6강 소성역학

6강 목차

6.1 인장시험과 기초 역학

6.2 응력

6.3 변형률과 변형률속도

6.4 항복이론과 소성변형

6.5 열전도방정식 및 마찰, 역학 총정리

1.

1ee

0 0

0

0

0

0 0

,

ln ln 1

1

e e

f

t e

t

f

e e

P

L A

L

L

AP P

A A A

LP

A L

: engineering

: true

e

t

u

e

F

O

YY

U

max

N

P

e e

Y

U

max 100

e

e

1

0

0

ln ln 1

e

f

t e

L

L

L

공칭변형률

진변형률

공칭변형률

0L

0fL L

현재단면적Af

초기단면적A0

P P

진변형률

0

0 0 0

1 0

0

0 0 0

( 1)

( 1)

ln ln ln 1

ln(1 )

f

t

n L

Li

f

e

dL

L L L n

L i

L

L

L

L L L

0L 0L 0 2L 0 ( 1)L n

0 ( 2)L n

진변형률

진응력

0

0

0 0

(1 )

e

f

t e e e

f f

P

A

LAP P

A A A L

진응력

공칭응력공칭응력

진응력

0 0 f fA L A L

n

1

lat t

long a

,t tE E

,x x xx xxE E

u

e

F

O

YY

U

max

P

N

P

e e

E

,e t e t

e

e

1

진(True)

u

eln(1 )u u

t e

N

F

Y

O

F

Y

N

Y

U

공칭(Engineering)

시편 항복점

네킹점파단점

O Y N F

0 0

0

0

0

0 0

,

ln ln 1

1

e e

f

t e

t

f

e e

P

L A

L

L

AP P

A A A

LP

A L

소성(YF 사이)

,e t e t

(1 )t e e

ln 1t e

k E

P kx

1x Pk

2 21 1 12 2

U kx Pk

, , PE E PA L

AEL

L PAE

2 21 12 2eq

LU k PAE

eqAEkL

P

x1

k

/ P A

/ L

1

E

,P xP , PP

스프링상수 탄성계수, 영률

네킹직전까지인장시편의내력 –단축하중문제

(X) (X) (X) (O) P/n n개

P

P

●●●

위

아래 위

아래

P

P

P

P

P

P

P

P P

P

=

=대칭성논리

P

P

끝영향

끝영향

끝영향이사라진영역

두개의정역학적으로동일한힘계는힘이작용하는영역에서멀어지면서두힘계의영향의차이가급속도로사라짐

Saint-Venant원리

0

0

3

2

0

2

2 0

1

2

θ 60 θ 45 θ 30θ 90

θθ

θ 0

θ=0

n

nnn

n

0

0A

0

θ

o 0

sin

AA

cos sini j n

0 0P A i

θ

( )

0 sinP

iA

n

(n)T t

θ

=

o o o oo

o o0 sin

0 cos sin nt

2

0 sin nn

x

y

0

3

4

0

1

4

i

j

0 0P A

nt

( ) 2

0 0sin cos sinn t nt

0 0P A

θ

0

3

4n

0

1

2n

0

1

4n

θ 60 θ 45 θ 30θ 90

θ

θ

θ

θ = 0

n

0

0A

0

o

o o o o o

0

3

4nt 0

1

2nt

0

3

4nt

= sinN P

= cosT P

0

sin

AA

2 2

0

0

sin sinnn

N P

A A

0

0

cos sin cos sinnt

T P

A A

t

t

t

P P P P

nt

NT

P0 0P A

( ) 2

0 0sin cos sin nn ntn t n t nt

o

n nn

n

0 n

0 nt

0 n

0 nt

b / a << 1x xE

0y z 으로 가정

x cy 로 가정

0A

ydA

bx

zz

M y

I

( ) ( )zz bEI v x M x

( )x

yy v x

b

zz

Mc

I

2

zzA

I y dA

Pa = Fb, F / P = a / b, F >> P

F

F

0xF

0zM

xP

a

b

P

P

y

z

y

x

2.

F

F

F

F

F

R

R

R

RR

RR

RR

R

RRR

RR

R

R R

RR

F

r

r

A

1 2 3 4 5 6F + R + R + R + R + R + R = 0

i i i i i i i

힘은 내력(질점 간의 힘)과 외력(하중, 반력, 자중 등)으로 구성

•

•

:

:

i

ij

i

j i

F Sum of external force exerting on particle

R Internal force exering on particle from particle

질점 i 에 작용하는 모든 외력의 합

질점 i 가 질점 j 에 가하는 내력 ij jiR = -R

Newton의운동법칙

실제 물체의 질점 수는 무한대!“ ”

하나의질점에작용하는모든힘의합, 즉 f 는그질점의질량 m 과가속도 a의곱과같다. 즉, f = ma.

