崑山科技大學電腦與通訊系四技部專題製作報告無線數位...

崑山科技大學

電腦與通訊系四技部

專題製作報告

無線數位通訊設計與模擬

學生：黃炳勳（4940D010）

張勝雄（4940D026）郭

祐誠（4940D030）

指導老師：陳財源

中華民國九十八年一月

摘要

對ㄧ個通訊系統的開發，首先要對系統、通道的性質及通道對系

統的影響須先設計及模擬出結果，而我們主要依數位方面下去設計及

模擬，而這系統中主要是利用點對點通信模式來傳輸。首先將一訊號

源經由類比數位轉換器轉換成一數位訊號通過數位調變(ASK、FSK、

PSK、QPSK、MSK 與 16-QAM)，再經由通道(AWGN 通道及多重路

徑干擾通道)通過解調器，再由數位類比轉換器轉換成類比訊號，此時

訊號就可以傳到最後的接收端，這樣整個稱之為點對點單向數位通訊

系統的模式。而我們主要先針對數位調變的模式(ASK、FSK、PSK、

QPSK、MSK 與 16-QAM)下去分析，再針對通道模式(AWGN 通道及

多路徑干擾)下去分析，最後針對數位調變經通道干擾，觀察各數位調

變在不同0N

Eb 的 AWGN 通道(或是不同延遲頻率的多重路徑通道)下那種

0N

Eb (或是延遲頻率)的通道較不受干擾，再觀察其數位調變經通道干

擾後各數位調變的錯誤率，使我們可以更了解通道干擾對一個通訊系

統的影響是多麼的嚴重。

i

目錄

頁次

摘要

目錄 i

圖目錄 ii

表目錄 iii

第一章數位調變形式

1.1 BASK(Binary Amplitude-Shift-Keying) 2

1.2 BFSK(Binary Frequency-Shift-Keying) 3

1.3 BPSK(Binary Phase-Shift-Keying) 5

1.4 QPSK(Quadrature-Phase-Shift-Keying) 7

1.5 MSK(Minimum-Shift-Keying) 8

1.6 QAM(Quadrature Amplitude Modulation) 10

第二章通道模式：

2.1 AWGN Channel 13

2.2 Multipath Rayleigh Fading Channel 14

第三章數位調變經通道干擾：

3.1 BASK 調變 18

ii

3.2 BFSK 調變 20

3.3 BPSK 調變 23

3.4 QPSK 調變 26

3.5 MSK 調變 29

3.6 QAM 調變 32

3.7 各數位調變經通道干擾之位元錯誤率(BER) 35

結論 36

參考文獻 37

附錄 38

iii

圖目錄

頁次

圖1 點對點通信模式 1

圖1.1(a) BASK調變架構 2

圖1.1(b) BASK調變之星座圖 3

圖1.2(a) BFSK調變架構 4

圖1.2(b) BFSK調變之星座圖 5

圖1.3(a) BPSK調變架構 6

圖1.3(b) BPSK 調變之星座圖 6

圖1.4(a) QPSK 調變架構 7

圖1.4(b) QPSK調變之星座圖 8

圖1.5(a) MSK 調變架構 9

圖1.5(b) MSK調變之星座圖 10

圖1.6(a) 16-QAM 調變架構 11

圖1.6(b) 16-QAM調變之星座圖 11

圖2 同步基帶數位資料傳輸的系統模型及波形。

(a)基帶數位資料系統；(b)典型傳輸序列；(c)

