????? 9 · web viewทรงกลมเหล ก 4 ล ก แต ละล กมองว...
TRANSCRIPT
บทท 8การหมน
ไจโรสโคปเปนอปกรณทนาพศวงงงงวยเปนอยางยง เพราะการหมนของมนคอนขางแปลก และคลายกบวา มนทาทายกบแรงโนมถวงได คณสมบตอนพเศษน สามารถนำาไปประยกตใชไดตงแตรถจกรยาน จนถงยานขนสงอวกาศ เครองบนโดยสารทกประเภทมไจโรสโคป ไวสำาหรบทำาเปนเขมทศ และระบบนำารองอตโนมต สถานอวกาศ Mir ของรสเซย ใชไจโรสโคปจำานวน 11 อน เพอบงคบใหแผงโซลารเซลลหนไปในทศทางเดยวกบดวงอาทตยตลอดเวลา การหมนแบบไจโร จะเกดกบมวลทกชนดในโลกทมการหมน ฟสกสราชมงคลจะไขปรศนานให โดยจะโยงใหคณไดทราบเหตและผลทเกดจากการหมนแบบน ซงจะทำาใหคณยงมหศจรรยเพมขนไปอก เพราะการประยกตของไจโรมมากมายนบไมถวน ทงๆ ทความรพนฐานนน งายแสนจะงาย กดทนเพอดรายละเอยดทงหมด
ฟสกสราชมงคล
177
การเคลอนทของวตถตามสภาพจรงคอนขางซบซอน เนองเ พ ร า ะ ข ณ ะ เ ค ล อ น ท ว ต ถ อ า จเปลยนแปลงรปรางได ตวอยางเชน ยบ แตก และราว ฯลฯ หรออาจจะหมนและเคลอนยายต ำาแหน งไปพรอมกน บททผานมาเราพยายามลดขนาดของวตถใหเปนเพยงจด เพอหลกเลยงผลเหลาน
สำาหรบบทนเราจะเร มตนอธ บ า ยกา รหม น แ ละ กา ร เล อนตำาแหนง อยางไรกตามยงจำากดไม
วดโอเพอการศกษา
ด ว ด โ อ ก า ร ค ว ง ข อ ง ล อจกรยาน เป นเวลา 30 วนาท คลก ทน ครบ
8-1 ค ว า ม เ ร วเชงมม______________________________________________
รป 8-1 a) เวลาเปดประตทกอนภาคบนประตจะมความเรว และความเรงเชงมม
เทากน แตความเรวและความเรงเชงเสนแตกตางกนขนอยกบระยะท
หางจากแกนหมน b) ภาพดานบนของบานประต จด P หางจากจดหมน
เทากบ R เคลอนท เปนสวนโคงของวงกลม S
พจารณาวตถแขงเกรงหมนรอบจดคงทหนง ดงรป 8-1 เวลาเปดบานประต OP คอแนวเสนบนขอบประตทเราจะศกษาการเคลอนท คอมมททำากบระดบมหนวยเปนเรเดยน เรเดยนคอ สวนโคงของวงกลมหารดวยรศม ดงนน 1 เรเดยน (rad) คอสวนโคงของวงกลม (S) ทมขนาดเทากบรศม
2 rad (1 รอบ) = 360o
1 rad = = 57.3o
ฟสกสราชมงคล
178
360o = 2 rad = 6.28 rad180o = rad = 3.14 rad 90o = rad = 1.57 rad
60o = rad = 1.05 rad
45o = rad = 0.79 rad
รป 8-2 R กบ S สามารถเขยนเปนความสมพนธไดดงน S = R
มชอเรยกเฉพาะวา ตำาแหนงเชงมม (Angular position) มเคร องหมายเปนบวกเมอวดทวนเขมนาฬกา และเปนลบเมอวดตามเขมนาฬกา
จากนยามของตำาแหนงเชงมม
= ; S = R
................... (8-1)
ถา = 2 rad กแสดงวา S คอเสนรอบวงของวงกลม
เรเดยนเปนอตราสวนระหวางความยาวตอความยาว ดงนน จงไมมหนวย ถา S = 1.5 m และ R = 1 m จะไดมม = 1.5 rad นยมเขยน = 1.5 ไมตองมหนวยกำากบกเขาใจ
รป 8-3 ระยะกระจดเชงมม ของวตถทกำาลงหมน
ฟสกสราชมงคล
179
การหมนสามารถอธบายไดดวยอตราการเปลยนระยะกระจดตอเวลา ดงรป 8-3 ใหเวลา t ตำาแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 1 วดจากแกน OX เวลาผานไปเปน t2 ตำาแหนงเชงมมของแนวเสน OP อยท 2 ความเรวเชงมมเฉลย จะเปน
av =
ความเรวเชงมมชวขณะ เปน
= ................... (8-2)
หนวยของความเรวเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท ( 1 rad s-1 หรอ 1 s-1) บางคร งน ยมใชรอบตอนาท (revmin-1) rev เป นตวยอของ revolution
1 revs-1 = 2 rads-1 และ 1 revmin-1 = 1 rpm = (2/60)
rads-1
8-2 ค ว า ม เ ร งเชงมม______________________________________________
ถาความเรวเชงมมไมคงท แสดงวาอนภาคมความเรงเชงมมให 1 และ 2 เปนความเรวเชงมมชวขณะทเวลา t1 และ t2
ความเรงเชงมมเฉลยจะเปน
av =
ความเรงเชงมมชวขณะจะเปน
ฟสกสราชมงคล
180
= ................... (8-3)
หนวยของความเรงเชงมม คอ เรเดยนตอวนาท2 (1 rads -2 หรอ 1 s-2)
เพราะ = ความเรงเชงมมจงสามารถ
เขยนอยในรปของอนพนธอนดบทสองไดเปน
= = ................... (8-4) เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน คอตำาแหนงเชงมม x คอระยะกระจดเชง
เสน คอความเรวเชงมม เปรยบเทยบกบ v คอความเรว
เชงเสน คอความเรงเชงมม a คอความเรงเชงเสน
8-3 ก า ร ห ม น ด ว ย ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม มคงท_______________________________
เราสามารถหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงมม อตราเรวเชงมม และความเรงเชงมมได ในกรณทความเรงเชงมมคงท โดยใชวธเดยวกนกบการหาความสมพนธระหวางระยะกระจดเชงเสนความเรวเชงเสน และความเรงเชงเสนในกรณทความเรงคงท ดงทไดวเคราะหมาแลวในบทท 2
= = คงท
อนทเกรตจะได d = dt , = t + C1
C1 เปนคาคงททไดจากอนทเกรต ใหเวลาเร มตน t = 0 อนภาคมความเรวเชงมม 0 แทนคาลงใน
สมการบน จะได C1 = 0
ฟสกสราชมงคล
181
ดงนน = 0 + t ................... (8-5)
แทน = และอนทเกรตอกครงจะได d =
0 dt + tdt, = 0t + t2 + C2
C2 เปนคาคงททไดจากการอนทเกรต ใหเวลาเร มตน t = 0 อนภาคมตำาแหนงเชงมม 0 แทนคาลงใน
สมการบน จะได C2 = 0
ดงนน = 0 + 0t + t2
................... (8-6)
จากสมการ (8-5) จะได t = แทนคาลงไปในสมการ (8-6) 2 = ...................