제2

법칙

작용과반작용의법칙. 두질점간에작용하는두내력은동일한크기와작용선을가지며, 방향은반대이다.

제3

법칙

23 32

2 3 r R = -r R

평형조건식F 0

i F 0

A M 0r F 0i

i

i

이 평형조건식은 전체계는 물론이고 임의의 부분계에 대하여 성립해야 함.

이것은 미분방정식으로 연결됨.= 미소 선분, 면적, 체적

무한대 개의 방정식

2개의 백터 방정식(6개의 대수방정식)

F1

2

F

F3

F

F4

F F

n

F

F

F

A

( )( )

0

( )( )

0lim

lim

ii i

A

A

T tA

A

Fnn

nn F

T t

n t

t(n) n

(-n)

( ) ( )

i it t

( n) (n)

n nt = t

단면에작용하는내력

뉴톤의제3법칙

3차원 역학에서의 점 = 정육면체

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

( )i

j ijt e

1 1 2 2 3 3i

i i i (e )

t e e e

3e

1e

2e

x y

z

facez

facey

facex

xx

xyxz

zx zy

zz

yy

yz

yx

xx xy

(i)t i j

2차원 역학에서의 점 = 정사각형

평면응력(Plane stress)

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

0 00

xx x xy xy

yx yx yy y

( )y yy

( )x xx

( )xy xy

x

y

( )yx yx 2차원

3차원

yx yy

(j)t i j

0yxxx

x y

0yx yy

x y

( , )xy

x x y

xy yx 0 ; AM

( , )

y

yx

xy

yx y

( , )

x

xx

xyx

x x

( , )yy x y y

x

y

y

x

( , )xx

x y

( , )xy

x y

( , )yx

x y

A

2차원(Plane stress, Plane

strain, Axis-symmetric)

x

y

1F

2F

3F

4F

x

y

y

x

미소면적

자중 무시

0 ;xF

0 ; yF

0

0

0

yxxx zxx

xy yy zy

y

yzxz zzz

fx y z

fx y z

fx y z

, ,yzxy zx xyx y zz

3차원

( , )yy

x y

( , ) yx

x y y

( , ) xx

x x y

( )0 ;

n

x x x x yx yF t n n

( )0 ;

n

y y xy x y yF t n n

( )n

i ji jj

t n

( )

( )

nx xy xx

nyx y yy

nt

nt

Cauchy 공식

ij

S

N

( )nt

( )

( )

( )

xx xy xz x

yx yy yz y

zx zy zz z

x

y

z

n

n

n

t

t

t

n

n

n

x

cos sin x yn n n i j i j

1

l

폭

길이

sinl

cosl

( )nt

O

y

xy

yx

yx

x

xy

x

y

y

순수전단(Pure shear)

x

l길이

sinl yyxcosl

x

xy

x

yy

x x y

2 2

2 2

cos sin 2 sin cos

( )cos sin (cos sin )

x x y xy

x y x y xy

cos sin

sin co

cos sin

sin o sc s

x x y x xy

y x y yx y

변환행렬이 두 개 사용되었으므로 2차 텐서임“ ”

0

0

0

00

변환행렬

x x x y x z x x x y x z xx xy xz x x y x z x

y x y y y z y x y y y z yx yy yz x y y y z y

z x z y z z z x z y z z zx zy zz x z y z z z

T T T T T T

T T T T T T

T T T T T T

1

'T

T T T T

동질변환

!!! '

!!!

와 의

고유치는 동일함

x

x

yy

z

z cos( , )i p piT x x

Cauchy의공식

( )

( )

( )

xx xy xz x

yx yy yz y

zx zy zz z

x

y

z

n

n

n

t

t

t

n

n

n

전단응력이사라지는조건

( ) nt n

xx xy xz x x

yx yy yz y y

zx zy zz z z

n n

n n

n n

미지의 상수 :법선응력, 방향( )1n

고유치문제

0

0

0

xx xy xz x

yx yy yz y

zx zy zz z

n

n

n

주응력

( )n

t

N

N

n

ij

S

N

( )nt

n

고유치문제의해법

3 2

1 2 3 0

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

I I I

특성방정식

1 2 3, , 주응력

( )

xx xy xz x x

yx yy yz y y

zx zy zz z z

i

i

n n

n n

n n

n n

응력불변치(제1불변치, 제2불변치, 제3불변치)

