slavdpu.dn.uaslavdpu.dn.ua/fmk/studentam/methodical articles/meth-art_12.pdfslavdpu.dn.ua
TRANSCRIPT
ДО ПИТАННЯ ПРО КЛАСИФІКАЦІЮ ПРЯМИХ ПРОСТОРУ
В КУРСІ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
ОА Кадубовський
канд фіз-мат наук доцент
АВ Алдошина
студентка
ДВНЗ laquoДонбаський державний педагогічний університетraquo
м Словrsquoянськ УКРАЇНА
kadubovsukrnet anastasiyaaldosmailru
Висвітлюється авторський досвід формування у студентів-
математиків педагогічних ВНЗ навичок узагальнення та конкретизації на
прикладі вивчення теми laquoрозташування прямої у просторіraquo шляхом
змістового її наповнення питанням про класифікацію прямих простору за
ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин
декартової системи координат
Ключові слова узагальнення та конкретизація класифікація прямих
простору координатна вісь координатна площина критерії
Постановка проблеми Традиційно вивчення та виклад теми
laquoПряма у просторіraquo супроводжується розглядом частинних випадків
розташування прямої відносно фіксованої декартової системи координат
(надалі ndash ДСК) Якісний та кількісний аналіз теоретичного і дидактичного
матеріалу який міститься в більшості розповсюджених та рекомендованих
підручниках і збірниках задач дозволяє констатувати наступне
1) Задачі які відносяться до суттєво різних положень прямої у просторі
(за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і
площин ДСК) здебільшого вичерпуються розглядом лише тих випадків
коли пряма є паралельною (співпадає) до певної координатної осі або ж є
паралельною (належить) до певної координатної площини [2 4 7 8]
2) Прямим загального положення майже не приділяється увага
Винятком частково позбавленим зазначеної вади є наприклад збірники [2
4 7] в яких у загальному вигляді пропонуються й задачі на дослідження
критеріїв взаємного розташування прямих і площин простору
3) Загалом в тому чи іншому вигляді зустрічаються щонайбільше 85 із
133 суттєво різних (у зазначеному вище контексті) типів прямих Проте
сам факт типізації прямих як правило затушовується Класифікація
прямих простору за вказаною ознакою в явному вигляді до сьогодні
залишалась не висвітленим питанням навіть в теоретичному аспекті
Аналіз актуальних досліджень З дидактичною суттю загальних
прийомів узагальнення і конкретизації та методикою формування їх в
учнів на уроках стереометрії можна ознайомитися наприклад в [9]
Розумові прийоми необхідні для активного засвоєння теми laquoВзаємне
розміщення прямої і площиниraquo докладно висвітлені в [4] Крім того в [4]
наведено й основні способи (види) узагальнень які характерні для процесу
навчання аналітичної геометрії Зокрема узагальнення за допомогою
обrsquoєднання двох чи декількох закономірностей в одну більш загальну
закономірність
Узагальнення що відповідають емпіричному і теоретичному рівням
мислення розглядались в дослідженнях СЛ Рубінштейна і ВВ Давидова
Як зазначається в [4] традиційна методика навчання студентів
розвrsquoязувати задачі базується на використанні емпіричного узагальнення
недоліком якого є те що при такому процесі обмежуються вивченням
окремих явищ Не розкриваються глибокі звrsquoязки між ними зменшується
роль логічного аналізу все це стримує розвиток теоретичного мислення
Метою статті є висвітлення авторського досвіду формування
навичок узагальнення що відповідають як емпіричному так і
теоретичному рівням мислення на прикладі класифікації прямих простору
за вказаною вище ознакою
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
ЇЗ
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
111_11-111111111
1І 111І 11- 1Іdeg 11 _1 _1 _1
___11
11
`sect`sect
`1`1
`11
11111111111
-11`~
1-1 ~1
___
111 11
_11
11
_11 _11 _11 _11 _11 _11
1 1
___1 __1
11sect
Ї
15їх
1111і111
І
_--------bdquo ----------ь - - -rsaquo
rsaquo1
1
мк
1
11110О
111911
ldquoсldquoє
ІІ
її
11іі1
11111111111111 1111111ч-1
1 І 11 _ 1 111 1
11 1
11 111111
11І1111Ц1
11 Іsect1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9
що
1
111 11 11 11
1__
11 11
11111111111111 111111
111111 111111 111111 1 1 1 rsaquo1111
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
11_111
11
111
11
11
_111111___1111111111 О
11111111-1
11111111deg1
1111111111
А11
1 1 11111д_ __ І І
1 1 1І
1`1ІІІІ_ІІІІІІ
1111111111
1
11111111111111111111111111111
111111111111111111111111
_11111111111111111111 11
111
1
1111111111111111111 111111111-11111111111111111111~_1
-І
-І
___
1111111111111|111111111 1111111111111111111
``І`
sect
1111111111111111111sect11111ІІІІІІІОІОІІІІІІ010100 11111111111111111
11__
_11_____111_11
deg1`1
1
ІІ 111
1 ____bdquo____111 11
11-1-1-11111111 -1-1-1-1-111-1-1-1- 1 1 1 _
І1111111112 д= 1 - = _ 1Ё1111111111111111111 1111111111111111111111111д
1 sect 1 д1 9 1 І _
І І
`sect__ _____`sect
`sect_
ІІІІІІІІІ
deg_1111111111111111111111111111111
1
11
111о11111111deg1
11111-1я111111111111111111ІІІІІ degdeg1
1Ъ1
д1111111111111111111 1111111
111111111
111111
11111111111111111
111111
1111
11
1111 111111111=1111
1111111111111111111 д1
11111111111111111
1deg1 ІІІІІ
1
11
1
11111 111111111
1111111111 111111111`1111111111_1
1 sect_ 11І$1т111111111111д1 1 1 1
11
оdeg1
-1
1
1ІІІ ъ
-_
`sect1_1_1_1_`sect
_
ІІІІІ
1111111111111111111111
11
11
111111111 11
1111
1 ІІ
ІІІ`1
111rdquo11
1
ІІІ1
1111
1
1
11
1
111111111
111
111111
1всвсвс1сІос1с1п1в11111
1_`1
1111 101
11
1І
_1111111111~1
11111111111111111
`1`ІІ
`1ІІйІІІІІІІІІІІ
1111111111111_11111111111111
1-_
1_1__
1
Ё
1111111111
11-1-1$111д
А_11111111111111111111111111111111
І 1sect1
І
1 І
11о1о1о1ояоя111111р11
111111111111 ___
1111111111`sect1
111111111111111bdquo11111111
1111111111111111111111111111 111111 1 І
1 Ї11
І 1г Ф11
111111Р1111111111
1111111111111111deg
1111111
