บบท 6บบบบบบบบบบบบบ

กฬายอดนยมสำาหรบผชอบความทาทาย คอการกระโดดแบบบนจ ผทออกแบบจะตองหาเสนเชอกทมความยดหยนเหมอนสปรง นำาไปผกตดกบขาของผกระโดด เมอผกระโดดพงและดงลงดานลาง เชอกจะยดตามออกมา พอเชอกยดสดแลว เชอกจะหดตวและดงผกระโดดขนไป ผทออกแบบจะตองคำานวณไดวาเชอกจะยดออกมาไดยาวสดเทาไร โดยใบหนาของผกระโดดไมกระทบกบพนนำาขางลาง แตกตองใหใกลกบพนนำามากทสด เพอใหเกดความตนเตน เราสามารถคำานวณคาตางๆ เหลานได คลกครบ

ฟสกสราชมงคล

117

พลงงานเปนแนวคดพนฐานทสำาคญยงของวชาฟสกส เราพดอยเสมอวาหลอดไฟใหพลงงานแสงสวาง เตาแกสใหพลงงานความรอน หรอไมกไดยนเรองพลงงานอนมหาศาลจากนวเคลยร พลงงานทแสนสะอาดจากแสงแดด

บทความออนไลน

6-1 งา น____________________________________________________

_____

รป 6-1 แรง F กระทำาใหวตถเคลอนทเปนระยะกระจด S

งานคอผลของแรงทกระทำาบนวตถ และทำาใหวตถเคลอนทไปตามแนวแรง

ถามแรงคงท F กระทำาตอวตถ ทำามม กบแกน x ซงเปนแนวการเ ค ล อ น ท ข อ ง ว ต ถ ด ง ร ป6-1 จะไดวา

Fx = F cos ................... (6-1)

เมอวตถเคลอนทเปนระยะกระจด S งานทกระทำาตอวตถW = FxS ...................

(6-2)หรอจะเขยนเปนรปของการดอตเวกเตอร

W = FS ................... (6-3)

ฟสกสราชมงคล

118

S

F

F cos

x

ถานกศกษาไดอานบทความของฟสกสราชมงคลนกศกษาจะไดเหนคำาเหลานบอยๆเชน มวล แรง ทอรคงาน กำาลง และพลงงาน   คำาเหลานมความหมาย และมความสมพนธกนอยางไร นกศกษาสามารถเขาใจความหมายของคำา

งานคอแรงดอตกบระยะกระจด ผลทไดจะเปนปรมาณสเกลาร จงไมต อ ง ค ำา น ง ถ ง ท ศ ท า ง ตวอยางเชน ผลกวตถดวยแรง 5 N ตะวนออก ทำาใหวตถเคลอนทเปนระยะ 6 m ตะวนออก จะไดงานเทากบผลกวตถดวยแรง 5 N เหนอ ไดระยะ 6 m เหนอ

ถงงานจะเปนปรมาณสเกลาร แตกมเครองหมายเปนบวกและลบได ดงนน ถาแรงอยทศเดยวกบระยะการเคลอนท งานเปนบวก แตถาทศตรงกนขาม งานเปนลบ หรอถาแรงกบระยะเคลอนททำามมฉากกน งานจะเปนศนย

ยกวตถขนตามแนวดง งานเปนบวก ออกแรงยดสปรง งานเปนบวก ในทางกลบกน วางวตถลงตามแนวดง งานเปนลบ ออกแรงดนสปรง งานเปนลบ เพราะแรงกบระยะกระจดตรงขามกน แตถาคณหวของเดนไปบนพนแนวระดบ ในทางฟสกสถอวาคณไมไดทำางาน เพราะแรงกบระยะกระจดตงฉากกน และถาวตถเคลอนทเปนวงกลม งานทท ำาดวยแรงสศนยกลางจะเปนศนย เพราะแรงกบระยะกระจดในกรณนตงฉากกน

หนวยของงานไดจาก แรงคณกบระยะทาง นวตนเมตร (Nm) มชอเฉพาะวา จล (J)

1 จล (J) = 1 นวตนเมตร (Nm)

ตวอยาง 6-1

รป 6-2 ลากกลองบนพนฝดดวยแรง F เอยงทำามม กบระดบ

ฟสกสราชมงคล

119

ลากกลองบนพนฝดระดบดวยแรง F เอยงทำามม กบระดบ จากแ ผ น ภ า พ แ ท น แ ร ง แ ร งทกระทำาตอวตถคอ นำาหนก w แรงปฏกรยาทพนกระทำากบกลอง n และแรงเสยดทาน f หางานเมอกลองเคลอนทไปทางขวาเปนระยะ Sหลกการคำานวณ

แรงในแนวการเคลอนท คอ F cos ดงนน งานทถกทำาโดยแรง F คอ

WF = (F cos) Sนำาหนก w และแรงปฏกรยา n ทำามมฉากกบระยะกระจด ดงนน งาน

ททำาจากแรงทงสองเปนศนยWw = 0 ; Wn = 0

แรงเสยดทานตรงขามกบระยะกระจด เพราะฉะนน งานททำาดวยแรงเสยดทานเปนลบ

Wf = -fsเพราะงานเปนปรมาณสเกลาร จงบวกแบบเลขจ ำานวนได งาน

ทงหมดหาจากW = WF + Ww + Wn + Wf

= (F cos) S + 0 + 0 - fS= (F cos -f) S

(F cos - f) คอแรงสทธทกระทำาบนกลองกำาหนดให F = 50 N , f = 15 N, = 36.9o , และ S = 20

m ดงนนWF = (F cos)S

= (50 N)(0.800)(20 m) = 800 Nm

Wf = -fS= (-15 N)(20 m) = -300 Nm

งานทงหมด W = WF +Wf = 500 Nm

ตรวจสอบคำาตอบโดยหาจากงานสทธคณกบระยะกระจด= (F cos - f)S= (40 N - 15 N)(20 m) = 500

Nm

ฟสกสราชมงคล

120

6-2 ง า น ท ถ ก ท ำา ด ว ย แ ร ง ไ ม คงท_____________________________________

รป 6-3(a) กราฟระหวางแรง F กบระยะกระจด x แรงไมคงท

แปรคาตามระยะกระจด (b) แบงพนทเปนสเหลยมชวงเลก ๆ ผลบวก

ทงหมดของพนทสเหลยมคองาน

นยามของงานในหวขอ 6-1 เกดจากแรงคงท อยางไรกตาม แรงทกระทำากบวตถอาจไมคงทได ตวอยางเชน ออกแรงดงสปรงใหยดชา ๆ แรงจะเพมขนตามระยะยดของสปรง

กราฟรป 6-3 แรง F เปนฟงกชนกบระยะกระจด x เมอแบงระยะกระจดออกเปนชวงเลก ๆ x ในชวง x แรง F มคาเกอบคงทประมาณ F1

งานโดยประมาณในชวง x1

W1 = F1 x1ทำานองเดยวกนในชวง x2 : F เกอบคงทประมาณ F2

งานโดยประมาณในชวงx2 W2 = F2 x2

งานททำาทงหมดจาก x1 ไปยง x2 คอผลรวมของงานยอยทงหมดW = F1 x1 + F2 x2 + .....

= Fi xiใหชวงการแบงx เลกมากทสด x เขาใกลศนย เครองหมาย จะ

เปลยนเปนอนทกรล ( ) ของ F จาก x1 ไป x2

ฟสกสราชมงคล

121

W = ...................

(6-4)ซงกคอพนทใตเสนโคงของกราฟรป 6-3 (a)ถามการเปลยนแปลงทศทางของแรงขณะเคลอนท แรง F ใน

สมการ (6-4) ตองแตกมาอยในแนวการเคลอนทกอน ตวอยางเชน อนภาคถกทำาใหเคลอนทบนแกน x ดวยแรง F ททำามม กบแกน x, F cos คอแรงทอยในแนวการเคลอนท แทนลงในสมการ (6-4)

W = ...................