接收到的序列加上雜訊。

12

iv

圖2.1(a) AWGN通道架構圖 14

圖2.2(a) 多路徑干擾通道架構圖 15

圖2.2(b) 訊號經多路徑干擾之結果 15

圖2.2(c) 通道雜訊影響示意圖 16

圖2.2(d) 多路徑干擾示意圖 16

圖3.1(a) BASK調變經通道干擾(AWGN通道)之架構圖 18

圖3.1(b) 原始訊號(AWGN 通道) 19

圖3.1(c) 0N

Eb =5dB(AWGN 通道) 19

圖3.1(d) 0N

Eb =10dB(AWGN通道) 19

圖3.1(e) 0N


圖3.2(a) BFSK調變經通道干擾(AWGN通道)之架構圖 20

圖3.2(b) BFSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading

Channel)之架構圖

20

圖3.2(c) 原始訊號(AWGN通道) 21

圖3.2(d) 0N


圖3.2(e) 0N


v

圖3.2(f) 0N


圖3.2(g) 原始訊號(Multipath Rayleigh Fading Channel) 22

圖3.2(h) delay 2e-3 衰減-3dB(Multipath Rayleigh Fading

Channel)

22

圖3.2(i) delay 2e-6 衰減-3dB(Multipath Rayleigh Fading

Channel)

22

圖3.2(j) delay 2e-9 衰減-3dB(Multipath Rayleigh

Fading Channel)

22

圖3.3(a) BPSK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖 23

圖3.3(b) BPSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading


23


圖3.3(d) 0N


圖3.3(e) 0N


圖3.3(f) 0N



vi


Channel)

25


Channel) 25

圖3.3(j) delay 2e-9 衰減-3dB(Multipath Rayleigh Fading

Channel)

25

圖3.4(a) QPSK調變經通道干擾(AWGN通道)之架構圖 26

圖3.4(b) QPSK調變經通道干擾(Multipath Rayleigh

Fading Channel)之架構圖

26

圖3.4(c) 原始訊號(AWGN 通道) 27

圖3.4(d) 0N


圖3.4(e) 0N


圖3.4(f) 0N




Channel)

28

vii


Channel)

28


Channel) 28

圖3.5(a) MSK調變經通道干擾(AWGN通道)之架構圖 29

圖3.5(b) MSK調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading


29


圖3.5(d) 0N


圖3.5(e) 0N


圖3.5(f) 0N



圖3.5(h) delay 2e-3 衰減-3dB(Multipath Rayleigh

Fading Channel)

31


Channel)

31

viii

圖3.5(j) delay 2e-3 衰減-3dB(Multipath Rayleigh

Fading Channel)

31

圖3.6(a) QAM調變經通道干擾(AWGN通道)之架構圖

32

圖3.6(b) QAM調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading


32


圖3.6(d) 0N


圖3.6(e) 0N


圖3.6(f) 0N




Channel)

34

圖3.6(i) delay 2e-3 衰減-3dB(Multipath Rayleigh

Fading Channel)

34


Channel)

34

ix

表目錄

頁次

表3-1 觀察各數位調變經通道干擾(AWGN通道)BER的差異 35

表3-2 觀察各數位調變經通道干擾(多路徑干擾)BER的差異 35

1

第一章

數位調變之型式

從圖 1.點對點通信模式可知道在訊息信號經通道傳送之前，須先

經過某種調變產生易於在通道傳輸的信號，而調變是將訊息信號移至

新的頻帶位置。數位調變可分為以下幾種調變振幅移鍵控(ASK)、頻率

移鍵控(FSK)、相位移鍵控(PSK)、四相移鍵控(QPSK)、最小移頻鍵控

(MSK)與正交振福調制(16-QAM)，這邊將介紹各調變的信號形式、架

構及位元錯誤率。

圖 1.點對點通信模式

2

B

1.1 振幅移鍵控(Amplitude Shift Keying,ASK)：

ASK 為簡單數位調變系統是利用開關動作決定輸出端是否有調

變訊號輸出。若傳輸有脈衝雜訊產生時，接收端會將 0解調成 1 的

資料錯誤，故不適用在高速訊號處理的通訊系統。

ㄧ個 ASK 定義為： Tttftm cts 0 ,2cos ，其為基中 tm 頻訊號，

cf 為載波頻率，則整個傳送程序為接收端在每週期時間 T 只判斷有無

訊號，便可完成解調動作，有訊號為”1”，無訊號為”0”。

其 BER(bit error rate):

