Практичні з Опору матеріалів
TRANSCRIPT
Державна служба України з надзвичайних ситуаційЧеркаський інститут пожежної безпеки імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України
Кафедра будівельних конструкцій
ПРИКЛАДНА МЕХАНІКА
Посібник до виконання розрахунково-графічних робіт
з розділу laquoОпір матеріалівraquo
Черкаси 2015
2
ББК 3442 я73УДК 42С-88
Рекомендовано до друку на засіданні методичної ради Черкаського інституту пожежної безпеки iм Героїв Чорнобиля НУЦЗ Українипротокол ____ від ______________ 2015 року
Рецензент Осипенко ВІ -- дтн професор
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
ББК 3442 я73УДК 42С-88copy Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ
copy ЧІПБ імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України 2015
3
Зміст
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39
4
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера
рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних
вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в
числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри
зп Схема зп Схема зп Схема
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр
1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24
5
Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі
Приклад виконання
Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу
ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а
Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер
профіля
Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4 z0 см
36 360 110 534 108200 513 268
Двотавр
профіля Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4
24а 240 125 375 38000 260
2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат
3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см
4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
2
ББК 3442 я73УДК 42С-88
Рекомендовано до друку на засіданні методичної ради Черкаського інституту пожежної безпеки iм Героїв Чорнобиля НУЦЗ Українипротокол ____ від ______________ 2015 року
Рецензент Осипенко ВІ -- дтн професор
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
ББК 3442 я73УДК 42С-88copy Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ
copy ЧІПБ імені Героїв Чорнобиля НУЦЗ України 2015
3
Зміст
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39
4
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера
рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних
вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в
числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри
зп Схема зп Схема зп Схема
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр
1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24
5
Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі
Приклад виконання
Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу
ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а
Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер
профіля
Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4 z0 см
36 360 110 534 108200 513 268
Двотавр
профіля Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4
24а 240 125 375 38000 260
2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат
3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см
4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
3
Зміст
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу5Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня9Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану15Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу28Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки35Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки 39
4
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера
рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних
вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в
числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри
зп Схема зп Схема зп Схема
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр
1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24
5
Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі
Приклад виконання
Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу
ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а
Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер
профіля
Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4 z0 см
36 360 110 534 108200 513 268
Двотавр
профіля Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4
24а 240 125 375 38000 260
2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат
3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см
4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
4
Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
Завдання Для заданого поперечного перерізу що складається з швелера
рівнобічного кутника двотавра необхідно1 Визначити положення центру тяжіння2 Знайти осьові та відцентровий моменти інерції відносно довільних
вісей що проходять через центр тяжіння3 Визначити напрям головних центральних вісей4 Знайти моменти інерції відносно головних центральних вісей5 Накреслити переріз в масштабі 12 та вказати на ньому всі розміри в
числах та всі вісіПередостання цифра посвідчення ndash схема остання ndash розміри
зп Схема зп Схема зп Схема
1 2 3
4 5 6
7 8 9
0
N стр Швеллер Рівнобокий кутник Двотавр
1 14 80 х 80 х 8 122 16 80 х 80 х 6 143 18 90 х 90 х 8 164 20 90 х 90 х 7 185 22 90 х 90 х 6 20а6 24 100 х 100 х 8 207 27 100 х 100 х 10 22а8 30 100 х 100 х 12 229 33 125 х 125 х 10 24а0 36 125 х 125 х 12 24
5
Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі
Приклад виконання
Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу
ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а
Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер
профіля
Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4 z0 см
36 360 110 534 108200 513 268
Двотавр
профіля Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4
24а 240 125 375 38000 260
