УДК 372.5.016:514ББК 74.262.21

16+ Г36

С о с т а в и т е л ь: Т. А. Бурмистрова

Г36 Геометрия. Сборник примерных рабочих программ. 10—11 классы : учеб. пособие для общеобразоват. организаций : базо-вый и углубл. уровни / [сост. Т. А. Бурмистрова]. — 4-е изд. — М. : Просвещение, 2020. — 159 с. — ISBN 978-5-09-072802-7.

Рабочие программы среднего общего образования по геометрии содержат следующие разделы: пояснительную записку; место геометрии в учебном пла-не основного общего образования; требования к результатам освоения курса; содержание курса по основным линиям; примерное тематическое планиро-вание с описанием видов учебной деятельности учащихся 10—11 классов и указанием примерного числа часов на изучение соответствующего матери-ала; рекомендации по оснащению учебного процесса.

Программы предназначены для учителей, работающих по УМК авторов А. Д. Александрова и др., Л. С. Атанасяна и др., В. Ф. Бутузова и др., А. В. Погорелова, А. Л. Вернера и др., и соответствуют требованиям ФГОС и Федерального компонента государственного стандарта общего образования.

УДК 372.5.016:514ББК 74.262.21

ISBN 978-5-09-072802-7 © Издательство «Просвещение», 2015, 2019 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2015, 2019 Все права защищены

3

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочие программы базового и углублённого уровней по гео-метрии для среднего общего образования разработаны на основе Фундаментального ядра общего образования и в соответствии с требованиями ФГОС к структуре и результатам освоения основных образовательных программ среднего общего образования. В них со-блюдается преемственность с примерной рабочей программой ос-новного общего образования. Примерные рабочие программы (да-лее — Программы) являются ориентиром для составления рабочих программ для конкретных классов.

Программы содержат: 1) пояснительную записку, в которой конкретизируются общие

цели среднего (полного) общего образования с учётом специфики учебного предмета «Геометрия»;

2) описание места предмета в учебном плане;3) планируемые результаты освоения курса геометрии;4) содержание курса геометрии на базовом и углублённом уровнях;5) примерное тематическое планирование с определением основ-

ных видов учебной деятельности обучающихся.Практическая значимость школьного курса геометрии обуслов-

лена тем, что её объектом являются пространственные формы и количественные отношения действительного мира. Геометрическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и ис-пользования современной техники, восприятия научных и техниче-ских понятий и идей. Математика является языком науки и техни-ки. С её помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе.

Геометрия является одним из опорных предметов старшей шко-лы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это относится к предметам естественно-научного цикла, в частности к физике. Развитие логического мышления учащихся при обучении геометрии способствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические умения и навыки геометрического характера необхо-димы для трудовой и профессиональной подготовки школьников.

Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и происхождении геометрических абстракций, соотношении реального и идеального, характере отражения математической наукой явлений и процессов реального мира, месте геометрии в системе наук и роли математического моделирования в научном познании и в практи-ке способствует формированию научного мировоззрения учащихся, а также формированию качеств мышления, необходимых для адап-тации в современном информационном обществе.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентра-ции внимания, активности, развитого воображения, геометрия раз-вивает нравственные черты личности (настойчивость, целеустремлён-ность, творческую активность, самостоятельность, ответственность,

4

трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение аргу-ментированно отстаивать свои взгляды и убеждения, а также спо-собность принимать самостоятельные решения.

Геометрия существенно расширяет кругозор учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, ана-лизом и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагиро-ванием, аналогией. Активное использование задач на всех этапах учебного процесса развивает творческие способности школьников.

При обучении геометрии формируются умения и навыки ум-ственного труда — планирование своей работы, поиск рациональ-ных путей её выполнения, критическая оценка результатов. В про-цессе обучения геометрии школьники должны научиться излагать свои мысли ясно и исчерпывающе, лаконично и ёмко, приобрести навыки чёткого, аккуратного и грамотного выполнения математи-ческих записей.

Важнейшей задачей преподавания школьного курса геометрии является развитие логического мышления учащихся. Сами объекты геометрических умозаключений и принятые в геометрии правила их конструирования способствуют формированию умений обосновывать и доказывать суждения, приводить чёткие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно вскрывают механизм ло-гических построений и учат их применению. Тем самым геометрия занимает ведущее место в формировании научно-теоретического мышления школьников. Раскрывая внутреннюю гармонию матема-тики, формируя понимание красоты и изящества математических рассуждений, способствуя восприятию геометрических форм, усво-ению понятия симметрии, геометрия вносит значительный вклад в эстетическое воспитание учащихся. Её изучение развивает вооб-ражение школьников, существенно обогащает и развивает их про-странственные представления.

Геометрическое образование является обязательной и неотъем-лемой частью общего образования на всех его ступенях. Изучение курса геометрии на базовом уровне ставит своей целью повысить общекультурный уровень человека и завершить формирование от-носительно целостной системы геометрических знаний как основы любой профессиональной деятельности, не связанной непосредствен-но с математикой.

На углублённом уровне в зависимости от потребностей обучаю-щихся возможно изучение курса геометрии на двух уровнях: для подготовки специалистов инженерно-технического профиля и ка-дров для нужд науки.