(8-7)
ตาราง 8-1 เปรยบเทยบสตรทได จากสมการ (8-5) (8-6) และ (8-7) ส ำา ห ร บ ก า ร ห ม น ด ว ย ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม มคงท กบสตรทไดจากการเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท
ตาราง 8-1
การเคลอนทเชงเสนทมความเรงคงท
การหมนทมความเรงเชงมมคงท
a = คงท v = v0 + at x = x0 + v0 t + at2
v2 =
= คงท = 0 + t = 0 + 0t + t2
2 =
ฟสกสราชมงคล
182
ตวอยาง 8-1 ลอจกรยานหมนดวยความเรงเชงมมคงท 2 rads-2 ใหเวลาเร มตน t = 0 ซลอ OP อยในแนวระดบ มความเรวเชงมม = 4 rad.s-1
ก) ณ เวลา t = 3.0 s ซลอจะทำามมกบแนวระดบเทาไรข) ความเรวเชงมม
หลกการคำานวณก) จากสมการ (8-6) = 0 + 0t + t2
t = 3.0 s, = 0 + (4.0 rad.s-1) (3.0 s) + (2.0 rads-2)(3.0 s)2
= 21 rad = รอบ = 3.34 รอบ
ซ ล อจะหม น ไป 3 รอบ บวกก บอ ก 0.34 รอบ หรอ (0.34 รอบ )(2 radrev-1) = 2.15 rad = 123o
ข) จากสมการ (8-5) = 0 + t
t = 3.0 s , = 4.0 rads-1 + (2.0 rads-2)(3.0 s) = 10 rads-1
หรอใชสมการ (8-7) 2 =
= (4 rads-1)2 + 2(2 rads-2)(21 rad)
2 = 100 rad2s-2
= 10 rads-1
ฟสกสราชมงคล
183
คำาตอบเทากน
8-4 ความสมพนธระหวางปรมาณเวกเตอรของการเคลอนทเชงเสนและการเคลอนทเชงมมของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลม____________________
ฟสกสราชมงคล
184
บทความออนไลน
เมอแมวตกลงจากทสง มนมความสามารถทจะลงบนพนโดยใชเทาได ทงๆทตอนเรมตนตกมนหงายทองเกงลงมา การถายภาพความเรวสงเปนชอตๆ ในปจจบนชวยใหเราเหนขนตอนตางๆ ขณะท
รป 8-4 S = r
รป 8-5 ถาวตถหมนดวยความเรวไมสมำาเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนวคอ
ความเรงแนวสมผสทจด P = r ; และแนวตงฉาก = 2r
จด P หางจากจดหมนเปนระยะ r เคลอนทเปนวงกลม โดยมตำาแหนงกระจดเชงมมเรมตนเทากบ เพมขนเปน ในชวงเวลา t อนภาคทจด P จะเคลอนทเปนสวนโคงของวงกลม s = r อตราเรวเฉลยของอนภาคหาไดจาก
vav = = .................. (8-8)
ให t เขาใกลศนย จะได
v = = r.................. (8-9)
ความเรว v สมผสกบเสนทางการเคลอนทความสมพนธระหวางความเรวของอนภาคทเปลยนไป v กบ
ความเรวเชงมมทเปลยนไป เขยนไดดงน
v = r
ฟสกสราชมงคล
185
O xr
a= 2r
a= r
Pa
หาร t ทง 2 ขาง =ให t เขาใกลศนยจะได
a = = r................... (8-10)
a คอ ความเรงในแนวเสนสมผสกบเสนทางการเคลอนท
ความเรงในแนวตงฉาก หรอรศม แทนดวย a = จากสมการ
(8-9) เขยนใหมไดเปน
a = = 2r ................... (8-11)
ถาวตถหมนดวยความเรวทไมสมำาเสมอรอบจด O จะเกดความเรงขน 2 แนว คอ a กบ a ความเรงลพธหาไดจาก
a =
ตวอยาง 8-2 นกขวางจานโอลมปคเหวยงจานขาวออกไปดวยความเรงเชงมม = 50 rads-2 จงหาความเรงแนวสมผ สและตงฉากขณะทความเรวเชงมม = 10 rads-1 กำาหนดให แขนของนกขวางยาว 0.80 mหลกการคำานวณ จากสมการ (8-10) และ (8-11)
a = 2r = (10s-1)2(0.80 m) = 80 ms-2
a = r = (0.80 m)(50s-2) = 40 ms-2
ขนาดของความเรงa =
= 89 ms-2
8-5 พ ล ง ง า น จ ล น ข อ ง ก า รหมน_____________________________________
ฟสกสราชมงคล
186
ขณะทวตถหมน อนภาคตาง ๆ ทประกอบขนเปนวตถกหมนพรอมไปกบวตถดวย
สมมตใหอนภาคตวหนงมวล mi อยหางจากจดหมนเปนระยะทาง ri
ความ เร ว เช ง เส นของอน ภาคจะ เป น vi = ri และม พลงงานจลนเปน
Ki =
เนองจากพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร พลงงานจลนรวมของว ต ถ จ ะ เ ท า ก บ ผ ล ร ว มพลงงานจลนของแตละอนภาค
K =
อนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกมาเปนตวรวมได
K =
=
mi คอผลบวกมวลของอนภาคคณดวยระยะทางกำาลงสองจากมวลไปยงจดหมน ถาแทนดวยปรมาณ จะได
= mi .................... (8-12)
เรยกคา วาเปนความเฉอยของการหมน หรอโมเมนตความเฉอยของวตถ สมพทธกบแกนหมน คา ของวตถจะขนกบแกนหมน รปรางของว ต ถ แ ล ะ ล ก ษ ณ ะ ก า ร เ ร ย ง ต ว ข อ ง ว ต ถ ร อ บ แ ก น ห ม น มหนวยเปน กโลกรม-เมตร2 (kgm2)
คาพลงงานจลนสามารถเขยนใหมไดวา
K = 2 ................... (8-13)
ฟสกสราชมงคล
187
เปรยบเทยบกบการเคลอนทเชงเสน K = Mv2
สมการ (8-12) และ (8-13) แสดงใหเหนวาพลงงานการหมนของวตถ สำาหรบความเรวเชงมมคาหนง ๆ นน ไมเพยงแตขนอยกบขนาดของมวลเทานน แตยงขนอยกบการกระจายของมวลนน ๆ รอบแกนหมน ดงรป 8-6 เสนลวดอลมเนยมซงมขนาดเทากนและเหมอนกนทงสามเสน แตละเสนมวตถมวล M ทำาดวยตะกวผกตดอย รป (a) มวลอยใกลกบแกนหมนมากทสด ดงนน คา ri ในสมการ (8-12) จงมคานอย สวนรป (b) อนภาคอยหางจากแกนหมนแตยงนอยกวารป (c)
รป 8-6 จากการทดลองพบวา a < b < c วตถตะกวทงสามม
มวลเทากน แตการกระจายของมวลรอบแกนหมนตางกน
ใหมวลทงสามหมนดวยความเรวเชงมม เทากน พบวารป a ใชงานนอยทสด และรป c ใชงานมากทสด เนองจากงานทใหวตถแตละอนมคาเทากบ
พ ล ง ง า น จ ล น 2 ข อ ง ว ต ถ น น ๆ ท ำา ใ ห ค า
Ka < Kb < Kc และเนองจากแตละอนมคา เทากน ดงนน คา a < b < c
จากนยามของสมการ (8-13) จงอาจเรยก M วาเปนคาความเฉอยเนองจากการเคลอนทแบบเลอนตำาแหนง (translational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการเปลยนแปลงการเคลอนทในแนวเสนตรง และเรยก วาเปนความเฉอยเนองจากการหมน (rotational inertia) ซงเปนการวดความตานทานของวตถทมตอการหมน
ฟสกสราชมงคล
188
ตวอยาง 8-3 โมเมนตความเฉอยของสวนประกอบชนหนงของเครองจกร ดงรป 8-7 จะเปนเทาไร
รป 8-7 สวนประกอบชนหนงของเครองจกร(ก) รอบแกนหมน A ตงไดฉากกบระนาบ ABC(ข) ให BC เปนแกนหมน(ค) จากขอ (ก) ถามความเรวเชงมม = 40 rads-1
พลงงานจลนการหมนจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ
(ก) มวลทจด A อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศนย โ ม เ ม น ต ค ว า ม เ ฉ อ ย ข อ ง ม ว ลทจดนจงเปนศนย จากสมการ (8-12)
A = miri2 = (0.10 kg)(0.50
m)2 + (0.20 kg)(0.40 m)2
= 0.057 kgm2
