だが、シャピロの補題の幾何的意味を述べる。まず連結なCW複体間の被覆 p : Y → Zを用意し、H := π1(Y ) ⊂ π1(Z) =: Gとする。すると nセル en ⊂ Zに対し、p−1(en) ⊂ Y は nセルのコピーである。そこに右からGが作用し、固定部分群はH

である。その為 p−1(en) ⊗m = en ⊗ [g] ⊗mg∈G/H という同一視が出来る。構成法より、この同一視が境界準同型と可換な事が確かめられ、よって次を得る：

H∗(Y,M) ∼= H∗(Z, IndGHM), H∗(Y,M) ∼= H∗(Z,CoindGHM).

そこで Y = K(H, 1)とZ = K(G, 1)を代入すれば、命題 7.4を得る。この考察は、被覆空間のコホモロジーを知る上で役立つ。

演習 7.5. 融合積G = K ∗AHに対して、短完全列 0→ Z(G/A)→ Z(G/H)⊕Z(G/K)→Z→ 0を示せ (Swan). この列にShapiroの補題を適用して、Mayer-Vietoris完全列 (系 4.37)

を示せ.

7.3 トランスファーの定義

この節では、部分群H ⊂ Gは有限位数と仮定する。つまり、|H\G| <∞. またM をG-

加群とする (これはH-加群とも思える). この時、トランスファーと呼ばれる（自然とは逆方向の）写像

Tr : H∗(G;M)→ H∗(H;M), Tr : H∗(H;M)→ H∗(G;M),

が構成できる。構成法が何通りあり、夫々大切になるため順に説明する。

46

構成法１。一般にCW複体の被覆 p : Y → Zを考える。この被覆度はm <∞とする。Mを π1(Z)加群とする (よって π1(Y )加群でもある). Z の nセル enに対して、Y のm個のセル eni (i ≤ m) で p(eni ) = enがある (下図参照). そこで対応 en 7→

∑mi=1 e

ni で準同型

Tr: Ccelln (Z;M)→ Ccell

n (Y ;M)を定める。Trは鎖準同型である事が確かめられる。以上の内容を自然な射影K(H, 1) = EG/H → EG/G = K(G, 1)を考え、これをHn(G;M) ∼=

Hn(K(G, 1);M)に適用すればよい。

p

構成法２。まず写像 tr: MG → MH を tr(m) :=

∑g∈H\G gmと定める。次に F を Z[G] → Zの射影分

解とする。すると F ⊗Z[H] M = (F ⊗M)Hであり F ⊗Z[G] M = (F ⊗M)Gである。故に先程の写像 trはTr : (F ⊗M)G → (F ⊗M)H を誘導する。これを明確に記述すると、

Tr : x⊗m 7−→∑s∈G/H

sx⊗ sm.

(このwelldefinedはすぐ解り、鎖準同型となる事も簡単に解る).

構成法３。次の自然な全射と、もう一つ単射を (一時的に)考えよう：

π : Z[G]⊗ZH M −→→M, κ :M → HomZH(ZG,M).

前者にH∗(G,−)を適用すると、α∗ : H∗(H,M) ∼= H∗(G,Z[G] ⊗ZH M) → H∗(G,M)を得る。これは制限誘導射と一致する。他方で、後者の単射にH∗(G,−)をかますと、resGH =

α∗ : H∗(G,M)→ H∗(H,M)を得る。ここで (G : H) <∞より命題7.3より、ZG⊗Z[H]M ∼=HomZ[H](ZG,M) である。よって（Shapiroの補題も用いれば）次の二つの写像を得る事が出来る。

H∗(H,M) ∼= H∗(G,HomZ[H](ZG,M)) ∼= H∗(G;Z[G]⊗ZH M)π∗−→ H∗(G,M),

H∗(G,M)κ∗−→ H∗(G,HomZ[H](ZG,A)) ∼= H∗(H;Z[G]⊗ZH M) ∼= H∗(H,M).

前者を corGH と書く事がある。後者をTrとも書く。構成法 4,5,..。,導来関手を用いたり、構成法１をバー構成上で行ったり [Bro, p.81–82], Gysin

準同型やThom同型や高次順像を使う方法などもある。

以上の構成らは一致する事が知られている。だが、その一致性の証明は省略する (私も証明は知らない). ともかく, 次に、Trの性質を見ていこう。

定理 7.6. H∗(G;M)上でTr i∗ = |G/H| · idが成立する。

Proof. 構成法１より明らか.

有名な系として、Hを一点とすると次を得る (斉次複体から直接証明もできるが・・).

系 7.7. G を有限群とする時、Hn(G,M)は |G|倍で消える (但し n > 0).

特に、もし |G|がM の中で可逆な時、Hn(G,M) ∼= 0である。

47

7.4 トランスファーの性質

次に定理 7.9を示したい。その前に、次の命題を確認しておく:

命題 7.8 (推移性など). (i) K < H < Gで (G : K) <∞のとき、

corGK = corGH corHK , resGK = resHK resGH

(ii) 部分群K,H < Gで (G : H) <∞とする。Dを両側商集合の代表元の集合とする（即ちG = ⊔x∈DKxHである）。この時 α ∈ H∗(H,M)に対し

resGK corGH(α) =∑x∈D

corKK∩xHx−1resxHx−1

K∩xHx−1x∗α.

(これはMackey公式とも呼ばれる). 特に、H◁Gかつ (G : H) <∞の時、resGHcorGH(α) =∑x∈G/H gα =: Nαである、ここでN を norm写像という。

Proof. (i)は構成より明らか. (ii)を示そう。その為に用語を準備する。Kの中での xの固定部分群は k ∈ K|kxH = xH = K ∩ xHx−1である。特に、Kx ∼= K/(K ∩ xHx−1)はK-集合である。S(x)をK ∩ xHx−1の左代表元の完全集合とすると、S := ∪x∈DS(x)xとおこう。SはGの中でHの左代表元の完全集合といえる。次に、F → ZをGの射影分解とし、f ∈ F ⊗M を αの代表元とする。次は明らか∑

s∈S

sf =∑x∈D

(∑t∈S(x)

tsf).

これをKに制限したとき、右辺の∑

t∈S(x) tsfは、corKK∩xHx−1x∗αになる。よって、これが欲しい式であった。

次に定理を述べるために用語を復習する。z ∈ H∗(H,M)がG不変であるとは、

∀g ∈ G resHH∩gHg−1z = resgHg−1

H∩gHg−1gz

が成立する事である。H◁Gの時は、定義からして単に z ∈ Hn(H,M)G/Hの事である。留意したい事に、w ∈ H∗(G,M)に対して、z := resGHwはG不変である。実際、wが x⊗mで代表されれば、等式

gresGHw = g∑s∈G/H

sx⊗ sm =∑s∈G/H

gsg−1(gx)⊗ gsg−1(gm) =∑

s∈G/gHg−1

sx⊗ sm = resGgHg−1w,

に気づくことで、resgHg−1

H∩gHg−1gz = resGH∩gHg−1w = resHH∩gHg−1zとなるからである。すると定理は、以下の様に書ける。

定理 7.9. G を有限群とし、H を p-Sylow部分群とする。任意のG加群M と n > 0に対し、制限の誘導射 resは、p捩れ部分Hn(G,M)(p)からHn(H,M)(p)のG不変部分への同形を与える。つまり、

Hn(G,M)(p) ∼= z ∈ Hn(H,M)(p) | ∀g ∈ G, resHH∩gHg−1z = resgHg−1

H∩gHg−1gz.

さらに、H ◁Gが正規部分群の時、次の同型がある

Hn(G,M)(p) ∼= Hn(H,M)G/H(p) .

48

Proof. 先程の議論からG不変部分への写像である事になる為、全射性を示そう。zがG不変な元とすると、w := corGHzとおく。H

n(H;M)は |H|倍で消える為、w ∈ Hn(G,M)(p)に入る。命題 7.8(ii)でK = Hの場合に計算すると、G不変性から、

resGN(w) =∑

xg∈H\G/H

corHH∩gHg−1resgHg−1

H∩gHg−1g∗w

=∑

xg∈H\G/H

corHH∩gHg−1resgHg−1

H∩gHg−1w

=∑

xg∈H\G/H

(H : H ∩ gHg−1)z = (G : H)z

を得る (ここで最後の等式は、G/H をH-軌道に分解し、そのH-軌道の個数が (H : H ∩gHg−1)である事を用いた). いま (G : H)が素数 pと互いに素だから、w′ = w/(G : H) ∈Hn(G,M)(p)とおける。上の式から、z = resGHw

′となって、目的を示した。

注意, p群は冪零群になるため、扱いやすい部分に議論が帰着される事になる。例を挙げよう。

例 7.10 (二面体群). mを奇数とし、G = Zm⋊Z2という二面体群とする。 H∗(Zm;Zm) ∼=Zm[u2]⊗∧u1(degui = i)だった (例2.20). よって、トランスファーより、加群同型H∗(G;Zm) ∼=Zm⟨u2m2 , u1u

2m−12 | m ∈ N⟩となる。

例 7.11 (対称群Sp). pを奇素数とし、Gを対称群Spとし、H ⊂ Spを巡回置換の成す群とする (H ∼= Z/p). この時、環同型H∗(Sp;Fp) ∼= ∧(u2p−1)⊗ Fp[u2p]を示そう (ここで uの添え字は次数である).

まず, H ∼= Z/pより上定理内の「Hn(H,M)(p)のG不変部分」は次になる：

z ∈ Hn(H,F /p)(p) | z = g∗z (∀g : H → H は或る k ∈ (Z/p)×倍写像 ) .

ここで、例2.20より、H2i(H,F /p)(p)の生成元は次数2i(p−1)の斉次多項式fで、H2i+1(H,Z/p)(p)の生成元は次数 2i(p− 1)+ 1の斉次多項式 f で、代表される。よって、任意の gで z = g∗z

となる必要十分条件は degf が p− 1で割り切れる事である。よって、Hn(H,M)(p)のG不変部分の次数を確かめられると、欲しい環同型が得られた。

演習 7.12. qを奇素数のべきとし、G = SL2(Fq)とする。|G| = q3− qに注意する。q > 11

の時、その 2-シロー群が四元数群である事を示せ. その事より、H4k+3(G;F2) ∼= F2を示せ.

ちなみに参考として、H3(G;Z) ∼= Z/(q2 − 1)である。

最後に、余談を少し. Hが正規ではないと定理 7.9は、余り扱えない。そこでもっと明確にしたCardenas-Kuhnの定理を (証明無しで)紹介する。

定理 7.13 (証明は [AM, III.6]参照). 有限群の列K ⊊ L ⊊ G をとり、LはGの p初等部分群とする。そして、LにGで共役なKの部分群すべてに対し、その部分群はKでLに共役であるとする。もしWK(L) := NG(L)/LはWG(L) := NG(L)/Lを含むとすると、res∗

の像Im(res∗ : H∗(G;Fp)→ H∗(L;Fp)

)は次の共通部分に等しい。

H∗(L;Fp)WG(L) ∩ Im(res∗ : H∗(K;Fp)→ H∗(L;Fp)

).

49

話が変わるがルジャンドル記号との関連がある：

定理 7.14 (ルジャンドル記号). pを奇素数とする。部分群 ±1 ⊂ (Zp)×に対するH1上のトランスファーは次と一致する。

(Zp)× 7→ ±1; a 7−→(ap

)他に有名な結果として、数論の応用例がある; 類対論の principal ideal theoremは次の定理を示すことにより、E.Artinにより示された。

定理 7.15. 有限群GとH = [G,G]に対して、TrGH : G→ H/[H,H]は自明写像である。

演習 7.16. 定理 7.14を証明せよ。[Serre, §7.3.1]参照。

7.5 有限群のコホモロジーの計算方針 (向学者むけ)

以下, 有限群Gのコホモロジーに関し、計算法をまとめる (最近では環構造までわかるプログラムもある). そのために、用語や定理を紹介する。（なおこの節は解りづらい面がある為、今後修正するかも・・）F を Gの部分群のある族で次を満たすものとする： もし K ∈ F , K ′ ⊂ K ならば、

K ′ ∈ F ,∀ g ∈ G, g−1Kg ∈ F . この時、 limK∈F

H∗(K;Fp)を次で定義する：

resGKres

K′

K (αK) ∈ H∗(G;Fp)∣∣∣ αK′ = resKK′(αK), もし K ′ ⊂ K,

αK′ = cgαK もし K ′ ⊂ g−1Kg.

.

定理 7.9を洗練させると次が得られる：

定理 7.17 (Cartan-Eilenberg[CE]). Sp(G)をGの p-部分群の族とする。この時、制限写像は次の同型を誘導する：

H∗(G;Fp) ∼= limK∈Sp(G)

H∗(K;Fp).

また他方で、Lie群のコホモロジーの計算に極大トーラスが重要であるの事の平行に、有限群でも初等アーベル部分群から何処まで情報が取れるかも解っている。つまり、

定理 7.18 (Quillen-Venkov [QV]). Ap(G)を, Gの初等アーベル p部分群全体とする。 この時、制限写像が誘導する準同型

θ : H∗(G;Fp) −→ limK∈Ap(G)

H∗(K;Fp)

はF -同型である。つまり、その核はある冪零イデアルであり、値域の任意の元は冪をとると像 Imθに入る。

すると計算アルゴリズムは以下の様になる。

Step 1. 定理 7.17より pシロー群らH を見つけて、そのコホモロジー群の安定条件の情報を幾らか得ようとする。

Step 2. Kerθは冪零イデアル√Oとなる為、そのイデアルOを見つける。これは、不変部

分環H∗(E)NG(E)の計算から解る [Ben, 5.6]. ここで、Eは初等アーベル p-部分群で、NG(E)

はEの正規化部分群のこと.

50

Step 3. |Ap(G)|を posetAp(G)を幾何実現するG-CW複体とする。Webb[Webb]によればH∗(G,Fp)は、正規化部分群NG(E)のコホモロジーとその共通部分群のコホロジーらで計算できるらしい。少し詳しく述べると、ファイバー束EG×G |Ap(G)| → |Ap(G)|/Gのmod

pLerayスペクトル系列を考えると、E2-頁でつぶれ、次が言えるらしい:

Ep,q2 = δp,qH

p(G;F).

取分け, もしGが Lie型や Sporable群の場合、 “Tits building”というものでHNN分解して見ると、以上の情報が明快にわかる様だ ([AM, VIIとVIII章]に例が多い).

他に、本 [FiP]を見ると以上の方針で、Lie型の群コホモロジー (の安定域)を初等的に計算している。ついでに、Quillen群も書くかもしれない (工事中)

8 カップ積.

カップ積について射影分解の視点から説明する。まずテンソル加群について復習する。群ふたつ Gと G′に、G加群M と G′加群M ′が与えられた時、M ⊗Z M

′ は (g, g′) · (m ⊗ m′) = gm ⊗ g′m′ により Z[G × G′]-加群となる。またM とM ′が射影加群であるとき、M ⊗M ′は Z[G×G′]-射影加群である (これはZ[G]⊗ Z[G′] ∼= Z[G×G′] に気づき、M = Z[G], M ′ = Z[G′]の時に示せば良い).

次に、テンソル複体を述べる。Z[G]の射影分解ε : F → Zと、Z[G′]の射影分解ε′ : F ′ → Zが次で与えられたとする。

F : · · · ∂n+1−→ Pn∂n−→ · · · ∂2−→ P1

∂1−→ Z[G] ϵ−→ Z,

F ′ : · · ·∂′n+1−→ P ′n

∂′n−→ · · ·∂′2−→ P ′1

∂′1−→ Z[G′] ϵ′−→ Z.

この時、複体 F ⊗ F ′を次で定義する。n次複体 (F ⊗ F ′)nを⊕nk=0Pk ⊗ P ′n−kとし、境界準同型 ∂ :=

∑nk=0 ∂k ⊗ ∂′n−kとする。添加写像は ϵ⊗ ϵ′ : Z[G×G′]→ Z⊗ Z = Zとなる。す

ると次が確かめられる。

命題 8.1. もし ε : F → Zが ZG上の, ε′ : F ′ → Zが ZG′上の Zの射影分解とする。この時、テンソル複体 F ⊗ F ′ → Zは Z[G×G′]上の Zの射影分解である 18。特に、G → G × G; g 7→ (g, g)を考えると、F ⊗ F → Zは ZG上の Zの射影分解でもある。

応用上、G = G′かつF = F ′の場合を考えよう。すると 射影分解のホモトピーの一意性より、ある∆ : F → F ⊗ F という ZG加群鎖準同型がある。これを対角近似という。重要な例として、F が例 3.5の標準複体の時、∆として写像とよばれる次のものがある：

∆(g0, . . . , gn) =∑

0≤k≤n

(g0, . . . , gk)⊗ (gk+1, . . . , gn).

これを非斉次複体で書けば次になる：

∆[g1, . . . , gn] =∑

0≤k≤n

[g1, . . . , gk]⊗ g1 · · · gk[gk+1, . . . , gn]. (33)

この場合は綺麗な式であったが、他の射影分解だとそれほど単純ではない:18注意：F, F ′ が自由でも F ⊗ F ′ は自由と限らない。

51

例 8.2 (演習). G = Z/nとし、F を例 3.12の分解とする：∆ : F → F ⊗ F の (p, q)成分∆pq : Fp+q → Fq ⊗ Fqは次で与えられる：

∆pq(1) =

1⊗ 1 もし pが偶数,

1⊗ t もし pが奇数, qが偶数,∑0≤i<j≤n−1 t

i ⊗ tj もし p, qが奇数.

さらに、ypを p番目の Fp = Z[Z/n]の代表元とすると、次の (Z[Z/n]上の)関係式が成立する：

y2py2q =(p+qp

)y2q+2p, y2p+1y2q+1 = 0,

y2p+1y2q = y2qy2p+1 =(p+qp

)y2q+2p+1.

(ヒント: [CE, p. 252]を参照).

例 8.3. 8.3節で有限表示群のカップ積を扱う。

8.1 クロス積とカップ積の定義

上記の様に、射影分解 ε : F → Zと ε′ : F ′ → Zが与えられたとする。G加群M とG′加群M ′に対し、次の写像が考えられる：

(F ⊗GM)⊗ (F ′ ⊗G′ M ′) −→ (F ⊗ F ′)⊗G×G′ (M ⊗M ′)；

(x⊗m)⊗ (x′ ⊗m′) 7−→ (x⊗ x′)⊗ (m⊗m′).

すると z ∈ F ⊗G M と z′ ∈ F ′ ⊗G′ M ′に対し、z ⊗ z′が考えられる。z ⊗ z′を z × z′と書き、クロス積という。さらに境界準同型に対し次が確かめられる：

∂(z ⊗ z′) = ∂z ⊗ z′ + (−1)degzz ⊗ ∂z′.

よってクロス積はホモロジー上の写像を誘導する：

Hp(G;M)⊗Hq(G′;M ′) −→ Hp+q(G×G′;M ⊗M ′).

以上を双対的に考えよう。cochain u ∈ HomG(F,M)と v ∈ HomG′(F ′,M ′)に対し、u×v ∈HomG×G′(F ⊗ F ′,M ⊗M ′)を ⟨u× v, x× y⟩ = (−1)degvdegx⟨u, x⟩⟨v, y⟩で定義する。すると

δ(u⊗ v) = δu⊗ v + (−1)deguu⊗ δv,

が確かめられる。よってコホモロジーのクロス積も定義できる：

• × • : Hp(G;M)⊗Hq(G′;M ′) −→ Hp+q(G×G′;M ⊗M ′).

次にG = G′かつ F = F ′の時を考えると、カップ積の定義は次で与えられる：

定義 8.4. ε : F → Zを ZG上の Zの射影分解とする。∆ : F → F ⊗ F を一つ対角近似を固定する。このとき、cochain u ∈ HomG(F,M) と v ∈ HomG(F,M

′)に対し、カップ積u vを (u× v) ∆で定義する。この対応はコホモロジーに落ち、次の双対線形写像を与える：

: Hp(G;M)⊗Hq(G;M ′) −→ Hp+q(G;M ⊗M ′).

52

例 8.5. 節 2.3でのカップ積の公式は次の様に得られる。実際、F を斉次複体としたとき、(33)より座標変換すると、そのカップ積の定義と一致したものが得られる。

ちなみに、M =M ′が環Rの時、カップ積は米田積

ExtnR[G](R,R)⊗ ExtmR[G](R,R) −→ Extn+mR[G] (R,R)

によっても定義できる。ここで、その積は合成

Hom(R,R)⊗ Hom(R,R) −→ Hom(R,R), f ⊗ g 7→ f g

から誘導されたものである。この見方は、何かを環上で定義するときに役立つ。幾らか性質を列挙する (証明は簡単のため省略. [Bro, V.3]参照):

命題 8.6 (自然性). 群準同型 f : G′ → Gに対し、次が成立する：

f ∗(u v) = f ∗u f ∗v ∈ Hp+q(G′; f ∗M), ∀u ∈ Hp(G;M), v ∈ Hq(G;M).

またG加群の写像 h :M → N と h′ :M ′ → N ′が与えられたとき、次が成立する：

(h⊗ h′)∗(u v) = h∗u h′∗v,∀u ∈ Hp(G;M), v ∈ Hq(G;M ′).

命題 8.7 (射影公式). H ⊂ Gを有限位数の群とする。M をG加群とし、N をH加群とする。u ∈ H∗(G,M)と v ∈ H∗(H,N)に対し、次が成立する：

corGH(resGH(u) v) = u corGH(v).

特に、M = N = kを自明係数の可換環とすれば、トランスファー写像H∗(H; k)→ H∗(G; k)

はH∗(H; k)加群準同型である。

Proof. FをZ[G]→ Zの射影分解とし、コチェインレベルで等式を証明しよう。u ∈ Hom(F,M)G

と v ∈ Hom(F,N)Hが与えられ時、以下の計算をHom(F ⊗F,M⊗N)Gの中で行えばよい。

corGH(resGH(u) v) =

∑g∈G/H

g · (u⊗ v) =∑

g∈G/H

u⊗ g · v (∵ G-不変性)

= u⊗∑

g∈G/H

g · v = u corGHv.

補足：１．命題 3.17にあった同導関手の δnとカップ積との関係は論文 [Sam]などが参考になる。２．H1上のカップ積と群拡大の関係が [Li]で議論されている。

8.2 アーベル群のホモロジーと、Pontryagin積.

本小節はアーベル群のホモロジーに着目し、決定する。まず外積代数について復習する。kを可換環として、V を k加群とする。p回テンソル

T p(V ) := V ⊗ · · · ⊗ V を考えよう。T ∗(V ) := ⊕pT p(V ) として、テンソルで次数付き k-代数構造を入れる。外積代数とは T ∗(V )をイデアル ⟨v⊗ v⟩v∈V で割った (反可換)代数として定義し、

∧∗(V )とかく . クラス [x⊗ y]を x∧ yと書く。例えば、∧0(V ) = kと

∧1(V ) = V

と∧2(V ) = V ⊗ V/⟨v ⊗ v⟩に注意しておこう。次の命題は基本である (のため証明略)

53

命題 8.8. A∗を次数付き反可換 k-代数とする。任意の f : V → A1を k加群準同型は k-代数準同型 f :

∧∗(V )→ A∗に一意的に拡張される。

Proof. f(x1 ∧ · · · ∧ xn) = f(x1) ∧ · · · ∧ f(xn)とせよ。一意性は読者に委ねる。

命題 8.9. 同型∧∗(V1)⊗∧∗(V2) ∼= ∧∗(V1⊕V2)が次のように構成される。入射Vj → V1⊕V2

の拡張を ιj :∧∗(Vj)→ ∧∗(V1 ⊕ V2)とおく。そのテンソル ι1 ⊗ ι2が欲しい同型を得る。

Proof. k写像 V1⊕ V2 →∧∗(V1)⊗∧∗(V2)を (a, b) 7→ a⊗ 1+ 1⊗ bで定義する。すると、命

題 8.8よりその拡張∧∗(V1⊕V2)→ ∧∗(V1)⊗∧∗(V2)は、ι1⊗ ι2の逆写像になっている。

次に、アーベル群Gに対し、H∗(G;Z)にPontryagin 環構造を導入する。µ : G×G→ G

を群演算とする。すると、クロス積を用いて次の二項演算が考えられる：

H∗(G, k)⊗H∗(G, k)×−→ H∗(G×G, k ⊗ k)

µ∗−→ H∗(G, k),

簡単に解る事に、これは H∗(G, k)に環構造を与える。Pontryagin 環という。但し、一般に、この積を具体的にかくと “shuffle積”になり用意ではない ([Bro, V.6]参照).

二つの命題を言及しておく。

命題 8.10. G,G′をアーベル群とし、自然な入射を i : G → G× G′と i′ : G′ → G× G′を考える。この時、クロス積に関し、等式 z × z′ = i∗z · i′∗z′が ∀z ∈ H∗(G, k), z′ ∈ H∗(G′, k)で成立する。

Proof. F をGの, F ′をG′の射影分解とする。この時、自然な鎖同型

(F ⊗G k)⊗k (F ′ ⊗G′ k) −→ (F ⊗k F ′)⊗G×G′ k

が、(a⊗ λ)⊗ (a′⊗ λ′) 7→ (−1)dega·dega′(a⊗ a′)⊗ λλ′ で与えられる。定義から、このホモロジー誘導射はクロス積である。するとこの左辺の元で、z ⊗ z′ = (z ⊗ 1) · (1⊗ z′)を整理すると、z× z′ = (z× 1) · (1× z′)である。あとは z× 1 = i∗zを示せばよいが、それはG′ = 1

の時にチェックすればよく, それは明らかだろう。

命題 8.11. そうするとKunnethの公式は次のようになる。kを単項イデアル整域とする。この時、次の分裂完全列がある：

0→⊕p+q=n

Hp(G; k)⊗Hq(G′; k)

µ∗−→ Hn(G×G′; k) −→

→⊕

p+q=n−1

Tork1(Hp(G; k), Hq(G′; k))→ 0.

ここで µ∗(z ⊗ z′) = i∗z · i′∗z′で与えられる。

Proof. FをGの, F ′をG′の射影分解とする。この時、クロス積HomG(F, k)⊗HomG′(F ′, k)→HomG×G′(F ⊗F ′, k)はKunnethの定理を導くのであった ([Hat, 服部]参照). よって、前命題と比較すれば、上記を得る。

以上を用いて、H∗(G;Zp)の記述しよう、ここでGは任意のアーベル群とし、pは素数とし Zpは Z/pとする。まず普遍係数定理

0→ H2(G;Z)⊗ Zp → H2(G;Zp)→ Tor(H1(G),Zp)→ 0 (分裂完全列)

54

を考える。するとHopfの定理よりH2(G) ∼= G ∧ Gである為、∧2(G) ⊗ Zp ∼=

∧2Zp(Gp)で

ある、ここでGp := H1(G)⊗ Zp = G/pGとした。他方で、

Tor(H1(G),Zp) = Tor(G,Zp) =pG = g ∈ G | pg = 0

も考えよう。すると上記は次の形に簡約される：

0→ ∧2(Gp) −→ H2(G;Zp) −→pG→ 0 (分裂完全列).

切断 pG → H2(G;Zp)を固定する。すると可換群環 Zp[pG]からの環準同型 φ : Zp[pG] →H2(G;Zp)をえる。またGp

∼= H1(G) → H∗(G)より、ψ :∧∗(Gp) → H∗(G)を得る。そこ

で ρ : Zp[pG]⊗∧∗(Gp)→ H∗(G)を ρ(x⊗ y) = ψ(x)φ(y)で与える。すると

定理 8.12. この写像 ρ : Zp[pG] ⊗∧∗(Gp) → H∗(G;Zp)は環同型である。さらに、この写

像は p = 2では関手的である。

証明方針. まずGは有限生成で、生成元が x1, . . . , xtと t個の場合を考える。t = 1のときは、G = ZかG = Z/mになるため、例 4.30と 4.32の自由分解からわかる。t − 1まで正しいとしよう。すると、ρの定義域と値域の各次数での階数は等しい事が、Kunnethの定理を用いて示される。故に、全射が示せれば同型である。実際、命題 8.10とKunnethの定理より、環の生成元の候補が解り (但し、φの定義より簡単ではない), それに対応する元を左辺から選べるから、よって全射である (詳細は [CE]を参照の事)。次に、Gが一般のアーベル群の場合を考察する。よく知られたことに、或る有限生成アーベル部分群のなす直系 (Gα)α∈Aがあって、Gはその直極限で書ける。故に次を得る：

limZp[pGα]⊗∧∗

(Gα ⊗ Z/p) //

lim ρα

Zp[pG]⊗∧∗

(Gp)

ρ

limH∗(Gα,Z/p) // H∗(G,Z/p)

ここで横の射はが同型になり理由は、直極限との可換性による。また左の縦射の同型性は前半の議論による。よって右辺の ρは同型となる。

なお、本 [Bro, V.6]ではH2(G;Z)の記述があり、また divided代数としてPontryagin積が綿密に記述されている。

8.3 有限表示群に対する小射影分解と、カップ積.

群 Γが、群表示 F/R = ⟨ gi (i ∈ I) | rj (j ∈ J)⟩されたとする。この低次のカップ積の扱いを紹介する。定理 6.9によれば、次の列は完全で ϵの部分分解を与えるのだった。

Z[Γ]⊕K∂3−−−→ Z[Γ]⊕J

∂2−−−→ Z[Γ]⊕I

∂1−−−→ Z[Γ] ϵ−→ Z −→ 0. (34)

ここで後者の ∂1は ∂1(γ) = 1− γで、∂2はヤコビ行列 ([∂rj∂xi

])i∈I, j∈J , であってさらに ∂3はヤコビ行列 ([∂sk

∂ρj])j∈J, k∈K であった。

まずカップ積H1 ⊗H1 → H2を詳述する。以下, Z[Γ]⊕I をX1と書く。さらに Z[Γ]⊕I とZ[Γ]⊕J を, それぞれ、不定元 (ai)i∈I ないし (bj)j∈J で Z[Γ]上で生成されたとする。準備として、次の関数を考えよう：

κ : F × F −→ X1 ⊗X1; (u, v) 7−→ α(u)⊗ uα(v),

55

ここで α(w) =∑

i∈I(∂w/∂xi)aiとする。すると、簡単に確かめられる事に κは (正規化された) F の 2-コサイクルである。だがH2(F ;X1 ⊗X1) = 0の事もあり、一意的にΥ : F →X1 ⊗X1 で次を満たすように取れる 19：

Υ(uv) = Υ(u) + uΥ(v) + κ(u, v), Υ(1) = 0 Υ(xi) = 0, ∀u, v ∈ F, i ∈ I.

命題 8.13 ([Tro, §2.4]). 写像Z[Γ]⊕J → X1⊗X1; a · bj 7→ (a⊗ a) ·Υ(rj)は対角近似である。特に、任意の 1-コサイクル f : Γ → M と f ′ : Γ → M ′に対し、カップ積 f f ′は次で定める写像 f ⋆ f ′ : Z[Γ]⊕J →M ⊗M ′に等しい。

f ⋆ f ′(a · bj) := (a⊗ a) · (f ⊗ f ′)(Υ(rj)), for ∀a ∈ Z[Γ].

これは Alexander-Whitney写像を考察する事で示されるが省略する。

例 8.14. 例 6.15の様に、Γを曲面群 π1(Σg)とし、表示 ⟨a1, b1, . . . , ag, bg|r⟩とする。M =

M ′ = Zという自明係数の場合にカップ積を求めよう。Υの定義より、

ϵ(Υ(r)) = ϵ( ∑i:1≤i≤g

κ(1, ai) + κ(ai, bi) + κ(aibi, a−1i ) + κ(aibia

−1i , b−1i )

)が確かめられる。そこで次の１コサイクルたちを考えよう：

a∗i : ΓAbel 化−→ Z2g 2i−1 番の射影−−−−−−−→ Z,

b∗i : ΓAbel 化−→ Z2g 2i 番の射影−−−−−−→ Z.

