제 7 장 미분법칙과 비교정태분석
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제 7 장 미분법칙과 비교정태분석. d. dy. d. d. dk. d. d. d x. d Q. d Q. d x. d x. d x. d x. 미분법칙과 비교정태분석. 일변수함수에 관한 미분법칙. 상수함수의 미분법칙 (constant function rule) 상수함수 y=k, 즉 f(x)=k 의 도함수는 항상 0 임 . - 즉 , x 의 모든 값에 대하여 0 임 . - 다음과 같은 형태로도 표시함 . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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제제 77 장장
미분법칙과미분법칙과비교정태분석비교정태분석
제제 77 장장
미분법칙과미분법칙과비교정태분석비교정태분석
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙
상수함수의 미분법칙 (constant function rule)
상수함수 y=k, 즉 f(x)=k 의 도함수는 항상 0 임 .
- 즉 , x 의 모든 값에 대하여 0 임 .
- 다음과 같은 형태로도 표시함 .
- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0 의 기울기를 갖는 수평선
상수함수의 미분법칙 (constant function rule)
상수함수 y=k, 즉 f(x)=k 의 도함수는 항상 0 임 .
- 즉 , x 의 모든 값에 대하여 0 임 .
- 다음과 같은 형태로도 표시함 .
- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0 의 기울기를 갖는 수평선
dy
dx= =0 또는dk
dx
d
dxy= f(x)= k=0
d
dx
d
dx
f(x)=0
d
dQFC=
d
dQ1200=0
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙
멱함수의 미분법칙 (power function rule)
멱함수 y=f(x)=xn 의 도함수는 nxn-1 임 .
- y=x3 의 도함수 :
- y[=f(x)]=x 의 도함수 :
- y=x0 의 도함수 :
멱함수의 미분법칙 (power function rule)
멱함수 y=f(x)=xn 의 도함수는 nxn-1 임 .
- y=x3 의 도함수 :
- y[=f(x)]=x 의 도함수 :
- y=x0 의 도함수 :
d
dxxn=nxn-1 또는 f(x)=nxn-1
dy
dx
f(x)=
=d
dxd
dx
x3=3x2
x=1(x)0=1
d
dxx0=0(x-1)=0
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙
멱함수의 미분법칙 (power function rule) :
멱함수 y=f(x)=xn 의 도함수는 nxn-1 임 .
- y=1/x3(y=x-3) 의 도함수 :
- y=√ (y=x1/2) 의 도함수 :
= =
멱함수의 미분법칙 (power function rule) :
멱함수 y=f(x)=xn 의 도함수는 nxn-1 임 .
- y=1/x3(y=x-3) 의 도함수 :
- y=√ (y=x1/2) 의 도함수 :
= =
x-1/2d
dx
x-3=-3x-4 (=-3/x4)
x1/2=
d
dx
x1
21
2√x
√2xx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙
멱함수의 미분법칙 (power function rule)
도함수들은 그 자체가 독립변수 x 의 함수임 .
- 예를 들어 , 도함수 dy/dx=3x2 또는 f(x)=3x2 이므로 다음과 같이 x 의 값이 변하면 도함수의 값도 변함 .
f(1)=3(1)2=3 f(2)=3(2)2=12
- 도함수의 값 f(1), f(2) 등을 구할 때 , 중요한 점은 우선 함수 f(x) 를 미분하여 도함수 f(x) 를 얻고 ,
그 다음에 x 의 특정한 값을 f(x) 에 대입해야 함 .
멱함수의 미분법칙 (power function rule)
도함수들은 그 자체가 독립변수 x 의 함수임 .
- 예를 들어 , 도함수 dy/dx=3x2 또는 f(x)=3x2 이므로 다음과 같이 x 의 값이 변하면 도함수의 값도 변함 .