주응력축

( ) ( ) 0 ( )i j i j n n

1'

σ T σ T

동질변환

1 1 2 3

2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

2 2 2

3 1 2 32

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

I

I

I

평균응력 과정수압

편차응력텐서의 두번째불변치 와유효응력

편차응력텐서 ij

1/ 3 / 3m ii I p

m

m

m

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

2

12

2 2 22 1 2 2 3 3 1

3

1( ) ( ) ( )

6

IJ I

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2

1 2 2 3 3 1

3 13 6( )

2 2

1

2

ij ij xx yy yy zz zz xx xy yz zxJ

=

인장시험

y face

x face

zz

zyzxyz

yyyxxy

xx

xz

z

x

y

z face

Equivalent

2J

pm

2

3

1=z

x y

고유치문제와특성방정식, 고유값(주응력)

고유벡터(주응력축의방향)

(1)

1(1)

2

0.85

0.53

n

n

n

1 1

22

80 60 80 600

60 20 60 20

n n

nn

1

2

2

1

1

1 2

2

80 117.1 60 0

17.1

)60 20 117.1 0

60 0

) 60 37.1 0

117.1

37.1

i

ii

n

n

n

n n

n

20

60

80

21 117.1, 17.1 (80 )(20 ) 3600 0

31.7o

0.85

0.53

1 0.53tan 31.7

0.85p

o

1

2 o31.7

17.1117.1

67.1R

2 1c

2 P

b

60xy 80

1

2

117.1

17.1

c R

c R

121

tan ( )2

xy

p

x y

31.7o

0.85

0.531 0.53tan 31.7

0.85p

o

(80 20) / 2 50c

2 2(80 20) / 4 60R

a

1

2 o31.7

117.117.1

20

60

80

20y

80x

y

x

103.9

a

b

3.88

ο40

40.0

cos sin

sin co

cos sin

sin o sc s

x x y x xy

y x y yx y

1 1 2 3

2 2 22

1 2 2 3 3 1

2 2 23

1 2 3

2

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

I

I

I

1

2

3

80 20 10 110

80 20 20 10 10 80 60 60 1000

80 20 10 2 80 0 80 0 20 0 10 60 60 20000

I

I

I

1

2

3

117.1 17.1 10 110

117.1 ( 17.1) ( 17.1) 10 10 117.1 1000

117.1 ( 17.1) 10 20000

I

I

I

1

2

3

103.9 3.9 10 110

103.9 ( 3.9) ( 3.9) 10 10 103.9 40 40 1000

103.9 ( 3.9) 10 2 40 0 103.9 0 ( 3.9) 0 10 40 40 20000

I

I

I

67.1R

2 1c

2 P

y

60xy

x

80

a

20y

80x

10

0

z

zx zx

80

20

60

1

2 o31.7

117.1

17.1

a

b

ο40

40.0

3.88

103.9

b

3.

변위장의예

2

,

1, 1

2

x

y

u x y xy

u x y x y

2

8

6

x

y

576

3

43

7

2

4

85

1'

(1, 1) 1

1

1

변형 후

변형 전

속도장의예

변형 = 변위 - 강체운동

평면변형

, ( , ), 0x y zu u f x y u

예 : 댐, 박판압연

C′

C

E

O

O′

E′

변형 전

변형 후

𝒙

𝒚

2 xy xyx

y(1 )xx x

(1 )yy y

2

xy

평면변형의변형률텐서

, ( , ), 0x y zu u f x y u

3차원에서변형률텐서

, ,xy yx yz zy zx xz

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

0

0

lim

lim

22

' '

xxc

' '

yyc

' ' '

xy zy

O C - OC

OC

O E - OE

OE

E O C

0

0

0 0 0

xx xy

ij yx yy

xxx

y

yy

zzz

u

x

u

y

u

z

1( )

2

1( )

2

1( )

2

yxxy

y zyz

xzzx

uu

y x

u u

z y

uu

x z

fixed0

lim |x xx

y

u u

y y

tan , 1

( , )xu x y y

( , )xu x y

fixed|x xu

y1

( )2

jiij

j i

uu

x x

x

y

y

fixed|tan

x xu

y

10.000 ( )t s

10.001 ( )t s

1.00.01

100.0xx

0.01 110.0

0.001

xxxx

t s

100.0 mm

101.0 mm

0, ,

t ij

ij ij ij

ddt

dt

1( )

2

jiij

j j

vv

x x

xx xx t

변형률속도 ij

예제

변형률속도-속도관계식

, ,yx z

xx yy zz

vv v

x y z

1 1 1( ), ( ), ( )

