Ολοκληρωτικός λογισμός σε 7 βήματα (2016 - 17)

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών

http://lisari.blogspot.gr [email protected]

7 Βήματα στον Ολοκληρωτικό Λογισμό

Κεφάλαιο 3ο - Γ΄ Λυκείου Κατεύθυνσης

(Τελευταία ενημέρωση: 07/03/17)

• 7 μαθήματα (βήματα)

• 38 ερωτήματα θεωρίας

• 76 Άλυτες - λυμένες ασκήσεις

• Μεθοδολογία ασκήσεων - Προβληματισμοί

• 16 Κατηγορίες ασκήσεων

• Τυπολόγια

Hellas 2017

http://lisari.blogspot.gr/

mailto:[email protected]



Κεφάλαιο 3ο – Ολοκληρωτικός Λογισμός 2

…αφιερωμένο στους ανήσυχους καθηγητές!

Στους καθηγητές που προσπαθούν, που δεν επαναπαύονται στις

γνώσεις ή στις δάφνες τους, δεν μεροληπτούν, αγαπάνε αυτό που διδάσκουν και το μεταφέρουν στους μαθητές τους!

Στους καθηγητές μας που θα έχουμε για πάντα στο μυαλό και στην καρδιά μας.






Ερωτήσεις - Ασκήσεις – Μεθοδολογία – Παρατηρήσεις

Κεφάλαιο 3ο – Ολοκληρωτικός Λογισμός

Μάθημα 1ο – Αρχική – Παράγουσα συνάρτηση

Ερώτηση 1η «Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση»

α) Δώστε τον ορισμό της αρχική ή παράγουσας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ. Δώστε τύπο και παραδείγματα.

β) Σωστό ή Λάθος: Όλες οι συναρτήσεις έχουν αρχική συνάρτηση στο πεδίο ορισμού τους.

γ) Η αρχική συνάρτηση είναι μοναδική για κάθε συνάρτηση; Γράψτε και αποδείξτε την μορφή όλων των αρχικών

συναρτήσεων της f στο διάστημα Δ.

δ) Αν F, G είναι παράγουσες της συνάρτησης f στο διάστημα Δ, τότε γράψτε και αποδείξτε ποια σχέση συνδέει τις

συναρτήσεις F, G.

Βασική Άσκηση 1η

Βρείτε ΜΊΑ αρχική ή παράγουσα συνάρτηση από τις παρακάτω (σ.σ.: Την ίδια άσκηση, πιο «φτωχή», την είχαμε δει και στο Θ. Rolle)

Συνάρτηση f Αρχική ή Παράγουσα F

0

1

c

x v, v 1 R

ημx

συνx

x , 0

x , 0

2

1

x

2

1

x






xe

xe , 0

x , 0, 1

x , 0, 1

1

x

1

x , 0

f x

f x

vf x f x

f x

2 f x

f x

f x

f xe f x

f xf x 0, 1

f x f x

f x f x

2

f x

f x

2

f x

f x






f x g x

f x g x

f x

f x g x f x g x

2

f x g x f x g x

g x

Σημείωση: Οι τύποι του παραπάνω πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

Βασική άσκηση 2η

Έστω δύο συναρτήσεις f , g που έχουν αρχική στο διάστημα Δ, τότε

α) η συνάρτηση f g έχει αρχική στο Δ

β) η συνάρτηση f g έχει αρχική στο διάστημα Δ

γ) η συνάρτηση f έχει αρχική στο Δ για κάθε πραγματική σταθερά .


Α. Αν η συνάρτηση f έχει αρχική στο Δ και η συνάρτηση g δεν έχει αρχική στο Δ, τότε οι συναρτήσεις f g , f g δεν

έχουν αρχική στο Δ.

Β. Να αποδείξετε ότι:

i) Η συνάρτηση 1

x , x 0g x x

0 , x 0

έχει παράγουσα

ii) Η συνάρτηση 0 , x 0

f x1 , x 0

δεν έχει παράγουσα

iii) Η συνάρτηση 1

x , x 0h x x

1 , x 0

δεν έχει παράγουσα.

Υπόδειξη Βii (με σχολικές γνώσεις)

Έστω ότι υπάρχει αρχική συνάρτηση της f και είναι η F x , δηλαδή ισχύει F x f x , ά x R . Οπότε,

F 0 f 0 1 . Όμως,

x 0 x 0 x 0

0

0

D L

F x F 01 F 0 F x f x 0,

xάlim lim lim

Προσοχή! Είναι λάθος να πούμε, επειδή η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x 0 τότε δεν υπάρχει αρχική. Γνωρίζουμε ότι αν η f

είναι συνεχής στο Δ τότε υποχρεωτικά υπάρχει αρχική. Κάτι ανάλογο δεν ισχύει και για την άρνηση της συνέχειας.







Έστω f : α,β R μια συνάρτηση και έστω γ α,β . Αν η f έχει παράγουσα συνάρτηση σε καθένα από τα διαστήματα

α,γ και γ,β , να αποδείξετε ότι η f έχει παράγουσα και στο α,β .


Η συνάρτηση f : R R έχει παράγουσα συνάρτηση την F. Αν η F δεν είναι 1 – 1 στο R , να αποδείξετε ότι υπάρχει

0x R τέτοιο, ώστε 0f x 0 .

Άσκηση 6η

Βρείτε όλες τις αρχικές ή παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων.

α) 3f x 4x x x β) 2f x x x 1 γ) 3

2 2

1 2f x x , x 0,

2x x

δ) 5x 3x 2

f x , x 0x

ε)

1f x , x 1

x 1

στ)

1f x , x 200

2x 3

ζ) x 2

f x , x 1x 1

η) f x x x θ) 2x 1f x e 2x

Σημείωση: Όταν το πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι ένωση διαστημάτων, τότε βρίσκουμε την παράγουσα σ’ ένα διάστημα και όχι σε όλο το πεδίο ορισμού

της συνάρτησης. Γιατί; Δες στο τέλος την άσκηση για προβληματισμό.

Άσκηση 7η

Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) 2xf x e 2x 1 και f 0 2013

β) f2 2

1f x , x 0, ,1 C

2 4x x

γ) x

2

x 1 ef x , x 0

x

και f1,1 C

δ) f x 2 1 3x , ό f 0 f 0 1

Σημείωση: Για το (β) ερώτημα υπάρχουν δύο λύσεις, μία σχολική και μία εκτός ύλης (από τριγωνομετρικούς τύπους Β΄ Λυκείου). Εμείς

ζητάμε την πρώτη λύση (με την ύλη που έχει διδακτή ο μαθητής).