すると命題 8.13から a∗i ∪ a∗j = b∗i ∪ b∗j = 0かつ a∗i ∪ b∗j = δij が解る事になる。これは曲面Σgの Z-係数コホモロジーのカップ積と一致する事が確かめられた。なお、Σgの局所系係数のカップ積に関する有名な結果として、[Gol, Gol2]とそれを引用する論文を参照の事。

加えて、[Tro]にはH1⊗H2 → H3の表示もされている。実際、次のように対角写像が与えられる：

命題 8.15 ([Tro, §2.4]). 添え字集合Kを上記のものとする。X3を ckk∈K で生成される自由加群とする。対角写像∆ : X3 → ⊕3

i=0(Xi ⊗X3−i)は次で与えられる：

∆(ck) = e⊗ ck + ck ⊗ e+n∑

m=1

ϵm(α(wm)⊗ wmbjm + wmbjm ⊗ α(wm)

)+

n∑m=1

(δmwm(bjm ⊗ α(rjm)

)−

∑1≤ℓ<m≤n

ϵℓwℓbjℓ ⊗ ϵmwmα(rjm).

ここで α(w)は∑

i=1(∂w/∂xi)aiと定義している。また ckは次の恒等子に対応する元としている：

sk =∏

m:1≤m≤n

wmρϵmjmw−1m , ϵm ∈ ±1, δm = (ϵm − 1)/2.

（幸運にも、D(ck)のX1 ⊗X2の制限は、∑n

m=1 ϵmα(wm) ⊗ wmbjm だけとなる為、それほど複雑ではない。）

19この一意性は代数的にすぐ解る。なお Υ は u の語の長さの帰納法で構成される；[Tro, Lemma 2.4] を参照。

56

9 Wreath積 (輪積)のコホモロジー.

本章では、Wreath積について復習し、コホモロジーの推移性について紹介する。Wreath

積は表現論などにも現れ重要であるが、群コホモロジーでも、有用な群 (のシロー群)がWreath積として現れる。Wreath積を定義しよう。その為の入力物を, 二つの群 A,Hと集合Ωで、HがΩに作用するものとする。次に、Kを集合Ωを添字集合とするAのコピーAω := Aの直積とする：

K :=∏ω∈Ω

Aω.

Kの元を Ωで添字付けられたAの任意の列 (aω)と見做せば、HのΩへの作用をh(aω)≡ (ah−1ω)

で定義できる。この作用は、群Kへの作用H Kへ拡張される。このとき、AのHによる (非制限)輪積 H とは、半直積K ⋊Hのことを言う。色々な記法があるが、A

∫Hと書

こう。定義より、A,H,Ωのいずれも有限ならば、位数に関して |A

∫H| = |A||Ω||H|が成立する。

輪積の例は、以下の様に意外に多くある。

例 9.1. Ω = 1, 2, . . . , nには対称群Snを自然に作用する。A = Gで H = Snとすれば、G∫H = Gn ⋊Snである。初学者には、Wreath積の上記の定義は腑に落ちづらいが、この例が本質的である。つまり上記の定義は、Snの部分群に対し、Wreath積が定義できそうな可能性をめい一杯がんばったものである。こう思うと、Wreath積はそれほど異質ではない事が納得できよう。

例 9.2 (ルービックキューブ群 ). 3次元内のルービックキューブの動きを成す群を考える。それは直積 (Z4)

6 × (Z3

∫S8)× (Z2

∫S12)と同型である。

例 9.3 (対称群). 対称群 のシロー群は、“反復正則輪積”で書かれる ([Weir]参照).

例えば、素数 pと自然数 n ≥ 1に対し、pn-次対称群Spnのシロー p-部分群は、反復正則輪積 (· · · ((Zp

∫Zp)∫Zp) · · · )

∫Zpに同型である (ここで括弧は n− 1個). この視点から定理

9.5を用い、[AM, §VI.1](例も豊富) にてH∗(Spn ;Fp)の計算結果がまとめられている。

例 9.4. 有限体上の Lie型古典群に関しても、そのシロー群は、Wreath積で書ける。

Wreath積に関するコホモロジーの振る舞いを表すのが、次の定理である。

定理 9.5 (中岡稔 [Naka]). kを体で自明係数とする。A,H,Ωのいずれも有限とするとき、次の同型がある：

H∗(A∫H; k) ∼= H∗(A;H∗(H; k)⊗Ω)

(ここで右辺は局所系コホモロジーである). さらに、この同型は環構造を保つ。

証明は 9.1節に回すとして、興味深い例をふたつ述べる。

例 9.6. 対称群の入射Sn → Sn+1の誘導射 H∗(Sn) → H∗(Sn+1)が単射である事 (定理13.1)は、例 9.3に合ったシロー群を考察する事で確かめられる [Naka].

例 9.7 (有限体上の一般線形群のシロー群). Quillenは次を示した。

57

定理 9.8 (Quillen). ℓと qが互いに素となる素数とする。r ∈ Nは qのmod ℓでの乗法的位数とし、m = ⌊n/r⌋とする。ℓ = 2の時、GLn(Fq)の Fl-係数コホモロジーは次の環同型がある。

H∗(GLn(Fq),Fl) ∼= Fl[cr, . . . , cmr]⊗ Λ[er, . . . , emr].

ここで次数は |eir| = 2ir − 1で |cir| = 2irである。さらに ℓ = 2 で q ≡ 1 mod 4の時、

H∗(GLn(Fq),F2) ∼= F2[e1, e2, . . . , en, c1, c2, . . . , cn]/(e2i = 0).

ここで次数は |ei| = 2i − 1で |ci| = 2iである。さらに ℓ = 2 で q ≡ 3 mod 4の時、H∗(GLn(Fq),F2)は次に環同型である：

F2[e1, e2, . . . , en, c1, c2, . . . , cn]/(e2i =

∑0≤a≤i−1

cac2i−1−a).

ここで c0 = 1, ci = 0 ただし i > nとした。

系 9.9. ℓ = pかつ ℓが qr − 1で割り切れないとき、Hr(GLn(Fq),Fl) ∼= 0と消える。

定理の 9.7の証明方針を述べる (この内容は非常に難しく, 大雑把な説明の為、読み飛ばして良い). Cを位数 qr − 1の巡回群とし、C ∼= (Fqr)×を通じ, 線形表現 C → GLr(Fq)を自然に作っておく。n = mr+ eをとって (e < r), 直積CmからGLn(Fq)への直和表現をとる。そこで主張として、誘導射

H∗(GLn(Fq);Fℓ) −→ H∗(Cm;Fℓ) (35)

が単射である事を述べよう。先ず, ℓが奇数の場合を考える。分解 Cm → GLr(Fq) ⋊ Sm → GLn(Fq)に注目しよう。すると、(ℓ = 2だと)右側の指数が ℓと互いに素だから、右側は単射で (∵定理 7.9) であり、左側の単射性は中岡の定理から得られる。次に、ℓ = 2の場合を考える。その際に、GLn(Fq)の部分群

(GL2(Fq)[n/2] ⋊ S[n/2]

)×

(F×q )n−[n/2]を取ると、奇数指数である。故にGLn(Fq)の mod 2コホモロジーは、GL2(Fq)を調べればよい。それにはまず位数 q2 − 1の群 SL2(Fq)の 2-シロー群が四元数群である事に留意する。だから拡大

0 −→ SL2(Fq) −→ GL2(Fq)det−→ F×q −→ 0

の LHSのmod 2 スペクトル系列を考えることで、GL2(Fq)のmod 2コホモロジーの上限が与えられる。すると、その評価から欲しい (35)の単射性を示れる (様だ).

最後に (35)の全射性だが、次の様に示される (難). BU を無限次元グラスマン多様体 /Cとして、Adams作用素 ψqの誘導するΨq : BU → BU を考える。すると、このホモトピーファイバー FΨqのコホモロジーがスペクトル系列より (Chern類から)容易に決定できる。他方で、Brauer表現というGLn(Fq)→ U(∞)を取る事で、(表現環ないしK0の議論を通じる事で) 連続写像K(GLn(Fq), 1)→ FΨq が出来る。従って次を得た。

H∗(FΨq;Fℓ) −→ H∗(GLn(Fq);Fℓ) −→ H∗(Cm;Fℓ).

右側が単射だった為、後はこの像に当たりそうな元を左から持ってこればよい。しかし、その詳細は長いため [Ben, Knu, FiP]など参照の事。

58

ちなみに、Fp係数が気になるが、それが最も難しい部分である。結論のみいうとQuillen

の結果で、「0 < i < d(p − 1)でH i(GLn(Fq),Fp) ∼= 0、ここで q = pd」が知られている([Knu, １章]参照). 以上の話は代数的K群やAdams予想の解決と関連し、遠大な話が背景にある ([河玉, Ben, Knu]等参照).

9.1 定理 9.5の証明

定理の証明を述べるために幾つか用語が要る。基礎環 kを固定し、k[G]-加群M が与えられ、|G/H| < ∞の時に、テンソル誘導加群

M⊗G/Hを次の様に定義しよう： 左商集合 T = G/Hと置き、全単射G ≃ H × T を固定する。g ∈ Gと t ∈ T に対し、

gt = gthg,t

となる hg,t ∈ Hが定まる、ここで sは T の代表元 s ∈ Gを意味する。そして

M⊗T :=⊗t∈T

M

を (G : H)個のMのコピーのテンソル積として導入しよう。π(g)を置換 t 7→ gtというST

の元とする。このM⊗T にG作用を次で定める：

g(∑t∈T

t⊗mt) :=∑t∈T

(gthg,t)⊗ hg,tmt =∑t∈T

π(g)t)⊗ hg,tmt =∑t∈T

t⊗ hg,π(g)−1tmπ(g)−1t.

上の記号を用い、単項表現Φ : G→ H∫ST を次で定義する。

Φ(g) = π(g)∏t∈T

hg,t. (36)

これは群準同型である事が簡単にチェックできる。さらに T の別の代表元 T ′の取り方にもよらない (正しくは ∃u ∈ H

∫ST , Φ′ = u−1Φu). これに類似させ, H

∫ST のM⊗T への作

用を次で定義する：(s(∏t∈T

ht)s−1) · (⊗t∈Tmx) := s

(∏t∈T

ht(s−1(⊗t∈Tmx))

).

さて SをST の部分群とする。η : U → kを k[H]射影分解とする。すると ηの |T |個テンソルは η⊗X : U⊗T → k⊗T = kを誘導する。他方で、ϵ : W → kを k[S]射影加分解とすると、テンソル

ϵ⊗ η⊗T : W ⊗ U⊗T → k

はk[H∫S]射影分解である。特に、Mがk[H]加群とするとき、コホモロジーH∗(k[H

∫S];M⊗T )

は次の複体のコホモロジーで計算される：

Homk[H∫S](W ⊗ U

⊗T ,M⊗T ) ∼= Homk[S](W,HomHX (U⊗T ,M⊗T ))

∼= Homk[S](W,HomHX (U,M)⊗T ).

定理 9.5の証明. kは体としたので、U → kを最小分解としてよい (つまり ∂∗ ≡ 0)。よってHomZ[H](U, k)

⊗T は自明な ∂∗である。従って、複体

Homk[S](W,HomHT (U⊗T , k))

59

の境界準同型はW のそれに同じである。よって、コホモロジーをとると

H∗(S,HomHT (U⊗T , k)) ∼= H∗(S,H∗(H, k)⊗T )

となる。ここでHomH(U, k) = H∗(H, k)を代入した。これは示したい事であった。あと環構造においては読者に任す。

9.2 Evensのノルム写像 (乗法的トランスファー)

この小節ではノルム写像というものを定義し、諸性質を見て、後に使う系 9.11も証明する。以下, H ⊂ Gは有限位数の部分群とし、kを体とする。剰余集合G/Hを T と書き、対称群 S = ST を T に自然に作用させる。まず, nが偶数で、元α ∈ Hn(H; k)に対し、α

∫1を以下の様に定義する。中岡の定理 9.5

より、H∗(H∫ST ; k)は次の部分環を持つ:

H0(S;H∗(H; k)⊗T ) = (H∗(H; k)⊗T )S.

この事もあり、S = ST の作用で不変なパートを見る事は有用である。故に次を考える事は自然だろう：

α∫1 := α⊗ · · · ⊗ α ∈ H∗(H; k)⊗T .

すると (36)の単項表現Φを用い、ノルム写像は次で定義される：

NH→G(α) = Φ∗(α∫1) ∈ Hn|(G:H)|(G; k).

これは Φの取り方によらない。実際、他の T ′ から Φ′ をとると、∃ιu ∈ Aut(H∫ST )で

Φ′ = iuΦだから、(Φ′)∗(α∫1) = Φ∗(i∗u(α

∫1)) = Φ∗(α

∫1)となる。

さて今から、NH→Gの有用な諸性質を羅列しよう：

定理 9.10. (N1) もしHがKの部分群とすると、

NK→G(NH→K(α)) = NH→G(α).

(N2) α, β ∈ H∗(H; k)が偶数次とすると、

NH→G(α β) = NH→G(α) NH→G(β).

(N3) G = ⊔x∈DKxHを二重コセット分解とすると、

resGK NH→G(α) =∏x∈D

NK∩xHx−1→K(resxHx−1

K∩xHx−1x∗(α)).

(N4) Hが正規部分群の時、

resGH NH→G(α) =∏

x∈G/H

x∗(α).

(N5) もしHが正規部分群の時、(H : G) = pで素数の時、ある µ ∈ H∗(H, k)があって

NH→G(α + β) = NH→G(α) + corGH(µ) +NH→G(α)x∗(β).

60

Proof. N3, N4のみ証明する (他の証明は [Evens, 6.1節]参照。[Ben, 4.1節]参照). (N4)は、いつも通り、2重コセットの集合を観察すれば、(N3)からすぐ導かれる。よって (N3)を以下しめそう。x ∈ Dに対し、Hx := K ∩ xHx−1 ⊂ K とする。T (x)を Hx ⊂ K | x ∈ Dとすれば、

T = ⊔x∈DT (x)となる。またΦx : K → Hx

∫SK/Hx = Hx

∫(SK/H)xを単項表現とする。す

ると等式

ktx = t′h′k,tx = t′xx−1h′k,tx for ∀k ∈ K, t, t′ ∈ T (x), h′k,t ∈ K ∩ xHx−1

に気づけば、次の可換図式を得たことになる。∏x∈DK

∏x∈D Φs

K∆oo inclusion // G

∏x∈D(Hx

∫(SK/H)x)

C

∏x∈D(H

∫(SK/H)x)

B // ∏x∈D(SK/H)x

∫H // SK/H

∫H.

ここで∆は |D|重対角写像で、Cは共役からの誘導射で、Bの定義は次の段落で言う。すると (N3) 示すために、U → kをH の射影分解, W → kをSG/H の射影分解とする。これらのコピー U(x) → kとW (x) → kはそれぞれHxと Sxの射影分解となる。こうしてϵ⊗f⊗|T |を上可換図式のKから始めると、最後の右下での一致性は求めたい等式であった。あとはBの構成を明示すればよい。先ず, 一般に作用S′ X ′とS′′ X ′′があった時、

S′ ×S′′ X ′ ⊔X ′′の作用を (s′ × s′′)x′ = s′x′または (s′ × s′′)x′′ = s′′x′′と定める (ここでx′ ∈ X ′, x′′ ∈ X ′′とした). すると、同一視 (X ′ × Y ) ⊔ (X ′′ × Y ) = (X ′ ⊔X ′′)× Y により同型 (H

∫S′) × (H

∫S′′) ∼= H

∫(S′ ×S′′)を得る。この同型を束ねたのをBとして定義

すれば、上の可換図式を満たすことが解る。

系 9.11. Gを有限群でG = 1とする。素数 pが |G|を割り切り、(p, chark) = 1とするとき、大きい r > 0があって、Hr(G; k) = 0。さらに、もし 1 = g ∈ Gが位数 pとすると、あるHr(G; k)の元 zがあって、Hr(⟨g⟩; k)の制限が非零である。

Proof. 後者を示せば十分だから、後者を示す。H := NG⟨g⟩とする。また定理 8.12より、或る σ ∈ H2(⟨g⟩; k)があって、非冪零な元が存在する。任意の x ∈ H に対して、xの共役作用の p − 1乗 (x∗)p−1(σ)は σに戻る事に注意しよう (∵ xによる ⟨g⟩への共役作用はp− 1乗で消えるからである). よってカップ積の p− 1乗α := σp−1は、H-不変で非冪零なH2(p−1)(⟨g⟩; k)の元である。|H : ⟨g⟩| = pah より、z := N⟨g⟩→G(1+α) とおくと、(N4)から

resGH(z) = (1 + α)pah = (1 + αp

a

)h = 1 + hαpa

+O(高次).

となる。よって、zは 2(p− 1)paの次数を持つ、非自明な元である。

この定理は 11.6節でも使う。アーベル群の場合のNormの結果は興味深いふるまいをするが、詳細は [Evens, §6.3]をみよ。この結果は、Serreの定理 3.21の証明にも使われている。なお [FM]では、トポロジカルな解釈として、Evensのノルムを有限被覆から定義している (それはおおよそ, 加法的トランスファーの構成１にあるセルの逆像に関し、共通部分をコホモロジーで記述したものである). その際に、誘導表現のChern類（の性質）の関連を記述している。

61

9.3 群コホモロジー上の Steenrod 作用素.

空間のコホモロジーに対し、Cohomology作用素という道具がある。その作用素を導入方法はいくつか知られている。しかしKan-Thurston の定理によれば、群コホモロジー上で定義すれば、空間全体に定義された事になる。この小節では、群コホモロジー上で代数的に定義できることを見る。Gを任意の群とし、pを素数とする。するとKunnethの定理によれば、

Hr(Z/p×G;Fp) ∼=⊕j=0

Hj(Z/p;Fp)⊗Hr−j(G;Fp)

である。またさらに、Hj(Z/p×G;Fp) ∼= Fpの基底 ajをとる。但し、a2 = −β(a1), a2j =(a2)

j, a2j+1 = a1(a2)j = −β(a2j),となるようにしておく。

定義 9.12. 写像Dj : H

r(G;Fp) −→ Hpr−j(Z/p×G;Fp)

を次の関係式が成立するように、定める。即ち x ∈ Hr(G;Fp)に対し、

NG→Z/p×G(x) =∑j=0

aj ⊗Dj(x)

∈ Hpr(Z/p×G;Fp) =⊕j=0

Hj(Z/p;Fp)⊗Hpr−j(G;Fp).

注意 9.13. ここで、実はこの定義では、G ⊂ Z/p×Gをどの cosetに取るかで、Djの符号がずれる。それは [Ben, §4.5]で議論されている。

すると以下の様にコホモロジー作用素が簡単に定義できる。

定義 9.14. p = 2の時、x ∈ Hr(G;F2)に対し、Sqi(x) = Dr−i(x) ∈ Hr+i(G;F2)と定める。これを平方作用素という。pが奇素数の時、x ∈ Hr(G;Fp)に対し、

P i(x) := (−1)i+r(p−1)(r+1)/4(p− 1

2)−rD(p−1)(r−2i)(x) ∈ Hr+2(p−1)i(G;Fp)

を定める。 これを被約べき作用素という。

この作用素は次に書いた様な公理を満たす (その証明は [Ben, 4.5節]に書いてある)

定義 9.15. pを奇素数とする。Steenrodの意味の作用とは、任意の群Gと自然数 i ∈ N≥0に対し定まる、自然な準同型

P i : Hs(G;Fp) −→ Hs+2i(p−1)(G;Fp)

であって、次の５つを満たすことを言う。(1) P0(x) = x. つまりP0は恒等写像.

(2) x ∈ H2k(G;Fp)に対し、Pk(x) = xp (p重カップ積).

(3) x ∈ Hq(X;Fp)かつ q < 2kに対し、Pk(x) = 0.

(4) (カルタン公式) x, y ∈ H∗(X;Fp)に対し、Pk(x y) =∑

i=0P i(x) Pk−i(y).

62

最後に、Steenrod作用素についてのコメントを幾つかし、本節を終える。• 群コホモロジー上の Steenrod作用素を具体的に記述するとなると、複雑である。例えば、p = 2に関しては [AM]に幾つか例があるが、その複雑さの様相が見る事ができる。•被約べき作用素は、対称群のコホモロジーが本質である事が知られている。実際 [Naka,

May2]などを参照の事。（巡回群のコホモロジーに帰着させた記述は [中岡 1, Hat]もある）• LHSスペクトル系列と Steenrod作用素との関係も大事である。[Ben, 節 4.8]や工藤の定理 [McC, §6.2]などを見よ。

10 冪零群と高次マッセイ積.

この節では高次マッセイ積と、その関連の話を述べる。マッセイ積とは大雑把には、カップ積の高次版であり、冪零的な情報ともいえる。ただしその定義や条件が煩雑な感があるため、10.1節で３次のものから例示し説明する。しかし一旦定義すれば、自由群の降中心列との相性が良いことが観察できる (10.3節). また, その後の小節では 幾らかの応用を見ていく。

10.1 三重マッセイ積.

まず簡単な導入として、3次として三重マッセイ積を説明しよう。まず入力物として、a ∈ Hp(G;A), b ∈ Hq(G;A), c ∈ Hr(G;A),という元が a b = b c = 0を満たしたとする。すると、定義より ∃s ∈ Cp+q−1(G,A), t ∈ Cq+r−1(G,A), で

δ∗(s) = (−1)1+pab, δ∗(t) = (−1)1+qbc (37)

となる。そこで (−1)p+qs c+ (−1)1+pa tを考える。これはコサイクルである、実際

δ∗((−1)p+qs c+ (−1)pa t) = (−1)p+qδ∗s c+ (−1)1+pa δ∗t

= (−1)p+q(a b c− a b c) = 0.

そこで a, b, cの (三重)マッセイ積, ⟨[a], [b], [c]⟩, とは次の集合として定義される：

(−1)p+qs c− (−1)pa t | s, tは (37)の条件をみたす。 ⊂ Hp+q+r−1(G;A).

一般に、この集合は 1点ではない (その際は扱いが大変である). しかし良い条件などが重なると (例えば補題 10.4), マッセイ積は唯一定まる。例を挙げよう。

例 10.1. ある冪零群上でマッセイ積を書いてみよう。Xを有限体Fqとし、元ω ∈ F×q を固定する。Z上テンソルX⊗ZXを置き、準同型µX : X⊗X → X⊗XをµX(x⊗y) = x⊗y−ωy⊗xで定義する： さらに直積G = X × Coker(µX)に群構造を次で入れる：

(a, κ) · (b, ν) = (a+ b, κ+ ν + [a⊗ b]). (38)

この群は二階の冪零群である。次に pのべき乗 qiに対し、加法準同型

f qi : X × Coker(µX) −→ Fq; (x, a⊗ b) 7−→ xqi ,

63

を 1-コサイクルと思う。直積の元 (X×Coker(µX))2を ((x, a⊗ b), (y, c⊗d))と書くとする。

すると、f q3 f q1 = f q1 f q2 = 0が確かめられる。実際、

xq3yq1 = (1− ω)−q1δ1(aq1bq3 + ωq1aq3bq1 − xq1+q3),

xq1yq2 = (1− ω)−q2δ1(ωq2aq1bq2 + aq2bq1 − xq1+q2).

従ってマッセイ積は定義より、⟨f q3 , f q1 , f q2⟩が次で代表される：

(1− ω)−q1(aq1bq3 + ωq1aq3bq1 − xq1+q3)yq2 + (1− ω)−q2xq3(ωq2cq1dq2 + cq2dq1 − yq1+q2).

また, ⟨f q3 , f q1 , f q2⟩はこれのみで一意であることが確かめられる (下の補題 10.4より).

このように、具体的な群でもマッセイ積を記述しようとすると、大変複雑な形になる (これでも簡単な方だが・・).

例 10.2. 事実： Gを位数 p3とすると、群コホモロジーH∗(G;Fp)はマッセイ積で書ける元たちで生成される。しかしGを位数 p4ともなると、H∗(G;Fp)はマッセイ積だけで書ききれない。

10.2 復習：高次マッセイ積.

トリプルでも大変だったが、高次化を考えよう。一般の定式の前に、４次を粗く述べる。仮定として、⟨[u], [v], [w]⟩ と ⟨[v], [w], [x]⟩とが消えていた場合を考える。次が成立する。

∃Y1, δY1 = (−1)degt0t0 v + (−1)deguu t1,

∃Y2, δY2 = (−1)degt1t1 w + (−1)degvv t2,

ここで δt0 = (−1)deguu v,と δt1 = (−1)degvv wと δt2 = (−1)degww xとを満たす様にとる。すると次の様なコサイクルが定義できる：

(−1)deguu Y2 + (−1)degt0t0 t1 + (−1)degY1Y1 x.

これも Y1, Y2の取り方に依るが、４次のマッセイ積の定義である。４次の場合でもこう煩雑であった。高次はもっと複雑な為、簡単のためH1のみで定義する。雰囲気だけ掴んで頂ければと思う。以下Cn(G;A)を群Gの余群複体とする。１コサイクル達 γi ∈ H1(G;A)が与えられたとする。その defining systemとは、1 ≤

s ≤ t ≤ nかつ (s, t) = (1, n)なる添字 (s, t)に対する元 as,t ∈ C1(G;A)のことで次を満たすものである：

• もし s = tなら、as,sは γs ∈ H1(G;A)の代表元である。

• 等式 δ∗1(as,t) =∑t−1

r=s as,r ar+1,tを満たす。

その様な defining systemが与えられた時、次の表示の２コサイクルが得られる：∑r: 1≤r≤n−1

a1,r ar+1,n ∈ C2(G;A). (39)

これを n-重マッセイ積と呼び, ⟨γ1, γ2, . . . , γn⟩とかく。マッセイ積の諸性質は [McC, 8章]

を参照の事。

64

例 10.3 (４重). 上で例示した４重の場合を行列で書いて説明しよう。⟨[u], [v], [w]⟩と ⟨[v], [w], [x]⟩との情報は次で書ける。 a11 a12

a22 a23

a33

=

u t0

v t1

w

, δ∗

u t0

v t1

w

=

−u v

−v w

.

右上に Y1と Y2を置くと、次の行列演算の (1,3)成分がマッセイ積だと確かめられる。 u t0 Y1

v t1

w

v t1 Y2

w t2

x

=

u v u t1 + t0 w Y1 x+ t0 t1 + u Y2

v w w t1 + t2 x

w x

.

とはいえ、低次の場合と同様に、一般にはマッセイ積はH2(G;A)で、defining systemの取り方に依って、一意ではない。しかし次の条件があれば一意である。

補題 10.4. m < nに対しすべてのm-重マッセイ積が全てH2の中で０のとき、n重マッセイ積のコホモロジー類は γのみに依存する。

Proof. 別の defining system a′p,qがあったとしよう。bp,qを ap,q − a′p,qとすると、定義より、1-cocyle となる。よって二つのマッセイ積の差は

n−1∑r=1

(a1,r + b1,r) (ar+1,n + br+1,n)− a1,r ar+1,n = a1,1 b2,n

+b1,n−1 an,n +n−1∑r=1

b1,r br+1,n +n−1∑r=2

(a1,r br+1,n + b1,r ar+1,n).

となる。最初の 3項はカップ積である、つまり０である。また最後の和の項は、よくよく見ると、低次マッセイ積である。よって、仮定よりコホモロガスを除き一意性が言えた。

以上の様に、マッセイ積は釈然としない代数的な定義である。色々な解釈があるが、本授業では次の考え方で用いる。即ち、もし defining system ap,qや低次マッセイ積が良く分かる場合、 マッセイ積は２コサイクルの表示を得るための良い生産様式である、と.

10.3 自由群の冪零商の場合.

自由群の冪零商でのマッセイ積が重要な役割を成す。それを言及したい。まず、その冪零商について復習する。F を階数 qの自由群とする。降中心列 Fkを, 交換子を用いて、F1 := F, F2 := [F, F ], . . . , Fk := [Fk−1, F ] という風に、帰納的に定義する。すると次の中心拡大を得る：

0 −→ Fk−1/Fk −→ F/Fkpk−1−−−−−→ F/Fk−1 −→ 0 (中心拡大). (40)

とはいえ、F/Fkは定量的に良く分かりづらい. そこで、6.2節のマグナス展開を復習する。まずZ⟨X1, . . . , Xq⟩を X1, . . . , Xqで生成される非可換多項式環とし、Jkを次数≥ kなる多項式で生成される両側イデアルとする。そこでマグナス展開とは次式で定義される準同型Mk : F → Z⟨X1, . . . , Xq⟩/Jkで定義されるのだった。

Mk(xi) = 1 +Xi, Mk(x−1i ) = 1−Xi +X2

i + · · ·+ (−1)k−1Xk−1i . (41)

65

元 g ∈ F が長さ kの交換子で書けるとき、Mk(g) = 0であったから、単射な誘導射F/Fk →Z⟨X1, . . . , Xq⟩/Jkを得る。次に、中心Fk−1/Fkの基底に関し言及する。それは自由加群であり、さらにHall基底という基底まで知られている。ここではマグナス展開による基底の表示を (結果だけ)紹介する[CFL]。その為に、列の集合

∪∞s=11, 2, . . . , qsに辞書的順序を入れる。列 I = i1i2 · · · ikが

標準であるとは、全ての 2 ≤ s ≤ kに対し不等式 I < isis+1 · · · ikが成立つ時をいう ([CFL]

に他の同値な定義がある). 長さ kの標準な列の集合を Ukとかく。

定理 10.5 ([CFL, 定理 3.5 & 3.9]). この位数 |Uk|は Fk/Fk+1の階数と等しい ([Hall]の結果).

さらに aXi1 · · ·Xik | a ∈ Z, i1 · · · ik ∈ Uk で生成される Z部分加群 U を考える。π : Z⟨X1, . . . , Xq⟩/Jk+1 → Uを射影とする。このとき、合成πMkは加群同型Fk/Fk+1

∼= U

を与える。

系 10.6. H2(F/Fk;Z) = rank(Fk/Fk+1) = |Uk|. ∵例 5.7.

次に、F/Fmのコホモロジーについて説明する。すると、1 ≤ t ≤ qに対して、写像

αt : F/FkAbel 化−−−→ Zq

t 番目射影−−−→ Z

を考える。αtは 1-コサイクルである。そうなると長さ k-列 I = (j1, . . . , jk) ∈ 1, 2, . . . , qk

に対して、コサイクルらαj1 , . . . , αjkを得る。さらに 1 ≤ s ≤ t ≤ kに対し、XisXis+1 · · ·Xit

の係数を, 次の線形写像として考えよう：

βis···it : Z⟨X1, . . . , Xq⟩ −→ Z;∑

aj1...jaXj1 · · ·Xja 7−→ ais...,it . (42)

そして合成 βis···it Mkを cis···itとかこう (今後良く使う).

補題 10.7. 1-コチェイン as,t : F → Zをその合成射 cis···itとする。この時、(as,t)は defining

systemである。特に、それに付随するマッセイ積は次のコサイクルでかける。

F/Fk × F/Fk −→ Z; (x, y) 7−→∑

ℓ: 1≤ℓ≤k−1

ci1i2···iℓ(x)ciℓ+1···ik(y).

