ةيوبرتلا ايجولونكتلا زكرم تاراسمَ · 600 40 8 300+20+4 800 100 40+5...

�

3 مدخل لكتب "مسارات" - الصف الرابع.........

الضرب العمودي.........................5

35 األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل.........

51 القوى.................................

63 مالحق..................................

المحتويات

מטח

مساراترياضيات للمدرسة االبتدائية

مركز التكنولوجيا التربوية

مرشد املعلم

3

مدخل لكتب "مسارات" - الصn الرابع

لوئمت سلسلة "مسارات" للمنهج التعليمي وتعتمد على:العبر املستخلصة من تطبيق السلسلة "واحد اثنان وثالثة"بطبعاتها املختلفة -

خالل خمس وعشرين سنة، ومن مردودية املعلمني واملرشدين. ˛ÁËÓ¸ كتب هذه السلسلة طاقم الرياضيات في مركز التكنولوجيا التربوية

.˛Ï¢˙¸ وطاقم الرياضيات في قسم املناهج التعليمية في وزارة التربية بحوث حديثة في مجال تعليم الرياضيات في البالد وفي العالم. -العبر املستخلصة من جتربة أبواب التعليم احلالية في الصفوف. -

كتب اإلرشاد للمعلميحتوي كل واحد من كتب اإلرشاد للمعلم على اقتراحات لفعاليات ونقاشات مع التالميذ، بعضها •

معد للعمل مع كل تالميذ الصف وبعضها معد للعمل مع مجموعات أصغر من التالميذ. هناك أهمية كبيرة إلجراء الفعاليات املقترحة في مرشد املعلم، ألنها تثري الفعاليات املوجودة في كتاب التلميذ، وفي بعض األحيان تشكل متهيدا وحتضيرا ألوراق العمل املوجودة فيه. مع ذلك ال حاجة إلى تنفيذ

كل الفعاليات مع جميع التالميذ. أورا‚ العمل من كتاب التلميذ مرفقة أيضا مبرشد املعلم )هذه األوراق في املرشد مصغرة.( •

في آخر كل مرشد توجد مالحق معدة للتصوير لتالميذ الصف وحتتوي على: •أورا‚ إضافية - وهي أوراق مفتوحة ال يوجد فيها عادة معطيات عددية معينة.

ميكن استخدام كل ورقة إضافية كما هي )يكمل التالميذ كل املعطيات الناقصة على الورقة(، وميكن استخدامها كقالب ألوراق أخرى، إذا أدخلت املعلمة في الورقة مسبقا بعض املعطيات وأكمل التالميذ

الباقي. بهذه الطريقة ميكن تكوين أوراق عمل مبستويات مختلفة مبا يتالءم مع حاجات التالميذ املختلفني.

اختبارات - اختبارات مالئمة لألبواب في الكتاب.

ألعاب - تعليمات ولوازم أللعاب معدة لتلميذ واحد أو ملجموعة من التالميذ. تظهر اإلحاالت الستخدام هذه األلعاب في الوحدات املختلفة في مرشد املعلم.

أورا‚ للقص - أوراق لقص بطاقات يستخدمها التالميذ في الفعاليات املختلفة املقترحة في مرشد املعلم. يوجد بعض هذه األوراق أيضا في كتب التلميذ )وتظهر هناك ملونة(.

كتب التلميذتبدأ الكتب بتوجه للعائلة فيه شرح مختصر عن املوضوعات التعليمية األساسية. •

أوراق العمل في كتب التلميذ من نوعني: هناك أوراق عمل مالئمة للعمل الذاتي، وهناك أوراق عمل •تعتمد على نقاشات وفعاليات صفية )أو جماعية( مشروحة في مرشد املعلم.

في أوراق العمل هناك إحاالت إلى فعاليات مالئمة في مرشد املعلم ومالحظات ألولياء األمور وللمعلمني. •

فعاليات خا�ة في الكتب:بعض الفعاليات أشير إليها بالرمز - يوصى بتشجيع التالميذ القادرين على ذلك مواجهة هذه •

الفعاليات.

هناك أوراق أشير إليها بالرمز - في هذه األوراق فعاليات مراجعة معدة ملراجعة •موضوعات سبق أن علمت في فصول سابقة ومن املهم مراجعتها مرة ثانية.

لوازÂ التلميذيعتمد العمل في الكتب التعليمية على فعاليات بلوازم محسوسة موجودة في كيس لوازÂ التلميذ.

Òb%

هناك أوراق أشير إليها بالرمز - في هذه األوراق فعاليات مراجعة معدة ملراجعةسبق أن علمت في فصول سابقة ومن املهم مراجعتها مرة ثانية.



U�(« v�≈ …œuŽ«هناك أوراق أشير إليها بالرمز - في هذه األوراق فعاليات مراجعة معدة ملراجعةهناك أوراق أشير إليها بالرمز - في هذه األوراق فعاليات مراجعة معدة ملراجعة

�

דפי הגזירה ודפי הרב־דף שבנספחים נמצאים גם באתר האינטרנט www.cet.ac.il/math במדור "שבילים ג"

�

דפי הגזירה ודפי הרב־דף שבנספחים נמצאים גם באתר האינטרנט www.cet.ac.il/math במדור "שבילים ג"

المحتويات 6 مدخل إلى فصل "الضرب العمودي" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 الضرب في 10، في 100 وفي 1,000 )تذكير( . . . . . . . . . . . . . . . أ. 14 الضرب في عشرات كاملة وفي مئات كاملة . . . . . . . . . . . . . . . . . . ب. 16 الضرب بواسطة قانون التوزيع . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ج. 22 الضرب العمودي - الطريقة املفصلة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . د. 27 الضرب العمودي - الطريقة املختصرة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . د.

عودة إلى احلساب: •- مستقيم األعداد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

- العمليات احلسابية بأعداد صحيحة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

مالحق للفصل 64 اختبارات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 أوراق إضافية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 لعبة: الضرب في اجلدول . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 لعبة: الضرب باملكعب . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

الضرب العمودي

�

مدخل إلى فصل "الضرب العمودي"

في هذا الفصل يستمر التالميذ بتناول العمليات احلسابية، يتعلمون طرقا حلل متارين ضرب عددين من عدة أرقام، وأخيرا يتعلمون اخلوارزمية املتبعة في الضرب العمودي.

خالل التعليم في السنوات السابقة، تعرف التالميذ على العمليات احلسابية األربع )اجلمع، الطرح الضرب والقسمة( وبعض اخلوارزميات املتبعة في تنفيذها )اجلمع العمودي، الطرح العمودي، الضرب

العمودي حني يكون املضروب فيه عددا من رقم واحد(. أهداف هذا الفصل هي: توسيع معرفة التالميذ في العمليات احلسابية )الضرب العمودي حني يكون املضروب فيه عددا من رقمني ومن ثالثة أرقام(،

تقوية املهارات التي اكتسبها التالميذ في السنوات السابقة )جمع وطرح وضرب األعداد في مجال اآلالف بطرق مختلفة( وكذلك االستمرار في تطوير ملكة التبصر احلدسي لألعداد.

حاولنا في هذا الفصل أن نحرص على طريقة التعليم اآلتية: - نقطة االنطالق - تناول مسألة كالمية أو حالة واقعية

- تشكيل املسألة )أو احلالة( بواسطة مترين مالئم- حل التمرين باستخدام املهارة املطلوبة.

تسلسل تعليم فصل "الضرب العمودي" - خلفية رياضية وتعليميةالضرب في 10، في 100 وفي 1,000 )تذكير( أ.

في هذه الوحدة نتناول طرقا مختلفة حلساب متارين من أنواع مختلفة غيبا. هذه الطرق سبق أن علمت في الصف الثالث، وترد هنا للتذكير فقط.

طرق حساب كل متارين الضرب غيبا تعتمد على استخدام قوانني العمليات احلسابية )قانون التوزيع، قانون التجميع وقانون التبادل( وعلى فهم املبنى العشري.

400 × 10 = )4 × 100( × 10 = 4 × )100 × 10( = 4 × 1,000 = 4,000 مثال أ: استخدمنا هنا قانون التجميع.

2,000 300 23 × 100 = 20 × 100 + 3 × 100 = 2,300 مثال ب:

اعتمد احلل هنا على قانون التوزيع وعلى فهم املبنى العشري.

مالحظة تعليمية: تالميذ كثيرون "يعممون" الضرب بقوى العدد 10 بواسطة قاعدة "إضافة أصفار".

يجب التأكيد على أن هذه القاعدة تتحقق فقط في مجموعة األعداد الصحيحة ما عدا الصفر وتستخدم كطريقة لتذكر مفهوم رياضي معرف جيدا. مهم أن يتعلم التالميذ ملاذا "تصلح هذه القاعدة" وأن ال

يعتمدوا على تذكر القاعدة.

ب. الضرب في عشرات كاملة وفي مئات كاملةفي املثالني اآلتيني نفصل أنواع التمارين في هذه الوحدة، ونبني ما هي القوانني التي يعتمد عليها كل

نوع من التمارين.مثال أ - حل يعتمد على قانون التجميع:

20 + 3

استخدمنا هناقانون التجميع.

6 × 40 = 6 × )4 ×10 ( = )6 × 4( × 10 = 24 × 10 = 240

�

مثال ب - حل نستخدم فيه قانون التبادل )مع قانون التجميع(.

60 × 3 = )6 × 10( × 3 = 6 × )10 × 3( = )6 × 3( × 10 = 180

مالحظة تعليمية:التالميذ ليسوا بحاجة إلى معرفة تفصيل القوانني التي استخدموها في كل حل.

املعلومات املكتوبة هنا معدة للمعلم فقط.

الضرب بواسطة قانون التوزيع ج. في الصف الثالث سبق أن تعرف التالميذ على حل متارين ضرب بواسطة التوزيع. تعلموا ضرب عدد

من عدة أرقام في عدد من رقم واحد وضرب عدد من رقمني في عدد من عشرات كاملة. في الصف الرابع نراجع هذه األنواع ونوسع مجال األعداد الذي يتناوله التالميذ.

فيما يلي تفصيل حل متارين من األنواع املختلفة، يعتمد على قانون التوزيع وعلى فهم املبنى العشري.

- ضرب عدد من عدة أرقام في عدد من رقم واحد:

324 × 2 = 300 × 2 + 20 × 2 + 4 × 2 = 600 + 40 + 8 = 648

- ضرب عدد من رقمني في عدد من عشرات كاملة:

45 × 20 = 40 × 20 + 5 × 20 = 800 + 100 = 900

- ضرب عدد من رقمني في عدد من رقمني:

45 × 23 = 45 × 20 + 45 × 3 = 40 × 20 + 5 × 20 + 40 × 3 + 5 × 3 = 1,035

يجب أن نؤكد أن حل التمارين ليس دائما ناجعا عندما نستخدم التوزيع بحسب املبنى العشري أو عند استخدام توزيع الضرب على اجلمع. هناك حاالت معينة من األسهل فيها استخدام طرق أخرى. تفصيل

ذلك نورده الحقا، عندما نناقش الفعاليات التي في كتاب التلميذ.


استخدمنا هناقانون التبادل.

استخدمنا هناقانون التجميع.

600 40 8

300+20+4

800 100

40+5

40+5

800 100 120 15

40+520+3

�


الضرب العمودي )الطريقة املفصلة( د. في هذه الوحدة تعلم طريقة حل متارين ضرب أعداد من عدة أرقام، تكتب فيها بالتفصيل كل مرحلة )كل حاصل ضرب جزئي( في سيرورة احلل. تعتمد هذه الطريقة على املبنى العشري لألعداد املتعددة األرقام، والهدف األساسي من تعلم الضرب بهذه الطريقة هو التعمق في فهم املبنى العشري لألعداد.

