高エネルギー天体におけるプラズマ運動論

浅野 勝晃

（東京工業大学）

鍵を握る古典電磁気学

• 高エネルギー分野には多くの未解決問題がある

• 非熱的な粒子が活躍するプラズマ現象（熱力学の法則を破っている？）

• 流体的な描像を超え、プラズマ運動論の必要性

• マックスウェル方程式＋ボルツマン方程式

• 観測的な手掛かりは非熱的粒子からの放射

衝撃波統計加速

磁気乱流

磁気乱流

磁気乱流

磁気乱流

磁気乱流

無衝突系

一方、星間空間では、T=1eV,1個/cc→

クーロン衝突による平均自由行程： ～2×1014cm

我々の周りの環境空気分子：109回/s 衝突している

平均自由行程：2×10-5cm→瞬時に緩和、熱化、等方化が達成される

どうやって衝撃波や乱れた磁場を作るか？

無衝突系での衝撃波形成

SN1006R～10pc

X線での衝撃波の厚み（100TeV加速粒子

の存在する領域）最も薄い所で～ 0.01pc

T～0.24keVB～10-100μG（Sub-equipartition）

クーロン衝突でも衝撃波はできるだろうが、磁場はせいぜい4倍にしかならない。

無衝突ボルツマン方程式

xyz

xp ypzp

位相空間

粒子の軌道

);,( tf px ：位相空間の粒子密度

粒子は連続的に運動し、増減しない

0);,( =∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂=

pp

xxpx f

tf

ttf

DttDf

0=∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂

pF

xv ff

tf

gmc

q Φ∇−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+= BvEF

無衝突衝撃波シミュレーション

By 加藤恒彦

このような領域で流体近似は駄目乱れた磁場、乱流が存在

/cc1for s 106.54 1-42

=×== nmne

epe

πω速い振動

プラズマ中の線形波動

衝撃波はプラズマ不安定性によって駆動されていると推測されている。

Boltzmann方程式

0=∇⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×++∇⋅+

∂∂

sv

s

ss

s fcm

qf

t

f BvEv

Maxwell方程式

tcctc ∂∂−=×∇π+

∂∂=×∇ BEjEB 1 ,41

定義： vdfq ss

s3∫∑= vj

微小量 [ ])(exp ti ω−⋅∝ xk で展開

プラズマ中の線形波動２

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ωε+ωε= 22 ),(),(

kIk

kkD TL

kkkk連立方程式は3x3の行列

を用いて 0=kDE とまとめられる。

0det =Dから分散関係が求まる。単なる真空なら

ck=ω[ ] yxLR iEEEti m=ω−⋅∝ ,,)(exp xkE

分散関係

簡単のため、背景磁場に平行に伝わる波についての場合だけ

0)(4

//cs//

,0//,0,02

222 // =πω±−ω−+ωπ−ω− ⊥⊥

⊥⊥∫∑ ⊥⊥ dvdvv

kv

fvfvkfv

m

qkc

vsvsvs

s s

s

横波

縦波

02141 ////

,02

// =π−ω

π+ ⊥⊥∫∑ dvdvvkv

f

km

q vs

s s

s

+：右円偏光、-：左円偏光

基本的なスケール：s

ssps

m

qn 22 4π=ω

3cm/1for km,3.5 =≈ω e

pe

nc

0),( =ωε kL

2)/(),( ω=ωε ckkT

MHD近似との違い

任意熱的

ボルツマン分布分布関数

有限値なので、波のスケールと同程度の時、相互作用を起こす

ゼロの極限ラーマー半径

流体静止系でも小さなスケールの電場揺らぎが存在

E=-v×B/c(Motional E)

