أوتار :)عرض تقديمي بعنوان.(.لمادة الرياضياتالدائرة

60مدى الرؤية األفقية لمنارة في اليوم الصحو كيلو مترا، عبرت سفينة تسير في خط مستقيم

كيلو مترا ، 43هذا المدى ، وبقيت ضمنة لمسافة

. جد أقصر مسافة بين السفينة والمنارةيمثل مدى الرؤية دائرة8 مركزها قاعدة المنارة

كم ويمثل 60وطول نصف المنارة قطرها خط سير السفينة قاطعا لهذه الدائرة

والجزء الواقع ضمن مدى الرؤية وترا في المنارة الدائرة ، كما تالحظ في الشكل. قاعدة

هي القطعة المستقيمة الواصلة من :قطر الدائرة نصف -مركز الدائرة الى أي نقطة من نقاطها.

هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين : الوتر - .من الدائرة

هو وتر الدائرة المار في مركزها وهو أطول : القطر -أوتار الدائرة.

هو مستقيم يحتوي على وتر في الدائرة.: القاطع - هو جزء من الدائرة محصور بين نقطتين منها.: القوس -

- ، د ، م ، ه النقط ، م مركزها دائرة الشكل فييأتي . ما الدائرة لهذه عين واحدة استقامة على

:

أقطار( . 1 أنصاف .2ثالثة قطرا ( أقواس( . 3 قاطعا ( .4أربعهه( 1 م د، م ، أمد( 2 هل( 3 د ، أد أ، ج ه، بص( 4 س

أ د ج

لص

س ك ه

ب

اكتشاف بعض الخصائص المتعلقة بأوتار الدائرة .نفذ النشاطات اآلتيه :

ارسم دائرة مركزها م بأي نصف قطر تختار ( أ(1 .

ارسم الوتر ((ب2العالقة هي : التساوي بين طول

)ا،ب(و)أ، ج(بأ

ج

م

س

سم5سم5

سم10

القطعة- طول هي نقطتين بين المسافة. بينهما الواصلة المستقيمة

تساوي- ومستقيم نقطة بين مسافة أقصرذلك إلى النقطة تلك من النازل المود طول

المستقيم.

البد انك الحظت من خالل تنفيذ النشاطات السابقة ما يأتي:

(العمود النازل من مركز الدائرة على أي وتر 1Y.ينصفه

(المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف 2] على وتر فيها غير مار بالمركز ، يكون عمودا

الوتر. (العمود المقام من منتصف وتر في دائرة يمر 3

بمركز الدائرة.

وإليك برهان الجزء األول من النظرية:المعطيات

. أب الوتر على عمود د م م، مركزها دائرة وتر أبالمطلوب

. ب = د أد أن أي ، أب ينصف د م أن اثباتالبرهان

ب د م ، د أ م المثلثان فيتكون ب م أ، م ارسم: فيهما

قطر = ) نصف طول يساوي منهما كل ب م أ مالدائرة(

) ( = مشترك ضلع طول د م د مقياس = م د أ الزاوية قائمتان ) قياس م د ب الزاوية

و( وقائمة، ووتر بضلع المثلثان ينطبق [ إذا بالفرض : أن ينتج

.) ( المطلوب= وهو ب د أدبأ

م

د

h 90

: i أن برهنالمستقيم االصل بين مركز الدائرة ومنتصف

] على وتر فيها غير مار بالمركز يكون عموداالوتر.

الحل:دائرة مركزها )م( ، )أب( وتر، )م د( مستقيم المعطيات:

يصل)م (مع منتصف )أ ب ( : اثبات أن م د أب المطلوب

:بالفرض نصل ) س م( و )م ص( فينتج المثلثان)ص ع م(البرهان) س ع م ( نبحث في تطابقهما

أ م= م ب ) أنصاف أقطار(م د ) ضلع مشترك(

أد =دب )في المعطيات ( أضالع 3ينطبق المثلثان ب

)وهو المطلوب(90 ق زاوية أ د م =ق زاوية م د ب =

س

أب

د

م

أ ب وتر في دائرة مركزها م، طول نصف سم ، إذا كان طول العمود النازل 10قطرها

أب .6 من م على الوتر أ ب يساوي ،جد سم : rالحل

ليكن م د العمود النازل من م على الوتر أب كما في الشكل .

ارسم م أ فيتكون المثلث أ م د القائم الزاوية : iفي د، باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أن

) ( + ) ( =) د) أ د م د م(10 = )6) د + ) أ

= د أ [ سم8إذا= 2xأب= د سم16أ

222

222

نظرية فيثاغوري في المثلث القائم:

مربع طوال الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين اآلخرين.

بالرموز: )أ د( = )أ ب(+ )أج(

2 2 2

بج

أ

90 h

الوتر

tالمسألة التي طرحت في بداية i لYحهذا الدرس.