11111111`11 11111111111
1
11
-1 -1 -1 -1 -151 -1 -1
111-11111111
11
11
1
1111 `111111`sect
1
_11 11`sect1
_1111111111111`sect
1
11111 ___1_1____
1І
1~111111111111111111
-ь1
11
11
11111111 _1111111111111`sect1
а1
1о
о
1в1вІ11в1в1в1в1
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
2) Прямим загального положення майже не приділяється увага
Винятком частково позбавленим зазначеної вади є наприклад збірники [2
4 7] в яких у загальному вигляді пропонуються й задачі на дослідження
критеріїв взаємного розташування прямих і площин простору
3) Загалом в тому чи іншому вигляді зустрічаються щонайбільше 85 із
133 суттєво різних (у зазначеному вище контексті) типів прямих Проте
сам факт типізації прямих як правило затушовується Класифікація
прямих простору за вказаною ознакою в явному вигляді до сьогодні
залишалась не висвітленим питанням навіть в теоретичному аспекті
Аналіз актуальних досліджень З дидактичною суттю загальних
прийомів узагальнення і конкретизації та методикою формування їх в
учнів на уроках стереометрії можна ознайомитися наприклад в [9]
Розумові прийоми необхідні для активного засвоєння теми laquoВзаємне
розміщення прямої і площиниraquo докладно висвітлені в [4] Крім того в [4]
наведено й основні способи (види) узагальнень які характерні для процесу
навчання аналітичної геометрії Зокрема узагальнення за допомогою
обrsquoєднання двох чи декількох закономірностей в одну більш загальну
закономірність
Узагальнення що відповідають емпіричному і теоретичному рівням
мислення розглядались в дослідженнях СЛ Рубінштейна і ВВ Давидова
Як зазначається в [4] традиційна методика навчання студентів
розвrsquoязувати задачі базується на використанні емпіричного узагальнення
недоліком якого є те що при такому процесі обмежуються вивченням
окремих явищ Не розкриваються глибокі звrsquoязки між ними зменшується
роль логічного аналізу все це стримує розвиток теоретичного мислення
Метою статті є висвітлення авторського досвіду формування
навичок узагальнення що відповідають як емпіричному так і
теоретичному рівням мислення на прикладі класифікації прямих простору
за вказаною вище ознакою
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
ЇЗ
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
111_11-111111111
1І 111І 11- 1Іdeg 11 _1 _1 _1
___11
11
`sect`sect
`1`1
`11
11111111111
-11`~
1-1 ~1
___
111 11
_11
11
_11 _11 _11 _11 _11 _11
1 1
___1 __1
11sect
Ї
15їх
1111і111
І
_--------bdquo ----------ь - - -rsaquo
rsaquo1
1
мк
1
11110О
111911
ldquoсldquoє
ІІ
її
11іі1
11111111111111 1111111ч-1
1 І 11 _ 1 111 1
11 1
11 111111
11І1111Ц1
11 Іsect1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9
що
1
111 11 11 11
1__
11 11
11111111111111 111111
111111 111111 111111 1 1 1 rsaquo1111
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
11_111
11
111
11
11
_111111___1111111111 О
11111111-1
11111111deg1
1111111111
А11
1 1 11111д_ __ І І
1 1 1І
1`1ІІІІ_ІІІІІІ
1111111111
1
11111111111111111111111111111
111111111111111111111111
_11111111111111111111 11
111
1
1111111111111111111 111111111-11111111111111111111~_1
-І
-І
___
1111111111111|111111111 1111111111111111111
``І`
sect
1111111111111111111sect11111ІІІІІІІОІОІІІІІІ010100 11111111111111111
11__
_11_____111_11
deg1`1
1
ІІ 111
1 ____bdquo____111 11
11-1-1-11111111 -1-1-1-1-111-1-1-1- 1 1 1 _
І1111111112 д= 1 - = _ 1Ё1111111111111111111 1111111111111111111111111д
1 sect 1 д1 9 1 І _
І І
`sect__ _____`sect
`sect_
ІІІІІІІІІ
deg_1111111111111111111111111111111
1
11
111о11111111deg1
11111-1я111111111111111111ІІІІІ degdeg1
1Ъ1
д1111111111111111111 1111111
111111111
111111
11111111111111111
111111
1111
11
1111 111111111=1111
1111111111111111111 д1
11111111111111111
1deg1 ІІІІІ
1
11
1
11111 111111111
1111111111 111111111`1111111111_1
1 sect_ 11І$1т111111111111д1 1 1 1
11
оdeg1
-1
1
1ІІІ ъ
-_
`sect1_1_1_1_`sect
_
ІІІІІ
1111111111111111111111
11
11
111111111 11
1111
1 ІІ
ІІІ`1
111rdquo11
1
ІІІ1
1111
1
1
11
1
111111111
111
111111
1всвсвс1сІос1с1п1в11111
1_`1
1111 101
11
1І
_1111111111~1
11111111111111111
`1`ІІ
`1ІІйІІІІІІІІІІІ
1111111111111_11111111111111
1-_
1_1__
1
Ё
1111111111
11-1-1$111д
А_11111111111111111111111111111111
І 1sect1
І
1 І
11о1о1о1ояоя111111р11
111111111111 ___
1111111111`sect1
111111111111111bdquo11111111
1111111111111111111111111111 111111 1 І
1 Ї11
І 1г Ф11
111111Р1111111111
1111111111111111deg
1111111
11111111`11 11111111111
1
11
-1 -1 -1 -1 -151 -1 -1
111-11111111
11
11
1
1111 `111111`sect
1
_11 11`sect1
_1111111111111`sect
1
11111 ___1_1____
1І
1~111111111111111111
-ь1
11
11
11111111 _1111111111111`sect1
а1
1о
о
1в1вІ11в1в1в1в1
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
Виклад основного матеріалу Пропонована класифікація прямих
простору за вказаною вище ознакою представлена за допомогою наочної
схеми 1 з подальшою деталізацією відносно введених позначень
A B C D
1A 2A 3A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 1D 2D 3D
P 9 9 9 4 4 4 8 8 8 6 6 6
Q 4 8 8 8 6 6 6 6
1F 2F 3F 1G 2G 3G 4G
E F G
Схема 1 До класифікації прямих простору за ознакою взаємного розташування відносно координатних осей і площин афінної системи координат
І P ndash множина прямих паралельних до координатних площин
11) A ndash клас прямих паралельних до координатних осей 1A 2A 3A ndash
підкласи прямих що є паралельними до координатних осей і
відповідно
OX OY
OZ
12) B ndash клас прямих що перетинають дві піввісі різних координатних
осей 1B 2B 3B ndash підкласи прямих що перетинають піввісі осей і
піввісі осей і OX та піввісі осей OX і OY відповідно
OY
OZ OZ
13) ndash клас прямих що паралельні одній з координатних площин не є
паралельними до відповідних координатних осей та не перетинають третю