2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат
3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см
4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
5
Послідовність виконання1 За табличними даними визначаємо геометричні характеристики прокату2 Креслимо схему перерізу в масштабі3 Визначаємо координати центру ваги перерізу4 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і розраховуємо сумарні осьові та відцентровий моменти інерції5 Визначаємо напрям головних осей перерізу і будуємо головні осі на схемі
Приклад виконання
Визначити напрям головних вісей та величини головних осьових моментів інерції для складного плоского поперчного перерізу
ДаноШвелер ndash 36Двотавр ndash 24а
Розвrsquoязок1 За табличними даними визначаємо характеристики прокатуШвелер
профіля
Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4 z0 см
36 360 110 534 108200 513 268
Двотавр
профіля Висота h мм
Ширина b мм
Площа перерізу
A см2Ix см4 Iy см4
24а 240 125 375 38000 260
2 Креслимо схему перерізу в масштабі приймаємо систему координат
3 Визначаємо координати центрів ваги кожного профіля Приймемо для характеристик швелера індекс 1 для харакетристик двотавра ndash 2x1=-268 см y1 = 18 смx2=12 см y2 = 24 см
4 Визначаємо координати центру ваги всього перерізу
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
х
хс
6
xc=x1sdotA1+x2sdotA2
A1+ A2=minus2 68sdot53 4+12sdot37 5
53 4+37 5=337
см
yc=y1sdotA1+ y2sdotA2
A1+ A2=18sdot53 4+24sdot37 5
53 4+37 5=20 47
см
5 Переносимо систему координат в центр ваги перерізу і визначаємо
координати центрів ваги швелера і двотавра в новій системі координат xcyc
x1 =x1minusxc=minus268minus337=6 05 см
y1 = y1minus yc=18minus20 47=minus2 47 см
x2 =x2minusxc=12minus3 37=8 63 см
y2 = y2minus yc=24minus20 47=3 53 см
6 Застосовуючи теорему про паралельний перенос вісей визначаємо значення значення осьових та відцентрових моментів інерції відносно центру ваги всього перерізу та визначаємо сумарні осові та відцентровий моменти інерції відносно вісей xc та ycI x 1
=I x 1+( y1 )2sdotA1=10820+(minus2 47 )2sdot53 4=11145 см4
I y 1 =I y 1+( x1
)2sdotA1=513+(6 05 )2sdot53 4=2467см4I xy 1
=I xy 1+( x1sdoty1
)sdotA1=0+ (minus2 47 )sdot6 05sdot53 4=minus798 см4I x 2
=I x2+( y2 )2sdotA2=260+(3 53 )2sdot375=727см4
I y2 =I y 2+( x2
)2sdotA2=3800+ (8 63 )2sdot37 5=6593 см4
y yс
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
7
I xy 2 =I xy 2+( x2
sdoty2 )sdotA2=0+3 53sdot8 63sdot37 5=1142см4
I x=I x1 + I x 2
=11145+727=11872 см4I y=I y1
+ I y2 =2467+6593=9060 см4
I xy=I xy 1 + I xy 2
=minus798+1142=344 см47 Напрям головних осей перерізу та їх величини визначається за формулами
tg 2θгол=2sdotI xy
I yminusI x= 2sdot344
9060minus11872=minus0 2446
2 θгол=minus13 75 θ гол=minus6 87 deg
I 12=I y + I x
2plusmnradic( I y minusI x
2 )2
+ I xy2 =9060+11872
2plusmnradic(9060minus11872
2 )2
+3442 =10466plusmn1447
I 1=10466+1447=11913 см4I 1=10466minus1447=9019 см4
8 Будуємо головні вісі
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
8
Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Таблиця 1 ndash Початкові дані
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
1 30 15 20 352 25 10 32 353 20 12 24 324 15 14 26 305 17 16 28 286 23 11 30 337 27 13 18 368 32 90 16 389 36 70 17 400 40 80 20 45
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
9
Послідовність виконання
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
10
1 Креслиться розрахункова схема на якій вказуються направлення зовнішніх сил та геометричні розміри стержня
2 Визначаємо межі ділянок Для кожної ділянки складаємо рівняння для визначення поздовжньої сили N
3 Будується епюра поздовжніх сил від дії зовнішніх сил F та розподіленого навантаження q за допомогою методу перерізів
4 Будується епюра нормальних напружень5 Будується епюра абсолютних переміщень
Приклад виконання
ЗавданняСтупінчастий стальний стержень перебуває під дією сили F і
розподіленого навантаження q Матеріал стержня mdash низьковуглецева сталь Модуль пружності сталі Е = 2105 МПа Побудувати
1) епюру поздовжніх сил N по довжині стержня2) епюру нормальних напружень по довжині стержня3) епюру деформацій від зовнішніх сил по довжині стержня
Вар
іант Навантаження Довжина Площа
F кH q кHм a см А см2
11 10 5 20 4
Розвrsquoязок
1 Будуємо розрахункову схему стержня на якій позначаємо напрям чисельне значення зовнішньої сили та геометричні розміри стержня
2 Розділяємо стержень на ділянки характерними перерізами в місцях прикладання сил та в місцях зміни геометрії поперечного перерізу Утворилося чотири ділянки ndash 0-1 1-2 2-3 і 3-4 Для кожної ділянки записуємо рівняння для визначення поздовжньої сили
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
11
N=qzт0 z =0N0=0 кНт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middotaт1 z =04 мN1= 5middot04 = 2 кНт2 z =06 мN2= 5middot04 = 2 кН
N=qmiddot2middota-3middotFт2 z =06 мN2= 5middot04 - 3middot10 = -28 кНт3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 = -28 кН
N=qmiddot2middota-3middotF+qmiddot(z-5a)т3 z =10 мN3= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(5middot02-5middot02) = = -28 кНт4 z =14 мN4= 5middot04 - 3middot10 + 5middot(7middot02-5middot02) = -26 кН
3 За отриманими значеннями будуємо епюру поздовжніх сил
4 Побудуємо епюру нормальних напружень Враховуючи лінійний характер епюри поздовжніх сил епюра нормальних напружень теж буде лінійною Отже можна визначити значення нормальних напружень для країв ділянок і отримати точки на епюрі які потім зrsquoєднати прямими лініями Таким чином визначаємо значення нормальних напружень країв ділянок- ділянка 0-1
σ 0=N0
A= 0
4sdot10minus4 =0
σ 1=N1
A= 2sdot103
4sdot10minus4=05sdot107=5 МПа
- ділянка 1-2
σ 1=N 1
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
σ 2=N 2
2sdotA= 2sdot103
2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot107=25 МПа
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
12