اخلوارزمية املتبعة في حساب الضرب ما هي في الواقع إال كتابة مختصرة للطريقة التي تعلم في هذه املرحلة، واالنتقال إليها يأتي في الوحدة اآلتية. لذلك، من األهداف األخرى لتعلم هذه الطريقة هو

استخدامها كقاعدة لفهم اخلوارزمية املتبعة، وقدرتها على منع الوقوع بأخطاء حسابية شائعة عند التالميذ الذين يقومون باحلساب بدون فهم.

تعتمد خوارزمية الضرب العمودي على قانون التوزيع وعلى فهم املبنى العشري.مثال: 6 × 437

بحسب املبنى العشري: 7 + 30 + 400 = 437لذلك ميكن كتابة التمرين هكذا: 6 × )7 + 30 + 400( = 6 × 437

بحسب قانون التوزيع نحصل على: 2,622 = 42 + 180 + 2,400 = 6 × 7 + 6 × 30 + 6 × 400 ميكن حل هذا التمرين عموديا هكذا:

مالحظات:سطر الذاكرة في احلل يستخدم لذاكرة مترين اجلمع الذي نحسبه بعد ضرب اآلحاد، العشرات أ.

واملئات للعدد متعدد األرقام. كتابة سطر الذاكرة جاء هنا كمثال فقط. كل معلم يقرر بحسب اعتباراته إذا كان سيستخدم مثل

هذا األسلوب في الكتابة بحسب مجرى التعليم في صف معني. في كتاب التلميذ لم نبق مكانا خاصا للذاكرة.

مهم االنتباه إلى مكان كتابة حاصل ضرب العشرات ب. وإلى مكان كتابة حاصل ضرب املئات. هناك تالميذ

يخطئون عندما يكتبون حواصل الضرب هكذا:

7 آحاد × 63 عشرات × 6

4 مئات × 6

4 3 76

14 2

1 8 02 4 0 02 6 2 2

آالفمئاتعشراتآحاد

النتيجة

×

+

الذاكرة

4 3 76

4 21 82 4

×

+

4 3 76

4 21 8 0

2 4 0 02 6 2 2 النتيجة

×

+ 6 × 7

6 × 30 6 × 400

يفضل نصح هؤالء التالميذ بتفصيل سير احلل هكذا:



�


60 3

636 32 92 7

5 4 06 0

1 2 0 01 8 2 7 النتيجة

9 × 6020 × 3

×

+9

2029

9 × 3

20 × 60

بنفس الطريقة ميكن أيضا حل متارين ضرب عدد من رقمني في عدد من رقمني.مثال: 29 × 63

بحسب املبنى العشري: 9 + 20 = 29لذلك: 9 × 63 + 20 × 63 = )9 + 20( × 63 = 29 × 63

وبحسب املبنى العشري أيضا: 3 + 60 = 63لذلك: 9 × )3 + 60( + 20 × )3 + 60( = 9 × 63 + 20 × 63

نستمر باحلل بواسطة قانون التوزيع ونحصل على:60 × 20 + 3 × 20 + 60 × 9 + 3 × 9 = 1,200 + 60 + 540 + 27 = 1,827

حل التمرين عموديا:

الضرب العمودي )بالطريقة املختصرة( هـ. يجدر بالذكر أن التمكن اجليد من اخلوارزمية املتبعة )الطريقة املختصرة( ليس الهدف األساسي من هذا

الفصل، والتالميذ الذين يستصعبون باستطاعتهم التخلي عنها وحل متارين الضرب بالطريقة املفصلة.

التمرين الذي حللناه في الصفحة السابقة بالطريقة املفصلة ميكن حله بالطريقة املختصرة كما في املثال في املقابل:

في هذه الطريقة نكتب فوق األرقام املالئمة في التمرين األرقام التي يجب تذكرها.

هناك تالميذ ينسون إضافة األرقام املكتوبة في الذاكرة، مثال:

مثال خلطأ شائع آخر - نضيف الرقم املسجل في الذاكرة قبل أن نضرب:

4 3 76

2 6 2 2

×

2 4

النتيجة

1 2 43

3 6 2

×

1

1 2 43

3 9 2

×

1

هذا مثال لطريقة احلل املختصرة لتمرين ضرب عدد من رقمني في عدد من رقمني كما حللناه سابقا

بالطريقة املفصلة:6 32 9

5 6 71 2 61 8 2 7

×

+النتيجة






�0

أ. الضرب في 10، في 100 وفي 1,000 )تذكير(

فعاليات متهيديةميكن بدء املوضوعة مبساعدة مستقيم األعداد. التالميذ الذين ال يتذكرون القاعدة الرسمية للضرب في

10 وفي 100 ياستطاعتهم االستعانة بنموذج مستقيم األعداد املستخدم في اجلمع املتكرر.

1. حلوا بواسطة مستقيم األعداد.

100 200 3000

هذه الفعالية من املفروض أن تذكر التالميذ كيف يضربون عددا صحيحا غير الصفر في 10 وفي 100، واعتمادا على ذلك يتوصلون إلى قاعدة الضرب في 1,000.

هل تتذكرون القواعد؟ .2كيف نضرب عددا صحيحا غير الصفر في 10؟ أ.

كيف نضرب عددا صحيحا غير الصفر في 100؟ ب. كيف نضرب عددا صحيحا غير الصفر في 1,000؟ ج.

عادة يستوعب التالميذ هذه القواعد بسرعة، لكن بعضهم ال ينتبهون إلى ماهية القواعد - تكبير العدد املضروب 10 مرات، 100 مرة و 1,000 مرة.

لذلك يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ في هذه األسئلة: • عندما نضرب هذا العامل في 10؟ ما هي العالقة بني العامل الذي نضربه وحاصل الضرب

• عندما نضرب هذا العامل في 100؟ • عندما نضرب هذا العامل في 1,000؟

يستحسن أن يكتب التالميذ بالكلمات بضع نتائج من نتائج الضرب، وأن يعبروا عنها جهرا بصوت عال. كذلك يوصى بتنفيذ فعالية معكوسة: أن نسمع التالميذ بضعة أعداد ونطلب منهم أن يكتبوا

هذه األعداد بالصورة املتبعة.

|أ

|ب

مثال

100 × 8 =

4 × 100 =

3 × 100 = 300

��


الصفحة 6الفعالية 2 والفعالية 4

كل التمارين في هذه الفعاليات ميكن حلها بعدة طرق:استخدام القاعدة الرسمية •

استخدام املبنى العشري •مثال: 1,000 × 19 هي تسعة عشرة ألفا، ونكتب ذلك هكذا: 19,000.

استخدام قانون التجميع •مثال: 4,000 = 1,000 × 4 = )10× 100( × 4 = 10× )100 × 4( = 10 × 400

باستطاعة كل واحد من التالميذ أن يحل بالطريقة التي يستسهلها.يجب التأكيد على أن التالميذ غير ملزمني بالتمكن من املفاهيم الرسمية لقوانني احلساب - تكفي املهارة

التطبيقية.إلكساب التالميذ عادة استخدام اللغة الرياضية املتبعة يوصى بتذكيرهم باملصطلحات املستخدمة في

عملية الضرب )عامل، عامل، حاصل ضرب(.يجب أن نتوقع في هذه املرحلة أن يستخدم معظم التالميذ القاعدة الرسمية حلل التمارين. يوصى

بإجراء نقاش مع التالميذ في العالقة بني العامل وحاصل الضرب عندما نضرب هذا العامل في 10، في 100 وفي 1,000، وأن نسألهم كيف تتمثل هذه العالقة في املبنى العشري لألعداد.

قد يكون هناك تالميذ يستصعبون كتابة وقراءة نتائج الضرب.

��

الصفحة 7الفعالية 5

في هذه الفعالية توجد جتميعة من املعادالت. يوصى بإجراء نقاش في أهمية فحص احللول.ميكن فحص احللول بواسطة قواعد الضرب في 10، في 100 وفي 1,000 أو بواسطة قانون التجميع.

مثال، حل البند ج يكون هكذا: 60,000 = 1,000 × 60

الفحص: 60,000 = 10 × 10 × 10 × 60 = 1,000 × 60 كل مرة تكبر النتيجة 10 أضعاف ونحصل في مراحل على حواصل الضرب هذه: 600, 6,000,

.60,000

الفعالية 6ميكن اإلجابة عن املسألة بطريقتني:

بواسطة مترين سلسلة - نحسب املجموع الكلي لأليام )17 + 18( وبعد ذلك نحسب املجموع الكلي أ. للساعات: 10 × )17 + 18(.

نحسب عدد الساعات في متوز على حدة )10 × 18(، وعدد الساعات في آب على حدة )10 × 17(، ب. وبعد ذلك نحسب املجموع الكلي للساعات: )10 × 18( + )10 × 17(.

هناك تالميذ يخطئون ويحلون املسألة بواسطة مترين سلسلة مكتوب هكذا: 10 × 17 + 18.نقترح على هؤالء التالميذ أن يقارنوا بني هذا التمرين والتمرين املكتوب هكذا: 10 × )17 + 18(

ما املتشابه بني التمرينني؟ ما املختلف بينهما؟كذلك ميكن أن نقترح على التالميذ أن يكتبوا مسألة كالمية ميكن حلها بواسطة التمرين األول، ومسألة

ميكن حلها بواسطة التمرين الثاني.

الفعالية 8بعض التالميذ يخلطون بني عمليتي الضرب واجلمع. هذه الفعالية تتناول التمييز بني العمليتني. يفضل

إجراء نقاش مع التالميذ في العالقة بني العامل وحاصل الضرب عندما نضرب العامل في 10

مقابل العالقة بني املضاف وحاصل اجلمع عندما جنمع 10 للمضاف.

مثال، ميكن أن نسأل: ماذا يحدث ألرقام العدد عندما نضربه في 10

باملقارنة مع أرقام العدد بعد أن جنمع له 10؟


في كل مرة نضرب فيها عدد طبيعي في 10 - عدد األرقام يكبر.

بينما عندما جنمع 10 للعدد يجب أن منيز بني حاالت مختلفة:

عادة عدد األرقام ال يتغير، مثال: .40 + 10 = 50

لكن يجب االنتباه أيضا إلى حاالت "خاصة"، مثال: 100 = 10 + 90.

�3


تنفيذ هذه الفعالية يتطلب من التالميذ أيضا احلس باألعداد )في احلاالت التي ميكن إكمال أرقام فيها( ويتطلب أيضا القدرة على التعليل )في احلاالت التي ال ميكن إكمال أرقام فيها(.

مثال: 2 = 10 × 12في هذه احلالة ال ميكن إكمال أرقام.

تعليل ممكن: عندما نضرب في 10، فإن آخر رقم في حاصل الضرب يكون دائما صفرا.

الفعالية 11هناك تالميذ يحلون هكذا: 0 + 20 = 10 × 2

يجب أن نوضح لهم أن هذا احلل غير صحيح في هذه الفعالية، ألن الفعالية هنا تطالبهم بإكمال نفس العدد في املكانني.

الفعالية 12 في هذه الفعالية توجد متارين سلسلة فيها عمليات حسابية مختلفة.

ميكن أن نسأل التالميذ أسئلة أخرى، مثال: - ماذا يحدث إذا غيرنا ترتيب العمليات؟

- ماذا يحدث إذا غيرنا العدد األول؟فعالية مشابهة ميكن إيجادها في الورقة اإلضافية 1، الفعالية 2 )في املالحق، الصفحة 71(.


اختبار للوحدة أ - في املالحق، الصفحة 64.

��

ب. الضرب في عشرات كاملة وفي مئات كاملة

الهدف: توصيل التالميذ إلى تقنية الضرب في العشرات الكاملة وفي املئات الكاملة )أو التذكير بها( بواسطة "االكتشاف الذاتي".

فعالية متهيدية1. حلوا بالطريقة التي تستسهلونها.