(6-5)

รป 6-4 แรงเปนฟงกชนกบระยะยด : F = kx

ออกแรง F ดงสปรง ดงรป 6-4 F จะเปนสดสวนตรงกบระยะยด x

F = kx ................... (6-6)

k คอคาคงท เรยกวา คานจของสปรง ผทคนพบสตรนคอ โรเบรต ฮค ในป ค.ศ.1678 เรยกวา กฎของฮค

ถาเราออกแรงดงปลายขางหนงของสปรง โดยทปลายอกขางตดกบกำาแพง แรงจะเพมขนอยางสมำาเสมอตามระยะยด รป 6-5 คอ กราฟระหวางแรง F กบระยะยด x

งานทงหมดทมอกระทำาจาก x = 0 ถง x = x หาไดจาก

W = ................... (6-7)

ฟสกสราชมงคล

122

รป 6-5 กราฟระหวางแรงกบระยะยด พนทแรเงาทอยใตกราฟคองานททำาทงหมด

ผลจากสมการ (6-7) หาไดจากพนทใตกราฟโดยตรงจากรป 6-5 งานคอพนทของสามเหลยม

W = x ฐาน x สง

= x x x (kx) = kx2

ตรงกบสมการ (6-7) โดยไมตองหาจากการอนทเกรต

ตวอยาง 6-2 หญงคนหนงหนก 600 N ยนบนเครองชง ปรากฏวาสปรงของเครองชงถกกดลงไปเปนระยะ 1 ซม. จงหาคานจของสปรงและงานหลกการคำานวณ จากสมการ (6-6)

k =

== 60,000 Nm-1

จากสมการ (6-7)W = kx2

= (60,000 Nm-1)(0.01 m)2

= 3 Nm= 3 J

งานทเกดจากการดงสปรงจาก x1 ถง x2 คอ

ฟสกสราชมงคล

123

W =

ให x = 0 คอตำาแหนงทสปรงไมไดยดหรอหด (คณลองพสจนดวาสมการเปนจรงหรอไม ?)

รป 6-6 แรง F กระทำาใหอนภาคเคลอนทจาก P1 ไป P2 แรง F

ไมคงท เปลยนทงขนาด และทศทาง วธค ำานวณหางานใหแบงเสนทางการ

เคลอนทเปนสวนเลก ๆ d งานชวงเลก ๆ หาไดจาก dW = Fd

แรง F กระทำาใหอนภาคเคลอนทจาก P1 ไป P2 เพอจะหางานบนเสนทางการเคลอนท เราจะแบงเสนทางการเคลอนทเปนชวงเลกๆ d ให เปนมมระหวาง F กบ d ทตำาแหนงนน ๆ งานในชวงเลกๆ dW หาไดจาก

dW = F cos d= F d= Fd

F = F cos เปนแรงทอยในทศเดยวกบเสนทางการเคลอนท d

งานทงหมดททำาใหอนภาคเคลอนทจาก P1 ไป P2

W =

=

= ...................

(6-8)

ฟสกสราชมงคล

124

การอนทกรลแบบนมชอเรยกวา การอนทกรลตามเสน

บบบบบบบบ 6-3 เดกชายคนหนงนำาหนก w นงอยบนชงชายาว R ดงรป 6-7 แรงในแนวระดบ P เร มจากศนยทจดตำาสดและมากสดเมอชงชาแกวงไปไดสงสด ขณะทเชอกทำามม 0 กบแนวดง คำานวณหางานของแรง P

รป 6-7 แรงในแนวระดบ P ขณะทชงชาเคลอนทไปไดระยะทาง S

หลกการคำานวณขณะทเชอกทำามม 0 กบแนวดง ระบบอยในสมดล

ผลรวมของแรงในแนวระดบเปนศนย P - T sin = 0 , P =

T sinผลรวมของแรงในแนวดงเปนศนย

w - Tcos = 0 , w = T cos

สมการแรกหารดวยสมการทสอง จะไดP = w tan

จากรป s = R, d = Rd จากสมการ (6-8)W =

=

=

=

= wR(1 - cos0).................... (6-9)

ฟสกสราชมงคล

125

0

วเคราะหโจทย 0 = 0 ชงชาอยตำาแหนงตำาสด ไมมระยะกระจด : cos0

= 1 และ W = 0 ถา 0 = 90o : cos0 = 0 และ W = wR เดกจะแกวงไปจนถงแนวระดบ

6-3 พลงงาน_____________________________________________________

พลงงานของระบบหนงระบบใดจะมคาคงท เรยกวา กฎการคงตวของพลงงาน เพอใหเขาใจ สมมตใหมวล m 2 อน เคลอนทเขาชนกน ถาเ ป น ก า ร ช น แ บ บ ย ด ห ย น พ ล ง ง า น ส ด ท า ย ห ล ง ช น จ ะ เ ท า ก บพลงงานกอนชน คอพลงงานไมไดหายไปไหนยงคงเดม

ฟสกสราชมงคล

126

การทดลอง

ในการทดลองนจะเปนการศกษาความสมพนธระหวางแรง   งาน  และระยะกระจด การเคลอนทของกลอง โดยคณสามารถใชเมาสคลกและลากกลองไปทใดกไดในหองทดลองเสมอนหรอจะใชลกศรของคยบอรดกไดเชนเดยวกน  งานทไดจากแรงโนมถวงหรอจากแรงเสยดทาน  จะปรากฏเปนตวเลขอยดานบนของหองทดลองเสมอน   คณสามารถเปลยนมวล m  และสมประสทธแรงเสยดทาน โดยใชตวเลอน  เมอคณตองการใหกลองกลบเขาสจดเรมตน  ใหกดปม  Reset

ตำาแหนงเร มตนของกลองจะแสดงดวยเงาสเทาด ำา  ใหคณทดลองเลอนกลองไปบนพน และสงเกตดวาการเปลยนแปลงไป

แตถามวลทงสองเกดเปลยนรปรางขณะชน ตวอยางเชน ปาหมากฝรงไปตดกำาแพง ยงลกปนฝงเขาไปในเปา ฯลฯ มวลทเขาชนจะมอณหภมสงขน พลงงานสญเสยไปทางอนทไมใชการเคลอนท การชนในลกษณะนเปนการชนแบบไมยดหยน กฎการคงตวของพลงงานใชไมไดกบกรณน ถงกระนนกตาม ถาระบบขยายขอบเขตออกไป ไมค ำานงถงแตการเคลอนทเพยงประการเดยว พลงงานกอนชนจะเทากบพลงงานหลงชนบวกดวยพลงงานทสญเสยไป ฉะนนพลงงานรวมทงในและนอกระบบกยงคงท ซงจะไดอธบายอยางละเอยดอกครงในเรองของเทอรโมไดนามก

ตอไปน เราจะศกษาพลงงานทเกยวของกบการเคลอนท เชน การเปลยนแปลงตำาแหนงของความเรวและความเรง ซ งกฎการคงตวของพลงงานใชไดเปนอยางด ยกเวนถามแรงเสยดทานในระบบเทานนทจะทำาใหมการสญเสยพลงงานออกนอกระบบไป

6- 4 บ บ บ บ บ บบบบบบบบบบบบ__________________________________________

ออกแรง F กระทำาก บมวล m จากกฎขอทสอง F = ma เก ดความเรงทำาใหความเรวเพมขนจาก v1 เปน v2 มวล m เคลอนทไดระยะกระจด S จากสมการการเคลอนทเมอความเรงคงท เราจะได

=a =

จะได F =

FS =................... (6-10)FS คองานททำาโดยแรงสทธ F

คอพลงงานจลน แทนดวยอกษร K

K = ................... (6-11)

ฟสกสราชมงคล

127

K1 = คอพลงงานจลนตำาแหนงเร มตน (ตำาแหนงท 1)

K2 = คอพลงงานจลนตำาแหนงสดทาย (ตำาแหนงท 2)

- คอการเปลยนแปลงพลงงานจลนขณะทมวล m ถก

ทำาใหเคลอนทจากตำาแหนง 1 ไปยงตำาแหนง 2 สรปไดวา งานททำาโดยแรงสทธจะเทากบการเปลยนแปลงของพลงงานจลน

W = K2 - K1 = K .................... (6-12)

พลงงานจลนเหมอนกบงานคอเปนปรมาณสเกลารทงค

ถา W เปนบวก พลงงานจลนสดทายมากกวาพลงงานจลนเร มตน เ ข ย น แ บ บ ง า ย ๆ ว า พลงงานจลนเพมขน แตถา W เปนลบ พลงงานจลนสดทายนอยกวาพลงงานจลนเร มตน นนกคอ พลงงานจลนลดลง และถา W เปนศนย แสดงวา พลงงานจลนคงท ไมมการเปลยนแปลง