- ділянка 2-3
σ 2=N 2
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
σ 3=N 3
2sdotA=minus28sdot103
2sdot4sdot10minus4 =minus35sdot107=minus35 МПа
- ділянка 3-4
σ 3=N3
A=minus28sdot103
4sdot10minus4 =minus7sdot107=minus70 МПа
σ 4=N 4
A=minus26sdot103
4sdot10minus4 =minus65sdot107=minus65 МПа
Відмічаємо отримані точки на епюрі зrsquoєднуємо їх прямими лініями і таким чином будуємо епюру нормальних напружень На епюрі видно що найбільш напруженим є переріз в точці 3 на ділянці 34 такий переріз називається найбільш небезпечним перерізом
Отже епюра нормальних напружень побудована тобто друга частина задачі виконана
6 Побудуємо епюру абсолютних переміщень На ділянках де не діє розподілене навантаження можна скористатися формулою Гука На інших ділянках ndash інтегруванням
Δl01=int0
04
( N 01
EsdotA )dz=int0
04
( qsdotzEsdotA )dz= qsdotz2
2sdotEsdotA|004= 5sdot103sdot042
2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =05sdot10minus5 м
Δl12=N12sdotl12
Esdot2 A= 2sdot103sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4 =0 25sdot10minus5 м
Δl23=N 23sdotl23
Esdot2 A= minus28sdot103sdot2sdot0 2
2sdot1011sdot2sdot4sdot10minus4=minus7 0sdot10minus5 м
Δl34=int1
14
(N34
EsdotA )dz=int1
14
(qsdot2sdotaminus3sdotF+qsdot( zminus5sdota )EsdotA )dz=
(qsdot2sdotaminus3sdotFminusqsdot5sdota )sdotzminusqsdotz2
2EsdotA
|114=
(minus33sdot103sdot14minus5sdot103sdot142
2 )minus(minus33sdot103sdot10minus5sdot103sdot102
2 )2sdot2sdot1011sdot4sdot10minus4 =minus19 5sdot10minus5 м
Побудову епюри переміщеннь розпочинають з точки закріплення Оскільки стержень закріплений в точці 4 точка 4 залишиться нерухомою Точка 3 отримає переміщення Кожна наступна ділянка буде зміщуватись з врахуванням деформації попередніх ділянок
Δl3=Δl34=minus19 5sdot10minus5 м
Δl2=Δl23+Δl34=minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 5sdot10minus5 м
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
13
Δl1=Δl12+ Δl23+Δl34=0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus26 25sdot10minus5 м
Δl0=Δl01+Δl12+Δl23+ Δl34=05sdot10minus5+0 25sdot10minus5minus7sdot10minus5minus19 5sdot10minus5=minus25 75sdot10minus5 м При побудові епюри враховуємо характер зміни деформацій на ділянці
Ділянка що навантажена розполеним навантаженням деформується непропорційно
Таким чином епюра абсолютних переміщень побудована
Задача розвrsquoязана
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
14
Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
Завдання
Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
1) головні напруження а також положення головних площин2) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що
розташована під кутом 3) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони
діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВихідні дані наведені у таблиці 2
Таблиця 2 ndash Початкові даніnn
xМПа
yМПа
МПа
Сталь
0 100 150 100 45 ст 51 80 50 30 75 ст 32 70 60 40 60 ст 43 50 30 30 120 454 90 90 80 150 405 70 70 70 30 356 30 30 30 -30 207 60 50 40 -60 458 75 40 20 -75 ст 29 30 20 10 -30 40
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
0
x
x
y
y
x
yy
x
1
x
x
y
y
x
yy
x
2
x
x
y
y
x
yy
x
3
x
x
y
y
x
yy
x
4
x
x
y
y
x
yy
x
5
x
x
y
y
x
yy
x
6
x
x
y
y
x
yy
x
7
x
x
y
y
x
yy
x
9
x
x
y
y
x
yy
x
8
x
x
y
y
x
yy
x
15
Розрахункові схеми
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
y
y
xxyx
yx
xy
xy
= 30
16
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема у вигляді елементу на гранях якого наносяться задані напруження а також позначається кут повороту елементу на гранях якого треба визначити напруження
2 Проводиться розвrsquoязок оберненої задачі аналізу напруженого стану тобто знаходяться значення головних напружень та визначаються положення головних площадок аналітичним методом
3 Визначаються напруження на гранях елементу повернутого на кут
4 Визначаються найбільші дотичні напруження кути повороту площадок з найбільшими дотичними напруженнями а також нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
5 Будується круг Мора6 За побудованим кругом Мора визначається все що необхідно
визначити у задачі7 Перевіряється міцність матеріалу за гіпотезами міцності
Приклад розвrsquoязку
Умови задачі Елемент перебуває під дією зусиль які створюють напружений стан Визначити аналітично і графічно
4) головні напруження а також положення головних площин
5) нормальні та дотичні напруження для заданої площини що розташована під кутом
6) максимальні дотичні напруження та положення площин де вони діютьПеревірити міцність матеріалу за теоріями міцностіВідомі такі чисельні дані
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа = 30 Матеріал ndash Сталь 45
Розвrsquoязок
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
y = 10 МПа
y
x = 50 МПаx
yx = 70 МПа
yx
xy = 70 МПа
xy
= 30
17
1 Побудуємо розрахункову схему елементу на гранях якого позначимо величини і реальні напрямки напружень
Враховуючи знаки напружень запишемо
x = 50 МПа y = 40 МПа yx = 70 МПа xy = 70 МПа = 30
2 Знайдемо аналітично положення головних площадок визначивши кут їх повороту за формулою
tg 2θгол=minus2 τ yx
σ xminusσ y=
minus2sdot(minus70)50minus10
=3 5
Взявши арктангенс знайдемо 2гол = 7405 тоді гол = 3703 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquoгол = 7405 180 = 10595 або rsquoгол = 3703 90 = 5297
Головні напруження дорівнюють
σ 1=σ x +σ y
2+radic( σ x minusσ y
2 )2
+ τ yx2
=
50+102
+radic(50minus102 )
2+(minus70)2
= 1028 МПа
σ 2=σ x +σ y
2minusradic( σ x minusσ y
2 )2
+τ yx2
=
50+102
minusradic(50minus102 )
2+(minus70 )2
= 428 МПаДля перевірки правильності результатів знайдемо головні напруження за
іншою формулою використовуючи знайдені кути 2гол = 7405 2rsquoгол = 10595
σ 1=( σx+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол =
(50+10 )2
+(50minus10)cos (74 05 deg)
2minus(minus70 )sin(74 05 deg )
=
= 1028 МПа
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
y
y
xx
yx
yx
xy
xy
21
12