وذلك عن طريق نظرية فيثاغورس (2( +)طول الضلع1الوتر( = )طول الضلع)

( +)س(43( =)60)1751 =1849-3600س =

1751س = كم42س=

2 22

2 22

2

2

ك،ل منتصف الوترين أ ب، ج د في دائرة مركزها م، إذا كان م ل= م ك فأثبت أن أ

ب= ج دالحل :

المعطيات:أ منتصفا ل ك ، م مركزها دائرة في وتران د ج ، ب أ

الشكل ) د ج ، ك( = . 5 – 2ب م ل ،مالمطلوب :

د = . ج ب أ أن إثبات

يمثل الشكل مدخل نفق مصمم على شكل أمتار ، إذا كان 6قوس دائرة طول قطرها

ارتفاع القوس فوق منتصف قاعدة النفق متر، فجد عرض قاعد النفق. 4.5يساوي

: rالحل . الدائرة وترا في النفق مدخل قاعدة تمثل

النفق قاعدة منتصف ج كانت إذاأب = ه ج ، ه ج النفق ارتفاع أبفإن ج

ه

م

أ م المثلث ويكون ه ج على م المركز يقع إذا ج، في الزاوية قائم ج

: أن ينتج فيثاغورس نظرية باستخدام) ( + ) (= ) ج) أ ج م أم

3( = 1.5 ) ج( + ) أ

ج = أ [ ] 2.598إذا متراأب = [ ] 5.196إذا مترا

222

222

كم دائرة يمكنك أن ترسم بحيث تمر كل منها ( 1 بنقطة معلومة هي أ؟

عدد النهائي(كم دائرة يمكنك أن ترسم بحيث تمر كل منها 2

بنقطتين معلومتين أ ،ب؟عدد النهائي

كم دائرة يمكنك أ، ترسم بحيث تمر كل منها ( 3بثالث نقط ليست على استقامة واحده؟

دائرة واحدة

= 1س ج: م كان إذا أب ج م الدائرة مركز م الشكل 5في

ب = م ، أب 13سم طول جد ، سمفيثاغورس الحل: نظرية خالل من وذلك

الضلع =) (2الضلع(+ ) 1الوتر

(13 (=)5) ب (+) ج(169- 25) ب( =) ج

ب= 144 جب = بأسم12ج

م

ج

سم5

سم13

2 2 2

2 22

2 2

2

طوله: 2س م مركزها دائرة في وتر ب ج 16أ ، سم = ج م كان إذا أب، نصف 6منتصف طول فما سم،

القطر؟ الحل :

( = ) طول) (2طول( + ) 1الوتر

(= ) (8 (+ )6س)

64 +36س) (=

100س =

2 2 2

22 2

2

2

م

بأ ج

سم6

سم8سم8

سم10س=

: أ ب ، ج د وتران متعامدان في الدائرة 3س مركزها م ، غير مارين بمركزها ، كما في

( ، إذا كانت س نقطة تقاطع 8-2الشكل ) الوترين ، ص منتصف أ ب ،ع منتصف ج د ،

أثبت أن الشكل س ع م ص مستطيل .

ب البرهان : أ منتصف على المركز من مستقيم ص مقائمة ...... زاوية يصنع إذن

د المعطيات ج من ب أد ج منتصف ع

ب ... أ س ع )1،من ) إذن س( 2و( ع ص مد ج ع م ألنه مستقيم واصل بين منتصف وتر كذلك

ص س يقع على أب وبما أن الدائرة ومركز الدائرة أ ب ج د من المعطيات

( ص س م ع4( و)3 من ) إذن ص س ج د

1

2

3

4

مستطيل س ع م ص

سم ويبعد عن مركزها 24أ ب وتر طولة : 4س سم ، ج د وتر آخر في نفس الدائرة ويبعد عن 5

سم احسب : ج د.12مركزها الحل :

ه = النظرية 12أ من األول الجزء حسب سم) ( + ) (= ) ه) أ ه م م أ

(= ) م) (12(+ )5أ = ) م ) 169أ

م = ( 13أ ه ) م أ في سم

222

22 2

2

ج

هأ

د

ب سم5

سم12

سم12 سم12

) ألقطار) (= ) أنصاف م و م أم = سم13ج

(13( = )12) و( ) ج169=144 ) و+ ) ج

= ) و ) 25ج

و = ( 5ج م ) و ج في سم

2 22

2

2

أثبت أنه إذا تساوى طوال وترين في : 5س دائرة ، فإن بعديهما عن مركز ها متساويان .

البرهان : نصل )م أ( ، )م ج(

صف كيف يمكنك تحديد مركز : 6س .دائرة معطاة

الحل :

وذلك عن طريق تنصيف قطعة مستقيمة

صف كيف يمكنك رسم دائرة تمر برؤؤس المثلث أ : 7سب ج .الحل :

1 ) وأيضا- ) أب المستقيمة القطعة تنصيف طريق عن وذلك) ج) ب [

نفتح- 2 المستقيمتين القطعتين تنصيف التقاء نقطة من ) ب ) الى النقطة هذه بمقار الفرجار

االلتقاء- 3 نقطة في الفرجار نركزالمثلث برؤوس تمر دائرة ونرسم

أ

ب ج

في الشكل أ ، ب قريتان واقعتان على أحد : 8س كم على 3 كم 2جانبي طريق مستقيم وتبعدان عنه

الترتيب ، يراد إنشاء محطة محروقات على الطريق بحيث تكون على البعد نفسه عن كل من أ ، ب ،

صف كيف تحدد موقع المحطة ، واحسب بعدها عن ج .

كم6دج

كم3

ب

كم2أ

ه

الحل: ) فيثاغورس ) نظرية حسب فأنه ه ج أ المثلث في

(= ) ه) (2أ س( +) ه) ( = .......4أ س+

) ه ) د ب الثلث فيه) ( = ( = 6 +) 9ب س+ 12+36+ 9س- س

=) ه ) س +12 -45ب س

222

22

1

22

22

2

) ( =) ه ) ب ه أ أن بما) (= ) ه ) ب ه أ فأن

= ) ه) أس +12-45س+ = 4 س

صفر= 41-12= سس12=41

سم طول )ج ه( 3.4س= سم طول 2.6

) ه د(

22

2

2

12 12

بالنجاح aلكن تمنياتي معالله شاء إن .والتوفيق