Proof. 非可換多項式環の積の定義を書き下せば、定義どおり解る。

すると、上記の２次コホモロジーについてマッセイ積で記述される：

定理 10.8. マッセイ積 ⟨αi1 , . . . , αik⟩を, 添え字 i1 · · · ikはスタンダードな列すべてに対し、考える。このマッセイ積らは、2次コホモロジーH2(F/Fk) ∼= ZNk の基底を与える。

Proof. k = 2は定理 8.12から明らかより、kの帰納法で示す。先ず, 注意する事に、定義の(ii)と (42)から、全ての低次マッセイ積は 0である (実際、上記の ap,qが coboundaryを与える). よってマッセイ積 ⟨αi1 , . . . , αik⟩は一意に決まる。次に、Sを和

∑i1···ik∈Uk

ci1···ikとする。つまり、S := ⊕I∈UkcI : Fk/Fk+1 → ZNkを考える。

上記の定理 10.5より、和 Sは同型である。従って、付随する中心拡大群の二項演算は次となる

(g, α) · (h, β) =(gh,S−1

( ⊕i1···ik∈Uk

ci1i2···ik(α + β) +∑

ℓ: 1≤ℓ<k

ci1i2···iℓ(g)ciℓ+1···ik(h)))

(43)

66

ここで g, h ∈ F/Fkで α, β ∈ Fk/Fk+1としている。ここで部分列 i1i2 . . . iℓと iℓ+1 · · · ikもまた標準である事にも注意しておく。しかるに、マグナス展開より、この群は F/Fkの付随する群と自然に一致する。よって、H2と中心拡大の対応 (定理 2.6)より、非自明なコホモロジーの生成元を与える。

ちなみに 3次ホモロジーH3(F/Fk) ∼= ⊕2k−2i=k ZqNi−Ni+1は [IO]で計算されている。

10.4 関係子とマッセイ積 (Fenn-Sjerveの定理)

[FS]の定理を紹介し、マッセイ積がどう役立つかを説明する。次の様な設定を考えよう。k ≥ 3とする。またW1, . . . ,Wtを k次交換子群Fkに入る語とし、R ⊂ F をW1, . . . ,WtとFk+1で生成される正規部分群とする。そこで群Gを商F/Rとする。ここでH1(F ) ∼= H1(G)だから、1-コサイクルαj : F → Zは1-コサイクルαj : G→ Zを誘導する (∀j ≤ q.)

次に、定理 10.9を述べる。射影 p : G→ F/Fkをおく。するとHopfの定理より、次の同型が得られるのだった:

H2(G) ∼= (R ∩ [F, F ])/[F,R], H2(F/Fk) ∼= (Fk ∩ F2)/[F, Fk] = Fk/Fk+1.

Wj ∈ R ∩ [F, F ]だから、p∗(Wj) ∈ F/Fk+1をWjとかき、F/Fkの 2-サイクルとみなそう。

定理 10.9 ([FS]). 仮定としてW1, . . . ,Wtは Fkに入るとする (そうではない場合はRの元でずらせばよい).

すると任意の ℓ < kに対し、ℓ-次マッセイ積 ⟨αi1 , . . . , αiℓ⟩は消える。他方で長さ kのマッセイ積は定義され、次の公式で Wjは特徴づけられる：∑

j1,...,jk

[⟨αj1 , . . . , αjk⟩,Wj ]Xj1 · · ·Xjk =Mk+1(Wj) ∈Mk+1(Fk/Fk+1). (44)

ここで左辺の括弧 [, ]はH2(G;Z)とH2(G;Z)のクロネッカー積である。

補題 10.10. 標準列 I = i1 · · · ik ∈ Uk とマッセイ積 ⟨αi1 , . . . , αik⟩を用意する。上の同型H2(F/Fk) ∼= Fk/Fk+1 を通じて、クロネッカー積 [⟨αj1 , . . . , αjk⟩, •] : H2(F/Fk) → Z はci1···ik : Fk/Fk+1 → Zと一致する。

Proof. 注意 5.5で説明したように、対応 (g, h) 7→ s(g)s(h)s(gh)−1 が同型 H2(F/Fk) →Fk/Fk+1 を誘導する為あった。ここで定理 10.8の証明につかった sを取れば、マッセイ積の表示 (補題 10.7)と (43)を比較すれば、欲しい一致性が示される。

定理 10.9の証明. 標準な添字 I = i1 · · · ik ∈ Uk に対し、語 WI ∈ Fk/Fk+1 を, ZNk ∼=Fk/Fk+1 の i1 · · · ik-次直和因子の生成元に対応する語とする。（なお [CFL, §2]では、この語WI は標準交換子と呼ばれ、定義が厳密にされている。)

定理 10.8によれば、Mk+1(WI)のXj1 · · ·Xjk-係数は [⟨αj1 , . . . , αjk⟩,WI ]とも等しい。この係数は、どの標準列 j1 · · · jkに対して、δi1,j1 · · · δik,jk ∈ 0, 1である。他方で、補題 10.10

によれば、要約すると、もしGがF/⟨Fk+1,WI⟩と表示されたとき、等式 (44)は示された。証明を完結させよう。Fk/Fk+1は可換のため、aI ∈ Zが一意的にあってp∗(Wj)を

∏I∈Uk

(WI)aI

と展開できる。よって前半の議論より、等式 (44)は Xj1 · · ·Xjk-係数で成立する (ここでj1 · · · jkは標準列とする). 他の係数は、そのようなXj1 · · ·Xjk-係数の線形和である為、我々は等式 (44) ∈Mk+1(Fk/Fk+1)を示したことになる

67

注意 10.11. 次小節の前に、一つ注意事項. 4.3節の様に、連結なCW複体Xで π1(X) ∼= G

とし、分類写像 c : X → K(G, 1)をとる。4.3節よりH∗(K(G, 1);Z) ∼= H∗(G)だったから、2-サイクルらXj ∈ H2(X)は c∗(Xj) = [Wj]に同一視される。π1(X) ∼= Gだから、1-コサイクル αj はH1(X;Z)の 1コサイクルとみなすと、ペアリング [c∗⟨αj1 , . . . , αjk⟩,Xj ]は (44)

の右辺と等価である。結論を述べるとH2(X;Z)のマッセイ積は、群コホモロジー上で考えても良い事になる。

10.5 ミルナー不変量とマッセイ積

次にミルナー不変量がマッセイ積に等価である事を証明する。(Porter [Po]とTuraev [Tu]

の独立の結果). 簡単のために、最低次のミルナー不変量しか示さない (だが高次版もアイディアは同じである).

定理を述べるために、ミルナー不変量を復習しよう。5.1節の様に、Nを閉 3次元多様体でH∗(N ;Z) ∼= H∗(S

3;Z)とする。そして q-成分の埋込L : ⊔qS1 ⊂ Nに対しH1(N \L;Z) ∼= Zq

に注意しておく。αj : π1(N \ L;Z)→ Zをアーベル化の j-番目射影とし、緯線と経線を固定する： (mℓ, lℓ), ここで ℓ ≤ qとし lℓは αℓ(lℓ) = 0とする 20. この時、定理 5.14より冪零商 π1(N \ L)/π1(N \ L)mは次の群表示を持つからあった: ,⟨

x1, . . . , xq∣∣ [xℓ, w

(m)ℓ ] = 1 for ℓ ≤ q, Fm

⟩. (45)

簡単のため次の仮定を置く。つまり、或る最小の k ∈ Zでw(m)j がFkの中で自明元と仮定す

る（ここで ∀m ≤ k), つまり、w(m)j ∈ Fm. これを仮定Akと呼ぼう。この語w

(k)ℓ をF/Fk+1

とみなした時、次の値に注目しよう。

Mk+1(w(k)ℓ ) ∈ Z⟨X1, . . . , Xq⟩/Jk+1.

すると、Mk+1(w(k)ℓ )のXi1 · · ·Xik 係数は、k-次ミルナー µ-不変量と呼ばれ、µ(i1 · · · ik; ℓ)

と表記される。

定理 10.12 ([Tu][Po]). 仮定Akを満たすとする。２サイクル [lℓ] ∈ H2(M\L;Z)を ℓ-番緯線 lℓ

の対応元とする。任意の添字I = i1i2 · · · ikに対し、(k+1)-次マッセイ積 ⟨αi1 , . . . , αik−1, αik , αℓ⟩

は一意的に定義され、次の等式を満たす:

µ(i1 · · · ik; ℓ) = ⟨ ⟨αi1 , . . . , αik−1, αik , αℓ⟩, [lℓ]⟩ ∈ Z. (46)

Proof. Gを π1(N \L)として、分類写像 C : N \L→ BGを注意 10.11の通りにおく。押出C∗([lℓ])は 関係子 [mℓ, lℓ]に対応している事を示そう。まず気づくことに、ℓ-番目トーラス境界 ∂ℓ(M \L)はK(Z2, 1)-空間で、例 6.15よりH2(∂ℓ(M \L)) ∼= Zの生成元が [mℓ, lℓ]に対応する。入射 ∂ℓ(N \L)→ N \Lと分類写像 Cによる押出を考えれば欲しい対応が得られた。今から、証明を終わらす。また仮定より、w(k)

ℓ をF/Fkに射影すると消える為、w(k)ℓ ∈ Fk

である。よって [xℓ, w(k+1)ℓ ] ∈ Fk+1である。特に、長さ k+1の ⟨αi1 , . . . , αik , αℓ⟩は一意的に

決まる (∵補題 10.4). また前段落より、射影 p : G→ G/Gk+1によって押出 (p C)∗([lℓ])が語 [xℓ, w

(k+1)ℓ ]に対応付けられる。そこでFenn-Sjerveの定理 10.9のいう事は、 (46)の右辺

がM([xℓ, w(k+1)ℓ ])のXi1 · · ·XikXℓ-係数を意味する。他方で、Mk+2(xℓw

(k+1)ℓ x−1ℓ (w

(k+1)ℓ )−1)

の直接計算より、その係数はMk+1(w(k)ℓ )のXi1 · · ·Xik-係数に等しい。つまり µ(i1 · · · ik; ℓ)

と等しい。これは当初の目標だった。20この条件 αℓ(lℓ) = 0 を preffered という。

68

10.6 Johnson準同型と マッセイ積

写像類群のジョンソン準同型に焦点を当てる。まず, 用語を確定しておこう。q = 2gとする。Σg,rをコンパクト有向曲面で種数が g, 境界が r個とする。Γg,1をΣg,1の向きを保つ同相写像のイソトピー類の集合とする。そこには自然に群構造が入り、 Γg,1を写像類群と呼ぶ。この時、Γg,1から F = π1(Σg,1)への作用が考えられるが、これを準同型 Γg,1 → Aut(F )とみなそう。これを Fkで割って、

ρk : Γg,1 → Aut(F/Fk)

をも考えよう。この核Ker(ρk)を T (k)と書かれ、フィルトレーション

Γg,1 ⊃ T (2) ⊃ T (3) ⊃ · · · .

を得る。なお ∩∞i=2T (k) = 0が知られている。次に、(47)を復習する。任意の元 f ∈ T (k)を固定する。さらに [γ] ∈ H1(Σg,1) = F/F2

に対し、代表元 γ ∈ π1(Σg,1)を選択しておこう。すると、f∗(γ)γ−1はFkに入る為、f∗からF/Fkへの採用は自明である (∵ f ∈ T (k)). すると、ジョンソン準同型とは次の写像として定義される：

τk : T (k) −→ Hom(H1(Σg,1), Fk/Fk+1)； [f ] 7−→ ([γ] 7→ [f∗(γ)γ−1]). (47)

τkがwell-definedで準同型である事が知られている ([Joh, Ki]参照).

次に、f ∈ T (k)の写像トーラス Tf,1を考える (但し k ≥ 2). ここで Tf,1 とはΣg,1 × [0, 1]

の商空間で同値関係 (y, 0) ∼ (f(y), 1) for any y ∈ Σg,1 で割ったものである (図 9参照).

f ∈ T (k)より、H∗(Tf,1) ∼= H∗(Σg,1 × S1)である。さらに、自由群 F = π1(Σg,1)の基底x1, . . . , x2gも固定する。すると、von-Kampenの定理より、次の群表示を得る：

π1(Tf,1) ∼= ⟨x1, . . . , x2g, γ | [x1, γ]f∗(x1)x−11 , . . . , [x2g, γ]f∗(x2g)x

−12g ⟩.

ここで、γは π1(S1) ∼= Zの生成元である。Tf,1は定義より S1上のΣg,1-束のため、長ホモ

トピー完全列よりK(π, 1)-空間である。よって、H∗(π1(Tf,1)) ∼= H∗(Tf,1) ∼= H∗(Σg,1 × S1).

さらにHopfの定理より、関係子

[x1, γ]f∗(x1)x−11 , . . . , [x2g, γ]f∗(x2g)x

−12g

は基底 X1, . . . ,X2g ⊂ H2(Tf,1) ∼= Z2gの代表元でもある。さて命題 10.13を記すために、用語をさらに準備する。境界 ∂Tf,1はトーラス ∂Σg,1 × S1

だから、T γf を ∂Tf,1 ≃ ∂Σg,1 × S1にソリッドトーラス S1 ×D2を貼りつけた空間として定義しよう (この T γf はDehn filling along a curve on ∂Tf,1と呼ばれる). 入射 Tf,1 → T γfを ιγ と書けば、ホモロジーH2(T

γf ;Z) ∼= H1(T γf ;Z) ∼= Z2gは押出 ιγ∗(X1), . . . , ι

γ∗(X2g)で

張られる。さらに von-Kampenの定理より、π1(Tγf )の群表示を次で表される：

π1(Tγf )∼= ⟨ x1, . . . , x2g | f∗(x1)x−11 , . . . , f∗(x2g)x

−12g ⟩. (48)

命題 10.13 (cf. [Ki]). X1, . . . ,X2gをH2(Tf,1)の基底とし、ιγ : Tf,1 → T γf を上記の入射とする。さらに x∗j : π1(T

γf )→ Zを, xiが δj,iに送られる 1-コサイクルとする。τ ′k : T (k)→

Hom(H1(Σg,1), M(Fk/Fk+1))を, 次で定める準同型 τ ′k(f)で定める。

τ ′k(f)　：xi 7−→∑j1,...,jk

[⟨x∗j1 , . . . , x∗jk⟩, ιγ∗(Xi) ]Xj1 · · ·Xjk . (49)

69

f で捻る f で捻る

図 9: 左図は Tf,1である (鼠色部分は Σg,1× (0, 1)). 右図は、その境界をソリッドトーラスで埋めた T γf の図.

ここで外枠 [, ]はH2(Tf,1)とH2(Tf,1)とのペアリングである。この時、τ ′k(f)(xi)とM(τ ′k(f)(xi)

)とは等しい.

Proof. 上記の様に f∗(xi)x−1i ∈ Fkである ( ∵ f ∈ T (k)). すると主張は Fenn-Sjerveの定理

10.9にWj = f∗(xj)x−1j と t = 2gを代入すれば直接得られる。

これで次の有名な事実も示せる。

系 10.14. f ∈ T (k)とする。この時、f ∈ T (k + 1)と ∀m ≤ kで τm(f) = 0とは同値である。

Proof. k = 1の時は、交叉形式とカップ積の関係を, (47)の像を通じて見ればわかる。kの帰納法で示す。τm(f) = 0はm以下の次数の全てのマッセイ積が消えていることになる。特に、定理 10.8から f∗(γ)の Fk/Fk+1制限は０である。仮定より ρk(f) : F/Fk → F/Fkは恒等射である為、F/Fk+1上でも恒等になる。この議論は逆方向にも成立する為、欲しい同値が示せた。

10.7 Lie代数のコホモロジーとの関連

以上の節から察せられる通りマッセイ積はべき零群との相性が良い。この節では、Gが捩れのない有限生成べき零群に関して、有理係数の群コホモロジーが Lie代数コホモロジーとして書け（Pickel同型）、マッセイ積が Lie括弧に対応する事を見る。この節は証明なしの概論である。まず用語を準備しよう。べき零群Gが捩れのない有限生成とは、任意の q ∈ Nに対し、商Gq/Gq+1が捩れのない有限生成アーベル群となる事をいう。ϵ : Q[G]→ Qを添加写像とし、IをイデアルKer(ϵ)とする。この時 Q[G]を逆極限 lim←kQ[G]/Ikとする。∆ : Q[G]→Q[G]⊗Q[G]; g 7→ 1⊗ g + g ⊗ 1で定まる余積とする。その Q[G]への拡張を ∆と書く。そして次の集合を考えよう：

m(G) := x ∈ Q[G] | ∆(x) = x⊗ x .

ここには [x, y] := xy − yxにより Lie代数構造が入る。一般にQ上 Lie代数Lが与えられた時、Lieコホモロジーを復習しよう ([Wei, 7章]は良い入門である）。T (L) := ⊕i≥0T⊗iをテンソル代数とする。普遍包絡環 U(L)とは商代数T (L)/I の事で、I とは x ⊗ y − y ⊗ x − [x, y]で生成する両側イデアルである (x, y ∈ L)。例えば、QuillenによってL = m(G)の時、代数同型U(m(G)) ∼= Q[G]が知られている。右U(L)加群M が与えられた時、Cn(L;M)をHomQ(

∧n(L),M)と定める。ここで∧n(L)は

n次外積テンソルである。そして境界準同型を

(∂nf)(g1 ∧ · · · ∧ gn+1) :=n+1∑i=1

(−1)igif(g1 ∧ · · · gi · · · ∧ gn+1)

70

+∑i<j

(−1)i+jf([gi, gj] ∧ g1 ∧ · · · gi · · · gj · · · ∧ gn+1).

∂n+1 ∂n = 0が確かめられ、そのコホモロジーをH∗Lie(L;M)と書く。用語が準備できたから、Pickel 同型を紹介しよう：

定理 10.15 ([Pickel]). Gを捩れのない有限生成べき零群とし、L = m(G)とする。この時、以下の同型がある：

Hn(G;M) ∼= HnLie(m(G);M) (M は任意の左Q[G]加群).

なお、SuslinとWodzicki[SW, §5]ではその同型写像が具体的に構成されている。マッセイ積の対応は以下の通りである（後日追加?）。補足： [Mass, §1]では、３次 LieホモロジーをL-値ツリーグラフからの研究法が述べられている。

11 スペクトル系列

スペクトル系列は代数トポロジーでは有用な技術である。群コホモロジーでも大事である。11.1節で大まかなスペクトル系列の説明をし、11.2節で Lyndon-Hochshild-Serreスペクトル系列を説明する。その後は応用例である

11.1 スペクトル系列の大まかな説明

まず、体上のスペクトル系列の定義だけ述べておく (一般論はややこしいため [McC, FF,

信州]参照). 但し、非常に簡単にする為、ベクトル空間の設定で考える。

定義 11.1. kを体とする。(i) (k上の右上コホモロジー)スペクトル系列 (Er, dr)とは次の３つのデータである。

• ３つ添え字 r ∈ N, (p, q) ∈ Z2に対し、k-空間 Erp,q が定まる。ただし、p < 0または

q < 0, のときErp,q = 0とする。

• rに対し、準同型 dr : Erp,q → Er

p+r,q−r+1があり、dr dr = 0が成り立つ。

• (次の次数 rとの関係) さらに、同型Er+1p,q∼= Ker(dr:Er

p,q→Erp+r,q−r+1)

Im(dr: Erp−r,q+r−1→Er

p,q)が成立つ。

(ii) r ∈ Nに対し、スペクトル系列が r次で潰れるとは、∀m ≥ rで、準同型 dm : Emp,q →

Emp+m,q−m+1が全て０写像の時をいう。この時、E

r = E∞と書く。

(iii) j ∈ Nに対し、E∞j という加群が定まったとする。このスペクトル系列が E∞に収束するとは、同型E∞j

∼=⊕

s+t=j limr Erp,qが成立する事である。さらに、もしE2

p,qとE∞j がよくわかる加群Ap,qとBjとなる時、次の様に書く。

Epq2∼= Ap,q =⇒ Bp+q.

注意 11.2. limr Erp,qと書いたが、rを大きくすれば (p, q) ∈ Z2に対し、一意に定まる。実

際、r > 2 + max(p, q)とすれば、dr = 0だから、Erp,q∼= Er+1

p,q∼= · · · が成立するため.

スペクトル系列の記法として次が標準である。まず rに対して、st-座標を書き、各 s, tに対し、(s, t)上に加群Er

s,tを載せる (Ers,t = 0の時は書かない). そして必要な drのみ記載す

る (下図参照)

71

t t t t

s s s s

· · ·

E1頁 E2頁 E3頁 E∞頁

d1 d2d3

他にも述べないといけないことが多い。リストを書くと、

• drのライプニッツ則. • E∞p,qでの収束性と拡大問題. • 入射と懸垂射と drとの関係.

• Steenrod作用と微分の可換性. • 工藤の定理. • Mayの triple coupling • 体上ではない Extension問題の解決法. • ホモロジースペクトル系列.

これらの一般論を書くと長文になる為、[McC, Wei]などを参考にしてほしい。計算例や応用例は、[Bott-Tu]や [FF]が良い。また信州春の学校の資料 [信州]も良い文献である。

11.2 群コホモロジーで使われるスペクトル系列

群コホモロジー理論では、Lyndon-Hochshild-Serreスペクトル系列が良く使われる。そのスペクトル系列とは、大雑把には、任意の群拡大

0 −→ K −→ G −→ G/K −→ 0

と任意の左G加群Aに対して、次を満たすスペクトル系列である。

E2pq = Hp(G/K;Hq(K;A)) =⇒ Hp+q(G;A),

Epq2 = Hp(G/K;Hq(K;A)) =⇒ Hp+q(G;A).

このスペクトル系列の意義とは、要するに、Hp(G/K)とHq(K;A)とHp+q(G;A)の３つのうち２つが良く分かっているときに、残りのうち一つが計算できるかもしれない、という計算道具である。但し、GとKの非可換性が強まるとほとんどの場合、 上手くいかない (但しメタアーベル群では [Hue, Q]の様にうまくいく). 実際 (中心拡大以外だと), E2項すらほぼ解らないし、drも extension問題も絶望的である。とはいえ、LHSスペクトル系列から簡単に得られ、知っておきたい例を列挙しておこう。

例 11.3 (Gysin系列). K = ZでKがGの中心に入る時、次を得る：

· · · → Hn(G;A)coinf−→ Hn(G/K;AN)

S−→ Hn−2(G/K;A)G/N → Hn−1(G;A)→ · · · .

例えば、Z ⋊ Z2という無限二面体群D∞の答えは次になる：

Hn(D∞;Z) ∼=

Z もし n = 0

Z/2⊕ Z/2 もし n = 1, 3, 5, 7, . . .

0 もし n = 2, 4, 6, 8, . . .

.

例 11.4 (５系列). ５完全列も一瞬で示される (定理 5.1で指摘した).

例 11.5. Anを交代群とすると、An ◁Sn →→ Z/2より、H∗(An;F2)がH∗(Sn;F2)より計算できる。

72

LHSスペクトル系列の他にも使えるスペクトル系列が幾つかある：

例 11.6. Quillen[Q]（[Ben, 5.5節]も参照）が次の拡大群のコホモロジーを, “Eilenberg-

Mooreスペクトル系列”を用いて計算しきっている 21:

0→ Z/2 −→ N −→ (Z/2)r −→ 0.

他に、Leary-Serreスペクトル系列や、Mayスペクトル系列 ([McC])も知っていると良い.

11.3 二重複体とハイパーホモロジーの概略

ハイパーホモロジーに関して、主要な所だけ復習する。

定義 11.7 (二重複体). (1) 二重複体とは、次式を満たす, kベクトル空間たち Cp,qp,q∈Nと準同型 dh : Cp,q → Cp+1,q と dv : Cp,q → Cp,q+1との組をいう (但し、は合成が定義できる範囲に限っている).

dh dh = 0, dv dv = 0, dh dv + dv dh = 0.

(2) 二重複体の全複体とは、次で定める複体をいう。即ち、Tot(C)p := ⊕pi=0Ci,p−i とし、d := dh + dvとした。このホモロジーをH∗(Tor(C))と書く。

すると (良いフィルトレーションを見る事で、)次のスペクトル系列が簡単に得られる。

命題 11.8 ([Wei, §5]参照). kを標数 0であるか、大きなN があって ∀p, q > N でCp,q = 0

とする。この時. 次を満たすスペクトル系列がある。

E2pq = Hh

pHvq (C;M) =⇒ Hp+q(Tor(C)).

(なお非有界か標数０ではない場合は、lim1の問題が現れる。[Wei, §5.6]などを見よ。例えば、次の例がそうであろう)

例 11.9 (Kunnethの定理). この例では、単項イデアル整域R-係数を考える。群GとG′に対し、Cp,q := Cp(G;R)⊗Z Cq(G

′;R)を取り、dhはCp(G)の, dvはCp(G′)の境界準同型で

取ると、２重複体となる。収束先は、Kunnethの定理の左辺である：

Hn(G×G′;R) ∼=( ⊕n=p+q

Hp(G;R)⊗Hq(G′;R)

)⊕(( ⊕

n−1=p+q

TorR1 (Hp(G;R), Hq(G′;R)

)).

この様に、標数０ではない場合のずれはTorR1 に出ている。

例 11.10. もっと一般に係数変換のスペクトル系列というのもある ([Wei, Thm 5.6.6]参照)

さてハイパーホモロジーを定義する前に、用語を一つ準備する。

定義 11.11. A∗を複体とする。A∗の (左)Cartan-Eilenberg分解P∗,∗とは、射影加群のなす2重複体 Pp,q で、p < 0では Pp,q = 0であり、添加写像 ϵ : P∗,0 −→ A∗が次の 2つを満たすものをいう。

1. もしAp = 0の時、列 Pp∗は零である。

21スペクトル系列を使わない方法で [Ben, 5.5] に計算法が書いてある。

73

2. 次に示すバウンダリーとホモロジーでの誘導射は、射影分解を与える。

Bp(ϵ) : Bp(P, dh) −→ Bp(A), Hp(ϵ) : Hp(P, d

h) −→ Hp(A).

ここで、Bp(P, dh)は像 dh(Pp+1.q)で定義し、Hp(P, d

h)は Zp(P, dh)/Bp(P, d

h)で定義した。

補題 11.12 (証明は [Wei, §5.7]を参照). 任意の複体A∗に対し、Cartan-Eilenberg分解P∗,∗が存在する。

定義 11.13 (ハイパーホモロジー). F : A → Bを複体の圏の間の右完全関手とし、Bは逆極限で閉じて、Aは enough projectiveとする (つまり任意の対象に対し、射影的対象からepiが存在するとする). AをA内の複体とし、P → Aを (左)Cartan-Eilenberg分解とすると、LiF (A)をHiTor(F (P ))と定める。

補題 11.14. この定義は、P → Aの取り方に依らない。

例 11.15. (1) AがAの一つの対象の時 (つまり複体として一つのみ非零), LiF (A)は普通の導来関手 Li(F (A))である。(2) Ch≥0(A)を複体でAp = 0(p ≤ 0)となる複体の部分圏とする。関手Li(F )をCh≥0(A)に制限したものは、右完全関手H0(F )の左導来関手になる。

命題 11.16. 次の強収束するスペクトル系列はいつも存在する。

IIE2pq = (LpF )(Hq(A)) =⇒ Lp+q(F (A)).

さらにAが下に有界な複体の時、次の強収束するスペクトル系列は存在する。

IE2pq = Hp(LqF (A)) =⇒ Lp+q(F (A)).

11.4 G-同変ホモロジー

G-同変ホモロジーというテクニックがある為、それを紹介する。この小節は [Bro, VII.5

とVII.7]の紹介である (関心が無ければ読み飛ばして良い).

群ホモロジーH∗(G;M)を自由分解 F → Z[G]を持ってきて、 ホモロジーH∗(F ⊗GM)

として定義したのであった。ここではF を, 鎖複体C = (Cn)n≥0に置き換えて、考察する。即ち、次のホモロジーを考える：

H∗(G;C) := H∗(F ⊗G C).

F ⊗GCは (Fp⊗GCq)の成す二重複体の全複体であるため、二つのスペクトル系列が考えられる。まず一つ目は、E1

pq = Hq(Fp ⊗C∗) = Fp ⊗Hq(C)となるものである (ここで Fp ⊗−が完全関手である事を用いた). pに関してホモロジーを取る事で、次のスペクトル系列を得た事になる：

E2pq = Hp(G;Hq(C)) =⇒ Hp+q(G;C). (50)

もう一方のスペクトル系列はE1pq = Hq(F∗ ⊗ Cp) = Hq(G;Cp)であり、これはHp+q(G;C)

に収束する。即ち

E1pq = Hq(G;Cp) =⇒ Hp+q(G;C). (51)

さてH∗(G;C)になじむために、幾つか例を見よう：

74

例 11.17. Gが Cに自明に作用するとする。F ⊗G C = FG ⊗ Cである為、次の完全列がある：

0→⊕p+q=n

Hp(G)⊗Hq(C)→ Hn(G;C)→⊕

p+q=n−1

Tor(Hp(G)⊗Hq(C))→ 0.

例 11.18. 各CpがH∗-非輪状G-加群とする、つまりH∗(G;Cp) = H∗(pt)とする (例えば、CpがZ[G]自由加群の場合など). この時、(51)のスペクトル系列が、E1の q = 0の線上に並ぶため、E2項でつぶれ、よってH∗(G;C) = H∗(CG)を得る。よって次の命題を得た:

命題 11.19. C = Cpp≥0をG加群の鎖複体とし、各CpがH∗-非輪状とする。すると次の形をしたスペクトル系列が存在する：

E2pq = Hp(G;Hq(C)) =⇒ Hp+q(CG).

演習 11.20. 群拡大 1→ N → G→ Q→ 1に対し、M をG加群とし、F をZ[G]上の自由分解とする。C = F ⊗N M と置くことで、H∗-輪状性を確認し、Hochshild-Serreスペクトル系列を与えよ。([Bro, VII.6]と [Wei, 6.8節]に詳細あり)

以上の話を, 双対的に考えれば、コホモロジーでも同様な議論を得る。

もう少し実用的な話にする。X が CW複体とし、Gが胞体的に作用した状況を考える。M をG-加群とすると、C(X;M) = Ccell

∗ (X)⊗M に対角的に作用する為、ホモロジー

HG∗ (X;M) := H∗(G,C(X)⊗M)

が考えられ、これをG-同変ホモロジーという。

注意 11.21. (位相的解釈) EG×G Xを, EG×Xを関係 (gx, y) ∼ (x, gy)で割った商空間とする。この時、HG

∗ (X;M) ∼= H∗(EG×G X;M)である。

もしXが一点の時 (もっと一般に、H∗(X)が非輪状の時),同変ホモロジーは普通のH∗(G;M)

である。その為、H∗(G;M)→ H∗G(X;M)という自然な写像がある。他方で、スペクトル系列 (51)を考察する。Xの pセル σに対し、Gσ ⊂ Gを σの固定部分群とする。向きの指標 χσ : Gσ → ±1によって、ZをGσ-加群と見做せる。そこで

Mσ := Zσ ⊗M

を定め、Gσ加群とみなす。XpをXの pセルの集合とし、ΣpをXp/Gの代表元の集合とする。すると次の加法的分解

Ccellp (X;M) = Ccell

p (X)⊗M =⊕σ∈Xp

Mσ,

を得る為、分解Ccellp (X;M) ∼=

⊕σ∈Σp

IndGGσMσを得る。故にシャピロの補題より

Hq(G,Cp(X;M)) ∼=⊕σ∈Σp

Hq(Gσ;Mσ)

を得る。従って、スペクトル系列 (51)は次になる。

E1pq =

⊕σ∈Σp

Hq(Gσ;Mσ) =⇒ HGp+q(X;M).

75

注意 11.22. このスペクトル系列のE1項の微分 d1は具体的に書ける。実際、[Bro, 8. VII]

に詳しく書いてある。

例 11.23. もしGの作用が自由だとすると、各Gσ は一点となる。さらにM = Zとすれば、このスペクトル系列はE2でつぶれる。特に、HG

∗ (X) ∼= H∗(C(X)G) = H∗(X/G)となる。よって、一方のスペクトル系列 (50)は次となる。

E2pq = Hp(G;Hq(X;Z)) =⇒ HG

p+q(X/G;Z).

補足：この同変ホモロジーは、幾らか応用がある。例えば、固定点を調べる上で有用である。例えば、中岡「不動点定理とその周辺」や [Bro, VII. 10]なども参照の事。[Bro, 9.

VII]では融合積に関して例がある。コクセター群にも使える (らしい).

11.4.1 有限群のコホモロジーの有限生成性

最後に、G-同変コホモロジーの有限生成性に言及しておこう（但し、Serreスペクトル系列の知識は仮定する).

定理 11.24. Gを有限群, Rを可換ネター環で、G → U(n)を単射準同型とする。X がG

の作用するCW複体で、H∗(X;R)が有限生成R-加群とする。この時、同変コホモロジーH∗G(X;R)はH∗(BU(n);R)加群として有限生成である。

系 11.25. 群コホモロジーH∗(G;R)はH∗(BU(n);R)加群として有限生成である。(証明はXを一点とせよ)

定理 11.24の証明. 次の Serre fibrationを考える：

X −→ U(n)×G X −→ U(n)/G.