eP =

0N

EQ b 。

架構：

圖 1.1(a).BASK 調變架構

3

星座圖：

圖 1.1(b).BASK 調變之星座圖

1.2 頻率移鍵控(Frequency Shift Keying , FSK)：

BFSK 調變為兩種載波頻率傳送數位基頻訊號，振福大小和相位維

持不變，而不同輸入振福大小，輸出相對有不同頻率。

對於 BFSK 調變波可表示如下：

傳送位元是 1(或 0)： Tttf

fAts c

0 ,2

2cos 10

傳送位元是 0(或 1)： Tttf

fAts c

0 ,2

2cos 21

其中 A 為振福大小，為兩個不同訊號的頻率差，也就是調變後訊

號頻率組合只有

f

21

fff c

與

22

fff c

兩種，對接收端而言，接收端

週期時間內判斷訊號頻率為 1f 2f 轉為對應數位訊號，就可完成解

調動作。

T 或，

4

為了使 FSK 維持正交讓與在同一相位開始，所以頻率差

因此傳送訊號可改為：

傳送位元是 1(或 0)： TttfAts 0 ,2cos 110

傳送位元是 0(或 1)： TttfAts 0 ,2cos 221

其 BER(bit error rate):

eP =

0N

EQ b 。

架構：

圖 1.2(a).BFSK 調變架構

5

星座圖：

圖 1.2(b).BFSK 調變之星座圖

1.3 雙相移鍵控(BPSK-Binary Phase Shift Keying)：

BPSK 以與兩個相位角來做載波變化調變，每一個符

元(symbol)有 1 個資料位元發送。

o0 o180

1. 調變波形：

2cos2

1tf

T

Et cs

2cos2

2 tf

T

Et cs

其中 T為訊號週期時間， fc為載波頻率，

T

E2微波形振幅係數，

。 Tt0

6

2. 位元錯誤率(Bit Error Probability)：

eP =

0

2

N

EQ b 。

架構：

圖 1.3(a).BPSK 調變架構

星座圖：

圖 1.3(b).BPSK 調變之星座圖

7

1.4 四相移鍵控(QPSK-Quadrature Phase Shift Keying)︰

QPSK 可視為兩個 BPSK 的訊號合成，即 PSK 相位狀態

及，每一個符元(symbol)有 2 個資料位元發送。在相同 225,135,45 315

ob NE 下 BPSK 及 QPSK 的 BER 相同，但 QPSK 位元傳輸率較 BPSK”