(ข) มวลทจด B และ C อยทแกนหมนพอด ระยะจากจดหมนเปนศ น ย โ ม เ ม น ต ค ว า ม เ ฉ อ ยบนแกนนจงเปนศนย จากสมการ (8-12)
BC = miri2 = (0.30 kg)(0.40
m)2
= 0.048 kgm2
สรปไดวา โมเมนตความเฉอยขนอยก บแกนหมน แกนหมนเปลยนคากเปลยน
(ค) จากสมการ (8-13)
ฟสกสราชมงคล
189
K = 2 = (0.057 kgm2)(40 rads-1)2
= 45.6 J การคำานวณหาคาโมเมนตความเฉอยของตวอยางทผานมา มวลมลกษณะเปนจด แตถาวตถมรปทรงขนาดใหญ มวลกระจายอยางตอเนองเชนทรงกระบอกหรอจาน การหาโมเมนตความเฉอย จะตองใชวธการอนทเกรต ตวอยางการคำานวณจะอธบายในหวขอถดไป รป 8-8 คอตารางโมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ
รป 8-8 โมเมนตความเฉอยของมวลรปทรงตาง ๆ รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล
ขอสงเกต การหาโมเมนตความเฉอยโดยใชมวลคณกบระยะจดศนยกลางมวลหางจากจดหมน ยกกำาลงสอง เพราะคดวาจดศนยกลางมวลเปนตวแทนของมวลทงกอน แตจรง ๆ แลวผด ตวอยางเชนแทงกลมขนาดเลกยาว L มมวล M ใหจดหมนอยทปลายของแทงโลหะ โมเมนตความเฉอยของแทงโลหะทจดห ม น น
(จากตาราง) คอ ถาใชมวลคณกบระยะจากจดศนยกลางมวลถงจดหมน
ซงเทากบ สามารถคำานวณหา I ไดเทากบ คาทไดไมตรงกน
การหาดวยวธนจงทำาไมได
ตวอยาง 8-4 ลกรอกมวล 50 kg เสนผาศนยกลาง 0.12 m หมนอยรอบแกนไดโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ดงปลายเชอกดวยแรงคงท 9 N เปนระยะ 2 m ถาลกรอกเรมตนจากหยดนง จงหาความเรวเชงมมและเชงเสนของเชอกทระยะนหลกการคำานวณ พลงงานจลนของลกรอกทเพมขน = งานทกระทำากบลกรอก
ฟสกสราชมงคล
190
mR2
2 = Fd = (9.0 N)(2.0 m)= 18 J
จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก
= MR2
= (50 kg)(0.060 m)2
= 0.090 kgm2
แทนลงไปในสมการบน จะได
(0.090 kgm2) 2 = 18 J
= 20 rads-1
ความเรวเชงเสนของเชอกจะเทากบความเรวสมผสของลกรอก จากสมการ (8-9)
v = r = (0.060 m)(20 rads-1)
= 1.2 ms-1
ตวอยาง 8-5 ลกรอกมวล M หมนรอบแกนโดยไมมความฝด พนเชอกรอบลกรอก ใหปลายเชอกขางหนงผกตดกบมวล m ในแนวดง ปลอยมวล m จ า ก ค ว า ม ส ง h จ ง หา ค ว า ม เ ร ว เ ช งม ม แ ล ะ เ ช ง เ ส น ข อง ล ก รอ ก ขณะทมวล m ถงพน
รป 8-9 หลกการคำานวณ
ฟสกสราชมงคล
191
เร มตนปลอยมวล m พลงงานจลนยงเปนศนย (K1 = 0) ม แตพลงงานศกย U1 = mgh ขณะทมวล m ถงพน พลงงานจลนของการเคลอนทเชงเสนเปน K2 พลงงานศกยเปนศนย (U2 = 0) แตเนองจากลกรอกหมนจงมพลงงานจลนของการหมนบวกเพมเขามา
K2 = mv2 + 2
................... (8-14)จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของลกรอก
= MR2
จาก = R ความเรวเชงเสนของมวล m จะเทากบความเรวสมผสของลกรอกจากกฎการคงตวของพลงงาน จะได
K1 + U1 = K2 + U2
mgh + 0= mv2 + 2 + 0
mgh = mv2 + ( MR2)
= (m + M)v2
v =
วเคราะหโจทยถามวลของลกรอก M มากกวา m มาก ๆ v จะมคานอย ในทาง
กลบกน M นอยกวา m มาก ๆ v ของมวล m จะเกอบเทากบความเรวของการตกอยางอสระทระยะความสง h ดงนนโจทยทมรอกประกอบจากบททผานมา จงตองกำาหนดใหมวลของรอกนอยมาก เพอหลกเลยงผลของการหมนนนเอง
8-6 ว ธ ค ำา น ว ณ ห า โ ม เ ม น ต ความเฉอย________________________________
ฟสกสราชมงคล
192
= mi เปนสมการทหาโมเมนตความเฉอยในกรณทมวลเปนจด ดงตวอยาง 8-3 แตถามวลมรปทรงขนาดใหญ และเนอวตถกระจายอยางสมำาเสมอ จะตองใชวธการอนทกรลแทน โดยแบงมวลของวตถออกเปนชนเลก ๆ มคา dm อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r โมเมนตความเฉอยของอนภาคเลกๆ นจะเปน
d = r2dmโมเมนตความเฉอยของวตถทงกอน
= ................... (8-15)ถา เปนความหนาแนนของวตถ และ dV เปนปรมาตรเลก
dm = dV แทนในสมการบน จะได =
การกระจายของมวลเปนเนอเดยวสมำาเสมอ ความหนาแนนจะคงท สามารถนำาอ อ ก น อ ก เ ค ร อ ง ห ม า ยอนทกรลได
= ................... (8-16)
dV คอปรมาตรเลก ๆ ของมวล dm จงมลกษณะเหมอนจด
ตวอยาง 8-6
รป 8-10 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลมขนาดเลก สวนท
แรเงาคอ มวล dm เลก ๆ ทแบงในชวง dx
แทงกลมขนาดเลก มวล M ยาว เนอวตถกระจายสมำาเสมอ แกนหมนตงฉากกบจด O หางจากปลายแทงขางหนงเปนระยะ h แบงแทงกลมเปนชวงเลก ๆ dx หางจากจด O เปนระยะ x อตราสวนของมวลกอนเลก ๆ
ฟสกสราชมงคล
193
dm ตอมวลทงกอน M จะเทากบ อตราสวนของ dx กบความยาวทงหมด ดงน
=
dm =แทนคา dm ลงในสมการ (8-15) และอนทเกรตบนแกน x จาก -h ถง -h ดงน
0 ==
=
= M(2-3h+3h2)สมการบนทได สามารถหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนไดทก ๆ แกน ตวอยางเชน ถาแกนหมนอยทปลายแทงดานซาย, h = 0 จะได
= M2 ................... (8-17)แกนหมนอยทปลายแทงดานขวา , h = จะได
= M2
เทากนเพราะมวลมลกษณะสมมาตร ทงซายขวาถาแกนหมนผานจดศนยกลางมวล h = /2
I = M2 ................... (8-18)ตรงกบรป 8-8
ตวอยาง 8-7 ทรงกระบอกกลวง ยาว มเสนผาศนยกลางในและนอกเปน R1 และ R2 ตามลำาดบ ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลของทรงกระบอก แบงปรมาตรของทรงกระบอกกลวงเปนเปลอกเลก ๆ dV หางจากแกนหมนเปนรศม r หนา dr ยาว (บรเวณแรเงาในรปภาพ) ปรมาตรของเปลอกเลก
ฟสกสราชมงคล
194
ๆ dV =2rdr มวลของเปลอกเลก ๆ dm = dV = 2rdr
หลกการคำานวณ
รป 8-11 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกกลวง สวนทแรเงาคอปรมาตร
ของเปลอกเลก ๆ dV = 2 rdrแทนคา dm ในสมการ (8-15) และอนทเกรตในแนวรศมจาก R1 ถง R2
ดงน =
= 2
=
= ................... (8-19)ปรมาตรทงหมดของทรงกระบอก V = ( )มวลทงหมดของทรงกระบอก M = ( )แทน ( ) ดวย M ลงในสมการ (8-19) จะได
= ................... (8-20)
ฟสกสราชมงคล
195
r
dr
ถาเปนทรงกระบอกตน R1 = 0 ให R2 = R ดงนนตรงกบรป 8-8
โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R = .................... (8-21)
ตรงกบรป 8-8หรอถาเปนทรงกระบอกกลวงบาง R1 และ R2 เกอบจะเทากน ใหแทน R1 = R2 = R