rsquoгол = 5297
гол= +3703
18
σ 2=( σ x+σ y)
2+(σ xminusσ y)cos2θгол
2minusτ yx sin 2θгол
= (50+10 )
2+(50minus10)cos(minus105 95 deg)
2minus(minus70 )sin(minus105 95 deg)
= = 428 МПа
Значення головних напружень збігаються отже знайдені правильно і дорівнюють
1 = 1028 МПа 2 = 428 МПаПоложення головних площадок і напрямки дії головних напружень
показуємо на рисунку3 Знайдемо напруження на гранях елементу повернутого на кут = 30
Одна з площадок елементу буде повернута на кут = 30 тоді інша буде повернута на кут rsquo = 30 + 90 = 120 Знаючи ці кути можемо визначити напруження
σ θ=(σ x+σ y )
2+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin 2θ
= (50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot30deg )
2minus(minus70)sin (2sdot30 deg )
= = 10062 МПа
τθ=( σ xminusσ y )sin2θ
2+τ yxcos 2θ
= (50minus10 )sin(2sdot30 deg )
2+(minus70 )cos (2sdot30 deg)
= 1768 МПа
σ θ =
(σ x+σ y )2
+(σ xminusσ y )cos2 θ
2minusτ yx sin2 θ
=
=(50+10 )
2+(50minus10)cos (2sdot120deg )
2minus(minus70)sin(2sdot120 deg )
= 4062 МПа
τθ =
( σ xminusσ y )sin2 θ
2minusτ yx cos2θ
= (50minus10 )sin(2sdot120 deg)
2minus(minus70 )cos(2sdot120 deg )
= =1768 МПа
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
x x
y
y
= 30
lsquo = 120rsquo
rsquo
rsquo
rsquo
19
Перевірку можна здійснити знаючи те що сума нормальних напружень на суміжних гранях завжди залишається сталою тобто
x + y = + rsquo або 50 + 10 = 10062 + (4062) = 60 МПа
Перевірка збігається оскільки і справа і зліва даної рівності маємо по 60 МПа
Перевірку дотичних напружень проводимо за законом парності дотичних напружень Згідно з цим законом дотичні напруження на суміжних гранях мають однакові значення але різні за знаком тобто = rsquo Якщо порівняти отримані значення дотичних напружень можна побачити що закон парності виконується Отже перевірка показує правильність отриманих результатів
Таким чином одержано
= 10062 МПа = 1768 МПа rsquo = 4062 МПа rsquo = 1768 МПа
Положення площадок з напруженнями значення яких були отримані подазуємо на схемі
4 Знайдемо значення найбільших дотичних напружень
τ max=σ1minusσ2
2 =
102 8minus(minus428)2 = 728 МПа
Положення площадок з максимальними дотичними
ctg 2θк=2 τ yx
σ xminusσ y =
2(minus70 )50minus10 = 35
tg 2θк=σxminusσ y
2 τ yx = 0286
Знаходимо кут повороту площадки з максимальними дотичними напруженнями взявши арктангенс 2k = 1595 тоді k = 797 В межах кута повороту від 0 до 2 арктангенс дає два значення що відрізняються між собою на кут Таким чином маємо ще одне значення кута повороту 2rsquok = 1595 + 180 = 16405 або rsquok = 797 90 = 8203
Нормальні напруження що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
x x
y
y
k = 797
lsquok = +8203k
k
k
k
max
max minrsquo
minrsquo
20
σ θk=
σx +σ y
2 =
50+102 = 30 МПа
Правильність знаходження кутів повороту площадок з максимальними дотичними напруженнями перевіряється через розгляд виконання умови яка полягає у тім що різниця між кутами повороту головних площадок і площадок з максимальними дотичними напруженнями повинна складати 45
Отже гол k = 45 або 3703 (797) = 45 Перевірка збігається
Таким чином нами були визначені максимальні дотичні напруження що дорівнюють max = 728 МПа та нормальні напруження на тих же площадках σ θk = 30 МПа Положення площадок щз максимальними дотичними напруженнями показані
на схемі
На цьому аналітичний розвrsquoязок даної задачі вважається закінченим
5 Обчислимо всі параметри що необхідно визначити за умовами задачі використовуючи коло Мора Побудуємо коло Мора Оскільки круг Мора та аналітичні розрахунки повністю незалежні порівняння отриманих даних є кінцевою перевіркою результатів розвrsquoязку задачі
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
+2гол
2rsquoгол 2
D
E
2rsquo
2rsquok
2k
max
min
21
6 Поданий графічний розвrsquoязок задачі за допомогою круга Мора дещо незручний внаслідок того що приходиться мати справу з подвійними кутами Становище покращується коли застосовується метод полюса Знайдемо положення полюса М
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПаC
2 1
x
y
М
22
Використовуючи полюс знайдемо положення головних площадок зrsquoєднавши полюс і точки перетину кола Мора с віссю абсцис
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
23
Відкладаючи кут відносно напрямку x з полюса М проводимо лінію МD що на колі Мора визначає положення точки D координати якої є значеннями напружень на площадці повернутій відносно вертикальної на кут та напруження на площадці повернутій на кут + 90
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
24
Побудувавши вертикальний діаметр кола Мора отримаємо положення точок F та G ординати яких відповідають максимальним дотичним напруженням а абсциси ndash нормальним напруженням що діють на площадках з максимальними дотичними напруженнями Зrsquoєднавши отримані точки з полюсом отримаємо напрямки дії нормальних напружень на площадках максимальними дотичними напруженнями та положення цих площадок Кінцевий вигляд кола Мора зі всіма необхідними побудуваннями поданий на рисунку
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
А
xy
xy
yx
B
МПа
МПа
C
Рис 230
2 1
x
y
М
2
1
гол
гол + 90
rsquo
D
E
F
G
k
k
k
25
7 За теоріями міцності перевіримо міцність матеріалу при цьому визначимо еквівалентні напруження
За першою теорією міцності
σ эквI=σ1 = 1028 МПа 160 МПа
За першою теорією міцність забезпечена
За другою теорією міцності
еквІІ = σ 1minusμσ 2 = 1028 023(428) = 1126 МПа 160 МПа
За другою теорією міцність забезпечена
За третьою теорією міцності
σ эквIII=σ1minusσ2 = 1028 (428) = 1456 МПа 160 МПа
За третьою теорією міцність забезпечена
За четвертою теорією міцності
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
26
σ эквVI=σ1minusνσ3 = 1028 1(428) = 1456 МПа 160 МПа
За четвертою теорією міцність забезпечена
За пrsquoятою теорією міцності
σ эквV =radicσ12minusσ1 σ2+σ2
2=radic102 82minus102 8sdot(minus42 8 )+(minus42 8)2 = 1296 МПа 160 МПа
За пrsquoятою теорією міцність забезпечена