В соответствии с принятой Концепцией развития математическо-го образования в Российской Федерации математическое образова-ние должно решать, в частности, следующие ключевые задачи:— предоставлять каждому обучающемуся возможность достижения

уровня математических знаний, необходимого для дальнейшей успешной жизни в обществе;

5

— обеспечивать необходимое стране число выпускников, матема-тическая подготовка которых достаточна для продолжения обра-зования в различных направлениях и для практической деятель-ности, включая преподавание математики, математические ис-следования, работу в сфере информационных технологий и др.;

— в основном общем и среднем общем образовании необходимо пред-усмотреть подготовку обучающихся в соответствии с их запроса-ми к уровню подготовки в сфере математического образования.Соответственно выделяются три направления требований к ре-

зультатам математического образования: 1. Практико-ориентированное математическое образование (ма-

тематика для жизни).2. Математика для использования в профессии, не связанной

с математикой.3. Творческое направление, на которое нацелены те обучающиеся,

которые планируют заниматься творческой и исследовательской ра-ботой в области математики, физики, экономики и других областях.

В соответствии с законом «Об образовании в Российской Федера-ции» (ст. 12 п. 7) организации, осуществляющие образовательную деятельность, реализуют эти требования в образовательном процессе с учётом примерной основной образовательной программы как на основе учебно-методических комплектов соответствующего уровня, входящих в Федеральный перечень МОиН РФ, так и с возможным использованием иных источников учебной информации (учебно-ме-тодические пособия, образовательные порталы и сайты и др.).

В соответствии с требованиями в программах выделены два уров-ня: базовый и углублённый.

Цели освоения программы базового уровня — обеспечение возмож-ности использования математических знаний и умений в повседневной жизни и возможности успешного продолжения образования по специ-альностям, не связанным с прикладным использованием математики.

Программа углублённого уровня предназначена для профильного из-учения математики; при выполнении этой программы предъявляются требования, соответствующие направлению «математика для профес-сиональной деятельности»; вместе с тем выпускник получает возмож-ность изучить математику на гораздо более высоком уровне, что создаст фундамент для дальнейшего серьёзного изучения математики в вузе.

Общая характеристика учебного предмета. Геометрическое обра-зование играет важную роль и в практической, и в духовной жиз-ни общества. Практическая сторона связана с созданием и приме-нением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, духовная сторона — с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Без конкретных геометрических знаний затруднены восприятие и интерпретация окружающего мира, малоэффективна повседнев-ная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять расчёты, владеть практическими приёмами

6

геометрических измерений и построений, читать информацию, пред-ставленную в виде чертежей, составлять несложные алгоритмы и др.

Для жизни в современном обществе важным является формиро-вание математического стиля мышления. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обо-сновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логиче-ское мышление. Геометрии принадлежит ведущая роль в формиро-вании алгоритмического мышления, развитии умений действовать по заданному алгоритму. В ходе решения задач — основной учеб-ной деятельности на уроках геометрии — развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Обучение геометрии даёт возможность развивать у учащихся точ-ную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее под-ходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Геометрическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей куль-туры является общее знакомство с методами познания действи-тельности, представление о методах математики, их отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях при-менения геометрии для решения прикладных задач.

Изучение геометрии способствует эстетическому воспитанию че-ловека, пониманию красоты и изящества математических рассужде-ний, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии.

История развития геометрии даёт возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них пред-ставления о геометрии как части общечеловеческой культуры. Зна-комство с основными историческими вехами возникновения и раз-вития этой науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каж-дого культурного человека.

Содержание геометрического образования формируется на основе Фундаментального ядра школьного математического образования. Оно представлено в виде совокупности содержательных линий, рас-крывающих наполнение Фундаментального ядра школьного матема-тического образования применительно к старшей школе.

МЕСТО ПРЕДМЕТА В УЧЕБНОМ ПЛАНЕ

Базисный учебный (образовательный) план для изучения пред-мета «Математика» отводит на базовом уровне от 4 учебных часов в неделю и на углублённом уровне 6—8 часов в неделю в 10—11 классах. Поэтому на геометрию отводится 1,5 учебных часа в неделю в течение каждого года обучения для базового уровня (всего 102 урока) и 2 или 3 учебных часа для углублённого уровня (всего 136 или 204 урока соответственно). Распределение учебного времени представлено в таблице.

7

Предмет

Количество часов

Базовый уровень

Углублённый уровень

1-й вариант 2-й вариант

10

кл

ас

с

11

кл

ас

с

10

кл

ас

с

11

кл

ас

с

10

кл

ас

с

11

кл

ас

с

Математика (интегри-рованный курс)

136 136

Геометрия 51 51 68 68 102 102

Алгебра и начала ма-тематического анализа

85 85 136 136 180 180

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ КУРСА ГЕОМЕТРИИ

Базовый уровень

Для использования в повседневной жизни и обеспечения возмож-ности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики (1-й уровень планируемых результатов), выпускник научится, а также получит возможность научиться для развития мышления (2-й уровень пла-нируемых результатов, выделено курсивом):

Геометрия— оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, парал-

лельность и перпендикулярность прямых и плоскостей;— распознавать основные виды многогранников (призма, пира-

мида, прямоугольный параллелепипед, куб) и тел вращения (конус, цилиндр, сфера и шар), владеть стандартной клас-сификацией пространственных фигур (пирамиды, призмы, параллелепипеды);

— изображать изучаемые фигуры от руки и с применением про-стых чертёжных инструментов;

— делать (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу; строить сечения многогранников;

— извлекать, интерпретировать и преобразовывать информа-цию о пространственных геометрических фигурах, представ-ленную на чертежах и рисунках;

— описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;

— применять теорему Пифагора при вычислении элементов сте-реометрических фигур;

8

— находить объёмы и площади поверхностей простейших много-гранников, тел вращения, геометрических тел с применени-ем формул;

— вычислять расстояния и углы в пространстве;— применять геометрические факты для решения задач, пред-

полагающих несколько шагов решения, если условия приме-нения заданы в явной форме;

— решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;

— формулировать свойства и признаки фигур;— доказывать геометрические утверждения.В повседневной жизни и при изучении других предметов:— соотносить абстрактные геометрические понятия и факты с

реальными жизненными объектами и ситуациями;— использовать свойства пространственных геометрических фи-

гур для решения типовых задач практического содержания;— соотносить площади поверхностей тел одинаковой формы раз-

личного размера;— соотносить объёмы сосудов одинаковой формы различного

размера;— оценивать форму правильного многогранника после спилов,

срезов и т. п. (определять количество вершин, рёбер и граней полученных многогранников);

— использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из других областей знаний.