จากสมการ (6-11) m มหนวยเปน kg, v มหนวยเปน ms-1 ดงนน พลงงานจลน K มหนวยเปน (Nm) หนวยเดยวกบงาน

1 J = 1 Nm= 1 kgms-2m= 1 kgm2s-2

ตวอยาง 6-4 จากตวอยาง 6-1 งานทงหมดทกระทำาบนกลอง = 500 J ถ า ก ล อ ง ม ค ว า ม เ ร ว เ ร ม ต น v1 = 4 ms-1 ใหมวลของกลอง = 10 kg จงหาความเรวสดทายของกลองหลกการคำานวณ พลงงานจลนทจดเรมตนคอ

K1 =

= (10 kg)(4 ms-1)2

= 80 J

ฟสกสราชมงคล

128

พลงงานจลนรวมทจดสดทายคอK2 = K1 + W

= 80 J + 500 J = 580 J

แต K2 =

= (10 kg) = 580 Jv2 = 10.8 ms-1

6-5 พ ล ง ง า น ศ ก ย โ น มถวง__________________________________________

รป 6-8 งานททำาโดยนำาหนก w ระหวางทเคลอนทจากจดหนงไป

ยงอกจดหนง ภายใตสนามโนมถวงของโลก

(a) เคลอนทในแนวดง จาก y1 ไป y2

(b) เสนทางการเคลอนทเปนเสนโคง (c) งานททำาโดยนำาหนก w ในชวงเลก ๆ s, W = ws

งานททำาโดยนำาหนก w ระหวางทเคลอนทในแนวดงจาก y1 ไป y2 ดงรป 6-8a วดจากแกน

ฟสกสราชมงคล

129

อางอง W โนมถวง = Fs

= -w(y2 - y1) = -(mgy2 - mgy1)

................... (6-13)

เพราะทศทางของนำาหนก w ตรงขามกบระยะกระจดทำาใหงานทกระทำาโดยนำาหนกเปนลบ W โนมถวง คองานทใชในการเคลอนทจากจดเร มตนถงจดสนสดในแนวดง

mgy มชอเรยกวา พลงงานศกยโนมถวง แทนดวย U

U = mgy ................... (6-14)

ใหพลงงานศกยโนมถวงเร มตน U1 = mgy1 และสดทาย U2 = mgy2 เพราะฉะนน

W โนมถวง = -(U2 - U1) = - U................... (6-15)

ในกรณทยกมวลลง y2 นอยกวา y1 งานเปนบวก พลงงานศกยโนมถวงลดลง แตถายกมวลขน y2 มากกวา y1 งานจะเปนลบ พลงงานศกยโนมถวงจะเพมขนบบบบบบบบบ ถาเลอนแกนอางอง U1 และ U2 จะเปลยนคา แตคาความแตกตาง (U1 - U2 ) ไ ม เ ป ล ย นจงสรปไดวา พลงงานโนมถวงทจดนน ๆ ไมมความสำาคญ เปลยนไปมาไดตามแกนอางอง ดงนนเราจะสนใจแตการเปลยนแปลงพลงงานโนมถวงระหวางจด 2 จดเทานน

ให W อน เปนงานอน ๆ ยกเวนงานทเกดจากแรงโนมถวง ดงนนงานท ง ห ม ด ท ก ร ะ ท ำา ก บ ว ต ถ W = W โน มถวง + W อ น งานทงหมดนจะไปทำาใหพลงงานจลนของวตถเปลยนไป

W อน + W โนมถวง = K2 - K1 = K

ฟสกสราชมงคล

130

W อน - (mgy2 - mgy1) = ................... (6-16)

จดรปสมการ (6-16) ใหมจะได W อน =

= K + U ................... (6-17)

W อน คองานทเกดจากแรงภายนอก Pผลบวกของพลงงานจลนกบพลงงานศกย เรยกวา พลงงานรวม

(E)

E = K + U

จดรปสมการ (6-17) ใหมจะได W อน =

= (K2 + U2) - (K1 + U1)

= E2 - E1 = E .................... (6-18)

ถา W อน มเครองหมายเปนบวก แสดงวาพลงงานรวมเพมขน แตถาเปนลบกแสดงวาพลงงานรวมกำาลงลดลง ในกรณทไมมแรงภายนอกกระทำากบวตถ P = 0, W อน = 0 สมการ (6-18) เขยนใหมได

K1 + U1= K2 + U2

หรอ = .................... (6-19)

ฟสกสราชมงคล

131

ภายใตเงอนไขน พลงงานรวมจะมคาคงท ไมวาวตถจะอย ณ ตำาแหนงใดๆกตาม ตงเปนกฎขนเรยกวา กฎการคงตวของพลงงาน

ตวอยาง 6-5 ชายคนหนงโยนลกบอลมวล 0.2 kg ขนไปในแนวดง มอของเขาเคลอนทขน 0.5 m กอนทลกบอลจะหลดจากมอดวยความเรว 20 ms-1 ลองวเคราะหการเคลอนทในมมมองของงานและพลงงาน กำาหนดให g = 10 ms-2

หลกการคำานวณ ให y = 0 เปนตำาแหนงเร มตน จดท 1 (แกนอางอง) จะได

K1 = 0 U1 = 0จดท 2 เปนตำาแหนงทลกบอลออกจากมอของผขวาง จะได

K2 =

= (0.2 kg)(20 ms-1)2 = 40 J

U2 = (0.2 kg)(10 ms-2)(0.5 m) = 1.0 J

ให P เปนแรงทชายคนนขวางW อน = K + U

= (K2 - K1) + (U2 - U1)= 41 J

งานททำาโดยแรง PW อน = P (y2 - y1)P =

= = 82 Nพจารณาลกบอลหลงจากทหลดออกจากมอแลว ถาไมมแรงเสยด

ทานของอากาศ จะมเพยงแรงเดยวทกระทำากบลกบอลกคอนำาหนก w = mg , W อน = 0 ดงนน พลงงานรวมของระบบคงท แตถาเปลยนแกนอางองใหม โดยใหตำาแหนงลกบอลหลดจากมอเปนจด 1 (แกนอางอง) จะได

K1 = 40 J U1 = 0

เพราะพลงงานรวมคงททกจด ดงนน K1 + U1 = K2 + U2 = 40 J + 0

ฟสกสราชมงคล

132

ถาเราตองการหาความเรวทความสง 15 เมตร เหนอจากแกนอางองพลงงานโนมถวงทจดนคอ

U2 = mgy= (0.2 kg)(10 ms-2)(15 m)= 30 J

พลงงานจลนทจดนคอ K2 = 10 J = K2 , v2 = = 10

ms-2

เคร องหมาย แสดงวาลกบอลผานจดน 2 ครง คร งแรกเปนบวกแสดงวาลกบอลกำาลงขน คร งทสองเปนลบแสดงวาลกบอลกำาลงลง พลงงานจลนทงสองครงเทากน เพราะความเรวทผานจดนทงขนและลงเทากน เพยงแตทศตรงขามกน

ทจดสงสด v = 0, K = 0 , U = 40 J ฉะนนความสงหาไดจาก mgh = (0.2 kg)(10 ms-2) h = 40

J h = 20 m

ถาโจทยตองการทราบความเรวทความสง 30 m เหนอแกนอางอง พ ล ง ง า น ศ ก ย ณ จ ด น = mgh = (0.2 kg)(10 ms-2)(30 m) = 60 J แตพลงงานรวมมแค 40 J จงเปนไปไมไดเลยทลกบอลนจะสงไปกวา 30 m ได