كل واحد من 3 مكاتب طلب من متعهد تزويده بالطعام 6 رزم من الطعام. كم رزمة من الطعام أ| على هذا املتعهد أن يحضر إذا علم أن كل رزمة حتتوي على 10 وجبات؟

احلساب:

اجلواب:

هذه املسألة متثل افتتاحية لهذه الوحدة. ميكن حلها بطريقتني على األقل: حاصل ضرب العدد الكلي للرزم الطريقة األولى: 180 = 10 × )6 × 3(

في عدد الوجبات في كل رزمة. حاصل ضرب عدد الوجبات لكل مكتب الطريقة الثانية: 180 = 3 × )10 × 6(

في عدد املكاتب.

سعر وجبة األوالد في مطعم هو 40 شاقال. كم تكلف 200 وجبة؟ ب|

احلساب:

اجلواب:

نقاش: بكم طريقة ميكن حل هذه املسألة؟

حل كل من راوية، لطيفة وشادية مترين الضرب هذا: 20 × 3 . اثنتان منهن استخدمتا مستقيم .2أعداد خاليا.

حلت لطيفة هكذا:

3 × 20 = 60

حلت راوية هكذا:

3 × 20 = 60

20 2020

أما شادية فحلت التمرين بدون أن تستخدم مستقيم األعداد:

3 × 20 = 3 × 2 × 10 = 6 × 10 = 60

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

��

ب. الضرب في عشرات كاملة وفي مئات كاملة

نقاش: ما املتشابه وما املختلف في طرق احلل الثالث؟

في النقاش ميكن التأكيد أننا في كل الطرق حصلنا على نفس النتيجة، بالرغم من اختالف الطرق:جمع متكرر لـ 20 مضافا متساويا أ.

جمع متكرر لـ 3 مضافات متساوية ب. استخدام قانون التجميع. ج.

كل الطرق صحيحة، لكن يفضل مناقشة جناعة كل منها. يستحسن أن يتوصل التالميذ إلى االستنتاج بأن استخدام القوانني احلسابية هو األجنع.


قبل حل التمارين يوصى مبناقشة العالقة بينها وتقدير ماذا ستكون العالقة بني النتائج، ثم يحل التالميذ التمارين ويفحصون تقديراتهم.

الفعالية 2في هذه الفعالية يوجد نقاش مفتوح من شأنه أن يؤكد طرقا مختلفة للحساب. يجب عدم التوصل إلى

استنتاج حاسم. باستطاعة كل واحد من التالميذ أن يحل بالطريقة التي يستسهلها.

الفعالية 4في هذه الفعالية التالميذ غير مطالبني بحل متارين ضرب، وإمنا معطاة لهم مهمة معكوسة: معطى

حاصل الضرب،وعلى التالميذ أن يكتبوا متارين مختلفة مالئمة له.انتبهوا أيضا إلى هذه اإلمكانية: 2,400 × 1 = 2,400. هناك تالميذ ال ينتبهون إلى ما هو مكتوب في

التعليمات ويظنون أن املهمة هي كتابة مترين أيا كان )وليس بالذات مترين ضرب( نتيجته 2,400، مثال: 2,400 = 400 + 2,000.

.2,000 + 40 × 10 = 2,400 يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ عن أهمية

قراءة التعليمات وفهم املقروء.

اختبار للوحدة ب - في املالحق، الصفحة 65.

��


تتناول الفعالية حل معادالت. باستطاعة التالميذ أن يكتبوا طرقا مختلفة للحل. مثال: في البند أ معطاة

هذه املعادلة: 150 = __ × 5 .طرق حل ممكنة:

بواسطة مترين القسمة املالئم: •30 = 5 : 150، ولذلك 150 = 30 × 5.

بواسطة التجربة واخلطأ، مثال: • 5 × 10 = 50

5 × 20 = 100 5 × 30 = 150

بواسطة مترين سلسلة واستخدام قانون التجميع: •)5 × 3( × 10 = 5 × )3 × 10( = 5 × 30 = 150

ميكن أن نشير إلى أن طريقة احلل ال تتعلق مبكان العامل في مترين الضرب )على يسار إشارة

الضرب أو على ميينها( - وهذا دعم آخر لفهم قانون التبادل في الضرب في األعداد الطبيعية.

ج. الضرب بواسطة قانون التوزيع


متثل هذه الفعالية افتتاحية للموضوعة. التمثيل البياني يستخدم كأداة لفحص عملي للجواب. )ميكن

إحصاء النقاط واالقتناع بصحة اجلواب.(ميكن الطلب من التالميذ أن يقترحوا طريقة حلل

املسألة. في التجربة الحظنا أن هناك تالميذ يبدأون بإحصاء النقاط، وهناك تالميذ يبحثون عن طريقة

أكثر جناعة )جمع متكرر، ضرب(. يجب تشجيع التالميذ على استخدام أكثر طريقة ناجعة في هذه

احلاالت - احلساب بواسطة مترين ضرب. كتعليل آخر لنجاعة مترين الضرب، ميكن عرض مسألة

مشابهة فيها عدد كبير من األسطر وعدد كبير من النقاط في كل سطر.

الورقة اإلضافية 1 موجودة في املالحق، الصفحة 71.

��


الصفحة 12في الفعالية 3 هناك تالميذ يكتبون حال مغلوطا للمسألة هكذا:

7 + 13 × 8 = 20 × 8 = 160 يوصى بتذكير هؤالء التالميذ بترتيب العمليات احلسابية وبوظيفة القوسني، وبعد ذلك نطلب منهم أن

يصححوا حلهم. احلل الصحيح:

160 = 8 × 13 + 8 × 7 = 8 × )13 + 7( או 160 = 8 × 20 = 8 × )13 + 7(

الفعالية 4 متثل مقدمة للنقاش الحقا، في الفعالية 5، عن التوزيع على اجلمع والتوزيع على الطرح.في الفعالية 5 تعرض طريقتان حلل نفس التمرين - توزيع على اجلمع وتوزيع على الطرح. الطريقتان

صحيحتان، وفي كل بند في الفعالية 6 باستطاعة التالميذ أن يقرروا بأي طريقة أسهل أن يحلوا. عادة مييل التالميذ إلى استخدام التوزيع على اجلمع، بينما في البند ج من السهل أيضا استخدام

التوزيع على الطرح هكذا:500 10

98 × 5 = 100 × 5 - 2 × 5 = 490

56 104

100-2

��

الصفحات 18-13موضوعة الفعاليات في هذه الصفحات هي ضرب عدد من ثالثة أرقام في عدد من رقم واحد، وضرب عدد من

رقمني في عدد من رقمني.النموذج املقترح هنا هو منوذج مستطيالت الضرب. في كل مستطيل ضرب نفصل )نوزع( العامل )أو

العاملني( بحسب املبنى العشري لكل منهما. هذا الفصل يساعد في تنفيذ مترين الضرب غيبا، ومن هنا تأتي أهميته. كذلك فإن التوزيع بحسب املبنى العشري هو حتضير لتعليم الضرب العمودي.

انتبهوا، في الصفحة 16 عرضت أيضا توزيعات ليست بحسب املبنى العشري. يستحسن مناقشة الطرق املختلفة ومقارنتها: مباذا تختلف هذه الطرق، )توزيعات مختلفة( مباذا تتشابه؟ )نفس النتيجة( ميكن أن نسأل

التالميذ عن أجنع طريقة في رأيهم وملاذا.

كفعالية متهيدية لتمارين ضرب عدد من رقمني في عدد من رقمني )الصفحة 17(، ميكن أن نقترح على التالميذ هذه املسألة:

أب عنده حقل مستطيل الشكل. وزع األب هذا احلقل على أبنائه األربعة )ندمي، راجي، ندين ورنا( على هذا النحو:

- احسبوا مساحات حصص األبناء.- احسبوا مساحة احلقل كله. بكم طريقة ميكن حساب ذلك؟


حصة رناحصة راجي

حصة ندميحصة ندين

30 م9 م

20 م

7 م

��



�0



هذه الفعالية هي مهمة بحث. يجب تشجيع التالميذ على البحث عن عالقات مختلفة بني حواصل الضرب. هدف الفعالية هو بيان العالقة بني الضرب واجلمع. مثال، السطر األول ميكن إكماله بطريقتني:

بواسطة الضرب: أ. 101 × 1 = 101, 101 × 2 = 202, 101 × 3 = 303, 101 × 4 = 404

بواسطة اجلمع: أ. 101, 101 + 101 = 202, 202 + 101 = 303, 303 + 101 = 404

ميكن أن نطلب من التالميذ البحث عن عالقات أخرى، مثال، عن عالقة حواصل الضرب في القطر اآلخر، في األقطار القصيرة، إلخ.

الفعالية 24كتحضير لهذه الفعالية ميكن فحص حاالت خاصة، وبعد ذلك فقط ميكن التوصل إلى التعميم.

الفعالية 25قبل تنفيذ الفعالية ميكن أن نقترح على التالميذ أن يقدروا كم هي النتيجة النهائية في كل مترين في

احلالتني املعروضتني في الفعالية:نختار عددا، نضربه في 5 ونضيف 5 إلى حاصل الضرب: ___ = 5 + 5 × ___ أ.

نضيف 1، إلى نفس العدد الذي اخترناه سابقا، ثم نضرب النتيجة في 5: ___ = 5 × )1 + ___( ب. هل نحصل على نفس النتيجة في احلالتني؟

��



انتبهوا، هناك فرق جوهري لدى التالميذ بني التمرين 22 × 33 )الذي فيه رقم اآلحاد في النتيجة

هو نتيجة فورية من حاصل ضرب 3 في 2( والتمرين 28 × 49 )الذي رقم اآلحاد في نتيجته هو

آخر رقم في حاصل ضرب 9 في 8(.

الفعالية 29هذه الفعالية ميكن تنفيذها بواسطة احلسابات

وأيضا بواسطة التقدير.مثال، في التمرين 199 × 3 العامل الثاني )199(

أصغر من 200، ولذلك نتيجة مترين الضرب 199 × 3 أصغر من نتيجة مترين الضرب 200 × 3،

أي أصغر من 600.

الصفحة 20 الفعالية 26

هذه الفعالية هي تتمة للفعالية 24 من الصفحة السابقة. يطلب من التالميذ بأن يفهموا أن كل تغيير

في العاملني يؤدي أيضا إلى تغيير في حاصل الضرب.

باستطاعة التالميذ أن يحلوا بطرق مختلفة: - أن يحلوا كل بند ثم يقارنوا النتائج.

- أن ينتبهوا، مثال، أن التمرين األصلي فيه 4 مرات 35 بينما في البند أ يوجد فقط ثالث مرات 35.

يوصى بتشجيع التالميذ على إكمال البنود بدون إجراء حسابات خوارزمية شكلية، وإمنا من خالل

اعتبارات منطقية تؤدي إلى احلل غيبا.

الفعالية 27يطلب من التالميذ تشخيص رقم اآلحاد في نتائج

متارين ضرب.هذه املهارة ناجعة في حاالت كثيرة في احلساب،

وعلى رأسها فحص صحة التمارين.

اختبار للوحدة ج - في املالحق، الصفحة 66.

��

د. الضرب العمودي - الطريقة المفصلة

سبق أن تناول التالميذ الضرب العمودي في الصف الثالث. في الصف الرابع نقوم بتوسيع وتقوية هذه املوضوعة. الرسمة التوضيحية املوجودة في بداية الصفحة 22 أكدت العالقة بني الضرب العمودي

بالطريقة املفصلة والضرب بواسطة التوزيع )مستطيل الضرب(. في الواقع باستطاعتنا القول إن الطريقة املفصلة في الضرب هي طريقة أخرى في استخدام قانون التوزيع. يجب التأكيد على أن هذه

الطريقة متكن من استخدام خوارزميات سابقة كاجلمع العمودي مثال.

انتبهوا، هناك طرق مختلفة لتسجيل الضرب العمودي:• ميكن استخدام سطر الذاكرة الذي يستخدم كذاكرة لتمرين اجلمع الذي ننفذه بعد ضرب آحاد،

عشرات ومئات العدد املكون من عدة أرقام في عدد من رقم واحد.• ميكن أن نكتب جانبا كل حسابات اجلمع.