вісь ndash підкласи прямих що є паралельними до площин YO
C
1C 2C 3C Z
ZOX та відповідно XOY
14) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь (початок
координат) є паралельними (належать) відповідній площині та не є
паралельними до жодної з двох інших координатних осей
D
1D 2D 3D ndash
підкласи прямих що перетинають осі і OZ відповідно OX OY
ІІ ndash множина прямих що не є паралельними до жодної з координатних площин
Q
ЇЗ
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
111_11-111111111
1І 111І 11- 1Іdeg 11 _1 _1 _1
___11
11
`sect`sect
`1`1
`11
11111111111
-11`~
1-1 ~1
___
111 11
_11
11
_11 _11 _11 _11 _11 _11
1 1
___1 __1
11sect
Ї
15їх
1111і111
І
_--------bdquo ----------ь - - -rsaquo
rsaquo1
1
мк
1
11110О
111911
ldquoсldquoє
ІІ
її
11іі1
11111111111111 1111111ч-1
1 І 11 _ 1 111 1
11 1
11 111111
11І1111Ц1
11 Іsect1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9
що
1
111 11 11 11
1__
11 11
11111111111111 111111
111111 111111 111111 1 1 1 rsaquo1111
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
11_111
11
111
11
11
_111111___1111111111 О
11111111-1
11111111deg1
1111111111
А11
1 1 11111д_ __ І І
1 1 1І
1`1ІІІІ_ІІІІІІ
1111111111
1
11111111111111111111111111111
111111111111111111111111
_11111111111111111111 11
111
1
1111111111111111111 111111111-11111111111111111111~_1
-І
-І
___
1111111111111|111111111 1111111111111111111
``І`
sect
1111111111111111111sect11111ІІІІІІІОІОІІІІІІ010100 11111111111111111
11__
_11_____111_11
deg1`1
1
ІІ 111
1 ____bdquo____111 11
11-1-1-11111111 -1-1-1-1-111-1-1-1- 1 1 1 _
І1111111112 д= 1 - = _ 1Ё1111111111111111111 1111111111111111111111111д
1 sect 1 д1 9 1 І _
І І
`sect__ _____`sect
`sect_
ІІІІІІІІІ
deg_1111111111111111111111111111111
1
11
111о11111111deg1
11111-1я111111111111111111ІІІІІ degdeg1
1Ъ1
д1111111111111111111 1111111
111111111
111111
11111111111111111
111111
1111
11
1111 111111111=1111
1111111111111111111 д1
11111111111111111
1deg1 ІІІІІ
1
11
1
11111 111111111
1111111111 111111111`1111111111_1
1 sect_ 11І$1т111111111111д1 1 1 1
11
оdeg1
-1
1
1ІІІ ъ
-_
`sect1_1_1_1_`sect
_
ІІІІІ
1111111111111111111111
11
11
111111111 11
1111
1 ІІ
ІІІ`1
111rdquo11
1
ІІІ1
1111
1
1
11
1
111111111
111
111111
1всвсвс1сІос1с1п1в11111
1_`1
1111 101
11
1І
_1111111111~1
11111111111111111
`1`ІІ
`1ІІйІІІІІІІІІІІ
1111111111111_11111111111111
1-_
1_1__
1
Ё
1111111111
11-1-1$111д
А_11111111111111111111111111111111
І 1sect1
І
1 І
11о1о1о1ояоя111111р11
111111111111 ___
1111111111`sect1
111111111111111bdquo11111111
1111111111111111111111111111 111111 1 І
1 Ї11
І 1г Ф11
111111Р1111111111
1111111111111111deg
1111111
11111111`11 11111111111
1
11
-1 -1 -1 -1 -151 -1 -1
111-11111111
11
11
1
1111 `111111`sect
1
_11 11`sect1
_1111111111111`sect
1
11111 ___1_1____
1І
1~111111111111111111
-ь1
11
11
11111111 _1111111111111`sect1
а1
1о
о
1в1вІ11в1в1в1в1
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
21) E ndash клас прямих що проходять через початок координат не
співпадають з жодною із координатних осей та не належать жодній з
координатних площин
22) ndash клас прямих що перетинають координатну піввісь та є
мимобіжними до двох інших координатних осей ndash підкласи
прямих що перетинають піввісь осей OX і відповідно
F
1F 2F 3F
OY OZ
23) ndash клас прямих що не є паралельними до жодної з координатних
площин та не проходять через початок координат ndash
підкласи прямих що перетинають чверть площини
і відповідно
G
Y
1G 2G
X O
3G 4G
Y OX Y
X O Y OX
В подальшому без додаткових пояснень для існуючих типів прямих
будуть наведені графічні ілюстрації та аналітичні умови що визначають
відповідне положення прямої відносно ДСК
a b c
Рис 1 Прямі з класу A
1ia ndash представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до осі O ndash рис 1 a i ndash редставники 9 можливих типів
прямих підкласу 2A (щ є паралельними до осі OY рис 1 b a ndash
представники 9 можливих типів прямих підкласу (що є паралельними до осі OZ ) ndash рис 1 c
1A
X )
о
п
ndash2a
)
3A3i
Нижче для кожного 19i наведено умови за яких пряма
0 0
1 2
0
3
x x y y z zl
l l l
laquoє представникомraquo відповідного типу прямих 1ia
X
Y
Z
O
31a
33a34a
38a
35a
36a
32a
Z
X
Y
O
21a28a
29a22a
23a
24a
25a26a
27a
Z
X
Y
O
11a 12a
13a14a
17a 18a
37a
39a
15a
16a
19a
111_11-111111111
1І 111І 11- 1Іdeg 11 _1 _1 _1
___11
11
`sect`sect
`1`1
`11
11111111111
-11`~
1-1 ~1
___
111 11
_11
11
_11 _11 _11 _11 _11 _11
1 1
___1 __1
11sect
Ї
15їх
1111і111
І
_--------bdquo ----------ь - - -rsaquo
rsaquo1
1
мк
1
11110О
111911
ldquoсldquoє
ІІ
її
11іі1
11111111111111 1111111ч-1
1 І 11 _ 1 111 1
11 1
11 111111
11І1111Ц1
11 Іsect1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9
що
1
111 11 11 11
1__
11 11
11111111111111 111111
111111 111111 111111 1 1 1 rsaquo1111
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
11_111
11
111
11
11
_111111___1111111111 О
11111111-1
11111111deg1
1111111111
А11
1 1 11111д_ __ І І
1 1 1І
1`1ІІІІ_ІІІІІІ
1111111111
1
11111111111111111111111111111
111111111111111111111111
_11111111111111111111 11
111
1
1111111111111111111 111111111-11111111111111111111~_1
-І
-І
___
1111111111111|111111111 1111111111111111111
``І`
sect
1111111111111111111sect11111ІІІІІІІОІОІІІІІІ010100 11111111111111111
11__
_11_____111_11
deg1`1
1
ІІ 111
1 ____bdquo____111 11
11-1-1-11111111 -1-1-1-1-111-1-1-1- 1 1 1 _
І1111111112 д= 1 - = _ 1Ё1111111111111111111 1111111111111111111111111д
1 sect 1 д1 9 1 І _
І І
`sect__ _____`sect
`sect_
ІІІІІІІІІ
deg_1111111111111111111111111111111
1
11
111о11111111deg1
11111-1я111111111111111111ІІІІІ degdeg1
1Ъ1
д1111111111111111111 1111111
111111111
111111
11111111111111111
111111
1111
11
1111 111111111=1111
1111111111111111111 д1