電場

プラズマ運動論理想MHD

静電波動（縦波）

電子・陽子共にボルツマン分布を仮定

ωが実数なら安定な波、複素数なら波の成長、減衰となる。プラズマの成分、波の伝播方向、分布関数によって、様々なモードの解がある。

高振動数極限 thevk ,/ >>ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

λ−λπω−λ+ω=ω −

23

21exp)(

831 22

322

DDpeDpe k

kik

デバイ波長

電子の振動によるラングミュア波

ランダウ減衰

Ek //縦波

静電波動（縦波）２

イオンも振動する低振動数 thethi vkv ,, / <<ω<<イオン音波

DspeD

pp kkcmTkkk λ<<=≈

λ+ω=ω /1 ,/

/1 22

2

Dpp k λ>>ω≈ /1 ,

この波も負の虚数部を持ち、減衰する

波の位相速度と同じ速度の粒子は、同じ電場を感じ続け、加速される。

⇒波から粒子へのエネルギー輸送

Landau Damping

静電波動（縦波）→熱

ある波の位相速度が与えられたとき、エネルギーをもらう粒子の方が、与える粒子よりも多い。

横波

磁場に沿って伝播するとき

右円偏光

電子サイクロトロン波

電磁波

Bcv

E ph=

2ω

左円偏光

二流体不安定性

)()()()()()(

//0

//0

zydbb

zyee

vvvvnf

vvvnf

δδ−δ=δδδ=背景電子：

ビーム：

縦波

0)(

1 2

2

2

2

=ωω

−−ωω

− pe

d

pb

kv

二流体不安定性

pe

pe

pb

dvk ω⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

+≤

2/33/2

// 1 の時、複素数解を持ち、不安定

1.0/|| ≈ωω pei

縦波として、電場のゆらぎが発生

波数ベクトルのLorentz変換 ( ) '''' vkvk +ω≈+ωΓ=ωpbbpe kv ω−=ω

背景プラズマの縦波振動数Doppler Shiftしたビームプラズマの縦波振動数

共鳴

二流体不安定性

先ほどと逆。粒子から波にエネルギーが移る

ビームのプラズマ振動がドップラーシフトし、背景プラズマのプラズマ振動と共鳴する。

プラズマは如何にして等方化されるか

縦波電場

ビーム方向に生じた電場だけでは、プラズマの運動は等方化されない。

温度非等方不安定性

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

π= 2

2

20

20

20

2/30 22exp

2 s

s

s

ee

u

v

u

v

uu

nf

ku

Zu

u

u

ukc

s

ss

pe

2

,)(12

0

2

02222

ω≡ξ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ξξ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω=ω−⇒