f(1)=3(1)2=3 f(2)=3(2)2=12
- 도함수의 값 f(1), f(2) 등을 구할 때 , 중요한 점은 우선 함수 f(x) 를 미분하여 도함수 f(x) 를 얻고 ,
그 다음에 x 의 특정한 값을 f(x) 에 대입해야 함 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙
멱함수의 미분법칙의 일반화 f(x)=cxn 과 같이 멱함수에 상수 c 가 곱해진 경우
- 이때 도함수는
- y[=f(x)]=2x 일 때 , 도함수는 dy/dx=2(1)x1-1=2(1)x0=1
- f(x)=4x3 일 때 , 도함수는 f(x)=4(3)x3-1=12x2
- f(x)=3x-2 일 때 , 도함수는 f(x)=3(-2)x-2-1=-6x-3
멱함수의 미분법칙의 일반화 f(x)=cxn 과 같이 멱함수에 상수 c 가 곱해진 경우
- 이때 도함수는
- y[=f(x)]=2x 일 때 , 도함수는 dy/dx=2(1)x1-1=2(1)x0=1
- f(x)=4x3 일 때 , 도함수는 f(x)=4(3)x3-1=12x2
- f(x)=3x-2 일 때 , 도함수는 f(x)=3(-2)x-2-1=-6x-3
cxn=cnxn-1 또는 f(x)=cnxn-1 d
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
동일변수 x 를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x) 와 g(x) 가 있음 .
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
두 함수 합 ( 차 ) 의 도함수는 두 함수 도함수의 합 ( 차 ) 임 .
- 함수 y=14x3 으로부터 도함수 dy/dx=42x2 을 구할 수 있음 . 이는 14x3=5x3+9x3 이므로 , y 는 두 함수
f(x)=5x3 과 g(x)=9x3 의 합으로 볼 수 있음 .
동일변수 x 를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x) 와 g(x) 가 있음 .
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
두 함수 합 ( 차 ) 의 도함수는 두 함수 도함수의 합 ( 차 ) 임 .
- 함수 y=14x3 으로부터 도함수 dy/dx=42x2 을 구할 수 있음 . 이는 14x3=5x3+9x3 이므로 , y 는 두 함수
f(x)=5x3 과 g(x)=9x3 의 합으로 볼 수 있음 .
[f(x)g(x)]=
d
dx
d
dx
d
dxf(x) g(x)=f(x)g(x)
d
dx(5x3+9x3)=
d
dx
d
dx5x3+ 9x3=15x2+27x2=42x2
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
다항함수는 멱함수들의 합 ( 차 ) 에 불과함 .
- 예 : = (ax2+bx+c)=2ax+b
- 예 : (7x4+2x3-3x+37)=28x3+6x2-3+0=28x3+6x2-3
- 변수에 곱해지는 상수 ( 계수 ) 는 미분과정에서 남지만 , 가법적으로 주어지는 상수 ( 상수항 ) 는 미분하면 0 이 되어 없어짐 .
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
다항함수는 멱함수들의 합 ( 차 ) 에 불과함 .
- 예 : = (ax2+bx+c)=2ax+b
- 예 : (7x4+2x3-3x+37)=28x3+6x2-3+0=28x3+6x2-3
- 변수에 곱해지는 상수 ( 계수 ) 는 미분과정에서 남지만 , 가법적으로 주어지는 상수 ( 상수항 ) 는 미분하면 0 이 되어 없어짐 .
dy
dx
d
dxd
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
- 경제학에서 기업의 고정비용 (FC) 은 한계비용 (MC) 에 영향을 미치지 못함 .
C=Q3-4Q2+10Q+75
여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿ C/ Q⊿ 의 극한임 .
즉 , 비용함수의 도함수 (= 한계비용 ) 는 다음과 같음 .
(=MC)=3Q2-8Q+10
- FC 인 상수항 75 는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐 .
합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)
- 경제학에서 기업의 고정비용 (FC) 은 한계비용 (MC) 에 영향을 미치지 못함 .
C=Q3-4Q2+10Q+75
여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿ C/ Q⊿ 의 극한임 .
즉 , 비용함수의 도함수 (= 한계비용 ) 는 다음과 같음 .
(=MC)=3Q2-8Q+10
- FC 인 상수항 75 는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐 .
dC
dQ
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- 일반적으로 원시함수 y=f(x) 가 총함수를 나타내면 ,
그 도함수 dy/dx 는 한계함수가 됨 .
- 즉 , 한계함수는 주어진 x 값에서 총함수의 기울기임 .
( 총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기 를 나타냄 .)
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- 일반적으로 원시함수 y=f(x) 가 총함수를 나타내면 ,
그 도함수 dy/dx 는 한계함수가 됨 .
- 즉 , 한계함수는 주어진 x 값에서 총함수의 기울기임 .
( 총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기 를 나타냄 .)
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function) 총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- [ 그림 7.1](a) 에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는 상수인 한계함수를 가짐 ( 수평형태의 기울기 ).
