計量経済学講義€¦ · 計量経済学講義 第8回 回帰分析part 2 2013 年11 ⽉1...
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計量経済学 講義第 8 回 回帰分析 Part 2
2013 年 11 ⽉ 1 ⽇（⾦）2 限担当教員: 唐渡 広志研究室: 経済学研究棟4階432号室email: [email protected]: http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/
1
講義の目的
PCによる単純回帰分析の⽅法について学びます。べき乗関数や指数関数の回帰分析について学びます。
keywords: 分散分析表，⾃由度調整済み決定係数，分析ツール（Excel），両対数モデル，弾⼒性，半対数モデル，変化率
教科書: pp. 94 – 126（第3章）
2
【復習1】回帰分析
3
とである。の推定値を計算するこの回帰パラメータ
について回帰モデルのデータサンプルサイズ
,
,
iii
ii
uXYYXn
（単純）回帰分析とは
の推定値の計算公式,
2.3ˆˆ
1.3ˆ2
XY
XX
YYXXSS
i
ii
xx
xy
ii XY ˆˆˆ推定回帰直線 を実績値とよぶ。を理論値とよぶ。 ii YY
残差 3.3ˆˆ iii YYu
残差の特徴 7.30ˆ.2
5.30ˆ.1
ii
i
uX
u
ルール
ルール
残差 = 実績値－理論値
【復習2】回帰分析
4
【決定係数】推定回帰直線のあてはまりの良さを⽰す指標（アール・スクウェア）
16.3ˆ
1
9.3ˆ
22
ˆˆ2
2
2
yy
i
yy
yy
i
i
Su
R
SS
YY
YYR
または
【残差2乗和】残差のばらつきを⽰す指標
を参照
ばらつき理論値の
ばらつき実績値の
15.3ˆ ˆˆ2
yyyyi SSu
【残差分散】残差のばらつきを⽰す指標 17.3
2ˆ
ˆ2
2
nui 【回帰の標準誤差】
2ˆ
ˆ2
nui
【決定係数 =相関係数の2乗】 10.322xyrR
分散分析表 (ANOVA) p.107
5
ばらつき実績値の
ばらつき残差の
ばらつき理論値の
yyiyy SuS 2
ˆˆ ˆ15.3観測データ（実績値）における変動要因（ばらつき）を理論値の変動と残差の変動に分解すること。
モデル全体の妥当性を測る指標（後⽇詳しく勉強）
自由度調整済み決定係数
6
16.3ˆ
12
2
yy
i
Su
R
2n自由度
1n自由度
で割るとの分母・分子を 1ˆ 2 nSu yyi
1
1ˆ
1
2
2
nSn
u
Ryy
i残差2乗和の⾃由度が誤っている
正しい⾃由度に調整した決定係数 18.3ˆ
1
1
2ˆ
1. 2
2
2
2
yyy
i
snS
nu
Radj
自由度調整済み決定係数
例
7
ii XY 1.15.0ˆ
推定回帰直線
896.032628.11
12ˆ
1.