Векторы и координаты в пространстве— Оперировать понятиями: декартовы координаты в простран-

стве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координа-ты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы;

— находить координаты вершин куба и прямоугольного парал-лелепипеда, расстояние между двумя точками;

— находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение, расклады-вать вектор по двум неколлинеарным векторам;

— задавать плоскость уравнением в декартовой системе ко-ординат;

— решать простейшие задачи введением векторного базиса.

История и методы математики— Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в

ходе развития математики как науки;— знать примеры математических открытий и их авторов в

связи с отечественной и всемирной историей; представлять вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;

— понимать роль математики в развитии России;

9

— применять известные методы при решении стандартных и нестандартных математических задач; использовать основ-ные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять опровержение;

— замечать и характеризовать математические закономерности в окружающей действительности и на их основе характери-зовать красоту и совершенство окружающего мира, а так-же произведений искусства;

— применять простейшие программные средства и электрон-но-коммуникационные системы при решении математиче-ских задач.

Углублённый уровень

Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики (1-й уровень планируемых результатов), выпускник научится, а также получит возможность научиться для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осу-ществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук (2-й уровень планируемых результа-тов, выделено курсивом):

Геометрия— владеть геометрическими понятиями при решении задач и

проведении математических рассуждений;— самостоятельно формулировать определения геометрических

фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или конкретизировать результаты на новые классы фигур, проводить в несложных случаях классификацию фи-гур по различным основаниям;

— исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представ-ленную на чертежах;

— решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из ус-ловия, выполнять необходимые для решения задачи допол-нительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;

— уметь формулировать и доказывать геометрические утвержде-ния;

— владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;

— иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из них и уметь применять их при решении задач;

— уметь строить сечения многогранников с использованием раз-личных методов, в том числе метода следов;

10

— иметь представление о скрещивающихся прямых в простран-стве и уметь находить угол и расстояние между ними;

— применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;

— уметь применять параллельное проектирование для изобра-жения фигур;

— уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;

— владеть понятиями ортогонального проектирования, наклон-ных и их проекций, уметь применять теорему о трёх перпен-дикулярах при решении задач;

— владеть понятиями расстояния между фигурами в простран-стве, общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятием угла между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;

— владеть понятиями двугранного угла, угла между плоскостя-ми, перпендикулярных плоскостей и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятиями призмы, параллелепипеда и применять свойства параллелепипеда при решении задач;

— владеть понятием прямоугольного параллелепипеда и приме-нять его при решении задач;

— владеть понятиями пирамиды, видов пирамид, элементов пра-вильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;

— иметь представление о теореме Эйлера, правильных много-гранниках;

— владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь применять его при решении задач;

— владеть понятиями тела вращения, сечения цилиндра, кону-са, шара и сферы и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятием касательных прямых и плоскостей и уметь применять его при решении задач;

— иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;

— владеть понятиями объёма, объёмов многогранников, тел вра-щения и применять их при решении задач;

— иметь представление о развёртке цилиндра и конуса, площа-ди поверхности цилиндра и конуса и уметь применять его при решении задач;

— иметь представление о площади сферы и уметь применять его при решении задач;

— уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;

— иметь представление о подобии в пространстве и уметь ре-шать задачи на отношение объёмов и площадей поверхностей подобных фигур;

11

— иметь представление об аксиоматическом методе;— владеть понятием геометрических мест точек в простран-

стве и уметь применять его для решения задач;— уметь применять для решения задач свойства плоских и

двугранных углов трёхгранного угла, теоремы косинусов и синусов для трёхгранного угла;

— владеть понятием перпендикулярного сечения призмы и уметь применять его при решении задач;

— иметь представление о двойственности правильных много-гранников;

— владеть понятиями центрального проектирования и парал-лельного проектирования и применять их при построении сечений многогранников методом проекций;

— иметь представление о развёртке многогранника и крат-чайшем пути на поверхности многогранника;

— иметь представление о конических сечениях; — иметь представление о касающихся сферах и комбинации

тел вращения и уметь применять его при решении задач;— применять при решении задач формулу расстояния от точ-

ки до плоскости;— владеть разными способами задания прямой уравнениями и

уметь применять их при решении задач;— применять при решении задач и доказательстве теорем

векторный метод и метод координат; — иметь представление об аксиомах объёма, применять фор-

мулы объёмов прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды, тетраэдра при решении задач;

— применять теоремы об отношениях объёмов при решении задач;

— применять интеграл для вычисления объёмов и поверхно-стей тел вращения, вычисления площади сферического по-яса и объёма шарового слоя;

— иметь представление о движениях в пространстве: парал-лельном переносе, симметрии относительно плоскости, цен-тральной симметрии, повороте относительно прямой, винто-вой симметрии — и уметь применять его при решении задач;

— иметь представление о площади ортогональной проекции;— иметь представление о трёхгранном и многогранном угле и

применять свойства плоских углов многогранного угла при решении задач;

— иметь представление о преобразовании подобия, гомотетии и уметь применять их при решении задач; уметь решать задачи на плоскости методами стереометрии;

— уметь применять формулы объёмов при решении задач.В повседневной жизни и при изучении других предметов:— составлять с использованием свойств геометрических фигур

математические модели для решения задач практического

12

характера и задач из смежных дисциплин, исследовать по-лученные модели и интерпретировать результат.