ถาเคลอนทมวลจากจดเรมตน y1 ไปสนสดท y2 โดยเสนทางการเคลอนทเปนเสนโคง ดงรป 6-8 (b) งานททำาโดยนำาหนก w จะเทากบกรณทเคลอนทมวลเปนเสนตรงในแนวดงจาก y1 ไป y2 เพอจะพสจนใหเหนจรง ใหแบงเสนทางการเคลอนทเปนชวงเลก ๆ s ดงรป 6-8 (c) แตก s เขาไปในแกนดง y = s cos ทศทางตรงขามกบ w ดงนน งานเลกๆทเกดขนในชวงนคอ

w = - mg s cos = - mg y

y คอระยะทเปลยนแปลงตามแกนดง ระยะนจะถกแทนทดวย (y2 - y1) ด ง น น ง า น ท ง ห ม ด

ฟสกสราชมงคล

133

ททำาโดยนำาหนก w กคอ - mg(y2 - y1) ไมขนกบเสนทางการเคลอนท ไมวาจะเ ค ล อ น ท ใ น ล ก ษ ณ ะ ใ ด พลงงานศกยจะขนอยกบตำาแหนงเรมตนและตำาแหนงสดทายเทานน

ตวอยาง 6-6 เดกไถลลงมาบนทางโคง รศม R ถาเรมจากหยดนงและพนไมมแรงเสยดทาน จงหาความเรวของเดกทจดตำาสด

รป 6-9 เดกไถลลงบนทางโคงทไมมแรงเสยดทานหลกการคำานวณ

แผนภาพแทนแรงแสดงใหเหนวา แรงทกระทำาตอเดกมนำาหนก w และแรงปฏกรยา n เนองจากแรงปฏกรยา n ตงฉากกบเสนทางการเคลอนท W อ น = 0 ด ง น น พ ล ง ง า น ร ว ม ข อ ง ร ะ บ บ จ ะ ค ง ท ใหตำาแหนง 1 เปนจดเรมตน และตำาแหนง 2 เปนจดสดทายของการเคลอนท ถากำาหนดใหตำาแหนง 2 เปนแกนอางอง ดงนน y1 = R และ y2 = 0

เพราะพลงงานรวมคงททกตำาแหนง K2 + U2 =K1 + U1

+ 0 = 0 + mg Rv2 =

ให R = 3.0 m จะไดv2 =

= ms-1

ตวอยาง 6-7 จากตวอยาง 6-6 กำาหนดใหเดกมมวล 25 kg รศมทางโคง R = 3 m ความเรวทจดตำาสด เปน 3 ms-1 งานททำาโดยแรงเสยดทานจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

134

งานททำาโดยแรงเสยดทาน W อน

W อน =

= [ (25.0 kg)(3.00 ms-1)2- 0] + [0 - (25.0 kg)(9.8 ms-2)(3.0 m)]

= 112 J - 735 J =- 623 J

งานทเกดจากแรงเสยดทานคอ - 623 J เครองหมายลบแสดงใหเหนวาพลงงานลดลงไป 623 J พลงงานรวมของระบบไมคงท เพราะสวนหนงตองสญเสยไปกบแรงเสยดทาน

ตวอยาง 6-8

รป 6-10 เสนทางการเคลอนทแบบโปรเจกไตล 2 เสนทาง ถาความเรวเรมตนเทากน

ความเรวจะเทากนทระดบความสงเดยวกน

สมมตวาไมมแรงตานอากาศ แรงเดยวทกระทำาตอลกบอลหลงจากข ว า ง อ อ ก ไ ป แ ล ว ก ค อนำาหนก ดงนน พลงงานรวมของการเคลอนททกทกจดจะคงท รป 6-10 คอเสนทางการเคลอนทของลกบอลทขวางออกไป 2 คร ง มมตางกน แตม ความเรวตนเทากน ทดสอบดวยตนเอง ใหเสนประเปนแกนอางอง ณ ระดบความสงเดยวกนพ ล ง ง า น ศ ก ย จ ะ ม ค า เ ท า ก นคณลองพสจนดวาพลงงานจลนตามเสนประนกเทากน ซงน ำาไปสผลสรปวา ค ว า ม เ ร ว จ ะ เ ท า ก น ท ร ะ ด บความสงเดยวกน

ฟสกสราชมงคล

135

ตวอยาง 6-9 เดกคนหนงนำาหนก w นงอยบนชงชายาว ดงรป 6-11 แรงในแนวระดบ P เรมจากศนยทจดตำาสด และมากทสดเมอชงชาแกวงไปไดสงสด จากสาเหตนทำาใหการแกวงคอนขางชา (พลงงานจลน จงนอยมากใหเปนศนย) ขณะทเชอกทำามม กบแนวดง คำานวณหางานของแรง P

รป 6-11 y = (1- cos)

หลกการคำานวณจากสมการ (6-16)

W อน = WP + WT = K + U = EWT คองานของแรงตงเชอก = 0 เพราะแรงตงเชอก T ตงฉาก

กบเสนทางการเคลอนทWP = U = w y

จากรป y = (1 - cos) ดงนนWP = w (1 - cos)

ผลทไดเหมอนกบตวอยาง 6-3 โดยแทน R ดวย ----------------------------------------------------------

แรงโนมถวงของโลกจะเทากบมวล m เปนไปตามสมการ

Fg = ................... (6-20)

mE คอมวลของโลกr คอระยะทวดจากจดศนยกลางโลกถงจดศนยกลางมวลแรงโนมถวงเปนสดสวนกลบกบ r2

งานททำาโดยแรงโนมถวง Wg จาก r1 ไป r2 จะได

ฟสกสราชมงคล

136

Wg =

Fr คอแรงทอยในทศทางเดยวกบรศมของโลกมทศพงออกจาก r1

ไ ป r2 Fg ค อ แ ร ง โ น ม ถ ว งมทศพงเขาสวนทางกบ Fr ดงนน Fr = -Fg แทนลงในสมการบนจะได

จะได Wg =

=................... (6-21)ดงนน ถาเราปลอยใหวตถเคลอนทจากอนนตมายงจดทหางจาก

โลกเทากบ “r” โดยแทน r2 = (อนนต) และ r1 = r พลงงานศกยของวตถ ณ ตำาแหนงใดๆ

U(r) = ................... (6-22)

แรงโนมถวงเปนแรงเดยวทกระทำาบนวตถ ฉะนน Wg จะเทากบการเปลยนแปลงของพลงงานจลนจาก r1 ไป r2

=

- = - ................... (6-23)

ขางซายของสมการคอพลงงานรวมทจ ด 1 (E1) ขางขวาคอพลงงานรวมทจด 2 (E2)

พลงงานรวมทตำาแหนงใด ๆ E = K + U = mv2

................... (6-24)ถาแรงทกระทำามเฉพาะแรงโนมถวง พลงงานรวมจะคงทและ

อนรกษ

ตวอยาง 6-10 ถาตองการยงกระสนปนใหญมวล m ไปยงดวงจนทร ค ว า ม เ ร ว เ ร ม ต น จ า ก ป า ก ก ร ะ บ อ กปนใหญควรจะเปนเทาใด (ก) สงจากผวโลกเทากบรศมของโลก (ข) หลด

ฟสกสราชมงคล

137

ออกจากแรงโนมถวงของโลก (กำาหนดใหแรงดงดดของดวงจนทรนอยมาก ไมตองนำามาคด)หลกการคำานวณ

(ก) ลกกระสนปนใหญมมวล m มความเรวเรมตน v1 และ R คอรศมของโลก

r1 = R , r2 = 2R , v2 = 0แทนคาลงไปในสมการ (6-23)

=

จะได =v1 =

= 7920 ms-1

(ข) ให v1 เปนความเรวหลดพนจากแรงโนมถวงของโลกr1 = R , r2 = อนนต , v2 = 0

แทนคาลงไปในสมการ (6-23)= 0

จะได =v1 =

= 1.12x104 ms-1

สมการ (6-21) จดรปใหมจะไดเปน

Wg =

ถาอนภาคไมอยไกลจากผวโลกมากนก ตวหาร r1 และ r2 สามารถแทนดวยรศมของโลก R จะได

Wg =

แทนคา g = ลงในสมการบน

Wg = mg (r1 - r2)

ฟสกสราชมงคล

138

ถาแทน r1 ดวย y1 และ r 2 ดวย y2 จะตรงกบสมการ (6-13)ถาแบงระยะการเคลอนท r เปนชวงเลก ๆ dr งานททำาโดยแรงโนม