• ميكن أن نكتب في التمرين حواصل الضرب فقط، ثم تنفيذ كل احلسابات غيبا. يختار كل معلم الطريقة املالئمة حلاجات تالميذ صفه.

كل مراحل الضرب العمودي تعتمد على الضرب من خالل جدول الضرب وعلى اجلمع العمودي. لذلك يوصى مبراجعة هذه املهارات مع التالميذ.

الصفحتان 23-22في فعاليات هاتني الصفحتني يوجد متارين ضرب عدد من ثالثة أرقام في عدد من رقم واحد. يوصى

بحلها مع املعلم/ة. قبل أن يبدأ التالميذ بحل كل مترين، يفضل إجراء نقاش في السؤال: كم سطرا سيكون حتت سطري التمرين؟ ملاذا؟

يوجد في هاتني الصفحتني أيضا متارين فيها الرقم صفر. هناك تالميذ يخلطون بني الضرب في صفر وجمع الصفر. لذلك يوصى بتذكير هؤالء التالميذ كيف يضربون في الصفر. لتجنيب التالميذ الوقوع

في اخلطأ يوصى بنصحهم بترك سطر خاص لكل حاصل ضرب في صفر.انتبهوا، ميكن حل التمارين بعدة طرق: بالضرب العمودي، بواسطة مستطيالت الضرب أو بواسطة

التوزيع. يجب عدم منع التالميذ من استخدام هذه الطرق.


�3

الصفحة 24 في هذه الصفحة يوجد متارين ضرب عدد

من أربعة أرقام في عدد من رقم واحد.


الصفحة 25في هذه الصفحة يوجد مثال لضرب عدد من رقمني

في عدد من رقمني عموديا.انتبهوا: مراحل احلل املعروضة في هذه الصفحة

قريبة من اخلوارزمية املتبعة )للضرب العمودي بالطريقة املختصرة(، ألن التالميذ هنا مطالبون بتنفيذها بترتيب ثابت، األمر الذي يتطلب منهم فهم املبنى العشري لألعداد جيدا. للتأكيد على

الترتيب الصحيح ملراحل احلل أضفنا أسهما داخل التمرين )واضح أن التالميذ غير ملزمني بتعليم هذه

األسهم(.

��


الصفحة 26البند أ

يجب الوصول بالتالميذ إلى االستنتاج أنه في هذا التمرين يفضل تغيير ترتيب العاملني لكي يصبح باإلمكان حل التمرين بطريقة أسهل. مثال، ميكن أن نعرض لهم هذا البند هكذا:

قارنوا حلي التلميذين. أي طريقة أسهل؟

لتقوية مهارة ضرب عدد من رقمني في عدد من رقمني، ميكن أن نقترح على التالميذ أن يلعبوا لعبة الضرب في اجلدول. تعليمات اللعبة ولوحة اللعب - في املالحق، الصفحة 75.

6 14 5

53 0 0

4 02 4 0 02 7 4 5

×

+

حل رامي هكذا: حلت شادية هكذا:

4 56 14 5

3 0 02 4 0 02 7 4 5

×

+

آالفمئاتعشراتآحاد آالفمئاتعشراتآحاد

��


10+1

الصفحة 27معظم التمارين في هذه الصفحة ميكن حلها غيبا وليس بالذات بالضرب العمودي. مثال، في البندين

ب و هـ أحد العاملني هو 100. الضرب في 100 تناوله التالميذ في بداية الفصل. في البندين ج و د من األجنع استخدام التوزيع. مثال، التمرين في البند د ميكن حله بواسطة التوزيع هكذا:

217 × 11 = 217 × 10 + 217 × 1= 2,170 + 217 = 2,378

في البند أ ميكن تكبير العدد 50 مرتني واحلصول على التمرين 41 × 100.نتيجة التمرين اجلديد هي 4,100. مبا أننا كبرنا أحد العاملني مرتني، فإن هذه النتيجة ستكون أكبر

مرتني من النتيجة املطلوبة، ولذلك يجب تصغير هذه النتيجة مرتني: 2,050 = 2 : 4,100

في البند ج نضرب ألول مرة عددا من ثالثة أرقام في عدد من رقمني. يفضل هنا إجراء نقاش في السؤال: كم سطرا سيكون حتت سطري العاملني؟ ملاذا؟

بعد ذلك ميكن متكني التالميذ من تطوير طرق حل بأنفسهم. يستحسن التأكيد على أن طريقة احلل التي تعلموها تناسب كل األعداد بغض النظر عن عدد أرقام كل عامل.

الصفحة 28بعض التالميذ يحاول حل التمرين في الفعالية 3 بواسطة التوزيع املوسع.

= 100 × 100 + 100 × 20 + 100 × 3 + 10 × 100 + 10 × 20 + 10 × 3 + 3 × 100 + 3 × 20 + 3 × 3100+10+3 100+20+3

113 × 123 = )100 + 10 + 3( × )100 + 20 + 3( =

في مثل هذه احلالة ميكن أن نقترح على التالميذ أن يقارنوا طريقتهم بالطريقة املفصلة للضرب العمودي، وأن يبدوا رأيهم في جناعة الطريقتني.

��

الصفحة 30في هذه الصفحة توجد مسائل نحتاج في حلها إلى متارين ضرب. املسألتان 8 و 9 ميكن حلهما بتمرين

واحد أو ببضعة متارين.

الصفحة 29في الفعالية 6 في كل التمارين، باستثناء البند ج، يوجد صفر في أحد العاملني أو في االثنني. يفضل

في النقاش في الصف أن نصل بالتالميذ إلى االستنتاج أنه في حالة الضرب في صفر ميكن توفير أسطر وأن نكتب كما في األمثلة اآلتية.

البند أ بدال من أن نكتب

هكذا:


8ميكن أن نكتب هكذا: 64 0

2 4 03 2 0 03 4 4 0

×

+

8 64 0

00

2 4 03 2 0 03 4 4 0

×

+

البند ز بدال من أن نكتب

هكذا:7 8 0

3 0000

2 4 0 02 1 0 0 02 3 4 0 0

×

+

7 8 03 0

2 4 0 02 1 0 0 02 3 4 0 0

ميكن أن نكتب هكذا:×

+

اختبار للوحدة د - في املالحق، الصفحة 67.

��

تعليم الضرب بالطريقة املختصرة معد ملن سبق أن تعلم حل متارين ضرب في عدد من رقم واحد بالطريقة املختصرة في باب "الضرب حتى 10,000" )الصف الثالث(. من لم يتعلم ذلك - عليه إكمال

تعلم ذلك بحسب هذا الباب. يجب التأكيد أنه بحسب املنهج التعليمي احلالي يجب الوصول بالتالميذ إلى درجة التمكن من ضرب األعداد في مجال الـ 1,000 بالطرق املعروفة للتالميذ، وليس بواسطة اخلوارزمية

الرسمية بالذات. لذلك يجب السماح للتالميذ أن يتقدموا بحسب قدراتهم وأن يستخدموا الطرق التي علمت سابقا.

الصفحة 31هذه الصفحة معدة للتذكير باحلل بالطريقة املختصرة. في هذه الصفحة نضرب عددا من ثالثة أرقام في عدد من رقم واحد، ولذلك يوجد في طريقة احلل سطر واحد فقط. يوصى بربط حل التمرين في املثال

الذي جاء بالطريقة املختصرة بحل نفس التمرين بالطريقة املفصلة.الطريقة املختصرة: الطريقة املفصلة:

هـ. الضرب العمودي - الطريقة المختصرة

في الطريقتني نضرب العدد املكون من رقم واحد )العدد 3( أوال في آحاد العدد املكون من ثالثة أرقام )7(، بعد ذلك نضربه في عشراته )3( وأخيرا نضربه في مئاته )4(. لكن في الضرب في الطريقة املختصرة بدال من أن نكتب نتيجة كل حاصل ضرب في سطر منفرد خاص به وفي النهاية جنمع كل

حواصل الضرب - جنمع األعداد أثناء عملية الضرب )لهذا الغرض ميكن استخدام الذاكرة(.

4 3 73

2 19 0

1 2 0 01 3 1 1

×

+

4 3 73

1 3 1 1

×

��

الصفحة 32في هذه الصفحة نضرب عددا من رقمني في عدد

من رقمني، ولذلك يوجد في طريقة احلل ثالثة أسطر: سطران حلاصلي الضرب وسطر حلاصل

اجلمع.

الصفحة 33التمرين الذي في املثال:

في هذه الصفحة نضرب عددا من رقمني في عدد من رقمني فيه الرقم 0 )عشرات كاملة(.الطريقة التقليدية للضرب العمودي بالطريقة املختصرة تتطلب تنفيذ هذا التسجيل:



نتيجة الضرب في رقم العشرات 6 وللعامل 60، وهي مسجلة بإزاحة منزلة

واحدة إلى اليسار )منزلة العشرات(

نتيجة الضرب في رقم اآلحاد 0 للعامل 60

يوصى بالوصول بالتالميذ إلى االستنتاج بأن تسجيل سطرين في هذه احلالة هو أمر زائد ميكن االستغناء عنه )بالرغم من أنه مسموح( ويستحسن توفير سطر وتسجيل حاصلي الضرب في سطر

واحد، كما في املثال الذي ورد في كتاب التلميذ.

4 36 0

02 5 82 5 8 0

×

+

��

الصفحة 34 في هذه الصفحة يوجد متارين ضرب عدد

من ثالثة أرقام في عدد من رقمني.انتبهوا، في البندين د و هـ نضرب عددا من ثالثة

أرقام فيه الرقم 0 في عدد من ثالثة أرقام، لكن هذه احلقيقة ال تغير طريقة حل الضرب

عموديا بالطريقة املختصرة.

البند جفي هذا التمرين ال نستخدم أسلوب التوفير في

التسجيل، ألنه بحسب ترتيب التسجيل هنا نضرب في البداية رقم اآلحاد 2 للعامل 42 في العامل 30،

والنتيجة ليست صفرا، ولذلك يجب تسجيلها في سطر منفرد:

إذا استخدمنا قانون التبادل ميكن حل التمرين هكذا:

يوصى بإجراء نقاش مع التالميذ عن إمكانية احلل هذه وأنها أسهل للحل.


3 04 26 0

1 2 01 2 6 0

×

+

4 23 0

1 2 6 0

×



30


ميكن حل هذه الفعالية بطريقة التجربة واخلطأ. الهدف أن يتوصل التالميذ إلى هذه االستنتاجات:• حاصل الضرب يكبر كلما كبر العامالن.• حاصل اجلمع يكبر كلما كبر املضافان.

• أكبر فرق ينتج عندما يكون العدد املطروح منه أكبر ما ميكن، والعدد املطروح أصغر ما ميكن.


كاستمرار للفعاليات املوجودة في هذه الصفحة ميكن أن نقترح على التالميذ لعبة الضرب باملكعب.لوحة اللعب وتعليمات اللعبة - في الصفحة 76 في املالحق.

3�


الصفحات 38-36

اختبار للوحدة هـ - في املالحق، الصفحة 68.اختبار إجمالي لفصل "الضرب" - في املالحق، الصفحتان 70-69.

3�

مستقيم ا_عداد

الصفحتان 40-39في هاتني الصفحتني توجد فعاليات مراجعة مرتبطة مبستقيم األعداد وباألعداد املوجهة.

الصفحة 39 الفعالية 1في البند ب يطلب من التالميذ تخطيط مستقيم أعداد، أي عليهم أن يعلموا حزوزا على أبعاد متساوية

وأن يختاروا الوحدة املالئمة. الوحدة التي يفضل اختيارها في هذه الفعالية هي 100. ال يشترط أن نعني أيضا العدد 0، ولكن يوصى بعمل ذلك. االختيار اجليد ملكان العدد 0 يسهل العمل ويؤكد معنى

األعداد املوجهة.

