-Calculus & It’s Application--Calculus & It’s Application-Introduction (Introduction ( 導論導論 ))

朝陽科技大學資訊管理系李麗華 教授

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為何要學數學 ?

• 熟悉數字• 精於計算• 增強邏輯性• 增加解決問題的能力例如 :

–Geometry 幾何–Number 算術–Calculus 微積分–Statistics 統計學

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為何要學數學 ?

• 任何一門科學都必需有豐富的學理基礎，而數學就是這個重要的基礎之一– 例一 :

• 老臣要求退休分地為 : 麥子 1 粒、 2 粒、 4 粒、 8粒、 16 粒… 2n

– 例二 :• 割地以牛皮大小來圍面積

– 例三 :• 貸款借現金分期攤還的複利方式

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Natural Number 自然數• [ 有幾個 ?] 遠古時期人類常用的計數方法，即 t

he simple counting method– –– 不知名的古人發明– 接著開始必須有負數的概念，才能有借有還

– 所以必須加入負數來計算　整數 ( ) 出現了

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

N Z1,2,3,...,N ，

，10 1 11 10 3 7 10 10 ? 10 5 ? ，，

Z

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Integer 整數• 有了整數後，終於加減計算搞定，但 10 塊金子若要分給 4 個人，每個人有多少 ? 要怎麼分 ?

– R: 實數 ( 包含有理數及無理數 ) ，就解決了”如何分 ?” 的問題

0 1/8 1/4 1/2 1

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Real 實數• 有了分數，整數之間被塞滿了無限多的分數。自然數與整數從過去可以被 counting 步入了”無窮”的境界，故有實數 ( ) 的出現

– 接著又是 這個怪物的出現複數 C2

2 1.14213562...

R

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為何要學微積分 ?

• 為何要學微積分 ?– 面對連續的問題– 處理無窮– 解決變動– 其它… ( 請同學發表 ) 也參見”為何要學數學”之內容

• 生活中的連續性有哪些 ?– 時間 : 速度、運動、…– 空間 : 面積、距離、…

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吊詭的理論• 戰國公孫龍日 : 「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」

• 義大利古哲學家 Zeno: 「人與烏龜賽跑，若人的位置在 A0，烏龜在 T0處，則等人趕到 T0處時，烏龜已到 T1(T1=T0+d1) ，等人又趕到 T1時，烏龜又已經到 T2(T2=T1+d2) ，所以人永遠趕不上烏龜

T0 T1 T2 T3 T4

A0 A1 A2 A3 A4

d1 d2

9

10

為何要學微積分 - 說明 ( 一 )

• A 與 B 同時自原點出發， 10 分鐘後何者距離較遠 ? ( 微分的應用 )

AB

1 2 3 4

速度 km/sec

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為何要學微積分 - 說明 ( 二 )

• 自高台踢下一顆球，何時落地 ?

• 圖中掉落的軌跡中，每一點的速度都是一樣的嗎 ? ( 微分的應用 )

變動速度

( 瞬間速度 )

* 觀察奧運跳水選手

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為何要學微積分 - 說明 ( 三 )

• 若人的一生所賺 ( 花 ) 的錢如下圖所示，其中成長曲線為 X2，則請問一輩子可賺 ( 花 )多少錢 ? ( 積分的應用 )

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為何要學微積分 - 說明 (四 )

• 求取下圖的面積 ( 微分的應用 )

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為何要學微積分• 所以生活中仍有許多問題，以目前學過的自然數、整數、實數、三角函數等技巧仍無法解決，故面對變動、速度、極限等問題，我們仍需再繼續尋求更有效率的方法，這個方法即微積分 (Calculus) 。

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(補充 )符號的重要性 -1

• 數學符號可以幫助我們簡化並描述複雜的問題，只要能親近這些符號並了解它們，學習微積分( 數學 ) 就會事半功倍。

• 例如 :

1

1 2 3 4 5n

X

n X

…

( ) 3 150f x x 3 150Y x

工作時數 1 2 3 4 5 ……

收入 153 156 159 162 165 ……

x 1 2 3 4 ……

y 102 116 154 328 ……3( ) 2 100f x x

用符號表示簡單多了

或

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符號的重要性 -2

• 一對夫婦年老時要把房子土地分給三個兒子，若用符號表示要簡單的多：

• 朝陽科技大學是由資管系、資工系…所組成的 , 這句話可以用集合的符號來表達

• 由上可知，只要我們明暸這些符號的意涵，其實就能很快的親近數學

30*30

3

n

m

{ , , , }CYUT IM IE N …

把 30*30 的土地分割成三份

30

30