2 2 2

y yx xz zxy yz zx

v vv vv v

y x z y x z

ij ij t

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

변형률관련고유치문제

xx xy xz x x

yx yy yz y y

zx zy zz z z

n n

n n

n n

3 2

1 2 3

1 2 3

0

, ,

L L L( )

( ) ( ) 0 ( )

k

k i i

k l

i i

i

n n

n n i j

주변형률 축은 직교함

고유치 -주변형률 고유벡터 -주변형률축

주변형률

부피변화율

평균변형률

유효변형률

편차변형률

1

2 2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 2

3 3

ij ij

1

3 3

ii

v m

Lxx m xy xz

ij yx yy m yz

zx zy zz m

ij

주변형률속도 축은 직교함

고유치 -주변형률속도 고유벡터 -주변형률속도축

주변형률속도

부피변화율속도

평균변형률속도

유효변형률

편차변형률속도

1

2 2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 2

3 3

ij ij

1

3 3

ii

v m

Lxx m xy xz

ij yx yy m yz

zx zy zz m

ij

변형률속도관련고유치문제

3 2

1 2 3

1 2 3

0

0

, ,

ij ij

L L L

( )

( ) ( ) 0 ( )

k

k i i

k l

i i

n n

n n i j

1 1

0 0ij ijdt dt 유효변형률( )과유효변형률속도( )와의관계

xx xy xz x x

yx yy yz y y

zx zy zz z z

n n

n n

n n

4.

Tresca항복이론

2 2 2

1 2 2 3 3

2 2

2

2 2 2 2 2

1

2

10,

2 3

16

2

1

2

ij ij

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

Yf J k k k

Y

Y

max 0

2

f k

Yk

max min

2

max

03

2 2 2

1 1 2 2 0Y

1 2max

2 2

Y

1 20

Y

Y

von Mises

Tresca

비틀림시험

1

인장시험

평면응력에서 항복궤적 3차원 응력공간에서 항복곡면

2

비압축성 재료의 항복 시 변형률속도 텐서는 항복곡면에 직교함(Drucker의 가설의 결과)

21

2

1,

pq ij ij

ij ij ij ij ij

ij ij

f k

f f

변형의 항복곡면 직교성

3

2

21 1 1( ) ( )

2 2 2pq pq ip jq pq pq ip iq ij ij ij

ij ij

ff k

2

2 3, 3

3 2ij ij ij ijJ

:

( ) 0ijf

Yield surface

33 23

2213

12

11 2 2

3 3 2

3

kl kl

ij ij ij

Y 사용자 입력 : 유동응력Flow stress

탄성영역에서 0임.

수치 문제 발생시킴

ij ij

ij ij

f f

또는

직교성, ,

yy xy yzxx zxzz

xx yy zz xy yz zx

0f

항복곡면(Yield surface)

ij f

ij f

“ ”

von Mises항복이론을따를경우

덧셈부호규약사용

소성변형은 전위(dislocation)에 의하여 발생

전위는 원자간의 슬립 또는 트위스트에 의하여 발생하는 일종의 결함적 요소

기 발생한 전위는 새로운 전위의 발생을 저지함 = 변형경화

2

1

( )Y Y

등방성 경화

변형경화발생원인

변형경화모델

1

기구학적 경화

2

u

eln(1 )u u

t e

N

F

O

F

Y

Y

U

: Strain hardening exponent

: Strain rate dependency

: Strength constant of hot

,

n m m

n

m

C

C C

변형경화지수,

변형률속도의존도,

고온 강도계수,

변형경화지수

변형률속도 의존도

고온강도계수

변형의이상화

유동응력의이상화

: ( Plastic strain- rate)

: ( Difference strain- rat

( )

: Elastic strain rate

( ) 0

Elastoplastic

Rigid-plastic

p

ij

d

ij

d e

ij ij

e

ij

d

ij

p dij ij ij

소성변형률속도

차이변형률속도

탄소성 :

강소성 :

,

,

, ,

e p

p

p p

p p

Y

Y

Y

Y T

완전소성 : =일정

탄소성 : =

강소성 : =

강점소성 : =

강열점소성 : =

: Initial yield stress

: Strength coefficient

: Strain hardening exponent

1 , ,

o

n

n no o

Y

K

n

Y K Y Kb

초기항복응력,

강도계수,

변형경화지수,

소성변형률속도(Plastic strain rate)

차이변형률속도(Difference strain rate)

탄소성(Elastoplastic)

강소성(Rigid-plastic)

탄성변형률속도(Elastic strain rate)

일정완전소성

탄소성

강소성

강점소성

강열점소성

초기항복응력(Initial yield stress)

강도계수(Strength coefficient)

변형경화지수(Strain hardening exponent)

고온에서의주요유동응력모델

…….