すると次を満たす Serreスペクトル系列を得る。

Epq2 = Hp(U(n)/G;Hq(X;R)) =⇒ Hp+q(U(n)×G X;R).

U(n)/Gは有限複体であるから、各Epq2 は有限生成R-加群である。この性質は商をとっても

保たれる為（∵ Rのネター性）、E∞の各項もそうなる。よって、Hp+q(U(n)×GX;R)は有限生成R加群でフィルターを許容する。仮定より、十分大きいmに対してHm(X;R) = 0

である為、そのフィルターは有限で閉じる。よってHp+q(U(n)×G X;R)は有限生成R加群である。さてホモトピー同値EU(n)×G X ≃ EG×G Xにより、次の二つの射影に気づこう：

EU(n)×G X ←− (EU(n)× EG)×G X −→ EG×G X.

（ホモトピー長完全列をみれば）この二つはホモトピー同値である。さらにEU(n)×G X = EU(n)×U(n) (U(n)×G X)であるから、H∗U(n)(U(n)×G X;R) =

H∗G(X;R)となる。ここでBorel構成からのスペクトル系列を考えよう：即ち fibration

U(n)×G X −→ EU(n)×G X −→ BU(n)

による Serreスペクトル系列を取る：

Epq2 = Hp(BU(n);Hq(U(n)×G X;R)) =⇒ Hp+q

U(n)(U(n)×G X;R) ∼= Hp+qG (X;R).

76

一点写像 U(n)×G X −→ ∗により次の可換図式を得る：

Hp(BU(n);Hq(∗;R))

=⇒ Hp+q(BU(n);R)

Hp(BU(n);Hq(U(n)×G X;R)) =⇒ Hp+q

G (X;R).

ここで上の右射は ∗ → U(n)→ U(n)により、下の右射は次から誘導される：

EU(n)×G U(n)×G X −→ EU(n)×U(n) ∗ ≃ BU(n).

従って、H∗G(X;R)は H∗(BU(n);R)-加群構造を持つ。左上の項 H∗(BU(n);H∗(∗;R))はH∗(BU(n);R)に同一視される為、左下の項はH∗(BU(n);R)加群構造を持つ。ここで有名な環同型H∗(BU(n);R) ∼= R[c1, . . . , cn]から、左下の項は次となる：

H∗(BU(n);H∗(U(n)×G X;R)) ∼= H∗(U(n)×G X;R)[c1, . . . , cn].

前段落よりH∗(U(n)×GX;R)は有限生成R-加群であったから、この右辺は有限生成R[c1, . . . , cn]-

加群となる。R[c1, . . . , cn]もネターである事に気づき、証明の一段落目と同じ議論を繰り返せば、Hp+q

G (X;R)は有限生成R[c1, . . . , cn]-加群となる事が解る。これは示したい事であった。

11.5 応用例１：Evens-Venkovと、Quillen-Venkovの定理

以下、応用例を述べる。その際に [McC, Wei]に書いてある基本的事実は既知とする。本小節では群は全て有限位数とする。次を証明しよう：

定理 11.26 (Evens-Venkov). 任意の素数 pに対し、有限群Gのコホモロジー環H∗(G;Fp)はネター環である。

補題 11.27. 有限 p-群Eのコホモロジー環H∗(E;Fp)はネター環である

Proof. |E| = pnとし nの帰納法で示そう。まずH∗(Z/p;Fp)は明らかにネター. 次に、p-群は冪零群より中心拡大Z/p→ E → Gがある。中心拡大より、局所系係数は自明である事に留意する。仮定より、H∗(G;Fp)はネターである。このLHSスペクトル系列のE2頁はネターであるから、Ep,q

r 頁 (r ≥ 2)はそうなる。よって後は主張「E2|E| = E∞」を示せれば、H∗(E;Fp)の任意のイデアルは有限生成となる事が帰納法より解る。主張を示す。入射 Z/p → E が誘導する単項表現 φ∗ : E → (Z/p)|G| ⋊ S|G| を考える

((36)に定義あり). φ∗(b ⊗ · · · ⊗ b)は非零である (∵定理 9.2 (N4)). また Z/pでの制限はb|G| ∈ H∗(Z/p;Fp)である。従って、b|G|はE

0,2|G|2 はスペクトル系列の中で、無限サイクル

である。そこでE2頁の次の部分を考える。

E2 = Fp[b|G|]⊗ (E∗,02 ⊕ E∗,12 ⊕ · · · ⊕ E

∗,2|E|−12 ).

これらの元はE∞で生き残る。k ≥ 2|E|に対し、Ei,jk の任意の元が、dkで消える事は、i, j, k

の帰納法でわかる。よって主張E2|E| = E∞が示された。

定理 11.26の証明. シロー群 S → Gを固定する。また I1 ⊂ I2 ⊂ · · · をH∗(G;Fp)のイデアルの無限列とする。H∗(S;Fp)を掛けて、無限列を考えよう：

res∗(I1) H∗(S;Fp) ⊂ res∗(I2) H∗(S;Fp) ⊂ · · · .

77

これは先程の補題より有限で止まる。しかし射影公式 (命題8.7)より、tr(res∗(Ir) H∗(S;Fp)) =Irとなって (ここで定理 7.9を使用), 証明が終わる。

以上の証明は純代数的であったが、[Ben, 3.10]にトポロジカルな初等的な証明がある。次に、7.5節で紹介したQuillen-Venkovの定理の核について証明を与えよう。

定理 11.28 (Quillen-Venkov). 元 w ∈ H∗(G;Fp)が任意の初等アーベル部分群内で０であるとすると、wは冪零である。

定理 11.28の証明. |G|の帰納法で示す。|G|より小さい位数の非可換群で正しいとする。特にGが p群とならない時には、wの冪がH∗(Sylp(G);Fp)の中でゼロのため、H∗(G;Fp)の中でゼロである。故にGが p群の時だけ示せばよい。冪零群より、E ◁→ G

π→ Z/pという拡大がとる。すると下の補題 11.29より、w2n はイデアル (u)に入る、ここで e ∈ H1(Z/p;Fp)を生成元とし、u = π∗(β(e)) = β(π∗(e))という２コサイクルとした。よって、wの十分高い冪は、β(v) ∈ H2(G;Fp)という形の任意の元で割れる。従って、wの十分高い冪は零になる。

補題 11.29. 拡大 E◁→ G

π→ Z/pと b ∈ H2(Z/p;Fp)に対し、u ∈ H2(G;Fp)を π∗(b) = u

として定めておく。もし w が核 Ker(res∗ : H∗(G;Fp) → H∗(E;Fp))の元とすると、w w はイデアル

(u) ⊂ H∗(G;Fp)の元である。

Proof. bを β(e) ∈ H2(Z/p;Fp)とおく。LHSスペクトル系列のE2頁はH∗(Z/p;H∗(G;Fp))である。スペクトル系列の絵図を観察すれば、 b : Ei,j

r → Ei+2,jr は i ≥ 0で全射であり、

i ≥ r− 1で単射である。特に、Ei,n−i∞ = F i(Hn(G;Fp))/F i+1(Hn(G;Fp)) であり、このフィ

ルトレーションの有限性を用いれば F 2(Hn(G;Fp))はイデアル (u)と同一視される。他方で、wはKer(res∗)の元より、F 1(H∗(G;Fp))に入り、だからw2は F 2(H∗(G;Fp))に入る。つまり、示したい主張であった。

ちなみに、ネター環H∗(G;Fp)の極大イデアルの集合が、初等アーベル部分群Eによって特長づけられることが知られている。事実だけ述べておこう：体 k に対し、VG(k)をH∗(G; k)を極大イデアルの集合とする。resGEが次を誘導することに注意しておこう (何故か？), (resGE)

∗ : VE(k)→ VG(k).

定理 11.30 (Quillen. [Evens, 節 8.3]に証明あり). Ap(G)をGの初等アーベル p部分群の集合とする。この時つぎが成立する：

VG(k) = ∪E∈Ap(G)(resGE)∗(VE(k)).

右辺のさらなる精密化として、Quillenの Stratificationという研究がある（[Evens, Thm

9.1.3]参照）。さらにH∗(G; k)の環構造などに関する和文の解説文として、[奥佐飛]がよく整理されている。

11.6 応用例２：Evensの定理の証明

導入部で紹介した定理の証明を紹介をする。

78

定理 11.31 (Evensの定理). ψ : G′ → Gを有限群の間の準同型とし、その誘導射 ψ∗ :

H∗(G;Z)→ H∗(G′;Z)が環同型とする。この時、ψは同型である。

Proof. ψは全射と単射の合成で書ける。従って、次の 2通りの場合に証明すればよい.

まず ψと ψ∗が全射と仮定しよう。すると 1→ Ker(ψ)→ G→ G′ → 0の LHSスペクトル系列を考える。すると、Ep

∞頁がEp,02 から収束することが解る。故に res∗ : H∗(G;Z)→

H∗(Kerψ;Z)はゼロ写像である。系 9.11によれば、もし 1 = g ∈ Kerψとすると、H∗(G;Z)のH∗(⟨g⟩;Z)の非零元が存在する事になり矛盾である。よってKerψ = 1つまり、ψは全単射である。まず次に ψが単射としよう。前段落の議論より ψ∗は同型としてよい。G′をGの部分群とみる。ここで注意する事に、或る nがあり、Z[G]自由加群の有限列の複体

C : 0→ Cr → · · · → C2n+1 → C2n → · · · → C1 → Z→ 0

で次を満たすものが存在する。Hp(C∗) ∼= 0 (∀p ≤ 2n)かつH2n+1(C∗) ∼= Z. 実際、4.3節の埋込G → U(N −n)を通じて、できたU(N)/U(N −n)の pセルをCpをとればよい。ここでH2n+1(U(N)/U(n)) ∼= π2n+1(U(N)/U(n)) ∼= Zという事実 (Bott周期性)を使った。この複体は、部分群G′に制限しても、Z[G′]自由加群の複体であることにも注意しよう。これはCartan-Eilenberg複体と思うと、次のハイパーホモロジーのスペクトル系列が得らえる。

補題 11.32. (有限群に対し関手的な)次を満たすスペクトル系列が存在する

Epq2∼= HomZ(Hq(C);Hp(G;M)) =⇒ E∗∞

∼= Hp+q(HomZ[G](C,M)).

まとめると次を得たことになる。

HomZ(Hq(C);Hp(G;Z)) +3

ψ∗

Hp+q(HomZ[G](C,Z))

ψ∗

HomZ(Hq(C);Hp(G′;Z)) +3 Hp+q(HomZ[G′](C,Z))

ここでψ∗は同型だった為、E2頁で同型より、よってスペクトル系列として同型である。特にE∞頁から次の同型を得た:

ψ∗ : H∗(HomZ[G](C,Z)) −→ H∗(HomZ[G′](C,Z)).

次にトランスファーの構成３より、次のトランスファーを得る：

TrGG′ : H∗(HomZ[G′](C,Z)) −→ H∗(HomZ[G](C,Z)).

そして、TrGG′ ψ∗は |G : G′|倍写像である。しかしCは制限のZ[G′]加群で射影的なため、TrGG′で全射のはずである。しかし、上の構成よりHr(HomZ[G′](C,Z)) ∼= Zである (普遍係数定理を用いた)ため、ψ∗の同型性から、|G : G′| = 1でなければならない。よって、ψは同型である。

補題 11.32の証明. PをZ[G]→ Zの射影分解とする。Epq0 を二重複体HomZ[G](P⊗C,M)

とする。ここで水平微分 d1はCから、垂直微分 d0はPから来るものである。するとPの非輪状性より、Epq

1 = HomZ(Hq(C),HomZ[G](Hom(Pp,M))である。よって欲しいE2頁を得た。またPの非輪状性より、E∞頁は、Hp+q(HomZ[G](C,M)).に収束する。この構成は関手的であるから証明が終わった。

79

11.7 応用例３：Lefschetz束の符号数とMayer コサイクル

球面上Lefschetz束という４次元多様体のクラスがある。その符号数がある線形代数で計算できる事を紹介する。(そのMayerコサイクルの関係も述べる)

まず４次元多様体で大切な不変量として符号数を復習しよう。

定義 11.33. M を向付きコンパクト４次元多様体とする。２次形式: H2(M,∂M ;R) ×H2(M,∂M ;R)→ H4(M,∂M ;R) ∼= Rを考える。これは対称双線形形式である。Mの符号数 ∈ Zとは#(正の固有値)−#(負の固有値)をいう。これを Sign(M)とか σ(E)とか書く。

定義は簡単だが、一般には工夫しないと符号数は計算できない。この理由から今回は次のクラスに制限して考えよう：

定義 11.34. (球面上４次元)Lefschetz束とは、S2上の点集合 P := p1, . . . , pn ⊂ S2と、向付き閉４次元多様体EからのC∞-写像 f : E → S2 との組の事で、次を満たす。(1) P の外では、Σg-束である。(2) どの i ≤ nに対し、f−1(pi)の特異点の近傍では、f は次のような局所 (複素)座標で書ける： つまり、f(z1, z2) = z21 + z22である。

注意 11.35. (2)の定義は初見ではわかりづらいが、次の意味とだいたい同値である： piに対し、ある単純閉曲線 γi : S

1 → Σgがあって、逆像 f−1(pi)は (γiの像を一点につぶした)

Σg/(Imγi ∼１点)に同相である (下図の左側を参照)。

さて次に、“モノドロミー”と呼ばれる対応を紹介する。下図の右側にあるように、p1, . . . , pnの周りを一周するループ a1, . . . , anを考えよう。aiをC∞写像 [0, 1]→ S2と思うと、Σg-束性より、ai : [0, 1]×Σg → E \f−1(P )に持ち上がる。同相写像 ai(0×Σg)→ ai(1×Σg)

を写像類群の元と思える。まとめると、ai ∈ π1(S2 \ P )に対し、ai ∈Mgが定まった。このことで Lefschetz束が組合せ的な情報に落ちる。

注意 11.36. (1) 球面上だから a1 · · · an = 1である為、a1 · · · an = 1 ∈Mgである。(2) ai ∈Mgは抽象的ではなく, Imγiに沿ったDehn twistに等しい事が知られている。(3) Lefschetz束の同型類は、その様なDehn twistsの列で言い直すことが出来る [YM].

底空間S2 \P のコホモロジーを調べる事は妥当であろう (そして定理 11.37を述べる). ここで ai がホモロジーに誘導する作用Mg H1(Σg;Z)を考える事で、M = H1(Σg;Z)を係数とするコホモロジーH1(S2 \ P ;M)が考えられる。さらに境界をみて相対コホモロジーも考える事で、次の２次形式が考えられよう：

H1(S2 \P, ∂(S2 \P );M)⊗2−→ H2(S2 \P, ∂(S2 \P );M⊗M)

•∩[S2\P ]

−−−−→M⊗M ω→ Z (52)

80

ここで [S2 \P ]は基本類∈ H2(S2 \P, ∂(S2 \P );Z)であり、ωはシンプレクティック２次形

式である。この二次形式をψと書くと、同様に符号数が定義できる。すると

定理 11.37. NEを#i | Σg \γi は連結成分が２ と定める。この時、次の等式が成立する。

Sign(ψ) = Sign(E)−NE.

証明の概略. E0を補空間E \ f−1(P )とし、その底空間をB0 = S2 \ P と略記する。f の制限 resf0 : E0 → B0は Σg-束だった。Σgが Eilenberg-MacLane空間だった為、ホモトピー長完全列より、E0もそうなる。よって Lyndon-Hochshildスペクトル系列より得る：

E2pq∼= Hp(S2 \ P, ∂(S2 \ P );Hq(Σg;R)) =⇒ Hp+q(E0, ∂E0;R).

p ≥ 2でE2pq∼= 0より、E2頁でつぶれる。つまり、同型E2

∼= E∞, と E20,q∼= 0は、仮定よ

りわかる。従って、次の同型を得る 22.

H1(S2 \ P, ∂(S2 \ P );H1(Σg;R)) ∼= H2(E0, ∂E0;R)).

さらに “cup1積”というものを見ると、(52)と定義内の双線形形式は一致することが解る。特に、その二つの符号数は一致する。最後に、H2(E0, ∂E0;R)とH2(E0;R)上の符号数を比較すればよい。それはNovikov-Wall

の符号数の貼合わせ公式 [Wall]による。それによれば、「Σg \ γi は連結成分が２.」となるf−1(pi)の所では、符号数が１減り、そうではない所では、減らない。よって、目的の等式が得られた。

である為、相対コホモロジー群H1(B0, ∂B0;M)と双線形形式 (52)の計算法を示せれば、符号数の計算法が解ったことになる。この時、S2 \ P と ∂(S2 \ P );が Eilenberg-MacLane

空間である事に気づけば、(52)は相対群コホモロジーで次のように書ける。ここで用語を復習する。

定義 11.38. K1, . . . , Kn ⊂ Gを部分群とする。その相対複体を写像錐で定義する。つまり、

Cgrn (G,KJ ;M) := Cgr

n (G;M)⊕(⊕jCgr

n−1(Kj;M))

(53)

として、Cgr∗ (G,KJ ;M)上の微分を次で定義する：

∂reln+1(a, b1, . . . , bm) :=(∂n+1(a)−

∑j: 1≤j≤m

ιj(bj), ∂n(b1), . . . , ∂n(bm))∈ Cgr

n (G,KJ ;M).

この２乗は０より、相対群ホモロジーHgrn (G,KJ ;M)が定義できる。双対的に、余複体

Cngr(G,KJ ;M) := Map(Gn,M)⊕

(⊕j∈JMap((Kj)

n−1,M)).

を置き、(h, k1, . . . , km) ∈ Cn(G,KJ ;M)に対して δn(h, k1, . . . , km) ∈ Cn+1(G,KJ ;M)を次式で定義する。

δn(h, k1, . . . , km

)(a, b1, . . . , bm) =

(h(∂n+1(a)), h(b1)−k1(∂n(b1)), . . . , h(bm)−km(∂n(bm))

),

ここで (a, b1, . . . , bm) ∈ Gn+1 ×Kn1 × · · · ×Kn

mとした。この定義は、標準的な議論より長完全列を誘導する：

· · · → ⊕jHn(Kj;M)⊕ι∗j−→ Hn(G;M)→ Hn(G,KJ ;M)

δ∗−→ ⊕jHn−1(Kj;M)→ · · · . (54)22細かく述べると、同型 H0(S2 \ P ;M) ∼= H1(E0) をも用いている。

81

以下, G = π1(S2 \ P )として、Ki := ani n∈Z ∼= Zとすると、次が容易にわかる。

補題 11.39. 次の２サイクルはH2(S2 \ P, ∂(S2 \ P );Z) ∼= Zの生成元を成す:

((1, 1), a1, a2, . . . , an) +n−1∑i=1

((a1 · · · ai, ai+1), 1, . . . , 1) ∈ Cgr2 (G,KJ ;M).

この様にして、基本類が書けた為、定義どおりに、H1(S2 \ P, ∂(S2 \ P );M)とカップ積を計算する（詳細は省略）と次の結論を得る。

命題 11.40. M = H1(Σg;Q)とする。定理6.9にあった境界準同型 (∂)∗ :M×n = C1(π1(B0);M)→C2(π1(B0);M) =M は次で書ける。

Γf : (x1, . . . , xn) 7−→ (xn − x1) +∑

1≤j≤m−1

(xj − xj+1) · aj+1aj+2 · · · an+1 ∈M. (55)

加えて、このKerはH1(S2 \ P, ∂(S2 \ P );M)⊕M に同型である。さらに、次の双線形形式 Qψ : (Ker(Γf )/M)2 → Rは (52)と一致する。ここで、Qψは (x1, . . . , xn)⊗ (y1, . . . , yn)

を次の値に送る。

n−1∑k=1

ψ( k∑j=1

(xj − xj+1) · aj+1aj+2 · · · ak, yk+1 · (1− a−1k+1))∈ R. (56)

演習 11.41. 定理 6.9と命題 8.13を用い、これを示せ.

この計算法はプログラムにかける事で 結構計算できる。但し、他にも計算法は沢山あって、そちらの方が速いらしい。最後にMayer cocycleというものを紹介する。いま (56)は複雑な式であったが、n = 2の場合は次の様になる。

定義 11.42. A,B ∈Mgをとった時つぎの部分空間を考える：

VA,B := (x, y) ∈ R2g × R2g | (A−1 − I2g)x+ (B − I2g)y = 0 ⊂ R2g × R2g.

さらに、双線形形式 ⟨ , ⟩A,B : (R2g × R2g)× (R2g × R2g)→ Rを次で定義する：

⟨(x1, y1), (x2, y2)⟩A,B := (x1 + y2) · J(I2g −B)y2,

ここで ·は内部積で、Jは標準的な斜交行列である。するとこの ⟨ , ⟩A,Bは対称行列であることが確かめられ、次の写像をMayerコサイクルという。

τg :Mg ×Mg −→ Z, (A,B) 7→ Sign(VA,B, ⟨ , ⟩A,B).

定理 11.43. これはMgの２コサイクルである。さらに、g ≥ 3でτgの有理拡張H2(Mg;Q)→Z⊗Qは同型を与える。

前半の証明はちょっと長い計算で解り、後半はH2(Mg;Q) ∼= Qという事実を用い、具体的な Lefschetz束を用いて、符号数が１であるものを見つければよい.

最後のコメント: なお論文 [EN]では、このMayer-コサイクルと命題 6.16を掛け合わせて、Lefschetz束の符号数をたくさん計算している (ここでのアイディアは、Mgの関係子と符号数の変化を入念に記述し、Lefschetz束の substitutionとの兼合いを明示する事である。)

82

12 Dickson代数, 不変式論, 特性類との関連

V をある可換体 k上のベクトル空間で、n := dim(V ) < ∞とする。もし線形表現G →GL(V )があった時、不変部分 V Gや k[V ]Gを求める事が大切である。例えば、対角的にG-不変な多重線形写像 ψ : V ⊗n → kがあったとしよう。また半直積

V ⋊Gが定義できたのだった。すると、V ⋊Gのn-コサイクルが次の様に簡単に得られる。

ψ : (V ⋊G)n −→ k;

ψ((v1, g1), (v2, g2), · · · , (vn, gn)

):= ψ

(v1, g1 · v2, (g1g2) · v3, · · · , (g1g2 · · · gn−1) · vn

).

また他に、Chern-Weil理論 (18.2節)というのもあり不変式を知る事は大事である。以上の様に、不変多項式を見つけることは大切である。しかし一般にはそれは難しい (モジュラー不変式論やGITとか)為、以下は綺麗な結果を幾らか説明する。

12.1 お話し： C上リー群と随伴表現の場合.

gをGLn(C)のリー環とする (実次元は 2n2), また uをユニタリー群Un(C)のリー環とする (実次元は n2). C[g]をその n2の変数の多項式環とする、ここには共役でGLn(C)が gに作用する為、不変多項式環 C[g]AdGLn(C)が考えられる。そこで、多項式 d1, . . . , dn ∈ C[g]を次で定義する。

det(tEn −1

2π√−1

X) = d0(X)tn + d1(X)tn−1 + · · ·+ dn−1(X)t+ dn(X) ∈ C[g][t].

これはGL不変である（∵行列式 detが共役で不変であるから). diの例をあげると、定義から d1(A) = Tr(A), d2(A) = Tr(A2)−Tr(A)2で dn(A) = det(A)である。次の定理は、それらで尽くされる事を主張する。

定理 12.1. 次の環同型がある。

C[g]AdGLn(C) = C[u]AdUn(C) = C[c1, . . . , cn].

Proof. 先ず右側の等式を示す。⊃は明らかの為、⊂を示す。任意のX ∈ uは共役で対角化可能であり、その対角成分を a1, . . . , an ∈ Cとする。つまり中辺の多項式は、対角成分による基本対称式ら s1(a1, . . . , an), . . . , sn(a1, . . . , an)での和積で書ける 23. 一方 Y を対角行列 diag(a1, . . . , an)とすると、si(Y ) = di(Y )が定義から解る為、中辺の多項式は di(Y )らの和積でかける為証明が終わる。次に、左の等式を示す。ここでGLn(C)は Un(C)の複素化だった事を思い出そう。一般に Lie群の実既約表現G → GLn(V )の複素化G⊗ C → GLn(V ⊗ C)は、複素既約表現として拡張される為あった。従ってC[u]の各次数を既約分解した次元と、C[g]の各次数を既約分解した次元は等しい。それらの次元は不変部分で代表される為、左の包含関係は等しくないといけない。これで証明が終わる。

注意 12.2. なお一般的な事実として次が知られている。gをコンパクトリー群Gのリー環とする。T を極大トーラスとし、そのリー環を tとし、W をワイル群とする。この時、入射 T → Gが同型C[t]W ∼= C[g]AdGを誘導する。故に有限群W の作用が本質となる (そのため表現論なども使える).

23不変多項式環 C[x1, . . . , xn]Sn は s1(a1, . . . , an), . . . , sn(a1, . . . , an) で生成する部分環に等しいという代数的事実に基づく。

83

12.2 Fp上のDickson代数.

このテーマは、Fp[x1, . . . , xn]GLn(Fp)を求める事である。ここでGLn(Fp)は xi達に左から行列で作用させている。まずは n = 1, n = 2の場合に (初等的に)観察してみよう。

例 12.3 (n = 1 ). GL1(Fp) ∼= F×p ∼= Z/(p−1)である。この作用で不変Fp[x1]元はw := xp−11

しかない事がすぐ解る。故に Fp[x1]GL1(Fp) ∼= Fp[w]となる。

例 12.4 (n = 2, F2 ). GL2(F2)は対称群S3 = ⟨s, t |s2 = t3 = 1, st = t2s⟩と同一視される。ここで作用は s : x1 ←→ x2で t : x1 7→ x2, x2 7→ x1 + x2である。まず t不変な部分環を考察しよう。Aを次で生成される部分環とする。

A3 = x21x2 + x1x22, B3 = x31 + x21x2 + x32, C2 = x21 + x1x2 + x22.

ここでA3とC2はGL2(F2)不変となる事に注意しておく。次に、F2[Z/2]代数として、次の完全列を考える：

0 −→ F2[A3, C2] −→ A −→ F2[A3, C2](B3) −→ 0.

するとコホモロジー長完全列をみると

0→ F2[A3, C2] −→ F2[x1, x2]GL2(Fp) → F2[A3, C2](B3)

δ→ H1(Z/2;F2)⊗ F2[A3, C2],

ここで δは連結準同型である。δ(B3) = e1⊗A3より、特に δは単射である。よって 結論として、F2[x1, x2]

GL2(Fp) ∼= F2[A3, C2]を得たことになる。なお [AM, III.6]によれば、A3とC2は Stiefel-Whitney類w2, w3との対応があるらしい。

今から一般論を述べる。その為に、幾らかの多項式を用意する (それらはFp[x1, . . . , xn]GLn(Fp)

となるが・・). まず次の行列を定義しよう：

Vn(x1, . . . , xn) :=

x1 xp1 . . . xp

n−1

1

x2 xp2 . . . xpn−1

2...

.... . .

...

xn xpn . . . xpn−1

n

∈ Mat(n× n; Fp[x1, . . . , xn]).

Dn(x1, . . . , xn) = det(Vn)とすると、このDn(x1, . . . , xn)は (pn − 1)/(p− 1)次多項式であり、非零である。x1x

p2 · · · xp

n−1

n 係数を見ればDn(x1, . . . , xn) = 0となる事にも注意しておこう。このGLn不変性を見よう。f1 . . . , fnを Fpベクトル空間 Fp⟨x1, . . . , xn⟩の基底とすると、

aijがあって fi =∑

j aijxjと書き得る。行列A = aij1≤i,j≤nを置くと、AVn(x1, . . . , xn) =Vn(f1, . . . , fn)だから、detを取ると、Dn(f1, . . . , fn) = det(A)Dn(x1, . . . , xn)となる。よってDnはGL不変ではない。しかし (p− 1)乗のDn(x1, . . . , xn)

p−1はGL不変となる事に注意しよう。次に、Vn+1の (n× n)小行列式を考える。具体的には、

Vn,i(x1, . . . , xn) = det

x1 xp1 . . . xp

i

1 . . . xpn−1

1

x2 xp2 . . . xpi

2 . . . xpn−1

2...

.... . .

.... . .

...

xn xpn . . . xpi

n . . . xpn−1

n

.

84

明らかに、Dn,i(f1, . . . , fn) = detA ·Dn,i(x1, . . . , xn)である。それと、i = 1, i = n + 1の場合に、次に注意しておこう：

Dn,n+1(x1, . . . , xn) = Dn(x1, . . . , xn),

Dn,1(x1, . . . , xn) = Dn(xp1, . . . , x

pn) = (Dn,1(x1, . . . , xn))

p.

そこで j次Dickson多項式を dj := Dn,n+1−j/Dnと定義する。

補題 12.5. (a) Dn+1(x1, . . . , xn) = Dn(x1, . . . , xn)∏

f (xn+1 − f)となる。ここで f は V

上の元すべてを走るとする。(b) dj ∈ Fp[x1, . . . , xn].

Proof. (a)を示すために、まず次 Fp[x1, . . . , xn, x]内の展開に気づこう：

Dn+1(x1, . . . , xn, x) = Dn,n+1xpn −Dn,nx

pn−1

+ · · ·+ (−1)nDn,1x. (57)

特性多項式の様に、商体Q(Fp[x1, . . . , xn])上の x変数多項式として次を考えよう：

pn(x) = xpn − d1xp

n−1

+ · · ·+ (−1)n+1Dp−1n x.

明らかな事に、x = f ∈ ⟨x1, . . . , xn⟩に対して、行列

Vn+1(x1, . . . , xn, f)

の最後の行は、最初の n行らの線形和で書ける。それ故にDn+1(x1, x2, . . . , xn, f) = 0. ここでDn(x1, . . . , xn) = 0より、(57) から pn(f) = 0となる。よって pn(x)は

∏f (xn+1 − f)

の因子を持つ. しかし (57)の次数を勘定すると、pn(x)は∏

f (xn+1 − f)の定数倍である。そこで最高次係数を比較する事で、(a)の欲しい式を得た。（ｂ）は (57)をDnで割れば即座にわかる。

例 12.6. n = 2, p = 2ではD2 = x1x2(x1 + x2)である。そして次も直ぐ確かめられる：

d1 = x21 + x1x2 + x22,

d2 = D2 = x1x2(x1 + x2).

n = 3, p = 2では次となる事が解る。

d1 = x41 + x21(x21 + x2x3 + x23) + x1(x

22x3 + x2x

23) + x42 + x22x

23 + x43,

d2 = x41(x21 + x2x3 + x23) + x21(x

41 + x22x

23 + x43) + x1x

42x3 + x1x2x

43 + x42x

23 + x22x

43,

d3 = D3 = x41x22x3 + x41x2x

23 + x21x

42x3 + x21x2x

43 + x1x

42x

23 + x1x

22x

43.

定理 12.7. 不変多項式環 Fp[x1, . . . , xn]GLn(Fp)は、d1, d2, . . . , dn = Dp−1n で生成される部分

環に等しい。つまり次の環同型がある。

Fp[x1, . . . , xn]GLn(Fp) ∼= C[c1, . . . , cn] ∼= Fp[d1, d2, . . . , dn−1, Dp−1n ]

C. Wilkersonによる。. この右辺をAと書こう。すると Fp[x1, . . . , xn]はA上整である事に注意する ((57)参照). 次に商体Q(A)とQ(Fp[x1, . . . , xn])を考え、次を示す。

補題 12.8. Q(Fp[x1, . . . , xn])はQ(A)のガロア拡大で、ガロア群はGLn(Fp)である。

85

Proof. Q(Fp[x1, . . . , xn]) は Q(A) 上加群として x1, . . . , xn で生成される。しかし、fi =∑ni=1 aixi は pn(x)の根であるため、fi らは Q(Fp[x1, . . . , xn])に含まれる事になる。従っ

て、Q(Fp[x1, . . . , xn])はQ(A)上の pnによる分岐拡大である。加えて、pn(x)は重根を持たないため、正規拡大で、つまりガロア拡大がわかる。次にガロア群, G, を求めよう。Fp ⊂ Aだから、g ∈ Gに対し、g(

∑nixi) =

∑ni(gxi).