Άσκηση 8η

Δίνεται η συνάρτηση f, τέτοια ώστε f x 6x για κάθε xR . Αν η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f, στο σημείο (1, 2) είναι – 3, να βρείτε τη συνάρτηση f.

Άσκηση 9η

Α. Έστω οι συναρτήσεις F,G είναι αρχικές της συνάρτησης f : R R . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

F x G x , , 1 R

είναι αρχική της συνάρτησης f στο R .

Β. (Ανεξάρτητο υποερώτημα) Αν F μια παράγουσα της f στοR , τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση

1

G x F xα

είναι μια παράγουσα της h (x) = f (αx + β), α 0 στοR .

Άσκηση 10η

Έστω f : 0, R η συνάρτηση με τύπο

1

x

2

e, x 0f x

x

0 , x 0

α) Να αποδείξετε ότι η f έχει αρχικές στο 0, β) Να βρείτε τις αρχικές της f.






Άσκηση 11η

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f : 0, R της οποίας μια αρχική συνάρτηση F να ικανοποιεί για κάθε

xR τη σχέση 2F x F x F 1 x . (Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι F(0) = F (1) )

Άσκηση 12η

Έστω συνάρτηση F μια παράγουσα της συνάρτησης f : 0, R για την οποία ισχύουν:

• f 1 9

• 2 32F x x f x x 2x ά x 0

α) Να αποδείξετε ότι

2

F x2x 1 ά x 0

x

β) Να βρείτε μια παράγουσα συνάρτηση της 1 2x

γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f

Σημείωση: Η παραπάνω άσκηση μπορεί να καταλήξετε απευθείας στο τελευταίο ερώτημα που είναι και το ζητούμενο,

παρακάμπτοντας τα προηγούμενα βοηθητικά ερωτήματα (α), (β). Αξίζει να την προσπαθήσετε και με αυτή την λογική.

Άσκηση 13η (μόνο για τους φίλους του ποδοσφαίρου που διαθέτουν χιούμορ)

Ο «αγαπούλας» είναι ο πρόεδρος της Α.Ε.Κ και επενδύει x χιλιάδες ευρώ για την βελτίωση της ποιότητας της ομάδας του

(με μεταγραφές, «λαδώματα», πριμ κτλ.) αναμένει να έχει κέρδος P(x) χιλιάδες ευρώ αν μπει η ομάδα του στους

(χρυσοφόρους) ομίλους του Champion League και κάνει μια καλή πορεία (ανάλογα της πορείας υπάρχει και το ανάλογο

κέρδος).

Μια ανάλυση της επένδυσης έδειξε ότι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους P(x) στην περίπτωση που πραγματοποιηθεί ο

στόχος, δίνεται από τον τύπο x

1924P x 5 e

.

α) Βρείτε την συνάρτηση του κέρδους, αν θεωρήσουμε ότι η ομάδα χωρίς τα λεφτά της επένδυσης, δεν θα είχε κέρδος.

β) Αν ο πρόεδρος διαθέσει απεριόριστα χρήματα (γιατί λεφτά υπάρχουν), θα έχει και απεριόριστα κέρδη; Δικαιολογήστε την

απάντησή σας!

Άσκηση για προβληματισμό

Π1) Ένα μαθητής έλυσε την άσκηση « Να βρείτε την αρχική συνάρτηση *1f x , x

x R » ως εξής:

*

*

1f x , x

x

f x ln x c, x

ln x c ,x 0f x

ln x c ,x 0

R

R

Γιατί είναι λάθος η λύση του μαθητή; Ποια γνώση έχει παραμελήσει ο μαθητής; Δικαιολογήστε την απάντησή σας και δώστε

την ορθή απάντηση έτσι ώστε να έχει νόημα η αρχική της f.






Μάθημα 2ο – Ορισμένο Ολοκλήρωμα – Ορισμός - Ιδιότητες

Ερώτηση 2η «Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος»

α) Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : , R . Τι λέγεται άθροισμα Riemann της συνάρτησης f; Τι παριστάνει το

προηγούμενο άθροισμα; Δώστε τύπο.

β) Ποιος πραγματικός αριθμός είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β; Δώστε τύπο.

γ) Πως προέκυψε το σύμβολο

; Πως λέγονται οι αριθμοί α, β; Είναι τυχαίοι αριθμοί; Επίσης πως λέγεται και τι

συμβολίζει το dx μέσα στο ολοκλήρωμα; Πρώτη φορά το συναντάμε;

δ) Σωστό ή Λάθος: f x dx f t dt

ε) Σωστό ή Λάθος; Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε ορίζεται πάντα και το ορισμένο ολοκλήρωμα της στο Δ.

Υποδειγματική άσκηση 14η

Έστω η συνάρτηση f x x , να υπολογιστεί το άθροισμα και ολοκλήρωμα (Riemann) της συνάρτησης f στο διάστημα

[ 1, 3].

Υποδειγματική Λύση

Σημείωση: Ανεξάρτητα αν είναι απίθανο να δούμε μια τέτοια άσκηση στις Πανελλήνιες εξετάσεις, προτείνω την επίλυση μιας

τουλάχιστον άσκησης με τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, δηλαδή με το άθροισμα Riemann.

Δίνουμε την υποδειγματική λύση για λόγους διευκόλυνσης και κατανόησης.

Βήμα 1ο: Διαμερίζουμε (χωρίζουμε) το διάστημα [1, 3] σε ν ίσα διαστήματα πλάτους 3 1 2

xv v

, αυτό γίνεται με την

βοήθεια των σημείων 0 1 v 1 v1 x x ... x x 3 , άρα τα διαστήματα είναι της μορφής

1 0 0x , x x 1 x, x x όπου κ = 1, 2, … , ν.

Βήμα 2ο: Επιλέγουμε αυθαίρετα σημεία ξi στο κάθε διάστημα χωριστά.