상온에서의주요유동응력모델

0

xxxx

y

xy y

y z

z x

z x

z

x

E

v

0

yy

yy

xx zz yy

xy yz zx

E

v

0

zzzz

xx yy zz

xy yz zx

E

v

1

1

1

1 1 1, ,

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

xy xy yx yz zx zx

vE

vE

vE

G G G

가정 : 작은 변형, 등방성중첩원리 적용 가능

xx

yy

zz

0ii

등방성재료에대한일반화된후크법칙xx xx

1 xx

포아송비1

1 1 xxv

yy zz xx xxE

2(1 )

EG

전단탄성계수

x

y

xx

yy

zz

z

ij ijG

열팽창

1

1

1

1 1 1, ,

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz xx yy

xy xy yx yz zx zx

vE

vE

vE

G G G

T

T

T

열팽창계수

등방성재료에대한일반화된후크법칙

/T

T L

L T

단순 길이를 의미함 문제

779MPa -18MPa

CL

5.

열전도법칙

열유동열전도계수

( )c qq h T T

열전달계수

4 4( )r qq T T

Stefan-Boltzmann 상수

Fourier의 열전도법칙

열대류법칙 열방사법칙

1차원 2차원및3차원

x x x T T T

xq

열전도방정식

경계조건

TT T on S

4 4

, ( ) ( )i i q q q qk T kT n T T h T T n on S

, .xx x x

qq q Δx etc

x

( ) ( )

( )

x x x y y y

z z z g

q q y z q q z x

Tq q x y q x y z c x y z

t

g

T T T Tk k k q c

x x y y z z t

열용량

xx x x

q Tq q Δx k

x x x

열전도방정식

(0.9 1.0)gq

덧셈부호규약사용: 콤마( , ) 뒤의첨자는편미분을의미함

,

i i ii

i

TT n n

x

특수경계조건 : 마찰

,

,

0

0

ii i i

ii i i

u

v

1 ( )2( ) tan

t t

t

v vg v

a

( ) on '

' ( ) on '

when

whent n t C n

t t C n

g v S m k

m k g v S m k

쿨롱(Coulomb) 마찰법칙

마찰계수

일정전단마찰법칙

마찰상수

하이브리드(Hybrid) 마찰법칙 :

비압축성 조건 질량보존법칙

,( ) 0

i ivt

일정전단

하이브리드(Hybrid)

Coulomb

n

t

m k

m k

1

질량보존법칙

등식은 미끄러질 때 성립함

F

n

t

P

덧셈부호규약사용: 콤마( , ) 뒤의첨자는편미분을의미함

개선 Coulomb

(Coefficient of Coulomb friction)

t n :

:

(Coefficient of Coulomb friction)

t mk

m

:

:

( ) on t t Cmkg v S

( ) on t n t Cg v S

접촉면

,i i i iF ma M I

, 0,j i j i i j j if

,j i j i if v

, ,i gik q c

t

, ,,i g j jik q c v

t

, 0i iv

,

0i iv

t

1

2 , 1i j i j k k i j i j i j k k i jE

2

3i j i j

,i iq k

, ,

1

2i j i j j iu u

, ,

1

2i j i j j iv v

, ,i i i iu u v v

,,i j i j i i i it n t q k q

n

구분 상세 법칙 방정식 및 관계식 비고

Newton

운동

평형조건식

평형방정식 Navier-Cauchy 방정식

운동방정식 Navier-Stokes 방정식

에너지

보존

열전도방정식 고체에 적용

에너지보존방정식 유체에 적용

질량

보존연속방정식

비압축성 재료

압축성 재료

구성

방정식

Hooke 법칙

열역학 2법칙이성립하도록 함

소성유동법칙

Fourier의 열전도법칙

‥‥‥

변형의

기하학

변위-변형률 관계식

속도-변형률속도 관계식

경계조건

필수경계조건

자연경계조건

,i i i iF m a M I

, 0,j i j i i j j if

,j i j i if v

, ,i gik q c

t

, ,,i g j jik q c v

t

, 0i iv

,

0i iv

t

1

2 , 1i j i j k k i j i j i j k k i jE

2

3i j i j

,i iq k

, ,

1

2i j i j j iu u

, ,

1

2i j i j j iv v

, ,i i i iu u v v

,,i j i j i i i it n t q k q

n