Векторы и координаты в пространстве— Владеть понятиями векторов и их координат;— уметь выполнять операции над векторами;— использовать скалярное произведение векторов при решении

задач;— применять уравнение плоскости, формулу расстояния между

точками, уравнение сферы при решении задач;— применять векторы и метод координат в пространстве при ре-

шении задач; — находить объём параллелепипеда и тетраэдра, заданных

координатами своих вершин;— задавать прямую в пространстве;— находить расстояние от точки до плоскости в системе ко-

ординат;— находить расстояние между скрещивающимися прямыми,

заданными в системе координат.

История и методы математики— Иметь представление о вкладе выдающихся математиков в

развитие науки;— понимать роль математики в развитии России;— использовать основные методы доказательства, проводить до-

казательство и выполнять опровержение;— применять основные методы решения математических задач;— на основе математических закономерностей в природе харак-

теризовать красоту и совершенство окружающего мира и про-изведений искусства;

— применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач;

— пользоваться прикладными программами и программами сим-вольных вычислений для исследования математических объ-ектов;

— применять математические знания к исследованию окру-жающего мира (моделирование физических процессов, задачи экономики).

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Базовый уровень

Повторение. Решение задач с применением свойств фигур на плоскости. Задачи на доказательство и построение контрприме-ров. Использование в задачах простейших логических правил. Решение задач с использованием теорем о треугольниках, соот-ношений в прямоугольных треугольниках, фактов, связанных с

13

четырёхугольниками. Решение задач с использованием фактов, свя-занных с окружностями. Решение задач на измерения на плоскости, вычисление длин и площадей. Решение задач с помощью векторов и координат. Наглядная стереометрия: фигуры и их изображения (куб, пирамида, призма).

ГеометрияТочка, прямая и плоскость в пространстве, аксиомы стереоме-

трии и следствия из них. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Изображе-ние простейших пространственных фигур на плоскости. Расстояния между фигурами в пространстве. Углы в пространстве. Перпенди-кулярность прямых и плоскостей. Проекция фигуры на плоскость. Признаки перпендикулярности прямых и плоскостей в простран-стве. Теорема о трёх перпендикулярах.

Многогранники. Параллелепипед. Свойства прямоугольного па-раллелепипеда. Теорема Пифагора в пространстве. Призма и пира-мида. Правильная пирамида и правильная призма. Прямая пирами-да. Элементы призмы и пирамиды.

Тела вращения: цилиндр, конус, сфера и шар. Основные свой-ства прямого кругового цилиндра, прямого кругового конуса. Изо-бражение тел вращения на плоскости. Представление об усечённом конусе, сечения конуса (параллельное основанию и проходящее че-рез вершину), сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения шара. Развёртка цилиндра и конуса.

Простейшие комбинации многогранников и тел вращения меж-ду собой.

Вычисление элементов пространственных фигур (рёбра, диагона-ли, углы). Площадь поверхности правильной пирамиды и прямой призмы. Площадь поверхности прямого кругового цилиндра, прямо-го кругового конуса и шара. Понятие об объёме. Объём пирамиды и конуса, призмы и цилиндра. Объём шара.

Подобные тела в пространстве. Соотношения между площадя-ми поверхностей и объёмами подобных тел.

Движения в пространстве: параллельный перенос, централь-ная симметрия, симметрия относительно плоскости, поворот. Свойства движений. Применение движений при решении задач.

Векторы и координаты в пространстве Сумма векторов, умножение вектора на число, угол между век-

торами. Коллинеарные и компланарные векторы. Скалярное про-изведение векторов. Теорема о разложении вектора по трём не-компланарным векторам. Скалярное произведение векторов в координатах. Применение векторов при решении задач на нахож-дение расстояний, длин, площадей и объёмов.

Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение сферы в про-странстве. Формула для вычисления расстояния между точками в пространстве.

14

Углублённый уровень

ГеометрияОсновные понятия геометрии в пространстве. Аксиомы стерео-

метрии и следствия из них. Понятие об аксиоматическом методе. Построение сечений многогранников методом следов. Централь-

ное проектирование. Построение сечений многогранников методом проекций. Теорема Менелая для тетраэдра.

Скрещивающиеся прямые в пространстве. Угол между ними. Те-оремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Па-раллельное проектирование и изображение фигур. Геометрические места точек в пространстве.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное про-ектирование. Наклонные и проекции. Теорема о трёх перпендику-лярах. Расстояния между фигурами в пространстве. Общий пер-пендикуляр двух скрещивающихся прямых. Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

Углы в пространстве. Перпендикулярные плоскости. Трёхгран-ный и многогранный углы. Свойства плоских углов многогранного угла. Свойства плоских и двугранных углов трёхгранного угла. Те-оремы косинусов и синусов для трёхгранного угла.

Виды многогранников. Правильные многогранники. Развёртки многогранника. Кратчайшие пути на поверхности многогранника. Теорема Эйлера. Двойственность правильных многогранников.

Призма. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда. Прямо-угольный параллелепипед. Наклонные призмы. Площадь орто-гональной проекции. Перпендикулярное сечение призмы.

Пирамида. Виды пирамид. Элементы правильной пирамиды. Пирамиды с равнонаклонёнными рёбрами и гранями, их основные свойства. Виды тетраэдров. Ортоцентрический тетраэдр, каркас-ный тетраэдр, равногранный тетраэдр. Прямоугольный тетра-эдр. Медианы и бимедианы тетраэдра. Достраивание тетраэдра до параллелепипеда.

Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера. Сечения цилин-дра, конуса и шара. Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сек-тор (конус). Усечённая пирамида и усечённый конус.

Касательные прямые и плоскости. Вписанные и описанные сфе-ры. Касающиеся сферы. Комбинации тел вращения. Элементы сфе-рической геометрии. Конические сечения.

Площади поверхностей многогранников. Развёртка цилиндра и конуса. Площадь поверхности цилиндра и конуса. Площадь сферы. Площадь сферического пояса. Объём шарового слоя.

Понятие объёма. Объёмы многогранников. Объёмы тел враще-ния. Аксиомы объёма. Вывод формул объёмов прямоугольного па-раллелепипеда, призмы и пирамиды. Формулы для нахождения объёма тетраэдра. Теоремы об отношениях объёмов. Приложения интеграла к вычислению объёмов и поверхностей тел вращения.

Комбинации многогранников и тел вращения.

15

Подобие в пространстве. Отношение объёмов и площадей поверх-ностей подобных фигур. Преобразование подобия, гомотетия. Ре-шение задач на плоскости с использованием стереометрических методов.

Движения в пространстве: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, центральная симметрия, поворот от-носительно прямой.

Векторы и координаты в пространстве Векторы и координаты. Сумма векторов, умножение вектора на

число. Угол между векторами. Скалярное произведение.Уравнение плоскости. Формула расстояния между точками.

Уравнение сферы. Формула расстояния от точки до плоскости. Способы задания прямой уравнениями.

Решение задач и доказательство теорем с помощью векторов и методом координат. Элементы геометрии масс.

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Тематическое планирование реализует один из возможных подхо-дов к распределению изучаемого материала по учебно-методическим комплектам по геометрии, выпускаемым издательством «Просвеще-ние», не носит обязательного характера и не исключает возможно-сти иного распределения содержания.

В примерном тематическом планировании разделы основного со-держания по геометрии разбиты на темы в хронологии их изучения по соответствующим учебникам.

Особенностью примерного тематического планирования является то, что в нём содержится описание возможных видов деятельности учащихся в процессе усвоения соответствующего содержания, на-правленных на достижение поставленных целей обучения. Это ори-ентирует учителя на усиление деятельностного подхода в обучении, организацию разнообразной учебной деятельности, отвечающей со-временным психолого-педагогическим воззрениям, использование современных технологий.

Перечень учебных действий ученика не носит нормативного ха-рактера, его не следует рассматривать в качестве требований ни к учителю, ни к ученику.

Следует также обратить внимание на то, что характеристика учебных действий ученика в предлагаемом тематическом плани-ровании относится к предметной области. Универсальные учебные действия конкретизированы в «Программе развития и формирова-ния универсальных учебных действий».

Планирование по геометрии к каждому учебнику представлено в нескольких вариантах в соответствии с базисным учебным планом.

Базовый уровень: 1,5 ч в неделю (всего 54 ч в год). Углублённый уровень: 2 ч в неделю (всего 68 ч в год) и 3 ч

в неделю (всего 102 ч в год).

16

А.

Д.

АЛ

ЕК

СА

НД

РО

В,

А.

Л.

ВЕ

РН

ЕР

, В

. И

. Р

ЫЖ

ИК

«ГЕ

ОМ

ЕТ

РИ

Я,

10

—1

1 К

ЛА

СС

Ы»

Ба

зо

вы

й у

ро

ве

нь

(1,5

ч

в

не

де

лю

)

Но

ме

р

па

ра

-гр

аф

аС

од

ер

жа

ни

е м

ате

ри

ал

аК

ол

-во

ч

ас

ов

Ха

ра

кте

ри

сти

ка

ос

но

вн

ых

ви

до

вд

ея

тел

ьн

ос

ти у

че

ни

ка

(н

а у

ро

вн

е у

че

бн

ых

де

йс

тви

й)

10

кл

ас

с

Вв

ед

ен

ие

2О

ри

ен

ти

ро

ва

ть

ся

в п

ре

дм

ет

е «

Ст

ер

ео

ме

тр

ия

»,

во

сс

та

но

ви

ть

п

ре

дс

та

вл

ен

ия

о

в

аж

не

йш

их

п

ро

ст

ра

нс

тв

ен

ны

х

фи

гу

ра

х,

ра

зб

ир

ат

ь

пр

о-

ст

ей

ши

е

пр

ав

ил

а

из

об

ра

же

ни

я

эт

их

ф

иг

ур

и

п

он

им

ат

ь п

ра

ви

ла

р

аб

от

ы с

у

че

бн

ик

ом

I—II

. С

те

ре

ом

ет

ри

я.

Ва

жн

ей

ши

е

пр

ос

тр

ан

ст

ве

нн

ые

ф

иг

ур

ыII

I—V

. С

тр

ук

ту

ра

т

ео

ри

и и

з

ад

ач

Гла

ва

1.

Ос

но

ва

ни

я с

тер

ео

ме

три

и1

2О

пр

ед

ел

ят

ь

пл

ос

ко

ст

ь

ка

к

фи

гу

ру

, в

к

от

о-

ро

й

вы

по

лн

яе

тс

я

пл

ан

им

ет

ри

я.

Де

ла

ть

п

ро

-с

те

йш

ие

ло

ги

че

ск

ие

вы

во

ды

из

ак

си

ом

ат

ик

и

пл

ос

ко

ст

и.