931.026
8.11ˆ
1
22
22
nSnu
Radj
Su
R
yy
i
yy
i
分散分析表 ⾃由度 変動（偏差2乗和） 分散 観測された
分散⽐回帰（理論値） 1 24.2 24.2 26.9残差 2 1.8 0.9 -合計（実績値） 3 26 - -
Excelによる回帰分析：関数
slope 関数 「傾き」= slope ( Yのデータ, Xのデータ)
intercept 関数「切⽚」= intercept ( Yのデータ, Xのデータ)
rsq関数 「決定係数」= rsq ( Yのデータ, Xのデータ)
8
Excelによる回帰分析：近似曲線の描画
9
散布図上で観測点を右クリック近似曲線の追加近似曲線の書式設定「グラフに数式を表⽰する」にチェック「グラフにR-2乗値を表⽰する」にチェック
y = 1.1x + 0.5R² = 0.9308
02468
1012
0 2 4 6 8 10
Excel「分析ツール」(1)
10
1. 「データ」タブ「データ分析」
2. 「データ分析」ダイアログの中から「回帰分析」を選択
Excel「分析ツール」(2)
11
3. 「回帰分析」ダイアログ，YのデータとXのデータを指定
ラベル（変数名）を含める場合は，チェック
Excel「分析ツール」(3)
12
4. 「回帰分析」の出⼒結果
分散分析表11⽉18⽇ごろに勉強
Excel「分析ツール」(4)
13
11⽉11⽇以降に勉強
例題で確認： p.143, 例題12, 表3.18
練習問題 (1)表3.1 (p.95) のデータについて，Excel 関数を⽤いて回帰直線を推定し，決定係数を計算しなさい。また，「分析ツール」の回帰分析を利⽤して以下の空欄を埋めなさい。
14
ˆ,.,
,ˆ22 RadjR
XY ii
練習問題 (2)
15
右のデータ（p.109, 表3.5）について，「分析ツール」の回帰分析を利⽤して以下の空欄を埋めなさい。
ˆ,.,
,ˆ22 RadjR
XY ii
Excel「分析ツール」(5)理論値と残差の出⼒
16
「残差」にチェック
iY理論値iu残差
Excel「分析ツール」(6)
17
出⼒先の指定：デフォルトでは新規ワークシートが⾃動で⽣成されてそこに出⼒。「⼀覧の出⼒先」にチェックをいれて，セル番地を指定すると特定の場所に書き出すこともできる。
直線以外での当てはめ
18
らよいか？を求めるにはどうしたのような式のや cbaaeyaxy cxb ,,
0 5 10 15 20
050
000
1000
0015
0000
x
f(x)
0 5 10 15 20
050
100
150
x
f(x)
指数関数
19
-2 0 2 4 6 8 10 12
020
040
060
080
010
00
x
y
（xを指数とよぶ。c > 1 は定数であり，指数の底 [base] とよばれる）
【復習】特殊な底
20
底が eの指数関数（⾃然指数関数）m e
1 210 2.59374246
100 2.704813831,000 2.71692393
10,000 2.71814593100,000 2.71826824
1,000,000 2.7182804710,000,000 2.71828169
100,000,000 2.718281791,000,000,000 2.71828203
-2 -1 0 1 2 3 4
010
2030
4050
x
y
指数関数の逆関数
21
-2 0 2 4 6 8 10 12
020
040
060
080
010
00
x
y
0 200 400 600 800 1000
-20
24
68
1012
y
x
y が c を底とする x の指数関数であるとき，x の値は c を底とする y の対数に等しい．
指数関数の逆関数をとるとき，指数の底 c は y の対数の底になる．
ベキ関数: y = axb の対数線型化 (pp.115-119)
22
または
x y ln x ln y log10 x log10 y110 0 2.303 0 1214.142 0.693 2.649 0.301 1.151 317.321 1.099 2.852 0.477 1.239 420 1.386 2.996 0.602 1.301 522.361 1.609 3.107 0.699 1.349 624.495 1.792 3.198 0.778 1.389 726.458 1.946 3.276 0.845 1.423 828.284 2.079 3.342 0.903 1.452 930 2.197 3.401 0.954 1.477
1031.623 2.303 3.454 1 1.50 2 4 6 8 10
05
1015
2025
3035
x
y
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
01
23
45
67
ln x
ln y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
log_10 x
log_
10 y
両対数モデル (1)
23
iY
両辺の変数に対数が使⽤されているので両対数（ダブルログ）モデルとよぶ。
ln yと ln xの関係をみている。ln xが1単位増えると，ln yは bだけ変化する。変数の置き換え
iX
を推定対数変換した上で iii uXY
表3.7 (p.117) を参照 ˆexpˆln aa
aの求め方
両対数モデル (2)：弾力性
24
bの意味： ln x が 1 単位増えるときの ln yの変化量 ?