Συμβουλή: Για ευκολία, διαλέγουμε ξi, τα αριστερά ή δεξιά άκρα των διαστημάτων (ή τα μέσα των διαστημάτων) και όχι τυχαία

εσωτερικά σημεία των διαστημάτων, αφού αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την επιλογή των ξi

Στην περίπτωση αυτή διαλέγουμε για ευκολία τα δεξιά άκρα των διαστημάτων, όμως τα διαστήματα είναι της μορφής,

0 1 1 2 v 1 vx , x , x , x ,.... x , x δηλαδή 0 0 0 0 0 0x , x x , x x, x 2 x ,... x v 1 x, x v x

άρα i 0 0

3 1 2 ix i x x i 1 , i 1, 2,...,

(δηλαδή τα ξi σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο τον 0x x και διαφορά της προόδου το Δx).






Βήμα 3ο: Υπολογίζουμε το άθροισμα Riemann από τον τύπο v

v i

k 1

S f x

,

v

v i 1 2 v 1 v

k 1

1 2 v 1 v 1 2 1

S f x f x f x ... f x f x

x f f ... f f x ...

2 12 2 2 2 2x 1 1 ... 1 1 x 1 1 ... 1 1 1 2 ... 1

x

21 2 1 x

2

2 4 22 1

Βήμα 4ο: Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος.

Έχουμε, v v v v

3 v

v i

k 11

4 2 4xdx S f x 4lim lim lim lim

, άρα

3

1

xdx 4

Σημείωση: Προφανώς και τα ορισμένα ολοκληρώματα δεν θα τα υπολογίσουμε με την παραπάνω διαδικασία, αλλά όπως θα δούμε και

παρακάτω, υπάρχει πιο εύκολος και σύντομος τρόπος επίλυσης, η παραπάνω λύση έχει διδακτικούς σκοπούς. Πάντως η συγκεκριμένη

άσκηση, προκύπτει και γραφικά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

3

1

1 3 2x dx E 4

2

Άσκηση 15η

Σωστός ή Λάθος; Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f στο διάστημα [α, β], εξαρτάται:

α) Από τα ενδιάμεσα σημεία ξi που επιλέγουμε β) Από την μεταβλητή x

γ) Από την συνάρτηση f δ) Από το άκρα του διαστήματος






Ερώτηση 3η «Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος»

α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν , , τότε ποιες ιδιότητες έχει το ολοκλήρωμα

f x dx

; Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία για κάθε ιδιότητα χωριστά, στην ειδική περίπτωση που η συνάρτηση f είναι θετική.

β) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f ,g : , R . Ποια σχέση δίνει το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f + g από το α στο β;

γ) Αν οι συναρτήσεις f ,g : , R είναι συνεχείς, τότε συμπληρώστε την επόμενη σχέση:

f x g x dx ........................ ,

R

Σημείωση: Η παραπάνω ιδιότητα μας εξασφαλίζει την γραμμικότητα του ορισμένου ολοκληρώματος

Άσκηση 16η

Να αποδείξετε ότι:

α)

2 1

1 2

1 1dx dx

x 1 x 1

β)

2 1

x x

1 2

x 1 x 1dx dx 0

e e

γ)

1 1

x x

0 0

1 1dx dx 1

1 e 1 e

Άσκηση 17η

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 0,3 R για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: 2 3

1 2

f x dx 3 f x dx 5

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

α) 3

1

f x dx β) 3

1

2f t 3 dt

Άσκηση 18η

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f ,g : 0,1 R για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

1 1 1

0 0 0

2f x 3g x dx 6 f x dx 3 g x dx

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

1 1

0 0

I f x dx J g x dx






Μάθημα 3ο – Υπολογισμός Ορισμένου ολοκληρώματος

Ερώτηση 4η «Θεμελιώδες Θ.Ο.Λ»

α) Με τι ισούται ο συμβολισμός G x

; Διαλέξτε τη σωστή απάντηση: Το σύμβολο G x

είναι

i) αριθμός, ii) συνάρτηση, iii) διάνυσμα iv) ευθύγραμμο τμήμα v) εμβαδόν

β) Σωστό ή Λάθος: i) Ισχύει G x G x

για κάθε λ πραγματικό αριθμό.

ii) G x F x G x F x iii) G x F x G x F x

γ) Διατυπώστε (η απόδειξη θα ζητηθεί στο 6ο μάθημα) το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού λογισμού (Θ.Ο.Λ).

δ) Συμπληρώστε τις σχέσεις: f x dx ................................. f x dx .....................

ε) Που μας χρησιμεύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού λογισμού;

Κατηγορία 1η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων με το Θ.Ο.Λ

Αρκεί να βρούμε μια αρχική συνάρτηση από τον παραπάνω κατάλογο και να εφαρμόσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του

Ολοκληρωτικού λογισμού. Μερικές φορές πριν βρούμε την αρχική συνάρτηση, θα πρέπει να εφαρμόσουμε μερικές από τις

ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.

Άσκηση 19η

Υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

α)

1

0

x xdx β)

e

1

ln xdx

x γ)

1 x

x

0

e 1dx

e x

δ) 2

1

x

0

x e dx ε) 1

20122

0

2x x 1 dx στ)

4

1

3x 1dx

x

Άσκηση 20η

Βρείτε τα ορισμένα ολοκληρώματα 1

0

f x dx για τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις:

α) 2f x 3x 2x 1 β) f x x 2x 1 γ) f x x x 1 x 2

Άσκηση 21η

Έστω η συνάρτηση f : R R με τύπο: 5 2f x x x , ό , , R , αν η κλίση της εφαπτομένης της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο 1,10 είναι 36 και 1

0

f x dx 3 , τότε βρείτε τα α, β, γ.

Άσκηση 22η

Υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα






α) 0

2 x x dx

β)

4

2 2

6

1 1dx

x x

γ)

2

0

x xdx

x x

Άσκηση 23η

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, όπου 0 < α < β και έστω

2 xdx

x 1

, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

2 xdx

x 1

συναρτήσει του γ.

Άσκηση 24η

Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο 2 xf x x e

α) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 0

I f x dx, 0

β) Να υπολογίσετε το όριο Ilim

Άσκηση 25η

Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο R , και ισχύουν:

• 1

0

xf x f x dx 2

• η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 2

τότε να αποδείξετε ότι :

i) Δεν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x 0,1 τέτοιο ώστε 0f x 0 .

