бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и...

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОННАЯ

БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

Самара

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

Антипов О.И., Неганов В.А.

Бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети в

физических, биологических и экономических системах

Учебное пособие

Самара

2013


3

УДК 530.1:621.372+621.396

А 00

ББК 00.00

А.М. (г. Воронеж)

Антипов О.И., Неганов В.А.

А 00 Бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети

в физических, биологических и экономических системах: учебное

пособие – Самара: ПГУТИ, 2013. – 252с.

ISBN 000-0-00000-000-0

Учебное пособие предназначено для аспирантов, обучающихся по специальности 01.04.03

– Радиофизика и посвящено освещению вопросов четвертого пункта паспорта

специальности, согласно его последней редакции. Один из авторов защитил докторскую

диссертацию по данной специальности в физико-математической отрасли, а второй автор,

будучи доктором физико-математических наук по данной специальности, уже не первый

десяток лет возглавляет диссертационный совет по нескольким специальностям, в том числе

и по радиофизике.

В пособии приведены не только теоретические сведения из наиболее известных

источников, уже ставших на данный момент классикой, но и примеры из практики авторов

по применению освещенных подходов, теорий, гипотез и методов к системам из различных

областей науки и техники. В частности, приведен пример моделирования такой дискретно-

нелинейной системы, как импульсный стабилизатор напряжения инвертирующего типа и

приведен ее полный фрактальный и мультифрактальный анализ. Рассмотрены кризисы-

катастрофы в экономических временных рядах и приведен авторский метод прогнозирования

экономических кризисов на фьючерсных нефтяных рынках. Также показаны возможности

применения фрактального подхода в виде авторских модификаций известных фрактальных

методов и алгоритмов их применения для таких биологических систем, как желудочно-

кишечный тракт и мозг человеческого организма с целью диагностирования отклонений в их

функционировании.

Учебное пособие будет полезным не только для аспирантов, обучающихся по

специальности радиофизика, но и для всех научных сотрудников, докторантов и студентов,

интересующихся вопросами исследования неравновесных самоорганизованных систем.

Данный класс систем присутствует во множестве отраслей науки и техники, в том числе не

только в естественнонаучных но и в гуманитарных отраслях.

ISBN 000-0-00000-000-0

УДК 530.1:621.372+621.396

ББК 00.00

© Антипов О.И., Неганов В.А., 2013

© Издательство ПГУТИ, 2013


4

Введение

Во введении, в первую очередь, хотелось бы определить место дисциплины в

процессе обучения по специальности, и ее принадлежность к определенным

разделам отраслей наук и области применения изучаемых методов и

алгоритмов.

Данное учебное пособие написано для аспирантов, обучающихся дисциплине

«Бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети в

физических, биологических и экономических системах» в очной и заочной

формах обучения по специальности 01.04.03 – Радиофизика. Специальность

Радиофизика имеет номер 01.04.03, согласно номенклатуре специальностей

научных работников, утвержденной приказом министерства образования и

науки Российской Федерации от 25 февраля 2009г. №59 (в ред. Приказа

Минобрнауки РФ от 11.08.2009 № 294) и относится к группе специальностей

ФИЗИКА (01.04.00) в ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ (01.00.00) отрасли наук.

Согласно формуле специальности, ее область определена следующим

образом: «Радиофизика – раздел физики, занимающийся изучением общих

закономерностей генерации, передачи, приема, регистрации и анализа

колебаний и волн различной физической природы и разных частотных

диапазонов, а также их применением в фундаментальных и прикладных

исследованиях. Общность изучаемых радиофизических закономерностей

излучения, распространения, взаимодействия и трансформации колебаний и

волн в различных средах, в том числе в неоднородных, нелинейных и

нестационарных, позволяет включить радиофизические методы как

универсальное средство исследования окружающей среды на самых различных

уровнях: от микромира до космического пространства.» Здесь курсивом мы

выделили ту часть формулы, которая имеет непосредственное отношение к

рассматриваемым в пособии областям.

Выбор отрасли наук, согласно номенклатуре научных работников, зависит от

конкретного приложения рассмотренных в пособии методов и алгоритмов. В

частности, цитируя номенклатуру, отметим, что работа относится к отрасли

технических наук «за разработку и создание приборов, установок,

теплотехнических процессов и за их применение в народном хозяйстве» и к

отрасли физико-математических наук «за исследования общефизического

характера». Здесь мы также курсивом отметили, к каким отраслям, и по каким

именно критериям относятся рассмотренные в пособии материалы.

Изложенные в работе материалы относятся к четвертому пункту паспорта

специальности 01.04.03 – Радиофизика в редакции от 18 января 2011г., который

гласит, что область исследования по специальности, в том числе, следующая:

«Исследование флуктуаций, шумов, случайных процессов и полей в

сосредоточенных и распределенных стохастических системах (статистическая

радиофизика). Создание новых методов анализа и статистической обработки

сигналов в условиях помех. Разработка статистических основ передачи

информации. Исследование нелинейной динамики, пространственно-


5

временного хаоса и самоорганизации в неравновесных физических,

биологических, химических и экономических системах». Как и раньше,

курсивом мы выделили именно те области, которые рассмотрены в данном

учебном пособии.

Некоторые из освещенных в пособии вопросов входят в действующую

программу-минимум кандидатского экзамена по специальности 01.04.03 –

Радиофизика, утвержденного приказом Минобрнауки РФ от 08.10.2007 года

приказом № 274. В частности раскрыты следующие вопросы:

● Хаотические колебания в динамических системах. Понятие о хаотическом

(странном) аттракторе. Возможные пути потери устойчивости регулярных

колебаний и перехода к хаосу;

● Корреляционные и спектральные характеристики стационарных случайных

процессов. Теорема Винера—Хинчина. Белый шум и другие примеры спектров

и корреляционных функций;

● Модели случайных процессов: гауссовский процесс, узкополосный

стационарный шум, импульсные случайные процессы, дробовой шум;

● Марковские и диффузионные процессы. Уравнение Фоккера—Планка.

Также, частично рассмотрены новые аспекты вопросов:

○ Самовоздействие волновых пучков. Самофокусировка света. Приближения

нелинейной квазиоптики и нелинейной геометрической оптики. Обращение

волнового фронта. Интенсивные акустические пучки; параметрические

излучатели звука;

○ Случайные величины и процессы, способы их описания. Стационарный

случайный процесс. Статистическое усреднение и усреднение во времени.

Эргодичность. Измерение вероятностей и средних значений.

Как видно из вышеизложенного, научная тематика данного учебного пособия

посвящена объединению нескольких направлений в науке: бифуркаций в

нелинейных динамических (или детерминированных) системах, причем

внимание уделяется бифуркациям-кризисам, которые отождествляются с

катастрофами в синергетике – науке о самоорганизации в сложных системах,

где велика роль коллективных, кооперативных эффектов, возникновения

порядка – фрактальных структур в турбулентности (или хаосе). В синергетике

общим является принцип подчинения, который позволяет исключать большое

число переменных в сложных системах, и описывать в них сложные процессы.

Использование в роли одной из основных количественных характеристик

катастроф фрактального показателя Хѐрста связывает фракталы с

бифуркациями. Объединение этих четырех направлений позволяет упростить

проектирование прогнозирующих нейронных сетей, которое в настоящее время

отчасти является искусством.

Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем

были заложены в трудах великого французского ученого Анри Пуанкаре,

который первым понял, что можно, не интегрируя дифференциальных

уравнений, представить все основные качественные особенности поведения его


6

решений [1]. В нашей стране его работы продолжил Александр Александрович

Андронов [2,3].

Основателями теории катастроф считают французского математика-тополога

Рене Тома и российского математика Владимира Игоревича Арнольда [4,5].

Основателем нового научного направления – синергетики, является

немецкий физик-теоретик Герман Хакен [6,7].

Основателем теории фракталов, как и автором самого термина «фрактал»,

является американский математик французского происхождения Бенуа

Мандельброт. На сегодняшний день существует много различных

математических моделей фракталов. Отличительной особенностью каждой из

них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция.

Сегодня бытует утверждение, что фракталы – уникальные объекты,

порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира [8].

Основателями нейросетевой архитектуры считаются американский

нейропсихолог и нейрофизиолог Уоррен Мак-Каллок и исследователь Уолтер

Питтс [9]. Вместе с ними, у истоков кибернетики стоял американский философ

и математик Норберт Винер. Первое обучаемое нейросетевое устройство для

распознания образов – персептрон (от англ. perception – восприятие),

разработал американский нейрофизиолог Фрэнк Розенблатт [10].

В нашей стране теорией фракталов занимается российский ученый

Александр Алексеевич Потапов [11], а прикладной нелинейной динамикой

занимаются российские ученые Анищенко Вадим Семенович [12], Сергей

Петрович Кузнецов и Александр Петрович Кузнецов [13]. Математическим

моделированием по хаотическим временным рядам занимаются российские

ученые Борис Петрович Безручко и Дмитрий Алексеевич Смирнов [14].

Проблемами моделирования хаотических временных рядов с помощью

нейронных сетей занимается белорусский ученый Владимир Адамович Головко

[15].

Приведенные выше ссылки в квадратных скобках отсылают читателей к

наиболее интересным трудам из области работ обозначенных ученых, с точки

зрения изучаемой в данном учебном пособии дисциплины.

В данном учебном пособии, кроме общеизвестных, приведены некоторые

фрактальные методы и алгоритмы их применения, разработанные авторами,

вошедшие в докторскую диссертацию, которую один из авторов пособия

защитил в конце 2011 года. Данная диссертация относилась к физико-

математической отрасли и была озаглавлена как «Фрактальные методы анализа

и прогнозирования для самоорганизованных технических, биологических и

экономических систем». Как видно, название диссертации совпадает с

соответствующим пунктом паспорта специальности. Многие приведенные

методы проиллюстрированы на конкретных примерах из исследований авторов

в данной области.

Разработанная авторская методика фрактального анализа, включенная в

пособие, позволяет анализировать хаотические временные ряды, порожденные

синергетическими системами. В качестве такой системы может выступать


7

неравновесная, самоорганизованная физическая, экономическая или

биологическая система. Фрактальные величины, при определенных авторских

алгоритмах и методах их применения, дают интегральные характеристики,

которые реагируют на изменения стационарности этих системы и выявляют

изменения сложности процессов в них. Нахождение изменения сложности

процессов позволяет решить следующие задачи:

1. Получение временного лага и фазового сдвига для неравновесных

дискретно-нелинейных систем, позволяющих анализировать их фрактальные

характеристики и параметры устойчивости [16-22].

2. Позволяет путем выявления фрактальных количественных характеристик

сигналов от неравновесных систем, представленных в виде черного ящика, и

позволяющих строить на их основе математически обоснованные

прогнозирующие нейронные сети, которые, по сути, представляют собой

математические модели системы исследуемого черного ящика [23-28].

3. Позволяет выявить предкризисные состояния экономических систем

фьючерсных нефтяных рынков [29,30] и международных товарных рынков

драгоценных металлов [31].

4. Позволяет выявить нарушения функциональности желудочно-кишечного

тракта путем анализа электрогастроэнтерографического сигнала [32-34].

5. Позволяет выявлять уровни функциональности головного мозга путем

анализа электроэнцефалографического сигнала, что в свою очередь, помогает

неврологам выявить широкий спектр неврологических расстройств [35-37].

Данные методы и алгоритмы реализованы в программно-аппаратном

комплексе, на аппаратную часть которого заявлены права на интеллектуальную

собственность [38], и программная часть которого отмечена свидетельством о

государственной регистрации собственности [39].

Таким образом, предлагаемая фрактальная методика позволяет решить

широкий спектр прикладных задач из разных областей науки и техники.


8

Список используемых сокращений (аббревиатур)

АД – артериальное давление

БД – бифуркационная диаграмма

БДГ – быстрое движение глаз

ВД – время движения

ГИН – генератор с инерционной нелинейностью

ДС – динамическая система

ИСН – импульсный стабилизатор напряжения

ИСН-1 – импульсный стабилизатор понижающего типа

ИСН-2 – импульсный стабилизатор повышающего типа

ИСН-3 – импульсный стабилизатор инвертирующего типа

ЛХП – характеристический показатель Ляпунова

МЛБС – метод ложных ближайших соседей

МП – многослойный персептрон

НС – нейронные сети

ПНС – предсказывающая нейронная сеть

РАН – Российская академия наук

РБ – расслабленное бодрствование

РГ – ренормализационная группа

СНА – странный нехаотический аттрактор

ФБС – фаза быстрого сна

ФМС – фаза медленного сна

ХНА – хаотический нестранный аттрактор

ЧД – частота дыханий

ЧСС – частота сердечных сокращений

ЭМГ – электромиограмма

ЭОГ – электроокулограмма

ЭЭГ – электроэнцефалограмма

BC – нефть-сырец (Brent Crude)

Euro – единая европейская валюта

HO – отопительная нефть (Heating Oil)

LC – светлая нефть-сырец (Light Crude)

USD – американский доллар (United States dollar)


9

Глава 1. Бифуркации и кризисы нелинейных динамических систем

Основы динамического (детерминированного) описания эволюционных

процессов базируются на понятии динамической системы (ДС). ДС можно

представлять как объект любой природы, состояние которого изменяется во

времени в соответствии с некоторым динамическим законом, то есть как

результат действия детерминированного оператора эволюции. Таким образом,

понятие ДС является следствием определенной идеализации, при которой

пренебрегают влиянием случайных возмущений, присутствующих в любой

реальной системе.

При описании ДС особое внимание обычно уделяют анализу устойчивости

решений обыкновенных дифференциальных уравнений в линейном

приближении. Обсуждаются локальные и нелокальные бифуркации типичных

предельных множеств, приводится классификация аттракторов ДС.

Структура хаотических аттракторов определяет свойства режимов

хаотических колебаний ДС. Известно, что основой классических представлений

о динамическом хаосе в диссипативных системах является понятие грубого

гиперболического (странного) аттрактора. Помимо гиперболических

аттракторов существуют негиперболические аттракторы (квазиаттракторы).

Этот вид хаотических аттракторов в большей степени отражает свойства

детерминированного хаоса в реальных системах [40].

1.1. Основы динамического и статистического описания эволюционных

процессов в динамических системах [40]

Для описания ДС используют различные математические модели. Обычно

состояние ДС определяется набором некоторых величин или функций и

оператором эволюции, задающим соответствие между начальным состоянием

системы и единственным ее состоянием в каждый последующий момент

времени. Оператор эволюции может быть задан с помощью

дифференциальных, интегральных или интегро-дифференциальных уравнений,

отображения последования, а также в форме матриц, графов и т. д.

В зависимости от степени приближения и от конкретно изучаемой задачи в

соответствие одной и той же реальной физической системе могут быть

поставлены в соответствие принципиально различные математические модели,

например, маятник с трением и без трения.

Классификация ДС основана на способе задания мгновенного состояния, на

свойствах оператора эволюции и методах его описания. Состояние системы

определяется набором некоторых величин jx , 1,2,...,j N , или функций ( )jx r ,

Mr R . Величины jx , называемые динамическими переменными,

непосредственно связаны с наблюдаемыми количественными

характеристиками ДС и в реальных системах могут быть измерены (ток,

напряжение, скорость, температура, концентрация вещества, численность

популяции и т.д.). Множество всех теоретически возможных состояний


10

системы называется ее фазовым пространством. Если jx являются

переменными, а не функциями, и их число конечно, то фазовое пространство

системы NR имеет конечную размерность. Системы с конечномерным фазовым

пространством называются системами с сосредоточенными параметрами,

потому что их параметры не являются функциями пространственных

координат. Такие системы описываются обыкновенными дифференциальными

уравнениями или отображениями последования.

Однако имеется широкий класс систем с бесконечномерным фазовым

пространством. Если динамические переменные jx системы являются

функциями некоторых переменных kr , 1,2,...,k M , то размерность фазового

пространства системы бесконечна. Как правило, kr представляют собой

пространственные координаты, и, таким образом, параметры системы зависят от

точки пространства. Такие системы называются системами с распределенными

параметрами или просто распределенными системами.

Они часто описываются дифференциальными уравнениями в частных

производных или интегральными уравнениями.

Можно классифицировать ДС в зависимости от свойств оператора эволюции.