- [ 그림 7.1](b) 처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐 .
한계함수는 총함수의 기울기가 음 ( 양 ) 일 때 가로축의 아래 ( 위 ) 에 위치함 .
- [ 그림 7.1](c) 처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수 ,
즉 도함수에 틈 ( 불연속성 ) 이 생김 .
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- [ 그림 7.1](a) 에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는 상수인 한계함수를 가짐 ( 수평형태의 기울기 ).
- [ 그림 7.1](b) 처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐 .
한계함수는 총함수의 기울기가 음 ( 양 ) 일 때 가로축의 아래 ( 위 ) 에 위치함 .
- [ 그림 7.1](c) 처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수 ,
즉 도함수에 틈 ( 불연속성 ) 이 생김 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과 연결할 수 있음 .
- 특히 , 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다 ( 그리고 미분가능하다 ) 는 대신 , 연속도함수를 갖는 함수로 ,
이러한 함수를 연속미분가능함수 (continuously
differentiable function) 라고 함 .
총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)
- 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과 연결할 수 있음 .
- 특히 , 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다 ( 그리고 미분가능하다 ) 는 대신 , 연속도함수를 갖는 함수로 ,
이러한 함수를 연속미분가능함수 (continuously
differentiable function) 라고 함 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
곱의 미분법칙 (product rule)
- 두 ( 미분가능한 ) 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 ( 그 순서를 바꿔도 무방함 ).
[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)
=f(x)g(x)+g(x)f(x)
[=f(x)g(x)+g(x)f(x)]
곱의 미분법칙 (product rule)
- 두 ( 미분가능한 ) 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 ( 그 순서를 바꿔도 무방함 ).
[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)
=f(x)g(x)+g(x)f(x)
[=f(x)g(x)+g(x)f(x)]
d
dx
d
dx
d
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
곱의 미분법칙 (product rule)
- y=(2x+3)(3x2) 의 도함수 ?
우선 , f(x)=2x+3 및 g(x)=3x2 이라고 하면 , f(x)=2 및 g(x)=6x 임 . 따라서 도함수는 다음과 같음 .
[(2x+3)(3x2)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x2)=18x2+18x
이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음 .
f(x)g(x)=(2x+3)(3x2)=6x3+9x2
이를 미분하면 도함수는 18x2+18x
곱의 미분법칙 (product rule)
- y=(2x+3)(3x2) 의 도함수 ?
우선 , f(x)=2x+3 및 g(x)=3x2 이라고 하면 , f(x)=2 및 g(x)=6x 임 . 따라서 도함수는 다음과 같음 .
[(2x+3)(3x2)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x2)=18x2+18x
이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음 .
f(x)g(x)=(2x+3)(3x2)=6x3+9x2
이를 미분하면 도함수는 18x2+18x
d
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
곱의 미분법칙 (product rule)
- 함수가 셋인 경우로 확장하면 , 다음과 같음 .
[f(x)g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x)
세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것
곱의 미분법칙 (product rule)
- 함수가 셋인 경우로 확장하면 , 다음과 같음 .
[f(x)g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x)
세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것
d
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
곱의 미분법칙 (product rule)
- y=x(x2-1)(x3-x2+1) 일 때 도함수 ?
우선 , f(x)=x, g(x)=x2-1, h(x)=x3-x2+1 이라고 하면 ,
f(x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2-2x 임 . 따라서 도함수는
=1(x2-1)(x3-x2+1)+x(2x)(x3-x2+1)+x(x2-1)(3x2-2x)
곱의 미분법칙 (product rule)
- y=x(x2-1)(x3-x2+1) 일 때 도함수 ?