會一倍 ” 。故在相同位元傳輸率 QPSK 訊號頻寬為

T1212 TB QFSKT , ，且為 BPSK 頻寬的一半，則 QPSK 可省頻寬。

1. 調變波形：

4

122cos2

itfT

Et cis ， Tti 0, 4,3,2,1 。

其中 T為訊號週期時間， fc為載波頻率，

T

E2為波形振幅係數。


eP =

0

2

N

EQ b 。

架構：

圖 1.4(a).QPSK 調變架構

8

星座圖：

圖 1.4(b).QPSK 調變之星座圖

1.5 最小移頻鍵控(MSK-Minimum Shift Keying)︰

為一種連續相移頻鍵控(Continuous FSK)訊號，其在每一 T 區間的

相位變化為每次增加或減少 o90，故 t 在一個T時刻之相位為

及。前後訊號之相位具有線性關聯性，即 MSK 具有記憶功能，且比

BPSK 及 QPSK 頻帶外干擾較小，且不易干擾別的頻帶，使 MSK 頻譜使用

率提高。

ooo 180,90,0

o027

1. 調變波形：

2cos2

ttfT

Et cis

其中 T為訊號週期時間， fc為載波頻率 Tt 0 ，

T

E2微波形

振幅係數，且 S(t)之相位 t 為連續函數(在 T 之交界處亦為

9

連續)。

"1"bit 0 T

ht

或 "0"bit 0 T

ht

其中 h稱訊號誤差量，h=0.5 for MSK


eP =

0

2

N

EQ b 。

架構：

圖 1.5(a).MSK 調變架構

10

星座圖：

圖 1.5(b).MSK 調變之星座圖

1.6 正交振福調制(quadrature-amplitude modulation)：

QAM 為如許用正交載波來發射多重信號的另一個信號技巧。

1. 調整波形：

scs

TttfT

t 0 2cos2

1

scs

TttfT

t 0 2sin2

2

2sinE2

2cosE2 00 tfb

Ttfa

TtS ck

scs

sk

tbta kk 2010 EE


0

2

2 1

log3114

log

1

NM

EMQ

MMP b

e

11

架構：

圖 1.6(a).16-QAM 調變架構

星座圖：

圖 1.6(b).16-QAM 調變之星座圖

12

第二章

通道模式

考慮如圖 2 中(a)為二元數位通訊系統，其中傳輸的訊號包含一組

固定振幅脈波的序列脈波的振幅 A 或-A 單位，持續時間為 T 秒。一個

典型傳輸序列如圖 2 中(b)，我們可以把從資料原來的正脈波看成邏

輯”1”及負脈波看成邏輯”0”，對二元數字而言，每 T 秒的脈波稱為二

進位或位元，與通道理想化成僅把具雙邊功率頻譜密度 oN2

1的白高斯

雜訊加入訊號中，接收信號加上雜訊的典型樣本函數顯示於如圖2中(c)

其雜訊為白高斯雜訊。

圖 2.同步基帶數位資料傳輸的系統模型及波形。(a)基帶數位資料系

統；(b)典型傳輸序列；(c)接收到的序列加上雜訊。

13

2.1 AWGN(Additive White Gaussian Noise)通道：

AWGN 為高斯分佈(Gaussian Distribution)且功率頻譜密度(Power

Spectral Density)為常數值之隨機程序，其行為模式與熱雜訊(Thermal

Noise)相似。由於電荷的隨機運動而產生電流，電流經由電阻時將產生

電壓，因此我們可將電阻視做一種隨機程序產生器，此隨機雜訊產生

器所顯現出的隨機電壓或隨機電流一般通稱熱雜訊(Thermal Noise)，其

大小值正比於所在環境溫度。熱雜訊在頻譜上呈現固定而平穩的頻率

分佈特性，也就是說，所在頻率些存在於熱雜訊中，就像太陽光包含

所有顏色的光一樣，所以熱雜訊也稱之白雜訊(White Noise)，然而白雜

訊中白色意味著訊號是不相關的，白雜訊的定義除了要求平均值為零

外並沒有對訊號應當為哪種機率分佈作出任何假設。因此，如果某白

雜訊過程為高斯分佈，則它是「高斯白雜訊」。根據中央極限定理，高

斯白雜訊是許多現實世界過程的一種好的近似，並且能夠生成為數學

上可以追蹤的模型。在數位通訊系統中，雜訊電壓的瞬間峰值會造成

接收訊號的變形因而判斷錯誤，這個白色雜訊的鋒值電壓分佈通常為

高斯分佈；對熱雜訊這類隨機程序而言，我們通常利用自相關函數

(Autocorrelation Function 與功率頻譜密度來分別描述其相關性及頻率

內容。

14

AWGN 通道架構圖為下圖(a)

圖 2.1(a).AWGN 通道架構圖

2.2 多路徑干擾通道(Multipath Rayleigh Fading Channel)：

多重路徑衰竭，一個訊號打出去，也許會經過牆壁或是樹的阻擋

而反射後才到達接收端，使得接收端除了接收到第一個延遲訊號(Delay)