Если оператор эволюции удовлетворяет принципу суперпозиции, то

соответствующая система является линейной, в противном случае система

нелинейна. Если состояние системы и оператор эволюции определены в любой

момент времени, то говорят о системе с непрерывным временем. Если же

состояние системы определено только в отдельные (дискретные) моменты

времени, то мы имеем систему с дискретным временем (отображение

наследования или каскад). Для каскадов оператор эволюции обычно

определяется с помощью функции последования или отображения

последования. Если оператор эволюции, не зависит от времени явным образом,

то соответствующая система автономна, то есть не подвержена действию

каких-либо аддитивных пли мультипликативных внешних сил. В противном

случае мы имеем дело с неавтономной системой. Различают два важных класса

ДС: консервативные и неконсервативные. Для консервативной системы объем

фазового пространства сохраняется при действии оператора эволюции. Для

неконсервативной системы элемент объема обычно уменьшается с течением

времени. Сжатие фазового объема свидетельствует о потере энергии в системе.

Системы с потерями, в которых энергия уменьшается с течением времени,

называются диссипативными. Рост элемента фазового объема системы

означает подкачку энергии в систему. Такая система называется системой с

отрицательной диссипацией.

Среди широкого класса ДС особое место занимают системы, в которых

происходят колебания, то есть полностью или частично повторяющиеся

процессы. Колебательные системы, как и ДС в общем, подразделяются на

линейные и нелинейные, сосредоточенные и распределенные, консервативные и

диссипативные, автономные и неавтономные. Специальный класс составляют

так называемые автоколебательные системы.


11

Автоколебательными называются автономные нелинейные диссипативные

системы, в которых существуют незатухающие колебания, независящие в

определенных пределах от начальных условий. Соответственно, колебания в

таких ДС получили название автоколебаний. Математическим прообразом

автоколебаний служит аттрактор ДС, не являющийся точкой устойчивого

равновесия. Энергия, теряемая при диссипации в автоколебательной системе,

компенсируется из внешнего источника.

1.1.1. Фазовые портреты динамических систем [2,13]. В настоящее время

фазовые портреты являются общепринятыми для изучения различных

колебательных процессов. В этом случае анализируются колебания ДС с

помощью графического представления в фазовом пространстве.

Пусть изучаемая ДС описывается обыкновенными дифференциальными

уравнениями

1 2( , ,..., )j j Nx f x x x , (1.1)

где 1,2,...,j N , или в векторной форме

( )x F x , (1.2)

где x вектор с компонентами jx , индекс j принимает значения 1,2,...,j N , a ( )F x

– вектор-функция с компонентами ( )jf x . Набор N динамических переменных jx

или N -мерный вектор x определяет состояние системы, которому ставится в

соответствие точка в пространстве состояний. Эта точка называется

изображающей или фазовой точкой, а само пространство состояний NR

называется фазовым пространством ДС. Движение фазовой точки

соответствует эволюции состояния системы с течением времени. Траектория

фазовой точки, стартующая из некоторого начального состояния 0 0( )x x t и

отслеживаемая при t , представляет собой фазовую траекторию. Иногда

используется сходное понятие интегральной кривой. Интегральные кривые

описываются уравнениями 1 2/ ( , ,..., )j k Ndx dx x x x , 1,2,..., 1, 1,...,j k k N , где kx – одна

(любая) из динамических переменных. В большинстве случаев интегральные

кривые и фазовые траектории совпадают. Однако интегральные кривые,

проходящие через особые точки, состоят из нескольких фазовых траекторий.

Правая часть (1.2) задает векторное поле скоростей ( )F x в фазовом

пространстве системы. Точки фазового пространства, для которых ( ) 0jf x ,

остаются неизменными с течением времени и называются неподвижными

точками, особыми точками или состояниями равновесия ДС. Множество

характерных фазовых траекторий в фазовом пространстве образует фазовый

портрет ДС.

Кроме размерности фазового пространства часто используется понятие числа

степеней свободы ДС. Под числом степеней свободы в теоретической механике

понимается число независимых координат и импульсов, характеризующих

движение n материальных точек. Движение каждой материальной точки

подчиняется второму закону Ньютона и описывается уравнением движения

второго порядка. Следовательно, число степеней свободы n связано с


12

размерностью ДС соотношением 2n N . Очевидно, для произвольной ДС (1.1)

число степеней свободы может быть нецелым (кратным 0.5).

Рассмотрим осциллятор. В линейном приближении его движение

описывается простейшим уравнением: 2

0 0x x . (1.3)

Его фазовый портрет показан на рис. 1.1,a и представляет собой семейство

концентрических эллипсов (в случае 0 1 – окружностей) на плоскости

1x x ,

2x x с центром в начале координат: 2 2 2

0 1 2

1 2( , ) const2 2

x xH x x . (1.4)

Каждому значению полной энергии 1 2( , )H x x соответствует свой собственный

эллипс. В начале координат расположено состояние равновесия, называемое

центром. Если к линейному осциллятору добавить трение, то фазовые

траектории, стартующие из любой точки фазовой плоскости, будут

приближаться к состоянию равновесия в пределе t . При слабой диссипации

фазовые траектории представляют собой спирали, закручивающиеся к началу

координат (рис. 1.1,б), а решения уравнений осциллятора с трением

соответствуют затухающим колебаниям. В этом случае состояние равновесия в

нуле координат называется устойчивым фокусом. С увеличением коэффициента

трения решения станут апериодическими. Соответствующий фазовый портрет

показан на рис. 1.1,в. В начале координат имеется состояние равновесия,

называемое устойчивым узлом.

а) б) в)

Рис. 1.1 – Фазовые портреты линейного осциллятора: без трения (а), с малым

трением (б) и с сильным трением (в)

Фазовый портрет для нелинейного консервативного осциллятора,

описываемого уравнением ( )

0dU x

xdx

,

качественно нетрудно построить с помощью потенциальной функции ( )U x .

Пример такого построения приводится на рис. 1.2. Минимумам потенциальной функции соответствуют положения равновесия типа центр. В потенциальной яме, существующей вблизи каждого центра, семейство замкнутых кривых упорядочено в соответствии со значениями интеграла энергии ( , )H x x . В

непосредственной окрестности центра эти кривые имеют эллиптическую форму, которая при удалении от центра постепенно деформируется. Максимумам ( )U x соответствуют положения равновесия, называемые седлами.


13

Седла неустойчивы по отношению к произвольным возмущениям. Фазовые траектории, входящие в седло Q (рис. 1.2) при t , называются устойчивыми

и неустойчивыми сепаратрисами седла Q . Пара траекторий, приближающихся

к седлу в прямом времени, образует его устойчивое многообразие S

QW , а пара

траекторий, стремящихся к седлу в обратном времени, составляет его неустойчивое многообразие S

QW . Сепаратрисы делят фазовое пространство на

области с принципиально различным характером фазовых траекторий. В некоторых случаях сепаратрисы могут замыкаться, образуя сепаратрисные петли (контуры) (рис. 1.2).

Фазовые портреты неавтономных систем имеют некоторые особенности. Одна из них состоит в следующем. Фазовые траектории неавтономной системы при изменении времени t от до не остаются в пределах ограниченной области фазового пространства, поскольку t в данном случае является одной из фазовых координат. В случае периодического внешнего воздействия можно построить фазовый портрет, сведя неавтономную систему к автономной.

Рис. 1.2 – Качественное построение фазового портрета нелинейного

консервативного осциллятора с помощью потенциальной функции

Для этого нужно ввести фазу воздействия ext и добавить к уравнениям ДС

еще одно уравнение: ex . Однако если предполагать, что определена на

всей действительной оси, то новая переменная ничего не дает, и фазовые

траектории остаются неограниченным.

Рассмотрим нелинейный осциллятор Ван-дер-Поля 2 2

0( ) 0x x x x . (1.5)

Для 0 и t в автоколебательной системе (1.5), не зависит от выбора

начальных условий, устанавливаются периодические колебания. Этим

колебаниям в фазовом пространстве соответствует замкнутая изолированная

кривая, называемая предельным циклом Андронова-Пуанкаре [40]. Все фазовые

траектории (1.5), выходящие из различных точек фазовой плоскости, при t

стремятся к предельному циклу. Единственное исключение составляет


14

состояние равновесия в начале координат. При малых предельный цикл по

форме близок к эллипсу, а состоянию равновесия в начале координат отвечает

неустойчивый фокус. Соответствующий фазовый портрет и форма колебаний

( )x t показаны в верхней части рис. 1.3. При увеличении предельный цикл

искажается и характер состояния равновесия меняется.

Рис. 1.3 – Фазовые портреты и форма колебаний для осциллятора Ван-дер-Поля

(1.5) с 0 1: вверху для 0.1 и внизу для 10 , 1x x , 2x x [40]

При 02 неустойчивый фокус превращается в неустойчивый узел, а

продолжительность переходного процесса значительно уменьшается, как

показано в нижней части рис. 1.3.

Фазовые портреты трехмерных систем не столь наглядны. В этом случае

разумно рассматривать сечение фазовых траекторий некоторой плоскостью или

поверхностью, выбранной таким образом, чтобы все траектории пересекали эту

поверхность под ненулевым углом. На секущей поверхности возникает

множество точек, соответствующих различным фазовым траекториям исходной

системы, которые могут дать нам представление о структуре фазового портрета

ДС. Обычно рассматриваются точки пересечения поверхности траекториями,

идущими в одном выбранном направлении, как показано на рис. 1.4. Оператор

эволюции однозначным (но не взаимнооднозначным) образом определяет

отображение секущей поверхности в себя, называемое отображением возврата

или отображением Пуанкаре [41]. Отображение Пуанкаре уменьшает

размерность исследуемого множества до 1N , что делает фазовый портрет

системы более наглядным. Конечные последовательности точек (периодические

орбиты или циклы отображения) соответствуют замкнутым кривым

(предельным циклам) исходной системы, а бесконечные последовательности

точек соответствуют апериодическим траекториям.


15

Рис. 1.4 – Сечение Пуанкаре

1.1.2. Устойчивость (линейное приближение) [40]. Задача анализа

устойчивости конкретного режима функционирования системы – одна из

наиболее важных в теории ДС. Эволюции ДС из некоторого заданного

начального состояния соответствует траектория в фазовом пространстве.

Необходимо исследовать устойчивость той или иной фазовой траектории по

отношению к малым возмущениям. Существует несколько различных

определений устойчивости, а именно: устойчивость по Ляпунову,

асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость и устойчивость по

Пуассону. Исследуемая фазовая траектория * ( )x t является устойчивой по

Ляпунову, если для любого произвольно малого 0 существует такое ( ) 0 ,

что для любой траектории ( )x t , для которой *

0 0( ) ( )x t x t

для всех 0t t

выполняется неравенство *( ) ( )x t x t

. Знак ... обозначает норму в NR . Таким

образом, малое начальное возмущение устойчивых по Ляпунову фазовых

траекторий не возрастает с течением времени. Если малое возмущение со

временем уменьшается, то есть *( ) ( ) 0x t x t

при t , то траектория обладает

более сильной устойчивостью, а именно, асимптотической устойчивостью.

Любая асимптотически устойчивая фазовая траектория устойчива по Ляпунову.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Определение орбитальной устойчивости несколько отличается от

определения устойчивости по Ляпунову. В последнем случае расстояние между точками исследуемой и возмущенной фазовых траекторий рассматривается в один и тот же момент времени. Орбитальная устойчивость характеризует минимальное расстояние между фазовой точкой возмущенной траектории в данный момент времени t и орбитой * , соответствующей исследуемому движению. Траектория, устойчивая по Ляпунову, всегда орбитально устойчива. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.

Самым слабым требованием является требование устойчивости фазовой

траектории * ( )x t no Пуассону. Устойчивость по Пуассону предполагает, что

фазовая траектория не покидает ограниченной области фазового пространства

при t . Проведя бесконечно длительное время внутри этой области, фазовая

траектория неизбежно возвращается в сколь угодно малую окрестность

начальной точки. Времена возврата могут соответствовать периоду или

квазипериоду регулярного движения или представлять случайную

последовательность в режиме динамического хаоса.

Свойства устойчивости фазовых траекторий, принадлежащих пределам

множествам (например, аттракторам), имеют особую важность при

исследовании динамики систем. Изменение характера устойчивости того или


16

другого предельного множества во многих случаях приводит к смене режима

функционирования системы.

Пусть состояние системы задается вектором 0x в момент времени 0t и

вектором 0( ) tx t T x в момент t , где tT – оператор эволюции на интервале 0t t t .

Предположим, что в фазовом пространстве ДС существуют два множества: V и

L V , где V – совокупность всех точек 0x

в фазовом пространства, для которых

( )x t L при t или t . В этом случае будем L называть предельным

множеством ДС.

Рассмотрим возможные типы предельных множеств диссипативной ДС,

которые могут существовать в ограниченной области фазового пространства.

Если все точки 0x V

стремятся к L в пределе t , то предельное множество

L является притягивающим и называется аттрактором. Соответственно, V –

бассейн притяжения аттрактора. Если точки V стремятся к L в пределе t ,

то множество L является отталкивающим и называется репеллером.

Множество V может состоять из двух подмножеств, sW и uW , причем точки,

принадлежащие sW , стремятся к L в прямом времени, в то время как точки,

принадлежащие uW , приближаются к L в обратном времени. В этом случае L

называется седловым предельным множеством или просто седлом. Множества sW и uW являются, соответственно, устойчивым и неустойчивым

многообразиями седла. При инверсии времен, t t , регулярные аттракторы

системы становятся репеллерами и, наоборот, репеллеры преобразуются в

аттракторы, а многообразия седловых предельных множеств меняются ролями

[41].

Самым простым предельным множеством ДС является состояние

равновесия. Оно может быть аттрактором (устойчивый фокус, устойчивый

узел), репеллером (неустойчивый фокус, неустойчивый узел) или седлом

(простое седло или седло-фокус, который может существовать в фазовом

пространстве размерности 3N . Точка типа центр не является ни аттрактором,

ни репеллером, ни седлом, поскольку отсутствует какое-либо множество точек,

приближающихся к центру при движении в прямом или обратном времени.

Центр – это особый случай предельного множества, для которого V L .

Предельное множество в виде замкнутой кривой, предельный цикл, также

может быть аттрактором, репеллером или седлом. Подобным же образом

классифицируются тороидальные предельные множества, соответствующие

квазипериодическим колебаниям, и хаотические предельные множества.

1.1.3. Линейный анализ устойчивости. Устойчивость по Ляпунову и

асимптотическая устойчивость определяются эволюцией во времени малых

возмущений траектории, т. е. тем, будут ли эти возмущения уменьшаться, расти

или останутся ограниченными с течением времени. Малость рассматриваемых

возмущений позволяет линеаризовать оператор эволюции вблизи изучаемой

траектории и провести анализ ее устойчивости в линейном приближении.

В этом случае от автономной ДС вида

( , )x F x , (1.6)


17

где Nx R , и mR

– вектор параметров для малого возмущения можно перейти к

уравнению 0( ) ( )y x t x t

,

где 0x – частные решения

0 0( ) ( )y F x y F x . (1.7)

Приходим к следующему линеаризованному уравнению относительно y :

( )y A t y , (1.8)

где A – матрица с элементами

0

,

( ) ( )

j

j k

k x t x t

fa

x

, , 1,2,...,j k N , (1.9)

называемая матрицей линеаризации системы в окрестности решения 0 ( )x t , а jf –

компоненты функции F. Матрица A

характеризуется собственными векторами

ie и собственными значениями i :

i i iAe e , 1, 2,...,i N . (1.10)

Собственные значения i являются корнями характеристического уравнения

Det 0A E

, (1.11)

где E – единичная матрица. Начальное возмущение, заданное в момент

времени *t , меняется вдоль i -го собственного вектора следующим образом: * *( ) ( )exp ( )i i

iy t y t t t

. (1.12)

Увеличение или уменьшение величины возмущения ( )iy t

определяется

знаком вещественной части i . В общем случае A является матрицей, элементы

которой зависят от времени, и, следовательно, ее собственные значения и

собственные векторы тоже меняются с течением времени. При изменении *t

показатель экспоненты i принимает различные значения. Следовательно,

возможна ситуация, когда малое возмущение 1( ) ( )N i

iy t y t потенциально растет в

одних точках изучаемой траектории 0 ( )x t и уменьшается в других.

Рассмотрим эволюцию компоненты малого возмущения ( )y t , направленной

вдоль i -гo собственного вектора матрицы A. Устойчивость траектории вдоль

собственного вектора ( )i t

определяется характеристическим показателям

Ляпунова i

0 0

1 ( )lim ln

( )

i

i it

y t

t t y t

, (1.13)

где черта сверху означает верхний предел. Если траектория 0 ( )ix t принадлежит

N -мерному фазовому пространству, линеаризованная матрица имеет

размерность N N и, таким образом, N собственных векторов. В этом случае

устойчивость траектории определяется набором из показателей Ляпунова.

Набор из N чисел, расположенных в убывающем порядке, 1 2 ... N , образует

так называемый спектр характеристических показателей Ляпунова (спектр

ЛХП) фазовой траектории 0 ( )ix t .