ถ ว ง ใ น ช ว ง เ ล ก ๆ dW = Frdr เทากบการเปลยนแปลงพลงงานศกยโนมถวงในชวงสน ๆ dU ซงสามารถเขยนอยในรปของฟงกชนไดดงน

dU = จาก dW = - dU ดงนน

ฉะนน Fr = ................... (6-25)

แรงโนมถวงทกระทำากบมวล m คอ

Fr = จากสมการ (6-25) แทนคา U ดวยสมการ (6-22) จะได

=

6- 6 พ ล ง ง า น ศ ก ย ยดหยน__________________________________________

รป 6-12 มวล m วางนงอยบนพนระดบทไมมแรงเสยดทาน ขาง

หนงของสปรงผกตดกบมวล อกขางหนงผกตดกบตวยดหรอก ำาแพง ทตำาแหนง x = 0 สปรงไมมการยดหรอหด ออกแรง P ดงมวล m ใหยดออก จะมแรงดงกลบของสปรง Fx เพมขนเปนสดสวนกบ P ถาปลอยมวล สปรงจะ

ฟสกสราชมงคล

139

รป 6-12

ถกแรง F ดงกลบเขาสตำาแหนงเดม แรง F จงมชอเรยกวา แรงดงกลบของสปรง

สปรงถกทำาใหยดจาก 0 ถง x งานททำาโดยสปรง = - (ทม

เคร องหมายเปนลบเพราะในหวขอ 6-2 เราใหงานทเกดจากคนดงสปรงมเครองหมายเปนบวก)

ถาใหตำาแหนงเรมตนเปน x1 และสดทายเปน x2 งานททำาโดยสปรงจาก x1 ถง x2

W ยดหยน =

มชอเรยกวาพลงงานศกยยดหยน แทนดวย U

U = ................... (6-26)

สญลกษณ U แทนพลงงานศกยจากแรงโนมถวงหรอสปรงกได ดงนนอาจจะมปญหาบางขอทพลงงานศกยมทง 2 แบบ ซงจะทำาใหสบสนได ในทนเราจะใชตวหอย ยดหยน เพอแทนวาเปนพลงงานศกยยดหยนของสปรง“ ”

U ยดหยน = งานททำาโดยสปรง จาก x1 ไป x2

W ยดหยน = ................... (6-27)ยด x ไปทางบวก งาน (W ยดหยน) เปนลบ แตพลงงานศกยยดหยน

เ พ ม ข น ด น x ไ ป ท า ง ล บ งาน (W ยดหยน) เปนบวก แตพลงงานศกยยดหยนลดลง

อยางไรกตามพลงงานศกยยดหยนจะมคาเปนบวกเสมอตามสมการ (6-26)

W อน คอ งานททำาโดยแรงอน ในกรณน W อน คองานททำาโดยแรง P งานทงหมดของระบบคอ W อน + W ยดหยน จะเทากบการเปลยนแปลงของพลงงานจลน เขยนเปนสมการไดดงน

ฟสกสราชมงคล

140

W อน + W ยดหยน = K W อน - =

ยายพลงงานศกยยดหยนไปอยขางเดยวกบพลงงานจลน จะชวยใหเหนภาพชดเจนยงขน

W อน = + .................... (6-28)จดรปใหม

= = (K2 + U2) - (K1 + U1)= E2 - E1 = E

................... (6-29)

ผลตางของพลงงานรวมสดทายกบเรมตน คองานทงหมดทกระทำาโดยแรงอน W อน ถา W อน เปนบวก พลงงานรวมเพมขน แตถา W อน เปนลบ พลงงานรวมจะลดลง หรอในกรณท W อ น = 0 พลงงานรวมจะคงทหรออนรกษ

จากสมการ (6-29) จะได

= ................... (6-30)

หรอ W อน = (K2 + U2) - (K1 + U1)................... (6-31)

ถา W อน = 0 จะได K1 + U1 = K2 + U2................... (6-32)

ตวอยาง 6-11 จากรป 6-12 ใหคานจของสปรง = 24.0 Nm-1 และมวล m = 4 kg ดงสปรงยดออก 0.500 m และปลอย มวลจะวงกลบ จงหาความเรวของมวลตรงตำาแหนงทสปรงยด 0.300 mหลกการคำานวณ

หลงจากปลอยมอแลว ไมมแรงภายนอกอนใด มแตแรงของสปรงเทานนทกระทำาตอมวล ดงนน

ฟสกสราชมงคล

141

W อน = 0K1 = (4.00 kg)(0)2 = 0

U1 = (24.0 Nm-1)(0.500 m)2 =3.00 J

K2 = (4.00 kg)(v2)2

U2 = (24.0 Nm-1)(0.300 m)2 =1.08 Jแทนคาลงในสมการ (6-32) 0 + 3.00 J = (2.00 kg) + 1.08 Jจะได v2 = 0.98 ms-1 (สญลกษณ มความ

หมายอยางไร)หรอหาไดจากแทนคา v1 = 0 , x1 = 0.5 m , x2 = 0.3 m ลงไปในสมการ (6-30) เพอหา v2

(4.00 kg)(0)2 + (24.0 Nm-1)(0.500 m)2 = (4.00 kg)

(v2)2 + (24.0 Nm-1)(0.300 m)2

v2 = 0.98 ms-1 (สญลกษณ มความหมายอยางไร)

คำาตอบตรงกนไมวาจะหาจากสมการ (6-32) หรอสมการ (6-30)

ปญหาขอนไมสามารถแกไดโดยใชสมการการเคลอนทมความเรงค ง ท เ พ ร า ะ แ ร ง ข อ ง ส ป ร งไมคงท เปลยนไปตามระยะยดทำาใหความเรงกไมคงทไปดวย จงตองแกปญหาโ ด ย ใ ช ห ล ก ก า ร ค ง ต ว ข อ งพลงงานซงจะทำาไดงายและเรวทสด

ตวอยาง 6-12 รป 6-12 ออกแรงคงท P ขนาด 10 N กระทำาตอมวล จงหาความเรวเมอสปรงยด 0.500 mหลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

142

จากสมการ (6-31) W อน ไมเปนศนย เพราะมแรงภายนอก P มากระทำา

W อน = K + U(10.00 N)(0.500m) = (4.00 kg)( ) - 0

+ (24.0 Nm-1)(0.500)2 - 0v2 = 1.00 ms-1

ตวอยาง 6-13 จากตวอยาง 6-12 หยดใหแรง P หลงจากมวลเคลอนทไปได 0.500 m มวลยงเคลอนทตอไปไดไกลอกเทาไรหลกการคำานวณ

หลงจากหยดใหแรง W อน = 0 พลงงานรวมของระบบจะคงทพลงงานรวมท 0.500 m จะเทากบพลงงานจลน + พลงงานศกย

พลงงานจลน = mv2 = 2 J

พลงงานศกย = kx2 = 3 J E รวม = 2 + 3 = 5 J มวล

ยงเคลอนทตอไปจนหยดนงทจดหยดนง พลงงานจลนเปนศนย และพลงงานศกยสงสด แต

พลงงานรวมยงคงเปน 5 Jเพราะฉะนน = =

5.00 J xmax = 0.645 m

ตวอยาง 6-14 กอนอฐมวล m ตกจากทสง h ลงบนสปรงซงมคาคงท k จงหาระยะมากสดทสปรงถกกดลงไป (รป 6-13)

ฟสกสราชมงคล

143

รป 6-13 ระยะความสงจรงทกอนอฐตกลงมาคอ h + y หลกการคำานวณ มเฉพาะแรงโนมถวงและแรงยดหยนจากสปรง W อน = 0 ดงนน พลงงานรวมของระบบททก ๆ จดคงท ตำาแหนงเรมตนตก v1 = 0 , K1 = 0 ตำาแหนงสดทาย อฐจะหยดนง สปรงถกกดลงไป y ทจดนพลงงานจลนเปนศนย พลงงานศกยโนมถวงลดลงไป mg(h + y) สวนพ ล ง ง า น ศ ก ย ย ด ห ย น จ ะ

เพมขน ky2

จากกฎการคงตวของพลงงานปรมาณทงสองมคาเทากนตามสมการ

mg ( h + y) = ky2

จดรปใหม = 0เปนสมการกำาลงสอง สามารถแกสมการหาคา y ได

y =

ม 2 คำาตอบ คำาตอบทเปนบวก ถกตอง สวนคำาตอบทเปนลบ เปนระยะทอยเ ห น อ จ ด ส ม ด ล ข น ไ ป จ งไมใชคำาตอบ