後，又收到反射過後的第二個延遲訊號(Delay+T)的訊號，造成訊號間

互相干擾；在多重路徑通道下，常因為路徑數目一多的情況下，導致

所估測出符元(Symbol)時序會因為通道的關係會發生提早或延遲幾個

取樣點，如此一來進入快速傅立葉轉換(FFT)解調的資料，會因為訊號

15

提早或延遲幾個取樣點導致解調錯誤。正交多頻多工調變(OFDM)的優

點就是能夠有效的對抗多重路徑(Multipath)效應。

則多路徑干擾通道架構如下圖(b)：

圖 2.2(a).多路徑干擾通道架構圖

圖 2.2(b).訊號經多路徑干擾之結果

16

圖 2.2(c).通道雜訊影響示意圖

圖 2.2(d).多路徑干擾示意圖

17

第三章

數位調變經通道干擾

首先將一語音訊號經由類比數位轉換器轉換成一數位訊號通過數

位調變(ASK、FSK、PSK、QPSK、MSK 與 16-QAM)，再經由通道(AWGN

通道及多重路徑干擾通道)通過解調器，再由數位類比轉換器轉換成類

比訊號，此時語音訊號就可以使用播放器播出，觀察各數位調變在不

同 SNR 的 AWGN 通道(或是不同頻率延遲的多重路徑通道)下那種

SNR(或是頻率延遲)所產生音質較佳，較不受干擾，由各數位調變的

位元錯誤率(Bit Error Rate；BER)來比較，使我們可以了解雜訊對訊號

的影響是多麼的嚴重。

18

3.1 BASK 調變：

設定 AWGN 模組0N

Eb 參數等於５，１０，２０

架構：

圖 3.1(a). BASK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

19

星座圖：

圖 3.1(b).原始訊號圖 3.1(c).0N

Eb =5dB

圖 3.1(d).0N

Eb =10dB 圖 3.1(e).0N

Eb =20dB

20

3.2 BFSK 調變：



設定 Multipath 模組 Delay vector 等於 2e-3，2e-6，2e-9

架構：

圖 3.2(a). BFSK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

圖 3.2(b). BFSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading Channel)

之架構圖

21

星座圖(AWGN 通道)：

圖 3.2(c).原始訊號圖 3.2(d).0N

Eb =5dB

圖 3.2(e).0N

Eb =10dB 圖 3.2(f).0N

Eb =20dB

22

星座圖(Multipath Rayleigh Fading Channel)：

圖 3.2(g).原始訊號圖 3.2(h). delay 2e-3 衰減

-3dB

圖 3.2(i). delay 2e-6 衰減-3dB 圖 3.2(j). delay 2e-9 衰減

-3dB

23

3.3 BPSK 調變：




架構：

圖 3.3(a). BPSK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

圖 3.3(b). BPSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading Channel)

之架構圖

24


圖 3.3(c).原始訊號圖 3.3(d).0N

Eb =5dB

圖 3.3(e).0N

Eb =10dB 圖 3.3(f).0N

Eb =20dB

25



-3dB

圖 3.3(i). delay 2e-6 衰減-3dB 圖 3.3(j). delay 2e-9 衰減

-3dB

26

3.4 QPSK 調變：




架構：

圖 3.4(a). QPSK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

圖 3.4(b). QPSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading Channel)

之架構圖

27


圖 3.4(c).原始訊號圖 3.4(d).0N

Eb =5dB

圖 3.4(e).0N

Eb =10dB 圖 3.4(f).0N

Eb =20dB

28



-3dB

圖 3.4(i). delay 2e-6 衰減-3dB 圖 3.4(j). delay 2e-9 衰減-3dB

29

3.5 MSK 調變：




架構：

圖 3.5(a). MSK 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

圖 3.5(b). MSK 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading Channel)

之架構圖

30


圖 3.5(c).原始訊號圖 3.5(d).0N

Eb =5dB

圖 3.5(e).0N

Eb =10dB 圖 3.5(f).0N

Eb =20dB

31


圖 3.5(g).原始訊號圖 3.5(h). delay 2e-3 衰減-3dB

圖 3.5(i). delay 2e-6 衰減-3dB 圖 3.5(j). delay 2e-9 衰減-3dB

32

3.6 QAM 調變：




架構：

圖 3.6(a). QAM 調變經通道干擾(AWGN 通道)之架構圖

圖 3.6(b). QAM 調變經通道干擾(Multipath Rayleigh Fading Channel)