Άσκηση 26η

Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο R, και ισχύει β

α

f x f x dx 0, α β τότε να αποδείξετε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον διάστημα, στο οποίο υπάρχει εσωτερικό σημείο του, τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης 2f να είναι παράλληλη στον άξονα x x .

Άσκηση 27η

Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε 2

2

0

f x 3x 2x f x dx 5 για κάθε x πραγματικό αριθμό.

α) Να αποδείξετε ότι: 2

0

f x dx 6 (Μεθοδολογία ασκήσεων)

β) Να βρείτε όλες τις αρχικές – παράγουσες συναρτήσεις της f.






Κατηγορία 2η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων ρητής συνάρτησης

Α΄ μορφή: Ο βαθμός του παρονομαστή μεγαλύτερο από τον βαθμό του αριθμητή.

Αρχικά προσέχουμε αν η παράγωγος του παρονομαστής μας δίνει τον αριθμητή. Αν ναι, τότε η αρχική είναι ο λογάριθμός του

παρονομαστή. Αν όχι, τότε γράφουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο και το σπάμε σε δύο κλάσματα με αριθμητές τα α και β.

Από ισότητα πολυωνύμων βρίσκουμε τα α και β. Δηλαδή, P x Q x P x Q x

, κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών

και βρίσκουμε τα α και β από ισότητα πολυωνύμων , άρα το ολοκλήρωμα «σπάει» σε δύο πιο απλά ολοκληρώματα.

Β΄ μορφή: Ο βαθμός του παρονομαστή μικρότερος ή ίσος από τον βαθμό του αριθμητή

Κάνουμε Ευκλείδεια διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή και γράφουμε την ταυτότητα της διαίρεσης. Είμαστε ήδη στην

πρώτη μορφή.

Άσκηση 28η (βαθμός παρονομαστή > βαθμό αριθμητή)


α)

1

2

0

2x 3dx

x 3x 5

β)

1

0

1dx

2x 3 γ)

4

2

3

x 4dx

x 4

δ)

2

1

x 2dx

x x 1

Άσκηση 29η (βαθμός παρονομαστή βαθμό αριθμητή)


α)

1 1 3

0 0

8 xdx dx

x 2 x 2

β)

1 12 3 2

0 0

x 1 x 3x 2dx dx

x 1 x 1

γ)

4

2

x 1dx

x 1

4 3

2

x xdx

x 1

Κατηγορία 3η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων πολλαπλού τύπου συνάρτησης

Προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξής ιδιότητα των ορισμένων ολοκληρωμάτων,

f x dx f x dx f x dx

, όπου γ το σημείο που χωρίζονται οι τύποι της συνάρτησης. Επειδή εντός ύλης και

για το σχολικό βιβλίο, θεωρούμε ότι είναι ολοκληρώσιμες μόνο οι συνεχείς συναρτήσεις, θα πρέπει να προσέχουμε στο σημείο γ

που χωρίζονται οι κλάδοι αν είναι συνεχής η συνάρτηση, αν δεν είναι τότε η άσκηση είναι εκτός ύλης! Δείτε την άσκηση για

προβληματισμό.

Άσκηση 30η

Έστω η συνάρτηση

x2 1 , x 1

f x 2, x 1

x 1

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής β) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 2

0

f x dx

Άσκηση 31η

Έστω η συνάρτηση 2

2

x x 1 , x 1f x

x x 1 , x 1

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής






β) 2

0

f x dx ;

2

0

) f x dx ; ί 4

Άσκηση 32η

Δίνεται η (συνεχής) συνάρτηση

*x , x 0

f x όx ,0 x

R Z και

2

f x dx 22

.

Βρείτε τα α, β.

Κατηγορία 4η: Εύρεση ορισμένων ολοκληρωμάτων συναρτήσεων με απόλυτη τιμή

Αποτελεί βασική κατηγορία ασκήσεων για την τελευταία παράγραφος των ολοκληρωμάτων, τα εμβαδά επίπεδων σχημάτων. Αν

γνωρίζουμε το πρόσημο των συναρτήσεων που βρίσκονται στο εσωτερικό των απολύτων στο διάστημα που ορίζουν κάθε φορά

τα άκρα, τα εξάγου και βάζουμε μπροστά από το ολοκλήρωμα το ανάλογο πρόσημό τους, αν δεν γνωρίζουμε το πρόσημό τους,

τότε κάνουμε πίνακα προσήμων και με την ιδιότητα

f x dx f x dx f x dx

απαλλασσόμαστε από τα

απόλυτα. Δηλαδή, 5 0 3 5

2 2 2 2

1 1 0 3

x 3x dx x 3x dx x 3x dx x 3x dx

Άσκηση 33η

Βρείτε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

α)

1

1

x dx

β)

5

2

1

x 3x dx

γ)

1

x

0

e x 1 dx δ)

1

x

1

e x dx

ε)

0

x x dx

στ)

2

0

2 x 1 dx

ζ)

2

0

2 x 1 dx

η)

1

1

x 1 dx

Ασκήσεις για προβληματισμό

(Π2) Ένας καθηγητής έθεσε στους μαθητές του την παρακάτω άσκηση,

« Έστω συνάρτηση x

2x , x 0f x

e , x 0

, να υπολογίστε το ολοκλήρωμα

1

1

f x dx

.»

Τι έχουμε να πούμε στον αφηρημένο καθηγητή; Ποια σχολική γνώση αμέλησε όταν έθεσε την άσκηση;

Σημείωση: Ο καθηγητής δεν έχει κάνει λάθος, απλά με τα δεδομένα του σχολικού βιβλίου έχει ξεφύγει διδακτικά

και εννοιολογικά.

(Π3) Δίνεται η συνάρτηση f (x) =

0 x 0

0 x x

12

, η οποία είναι προφανώς ορισμένη σε όλο το R και παίρνει

θετικές τιμές ή μηδέν. Ο μαθητής της Γ΄ τάξης από το Λύκειο Πετρούπολης, έθεσε το εξής θέμα:

«Αν υπολογίζουμε το Ι = 1

1- dx (x) f =

1

1-x

1-

= - 2 < 0. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού f (x) 0.»

