www.school.mephi.ru

ТЕМА

Лекция №6

Механические колебания и волны.

Матрончик Алексей Юрьевич

кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры общей физики НИЯУ МИФИ,

эксперт ГИА-11 по физике

Москва, 2017

www.school.mephi.ru

Механические колебания

Любое повторяющееся движение называется колебательным или

колебанием. Например, колебания маятника, груза на пружине и

т.д.

Очевидно, зависимость координаты от времени для

колебательного движения дается периодической функцией.

Если эта функция синусоида или косинусоида – такое колебание

называется гармоническим.

Какой должна быть механическая система, чтобы в ней возникали

колебания?

1.Должно быть положение равновесия

2.При отклонении от положения равновесия должна возникать

возвращающая сила

www.school.mephi.ru

gm

N

gm

N

упрF

упр

F

gm

N

Пружина не деформирована Пружина растянута Пружина сжата

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Для гармонического колебания зависимость координаты от времени дается функцией

( ) sinx t C t

С - амплитуда колебаний, t - фаза колебаний, - начальная фаза.

Период колебаний T – время одного полного колебания. Это такое время, через которое фаза

колебаний изменится на 2 :

22T

T

Смысл величины - число колебаний, совершаемых за 2 секунд. Круговая частота

колебаний. Частота колебаний

1

T

число колебаний в секунду

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Пример 1. Груз на пружине за 10 мин 28 с совершает 100 полных колебаний. Найти цикличе-

скую частоту колебаний.

1. 10,5 с

2. 11 с

3. 11,5 с

4. 12 с

Пример 2. Груз на пружине за 10 мин совершает 60 полных колебаний. Найти частоту коле-

баний.

1. 10,1 с

2. 10,167 с 3.

11 с 4.

11,67 с

Пример 3. Амплитуда колебаний груза на пружине равна A . Какой путь пройдет груз за 2,5

периода? В начальный момент груз находился на максимальном отклонении от положении рав-новесия.

1. 2,5A 2. 4A 3. 8A 4. 10A

Пример 4. Амплитуда колебаний груза на пружине равна A . Какова величина перемещения

груза за 2,5 периода? В начальный момент груз находился на максимальном отклонении от

положении равновесия.

1. 0 2. A 3. 2A 4. 2,5A

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Чтобы найти зависимость координаты тела от времени, используем второй закон Ньютона, который для рассмат-риваемого тела имеет вид

упрma mg N F

Проекция второго закона Ньютона на ось x (с учетом

того, что ускорение есть вторая производная от коорди-наты по времени) имеет вид

2 2

2 2x упрx

d x d xma m F kx m kx

dt dt

Уравнения, связывающие неизвестные функции и их производные (в данном случае функцию

( )x t и ее вторую производную), называются дифференциальными. Дифференциальные

уравнения ставят жесткие ограничения на возможный вид этих функций, которые, таким обра-зом, могут быть из этих уравнений найдены. Для нашего уравнения можно проверить, что функция

( ) sin cosx t A t B t

где /k m , A и B - постоянные, является решением при любых постоянных A и B .

gm

N

упрF

x

y

Механические колебания

www.school.mephi.ru

С помощью известной тригонометрической формулы зависимость координаты от времени можно привести к виду

2 2( ) sin sinx t A B t C t

где /tg B A . Дифференцируя по времени, можно найти зависимость скорости

колеблющегося тела от времени

( ) cos sin cosx

dxv t A t B t C t

dt

В начальный момент времени (при 0t ) эти формулы должны определять начальную

координату и начальную скорость тела. Отсюда можно найти постоянные A и B . Если,

например, в начальный момент времени координата тела равна 0x , а проекция скорости тела

на ось x - 0v , то

0 00 , 0xx t x B v t v A

или 0 /A v , 0B x .