ここで ni ∈ Fp. さらにガロア群は pn(x)の元を置換で作用する。よって、g ∈ GLn(Fp).逆に、g ∈ GLn(Fp)は Aの元を固定する為、Q(A)にもそうなる。また, もとより g はQ(Fp[x1, . . . , xn])に作用する為、g ∈ Gとなる。よって、G = GLn(Fp). これで証明が終わる。

Dicksonの定理 12.7の証明に戻ろう。まずAの生成元が多項式として独立である事を見よう。Q(Fp[x1, . . . , xn])はQ(A)の有限次拡大のため、Fp[x1, . . . , xn]はA上の整拡大として有限生成になる。ひいてはAの整閉包とFp[x1, . . . , xn]は同じ超越拡大次数nである。とはいえAの生成元はちょうど n個だった為、ほしい独立性が示せた。他方で、環論の基礎知識 [AtMa, 5章の演習 9]として、Fp[x1, . . . , xn]はQ(Fp[x1, . . . , xn])の中で整閉包である。故に、[AtMa, 5章の演習 14]にある通り、Fp[x1, . . . , xn] ∩ Q(A)のガロア群の不変多項式環と一致する (ここで補題よりGLn(Fp)不変だけ見ればよい). しかし、Fp[x1, . . . , xn]はA上整だった為、先程の共通部分は A上で整である。Aは整閉包だった為、その共通部分はAそのものになる。これで証明が終わった。

ちなみに、このDicksonの定理は Serreの定理 3.21の証明にも使われる ([AM, III.3章 2]

を見よ). またその本では、Stiefel-Whitney類との関連も少し書いてある。

86

13 安定性定理. (メモに近い)

次の様な問題を考えよう。群の列G1 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ Gn ⊂ · · · が与えられた時に、ホモロジーの誘導射は、どの次数で同型になるか？これを安定性問題という。例えば、対称群に対して、次の定理は有名で、安定性問題に拍車をかけた先駆的な結果である。

定理 13.1 ([Naka]). 1 ≤ m ≤ n ≤ ∞で包含写像Sn → Smが誘導する準同型Hk(Sn;Z)→Hk(Sm;Z) は常に単射で、さらに k < (m+ 1)/2なら同型である。

なぜ安定性を考えるかという疑問があるだろう。その回答の一つに、安定的な領域のホモロジーは、或るコホモロジー理論 (即ちΩスペクトラム)に対応し、従って代数トポロジーの色々な技術が使えるようになるからである。例えば、無限対称群S∞のホモロジーは球面の安定ホモトピー群に対応する (正しくはK(S∞, 1)

+のプラス構成が、球面スペクトラムになる). それで、Steenrod作用素のHopf代数構造を用い (むしろ等価), 中岡氏はH∗(S∞;Fp)を全て決定している [Naka]. 特に、定理 13.2を用いれば、ある領域のHk(Sn;Fp)も決定されてしまった事になる。

ということで、安定性は重要である。が 1つの定理を示すだけでも難しかったり、adhoc

な手法で示されたりする。その為、本節では 証明抜きにして、特別な群に限定して、結果だけを羅列する：

定理 13.2. e := max(1, sr(R)− 1)とする。入射GLn(R)→ GLn+1(R)の誘導射

Hm(GLn(R);Z) −→ Hm(GLn+1(R);Z),

Hm(En(R);Z) −→ Hm(En+1(R);Z)

は n ≥ 2m+ e− 1で全射であり、n ≥ 2m+ eで全単射である。

定理 13.3 (Sah[Sah]). ユニタリー群U(p, q,F)を考える、ここで体FはR,C,H でもOKである。この時、包含写像 U(p, q,F)→ U(p, q + 1,F)が誘導する準同型Hi(U(p, q,F);Z)→Hi(U(p, q + 1,F);Z) は i = qで同型, i < qで全射である。

定理 13.4. kを標数０の体とし、On,n(k)を(

O II O

)に対応する直交群とする。この時、

入射の誘導射Hm(On,n(k);Z) −→ Hm(On+1,n+1(k);Z)

は n ≥ 3m+ 1で全射であり、n ≥ 3m+ 3で全単射である。

定理 13.5. (Sah, Cathelineau) F を標数が 2ではない Pythagoras 体 F とし、qを F 上のEuclid 的二次形式とする。その qで定義された直交群の列 Onn に対して，入射の誘導射Hi(ιn) : Hi(On)→ Hi(On+1) は i < n において全単射であり，i ≤ n において全射である．

定理 13.6 ([Dup3, Cha 9]に証明あり). 包含写像 SU(2) → SL2(C)と SL2(R) → SL2(C)は次の同型を誘導する。

Hk(SU(2);Z) −→ Hk(SL2(C);Z)+1, k ≤ 3,

Hk(SL2(R);Z) −→ Hk(SL2(C);Z)−1, k ≤ 3,

ここで ±1は (対合的な)共役作用の (±1)固有空間である。

87

定理 13.7 (Harer-Ivanov[Har, Iva]). Γg,1を写像類群とする。つまり、向きを保つ微分同相Σg,1 → Σg,1のイソトピー類の成す群とする。入射 ιg : Σg,1 → Σg+1,1(図 10を見よ)による誘導射 Γg,1 → Γg+1,1は次の同形を与える：

(ιg)∗ : Hn(Γg,1;Z) ∼= Hn(Γg+1,1;Z), ∀n < 3g − 6. (58)

なお、この写像 ιgによる極限Γ∞ := limg→∞ Γg,1 の有理コホモロジーはMadsen-Tillman[MT]

によって、mod p コホモロジーはGalatius[Gal]によって、全て決定されている。

attach

attachg︷ ︸︸ ︷ ←→

←→

図 10: 射 ιg : Σg,1 → Σg+1,1 の模式図.

13.1 証明方針１; Hatcher-Wahl[HW]に基づいて

とはいえ、証明方針だけは述べておこう。だいたい次である。まずは、相対群ホモロジーが消えることを証明する。その相対ホモロジーを代表するような良い射影加群 (ないしハイパーホモロジー)か n-連結なよいCW複体を見つけて、Shapiroの補題などを用い、簡易化する。その際, ハイパースペクトル系列が潰れる領域を見て、安定域の条件を判定する。もっと具体的にはHatcher-Wahlの論文 [HW]に安定性を示す為の定理がある（最良かは私は知らない）。以下、その定理を述べ、そして応用例をあげよう：群の列G1 ⊂ G2 ⊂ · · · が与えられ, Gnがある単体Xnに単体的に作用したとする (Xnのセルの最低次元は n以上とする)。この時、次の三つの仮定を考える：

1. その作用は各次元のセルに対し推移的であり、かつ次のどちからを仮定する：

(a) 各単体 σの固定部分群は、σの頂点のすべての置換を与える元を含んでいる、または

(b) 各単体 σの固定部分群は、σを pointwiseに固定する。

2. p-単体を pointwiseに固定する Gn の部分群は、Gn−k−1 に共役である、ただし k は0 ≤ k ≤ pとなるものがあれば良い.

3. 頂点v, wを結ぶ任意のXnの辺ℓに対し、次の性質をもつGnの元gが存在する。g·v = w

であり、ℓを pointwiseに固定するGnのすべての元と gは可換である。

定理 13.8 ([HW, 定理 5.1]). これらの条件下で、各Xnが (n− 2)/2-連結とするとき、入射Gn → Gn+1が誘導するHi上の写像は、n ≥ 2i+ 1で同型であり、 n = 2iで全射である。

この定理の証明は本節の後半に回して、応用例を述べていこう：

定理 13.9. Gを任意の有限群とし、Gn := G∫Sn = Gn ⋊ Sn を輪積とする。誘導射

Hi(G∫Sn;Z)→ Hi(G

∫Sn+1;Z)は n ≥ 2i+ 1で同型で、n = 2iで全射である。

88

Proof. ∆n−1 ⊂ Rnを n-単体とし、Xnを |G|個の直積 (∆n−1)Gとする。GnからXnへの作用を次式で定める。

(g1, . . . , gn;α) · (i, h) := (α(i), gih) (α ∈ Sn, g1, . . . , gn, h ∈ G, i ∈ 1, 2, . . . , n).

あとは定理 13.8に適用する為、性質 (1.a)(2)(3)を確かめればよいが、作用の定義よりほぼ明らかである。

定理 13.8は汎用性が広く、幾つかの群の安定性定理が [HW]で示されている (但し、証明に必要なXnを構成するために、沢山の準備がいる。)：

定理 13.10. Gを任意の群とし、Sを連結な 2次元曲面とし、BSn を S上の n本ブレイド群

とする。この時、輪積Gn = Gn ⋊BSn はホモロジー安定性を持つ。

• 良い 3次元多様体M のクラスに対し、M の写像類群がホモロジー安定性をもつ (詳細は [HW, 定理 1.1と 1.8]を見よ)

以下、定理 13.8を証明しめして本節を締めよう。まず次の補題を示す：

補題 13.11. 上記の条件 (1)は次の (1)’を満たす：(1)’ その作用は頂点に関し推移的であり、各単体 σを固定部分群は σを pointwiseに固定し、各 1 ≤ i ≤ n− 2に対しHi(Xn/Gn) = 0である。

Proof. (1.a)を先ず仮定する。Yn := ∆Xnを, p-単体が ∆p → Xn単体写像 となる単体的集合の幾何実現とする。YnはXnにホモトピー同値であり、かつ自然にGnの作用が誘導される。[HV, 補題 3.5]により、∆Xn/Gnは (n − 2)-単連結が成立する。したがって、Xn

を Ynに置き換えたとき、Ynが (1)’(2)(3)を満たすことを示せばよい。まず一つの単体の固定部分群はその単体を pointwiseに固定する事に気づこう、実際、

σ ⊂ Ynの固定部分群は Im(σ) ⊂ Xnを pointwiseに固定するGnの部分群であり、この部分群は σを pointwiseに固定するからである。仮定 (2)より、或る kがあって、固定部分群St(σ)はGn−k−1に共役である。もし σが p-simplexの場合、0 ≤ q ≤ pで、条件 (2)は Ynの上でも成立する。そして仮定 (3)は Yn上でも成立する。実際、Ynの辺の二つの軌道 (但し、一方は退化し他方は非退化となる）があって、その退化した軌道には自然に (3)が成立ち、非退化な軌道にはXnの (3)から成立する。以上で (1.a)の場合の証明は終わった。次に (1.b)だが、(1.b)は (1)’の特殊版である、実際にXn/Gnは∆-複体で、各 k < nに対し k次元単体がただ一つのものである。従って、その単体複体の境界準同形は恒等射と零射の交代である為、この複体のホモロジーは n次元未満で一点である。

定理 13.8の証明. (1)’(2)(3)の条件下で、定理を示そう。E∗GnをZのZ[Gn]上自由分解とし、C(Xn)をXnのaugumented鎖複体 24とする。11.4節から、二重複体E∗Gn+1⊗Gn+1 C(Xn+1)

を考えると、二つのスペクトル系列を得る：一つ目は (∗)「∀p ≤ (n− 1)/2でE∞p,q = 0」なるもので (∵ Xn+1の連結性より)、もう一方は (∗∗)「∀p+ q ≤ (n− 1)/2でE∞p,q = 0」となるものである。そのE1-頁は

E1p,q =

⊕orbits

Hq(St(σp);Z)

24被約ホモロジーを取る前の、複体の事である

89

となる、ここで和は p-単体の軌道の代表元 σpを走る。ここで仮定 (1)’から係数 Zは自明である。ここでE1

p,qからの微分は次の面射の交代和から誘導される事に気づいておこう：

Hq(St(σp);Z)di−→ Hq(St(diσp);Z)

ch−→ Hq(St(σp−1);Z).

ここで diは σpの面射で、chは h ∈ Gn+1におる共役である（ここで hは diσpからその軌道の代表元 σp−1に送るものとする). さて、次の主張を示せば、定理の証明が終わる主張 微分 d1 : E1

0,i = Hi(G) → E1−1,i = Hi(Gn+1)が n ≥ 2iで全射、n ≥ 2i + 1で単射で

ある。まず全射性を iの帰納法で示そう。i = 0は自明だから、n ≥ 2iで正しいと仮定する。すると d1の全射性は次を示せば十分である。

E∞−1,i = 0; E2p,q = 0 (p+ q) = i, q < i. (59)

前者のE∞−1,i = 0は、上の (∗∗)より解る。後者を示すために、まずは「固定部分群の入射は次の同型を

E1p,q =

⊕orbits

Hq(St(σp);Z)∼=−→⊕orbits

Hq(Gn+1;Z) (p+ q ≤ i)

を誘導する」事を示しておこう (加えて、p+ q = i+1の時に全射である)。条件 (2)と帰納的仮定より、入射Gn−k → Gn+1はHqで同型を与える、但し n− k ≥ n− p ≥ 2q + 1つまり p+ 2q < nである。ここで帰納的仮定より、p+ 2q ≤ 2i− p ≤ n− pである。であるから、p+ q ≤ iの範囲で同型性が言えた。他方で p+ q = i+ 1の全射性は不等式 p+ 2q ≤ n

が必要になる為、p+ 2q = 2i+ 2− p ≤ n+ 2− p ≤ nを満たすことに気づけば、同様に示される。さて目標のE2

p,q = 0を示そう。次の図式を考える：

Hq(St(σp);Z)di //

Hq(St(diσp);Z)

ttiiiiiiii

iiiiiiii

ch // Hq(St(σp−1);Z)

Hq(Gn+1;Z)

id // Hq(Gn+1;Z).

chのHq(Gn+1)への作用は恒等射だから、この図式は可換である。すると E1-頁の q番目線上の複体から、C∗(Xn+1/Gn+1;Hq(Gn+q);Z)への鎖写像をえる。すると前段落の議論から、そのホモロジー上では p + q ≤ iで同型, p + q = i + 1で全射となる。条件 (1)’から∗ ≤ n− 1でH∗(Xn+1/Gn+1) = 0より、念願の (59)を示せた。最後に、主張の単射性を示そう。次を示せばよい：n ≥ 2i+ 1に対し、

1. E∞0,i = 0;

2. p+ q = i+ 1かつ q < iでE2p,q = 0;

3. d1 : E11,i −→ E1

0,iは零写像である。

(i)(ii)は上記と同様の議論で示される。実際 (i)は上の (∗)で i ≤ (n−1)/2より、 n ≥ 2i+1

となる。次に (ii)は、上の (∗∗)で p+ q ≤ i+1の時、n− p ≥ 2q+1であり、 p+1 = i+2

の時 n − p ≥ 2q を満たすことを言えばよい。実際、前者はもし p + q = i + 1の場合、2q + p ≤ 2i+ 2− p ≤ n+ 1− pが n− 1より小さい事によるし、もし p+ q ≤ iの時は欲し

90

い不等式はすぐ得られる。次に、後者は 2q + p = 2i+ 4− p ≤ n+ 3− p ≤ nが p ≥ 3で成立する事による。(iii)を示そう。それは d1の σ1の制限が、d11−d10となる事に気づこう (ここで d1i = chi di

for some h0, h1 ∈ Gn+1)。ここで条件 (3)から、h0を恒等元に、h1を次の性質となるものに置き換えて良い：h1は σ1の一頂点を他方の頂点に移し、St(σ1)のすべての元と h1は可換である。すると群レベルの可換図式

St(σ1)d1 //

ch1=id

h1St(σ0)h−11

ch1

St(σ1)

d0 // St(σ0).

を得る。ここで水平射は St(σ1)から２頂点への固定部分群への入射である。従って d11 = d10となるから、微分 d1は０写像である。

13.2 証明方針２; 直交群の場合

次に、具体的に、直交群の場合に大まかに証明筋道を与えよう：

i < nでの同型Hi(O(n))→ Hi(O(n+ 1))の証明方針. まずX = Sn またはX = Hnに対して、(配置的な)自由加群

C =n (X) := Z⟨(x0, . . . , xn) ∈ Xn+1 | xi = xj (i = j) ⟩

を考え、境界準同型を次で定義する：

∂∆n : C =n (X) −→ C =n−1(X), ⟨x0, . . . , xn⟩ 7−→n∑t=0

(−1)t⟨x0, . . . , xt−1, xt+1, . . . , xn⟩.

これは非輪状である。ついで次のフィルトレーションを考える：

0 = C =∗ (X)−1 ⊂ C =∗ (X)0 ⊂ · · · ⊂ C =∗ (X)p ⊂ · · · ⊂ C =∗ (X)n = C =∗ (X).

ここで σ = (x0, . . . , xn) ∈ C =∗ (X)pに入ることを, σが p次元幾何的単体を成す事と定義する。すると包含写像 i : Sn−1 → Snは次の同一視が与えられる：

O(n)\C =∗ (Sn−1) = O(n+ 1)\C =∗ (Sn)n−1.

補題 13.12. 0 < i ≤ nの範囲で Hi(O(n+ 1)\C =∗ (Sn)) = 0.

この証明は技術的のため [Dup3, Lemma 9.2]を参照してもらい、証明を終わらすには、上記の非輪状性から

E1p,q = Hp(O(n+ 1), C =∗ (S

n)) =⇒ Hp+q(O(n+ 1);Z)

というハイパーホモロジーのスペクトル系列を見ればよい。n = 1の定理は正しい。n > 1

とすると、Shapiroの補題と、帰納法の仮定から

E1p,q =

C =∗ (Sq)

O(q + 1)⊗Hp(O(n);Z), q < n− p, p ≤ n,

91

である。また q = n − pであるとき、係数はHp(O(n))または全射Hp(O(p)) → Hp(O(n))

の写像推のどちらかを意味する。従って、補題 13.12より、Ep,q2 = δq,0Hp(O(n))となる (但

し、0 < q ≤ n− p). であるから、i < nでの同型Hi(O(n))→ Hi(O(n+ 1))の同型を得たことになる。

92

14 コホモロジー作用素

14.1 コホモロジー作用素と対称群の関係

コホモロジー作用素 25という概念があるが、その構成には、対称群のホモロジーが本質的である事を見る。26

任意の空間Xに対して、次の様な準同型が知られている：

Sqi : Hq(X;Z/2) −→ Hq+i(X;Z/2),

P ip : Hq(X;Z/p) −→ Hq+2i(p−1)(X;Z/p), (pは奇素数),

p2 : H2q(X;Z/2m) −→ H4q(X;Z/4m),

pp : H2q(X;Z/pm) −→ H2pq(X;Z/p2m) (pは奇素数).

それぞれ、Steenrod平方, 被約素べき作用素, Pontrjagin平方作用素, Thomas作用素, と呼ばれる (Postnikov作用素というのもある). これらは、コホモロジー作用素と総称される例である。論文 [Ste2]に準じて、これらのコホモロジー作用素の導入法を見てみよう。XをCW 複体とし、Xnを n個コピーの直積とし、A,Bをアーベル群とする。q-コチェイン u ∈ Cq(X;B)に対して、un ∈ Cnq(Xn;B⊗n)を次で定める：

un(σ1 × σ2 × · · · × σn) := u(σ1)⊗ · · · ⊗ u(σn).

ここでB⊗nはBの n個テンソルで、σkはXのセルとする。Snは次式からC∗(X

n)に作用を持つ (互換 (ij)で定義する):

(ij)·(σ1×· · ·×σn) := (−1)dimσi dimσj(σ1×· · ·×σi−1×σj×σi+1×· · ·×σj−1×σi×σj+1×· · ·×σn).

加えてSnがCq(X;B⊗n)にも次式で作用を持つことに注意しよう。

α(b1 ⊗ · · · ⊗ bn)σ := (Sgnα)qbα−1(1) ⊗ · · · ⊗ bα−1(n)σ.

この係数加群をB⊗n,qと書こう。π ⊂ Snを部分群として、W∗を πのある自由分解とする。直積W∗ ×C∗(X;B)への πの作用を

α(e× σ) = (αe)× σ (α ∈ π, e ∈ W∗, σ ∈ C∗(X;B))

で定める。また ϕ : W0 × C∗(X;B) → C∗(Xn;B⊗n,q)を ϕ(e0 × σ) = σnとする。任意の

α ∈ πで ϕα = αϕである。W∗は Z[π]上自由だから、W∗ ⊗ C∗(X;B)もそうなる。だからϕにホモトープな π-同変鎖写像

ϕ♯ : W∗ ⊗ C∗(X;B) −→ C∗(Xn;B⊗n,q), s.t. ϕ♯α = αϕ♯

が取れる。この ϕ♯の存在理由は次の Z[π]-版 acyclicモデルという事からわかる。

25Steenrod 作用素と被約素べき作用素が書かれている文献を挙げると、私の知る限りでは、解り易い文献は [Hat] や Selick[Sel] が挙げられる。和書なら [中岡 1], [FF] がある。また [Wood] のサーベイも問題を知る上で良い.

262019 年 3 月のコメント： Steenrod の論文ばかり読んで、本節を書いたが、ふと [中岡 1] を読むと、構成も [中岡 1] の最終章と同じであった。厳密性や詳細を知りたい方は、そちらを読まれる事を勧める。

93

定理 14.1 ([Ste1, §3.3, 5.5]). Chπ,≥0を次数が 0以上のR[π]-加群の複体から成る圏とする。F,GをCW 複体の圏から、Chπ,≥0への関手とし、次を仮定する：ＣＷ複体Xに対し、 (1)

Fn(X)は自由R[π]-加群で、(2) 或る j : C → Xがあり、G(C)は非輪状で、(３) F (X)の任意の元は ImF (j)に入るとする。この時、任意の π-同変な自然変換 ϕ0 : F0(X)→ G0(X)に対し、ϕ0の拡張として、π-同変な鎖写像 ϕ : F (X)→ G(X)が、up to 鎖ホモトピーで一意に存在する。

次にスラント積を考えよう。それは一般に連結なCW複体 Y と局所係数AとA′に対して、次の準同型であった (詳細は [中岡 1, Ste1]などを見よ):

Cn(Y ×X,A)× Ci(Y,A′) −→ Cn−i(X,A⊗Z[π1(Y )] A′); (v, c) 7−→ v/c

ここで v/cは ⟨v/c, σ⟩ = ⟨v, c× σ⟩で特徴づけられる。これは (コ)ホモロジー間の準同型として誘導されるものである。そこで Y = K(π, 1), A′ = B⊗n,q, v = ϕ♯unとし c ∈ Ci(π;A)を代入しよう：

ϕ♯un/c ∈ Cnq−i(X;A⊗π B⊗n,q).

命題 14.2 ([Ste1]). c ∈ Ci(π;A)がサイクルとする。(1) uがコサイクルならば ϕ♯un/cもコサイクルである。(2) uと vがコホモロガスなら、ϕ♯un/cと ϕ♯vn/cともそう。(3) uがコサイクルならば、コホモロジー類 ϕ♯un/cは ϕ♯の取り方によらない。

しかしこれはかなり非自明で、長い証明を要する為、[Ste1]に回す事にする。(しかし準同型性 ((u+ v)n/c = un/c+ vn/c)は一般に成立しない). ともかく, これにより次のコホモロジー類が得られた。

un/c := [ϕ♯un/c] ∈ Hnq−i(X;A⊗π B⊗n,q). (60)

このクラスを(cで簡約された)uのn冪と呼ぶ。また胞体写像f : Y → Xに対し、f ∗(un/c) =(f ∗u)n/cを満たす。詳細は [Ste2]を見よ.

以上が構成であったが、具体的な n冪を得るには、良いサイクル c ∈ Hq(Sn)と、cが生き残るような部分群 π ⊂ Snを指定する必要がある。

例 14.3. 実際、最も自明な場合を考えよう：πが一点の時、un/cは n重カップ積 unに一致する。何故なら ϕが通常の対角近似 (Alexander-Whitney写像)に一致するからである。

次に非自明でよく使われる事は、Z/p ∼= π ⊂ Spを巡回 (置換)部分群とし、A = B = Z/pが自明係数加群の場合である。この時、次に気づこう：

命題 14.4 (Thom. ). ek ∈ Hk(Z/p;Z/p)を, 自由分解 (7)から得られる生成元とおく。前補題の設定の時、k = 2s(p− 1)と k = 2s(p− 1)− 1の形以外の時、un/ekは０である。

Proof. j : Z/p→ Spを入射とする。構成より、un/ek = un/j∗ekに気づこう。例 7.11から、j∗ekが消える条件は、命題の欲しい kの条件である。

そこで、pが奇素数の場合、 k = (q − 2s)(p− 1)の際に、Steenrod作用素は次で定義される。q = dimuとして、

Psu = (−1)(s+q)(q−1)(p−1)/4(p− 1

2!)2s−qun/e(q−2s)(p−1).

少々, 複雑な式になってしまった。その理由と、Psの性質を次章でみる。

94

14.2 巡回群の場合. Steenrodの公理について

この小節ではSpの部分群 π ∼= Z/pを巡回置換の成す部分群とする。その際に、Steenrod

作用素が定義できる事を見る。これは次の公理で特徴づけられる：

定義 14.5. pを奇素数とする。Steenrodの意味の作用とは、任意の位相空間X と自然数i ∈ N≥0に対し定まる、自然な準同型

P i : Hs(X;Fp) −→ Hs+2i(p−1)(X;Fp)

であって、次の５つを満たすことを言う。(1) (安定性) サスペンション射 σ : Hk(X;Fp) ∼= Hk+1(ΣX;Fp)とP iは可換.

(2) P0(x) = x. つまりP0は恒等写像.

(3) x ∈ H2k(X;Fp)に対し、Pk(x) = xp (p重カップ積).

(4) x ∈ Hq(X;Fp)かつ q > 2kに対し、Pk(x) = 0.

(5) (カルタン公式) x, y ∈ H∗(X;Fp)に対し、Pk(x y) =∑

i=0P i(x) Pk−i(y).

定理 14.6 (Steenrod [Ste3]). この公理を満たす P iは一意的に存在する。

本節ではこの存在性のみを, 紹介する。但し、本稿は大まかな概説のため、細かい話や証明は [Sel, 14章]に委ねる事にする。以下では、複体やホモロジーの係数は Fpとする。まず前節の (60)の構成をもう少し具体的に見てみよう。以下 pは素数とする。W∗を, 例

3.12にあった π = Z/pの分解とする。S∗(X)を空間 X の Fp上の特異鎖群とする。対応W0⊗ S∗(X) ∋ T je0⊗ x 7→ x⊗p ∈ S∗(X)⊗pを考えると、定理 14.1から次の π-同変鎖写像が存在する：

θX : W∗ ⊗ S∗(X) −→ S∗(X)⊗p.

そこで Fp[π]-加群鎖写像

θX : W∗ ⊗ S∗(X)⊗p −→ S∗(X) を ⟨θX(em ⊗ y), a⟩ = (−1)m|y|⟨y, θX(em ⊗ a)⟩

で定義する。

定義 14.7. Di(x)を θX(ei⊗ x⊗p)と定める。つまり、θ∗(x⊗p) =∑dimx

i=0 Ne∗i ⊗Di(x)として定める。

注意 14.8. D0(x)は p重カップ積xpと等しい。というのも、合成S∗(X) → W∗⊗S∗(X)θX−→

S∗(X)⊗p と、合成 S∗(X)対角写像∗−−−−−→ W∗ ⊗ S∗(X)

Alexander-Whitney 写像∗−−−−−−−−−−−−−−→ S∗(X)⊗p が (acyclic

modelから構成される為)鎖ホモトピックだからである。この考察がいう事に、Diは或る意味, 対角近似の π作用付き拡張といえる。

次も示しておくことも大切であろう。

命題 14.9. 1. uがコサイクルならば Di(u)もコサイクルである。

2. uと vがコホモロガスなら、Di(u)とDi(v)ともそう。

3. 誘導射Di : Hq(X;Fp) −→ Hpq−i(X;Fp)は準同型である

Proof. δ∗Di(u) = δ∗θX(ei ⊗ u⊗p) = θX(δ∗ei ⊗ u⊗p)となる。δ∗eiは (1− T )ei−1かNei−1で

あったが、θX の π同変性より、δ∗Di(u) = 0が瞬時で解る。なお (2)の証明は [Sel, 定理 14.3]に、(3)の証明は [May3, 命題 2.3]に書いてある。

95

次にカルタン公式の様な式を確認しておく。

命題 14.10. x ∈ S∗(X)と y ∈ S∗(Y )に対し次が成立する：

(1) p > 2 D2n(x⊗ y) = (−1)|x||y|(p−1)/2∑i+j=n

D2i(x)⊗D2j(y),

(2) p > 2 D2n−1(x⊗y) = (−1)|x||y|(p−1)/2∑i+j=n

D2i+1(x)⊗D2j(y)+(−1)|x|D2i(x)⊗D2j+1(y),

(3) p = 2 Dn(x⊗ y) =∑i+j=n

Di(x)⊗Dj(y).

Proof. 証明は [Sel, 定理 14.3.2]に書いてある。(1)のポイントは以下の様である：例 8.2にあった分解∆(e2n)を

∑i+j=n e2i⊗ e2j +

∑i+j=n−1

∑0≤s<t<p T

se2i+1⊗T te2j+1と分け, θX×Yに applyする事による。第一項が (1)の右辺に対応する為、第二項が消える事を言えばよい。それは上手い事計算し p倍を出す事出来る事による。(2)(3)の証明も同様である。

符号 (−1)|x||y|(p−1)/2などが汚いため、次の式の様に調整を行う：p > 2の時、

Dk(x) := (−1)[k/2](−1)|x|(|x|−1)(p−1)/4((p− 1

2)!)|x|

D|x|(p−1)−k ∈ S|x|+k(X).

とする。p > 2では、命題 14.4より、i ≡ 0, 1 mod (2(p − 1))以外の時は D2i(x) = 0である事に気づこう。

定義 14.11. p > 2の時、P i(x)をD2i(p−1)(x)と定める。p = 2の時、 Sqi(x) = D|x|−i(x)

と定める。

この様に、符合を調整する事により、命題 14.10からカルタン公式が得られる。さらに公理 (3)(4)も注意 14.9から即座に証明できる。次に公理 (1)(2)が満たされている事を見てみよう。次は鍵となる補題である：

補題 14.12. D0 : H1(S1;Fp) −→ H1(S1;Fp)は恒等写像である。

この証明方針は、θXをX = S1の時に具体的に書き下す事である (参照 [Sel, 補題 14.3.4].

2頁要). 証明はおいといて、次の同型を考えよう：

Hq(X) ∼= Hq(X)⊗ H1(S1) ∼= Hq+1(X ∧ S1) ∼= Hq+1(ΣX).

これをサスペンション σと同一視すると、v ∈ H1(S1)と x ∈ Hq(X)に対して次を得る：

Dn(σx) = (−1)q+1Dn(x⊗ u) = (−1)q+1Dn(x)⊗D0(v) (∵カルタン公式)

= (−1)q+1Dn(x)⊗ v = (−1)q+1+n+q+1σ(Dn(x)) = (−1)nσ(Dn(x))

となって、サスペンションの可換性が解る (つまり公理 (1)を示せた)。次に (2)を示そう。それにはD0 = idを示せば十分である。D0が安定コホモロジ作用素である。ブラウン表現定理より、次数kあがるコホモロジー作用素は、[K(Z/p, n), K(Z/p, n+k)]と同一視されるのだった。だから、Hn(•;Z/p) ∼= [•, K(Z/p, n)]に代入して、次を得る。

D0 ∈ [K(Z/p, n), K(Z/p, n)] ∼= Hn(K(Z/p, n);Z/p) ∼= Z/p.