ฟสกสราชมงคล

144

ตำาแหนงเรมตน

ตำาแหนงสดทาย

รป 6-14 วงจรการเคลอนทของวตถทผกกบปลายสปรงวางในแนวราบ

รป 6-15 กราฟแสดงความสมพนธระหวางพลงงานศกย , พลงงานจลนของระยะกระจด

ตวอยาง 6-15 เดกคนหนงไถลลงมาตามเนน เร มจากหยดนงทจด i มาถงปลายเนนทจด f จงหาความเรวของเดกคนนทจด f

รป 6-16 เดกมวล m ลนไถลตามสวนโคง

ฟสกสราชมงคล

145

y1

y2

h

หลกการคำานวณ จากหลกการคงตวของพลงงาน (K + U)เร มตน = (K + U)สดทาย

ใหความเรวตน = v1

ความเรวปลาย = v2

ดงนน = = + 2g (y1 - y2)

เมอเดกเรมไถลลงมา ความเรวตน v1 = 0และ y1 - y2 = h แทนลงไปในสมการบนจะได

= 2gh v2 =

ตวอยาง 6-16 ปลอกเหลกรปทรงกระบอก มวล 10 kg สวมเขากบทอเหลก ผกปลอกเหลกกบสปรง ซงมความยาวเดม 10 cm และมคาคงทของสปรง 500 Nm-1 เดมปลอกเหลกอยนงทตำาแหนง A จงหาความเรวของปลอกเหลกเมอเคลอนทตกมาทตำาแหนง B ซงอยหางจาก A เปนระยะ 15 cm โดยไมคดแรงเสยดทานระหวางปลอกเหลกและทอเหลกดงรป 6-17

รป 6-17หลกการคำานวณ

ฟสกสราชมงคล

146

ระยะ BC = = 25 พลงงานศกยรวมทตำาแหนง

UA = mghA + = (10 9.8 0.15)+

= 14.7 + 2.5 = 17.2 Jพลงงานศกยรวมทตำาแหนง B

UB = mghB +

= 0 + (500)(0.25 - 0.1)2

= 5.625 Jจากหลกการคงตวของพลงงาน UA + KA = UB + KB

KB = KA+[UA-UB] = KA+[( mghA + )-

]

= 0 + (17.25-5.62)

vB = = 1.52 ms-1

6-7 แ ร ง ไ ม อนรกษ________________________________________________

พลงงานศกยโนมถวงไมขนกบเสนทางการเคลอนท แตขนอยกบตำาแหนงเรมตนและตำาแหนงสดทายเทานน เพราะแรงโนมถวงมคณลกษณะเชนน ดงนน แรงโนมถวงจงเปน แรงอนรกษ

การเคลอนทของวตถทผกอยปลายสปรง วางในแนวระนาบดงรป 6-14 ขณะทสปรงยดออก งานททำาโดยสปรงเปนลบ พลงงานจลนลดลง และพลงงานศกยเพมขน แตขณะทสปรงหดเขา งานทท ำาโดยสปรงเปนบวก พลงงานจลนเพมขน และพลงงานศกยลดลง ผลบวกของพลงงานจลนกบ

ฟสกสราชมงคล

147

พลงงานศกยคอพลงงานรวมของระบบซงจะคงททกจด แรงทมคณลกษณะเชนน เปน แรงอนรกษ

ตวอยางทง 2 แสดงคณสมบตของแรงอนรกษ สรปวาแรงอนรกษมคณสมบตดงน

1. ไมขนอยกบเสนทางการเคลอนท แตขนอยกบตำาแหนงเรมตนและตำาแหนงสดทายเทานน

2. เปลยนกลบไปมาได ดงเชน พลงงานจลนและพลงงานศกย3. ถาการเคลอนทมาสนสดทจดเรมตน ระยะกระจดเปนศนย งาน

รวมทงหมดเปนศนยถาไมมคณสมบตเชนนกไมใชแรงอนรกษ ดงเชน วตถเคลอนทบน

พนทมแรงเสยดทานและกลบมายงจดตงตน งานรวมทงหมดไมเปนศนย ดงนนถามแรงเสยดทานในระบบของการเคลอนท พลงงานรวมของระบบจะไมคงท แรงพวกนจงเรยกวา แรงไมอนรกษ พลงงานบางสวนจะกระจายไปบนพน และจะไมมทางนำากลบมาไดอกเลย

6-8 กำาลง_______________________________________________________

นยามของงานไมไดมความสมพนธกบเวลา ตวอยางเชน ถาคณยกว ต ถ ห น ก 100 N ส ง ข น 0.5 m คณทำางาน 50 J ถงคณจะใชเวลาในการยก 1 วนาท 1 ชวโมง หรอ

ฟสกสราชมงคล

148

วดโอเพอการศกษา

โดดอนพา

   ป  2001   สวนสนกในญปน   นำาเครองเลนโดดอนพาออกมาใหคนไดสนกสนานเปนครงแรก   ความเรวของมนสามารถเรงจาก  0  ถง  107  ไมลตอชวโมงโดยใชเวลาเพยง  1.8  วนาท   ผเลนจะไดรบแรงกระทำามากกวา  3.5  เทาของความเรงโลก   หมายความวาผเลนทมนำาหนก 60 กโล

1 ป คณกทำางานเทากน เราจงตองนยามอตราการทำางานขนมา ซงเรยกวา กำาลง

ทำางานได W ในชวงเวลา t กำาลงเฉลย =

= Pav = กำาลงชวขณะ คออตรากำาลงทคดในชวงเวลาสน ๆ โดยให t เขา

ใกลศนย

P = = ................... (6-33)หนวยของกำาลงคอ จลตอวนาท (Js-1) 1 Js-1 เรยกวา 1 วตต (1 W)

1 kW = 103 W และ 1 MW = 106 W

หนวยในระบบองกฤษ งานมหนวยเปน ฟต-ปอนด (ftlb) กำาลงมหนวยเปน ฟต-ปอนดตอวนาท (ftlbs-1)

หนวยของกำาลงทนยมใชกนมากหนวยหนงกคอ กำาลงมา 1 กำาลงมา (hp) = 550 ฟตปอนด ต อ

วนาท = 33,000 ฟตปอนด ตอนาท

กำาลงของไฟฟานยมใชหนวยเปนวตต เชน หลอดไฟ 100 วตต จะใหกำาลงไฟและความรอน 100 จลตอวนาท

หนวยแตละหนวยของกำาลงมความสมพนธกนดงน 1 กำาลงมา = 746 W = 0.746

kW

kWh (กโลวตตชวโมง) นยมใชบอกกำาลงของกระแสไฟฟา 1 kWh คองานททำาในเวลา 1 ชวโมง 3600 1000 J

= 3,600,000 J 1 kWh = 3.6 106 J

= 3.6 MJ

ฟสกสราชมงคล

149

งานชวงเวลาท

บบบบบบบบบ 1 kWh คอหนวยของงานไมใชกำาลง

ออกแรง F ทำาใหมวลเคลอนทไดระยะกระจด s แรง F สามารถแตกอ อ ก เ ป น 2 แ น วคอ F กบ F , F ตงฉากกบการเคลอนท จงไมมงาน ดงนน งาน W = F s กำาลงเฉลยหาไดจาก

pav = = F = Fvav เมอให t เขาใกลศนย จะไดกำาลงชวขณะ

P = Fv ................... (6-34)

เขยนอยในรปของการดอตเวกเตอรP = Fv ....................