Показатели Ляпунова связаны собственными значениями матрицы

линеаризации i . Для этой цели рассмотрим (1.12) в начальный момент времени


18

*

0t t , предполагая, что интервал 0t t t мал. Перейдем в точку

0( )x t t и в

качестве начального возмущения возьмем

0 0 0( ) ( )exp ( )iy t t y t t t .

Будем полагать, что, поскольку t мало, направление собственных векторов

ie . почти не меняется в течение этого интервала времени, и можно считать, что

вектор 0( )iy t t направлен вдоль i -го собственного вектора. Полагаем, что

начальное возмущение 0( )iy t настолько мало, что оно остается малым и в

последующие моменты времени. Перемещаясь по кривой 0 ( )ix t с малым шагом

t , получаем каждый раз приближенное выражение, описывающее эволюцию

малого возмущения в направлении i -го собственного вектора:

0( ) ( ) exp ( )i i

i k

k

y t y t t t

. (1.14)

Переходя к пределу 0( ) 0iy t

и 0t получаем

00

1lim Re ( ') '

t

i it

t

t dtt t

. (1.15)

Таким образом, i -й показатель Ляпунова i можно понимать как

усредненную вдоль изучаемой траектории вещественную часть собственного

значения i матрицы линеаризации ( )A t

. Он показывает, что происходит с

соответствующей компонентой начального возмущения в среднем вдоль

траектории. Дивергенция потока и, следовательно, эволюция фазового объема

определяются суммой показателей Ляпунова. Можно показать, что

01 0

1lim div ( ') '

tN

it

i t

F t dtt t

. (1.16)

Если траектория 0 ( )x t устойчива по Ляпунову, то произвольное начальное

возмущение 0( )y t , в среднем, вдоль траектории не растет. Для этого необходимо

и достаточно, чтобы спектр ЛХП не содержал положительных показателей.

Если произвольная ограниченная траектория 0 ( )x t автономной системы (1.6) не

является состоянием равновесия или сепаратрисой, то, по крайней мере, один

из показателей Ляпунова всегда равен нулю [40]. Действительно, малое

возмущение вдоль направления, касательного к траектории, в среднем остается

неизменным. Для фазовых траекторий, расположенных на аттракторе элемент

фазового объема должен сжиматься. В этом случае усредненная дивергенция

фазового потока ( ( ))F x t диссипативной ДС отрицательна, и сумма показателей

Ляпунова удовлетворяет следующему неравенству:

1

0N

i

i

. (1.17)

1.1.4. Устойчивость состояний равновесия. Если частное решение 0 ( )x t

системы (1.6) является состоянием равновесия, то есть 0( , ) 0F x , то матрица

линеаризации A рассчитывается только в одной точке фазового пространства и,

следовательно, является матрицей с постоянными элементами ,i ja . Собственные

векторы и собственные значения матрицы A постоянны во времени, а


19

показатели Ляпунова равны вещественным частям собственных значений:

Rei i .

Сигнатура спектра ЛХП показывает, является состояние равновесия

устойчивым или нет. Для анализа поведений фазовых траекторий в локальной

окрестности состояния равновесия необходимо знать также и мнимые части

собственных значений матрицы линеаризации.

Рис. 1.5 – Диаграмма состояний равновесия на плоскости (фазовые портреты

показаны в преобразованных координатах) [40]

На фазовой плоскости (случай 2N ) положение равновесия характеризуется

двумя собственными значениями матрицы A: 1 и 2 . Возможны следующие

случаи: 1) 1 и 2 являются вещественными отрицательными числами. В этом

случае состояние равновесия представляет собой устойчивый узел. 2) 1 и 2 –

вещественные положительные числа. Состояние равновесия является

неустойчивым узлом. 3) 1 и 2 – вещественные числа, но с различными

знаками. Состояние равновесия в этом случае – седло. 4) 1 и 2 – комплексно-

сопряженные числа с 1,2Re 0 . Состояние равновесия – устойчивый фокус. 5) 1

и 2 – комплексно-сопряженные с 1,2Re 0 . Состояние равновесия –

неустойчивый фокус. 6) 1 и 2 – чисто мнимые числа: 1,2 i . Состояние

равновесия в этом случае является центром. На рис. 1.5 показана диаграмма

состояний равновесия, существующих на фазовой плоскости при различных

значениях детерминанта и следа матрицы A (соответственно

1 2Det A

и

1 2Sp A

).

Помимо вышеупомянутых состояний равновесия, в пространстве с

размерностью 3N возможны и другие типы состояний равновесия, например,

неустойчивое по Ляпунову состояние равновесия, называемое седло-фокусом.


20

а) б)

Рис. 1.6 – Седло-фокусы в трехмерном фазовом пространстве: (а) 1 –

вещественно и отрицательно, 2,3 комплексно-сопряженные 2,3Re 0 ; (б) 1 –

вещественно и положительно, 2,3 – комплексно-сопряженные 2,3Re 0 [40]

На рис. 1.6 показаны два варианта состояния равновесия седло-фокусного

типа, реализуемые в 3R . Они различаются размерностями их устойчивых и

неустойчивых многообразий.

Зная показатели Ляпунова, нетрудно определить, к какому типу предельных

множеств принадлежит исследуемое состояние равновесия. Положение

равновесия является аттрактором, если оно асимптотически устойчиво во всех

направлениях, т. е. его спектр ЛХП состоит только из отрицательных

показателей (устойчивый узел или фокус). Если состояние равновесия

неустойчиво во всех направлениях, то оно является репеллером (неустойчивый

узел или фокус). Если спектр ЛХЛ включает как положительные, так и

отрицательные показатели, то состояние равновесия принадлежит к седловому

типу (простое седло или седло-фокус). Кроме того, число показателей 0i и

0i определяет размерность неустойчивого и устойчивого многообразий.

Устойчивость периодических решений. Любое периодическое решение 0 ( )x t

системы (1.6) удовлетворяет условию 0 0( ) ( )x t x t T

. (1.18)

где T – период решения. Матрица линеаризации ( )A t

, вычисляемая в точках

траектории, соответствующей периодическому решению 0 ( )x t , также является

периодической:

( ) ( )A t A t T

. (1.19)

В этом случае уравнение для возмущений (1.8) представляет собой линейное

уравнение с периодическими коэффициентами. Устойчивость периодического

решения можно оценить, определив, как малое возмущение 0( )y t меняется за

период T . Его эволюция может быть представлена следующим

0 0( ) ( )Ty t T M y t , (1.20)

где TM

– постоянная матрица, называемая матрицей монодромии. Собственные

значения матрицы монодромии, то есть корни характеристического уравнения

0TDet M E , (1.21)


21

называются мультипликаторами периодического решения 0 ( )x t .

Мультипликаторы определяют устойчивость периодического решения. В самом

деле, действие оператора монодромии (1.20) за период T сводится к

следующему: компоненты разложения первоначального возмущения по

собственным векторам матрицы 0( )A t

умножаются на соответствующие

мультипликаторы i . Таким образом, для того, чтобы периодическое решение 0 ( )x t

было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его

мультипликаторы удовлетворяли требованию 1i, 1,2,..., .i N По крайней мере

один из мультипликаторов всегда равен 1 . Как собственно значения матрицы

монодромии, мультипликаторы удовлетворяют, условиям:

1

SpN

i T

i

M

, 1

DetN

i T

i

M

. (1.22)

Мультипликаторы связаны с показателями Ляпунова для периодического

решения следующим образом: 1

lni iT

. (1.23)

Нулевой показатель в спектре ЛХП предельного цикла соответствует

мультипликатору, равному единице. Предельный цикл является аттрактором,

если все другие показатели отрицательны. Если спектр ЛХП включает

показатели различного знака, то предельный цикл является седловым.

Размерность неустойчивого многообразия седлового цикла равна числу

неотрицательных показателей в спектре ЛХП, а размерность его устойчивого

многообразия равно числу показателей, для которых 0i . Если все 0i , то

предельный цикл является абсолютно неустойчивым (репеллером).

1.1.5. Устойчивость квазипериодических решений. Пусть частное решение 0 ( )x t

системы (1.6) соответствует квазипериодическим колебаниям с k

независимыми частотами j , 1,2,...,j k . То есть справедливо следующее: 0 0

1 2

0

1 2

( ) ( ( ), ( ),..., ( ))

( ( ) 2 , ( ) 2 ,..., ( ) 2 ),

k

k

x t x t t t

x t m t m t m

(1.24)

где m – произвольное целое число, ( )j jt t , 1,2,...,j k . Устойчивость

квазипериодического решения характеризуется спектром ЛХП. Матрица

линеаризации 0( )A t

является квазипериодической, поэтому показатели Ляпунова

строго определены только в пределе t . В случае эргодических

квазипериодических колебаний периодичности решения по всем аргументам j

соответствует наличие k нулевых показателей в спектре ЛХП. Если все другие

показатели отрицательные, то k -мерная тороидальная гиперповерхность (мы

будем использовать для простоты термин « k -мерный тор»), на которой лежит

исследуемая квазипериодическая траектория, является аттрактором. Если все

отличные от нуля показатели положительны, то k -мерный тор будет

репеллером. Тор является седловым, если спектр ЛХП траекторий на торе

помимо нулевых показателей содержит как положительные, так и отрицательные

показатели.


22

Устойчивость хаотических решений. Хаотическая траектория, независимо от

того, принадлежит она хаотическому аттрактору, хаотическому тору или седлу,

всегда имеет хотя бы одно направление неустойчивости. Поэтому спектр ЛХП

хаотического решения всегда имеет по крайней один положительный

показатель Ляпунова. Неустойчивость фазовых траекторий на хаотическом

аттракторе и притягивающий характер предельного множества не противоречат

друг другу. Фазовые траектории, стартуют из близких начальных точек в

бассейне притяжения, стремятся на аттрактор и в то же время экспоненциально

расходятся на нем. Следовательно, хаотические траекторий на аттракторе

неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону.

Для хаотических аттракторов типична сложная геометрическая структура, в

связи с чем они были названы странными. Примером странного аттрактора

может служить предельное множество, возникающее в так называемом

отображении подковы (отображении Смейла) [40]. Единичный квадрат

снимается по одному направлению и растягивается по другому, при этом

площадь уменьшается. Полученная лента изгибается в форме подковы и снова

вкладывается в первоначальный квадрат, как показано на рис. 1.7. Такая

процедура повторяется много раз. В пределе формируется множество с нулевой

площадью, которое не является счетным множеством точек или линий. Оно

имеет в своем сечении канторову структуру и характеризуется дробной

размерностью Хаусдорфа.

1.2. Бифуркации динамических систем [40]

Как было сказано выше, качественные преобразования фазового портрета ДС

называются бифуркациями, которые происходят при определенных условиях.

Число условий определяет коразмерность бифуркаций. Ниже рассмотрим

локальные бифуркации состояний равновесия.

Рис. 1.7 – Формирование странного аттрактора в отображении подковы [40]

1.2.1. Седло-узловые бифуркации коразмерности один. Бифуркация

коразмерности один может быть описана с использованием только одного

управляющего параметра . Предположим, что при * система имеет два

состояния равновесия: устойчивый узел Q и седло S , показанные на рис. 1.8,а.

При * узел и седло сливаются, образуя негрубое состояние равновесия

называемое седло-узлом (рис. 1.8,б). Оно исчезает при * (рис. 1.8,в).

Поскольку аттрактор (узел) в результате бифуркации исчезает, границы

бассейнов притяжения качественно меняются. Следовательно, данная


23

бифуркация является кризисом. Простейшей модельной системой для анализа

такой бифуркации служит уравнение первого порядка 2x x . (1.25)

Считается, что оно описывает поведение точки на неустойчивом

многообразии седла, а устойчивое направление исключается из рассмотрения.

В такой одномерной модели седлу соответствует неустойчивое состояние

равновесия. При этом 0

1,2x координаты состояний равновесия, а 1,2 2 –

собственные значения матрицы линеаризации в точках равновесия. Таким

образом, 0

1x – устойчивое, а 0

2x – неустойчивое состояния равновесия. При 0

имеем 0 0

1 2 0x x , собственное значение в этой точке равно нулю. Единственное

бифуркационное условие – ( ) 0 .

1.2.2. Бифуркация коразмерности два – трехкратное равновесие. Эта

бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия: двух узлов 1Q , 2Q и

седла 0Q , расположенного между ними. В результате остается один устойчивый

узел в точке 0Q (рис. 1.9). Коразмерность бифуркации равна двум, и для ее

рассмотрения требуется изменять два параметра. Модельная система для такой

бифуркации может быть записана в виде 3

1 2x x x . (1.26)

а) б) в)

Рис. 1.8 – Качественная иллюстрация седло-узловой бифуркации

коразмерности один [40]

а) б)

Рис. 1.9 – Иллюстрация бифуркации «трехкратное равновесие»: два устойчивых

узла и седло до бифуркации (а) и один устойчивый узел после бифуркации (б)

[40]

Анализ состояний равновесия показывает, что при 2 0 , вне зависимости от

значения 1 0 , у системы имеется единственное состояние равновесия 0Q с

собственным значением 0

0Q, которое является асимптотически устойчивым.

При 2 0 существует область значений параметра 1 (заштрихованная область


24

на бифуркационной диаграмме, изображенной на рис. 1.10,а), в которой система

имеет три состояния равновесия: 0Q , 1Q и 2Q . Одно из них, 0Q , является

неустойчивым с 0

0Q, а два других, 1Q и 2Q , устойчивы с

1,20Q. Область

стабильности на бифуркационной диаграмме (рис. 1.10) ограничена линиями 1l и

2l , которые соответствуют седло-узловым бифуркациям узлов 1,2Q с седлом 2Q .

Линии 1l и

2l сходятся к точке 1 2( 0)A , называемой точкой сборки или

каспом. В этой точке одновременно выполняются два бифуркационных условия:

1 1 2( , ) 0Q и

2 1 2( , ) 0Q. Поэтому бифуркация трехкратного равновесия имеет

коразмерность два. В фазо-параметрическом пространстве системы (1.26) имеет

место структура, называемая сборкой (рис. 1.10,б) [4]. В области сборки верхний

и нижний листы бифуркационной диаграммы соответствуют устойчивым

состояниям равновесия, а центральный – неустойчивому.

а) б)

Рис. 1.10 – Иллюстрация бифуркации трехкратного равновесия:

бифуркационная диаграмма (а) и фазо-параметрическая диаграмма (б) [40]

1.2.3. Бифуркация Андронова-Хопфа. В ДС с размерностью 2N возможна

такая ситуация, когда пара комплексно-сопряженных собственных значений

положения равновесия типа «устойчивый фокус» пересекает мнимую ось. Это

означает, что выполнено бифуркационное условие 1,2Re 0 . Пусть при этом

1,2Im 0 . Этот случай отвечает бифуркации Андронова-Хопфа [41], иначе

называемой бифуркацией рождения (исчезновения) предельного цикла. Такая

бифуркация была впервые исследована А.А. Андроновым для случая 2N и

затем обобщена Е. Хопфом на системы с произвольным числом измерений N .

Существуют два различных вида бифуркаций Андронова-Хопфа:

суперкритическая или мягкая бифуркация и субкритическая или жесткая

бифуркация. Суперкритическая бифуркация является внутренней, а

субкритическая бифуркация соответствует кризису аттрактора. Бифуркация

Андронова-Хопфа определяется единственным бифуркационным условием и

поэтому имеет коразмерность один. Суперкритическая бифуркация Андронова-

Хопфа проиллюстрирована на рис. 1.11,а-в и состоит в следующем.

При * существует устойчивый фокус F , который в точке бифуркации * превращается в центр и имеет пару чисто мнимых собственных значений


25

1,2 0j . При * фокус F становится неустойчивым ( 1,2Re 0 ), и вблизи него

рождается устойчивый предельный цикл 0C .

Субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа происходит, когда при *

неустойчивый (в общем случае для 2N седловой) предельный цикл 0C

«стягивается» в точку фокуса F , который был устойчивым при * . В

результате цикл исчезает, а фокус становится неустойчивым (рис. 1.11,г-е).