特に、D0は空間と次数によらず Z/pの元と思える。しかし補題 14.12より、S1で恒等射だから、全ての空間に対して、恒等射である。以上により、定義 14.5にあった P iは、Steenrod公理を満たしたことになる。

96

14.3 対称群のホモロジーに関するメモ

Grouppropsの「Group cohomology of symmetric groups」に低次のホモロジーが書いてある。またMann[Mann]の論文など, 非安定域の研究がある。自然な写像

τ : K(S∞, 1) −→ limn→∞

ΩnSnS0

があり、ホモロジー群の同型を誘導する： τ∗ : H∗(S∞)∼= limn→∞H∗(Ω

nSn). さらに、τ∗は環同型である。ここで、入射Sm × Sn → Sm+nの誘導射によって H∗(S∞)に環構造を与え、H∗(limn→∞ΩnSn)はループ積によって環構造を入れる。この事より、ホモロジー群H∗(S∞;Z)を計算する難しさは球面の安定ホモトピー群のそれとほぼ等価である事がわかる。一般にはその計算は難しいが、無限対称群のmod pコホモロジー群H∗(S∞;Fp)に関しては、中岡 [Naka]によって完全に決定されている。その基底の記述は、Wreath積と、コホモロジー作用素によってされる。

97

15 オイラー標数

有限CW複体Xに対し、オイラー標数χ(X)が定義できる。その定義は、χ(X) =∑

i=0(−1)irankHi(X;Z) =∑i=0 rankZC

celli (X;Z)であった。その類似として、この章では、ある条件をもつ群Gに対

し、オイラー標数を説明しよう。ことの始まりは、Wallが「Gの有限指数部分群G′で捩れ元を持たず, BG′が有限CW複体にホモトピー同値となるものがある」時、次の値がG′

の取り方によらない事が示されたことによる：

χ(G) =χ(BG′)

|G : G′|.

しかしながら、いまの鍵括弧「」に述べた条件は、群の色々な操作で閉じてない条件である。そこでBrownはもっと一般に、Gの条件として “仮想ねじれ自由で、仮想ホモロジー有限型”を考えた (他方でWeissによる方法もある [Wei]). そこで 15.1節でそのBrownの条件を復習した後、15.2節でオイラー標数の定義を述べる。最後に計算例など補足する。なお、この章は証明抜きの解説とする。実際、オイラー標数の専門家R. Brownによって

[Bro]に詳細な証明が書かれている。ただ詳述は [Bro]の様に長いページを要するため、この章は手早く勉強したい人の為の速成的な解説とした次第である。

15.1 複体の射影的長さ

Rを環とし、M をR-加群とするとき、proj dimRM ≤ nであるとは、M の長さ nの射影的分解が存在する事をいう：

0→ Pn → Pn−1 → · · · → P0 →M → 0 (exact).

補題 15.1 ([Bro, VIII章 Lemma 2.1]). 次は同値である：

1. proj dimRM ≤ n.

2. ExtiR(M,−) = 0 for all i ≥ n.

3. Extn+1R (M,−) = 0.

4. もしR上完全列 0 → K → Pn−1 → · · · → P0 → M → 0で Piが射影的ならば、Kも射影的である。

さて、群Gに対し、R = ZGとM = Zという場合を考えよう。群Gのコホモロジー次元cdGとは、proj dimZGZ ≤ nを満たす最小の nの事である (もし存在しないとき cdG =∞とする). 上の補題より、 次の等式が成立する：

cdG = infn | Zは長さ nの射影分解を許容する。

= infn | i > nに対し、H i(G,−) = 0.

= supn | 或るG-加群M に対し、Hn(G;M) = 0 .

例 15.2. (1) cdG = 0⇔ Gは自明な群。(2) cdG = 1⇔ Gは自由群。( ⇒は難しく深い。Stallingsと Swanの定理）(3)MをK(π, 1)空間である向き付きn次元多様体とし、G = π1(M)とすると、cdG = n.

(4) Gが関係子が一個の表示 rを持つ (但し、rは冪の形ではない) とき、 cdG ≤ 2.

(5) Gが捩れのない次数 nの降中心列で止まるとき、cdG = nが知られている。

98

cdG <∞を示したい時が多い. そこで 次の様な性質が知られている。

命題 15.3 ([Bro, VIII章の命題 2.4]). 1. 部分群G′ ⊂ Gに対し、cdG′ ≤ cdGである。等式を満たす必要十分条件は、cdG <∞かつ (G : G′) <∞.

2. 群拡大 1→ N → G→ Q→ 1に対し、 cdG ≤ cdQ+ cdN.

3. 融合積G = G1 ∗A G2に対して、 cdG ≤ maxcdG1, cdG2, 1 + cdA.

系 15.4. もし cdG <∞のとき、Gは捩れ自由である。つまりGは捩れ部分群を持たない.

Proof. 実際、もし捩れ部分群Hを持つと、cdH =∞より、命題 15.3の 1.に矛盾する。

命題 15.5 ([Bro, VIII章の命題 2.6]). 任意の群Gに対し、長さが cdGとなる、Zの Z[G]-自由分解が存在する。

次の定理はオイラー標数を定義する上で大事である。

命題 15.6 (Serre [Bro, VIII章の定理 3.1]). もしGが捩れ自由で、G′が有限指数の部分群とすると、cdG =cdG′.

すると、仮想的 (virtual)という概念を考えたくなる：

定義 15.7 ([Bro, VIII. 11章]). (1) Gが仮想捩れ自由であるとは、ある捩れ自由な有限指数部分群G′が存在することを言う。(2) Gが仮想捩れ自由である時、仮想コホモロジー次元とは cdG′をいう (ここでG′の取り方によらない事は命題 15.6より), それを vcd(G)とかく。(3) Gが有限ホモロジー型であるとは、vcd(G) < ∞であり、 任意の Z-加群として有限生成なG加群M に対し、Hi(G;M)が有限生成である。

15.2 オイラー標数

捩れ自由である時の、オイラー標数の定義を述べよう：

定義 15.8 ([Bro, VIII. 6章]). Gが有限ホモロジー型で捩れ自由である時、Gのオイラー標数を次で定義する。つまり

χ(G) :=∑i≥0

(−1)irkZ(Hi(G;Z)).

次に、ねじれがある場合の定義を紹介する。それには次の補題に注意する：

補題 15.9 ([Bro, VIII. 6章]). 指数部分群G′ ⊂ Gを任意にとる。この時Gが有限ホモロジー型の性質は、G′のそれと同値である。

これはスペクトル系列により示されるが、それはさておき、

定義 15.10 ([Bro, VIII. 7章]). Gが有限ホモロジー型の任意の群に対し、Gのオイラー標数を次で定義する。つまり有限指数部分群G′ ⊂ Gで捩れ自由であるものをとってきた時、

χ(G) :=χ(G′)

(G : G′).

99

この定義で、G′に取り方によらない事は非常に非自明であるが、それは後回しにして、性質を列挙しよう：

命題 15.11. 1. Gが有限ホモロジー型で、G′が有限指数の部分群とするとき、χ(G′) =|G : G′|χ(G)が成立する。

2. G′, G′′が有限ホモロジー型であり、 群拡大 0→ G′ → G→ G′′ → 0があったとする。Gが仮想捩れ自由であるとき、χ(G) = χ(G′) · χ(G′′)が成立する.

3. H,K,Aが有限ホモロジー型であるとし、Gを融合積H ∗A Kとする。もしGは仮想捩れ自由であるとき、χ(G) = χ(H) + χ(K)− χ(A)が成立する.

4. Xが可縮なG複体であり、 χG(X)が定義できたとする。Gが仮想捩れ自由であるとき、Gが有限ホモロジー型であり、 χ(G) = χG(X)である。27

例 15.12. SL2(Z)は融合積Z/4∗Z/2Z/6であったからχ(SL2(Z)) = 1/4+1/6−1/2 = −1/12と求まる. 他方で、アーベル化 SL2(Z)→ Z/12の核は、生成元 2個の自由群である。故にχ(SL2(Z)) = χ(Z/12)χ(F ) = −1/12と求まる.

他にも、GがLie型の代数群である場合には、ゼータ関数の特殊値との関連が知られている（[Bro, VIII. 8節]等を参考。後日、他にオイラー標数の示されている例を述べるかも？）他方で、vcdG <∞となる条件も大事である。そこで [Bro, VIIIの定理 11.1]にそうなる必要十分条件が書いてある。まず cdG < ∞となる必要十分条件が「Gが自由に作用する有限次元の可縮CW複体が存在」する事が示されている [Bro, VIII.7]. 次にGが作用するCW複体が固有であるとは、各セル σに対し、固定部分群Gσが有限群である時をいう。

命題 15.13. Gが仮想捩れ自由な群とする。この時 vcdG <∞となる必要十分条件はGが固有に作用する有限次元の可縮CW複体Xが存在する事である。さらにその様なXは次の性質を持つように取れる：Xは単体的であり、任意の有限部分群H ⊂ Gに対し、古典点XH は空集合でなく可縮である。

最後に、χ(G)がG′の取り方に依らない事の証明の流れを示しておく：まず Swan’sの定理 [Bro, VIII. 定理 4.4]の系として次を示す:

系 15.14 ([Bro, VIII. 系 4.5]). 任意の有限群GのZ[G]上の有限生成射影加群P に対して、

rkZ(P ) = |G| · rkZ(PZ).

Brownの本では “Hattori-Stallingの階数”という一般概念から Swan’sの定理を示している為、本が冗長になっている。そして

定理 15.15 ([Bro, VIII. 系 4.5]). Gを有限群とし、C∗を有限生成射影加群P の有限複体とする。もしH∗(C∗)が有限生成である時、H∗(CG)もそうで、次が成立する：

χ(C∗) = |G| · χ(CG).

これは C∗が有限次元複体の時は系 15.14から明らか。一般の場合は有限次元複体 F∗にホモトピー同値を作る事で示される（詳細は [Bro, VIII. 補題 5.4]を見よ).

27G-同変オイラー標数は次で定められる：X が G の作用する複体で、(i) 全ての固定部分群 Gσ が有限型で (ii)が modG で有限セルであるとき、χG(X) =

∑σ∈E(−1)dimσχ(Gσ) である。ここで E は mod G で見たときの X のセルの代表元全てを走る。

100

系 15.16 ([Bro, VIII. 系 5.6]). cdG < ∞となる群 Gと、有限位数な正規部分群 G′ ⊂Gをとる。もしH∗G

′が有限生成であれば、この時H∗Gもそうで、∑

i(−1)irkZ(HiG) =∑i(−1)irkZ(HiG

′)となる。

Proof. PをZの有限長さのZG上の射影分解とし、Γ := G/G′とする。C := PG′ = ZG⊗ZGP

はZG射影加群の有限次元複体であり、 H∗(C) = H∗G′かつH∗(CG)H∗G

′である。ここで定理 15.15を適用すると、証明が終わる。

系 15.17 ([Bro, VIII. 定理 6.36]). Gを捩れ自由な群で有限ホモロジー型とし、G′を有限指数部分群とする。この時、χ(G′) = (G : G′)χ(G).

Proof. G′が正規部分群の場合に示せばよい（実際、G′の正規閉包を考察せよ）が、それは系 15.16からである。

χがG′の取り方に依らない証明. G′′をもう一つの捩れ自由な部分群とする。H := G′∩G′′

とおくと、系 15.17を用いて、次式を得る：

χ(G′)

(G : G′)=χ(H) · (G′ : H)

(G : H)=

χ(H)

(G : H).

で同様に、χ(G′′)/(G : G′′) = χ(H)/(G : H)だから証明が終わる。

15.3 双対群（工事中）

101

16 閉3次元多様体の基本類

3次元多様体論では基本群と基本類が非常に重要である事はよく知られている（幾何化予想の帰結）。そういった研究の中で基本類とホモロジーとを比較して議論が展開される事がある。

16.1 一般論

群コホモロジーの視点から、扱いたい対象は至ってシンプルである。M を連結な閉 3次元多様体で向きを固定する、言い換えると基本類 [M ] ∈ H3(M ;Z) ∼= Zの生成元として固定する。すると 4.3節のK(π1(M), 1)の構成より、自然な入射 ι : M → K(π1(M), 1)が (

homotopyを除き一意に）存在する。そこで次の押出について、本章で考察していく。

ι∗([M ]) ∈ H3(K(π1(M), 1);Z) ∼= H3(π1(M);Z) (61)

まず、この 3類 (61)を強さを述べよう。実際、3次元多様体のホモトピー型を分類する事が知られている：

定理 16.1 (Sw74). α : π1(M)∼→ π1(N)を閉 3次元多様体間の基本群の同型射とする。こ

の時、向き付きホモトピー同値を与える連続写像F :M → N でF∗ = αとなるものが存在する必要十分条件は、同型 α∗ : H3(π1(M);Z) → H3(π1(N);Z)があって α∗([M ]) = [N ]を満たす事である。

簡単な証明は、[AMS, VIII 定理 1.9]を見よ。加えて、群ホモロジーH3(π1(M);Z)は次の様に決定されている：

定理 16.2 ([Si3] ). π1(M)の自由分解を考える。つまり、次の自由積の形を持つとする。

π1(M) ∼= (G1 ∗ · · · ∗Gn) ∗ (Z/d1 ∗ · · · ∗ Z/dn) ∗ (Z ∗ · · · ∗ Z)

ここで di ≥ 2で、Giは自由積に表せない（Zと同型ではない）群とする。この時、

H3(π1(M);Z) ∼= Zn ⊕ (Z/d1 ⊕ · · · ⊕ Z/dn). (62)

さらに ι∗(M)は、各 Zか Z/diに制限すると生成元になる。

なお π1(M) = G1 ∗ G2と書けるとき、或る 3次元多様体M1,M2がありM = M1♯M2と連結和で書けるのだった（[森本, 定理 14.5]などを見よ）。その為、この定理から解るように、H3(π1(M);Z)だけを見る事は面白くない。

例 16.3 (レンズ空間と S2 × S1). (62)において、自由分解の際に Z/diや Zが入っている場合、H3に余り良い影響を与えていない点を説明する。まずZに関してであるが、それはS2×S1が念頭にある。しかし、M = S2×S1の場合はB3×S1の境界だから、ι∗([M ]) = 0

である。特に (62)でその部分はH3で消える事になる。他方で、Z/diとなる成分について言及する。まず互いに素となる整数 (p, p1, . . . , pn) ∈ Zn

に対し、2n+1次元レンズ空間L(p; p1, . . . , pn)が定まる 28。無限列L(p; p1, p2) ⊂ L(p; p1, p2, p3) ⊂28レンズ空間 L(p; p1, . . . , pn) の定義は以下の様：

S2n−1 = (z1, . . . , zn) ∈ Cn | |z1|2 + · · ·+ |zn|2 = 1 と球面をおく。そこで Z/p = ζ ∈ C|ζp = 1 を次式で S2n−1 に自由に作用させる：

ζ(z1, z2, . . . , zn) = (ζp1z1, ζp2z2 . . . , ζ

qnzn).

レンズ空間とは、商空間 S2n−1/Z/p で定義される。それらの同相類やホモトピー同値類は [] 等を参照の事。

102

· · · の極限は無限次元レンズ空間L∞(p)である。特に入射 ιがL(p; p1, p2) → L∞(p)によって、H3への影響は pしかない事が読み取ることが出来る。

以上の結果で見られる通り、群ホモロジーH3(π1(M);Z)を単独的に見るより、相対的な視点を取る事が多い。つまり、他の群Gと準同型 f : π1(M)→ Gを用い、押出 f∗ ι∗([M ])

に焦点をあて考察しよう。

注意 16.4 (有向ボルディズム群との比較). 一般に３次ホモロジー群H3(X;Z)は “有向ボルディズム群Ω3(X)”に同型である （Atiyah-Hirzebruchスペクトル系列の帰結）。これより色々な視点が生まれる。まず「任意の群Gと任意の 3類 κ ∈ H3(G;Z)に対し、或る閉 3

次元多様体M と準同型 f : π1（M）→ Gがあって f∗ ι∗([M ]) = κ」が言える為、多様体から 3類を見る事は自然である。またM にボルディズムでつながるもの考える事が有用だったりする。例えばM が “Seifert多様体”である時、うまくレンズ空間の非連結和にボルディズムが取れる技がある（[JW]参照）。

簡単な対象かもしれないが、Gがアーベル群である場合は定性的な結果がある：

例 16.5 (アーベル化). Ab : π1(M)→ H1(M ;Z)をアーベル化とする。A(M)をAb∗ι∗([M ])

とする。A(M)の情報量は次で決定づけられる（[CGO]の結果）：もし（H1が同型な）二つの 3次元多様体M,M ′に対して、ある同型H1(M ;Z) ∼= H1(M

′;Z)があり、 その中でA(M) = A(M ′)である必要十分条件は、M とM ′の “リンキング型式”と任意の三重カップ積が等価である事である 29。この結果は、アーベル群の３次コホモロジーの計算結果（8.2節）と呼応する事が読み取れよう。

一方で、非アーベル群に関しては定性的な結果は余り知られていない。そこで強さや定量的な視点から、押出 f∗ ι∗(M)を３次元多様体の不変量として考えてみよう。それには計算できる様に、(61)と 3-コサイクル ψ : H3(G;A)とのペアリング ⟨ψ, ι∗([M ])⟩を考える事が多い。大切な例を挙げる：

例 16.6. Mが双曲計量を持つとすると、自然な入射ρ : π1(M)→ SL2(C)が一意的に存在する事が知られている（ρをホロノミーという）。他方で、Chern-Simons類CS : SL2(C)3 →C/2π

√−1Zが知られている。そのペアリング ⟨ρ∗(CS), ι∗([M ])⟩は双曲体積と呼ばれる。こ

のペアリングの虚部は双曲計量の体積と一致する事がよく知られている ([Neu]とそこの引用文献など参照)。

もう一つの例としてGが有限群となる場合が挙げられるが、次小節で紹介する

16.2 Dijkgraaf-Witten不変量

この小節では、Gを有限群とし、ψ : G3 → Aを標準複体による群 3-コサイクルとする。まず考えていく不変量を説明する。各準同型 f : π1(M)→ Gに対して、上記の様なペアリング ⟨f ∗(ψ), ι∗([M ])⟩ ∈ Aが考えられる。ここで、集合Hom(π1(M), G)が有限集合であるため、群環 Z[A]上に次の形式和が定義できる：

DWψ(M) :=1

|G|∑

f∈Hom(π1(M),G)

⟨f ∗(ψ), ι∗([M ])⟩ ∈ Z[A]. (63)

29リンキング型式とは、或る双線形写像 H1(M ;Z)×H1(M ;Z)→ Q/Zで（詳細は [河内] など参照）である。他方で、三重カップ

積とは r ∈ Z に対して、合成写像 H1(M ;Z/r)3 −→ H3(M ;Z/r)•∩[M ]−→ Z/r の事である。

103

この形式和はDijkgraaf-Witten不変量と呼ばれる（定義の動機は補足１と２を見よ）。不変量の視点からは、素朴すぎる定義である。しかし一般に計算はそれほど簡単ではない。３段落ほどでDijkgraaf-Witten[DW]が提案した計算法を紹介しよう。

定義 16.7. 1. Mに対して、向き付き単体分割∪i∆iを固定する。Kをその単体複体とする。Edge(K) = Kの 1-単体とその上の向きの組 とおく。写像ϕ :Edge(K)→ Gは、次の 2つの条件を満たすとき、K のカラーと呼ばれる：

• Kの向きづけられた任意の 2-単体 F に対して、ϕ(∂F ) = 1, （図 11参照）

• 任意のE ∈Edge(K)に対して ϕ(−E) = ϕ(E)−1。但し、−EはEに逆の向きをいれた 1-単体とする。

2. Kのカラー全体からなる集合をCol(K)で表わす。

命題 16.8. 自然な |G|a : 1-写像Col(K)λ−→ Hom(π1(M), G)がある。ここで aはKの頂点

の数とする。

Proof. 極大ツリー T ⊂ K を固定する。T を一点につぶす商集合K/T に対するカラー全体を同様に定義し、カラーからなる集合Col(K/T )をとる。するとファンカンペンの定理より、Hom(π1(M), G)は 1対 1対応である。他方で、商射K → K/T の誘導射Col(K)↔Col(K/T )は |G|a : 1写像のため、証明が終わる。

次に、Kのカラーφ ∈ Col(K)に対して重みを定義しよう。まず3-単体σ = |a0a1a2a3| ∈ Kに対して重みW (σ;φ) ∈ Aを

W (σ, φ) := ψ(g, h, k)ϵσ

により定める。但し、Kの局所順序から σの頂点集合に全順序 a0 < a1 < a2 < a3を自然に定め、ϵσを

ϵσ =

+1 (局所順序から定まるσの向きが、|K|の向きと同調する場合);

−1 それ以外.

と定め、g, h, k ∈ G3を次で定めた：

g = φ(⟨a0, a1⟩), h = φ(⟨a1, a2⟩), k = φ(⟨a2, a3⟩).

これにより次の形式和を考えよう：

Zψ(M) =1

|G|a∑

φ∈Col(K)

∏σ∈K(3)

W (σ, φ) ∈ Q[A]. (64)

命題 16.9. この形式和は (63)と等しい。つまりDWψ(M) = Zψ(M) ∈ Z[A].

（証明の概略）. 第一に、f : π1(M) → Gに対し、φ ∈ λ−1(f)におけるW (σ, φ)が f のみに依存する事を証明する（ツリーの議論から妥当だろう）。第二に、4.3節で定義した単体的集合の幾何実現 BGを考える。f : π1(M) → Gに対し、分類写像と押出の合成f∗ :M → Bπ1(M)→ BGが単体的写像として取れる。この単体∆i ⊂M に対する重みが、f∗(∆i) ⊂ BGの単体と一致する事を確かめられる。この一致性より、ψをペアリングすれば、欲しい等式を得られる事になる。

104

g−1

g

h

h−1g−1

7−→ ψ(g, h, k)

図 11: カラーの条件式（左図）と、重みの模式図（右図）。

この計算法 (64)はレンズ空間の場合ですら実用的ではない ([和久井]参照）。実際、三角形分割を与え、かつ、

∏の中身を簡単な形に書き直す事は困難である。しかし、三角形分

割を用いた (64)の右辺を通じる事で、他の不変量との関連や等価性を得られることもある。例えば以下の様な結果がある。

例 16.10 (計算例の列挙). G = Z/pの時、DWψ(M)は次の不変量に等価である事が知られている：U(1)-量子不変量、リンキング型式: [MOO]を見よ。特に、DWψ(M)はガウス和の形になりやすい事が見て取れる。

例 16.11. Gが非可換の場合は研究や計算例が少ない。べき零の場合の試みは [CGO]を参照。Gが或る二階べき零群で、ψがあるマッセイ積の時、[No2]に計算例が少しある。“カンドルコサイクル不変量”との関連もある。

以上、Dijkgraaf-Witten不変量の綺麗な側面を紹介した。しかし、幾らか危険な曲がり角が存在する為、補足しておこう：

補足 1．Pachner移動。M上に、任意のふたつの（向き付き）三角形分割を与えると、その二つは “Pachner移動”という関係で移りあう (詳細は [DW, 和久井]などを参照)。したがって、不変量を構成する方針とし、Pachner移動で不変なものを作る方針は妥当だろう（これはTuraev-Viro型の不変量に有効である）。しかし、Dijkgraaf-Witten不変量がPachner

移動で不変であるかを確かめられると、辺の向きの依存性をチェックする必要があり、その場合わけが非常に多い。さらに、1つの単体上の局所的な向きの依存性が問題となるため、非常に議論がややこしなっている ([和久井]を参照すれば困難さがわかる)。

補足 2．[DW]の論文の概要を知る事も有用であろう。実際次の議論がある。まず Chern-

Simons類の 3次元量子場論がＴＱＦＴ（の様なもの）を生み出すことはよく知られている。そこで [DW]の前半ではChern-Simons作用の前量子化でもＴＱＦＴの様な性質が成立つ事が示されている。その流れで [DW]の最終章でゲージ群を有限群に制限した場合の考察がなされ、上命題などが示されている。格子ゲージ理論との兼合いも議論も興味深い。

補足3．ＴＱＦＴとの関連もあり、境界つきのMに対しDWψ(M)を導入する必要があろう。しかし幾つか困難が幾つかある。まず相対群ホモロジーの問題がある。それにＴＱＦＴの様な設定をするには、境界に人工的な条件が必要になる為、事を複雑化している。[和久井]

参照。

16.3 恒等子による基本 3類の表示

不変量 (61)の解明と計算には、3次元多様体の基本類をどう明示するかに掛かっている。前小節では単体分割による上記の方法は素朴ながら大変な側面もあった。そこで本小節で

105

は、Sieradskiの研究に基づいて、恒等子から基本３類の表示を紹介する。アイディアは次の様である：モース理論によれば有向閉３次元多様体M は次の様な胞体分解を持つ 30

M = e0 ∪ (e11 ∪ · · · ∪ e1g) ∪ (e21 ∪ · · · ∪ e2g) ∪ e3.

ここで ei∗は i-次元ハンドル、即ち i次元胞体と思ってよい。すると差M \ e3は２次元胞体で、群表示 π1(M) = ⟨x1, . . . , xg|r1, . . . , rg⟩から決定されるものである。よってM は接着写像 qC : S2 →M \ e3と、その群表示で決定できるはずである。そこでアイディアは qCを相対ホモトピー群と恒等子で表す事である。その試みをまとめた本 [AMS]があるが、本節では本質的なアイディアを中心に説明する。まず恒等子 sに対して、qs : S2 → KP を構成しよう。ここで Gが表示 P = ⟨F |R⟩ =⟨xi (i ∈ I) | rj (j ∈ J) ⟩が与えられ、恒等子 sは

∏nm=1wmρ

ϵmjmw−1m ∈ F ∗ Rと表示された

とする (定義と設定は 6.4節を参照)。mに対し、関係子 ρjm と語 wmとを具体的に書き下しておこう：

ρjm = xϵm,1

m,1 · · · xϵm,ℓm

m,ℓm, wm = x

ηm,1

m,1 · · · xηm,km

m,km, (ϵi,j, ηi,j ∈ ±1).

各wmρϵmjmw−1m に対して、ラベル付き ℓm角形Djmをとり、また長さ kmの線分 Im = [0, km]

を用意し、km-等分割し長さ１の辺ごとにラベルを xϵm,1

m,1 · · · xϵm,km

m,kmを付ける（ϵm,ii に応じ

向きを正負で入れる）。また km ∈ Imの部分をDjm の最初の頂点にくっつける。そして区間 I1, . . . , In を 0で一点和をとる。例 4.8で構成した 2次元 CW複体 KP をおき、w′m : Im → K

(1)P を語wmを実現するような胞体写像とする。また ym : Djm → KP を例 4.8

で示した接着写像とする。まとめると

∪nm=1

(w′m ∪ ym

): ∪nm=1

(Im ∪Djm

)−→ KP

という胞体写像を得る（図 12を参照）。∪nm=1

(Im∪Djm

)は（Ijの管状近傍を取る事で）円

板D2にホモトピー同値である為、対連続写像 ps : (D2, S1)→ (KP , K

(1)P )と見做せる。こ

こで相対ホモトピー群の長完全列を考えよう：

0 = π2(K(1)P ) −→ π2(KP)

proj−→ π2(KP , K(1)P )

∂−→ π1(K(1)P ) −→→ π1(KP).

恒等子の定義より、∂([ps])は 0である。よって完全性から、qs : S2 → KP に（ホモトピーを除き一意的に）持ち上がる。これが欲しい qsである 31。

... ..........

Dj1 Dj2

0

I1 I2In

Djn

ps−−−−→

KP

図 12: ps の模式図

30これを Heegaard 分解という。詳しくは [森本] などを見よ。31以上の構成は KP の 2 次ホモトピー群を恒等子で消す操作に対応する。実際、qs によって、D3 を KP に接着させることで、

π2(KP ) の中で [qs] を消すことが出来る。この操作を π2(KP ) が全て消えるような全ての恒等子に適用する事で、K(G, 1) の 3 スケルトンが得られる。これを代数的に書くと完全列 (26) を得る。

106

qs は持上げで定義されたが、一般に具体的によく解らない。しかし、持上げなくともqs : S

2 → KP を構成できる事もある。その条件を書き下そう (初見では解りづらいため軽く読み流しても良い)：

定義 16.12. (i) syllableとは自己全単射写像

I : ∪nm=1(m, 1), . . . , (m, ℓm) → ∪nm=1(m, 1), . . . , (m, ℓm)

で、条件 xI(i,j) = xi,j ∈ F と ϵi,j = −ϵI(i,j) ∈ ±1を満たす時を言う。(ii) Syllable Iに対して、和集合⊔ni=1Driに次の同値関係を考える：つまり、 xi,jで添え字づけられた辺と、xI(i,j)で添え字づけられた辺とを同一視する。(iii) 恒等子 sが taut 32であるとは、ある syllable Iが存在し、⊔ni=1Dri上に前述の同値関係∼で割った商空間 ⊔ni=1Dri/ ∼が S2に同相であり、さらに下記の条件 (*)を満たす次の連続写像が存在する事をいう：

λm : [0, km + 1]→ ⊔ni=1∂Dri/ ∼ と κm : [0, ℓm + 1]→ ∂Drm/ ∼,

(*) mに対し、区間 [ki− 1, ki]の行先 λm([i− 1, i])は xm,iで添え字づけられた辺と向きを込めて一致する。さらに κm([j − 1, j])はDrmの j番目の辺に向きを込めて一致する。加えて λm(km) = κm(0) = κm(ℓm)を満たす。

例を見る前に、taut性が 3次元多様体と相性が良い事を確認しておこう：

定理 16.13 ([Si3]). 任意の閉 3次元多様体M に対して、π1(M)がバランス表示 33を持ち、さらに或る taut恒等子 sがあり、 qsによりD3をKPに貼りつけたものがMに同相である。逆に、バランス表示の群Gと、或る taut恒等子 sに対して、qsによりD3をKP に貼りつけたものは、閉 3次元多様体に同相である。

定義 16.12は初見では解りづらいが、次の例を見ればアイディアは素朴なものである事が確かめられる ([Si2, Si3]参照)：

例 16.14. p, q ∈ Zを互いに素となる自然数とする。レンズ空間 L(p, q)を考えよう。その基本群はZ/p ∼= ⟨x : xp⟩である。関係子 r = xpをとして、tautな恒等子Wp,q = r ·x−qr−1xq

を取り、KP にB3を貼りつけよう。出来あがる空間は、レンズ空間 L(p, q)に同相である事が知られている。(図 13はその模式図）この様に、一般に、群表示に対し出来上がる 3次元多様体は、（群表示 P から一意でなく） tautな恒等子の選び方に依る。しかし、もし閉 3次元多様体M がK(π1(M), 1)空間であれば、tautな恒等子の選び方に依らない（事がすぐ解ろう）。

例 16.15. M = S1 × S1 × S1 は K(Z3, 1) 空間である。その基本群の表示を ⟨x, y, x :

[x, y], [y, z], [z, x]⟩をとると、tautな交換子は次で書ける。

W(S1)3 = (1, [x, y])(y, [z, x])−1(1, [y, z])(z, [x, y])−1(1, [z, x])(x, [y, z])−1.