11111111111111111
1deg1 ІІІІІ
1
11
1
11111 111111111
1111111111 111111111`1111111111_1
1 sect_ 11І$1т111111111111д1 1 1 1
11
оdeg1
-1
1
1ІІІ ъ
-_
`sect1_1_1_1_`sect
_
ІІІІІ
1111111111111111111111
11
11
111111111 11
1111
1 ІІ
ІІІ`1
111rdquo11
1
ІІІ1
1111
1
1
11
1
111111111
111
111111
1всвсвс1сІос1с1п1в11111
1_`1
1111 101
11
1І
_1111111111~1
11111111111111111
`1`ІІ
`1ІІйІІІІІІІІІІІ
1111111111111_11111111111111
1-_
1_1__
1
Ё
1111111111
11-1-1$111д
А_11111111111111111111111111111111
І 1sect1
І
1 І
11о1о1о1ояоя111111р11
111111111111 ___
1111111111`sect1
111111111111111bdquo11111111
1111111111111111111111111111 111111 1 І
1 Ї11
І 1г Ф11
111111Р1111111111
1111111111111111deg
1111111
11111111`11 11111111111
1
11
-1 -1 -1 -1 -151 -1 -1
111-11111111
11
11
1
1111 `111111`sect
1
_11 11`sect1
_1111111111111`sect
1
11111 ___1_1____
1І
1~111111111111111111
-ь1
11
11
11111111 _1111111111111`sect1
а1
1о
о
1в1вІ11в1в1в1в1
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
1) 2) 1 2 311
0 0
0 0
0
l l ll a
y z
1 2 312
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
3) 1 2 313
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
4) 5) 1 2 314
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 315
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
6) 1 2 316
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
7) 8) 1 2 317
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
1 2 318
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
9) 1 2 319
0 0
0 0
0 0
l l ll a
y z
Встановлення аналітичних умов для відповідних типів прямих з
підкласів і можна запропонувати студентам в якості неважкої
вправи яка з очевидними змінами повторює міркування для типів прямих
з підкласу
2A
1A
3A
a b c
Рис 2 Прямі з класу B
1ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 1B (що
перетинають піввісі осей OY і OZ ) ndash рис 2 a
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
3) 1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
4) 1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lb
0x z l l y
2ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 2B (що
перетинають піввісі осей OZ і OX ) ndash рис 2 b
1) 2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
3) 2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
2) 2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l lb
y x l l
0z
4) 2 3 1
240 0 1 3
0 0
00
l l l
y x l l z
b
X
Y
Z
O
31b
32b
34b
33b
X
Y
Z
O1
2b
22b
23b
24b
Z
12b11b
X
YO
13b
14b
11_111
11
111
11
11
_111111___1111111111 О
11111111-1
11111111deg1
1111111111
А11
1 1 11111д_ __ І І
1 1 1І
1`1ІІІІ_ІІІІІІ
1111111111
1
11111111111111111111111111111
111111111111111111111111
_11111111111111111111 11
111
1
1111111111111111111 111111111-11111111111111111111~_1
-І
-І
___
1111111111111|111111111 1111111111111111111
``І`
sect
1111111111111111111sect11111ІІІІІІІОІОІІІІІІ010100 11111111111111111
11__
_11_____111_11
deg1`1
1
ІІ 111
1 ____bdquo____111 11
11-1-1-11111111 -1-1-1-1-111-1-1-1- 1 1 1 _
І1111111112 д= 1 - = _ 1Ё1111111111111111111 1111111111111111111111111д
1 sect 1 д1 9 1 І _
І І
`sect__ _____`sect
`sect_
ІІІІІІІІІ
deg_1111111111111111111111111111111
1
11
111о11111111deg1
11111-1я111111111111111111ІІІІІ degdeg1
1Ъ1
д1111111111111111111 1111111
111111111
111111
11111111111111111
111111
1111
11
1111 111111111=1111
1111111111111111111 д1
11111111111111111
1deg1 ІІІІІ
1
11
1
11111 111111111
1111111111 111111111`1111111111_1
1 sect_ 11І$1т111111111111д1 1 1 1
11
оdeg1
-1
1
1ІІІ ъ
-_
`sect1_1_1_1_`sect
_
ІІІІІ
1111111111111111111111
11
11
111111111 11
1111
1 ІІ
ІІІ`1
111rdquo11
1
ІІІ1
1111
1
1
11
1
111111111
111
111111
1всвсвс1сІос1с1п1в11111
1_`1
1111 101
11
1І
_1111111111~1
11111111111111111
`1`ІІ
`1ІІйІІІІІІІІІІІ
1111111111111_11111111111111
1-_
1_1__
1
Ё
1111111111
11-1-1$111д
А_11111111111111111111111111111111
І 1sect1
І
1 І
11о1о1о1ояоя111111р11
111111111111 ___
1111111111`sect1
111111111111111bdquo11111111
1111111111111111111111111111 111111 1 І
1 Ї11
І 1г Ф11
111111Р1111111111
1111111111111111deg
1111111
11111111`11 11111111111
1
11
-1 -1 -1 -1 -151 -1 -1
111-11111111
11
11
1
1111 `111111`sect
1
_11 11`sect1
_1111111111111`sect
1
11111 ___1_1____
1І
1~111111111111111111
-ь1
11
11
11111111 _1111111111111`sect1
а1
1о
о
1в1вІ11в1в1в1в1
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3ib ndash представники 4 можливих типів прямих підкласу 3B (що
перетинають піввісі осей OX і ) ndash рис 2 OY c
1) 3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
3) 3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
2) 3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l lb
z y l l
0x
4) 3 1 2
340 0 2 1
0 0
00
l l l
z y l l x
b
a b c
Рис 3 Прямі з класу C
1ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини YO ) ndash рис 3 a
1C
Z
1) 1 2 3
110 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
2) 1 2 3
120 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
3)
1 2 3
130 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
4)
1 2 3
140 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
5) 1 2 3
150 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
6) 1 2 3
160 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
7)
1 2 3
170 0 3 2
0 0
0
l l lc
0x z l l y
8)
1 2 3
180 0 3 2
0 0
0
l l l
0
cx z l l y
2ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
2C
ZOX ) ndash рис 3 b
1)
2 3 1
210 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
2)
2 3 1
220 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
3)
2 3 1
230 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
4)
2 3 1
240 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
5)
2 3 1
250 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
6)
2 3 1