우선 , f(x)=x, g(x)=x2-1, h(x)=x3-x2+1 이라고 하면 ,
f(x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2-2x 임 . 따라서 도함수는
=1(x2-1)(x3-x2+1)+x(2x)(x3-x2+1)+x(x2-1)(3x2-2x)dy
dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤 (profit : )= 총수입 (TR)- 총비용 (TC)
=TR-TC=PQ-TC
- 평균수입 (average revenue : AR)=f(Q)
AR(=P)=TR/Q ( 단위 산출량당 평균수입 )=15-Q
- 총수입 (TR)ARQ(=PQ)=(15-Q)Q=15Q-Q2
- 한계수입 (marginal revenue : MR) : 총수입 (TR) 미분
MR =f(Q)1+Qf(Q)=f(Q)+Qf(Q)=AR+Qf(Q)
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤 (profit : )= 총수입 (TR)- 총비용 (TC)
=TR-TC=PQ-TC
- 평균수입 (average revenue : AR)=f(Q)
AR(=P)=TR/Q ( 단위 산출량당 평균수입 )=15-Q
- 총수입 (TR)ARQ(=PQ)=(15-Q)Q=15Q-Q2
- 한계수입 (marginal revenue : MR) : 총수입 (TR) 미분
MR =f(Q)1+Qf(Q)=f(Q)+Qf(Q)=AR+Qf(Q)dTR
dQ
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf(Q)
이로부터 , MR 과 AR 은 항상 Qf(Q) 만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q 는 비음 (non-negative, 즉 Q0) 임 .
- f(Q)[=AR] 는 Q 에 관해서 그려진 평균수입곡선의 ( 접선의 ) 기울기임 (0).
- 평균수입 (AR) 과 가격 (P) 은 서로 같음 .
AR[=f(Q)] P
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf(Q)
이로부터 , MR 과 AR 은 항상 Qf(Q) 만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q 는 비음 (non-negative, 즉 Q0) 임 .
- f(Q)[=AR] 는 Q 에 관해서 그려진 평균수입곡선의 ( 접선의 ) 기울기임 (0).
- 평균수입 (AR) 과 가격 (P) 은 서로 같음 .
AR[=f(Q)] PTR
Q
PQ
Q
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 식에서 평균수입함수 (AR) 는 P=f(Q) 의 관계임 .
그러나 수요함수 (demand function) 는 Q=f(P) 의 관계 이므로 , 이 두 함수는 서로 역함수 (inverse function)
관계임 .
- 완전경쟁하에서의 AR 곡선은 수평이므로 f(Q)=0 임 .
따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR 임 .
- 불완전경쟁하에서 AR 곡선의 기울기는 우하향함 .
따라서 MR-AR0, 즉 MR 곡선은 AR 곡선 아래 위치함 .
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 식에서 평균수입함수 (AR) 는 P=f(Q) 의 관계임 .
그러나 수요함수 (demand function) 는 Q=f(P) 의 관계 이므로 , 이 두 함수는 서로 역함수 (inverse function)
관계임 .
- 완전경쟁하에서의 AR 곡선은 수평이므로 f(Q)=0 임 .
따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR 임 .
- 불완전경쟁하에서 AR 곡선의 기울기는 우하향함 .
따라서 MR-AR0, 즉 MR 곡선은 AR 곡선 아래 위치함 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석 (qualitative analysis) 임 .
- 그러나 이에 대한 정량적 분석 (quantitative analysis) 도 가능함 ( 그림 7.2 참조 ).
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석 (qualitative analysis) 임 .
- 그러나 이에 대한 정량적 분석 (quantitative analysis) 도 가능함 ( 그림 7.2 참조 ).
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 그림에서 산출량이 N 에서 결정되면 , Qf(Q) 는 구체적으로 Nf(N) 으로 됨 .
- 여기서 Nf(N) 크기를 알 수 있다면 , AR 곡선상의 G 점 에서 얼마만큼 아래에 MR 곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음 .
- f(N) 은 점 G 에서 AR 곡선의 기울기임 . 즉 , 접선 JM 의 기울기 (OJ/OM 또는 HJ/HG) 임 .
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 그림에서 산출량이 N 에서 결정되면 , Qf(Q) 는 구체적으로 Nf(N) 으로 됨 .
- 여기서 Nf(N) 크기를 알 수 있다면 , AR 곡선상의 G 점 에서 얼마만큼 아래에 MR 곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음 .
- f(N) 은 점 G 에서 AR 곡선의 기울기임 . 즉 , 접선 JM 의 기울기 (OJ/OM 또는 HJ/HG) 임 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 따라서 ( 거리 ) 산출량 N 에서 AR 곡선과 그 아래 위치한 MR 곡선 사이의 거리 Nf(N) 은 다음과 같음 .
Nf(N)=HG =HJ
- 따라서 HJ 만큼 점 G 에서 수직거리 KG(=HJ) 만큼 아래 점 K 를 정하면 반드시 MR 곡선상의 한 점이 됨 .