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Пример 5. Тело массой m , находящееся на гладкой горизонтальной поверхно-

сти, прикреплено к пружине с коэффициентом жесткости k , второй конец которой

прикреплен к вертикальной стене (пружинный маятник). Телу, которое находится

в положении равновесия, толчком сообщают скорость 0v . Через какое минималь-

ное время скорость тела будет равна половине начальной скорости? Через какие моменты времени тело будет отклонено от положения равновесия на половину амплитуды (независимо от того, в какую сторону)? Зависимость координаты и скорости пружинного маятника от времени определя-ются формулами

( ) sin cos

( )( ) cos sinx

x t A t B t

dx tv t A t B t

dt

в которых /k m , а постоянные A и B следует выбрать так, чтобы вы-

полнялись начальные условия. Подставляя в эти формулы значение времени

0t , получаем

0 /A v , 0B

Следовательно

00( ) sin , ( ) cosx

vx t t v t v t

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Амплитуда колебаний - 0 /v , начальная скорость 0v - амплитуда колебаний

скорости. Время , через которое скорость тела станет равной половине

максимальной скорости, определяется из уравнения

00

1cos cos

2 2

vv

Минимальный корень

3 3

m

k

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Чтобы найти такие моменты времени , когда отклонение тела от положения

равновесия равно половине амплитуды, воспользуемся зависимостью координаты от времени. Имеем

0 0 1sin sin

2 2

v vt t

(знак появился потому, что по условию требуется исследовать отклонения от положения равновесия и в одну и в другую сторону). Решая уравнение и выбирая положительные корни, получаем

5,

6 6t n t k

, , 0,1, 2, ...n k

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Пример 6. Математическому маятнику длиной l ,

отклоненному на угол 0 от положения равновесия, толчком

сообщили скорость 0v (см. рисунок). На какой максимальный

угол он отклонится? Какую максимальную скорость будет иметь? Какую долю от максимальной скорости будет со-ставлять скорость маятника в тот момент, когда его отклонение от положения равновесия составляет половину амплитуды?

0

0v

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Потенциальная энергия маятника при отклонении на некоторый угол определяется уравнением

2 2cos 2 sin2

h l l l

Для малых отклонений маятника потенциальная энер-

гия равна 2 / 2mgl . В результате для полной энер-

гии математического маятника, совершающего малые колебания около положения равновесия, имеем

2 2

2 2

mv mglE

h

cosl l

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Используем теперь факт сохранения энергии маятника. В момент его отклонения на максимальный угол скорость маятника равна нулю. Поэтому

2 2 2

0 0 1

2 2 2

mv mgl mgl

Отсюда 2

2 01 0

v

gl

В момент прохождения положения равновесия равен нулю угол отклонения маятника, поэтому

2 2 2

0 0 1

2 2 2

mv mgl mv

где 1v - максимальная скорость маятника, откуда

2 2

1 0 0v v gl

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Найдем теперь, какую долю от максимальной скорости составляет скорость маятника в тот момент, когда его отклонение от положения равновесия составляет половину амплитуды. Поскольку потенциальная энергия маятника

определяется выражением 2 / 2mgl , то в тот момент, когда его отклонение

составляет половину амплитудного значения, потенциальная энергия маятника составляет одну четверть максимального значения. Поэтому из закона сохранения энергии следует, что в кинетическая энергия маятника в этот момент составляет три четверти от ее максимального значения, а отношение скорости

маятника к амплитудному значению скорости - 3 / 2 .

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Пример 7. Груз массой m , находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен

к горизонтальной пружине с коэффициентом жесткости k . Второй конец пружины закреплен. В

начальный момент пружину растянули на величину l , а грузу толчком сообщили начальную

скорость 0v , направленную к положению равновесия груза. Найти амплитуду колебаний груза.

Ответ.

22 0mv

A lk

.

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Пример 8. Груз, прикрепленный к горизонтальной пружине, совершает колебания на гладкой

горизонтальной поверхности. Амплитуда колебаний груза A . В тот момент, когда груз проходит положение равновесия, на него сверху падает брусок с такой же массой и прилипает к грузу.

Найти амплитуду колебаний A груза с бруском.

Ответ 2

AA .

Механические колебания

www.school.mephi.ru

1. Груз массой m , находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к гори-

зонтальной пружине с коэффициентом жесткости k . Второй конец пружины закреплен. В на-

чальный момент пружину растянули на величину l , а грузу толчком сообщили начальную

скорость 0v , направленную к положению равновесия груза. Найти амплитуду колебаний груза.

2. Груз массой m , находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к гори-

зонтальной пружине с коэффициентом жесткости k . Второй конец пружины закреплен. В на-

чальный момент пружину растянули на величину l , а грузу толчком сообщили начальную

скорость 0v , направленную к положению равновесия груза

3. Математический маятник длиной l в начальный момент времени отклонили на малый угол

0 от положения равновесия и отпустили без начальной скорости. Через какое минимальное

время маятник будет отклонен от положения равновесия в противоположную сторону на угол

0 / 2 ?