Пр

ив

од

ит

ь

пр

им

ер

ы

ре

ал

ьн

ых

о

бъ

ек

то

в,

ид

еа

ли

за

ци

ей

к

от

ор

ых

я

вл

яю

тс

я

ак

си

ом

ы г

ео

ме

тр

ии

. Д

ел

ат

ь п

ро

ст

ей

ши

е р

и-

су

нк

и

и

на

хо

ди

ть

о

ши

бк

и

в

не

ве

рн

ых

р

и-

су

нк

ах

. В

ид

ет

ь

и

ри

со

ва

ть

н

а

по

ве

рх

но

ст

ях

м

но

го

-гр

ан

ни

ко

в

ра

вн

ые

п

ло

ск

ие

ф

игу

ры

, п

ре

жд

е

все

го

р

ав

ны

е

тр

еу

го

ль

ни

ки

. И

сп

ол

ьзо

ва

ть

к

ом

пь

ют

ер

ны

е п

ро

гр

ам

мы

пр

и и

зу

че

ни

и р

аз-

ли

чн

ых

т

ем

к

ур

са

зд

есь

и

д

ал

ее

1А

кс

ио

мы

с

те

ре

ом

ет

ри

и1

.1.

Ак

си

ом

а п

ло

ск

ос

ти

1.2

. А

кс

ио

ма

п

ер

ес

еч

ен

ия

п

ло

ск

о-

ст

ей

. В

за

им

но

е

ра

сп

ол

ож

ен

ие

д

ву

х

пл

ос

ко

ст

ей

1.3

. А

кс

ио

ма

п

ря

мо

й

и

пл

ос

ко

ст

и.

Вз

аи

мн

ое

р

ас

по

ло

же

ни

е

пр

ям

ой

и

п

ло

ск

ос

ти

1.4

. А

кс

ио

ма

ра

сс

то

ян

ия

. Р

ав

ен

ст

во

фи

гу

р1

.5.

Ак

си

ом

а

ра

зб

ие

ни

я

пр

ос

тр

ан

-с

тв

а п

ло

ск

ос

ть

ю.

По

лу

пр

ос

тр

ан

ст

во

2

2С

по

со

бы

за

да

ни

я п

ря

мы

х и

пл

ос

ко

-с

те

й в

п

ро

ст

ра

нс

тв

е2

.1.

За

да

ни

е п

ря

мо

й д

ву

мя

то

чк

ам

и2

.2.

За

да

ни

е п

ло

ск

ост

и т

ре

мя

то

чк

а-

ми

, н

е л

еж

ащ

им

и н

а о

дн

ой

п

ря

мо

й

2Ф

ор

му

ли

ро

ва

ть

т

ео

ре

мы

о

з

ад

ан

ии

п

ря

мо

й

дв

ум

я

то

чк

ам

и,

о

за

да

ни

и

пл

ос

ко

ст

и

тр

е-

мя

т

оч

ка

ми

, о

з

ад

ан

ии

п

ло

ск

ос

ти

п

ря

мо

й

и

то

чк

ой

и

д

ву

мя

п

ер

ес

ек

аю

щи

ми

ся

п

ря

-м

ым

и.

Пр

ив

од

ит

ь п

ри

ме

ры

ре

ал

ьн

ых

си

ту

а-

ци

й,

ид

еа

ли

за

ци

ей

к

от

ор

ых

о

ни

я

вл

яю

тс

я.

17

2.3

. З

ад

ан

ие

п

ло

ск

ос

ти

п

ря

мо

й

и т

оч

ко

й и

д

ву

мя

п

ря

мы

ми

До

ка

зы

ва

ть

к

ак

ую

-ни

бу

дь

и

з

ни

х.

Ри

со

ва

ть

р

азл

ич

ны

е с

еч

ен

ия

тет

ра

эд

ра

и в

ыч

исл

ят

ь и

х

пл

ощ

ад

и

3В

за

им

но

е

ра

сп

ол

ож

ен

ие

д

ву

х

пр

я-

мы

х в

п

ро

ст

ра

нс

тв

е

3.1

. Т

ри

сл

уч

ая

вз

аи

мн

ог

о р

ас

по

ло

-ж

ен

ия

дв

ух

пр

ям

ых

в п

ро

ст

ра

нс

тв

е3

.2.

Пр

изн

ак

и

ск

рещ

ив

аю

щи

хся

п

ря

мы

х3

.3.

Па

ра

лл

ел

ьн

ые

п

ря

мы

е

3Д

ав

ат

ь

кл

ас

си

фи

ка

ци

ю

вз

аи

мн

ог

о

ра

сп

ол

о-

же

ни

я д

ву

х п

ря

мы

х в

пр

ос

тр

ан

ст

ве

. П

ри

во

-д

ит

ь

пр

им

ер

ы

ре

ал

ьн

ых

с

ит

уа

ци

й

вз

аи

мн

о-

го

р

ас

по

ло

же

ни

я

пр

ям

ых

. Р

ас

по

зн

ав

ат

ь

на

м

од

ел

ях

и

ч

ер

те

жа

х

вз

аи

мн

ое

р

ас

по

ло

же

-н

ие

пр

ям

ых

в п

ро

ст

ра

нс

тв

е.

Фо

рм

ул

ир

ов

ат

ь

и

до

ка

зы

ва

ть

п

ри

зн

ак

и

ск

ре

щи

ва

ющ

их

ся

п

ря

мы

х.