- 만약 , 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR 곡선상의 점 그 아래 위치한 MR 곡선상의 한 점을 구할 수 있음 .
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 따라서 ( 거리 ) 산출량 N 에서 AR 곡선과 그 아래 위치한 MR 곡선 사이의 거리 Nf(N) 은 다음과 같음 .
Nf(N)=HG =HJ
- 따라서 HJ 만큼 점 G 에서 수직거리 KG(=HJ) 만큼 아래 점 K 를 정하면 반드시 MR 곡선상의 한 점이 됨 .
- 만약 , 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR 곡선상의 점 그 아래 위치한 MR 곡선상의 한 점을 구할 수 있음 .
HJ
HG
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=PQ
AR= =P, MR=
수요함수 : P=a-bQ (AR)
TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ2
MR=a-2bQ
- MR 곡선 기울기는 AR 곡선 기울기보다 2 배 큼 ( 절대값 ).
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=PQ
AR= =P, MR=
수요함수 : P=a-bQ (AR)
TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ2
MR=a-2bQ
- MR 곡선 기울기는 AR 곡선 기울기보다 2 배 큼 ( 절대값 ).
PQ
Q
dTR
dQ
![Page 26: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/26.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기
AR ( 선형인 경우 )
MR
║ ║
║ ║
![Page 27: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/27.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
몫의 미분법칙 (quotient rule)
- 두 함수의 몫 f(x)/g(x) 의 도함수는 다음과 같음 .
=
- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2 개 항이 있고 ,
각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음 .
특히 , f(x) 는 양의 항에 나타나고 있고 , g(x) 은 음의 항에 나타나고 있으며 , 분모는 g(x) 의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g2(x)[g(x)]2 임 .
몫의 미분법칙 (quotient rule)
- 두 함수의 몫 f(x)/g(x) 의 도함수는 다음과 같음 .
=
- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2 개 항이 있고 ,
각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음 .
특히 , f(x) 는 양의 항에 나타나고 있고 , g(x) 은 음의 항에 나타나고 있으며 , 분모는 g(x) 의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g2(x)[g(x)]2 임 .
d
dx
f(x)
g(x)
f(x)g(x)-f(x)g(x)
g2(x)
![Page 28: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/28.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
몫의 미분법칙 (quotient rule)
- 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= =
- 예 2 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= =
- 예 3 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= = =
몫의 미분법칙 (quotient rule)
- 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= =
- 예 2 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= =
- 예 3 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .
= = =
d
dx2x-3
x+1
2(x-1)-(2x-3)(1)
(x+1)2
5
(x+1)2
d
dx
5x
x2+1
5(x2+1)-5x(2x)
(x2+1)2
5(1-x2)
(x2+1)2
d
dx
ax2+b
cx
2ax(cx)-(ax2+b)(c)
(cx)2
c(ax2-b)
(cx)2
ax2-b
cx2
![Page 29: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/29.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
Relationship between marginal cost and average cost function
- 총비용함수 (TC) C=C(Q) 가 주어지고 Q0 이면 ,
평균비용함수 (AC)= : Q 에 관한 두 함수의 몫
한계비용함수 (MC)= = =C(Q)
- 단위 산출량에 대한 AC 의 변화율은 AC 를 미분하면 됨 .
= = C(Q)-
Relationship between marginal cost and average cost function
- 총비용함수 (TC) C=C(Q) 가 주어지고 Q0 이면 ,
평균비용함수 (AC)= : Q 에 관한 두 함수의 몫
한계비용함수 (MC)= = =C(Q)
- 단위 산출량에 대한 AC 의 변화율은 AC 를 미분하면 됨 .
= = C(Q)-
C(Q)
QC(Q)-C(a)
Q-a
d
dQ
C(Q)
Q
C(Q)Q-C(Q)1
Q2
1
Q
C(Q)
Q
dC(Q)
dQ
![Page 30: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/30.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
Relationship between marginal cost and average cost function
- 앞의 식으로부터 Q0 에 대하여 다음의 관계가 성립
C(Q) 이면 , 0
여기서 C(Q) 는 한계비용함수 (MC), C(Q)/Q 는 평균비용 함수 (AC), (d/dQ)[C(Q)/Q] 는 AC 곡선의 기울기임 .