= MR2 ตรงกบรป 8-8ขอสงเกต โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกไมวาจะกลวงหรอตน ไมขนอยกบความยาว ตวอยางเชน ทรงกระบอกททำาจากไมหรอทองเหลองมมวลเทากน ถามรศมนอก และในเทากน จะม เทากนดวย ถงแมวาจะมความยาวไมเทากนกตาม สรปไดวาโมเมนตความเฉอยขนอยกบการกระจายของมวลแนวรศมรอบแกนหมน ไมใชแนวเดยวกบแกนหมน
ตวอยาง 8-8
รป 8-12 วธคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของทรงกลม ; สวนทแรเงาคอ ปรมาตรของจานหนา dx
ทรงกลมรศม R ใหแกนหมนผานจดศนยกลางมวลแบงปรมาตรของทรงกลมใหเปนรปจานหนา dx รศม r ดงรป 8-
12r =
ปรมาตรของจาน คอdV = r2dx = (R2 - x2)dx ;
มวลของจาน คอdm = dV
ฟสกสราชมงคล
196
จากรป 8-8 โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอกตน รศม R =
นำามาใชกบจานได จากขอสงเกตในตวอยาง 8-7 ดงนน โมเมนตความเฉอยของจาน คอ
d =
อนทเกรต จาก O ถง R ไดดงน
=
หลงจากอนทเกรตจะได
=มวลทงหมดของทรงกลม
M = v = แทนลงในสมการบนจะได
= ตรงกบรป 8-8
ฟสกสราชมงคล
197
การทดลอง
การทดลองนเปนการหาโมเมนตความเฉอยโดยการหมนมวล คณสามารถวางมวลบนกลางโตะ หรอมมของโตะกยอมได และทำาการทดลองหาความเรงของระบบ เมอไดความเรงแลว นำาไปหาโมเมนตความเฉอยไดจากสตร
m = มวลทใชแขวนในระบบ R = คอรศมของโตะหมน ในหองทดลองเสมอนจรงน R = 0.25 เมตร เมอคำานวณหาโมเมนตความเฉอยไดแลว ใหนำาคา 0.03 kg.m2 ซงกคอ
8-7 ท ฤ ษ ฎ แ ก นขนาน_____________________________________________
รป 8-8 เปนโมเมนตความเฉอยของวตถรปทรงตาง ๆ รอบแกนทผ า น จ ด ศ น ย ก ล า ง ม ว ลแทนดวย cm แตถาเราตองการหาโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนใหมทขนานกบแกนหมนเดมเปนระยะ d กสามารถคำานวณหาได โดยใชทฤษฎของสไตเนอร (steiner’s theorem) หรอทฤษฎแกนขนาน (parallel axis theorem) ซงเขยนเปนรปของสมการไดวา
= cm + Md2 ................... (8-22)
cm คอโมเมนตความเฉอยของวตถมวล M รอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวล
คอ โมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนซงขนานกบแกนทผานจดศนยกลางมวล
และหางเปนระยะ d
ฟสกสราชมงคล
198
P(Xcm + a, Ycm + b)(Xcm ,Ycm)
mi
b yidC
xi
a
Y
Ycm
Xo Xcm
รป 8-13 การพสจนทฤษฎแกนขนาน ถาทราบคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด C กจะสามารถหาคาโมเมนตของความเฉอยทผานจด P ได
การพสจนหาความสมพนธของสมการ (8-22) เราจะกำาหนดใหจด C เปนจดศนยกลางมวลของวตถรปใด ๆ มพนทภาคตดขวางดงรป 8-13 มพกดท (xcm , ycm , zcm = 0) ใหแกนหมนทผานจด C มทศตงฉากกบระนาบของกระดาษและแกนหมนทจ ด P ซ งมแกนขนานกบแกนทผ านจดศนยกลางมวล P จะมจดพกดอยท (xcm+a ; ycm+b , zcm = 0) และระยะระหวางแกนทงสองมคา d ซงเทากบ อนภาคมวล mi อยหางจากจ ด C = และจ ด P = ค า โมเมนต ของความเฉอยรอบแกนทผานจด P มคาเทากน
= mi {(xi -a)2 + (yi - b)2}= mi - 2amixi - 2bmiyi + (a2
+ b2)mi
เนองจาก คา xcm และ ycm เปน 0 เพราะเปนจดศนยกลางมวล ดงนน mixi = xcmmi = 0 miyi = ycmmi = 0
= mi = cm + Md2
พสจนสมการ (8-22) ตามตองการ
ตวอยาง 8-9 จงหาโมเมนตความเฉอยของแทงกลม ใหแกนหมนอยทปลายแทง
หลกการคำานวณ จากรป 8-10 แกนหมนอยทปลายแทง = M2 ซงได
ม า จ า ก ก า ร อ น ท เ ก ร ต อ ย า ง ไ รกตามเราสามารถใชสมการ (8-22) ไดโดยไมตองผานการอนทเกรตกได
ฟสกสราชมงคล
199
จากรป 8-8 cm = และ d = แทนลงในสมการ (8-22) จะได
= + M =
ตวอยาง 8-10 จงหาโมเมนตความเฉอยของจานบางสมำาเสมอ แกนหมนอยในแนวตงฉากกบขอบจาน
หลกการคำานวณ cm = และ d = R ดงนน
= + MR2
=8-8 ทอรค______________________________________________________
ทอรค คอแรงทกระทำาใหวตถหมน ขนอยกบขนาดของแรงและตำาแหนงทแรงกระทำาตวอยางเชน มนงายกวากนมากทจะออกแรงผลกประตทลกบดมากกวาทบานพบ
รป 8-14 แรง F1 และ F2 กระทำาบนระนาบของวตถ ทำาใหวตถหมนไดรอบจด O
ในรป 8-14 แรง F1 ทำาใหวตถหมนรอบแกน O อตราการหมนจะขนอยกบขนาดของแรง F1 และระยะทตงฉากกบแรง 1 แตถา 1 = 0 วตถจะไมมการหมน ระยะ 1 เปรยบเทยบไดกบดามจบของประแจเราสามารถขนนอตดวยประแจทมดามยาวไดงายกวาดามทมขนาดสน ระยะ 1 จงมชอเรยกว า
ฟสกสราชมงคล
200
F1
แขนโมเมนตของ F1 ทศทางของแรง F1
แขนโมเมนตของ F2
ทศทางของแรง F2
A
OB
F2
12
แขนโมเมนตของแรง F1 และ F1 1 เรยกวา ทอรคหรอโมเมนตของแรงรอบจด O แทนดวยอกษรกรก (แกมมา)
= F ................... (8-23)
แขนของโมเมนต F1 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F1
แทนดวย 1 แขนของโมเมนต F2 คอ ระยะทลากจากจดหมนตงฉากกบแรง F2
แทนดวย 2
แรง F1 ทำาใหวตถหมนทวนเขมนาฬการอบจด O ขณะทแรง F2
ทำาใหวตถหมนตามเขมนาฬการอบจด O ถากำาหนดใหทอรคหมนทวนเขมเปนบวก และตามเขมเปนลบ ดงนน
1 = +F1 1 และ 2 = -F2 2
ถาแรงทกระทำาผานแกนหมน แขนของโมเมนตจะเปนศนย ทอรคกจะเปนศนยดวย หนวยของทอรคคอ นวตน-เมตร (Nm)
รป 8-15 = r F รปนทศทางของ ชลงไปในกระดาษ
แรง F สามารถแตกออกเปน 2 แนว คอ F1 ในแนวขนานกบ r และ F2 ในแนวตงฉากกบ r ; F1 = Fcos ไมเกดทอรค เพราะแขนโมเมนตผานจดหมน สวน F2 = F sin ทำาใหเกดทอรค ขนาดของ = rF2 = rFsin สามารถเขยนอยในรปของสมการทางเวกเตอรไดดงน
= r F ................... (8-24)
ฟสกสราชมงคล
201
FF1
r F2
O
r sin = ดงนน ขนาดของ เทากบ F จากรป 8-15 ทอรค ม ท ศ ช ล ง ไ ป ใ น ก ร ะ ด า ษ ซงเราสามารถหาไดจากกฎของมอขวา
8-9 ท อ ร ค แ ล ะ ค ว า ม เ ร งเชงมม______________________________________
ใหอนภาคมวล m อยหางจากแกนหมนเปนระยะ r แรงสทธทกระทำาตออนภาคเทากบ F แยกออกเปน 2 แรงคอ F ในแนวตงฉาก หรอรศม และ F สมผสกบเสนทางการเคลอนท
จากกฎขอทสองของนวตน จะได
F = ma ................... (8-25)
จากสมการ (8-10) a = r แทนลงในสมการ (8-25) คณสมการทง 2 ขางดวย r จะได
Fr = mr2 ................... (8-26)
Fr คอทอรค และ mr2 คอโมเมนตความเฉอยของอนภาค เขยนใหมไดเปน