Πού βρίσκεται το λάθος; Βοηθήστε τον μαθητή και καθηγητή να βρουν μια λογική και κατανοητή εξήγηση.

x - – 1 0 3 5 2x 3x + – +






Μάθημα 4ο – Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος

Ερώτηση 5η «Γεωμετρική ερμηνεία ορισμένου ολοκληρώματος»

α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και για κάθε x , είναι f x 0 , τότε ποιο συμπέρασμα

ισχύει για το πρόσημο του αριθμού f x dx

; Δηλαδή τι εκφράζει το ορισμένο ολοκλήρωμα f x dx

για συνάρτηση f

μη αρνητική για κάθε x στο διάστημα [α, β];

β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και για κάθε x , είναι f x 0 και υπάρχει

0x , τέτοιο ώστε 0f x 0 , τότε τι συμπεραίνεται για το ορισμένο ολοκλήρωμα f x dx

; Ποια είναι η

γεωμετρική του εξήγηση;

γ) Σωστό ή Λάθος; Αν είναι β

αf x dx = 0, τότε f x 0 για κάθε x α,β .

δ) Σε ποιες κατηγορίες ασκήσεων μας χρησιμεύουν τα προηγούμενα συμπεράσματα;

Κατηγορία 5η : Ολοκληρώματα και ανισοτικές σχέσεις

Η κλασική σχέση που μας ανάγει από τις ανισοτικές σχέσεις συναρτήσεων σε ανισοτικές σχέσεις ολοκληρωμάτων

είναι η βασική άσκηση 34η .

Σημείωση: Την χρησιμοποιούμε χωρίς απόδειξη μετά από οδηγία του Υπουργείου Παιδείας από το 2016 - 17.


α) Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις f ,g : , R για τις οποίες ισχύει f x g x ά x , . Να

αποδείξετε ότι:

f x dx g x dx

β) Αν στην προηγούμενη περίπτωση, υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x , τέτοιο ώστε 0 0f x g x , να αποδείξετε

ότι: f x dx g x dx

.

γ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : , R και m, M η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στο [α, β] αντίστοιχα. Να

αποδείξετε ότι: m f x dx


Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f : α,β για την οποία ισχύει f x 0 και β

αf x dx 0 για κάθε x α,β .

Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x α,β .


Έστω η συνεχής συνάρτηση f : , R , για την οποία ισχύει f x 0 ά x , , να αποδείξετε ότι:






f x dx 0

.

Άσκηση 37η

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : 0,1 R με 1

2

0f x dx 1 , να αποδείξετε ότι:

α) 2

xf x e 0 ά x 0,1 β) 1 2

x

0

e 1e f x dx

4

Άσκηση 38η

Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο: 2xf x 2 e

α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και ακρότατα την γραφική παράσταση της f

β) Να αποδείξετε ότι: 21

x

12 e dx 2

Άσκηση 39η

Έστω η συνάρτηση f x ln x x 1, x 0

α) Μελετήστε ως προς την μονοτονία και ακρότατα την γραφική παράσταση της f

β) Να αποδείξετε ότι: 2 2ln 1 x x ά x R

γ) Να αποδείξετε ότι: 1

2

0

1ln 1 x dx

3

Άσκηση 40η (Εξετάσεις 2000 - προσαρμοσμένη)

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε

• f xf x e x 1

για κάθε xR

α) Να μελετήσετε την f και την f ως προς την μονοτονία.

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

γ) Να αποδείξετε ότι: x

f x xf x2

για κάθε x 0 .

δ) Να αποδείξετε ότι: β

α

βf β αf α0 f x dx

2

Άσκηση 41η

Έστω α > 0 και η συνεχής συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει: 2

0 0

f x dx 4 4 f x dx


0

f x 2 dx 0

β) Βρείτε τον τύπο της f.

Άσκηση 42η

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : 0,1 R τέτοια ώστε να ισχύει: 1

0

1f x f x x dx

12







0

xf x dx 0

2


Άσκηση 43η

Να αποδείξετε ότι:

x1

20

e e1 dx

x 1 2


(Π4) Η συνεχής συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο διάστημα [α, β] και είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική της παράσταση

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ΑΓ μια χορδή της. Αν Δ(α, 0) και Ε(β, 0), τότε:

Α. α) Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΕΔ

β) Βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΓΕΔ

γ) Να αποδείξετε ότι (β - α) f (α) β

α f (x) dx (β - α)

f (α) f (β)

2

Β. Αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο [α, β] και είναι γνησίως αύξουσα ποια είναι η αντίστοιχη σχέση;

Γ. Αν Ι = 1

2

0 1 x dx , να δείξετε ότι το Ι ανήκει στο διάστημα

1 21,

2

.






Μάθημα 5ο – Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Ερώτηση 6η «Παραγοντική ολοκλήρωση – Αλλαγή μεταβλητής»

α) Γράψτε τον τύπο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα. Γράψτε σε ποιες μορφές γινομένου

θα το εφαρμόζουμε; Δώστε ένα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση χωριστά. (Δείτε τον παρακάτω πίνακα.)

β) Γράψτε τον τύπο ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής (ή αντικατάστασης) για το ορισμένο ολοκλήρωμα. Σε ποια είδη

συναρτήσεων συνήθως το εφαρμόζουμε;

γ) Αν έχουμε ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης (που δεν την γνωρίζουμε), τότε πως εφαρμόζουμε την μέθοδο της

αντικατάστασης; Περιγράψτε την διαδικασία και δώστε ένα παράδειγμα (δείτε παρακάτω τη Βασική άσκηση).

Κατηγορία 6η: Παραγοντική ολοκλήρωση

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζουμε ορισμένες μορφές ολοκληρωμάτων. Μας υποδεικνύει ποιες συναρτήσεις

πρέπει να πάρουμε ως αρχικές και πόσες φορές πρέπει να εφαρμόσουμε την παραγοντική ολοκλήρωση.