(6-35)

ตวอยาง 6-17 เครองบนไอพนใหแรงขบดนออกมา 15,000 N ขณะบนดวยความเรว 300 ms-1 กำาลงของเครองยนตเปนเทาไรหลกการคำานวณ

P = Fv= Fvcos00

= (1.50 104 N)(300 ms-1 ) = 4.50 106 w= (4.500 106 w) = 6,030 hp

ตวอยาง 6-18 รถบโรทงมวล 50 kg วงไปบนทางลาดสงจากระดบนำาทะเล 443 m ในเวลา 15.0 นาท กำาลงเฉลยจะเปนเทาไรหลกการคำานวณ

งานทงหมด W = mgh = (50.0 kg)(9.80 ms-1)(443 m)

ฟสกสราชมงคล

150

= 2.17 105 Jเวลา 15 นาท = 900 s กำาลงเฉลยหาไดจาก

pav = = 241 w = 0.241 kw =

0.323 hpหรอจะหาจากความเรวเฉลย

vav = = 0.492 ms-1 หรอกำาลงเฉลยหาไดจาก

Pav = Fvav = (mg) vav= (50.0 kg)(9.80 ms-2)(0.492 ms-1)= 241 w

ไมวาจะหาโดยวธใดคำาตอบกไดคาตรงกน

6-9 ก ำา ล ง ข อ งรถยนต_____________________________________________

ทก ๆ 1 ลตรของนำามนเบนซนจะใหพลงงาน 3.5 104 J นาเ ส ย ด า ย ท ว า พ ล ง ง า น ท ง ห ม ดไมไดเปลยนเปนพลงงานกล 2 ใน 3 ของความรอนทงหมดทไดจากการเผาไหมเ ช อ เ พ ล ง ส ญ เ ส ย ไ ป ก บ ร ะ บ บหลอเยน ประมาณ 20% เทานนทเปลยนไปเปนพลงงานกล แตกยงตองสญเ ส ย ไ ป ก บ ค ว า ม ส ะ ด ว ก ส บ า ยภายในรถยนต เชน แอร ทจดบหร วทย พวงมาลยเพาเวอร เหลอเพยง 15% ทไปขบเคลอนรถยนต พลงงานสวนทเหลอนจะตองไปชนะแรงเสยดทานการห ม น ข อ ง ล อ แ ล ะ แ ร ง ต า น ข อ ง อ า ก า ศ โ ด ย ท แ ร ง เ ส ย ด ท า นการหมนเปนสดสวนตรงกบ r (สมประสทธแรงเสยดทานหมน) และนำาหนกของรถ

กำาหนดให r ระหวางลอรถยนตกบพนคอนกรต = 0.015 และรถมนำาหนก 10,000 N แรงเสยดทานการหมน Frol = (0.015)(10000 N) = 150 N

ฟสกสราชมงคล

151

Frol ไมขนกบความเรวของรถยนต สวนแรงตานทานของอากาศเปนสดสวนตรงกบความเรวของรถ เปนไปตามสมการ

Fอากาศ =

A = พนทตานลม , เปนความหนาแนนของอากาศ (ประมาณ 1.2 kg.m-3) ทอณหภมปกตv = ความเรวของรถยนต , และ C คอค าคงทเรยกวา drag coefficient ขนอยกบรปรางของตวรถกำาหนดให C = 0.5 สมมตให A = 2 m2 แรงตานอากาศ

Fอากาศ = (0.5)(2 m2)(1.2 kgm-3) v2 = (0.6 Ns2m-2) v2

ให v = 15 ms-1

Fอากาศ = 135 Nและถา v = 30 ms-1

Fอากาศ = 540 N

ทความเรวตำา แรงเสยดทานทลอมากกวาแรงตานทานอากาศ แตทความเรวสงแรงตานของอากาศมากกวา และเปนปจจยสำาคญมากสำาหรบงานออกแบบรถยนต

กำาลงของรถยนตทความเรว v ตางๆ คอP = (Frol

+ Fอากาศ ) v

= [150 + (0.6 Ns2m-2) v2] vตารางกำาลงทความเรวตางๆ

v(ms-1)

Frol(N)

F อากาศ

(N)Fทงหมด

(N)P

(kW)P

(hp)10 150 60 210 2.10 2.8115 150 135 285 4.28 5.7330 150 540 690 20.70 27.70

ฟสกสราชมงคล

152

จากตาราง ทความเรว 15 ms-1 เครองยนตใหกำาลง 4.28 kW = 4,280 Js-1 ใ น เ ว ล า 1 ชวโมง (3,600 s) พลงงานทงหมดในเวลา 1 ชวโมงคอ (4,280 Js-1)(3,600 s) = 1.54 107 J รถยนตเคลอนทได ระยะทาง (15 ms-1)(3,600 s) = 5.4 104 m = 54 km ; 1 ลตรของเบนซนให พ ล ง ง า น 3.5 107 Jเพราะฉะนนปรมาณนำามนทใชใน 1 ชวโมง =

= 0.44 liter

เพยง 15 % เทานนทใชในการขบเคลอนรถยนต

ใน 1 ชวโมงใชนำามน == 2.93 ลตร

ระยะทางตอนำามนทใช คอ = 18.4 kmliter-1

ฟสกสราชมงคล

153

แบบฝกหดเรองงานและ

ฟสกสราชมงคล

154

บรรยายลงในกระดานฟสกส

ในการแขงขนยกนำาหนกของกฬาโอลมปก ในป ค.ศ.1976 นาย วาสร อเลกซฟ ไดทำาใหโลกตนเตน โดยการยกนำาหนกขนาด 562 ปอนด (2500 นวตน) ขนเหนอศรษะสงจากพนประมาณ 2 เมตร ทำาลายสถตโลก อยางไรกตาม ยอนหลงไปในป ค.ศ. 1957 นาย พอล แอนเดอรสน ไดยกนำาหนกโดยใชแผน ผาคลองผานเอว เขาสามารถยกนำาหนกไดสงสด 6270 ปอนด (27 900 N) ขนไดสง 1 เซนตเมตร ดจากตวเลขแลวนายแอนเดอรสนยกนำาหนกได

ทดสอบกอนและหลง

วธทำา ให ใสชอ  สกล  เลอกวชาทสอบ และจำานวนขอ แตตองไมเกนจากทกำาหนดไว เชน กำาหนดไว 10  ขอ เวลาเลอกจำานวนขอ  ให

เลอก  5  และ  10 ขอไมเกนจากน เปนตน เมอทำาเสรจสามารถดคะแนนจากรายละเอยดผทำาขอสอบไดทนท

เรอง งานและพลงงาน 

แบบฝกหดทายบทพรอม

แบบฝกหดทายบทพรอมเฉลย คลกครบ

1. ออกแรง F สมำาเสมอขนาด 70 N กระทำาตอบลอกในแนวทำามม 250 กบพนระดบ ทำาใหบลอกมวล 15 kg เลอนไปบนพน ถาสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางพนกบบลอกเปน 0.3 ในขณะทบลอกเคลอนทจากสภาพนงไดระยะ 5.0 m จงหา

ก) งานของแรง F [ ตอบ 317.21 J ]ข) งานของแรงเสยดทาน [ ตอบ -176.13 J ]ค) งานสทธททำาตอบลอก [ ตอบ 141.08 J ]ง) พลงงานจลนของบลอก [ ตอบ 141.08 J ]

2. ออกแรง F = (6i-2j) N กระทำาตออนภาค ทำาใหอนภาคมการกระจด S = (3i +j) จงหา

ก) งานของแรง F ทกระทำาตออนภาค [ ตอบ 16 J ]ข) มมระหวาง F กบ S [ ตอบ 36.90 ]

3. สมมตวาสปรงมสมบตเปนไปตามกฎของฮคเมอทำางาน 4 J ใหแกสปรงยดออกได 10 cm จงหางานทตองทำาเพมเพอใหสปรงยดออกไปอก 4 cm [ ตอบ 3.84 J ]

4. วตถมวล 3.0 kg มความเรวตน v0 = (6i-2j) m/s ก) จงหาพลงงานจลนของวตถในขณะน [ ตอบ 60 J ]ข) จงหา เมอวตถเปลยนความเรวเปน (8i+4j) m/s (แนะนำา v2

=v.v) [ ตอบ 60 J ]

5. จงคำานวณหาอตราเรว ของโปรตอนทมพลงงานจลน 100 MeV (กำาหนดใหมวลนงของโปรตอน mp = 1.67 10-27 kg และ 1 MeV = 1.610-13 J) [ ตอบ 1.28 m/s ]

6. ลกเบสบอลลกหนงออกจากมอผปาดวยอตราเรว 32.0 m/s ลกบอลมมวล 0.145 kg ไมตองคำานงถงแรงตานอากาศ ในการปาลกเบสบอลนผปาทำางานเทาใดตอลกเบสบอล [ ตอบ 74.2 J ]