= อนภาค
สมการบนเปนทอรคของอนภาคเพยงตวเดยว ถาตองการหา ของอ น ภ า ค ท ก ต ว บ น ว ต ถ กตองบวกทอรคของแตละอนภาค ซ งแตละอนภาคทอยในวตถแขงเกรงเ ด ย ว ก น จ ะ ม ค ว า ม เ ร ง เ ช ง ม ม เทากนหมด ดงนนทอรครวมจะไดวา
= วตถ ................... (8-27)
คอ ทอรครวมทเกดจากแรงกระทำาจากภายนอก สวนทอรคทเ ก ด จ า ก แ ร ง ภ า ย ใ น จ ะหกลางกนหมด เพราะเปนแรงคกรยาและปฏกรยา สมการ (8-27) ใชสำาหรบ
ฟสกสราชมงคล
202
ก ร ณ ข อ ง ก า ร ห ม น ซ ง ท จ ร งกมาจากกฎขอทสองของนวตน F = ma รปลกษณะของสมการจงคลาย ๆ กน
ตวอยาง 8-11 ลกกลงมวล 50 kg รศม 0.1 m หมนรอบแกนไดโดยไ ม ม ค ว า ม ฝ ด พ น เ ช อ ก ร อ บลกกลงทรงกระบอกตน จงหาความเรงเชงมม เมอดงปลายเชอกดวยแรงคงท 20 Nหลกการคำานวณ = (20 N)(0.1 m)
= 2.0 Nmความเรงเชงมม =
= = 8 rads-2
ตวอยาง 8-12 จงหาความเรงของมวล m และความเรงเชงมมของลกกลง
รป 8-16 แผนภาพแทนแรงของตวอยาง 8-12
ฟสกสราชมงคล
203
การทดลอง
การทดลองเรองทอรค กดทรปภาพหรอทนเพอเขาสการทดลอง
หลกการคำานวณ เขยนแผนภาพแทนแรงของวตถทงสองอสระ
จากกน ดงรป 8-16จากกฎขอทสอง
mg – T = ma จากสมการ (8-27) จะได
RT = ลกกลง =
ความเรวลงของมวลจะเทากบความเรวแนวเสนสมผสของลกกล ง เชนเดยวกน ความเรงของมวล m กจะเทากบ ความเรงแนวเสนสมผสของลกกลง จากสมการ (8-10) จะได a = R แทนลงไปในสมการทสอง จะได
RT = MRa , T = Ma แทนลงไปในสมการแรกจะได
mg - Ma = ma
a =
=
ขอสงเกต แรงตง T จะไมเทากบนำาหนก mg และความเรง a กนอยกวา g แตถา M = 0 , T = 0 และ a = g มวล m จะตกลงมาแบบอสระ
มวล m เรมตกจากทระดบความสง h ความเรว v หาไดจากสมการ = 2ah
กรณน ความเรวตน v0 = 0 จะได
v =
ฟสกสราชมงคล
204
=
เทากบตวอยางท 8-5
ตวอยาง 8-13 มวล m1 คลองผานรอกผกตดเขากบมวล m2 ทำาใหมวล m1 ไถลไปบนพนทไมมแรงเสยดทาน กำาหนดใหรอกทำาจากทรงกระบอกกลวงบางมมวล M รศม R ขณะหมนเชอกไมไถล จงหาความเรงของมวลแตละกอน ความเรงเชงมมของรอก และความตงของเสนเชอก
หลกกา
หลกการคำานวณรป 8-17 (b) ใสแรงทกแรง ตงแกนพกดและกำาหนดทศทางบน
มวลแตละกอนใหครบ สงเกตวา T1 และ T2 ไมเทากน แมจะเปนเสนเชอกเสนเดยวกน เหตผลเนองจากรอกมมวล
จากกฎขอทสอง สมการการเคลอนทบนมวล m1 และ m2
T1 = m1a1 .................. (8-28)
และ m2g - T2 = m2a2
.................. (8-29)
แรงปฏกรยา N2 กระทำาผานจดศนยกลางมวลของรอก ดงนน จงไมม ท อ ร ค เ ก ด ข น ส ม ก า รการเคลอนทแบบหมนบนรอกกคอ
T2R - T1 R = = (MR2).................. (8-30)
เพราะเชอกไมลนไถล ดงนน
ฟสกสราชมงคล
205
รป 8-17 (a) ระบบในตวอยาง 8-13
a1 = a2 = R................... (8-31)
แทนลงในสมการ (8-30) จะได T2R - T1R = MRa1
จ า ก ส ม ก า ร (8-29) แ ล ะ (8-30)
จากสมการทง 3 มตวแปร 3 ตว จ ำานวนสมการเทากบจ ำานวนตวแปรจงสามารถแกสมการหา T1 , T2 และ a1 ไดดงน
a1 =
แทนคากลบลงไปในสมการ (8-28) และ (8-29) จะได
T1 =
T2 =
วเคราะหโจทยถามวล m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมากกวา m2 มาก ๆ ความเรง
จะมค านอย และ T2 กจะมขนาดเกอบเทา m2g ในทางกลบกนถา m2
มากกวา m1 หรอ M มวลใดมวลหนงมาก ๆ ความเรงของ m2 เกอบจะเทากบ g หรอเหมอนกบการตกแบบอสระ
8-10 ง า น แ ล ะ ก ำา ล ง ข อ ง ก า รหมน___________________________________
ฟสกสราชมงคล
206
รป 8-18 งานของลกกลงทเกดจากการกระทำาของแรง F
แรง F ทำาใหลกกลงรศม R เคลอนทไดระยะกระจดเชงมม ถามมนมขนาดเลกมาก ๆ แรงจะคงทในชวงเวลาสน ๆ งานททำาโดยแรง F คอ
dW = Fdsแต ds = Rd ดงนน
dW = FRdFR คอทอรค ( ) แทนลงไปเราจะได
dW = d ................... (8-32)
ใหทอรคคงทระหวางทลกกลงหมนจาก 1 ไป 2 จะไดW = (2 - 1) =
................... (8-33)
สรปไดวา งานททำาโดยทอรคคงทจะเทากบผลคณของทอรคกบระยะกระจดเชงมม
ทอรค มหนวยเปน Nm
แรงในรป 8-18 ถาเปนแรงในแนวสมผส จะทำาใหเกดงานได แตถาเปนแรงในแนวรศมจะไมมงานและทอรค เพราะไมมระยะกระจดและแขนของโมเมนตในแนวรศม
จากสมการ (8-32) หารสมการทง 2 ขางดวย dt จะได
=
คออตราการทำางาน หรอกำาลง (P)
คอความเรวเชงมม () ดงนนP = ...................
(8-34)
ฟสกสราชมงคล
207
เปนสตรสำาหรบการเคลอนทแบบวงกลม เปรยบไดกบ P = Fv ซงเ ป น ก ร ณ ก า ร เ ค ล อ น ท แบบเชงเสนตวอยาง 8-14 เพลาของเคร องยนตหมนดวยความเรว 3,600 rpm ขณะสงกำาลง 80 hp ไปยงลอหลง จงคำานวณหาทอรคหลกการคำานวณ
=
= 120. rads-1
80hp = (80hp)(746 Whp-1) = 59,700 W
แทนลงในสมการ(8-34) = P/= 59700 W/120 rads-1
= 158 Nm
ตวอยาง 8-15 มอเตอรไฟฟาขบหนเจยรโดยใหทอรค 10 N.m โมเมนตความเฉอยของใบเจยร = 2 kg.m2 ถาเร มหมนจากหยดนง จงหางาน พลงงานจลน และกำาลงเฉลยของมอเตอรหลงจากหมนไปได 8 วนาทหลกการคำานวณ
จาก = คำานวณหาความเรงเชงมมไดเทากบ 5 s-2
ความเรวเชงมมหลงจาก 8 s หาจาก = t = (5s-2)(8s)
= 40 s-1
พลงงานจลนของการหมน K= 2
= (2 kgm2)(40 s-1)2 = 1,600 Jระยะกระจดเชงมมเมอหมนไปได 8 s คอ
= t2 = (5s-2)(8s)2 = 160 rad งานของมอเตอรคอ W =
ฟสกสราชมงคล
208
= (10 Nm) (160 rad)= 1,600 J
กำาลงเฉลย Pav == 200 Js-1
= 200 Wขอสงเกต ใชสมการ P = ไมไดเนองเพราะ ไมคงท
อยางไรกตาม สามารถคำานวณหางานทงหมดได โดยวธการอนทเกรต กำาลง P จาก 0 ถง 8 s ดงน
W =
=
=
=
= 1,600 Jกำาลงชวขณะ ณ เวลา 8s คอ = (10 Nm)(40 s-1) =
400 Wเนองเพราะความเรวเชงมมเพมขนเปนเชงเสน ดงนน กำาลงเฉลย
เ ป น ค ร ง ห น ง ข อ ง ค า ส ง ส ด
= = 200 W
ฟสกสราชมงคล
209
วดโอเพอการศกษา
ไจโรสโคป มคณสมบตชไปในทศทางเดยวตลอดเวลา โดยไมตองคำานงถงตำาแหนงของฐานวาจะเอยงไปอยางไร ในวดโอมการทดลองใหเหนอยางชดเจน บนกระสวยอวกาศ
8-11 แ ก น ห ม นค ง ท ______________________________________________
ถาแกนหมนไมไดหยดนงอยกบท เพราะมการเลอนตำาแหนงและหมนไปพรอม ๆ กนตวอยางเชน ลกบอลไหลลงมาตามพนเอยงโดยไมไถล เปนตน