00
11
lnlnlnlnlnln
xbayxbay
00 ,yx
11,yx
0x
0y
0101 lnlnlnln xxbyy 引き算
の近似の変化率
の近似の変化率
xy
xxyy
b
01
01
lnlnlnln
【復習】対数差分は変化率の近似
【重要】xの変化率に対する yの変化率の⽐ (=b) のことを「 yの x （に関する）弾⼒性」とよぶ。意味弾⼒性 bは xが1%変化したときの yの変化率を⽰している。b > 1 ならば弾⼒的，b < 1 ならば⾮弾⼒的。例.需要の価格弾⼒性：（需要関数において数量の変化率/価格の変化率）
練習問題 (3)
25
表3.7 (p.117)のデータについて，従業員数 x，売上⾼ yを⽤いてベキ乗関数 y = axb
を推定しなさい。xbayaxy b lnlnln
0200400600800
1000120014001600
0 500 1000 1500
x
y
ln y = −0.8944 + 1.0884 ln xR² = 0.3916
0.0001.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000
0.000 2.000 4.000 6.000 8.000
ln y
ln x
409.08944.0expˆexpˆ a 088.1409.0ˆ ii xy
自然指数関数: y = aecX の対数線型化 (pp.119-122)
26
0 2 4 6 8 10
200
600
1000
1400
x
y
0 2 4 6 8 100
24
68
x
ln y
Xが 1 単位増えると，ln yは0.5増加する
半対数モデル (1)
27
iY
変数の置き換え
iX
左辺にだけ対数が使⽤されているので半対数（セミログ）モデルとよぶ。
ln yと xの関係をみている。xが1単位増えると，ln yは cだけ変化する。
xはそのまま使える
表3.8 (p.120) を参照
半対数モデル (2)：変化率の測定
28
cの意味： Xが 1 単位増えるときの ln yの変化量 ?
00
11
lnlnlnln
cXaycXay
0101 lnln XXcyy 引き算
【復習】対数差分は変化率の近似
【重要】半対数モデルの回帰パラメータ cは Xが 1 単位増えるときの，変化率の近似値になっている。
0101 lnln1 yycXX ならば
練習問題 (4)
29
表3.8 (p.120)のデータについて，年次 X，⼈⼝ yを⽤いて指数関数 y = aecXを推定しなさい。
iii ucXay lnln ii XY 021.0612.27ˆ
121.0195E612.27expˆexpˆ -a 0.0000000000010195 = 10-12 ×1.0195
E-12⼩数点12桁⽬以降にゼロ以外の数値が初めて出る⼩さい値
iXi ey 021.012 0195.110ˆ
1
ln
lnln
1
1
1
1
1
11
11
ii
ii
XXc
i
ii
XXc
i
i
iii
i
iiii
ey
yy
eyy
XXcyy
XXcyyパラメータ cの意味
推定結果
の推定値を計算するからの推定値 aalnˆ
以上より指数関数は
より年5,021.0ˆ
1
ii XXc
1107.015021.0
1
1
ey
yy
i
ii
5年あたりの⼈⼝成⻑率は11.07%1年あたりは e0.021−1 = 0.0212 (2.12%)
練習問題（5）
30
[1]. y: 一人あたりGDP，x: 一人当たり資本装備率とする．1980-2008年のデータ（サンプルサイズは29）を利用してべき関数 y = axb，両対数モデルで回帰分析を行ったところ次の結果が得られた．一人あたり資本装備率が 1% 増えると，一人当たりGDPは何%増えるか?また， y の xに関する弾力性の値を答えなさい．
[2]. 関西地方の2012年7月平日(n = 23日)の最高気温（℃） X と電力消費量（万kwh） yを用いて指数関数 y = aecXを推定する。半対数モデルで回帰分析を行ったところ次の結果が得られた。気温が1度上昇すると，電力消費量は何%変化すると言えるか？
31
まとめ
Excel で（単純）回帰分析を⾏う場合，関数を利⽤する⽅法，散布図に直接書き込む⽅法，「分析ツール」を利⽤する⽅法がある。変数に関して⾮線型であっても，変数変換によって標準モデルに直すことができれば，最⼩2乗法が適⽤可能である．両対数モデルから変数間の弾⼒性を求めることができる。⾃然指数関数を対数化した半対数モデルの傾きは成⻑率（変化率）に対応している．