Для математического маятника зависимость угла отклонения и угловой скорости от времени дается уравнениями

( ) sin cos

( ) cos sin

t A t B t

t A t B t

где /g l - круговая частота колебаний маятника, A и B - постоянные, которые опреде-

ляются начальными условиями. Так как 0( 0)t , ( 0) 0t , то 0B , 0A . Ис-

комое время является наименьшим положительным корнем урвнения

0 0

2 2 2/ 2 cos

3 3 3

l

g

Механические колебания

www.school.mephi.ru

4. Математический маятник совершает малые колебания около положения равновесия с

амплитудой 0 и круговой частотой . Чему равна средняя угловая скорость маятника за то

время, за которое его отклонение меняется от 0 до 0 / 2 ?

5. Груз, прикрепленный к горизонтальной пружине, совершает колебания на гладкой

горизонтальной поверхности. Амплитуда колебаний груза A . В тот момент, когда груз проходит положение равновесия, на него сверху падает брусок с такой же массой и прилипает к грузу.

Найти амплитуду колебаний A груза с бруском. При колебаниях математический маятник «вращается» относительно точки

прикрепления нити к потолку. Средняя угловая скорость маятника за время есть

где - угол поворота маятника за это время. У нас этот угол - 0 / 2 . Найдем время.

Зависимость угла отклонения маятника от времени определяется соотношением

0( ) cost t

Время определяется из уравнения

0 0/ 2 cos3 3

Отсюда

03

2

Механические колебания

www.school.mephi.ru

11.1.8. Тело совершает гармонические колебания с частотой . С

какой частотой совершает колебания кинетическая энергия тела?

1. 2. 2 3. / 2 4. 2

11.1.9. Тело совершает колебания на

горизонтально расположенной пружине (см.

рисунок). Сколько раз за период колебаний

кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины?

Считать, что потенциальная энергия пружины в нерастянутом

состоянии равна нулю.

1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

11.1.10. Тело совершает гармонические колебания на пружине с

циклической частотой ω . Амплитуда колебаний тела равна A .

Чему равна амплитуда колебаний скорости тела?

1. ωA 2. 2π ωA 3. /ωA 4. 2π /ωA

Механические колебания

www.school.mephi.ru

11.2.2. Длину и массу математического маятника увеличивают в

4 раза. Во сколько раз изменится период колебаний маятника?

1. Увеличится в 2 раза 2. Увеличится в 4 раза

3. Увеличится в 8 раз 4. Увеличится в 16 раз

11.2.3. Маятниковые часы «спешат». Чтобы часы шли точно,

необходимо

1. Увеличить массу маятника 2. Уменьшить массу маятника

3. Увеличить длину маятника 4. Уменьшить длину маятника

11.2.4. Зависимость координаты материальной точки от времени

дается законом: ( ) cosω sinωx t A t B t . Чему равна амплитуда

колебаний?

1. AB 2. A B 3. 2

A B 4.

2 2A B

Механические колебания

www.school.mephi.ru

11.2.10. Сравнить период колебаний

груза, совершающего колебания на

гладкой горизонтальной поверхности

под действием пружины 1T (левый

рисунок), и того же самого груза,

подвешенного к той же самой пружине в

поле силы тяжести 2T (правый рисунок).

1. 1 2T T 2. 1 2T T 3. 1 2T T

4. Это зависит от массы груза

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Механические колебания

www.school.mephi.ru

Волны

www.school.mephi.ru

Волны

www.school.mephi.ru

Волны

www.school.mephi.ru

ν=1/T λ=vT=v/ ν

1

T

Волны

www.school.mephi.ru

11.2.6. Волна частотой 3 Гц распространяется со скоростью

6 м/с. Определить длину волны.

1. 1 м 2. 2 м 3. 18 м 4. 0,5 м

11.2.7. На рисунке показан профиль волны, распространяющейся

по упругому шнуру, в некоторый момент времени. Известно, что

скорость распространения волны по шнуру равна 2 м/с. Найти

частоту колебаний точек шнура.

1. 50 Гц 2. 2 Гц 3. 0,25 Гц 4. 4 Гц

1 м

Волны

www.school.mephi.ru

Спасибо за внимание

Следующая лекция №7

Основные понятия и принципы молекулярно-кинетической теории.

Газовые законы.