260 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
7)
2 3 1
270 0 1 3
0 0
0
l l lc
0y x l l z
8)
2 3 1
280 0 1 3
0 0
0
l l l
0
cy x l l z
X
Y
Z
O
31c
32c
35c
36c
33c
34c
37c
38c
X
Y
Z
O
21c
22c
25c
23c
24c
28c
26c
27c
Z
X
Y
O 11c
13c
16c 15c
18c17c
12c
14c
мм
-
мм
І
ы
rsaquorsaquorsaquo
г-1
ѕ bdquobdquobdquonot_ч
-
-_ ------------notbdquo-------
`
в ппdeg
оо
пп
І`ІІІІ
__п
_
__
ы-
ІІІ
bdquo
ё sect І Ї _
sect
ІІІІІ
Ф
_
-
--
_
_ 1-мм-мм
rsaquo`
г----І
як9Іъraquo`0
ІІІІІІІІІІІІ
ldquoяІsect`
~1
ь
-мы laquoЦ--1-1 1 _1
rsaquo І
_-мм----
_
--
4 9І -ІІ
І ооІ
_ І І $
Жьnot
д
ььь
ь
ІІІ
Жь
ьь
ннммм-
_
--
м-~ І
І І
-
мм
ммН
П
1
Ъ
Ъ _
-
Ь
_О
sect
`sect`sect
`sect`sect
`sect`sect
ІІІІІІ`ІІІІІІІ
`_
-____
1 `
_
_ І ІІ1Е
~`_
~
ІІа1а1аа
1ѕ=
ІІ
`ІІІ-І-І-р-І-І-І-І-і-І-І-І-І-
І О- І
ЕЁ5
~_`
~~
~
ІІІ
І
raquo
ІІІІІІІЁІІІІІІІІІІСІІІІІІ
І ы
_|sect О І І
о
~~
ь
ІІ
ІІІІ~_
~~~~~~~`~~
-ь-_-bdquobdquobdquobdquobdquo----
-__
-
-
ІІ
П - -
_1 і=І- І І І
-__
-
-__
-
ІІ __
дим
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3ic ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що є
паралельними до площини
3C
XOY ) ndash рис 3 c
1)
3 1 2
310 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
2)
3 1 2
320 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c 3)
3 1 2
330 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
4)
3 1 2
340 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
5)
3 1 2
350 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
6)
3 1 2
360 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
c
7)
3 1 2
370 0 2 1
0 0
0
l l lc
z y l l
0x
8)
3 1 2
380 0 2 1
0 0
0
l l l
0z y l l x
0
c
a b c
Рис 4 Прямі з класу D
1id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OX ) ndash рис 4 a 1D
1) 1 2 311
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
x l z l y
2) d 1 2 312
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
3) d 1 2 313
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
4) 1 2 314
0 2 0 3
0 0
0
l l ld
0x l z l y
5) d 1 2 315
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
6) d 1 2 316
0 2 0 3
0 0
0
l l l
0x l z l y
2id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OY ) ndash рис 4 b 2D
1) 2) d 3) d 2 3 121
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
1 0z 1 0z 1 0z
1 0z 1 0z 1 0z
0x 0x 0x
2 3 122
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 123
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
4) 5) d 6) d 2 3 124
0 3 0
0 0
0
l l ld
y l x l
2 3 125
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
2 3 126
0 3 0
0 0
0
l l l
y l x l
3id ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають вісь OZ ) ndash рис 4 c 3D
1) 2) d 3) d 3 1 231
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
3 1 232
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 233
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
O
X
Z
Y
32d
34d
31d
33d
35d
36d
O
X
Z
Y15d
11d 12d
14d
13d
16d
Z
21d23d25d
O
X
Y
22d24d26d
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ї
јйк-1111111
1111111111111111111111111111і1
11rsaquo11111111=д1
11
11_
1
111111у ІІІІ-11
11
11
1111ІІ
11111
1
І 1111111111д111111111і11111
11111111111
11 1 І
111111111111 І 11
11111111111
__
1 111Ж
sectsectЕц
1сbdquoгЇЇ 1
-21
-І-І-І-І-І _1$111111rsaquo=1
І І І
1111111
І
_ьІ
У
_4~----- --1-------------------ј----- ІІ І
1
11
1
1
Аrsaquo
__
11
1
ІІІ
1
111111111111111 1
11111_11111 11
І
хІ
1
11111-11 111
Аbdquo`І
sect
ІІІ
511
1
111111111111111111
ІІІ
laquoХ11
1 о 11~111
11 І 11 1
degо
111111-11-11-11-11-11-11-111111
І
1
11
11111111 ІІІІ
1
11111111 111111111д1111
1111111111
11
1
1 111111111 1111111 11
-І-І-І-І-І-І-І-І-І
І1 ------------4- -
І
І І І
тд
1
11111111111111111
1
1
6----
11
І 2 О І
ІІ 1
1111111111111
11111
111111111
-1
1111111
11
І ldquo1
11111111111111111
ІІІ1111`1
1
1111110
111111111`11
ІІІІІ
111
І
1 І
Ж ІІ1
ІІІ
199999-9999191
11111111111111111Ї11111111 1
11111111111111111111
111sect1ї41111
111111111111111111
ІІЖЖ
О
О
ІІІ -1
о
`1111111`1
1
ІІІІІ
11
1111111
11111111
ѕbdquo-
sect
`Ч
ІІІ
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
4) 5) d 6) 3 1 234
0 1 0
0 0
0
l l ld
z l y l
2 0x 0x 0x
3 1 235
0 1 0 2
0 0
0
l l l
z l y l
3 1 236
0 1 0 2
0 0
0
l l ld
z l y l
1) 1 2 31
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
2) 1 2 32
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 111
l l le
x l y l z l
3) 1 2 33
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 11 1
l l le
x l y l z l
4) 1 2 34
0 1 0 2 0 3
sign sign sign 1 11
l l le
x l y l z l
Рис 5 Прямі з класу E
a b c
Рис 6 Прямі з класу F
1if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 1F
OX a
1)
1 2 3
110 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
5)
1 2 3
150 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2)
1 2 3
120 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
6)
1 2 3
160 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
3)
1 2 3
130 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
7)
1 2 3
170 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 111
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
4)
1 2 3
140 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
8)
1 2 3
180 0 3 0 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
y z l y l z x l l
y
2if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 2F
OY b
1)
1 2 3
210 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
5)
1 2 3
250 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
z x l z l x y l l z
O
X
Z
Y31f
32f 33f
34f
35f
36f 37f
38f O
X
Z
Y
11f 12f
13f 14f
15f
16f
17f
18f
O
X
Z
Y21f
24f
22f
23f 25f
26f
27f
28f
Z2e3e
O
X
Y4e
1e
1111111111111111111
1111111111111111111111 1111
1111111
111
111
1 1111
1 1111