- 위 식의 경제적 의미 :
한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 증가 한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 0
한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 감소
Relationship between marginal cost and average cost function
- 앞의 식으로부터 Q0 에 대하여 다음의 관계가 성립
C(Q) 이면 , 0
여기서 C(Q) 는 한계비용함수 (MC), C(Q)/Q 는 평균비용 함수 (AC), (d/dQ)[C(Q)/Q] 는 AC 곡선의 기울기임 .
- 위 식의 경제적 의미 :
한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 증가 한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 0
한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 감소
C(Q)
Q
d
dQ
C(Q)
Q
![Page 31: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/31.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
Relationship between marginal cost and average cost function
- 다음의 그림 7.3 은 총비용함수 C=Q3-12Q2+60Q 가 주어졌을 때 , MC 곡선과 AC 곡선이 그려진 것임 .
- 여기서 Q=6 의 왼쪽에서는 AC 가 감소하고 이에 따라 MC 는 AC 의 아래쪽에 위치하고 , 오른쪽에서는 AC 가 증가하고 이에 따라 MC 는 AC 의 위쪽에 위치함 .
Q=6 에서는 AC 가 0 의 기울기를 가지고 MC 와 AC 는 일치함 .
Relationship between marginal cost and average cost function
- 다음의 그림 7.3 은 총비용함수 C=Q3-12Q2+60Q 가 주어졌을 때 , MC 곡선과 AC 곡선이 그려진 것임 .
- 여기서 Q=6 의 왼쪽에서는 AC 가 감소하고 이에 따라 MC 는 AC 의 아래쪽에 위치하고 , 오른쪽에서는 AC 가 증가하고 이에 따라 MC 는 AC 의 위쪽에 위치함 .
Q=6 에서는 AC 가 0 의 기울기를 가지고 MC 와 AC 는 일치함 .
![Page 32: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/32.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙
Relationship between marginal cost and average cost function Relationship between marginal cost and average cost function
MCAC
MCAC MCAC
![Page 33: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/33.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- 함수 z=f(y) 이고 y=g(x) 라면 , z=f[g(x)] 로 변형이 가능 - 여기서 z 의 x 에 관한 도함수는 z 의 y 에 대한 도함수에 y 의 x 에 관한 도함수를 곱한 것과 같음 .
- 즉 , 기호로 표시하면 다음과 같음 .
= =f(y)g(x)
- 이를 연쇄법칙 (chain rule) 이라 함 .
연쇄법칙 (chain rule)
- 함수 z=f(y) 이고 y=g(x) 라면 , z=f[g(x)] 로 변형이 가능 - 여기서 z 의 x 에 관한 도함수는 z 의 y 에 대한 도함수에 y 의 x 에 관한 도함수를 곱한 것과 같음 .
- 즉 , 기호로 표시하면 다음과 같음 .
= =f(y)g(x)
- 이를 연쇄법칙 (chain rule) 이라 함 .
dz
dx
dz
dy
dy
dx
![Page 34: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/34.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- ⊿x 가 주어지면 , 함수 y=g(x) 를 통하여 ⊿ y 가 결정되고 ,
이 ⊿ y 는 함수 z=f(y) 를 통하여 ⊿ z 를 결정함 .
⊿x y ⊿ z⊿
- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫 , y⊿ /⊿x 와 ⊿z/ y⊿ 를 수반하지만 , 이들이 곱해지면 ⊿ y 는 소거됨 .
=
연쇄법칙 (chain rule)
- ⊿x 가 주어지면 , 함수 y=g(x) 를 통하여 ⊿ y 가 결정되고 ,
이 ⊿ y 는 함수 z=f(y) 를 통하여 ⊿ z 를 결정함 .
⊿x y ⊿ z⊿
- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫 , y⊿ /⊿x 와 ⊿z/ y⊿ 를 수반하지만 , 이들이 곱해지면 ⊿ y 는 소거됨 .
=⊿y
⊿x
⊿z
⊿y
⊿z
⊿x
g 를 통하여 f 를 통하여
![Page 35: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/35.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- 함수 y=g(x) 이면 z=f(y) 를 z=f[g(x)] 로 나타낼 수 있음 .
- 여기서 두 함수기호 f 와 g 가 서로 인접하여 나타나는 것을 합성함수 ( 함수의 함수 ) 라고 함 .
- 이 연쇄법칙을 합성함수의 법칙 (composite function
rule) 또는 함수의 함수의 법칙 (function of a function
rule) 이라고도 함 .