การเคลอนทในลกษณะน พลงงานจลนทงหมดของวตถจะเทากบพลงงานจลนเลอนตำาแหนงบวกกบพลงงานจลนของการหมน กำาหนดใหมวล M กลงไปดวยความเรว v และหมนดวยความเรวเชงมม พลงงานจลนทงหมด
K = Mv2 + c2
c คอ โมเมนตของความเฉอยของทรงกระบอกรอบแกนหมนผานจดศนยกลางมวล
ตวอยาง 8-16 พนเชอกรอบทรงกระบอกหลายรอบ ยดปลายเชอกไว ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา จงหาความเรงและความตงในเสนเชอกของทรงกระบอก
รป 8-19 ปลอยใหทรงกระบอกตกลงมา โดยจบปลายเชอกไวดานหนง
หลกการคำานวณจากกฎขอท 2 (เคลอนยายตำาแหนง) F = ma
Mg - T = Ma................... (8-35)
ฟสกสราชมงคล
210
สมการการหมน =
TR = = (MR2)................... (8-36)ถาเชอกไมลนไถลขณะคลายตวออก ความเรงเชงเสน
a = R ................... (8-37)
แทน = ลงไปในสมการ (8-36) แกสมการหา a และ T ได
ดงน
a =
T =
ตวอยาง 8-17 โบวลงลกหนงกำาลงกลงลงมาโดยไมมการลนไถลบนพนเอยงทำามม กบระดบ จงหาความเรงของลกโบวลงตามแนวพนเอยง
รป 8-20 แผนภาพแทนแรงของลกโบวลงขณะทกำาลงกลงลงมาบนพนเอยง
หลกการคำานวณจากกฎขอท 2 mg sin -f = maจากสมการการหมน
fR = =
ถาลกโบวลงไมลนไถล จาก a = R แทน = a/R ลงในสมการบน แกสมการหา a และ f ไดดงน
a = g sin
ฟสกสราชมงคล
211
f = mg sin
วเคราะหโจทย ความเรงทคำานวณไดเทยบไดกบ เทาของมวลทไถลลงบนพน
เอยง ทำามม กบระดบโดยทไมมแรงเสยดทาน ถงกระนนทบอลกลงไดโดยไมลนไถลกเพราะพนมแรงเสยดทาน และสมประสทธความเสยดทาน (s) จะตอง
มคาเทากบ เปนอยางนอย ดงนนถาพนเอยงมาก
s กจะตองมากตามเพอปองกนการลนไถล
8-12 โมเมนตมและการดลเชงมม___________________________________
รป 8-21 โมเมนตมเชงมม
พจารณามวล m เคลอนทบนระนาบดวยความเรว v รอบแกนหมน O มโมเมนตมเชงเสน = mv เราจะนยามโมเมนตมเชงมม L ของอนภาค รอบแกนหมน O มทศทางตงฉากกบระนาบ เปนผลจากการคณของโมเมนตมเชงเสนกบระยะจากแกนหมนตงฉากกบเสนทางการเคลอนทของอนภาค
โมเมนตมเชงมม = L = mvr ................... (8-38) ในทำานองเดยวกบทอรค อาจเรยกโมเมนตมเชงมมวา เปน
โมเมนตของโมเมนตมเชงเสน
ฟสกสราชมงคล
212
ใหอนภาคมวล m ภายในกอนวตถกำาลงหมนรอบจด O ดงรป 8-21b ดวยความเรวเชงเสน v ซงความเรวเชงเสนมความสมพนธกบความเรวเชงมม ดงน v = r แทนคาลงไปในสมการ (8-38) จะได
L = mr2 เปนโมเมนตมเชงมมของอนภาคเดยว
จะหาโมเมนตมเชงมมของอนภาคทงหมดไดจากผลรวมของอนภาคทงหมดในวตถ แตอนภาคภายในวตถกอนเดยวกน จะม เทากน จงแยก ออกเปนตวรวมได
mr2 = mr2
mr2 คอโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนหมน ( ) จะไดL = เ ป น โ ม เ ม น ต ม เ ช ง ม ม ข อ ง ว ต ถ
................... (8-39)
เมอเทยบกบโมเมนตมเชงเสน P = mv มสวนคลายกน มคาเปนบวกเสมอ ดงนน L จะมทศทางเดยวกบ ทอรคคงทกระทำาบนวตถทมโมเมนตความเฉอย ในชวงเวลา t1 ถง
t2 ทำาใหความเรวเชงมมเปลยนจาก 1 ไปเปน 2 จะได
= =จดรปสมการใหม
(t2 - t1) = 2 - 1 = L2 - L1 = L................... (8-40)
ทอรคคณกบเวลาเรยกวา การดลเชงมม แทนดวยสญลกษณ Jการดลเชงมม = J = (t2 - t1) ...................
(8-41)การดลเชงมม คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในกรณททอรคไมคงท
J = ...................
(8-42)
ฟสกสราชมงคล
213
จากสมการ (8-40) สรปความสมพนธไดดงน
J = 2 - 1 = L2 - L1................... (8-43)
จากสมการ (8-39) สามารถเขยนอยในรปของสมการอนพนธ
= = เทยบกบสมการ (8-27)
= ................... (8-44)
รป 8-22 อธบายโมเมนตมเชงมมในรปของเวกเตอร
L = r p = r mv................... (8-45)
r เปนเวกเตอรบอกตำาแหนงของอนภาคเทยบกบจด OL เปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบของรป มขนาดเทากบ mvr
8-13 ก า ร ค ง ต ว ข อ ง โ ม เ ม น ต มเชงมม________________________________
ฟสกสราชมงคล
214
L = r x
รป 8-23 การดลเชงมมของจานหมนแตละใบ คอการเปลยนแปลงของ
โมเมนตม
จานหมน 2 ใบดงรป 8-23 มโมเมนตความเฉอย และ และมความเรวเชงมมเรมตน 0 และ 0 ตามลำาดบ ประกบจานทงสองเขาหากนดวยแรงในแนวระดบ แรงนจะไมทำาใหเกดทอรค เพราะวาอยแกนเดยวกนกบแกนหมน รอสกครจานทงสองจะมความเรวเชงมมเทากบ
ขณะทจานประกบกน จานใบใหญใหทอรค กบจานใบเลก สวนจานใ บ เ ล ก ก จ ะ ใ ห ก บจานใบใหญ หลงจากทจานมความเรวเชงมมรวมกน ทอรครวมเปนศนย ซงกเปนไปตามกฎขอทสามของนวตน เหตผลกเพราะวา เปนแรงกรยาและคกรยา กระทำาทจดเดยวกน มขนาดเทากนแตทศทางตรงกนขามกน ดงนน ทอรคของจานใบใหญจะเทากบทอรคของจานใบเลก แตทศทางแตกตางกน = - หรอเขยนอยในรปของการดลเชงมม J = - J
จากสมการ (8-43) J = - 0J = - 0
เพราะ J = - J ดงนน - 0 = -( - 0)จดรปใหม 0 + 0 = (+) ................... (8-46)ขางซายของสมการ (8-46) เปนโมเมนตมเชงมมรวมกอนประกบ
จาน สวนสมการดานขวาเปนโมเมนตมเชงมมรวมหลงประกบจาน ไมมทอรค
ฟสกสราชมงคล
215
ภายนอกมากระทำากบระบบ สามารถสรปไดวา ถาไมมทอรคภายนอกกระทำากบระบบหรอทอรคสทธของระบบเปนศนย โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท เราเรยกวา กฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม
รป 8-24 พสจนกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม
รป 8-24 นกกายกรรมปลอยมอจากเชอก ตลงกากลางอากาศ ขาและแขนของเขาเหยยดตรง ถาขณะนนเขาหดตวลงโดยยอเขาและมอ ทำาใหโมเมนตความเฉอยรอบจดหมนของตวเขาลดลง เมอระบบไมมทอรคกระทำาจากภายนอก โมเมนตมเชงมมของระบบจะคงท และความเรวเชงมมจะเพมขน นนคอนกกายกรรมจะหมนตวกลางอากาศไดเรวขน
ตวอยาง 8-18 จากรป 8-23 กำาหนดใหจานใบแรกมมวล 2 kg มรศม 0.2 m ค ว า ม เ ร ว เ ช ง ม ม
ฟสกสราชมงคล
216
วดโอเพอการศกษา
การทดลองกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมมบนเกาอหมน คลกครบ
เร มตน 50 rads-1 จานใบทสองมมวล 4 kg มรศม 0.1 m ความเรวเชงมมเรมตน 200 rads-1 จงหาความเรวเชงมมสดทายหลงจากจานประกบกน อยากจะทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไมหลกการคำานวณ
โมเมนตความเฉอยของจานใบแรก = (2 kg)(0.2 m)2 = 0.04 kgm2
โมเมนตความเฉอยของจานใบทสอง = (4 kg)(0.1 m)2 = 0.02 kgm2
จากกฎการคงตวของโมเมนตมเชงมม จะได(0.04 kgm2)(50 rads-1) + (0.02 kgm2)(200
rads-1)= (0.04 kgm2 + 0.02
kgm2) = 100 rads-1
พลงงานจลนเรมตนกอนประกบ
K0 = (0.04 kgm2)(50 rads-1)2 + (0.02 kgm2)(200 rads-1)2
= 450 Jพลงงานจลนสดทายหลงประกบ
K = (0.04 kgm2 + 0.02 kgm2)(100 rads-1)2
= 300 Jขอสงเกต พลงงานจลนสญเสยไป 150 J ระหวางการประกบ สรปไดวาพลงงานจลนอาจจะไมคงท ถงแมวาไมมแรงและทอรคจากภายนอกมากระทำากบระบบ
ตวอยาง 8-19 นกกลามหนงามคนหนงนงอยบนจดศนยกลางของเกาอหมน กางแขนออกไปในแนวระดบมอแตละขางถอมวล 5 kg เกาอหมน 1 รอบในเวลา 2 วนาท จงหาความเรวเชงมมเมอเขาหบแขนเขาหาตว กำาหนดใหนกกลามผนมโมเมนตความเฉอยเทากบ 6 kg.m2 ระยะวดจากนำาหนกถงแกนหมนขณะเหยยดแขนคอ 1 m และหบแขนคอ 0.2 mหลกการคำานวณ
ฟสกสราชมงคล
217
รป 8-25ถาเกาอหมนไมมแรงเสยดทาน ทอรคจากภายนอกระบบไมมจะเปน
ศนยโมเมนตมเชงมมคงตวหรออนรกษ นนคอ โมเมนตมเชงมมเรมตน = โมเมนตมเชงมมสดทาย
ii = ffi และ i คอโมเมนตความเฉอย และความเรวเชงมมเรมตนf และ f คอโมเมนตความเฉอยและความเรวเชงมมสดทายโมเมนตความเฉอยรวม
= คน + นำาหนก
i = 6 kgm2 + 2(5 kg)(1.0 m)2
= 16 kgm2
f = 6 kgm2 + 2(5 kg)(0.2 m)2
= 6.4 kgm2
i = 2 ( rads-1)
f =
= rads-1 = 2.5 rads-1 = 7.85 rads-1
ความเรวเชงมมสดทายมากกวาเรมตน
พลงงานจลนเรมตน K0 = (16 kgm2)( rads-1)2
= 79 Jพลงงานจลนสดทาย K = (6.4 kg.m2)
(2.5 rads-1)2
ฟสกสราชมงคล
218
= 197 J
คำาถาม พลงงานจลนสดทายมากกวาเรมตนถกตองหรอไมตวอยาง 8-20 ประตกวาง 1 m มวล 1.5 kg หมนไปมารอบบานพบโดยไมมแรงเสยดทาน ยงลกปนมวล 10 กรม ดวยความเรว 400 ms-1 ตงฉากกบบานประต ฝงเขาไปบรเวณจดกงกลางของประต จงหาความเรวของประตหลงจากถกยง อยากทราบวาพลงงานจลนของระบบอนรกษหรอไมหลกการคำานวณ
โมเมนตมเชงมมเรมตนL = mvr
= (0.01 kg)(400 ms-1)(0.5 m)= 2.0 kgm2s-1
โมเมนตมเชงมมสดทาย รวม โดยท รวม = ประต + ลกปน
ประต =
== 5.0 kgm2
ลกปน = mr2
= (0.01 kg)(0.5 m)2
= 0.0025 kgm2
ไมมทอรคกระทำาจากภายนอก ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบคงท
mvr = รวม 2.0 kgm2s-1 = (5.0 kgm2 + 0.0025
kgm2) = 0.4 rads-1
ลกปนฝงลงไปในบานประต ลกษณะแบบนพลงงานจะไมอนรกษ
พลงงานจลนเรมตน Ki = mv2
= (0.01 kg)(400 ms-1)2
= 800 Jพลงงานจลนสดทาย Kf = 2
ฟสกสราชมงคล
219
= (5.0025 kgm2)(0.4 rads-
1)2 = 0.4 J
8-14 เ ว ก เ ต อ ร เชงมม_____________________________________________
รป 8-26 เวกเตอรทศทางของความเรวเชงมม
รป 8-27 เวกเตอร L คอการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมในชวงเวลา t เนองจาก
ฟสกสราชมงคล
220
ทศทางการ
มทอรคซงเกดจากนำาหนกมากระทำากบระบบ ; เวกเตอร L มทศเดยวกบ
ความเรวเชงมม โมเมนตมเชงมม และทอรค ปรมาณเหลานสามารถแ ส ด ง ด ว ย ส ญ ล ก ษ ณ เวกเตอร สวนทศทางหาไดจากกฎของมอขวา ตวอยางเชน ถาตองการทราบทศทางของความเรวเชงมมกใหใชมอขวาหรอสกร กำารอบแกนหมน หมนมอตามทศทางการหมน นวโปงและสกรจะชไปในทศทางของ
ไจโรสโคป ดงรป 8-27 สามารถหมนรอบแกนหมน O ไดอยางอสระ แรงทกระทำาบนไจโรสโคป มอยเพยงแรงเดยว คอ นำาหนกของลกขาง w มทศลงทจดศนยกลางมวลของไจโรสโคป ทอรค จากนำาหนก w มทศทางตามรป ขณะทลกขางหมน(วธจะทำาใหลกขางหมน ใหพนเชอกบนแกนของลกขางหลาย ๆ รอบ ดงลง ลกขางกจะหมนดวยความเรวเชงมม ) ไจโรสโคบจะมโมเมนตมเชงมมเร มต น L = ทอรคสทธจะท ำา ใหโมเมนตมเชงมม
เปลยนแปลงไป (L) และทำาใหไจโรหมนไปเปนมม ดงสมการ = การเคลอนทของลกขางรอบแกน O เรยกวา การควง (precession)
เรยกวา ความเรวเชงมมของการควง ใชสญลกษณ (โอเม
กา) แทน
= = = = ................... (8-47)
ความเรวเชงมมของการควง เปนสดสวนกลบกบความเรวเชงมมของลกขาง ถาลกขางหมนเรว การควงจะชา แตถาลกขางหมนชาการควงจะเรว อยางไรกตามถาลกขางไมหมน กไมมโมเมนตมเชงมม L ตงแตเรมตนแลว ไจโรสโคปกจะไมมการควง
ตวอยาง 8-21 จากรป 8-27 ลกขางหมนรอบตวเองในทศทางทวนเขมนาฬกา ดวยอตราเรว 30 รอบตอวนาท มวลของลกขาง 0.5 kg ม โมเมนตความเฉอย = 5 10-4 kgm2 จดศนยกลางมวลของลกขางหางจากจดหมน 4 cm จงคำานวณหาความเรวเชงมมของการควงหลกการคำานวณ จากสมการ (8-47)
ฟสกสราชมงคล
221
= =
=
= 2.1 rads-1
ตามกฎมอขวา จะมทศทวนเขมนาฬกา เมอมองจากดานบน
ฟสกสราชมงคล
222
บรรยายลงในกระดานฟสกส
เมอไมมแรงบดหรอทอรคกระทำาจา กภายนอก โมเมนตมเชงมมทงขนาด และทศทางจ ะคงท ดงเชน เขมทศไจโร สโคปทหมนอยในเรอ ถ าไมมทอรค ภายนอกไปกระท ำามนจะ ไม เปล ยนทศทาง แมวาเรอลำานนจะเคลอนทรอบ โลกไปทใดกตามด งรป เขมทศไจโรจง นำาไปใชในระบบนำา รอง ปจจบนมระบบ คอมพวเตอรในการคำานวณ ดงนนเมอเรอเปลยนตำาแหนงไป คอมพวเตอรจะคำานวณเทยบกบตำาแหนงของเขมทศไจโ ร พ ร อ ม ไ ป ก บ ข อ ม ล จ า ก ต ว ว ด
แบบฝกหดเรองการหมน
1. ก) จงหามมในหนวยเรเดยนทสวนโคงยาว 1.50 m บนเสนรอบวงของวงกลมรศม 2.50 m รองรบทจดศนยกลาง มมนมคาเทาใดในหนวยองศา [ ตอบ 0.600 rad = 34.4 องศา ]ข) สวนโคงยาว 14.0 cm บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนงรองรบมม 128 องศา ทจดศนยกลาง วงกลมนมรศมเทาใด [ ตอบ 6.27 cm ]ค) มมระหวางเสนรศมสองเสนของวงกลมรศม 1.50 m มคาเทากบ 0.700 rad จงหาความยาวของสวนโคงบนเสนรอบวงของวงกลมระหวางตำาแหนงทเสนรศมสองเสนนตดกบเสนรอบวง [ ตอบ 1.05 m ]
2. มม ทลอรถจกรยานลอหนงหมนไปมคา โดยท , และ เปนคาคงตวบวกททำาให มหนวยเปนเรเดยนเมอเวลา มหนวยเปนวนาท
ก) จงคำานวณความเรงเชงมมลอในรปของฟงกชนของเวลา [ ตอบ ]
ข) ทเวลาใดความเรวเชงมมของลอมคาไมเปลยนแปลงชวขณะ [ ตอบ ]
3. ลอจกรยานลอหนงกำาลงถกทดสอบทรานซอม ความเรวเชงมมของลอมคา 4.00 rad/s ทเวลา