1111111 111 111111
1І 1І 11
5111ч 11111
І 1_sect Іі 1 1
1111111 1111ldquo1
1
ІІІ1111111 111111
111rdquo1
ІІ111
11111111111111 11
1 11311ІІ
111
11111111
10000
sect`
О
1 11 1sect111111111sect 1
о
11
11111 11
__в
111111
11_1І
сопопопоѕ0о0о000000І0пц 1__1
-111111111111
-І1111
$
sectФ
1111111 1111111
-І
-0ІІОІОІОІОІОІОІО
Іо-1191
111111111
_1О
11111111111111111111111 11
11111111111111111111111
1
11
11111111111
11111111111111111
-111rsaquo~
11111111111І1111111111111 11111
І11111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111rsaquo1111
11 111111111
1
111 1114 ІІ
11111 1124111І
1-
1111
11І І І11 -1111
ІІ
111111111111 _1 І_
111111111
11
11
ІІІІІdeg
А
11
1
1111111111111
-Р
11111111111
ІІ deg1deg1
1
1111
1
11
1
1111111
ІІІІ11
deg111
1111111 1
1111
11111-111111ь1111111111111111111111111111
1111111 11111 111111111`1
ІІІІ
11111111111111 111111111111
10І -0-0-І-0-0--020-0-0-0-0sectІ І І
ІІ0
ІІІІІ1
11
11
deg11
Ф
1111111111
І111111-1111111111111111111о
1111111
1
11-
11
ІІІІ 1111111
І1_111111111
І І
11
111д1111 111111111
91111111111 1
1111
11_ 11-1111111
111
11
11rdquo
ОО І
`sect
1__
1111111~11111 1111
_ 1
111 11
1ІЁІ
О
--
5111111 1111
4 4
ІФІФІФІФ
111111 1111111І1 І 1
І
__ІЇ
І111111111-111111111 11111111111 1 1 д
_111 11
ІІІІ
`111`1
11
11
1
111111 1111111111112
11111111111111111111111
ІІІ sect $
1111111111 11 111111111111п
111І
в
І1 І-_ І І1
ЁЁ3 1І
І
хч1111111`111
`ІІІІ111111
11І 1111
І11111111111111111111111
І _
1_11111 ІІІІ
І
ІІ 1
_1
1
11
1
111111
ІІІ `sect1
1
11
1111111`sect
111 sect1
ІІІІ111 `sect
1111111111
1111111
Ї
_11111111
111111111111111111111
11111111І1111111 _ Б =laquogt
rsaquolaquo Ї55- ` до
1 _ я2 0- Х
11111 1111111111111
І
111111 41111_ І
11111111 11111111111111111111
111111111111111111 11
І1111111 11
1111
111111 1111111111111111111
1111bdquo11 1
11111111111111111111
1О11111111111111111111
7Іdeg
11 1111
О ІІІІІ_
-
-_1_1111111111111111111
1
111 1111111111111
`sect111`
1
ІІІо
1
1 І
`1 ІІ _1
1111111111111111111111111111Ё
~ 11
Й11
4
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
2)
1 2 3
220 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
6)
1 2 3
260 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3)
1 2 3
230 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
7)
1 2 3
270 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
0
l l lf
z x l z l x y l l z
4)
1 2 3
240 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
8)
1 2 3
280 0 1 0 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
z x l z l x y l l z
3if ndash представники 8 можливих типів прямих підкласу (що
перетинають піввісь осі ) ndash рис 6 3F
OZ c
1)
1 2 3
310 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
5)
1 2 3
350 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
2)
1 2 3
320 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
6)
1 2 3
360 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
3)
1 2 3
330 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
7)
1 2 3
370 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
4)
1 2 3
340 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
8)
1 2 3
380 0 2 0 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
0
l l lf
x y l x l y z l l
x
11g 12g 13g
14g 15g 16g
Рис 8 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 1ig 1G
(що перетинають чверть площину X OY )
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
X
Y
rsaquorsaquo
_І___
_І_І_І_І_І_І_І_СІ_І_І_І_І_І_ІІ_ІІ___І___І___І_І_І
_
_
__
_О
_____________________________________________Иц_____________________________________________ОН__д_________НТ_ ____ІТН_Ш__________________________________________rdquoШХ__________________________Ш_
ММ_М
_____________________________щп__ї__І_І__________________________Ш_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І__І_щп__І_І_І_І_І_І_І___І_І_І_І_І_І_І__
П
5
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_1_І_______
_Л_
_ І__Ш__`4^____І
_-_--__ __`ІІ ПО
bdquo______Ї________________________________________________________________
______О___І_П_________І_________П_Л_НППпОНПА$bdquo_~______|ј=|_І=|м_____А_м_ч___ж___ldquoГЕЁ
Пп_НППИ__ШШПП__П__І_І_І_________________________________________________І_ІП_П_П_П_П_П_І_І____________П_П_І_І_І_І____ІІІ_І
І
_____І
__________________________________________________________________________________________________________________________________
rsaquorsaquo
_І____
_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_ІІ___І___І____І
_ОІІ
_ЄР_ІИІ__И
ц_______________І____________________________________________________І_______І
А_к__т_|_ч_|_|јІІІЪЕІ______А_μnot`_д_ІАЪЕКІЁЕ
____Т_______І_ __П____ І__ _____________ІЧИ__П____4_ПП0І_КПІ__П__ІНПП___0_____І______ _____ _І_П____П
__________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І______________І_І_І_І_І_І_І____
ИІ__
ІП_І_ї__
______
________________________________________І__І_І_І_І________
_
5
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
1) 1 2 3
110 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
2) 1 2 3
120 3 1 0 0 2 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l x y l l x
3) 1 2 3
130 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
140 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
5) 1 2 3
150 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
160 3 2 0 0 1 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
z l l y x l l y
21g 22g 23g
24g 25g 26g
Рис 9 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 2ig 2G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
210 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11
l l lg
y l l x z l l x
2) 1 2 3
220 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
3) 1 2 3