الصفحة 39 الفعالية 3 والصفحة 40 الفعالية 4يجب االنتباه إلى التخطيط الصحيح واملريح ملستقيم األعداد: تعليم الصفر في النقطة املالئمة، اختيار

الوحدة املريحة واحلرص على ترتيب األعداد بعد التعليم.هكذا، مثال، في الفعالية 3 )الصفحة 39( الوحدة التي يفضل اختيارها هي 1,000 ش.ج. ويوصى بتعليم

العدد 0 بحيث يكون على ميينه متسع لتعليم 12 وحدة على األقل، وتعليم 7 وحدات على األقل على يساره. ميكن متكني التالميذ من التمر” في الفعالية، ثم إجراء نقاش في أجوبتهم.

»U�(« v�≈ …œuŽ

33

العمليات الحسابية بأعداد �حيحة


العمليات الحسابية بأعداد �حيحة »U�(« v�≈ …œuŽ

35

المحتويات مدخل إلى فصل "األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل" . . . . . . . . . . . . 36

37 العدد األولي والعدد القابل للتحليل . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . أ. 44 حتليل عدد إلى عوامله األولية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ب. بناء عدد من عوامل أولية . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ج.

مالحق للفصل77 اختبار إجمالي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 الورقتان اإلضافيتان 5 و 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بطاقات أعداد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8182 جدول املئة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

األعداد األوليةواألعداد القابلة للتحليل

36

موضوعة "األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل" في المنهج التعليمي لوزارة التربية )2006(

بحسب املنهج التعليمي يجب تخصيص حوالى 5 ساعات تعليمية لهذه املوضوعة.يتم التمييز بني العدد األولي والعدد القابل للتحليل •

)في كتاب التلميذ - الصفحتان 49-48(: العدد األولي هو عدد طبيعي له قاسمان )عامالن( مختلفان بالضبط: 1 والعدد نفسه. أ.

العدد القابل للتحليل هو عدد طبيعي له أكثر من قاسمني. ب.

يوضح أن العدد 1 ليس عددا أوليا وليس عددا قابال للتحليل. •)في كتاب التلميذ - أسفل صفحة 49(

يتعلم التالميذ حتليل أعداد في مجال الـ 100 إلى العوامل األولية. •)في كتاب التلميذ - الصفحات 56-52(

يتعلم التالميذ أيضا بناء عدد بواسطة عوامله. )في كتاب التلميذ - الصفحتان 58-57(يؤكد على أن كل عدد قابل للتحليل يحلل إلى حاصل ضرب وحيد من العوامل األولية. •ميكن، بالطبع، التوصل إلى حاصل الضرب هذا بطرق مختلفة )تغيير ترتيب العوامل(.

)في كتاب التلميذ - الصفحتان 54-53(

مفاهيم مركزية في الفصل وتعريفهايقسم على... )بدون باق( •

x يقسم على y، إذا لم يكن باق في نتيجة مترين القسمة x : y )أي أن النتيجة هي عدد صحيح(. مثاالن: 40 يقسم على 8، ألن 5 = 8 : 40 .

44 ال يقسم على 8، ألن )الباقي 4( 5 = 8 : 44 .

قاسم العدد •العدد y هو قاسم للعدد x، إذا لم يكن باق في نتيجة مترين القسمة x : y )أي أن النتيجة هي

عدد صحيح(. مثال: العدد 8 هو قاسم للعدد 40، ألن 5 = 8 : 40 .

العدد األولي: هو عدد طبيعي له قاسمان فقط )1 والعدد نفسه(. •

العدد القابل للتحليل: عدد طبيعي له أكثر من قاسمني. •

حتليل عدد إلى عوامله األولية: مترين ضرب من عوامل أولية، حاصل ضربه هو العدد املعطى. •مثال: حتليل العدد 90 إلى عوامله األولية هو 5 × 3 × 3 × 2 .

مجال األعداداملصطلحان "أعداد أولية" و"أعداد قابلة للتحليل" معرفان في مجال األعداد الطبيعية فقط - األعداد

الصحيحة املوجبة )...3 ,2 ,1( ولذلك نتناول في هذا الفصل األعداد الطبيعية فقط.

مدخل إلى فصل "األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل"

37

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟تعريف املفهوم "قاسم للعدد". •

إيجاد كل قواسم عدد معطى •- العدد 1 هو العدد الوحيد القاسم لكل عدد )صحيح(.

- كل عدد له قاسمان بالضبط، فإن قاسميه هما 1 والعدد نفسه. تعريف مفهوم "العدد األولي" •

تعريف مفهوم "العدد القابل للتحليل" •تصنيف األعداد إلى أعداد أولية وأعداد قابلة للتحليل. •- العدد 1 ليس عددا قابال للتحليل وليس عددا أوليا.

- كل عدد طبيعي، باستثناء 1، هو إما أولي أو قابل للتحليل. طريقة إليجاد كل األعداد األولية حتى عدد معنين - غربال أرطستينس. •

الصفحة 46 هدف الفعاليات في هذه الصفحة - تدريب على املصطلح "قاسم لـ...".

في الفعاليتني 1 و 2 املهمة هي كتابة كل القواسم لعدد معطى. يجب االنتباه أن نسجل بني القواسم العدد 1 والعدد نفسه.

في الفعالية 1، مثال، قواسم العدد 28 هي: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

أ. العدد األولي والعدد القابل للتحليل

38

الصفحة 47في اللعبة املوجودة في الفعالية 5 نستخدم بطاقات األعداد املوجودة في آخر كتاب التلميذ )واملوجودة

أيضا في املالحق، الصفحة 81(.الفعاليات في هذه الصفحة تشكل حتضيرا

لتصنيف األعداد الطبيعية إلى أعداد أولية وأعداد قابلة للتحليل. يقوم التالميذ بفحص كل عدد: هل

يوجد له أكثر من قاسمني؟بهذه الطريقة يجد التالميذ األعداد األولية )لكل عدد منها يوجد قاسمان فقط، 1 والعدد نفسه(.

في هذه املرحلة ال نستخدم املصطلحني عدد أولي وعدد قابل للتحليل. تعريف هذين املصطلحني

للتالميذ يأتي في الصفحة التالية. في فعاليات هذه الصفحة ال حاجة إلى إيجاد كل قواسم العدد،

بل يكفي فحص إذا كان للعدد أكثر من قاسمني. مثال، إذا حصلنا على بطاقة سجل عليها العدد 24: هذا العدد زوجي، ولذلك باإلضافة إلى القاسمني 1 و 24، العدد 2 هو أيضا قاسم له. للعدد 24 يوجد

إذن أكثر من قاسمني، ولذلك نضع البطاقة جانبا.


فيما يلي اقتراحات أللعاب هدفها التدرب على إيجاد قواسم العدد.

1. لعبة: ألي عدد يالئم القاسم: سير اللعبة:

تسجل املعلمة على اللوح ثمانية أعداد. • كل تلميذ يختار من بينها أربعة أعداد ويسجلها على ورقة. •

تقرأ املعلمة أوصافا مثل: 10 هو قاسم للعدد؛ 5 ليس قاسما للعدد وما شابه ذلك. • كل تلميذ يوجد في قائمته أعداد مالئمة للوصف، ميحو كل األعداد املالئمة. •

الفائز - أول من ميحو كل أعداده. •

مباراة في إيجاد القواسم .2تسجل املعلمة عددا على اللوح. •

على كل مجموعة أن جتد أكثر ما ميكن من قواسم هذا العدد. • بعد مدة قصيرة )حوالى دقيقتني( يقلب التالميذ األوراق ويعطونها للمعلمة للفحص. •

املجموعة الفائزة - املجموعة التي سجلت أكبر عدد من القواسم بدون أي خطأ. •

39

الصفحتان 49-48في بداية الصفحة 48 أوردنا تعريف العدد األولي وتعريف العدد القابل للتحليل:

العدد الذي له قاسمان فقط )1 والعدد نفسه( يسمى عددا أوليا. العدد الذي له أكثر من قاسمني يسمى عددا قابال للتحليل.

بحسب هذين التعريفني ميكن االكتفاء بإيجاد ثالثة قواسم لكي نقتنع بأن العدد هو عدد قابل للتحليل. مبا أن العدد 1 والعدد نفسه هما قاسمان لكل عدد، يكفي أن نبني أنه يوجد للعدد يوجد قاسم واحد

أكبر من 1 وأصغر من العدد نفسه. مثال: العدد 21 هو عدد قابل للتحليل ألن 7 هو قاسم له.باملقابل رمبا يكون من األصعب االقتناع بأن عددا ما هو عدد أولي، ألنه ينبغي علينا أن نعرف بالتأكيد

أن ليس له قاسم آخر غير العدد 1 والعدد نفسه.

الفعالية 7 في الصفحة 48في هذه الفعالية نستخدم بطاقات األعداد )التي قصت من آخر الكتاب للعبة التي في الفعالية 5 في

الصفحة السابقة(. نصنف األعداد املوجودة في البطاقات إلى أعداد أولية وأعداد قابلة للتحليل بحسب القاعدة املسجلة في بداية الصفحة.

الفعالية 8 في الصفحة 48 في هذه الفعالية نتناول تصنيف أعداد من رقمني إلى أعداد أولية وأعداد قابلة للتحليل. في كل بند

معطى نفس الرقم في كل األعداد، وعلى التالميذ أن يكملوا األرقام الناقصة بحيث يحصلون على عددين أوليني وعلى عددين قابلني للتحليل.

يوصى بإجراء نقاش في كل اإلمكانيات املختلفة في كل بند.في البند أ - أعداد من رقمني رقم العشرات في كل منها هو 1:

أولية - 11, 13, 17, 19قابلة للتحليل - 10, 12, 14, 15, 16, 18

في البند ب - أعداد رقم اآلحاد في كل منها هو 1: أولية - 11, 31, 41, 61, 71

قابلة للتحليل - 21, 51, 81, 91في البند ج - أعداد رقم العشرات في كل منها هو 4:

أولية - 41, 43, 47قابلة للتحليل - 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49

في البند د - أعداد رقم اآلحاد في كل منها هو 4: كل هذه األعداد قابلة للتحليل.

في البند هـ - أعداد رقم اآلحاد في كل منها هو 7: أولية - 17, 37, 47, 67, 97

قابلة للتحليل - 27, 57, 77, 87

ميكن في هذه الصفحة دمج عمل في جدول املئة )جدول مئة للتصوير موجود في املالحق، في الصفحة 82(. اجلدول يسهل على التالميذ أن يجدوا أمثلة مالئمة وأن يعمموا. مثال ميكن اإلشارة إلى العدد 87 في اجلدول ونسأل هل هو أولي أو قابل للتحليل وكيف يساعد اجلدول في اتخاذ القرار.

باستطاعة التالميذ أن يستعينوا باجلدول بعدة طرق، مثال، أن يبدأوا من عدد هم مقتنعون بأن العدد 3 هو قاسم له )90, 75 وما شابه ذلك( ثم يقفزون إلى األمام )أو إلى الوراء( بقفزات من 3.

مستقيم األعداد مالئم أيضا ملثل هذه الفعاليات.جدول املئة يستدعي أحاديث مشابهة عن أعداد أخرى، مثال عن أعداد رقم آحادها 0 أو 5، إلخ.


40

الفعالية 10 في الصفحة 49 لن هذه الفعالية بطريقة التجربة واخلطأ: جنمع أي عدد قابل للتحليل مع أي عدد أولي ونفحص غالبا حتحاصل اجلمع: إذا كان حاصل اجلمع عددا أوليا - التمرين يالئم البند أ، وإذا كان حاصل اجلمع عددا

قابال للتحليل - التمرين مالئم للبند ب.هذه أمثلة لتمارين مالئمة:

17 = 11 + 6 7 = 3 + 4 17 = 5 + 12 |أ

الفعالية 11 في الصفحة 49 موضوعة الفعالية: العدد 1 ليس أوليا وغير قابل للتحليل.