연쇄법칙 (chain rule)
- 함수 y=g(x) 이면 z=f(y) 를 z=f[g(x)] 로 나타낼 수 있음 .
- 여기서 두 함수기호 f 와 g 가 서로 인접하여 나타나는 것을 합성함수 ( 함수의 함수 ) 라고 함 .
- 이 연쇄법칙을 합성함수의 법칙 (composite function
rule) 또는 함수의 함수의 법칙 (function of a function
rule) 이라고도 함 .
![Page 36: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/36.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- 마찬가지로 연쇄법칙을 확장 (expansion) 하여 , 함수가 z=f(y), y=g(x) 및 x=h(w) 로 주어지면 ,
= =f(x)g(x)h(w)
- 예 1 : z=3y2 이고 y=2x+5 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?
= =6y(2)=12y=12(2x+5)
연쇄법칙 (chain rule)
- 마찬가지로 연쇄법칙을 확장 (expansion) 하여 , 함수가 z=f(y), y=g(x) 및 x=h(w) 로 주어지면 ,
= =f(x)g(x)h(w)
- 예 1 : z=3y2 이고 y=2x+5 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?
= =6y(2)=12y=12(2x+5)
dz
dw
dz
dy
dy
dx
dx
dw
dz
dx
dz
dy
dy
dx
![Page 37: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/37.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- 예 2 : z=y-3 이고 y=x3 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?
= =1(3x2)=3x2
- 예 3 : z=(x2+3x-2)17 일 때 , 중간변수 (intermediate variable) y=x2+3x-2 를 연쇄적으로 연결하면 ,
즉 z=y17 이고 y=x2+3x-2 일 때 도함수 dz/dx?
= =17y16(2x+3)=17(x2+3x-2)16(2x+3)
연쇄법칙 (chain rule)
- 예 2 : z=y-3 이고 y=x3 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?
= =1(3x2)=3x2
- 예 3 : z=(x2+3x-2)17 일 때 , 중간변수 (intermediate variable) y=x2+3x-2 를 연쇄적으로 연결하면 ,
즉 z=y17 이고 y=x2+3x-2 일 때 도함수 dz/dx?
= =17y16(2x+3)=17(x2+3x-2)16(2x+3)
dz
dx
dz
dy
dy
dx
dz
dx
dz
dy
dy
dx
![Page 38: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/38.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
연쇄법칙 (chain rule)
- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q) 이고 , 생산함수 Q=g(L) 일 때 ,
dR/dL ( 연쇄법칙 )?
= =f(Q)g(L) MRPL=MRMPPL
여기서 dR/dQ 는 한계수입 (MR) 이고 , dQ/dL 은 노동의 한계실물생산 (marginal physical product of labor :
MPPL) 이고 , dR/dL 은 노동의 한계수입생산 (marginal revenue product of labor : MRPL) 임 .
연쇄법칙 (chain rule)
- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q) 이고 , 생산함수 Q=g(L) 일 때 ,
dR/dL ( 연쇄법칙 )?
= =f(Q)g(L) MRPL=MRMPPL
여기서 dR/dQ 는 한계수입 (MR) 이고 , dQ/dL 은 노동의 한계실물생산 (marginal physical product of labor :
MPPL) 이고 , dR/dL 은 노동의 한계수입생산 (marginal revenue product of labor : MRPL) 임 .
dR
dL
dR
dQ
dQ
dL
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 함수 y=f(x) 에서 1 대 1 사상 (one to one mapping),
즉 서로 다른 x 값에 대하여 y 가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 , 함수 f 는 역함수 x=f-1(y) 가 존재함 .
( 역함수는 함수 f(x) 의 역수 1/f(x) 가 아님 .)
- 역함수 존재의 본질적 의미는 ,
주어진 x 값에 대하여 유일한 y 값이 결정되고 [y=f(x)],
주어진 y 값에 대하여 유일한 x 값이 결정된다는 것임 [x=f-1(y)].
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 함수 y=f(x) 에서 1 대 1 사상 (one to one mapping),
즉 서로 다른 x 값에 대하여 y 가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 , 함수 f 는 역함수 x=f-1(y) 가 존재함 .
( 역함수는 함수 f(x) 의 역수 1/f(x) 가 아님 .)