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 1.11 – Суперкритическая (а-в) и субкритическая (г-е)

бифуркации Андронова-Хопфа [40]

Модельная система для бифуркации Андронова-Хопфа имеет следующий

вид: 2

0 1( )a j a L a a , 0 0 , 1 0L , (1.27)

где a – мгновенная комплексная амплитуда. Величина 1L называется первой

ляпуновской величиной состояния равновесия. Если 1 0L , бифуркация является

суперкритической. Если 1 0L , то бифуркация — субкритическая. Для

вещественной мгновенной амплитуды и мгновенной фазы колебаний из (1.27)

получаем 3

1A A L A , 0 , (1.28)

где A a и Arg( )a . Из уравнения для стационарной амплитуды 3

1 0A L A

получаем значения, соответствующие фокусу ( 0FA ) и предельному циклу

( 0 1A L ). Предельный цикл существует при условии, что 1 0L . Величина 0

определяет его период 02 /T . Анализ линеаризованного уравнения для

возмущения амплитуды позволяет найти собственные значения для решений

FA A и 0A A : 2

,0 1 ,03F FL A . Отсюда видно, что для 1 0L цикл существует и

устойчив при 0 , а фокус устойчив при 0 и неустойчив при 0 . В случае

1 0L при 0 существуют неустойчивый цикл и устойчивый фокус, тогда как

при 0 – только неустойчивый фокус. Характер бифуркации в особом


26

(вырожденном) случае 1 0L нуждается в дополнительном анализе с учетом

высших степеней .

1.2.4. Бифуркации предельных циклов. Локальные бифуркации

коразмерности один невырожденного предельного цикла, у которого имеется

только один равный единице мультипликатор. Отбросим единичный.

мультипликатор и расположим оставшиеся мультипликаторы в порядке

убывания абсолютных значений. В этом случае бифуркации предельного цикла

связаны с одним действительным или двумя комплексно-сопряженными

старшими мультипликаторами 1,2 . Поскольку бифуркация коразмерности один

предполагает только одно бифуркационное условие соответствующее

равенству 1 1, то возможны лишь три различных типа бифуркаций: *

1( ) 1 , *

1( ) 1 и *

1,2( ) exp( )j , где * – бифуркационное значение параметра. Для

анализа бифуркаций предельного цикла целесообразно использовать сечение

Пуанкаре. Неподвижные точки в отображении последоваиия характеризуются

теми же самыми мультипликаторами, что и исходный предельный цикл, а

переход к сечению делает анализ более удобным [40].

1.2.5. Седло-узловая бифуркация. При достижении параметром

бифуркационного значения * мультипликатор 1 устойчивого цикла

становится равным +1. Рисунок 1.12 иллюстрирует эту бифуркацию для случая

трехмерного фазового пространства ( 3N ). При * существуют два

предельных цикла: устойчивый цикл 1C и седловой цикл 2C (рис. 1.12,а). Им

отвечают устойчивая 1Q и неустойчивая 2Q неподвижные точки в сечении

Пуанкаре. Условие 1 1 определяет бифуркацию, подобную седло-узловой

бифуркации состояний равновесия, рассмотренной выше.

В бифуркационной точке * происходит слияние циклов 1C и 0C , в

результате чего возникает негрубая замкнутая траектория C типа седло-узел

(см. рис. 1.12,б), которая исчезает при * . Изменение параметра в

обратном направлении приводит к рождению пары циклов 1C и 2C из сгущения

фазовых траекторий.

1.2.6. Бифуркация удвоения периода. В бифуркационной точке * .

мультипликатор *

1( ) становится равным 1 , причем */ 0d d . Бифуркация,

определяемая таким условием, называется бифуркацией удвоения периода. Эта

бифуркация может быть суперкритической (внутренней или субкритической

(кризисом).


27

а) б)

Рис. 1.12 – Седло-узловая бифуркация предельных циклов [40]

Суперкритическая бифуркация удвоения происходит следующим образом:

пусть при * существует устойчивый предельный цикл 0C с периодом 0T . При * цикл 0C становится седловым, и в его окрестности рождается устойчивый

предельный цикл C . С периодом T , близким к удвоенному 0T ( 02T T ). Фазовые

траектории 0C и C , а также их сечение Пуанкаре вблизи точки бифуркации

изображены на рис. 1.13,а. Рисунок 1.13,б показывает, как меняется форма

колебаний одной из динамических переменных при прохождении точки

бифуркации.

Когда происходит субкритическая бифуркация удвоения периода,

устойчивый цикл 0C и седловой цикл C с удвоенным периодом, существующий

при * , сливаются в точке бифуркации, после чего в фазовом пространстве

остается только цикл 0C , ставший седловым.

1.2.7. Бифуркация рождения (исчезновения) двумерного тора (бифуркации

Неймарка). Эта бифуркация происходит, когда пара комплексно-сопряженных

мультипликаторов предельного цикла выходит на единичную окружность. В

бифуркационной точке * имеет место следующее соотношение: *

1,2 ( ) exp( )j , где [0,2 ] , и *( ) 0, / 2, / 3 (исключены так называемые сильные

резонансы). Данная бифуркация также может быть суперкритической

(внутренней) и субкритической (кризисом). В зависимости от характера

бифуркации могут возникать различные ситуации. B случае суперкритической

бифуркации из устойчивого предельного цикла 0C рождается устойчивый

двумерный ( 2D ) тор 2T .


28

а) б)

Рис. 1.13 – Суперкритическая бифуркация удвоения периода. Циклы 0C и C и

их сечение Пуанкаре(а); форма колебаний до бифуркации (б) (кривая 1) и после

бифуркации (б) (кривая 2) [40]

Цикл 0C в результате бифуркации теряет устойчивость и становится

седловым. Субкритическая бифуркация имеет место, когда неустойчивый

(седловой) тор 2T «стягивается» к устойчивому циклу 0C , который в этот момент

теряет устойчивость. Рождение тора из предельного цикла изображено на

рис. 1.14,а. Вблизи точки бифуркации * вектор малого возмущения y цикла

0C вращается вдоль траектории 0C . В то же время, величина возмущения

остается неизменной, так как выполняется условие *

1,2 ( ) 1 . Таким образом,

изображающая точка в сечении Пуанкаре движется вдоль замкнутой кривой L ,

называемой инвариантной окружностью. Величина ( ) / 2 называется

числом вращения на торе 2T (или на соответствующей инвариантной

окружности).

Если число вращения *( ) принимает иррационально значение, любая

траектория C на торе незамкнута и возникший тор является эргодическим

(рис. 1.14,б). Если *( ) /p q , где p и q – любые положительные целые числа, то

говорят, что на торе имеет место резонанс порядка /p q . Траектория замыкается,

образуя предельный цикл, лежащий на поверхности тора. Пример резонанса на

торе показан на рис. 1.14,в.

а) б) в)

Рис. 1.14 – Бифуркация рождения тора из предельного цикла 0C (а) траектория

на торе в окрестности неустойчивого цикла 0C , (б) эргодический тор и (в) резонанс

на торе [40]


29

Остальные бифуркации (нелокальные бифуркации, гомоклинические

траектории и структуры, петля сепаратрисы седлового состояния равновесия,

петля сепаратрисы седло-узел, гомоклиническая траектория седлового

предельного цикла и др.) подробно рассмотрены в [40].

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Смоделируйте модифицированную систему Ван-дер-Поля [42]: 2 3( ) 0x x x x x .

Получите аттрактор системы до и после бифуркации Андронова-Хопфа и

исследуйте его параметры.

2. Смоделируйте автоколебательный осциллятор Богданова-Такенса [42]: 2( ) 0x x x a x .

Получите бифуркацию седло-узел и бифуркацию Андронова-Хопфа. Наидите

общую точку этих бифуркаций, которая носит название бифуркация Богданова-

Такенса.

3. Смоделируйте дискретизированную систему осциллятора Богданова-

Такенса [42]

Более подробную информацию о решении можно получить из пособия [42].


30

Глава 2. Катастрофы, аттракторы и кризис

2.1. Краткие сведения из теории катастроф [4,5,43]

Основоположником теории катастроф является Р. Том. Особенности,

бифуркации и катастрофы – термины, описывающие возникновения

дискретных структур из гладких, непрерывных.

За последние 50 лет теория особенностей достигла высокого технического

уровня, главным образом благодаря работам Х. Уитни (1955), Р. Тома (1959) и

Дж. Мазера (1965). Сейчас это – новый мощный математический аппарат,

имеющий широкую область приложений в естествознании и технике (в

особенности в комбинации с теорией бифуркаций А. Пуанкаре и далеко

развитой А.А. Андроновым).

Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких

отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и

Андронова. К. Зиман предложил называть совокупность теории особенностей и

ее приложений теорией катастроф.

Теория особенностей — это грандиозное обобщение исследования функций на

максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т. е.

наборами нескольких функций нескольких переменных. Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется в широком смысле

для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в

виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. В [43]

дано несколько другое определение теории катастроф, согласно которому,

данная теория – наука о том, каким образом состояния равновесия

потенциальной функции (энергии) изменяются при изменении управляющих

параметров.

2.1.1. Теория особенностей Уитни. Отображение поверхности на

плоскость – это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости.

Если точка поверхности задана координатами ( 1 2,x x ) на поверхности, а точка

плоскости координатами ( 1 2,y y ) на плоскости, то отображение задается парой

функций 1y = 1f ( 1 2,x x ), 2y = 2f ( 1 2,x x ). Отображение называется гладким, если эти

функции гладкие (т. е. дифференцируемые достаточное число раз, например

многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех

сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено

гладкими поверхностями. Видимые контуры тел – это проекции

ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза.


31

Рис. 2.1 – Складка

проектирования сферы на

плоскость [4]

Рис. 2.2 – Сборка

проектирования

поверхности на

плоскость[4]

Уитни заметил, что в случаях «общего положения», то есть для всех случаев

кроме некоторых исключительных, встречаются особенности лишь двух видов.

Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или

направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов

устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

Примером особенности первого вида – она названа складкой Уитни – является

особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках

экватора (рис. 2.1). В подходящих координатах это отображение задается

формулами 2

1 1 2 2,y x y x . Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку

в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего

удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы

всюду встречаем еще одну особенность, но практически никогда ее не

замечаем.

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и получается она при

проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис. 2.2. Эта

поверхность задана формулой 3

1 1 1 2y x x x в пространстве с координатами

( 1 2 1, ,x x y ) и проектируется на горизонтальную плоскость ( 2 1,x y ).

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами 3

1 1 1 2y x x x , 2 2y x .

На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая

парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит

горизонтальную плоскость на две части; меньшую и большую. Точки

меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируется три точки

поверхности), точки большей части – лишь по одному, точки кривой – по

два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех)

сливаются и исчезают (в этом месте особенность – складка), при подходе к

острию сливаются все три прообраза.


32

Рис. 2.3 – Видимый

контур тора [4]

Рис. 2.4 – Четыре сборки

проектирования тора на

плоскость [4]

Уитни доказал, что сборка устойчива, т.е. всякое близкое отображение

имеет в подходящей близкой точке подобную же особенность (т.е. такую

особенность, что продеформированное отображение в подходящих координатах

в окрестности указанной точки записывается теми же формулами, какими

записывалось исходное отображение в окрестности исходной точки). Уитни

также доказал, что всякая особенность гладкого отображения поверхности на

плоскость после подходящего малого шевеления рассыпается на складки и

сборки.

Таким образом, видимые контуры гладких тел общего положения имеют

точки возврата в местах, где проектирования имеют сборки и не имеют других

особенностей: приглядевшись, мы можем найти эти точки возврата в чертах

каждого лица или тела. Например, поверхность гладкого тора (скажем, надутой

шины). Тор обычно рисуют так, как это изображено на рис. 2.3.

Если бы тор был прозрачным, мы увидели бы видимый контур,

изображенный на рис. 2.4: соответствующее отображение тора на плоскость

имеет четыре сборки. Таким образом, концы линии видимого контура на

рис. 2.3 – это точки возврата, в этих точках линия видимого контура имеет

полукубическую особенность.

После основополагающей работы Уитни, теория особенностей бурно

развивалась, и сейчас это одна из центральных областей математики, в

которой перекрещиваются пути, связывающие самые абстрактные разделы

математики (дифференциальную и алгебраическую геометрию и топологию,

теорию групп, порожденных отражениями, коммутативную алгебру, теорию

комплексных пространств и т. д.) с самыми прикладными (теория устойчивости

движения динамических систем, теория бифуркаций положений равновесия,

геометрическая и волновая оптика и т. д.).

2.1.2. Применение теории Уитни. Машина катастроф. Поскольку

гладкие отображения встречаются повсеместно, повсюду должны встречаться

и их особенности. А поскольку теория Уитни дает значительную информацию

об особенностях отображений общего положения, можно попытаться

использовать эту информацию для изучения большого количества

разнообразных явлений и процессов во всех областях естествознания. В этой

простой идее и состоит вся сущность теории катастроф.

Во многих упругих конструкциях, при одинаковых внешних нагрузках

возможно несколько положений равновесия.


33

Рис. 2.5 – Машина катастроф Зимана [4]

Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно

закреплены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза. Наряду

с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, возможно

также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста.

При увеличении груза в некоторый момент происходит «катастрофа» или

«хлопок»: линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория

особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания

прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд

приспособлений: одно из простейших, называемое машиной катастроф

Зимана, изображено на рис. 2.5.

Для этого возьмем доску (А) (см. рис. 2.5) и, вырезав из картона диск (В),

прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно

вращаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е)

– только в доску. Чтобы закончить сборку машины, нужно еще две ленты

из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (Н) и лист бумаги (I).

После того, как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с

карандашом резинками, мы ставим острие карандаша в некоторой точке на

листе бумаги и тем натягиваем резинки. Диск устанавливается в некотором

положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет

поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия карандаша

малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу», т. е. скачок

диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких

«катастроф», то получается «кривая катастроф» (K).

Оказывается, что полученная кривая катастроф сама имеет четыре точки

возврата. При пересечении кривой катастроф скачок может происходить, а

может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути острие

карандаша обходило точки возврата кривой катастроф.

Состояние машины катастроф описывается тремя числами. Действительно,

положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются

управляющими параметрами). Положение диска определяется еще одним

числом (углом поворота), называемым также внутренним параметром

системы. Если все три числа заданы, то определены степени растяжения

резинок и, следовательно, определена потенциальная энергия всей системы.


34

Рис. 2.6 – Потенциальная

энергия машины катастроф

[4]

Рис. 2.7 – Поверхность

равновесий машины

катастроф [4]

Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимизировать (по меньшей

мере локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная

энергия – функция от положения диска, т. е. функция, заданная на

окружности.

Эта функция может иметь один или несколько минимумов в зависимости от

значений управляющих параметров (рис. 2.6,а). Если при изменении

управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не

происходит. Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров,

для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным

максимумом (рис. 2.6,б). После скачка диск оказывается в положении,

отвечающем другому локальному минимуму (рис. 2.6,в).

Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины. Состояния, при

которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую

поверхность. Будем проектировать эту поверхность на плоскость управляющих

параметров вдоль оси внутреннего параметра (рис. 2.7). Это проектирование

имеет складки и сборки. Проекция точек складок и есть кривая катастроф.

На рис. 2.7 ясно видно, почему переход управляющих параметров через

линию катастроф иногда вызывает, а иногда не вызывает скачок (это

зависит от того, какой части нашей поверхности отвечает положение диска).

Пользуясь этим рисунком, можно переходить с одного места поверхности

равновесий на другое без скачков.

Схема большинства применений теории катастроф такая же, как в описанном

примере. Предполагается, что изучаемый процесс описывается при помощи

некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояние

равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений в

этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость

управляющих параметров может иметь особенности.


35

Рис. 2.8 – Фазовая

плоскость модели хищник-

жертва [4]

Рис. 2.9 –

Однопараметрическое

семейство как кривая в

пространстве систем [4]

Предполагается, что это – особенности общего положения. В таком случае

теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», т.е. перескоков из

одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих

параметров.

2.1.3. Бифуркации положений равновесия. Эволюционный процесс

математически описывается векторным полем в фазовом пространстве. Точка

фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой

точке вектор указывает скорость изменения состояния.

В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки

называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением

времени). На рис. 2.8 изображено фазовое пространство системы, описывающей

взаимоотношение хищника и жертвы (скажем, щук и карасей). Фазовое

пространство – положительный квадрант плоскости. По оси абсцисс отложено

число карасей, по оси ординат – щук. Точка P – положение равновесия.

Точка A соответствует равновесному количеству карасей при количестве

щук, меньшем равновесного. Видно, что с течением времени в системе

устанавливаются колебания и равновесное состояние неустойчиво (рис. 2.8).

Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой

плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.

Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными

состояниями процесса, называются фазовыми кривыми. В окрестности точки, не

являющейся положением равновесия, разбиение фазового пространства на

фазовые кривые устроено также, как разбиение на параллельные прямые:

семейство фазовых кривых можно превратить в семейство параллельных

прямых гладкой заменой координат. В окрестности положения равновесия

картина сложнее. Как показал еще А. Пуанкаре, поведение фазовых кривых в

окрестности положения равновесия на фазовой плоскости в системе общего

положения бывает устойчивым (фокус или притягивающий узел на фазовом

портрете) и неустойчивым (седло или отталкивающий узел на фазовом

портрете).


