117

مقاييس التشتت

مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات، هي مقاييس رقمية تحدد موقع أو السابقة في المحاضرة درسنا

مركز التوزيع أو البيانات وهي مهمة في حالة المقارنة بين التوزيعات المختلفة وكان أهمها: المتوسط

)التباين( درجة تقارب أو تباعد قيم تشتتمقاييس ال ندرس في هذه المحاضرةالحسابي، الوسيط، المنوال.

وزيع ما عن إحدى قيمه المركزية، فمعرفة تشتت القياسات حول مركز تجمعها ذو أهمية كبيرة في دراسة ت

: المدى، المدى النسبي، االنحراف المتوسط، التباين هذه القياسات ومدلوالتها. ومن مقاييس التشتت

والعزوم المركزية. إنشاء مجاالت الثقةمعامل االختالف، واالنحراف المعياري وتطبيقاته في حساب:

المدى: 1-

أصغر قيمة في حالة البيانات المباشرة، بينما في حالة البيانات و يعرف المدى بأنه الفرق بين أكبر قيمة

التكرارية، فإن المدى يساوي الفرق بين مركزي الفئتين األولى واألخيرة.

minmax xxR

من البيانات اآلتية: Rاحسب المدى (:1ل )مثا

2، 4، 1، 7، 8، 3، 10، 9

، فيكون المدى:1وأصغر قراءة 10: أكبر قراءة الحل

R = 10 – 1 = 9

أوجد المدى لمجموعة البيانات المعطاة بالجدول اآلتي: (:2ل )مثا

الفئات 35 - 30 40 - 35 45 - 40 50 - 45 55 - 50 60 – 55

1 2 11 15 9 2 if

57.5 52.5 47.5 42.5 37.5 32.5 ix

57.5 105 518.21 637.5 277.5 65 ifix

المدىالحل:

R = 57.5 – 32.5 = 25

الثانية عشرالمحاضرة

118

المدى النسبي: -2

%يعرف المدى النسبي بالعالقة: 100R

Rx

أوجد المدى النسبي في األمثلة السابقة: (:3ل )مثا

1)1 44

5.58

n

i

i

x

xn

،%

9100 163%

5.5R

2)1

%

1

25100 58%; 42.4

42.4

n

i i

i

n

i

i

f x

R x

f

ثيراً : بالرغم من كون المدى سهل الحساب ويعطي فكرة سريعة عن طبيعة البيانات، ويستخدم كمالحظة

يانات، ويتأثر كثيراً اإلنتاج، إال أنه يعتمد في حسابه على قيمتين مع إهمال باقي القيم من البفي مراقبة جودة

بالقيم المتطرفة )الشاذة(، لذا هو مقياس تقريبي ال يعتمد عليه.

االنحراف المتوسط: -3

ه لز يعرف االنحراف المتوسط أنه متوسط االنحرافات المطلقة للقراءات عن متوسطها الحسابي ويرم

ويعّرف رياضياً كما يلي: M.Dبالرمز

أوال: االنحراف المتوسط في حالة البيانات المباشرة:

فإن االنحراف المتوسط لها يعطى بالعالقة: 1x،2x ،3x.،.....،nxلتكن مجموعة البيانات

أي أن: i

1 1

x - x

. ; x

n n

i

i i

x

M Dn n

حسابي أن مجموع انحرافات القيم عن متوسطها الويعود السبب في أخذ القيم المطلقة لالنحرافات هو

)مأخوذة بدون القيم المطلقة( يساوي صفراً.

119

(:4ل )مثا

37 ،23 ،17 ،16 ،15 ،13 ،12 ،10 ،9 ،8 لتكن لدينا البيانات اآلتية:

لنحسب المتوسط الحسابي لها فنجد أن:

1610

3723171615131210981

n

x

x

n

i

i

الحسابي مساوياً لـ: ويكون االنحراف المتوسط عن المتوسط

8 - 16 9 - 16 10 - 16 12 - 16 13 - 16 .

10

15 - 16 16 - 16 23 - 16 37 - 16 585.8

10 10

M D

ثانيا: االنحراف المتوسط في حالة التوزيعات التكرارية:

نعلم أن المتوسط الحسابي في حالة التوزيعات التكرارية يعطى بالعالقة:

n

1i

i

n

1i

ii

f

f . x

x

أما االنحراف المتوسط في هذه الحالة فيعطى بالعالقة التالية:

n

1i

i

n

1i

i i

f

f . x - x

D . M

(: 5مثال )

احسب االنحراف المتوسط من الجدول التكراري اآلتي:

المجموع 90,100 80,90 70,80 60,70 50,60 40,50 الفئات

التكرارات 2 9 15 11 2 1 40

الحل: لتسهيل الحل نكون الجدول اآلتي:

xi 45 55 65 75 85 95

fi 2 9 15 11 2 1

120

ويكون المتوسط الحسابي مساوياً لـ:

25.6640

2650

12111592

19528511751565955245

f

f . x

xn

1i

i

n

1i

ii

ويكون االنحراف المتوسط مساوياً لـ:

124,840

96,324

40

1.66,25-95 2.66,25-85 11.66,25-75

40

15.66,25-65 66,25-55 9.66,25-55 2.66,25-45

f . x - x

D . M

1

1

i i

n

i

i

n

i

f

المعياري:التباين و االنحراف -4

نها وخير عإن لتقارب القيم أو تباعدها أهمية كبيرة في المجتمع اإلحصائي، لذلك نحتاج إلى رقم يعبر

التباين رف يعمقياس يعبر عنها هو االنحراف المعياري ويعرف بأنه الجذر التربيعي الموجب للتباين. حيث

بأنه متوسط مجموع مربعات انحرافات القيم ix عن متوسطها الحسابيx.

وال: التباين واالنحراف المعياري في حالة البيانات المباشرة:أ

بالعالقة: التباينيعرف وفي هذه الحالة

n2

i2 i 1

( x - x )

n

يبرهن على أن: و

2n

1i

i

n

1i

2

i

2

x

x

nn

، أي:للتشتتبأنه الجذر التربيعي الموجب يعرف االنحراف المعياريو

121

) x - x(

n

1i

2

i

xn

يبرهن أن:و

x

x

2n

1i

i

n

1i

2

i

x

nn

(:6ل )مثا

15 ،11 ،10 ،9 ،5 احسب االنحراف المعياري للقيم اآلتية:

10: نحسب المتوسط الحسابي لها: الحل5

15 11 10 9 5

n

x

x

n

1ii

فيكون التشتت:

10.4 5

52

5

25 1 1 25

5

10)-(1510)-(11 10)-(10 10)-9 ( ) 10 - 5 (

n

) x - x (

22222

n

1i

2

i

2

10.4 3.225 ويكون االنحراف المعياري للقيم مساوياً لـ:

ثانيا: التباين واالنحراف المعياري في حالة البيانات المبوبة:

عندئٍذ . 1f ،2f ،3f ،……. ،nf التي لها التكرارات:و 1x ،2x ،3x ،…. ،nx:لتكن لدينا مراكز البيانات

يعطى التشتت بالعالقة:

n2

i i2 i 1

n

i

i 1

f ( x - x )

f

1 حيث أن:

1

.

x

n

i i

i

n

i

i

f x

f

وبالتالي إن االنحراف المعياري يعطى بالعالقة التالية:

n2

i i2 i 1

n

i

i 1

f ( x - x )

f

122

احسب التباين واالنحراف المعياري لمجموعة البيانات اآلتية: (:7مثال )

المجموع 3025 2520 2015 1510 105 الفئات

تكرار 8 12 15 10 5 50

: نكتب الجدول بعد حساب المتوسط:الحل

7.1650

835

.

x

1

1

n

i

i

n

i

ii

f

xf

.fi xi fi فئة

xi

xx i 2i xx 2ii xx f

[5-

10[

8 7.

5

60 -9.2 84.64 677.12

[10

-5[

12 1

2.

5

15

0

-4.2 17.64 211.68

[15

-0[

15 1

7.

5

26

2.5

0. 8 0.64 9.60

[20

-5[

10 2

2.

5

22

5

5.8 33.64 236.40

[25

-0]

5 2

7.

5

13

7.5

10.8 116.64 583.20

50 83

5

1818

36,36: التباينفيكون 50

1818

f

) x - x( f

n

1i

i

n

1i

2

ii

2

123

0299.636.36 االنحراف المعياري: فيكون50

1818

f

) x - x( f

n

1i

i

n

1i

2

ii

يمكن تبسيط دستور حساب التباين كما يلي: :مالحظة

نعلم أن:

n

i

i 1

x

x n

و أن

x - x

1

2

i

2

n

n

i

وبالتالي فإن:

n

x x . x . 2 x

n

)x x x 2 - x (

n

1i

2n

1i

i

n

1i

2

i

n

1i

2

i

2

i

2

n n2 2 22 2

i i2 i 1 i 1

n n22 2

i i2

i 1 i 1

x - 2 x .n x . x x - 2n x . x

x n . x x

- xn

n n

n n

n

بالتالي فإن:و2

n

1i

2

i

2 x-

x .

n

تطبيقات االنحراف المعياري: -5

يستخدم االنحراف المعياري في جميع الدراسات واألبحاث، وهو يدخل في تعريف معامل االختالف، ويعتمد

عليه في إنشاء مجاالت الثقة المختلفة، ويدخل في صياغة العديد من المؤشرات اإلحصائية التي تعبر عن

اذ القرارات وغير ذلك ... ويعتمد عليه في اختبارات الفرضيات وفي اتخ ،�̅�عن متوسطها iXتشتت القيم

الخ.