- 역함수 존재의 본질적 의미는 ,
주어진 x 값에 대하여 유일한 y 값이 결정되고 [y=f(x)],
주어진 y 값에 대하여 유일한 x 값이 결정된다는 것임 [x=f-1(y)].
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수 (strictly monotonic
function) 라고 함 .
- 강증가함수 (strictly increasing function) :
x 가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x) 는 항상 순차적
으로 더 큰 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)
- 강감소함수 (strictly decreasing function) :
x 가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x) 는 항상 순차적
으로 더 작은 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수 (strictly monotonic
function) 라고 함 .
- 강증가함수 (strictly increasing function) :
x 가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x) 는 항상 순차적
으로 더 큰 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)
- 강감소함수 (strictly decreasing function) :
x 가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x) 는 항상 순차적
으로 더 작은 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x) 의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x 값에 대해 f(x) 가 항상 같은 (0 이 아닌 ) 대수 부호 (+/-) 를 갖는지 여부를 점검하는 것임 .
- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함 .
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x) 의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x 값에 대해 f(x) 가 항상 같은 (0 이 아닌 ) 대수 부호 (+/-) 를 갖는지 여부를 점검하는 것임 .
- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : 함수 y=5x+25 는 도함수 dy/dx=+5 를 갖고 , 이것은 x 값에 관계없이 항상 양수임 . 즉 , 강증가함수임 .
따라서 역함수가 존재함 .
이 때 , 역함수는 y=5x+25 를 x 에 대해 풀면 됨 .
즉 , x=(1/5)y-5 임 .
이 역함수도 모든 y 값에 대해 도함수 dx/dy=1/5 로 0 보다 큼 ( 양수 ). 따라서 강증가함수임 .
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : 함수 y=5x+25 는 도함수 dy/dx=+5 를 갖고 , 이것은 x 값에 관계없이 항상 양수임 . 즉 , 강증가함수임 .
따라서 역함수가 존재함 .
이 때 , 역함수는 y=5x+25 를 x 에 대해 풀면 됨 .
즉 , x=(1/5)y-5 임 .
이 역함수도 모든 y 값에 대해 도함수 dx/dy=1/5 로 0 보다 큼 ( 양수 ). 따라서 강증가함수임 .
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 graph 와 x=f-1(y) 의 graph 는 축만 바뀔 뿐 똑같은 graph 임 .
- 즉 , 두 곡선은 원점을 통과하는 45 선에 대해서 서로 대칭 (mirror image) 임 .
- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f 의 graph 가 주어지면 역함수 f-1 의 graph 를 쉽게 그릴 수 있음 .
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 graph 와 x=f-1(y) 의 graph 는 축만 바뀔 뿐 똑같은 graph 임 .
- 즉 , 두 곡선은 원점을 통과하는 45 선에 대해서 서로 대칭 (mirror image) 임 .
- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f 의 graph 가 주어지면 역함수 f-1 의 graph 를 쉽게 그릴 수 있음 .
![Page 44: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/44.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
원래 함수와 역함수의 graph 원래 함수와 역함수의 graphy=5x+25
x=(1/5)y-5
x
y
25
-5-5 0
y
x 2545
![Page 45: 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020712/56815314550346895dc1380d/html5/thumbnails/45.jpg)
미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 역함수인 x=f-1(y) 의 미분법칙은 다음과 같음 .
=
- 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수임을 의미함 .
- 이 때문에 dx/dy 는 dy/dx 와 같은 부호를 가지게 되어 f 가 강증가 ( 감소 ) 함수이면 f-1 도 반드시 강증가 ( 감소 )
함수가 됨 ( 앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 역함수인 x=f-1(y) 의 미분법칙은 다음과 같음 .
=
- 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수임을 의미함 .
- 이 때문에 dx/dy 는 dy/dx 와 같은 부호를 가지게 되어 f 가 강증가 ( 감소 ) 함수이면 f-1 도 반드시 강증가 ( 감소 )
함수가 됨 ( 앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).
dx
dy
1
dy/dx
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미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석
상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : y=x5+x 가 주어졌을 때 , 역함수의 도함수 dx/dy?
=5x4+1 ( 항상 0 보다 큼 강증가함수 )
위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음 .
= =
역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : y=x5+x 가 주어졌을 때 , 역함수의 도함수 dx/dy?
=5x4+1 ( 항상 0 보다 큼 강증가함수 )
위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음 .
= =
dy
dx
dx
dy
1
dy/dx
1
5x4+1