Σημείωση: Το Ρ(x) είναι πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν, επίσης k, m, p, s πραγματικοί αριθμοί με p 0

Περιγραφή

ολοκληρωμάτων

Μορφή ορισμένων

ολοκληρωμάτων

Αρχική συνάρτηση Πόσες φορές εφαρμόζουμε

παραγοντική ολοκλήρωση

Πολυωνυμική επί

τριγωνομετρική

P x x dx

1

x x

ν φορές,

δηλαδή όσο και ο βαθμός

του πολυωνύμου P(x)

P x x dx

1

x x


εκθετική

kx mP x e dx

kx m kx m1

e ek

kx mP x dx,

0 1

kx m kx m1

k ln


λογαριθμική

P x ln kx m dx

την αρχική του

πολυωνύμου P(x)

1 φορά

και καταλήγουμε σε ρητή

συνάρτηση

Εκθετική επί

τριγωνομετρική

kx me px s dx

,

kx me px s dx

kx m kx m1e e

k

2 φορές,

και καταλήγουμε στο αρχικό

ολοκλήρωμα, το λύνουμε ως

εξίσωση






Άσκηση 44η


α)

1

x

0

xe dx β)

π

4

2

0

xdx

συν x γ)

e

1

ln xdx

x

δ)

π

x

1

e ημxdx ε)

e

1

xlnxdx στ)

e

1

ln x dx

ζ)

π

22

0x dx (χωρίς τύπους διπλάσιου τόξου)

Άσκηση 45η

Η συνάρτηση f : R R είναι άρτια και έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R . Αν 0 , να αποδείξετε ότι:

α) f x dx 0

β) x f x dx 0

Άσκηση 46η

Έστω f : 0, R η συνάρτηση της οποίας η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0, . Αν

f και 0

f x f x x dx 2

, να αποδείξετε ότι:

α) 0 0

f x x dx f 0 f x x dx

β) f 0

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ένα σημείο καμπής.

Άσκηση 47η

Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R και για κάθε xR ισχύει 3f x x 4x .

α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά cR , τέτοια ώστε 3 4 2f x x 3x 2x c ά x R

γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 2

0

x f x dx

Άσκηση 48η

Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , R με 0 . Αν η f είναι συνεχής στο , και

ισχύουν οι σχέσεις: f f x f x dx 0

, να αποδείξετε ότι:

α) f f

β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x , τέτοιο, ώστε 0 0 0x f x f x 0






Κατηγορία 7η: Αλλαγή μεταβλητής

1) Ένας πρακτικός πίνακας για το τι θέτουμε σ’ ένα ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ο παρακάτω. Τα P(x), Q(x) είναι

παραστάσεις που ορίζονται σε κατάλληλα διαστήματα κάθε φορά.

Περιγραφή Μορφή Θέτουμε

Δυνάμεις v

Q x P x dx

την βάση της δύναμης

Ριζικά vQ x P x dx

το υπόρριζο

Τριγωνομετρικές

P x dx

P x dx

Την γωνία, δηλαδή την

παράσταση που βρίσκεται

«μέσα» στον τριγωνομετρικό

αριθμό

Εκθετικές

P xQ x e dx

P xQ x dx

Τον εκθέτη

Λογαριθμική v

v

ln x 1dx, dx

x x ln x

Όλο τον λογάριθμο

Ρητή

P xdx

Q x

Τον παρονομαστή του

κλάσματος

Δύο μεταβλητές (x, t) f x, t dt

Την παρένθεση της

συνάρτησης

2) Πολλές φορές δεν χρειάζεται να αντικαταστήσουμε μια κατάλληλη ποσότητα με u, αλλά με την βοήθεια του

παρακάτω πίνακα βρίσκουμε απευθείας τα ορισμένα ολοκληρώματα. Τα επόμενα τα έχουμε μελετήσει ξανά,

στις παράγωγους σύνθετων συναρτήσεων. Παρουσιάζουμε τις κυριότερες μορφές:

Περιγραφή Μορφή Αποτέλεσμα

Δύναμη vf x f x dx, v

n

v 1f x

v 1






Πηλίκο

f xdx

f x

ln f x

Τετραγωνική ρίζα

f xdx, f x 0

f x

2 f x

Τριγωνομετρική

f x f x dx

f x

f x f x dx

f x

Εκθετική

f xf x e dx

f x

e

f xf x dx, 0 1

f x1

ln

Άθροισμα xf x f x dx

xf x

Άσκηση 49η

Υπολογίστε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα με την βοήθεια αλλαγής μεταβλητής:

α)

1

2

0

2x 1dx

x x 1

β)

1

2

0

x x 3 dx γ)

3

1

x x 1 dx

δ) 1

52

0

x x 1 dx ε) 1

1821

0

x 1 x dx στ) 2

2

x ln x

1

e dx

Άσκηση 50η

Aν f συνεχής στο [0, π] να δείξετε ότι

π

π 2

0 0

f(ημx)dx=2 f(ημx)dx

Άσκηση 51η

Aν f συνεχής στο R να δείξετε ότι: 2

2α α

3 2

0 0

x f(x )dx= xf(x)dx

Άσκηση 52η

Aν f συνεχής στο R και για κάθε xR

α) Να δείξετε ότι β γ β

α γ α f (x - γ) dx f (x) dx

.

β) Να δώσετε γεωμετρική ερμηνεία της ισότητας.

γ) Αν ισχύει f α x f α x 2β , να δειχθεί

2α

0

f(x)dx=2αβ

Άσκηση 53η

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις fκαι g ορισμένες στο διάστημα 0, . Αν για κάθε x 0, ισχύουν οι σχέσεις






f (x) f x και g(x) g( x) , να αποδειχθούν τα παρακάτω:

α)

0 0

f (x)g(x)dx f (x)dx2

β) 2 2

0 0

xημx ημxdx dx

1 συν x 2 1 x


Έστω f συνεχής στο [-α, α] , τότε,

i) Αν f περιττή στο [-α, α] να δείξετε ότι

α

-α

f(x)dx=0

ii) Αν f άρτια στο [-α, α] να δείξετε ότι

α α

-α 0

f(x)dx=2 f(x)dx

Άσκηση 55η

Αν f περιοδική τοR με περίοδο Τ και α R , να δειχθεί ότι το ολοκλήρωμα Ι=

α+Τ

α

f(x)dx είναι ανεξάρτητο του α.

Άσκηση 56η (θέμα δεσμών)

Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο R .

α) Να αποδείξετε ότι

3 7

0 1

1f (2x 1)dx f (x)dx

2 .

β) Έστω ότι 3 7

0 1

4 f (2x 1)dx f x dx 2004 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (1 , 7) τέτοιο ,ώστε f ξ 334


Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα α,β και ισχύει ότι f x f α β x c, για κάθε x α,β , όπου c

πραγματικός αριθμός . Να αποδείξετε ότι : β

α

α β β αf x dx β α f f α f β

2 2

Άσκηση 58η

i) Να αποδείξετε ότι

π π

0 0

πx f(ημx)dx = f(ημx)dx

2

ii) Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

π

2

0

x ημxdx

3+ημ x







Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση : 1

1 x x

0

e f (x) dx f x e για κάθε xR .