معامل االختالفCoefficient of Varicfion (CV:)

وهو الشكل النسبي لالنحراف المعياري ويعرف بالعالقة:

124

100 CVx

. %50منوهو يعبر عن التشتت النسبي للظاهرة المدروسة وإن قيمته تكون كبيرة إذا كانت أكثر

:إنشاء مجاالت الثقة

التالية: �̅�يستفاد من االنحراف المعياري في إنشاء مجاالت الثقة المختلفة حول المتوسط

�̅�وهو المجال الذي يعتمد على العبارة مجال الثقة األول: ± σ أي أنه هو المجال[�̅� − σ , x̅ + σ]

.iX% فقط من القيم المتوفرة أو غير المتوفرة 68وهو يتضمن حوالي

�̅�وهو المجال الذي يعتمد على العبارة مجال الثقة الثاني: ± 2σ :أي أنه هو المجال

[�̅� − 2σ , x̅ + 2σ] من القيم المتوفرة وغير المتوفرة 95وهو يتضمن حوالي %iX.

�̅�وهو المجال الذي يعتمد على العبارة مجال الثقة الثالث: ± 3σ :أي أنه هو المجال

[�̅� − 3σ , x̅ + 3σ] من القيم المتوفرة وغير المتوفرة 99.72وهو يتضمن حوالي %iX.

كما يلي: OXويمكننا تجسيد هذه المجاالت على المحور

ويستفاد من هذه المجاالت في جميع مسائل التقدير واتخاذ القرارات.

(:5)ل مثا

في المثال السابق للبيانات أوجد معامل االختالف ومجاالت الثقة

وهكذا نجد أن معامل االختالف يساوي:

6.0299 100 = 100

36.36CV

x

نجد أن: مجاالت الثقةوإلنشاء

للثقة وهو: األولالمجال -

125

, 36.36 6,0299,36.36 6,0299 30.34,42.38x x

للثقة وهو: الثاني المجال -

2 , 2 36.36 2 6,0299,36.36 2 6,0299 24.31,48.41x x

للثقة وهو: الثالثالمجال -

3 , 3 36.36 3 6,0299,36.36 3 6,0299 18.30,54.72x x

:العزوم المركزية

سنقتصر على تعريف العزمين الثالث والرابع وهما:

وهو تعميم لفكرة التباين، وهو عبارة عن متوسط مكعبات انحرافات القيم عن :العزم المركزي الثالث -

، ويعرف بالعالقة التالية: �̅�متوسطها الحسابي n

3

i

i 13 n

i

i 1

( x - x )

f

M

(.3 ويتميز هذا العزم بأن قيمته يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو معدومة ألن اسه مفرد )يساوي

فإذا كانت قيمته موجبة فإن هذا يحصل بسبب أن أكثر القيم تكون واقعة في جهة اليمين عن المتوسط

يكون مائالً إلى اليمين. X، وهذا يعني أن التوزيع التكراري لـ �̅�الحسابي

أما إذا كانت قيمته سالبة فإن هذا يحصل بسبب أن أكثر القيم تكون واقعة في جهة اليسار عن المتوسط

يكون مائالً إلى اليسار. X، وهذا يعني أن التوزيع التكراري لـ �̅�الحسابي

أما إذا كانت قيمته مساوية للصفر فإن هذا يحدث عندما تكون القيم موزعة بالتساوي تقريباً على جانبي

يكون متناظراً أو شبه متناظر حول المتوسط X، وهذا يعني أن التوزيع التكراري لـ �̅�المتوسط الحسابي

�̅�.

وهو أيضاً تعميم لفكرة التباين. وهو عبارة عن متوسط األس الرابع النحرافات :العزم المركزي الرابع -

، ويعرف بالعالقة التالية:�̅�القيم عن متوسطها الحسابي

n4

i

i 14 n

i

i 1

( x - x )

f

M

التكرارية زوجي( ويستخدم في قياس تطاول التوزيعات 4وإن هذا العزم يأخذ قيمة موجبة دوماً )ألن أسه

عشوائية.للمتحوالت ال

126

Reference 1) Biostatistics For the Biological And Health Sciences Marc M. Triola، M.D

Mario F. Triola

2) College Mathematics For Business، Economics، life ciences R.A Barnett +

M.R. Ziegler + K.E. Byleen (2008 edition).

إضافات مدرس المقرر