230 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
4) 1 2 3
240 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
5) 1 2 3
250 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
6) 1 2 3
260 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
____________________________
____І_д____Л__І______
____________________________________________________________________[ОГ_____________ИПП__И_х__іμт_1___|___|___Т_____І______|___Е_____х __$μм1І__|І__|І__Т_д__ldquo[А_Е_______
________________О_О_____________________________________________________________________________________О_______________________________________І_______________
_ІІІ
____ШК
_ _І
_
___ІИ___ІП_
_І_
ЁІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІІ_______________ш_____________________________________________цldquoldquo__________________________
_______
П______
______
__________ІІІІІІІІІІІдд_________________________щ_______________________________________________ШІ_ШШШШІ__О_І_
________І__________________________________
АІ
А_і=_т|Іт__|_І_|јІИ_І___4___І___Щ__________$чsectдЦ_________|___4т_Ч[ц_Щ______
_І_____
Ш______________________________________________________________Ш____________________________ ________________________________________________________
__________ПИ__И__
_И____
__п
____________________________
_ХЇ
rsaquorsaquoІ_
____
_ _______________________п______________________________ ІІІІІІІІІІІІІІЛ______________________________
___________________________________________________________________
АА
_І_І
П_П___И__П___П__ _______________________________________________________________ ____________________________________________________________
_
Н_П_Н__н___
_____________________________μ__
__ ___І___ ___
_____П_
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
31g 32g 33g
34g 35g 36g
Рис 10 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 3ig 3G
(що перетинають чверть площину X OY )
1) 1 2 3
310 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
320 2 1 0 0 3 1
sign sign sign 111
l l lg
0y l l x z l l x
3) 1 2 3
330 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
4) 1 2 3
340 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 11 1
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
350 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 11 1
l l lg
y l l x z l l x
6) 1 2 3
360 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l z y l l z
41g 42g 43g
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
________-__
_____________________________________________________________І_І_І_І_І_І_І_ІІ_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_____
____І_І_І_І_І_І_І_І__І_І_І_І_І_І_ІпІ_І_І_І_І_І_І_І______________
__
І_І_І_ПІ___Н____ІІ____І
_____________________________________________`_____Н__П__і__ІП__________________________________________________________П
_ж_ч__Ш_р___ъм___Ати____`_ІПј__І_ъ_тг4__І______О_ш____Л__ъ_І_І_μ_І_Н___$мТ1ф````````ВиТІplusmn______х_$ч_Ё1__П_й__ПТ_І_+_І_д_____х __$л_Іьл__|_|=І_+І_Е_____
П___ШП_ПН__Ш`ШШ____чН_
иН
Ш________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ЪНППН_и0μППИ___П
ІІ_НШШІЦНН_[_М_нШШ__ІШ_ Н_ШНШІШ_ІмШ__Ш___________________________________________________________________________________________нldquo_ь_________________________І
_______І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І_І______І_І_І_І_І_І_І_ІІ
І
sect___І
rsaquorsaquorsaquosect_____
____П_
______-_
______________________________Ц_______І_І_І_І__ЛІІІІ_І_І__І_І_І_І_`_
___
ІООООП
______________________________________________П_______________________________________________________________П_ц________________І_О_О_І_І_І_І___________________І_І_О_О_І_І___І_Н__І__0___І_ __І_ІІІ_ __І____ ______П_ ____ПІ___І_sect_____І_ ___І____І___________ __І_І__І________І_ ___І __І_______І___
_
Ш__ШШШШ__Ш_ПШјЛт__Ш_______________щ___________________________Ш_______________________________________
___І_ПП`Ш
_____________________________
[Їј _Н
rsaquorsaquorsaquo_sect__
_______________________________ ш____ПН_ _0_Ё)________________І________________________________П_П__`_______________[_______________НІ___СР_
________sect______П______ППЛІ_д___П_І_ІП_ _Н___І _____ __НІ_ ___Н_0____І_І______ІЁ_
_______
____І___О____І____
ІПІ amp_НППИОЁ1Ч_ІППІ_0П
АЕІІІІчІјІІІ|ІІІІІІІІІІІІІІЬАІІІІІІІФІІІІІ__ЇІІІІІІІІІІНІЁАЖІСЧІІЩІІІІІІІІІІ_ІІІ|ІІІІІІь
` ІІ
ШШ_пШШ_bdquoШШ__Ы_μН_________________________________щ________________П________________________Ф________________Н______За______________________т_________________
ШциНпldquoдн
__________________________ __
____-О_____
______
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
44g 45g 46g
Рис 11 ndash представники 6 можливих типів прямих підкласу 4ig 4G
(що перетинають чверть площину Y OX )
1) 1 2 3
410 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 111
l l lg
x l l y z l l y
2) 1 2 3
420 1 3 0 0 2 3 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l z y l l z
3) 1 2 3
430 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 111
l l lg
y l l x z l l x
4) 1 2 3
440 1 2 0 0 3 2 0
sign sign sign 1 11
l l lg
x l l y z l l y
5) 1 2 3
450 1 3 0 0 2 3
sign sign sign 111
l l lg
0x l l z y l l z
6) 1 2 3
460 2 1 0 0 3 1 0
sign sign sign 1 11g
l l l
y l l x z l l x
Висновки Авторський досвід упровадження запропонованого
змістового наповнення дозволяє стверджувати що залучення студентів до
класифікації геометричних обrsquoєктів є саме тим видом навчально-наукової
діяльності який дозволяє розвивати відповідні практичні навички сприяє
свідомому засвоєнню умов і критеріїв геометричних властивостей-ознак а
не перетворюється у формальну їх перевірку шляхом підстановки вихідних
даних у необхідні аналітичні рівності