36

Рис. 2.10 – Кривая

равновесий

однопараметрического

семейства систем [4]

Рис. 2.11 – Превращение

нетипичных бифуркаций в

типичные при малом

шевелении семейства [4]

Все более сложные случаи превращаются в указанные при общем малом

изменении системы. Рассмотрим пространство всех систем (рис. 2.9),

разделенное на области, образованные системами общего положения.

Поверхности раздела отвечают вырожденным системам. При малом изменении

параметров вырожденная система становится невырожденной.

Однопараметрическое семейство систем изображено на рис. 2.9 кривой. Эта

кривая может трансверсально (под ненулевым углом) пересекать границу

раздела разных областей невырожденных систем.

Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении параметра

систему малым шевелением можно превратить в невырожденную, этого нельзя

сделать одновременно при всех значениях параметра: всякая кривая, близкая к

рассматриваемой, пересекает границу раздела при близком значении параметра

(вырождение, устраненное малым шевелением при данном значении

параметра, вновь возникает при некотором близком значении).

Итак, вырожденные случаи неустранимы, если рассматривается не

индивидуальная система, а целое семейство. Если семейство

однопараметрическое, то неустранимы лишь простейшие вырождения,

изображаемые границами коразмерности один (т.е. задающимися одним

уравнением) в пространстве всех систем. От более сложных вырожденных

систем, образующих множество коразмерности два в пространстве всех систем,

можно избавиться малым шевелением однопараметрического семейства.

Если мы интересуемся двухпараметрическим семейством, то можно не

рассматривать вырожденных систем, образующих множество коразмерности

три и т.д.

Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия

их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем

вырождения коразмерности один, затем – два и т. д. При этом исследование

вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент

вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда

параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.


37

Рис. 2.12 – Седло-узел: типичная локальная бифуркация в

однопараметрическом семействе [4]

К настоящему времени решенным можно считать лишь вопрос о перестройках

фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в

однопараметрических семействах общего положения. Случай двух параметров

уже выходит за рамки возможностей сегодняшней науки.

Результаты исследования общего однопараметрического семейства

суммированы на рис. 2.10–2.12. На рис. 2.10 изображено однопараметрическое

семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по

оси абсцисс отложено значение параметра , по оси ординат – состояние

процесса x ).

Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при

всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую ( на рис. 2.10,

в более общем случае размерность многообразия состояний равновесия равна

числу параметров).

В частности, это означает, что изображенные на рис. 2.11 слева бифуркации в

семействе общего положения не встречаются: при малом изменении

семейства превращается в гладкую кривую одного из изображенных на

рис. 2.11 справа типов.

Проектирование кривой на ось значений параметра в случае

однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при

большем числе параметров появляются и более сложные особенности теории

Уитни: например, в общих двухпараметрических семействах проектирование

поверхности равновесий па плоскость значений параметров может иметь

точки сборки, где сливаются три положения равновесия).

Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или

бифуркационные значения параметра (критические значения проекции a ,b , c , d

на рис. 2.10). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от

параметров. При подходе параметра к бифуркационному значению положение

равновесия «умирает», слившись с другим (или же «из воздуха» рождается

пара положений равновесия).

Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно

устойчиво, другое неустойчиво.


38

Рис. 2.13 –

Эволюция

волнового

фронта [4]

Рис. 2.14 –

Особенности

зквидистант

эллипса [4]

Рис. 2.15 –

Ласточкин хвост

[4]

В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с

бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от

бифуркационного на , оба близких положения равновесия удалены друг от

друга на расстояние порядка .

На рис. 2.12 изображена перестройка семейства фазовых кривых на

плоскости в общем однопараметрическом семействе. Устойчивое положение

равновесия («узел») сталкивается при изменении параметра с неустойчивым

(«седлом»), после чего оба исчезают. В момент слияния на фазовой плоскости

наблюдается картина необщего положения («седло-узел»).

На рис. 2.12 видно, что перестройка, в сущности, одномерная: вдоль оси

абсцисс происходят те же явления, что на оси x на рис. 2.10, а вдоль оси

ординат перестройки нет вовсе. Таким образом, перестройка через седло-узел

получается из одномерной перестройки «надстраиванием» оси ординат.

Оказывается, вообще все перестройки положений равновесия в общих

однопараметрических системах получаются из одномерных перестроек

аналогичным надстраиванием.

Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в

какой-либо реальной системе (скажем, экономической, экологической или

химической), то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия

система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим:

при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой

окрестности исчезает. Скачки этого рода и привели к термину «теория

катастроф».

2.1.4. Каустики, волновые фронты и их метаморфозы. Один из наиболее

важных выводов теории особенностей состоит в универсальности нескольких

простых образов вроде складки, сборки и точки возврата, которые должны

встречаться повсеместно и которые полезно научиться распознавать. Кроме

перечисленных особенностей, часто встречаются еще несколько образов,

которые также получили собственные имена: «ласточкин хвост», «пирамида»,

«кошелек» и др.

Рис. 2.16 – Типичная перестройка волнового фронта на плоскости [4]


39

Пусть в какой-либо среде распространяется некоторое возмущение

(например, ударная волна, свет или эпидемия).

Для простоты начнем с плоского случая. Допустим, в начальный момент

времени, возмущение имелось на кривой (рис. 2.13), и пусть скорость его

распространения равна 1. Чтобы узнать, где будет возмущение через время t ,

нужно отложить по каждой нормали к кривой отрезок длины t . Получающаяся

кривая называется волновым фронтом.

Даже если начальный волновой фронт не имел особенностей, через

некоторое время особенности начнут возникать. Например, при

распространении возмущения внутрь эллипса, возникают особенности,

изображенные на рис. 2.14. Эти особенности устойчивы (неустранимы малым

шевелением начального фронта). Для гладкого начального фронта общего

положения с течением времени будут образовываться лишь стандартные

особенности такого же типа.

Все иные особенности (например, особенность в центре сжимающейся

окружности) при малом шевелении начального фронта рассыпаются на

несколько особенностей стандартного вида.

В трехмерном пространстве на гладком волновом фронте общего положения с

течением времени возникают лишь ребра возврата и стандартные особенности

типа «ласточкин хвост», изображенные на рис. 2.15. Все более сложные

особенности при малом шевелении фронта рассыпаются на соединенные

ребрами возврата и линиями самопересечения ласточкины хвосты.

Ласточкин хвост можно определить как множество всех точек ( , ,a b c ), таких,

что многочлен 3 2x ax bx c имеет кратный корень. У этой поверхности есть

ребро возврата ( B на рис. 2.15) и линия самопересечения ( C на рис. 2.15).

Ласточкин хвост можно получить из пространственной кривой 2A t , 3B t , 4C t . Он образован всеми ее касательными. Рассмотрим пересечения

ласточкиного хвоста параллельными плоскостями общего положения (см.

рис. 2.16).

Эти пересечения являются плоскими кривыми. При поступательном движении

плоскости указанные кривые перестраиваются в момент, когда плоскость

проходит черев вершину хвоста. Перестройка (метаморфоза), происходящая

при этом, в точности такая же, как метаморфоза волнового фронта на плоскости

(например, при распространении возмущения внутрь эллипса).

Мы можем описать метаморфозы волновых фронтов на плоскости

следующим образом. Рассмотрим наряду с основным пространством (в данном

случае плоскостью) еще пространство-время (в данном случае трехмерное).


40

Рис. 2.17 – Типичные перестройки волновых фронтов в трехмерном

пространстве [4]

Распространяющийся на плоскости волновой фронт заметает в пространстве-

времени некоторую поверхность. Оказывается, саму эту поверхность всегда

можно рассматривать как волновой фронт в пространстве-времени («большой

фронт»). В случае общего положения особенностями большого фронта будут

ласточкины хвосты, ребра возврата и самопересечения, расположенные в

пространстве-времени общим образом относительно изохрон (образованных

«одновременными» точками пространства-времени). Теперь уже нетрудно

сообразить, какие метаморфозы могут испытывать мгновенные волновые

фронты на плоскости в случае общего положения; это перестройки сечений

большого фронта изохронами.

Изучение метаморфоз волнового фронта при его распространении в

трехмерном пространстве сводится таким же образом к исследованию сечений

большого (трехмерного) волнового фронта в четырехмерном пространстве

времени трехмерными изохронами. Возникающие метаморфозы изображены на

рис. 2.17.

Наряду с волновыми фронтами процесс распространения возмущений

описывается при помощи систем лучей. Например, распространение

возмущений внутрь эллипса можно описать при помощи семейства внутренних

нормалей к эллипсу (рис. 2.18). Это семейство имеет огибающую. Огибающая

семейства лучей называется каустикой (т. е. «жгущей», так как в этих

местах свет концентрируется). Каустика хорошо видна на внутренней

поверхности чашки, освещенной солнцем.

Каустика эллиптического фронта имеет четыре точки возврата. Эти

особенности устойчивы: близкий к эллипсу фронт определит каустику с

такими же особенностями. Все более сложные особенности каустик при малом

шевелении рассыпаются на стандартные особенности: точки возврата

(локальное уравнение – 2 3x y ) и точки самопересечения.


41

а) б)

в)

Рис. 2.18 –

Каустика эллипса

[4]

Рис. 2.19 – Типичные особенности

каустик в трехмерном пространстве

[4]

Система нормалей к поверхности в трехмерном пространстве также имеет

каустику. Эту каустику можно построить, отложив на каждой нормали к

поверхности радиус кривизны (поверхность, вообще говоря, имеет в

каждой точке два различных радиуса кривизны, так что на нормали

получается две точки каустики).

Нелегко представить себе, как выглядят каустики даже простейших

поверхностей, например трехосного эллипсоида.

Каустики общего положения в трехмерном пространстве имеют лишь

стандартные особенности. Эти особенности называются «ласточкин хвост»,

«пирамида» и «кошелек» (см. рис. 2.19). Пирамида имеет три ребра возврата,

касающиеся в вершине. Кошелек имеет одно ребро возврата и состоит из двух

симметричных носов лодки, пересекающихся по двум линиям. Эти

особенности устойчивы.

Все более сложные особенности каустик в трехмерном пространстве при малом

шевелении рассыпаются на эти стандартные элементы.

Рассмотрим для одного и того же начального фронта (например, эллипса на

плоскости) его каустику и фронты распространяющегося возмущения.

Нетрудно понять, что особенности распространяющегося фронта скользят по

каустике и заполняют ее.

Например, метаморфоза волнового фронта 5 на рис. 2.17 соответствует

ласточкину хвосту на каустике. Ребро возврата движущегося в трехмерном

пространстве волнового фронта заметает поверхность каустики (ласточкин

хвост). Однако это разбиение каустики на кривые – не то разбиение

поверхности ласточкиного хвоста на плоские кривые, с которым мы встречались

выше (на рис. 2.17). Ребро возврата движущегося фронта не имеет

самопересечений. Через точку линии самопересечения каустики ребро возврата

движущегося фронта проходит два раза. Интервал времени между этими

прохождениями очень мал (порядка 5 2 , где – расстояние от вершины

хвоста).

Точно так же при перестройках 3 и 4 (см. рис. 2.17) ребра возврата

движущихся фронтов заметают пирамиду в кошелек.


42

Рис. 2.20 – Типичные перестройки каустик на плоскости [4]

Рис. 2.21 – Перестройка

«губы»: рождение

видимого контура [4]

Рис. 2.22 – Перестройка

плоского сечения

поверхности с ребром

возврата [4]

Рис. 2.23 – Перестройка «верблюд» [4]

Если исходный фронт движется (зависит от параметра), то его каустика

также движется и при своем движении способна испытывать метаморфозы.

Метаморфозы движущихся каустик на плоскости можно изучить, рассматривая

сечения большой каустики в пространстве-времени, подобно тому, как мы это

делали для фронтов.

Полученные метаморфозы изображены на рис. 2.20 (это метаморфозы плоских

сечений ласточкиного хвоста, кошелька и пирамиды.) Все более сложные

метаморфозы рассыпаются на последовательности перечисленных при малом

шевелении однопараметрического семейства.

Обратим внимание на метаморфозу 1 рождения каустики «из воздуха»,

Новорожденная каустика имеет вид серпика с полукубическими остриями из

концах («губы», по терминологии Р. Тома).


43

Рис. 2.24 – Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия А

[4]

Аналогичным образом рождается «из воздуха» видимый контур поверхности

при изменении направления проектирования (рис. 2.21). Глядя на бугор

сверху, мы не видим контура. Когда луч зрения наклоняется, появляется

вначале точечная особенность, которая затем быстро растет (пропорционально

0t t , где 0t – момент появления особенности) и имеет вид «губ».

Описанную здесь перестройку можно реализовать как перестройку плоского

сечения поверхности с ребром возврата при поступательном движении

плоскости (в момент перестройки плоскость касается ребра возврата

(рис. 2.22)).

Метаморфозу 3 также можно увидеть на видимом контуре, для этого

достаточно посмотреть на двугорбого верблюда, проходя мимо него (рис. 2.23).

В момент метаморфозы профиль имеет такую же особенность, как кривая 3 4y x .

Все перестройки видимых контуров поверхностей в общих

однопараметрических семействах исчерпываются первыми тремя

изображенными на рис. 2.20,1-3.

Метаморфозы каустик, движущихся в трехмерном пространстве, получаются

сечениями больших (трехмерных) каустик в четырехмерном пространстве-

времени трехмерными изохронами.

Эти метаморфозы изображены на рис. 2.24 и 2.25. Одна из этих

метаморфоз (1) описывает рождение новой каустики «из воздуха».


44

Рис. 2.25 – Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия D

[4]

Мы видим, что вновь родившаяся каустика имеет вид блюдца с

заостренными краями. Через время t после рождения длина и ширина блюдца

порядка t , глубина порядка t , а толщина порядка t t .

Каустика может сделаться видимой, если на пути светового пучка имеется

рассеивающая среда (пыль, туман). В.М. Закалюкин предположил, что каустики

этого вида наблюдатели описывают как летающие блюдца.

Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают

поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения,

соответствующих различным метаморфозам рис. 2.24 и 2.25, изображены на

рис. 2.26.

Как известно, лучи описывают распространение волн (скажем, световых)

лишь в первом приближении.

При более точном волновом описании появляется новый существенный

параметр – длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта

длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).

Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще

больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным al , где l –

длина волны, а показатель а – рациональное число, зависящее от характера

особенности.

Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их

перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже

кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад.


45

Рис. 2.26 – Типичные особенности бикаустик [4]

Рис. 2.27 – Разрыв оптимального управления [4]

Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не

тривиален и связан с такими разделами математики, как классификации

простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос,

теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д. Он даже связан

с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом

пространстве.

2.1.5. Особенности в задачах оптимизации: функция максимума. Многочисленные особенности, бифуркации и катастрофы (скачки) возникают

во всех задачах о нахождении экстремумов (максимумов, минимумов), задачах

оптимизации, управления и принятия решений. Представим себе, например, что

мы должны выбрать x так, чтобы обеспечить наибольшее значение функция

( )f x (рис. 2.27).

При плавном изменении функции оптимальное решение меняется скачком,

перескакивая с одного из двух конкурирующих максимумов (A) на другой (В).

Ниже мы рассмотрим несколько задач такого рода; все они далеки от

полного решения, хотя в некоторых классификация особенностей проведена

достаточно далеко.

Рис. 2.28 – Излом линии

горизонта гладкого

ландшафта [4]

Рис. 2.29 – Расстояние до

кривой и его особые точки

[4]


46

Рассмотрим семейство ( , )f x y функций переменной x , зависящих от

параметра y . При каждом фиксированном значении параметра y вычислим

максимум функции обозначим его через

( ) max ( , )F y f x y .

Функция F непрерывна, но не обязательно гладкая, даже если f –

многочлен.

Пример 1. Пусть y – азимут луча зрения, x – дальность, f – угловая высота

ландшафта на расстоянии x при азимуте y (рис. 2.28). Тогда F определяет

линию горизонта. Ясно, что линия горизонта гладкой поверхности может

иметь изломы, которые неустранимы малым шевелением.

Переменная x и параметр y могут быть точками пространств любой

размерности. Наряду с максимумами встречаются и минимумы.

Пример 2. Пусть x – точка плоской кривой , y – точка области,

ограниченной этой кривой, ( , )f x y – расстояние от y до x .

Будем рассматривать f как функцию точки кривой, зависящую от точки

области как от параметра. Тогда функция минимума семейства ( )F y есть

кратчайшее расстояние от точки y до кривой (рис. 2.29). Ясно, что эта

функция непрерывна, но не всюду гладкая.