この恒等子は 6つの関係子で出来ているが、それは立方体の側面に対応する (図 14参照）32qs の構成方法から、tautの定義は次の代数的性質に同値である事が確かめられるようだ（[Si3, p. 126]）。直訳すると次になる (解読できるだろうか？)：ψ(s) = 0 ∈ F を確かめられる際に、次の二つを満たす free reductionが取れる時である：(i) ψ(s) ∈ F に出てくる語 x, x−1 に対して、語 w±1

i の中で conjugating pairsx±1 の列で関係するか, x, x−1 が xδx−δ という形でキャンセルするか、対応する x±δ が r±ϵ 内に現れるかであり、（ii）どんな二つのシンボル xδ, yδ ∈ ψ(s) が ψ(s) 内で syllable appearances xδyδ の列で関係づけられる。

33バランス表示とは ⟨x1, . . . , xg |r1, . . . , rg⟩ の様に、生成元と関係子の数が等しい表示をいう。

107

−−−−→

図 13: p = 6, q = 5のときの taut恒等子W による qs。右の球面の中身を 3-ballで埋め込めばレンズ空間

L(6, 5)が実現できることが見て取れる。

−−−−→

図 14: taut恒等子W(S1)3 による qs。右の立方体の中に 3-ballを埋め込めば 3次元トーラス (S1)3が実現で

きることが見て取れる。

さて、tautな恒等子sに対し、qs : S2 → KPと基本類との兼ね合いを述べよう。K(π1(M), 1)

の構成から多様体MはK(π1(M), 1)の部分胞体と見做せる。但し 0-,1-,2セルは同じで、Mの 3セルは、qsひとつのみで、M の 4次以上の胞体はないという形である。そこで完全列(26)を比較すると、普遍被覆 M の胞体複体が次の様にかける。

0→ Z[π1(M)]∂3→ Z[π1(M)]g

∂2→ Z[π1(M)]g∂1!→ Z[π1(M)]

ϵ→ Z −→ 0. (65)

ここで ∂∗は定理 6.9で説明したものと一致する。以上より、普遍被覆 Mの胞体複体が群ホモロジーを用いて具体的に書き下す事が出来た。そして、この構成は次の意味で関手である。群表示が与えられたΓと準同型 f : π1(M)→ Γ

に対して、複体 (65)から完全列 (26)への鎖写像が構成できる。故に、基本類 [M ]の押出f∗([M ])が恒等子で記述できた事になる。この事より、閉 3次元多様体のDW不変量に関し計算が色々できると思われる。

例 16.16. 応用例として、恒等子を用いて、レンズ空間のDW不変量を計算してみよう。まず準備をする。pと qは互いに素な整数とする。R = Z[t]/(tp− 1)を群環Z[Z/p]と同一視する。例 16.14より、π1(L(p, q)) = Z/p = ⟨x|xp⟩の恒等子が解っている為、完全列 (65)

は次の様になる事に注意しよう：

0 −→ R1−tq−−−−→ R

1+t+···+tp−−−−−−−→ R1−t−−−→ R

ϵ−→ Z −→ 0. (66)

すると恒等子の形より、命題8.15より、(少し計算すれば解るが、)カップ積∪ : H1(L(p, q);Fp)×H2(L(p, q);Fp)→ Fpが (a, b) 7→ qabになる事が確かめれる。

108

さてDW不変量を計算しよう。π1(L(p, q)) = Z/pだから群GをZ/pとするのが妥当だろう。ここで例 2.20より、H3(Z/p;Fp) ∼= Fpの生成元ψ が α βと書ける事を思い出そう。よって、準同型 f : π1(L(p, q))→ Z/pに対して、ある j ∈ Fpがあって、

⟨f ∗(ψ), ι∗[M ]⟩ = ⟨f ∗(α β), ι∗[M ]⟩ = ⟨jα jβ, ι∗[M ]⟩ = qj2

となる。よって、全ての f に対して足し挙げる事で、次をえる：

DWψ(L(p, q)) =∑j∈Z/p

1qj2 ∈ Z[Fp].

これは qの取り方に依る事に注意する。特に、L(p, q)のホモトピー同値類を分類できる事が確かめられはする。

補足．恒等子を用いて群の３次ホモロジーの計算法を与える結果がある [Si2]。（この事について、詳細を書くべきだろうか？）

109

17 Scissors congruence

個の節では、Scissors congruence(ヒルベルトの第 3問題)を紹介し、特に 3次元の場合にどう群ホモロジーと関係するか述べる。特に、双曲空間の場合に、Bloch群と関わることも概観する。なおこの節は証明を端折る事が多い。というのも、証明が長いうえに、手法は、スペクトル系列や行列計算や関係式のチェックが多いため、証明をフォローしても本質が (少なからず私には)解らず意味不明になると思われるからである。

17.1 Scissors congruenceの導入

直線 (超平面)で切ったり合同変換をして移りあうことを, Scissors congruenceという。何度も使うため、「SC」と略記しよう。古典的には、以下の問題が知られていた。

定理 17.1. どんな平面上の多角形Aも、一辺が長さ１の長方形に S.C.でる。

Proof. Aは三角形 abcとしてよい。abと acの中点をB,Cとすると、aBCを切ることで平行四辺形ができる (左下図参照). そして平行四辺形をずらせば長方形ができる。長さ１を作るには、次の様にすればよい。右下図の様に、高さ１となる平行四辺形を作れば、前半の議論より、高さ１の長方形が出来上がった。

c

BC

a

b

しかし３次元の場合どうだろうか？つまり、二つの四面体 P, P ′があったとき,　どのような条件があれば、S.C.になるのだろう？体積が等しい必要性は解るが、他に条件は必要だろうか 34？その必要条件として、Dehn (1901)や Bricard(1896)は、多面体 P に対し、次の量を考えた。

D(P ) :=∑

A: P の辺

ℓ(A)⊗ (θ(A)/π) ∈ R⊗ R/Z,

ここで ℓ(A)はAの長さで、θ(A)はP 内でAを挟む二面の角度である (図 15を見よ). すると次が知られている (証明は [Dup3, １と５章]参照).

命題 17.2. (1) P と P ′が S.C.であるとき、D(P ) = D(P ′).

(2) 立方体 C に対し、D(C) = 6 ⊗ 1/2 = 0で、正四面体 T に対しては D(T ) = 4 ⊗cos−1(1/3) = 0である。

さらに時を経て、[Sydler, 1965][Jessen, 1968]によって、次が示された。(証明は [Dup3,

６章]参照)

定理 17.3. P と P ′が S.C.である必要十分条件は、Vol(P ) = Vol(P ′)かつD(P ) = D(P ′).

110

←− θ(A)PA P

∆∆∆

図 15: 左図は角度 θ. 右図は双曲平面H2内の S.C. P は青部である。∆は右角度と左角度で決まっている事

にも注意したい。なお、Sciossors群では [P ] ≡ [∆]が解る事も注意したい。

以上は、視覚的で初等幾何に関連しそうな問題だったが、一般的に、以下の様にヒルベルト第 3問題に関連する：まず, 幾つか用語を用意する。Xを Euclid空間En, 球面 Sn, 双曲空間Hnとする。また

Isom(X)を等長変換群とする。幾何的 n-単体∆ ⊂ Xとは、各辺が測地線となる凸多面体∆ = |a0a1 · · · an|である。a0, a1, . . . , anは頂点と呼ばれる。多面体 P ⊂ Xとは、幾何的 n-

単体の和集合∪kj=1∆jの事で、但し∆i ∩∆jが低い次元の面に限るものをいう。さらに、多面体 P, P1, P2に対し、P = P1 ∪ P2かつ、P1 ∩ P2が内部を持たないとき、P = P1 ⊔ P2と書くことにしよう。

定義 17.4. 部分群G ⊂ Isom(X)を固定する。二つの多面体 P, P ′がG-S.C.であるとは、分割 P = ⊔ki=1Piと P ′ = ⊔ki=1P

′i があって、

∃gi ∈ Gで Pigi = P ′i となる事をいう。このとき P

G∼ P ′と書く。

Hilbertの第 3問題二つの多面体がG-S.C.である事を判定するような不変量を構成せよ。この問題を解くに辺り、次の群を考える事は今や自然であろう。

定義 17.5. P(X,G)を多面体 [P ]で生成する自由加群を次の関係式で割った商群とする。i) [P ⊔ P ′]− [P ]− [P ′]

ii) [Pg]− [P ] ∀g ∈ G.

ここで注意する事に、[P ] = [P ′] ∈ P(X,G)が同値なことは、ある多面体Q,Q′があってP ⊔Q G∼ P ′ ⊔Q′である。図 15の右図のように、[P ] = [∆]という例もある為注意したい。但し次も知られている

定理 17.6 ([Sah, 付録 A]). もし G∼が次の条件を満たすとき、[P ] = [P ′] ∈ P(X,G)はP

G∼ P ′と同値である。ここで多面体分割 P = P ′ ⊔ P ′′とQ = Q′ ⊔ Q′′が P ′ ≡ Q′ かつP ≡ Qとなるとき、P ′′ ≡ Q′′である。

要するに、G-S.C.問題はP(X,G)の研究に凡そ帰着されたことになる。すると群コホモロジーと関連しそうな雰囲気が出てきた。その象徴的な結果として、3次元の場合に限定する (４次や５次は [Dup3, 13章]参照)と、次の様に群ホモロジーから測れることが示されている：

定理 17.7 ([Dup3, 本の前半部分に証明あり]). 次のような完全列がある。

a) 0→ H2(SO(3);R3)σ−→ P(E3, SO(3))/Z D−→ R⊗ R/Z −→ H1(SO(3);R3)→ 0.

b) 0→ H3(SL2(C))−σ−−→ P(H3, SL2(C))

D−→ R⊗ R/Z −→ H2(SL2(C))− −→ 0.

34バナッハ-タスルキーの定理の様に、分割を無限以上を許したり、非可測集合を許すと体積は変化してしまう。綺麗な結果を得るには有限に限る必要がある。

111

c) 0→ H3(SU2(C))σ

−−−−→ P(S3, SU2(C))/ZD−−→ R⊗ R/Z −→ H2(SU2(C)) −→ 0.

ここで a)内のZは、プリズム全体で生成される部分群で、b)内の −の意味は、複素共役が誘導する自己同型で不変部分群を表す (但し σの定義は省略 cf. 定理 17.11内の κ). またここで現れる Lie群には全て離散位相を入れている。

こういうこともあり、リー群に対する群ホモロジーを調べることが大事になる。

17.2 Bloch群との関連

3次元双曲幾何との関連を見るため、そのH3(SL2(F ))の簡略化の相当物となるBloch群を紹介しよう。Neumannのサーベイ [Neu]も参照のこと.

しかしその前に、２捩れ部分はかなり繊細であるため、記号を２つ確定しておく (2-torsion

には関心なければ無視して頂きたい). アーベル群Bに対し、∧2Bを, B⊗Bを a⊗ b+ b⊗a

で割った商で定義する。他方で、アーベル群 Aに対し、Aを唯一の Aの非自明な Z/2-拡大とする (e.g., A = Z/2 =⇒ A = Z/4. 但し、そういう拡大がない場合、 A = Aとする).

Bloch群の定義は次である：

定義 17.8 (Bloch群). 可換体 F に対し、アーベル群 P(F )を次の群表示で定める。即ち、生成元は x ∈ F \ 0に対する不定元 [x]であり、関係式は [1] = 0と次の五角関係式として定めている。

[x]− [y] + [y

x]− [

1− x1− y

] + [1− x−1

1− y−1] = 0, x = y ∈ F \ 0, 1. (67)

このP(F )をPre-Bloch群という。さらに、写像 q : P(F )→∧2

(F×); x 7→ x∧(1− x)を考える。この写像の核 B(F ) ⊂ P(F )を, Bloch群という。これらは次の完全列で整理できる：

0 −→ B(F ) −→ P(F ) q−→ ∧2(F×) −→ F× ∧ F×/(x⊗ (1− x))x∈F\0,1 −→ 0 (完全).

注意 17.9. 次にF = Cをモデルに、上の五角関係式の幾何的意味を述べる。まず「４つの元 0, 1,∞, xに対し、C× [0,∞)内の (3次元)理想四面体が一意に決まる (∵各辺を測地線にした為)」事を思い出そう (図 16を見よ). ここでC× [0,∞)上には (dz2 + dt2)/t2の計量を入れている。この四面体の体積はこの L(x)の実部で与えられる (Neumannと Zagierによる). よって五角関係式はPachner 移動 35の不変性を要請している為ある (図 17を見よ).

注意 17.10. 実数体 F = Rの場合、 ５角関係式 (67)と二重対数との関係が明瞭に解っている。即ち、開区間 (0, 1) ⊂ Rをおく。そこ上のCω-関数 L : (0, 1)→ Rが次の等式

L(x)− L(y) + L(y

x)− L(1− x

1− y) + L(

1− x−1

1− y−1) = 0, 0 <∀ x <∀ y < 1 (68)

を満たすとする。実は、その解は定数倍を除き次式 (Rogers二重対数という)のみしかない [Dup1, Appe.].

L(x) = −(∫ x

0

log(1− t)dtt

)+

1

2log(x)log(1− x)− π2

6, (0 < x < 1).

35Pachner 移動は次の意味で重要である。つまり閉 3 次元多様体 M の３角形分割が二つ与えらた時、それらは有限回の Pachner移動とイソトピーで移りあう。従って Pachner 移動で不変である量はそのM の不変量を与える訳である。

112

z軸

∞

L( (z0−z1)(z2−z3)(z0−z2)(z1−z3))L(z)

0 1z

z0 z1z3

z2

C

図 16: ４点で決まる、(理想)3次元双曲単体⊂ C× [0,∞). 図内の L(•)はその単体の双曲体積を意味する (こ

の事実は Neumann-Zagierによる).

CB

A

D

E

CB

A

D

E

図 17: Pachner moves. 左側は重心細分を意味する。右側は縦に中心線を引き三つの単体に割いた図である

(即ち、ABCD+BCDE = ABCE +ABDE +ACDE). ポイントは、⇔の両辺の単体の数が合計 5つである事である。

故に、実数体 F = Rに関し、この関数 Lは B(R)→ Rを誘導する事に注意しておこう。ちなみに、これをC\0, 1上に解析接続しようとすると、z = 0と z = 1を分岐点とする多価関数になる。但し、値域をC/4π2

√−1Qに落とせば、C \ 0, 1上の関数とは思える。

Bloch群は一見H∗(SL2)より情報がおちていると見えるが、実は次の定理がある。

定理 17.11 (Bloch-Wigner, Suslin). 代数閉体 F に対し、次の完全列がある。

0 −→ µ(F ) −→ H3(SL2(F ))κ−→ B(F ) −→ 0 (完全).

ここでµ(F )は 1の冪乗根の集合とし、写像κは次の配置的複体からの写像の誘導射である。

κ : C =3 (SL2(F )) −→ B(F ); (g0, g1, g2, g3) 7−→(z0 − z1)(z2 − z3)(z0 − z2)(z1 − z3)

.

ここで zi := gi(∞)は作用 SL2(F ) P1(F )による無限遠点∞ ∈ P1(F )の行先とした。

この証明はスペクトル系列による強硬的な計算で非常に解り難い (気になる方は [Knu, §3.2]を参照). 証明はともかく, 結論はH3(SL2(F ))が µ(F )を除き、B(F )に帰着できた。

17.3 双曲 Scissors congruenceとの関連

次に、Bloch群と双曲版の S.C.関係との関係 (定理 17.18)を述べよう。包含関係 ∂Hn ⊂ Hn ⊂ Hnに応じて、S.C. 群がどうなるか気になる。結論はこうである：

定理 17.12 ([DS]). (1) n > 1で二つ目の包含射は同型P(Hn) ⊂ P(Hn)を誘導する。(2) nが奇数の時、１つ目の射は全射 P(∂Hn) → P(Hn)を誘導し、その核は二倍で消える。(3) nが偶数の時、次の同型が存在する：

P(Hn)

Im(P(∂Hn)→ P(Hn))∼=P(Sn−1)ΣP(Sn−2)

. (69)

113

これは尤もらしいが、証明しようとなると旗複体を通じて、あるスペクトル系列を計算する事による。しかし冗長のため省略する。ただ (2)で 2-捩れ部分の差が出て、nの偶奇が現れるかを言及しよう。それはP(∂Hn)を次の群表示で表されるからである。つまり、P(∂Hn)は (a0, . . . , an) ∈ Hnで生成され、次の三つの関係式で割っている：(i) もし a0, . . . , anが同一の超平面上にある時、(a0, . . . , an) = 0,

(ii) ∀aj ∈ Hnで∑n

i=0(−1)ia0, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an = 0,

(iii) ∀g ∈ Isom(Hn)で (ga0, . . . , gan) = detg(a0, . . . , an).

この (iii)に detgが現れるため、nが奇数の時、符号の帳尻合わせを要し２捩れ部分群が問題になる。またnが偶数の時は、(3)の様に、球面分の取り方が現れる。具体例を見よう。

例 17.13 (2次元の場合). Isom(H2) ∼= PSL2(C)⋊Z/2が ∂H2 = R∪ ∞に次の式で作用する：

g(z) = ±az + b

ca+ d, for z ∈ R ∪ ∞,

(a b

c d

).

ここで符号±は Z/2の作用である。この作用は推移的だから、上の P(∂H2)の表示から、P(∂H2) ∼= Zとしか成りえない。他方で、(69)の右辺はR/Zπである。他方で、双曲面積は線形写像 P(H2) → Rという全射準同型がある。定理 17.12(3) と前段落から、これは同型P(H2) ∼= Rでしかない.

例 17.14 (3次元の場合). あとの系 17.19で見るように、P(∂H3)はねじれがなく、したがって、P(∂H2) ∼= P(H3)を得る。従って上のP(∂H2)の表示で記す事は自然である。ここで次の (有名な)補題を認めよう。

補題 17.15. 4つ添え字 (a0, a1, a2, a3) ∈ C ∪ ∞に対し、複比

a0 : a1 : a2 : a3 := z :=(a0 − a2)(a1 − a3)(a0 − a3)(a1 − a2)

∈ C \ 0, 1.

を置くと、或る g ∈ PSL2(C)があって次が成立する

(ga0, ga1, ga2, ga3) = (∞, 0, 1, z).

よって、関係式 (iii)から (a0, a1, a2, a3)はある右辺の元、つまり z ∈ C \ 0, 1で代表されることになる。するとBloch群の定義 17.8は、この複比の (ii)の言い換えといえる。

さて、最後に今述べた系 17.19を証明しよう。以下, 一般にF を代数閉体と仮定する。それで有理式 f, g ∈ F (t)に対し

f(t) = a∏i

(αi − t)d(i), g(t) = b∏j

(βj − t)e(j),

とおこう、但し d(i), e(j) ∈ Zで αiや βjはそれぞれで違うとする。そして

f− ∗ g :=∑

i,j s.t. αi,βj∈F×

d(i)e(j)α−1i βj ∈ P(F )

を考える。ちなみに f, g ∈ F のときは、f− ∗ g = 0と定める。すると

114

定理 17.16 ([DS]). 代数閉体 F と、有理式 f ∈ F (t)に対し、次がP(F )内で成立する。

f− ∗ (1− f) = f(0) − f(∞).

注意：もし f(t) = (α− t)/(β − t)とすると、この式は関係式 (67)と一致する。

この証明は関係式のチェックを連発する事による為、端折る事にし、次の系を見よう。

系 17.17 (分配公式). F を標数０の代数閉体とし、ζ ∈ F を１の原始乗根とする。任意のn ∈ N, z ∈ F \ 0, 1に対し、次がP(F )内で成立する：

zn = nn−1∑j=0

ζ iz.

特に、P(F )は divisible群である (即ち、∀n ∈ N, nP(F ) = P(F )).

注意: もっと一般に、Sahによって、P(F )は uniquely divisibleである事が示されている。つまり、P(F )はQの直和である。

Proof. f(t) = (1− tn)/(1− zn) =∏n−1

i=0 (ζi − t)/(1− zn)と置くと

1− f(t) = (tn − zn)/(1− zn) =n−1∏i=0

(ζ i − t)/(zn − 1).

となる。f(0)− f(∞) = (1− zn)−1− ∞ = znとなる為、定理 17.16より、証明が得られた。

定理 17.18. 代数閉体 F と、有理式 f, g ∈ F (t)に対し、次がP(F )内で成立する。

f− ∗ (1− f) = f(0) − f(∞).

注意：もし f(t) = (α− t)/(β − t)とすると、この式は関係式 (67) と一致する。

Proof. f(t) = (1− tn)/(1− zn) =∏n−1

i=0 (ζi − t)/(1− zn)と置くと

1− f(t) = (tn − zn)/(1− zn) =n−1∏i=0

(ζ i − t)/(zn − 1).

となる。f(0)− f(∞) = (1− zn)−1− ∞ = znとなる為、定理 17.16より、証明が得られた。

よって、定理 17.12(2)の捩れ部分群はない事になる。結論として、次の様に S.C.との関連が示せた。

系 17.19. 次の自然な同型がある。

P(H3) ∼= P(H3) ∼= P(∂H3) ∼= P(C)−.

115

18 Chern-Simons類, 不変形式, 拡大Bloch群, 2重対数

Chern-Simons類とは微分トポロジーによる (位相的K0の)Chern類の高次化といえる。この節では、微分 (代数)トポロジーの手法での２次化を紹介したい。この基本方針は「離散的な特性類を, 滑らかなChern類から作り出す」事である為、基本群の表現の不変量との相性が良い事となる。本節は次の順で話を進める。まず 18.1節では主G束の分類空間を紹介し、18.2節で一次特性類をChern-Weil理論から構成する。次に、18.3節で二次特性類を一次特性類から構成する。18.5節でSL2(C)型のChern-Simons類を拡大Bloch群というものから具体的に構成する。

18.1 主G束の分類空間と、単体的多様体の微分形式

空間上の主G束の不変量を考えたい。まず用語の復習から.

定義 18.1. 位相群Gとし、Xはパラコンパクト T 2空間とする。X上の主G束とは、ファイバー束 π : P → Xと、Gによる連続の右作用 P ×G→ P を合わせた概念であって、Gが P のファイバーを保存し、その上に自由かつ推移的に作用するもののことをいう。普遍主G束とは、主G束EG → BGのことをいい、但しEGは可縮とする。この低空間BGをGの分類空間という。

すると、トポロジストの先ず考える事は「主G束を表現可能関手と思い、その普遍要素を調べる」事である。ここで「普遍」という意味は次である。

定理 18.2 (Milnor, Milgramなど). 位相群Gに対し、空間対 (G, 1G)がNDR 36とする。この時、普遍主G束EG → BGが一意的に存在して、任意の連結な CW複体X に対し、次の写像は一対一対応を与える。

[X,BG]01:1−→ X上の主G束の束同形類 , f 7−→ f ∗(EG).

この定理は後で使わない為、証明しない (証明は [Hus]が解り易い). またEGとBGの構成法は色々ある。ここではGが Lie群である場合には多様体的な構成法を紹介しよう。用語の準備として単体的多様体から復習しよう。

定義 18.3. (i) 単体的多様体 Y とは多様体の列Ynn∈Nと、面射δi : Yn → Yn−1で0 ≤ i ≤ n

との組で、等式 δj−1δi = δiδjが 0 ≤ i < j ≤ nで満たすものである。(ii) (単体的集合の幾何実現と同様に), この幾何実現 (fat realization)を商空間

|Y | :=∪n∈N

(Yn ×∆n

)/ (α, dni (t)) ∼ (δn(α), t).

とおく。ここで∆nは n-単体であり、dni (x)は (13)にあった連続写像である。

36空間対 (X,A)がNDR (Neighborhood deformation retract)とは、或る写像 u : X → [0, 1]と連続写像 h : X×[0, 1]→ Xがあって u−1(0) = A で、∀x ∈ X, h(0, x) = x で、∀(t, a) ∈ [0, 1]× A, h(t, a) = a ∈ A を満たす時をいう。定義より、離散群 Gにたいし、組 (G, 1G) は NDR である。また Y が基点付き CW 複体のとき (Y, ∗) は NDR となる事もよく知られている。

116

例 18.4 (分類空間の構成法). Gを Lie群とし、多様体Xが左から作用していたとする。空間族 Gn ×Xn∈Nを置き、写像 δn : Gn ×X → Gn−1 ×Xを次により定める。

δn =

idGn−1 × idX for i = 0,

idGi−1 × µG × idGn−i−1 × idX for 0 < i < n,

idGn−1 × ψX for i = n.

ここで µGは、群演算を表し、ψX : G×X −→ Xは作用によるC∞写像とした。すると、これは単体的多様体であることが容易に確かめられる。この幾何実現をB(G,X)と書く。Xが一点の時、BGとも書く。

すると、幾何実現は次の様に良い性質をもつ：

命題 18.5. (1) X = Gで群演算を作用と思うと、幾何実現B(G,G)は可縮。(2) 商写像B(G,G)→ B(G, pt)は主G束となる。

(1)の証明は、Quillenの補題A(の亜種)を使えばよく, (2)は射影Gn+1 → Gnが主G束であるから、貼合わせ条件を見れば証明できる。

系 18.6. EGをB(G,G)とおき、BGをB(G, pt)とおく。

1. この時、射影EG→ BGは普遍 X主G束となる。特に、BGは分類空間である。

2. Gが離散位相の群とした時、この |B(G, pt)|はEilenberg-MacLane空間K(G, 1)になる。

例 18.7 (グラスマン多様体). G = U(n)とした時、BGは無限次元グラスマン多様体であることを見よう。実際、4.3節の構成によれば、EG→ Gr(∞, n)が構成された。これは主G-束であり、EGは可縮であった。結論として、普遍性の一意性から、ホモトピー同値BG ≃ Gr(∞, n)が解る。

また, 単体的多様体 Yp上には微分形式が次の様に定義できる。

定義 18.8. (1) A∗(∆p × Yp)を, ∆p × Yp上の微分形式で (∑

i ti = 1)× Ypに拡張できるもの全体とする。ここには積構造が入る。

(2) Yp上のC∞ n-形式 φとは n-形式 ϕ(p) ∈ An(∆p × Yp)の列で、

(δi × id)∗ϕ(p) = (id× δi)∗ϕ(p−1), i ∈ 1, . . . , p

が成立するものとする (これは simplitial setの定義から degeneracyを抜いた利点である！).

(3)An(Y )を Yp上の n-形式全体とする。

すると、A∗(∆p∗ × Z∗)に自然に外微分やウェッジ積が入る。よって、ドラームコホモロ

ジーが自然に定義できる。そして、次のドラームの定理が成立する。

命題 18.9 ([Dup2, Thm. 2.14]). |Y |がパラコンパクトT2-空間の時、自然な環同型H∗dR(A∗(Y )) ∼=H∗(|Y |;R)がある。

この同型は多様体版のドラームの定理を, 貼り合わせる事で証明される (但し環構造を見る上ではある 2重複体をとりAlexander-Whitney写像を分析する事で証明する。詳細省略).

とにかく結論は、分類空間のR上のコホモロジーは、微分形式で扱えることになった。

117

最後に、群コホモロジーや特性類の関係について軽く論ずる。Gに離散位相をいれたものをGδとかく。ここで自然な全単射Gδ → Gを考えると、これは連続のため、分類空間の写像

ι : K(G, 1) −→ BG (70)

を誘導する。この左辺は大変大きい空間だから、両コホモロジーの差が大きいと直観的に思えるかもしれない。しかし以下の様な事実は知られている。

注意 18.10. • まず多くの場合、 有理パートの右縦射 ι∗ : Hn(BG;C) → Hn(K(G, 1);C)はゼロになってしまう。例えば、Gがコンパクトであったり、有限連結成分の複素半単純リー群であった場合などが知られている。

• 捩れ係数に関し、Friedlander-Milnor予想というものがある。その主張は「任意の素数 p

に対し、ι∗ : Hi(K(G, 1);Z/p)→ Hi(BG;Z/p)は同型であろう」である。現在ではこれも幾らか示されている (iが安定域など). 例えば、Gが可解群に関し正しい。また, Gの連結成分が有限ならば、ι∗は分裂全射である。

18.2 Chern-Weil理論による (１次)特性類の考察

リー群Gに対し、分類空間 BGの有理コホモロジーが Chern-Weil理論によってほとんど解明される事を紹介する。(但し歴史的には、BGのコホモロジーはBorelにより代数トポロジー的に多く決定されてはいたが。)

まず準備として、リー群Gと、そのリー環 gをおき、Kを実数体か複素数体とする。またK[g]を, gの基底を不定元とする (可換)多項式環とする。ここで随伴作用G gは、GのK[g]への作用に持ち上がる。そこで. この不変式環K[g]AdGを考えられうる。すると次が成立する：

定理 18.11 ([Chern-Weil](証明は志賀浩二著「多様体論」が詳しい)). fをGの斉次な k次不変多項式とし、G→ P →M を主G束とする。

1. Aを任意のP 上の接続 37としたとき、f(FA

k 回ウェッジ︷ ︸︸ ︷∧ · · · ∧ FA)は底空間M 上の 2k-微分形式

である (この時、f の不変性と曲率の座標変換が噛み合い、well-definedである).

2. さらにこれは閉形式である。

3. 他の接続A′をとったとき、差 f(FA ∧ · · · ∧ FA) − f(FA′ ∧ · · · ∧ FA′)はコホモロガスである。

系 18.13. 対応 f 7→ f(FA ∧ · · · ∧ FA)は、環準同形WP : K[g]AdG → H∗dR(M)を与え, そして接続Aの取り方に寄らない。

37余計かもしれないが、接続と曲率の定義だけ言及しておこう (定義の細かい点は飛ばして良い).

定義 18.12. 多様体M 上に、主 G 束 π : P →M が与えられたとする。このとき、P 上の主 G-接続 ω とは、G のリー代数 g に値を取る P 上の 1 次微分形式で、次の二つを満たすものをいう。

(i) ( 整合性) x ∈ P における G の作用が導く写像 g→ TxP と ω との合成は g の恒等写像になっている(ii) (同変性) G の作用の微分写像 dLg : TxP → TgxP と g への随伴表現 Ad に関して ω(dLgX) = Adg(ω(X)) が成り立つ。

P 上の接続 A に対し、曲率 FA を dA+ 12[A ∧A] と定める。これが 2 次形式

∧2(M ;P ×G g) に入る事が基本かつ大切である。

118

この環準同形をChern-Weil準同型と普通いう。以上は、多様体論の話で分類空間BG

のクラスまで拡張したい。そこで単体的多様体の利点が現れ、実際、前節でつくったBG

の定義は、|B(G, pt)|であった (系 18.6)。この状況下で、Dupontは次の定理を示した:

定理 18.14 ([Dup2]). 1. Chern-Weil準同形がWuni : K[g]AdG → H∗dR(BG)(∼= H∗(BG;R)

)に拡張される。

2. さらにこれは Chern-Weil準同形の普遍的な対象である。すなわち、任意の主 G束G→ P →Mに対し、その分類写像 cP :M → BGをとると、等式 c∗P Wuni = WP が成立する。

3. もしGがコンパクトであるか, もしくは、複素半単純で有限連結成分を持つとする。このとき、Chern-Weil準同形は環同形K[g]AdG ∼= H∗(BG;K)を与える。

注意 18.15. 曲率が多重線形型式である事を思い出すと、両辺K[g]AdG ∼= H∗(BG;K)は、偶数次しかない事が解る。

定理 18.14の概証. (1)は貼合わせ条件を確認すればよく, (2)は分類写像の定義より粗明らか (但しこの際に、分類写像は滑らかなもので近似される事実を使う).

また (3)に関してはまず Gがコンパクトの時を証明する。(S1)n = T ⊂ Gを極大トーラスとして、W をワイル群とおく。Borelの学位論文の結果によれば、同型H∗(BG;C) ∼=H∗(BT ;C)W ∼= H∗((CP∞)n;C)W と還元される。この際, H2((CP 1)のコホモロジーの生成元が、detFAで作られることを (具体的な座標で)確かめられる。そこでCP 1 → CP∞の関手性 (分裂原理)から、H∗((CP∞)n;C) ∼= C[t1, . . . , tn]が解る。他方で、包含関係C[t]W ⊂C[g]AdGは等式だった為 (注意 12.2, 後は、準同型Wuniを通じ, この二つの還元を比較すれば証明が終わる。次に、複素半単純の場合を示す。K ⊂ Gを極大コンパクト群とする。K ⊂ Gはホモトピー同値を与える為、H∗(BK;K) ∼= H∗(BG;K)である。他方で、等式K[k]AdK = K[g]AdG

が、半単純 Lie群の分類から場合分けで示される。故に証明は前段落に帰着され 証明が終わった。

この定理より、コンパクトリー群に対する分類空間BGの有理コホモロジーは、不変式環K[g]AdGを調べればよい事になる。例えば、ユニタリー群の場合を述べておこう：

例 18.16 (Chern類). Gをユニタリー群U(n)とする。不変式環C[g]AdGであった (定理12.1).

他方で、BG = BU(n)は複素無限次元グラスマン多様体Gr(∞, n)であった (例 18.7). このコホモロジー整係数環は、Chern類で生成される多項式環であることは良く知られている ([Milnor-Stasheff]等参照). だから、確かに定理 18.14どおり、Chern-Weil準同形は同型である。まとめると次になる：

H∗(BG;C) ∼= C[g]AdG = C[c1, . . . , cn].

例 18.17 (Pontrjagin類). Gを直交群O(n)とした (実次元は n(n − 1)/2)場合に、結論のみ述べよう。すると不変式環R[on]AdO(n)は、次の 4k次多項式 gkで生成される。

det(I − t X2π

) =∑

gk(X)tk.