في هذه الفعالية "نختبر" العدد 1 بحسب تعريف العدد األولي وتعريف العدد القابل للتحليل ونتوصل إلى االستنتاج بأن العدد 1 هو عدد شاذ في تصنيف األعداد الطبيعية إلى أعداد أولية وأعداد قابلة

للتحليل.كم قاسما يوجد للعدد 1؟ قاسم واحد فقط - العدد 1. •

هل العدد 1 قابل للتحليل؟ ال، ألنه ال يوجد له أكثر من قاسمني. •هل العدد 1 أولي؟ ال، ألنه ال يوجد له قاسمان. •

نقاش: هل هناك عدد آخر ال هو أولي وال هو قابل للتحليل؟ )ال. كل عدد أكبر من 1 يقسم على عددين على األقل، على نفسه وعلى 1، ولذلك كل عدد أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو عدد قابل للتحليل.


8 = 2 + 6 20 = 5 + 15 25 = 11 + 14 |ب

41

لعبة في مجموعات: من أنا؟ نقرر في البداية ما هو عدد األشواط في اللعبة:

في كل شوط تقول املعلمة أحد هذه التعاريف )أو تعريفا مشابها(:- أنا عدد من رقمني وأيضا أولي. رقم آحادي 9. من أنا؟- رقم آحادي هو 7 وأنا عدد أولي أصغر من 60. من أنا؟

- أنا عدد من رقم واحد قابل للتحليل. من أنا؟- أنا عدد زوجي وأولي. من أنا؟

- أنا لست عددا قابال للتحليل ورقم عشراتي هو 3. من أنا؟- أنا عدد من رقمني وقابل أيضا للتحليل. رقم آحادي هو 9. من أنا؟

- أنا عدد أولي من رقمني متساويني. من أنا؟- أنا عدد أولي من رقم واحد. من أنا؟

ر التالميذ في كل مجموعة على ورقة، قائمة بكل األعداد املالئمة التي وجدوها. عندما ينهون، يحضن •يقلبون الورقة.

كل مجموعة حتصل على نقطة مقابل كل عدد مالئم وتخسر نقطة مقابل كل عدد غير مالئم. •مع انتهاء كل األشواط املتفق على عددها نعدن النقاط التي جمعتها كل مجموعة. •

املجموعة الفائزة هي تلك التي جمعت أكبر عدد من النقاط.

مالحظة: إذا أردنا أن تكون اللعبة أسهل ميكن حتديد مجال األعداد، مثال، أن نتناول فقط األعداد األصغر من 40.

الصفحتان 50-51 - غربال أرطستينس *(Eratosthenes) أرطستينس

أرطستينس )276-194 قبل امليالد( هو رياضي، جغرافي وفلكي يوناني.ولد في كئيران )ليبيا اليوم( وعاش في االسكندرية، في مصر.

اهتم أرطستينس بعلوم الكون، الشعر، املسرح، األدب، اجلغرافيا، الرياضة )في صغره( وفي الرياضيات والطبيعة.

اكتشف أرطستينس طريقة إليجاد كل األعداد األولية حتى عدد معطى، وهي تسمى على اسمه، غربال أرطستينس، وكذلك محيط الكرة األرضية. ألف كتبا في كل واحد من مجاالت معرفته )ذكر حوالى 50

مؤلفا منها في املصادر املختلفة(. معظم مؤلفاته ضاعت ولم يتبق إال القليل. كشاعر ألف قصائد في موضوعات أسطورية، أعدت، بحسب قوله، للتسلية وليس للتعلم. أكثر فعالية هامة له كانت في مجال

األدب. كتابه عن ترتيب األزمنة كان محاولة أولى لتحديد أزمنة أحداث أدبية وسياسية هامة ابتداء من حرب طروادة حتى يوم وفاة االسكندر املقدوني.

غربال أرطستينس"غربال أرطستينس" في نظرية األعداد هو خوارزمية بسيطة - طريقة غربلة تساعد في إيجاد كل

األعداد األولية حتى عدد طبيعي معني. بحسب هذا الغربال نغربل إلى اخلارج كل األعداد القابلة للتحليل والعدد 1، وهو غير أولي وغير قابل للتحليل، ونبقي األعداد األولية.


www.ynet.co.il/enc©Biblioth`equenationaldeFrance:الصورة, ،YNET من دائرة املعارف*

42

لكي نستخدم غربال أرطستينس إليجاد األعداد األولية من 1 حتى 100، نحضر قائمة بكل األعداد حتى 100 ونعمل بحسب املراحل اآلتية:

منحو العدد 1 )ألن العدد 1 غير أولي(. أ. نحوط 2 )ألنه أصغر عدد أولي(. منحو كل مضاعفات 2 - بكلمات أخرى، منحو كل عدد ثان. ب.

نحوط العدد األولي التالي - 3. منحو كل مضاعفات 3، أي منحو كل عدد ثالث. بعض مضاعفات ج. العدد 3، كالعدد 6، سبق أن محوناه على اعتباره من مضاعفات 2.

نحوط العدد األولي التالي - 5، ومنحو كل مضاعفاته. د. ة أو محاطة. نستمر بنفس األسلوب حتى تكون كل األعداد حتى 100 إما ممحون هـ.

في نهاية العملية تشكل األعداد احملاطة كل األعداد األولية من 1 حتى 100.

في الصفحتني 50-51 ينفذ التالميذ هذه اخلوارزمية لفحص األعداد حتى 100.هكذا تبدو القائمة بعد تنفيذ الفعالية:


1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13

14

8

27 26 25 24 23 22 21 19 18 17 16 1520

29 30 31 32 33 34 35 37 38 39 40 4136

55 54 53 52 51 50 49 47 46 45 44 4348

57 58 59 60 61 62 63 65 66 67 68 6964

83 82 81 80 79 78 77 75 74 73 72 7176

85 86 87 88 89 90 91 93 94 95 96 9792

100 99

42

70

98

28

56

84

43


44

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟نكتب متارين ضرب مختلفة )فيها عامالن أو أكثر( تساوي حاصل ضرب معطى. •

جند مترين الضرب الذي فيه أكبر عدد من العوامل )أطول مترين ضرب( ويالئم حاصل الضرب •املعطى. الحقا نتعلم أن العوامل في هذا التمرين هي أعداد أولية، ولذلك يسمى هذا التمرين - حتليل

العدد إلى عوامله األولية. نحلل أعدادا إلى عواملها األولية بطريقة منهجية. •

نتوصل إلى االستنتاج أن لكل عدد معطى يوجد حتليل واحد ووحيد إلى العوامل األولية. •

الصفحتان 53-52في هاتني الصفحتني نتناول متارين ضرب )منها أيضا متارين فيها أكثر من عاملني( مالئمة حلاصل ضرب معطى. لإلجمال نبحث عن "أطول" مترين ضرب - مترين ضرب فيه أكبر عدد من العوامل

املالئمة حلاصل الضرب.هذه الفعاليات هي مبثابة حتضير للصفحات اآلتية التي تتناول حتليل العدد إلى عوامله األولية.

فعالية متهيدية )للصفحة 52(نطلب من التالميذ أن يكتبوا مترين ضرب فيه عامالن ونتيجته 48: 48 = __ × __

نسأل من يستطيع أن يستعني بالتمرين الذي كتبه لكي يكتب للعدد 48 مترينا فيه ثالثة عوامل.إرشاد: اكتبوا مترين ضرب ألحد العاملني. أمثلة:

48 = 8 × 6 ولذلك: 48 = 2 × 4 × 6

أو: 48 = 8 × 6 ولذلك: 48 = 8 × 2 × 3

هدف الفعالية في الصفحة 52 أن يتوصل التالميذ إلى االستنتاج أن أطول مترين ضرب ميكن كتابته لعدد هو وحيد )إذا تغاضينا عن ترتيب العوامل(، وأن كل العوامل في هذا التمرين هي أعداد أولية.

مثال: 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48

نقاش: نسأل التالميذ: ملاذا، في رأيكم، ال نكتب العامل 1 في متارين الضرب؟ ماذا يحدث عندما نكتب العامل 1 في مترين ضرب؟ )العدد 1 هو عدد محايد في الضرب - ال يغينر

النتيجة.(

هدف الفعالية في الصفحة 53 هو تعليم طريقة إليجاد مترين الضرب الذي فيه أكبر عدد من العوامل والذي نتيجته تساوي حاصل الضرب املعطى، وبيان أنه مهما غينرنا مترين الضرب الذي نبدأ منه

التحليل إلى العوامل - نتوصل دائما إلى نفس التمرين األطول )ليس بالضرورة بنفس ترتيب العوامل( وهو مكون من حاصل ضرب عوامل أولية.

فعالية متهيدية )للصفحة 53(

تسجل املعلمة عددا على اللوح - 90. •تطلب من التالميذ إيجاد مترين ضرب فيه عامالن ونتيجته 90. •

تسجل املعلمة كل التمارين على اللوح )باستثناء التمارين التي فيها العامل 1(. •نحلل العاملني في كل مترين بالتدريج حتى نتوصل إلى أطول مترين. •

)في كل مرحلة قد تكون هناك عدة إمكانيات - نختار إحداها.( تسأل املعلمة: ما اخلاص في التمرين األخير؟ )كل عوامله أولية.( •

في هذه املرحلة باستطاعة املعلمة أن تسأل: لكن ماذا يحدث إذا بدأنا من مترين آخر؟ هل نحصل •على حتليل آخر؟ نختار مترين ضرب آخر فيه عامالن آخران اقترحه التالميذ من قبل، ونبحث

بواسطته عن أطول مترين ضرب.

ب. تحليل عدد إلى عوامله األولية

4×2

3×2

45


الصفحات 56-54الفعالية 4 )في الصفحة 54( تؤدي إلى التعريف املسجل بعدها:

أطول مترين ضرب ميكن كتابته لعدد معنين يسمى حتليل العدد إلى عوامله األولية.

قبل أن يحلل التالميذ األعداد في الفعالية 5 )في الصفحتني 54-55( ميكن أن نطلب منهم أن يقدنروا: أين أعداد حتليلها إلى العوامل األولية هو األطول؟ هو األقصر؟

هدف الفعالية 6 )في الصفحة 56( هو حتضير التالميذ لهذا التعريف:

لكل عدد يوجد حتليل واحد فقط إلى العوامل األولية.

األجوبة عن األسئلة التي تثار في النقاش:- في التحليلني الناجتني للعدد 90 يوجد نفس العوامل األربعة.

- في كل حتليل يوجد ترتيب آخر للعوامل. - في الضرب ال توجد أهمية لترتيب العوامل )قانون التبادل وقانون التجميع(.

االستنتاج: هذان التحليالن متساويان.

في الفعاليتني 3 و 4 أيضا في الصفحات السابقة لفت نظر التالميذ أننا في "أطول" حتليل إلى العوامل نحصل دائما على نفس التمرين )بترتيب آخر للعوامل(.

46


فعالية متهيدية )للفعالية 7 في الصفحة 56(تطلب املعلمة من التالميذ أن يحللوا العدد 80 إلى العوامل األولية:

80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 بعد أن ينتهي التالميذ من ذلك، تسأل املعلمة:

- كيف يساعد حتليل العدد 80 في إيجاد حتليل العدد 160؟ إرشاد ملن يحتاج: مباذا يجب أن نضرب حتليل العدد 80؟- كيف يساعد حتليل العدد 80 في إيجاد حتليل العدد 240؟- كيف يساعد حتليل العدد 80 في إيجاد حتليل العدد 320؟

- كيف يساعد حتليل العدد 80 في إيجاد حتليل العدد 40؟- كيف يساعد حتليل العدد 80 في إيجاد حتليل العدد 800؟

47


فعاليات حتد أخرىما الشاذ؟ 24 32 64 16 أ.