α) Να αποδείξετε ότι, υπάρχει cR έτσι ώστε: xf x e c για κάθε xR .


Άσκηση 60η

Αν f συνεχής στο [-α, α] και για κάθε x,y[-α ,α] ισχύει f x y f x f y xy , να δειχθεί ότι

α 3

-α

αf(x)dx=

3 .


(Π5) Ένας φίλος και παλιός συμμαθητής μου είχε θέσει τον εξής προβληματισμό:

«Μάκη προφανώς 1

2-

2 dx 2x > 0, από γνωστή πρόταση. Σωστά ως εδώ; Αλλά αν το ολοκλήρωμα το δούμε ως εξής:

Ι = 1

2-

2 dx 2x = 1

2- dxx 2 x

μπορούμε να θέσουμε u = x2, οπότε du = 2x dx, ενώ για x = 1 είναι u = 1 και για x = - 2 είναι u = 4, έτσι προκύπτει

Ι = 1

4 du u = -

4

1 du u < 0.Παράλογο;»

Πού βρίσκεται το λάθος; Please, δώστε μας εξήγηση στο πελαγωμένο φίλο μας.

Κατηγορία 8η: Ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης 1f x dx

Μπορούμε να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της! Πως;

Θέτουμε 1u f x f u x άρα dx f x dx , οπότε τα νέα άκρα γίνονται

1

1 1x ό u f f u και 1

2 2x ό u f f u , και από 1 – 1 (λόγω

αντίστροφης) και προφανής λύση, θα βρίσκουμε τις τιμές u1,u2. Για καλύτερη κατανόηση δείτε την παρακάτω βασική άσκηση.

Βασική άσκηση 61η (αντίστροφης συνάρτησης)

Έστω συνάρτηση f : α,β R γνησίως μονότονη στο α,β και έχει συνεχή παράγωγο σ’ αυτό, τότε να αποδείξετε ότι:

f β

β ββ1

αα αf α

f x dx x f x dx x f x f x dx

Σημείωση: Δηλαδή το ολοκλήρωμα της αντίστροφης συνάρτησης, καταλήγει σε ολοκλήρωμα της συνάρτησης f !






Άσκηση 62η

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x – 1

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f -1

β) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Ι =

1

1

1

f (x)dx

Άσκηση 63η

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με f x 0 , για κάθε xR . Aν α, β R με α β, να δειχθεί ότι

α) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη

β)

β f(β)

-1

α f(α)

f(x)dx f (x)dx =β f(β) α f(α)

γ) 2

1 e

x

0 1

e dx ln x dx e

Άσκηση 64η

Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα χωρίς τους τριγωνομετρικούς τύπους του διπλάσιου τόξου (που είναι εκτός

ύλης για το σχολικό έτος 2016 – 17) από τη Β΄ Λυκείου:

α)

π

22

0x dx

β) 3π 2 2

6

1dx

ημ x συν x






Μάθημα 6ο – Η συνάρτηση x

F x f t dt

Ερώτηση 6η «Μεταβλητά τα άκρα ολοκλήρωσης»

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και έστω . Τι εκφράζει το ολοκλήρωμα x

F x f t dt

;

β) Αποδείξτε το Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού λογισμού (στο προηγούμενο μάθημα το είχαμε διατυπώσει)

Κατηγορία 9η: Αρχική συνάρτηση μέσα σε ολοκλήρωμα

Πολλές φορές εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση και σε περιπτώσεις που εντός του ολοκληρώματος έχουμε

μια αρχική συνάρτηση F ή μια συνάρτηση που είναι γνωστή η παράγωγό της.

Έστω F μια αρχική συνάρτηση της f στο , και F β 0 . Η γενική μορφή επίλυσης είναι η εξής:

β β

α α

F x dx x F x dx εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση

= β

β

αα

xF x xf x dx βF β β

α

αF α xf x dx β

α

αF α xf x dx

Για καλύτερη κατανόηση δείτε τα λυμένα παραδείγματα.

Άσκηση 65η

Υπολογίστε τα παρακάτω διπλά ολοκληρώματα

α) 1

0

F x dx , όπου F η αρχική της 2xf x e με F 1 0

β) 1

0

F x dx , όπου F η αρχική της 2f x x 1 με F 1 0

γ) 0

F x dx

, όπου F η αρχική της 2f x x και F π 0

δ) 2

0

F x dx , όπου F η αρχική της 99

2f x x 1 με F 2 0

Λύση

α) Έχουμε διαδοχικά, 2

2

11 1 1 x

1 x

00 0 0 0

e e 1 1 eF x dx x F x dx xF x xe dx

2 2 2 2

β) Έχουμε διαδοχικά, 1 1 1

1 2

00 0 0

F x dx x F x dx xF x x x 1 dx






1 1/2

21 1 11/2 3/2

2 2 2 3/2

00 0

x 11 1 1 1 1 1 2 20 x 1 x 1 dx dx x 1 2

12 2 3 3 3 31

2

γ) Έχουμε διαδοχικά, 2

00 0 0

F x dx x F x dx xF x x x dx

22 2

0 0 0

x 1 1x x dx dx x dx 0 1

2 2 2

δ) Έχουμε διαδοχικά, 2 2 2

992 2

00 0 0

F x dx x F x dx xF x x x 1 dx

100

22 100 100

0

x 11 1 5 1 1 50 dx

2 100 2 100 200

Άσκηση 66η

Δίνεται η συνάρτηση g τέτοια ώστε 2

1g x ,x

1 x

R .

α) Να αποδείξετε ότι g εφx x για κάθε π π

x ,2 2

β) Να μελετήσετε για τη συνάρτηση g την μονοτονία, ακρότατα, καμπυλότητα και σημεία καμπής της. Στη

συνέχεια βρείτε το πρόσημο της.

γ) Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με την ευθεία y x .

δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη 1g

ε) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.

στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

0g x dx .