Фо

рм

ул

ир

ов

ат

ь

ут

ве

рж

де

ни

я

о

па

-р

ал

ле

ль

ны

х п

ря

мы

х в

п

ро

ст

ра

нс

тв

е

4П

ар

ал

ле

ль

но

е и

це

нт

ра

ль

но

е п

ро

ек

-т

ир

ов

ан

ия

4.1

. О

пр

ед

ел

ен

ие

и

о

сн

ов

ны

е

св

ой

-с

тв

а п

ар

ал

ле

ль

но

го

пр

ое

кт

ир

ов

ан

ия

4.2

. И

зо

бр

аж

ен

ие

р

аз

ны

х

фи

гу

р

в п

ар

ал

ле

ль

но

й п

ро

ек

ци

и4

.3.

Це

нт

ра

ль

но

е

пр

ое

кт

ир

ов

ан

ие

2О

бъ

яс

ня

ть

, к

ак

в

ып

ол

ня

ет

ся

п

ар

ал

ле

ль

но

е

пр

ое

кт

ир

ов

ан

ие

то

чк

и н

а п

ло

ск

ос

ть

и п

ар

ал

-л

ел

ьн

ое

пр

ое

кт

ир

ов

ан

ие

фи

гу

р н

а п

ло

ск

ос

ть

. Ф

ор

му

ли

ро

ва

ть

св

ой

ст

ва

па

ра

лл

ел

ьн

ог

о п

ро

-е

кт

ир

ов

ан

ия

. И

зо

бр

аж

ат

ь

в

па

ра

лл

ел

ьн

ой

п

ро

ек

ци

и

тр

еу

го

ль

ни

ки

, п

ар

ал

ле

ло

гр

ам

мы

, п

ар

ал

ле

ле

пи

пе

ды

, т

ет

ра

эд

ры

, п

ра

ви

ль

ны

е

че

ты

рё

ху

го

ль

ны

е п

ир

ам

ид

ы.

Им

ет

ь п

он

ят

ие о

цен

тр

ал

ьн

ом

пр

оек

ти

ро

ва

ни

и

и

об

и

ст

ор

ии

р

аб

от

п

о

те

ор

ии

п

ер

сп

ек

ти

вы

5С

ущ

ес

тв

ов

ан

ие

и

е

ди

нс

тв

ен

но

ст

ь.

По

ст

ро

ен

ия

5.1

. С

ущ

ес

тв

ов

ан

ие

и

е

ди

нс

тв

ен

-н

ос

ть

5.4

. П

ос

тр

ое

ни

я в

п

ро

ст

ра

нс

тв

е5

.5.

О п

ос

тр

ое

ни

и п

ир

ам

ид

и п

ри

зм

5.6

. О

з

на

че

ни

и г

ео

ме

тр

ии

2В

ыд

ел

ят

ь

из

ф

ор

му

ли

ро

во

к

до

ка

за

нн

ых

р

а-

не

е

те

ор

ем

у

тв

ер

жд

ен

ия

о

с

ущ

ес

тв

ов

ан

ии

и

ут

ве

рж

де

ни

я о

ед

ин

ст

ве

нн

ос

ти

. П

он

им

ат

ь,

чт

о

за

да

чи

н

а

по

ст

ро

ен

ие

я

вл

яю

тс

я

ко

н-

ст

ру

кт

ив

ны

ми

т

ео

ре

ма

ми

с

ущ

ес

тв

ов

ан

ия

. П

он

им

ат

ь и

зн

ат

ь д

ве

ст

ор

он

ы в

ре

ше

ни

и з

а-

да

ч

на

п

ос

тр

ое

ни

е

на

п

ло

ск

ос

ти

(т

ео

ре

ти

че

-с

ка

я —

ал

го

ри

тм

п

ос

тр

ое

ни

я —

и

п

ра

кт

ич

е-

ск

ая

— р

еа

ли

за

ци

я э

то

го

ал

го

ри

тм

а)

и л

иш

ь

чи

ст

о

те

ор

ет

ич

ес

ку

ю

ст

ор

он

у

пр

и

ре

ше

ни

и

за

да

ч

на

п

ос

тр

ое

ни

е

в

пр

ос

тр

ан

ст

ве

. О

бъ

яс

-н

ят

ь,

ка

к с

тр

оя

тс

я п

ир

ам

ид

ы и

п

ри

зм

ы

Ко

нт

ро

ль

на

я р

аб

от

а №

11

18

Пр

од

ол

же

ни

е

Но

ме

р

па

ра

-гр

аф

аС

од

ер

жа

ни

е м

ате

ри

ал

аК

ол

-во

ч

ас

ов

Ха

ра

кте

ри

сти

ка

ос

но

вн

ых

ви

до

вд

ея

тел

ьн

ос

ти у

че

ни

ка

(н

а у

ро

вн

е у

че

бн

ых

де

йс

тви

й)

Гла

ва

2.

Пе

рп

ен

ди

ку

ля

рн

ос

ть и

па

ра

л-

ле

ль

но

сть

пр

ям

ых

и п

ло

ск

ос

тей

24

Фо

рм

ул

ир

ов

ат

ь

оп

ре

де

ле

ни

я

пе

рп

ен

ди

ку

-л

яр

но

ст

и

пр

ям

ой

и

п

ло

ск

ос

ти

и

п

ер

пе

н-

ди

ку

ля

ра

и

з

то

чк

и

на

п

ло

ск

ос

ть

. Д

ок

аз

ы-

ва

ть

е

ди

нс

тв

ен

но

ст

ь

пе

рп

ен

ди

ку

ля

ра

и

е

го

х

ар

ак

те

рн

ое

с

во

йс

тв

о

бы

ть

к

ра

тч

ай

ши

м.