)للعدد 24 يوجد قاسمان أوليان مختلفان، 2 و 3، بينما باقي األعداد لها قاسم أولي واحد فقط - 2(.

ما الشاذ؟ 81 9 49 27 ب. )لألعداد 27، 9 و 81 يوجد قاسم أولي واحد - 3، بينما القاسم األولي للعدد 49

هو 7(.

48

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟نبني أعدادا مختلفة من عوامل أولية معطاة. •

جند قواسم )ليس فقط أولية( لألعداد المبنية. •

الصفحتان 58-57فعاليات متهيدية

تعرض املعلمة أحجية: .1 حللت روان عددا إلى عوامله األولية، وكان في مترين الضرب التي حصلت عليه عامالن أوليان فقط

هما 3 و 5. العدد الذي حللته كان أكبر من 40 وأصغر من 50. ما هو العدد؟ هل هناك إمكانيات أخرى؟

يحل التالميذ هذه املهمة بطريقة التجربة واخلطأ: يبنون متارين ضرب مختلفة من العاملني 3 و 5، ويحلونها ويبحثون عن مترين نتيجته في املجال املعطى:

45 = 5 × 3 × 3. هكذا يتمرس التالميذ في بناء أعداد من عوامل أولية معطاة.

تكتب املعلمة على اللوح أربعة أعداد: 56, 60, 77, 98. .2تقول للتالميذ إن اثنني من هذه األعداد مبنيان من العاملني األوليني 2 و 7 فقط.

يطلب من التالميذ إيجاد هذين العددين بدون أن يحللوا األعداد إلى العوامل األولية. نقاش: متعنوا في األعداد األربعة. أي أعداد منها ميكن أن نقول عنها بالتأكيد أنها ليست مبنية

من 2 ومن 7؟ 77 هو عدد فردي ولذلك ال يقسم على 2.

60 ال يقسم على 7 )أو: أحد عوامل العدد 60 هو 5.( لذلك، على ما يبدو، أن العددين 56 و 98 هما العددان املالئمان. يحلل التالميذ هذين العددين

ويفحصون إذا صدقوا في تقديرهم. 7 × 7 × 2 = 98 7 × 2 × 2 × 2 = 56

في الفعالية 1 يجب بناء أعداد من كل األعداد املعطاة ومنها فقط. أي، عند حتليل األعداد املبنية إلى العوامل تظهر العوامل األولية املعطاة، وفقط هي.

في الفعالية 2، البند ب - في فعالية التحدي نقصد أيضا القواسم القابلة للتحليل.مثال، قواسم العدد 50 الذي بني في املثال هي: 1, 2, 5, 10, 25 و 50.

في الفعالية 4 العدد املطلوب هو 81 = 3 × 3 × 3 × 3.قواسم 81 هي: 1, 3, 9, 27 و 81.

فعاليات غيبا أو خطيا مالئمة أيضا الفتتاحية حصة )بعد الصفحة 57(حاولوا إيجاد عدد عوامله األولية هي 2 و 5 فقط وهو: .1

يقسم على 100: يقسم على 3: يقسم على : يقسم على 4:

يتعلم التالميذ أنه إذا كانت العوامل األولية لعدد هي 2 و 5 فقط، فإن العدد ال يقسم على عدد أولي آخر )مثل: 7 أو 3(. كذلك يتعلمون أن هناك ال نهاية من األعداد التي تقسم على 2، وعلى 5

وعلى حواصل الضرب املكونة منها.

ج. بناء عدد من عوامل أولية

49

حاولوا إيجاد عدد له عامل أولي واحد فقط - العامل 5 وهو: .2يقسم على 4: يقسم على 5:

يقسم على 10: يقسم على 20: يقسم على 50: يقسم على 25: يقسم على 35: يقسم على 125:

حاولوا إيجاد عدد عوامله األولية هي 2، 3، و 5 فقط وهو: .3يقسم على 4: يقسم على 3:

يقسم على 12: يقسم على 7: يقسم على 10: يقسم على 20:

يقسم على 120:

ج. بناء عدد من عوامل أولية

الورقة اإلضافية 6 موجودة في املالحق، الصفحة 80.الورقة اإلضافية 5 موجودة في املالحق، الصفحة 79.

اختبار إجمالي للفصل - في املالحق، الصفحتان 78-77.

51

المحتويات مدخل إلى فصل "القوى" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 53 متارين سلسلة - الضرب مقابل اجلمع . . . . . . . . . . . . . أ. 54 ما هو مترين القوة؟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ب. األساس واألس . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ج. 58 ترتيب العددين في مترين القوة . . . . . . . . . . . . . . . . . . د.

عودة إلى احلساب: •60 عمليات حسابية بأعداد صحيحة . . . . . . . . . . . . . . . . -

61 حسابات الزمن . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -

61 املضلعات . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -

62 الكسور . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -

مالحق للفصل 83 اختبار إجمالي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 الورقتان اإلضافيتان 8-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . أوراق عمل 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

القوى

52

موضوعة "القوى" في المنهج التعليمي لوزارة المعارف )2006(بحسب املنهج التعليمي يجب تخصيص ساعتني تعليميتني لهذه املوضوعة، وهذا هو التفصيل:

القوة تعلم على أنها طريقة كتابة مختصرة للضرب املتكرر. في هذا السياق نذكر بأن الضرب هو •جمع متكرر.

تعطى أمثلة توضح أنه إذا اعتبرت القوة كعملية بني عددين طبيعيني، فإن هذه العملية ليست تبادلية. •مثال: 52 = 25

يتعرف التالميذ أيضا على معنى القوة عندما يكون األساس أو األس هو 1. •

صعوبات متوقعة في تعليم الموضوعةخطأ شائع - حل مترين القوة كتمرين ضرب. .1

مثال لهذا اخلطأ: 15 = 3 × 5 = 53 هذا اخلطأ نابع من عدم فهم معنى مترين القوة، وميكن إيجاده عند معظم التالميذ حتى بعد أن

يتعلموا املوضوعة، وذلك بسبب قلة التدريب وقلة استخدام هذه العملية الحقا. صعوبة فهم معنى العدد 1 في متارين القوى. .2

مثال لهذا اخلطأ: 5 = 15. هذا اخلطأ نابع من عدم فهم معنى عملية القوة وكذلك من قلة التدريب.

معاجلة مثل هذا اخلطأ يجب أن تعتمد على معنى العملية: 1=1×1×1×1×1=15، وليس بتعليم قواعد معينة كهذه القاعدة: نتيجة مترين القوة التي أساسها 1 وأسها أي عدد كان هي دائما 1.

عدم الفهم بأن القوة ليست عملية تبادلية. .3 عدم الفهم هذا نابع بالطبع من فهم رديء ملعنى عملية القوة الذي يعتمد على املعرفة السابقة

للتالميذ للعمليات األخرى كعمليتي الضرب واجلمع وهما عمليتان تبادليتان.

لة أعاله من املهم إجراء مراجعة ملوضوعة القوى الحقا أيضا، سواء في الصف بسبب الصعوبات املفصنالرابع أو في الصفوف اآلتية. توجد في املرشد نصائح لتدريب إضافي ميكن أن يستخدم أيضا

كمراجعة.

مدخل إلى فصل "القوى"

53

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟في هذه الوحدة يقارن التالميذ بني عملية الضرب وعملية اجلمع، وذلك لتجسيد مقدار التزايد السريع

في نتيجة عملية الضرب مقابل عملية اجلمع باألعداد الصحيحة املوجهة.

الصفحتان 61-60 يوصى بأن نبدأ تنفيذ الفعالية سوية مع التالميذ للتأكد من أنهم يفهمون التعليمات.

مهم أن ينتبه التالميذ أن عليهم أن يكرروا في كل مرة نفس العدد في مترين السلسلة.

بعد إجراء النقاش في آخر الصفحة 61 ميكن إضافة فعالية مشابهة في املقارنة بني خمسة مضافات متساوية في مترين جمع وخمسة عوامل متساوية في مترين ضرب.__ + __ + __ + __ + __ <100 __ × __ × __ × __ × __ <100

هذه اإلضافة تبرز الفرق بني الضرب واجلمع، ألن الضرب في هذه احلالة تالئمه فقط ثالثة عوامل هي: 0، 1 و 2، بينما اجلمع يالئمه 20 مضافا: من 0 حتى 19.

هذه الفعاليات، التي تتناول كبر األعداد، مهمة لتطوير التبصر احلدسي باألعداد والعمليات احلسابية.

أ. تمارين سلسلة - الضرب مقابل الجمع

54

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟في هذه الوحدة نعرنف عملية ثنائية جديدة - عملية القوة:

مترين القوة ككتابة مختصرة لتمرين ضرب فيه عامل متكرر •كتابة وقراءة مترين قوة •

حل متارين قوة. •

في هذه املرحلة في كل مرة، يطلب من التالميذ حل متارين قوة، يجب أن نطلب منهم أن يكتبوا مترين الضرب املالئم في محاولة منا ملنع وقوعهم في اخلطأ الشائع في حل مترين قوة على أنه مترين ضرب.

مثال خلطأ كهذا: 2 × 7 = 72.

فعالية متهيديةتسجل املعلمة مترين سلسلة في اجلمع فيه 10 مضافات متساوية: •

17+17+17+17+17+17+17+17+17+17=____ املضاف )17( اختير، لكي يصعنب حل هذا التمرين غيبا. مقابل ذلك من السهل جدا حل مترين

الضرب املالئم له: 17 × 10. معنى ذلك، أن مترين الضرب ال يقصر الكتابة فقط، وإمنا يسهل احلل أيضا.

تسأل املعلمة بأي طريقة يكون حل التمرين أسهل. ميكن السماح باستخدام احلاسبة. •

الصفحتان 63-62

ب. ما هو تمرين القوة؟

هذه الصفحة تالئمها الورقة اإلضافية 7 )الصفحة 84 في املالحق(.

هذه الصفحة تالئمها الورقة اإلضافية 8 )الصفحة 85 في املالحق(.

55

ب. ما هو تمرين القوة؟

فعاليات لتدريب إضافي في كتابة وحل تمارين قوىإمالءات قصيرة: .1

تقول املعلمة مترين قوة. على التالميذ أن يكتبوه، أن يكتبوا مترين الضرب املالئم له، وأن يحلوه. إذا كنا معنيني بالتدريب على كتابة مترين القوة فقط ميكن االستغناء عن مرحلة احلل.

قوة أصغر من... .2نطلب من التالميذ أن يكتبوا متارين قوة فيها أعداد من 1 حتى 10 فقط، على أن تكون نتائجها

أصغر من عدد معني. نطلب منهم أن يجدوا كل اإلمكانيات. يوصى هنا بإجراء نقاش في طريقة عمل التالميذ. الطريقة السهلة هي أن نكتب في البداية كل

األساسات املالئمة لألس 2، إلخ.

متارين للتعاريف .3تكتب املعلمة على اللوح عددين، مثال: 3 و 5، وتطلب من التالميذ أن يكتبوا بواسطتهما مترين قوة

نتيجته تالئم تعريفا معينا. فيما يلي أمثلة لتعاريف: النتيجة أكبر من ____ •

النتيجة أصغر من ____ • النتيجة أكبر من ____ وأصغر من ____ •

النتيجة عدد فردي • النتيجة عدد زوجي •

النتيجة تقسم على ____ • رقم اآلحاد في النتيجة هو ____ •

الربط بني القوى والتحليل إلى العوامل األولية بواسطة الورقة اإلضافية 5 )من فصل .4 "األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل"، الصفحة 79 في هذا املرشد(.

في هذه الورقة اإلضافية نسجل فقط عامال أوليا واحدا في كل سطر، وعلى التالميذ أن يسجلوا مترين ضرب ومترين قوة مالئمني له.

56

ج. األساس واألس

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟نتعرف على املصطلحني األساس واألس. •

نتناول بتفصيل أكبر نوعني من متارين القوة الكثيرة االستخدام الحقا: •أعداد تربيعية )قوى أسها 2( وأعداد من قوى الـ 10 )قوى أساسها 10(.