Таким чином за всіма теоріями міцність забезпечена
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
27
Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
Завдання
Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок валу за умовами міцності на кручення для суцільного та трубчастого валів Порівняти ваги цих валів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу
Визначити кут закручування валу між опорамиВихідні дані наведені у таблиці 41
Таблиця 41 nn M1 кНм M2 кНм M3 кНм []МПа а м
0 4 15 5 80 2 0341 6 16 7 80 15 0252 8 17 11 100 175 053 10 18 15 100 22 064 12 14 7 80 25 04755 9 12 4 80 3 046 5 11 5 100 15 0757 7 10 12 100 175 088 11 15 9 100 2 099 13 13 8 80 23 07
Розрахункові схеми до задачі 3 зображені на рис 41
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
28
Рис41 Схеми дл розрахунково-графічної роботи 4
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
М1 М2 М3 М4
а а 2а
29
Послідовність виконання
1 Креслиться розрахункова схема до задачі на якій позначаються напрямок та значення крутних моментів2 Визначається крутний момент М4 за умовою рівноваги3 Будується епюра крутних моментів за допомогою метода перерізів4 Визначається діаметр суцільного валу на всіх навантажених ділянках5 Визначається зовнішній та внутрішній діаметри валу кільцевого перерізу6 Визначається кути повороту окремих ділянок стержня і будується епюра кутів закручування7 Визначається кут повороту між опорами (вважається що опори знаходяться точно посередині ділянок)
Приклад виконання
Умови задачі Визначити величину та напрямок крутного моменту М4 Побудувати епюру крутних моментів визначити діаметри окремих ділянок стержня за умовами міцності на кручення для круглого та кільцевого перерізів Коефіцієнт = dD де D d зовнішній та внутрішній діаметри трубчастого валу Визначити кут закручування валу між опорами
Розрахункова схема стержня подана на рисункуЧисельні дані до задачі
М1 = 12 кНм М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм а = 2 м = 07 [кр] = 100 МПа
Розвrsquoязок1 На початку розвязку
задачі креслимо розрахункову схему позначивши на неї зовнішні зусилля і геометричні розміри стержня На розрахунковій схемі виділяємо характерні точки в місцях прикладення моментів
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
М1 = 12 кНм М4
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
12
Еп МкркНм
19
2
30
2 Визначимо момент М4 користуючись умовою рівноваги і враховуючи правило знаків ndash момент що крутить за годинниковою стрілкою є додатнім
sumi
M крi=0
sumi
M крi = М1 М2 + М3 + М4 = 0М4 = М1 + М2 М3 = 12 + 7 21 = 2 кНмМомент М4 крутить за годинниковою стрілкою оскільки значення
моменту отримано додатнім Отже момент М4 = 2 кНм3 Побудуємо епюру крутних моментів почергово застосовуючи метод
перерізів для кожної ділянки ділянка AB МАВ = М1 = 12 кНмділянка BC МВC = М1 М2 = 12 7 = 19 кНмділянка CD МCD = М1 М2 + M3
МCD = 12 7 + 21 = 2 кНм
4 Визначимо діаметри ділянок стержня із круглим поперечним перерізомза формулою
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
31
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ]де Мкр крутний момент який визначається за епюрою на даній ділянці У формулу підставляється абсолютне значення (модуль) крутного моменту Таким чином визначаємо діаметри всіх ділянок стержня
Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot[ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00843 м = 843 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic M BC
кр
0 2sdot[τ кр]=3radic19sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00983 м = 983 мм
Ділянка СD
dCD=3radic M СD
кр
0 2sdot[τ кр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot100sdot106 = 00464 м = 464 мм
Таким чином отримані такі значення діаметрів на ділянках стержня dAB = 843 мм dBC = 983 мм dCD = 464 мм
5 Визначимо зовнішні діаметри ділянок стержня із кільцевим поперечним перерізом за формулою
dge3radic M кр
0 2sdot[τкр ] (1minusα4 )де коефіцієнт який визначається як відношення внутрішнього діаметра до зовнішнього діаметра кільцевого поперечного перерізу
= dd0Ділянка АВ
d АВ=3radic M АВ
кр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic12sdot103
0 2sdot(1minus0 74) 100sdot106 = 00924 м = 924 мм
Ділянка ВС
d ВС=3radic MBCкр
0 2sdot(1minusα 4) [ τкр ]=3radic19sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 01077 м = 1077 мм
Ділянка СD
dCD=3radic MСDкр
0 2sdot(1minusα4 ) [ τкр ]=3radic 2sdot103
0 2sdot(1minus0 74 ) 100sdot106 = 00508 м = 508 мм
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
М1 = 12 кНм М4 = 2 кНм
2 м
М2 = 7 кНм М3 = 21 кНм
2 м 4 м
А В С D
Еп рад
0059401102
01055
32
Таким чином отримані такі значення зовнішніх діаметрів на ділянках стержня dAB = 924 мм dBC = 1077 мм dCD = 508 мм
6 Побудуємо епюру кутів закручування для стержня круглого поперечного перерізу за формулою
ϕ=М крsdotl
Gsdot0 1 d4
де G ndash модуль пружності ІІ роду (модуль зсуву) для сталі G = 8104 МПа l ndash довжина ділянки
Ділянка АВ
ϕ АВ=М АВ
крsdotlАВ
Gsdot0 1 d АВ4 = minus12sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot008434 = 00594 рад
Ділянка ВС
ϕ ВС=М ВС
крsdotlВС
Gsdot0 1dВС4 = minus19sdot103sdot2
8sdot1010sdot0 1sdot0 09834 = 00508 рад
Ділянка СD
ϕСD=МСD
кр sdotlСD
Gsdot0 1 dСD4 = 2sdot103sdot4
8sdot1010sdot0 1sdot0 04644 = 02157 рад
Побудуємо епюру переміщень тобто кутів закручування стержня Будемо вважати що переріз А має нульовий кут закручування
А = 0Тоді переріз В закрутиться відносно перерізу А на кут закручування
ділянки АВ
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
33
В = АВ = 00594 радПереріз С закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ та ВСВ = АВ + ВС = 00594 + ( 00508) = 01102 радПереріз D закрутиться відносно перерізу А на кут що є сумою кутів
закручування ділянок АВ ВС та CDD = АВ + ВС + СD = 00594 + ( 00508) + 02157 = 01055 радБудуємо епюру 7 Знайдемо кут закручування між опорами Кут закручування між