之架構圖

33


圖 3.6(c).原始訊號圖 3.6(d).0N

Eb =5dB

圖 3.6(e).0N

Eb =10dB 圖 3.6(f).0N

Eb =20dB

34


圖 3.6(g).原始訊號圖 3.6(h). delay 2e-3 衰減-3dB

圖 3.6(i). delay 2e-6 衰減

-3dB

圖 3.6(j). delay 2e-9 衰減-3dB

35

擾位元錯誤率(BER)：

i.經 AWGN 通道：在不同

3.7 各數位調變經通道干之

0N

Eb 下

0N

Eb

變數位調

0N

Eb =5 0N

Eb =10 0N

Eb =20

ASK BER=4.25 BER=3.4008 BER=8.4438 1e 1e 2e

FSK BER=4.2941 BER=3.6667 BER=3.0303 1e 1e 2e

PSK BER=2.1017 BER=8.0282 BER=0 1e 2e

QPSK BER=2.7077 BER=1.1406 BER=0 1e 1e

MSK BER=4.0816 BER=2.9 BER=1.997 1e 1e 1e

16-QAM BER=3.1941 BER=2.3325 BER=1.2522 1 1 2e e e

表 3-1.觀察各數位調變經通道干擾(AWGN 通道)BER 的差異

Ray ing 不同頻

頻率延遲 [0 2e-3] [0 2e-6] [0 2e-9]

ii.經 Multipath leigh Fad Channel：在率延遲下

數位調變

ASK N N N FSK BER=9.3725 2e BER=4.5118 1e BER=0

PSK BER=3.2619 1e BER=5.3330 1e BER=4.7573 1eQPSK BER=3.9478 BER=5.0623 e BER=3.7845 e1e 1 1 MSK BER=4.8485 1e BER=3.6420 1e BER=4.8071 1e16-QAM BER=4.5503 BER=5.50957 BER=4.7911 1 1e 1ee

表 3-2.觀察各數位調 ath Rayleigh Fading

Channel))BER 的差異

變經通道干擾((Multip

36

結論

對一個數位通訊系統來說要判斷一系統的優劣可由其位元錯誤率

來觀察。

而就理論的觀點來看，PSK=QPSK=MSK<16-QAM<FSK=ASK，

而位元錯率是越小系統越好，所以就以理論觀點來看是經 PSK、QPSK

及 MSK 的系統所產生的位元錯誤率較小系統較佳，但再以實際加入語

音訊號經過類比轉數位及調變通過通道的狀況來看，可由表 3-1 經

AWGN 通道(0N

Eb =20)知 PSK=QPSK<16-QAM<FSK<MSK<ASK，就可知道經

PSK 與 QPSK 的系統位元錯誤率較小系統較佳。就以上述兩種結果來

看，經 PSK 及 QPSK 調變不論在理論或加入干擾的狀況下其位元錯誤

率較小系統較佳，然而經 MSK 調變在兩種狀況比較可知在實際通訊系

統的狀態下其系統較差易受干擾影響，就整體來說經 PSK 及 QPSK 調

變的系統其系統性能較佳受干擾較小。

37

參考文獻

[1] Rodger E. Ziemer /William H. Tranter, “Principles of Communication:

Systems, Modulation and Noise 5/E,” John Wiley & Sons，2001。

[2] BERNARD SKLAR, “DIGITAL COMMUNICATIONS:Fundamentals

and Applications Second Edition,” Prentice Hall，ISBN：0130917222

，2001。

[3] John G. Proakis、Masond salehi、Gerhard Banch, “Contemporary

Communication System Using MATLAB and Sinulink Second

Edition.”Baker & Taylor Books，ISBN：0534406173，2003。

[4] Sheldon Ross, “A First Course in Probability Sixth Edition,”