ฟสกสราชมงคล
223
ทดสอบกอนและหลง
วธทำา ให ใสชอ สกล เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10 ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ ให
เลอก 5 และ 10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท
เรอง การหมน
แบบฝกหดทายบทพรอม
แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ
t = 0 และ ความเรงเชงมมของลอมคาคงตว -1.20 rad/s2 ซลอ OP ซ หนงของลอทบซอนกบแกน +x ท t = 0 ดงรป
ก) ความเรวเชงมมของลอท t = 3.00 s มคาเทาใด [ ตอบ 0.40 rad/s ]ข) ซลอ OP ทำามมเทาใดกบแกน +x ทเวลาน
[ ตอบ 6.60 rad ]
4. ใบมดปนอาหารเครองหนงหมนดวยความเรงเชงมมคงตว 1.50 rad/s2 ก) ถาใบมดเรมหมนจากหยดนง นานเทาใดใบมดจงจะมความเรวเชงมม
36.0 rad/s [ ตอบ 24.0 s]ข) ใบมดหมนไปไดกรอบในชวงเวลาน [ ตอบ 68.8 รอบ ]
5. ท t = 0 ลอฝนมดลอหนงมความเรวเชงมม 24.0 rad/s ลอฝนมดมความเรงเชงมมคงตว 30.0 rad/s2 จนกระทงอปกรณตดไฟทำางานท t = 2.00 s จากนนลอหมนทอตราเรงเชงมมคงตวไปเปนมม 432 rad เมอหยด
ก) ลอหมนไปเปนมมทงหมดเทาใดในระหวาง t = 0 จนกระทงหยด [ ตอบ 540 rad ]
ข) ลอหยดหมนทเวลาเทาใด [ ตอบ 12.3 s ]ค) ความเรงในขณะทลอหมนชาลงมคาเทาใด [ ตอบ -8.17 rad/s2 ]
6. ลอๆ หนงหมนดวยความเรวเชงมมคงตวท 6.00 rad/s ก) จงหาความเรงในแนวรศมของจดๆ หนงซงอยหาง 0.500 m จาก
แกนโดยใชความสมพนธ [ ตอบ = 18.0 m/s2 ]ข) จงหาอตราเรวในแนวเสนสมผสของจดนและคำานวณหาความเรงใน
แนวรศมจากความสมพนธ [ ตอบ = 3.00 m/s, = 18.0 m/s2 ]
7. ลกกลมมวล 1 kg กลงไปบนพนราบดวยความเรว 20 m/s แลวเคลอนทขนไปบนพนเอยงซงทำามม 30 องศา กบแนวระดบ
ก) พลงงานจลนทงหมดของลกกลมเปนเทาใดขณะอยบนพนราบ [ ตอบ 280 J ]
ข) ลกกลมจะขนไปบนพนเอยงไดไกลเทาใด [ ตอบ 57.2 m ]
ฟสกสราชมงคล
224
8. ไมเมตรอนหนงมมวล m ยาว ตงตรงบนพนดวยปลายขางหนง ถาปลอยใหไมเมตรนลมลงมาโดยใหถอวาปลายไมทแตะพนคงอยทตำาแหนง
เดม ไมจะฟาดพนดวยอตราเรวเชงมมเทาใด [ ตอบ ]9. ไมคทาทอนหนงทำาจากทรงกระบอกโลหะเรยวมวล M และยาว L ทปลาย
แตละขางมปลอกยางมวล m สวมอย และแตละปลอกสามารถมองไดวาเปนอนภาคในปญหาขอน จงหาโมเมนตความเฉอยทงหมดของไมคทารอบแกนหมนโดยปกต (ตงฉากกบไมคทาผานจดกงกลางของไม) [ ตอบ ]
10. ทรงกลมเหลก 4 ลก แตละลกมองวาเปนจดมวล 0.200 kg ได วางทรงกลมทงสเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 0.400 m และตอกนดวยแทงเบา ดงรป จงหาโมเมนตความเฉอยของระบบรอบแกน
ก) ทผานจดศนยกลางของสเหลยมจตรสและตงฉากกบระนาบสเหลยม (แกนทผานจด O ในรป)
ข) ทแบงครงดานตรงขามสองดานของสเหลยมจตรส (แกนตามเสน AB ในรป)
ค) ทผานจดศนยกลางของทรงกลมทดานบนซายและดานลางขวาและผานจด O
11. สวนหนงของขอตอช นหนง ด งรป มมวล 3.6 kg เราวดโมเมนตความเฉอยของวตถรอบแกนทอยหาง 0.15 m จากจดศนยกลางมวลของวตถได IP = 0.132 kg.m2
โมเมนตความเฉอย Icm ของวตถรอบแกน ขนานทผานจดศนยกลางมวลของวตถมคาเทาใด [ ตอบ 0.051 kg.m2
]
ฟสกสราชมงคล
225
12. จากรป แทงไมบางสมำาเสมอมวล M ยาว L แทงนอาจเปนไมคทาทคนนำาขบวนแหถอ (ไมมปลอกยางทปลายสองขาง) จงคำานวณหาโมเมนตความเฉอยของแทงนรอบแกนผาน O ทระยะหาง h ใดๆ จากปลายดาน
หนง [ ตอบ M(L2 – 3Lh + 3h2) ]
13. ชางประปาคนหนงไมสามารถหมนเกลยวขอตอออกได กเลยเอาเศษทอเกา (“ตวโกง”) สวมไปบนมอจบประแจของเขา แลวเขากใชน ำาหนกตวทงหมดของเขา 900 N ทำาตอปลายของตวโกงโดยการยนบนตวโกง ระยะจากจดศนยกลางของขอตอไปยงจดทนำาหนกกระทำาคอ 0.80 m และมอจบประแจและตวโกงทำามม 19 องศา กบแนวระดบ ดงรป จงหาขนาดและทศของทอรคทเขากระทำาตอขอตอทอ [ ตอบ 680 N.m มทศพงเขาไปในระนาบของรป ]
14. เปลอกทรงกระบอกมวล M และรศม R กลงโดยไมไถลดวยอตราเรว vcm บนผวเรยบแบน พลงงานจลนของวตถมคาเทาใด [ ตอบ Mvcm
2 ]15. โฆษณาชนหนงอางวากำาลงจายออกของเคร องรถยนตคนหนงมคา
เทากบ 200 hp ท 6000 rpm ทอรค ขณะนนมคาเทาใด
ฟสกสราชมงคล
226
16. พดลมกงหนในเครองยนตไอพนเครองหนง ดงรป มโมเมนตความเฉอยขนาด 2.5 kg.m2 รอบแกนหมนของเคร อง ในขณะทกงหนเร มหมน ความเรวเชงมมของกงหนในรปฟงกชนของเวลาคอ
= (400 rad/s3)t2
ก) จงหาโมเมนตมเชงมมของใบพดในรปของฟงกชนของเวลา และใหหาคาของโมเมนตมเชงมมนทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 9000 kg.m2/s ]
ข) จงหาทอรคสทธทกระทำาตอใบพดในรปฟงกชนของเวลา และจงหาทอรคทเวลา t = 3.0 s [ ตอบ 6000 N.m ]
17. ประตกวาง 1.0 m มวล 15 kg ตดบานพบทดานหนงทำาใหสามารถหมนโดยไมมความเสยดทานรอบแกนดง ประตนไมไดใสกลอนไว ตำารวจนายหนงยงลกปนมวล 10 g และอตราเรว 400 m/s เขาไปทตรงกลางประตพอดในทศตงฉากกบระนาบของประต จงหาอตราเรวเชงมมของประตหลงจากทลกปนฝงเขาไปในประตพอด พลงงานจลนมคาคงตวหรอไม [ ตอบ 0.40 rad/s พลงงานจลนสดทายมคาเพยง 1/2000 ของคาเดม ]
18. ชายคนหนงยนอยกลางแปนหมน มอทงสองถอกอนนำาหนกมอละ 2 kg และเหยยดแขนตรงใหกอนนำาหนกหางแกนหมน 1 m และหมนแปนนนดวยอตรา 6 รอบ/นาท โมเมนตความเฉอยเมอเขายนมอเปลารอบแกนหมนเทากบ 10 kg/m2 ถาเขาหดแขนเขามากอนนำาหนกทงสองหางแกนหมน 0.2 m เขาจะหมนในอตรากรอบ/นาท [ ตอบ 8.3 รอบ/นาท ]
19. จงคำานวณหาโมเมนตมเชงมมของเขมวนาทบนนาฬการอบแกนทผานจดศนยกลางของหนาปดนาฬกา เขมนาฬกายาว 15.0 cm และมมวล
ฟสกสราชมงคล
227
6.00 g ใหพจารณาวาเขมนาฬกาเปนแทงวตถผอมบางซงกำาลงหมนดวยความ เร ว เช งม มคงต วรอบปลา ยข างหน ง [ ตอบ 4.71 x 10-6
kg.m2/s ]
20. เมอใชทอรคลพธขนาด 20 N.m กระทำาทลออนหนงทำาใหลอนนหมน จากหยดนงเปน 100 รอบ/นาท ในเวลา 10 วนาท
ก) ใหหาโมเมนตความเฉอยของลอนน [ ตอบ 19.2 kg.m2 ]ข) เมอใชทอรคครบ 10 วนาท นบจากถอนทอรคนนออก ลอนนกหมน
ชาลง จนหยดนงในเวลา 100 วนาท นบจากถอนทอรค ทอรคเนองจากความฝดในการหมนมคา
เทาใด [ ตอบ 2 N.m ]ค) หาจำานวนทงหมดทลอนนหมนไดจากเร มตนจนหยดนงสนท [ 92
รอบ ]
ฟสกสราชมงคล
228