نتعلم حل متارين قوة األساس فيها هو 1: •نتيجة هذه التمارين دائما تساوي 1، ألن مترين القوة التي أساسها 1 يالئم مترين ضرب متكرر

نضرب فيه العدد 1 عددا معينا من املرات. نتعلم حل متارين قوة األس فيها هو 1، مثال: 5 = 51. في الواقع ال يوجد مترين ضرب مالئم •

لتمرين القوة هذا، والنتيجة هي األساس نفسه.

اقتراحات لفعاليات أخرى موجودة في أوراق العمل املرفقة باملالحق، في الصفحات 88-86. في ورقة العمل 1 يوجد جدول إلكمال األس واألساسات ومتارين بأعداد مختلفة، في ورقة العمل 2 هناك فعالية مشابهة تتركز بالعددين 1 و 10 في متارين القوة، وفي ورقة العمل 3 يوجد تدريب

إضافي في متارين القوة بقيود مختلفة.

الصفحات 66-64كتحضير للفعالية 4 في الصفحة 65 ميكن أن نعرض على التالميذ جدول ضرب غير معلم ونسألهم إذا كان في هذا اجلدول أعداد تربيعية وأين تكون مرتبة. مهم أن نذكر أنه بالرغم من أن العدد 36 هو

عدد تربيعي وموجود في القطر املركزي، لكن ميكن إيجاده أيضا في أماكن أخرى في اجلدول )4×9 ، 9×4 (، وكذلك األمر بالنسبة للعددين التربيعيني 16 و 4.

يوصى بربط الفعالية 4 بالفعالية 3 ونسأل التالميذ إذا علموا في اجلدول أيضا نتائج متارين القوة من الفعالية 3. يجب االنتباه إذا كان األساس الذي سجلوه أكبر من 10، فإن النتيجة تكون أكبر من 100،

ولذلك لن تكون موجودة في اجلدول.

يفضل إجراء نقاش وسؤال التالميذ ملاذا تسمى األعداد التربيعية بهذا االسم، كما هو مقترح في الفعالية 5 في الصفحة 65. ميكن التحدث عن مساحة مربع وعن وضع آخر رتبت فيه أغراض على

شكل مربع، ونسأل التالميذ ما هو مترين القوة املالئم إليجاد عدد األغراض في هذا الترتيب.مثال: أمامكم لوح شوكوالطة مربع الشكل من مكعبات شوكوالطة أو كعكة مربعة الشكل مقسمة إلى

وجبات:

42 = 16

ما هو عدد املكعبات )أو الوجبات(؟

57

ج. األساس واألس

58

ماذا نتعلم في هذه الوحدة؟يكتشف التالميذ أن قانون التبادل ال يتحقق في عملية القوة. •

يتعلمون ذلك باملقارنة مع عمليتني حسابيتني يتحقق فيهما قانون التبادل: عملية الضرب وعملية اجلمع.

يبحث التالميذ متارين معطى فيها عددان وعليهم أن يقرروا أينهما يفضل اختياره كأساس وأيهما •، لكي يحصلوا على نتيجة أكبر. كأسن

باستثناء حاالت قصوى وأعداد صغيرة )1(، يفضل دائما اختيار العدد الصغير مكأساس والعدد الكبير كأس، وهذا استنتاج طبيعي من فهم التكبير في عملية الضرب. لكن في هذه املرحلة ال ميتلك

التالميذ أدوات لفهم ذلك وهم يعملون بطريقة التجربة واخلطأ.

الفهم بأن كون القوة عملية ليست تبادلية ليس سهال - من الطبيعي أن يقارن التالميذ هذه العملية بعمليتي تكبير أخريني باألعداد الطبيعية وهما دائما تبادليتان: الضرب واجلمع. التمرس فقط باستطاعته

أن يجعل التالميذ يتوصلون إلى االستنتاج بأن عملية القوة ليست تبادلية.


د. ترتيب العددين في تمرين القوة

59

د. ترتيب العددين في تمرين القوة

60

عمليات حسابية بأعداد صحيحة


»U�(« v�≈ …œuŽ

61

حسابات الزمن، المضلعات

الصفحة 74 )حسابات الزمن(

الصفحة 75 )املضلعات(

»U�(« v�≈ …œuŽ

62

الJسور


»U�(« v�≈ …œuŽ

63

مالحق

الفصل: الضرب العمودي اختبارات: •

64 الضرب في 10، في 100 وفي 1000 . . . . . . . . . . . أ. 65 الضرب في عشرات كاملة وفي مئات كاملة . . . . . . ب. الضرب بواسطة قانون التوزيع . . . . . . . . . . . . . . . 66 ج. 67 الضرب العمودي - الطريقة املفصلة . . . . . . . . . . . د. 68 الضرب العمودي - الطريقة املختصرة . . . . . . . . . . هـ. 69 اختبار إجمالي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •األوراق اإلضافية 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 •لعبة: الضرب في اجلدول . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 •76 لعبة: الضرب باملكعب . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •

الفصل: األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل 77 اختبار إجمالي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •

79 الورقتان اإلضافيتان 6-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •81 بطاقات أعداد . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •جدول املئة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 •

الفصل: القوى اختبار إجمالي . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 •84 الورقتان اإلضافيتان 8-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •86 أوراق عمل 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •

أوراق إضافيةاألوراق اإلضافية هي أوراق "مفتوحة" فيها فعاليات مشابهة •

لتلك املوجودة في كتاب التلميذ. هناك إحاالت إليها في ثنايا الكتاب. األوراق اإلضافية معدة للتصوير. •

- ميكن إعطاء هذه األوراق للتالميذ كما هي، وهم يكملون املعطيات فيها كما يرغبون. - ميكن أيضا إكمال بعض املعطيات في هذه األوراق سلفا، بحسب حاجات التالميذ.

في هذه احلالة، من احملتمل أن نحتاج إلى تغيير التعليمات قليال.

© جميع الحقوق محفوظة لمركز التكنولوجيا التربوية71 مسارات - الضرب العمودي

إسمي:

هذه الورقة اإلضافية مالئمة للفعاليات في الصفحات 6-10 في كتاب التلميذ.

الورقة اإلضافية 1

حلوا بالطريقة التي تستسهلونها. 1

× 10 =

× 1,000 =

10 × =

× 400 =

100 × =

× 10 =

1,000 × =

× 400 =

100 × =

|أ = 10 ×

100 × =

× 100 =

|ب

|ج

|د

|هـ

|و

|ز

|ح

|ط

|ي

|ي أ

|ي ب

أكملوا + أو - أو × .

10

100

100

100

10

10

100

100

10

10

10

100

2

الفصل: الضرب العموديأ. الضرب في 10، في 100 وفي 1000 )تذكير(


إسمي:

أكملوا جدولي الضرب بواسطة حسابات يمكن أن تجروها غيبا.

432×

36

48

هذه الورقة اإلضافية مالئمة للفعاليات في الصفحتين 14-15 في كتاب التلميذ.

×

الفصل: الضرب العموديج. الضرب بواسطة قانون التوزيع



إسمي:


الورقة اإلضافية 3 الفصل: الضرب العمودي


ضرب في عدد من رقم واحد

ژاكتبوا تمارين ضرب عموديا وحلوا.


إسمي:


الورقة اإلضافية 4 الفصل: الضرب العموديد. الضرب العمودي - الطريقة المفصلة

ژاكتبوا تمارين ضرب عموديا وحلوا.


إسمي:

الفصل: الضرب العموديلعبة: الضرب في الجدول )لالعبين(

للصفحة 24 في المرشد

تعليمات اللعبة:في كل شوط يعلم كل واحد من الالعبين زوجا من عددين متجاورين )في سطر، في عمود أو في قطر(،

كل العب بطريقة تعليم مختلفة )مثال بلونين مختلفين(، ثم يضربهما. من يحصل على حاصل ضرب أكبر في نفس الشوط - يحصل على نقطة.

تنتهي اللعبة عندما تعلم كل األعداد في الجدول.الفائز - من جمع أكبر عدد من النقاط في اللعبة كلها.

1718191126356910

2378911256374283

2477153921835449

1392876174223357

4475324069624553

1729883651671490

5041293820806613

9930198755484193


إسمي:

الفصل: الضرب العموديلعبة: الضرب بالمكعب )لالعبين(


• مكعب لعب واحد المواد: • لوحة لعب )أدناه(

سير اللعبة:كل العب يرمي المكعب في دوره، ويسجل العدد الذي يشير إليه المكعب في واحد من األماكن األربعة •

(في التمرين الموجود في اللوحة. ( بعد أربع رميات للمكعب يحسب كل العب نتيجة تمرينه )يمكن االستعانة بالحاسبة( •

من كانت نتيجته أكبر يكون هو الفائز في نفس الشوط، ويحصل على نقطتين. • باستطاعة الالعب اآلخر أن يستخدم نفس األرقام التي استخدمها الفائز ويحاول بواسطتها كتابة تمرين

آخر نتيجته أكبر من النتيجة التي حصل عليها الالعب الفائز. إذا نجح في ذلك، يفوز بنقطة. نلعب أربع مرات، ونفحص من منهما حصل على نقاط أكثر. •

×

االسمنقاط االسم

×

×

×

×

×

×

×


إسمي:

لية المعطاة. ابنوا أعدادا مختلفة من العوامل األو

لية بناء العددالعوامل األو

الفصل: األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل

هذه الورقة اإلضافية مالئمة للصفحة 57 في كتاب التلميذ.


األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل


إسمي:


1

2

3

ابنوا أعدادا مختلفة من العوامل فقط. أ.

ما هو أكبر عدد بنيتموه؟ ب.

لوا قواسم مختلفة لهذا العدد: سج

ابنوا أعدادا مختلفة من العامل فقط. أ.

ابنوا من العاملين و أكبر عدد من رقمين يمكن بناؤه منهما.

لوا قواسم مختلفة للعدد الذي بنيتموه: سج

لية بناء العددالعوامل األو

ما هو أكبر عدد بنيتموه؟ ب.

لوا قواسم مختلفة لهذا العدد: سج

لي بناء العددالعامل األو

حتد

الورقة اإلضافية 6الفصل: األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليل

حتد



إسمي:

ابنوا من العاملين و أكبر عدد من رقمين يمكن بناؤه منهما.

لوا قواسم مختلفة للعدد الذي بنيتموه: سج

الفصل: األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليلبطاقات أعداد

15 19 27 23

42 35 25 21

38 3 2 5

33 31 34 7

9 29 41 49

✁

✃


هذه الورقة موجودة أيضا في كتاب التلميذ وهي معدة للصفحتين ∑¥و ∏¥ في كتاب التلميذ.



إسمي:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

الفصل: األعداد األولية واألعداد القابلة للتحليلجدول المئة




רב־דף 8



ربتممرين قوة بالكلماتتممرين قوة باألعداد تممرين ضم

إسمي:


ل. أكملوا الجدوم

الحل


ورقة عمل 1

بون. ما تمرغم أكملوا كم 1

النتيجةتممرين الضربتممرين القوةاألساس األس

أكملوا. 2


2 × 2 × 2

5 × 5 × 5

10

3

2

2

52

24

8

16

10,000

27




أكملوا.

10

1

1

1

3

5

10

1

1

1

10

10

ورقة عمل 2



ورقة عمل 3الفصل: القوى

أكملوا. 1

ل التمريناألساس حم صف النتيجة وم األس

ر من 10 النتيجة أصغم




النتيجة أكبمر من 100

3

3

3

3

3

أكملوا إذا أمكمن. 2

وجي دمد زم النتيجة عم

ردي دمد فم النتيجة عم





3

3

2

2

2

2

ل التمريناألساس حم صف النتيجة وم األس

ةيوبرتلا ايجولونكتلا زكرم تاراسمَ · 600 40 8 300+20+4 800 100 40+5...

Documents