Prentice Hall，ISBN：0130338516，2001。

[5] William Stallings, “Wireless Communications and Networks

Second Edition,” Prentice Hall，ISBN：0131918354，2004。

[6] S Haykin, “Communication Systems 3e - Solutions Manual,”

John Wiley & Sons，ISBN：0471308471，1994。

[7] Kreyszig, Erwin/ Kreyszig, Herbert, “Advanced Engineering

Mathematics,” John Wiley & Sons，ISBN：0471726443，2006。

38

[8] P. O'Neil, “Advanced engineering mathematics,”

Baker & Taylor Books，ISBN：0534983189，1991。

[9] 鈦思科技， “通訊系統設計與模擬,”鈦思科技，

ISBN：9573011115，2007。

[10] 曹士林， “MATLAB 補助通信系統,”滄海書局，

ISBN：9812403310，2001。

[11] 育英科技編著， “數位通訊技術與實習,”全華科技，

ISBN：9572143395，2004。

[12] 顏榮泉、馬得翔、唐任威、鄭懿讚， “網路概論第三版,”

學貫出版，ISBN：9868115809，2005。

39

附錄

附錄一：

高斯 Q函數(Gaussian Q-Function)：

其定義為 dye

uQu

y

2

22

，此函數已用數值積分求值，對一般以及

很大參數分別有有理型及漸進型的近似數值。而 Q 函數對大參數的一

個有用近似值為 1,2

22

uu

euQ

u

。

則相關的積分為誤差函數(erf-error function)與互補式錯誤函數

(erfc-complementary error function)，分別定義為

x

duuxerf0

2exp2

x

duuxerfxerfc 2exp2

1

可證明其與 Q 函數的關係為

)2(21 uQuerf 或 )(2

1)2( uerfcuQ

附錄二：

功率頻譜密度與自相關函數：

一穩定的隨機訊號 tx 之 PSD(Power Spectral Density) 敘述其

功率在頻率分佈的情形，由 Wiener-Kinchine 定理知為的自相

關函數(autocorrelation function)支傅立葉轉換，即

fSx

tx fSx

dteRRFfS jwtxxx

40

dtefSfSFR jwtxxx

1

可說為一訊號在時域做自相關，而傅立葉轉換到頻域亦為功率頻譜密

度。

其 R 的性質如下：

1. ，亦即在有相對最大值。

2. ，亦即為偶函數。

3. 若不含週期性成份，則。

4. 若相對於 t 為週期的週期性函數，則相對於為週期

的週期性函數。

5. 任意信號之時間平均自相關函數的傅立葉轉換為非負函數。

附錄三：

高斯分佈(Gaussian Distribution)與熱雜訊(Thermal Noise)：

熱雜訊根據奈奎斯定理說明在凱氏溫度 KT 時，於頻寬 BHz 內，跨

電阻為 R 之電阻器二端的均方誤差電壓為 222 4kTRBVtvvrms 其中n ，

KJk 231038.1 波茲曼常數。

而高斯分佈其機率密度函數 (Probability Density Functiom) 為

TN

ef

TN

x

0

02

)(

，而錯誤率為

0

22

N

TAQPE ，其中重要參數為 0NTA2 ，可

41

由兩方面來解釋。首先，因為每個信號脈波的能量為，

我們可知每次脈波的信號能量比上雜訊功率頻譜密度的比值為

TAdtAETt

tb220

0

00

2

N

E

N

TAz b ，其中稱為每位元之能量，因為每個信號脈波攜帶一個

位元訊息。為雜訊功率密度。其次，我們想起持續時間 T 秒的矩形

脈波有振幅頻譜，而

bE

AT

oN

cTfsin TBp 1 為其粗略的估測，因此

pTN

Az

0

2

1

BN

A

0

2

可解釋成信號功率對信號頻寬中雜訊功率的比值，頻

寬有時稱為位元速率頻寬。我們將 pBN

A

T 0

22

b

N

A

N

TA

N

EZ

00

2

0 1 稱為訊雜

比(Signal to Noise rate；SNR)，也稱為” 0N

Eb ”。

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