опорами дорівнює куту закручування між шківами А і D тобто складає D Кут закручування між опорами рівний 01055 рад
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
34
Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
Завдання
Для консольної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 51
Таблиця 51 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
35
Розрахункові схеми до задачі 5
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
Рис 48
q = 6 кНмМ = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 м 4 м
А В С D
36
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
1 Для консольних балок знаходити реакції в жорсткому защемленні не обовrsquoязково Позначимо характерні точки балки починаючи з вільного кінця
2 Побудуємо епюру поперечних сил використовуючи метод перерізів Перерізи балки будемо розглядати рухаючись зліва направо і завжди відкидаючи праву частину балки із жорстким защемленням з невідомими реакціямиДілянка AB QAB = qz
QАz = 0 = 60 = 0 QВz = 8 = 68 = 48 кНДілянка BC QВС = q8 =68 = 48 кНДілянка CD QСD = q8 P
QСD = 68 3 = 51 кН3 Побудуємо епюру згинальних моментів Послідовність розгляду
ділянок залишається такою ж самою Ділянка AB МAB = qz22
МАz = 0 =
qz2
2=6sdot02
2 = 0 МВz = 8 =
qz2
2=6sdot82
2 = 192 кНмДілянка BC МВС = q8(z 4) M
МВz = 8 = 68(8 4) 8 = 200 кНмМСz = 12 = 68(12 4) 8 = 392 кНм
Ділянка CD МСD = q8(z 4) M ndash P(z ndash 12)
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
37
МСz = 12 = 68(12 4) 8 ndash 3(12 ndash 12) = 392 кНмМDz = 16 = 68(16 4) 8 - 3(16 ndash 12) = 576 кНм
Кінцевий вигляд епюр
Визначимо небезпечну точку (точку з найбільшими зусиллями у відповідному перерізі) Зрозуміло що це точка D Визначимо геометричні
розміри перерізу за умовою міцності σ=12M
bh3le[ σ ]
або hge3radic12 M
b [σ ]
Отже висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot596sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 053 м = 53 см
192200
392
q = 6 кНм М = 8 кНм Р = 3 кН
8 м 4 мА В С
4 м
Еп MкНм
D
596
48
Еп QкН
51
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
38
Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
Завдання
Для двохопорної балки побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
Вихідні дані наведені у таблиці 61
Таблиця 61 ndash Початкові дані nn q кНм М кНм Р кН а м n = hb
0 2 5 7 2 11 4 10 6 3 152 5 12 4 25 23 3 7 6 175 224 6 8 3 4 185 8 6 5 45 156 9 4 8 35 247 7 3 7 5 258 5 5 2 275 279 4 10 5 375 30
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
39
Розрахункові схеми до задачі 6
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
q = 6 кНм
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
AB C D
40
Приклад виконання
Умови задачі Для двох типів балок (консольної та двохопорної) побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів Перевірити міцність балки прямокутного перерізу в небезпечних точках де діють максимальні нормальні напруження Прийняти для балок прямокутний переріз з шириною b = 30 см висотою h Матеріал балок - Ст 3 [] = 160 МПа Е = 2105 МПа
РозвrsquoязокРозглянемо консольну балку вигляд якої поданий на схемі
4 Розглянемо двохопорну балку На даній балці позначимо напрямки реакцій опор та характерні точки
5 Знайдемо реакції опор склавши рівняння рівновагиСума моментів відносно опори А
MA = RD18 + P12 + q63 М= 0
RD = Psdot12+qsdot6sdot3minusМ18 =
3sdot12+6sdot6sdot3minus818 = 756 кН
Сума моментів відносно опори D
MD = RA18 - P6 - q615 М = 0 RА = Psdot6+qsdot6sdot15+М18 =
=3sdot6+6sdot6sdot15+818 = 3144 кН
Виконаємо перевірку склавши додаткове рівняння рівноваги Сума проекцій всіх сил на вісь y дорівнює
Y = RА + RD P q6 = 756 + 3144 3 66 = 0У результаті додавання за даним рівнянням отримуємо нуль отже
реакції знайдені правильно
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
41
6 Побудуємо епюру поперечних силДілянка AB QAB = RA qz
QAz= 0 = 31 60 = 3144 кНQВz = 6 = 3144 66 = 456 кН
Ділянка BC QBС= RAq6 = 3144 66 = 456 кНДілянка CD QСD = RA q6 P= 3144 66 3 = 756 кН
Приступаємо до побудування епюри згинальних моментів Ділянка AB
MAB = minusqsdotz2
2+R AsdotzminusM
Парабола на ділянці АВ має максимум оскільки епюра поперечних сил переходить через нуль Знайдемо координату переходу прирівнявши рівняння поперечних сил на цій ділянці до нуля
RA qz = 0z = RAq = 31446 = 524 мДля побудування епюри моментів визначаємо три значення моментів ndash по краях ділянки і у точці максимумуMAz = 0 = 6022 + 31440 8 = 8 кНм MBz = 6 = 6622 + 31446 8 = 7264 кНмMmaxz = 517 = 652422 + 31446 8 = 7437 кНм
Ділянка BC MBС = minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusM MВz = 6=66(63)+31446 8 = 7208 кНмMСz =12=66(123)+3144128=4528 кНм
Ділянка CD MСD=minusqsdot6( zminus3)+RAsdotxminusMminusP( zminus12 )MСz = 12 = 66(12 3) + 314412 8 3(12 12) = =4528 кНмMСz = 18 = 66(18 3) + 314418 8 3(18 12) = 0
Визначимо розміри перерізу балки за умовою міцності Висота прямокутного перерізу балки повинна складати
h=3radic12 Mb [σ ]
=3radic12sdot74 37sdot103
30sdot10minus2sdot160sdot106 = 027 м = 27 см
Таким чином задача розвrsquoязана
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
42
3144
456Еп QкН756
q = 6
М = 8 кНм
Р = 3 кН
6 м 6 м 6 м
RA RD
A B CD
Рис 425
7237
8
7437
Еп М кНм
4528
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
ДОДАТКИДодаток 1
Геометричні характеристики перерізів прокатуДвотавр сталевий (ГОСТ 8239-89)
Позначенняh- висота двотавра b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J - момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см10 946 100 55 45 72 120 198 397 406 230 179 649 12212 115 120 64 48 73 147 350 584 488 337 279 872 13814 137 140 73 49 75 174 572 817 573 468 419 115 15516 150 160 81 50 78 202 873 109 657 623 586 145 17018 184 180 90 51 81 234 1290 143 742 814 826 184 18818a 199 180 100 51 83 254 1430 159 751 898 114 228 212
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
44
профілю
Маса1 м кг
Розміри ммПлоща
перерізусм 2