Μάθημα 7ο – Εμβαδόν επίπεδου σχήματος

Ερώτηση 7η «Εμβαδά»

α) Να δώσετε τους τύπους που δίνει το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται στις παρακάτω περιπτώσεις:

i. Από την fC , τον άξονα x’x και τις ευθείες x = α και x = β.

ii. Από την fC , τον άξονα x’x

iii. Από τις f gC ,C , και τις ευθείες x = α και x = β.

iv. Από τις f gC ,C

β) Έστω δύο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [α, β] με f x g x 0 για κάθε x α,β , να αποδείξτε

τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f, g και τις ευθείες x = α

και x = β.

γ) Αποδείξτε την πρόταση (β) με την προϋπόθεση f x g x για κάθε x α,β .

δ) Τι συμβαίνει αν η διαφορά f(x) – g(x) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α, β]; Δώστε τύπο και πορεία αντιμετώπισης.

ε) Δώστε και αποδείξτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, όπου

f x 0 για κάθε x α,β και τις ευθείες x = α και x = β.

στ) Τι συμβαίνει αν η συνάρτηση f(x) δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α, β]; Δώστε τύπο και πορεία αντιμετώπισης.

ζ) Σωστό ή Λάθος: Το β

αf x dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον

άξονα x’x , μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x’x.

η) Σε ποιες εκφωνήσεις ασκήσεων πρέπει να κάνουμε υποχρεωτικά σχήμα;

Κατηγορία 10η: Εμβαδόν επίπεδου χωρίου με μία συνάρτηση

Σε αυτή την κατηγορία ασκήσεων , αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα β

αf x dx , που ανάγεται εύρεση ορισμένου

ολοκληρώματος απόλυτης τιμής (δείτε κατηγορία ασκήσεων 4). Αν δεν δίνονται τα άκρα ολοκλήρωσης, τότε είναι οι λύσεις

της εξίσωσης f (x) = 0, δηλαδή τα σημεία τομή της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x’x.

Άσκηση 67η

Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x’x και τις ευθείες x =

α και x = β, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1) 1

f x 2x 4 , x 22x 4

, α = 0 και β = 1

2) 1 ln x

f x , x 0x

, α = 1 και β = e.






3)

2

x 3

1x ,x 3

9f x

1 e,x 3

x 3

, α = 1 και β = 2.

Άσκηση 68η

Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x’x, στις παρακάτω

περιπτώσεις:

1) 2 xf x 1 x e

2) 2f x 2x 3x

3) 2f x ln x ln x, x 0

Άσκηση 69η

Έστω F: 0,1 R μια παράγουσα συνάρτηση της 2xf x e στο διάστημα 0,1 , με F 1 0 .

α) Να αποδείξετε ότι F x 0 για κάθε x 0,1 .

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της FC , του άξονα x΄x και y΄y και της ευθείας x = 1.

Άσκηση 70η

Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 1 + .

α) Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά.

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 2 και x = 4.

γ) Να προσδιορίσετε την κάθετη ευθεία στον άξονα x΄x που χωρίζει το χωρίο του προηγούμενου ερωτήματος σε δύο ισεμβαδικά

χωρία.

Άσκηση 71η

Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) = x

1, x > 0 και g (x) =

2x

1, x > 0.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται από την fC , του άξονα x’x και των ευθειών x = 1 και x = λ, όπου λ > 1.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περιέχεται από την gC , του άξονα x’x και των ευθειών x = 1 και x = λ, όπου λ > 1.

γ) Να βρείτε τα όρια: Ι1 = λ

lim λ

1 dx (x) f και Ι2 =

λlim

λ

1 dx (x) g και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία.

2x

1






Κατηγορία 11η: Εμβαδόν επίπεδου χωρίου ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις

Σε αυτή την κατηγορία ασκήσεων , αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα β

αf x g x dx , που ανάγεται εύρεση

ορισμένου ολοκληρώματος απόλυτης τιμής (δείτε κατηγορία ασκήσεων 4). Αν δεν δίνονται τα άκρα ολοκλήρωσης, τότε είναι οι

λύσεις της εξίσωσης f (x) = g(x), δηλαδή τα σημεία τομή των γραφικών παραστάσεων της f με την g.

Άσκηση 72η

Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και g, τον άξονα x’x και τις

ευθείες x = α και x = β, στις παρακάτω περιπτώσεις:

1) x

f x 2 και g x x4

, α = 1 και β = 4

2) 2ln x

f x x , x 0 και y xx

, α = 1 και β = e.

Άσκηση 73η

Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και g, τον άξονα x’x, στις

παρακάτω περιπτώσεις:

1) 3 2f x x x και g x 3x x ,

2) 2

1 1f x , x 1 και g x

1 x 1 x

.

Κατηγορία 12η: Εμβαδόν επίπεδου χωρίου στις υπόλοιπες περιπτώσεις

Στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπως:

• το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f gC ,C και τον άξονα x’x (δηλαδή την ευθεία y = 0)

• το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f gC ,C και hC (τρεις συναρτήσεις)

• το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την f gC ,C και από μία εφαπτομένη τους

Τότε, είναι απαραίτητη η γραφική παράσταση των συναρτήσεων (οπότε η μορφή τους θα είναι απλή και θα ανήκει στις βασικές

συναρτήσεις που γνωρίζουμε την γραφική τους παράσταση):

• Βρίσκουμε τα κοινά σημεία των γραμμών που ορίζουν το χωρίο, λύνοντας τα συστήματα των εξισώσεων τους.

• Χωρίζουμε το ζητούμενο χωρίο σε τμήματα (λουρίδες) με κατακόρυφες ευθείες.

• Σε αυτά τα τμήματα (λουρίδες), βρίσκουμε ποια συνάρτηση είναι υψηλότερα και ποια χαμηλότερα.

Άσκηση 74η

Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R με τύπους x xf x e και g x e . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από τις f gC ,C και την ευθεία y e

Άσκηση 75η

Έστω οι συναρτήσεις 2f x x και g x x






α) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των f gC ,C

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των f gC ,C και της κοινής τους εφαπτομένη.

Άσκηση 76η

Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + e-x, g (x) = x - e-x.

α) Να βρείτε το πρόσημο της f (x) - g (x) και της f (x) - x στο διάστημα [0, + ).

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις Cf, Cg και τις ευθείες x = 0, x = 2.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την Cf και τις ευθείες x = 0, x = 2, y = x.



Ολοκληρωτικός λογισμός σε 7 βήματα (2016 - 17)

Education