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@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U.D. 13 * 3º ESO E.AP.

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS


U.D. 13.4 * 3º ESO E.AP.

PASO ENTRE FORMAS DE FUNCIÓN LINEAL


Paso entre formas de una función• Si una función lineal o afín viene dada en forma de Tabla o Gráfica, de modo

que conocemos dos puntos por donde pasa:• P1=(0 , 0), P2=(x2,y2) en lineales ; P1=(x1,y1), P2=(x2,y2) en afines

• Se tiene que cumplir: y1=m.x1 +n ; y2=m.x2+n• Lo cual forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( m y n ) que

resolveríamos.• ----------------------------------------------------------------------------------------------------• También en todas las funciones cuya gráfica sea una recta:• y2 – y1

• Calculamos m = ------------- y a continuación hallamos n.• x2 – x1 • Como y2 = m.x2 + n , despejamos n: n = y2 – m.x2 • ----------------------------------------------------------------------------------------------------• También, conocida la pendiente m, tenemos:• y – y2 • m = ---------- y operando queda: y – y2 = m.(x – x2) y = m.(x – x2)+ y2

• x – x2

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4-6

-

3

3

6

9

Paso de expresión a Tabla• 1.- Sea la función y= 3x• Hacer una tabla de valores y dibujarla.• Indicar si es creciente o decreciente.

• Tabla de valores

• x y

• 0 0• 1 3• 2 6

• Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente.

• m=3 >0 Creciente

-6 -3 0 3 6 x

y

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5-6

-4

-2

2

4

6

Paso de expresión a Tabla• 2.- Sea la función y=-2x• Hacer una tabla de valores y dibujarla.• Indicar si es creciente o decreciente.


• x y

• -1 2• 0 0• 2 -4

• Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente.

• m= – 2 < 0 Decreciente

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

y


-2

-1

1

2

3

Paso de expresión a gráfico• 3.- Sea la función y= 2 - x• Hacer una tabla de valores y dibujarla.• Indicar si es creciente o decreciente.


• x y

• -2 4• 0 2• 1 1

• Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente.

• m=– 1 < 0 Decreciente

-2 -1 0 1 2 3 x

y


-5

-4

-3

-2

-1

1

Paso de expresión a gráfico• 4.- Sea la función y= x/2 - 3• Hacer una tabla de valores y dibujarla.• Indicar si es creciente o decreciente.


• x y

• -4 -5• 0 -3• 4 -1

• Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente.

• m=1/2 >0 Creciente

-4 -2 0 2 4 6 x

y


• EJEMPLO 1• Una función lineal pasa por el punto A(4,5). • Hallar su pendiente y su ecuación.• m=y/x m= 5/4 = 1,25 y=mx y = 1,25.x

• EJEMPLO 2• Una recta para por el O(0, 0) y por el punto B(-2,3). Hallar su ecuación.• Al pasar por el origen de coordenadas es una función lineal (y = m.x).• m=y/x m= 3/(-2) = -1,5 y=mx y = -1,5.x

• EJEMPLO 3• Al comprar 100 gr de mortadela nos han cobrado 2 €. • ¿Es una función lineal?.¿Por qué?. Hallar su pendiente y su ecuación.• El precio de cada gramo es el mismo y suponemos no nos cobran el

envoltorio, por lo cual suponemos que es una función lineal.• m=y/x m= 2/100 = 0,02 y=mx y = 0,02x

Paso de Tabla a Expresión

@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

• Ejemplo 4• Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la

ecuación de dicha línea o función afín.

• Resolución:• Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico:• P1=(-2, -6), P2=(5, 1)• Hallamos el valor de la pendiente:• y2 – y1 1 – (– 6)• m = ----------- = ------------- = 7 / 7 = 1• x2 – x1 5 – ( -2)• Como y=mx+n• Tomando un punto: 1 = m.5 +n• Sustituyendo: 1 = 1.5+n• 1 = 5+n 1 – 5 = n n = – 4• Luego: f(x) = x – 4• Al ser m positiva la función es creciente.

Gráfico

Expresiónf (x) = x – 4

5

1

-2

-6

Paso de Gráfica a Expresión


• Ejemplo 4• Una función afín viene dada por dos puntos:• P1=(4, 3), P2=(5, -7)• Obtener su expresión algébrica o fórmula.

• Resolución:• Como y=mx+n• Calculamos el valor de la pendiente:• y2 – y1 – 7 – 3• m = ----------- = ----------- = - 10 / 1 = - 10• x2 – x1 5 – 4

• Tomando un punto: 3 =m.4 +n• 3 = (– 10).4 + n• 3 = – 40 + n 3 + 40 = n n = 43• Luego: f(x) = – 10.x + 43• Al ser m negativa la función es decreciente.

Tabla de valores

x y

4 35 -7

Expresiónf (x) = -10.x + 43



• Ejemplo 5• Nos dan un gráfico de una línea recta nos piden la

ecuación de dicha línea.

• Resolución:• Tomamos dos puntos cualesquiera del gráfico:• P1=(2, 7), P2=(5, 21)

• Al no pasar por el O(0 , 0) es una función afín.• Como y = m.x + n• Calculamos el valor de la pendiente:• y2 – y1 21 – 7• m = ----------- = ----------- = 14 / 3• x2 – x1 5 – 2• Tomando un punto conocido: P1=(2, 7)• 7 = (14/3).2 + n n = 7 – 28/3 = – 7/3• Luego: f(x) = (14/3).x – 7/3

Expresiónf (x) = (14/3).x – 7/3

5

21

2

7

Paso de Gráfica a Expresión

Gráfico


• FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE• Si nos dan un punto por donde pasa una recta y el valor de la pendiente

(inclinación), podemos calcular su expresión con independencia de que sea una función lineal o afín.

• En ambos casos siempre se cumple que: m=Δy/Δx• Que la podemos calcular así:• y2 – y1 y3 – y2 y3 – y1

• m = ----------- = ----------- = --------- = ….• x2 – x1 x3 – x2 x3 – x1

• En general:• y – yo

• m = --------- , siendo (x , y) un punto cualquiera de la recta; y (xo, xo)• x – xo

• siendo (x , y) un punto cualquiera de la recta; y (xo, yo) un punto conocido.• Operando: y – yo = m.(x – xo)• Que es la Ecuación Punto-Pendiente de una recta.• Despejada y tenemos la función lineal o afín correspondiente.

FÓRMULA PUNTO-PENDIENTE


• Ejemplo 6• Una función afín viene dada por dos puntos:• P1=(3, 4), P2=(5, -2)• Obtener su expresión algébrica.

• Resolución:• Como y=mx+n• Calculamos el valor de la pendiente:• y2 – y1 – 2 – 4• m = ----------- = ----------- = - 6 / 2 = - 3• x2 – x1 5 – 3• Aplicamos la fórmula PUNTO-PENDIENTE:• Como y – y2 = m. (x – x2) • y – ( – 2) = – 3.(x – 5)• Operando: y = –3.x + 15 – 2• Queda: y = –3.x + 13

Tabla de valores

x y

3 45 -2

Expresiónf (x) = - 3.x + 13



Ejercicios (I)


Ejercicios (y II)

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