119

他方で、BG = BO(n)は実無限次元 (有向)グラスマン多様体となり、このコホモロジー有理係数環は、Pontrjagin類で生成される多項式環である。だから、確かに定理 18.14どおり、Chern-Weil準同形は同型である。まとめると次になる：

H∗(BO(n);R) ∼= R[so]AdSO(n) = R[p1, . . . , pn].

これに対応して、任意の実ベクトル束にEに対し、pk(E) = c2k(E ⊗C) ∈ H4k(M ;Z)が成立する。

18.3 Chern-Simons類の概説

次に平坦束の特性類 (Chern-Simons類)について紹介する。これにより群準同形π1(M)→Gに関する不変量も与える事も見る。まず, 準同形 π1(M)→ Gと平坦束の関係をざっと復習しておく。主G束をG→ P →M

上の接続Aが、平坦であるとは、曲率 FAが各点で０のときをいう。すると平坦性は可積分条件と一致し、従ってホロノミー準同形 π1(M) → Gを得る。これは次の一対一対応を与える (例えば [Morir, §2.1]参照):

M 上のG平坦バンドル /平坦束同形 1:1←→ Hom(π1(M), G)/共役.

従って、群準同形 π1(M) → Gの研究には、平坦束からの考察が有力である。ただし注意する事に、Chern-Weil理論によるコホモロジーの元WP はすべて消えてしまう。実際、曲率 FAが０だからである。そこで平坦束の不変量 (特性類)を構成するアイディアを大雑把に説明しよう：まず,平坦ベクトル束E →Mに対し、定理18.1による分類写像 fE :M → BGはM → K(G, 1)→ BG

と分解する事に気づこう。だから、「このK(G, 1)→ BGの homotopy fiber BGのコホモロジーに入る元を作れば、平坦束の不変量が出来る」と考えられる。そして、その元を作るには、WP ∈ H2k(M ;K)が消えている事を用い、完全列のジグザグを使えば良いと・・.

そこでCheegerとChern-Simonsらは次の構成手段を提起した。まず, 定数層の完全列

0 −→ Z r−→ K −→ K/Z −→ 0

と、(70)の自然な写像 ι : K(G, 1)→ BGを考える。そこでコホモロジーを取ると、

// H2n−1(BG;K/Z) β //

ι∗

H2n(BG;Z) r∗ //

ι∗

H2n(BG;K)

ι∗

// H2n−1(K(G, 1);K/Z) β // H2n(K(G, 1);Z) r∗ // H2n(K(G, 1);K)

次に整数係数の特性類u ∈ H2k(BG;Z)が与えられた時、不変式 f ∈ K[g]GでW (P ) = r(u)

となる手続きを考えよう。つまり

In(G;K) := (P ;u) ∈ K[g]G ×H2n(BG;Z) | W (P ) = r∗(u) ∈ H2n(BG;K)

をおく。すると、上の完全列より、W (P ) − r(u)は ∃u′ ∈ H2n−1(BG;K/Z)へと引き戻されるが、これを ι∗で送った元CCS := ι∗(u′)は一意に定まる事が示された [Chern-Simons].

要は次が示された。

120

定理 18.18 (Chern-Simons). 連結成分が有限であるリー群間の準同型 ϕ : G→ Hに対し、次の図式が成立する。

In(H;K)ϕ∗ //

C-C-S

In(G;K)

C-C-S

H2n−1(K(H, 1);K/Z) ϕ∗ // H2n−1(K(G, 1);K/Z)

定義 18.19. このC-C-Sの像の元の事を, Chern-Simons類という。

以上, 構成手段を紹介したが、少々ホモロジー代数を用いた存在証明だから、CSuの明記法は解り辛い。だから次の問いを考える事は自然である：

問題 † Chern-Simons類∈ H2n−1(K(G, 1);K/Z)を具体的に、群コサイクルG2n−1 −→ C/Zとして記述せよ。

もっともこの問題は難しく長い歴史がある。例えば、Scissors congruence (Hilbert第３問題) や多重対数 (multi-logarithm)の構成法や、Gelfandの超幾何関数による表示問題などに関わる。代数的K群との関連では、G = SLN(C)のとき、Borel-Beilinson regulatorと有理数倍を除き一致するもの) との関係性もかなりわかっている。そこで、話を低次に限定し、SL2の場合の結果を具体的に紹介する。まず実数体の場合、

Dupontは、定理 17.11内の写像 κを用い SL2(R)-Chern-Simons類の関係を明確に示す事が出来た。明確には

定理 18.20 ([Dup1]). (i) F = Rの時、合成 L κ : H3(SL2(R)) → R/12Zは、Chern-

Simons類と一致する。これは、ポントリャーギン類 p1 ∈ H4(BSL2(R);Z)から由来するものとする。(ii) さらに、F = Cの時、合成 L κ : H3(SL2(C)) → C/Q は、Chern-Simons類と一致する (Qを moduloしている事に注意). ここで、この Chern-Simons類は Chern類c2 ∈ H4(BSL2(C);Z)からのものとする。

しかし F = Cの結果に関しては、今述べたように有理数倍が問題になっている。つまり定理 17.11にある核 µ(F )の処理はやはり安易なものではない。とはいえ、次の節では何故このような結果になるか、を説明する。

18.4 Dupontによる構成法

前小節の定理 18.20の示され方について述べる。解りづらいとあれば、読み飛ばしてよい。問題 †のDupontによる解決法を紹介したい (命題 18.21). そのC/Z値の q-形式を作りたいとき、以下の手順で構成される。V を (q − 1)連結な多様体とし、Lie群Gが V に作用していたとする。Csing

∗ (V )を (滑らかな)特異複体とする。するとC∗(G;R)の射影性より、次の可換図式を得る：

Z C0(G;R)∂0oo

σ

C1(G;R)∂1oo

σ

· · ·∂2oo Cq(G;R)

∂noo

σ

Z Csing

0 (V )∂0oo Csing

1 (V )∂1oo · · ·

∂2oo Csingq (V ).

∂noo

121

この σは (q − 1)連結性より、ホモトープを除き一意で定まる為あった。すると、p ≤ qと、G不変な p形式 ω ∈

∧p(V )G ⊗Cに対し、次の積分によって、非斉次群余複体の元 I(ω) ∈ Hom(Cp(G;Z),C)が構成できる。

I(ω)([g1, . . . , gp]) :=∫σ[g1,...,gp]

ω (71)

命題 18.21. 仮定する事に、ωを閉形式とし p = qで、任意のサイクル z ∈ Csingq (V ;Z) に

対し、整数値∫zω ∈ Zを取るとする。

(1) p < qの範囲で I(ω)はコサイクルである。p = qの時はmod Zでコサイクルである。もし ω = dω′とかける時、I(ω)はヌルコホモロガスである。

(2) そのコホモロジー類は、σの取り方に依らない。

(3) もしHq(V ;Z) ∼= Zとし ωがその生成元とするとき、

−β(I(ω)) ∈ Hq+1(G;Z)

は次のリフトの障害 (q + 1)-コサイクルである。

EG×G V

σ

K(G, 1)

ψ //

ψ55lllllllBG.

(4) もし φ : G′ → Gを Lie群準同型とし、Φ : V ′ → V を φ-同変なC∞写像とする (つまり、∀g′ ∈ G′, v′ ∈ V ′に対し Φ(g′v′) = φ(g′)v′). このとき、次の自然性が成立する：

I(Φ∗ω) = φ∗I(ω).

Proof. p < qで (1)は次数の不一致となる事より明らか, p = qの時は、Stokesの定理より明らか (但し q-サイクルの代表元の取り方から、Zの差が出る).

(2)は別の σを取ってきた時の代数的なホモトピーは、幾何的なホモトピーに延びる。そして Stokesの定理から、取り方に依らない (ここで角の解消などする必要があるが省略).

(3)の証明. πq(EG×GV ) ∼= πq(V ) ∼= Hq(V ) ∼= Zである。故に障碍理論から、Hq+1(G; πq(EG×GV )) = Hq+1(G;Z)が当のリフトの障碍である。βの全射性から、−β(I(ω))が完全障碍であることが解る。(4)は構成より明らか.

Chern類からこの命題の条件に適用しよう。先ず,

G = SLn(C), V = SLn(C)/SLk−1(C)

とする。V は 2k − 1連結であり、H2k(V ;Z) ∼= Zである。V はU(n)/U(k − 1)に同相のため、G不変形式 ωkでH2k−1(V ;Z)の生成元に対応するものが (具体的に)作れる。すると命題 18.21より、2k − 1コサイクル I(ω) が作れ、チャーン類 ckが等式−β(I(ωk)) = ckを満たすようにできる。故に、次の様にする事は不自然ではないだろう：

Ck := I(ωk) ∈ H2k−1(K(GLn(C), 1); C/Z).

一番簡単な n = k = 2の場合は次の様に、綺麗な結果となる：

122

定理 18.22. n = k = 2とし、その 3-類 C2 : H3(SL2(C))→ C/Zは次式で特徴づけられる。

⟨C2, z⟩ =1

2π2

(VolS3 σ(z+) +

√−12

VolH3 σ(z−)).

ここで、z+と z−は定理 13.6にある通り、複素共役の固有空間への制限である。

Proof. まず実部の等式を示す。定理 13.6よりH3(SU(2)) = H3(SL(2;C))+だった。命題18.21(4)より、SU(2)が S2に作用した状況を考えればよい。体積 2π2の自然な体積要素ωS3 =

∑4i=1(−1)ixidx1 ∧ · · · dxi · · · ∧ dx4はH3(S3) ∼=

∧3(S3)SU(2) ∼= Rの生成元だった。命題 18.21(3)より、Re(C2) = I(ωS3)/2π2.

次に、虚部を調べる。次の四元数による上半平面モデルを考える。

H3 = x = x1 + x2i+ x3j ∈ H | x1, x2, x3 ∈ R, x3 > 0 .

自然な包含関係C ⊂ H3から、SL2(C)はH3 に次の式で作用する：

g(x) =ax+ b

cx+ d, g =

(a b

c d

).

特に、写像 q : SL2(C)→ H3を q(g) = (aj+ b)(cj+d)−1と定めると、SL2-同変写像であり、微分同相 SL2(C)/SU(2) ∼= H3を与える。また w2を V = SL2(C)の SL2-不変な複素 3-形式のSU(2) = S3の制限とする。すると下記の補題 18.23より ⟨ImC2, z⟩ = 1

4π2VolH3 σ(z−)と、欲しい等式を得た。

補題 18.23. vH3をH3の双曲体積とすると、ω2のH3上制限は (1/4π2)q∗vH3に、SL2不変な形式の中でコホモロガスである。

Proof. V = SL2(C)の複素座標を次で与える。(a b

c d

)=

(z1 + iz2 −z3 + iz4

z3 + iz4 z1 − iz1

), s.t. z21 + z22 + z23 + z24 = 1.

ここでSU(2) = Imzj = 0 |j ∈ 1, 2, 3, 4 であり、S3 ⊂ R4に対応する。よって、ζi = dziと置けば、SL(2)内で ζ1 = 0かつw2は次で書ける：

w2 = ζ1 ∧ ζ2 ∧ ζ3/2π2 (72)

他方で、1での qによる微分は次で書ける：

(dq)1 = d(aj+ b)|1 − jd(aj+ b)|1 = d(b+ c)|1 + d(aj− d)|1j

= 2d[−Imz4 + Imz3i+ (−Imz2 + Imz1i)j]|1 = −2d[Imζ4 + Imζ3i+ Imζ2j]1.

よって、次を得る：

q∗(vH3) = q∗1(x−33 dx1 ∧ dx2 ∧ dx3) = −8Imζ4 ∧ Imζ3 ∧ Imζ2. (73)

次に、SL2(C)の左不変形式を∧∗(sl∗2)⊗ Cと同一視すると、外微分は次で与えられる：

dζ2 = −2ζ3 ∧ ζ4, dζ3 = −2ζ4 ∧ ζ2, dζ4 = −2ζ2 ∧ ζ3.

すると次の式が簡単に確かめられる。

8(Imζ2 ∧ Imζ3 ∧ Imζ4) = ζ2 ∧ ζ3 ∧ ζ4 − ζ2 ∧ ζ3 ∧ ζ4 − d(ζ2 ∧ ζ2 + ζ3 ∧ ζ3+)ζ4 ∧ ζ4)/2.

故に (72)と (73)を比較すれば、欲しい主張が得られた。

123

念願であった定理 18.20の証明を述べよう (但し、(i)は方針だけ行う)

定理 18.20の証明方針. 定理 18.22より、定理 18.20の (ii)の虚部は証明できている。残る問題は定理 18.20の (i)と (ii)の実部である。先に、「(i)の実部=⇒(ii)の実部」を示そう。定理 13.6でH3(SL2(R)) ∼= H3(SL2(C))+を紹介した。そこで気づきたい事に、両写像

Re(L κ), Re(C2) : H3(SL2(C)) −→ R/Q

は複素共役を保つから、H3(SL2(C))+つまりH3(SL2(R))を経由する。その為、H3(SL2(R)に制限した時、Re(L κ)とRe(C2)とが一致することを示せばよい。その為に、定義から p1(E) = c2(E ⊗ C)だった為、P1 をポントリャーギン類から来る

Chern-Simons類とすると、H3(SL2(R)上で P1 = Re(C2)という事になる。残る (i)の証明方針は次の様である。まず F = Rの時に関しては、前節に基づき構成された関数 CSに必要な BSL2(R)上の方程式を, ずばり (68)と (本質的に)一致させる事による。次に F = Cに関しては、「入射の誘導射 B(R) → B(C)がmodulo torsionで単射」(Sah, Suslin)という事実を用い、前半の結果に帰着させる。但し、元論文でも 10頁掛かるため省略する。

演習 18.24. (i)の証明を明確に書いて下さい。

18.5 拡大Bloch群とDilogarithm

前節では Chern-Simonsを (多変数積分を通じ)群複体の写像として描いた。しかしそのままだと双曲幾何ではパラメータが多すぎで困難になる。実際、Thurstonの双曲方程式というパラメータが還元された形を取るのが標準であろう。である為Bloch群B(F )を用い、Chern-Simons類を, 一変数関数に落とすが大事である。しかし定理 18.20(ii)によれば、F = Cの場合では有理数倍が問題点と解った。そこで本小節では、その問題点を解決したW. Neumann(等)の仕事 (定理 18.27)を紹介したい。この (J. Yangによる)解決のアイディアとはこうである。

Rogers対数は普遍Abel被覆 C上の解析関数であるから、Bloch群の生成元をその Cから再構成すればよい。

これを実現する為に、普遍アーベル被覆空間 C→ C \ 0, 1を具体的に作ってしまおう (以下の叙述は、純代数的な証明を与えた [DZ]による). まずCcut := C \ (−∞, 0)∪(1,∞)とし、そのコンパクト化を一つ

Ccut := Ccut ∪ (x± 0√−1) | −∞ < x < 0, 1 < x <∞ .

と固定する。すると被覆空間 CがCcut × (2Z)2の商空間となる。ここで次の関係式で割った。(図 18を参照).

(x+ 0√−1, 2p, 2q) ∼ (x− 0

√−1, 2p+ 2, 2q), ∀x ∈ (−∞, 0), and

(y + 0√−1, 2p, 2q) ∼ (y − 0

√−1, 2p, 2q + 2), ∀y ∈ (1,∞).

124

図 18: Ccut における張り合わせの図. 右側の矢印の対応が一行目の関係式で、左図は 2行目のそれである。

ここで切れ目の先端部分は 0, 1 ∈ Cである。

次にBloch群の拡張のために必要な、次の C5の部分集合をおく (詳細は重要ではない).

(x, 0, 0), (y, 0, 0, ), (yx, 0, 0), (

1− x−1

1− y−1, 0, 0), (

1− x1− y

, 0, 0) ∈ C5 | Imx > 0, Imy > 0, Im(y

x) > 0 .

これを F T と書こう。そこで次の列を考える

Z[F T ] ρ−−−→ Z[C] ν−−−→ C∧ZC.

ここで二つの写像は次で定義されたものとする (ρは５角関係式の持上げ):

ρ(z0, . . . , z4) := [z0]−[z1]+[z2]−[z3]+[z4], ν([z, 2p, 2q]) := (Logz+2√−1p)∧(−Log(1−z)+2

√−1q).

定義 18.25. Extended Bloch群 B(C)とは、商アーベル群Ker(ν)/Im(ρ)をいう。

この B(C)の実態を明記する定理 18.27の為に、Rogers二重対数をExtended Bloch群に拡張しよう。次の関数を考える。

L : Ccut × (2Z)2 −→ C/4π2√−1Z,

L(z; 2p, 2q) := −(∫ z

0

log(1− t)dtt

)+

1

2

(log(z)+2π

√−1p

)(log(1− z)+2π

√−1p

)− π

2

6.

これは次の補題 (関係式を振り回すと証明可)より、準同形 L : B(C) → C/4π2√−1Zを誘

導する。

補題 18.26. この Lは被覆空間 C上の関数に拡張される。さらに、(z0, . . . , z4) ∈ F T に対し、’五角関係式’ L(z0)− L(z1)+ L(z2)− L(z3)+ L(z4) = 0

を満たす。

するとこれにて、Chern-Simons類を明記する本節の主定理がやっと述べれた。

定理 18.27 (Neumann [] (PSL2(C)-case), Goette-Dupont-Zickert [] (SL2(C)-case)). この時、同形写像

α : H3(SL2(C)) ∼= B(C)

があり、さらに合成 L α : H3(SL2(C))→ C/4π2√−1Zは、Chern-Simons類CS2と一致

する。

Proof. まず次の命題に留意する。

命題 18.28 ([DZ, Cor 3.14]). 被覆 p : C→ C \ 0, 1の誘導する準同形は次の完全列を与える：

0 −→ Q/Z ι−→ B(C) p∗−→ B(C) −→ 0 (完全).

さらに、任意の元 θ ∈ Q/Zに対し、L ι(θ) = 4π2√−1θ ∈ Q/Zが成立する。

125

この証明は、Im(ρ)に拠る関係式が、このKer(p∗)がQ/Zとなる事を (少々強引に)計算するものである (よって省略する)。すると定理の証明方針は Suslinの定理 17.11の完全列と、今の完全列とを５補題で比較する事でできる。これを実行する為、次に写像 α について述べる。α の構成は、定理 17.11 の写像 κ :

H3(SL2(C)) → B(C)を然るべくして、持上げる事による (初等的で簡単だが少々煩雑のため詳細略). そこで、αの同型性を示すには、等式

∀θ ∈ µ(C) = Q/Z, L α(θ) = 4π2√−1θ ∈ Q/Z,

を示せばよい。これには、自然な対角準同型Z/m→ SL2(C)の誘導射Z/m ∼= H3(Z/m)→H3(SL2(C))を考えよう。すると、その逆極限は核Q/Z → H3(SL2(C))と一致する事が示される。あとは Z/m ∼= H3(Z/m)の生成元の表示はよく解っている為、それを L αに代入すると上等式が解る。

最後に、結論をまとめよう。この様に、拡大Bloch群によりChern-Simons類が綺麗に描けたうえ、それも双曲体積や Scissors congruenceとの関連も含むようにできた。この仕事により、[HI, Zic]等の論文の様に、比較的容易に双曲体積が計算できる上, 幾つかの発展(量子化とか)をもたらしている。また, 二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 Bn が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジーとの関係性が広く予想されている(が私はよく解っていない)。

A 高校の微積分感覚で計算出来るコホモロジーの例

巡回群G = Z/pとFp係数に対し、コホモロジー群Hn(G;Fp) ∼= Z/pの初等的な計算法を述べる (但し adhoc過ぎて他の群に使えない). 方針だけ述べ、詳細はレポート問題とする。

(i) まず, X = Fpを, 位数 pの有限体とする。「Xnから Fpへの写像全体の集合 」は、次の (多項式環の部分)集合と同一視される (何故？) ∑

ai1,...,inxi11 · · · xinn ∈ Fp[x1, . . . , xn]

∣∣∣ ai1,...,in ∈ Fp, 0 ≤ ij ≤ q − 1.

すると加群Cn(G;Fp)をこの集合と同一視する。次の線型写像を定める。

D : Cn(G;Fp)→ Cn(G;Fp);∑

0≤a≤p−1

fa(x1, . . . , xn−1)xan 7−→

∑0≤a≤p−1

afa(x1, . . . , xn−1)xa−1n .

要は xn-変数での微分である。先ずD δn(f) = δn D(f) + (−1)nf を示す。

(ii) f ∈ Cn(G;Fp)に対し、∑

a fa(x1, . . . , xn−1)xanと展開する。定義より次式を示される。

δn(f)(x1, . . . , xn+1) =∑

0≤a≤p−1

δn−1(fa)(x1, . . . , xn)xan+1

+(−1)n−1fa(x1, . . . , xn−1)((xn + xn+1)a − xan − xan+1) (74)

126

さらにf ∈ Cnd (G;Fp)がδn(f) = 0を満たした時、xn+1 = 0を代入してf0 = (−1)n−1δn−1(f0)

に注意すれば、次の同型を示した事になる：

Hn(G;Fp) ∼=Ker(δn)

Im(δn−1) + Ker(D).

(iii) f ∈ Cnd (G;Fp)が δn(f) = 0を満たしたとする。f =

∑a fa(x1, . . . , xn−1)x

an と分解

した時、等式 (−1)nD(f) + δn−1(f1) + f1 = 0を (74)より示される。さらに f1 =∑p−1a=0 ga(x1, . . . , xn−2)x

an−1と展開する。今の等式にDをp−1回かますと、δn−2(g1) = 0

を得る。まとめると、次の準同型がwell-definedに定まった。

Ker(δn)

Im(δn−1) + Ker(D)−→ Ker(δn−2)

Im(δn−3) + Ker(D); f 7→ g1.

(iv) この準同型の単射性を示す (実際、行先で０になるとき、コホモロガスになるようにf が作れる)。

(v) 後は、周期性に注目し、nコサイクルの候補を例 2.20から作れば、この全射性が示される。よって同型Hn(G;R) ∼= Z/pが得られ、生成元の代表元も明記できる。

なお、もっと一般に、直積G = Fq = (Fp)hに対しても、Hn(G;Fq)が計算できるが、省略する。 q = phで n = 2, 3の場合、答えのみ記そう：

命題 A.1. 直積 G = (Zp)h を Fq と加法群として同一視する。写像 χ : G × G → Fq をχ(x, y) = ((x+ y)p − xp − yp)/pとする。この時、2次コホモロジー群H2(G;Fq) ∼= (Fq)

h(h+1)2 は次の 2コサイクルの基底を持つ。

xq11 xq22 , χ(x1, x2)

q3 | 1 ≤ q1 < q2 < q, 1 ≤ q3 < q, where qi は pのべき . (75)

さらに 3次H3(G;Fq) ∼= (Fq)h(h+1)(h+2)

6 は次の基底を持つ:

xq11 xq22 x

q33 | q1 < q2 < q3 ∪ χ(x1, x2)q1 · xq23 | q1 < q2 ∪ xq11 · χ(x2, x3)q2 | q1 ≤ q2 ,

ここで q1, q2, q3は pのべきで、1 ≤ qj < qの範囲を走るとする。

B コホモロジー群・環の例

位数 2nの二面体群に関し、H∗(D2n ;F2) ∼= F2[x, y, w]/(xy = 0).

位数 8の四元数群に関し、Z係数環は

H∗(Q8;Z) ∼= Z[α2, β2, γ4]/(2α, 2β, 8γ, αβ, α2, β2).

対称群に関しては次が知られている ([AM, VI.1]に詳細あり). ここで degσi = i, degc = 3

とする。

H∗(S4;F2) ∼= F2[σ1, σ2, c3, ]/σ1c3

H∗(S6;F2) ∼= F2[σ1, σ2, σ3, c3, ]/(c3(σ3 + σ1σ2))

127

H∗(S8;F2) ∼= F2[σ1, σ2, σ3, σ4, c3, d6, d7](x5)/R

ここでイデアルRは次の関係式のこと：

d6σ1 = d6σ3 = 0, d7σ1 = d7σ2 = d7σ3 = d7c3 = d7x5 = 0

x5σ3 + c3σ4σ1 = 0, c3(σ3 + σ1σ2) + σ1x5 = 0, x25 + x5σ2c3 + d6σ22 + σ4c

23 = 0.

例外単純群の場合としてマチウ群M11と第一 Janko群 J1は以下の様 ([AM, VIII]参照).

H∗(M11;F2) ∼= F2[v3, v4, v5]/(v22v4 + v25 = 0)

H∗(J1;F2) ∼= F2[x3, y4, z7, γ5, µ6]/(γ2 + yµ+ xz = 0, µ2 + x4 + x2µ+ y3 + γz = 0)

マチウ群M12の答えも [AM, VIII.4]に書いてある。

B.1 Lie型有限群のコホモロジー群の例（工事中）

以下では Fqを位数 q = prの有限体とする。また ℓを pとは互いに素な素数とする。この時、Fq上の Lie型の群が構成され、多くの場合には単純群である。その定義や分類や定理は []等を参照の事。本節の目的は、Lie型有限群Gのコホモロジー群の例を幾つか挙げ、参考文献を紹介する事である。まず１次に関して述べる。有限体上の Lie群のアーベル化は []等に書かれている。また

V をGの “極小”既約表現としたとき、１次コホモロジーH1(G;V )は [CPS]に計算法と例が多く書かかれている。次に２次に関しては、言及しよう。

定理 B.1 ([]Steinberg). SLn(Fq)の２次整数ホモロジー群は、次の例外を除き自明である。

• もしGが SL2(F4), SL3(F2), SL3(F3), SL4(F2)の時H2(G;Z) ∼= Z/2.

• もしGが SL2(F9)の時H2(G;Z) ∼= Z/3.

• もしGが SL3(F4)の時H2(G;Z) ∼= Z/4× Z/4.

一般に、シェヴァーレー群Gというクラスに対してH2(G;Z)を求める方法が [Mat]にある。これはMilnorK2群と関わる。SL2(F)のZ/ℓ係数コホモロジーを述べる。定理 3.14で述べた通り、周期をもつ。実際、

ℓを (ℓ, q) = 1となる奇素数とすると、

H∗(SL2(Fq);Z/ℓ) ∼=

∧(u)⊗ Fq[v] もし ℓ|q2 − 1の場合

Z/ℓ もし ℓ |q2 − 1の場合

ここで u ∈ H3かつ v ∈ H4は生成元である。この証明は [FiP]にある。

またZ/ℓではなく Fp-係数のコホモロジーを求める事は一般に難しい。例えば、GLに関して、次が知られている。

定理 B.2 (Friedlander-Parshall[FrP], Quillen,Maazen[Maa]). 0 < i < r(2p − 3)または0 < i < n/2を満たすとき、H i(GLn(Fpr);Fp)は零である。

128

この評価は最善である。実際に次が [BNP]で示されている：

Hr(2p−3)(GLn(Fpr);Fp) = 0, (2 ≤ n ≤ p).

ちなみに、n = 2に関しては、トランスファーを使うことによって次の同型が示せる。

res : H∗(GL2(Fpr);Fp) ∼= H∗(Fpr ;Fp)F×pr .

特に 0 < ∗ < r(2p− 3)では０で、∗ = r(2p− 3)では Fpとなる事が確かめられる。今はGLに話を限定したが、他のタイプに関しては [BNP, Sprehn]等に Fp係数コホモロジーの例が書かれている。また直交群On(Fq)や斜交群 Spn(Fq)の群（コ）ホモロジーに関しては [Fri, FiP]などを参照。スピン群のMod2コホモロジーに関する美しい結果は [Q]による。

C 結び目群の群ホモロジー (専門家向き)

特別な場合として、結び目 L : S1 → S3に対し、Γ = πL = π1(S3∖L)としたとき群ホモ

ロジーを具体的に記述しよう (定理C.1). S3∖LはK(π, 1)空間だったので、群ホモロジーを扱うことは有用である。このために、今から πLの良い表示 (76)を与えよう。これは “ヒーガード分解”とよばれるものの特殊版である ([Lin, §2]に詳細あり). まず一周する 1-ハンドルH ⊂ S3∖Lで経線m ∈ πLを代表するものを取り、そして種数 gの Seifert曲面 F ⊂ S3∖Lを取る。そして二つの開集合

U ♯ := S3∖F, U := H ∪ (F の管状近傍)

を取っておく。そこで気づく事に、共通部分 U ♯ ∩ U が F の上澄みと F と下澄みとなる事がみてとれる。従って、U ♯ (resp. U と U ♯ ∩ U )とは、それぞれ種数 2g (resp. 2g + 1

と 4g)のハンドルボディーになっている。そこで π1(U♯)の生成元 v1, . . . , v2gを固定し、

π1(U)の自然な生成元 u1, . . . , u2g,mを固定する。u

♯i を ui の上澄みのコピーととると、

u♯1, . . . , u♯2g, u

1, . . . , u

2gが π1(U

♯ ∩ U )の生成元となるようにできる。そこで入射 i : U ♯ ∩U → U ♯と i′ : U ♯ ∩ U → U とを考えよう。すると、van-Kampenの定理から次の πLの表示を得る：

πL ∼= ⟨m, v1, v2, . . . , v2g, u1, . . . , u2g | i∗(u♯j)i′∗(u

♯j)−1, i∗(u

j)i′∗(u

j)−1 (1 ≤ j ≤ 2g) ⟩

ここで i∗(u♯j)が v1, . . . , v2gの元で書ける事より、uj = i′∗(u

j)が関係子 uji

′∗(u

j)−1によって

相殺される。また i∗(u♯j) = mujm

−1に気づく事で、関係子 i∗(u♯j)i′∗(u

♯j)−1はm · i∗(uj) ·m−1 ·

(i∗(u♯j))−1となる、そこで i∗(u

j)を ajと書き、(i∗(u

♯j))を bjと書けば (aj, bjは v1, . . . , v2gの

語になる) 次の表示を得た：

πL ∼= ⟨m, v1, . . . , v2g, | majm−1bj, (1 ≤ j ≤ 2g) ⟩, (76)

この表示に出る aj, bjを得るアルゴリズムが [北合森]に書いてある。すると定理 6.9にこの表示を適用する事で、Trotterは次の完全列 (26)を得た:

定理 C.1 ([Tro]). πLを結び目の補空間の基本群とする。また定理 6.9の用語を用いると、次の複体は完全である。

0→ Z[πL]∂3−−→ Z[πL]2g

∂2−−→ Z[πL]2g+1

∂1−−→ Z[πL]

ϵ−→ Z→ 0 (exact).

129

ここで 3つ目の ∂3を記述しよう。最左のZ[πL]の生成元は、恒等子W で∏nwmρ

εmjmw−1m

という形であった。以下W を記述すればよい。相応しい ρjmとして、関係子 ρjをmajm−1bj

とし、次の元らを考える。

ωi := [u1, u2][u

3, u

4] · · · [u2i−1, u2i], y = [u♯1, u

♯2][u

♯3, u

♯4] · · · [u

♯2g−1, u

♯2g]

Wi =(ωi−1ρ2i−1ω

−1i−1)·(ωi−1u2i−1ρ2i(ωi−1u2i−1)

−1) · (ωiu2iρ−12i−1(ωiu2i)−1) · (ωiρ−12i ω

−1i

).

さらに、∏g

i=1[u♯2i−1, u

♯2i]と

∏gi=1[u

2i−1, u

2i]はπ1(V )の中で同じ元であった。従って、元R ∈

P ∗F があってψ(R) =∏g

i=1[u2i−1, u

2i](∏g

i=1[u♯2i−1, u

♯2i])−1となるものが取れる。(Rは xや

ρjmの元を含まない事に注意する事) また ry := y−1∏g

i=1[u♯2i−1, u

♯2i]も置く。

すると、[Tro]でその恒等子が以下の様になることが示された。

W = (W1 · · ·Wg) ·R · yρyy−1 · (ymρym−1y−1）.

ちなみに、以上は細心の注意を払い打ち込んだが、誤植があるかもしれないし、説明を省いた部分もある。元論文をたどることが大事と思われる。

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