Довідкові величини для осей
см 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см20 210 200 100 52 84 268 1840 184 828 104 115 231 20720a 227 200 110 52 86 289 2030 203 837 114 155 282 23222 240 220 110 54 87 306 2550 232 913 131 157 286 22722a 258 220 120 54 89 328 2790 254 922 143 206 343 25024 273 240 115 56 95 348 3460 289 997 163 198 345 23724a 294 240 125 56 98 375 3800 317 101 178 260 416 26327 315 270 125 60 98 402 5010 371 112 210 260 415 25427a 339 270 135 60 102 432 5500 407 113 229 337 500 28030 365 300 135 65 102 465 7080 472 123 268 337 499 26930a 392 300 145 65 107 499 7780 518 125 292 436 601 29533 422 330 140 70 112 538 9840 597 135 339 419 599 27636 486 360 145 75 123 619 13380 743 147 423 516 711 28940 570 400 155 83 130 726 19062 953 162 545 667 861 30345 665 450 160 90 142 847 27696 1231 181 708 808 1010 30050 785 500 170 100 152 1000 39727 1589 199 919 1043 1230 32355 962 550 180 110 165 1180 55962 2035 218 1181 1356 1510 33960 1080 600 190 120 178 1380 75806 2560 236 1491 1725 1820 354
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
45
Швелери з нахилом внутрішніх граней полиць (ГОСТ 8240-72)
Позначення
h- висота швелера b- ширина полиці d- товщина стінки t- середня товщина полиці J- момент інерції W- момент опору i- радіус інерції S- статичний момент півперерізу z0- відстань від осі z до зовнішньої грані стінки
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
смсм 4 см 3 см см 3 см 4 см 3 см
5 658
10 12
484590705859
104
506580
100120
3236404652
4444454548
7072747678
616751898
109 133
228486894
174 304
91150224348506
192254316399478
5690
133204296
5687
128204312
275368475646852
095108119137153
116124131144154
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
46
профілю
Маса1 м кг
Розміри мм
Площаперрізу
см 2
Довідкові величини для осей
см
14 14а16 16а18
123 133 142 153 163
140140160160180
5862646870
4949505051
8187849087
156 170 181 195 207
491 545 747 823
1090
702778934
103 121
560566642649724
408451541594698
454575633799860
110 133 138 164 170
170184187201204
16718718 20 19
18a20 20a22 22a
174 184 198 210 226
180200200220220
7476808287
5152525454
93909795
102
222 234 252 267 288
1190 1520 1670 2110 2330
132 152 167 192 212
732807815889899
761878959
110 121
105 113 139 151 187
200 205 242 251 300
218220235237255
21 20 22122 246
24 24a27 30 33
240 258 277 318 365
240240270300330
909595
100105
5656606570
100107105110117
306 329 352 405 465
2900 3180 4160 5810 7980
242 265 308 387 484
973984
109 120 131
139 151 178 224 281
208 254 262 327 410
316 372 373 436 518
260278273284297
242267247252259
36 40
419 483
360400
110115
7580
126135
534 615
10820
15220
601 761
142 157
350 444
513 642
617 734
310323
268275
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
47
Кутник рівнобічний (ГОСТ 8509-86)
Позначення
b - ширина полиці t- товщина полиці R- радіус внутрішнього заокруглення r- радіус заокруглення полиць J- момент інерції i- радіус інерції Jyz- відцентровий момент інерції W - момент опору z0
- відстань від центра ваги до зовнішніх граней полиць
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2 20 34
35 12 113146
089115
040050
028037
059058
063078
075073
017022
020024
039038
081110
023028
060064
25 25 345
35 12 143186227
112146178
081103122
046059071
075074073
129162191
095093092
034044053
033041047
049048048
157210267
047059069
073076080
28 28 3 40 13 162 127 116 058085 184 107 048 042 055 220 0680803 30 3 40 13 174 136 145 067091 230 115 060 053 059 271 085085
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
48
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
45
227278
178218
184220
087106
090089
292347
113112
077094
061071
058058
364460
108127
089093
32 32 34
45 15 186243
146191
177226
077100
097096
280358
123121
074094
059071
063062
324441
103132
089094
35 35 345
45 15 204267328
160210258
235301361
093121147
107106105
372476571
135133132
097125152
071088102
069068068
427573723
137175210
097101105
4 40 3456
50 17 235308379448
185242298352
355458553641
122160195230
123122121120
563726875
1013
155153152150
147190230270
095119139158
079078078078
634851
10721297
208268322372
109113117121
45 45 3456
50 17 265348429508
208273337399
513663803935
156204251295
139138137136
813105212741480
175174172171
212274333390
124154181206
089089088088
901122515281847
300389471545
121126130134
5 50 345678
55 18 296389480569656741
232305377447515582
711921
1120130714841651
194254313369423476
155154153152150149
112714631777207223472603
195194192191189187
295380463543621698
157195230263293322
100099098098097097
123516622088252029603386
416542657765863952
133138142146150153
56 56 45
60 20 438541
344425
13101597
321396
173172
20792536
218216
541659
252297
111110
23222931
769941
152157
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
49
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
6 60 4568
10
70 23 472589692904
1108
371458543710870
16211979232129553532
370456540700852
185184183181179
25693140368146775564
233232231227224
672818960
12341500
293349399490570
119118118117116
28603602432158197324
9481161136017222032
162166170178185
63 63 456
70 23 496613728
390481572
188623102706
409505598
195194193
299036804291
245244243
781952
1118
326387444
125125124
330341665013
110013701590
169174178
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
7 70
455678
10
80 27 620686815942
10671311
487538639739837
1029
290431943758429848165790
567627743857968
1182
216216215214212210
460350675964681976359152
272272271269268264
120413221552177719972427
453492566631699817
139139138137137136
50955670682580289170
11572
170018702210252028203360
188190194199202210
75 75 5678
90 30 739878
10151150
580689796902
3953465753345984
721857989
1118
231230229228
6265738784619489
291290289287
1641192822072480
574662743816
149148147147
696883839810
11300
231273312350
202206210215
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
50
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