До

ка

зы

ва

ть

п

ри

зн

ак

п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

ст

и

пр

ям

ой

и

п

ло

ск

ос

ти

. П

ри

во

ди

ть

п

ри

ме

ры

, в

ко

то

ры

х п

ри

су

тс

тв

уе

т п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

ст

ь

пр

ям

ой

и

п

ло

ск

ос

ти

в

з

ак

он

ах

ф

из

ик

и

и

в

ре

ал

ьн

ой

ж

из

ни

. Ф

ор

му

ли

ро

ва

ть

и

п

ри

ме

-н

ят

ь п

ри

ре

ше

ни

и з

ад

ач

ос

та

ль

ны

е т

ео

ре

мы

о

п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

ст

и п

ря

мо

й и

п

ло

ск

ос

ти

. С

тр

ои

ть

се

че

ни

я м

но

го

гр

ан

ни

ко

в,

пе

рп

ен

ди

-к

ул

яр

ны

е и

х р

ёб

ра

м

6П

ер

пен

ди

ку

ля

рн

ост

ь

пр

ям

ой

и

п

ло

-ск

ост

и6

.1.

Оп

ре

де

ле

ни

е п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

-с

ти

п

ря

мо

й и

п

ло

ск

ос

ти

6.2

. П

ер

пе

нд

ик

ул

яр

и

н

ак

ло

нн

ая

6.3

. О

з

на

че

ни

и п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

а

1

7П

ри

зн

ак

п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

ст

и

пр

я-

мо

й и

п

ло

ск

ос

ти

7.1

. О

сн

ов

но

й п

ри

зн

ак

п

ер

пе

нд

ик

у-

ля

рн

ос

ти

п

ря

мо

й и

п

ло

ск

ос

ти

7.2

. П

ло

ск

ос

ть

п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

ов

7.3

. П

ос

тр

ое

ни

е

вз

аи

мн

о

пе

рп

ен

ди

-к

ул

яр

ны

х п

ря

мы

х и

п

ло

ск

ос

те

й

2

8С

вя

зь

м

еж

ду

п

ар

ал

ле

ль

но

ст

ью

п

ря

-м

ых

и

п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

но

ст

ью

п

ря

-м

ой

и

п

ло

ск

ос

ти

2

9О

сн

ов

ны

е

те

ор

ем

ы

о

вз

аи

мн

о

пе

р-

пе

нд

ик

ул

яр

ны

х

пр

ям

ой

и

п

ло

ск

о-

ст

и

1

10

Уго

л

ме

жд

у

пл

оск

ост

ям

и.

Пе

рп

ен

-д

ик

у л

яр

но

ст

ь п

ло

ск

ост

ей

10

.1.

Дв

уг

ра

нн

ый

у

го

л.

Уг

ол

м

еж

-д

у п

ло

ск

ос

тя

ми

3Ф

ор

му

ли

ро

ва

ть

оп

ре

де

ле

ни

е д

ву

гр

ан

но

го

уг

-л

а и

по

яс

ня

ть

ан

ал

ог

ию

ег

о с

оп

ре

де

ле

ни

ем

у

гл

а в

пл

ан

им

ет

ри

и,

пр

ив

од

ит

ь п

ри

ме

ры

ре

-а

ль

ны

х

дв

угр

ан

ны

х

угл

ов

. Ф

ор

му

ли

ро

ва

ть

о

пр

ед

ел

ен

ие

в

ел

ич

ин

ы

дв

угр

ан

но

го

у

гл

а,

19

10

.2.

Св

ой

ст

ва

в

за

им

но

п

ер

пе

нд

и-

ку

ля

рн

ых

п

ло

ск

ос

те

й

10

.3.

Пр

изн

ак

п

ер

пен

ди

ку

ля

рн

ост

и

пл

оск

ост

ей

вз

аи

мн

о

пе

рп

ен

ди

ку

ля

рн

ых

п

ло

ск

ос

те

й.

До

ка

зы

ва

ть

с

во

йс

тв

а

и

пр

и

зн

ак

и

пе

рп

ен

-д

ик

ул

яр

но

ст

и п

ло

ск

ос

те

й.

Ук

аз

ыв

ат

ь р

еа

ль

-н

ые

с

ит

уа

ци

и,

св

яз

ан

ны

е

с

от

но

ше

ни

ям

и

пе

рп

ен

ди

ку

ля

рн

ос

ти

п

ря

мы

х и

п

ло

ск

ос

те

й.

Ре

ша

ть

з

ад

ач

и н

а и

зо

бр

аж

ен

ие

п

ер

пе

нд

ик

у-

ля

рн

ых

п

ло

ск

ос

те

й

и

на

в

ыч

ис

ле

ни

е

уг

ло

в

ме

жд

у п

ло

ск

ос

тя

ми

Ко

нт

ро

ль

на

я р

аб

от

а №

21

11

Па

ра

лл

ел

ьн

ос

ть

п

ло

ск

ос

те

й

11

.1.

Па

ра

лл

ел

ьн

ос

ть

п

ло

ск

ос

те

й,

пе

рп

ен

ди

ку

ля

рн

ых

о

дн

ой

п

ря

мо

й

11

.2.

Пр

ям

ая

, п

ер

пе

нд

ик

ул

яр

на

я

дв

ум

п

ар

ал

ле

ль

ны

м п

ло

ск

ос

тя

м

11

.3.

Ос

но

вн

ая

т

ео

ре

ма

о

п

ар

ал

-л

ел

ьн

ых

п

ло

ск

ос

тя

х

3В

ып

ол

ня

ть

п

ос

тр

ое

ни

е

пл

ос

ко

ст

и,

па

ра

л-

ле

ль

но

й

да

нн

ой

п

ло

ск

ос

ти

и

п

ро

хо

дя

ще

й

че

ре

з

да

нн

ую

т

оч

ку

. Р

ис

ов

ат

ь

се

че

ни

я

мн

о-

го

гр

ан

ни

ко

в,

па