Мы можем представить себе лопату, ограниченную кривой . Насыпем на

эту лопату возможно большую кучу сухого песка. Поверхность кучи будет

тогда графиком функции F . Ясно, что для лопаты общего положения

поверхность кучи имеет хребет (линию излома).

Линии уровня функции F – не что иное, как передние фронты

распространяющегося внутрь кривой возмущения.

Теория особенностей позволяет перечислить особенности функций

максимума F как в описанном примере, так и для семейств общего

положения функций любого числа переменных при условии, что число

параметров y не больше 10 (Л.Н. Брызгалова). Рассмотрим простейшие случаи

одного и двух параметров.

Выбирая координаты на оси (плоскости) значений параметра y и вычитая из

F гладкую функцию параметров, мы можем привести функцию максимума

семейства общего положения в окрестности каждой точки к одной из

следующих нормальных форм:

один параметр: F (y) = y ;

два параметра:

1

1 2 1 2

4 2

1 2

( ) max( , , )

max( ).

y

F y èëè y y y y

èëè x y x y x


47

Формула, относящаяся к случаю одного параметра, означает, в частности, что

линия горизонта гладкого ландшафта общего положения не имеет

особенностей, отличных от простейших изломов. Особенности функции

максимума, описанные формулами для двух параметров, дают следующие

особенности функции минимума (например, особенности поверхности кучи

песка на лопате): линия хребта, точка соединения трех хребтов и конец

хребта (см. рис. 2.29).

В последнем случае график функции минимума есть часть поверхности

ласточкиного хвоста (см. рис. 2.16), получающаяся удалением прилежащей к

ребру возврата пирамиды ( BCB ) (и еще отражением поверхности рис. 2.15 в

горизонтальной плоскости).

При 3, 4, 5 и 6 параметрах число различных особенностей равно

соответственно 5, 8, 12 и 17; начиная с 7 параметров, число типов несводимых

друг к другу особенностей становится бесконечным: нормальные формы

неизбежно содержат «модули», являющиеся функциями от параметров.

Топологически функция максимума (минимума) семейства общего

положения устроена как гладкая функция общего положения. Более подробно

смотрите в [4].

2.1.6. Теория катастроф применительно к развитию общества.

Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы,

подобно тому, как таблица умножения, при всей ее полезности для

бухгалтерского учета, не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от

неразумной организации экономики в целом.

Рис. 2.30 – Перестройка с точки зрения развития общества [4]

Математические модели катастроф указывают, однако, на некоторые общие

черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в

ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый

установившийся режим (скажем, режим работы реактора, или экологический

или экономический режим) обычно погибает, либо столкнувшись с

неустойчивым, либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого)

самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно

бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными:

скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к

катастрофе.

Рассмотрим теорию катастроф как науку о том, каким образом состояние

равновесия потенциальной функции изменяется при изменении управляющих


48

параметров [43]. Под потенциальной функцией будем понимать благосостояние

общества, под управляющим параметром – время.

Математическая теория перестроек была создана давно. Вот некоторые

простейшие качественные выводы из теории перестроек применительно к

нелинейной системе, находящейся в установившемся устойчивом состоянии,

признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее,

предпочтительное устойчивое состояние системы (рис. 2.30).

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к

ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к

лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление

системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое

состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего

состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние

продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки

сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и

как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью

исчезает сопротивление, но система начинает притягиваться к лучшему

состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние,

сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере

совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в

лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время

как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное,

непрерывное улучшение неспособна.

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из

плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше

она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем

нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные

выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные

выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они

мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и

численные параметры могут быть недостаточно известными.

2.2. Аттракторы динамических систем. Кризис [40]

Известно, что в диссипативной системе элемент фазового объема сжимается

в процессе эволюции во времени. Предельное множество фазовых траекторий

ДС всегда имеет нулевой объем. В частности, предельное множество может

быть точкой, линией, поверхностью или совокупностью поверхностей, которые

образуют канторову структуру в сечении Пуанкаре.


49

Хаотические процессы в детерминированных нелинейных диссипативных

системах – одна из фундаментальных проблем современного естествознания,

являющаяся предметом пристального внимания исследователей [44].

Образ динамического хаоса долгое время был связан со странными

аттракторами. Позднее пришло понимание, что хаотические автоколебания

могут быть существенно разными по своим свойствам. Этим обуславливаются

различия в структуре соответствующих аттракторов. Оказалось, что странный

аттрактор является образом некоторого «идеального» хаоса, удовлетворяющего

ряду строгих математических требований. Режим странного аттрактора в

смысле строгого математического определения не реализуется в реальных

системах. То, что мы обычно наблюдаем в экспериментах, соответствует

режиму так называемого квазигиперболического.

Отличительной особенностью странных, квазигиперболических и

негиперболических хаотических аттракторов является экспоненциальная

неустойчивость фазовых траекторий и фрактальная (нецелая) размерность.

Экспоненциальная неустойчивость служит критерием хаотического поведения

системы во времени. Дробная размерность свидетельствует о том, что

аттрактор – сложный геометрический объект.

Эволюция во времени состояний системы с конечным числом степеней

свободы описывается некоторой системой обыкновенных дифференциальных

уравнений

1 1( ,..., , ,..., )i

i i N k

dxx f x x

dt (2.1)

либо отображений последования 1 2

1 1( , ,..., , ,..., )i N

n i n n n kx f x x x , 1, 2,...,i N ,

где ( )ix t (или i

nx ) – переменные, однозначно определяющие состояние системы

(его фазовые координаты), и l – параметры системы, функции же ( , )if x

являются, в общем случае, нелинейными.

В дальнейшем будут рассматриваться только автоколебательные режимы ДС

(2.1). Последнее означает, что система демонстрирует установившиеся

колебания, чьи характеристики не зависят от выбора начального состояния в

пределах некоторой области фазового пространства. Режим устойчивого

состояния равновесия будет рассматриваться как предельный случай

автоколебательного режима.

Рассмотрим фазовое пространство NR системы (2.1), зафиксировав значения

всех параметров l . Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная)

область 1G , принадлежащая NR , которая включает подобласть 0G . Области 1G и

0G удовлетворяют следующим условиям [40]:

– для любых начальных условий (0)ix (или 0

ix ) из области 1G при t (или

n ) все фазовые траектории рано или поздно достигают области 0G ;

– область 0G представляет собой минимальное компактное подмножество в

фазовом пространстве системы;


50

– если фазовая траектория принадлежит области 0G в момент времени

1 1( )t t n n , то она будет принадлежать 0G всегда, т.е. для любого 1 1( )t t n n

фазовая траектория будет находиться в 0G .

Если эти условия выполнены, то область 0G называется amтракторам ДС

(2.1). Область 1G называется областью, или бассейном притяжения, аттрактора

0G [40].

2.2.1. Регулярные аттракторы. До открытия детерминированного хаоса

было известно всего три типа устойчивых установившихся решений ДС (2.1):

состояние равновесия, устойчивое периодическое решение и устойчивое

квазипериодическое решение. Соответствующими аттракторами

дифференциальной системы в этих случаях являются точка, предельный цикл и

предельный n -мерный тор. Спектр ЛХП фазовой траектории на регулярном

аттракторе содержит только нулевые и отрицательные показатели.

Непериодические решения системы (2.1) могут соответствовать хаотическим

аттракторам сложной геометрической структуры, которые имеют по крайней

мере один положительный ляпуновский показатель и, как следствие, дробную

размерность, которую можно оценить, например, по формуле Каплана-Йорка

[40]:

1

1

j

i i

L

j

D j , (2.2)

где j – наибольшее целое число, для которого 1 2 ... 0j . Размерность LD ,

вычисляемая по формуле (2.2) соответствует одному из определений

фрактальной размерности множества и называется ляпуновской размерностью.

Ляпуновская размерность служит оценкой снизу для метрической размерности

аттрактора. Если применить (2.2) к трем указанным типам аттракторов, то

получим 0LD для состояния равновесия, 1LD для предельного цикла и LD n

для n -мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность LD равна

метрической размерности аттракторов. То, что траектории на аттракторе

асимптотически устойчивы, а размерность LD принимает целое значение,

строго совпадающее с метрической размерностью, позволяет назвать указанные

типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных

условий исключает аттрактор из класса регулярных.

В 1971г. Рюэль и Такенс строго доказали существование апериодических

решений системы (2.1). Они также ввели понятие странного аттрактора как

образа детерминированного хаоса [40]. С тех пор явление детерминированного

хаоса и понятие странного аттрактора во многих работах практически

однозначно связывают друг с другом. Однако при более детальном

рассмотрении это оказывается не всегда справедливым и требует пояснений.

2.2.2. Грубые гиперболические аттракторы. Доказательство

существования странного аттрактора было дано при жестком требовании, что

ДС (2.1) является грубой и гиперболической [40]. Система с гиперболическим

(странным) аттрактором является грубой и гиперболической, если все ее


51

фазовые траектории являются седловыми и сохраняют свои свойства при малых

возмущениях. Любая точка, как образ траектории в сечении Пуанкаре, в

гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при

малом возмущении правых частей (2.1), например, при небольшом изменении

параметров системы, вес траектории на аттракторе остаются седловым.

а) б) в)

Рис. 2.31 – Возможные случаи пересечения устойчивой и неустойчивой

сепаратрис седловой точки iQ в сечении Пуанкаре [40]

Гиперболические аттракторы должны удовлетворять следующим условиям

[13]:

- гиперболический аттрактор состоит из континуума неустойчивых листов или

кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории

экспоненциально расходятся;

- в окрестности любой точки гиперболический аттрактор имеет одну и ту же

геометрию, определяемую произведением канторова множества на интервал;

- гиперболический аттрактор имеет окрестность в виде расщепленных

устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору.

Грубость означает, что эти свойства не меняются при возмущениях.

Неустойчивые многообразия uW седловых траекторий не могут покинуть

области аттрактора. Они концентрируются в области 0 и должны пересекаться

с устойчивыми многообразиями sW вдоль которых траектории приближаются к

аттрактору. Это ведет к появлению гомоклинических точек (поверхностей) и

формированию гомоклинических структур, которые должны быть грубыми в

грубых гиперболических системах. Качественная картина грубого пересечения sW и uW изображена на рис. 2.31,а.

Случаи, показанные на рис. 2.31,б и рис. 2.31,в исключаются, так как они

соответствуют негрубым ситуациям: замыканию многообразий с образованием

петли (рис. 2.31,6) и касанию устойчивого и неустойчивого многообразий

(рис. 2.31,в). Если нелокальные свойства многообразий приводят к негрубым

ситуациям, изображенным на рис. 2.31,6, то при возмущении ДС возможны

бифуркации. Однако, в грубых гиперболических системах никаких бифуркаций

происходить не должно.

Странный (согласно Рюэлю-Такенсу) аттрактор является всегда грубым

гиперболическим предельным множеством. Главная особенность, которая

отличает странные хаотические аттракторы от регулярных, – экспоненциальная


52

неустойчивость фазовых траекторий на аттракторе. В этом случае спектр ЛХП

содержит, по крайней мере, один положительный показатель. Фрактальная

размерность аттрактора дифференциальной системы всегда больше двух и в

общем случае не является целым числом. Минимальная размерность фазового

пространства, в которое может быть «вложен» странный аттрактор, равна 3. В

математике известны, по крайней мере два примера грубых гиперболических

аттракторов. Это аттрактор Смейла-Вильямса [40] и аттрактор Плыкина.

«Истинно» странный аттрактор – это идеальная, но все же пока недостижимая

модель детерминированного хаоса.

2.2.3. Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца.

Условия гиперболичности, отмеченные выше, не выполняются для реальных

ДС. Тем не менее, существуют ДС, аттракторы которых очень близки по

структуре и свойствам к гиперболическим. Такие аттракторы являются

хаотическими, не включают устойчивых регулярных траекторий и сохраняют

эти свойства при малых возмущениях. Теоретически, квазигиперболические

аттракторы не являются структурно-устойчивыми. Для них нарушается по

крайней мере одно из трех условий грубой гиперболичности,

сформулированных выше. Однако изменения в структуре аттрактора при этом

настолько незначительны, что они не отражаются в экспериментально

измеряемых характеристиках. Назовем почти гиперболические аттракторы

квазигиперболическим [40]. Известны квазигиперболические аттракторы Лози,

Белых и аттракторы типа Лоренца.

2.2.4. Негиперболические аттракторы. Эти аттракторы наиболее типичны

и соответствуют экспериментально наблюдаемому хаосу. Системы с

гиперболическими аттракторами демонстрируют режимы детерминированного

хаоса, которые характеризуются экспоненциальной неустойчивостью фазовых

траекторий и фрактальной структурой аттрактора. С этой точки зрения,

характеристики негиперболических аттракторов идентичны основных

характеристикам грубых гиперболических и квазигиперболических

аттракторов. Однако есть очень существенная разница. Отличительная

особенность негиперболических аттракторов состоит в сосуществовании

счетного множества различных хаотических и регулярных притягивающих

подмножеств в ограниченной области фазового пространства системы при

фиксированных значениях ее параметров. Эта совокупность всех

сосуществующих предельных подмножеств траекторий в ограниченной

области 0G , в которую попадают все или почти все траектории из области 1G ,

называется негиперболическим аттрактором или квазиаттрактором ДС.

Следовательно, негиперболические аттракторы имеют очень сложную

структуру вложенных бассейнов притяжения. Но сложность

негиперболических аттракторов этим не ограничивается. При изменении

параметров системы в любой ограниченной области значений в системе с

квазиаттрактором происходит множество различных бифуркаций как

регулярных, так и хаотических предельных множеств. Когда параметры


53

системы меняются в некотором конечном диапазоне, регулярные и хаотические

аттракторы претерпевают целые каскады различных бифуркаций.

2.2.5. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы.

Хаотические аттракторы, описанные выше, характеризуются двумя

фундаментальными свойствами: имеют сложную геометрическую структуру и

демонстрируют экспоненциальную неустойчивость индивидуальных

траекторий. Именно эти свойства используются исследователями в качестве

критерия для диагностики режимов детерминированного хаоса.

Однако, как уже упоминалось, хаотическое поведение в смысле

перемешивания может не сопровождаться «странностью» аттрактора и

наоборот, странные аттракторы с фрактальной геометрической структурой

могут быть нехаотическими из-за отсутствия экспоненциальной

неустойчивости фазовых траекторий. С другой стороны, имеются примеры

перемешивающих диссипативных систем, аттракторы которых не являются

странными в смысле их геометрической структуры, т. е. имеют целочисленную

размерность [40].

Другими словами, существуют примеры конкретных диссипативных ДС,

аттрактор которых характеризуется следующими свойствами:

- аттрактор обладает регулярной геометрической структурой и целой

метрической размерностью, но индивидуальные фазовые траектории на

аттракторе экспоненциально неустойчивы;

- аттрактор имеет сложную геометрическую структуру, но траектории на нем

устойчивы по Ляпунову. Перемешивание отсутствует.

Первый тип называется хаотическим нестранным аттрактором (ХНА).

Второй известен как странный нехаотический аттрактор (СНА). В качестве

примера ДС с ХНА в [40] рассмотрено модифицированное отображение

Арнольда.

Рассмотрим противоположную ситуацию: система демонстрирует сложный

апериодический колебательный режим, являющийся асимптотически

устойчивым (без перемешивания), и при этом аттрактор не является

регулярным с точки зрения его геометрической структуры. Такой аттрактор

получил название странного нехаотического аттрактора (СНА). Странные

нехаотические аттракторы типичны для ДС с квазипериодическим

воздействием.

Впервые СНА был обнаружен и исследован в следующем отображении [40]

1

1

2 tanh( )cos2 ,

( )mod(1),

n n n

n n

x x (2.3)

где параметр обычно полагается равным так называемому золотому сечению:

0.5( 5 1) . Показано, что при 1 аттрактор отображения (2.3) представляет

собой СНА (рис. 2.32). СНА наблюдался также во многих других системах,

находящихся под квазипериодическим воздействием, например в отображении

окружности, логистическом отображении, отображении Хенона и т.д. [40].


54

Рис. 2.32 – Странный нехаотический аттрактор в отображении (2.3) при 1.5

[40]

2.2.6. Кризис в динамической системе. Выше были рассмотрены некоторые

вопросы теории динамических систем, являющиеся очень важными для изучения

бифуркационных механизмов возникновения хаоса, особенностей структуры и

свойств нерегулярных аттракторов. Возникновению сложной динамики ДС

всегда предшествуют мягкие или жесткие бифуркации регулярных режимов.

Важно определить, какие виды хаотических аттракторов реализуются в

системе. Глубокое понимание бифуркационных явлений в системе становится

еще более необходимым, если принять во внимание влияние флуктуации.