9 1283 1007 6610 1243 227 10472 286 2748 891 146 12707 3862188 8055
678
1012
90 30 863938
1085123015141790
678736851965
11881405
52685697653173368858
10274
903980
1132128015671842
247247245244242240
83569040
10366116391403116227
311311309308304301
218023542697303236854321
710760855944
11091262
159158158157156155
93321019611927136741721920757
309334383430567595
217219223227235242
9 90 6789
1012
10033 106112281393156017172033
833964
1093122013481596
82109430
10611118001286014967
124914451636182920072385
278277276275274271
130001496716842186002039323588
350349348346345341
339738944380486053276240
98811151234134814541653
179178177177176175
144751692219387219442437829460
481554623680753862
243247251255259267
10 100
6578
1012141516
12040 12821375156019242280262827992968
10061079122515101790206321972330
1221013059147191789520890237152506826382
16691790203024972947338335953804
309308307305303300299298
1934620701233462838333095374983958741604
389388387384381378376374
507354166092740886849932
1054811161
13381413156618512110234924622579
199198198196195194194194
2141823157265163330440197472105076554173
714764863
11001220138014501520
268271275283291299303306
11 110
78
12040 15151720
11891350
1756119817
21832477
340339
2785431451
429428
72688183
17361929
219218
3083535297
106116
296300
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
51
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
12 120
8101215
12046 1880232427603399
1476182421672668
25975317163718044890
2968365943305296
372369367363
41245503795902871132
468466462457
10704130541533318648
2329277231793735
239237236234
45833574876927487245
153187218262
325333341353
125 125
89
10121416
14046 196922002433288933373777
154617301910226826202965
294363274835982422234817653856
322036003974470654176109
387386385382380378
466765200057104670027639085284
487486484482478475
121981358814859174431996222429
256728263045349439104310
249248247246245244
5166558180649417822391664
105006
172192211248282315
336340345353361368
профілю
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг см 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4 см 4 см
14 140
91012
14046 247227333249
194121452550
465725122960249
455550325966
434433431
739428136295698
547546543
192032109624801
359239054497
279278276
8189391110
109666
274301354
378382390
15 150
10121518
14046 2933348943085109
2302273933824011
634767474890838
106008
5807689084669986
465463459456
100856118786144260168092
586583579574
26097307093741743924
4534523261967091
298297295293
112061134837169385204021
374440534621
407415427438
16 16 10 16053 3143 2467 77424 6619 496 122910 625 31938 5252 319 135538 455 430
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
52
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
0 111214161820
344237394357490754796040
270229353397385243014744
8442191289
104647117519129024141885
724478629077
102641142412560
495494492489487485
134006145000166213186573206103224826
624623620617613610
347773757843081484645374658943
565360536815759282089002
318317316314313312
149552163347191704219106246477275309
496537615690771830
435439447455463470
18 180
1112151820
16053 38804219521861996843
30473312409648665372
121644131662160736188407206111
924710041123741463616107
560559555551549
193310209278255499299269327131
706704700695691
4997854045659737754485092
728678159311
1068811571
359358356354353
212911232547291708351545391146
716776948
11081210
485489501513520
20 200
121314161820242530
18060 47105085546061986930765490789429
11154
369739924280486554406008712574028756
182278196077209700236257262064287147335066346621401960
124611344414417163371822220073236772455928857
622621620617615612608606600
289616311618333300375539416454456042531350549404635105
784783781778775772765763755
74940805358610096974
107674118192138773143838169816
98681050711150123771354814662167741726819306
399398397396394393391391389
318100345456372471426484480944535825645738673733812928
107311561236139315441689196320282332
537542546554562570585589607
22 220
1416
21070 60386858
47405383
281436317544
1751819871
683680
447015504537
860858
115856130552
1386215334
438436
492332566081
16551869
591602
25 250
1618
24080 78408772
61556886
471710524724
2584328882
776773
749210833669
978975
194209215778
2034522339
498496
828920933928
27753089
675683
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
53
профілю
Розміри мм
Площаперерізу
см 2
Маса1 м кг
Довідкові величини для осей
см 4 смсм 4 см 3 см
см 4 см см 4см 3
смсм 4
2022252830
969610612119711331214196
76118331939710451114
576487627032700639771686817651
3187634826391724342546211
771769765761759
915973996160
111255212243841296466
972969964959956
237001257904288726318989338898
2425226052287143119832782
494493491490489
10394531147020130579814675431576230
33953691411945274788
691700711723731
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-
3
Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ С-88 Прикладна механіка Посібник до виконання розрахунково-
графічних робіт з розділу laquoОпір матеріалівraquo Для студентів і курсантів вищих навч закл які навч за напрямом підготовки 6170203 laquoПожежна безпекаraquo та 6170201 laquoЦивільний захистraquo Упор Ступак ДО Отрош ЮА Поздєєв СВ ndash Черкаси ЧІПБ - 2015 ndash 55 с
- D
- С
- В
- А
- Розрахунково-графічна робота 1 Визначення геометричних характеристик плоского поперечного перерізу
- Розрахунково-графічна робота 2 Аналіз задачі розтягу-стискання прямолінійного стержня
- Розрахунково-графічна робота 3 Аналіз напруженого плоского стану
- Розрахунково-графічна робота 4 Аналіз задачі кручення прямолінійного стержня круглого поперечного перерізу
-
- Таблиця 41
- Чисельні дані до задачі
-
- Розрахунково-графічна робота 5 Аналіз задачі згину консольної балки
-
- Таблиця 51 ndash Початкові дані
-
- Розрахунково-графічна робота 6 Аналіз задачі згину двохопорної балки
-
- Таблиця 61 ndash Початкові дані
-