1|| & 0 >>ξ>> suu の時のみ、複素数の解

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω+ω+±ω+=ω⇒ 222

022222222 4

21

kukckc pepepe

Weibel不安定性

横波

温度非等方不安定性

222

0

kc

kui

pe

pe

+ω

ω−≈ω kの単調増加関数、対流型

1|| >>ξ なので、cu

u

uk pe

ss

ω<<ω<< 0||||

不安定性の最短のスケールは、pe

c

ω 程度だろう

磁場が成長し、プラズマの運動を等方化する

Weibel 不安定性のメカニズム

Bz

Bz

x

ye

Bz

Bz

x

ye

電子軌道 電流密度

正味の電流密度

電流により、最初の揺らぎを大きくする方向の磁場が作られる

不安定性

e電子ビーム

磁場の揺らぎ

Bz

※電子だけが動くと考える

加藤氏スライド

衝撃波での磁場生成

SN1006R～10pc

B～10-100μG（Sub-equipartition）

磁場はせいぜい4倍のはず

ガンマ線バースト

磁場103-106G

衝撃波

1v

1n

1P2v

2n

2P

粒子Flux

[ ] 111222 βΓ−βΓ=βΓ nnnMomentum

[ ] [ ] 0)( 211 =βΓ+ε= PTEnergy

[ ] [ ] 0)( 2201 =+βΓ+ε= PPT

Non-rela

[ ] [ ] 0,01ˆ

ˆ2

,0 22

=ρ+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−γγ+ρ= vPPvnv

非相対論的衝撃波

)/ˆ 5/3,ˆ ,( 1 ργ==γ<< Pvcv s

1

1

21

12

1

22

1

22

2

2

1

1

2 , , 1ˆ1ˆ

1ˆˆ2 ,

2)1ˆ()1ˆ(

sv

vM

nP

nP

T

TM

P

P

M

M

v

v

n

n ≡=+−−

+=

+−+==

γγ

γγ

γγ

M>>1だと

4)1ˆ()1ˆ(

2

1

1

2 =−+≈=

γγ

v

v

n

n

相対論的衝撃波

)1)/(1/1( 211 >>−≡Γ cv

))(())((

,))(())((

1212

21122

2112

12121

Peee

PePP

c

v

Peee

PePP

c

v

+−+−

=+−+−

=

上流と下流の相対速度

))(())(( ,

))(())((

2211

122112

1221

121212

PePe

PePe

PePe

eePP

c

v

++++=Γ

++−−=

3/ ,3/ 4/3,ˆ , ,1/ 2222122

11 cvePPPmcnP s ===>><< γ

)(

1 ,34

22)1)(ˆ2(ˆ]1)1(ˆ)[1(

22

22

1222

212

1

2

121222

212212

1

Umcne

mcn

U

n

n

+=

−Γ=+Γ=

Γ≈+−Γ−+−Γ+Γ=Γ

γγγ

衝撃波統計加速

v

u

Shock FrontShocked Region

MagneticField

粒子

1cos1cos12 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Γ=∆

上下 θθc

v

c

v

E

Eローレンツ変換より

流体静止系では磁場のみ。磁場は仕事をしない

運動論的な描像

移流拡散方程式（背景流体の上にのったボルツマン方程式）

pfpfDf

tf

∂∂

⋅∇=∇⋅⋅∇−∇⋅+∂∂

)(31)()( unnu

νµ 22

21 vD −=

n

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

B

k

Ukεπν

4

磁場の単位方向ベクトル：

u流体の速度：

拡散係数： 衝突係数：

µvk /Ω=共鳴条件：

µ Ω ：サイクロトロン振動数：ピッチアングル

移流 拡散 速度勾配による運動量変化

運動論的な描像u

x

+u

−u

pfxuu

xfD

xxfu

ln)()(

31

∂∂

−=∂∂

∂∂−

∂∂

−+ δ

x

f

+

=u

Dλ

crclD Lm η31

31 =≈

上流での平均滞在時間

−+ ==∆

cu

D

ct

44 λ

From A.Bamba

SN1006R～10pc

加速時間

一往復する時間：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

−

−

+

+−+

u

D

u

D

ctttcyc

4∆∆∆

加速時間：

−+−

−

+

+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+==

uuu

D

u

D

tE

Et

cyc

acc

13/∆∆

crDDuu Lη31 /4, === −++−

粒子が散乱されるための、共鳴条件は乱流の波長が、

Ldis r≈λ なので、 1≥η と考えるのが自然

と考えると

( ) Lc

ueBtu

c

ueBE

u

c

eB

Et

acc

acc

++

+

+

==

=

ηη

η

203

203

320

max

2

系のサイズ

Lc

ueBE +=

η203

max

ラーマー半径＜系のサイズ

eBLE =max

相対論的Shockでも要求されるだろう。

定量的には多くの課題が

• 電子/陽子加速効率（注入問題）

• 宇宙線による反作用（非線形効果）

– スペクトル

– 磁場

• 磁場の乱れ度合い（δB/B～1？）

プラズマシミュレーションの進展待ち

宇宙線による磁場の増幅？

From Chandra obs.,B>mG is likely!

超新星残骸RXJ1713.7-3946

year few a62 ≈γσ

πB

cm

T

e

シンクロトロン冷却時間

観測エネルギー

keV2

e

≈γcm

eBh

100μG

広帯域電磁波観測の時代

超新星残骸RXJ1713のスペクトル

FERMI

上流に逆流する宇宙線

ビーム不安定性

磁場の増幅

加速時間の短縮

最高エネルギーの増加

Lucek & Bell 2000Bell & Lucek 2001

古典的電磁波放射

( )βRβ

,142

2

⋅−=⇒

π=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−

∂∂ µµµ

R

eAj

cA

t

Maxwell eq.