Известно, что в диссипативных системах неизбежно присутствует шум.

Динамика таких систем может быть более адекватно описана, если

рассматривать их как стохастические.

При жестком возникновении хаоса единственная бифуркация

периодического режима приводит к резкой качественной перестройке

структуры фазового пространства, включая структуру бассейна притяжения

аттрактора. Подобные бифуркации аттракторов называют кризисами, которые

отождествляют с катастрофами [40].

Типичными кризисами периодического режима (предельного цикла) являются

следующие локальные бифуркации коразмерности 1: касательная (седло-

узловая) бифуркация, субкритическая бифуркация удвоения периода и

субкритическая бифуркация рождения тора (бифуркация Андронова-Хопфа в

отображении). В случае касательной бифуркации устойчивый предельный цикл

исчезает, сливаясь с седловым. В двух других случаях предельный цикл

продолжает существовать и после бифуркации, но становится неустойчивым

(седловым).


55


1. Постройте каустику и локальное множество Максвелла семейства 5 3 2x x bx cx в пространстве параметров ( , , )a b c и получите сечение этих

поверхностей плоскостью 1a . Покажите, что продолжение данного

множества и каустика диффеоморфны ласточкину хвосту [45].

2. Смоделируйте систему Лоренца [46]

( )x y x ,

y rx y xz ,

z xy bz ,

являющуюся моделью тепловой конвекции в атмосфере, при следующих

значениях параметров: 10 , 28r , 8 / 3b . Сравните внешний вид классического

аттрактора при задании различных начальных условий.

3. Исследуйте странный аттрактор Рѐсслера, порожденный системой

Рѐсслера [47]

( )x y z ,

0.2 ,y x y

0.2 ( )z z x ,

и найдите значение параметра , при котором аттрактор имеет свой

классический вид. Примерный диапазон поиска значения параметра 2 5 .

4. Получите фронт производящего семейства лагранжевой особенности 3( , )F x q x qx ,

которая определяет лежандрову кривую в 3-х мерном пространстве ( , ; )p q z : 33q x , p x , 32z x ,

при проекции на плоскость ( ; )q z . Определите на проекции полукубическую

точку возврата [45].


56

Глава 3. Бифуркационные механизмы перехода к хаосу (кризисы) в

динамических системах и синергетика

При изменении управляющих параметров ДС по-разному проявляются ее

нелинейные свойства. С ростом влияния нелинейности происходит усложнение

динамического режима. Простые аттракторы в фазовом пространстве

диссипативной системы сменяются более сложными. При определенных

условиях нелинейность приводит к возникновению динамического хаоса.

Движение в пространстве параметров вдоль соответствующего направления

позволяет наблюдать последовательность бифуркаций, в результате которой

формируется хаотический аттрактор. Такие типичные бифуркационные

последовательности объединяются понятием бифуркационных механизмов или

сценариев развития хаоса.

Первый сценарий перехода от регулярного поведения к нерегулярному был

предложен Л.Д. Ландау в 1944 г. [40], и, независимо от него, Э. Хопфом [40] в

связи с попытками объяснить возникновение турбулентного поведения

жидкости при увеличении числа Рейнольдса.

Соответствующий бифуркационный механизм, получивший название

сценария Ландау-Хопфа, предусматривает последовательность бифуркаций

(типа бифуркации Андронова-Хопфа), каждая их которых порождает новую

несоизмеримую частоту.

Однако, такие многочастотные колебания, даже в присутствии флуктуации,

все же не являются хаотическими, поскольку сценарий Ландау-Хопфа не

предусматривает развития неустойчивости и перемешивания в системе. Кроме

того, данное явление могло объяснить возникновения колебаний со сплошным

спектром в маломерных системах.

Идея развития турбулентности через квазипериодические колебания в начале

70-х годов была переработана с новых позиции Д. Рюэлем, Ф. Такенсом и

С. Ньюхаусом [48]. Они связали турбулентное поведение с хаотической

динамикой и впервые ввели понятие странного аттрактора как математического

образа хаоса в динамической системе. При этом было показано, что странный

аттрактор может возникать в системах даже с небольшой размерностью

фазового пространства ( 3N ).

К настоящему времени открыты и исследованы три типичных

бифуркационных сценария развития хаоса в диссипативных системах,

реализуемые уже в трехмерном фазовом пространстве [48,49]. Причем каждый

из них обладает свойствами универсальности, то есть некоторыми общими

закономерностями, не зависящими от конкретного вида оператора эволюции.

Эти сценарии описаны в данном разделе.


57

Рис. 3.1 – Бифуркация рождения цикла [4]

3.1. Потеря устойчивости равновесных и автоколебательных режимов [4]

Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении параметра не

обязательно связана с бифуркацией самого состояния равновесия: оно может

терять устойчивость не только сталкиваясь с другим, но и самостоятельно.

Соответствующая перестройка фазового портрета на плоскости изображена на

рис. 3.1.

Возможны два варианта:

А) При изменении параметра из положения равновесия рождается предельный

цикл (радиуса порядка , когда значение параметра отличается от

бифуркационного на ). Устойчивость равновесия переходит к циклу, само

же равновесие становится неустойчивым.

Б) В положении равновесия умирает неустойчивый предельный цикл; область

притяжения положения равновесия уменьшается с ним до нуля, после чего

цикл исчезает, а его неустойчивость передается равновесному состоянию.

Анри Пуанкаре заметил, а Александр Александрович Андронов и его

ученики еще в 1939 г. доказали, что, кроме описанной выше потери

устойчивости положений равновесия сливающихся с неустойчивыми, и только

что описанных способов потери устойчивости типа А или Б, в общих

однопараметрических семействах систем с двухмерным фазовым

пространством никаких иных видов потери устойчивости не встречается. Позже

было доказано, что и в системах с фазовым пространством большей

размерности потеря устойчивости положений равновесия при изменении

одного параметра происходит каким-либо из описанных выше способов (по

направлениям всех дополнительных осей координат при изменении параметра

равновесие остается притягивающим).

Если наше положение равновесия – установившийся режим в реальной

системе, то при изменении параметра в случаях А и Б наблюдаются

следующие явления:

Рис. 3.2 – Мягкая потеря

устойчивости равновесия

Рис. 3.3 – Жесткая потеря

устойчивости равновесия


58

А) После потери устойчивости равновесия установившимся режимом

оказывается колебательный периодический режим (рис. 3.2); амплитуда

колебаний пропорциональная квадратному корню из закритичности

(отличия параметра от критического значения; при котором равновесие

теряет устойчивость). Этот вид потери устойчивости называется мягкой

потерей устойчивости, так как устанавливающийся колебательный режим при

малой закритичности мало отличается от состояния равновесия.

Б) Перед тем как установившийся режим теряет устойчивость, область

притяжения этого режима становится очень малой, и всегда присутствующие

случайные возмущения выбрасывают систему из этой области еще до того,

как область притяжения полностью исчезает.

Этот вид потери устойчивости называется жесткой потерей устойчивости.

При этом система уходит со стационарного режима скачком (см. рис. 3.3) и

перескакивает на иной режим движения. Этот режим может быть другим

устойчивым стационарным режимом, или устойчивыми колебаниями, или более

сложным движением.

Установившиеся режимы движения получили в последние годы название

аттракторов, так как они «притягивают» соседние режимы (переходные

процессы). Аттрактор, т. е. притягателъ, – это притягивающее множество в

фазовом пространстве. Аттракторы, отличные от состояний равновесий и строго

периодических колебаний, получили название странных аттракторов и

связываются с проблемой турбулентности.

Существование аттракторов с экспоненциально расходящимися фазовыми

кривыми на них и устойчивость такого рода явлений были установлены в самом

начале шестидесятых годов в работах С. Смейла, Д.В. Аносова и Я.Г. Синая

по структурной устойчивости динамических систем.

Независимо от этих теоретических работ метеоролог Лоренц описал

наблюдавшийся им в численных экспериментах по моделированию конвекции

аттрактор в трехмерном фазовом пространстве с разбегающимися по нему в

разные стороны фазовыми кривыми (рис. 3.4) и указал на связь этого

явления с турбулентностью.

Рис. 3.4 – Хаотический аттрактор [4]

В работах Аносова и Синая экспоненциальное разбегание было установлено,

в частности, для движения материальной точки по поверхности отрицательной

кривизны (пример такой поверхности – седло). Первые применения теории


59

экспоненциального разбегания к изучению гидродинамической устойчивости

опубликованы в 1966 г.

Движение жидкости можно описать как движение материальной точки по

искривленной бесконечномерной поверхности. Кривизна этой поверхности по

многим направлениям отрицательна, что приводит к быстрому разбеганию

траекторий, т. е. к плохой предсказуемости течения по начальным условиям. В

частности, из этого вытекает практическая невозможность долгосрочного

динамического прогноза погоды: для предсказания всего на 1-2 месяца вперед

нужно знать начальные условия с погрешностью 510 от погрешности

предсказания.

Вернемся, однако, к режиму, установившемуся после потери устойчивости

равновесного состояния, и предположим, что этот режим – странный аттрактор

(т. е. не равновесие и не предельный цикл).

Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные

непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому

изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики

режима устойчивы и не зависят от начального условия (при его изменении в

некоторой области). Экспериментатор, наблюдающий за движением такой

системы, назвал бы его турбулентным. По-видимому, неупорядоченные

движения жидкости, наблюдаемые при потере устойчивости ламинарного

течения с увеличением числа Рейнольдса (т. е. с уменьшением вязкости),

математически описываются именно такими сложными аттракторами в

фазовом пространстве жидкости. Размерность этого аттрактора, по-видимому,

конечна при любом числе Рейнольдса, но стремится к бесконечности при

Re .

Переход от устойчивого состояния равновесия процесса («ламинарного

течения жидкости») к странному аттрактору («турбулентности») может

совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере

устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис. 3.5). В последнем

случае родившийся цикл сам теряет устойчивость.

Рис. 3.5 – Сценарий хаотизации [4]

Рис. 3.6 – Гибель аттрактора-цикла [4]


60

Рис. 3.7 – Удвоение цикла-

аттрактора [4]

Рис. 3.8 – Бифуркация

рождения тора вблизи

цикла [4]

Потеря устойчивости цикла в общем однопараметрическом семействе

систем возможна несколькими способами: 1) столкновение с неустойчивым

циклом (рис. 3.6), 2) удвоение (рис. 3.7), 3) рождение или смерть тора

(рис. 3.8) (в терминологии Андронова: с цикла слезает шкура). Детали

последних процессов зависят от резонансов между частотами движения

вдоль меридиана тора и вдоль его оси, т.е. от того, будет ли отношение этих

частот рациональным или иррациональным числом. Интересно, что

рациональные числа со знаменателем 5 и больше ведут себя практически как

иррациональные.

Поведение фазовых кривых, близких к циклу, можно приближенно

описывать при помощи эволюционного процесса, для которого цикл является

положением равновесия.

В настоящее время исследованы поведение системы вблизи резонансов 1:3 и

1:4 [40].

Рис. 3.9 – Затягивание потери устойчивости при динамической бифуркации [4]

В работах по теории катастроф мягкая потеря устойчивости положения

равновесия обычно называется бифуркацией Хопфа.

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое

явление затягивания потери устойчивости (рис. 3.9).


61

После того как параметр прошел через бифуркационное значение,

соответствующее рождению цикла, т. е. мягкому возникновению

автоколебаний, система остается в окрестности потерявшего устойчивость

состояния равновесия еще некоторое время, за которое параметр успевает

измениться на конечную величину. И лишь затем система скачком переходит на

родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим, так что потеря

устойчивости кажется жесткой.

Интересно, что этот эффект – особенность динамической бифуркации – имеет

место только в аналитических системах. В бесконечно-дифференцируемом

случае величина затягивания потери устойчивости, вообще говоря, стремится к

нулю при уменьшении скорости изменения параметра.

Доказательство того, что это явление имеет место во всех типичных

аналитических системах с медленно меняющимся параметром, было получено в

1985 г. А И. Нейштадтом.

Рис. 3.10 – Колебания

численности популяции в

простейшей

мальтузианской модели с

учетом конкуренции [4]

Рис. 3.11 – Каскад

удвоений периода [4]

Известно, что улов горбуши колеблется с периодом в два года [4].

Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания,

привело к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода:

последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так

что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число

удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели

мальтузианского размножения с конкуренцией – для отображения xx Axe

(рис. 3.10).

Здесь множитель xe , уменьшающий коэффициент мальтузианского

размножения A при увеличении размера популяции x , учитывает конкуренцию.

При малых значениях параметра A устойчива неподвижная точка 0x

(популяция вымирает). При больших значениях A аттрактором

последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация 0A ),

цикл периода 2, рис. 3.11, как для горбуши (бифуркация удвоения, 1A ), периода

4 ( 2A ) и т.д. (рис. 3.11).

Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978)

обнаружил замечательное явление универсальности каскадов удвоений.


62

Последовательность значений параметра, соответствующих

последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая

прогрессия. Знаменатель прогрессии

1

1

1lim

4,669...

n n

nn n

A A

A A

является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной,

вроде чисел или e . Такие же каскады удвоений предельных циклов

наблюдаются и в типичных эволюционных системах, описываемых зависящими

от параметра дифференциальными уравнениями.

В отличие от удвоения периода, утроение является явлением коразмерности

два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными

не в однопараметрических, а в двупараметрических семействах систем. В этих

случаях универсальные показатели оказываются комплексными.

3.2. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения

периода. Универсальность Фейгенбаума [40]

Самый частый переход к хаосу наблюдается через последовательность

бифуркации удвоения периода. Этот переход допускает однопараметрический

анализ (так как бифуркация удвоения имеет коразмерность 1) и состоит в

следующем. Пусть ДС при некотором значении управляющего параметра 0

имеет устойчивый предельный цикл C с периодом ( )T . Пусть при увеличении

параметра до значения 1 происходит суперкритическая бифуркация

удвоения периода, приводящая к рождению устойчивого предельного цикла 2C

с периодом 2 ( )T . Далее, наблюдается бесконечная последовательность

бифуркаций удвоения периодов циклов 2k C в точках k , 1,2,3,...k . В спектре

возникают субгармоники частоты 0 02 /T , поэтому последовательность

бифуркаций удвоения иногда называют субгармонические каскадом.

Бифуркационные точки k сходятся в пределе k к некоторому

критическому значению cr , при котором период становится бесконечным, а

спектр – сплошным. При cr возникают апериодические колебания,

неустойчивые по Ляпунову. Этим колебаниям соответствует странный

аттрактор в фазовом пространстве системы. В качестве примера, на рис. 3.12

представлены изменения, происходящие в процессе перехода к хаосу через

последовательность удвоений периода в генераторе с инерционной

нелинейностью (ГИН) Анищенко-Астахова [40].

Экспериментально было установлено, что во всех без исключения

трехмерных потоковых системах формирующийся в результате

последовательности удвоений периода хаотический аттрактор имеет

фрактальную размерность 2 3d , а его сечение по форме напоминает подкову.

В этом случае простейшей моделью возникающего в секущей поверхности

отображения может служить отображение Хенона (Эно): 2

1

1

1 ,

,

n n n

n n

x y ax

y bx (3.1)


63

которое является обратимым, и при 1b сжимает элемент площади. При

изменении любого из параметров ( a или b ) отображение (3.1) демонстрирует

переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода

циклов.

Рис. 3.12 – Последовательность бифуркаций удвоения периода в ГИН:

проекции фазовых траекторий (а), форма колебаний (б) и спектры мощности (в)

для циклов с периодами 02 kT , 1,2,3k , и странного аттрактора [40]

Если сжатие элемента площади столь велико, что поперечной канторовой

структурой подковы можно пренебречь и считать точки в отображении

ложащимися на одну гладкую изогнутую кривую, то, вводя вдоль этой кривой

новую координату, можно прийти к необратимому модельному отображению

отрезка прямой, задаваемому гладкой функцией последования c одним

экстремумом. Оно растягивает элемент отрезка и «укладывает» его в тот же

самый отрезок. Поскольку функция последования предполагается всюду

гладкой, то, как и в случае с подковой, имеется область (вблизи экстремума),

для которой растяжение отсутствует. Существование такой области является

причиной рождения устойчивых периодических орбит в зоне хаосa, так

называемых окон устойчивости. Исключить окна устойчивости можно при


64

условии, что отображение будет всюду растягивающим (как, например,

кусочно-линейное отображение типа треугольника, имеющее излом в точке-

экстремума), но в таких моделях вместе с окнами устойчивости исчезает и

последовательность бифуркаций удвоения. Теория перехода к хаосу через

последовательность бифуркаций удвоения периода была развита на базе

модельных одномерных отображений М. Фейгенбаумом. Поэтому данный

бифуркационный механизм получил название сценария Фейгенбаума.

