§7-7 应力与应变间的关系一、单向应力状态下应力与应变的关系

32 ,

E1

1

1 横向线应变 与纵向线应变 成正比，比值为泊松比 γ ，而符号相反。

1

32

σ1σ1

E 为材料的弹性模量，单位为 N/m2.

二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系

τ

τγ

γ G

G

或

G 为剪切弹性模量，单位为 N/m2.

（ 1 ）符号规定

x

y

z

o

上面

右侧面

前面

σ x

τ xy

τ xz

σ y

τ yx

τ yz

σ z

τ zx

τ zy

x y z x y y z z x

x y z x y y z z x

1 、各向同性材料的广义胡克定律

(a)(a) 三个正应力分量三个正应力分量：拉应力为正

压应力为负。

三、复杂应力状态下应力与应变的关系

τ xy

τ xz

σ x

x

y

z

o

上面

右侧面

前面

σ y

τ yx

τ yz

σ z

τ zx

τ zy

(b)(b) 三个剪应力分量三个剪应力分量 ::

若正面 ( 外法线与坐标轴正向一致的平面 ) 上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致 , 或负面 ( 外法线与坐标轴负向一致的平面 ) 上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正 , 反之为负。

图中表示的均为正方向图中表示的均为正方向

线应变线应变 : 以伸长为正 ,

缩短为负。

剪应变剪应变 : 使直角减小者为正 ,

增大者为负。γ xy γ yz γ zx

xOy yOz zox 。

σ x

x

y

z

O

上面

右侧面

前面

σ y

τ yx

τ yz

σ z

τ zx

τ zy

τ xy

τ xz

在 x y z 分别单独存在时 , x

方向的线应变 x 依次为 :

Ex

x

'

2 、各向同性材料的广义胡克定律

Ey

x

"

Ez

x '"

σ y

σ y

σ xσ x x

xz

σ z

σ z

(1) 线应变的推导

在 x y z 同时存在时 , x 方向的线应变 x

为

)(1

zyxx E

)]([1

)]([1

yxzz

xzyy

E

E

在 x y z 同时存在时 , y,z 方向的线应变为

剪应变 xy , yz ,zx 与剪应力 xy ,yz ,zx 之间的关系为

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

公式的适用范围 公式的适用范围 :: 在线弹性范围内 , 小变形条件下 ,

各向同性材料。

(2) 剪应变的推导

)]([1

)]([1

)(1

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

公式的适用范围 公式的适用范围 ::

在线弹性范围内 , 小 变形条件下 , 各向同性材料。

3 、 特例 （ 1 ）平面应力状态下 ( 假设 Z = 0 )

)(1

yxx E

)(1

xyy E

)(

yxz E

Gxy

xy

（ 2 ） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时

三向应力状态下：

)]([1

3211 E

)]([1

1322 E

)]([1

2133 E

(7-7-6)

平面应力状态下

设 3 = 0, 则

)(1

211 E

)(1

122 E

)( 213

E

材料的三个弹性常数材料的三个弹性常数 E, G, E, G, 间存在如下关系间存在如下关系 ::

)1(2 vE

G

例题 7-6 已知一受力构件自由表面上的两主应变数值为

10160,10240 63

61 。构件材料为 Q235 钢，其

弹性模量 E=210GPa ，泊松比 =0 。 3 。求该点处的主应力值，

并求该点处另一主应变 2 的数值和方向。

ε 1

ε 3

ε 2

1

3

σ2

σσ

=0物体表面

解： 32321 ,,,, 1与 一，一对应。

由于构件自由表面，所以主应力 2=0 。

所以该点为平面应力状态。

)(1

311 E

)(1

133 E

MPaE

3.44)(1

3121

MPaE

3.20)(1

1323

由

解得

该点处另一主应变 2 的数值为

103.34)( 6312

E

2 是缩短的主应变，其方向必与 1 和 3 垂直，即沿构件的

外法线方向。

四、各向同性材料的体积应变

（ 2 ）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变

（ 1 ）概念 : 构件每单位体积的体积变化 , 称为 体积应变用 θθ 表示。

)1()1()1(' 321 dzdydxV

公式推导

设单元体的三对平面为主平面 , 其三个边长为 d x, d y, d z 变形后的边

长分别为 d x(1+ , d y(1+2 ,

d z(1+3 , 因此变形后单元体的体

积为 :

2

1

3

dx

d y

d z

体积应变为体积应变为

321

321

321

)1(

)1()1()1(

'

dxdydz

dxdydzdxdydz

dxdydz

dxdydzdzdydx

V

VV

)(21

321

E

将广义胡克定律

)]([1

3211 E

)]([1

1322 E

)]([1

2133 E

代入得

321

)(21

zyxE

在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变 x ， y ， z 有关。仿照上述推导有

在任意形式的应力状态下 , 各向同性材料内一点处的

体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正

应力之和成正比 , 而与剪应力无关。

特例

在平面纯剪切应力状态下在平面纯剪切应力状态下： τσσ xy 31 02 σ

)(21

321

E

代入得

0

)0(21

xyxyE

可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。

例题 7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块 , 无间隙地放入体积较大 , 变形可略去不计的钢凹槽中 , 如图 所示。 已知铜的弹性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到 P=300kN 的均布压力作用时 , 求该铜块的主应力 . 体积应变以及最大剪应力。

aa

aP

y

xz

2

3

1.0

10300

A

Py

解：铜块上截面上的压应力为y

y

Z

x

z

x

(b)

MPa30

0)]([1

zyxx E

0)]([1

yxzz E

由由

解得

-15.5MPa

)30(0.34-1

0.34)0.34(1

1

)1(

2

2

yzx

铜块的主应力为

MPaMPa , σ.σσ 30515 321

体积应变和最大剪应力分别为

4321 1095.1)(

21

E

MPa25.7)(2

131max

例题 9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒 , 在表面上 k 点处与其轴线成 45° 和 135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片 , 然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶 , 如图 所示已知圆筒材料的弹性模

量为 E = 200GPa 和 = 0.3 , 若该圆筒的变形在弹性范围内 , 且 m

ax =

80MPa , 试求 k 点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。D

t

ym

k45

090

0

x

450

900

D

t

xym

kτ max

τ max xy

k

0

MPa80

MPa80

2

max3

max1

z

x

y可求得 :

解 : 从圆筒表面 k 点处取出单元体 , 其各面上的应力分量如图 所示

1

3

k 点处的线应变 x , y 为

)(1

)(1

maxmax EE yxx

)(102.5 4 拉应变 xy

)(102.5E

)(1 4max 压应变

圆筒表面上 k 点处沿径向 (z 轴 ) 的应变为

0)()( maxmax EE yxz

同理可得 , 圆筒中任一点 ( 该点到圆筒横截面中心的距离为 ) 处的径向应变为

0)( Ez

因此 , 该圆筒变形后的厚度并无变化 , 仍然为 t =10mm .