ฟสกสราชมงคล

155

7. อเลกตรอนซงกำาลงเคลอนทมพลงงานจลน K1 หลงจากทไดทำางานสทธ W ตออเลกตรอน พบวาอเลกตรอนเคลอนทดวยอตราเรวหนงในสของคาเดมในทศตรงกนขาม

ก) จงหา W ในรป K1 [ ตอบ –(15/16)K1 ]ข) คำาตอบของคณขนอยกบทศการเคลอนทสดทายของอเลกตรอนหรอ

ไม [ ตอบ ไม ]

8. ลกฟตบอลมวล 0.420 kg ลกหนงเดมเคลอนทดวยอตราเรว 2.00 m/s นกฟตบอลคนหนงเตะฟตบอลนนดวยแรงคงตวขนาด 40.0 N ในทศเดยวกบการเคลอนทของลกบอล เทาของเขาตองสมผสกบลกบอลเปนระยะทางเทาใดเพอทจะเพมอตราเรวของลกบอลเปน 6.00 m/s [ ตอบ 16.8 cm ]

9. แรงขนาด 160 N ยดสปรงขดหนงออกได 0.050 m จากความยาวเมอยงไมยด

ก) จะตองใชแรงขนาดเทาใดเพอยดสปรงขดน 0.015 m จากความยาวทยงไมยด และจะตองใชแรง

ขนาดเทาใดเพออดสปรงขดนเขา 0.020 m [ ตอบ 48.0 N ,64.0 N ]

ข) จะตองทำางานขนาดเทาใดเพอยดสปรงขดน 0.015 m จากความยาวทยงไมยด และจะตอง

ทำางานขนาดเทาใดเพออดสปรงขดนเขา 0.020 m จากความยาวทยงไมยด [ ตอบ 0.360 J,

0.640 J ]10. ทสวนนำาแหงหนง แครเลอนพรอมผขถกสงไปตามผวระดบลนโดยการ

ปลอยจากสปรงใหญทถกอดไว สปรงซงมคา k = 4000 N/m และมมวลนอยมากวางอยบนผวระดบลน ปลายหนงของสปรงยดตดกบกำาแพงซงอยกบท แครเลอนและผข ซ งมมวลรวมกน 70.0 kg ถกดนเขากบอกปลายหนงของสปรงและอดสปรงเขาไป 0.375 m หลงจากนนกปลอยแครเลอนใหเคลอนทจากหยดนง จงหาอตราเรวของแครเลอนเมอสปรง

ก) กลบไปอยตำาแหนงทยงถกอด [ ตอบ 2.83 m/s ]ข) ยงถกอดอยเปนระยะ 0.200 m [ ตอบ 2.40 m/s ]

ฟสกสราชมงคล

156

11. ทมรถจกรยานขสองคนตองเอาชนะแรง 165 N เพอทจะรกษาอตราเรวไวท 9.00 m/s จงหากำาลงทตองใชตอผขหนงคน ใหสมมตวาแตละคนใหกำาลงเทากน ใหตอบในหนวยวตตและกำาลงมา [ ตอบ 743 W = 0.995 hp ]

12 เม อ เคร องยนต ข นา ด 75 kW (100 hp) ของเคร องบน เล กเครองยนตเดยวมวล 700 kg ลำาหนงใหกำาลงเตมท เครองบนจะไตความสงขนทอตรา 2.5 m/s (150 m/นาท) เครองบนใชกำาลงของเครองยนตเปนเศษสวนเทาใดในการไตความสง (กำาลงทเหลอถกใชในการเอาชนะแรงตานอากาศและความไมมประสทธภาพในเครองขบและเครองยนต) [ ตอบ 0.23 ]

13. ลฟตตวหนงมมวล 600 kg เมอไมรวมมวลผโดยสาร เขาออกแบบลฟตตวนมาใหเคลอนทขนทอตราเรวคงตวเปนระยะทางแนวด ง 20.0 m ในเวลา 16.0 s ลฟตตวนขบเคลอนดวยมอเตอรทใหกำาลงไดถง 40 hp จงหาจำานวนผโดยสารสงสดทขนลฟตนได ใหสมมตวาผโดยสารเฉลยมมวล 65.0 kg [ ตอบ 28 ]

14. เรอบรรทกเครองบน John F. Kennedy มมวล 7.4 x 107 kg เมอเคร องยนตของเรอใหก ำาลงเตมท 280,000 hp เรอจะเคลอนทด วยอตราเรวสงสด 35 knots (65 km/h) ถา 70% ของกำาลงจายออกของเครองยนตใหไปในการขบเรอในการนำา จงหาขนาดของแรงตานนำาทตานการเคลอนทของเรอทอตราเรวน [ ตอบ 1.8 x 106 N ]

15. กอนวตถเลกมวล 0.120 kg กอนหนงผกตดกบเชอกเสนหนงซงสอดผานรในผวระดบทไมมความฝด ดงรป เดมกอนวตถก ำาลงหมนอยทระยะหาง 0.40 m จากรดวยอตราเรว 0.70 m/s หลงจากนนเชอกถกดงจากดานลางของรทำาใหรศมของวงกลมทกอนวตถหมนสนลงเปน 0.10 m ท ระยะใหมนสงเกตเหนวาอตราเรวของวตถมคา 2.80 m/s

ก) ความตงเชอกในสถานการณเดมเมอกอนวตถมอตราเรว v=0.70 m/s มคาเทาใด [ ตอบ 0.15N ]

ข) ความตงเชอกในสถานการณสดทายเม อก อนวตถมอ ตราเรว v=2.80m/s มคาเทาใด [ตอบ 9.4 N]

ค) งานททำาโดยคนทดงเชอกมคาเทาใด [ ตอบ 0.44 J ]

ฟสกสราชมงคล

157

16. กอนวตถมวล 5.00 kg กอนหนงกำาลงเคลอนทดวยอตราเรว v0 = 6.00 m/s ไปตามผวระดบทไมมความเสยดทานเขาหาสปรงขดหนงซงผกยดไวกบผนง ดงรป สปรงมมวลนอยมากและมคาคงตวของสปรง k = 500 N/m

ก) จงหาระยะทางทสปรงหดเขาไปมากทสด [ ตอบ 0.600 m ]ข) ถาตองการใหสปรงหดไมเกน 0.15 m v0 ควรมขนาดสงสดเทาใด [

ตอบ 1.5 m/s ]

17. จากรป เชอกและรอกมมวลนอยมาก และรอกไมมความฝด เดมวตถมวล 6.00 kg กำาลงเคลอนทลง และวตถมวล 8.00 kg กำาลงเคลอนทไปทางขวา โดยทวตถทงสองกำาลงเคลอนทดวยอตราเรว 0.900 m/s หลงจากทวตถทงสองเคลอนไปได 2.00 m กหยดนง จงใชทฤษฎงาน-พลงงาน คำานวณหาสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางวตถมวล 8.00 kg กบผวโตะ [ ตอบ 0.786 ]

18. แทงวตถมวล 0.25 kg ถกวางอยบนสปรงซงตงอยในแนวดง โดยมคาคงตว k = 5000 N.m-1 ทำาใหสปรงถกอดลงไปจากความยาวปกต 0.1 m เมอปลอยวตถจะทำาใหสปรงดดวตถขนไป จงหาระยะสงสดจากตำาแหนงปลอยวตถ [ ตอบ 10.2 m ]

ฟสกสราชมงคล

158

19. มวล 2.5 kg ผกตดกบสปรงเบาซงมคา k = 65 N.m-1 เมอสปรงถกยดออกจากความยาวปกต 10 cm ปรากฏวาพลงงานจลนของมวลทผกตดกบสปรงมปรมาณเทากบพลงงานศกยของสปรง ถาระบบนถก ปลอยใหเคลอนทอยางอสระบนพนระนาบเรยบ จงหาอตราเรวสงสดของมวล [ ตอบ 0.72 m/s ]

20. พลงงานศกยของระบบซงประกอบดวยวตถสองอนอยหางกนเปนระยะ r คอ U = A/r โดยท A คอคาคงตว จงหาแรงกระทำาระหวางวตถ [ ตอบ A/r2 ]

This page left blank intentionally.

ฟสกสราชมงคล

159