Література
1 Александров ПС Лекции по аналитической геометрии
пополненные необходимыми сведениями из алгебры ПС Александров ndash
М Наука 1968 ndash 912 с
2 Атанасян ЛС Геометрія Частина 1 Навчальний посібник для
студентів фізмат факультетів педінститутів Атанасян ЛС ndash К Вища
школа 1976 ndash 456 с
X
Y
Z
X
Y
ZZ
Y
X
АҐ
-гЗа
мм-мммцп-5
мм _мм
пп
5-цим-цмммммм
-
_
мм
пам
_
нчччпъчггнъвнчгпвь-шігнь
Ї _-
м-
00
_ д_
_
0 ммь bdquodeg11 bdquo-
м
Й д _ гг
І і
Ѕ
І
~
ІІ
55д
__
__
bdquo_-
1111111
ы
мппппппппппыд
not-ц~Її
bdquo
_1
bdquo_rsaquo
_ с І п
rsaquo
м ппЦ--_
пчччвччμггнъв
І
І
ѕ--пп
rsaquo 1-- І
- rsaquo___ _І~ м
5-мыrsaquoІ ц_ц-мм-мм
рnot
1 Х- -А---
1-ьъччччгн воїна
м
мммм_9
rsaquolt ч м
м
м
-Ям
bdquoммdeg
ь
д
ппппппппппыд
ммммм-пп-1-1-1
1
--
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
3 Збірник задач з аналітичної геометрії За редакцією ВВ
Кириченка ndash Камянець-Подільський Аксіома 2013 ndash 225 с
4 Клочко ВІ Компrsquoютерно-орієнтована методика узагальнення і
систематизації знань та вмінь в процесі навчання студентів аналітичної
геометрії Монографія В І Клочко М Б Ковальчук ndash Вінниця ВНТУ
2009 ndash 116 с
5 Моденов ПС Аналитическая геометрия ПС Моденов ndash М
МГУ 1969 ndash 699 с
6 Моденов ПС Сборник задач по аналитической геометрии ПС
Моденов АС Пархоменко ndash М Наука 1976 ndash 384 с
7 Мусхелишвили НИ Курс аналитической геометрии НИ
Мусхелишвили ndash [4-е изд] ndash М Высшая школа 1967 ndash 655 с
8 Погорелов АВ Аналитическая геометрия Погорелов АВ ndash [3
изд] ndash М Наука 1968 ndash 176 с
9 Сморжевський ЮЛ Узагальнення і конкретизація як прийоми
евристичної діяльності та їх диференційоване формування в учнів на
уроках стереометрії Дидактика математики проблеми i дослідження
між зб наук робіт ndash 2004 ndash 22 ndash С 121 ndash 126
10 Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической
геометрии ОН Цубербиллер ndash М Наука 1964 ndash 336 с
References
1 Aleksandrov PS Lectures on analytic geometry supplemented by the
necessary information from the algebra PS Alexandrov ndash Moscow Science
1968 ndash 912 p
2 Atanasyan LS Geometry Part 1 Textbook for Students of Physics
Faculties Pedagogical Inst LS Atanasyan ndash K High School 1976 ndash 456 p
3 Collection tasks analytical geometries edited by VV Kirichenko ndash
Kamyanets-Podіlsky Axіom 2005 ndash 228 p
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
4 Klochko VI Computer-oriented method of generalization and
systematization of knowledge and skills in teaching students analytical
geometry Monograph VI Klochko MB Kovalchuk ndash Vinnitsa NTB 2009
ndash 116 p
5 Modenov PS Analytic Geometry PS Modenov ndash Moscow Moscow
State University 1969 ndash 699 p
6 Modenov PS Collection tasks analytic geometry PS Modenov AS
Parkhomenko ndash M Science 1976 ndash 384 p
7 Mushelishvili NI Course analytic geometry NI Mushelishvili ndash [4-a
ed] ndash M Higher School 1967 ndash 655 p
8 Pogorelov AV Analytic geometry AV Pogorelov ndash [3rd ed] ndash M
Science 1968 ndash 176 p
9 Smorzhevskij YL Generalization and specification techniques like
heuristic activity and differentiated development of students in the classroom
geometry Didactics of mathematics Problems i study between collected
sciences works ndash 2004 ndash 22 ndash P 121 ndash 126
10 Tsuberbiller ON Tasks and exercises in analytic geometry ON
Tsuberbiller ndash Moscow Science 1964 ndash 336 p
Резюме Кадубовский АА Алдошина АВ К ВОПРОСУ О
КЛАССИФИКАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА В КУРСЕ
АНАЛИТЕЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Освещается авторский опыт
формирования у будущих учителей математики навыков обобщения и
конкретизации на примере изучения темы laquoПрямая в пространствеraquo
путем содержательного ее наполнения вопросом о классификации прямых
пространства по признаку взаимного расположения относительно
координатных осей и плоскостей декартовой системы координат
Ключевые слова обобщение и конкретизация классификация
прямых пространства координатная ось координатная плоскость
критерии
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria
Summary Kadubovsky AA Aldoshina AV ON THE
CLASSIFICATION OF THE DIRECT SPACE LINES OF AWARE
ANALYTIC GEOMETRY Author highlights the experience of forming
students - mathematicians pedagogical colleges skills generality and specificity
for example studying the topic direct location in space by filling it meaningful
question of classification on the basis of lines of mutual arrangement relative to
the coordinate axes and planes of the Cartesian coordinate system
The aim of the article is to highlight the authors experience developing
skills generalization as appropriate empirical and theoretical levels of thinking
on the classification of lines of example on the above grounds
In this article the authors first determined that there is exactly 133
essentially different types of lines on the specified attribute and shows the
corresponding analytical conditions under which the straight line defined
canonical equation is representative of one of these types of lines
Experience of implementing the proposed semantic content suggests that
attracting students to the classification of geometric objects is exactly the kind of
educational - scientific activity allows us to develop appropriate skills
promotes conscious appreciation of the conditions and criteria of geometric
properties - signs and does not turn into a formal test them by substituting
source data necessary analytical equality
Key words generalization and specification classification of direct space
coordinate axis coordinate plane criteria