電場の定義

( ) ( ) [ ]vβnnβn

AE

&×−×⋅−

=

∇−∂∂−=

Rc

e

Atc

32

0

11

1

dtetEEEcdSd

dE tirad ∫ ω

π=ωω=

ω)(

21)(ˆ ,)(ˆ 2

3

22

32c

aq

dt

dEkin =

相対論的Beaming

静止系

等方放射

角度のローレンツ変換

'1'βµβµµ

++=

Γ

Γ/1

'''

)1(1 ,

'''

)1(1

44recieve

34emit Ω−Γ

=ΩΩ−Γ

=Ω ddt

dE

dtd

dE

ddt

dE

dtd

dE

βµβµ

普通のシンクロトロン放射

eB

mcRL

2γ=

γ≈θ /1

γ≈ /1

γ≈ LRs

2

eB

mc

c

st

22==∆

mc

eB

tt

23

/2

typ

2obs

γ=ω

γ∆≈∆

1個の電子からの放射

γεαγ

≡sin3

22eB

cmx e

h

Flux

3/1x∝

29.0max =x

222

34 γγσ

BUc

dt

dEB

Tkin ∝=

Power-law電子からの放射

pen

−γ∝γ)(

2/)1( −−γε∝ p3/1

γε∝

γε

コンプトン散乱

( )θεεε

cos11 2 −+=′

cme

電子静止系

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′+

′′

=Ω

θεε

εε

εε

πσσ 2

2

2

sin163 T

d

d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

+++= 23 )21(

31)21ln(21)21ln(

21)1(21

43

x

xx

xx

x

xx

x

xTσσ

2cmx

e

ε≡

Klein-Nishina 断面積

e e

γ γ

2回のローレンツ変換

電子の運動方向

θ1θ

光子の入射方向

光子の散乱方向

θ1θ

( )Θ−′

+

′=′

cos11 2

1

cme

εεε

( )θβεγε cos1−=′電子静止系での入射光子のエネルギー

ε

1ε

)cos(sinsincoscoscos 111 φφθθθθ ′−′′′+′′=Θ

同じ系での散乱光子

( )111 cos1 θβγεε ′+′= Observer系での散乱光子

εε ′≈′1 εγε 21 ≈

単色ソースのIC Spectra

022 εγ

3/8 02εγ

syn

kin

B

T

IC

kin

dt

dE

U

UUc

dt

dE γγ γσ == 2

34

SSC

Kusunose & Takahara 2008

PKS 2155-304

z=0.1172γ

2γBΓ

BUU /γ

電子・陽電子対生成

)/(21

)2(211ln)3()1(

163

21

242

kk

T

⋅−≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−+−−=

β

ββββββσσγγ

−e

+e

γ

γ

+e−+⇒ eeγγ

高エネルギーガンマ線の吸収二次生成電子・陽電子からの放射：電磁カスケード

光子の平均自由行程

遠方ブレーザ3C279

MAGIC観測z=0.538

赤外背景放射

3C279広帯域スペクトル

衝突による粒子生成

−+⇒ eepeep

228

2322

cm100.2

402ln6.2)2(ln17828)2(ln

547

−×≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−= γγγσα

πσ T

−e

p

−e

p

−e+e +e

For γ=103

+⇒

⇒

ππ

pn

pppp

0

226 cm10−≈σ

原子核半径10-13cm

光子との衝突

228 cm10−≈≈ Tασ

−+⇒ epepγ

p p

−e+e +e

γBethe-Heitler過程

Cross Sections

n + γ processes also

Inelasticity

227 cm10−

中間子崩壊

γγπ ⇒0 u γ

u γ⇔

µνµπ ++ ⇒

+W

d µν

u +µ

古い超新星残骸と分子雲

W28（年齢3万年から15万年）

緑：TeVガンマ線

FERMI ガンマ線（GeV）全天地図Abdo et al. 2009

銀河Diffuse成分

GZK Mechanism

p

CMB γνµ

νe

e+

µ+

π+ νµνe

e+

n p

最高エネルギー宇宙線で見える宇宙はせいぜい近傍100Mpc

E>6x1019eV

( Berezinsky 2007 )( Takami et al. 2007 )

高見氏スライド

ミュー粒子崩壊

+Weν

µν

+e

+µµνµπ ++ ⇒

µννµ ee++ ⇒