Простейшей моделью для исследования сценария Фейгенбаума служит

логистическое отображение 2

1 ( )n n nx f x r x , (3.2)

где r – параметр отображения, 0r .

Логистическое отображение может быть представлено в других формах

записи, сводящихся к (3.2) заменой переменных, например:

1 (1 )n n nx rx x , 1 (1 )n n nx rx x , 2

1 1n nx rx .

Рассмотрим, как ведет себя отображение (3.2) с ростом параметра r .

Неподвижная точка отображения 0 0x (цикл периода 1 или 1-цикл) имеет

координату 0 1/ 2 1/ 4x r и устойчива при [0;3/ 4]r (мультипликатор

неподвижной точки 1 равен 02x ). При 1 3/ 4r r мультипликатор принимает

значение 1 1. Имеет место бифуркация удвоения периода цикла 1. Рождается

устойчивый цикл периода 2, состоящий из точек 1 2,x x . Координаты точек 2-

цикла равны 1,2 1/ 2 3/ 4x r , а мультипликатор цикла есть ' '

2 1 2( ) ( ) 4(1 )x xf x f x r .

2-цикл устойчив в области значений параметра [3/ 4;5 / 4]r . При 2 5/ 4r r

мультипликатор принимает значение 2 1 и происходит следующая

бифуркация удвоения периода. Рождается 4-цикл и т.д. Получаем

последовательность бифуркационных значении параметра 1 3/ 4r , 2 5/ 4r ,

3 1.368099r , 4 1.394046r , 5 1.399637,...r , накапливающуюся к критической точке

1.40115...crr . При k скорость сходимости бифуркационных значений

стремится к некоторому конечному пределу

1

2 1

lim 4.669201...k k

kk k

r r

r r . (3.3)


65

Рис. 3.13 – Фазопараметрическая диаграмма режимов отображения (3.2) [40]

Фазопараметрическая диаграмма режимов отображения (3.2), приведенная на

рис. 3.13, характерна для систем с каскадом удвоений периодов, приводящим к

хаосу. Подобный вид диаграммы подучил название дерево Фейгенбаума.

Диаграмма дает наглядное представление о дроблении масштаба динамической

переменной и наличии свойств скейлинга, т. е. масштабной инвариантности,

когда один и тот же элемент изображения повторяется во все более мелком

масштабе. Обозначив расстояния между подобными точками диаграммы (как

показано на рис. 3.13), можно ввести масштабные множители 1/k k k ,

которые в пределе сходятся к некоторому значению

1

lim 2.5029...k

kk

a . (3.4)

Как показали численные исследования, величины и a не зависят от

конкретного вида отображения. Главное, чтобы оно было унимодальным

(имело один экстремум) и чтобы экстремум был квадратичным.

Универсальный характер количественных закономерностей перехода к хаосу

через последовательность бифуркаций удвоения периода был объяснен

М. Фейгенбаумом, создавшим теорию универсальности. Для анализа

отображений типа логистической параболы, Фейгенбаум применил метод

ренормализационной группы (РГ), содержание которого сводится к

следующему. Пусть в критической точке crr r имеется отображение

1 0 ( )n nx f x . (3.5)

где 0f – произвольная унимодальная функция с квадратичным экстремумом в

точке 0nx , причем 0 (0) 1f . Дважды примененное отображение (3.5) дает

отображение 1 0 0 0( ( ))nx f f x . Произведем перемасштабирование переменной

0/x x a так, чтобы новое отображение в начале координат тоже было

отнормировано на единицу, то есть 0 0 01/ ( (0))a f f , и обозначим новое

отображение как 1 1 0 0 0 0( ) ( ( / ))n n nx f x f f x a .


66

Повторяя эту процедуру много раз, получаем уравнение ренормализационной

группы:

1( ) ( ( / ))i i i i if x a f f x a , (3.6)

где 1/ ( (0))i i ia f f . В критической точке, в силу свойств самоподобия, существуют

пределы

lim ( ) ( )ii

f x g x , lim ii

a a . (3.7)

Функция ( )g x является неподвижной точкой функционального уравнения

Фейгенбаума-Цветановича:

( ) ( ( / )) ( )Tg x ag g x a g x

, (3.8)

где T – оператор удвоения, 1/ ( (0))a g g . Для критической точки,

соответствующей сценарию перехода к хаосу через удвоения периодов,

граничными условиями уравнения (3.8) будут (0) 1g и (0) 0xg . Функция ( )g x

называется универсальной, поскольку она не зависит от конкретной формы

исходного отображения и определяется только порядком экстремума. Она дает

асимптотическую форму 2i -кратно примененного оператора эволюции в

критической точке при i с учетом перенормировки динамической

переменной x . Входящая в уравнение неподвижной точки константа a также

является универсальной. Найденное Фейгенбаумом численное решение

уравнения (3.8) в предположении квадратичности экстремума и указанных

граничных условий имеет вид 2 4 6 8

10 12 14

( ) 1 1.5276330 0.1048152 0.0267057 0.0035274

0.0000816 0.0000254 0.0000027 .

g x x x x x

x x x (3.9)

Универсальная константа Фейгенбаума a оказывается равной 2.502907876...a .

Определяющую роль в поведении возмущения играют собственные

значения, превышающие по модулю единицу [40]. В случае квадратичного

экстремума имеется одно такое значение, соответствующее неустранимой

компоненте возмущения, и оно определяет вторую универсальную

фейгенбауновскую константу 1 4.6692016091... .

Масштабный множитель a и скорость сходимости бифуркационной

последовательности в пределах ошибки эксперимента соответствуют

значениям, полученным на основании теории Фейгенбаума для отображений с

квадратичным экстремумом. Очевидно, в типичном случае отображение,

порождаемое оператором эволюции потоковой системы в окрестности

критической точки, близко к одномерному отображению с квадратичным

экстремумом, другие же случаи являются нетипичными.

Универсальность сценария Фейгенбаума проявляется в поведении

спектральных амплитуд субгармоник, возникающих при каждом удвоении

периода. Так, отношение амплитуд субгармоник 0 / 2k и 1

0 / 2k в момент

бифуркации удвоения периода цикла в пределе k является универсальной

константой.

Предельное множество точек одномерного отображения с квадратичным

экстремумом, возникающее при crr r , называется аттрактором Фейгенбаума.


67

Аттрактор Фейгенбаума является странным, так как характеризуется дробной

емкостной размерностью, но не хаотическим, поскольку ляпуновский

показатель движения в критической точке равен нулю. Особенности

поведения в закритической области crr r также обладают свойствами

универсальности как для модельных отображений, так и для потоковых систем.

Ляпуновский показатель, ставший в критической точке положительным, растет

по универсальному закону [40]

, ln 20.4498.

ln (3.10)

где crr r – параметр надкритичности. Коэффициент по аналогии с теорией

фазовых переходов 2-го рода, называется критическим индексом перехода к

хаосу.

За критической точкой в системах с фейгенбаумовским сценарием развития

хаоса наблюдается каскад бифуркаций связанности. Бифуркация связанности

представляет собой объединение частей (лент) хаотического аттрактора,

посещаемых изображающей точкой в определенном порядке. При каждой

бифуркации связанности в спектре исчезают соответствующие субгармоники.

На рис. 3.14 ведены проекции фазовых траекторий и соответствующие спектры

при бифуркациях связанности, рассчитанные для ГИН [40]. Для одномерного

отображения бифуркация связанности выглядит как объединение соседних

интервалов, заполненных точками хаотической последовательности.

Обозначим значения параметра, соответствующие бифуркациям связанности,

как kr (индекс 1,2,...k возрастает с приближением к критической точке справа

налево).

Расположение на оси значений r интервалов существования периодических

аттракторов 2i ( 2i – период цикла отображения) до критической точки и 2i -

связанных хаотических множеств за критической точкой обладает симметрией

относительно критической точки. Фрагменты многосвязанных хаотических

множеств в соответствующих точках каждого отрезка обладают свойством

подобия с масштабными множителями, стремящимися к универсальной

константе a . Скорость накопления значений kr к критической точке равна

универсальной константе .


68

Рис. 3.14 – Проекции фазовых траекторий и спектры при бифуркациях

связанности в ГИН: (а) – четырехсвязанный хаотический аттрактор; (б) –

двухсвязаннып хаотический аттрактор; (в) – односвязанный хаотический

аттрактор ( 0 – основная частота спектра, связанная с периодом 0T

порождающего цикла) [40]

Кроме хаотических траекторий, логистическое отображение имеет в

закритической области множество периодических траекторий с различными

периодами. В работе А.Н. Шарковского 1964 г. устанавливается иерархия

циклов гладкого необратимого отображения отрезка. Цикл периода M считается

более сложным, чем цикл периода N , если из существования M -цикл а следует

существование N -цикла. Говорят, что между периодами существует отношение

Рис. 3.15 – Перемежаемость в системе Лоренца ( ( )x y x , y xy rx y , z xy bz )

при 166r , 10 , 8 / 3b [40]

порядка M N . Согласно теореме Шарковского это отношение упорядочивает

циклы следующим образом (так называемый порядок Шарковского): 2 2

2 3 2

3 5 7 3*2 5*2 7*2 ... 3*2 5*2

7*2 ... 2 2 2 1. (3.11)


69

3.3. Жесткий переход к хаосу. Сценарий Помо-Манневиля через

перемежаемость [40]

Было установлено, что переход от периодических колебаний к хаосу может

происходить скачком, в результате одной-единственной бифуркации. Такой

механизм возникновения хаоса называют жѐстким. Он сопровождается

явлением перемежаемости. Перемежаемость – это режим чередования во

времени почти регулярных колебаний (ламинарная фаза) с интервалами

хаотического поведения (турбулентная фаза), наблюдающийся сразу за

порогом возникновения хаоса. Типичный вид колебаний в режиме

перемежаемости приведен на рис. 3.15.

Жесткий переход к хаосу и явление перемежаемости были впервые

рассмотрены в работах И. Помо и П. Манневиля, поэтому соответствующий

бифуркационный механизм возникновения хаоса получил название сценария

Помо-Манневиля.

Пусть при cr система имеет аттрактор – предельный цикл C . В результате

любой из перечисленных бифуркаций в точке cr аттрактор C перестает

существовать. При cr фазовые траектории из локальной окрестности

исчезнувшего аттрактора C должны попадать на какой-то другой аттрактор,

либо уже существовавший в системе при cr , либо возникающий в результате

бифуркации. Пусть ДС уже имела другой аттрактор.

а) б)

Рис. 3.16 – Качественный вил сечений Пуанкаре для касательной бифуркации

устойчивого и седлового циклов, приводящей к возникновению хаоса через

перемежаемость: до бифуркации (а) и в точке бифуркации (б) [40]

Тогда в результате бифуркации наблюдается простое переключение с одного

режима на другой. Перемежаемость при этом не возникает, даже если новый

режим является хаотическим. Дело в том, что в этом случае кризис предельного

цикла не служит причиной, порождающей хаотический аттрактор, а сам

аттрактор не захватывает локальную окрестность цикла C . Траектории уходят

из этой окрестности и не возвращаются. Каковы же условия, при которых

кризис предельного цикла приводит к возникновению перемежающегося хаоса?

Очевидно, это происходит в том случае, когда в бифуркационной точке cr

уже существует хаотическое множество, которое при cr , становится

притягивающим и включает в себя локальную окрестность цикла C так, что


70

фазовая траектория на хаотическом аттракторе время от времени в эту

окрестность возвращается. Условием реализации такого поведения системы

может явиться наличие у седлового предельного множества, участвующего в

кризисе аттрактора C , гомоклинической траектории. В качестве примера на

рис. 3.16 представлена касательная бифуркация циклов, приводящая к

хаотической перемежаемости. Седловой цикл имеет пару грубых

гомоклинических траекторий. В точке бифуркации cr образуется негрубая

седло-узловая орбита с гомоклинической структурой в ее окрестности.

Траектории удаляются от нее и приближаются к ней вдоль

двоякоасимптотических гомоклинических кривых (им соответствуют точки

пересечения многообразий в сечении, изображенном на рис. 3.16). При cr

негрубая замкнутая орбита исчезает, а непритягивающая гомоклиническая

структура становится притягивающей. В фазовом пространстве ДС возникает

хаотический аттрактор. Траектории на нем сгущаются в области, где

существовала седло-узловая орбита, подолгу повторяя движение на ней, что

соответствует ламинарной фазе перемежающегося хаоса.

а) б)

Рис. 3.17 – Отображение, моделирующее перемежаемость I типа: (а) – в точке

бифуркации; (б) – сразу после бифуркации [40]

Перемежаемость, связанная с касательной бифуркацией циклов, наиболее

типична для широкого класса ДС. Она была обнаружена и исследована раньше

других случаев перемежаемости и получила название перемежаемость I типа.

Для анализа свойств перемежаемости I типа используется одномерное

логистическое отображение вида

1 ( ) " "p

n n n nx f x x x возврат . (3.12)

Параметр соответствует параметру надкритичности cr системы, так как

в (3.12) касательная бифуркация имеет место при 0 ; p – целое число,

определяющее порядок экстремума функции последования. Возврат

изображающей точки в ограниченный интервал значений x может быть

осуществлен различными способами. Например, для отображения,

представленного на рис. 3.17, для возврата изображающей точки служит ветвь

графика функции последования на отрезке AB . Отображение, приведенное на

рис. 3.17,а соответствует моменту касательной бифуркации 0 . Пунктирные

линии на графике представляют собой построение двоякоасимптотической

траектории седло-узловой точки [40]. Отображение рис. 3.17,б соответствует

случаю 0 . В окрестности исчезнувшей неподвижной точки график функции


71

последования образует так называемый канал, по которому изображающая

точка движется довольно долго, что соответствует ламинарной фазе

перемежаемости. Уход изображающей точки из канала определяет

турбулентную фазу, в которой точка должна попасть на участок AB ,

обеспечивающий ее возврат в канал.

Исследование отображений вида (3.12) выявляет определенные

количественные закономерности перемежаемости I типа (например, характер

зависимости средней длительности ламинарной фазы от параметра

надкритичности), носящие универсальный характер в том смысле, что они не

зависят от конкретного вида отображения и определяются порядком

экстремума p . Для типичного случая 2p эти закономерности хорошо

согласуются с результатами численных и экспериментальных исследований

перемежаемости I типа в потоковых системах. К исследованию

перемежаемости I типа был применен РГ-метод [40]. Рассмотрим отображение

в критической точке, ограничиваясь интервалом [0;1]nx , на котором

отображение задано монотонной функцией вида 1 0 ( )n nx f x , для которой 0 (0) 0f , '

0 (0) 1f .

Применив все те же рассуждения, что и в случае сценария Фейгенбаума,

можно получить то же самое уравнение Фейгенбаума-Цветановича но с

другими граничными условиями: (0) 0g и '(0) 1g . РГ-анализ позволяет

теоретически определить асимптотику поведения средней длительности

ламинарной фазы:

1

vT , 1p

vp

. (3.13)

При 2p имеем 1 1/T , что хорошо согласуется с результатами

многочисленных экспериментов.

Другие типы перемежаемости, как уже отмечалось, связаны с

субкритической бифуркацией Андронова-Хопфа в сечении и субкритической

бифуркацией удвоения периода цикла. Они называются, соответственно,

перемежаемостями II и III типа. Модельным отображением для

перемежаемости II типа служит следующее отображение плоскости,

задаваемое в полярных координатах: 3

1

1

(1 ) " ",

( )mod(1).

n n n

n n

r r r âî çâðàò (3.14)

При 0 в отображении имеет место субкритическая бифуркация

Андронова-Хопфа, которая представляет собой «влипание» неустойчивой

инвариантной окружности в устойчивый фокус. Неустойчивая инвариантная

окружность соответствует седловому тору в потоковой системе размерности

4N . Данными тип перемежаемости характеризуется асимптотическим

поведением средней длительности ламинарной фазы вида

1 1/T , (3.15)

где cr – параметр надкритичности.


72

3.4. Переход к хаосу через разрушение двухчастотных колебаний (сценарий

Рюэля-Такенса-Ньюхауса)

Согласно сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауса (в синергетике данный

механизм перехода к хаосу называют сценарием Такенса-Рюэля) переход от

квазипериодических колебаний к хаосу происходит после рождения третьей

частоты, когда на трехмерном торе становится возможным появление

неустойчивых по Ляпунову хаотических траекторий. Однако исследование

конкретных динамических систем показало, что не менее типичным является

переход к хаосу через разрушение двухчастотного, квазипериодическего

движения. При этом должен разрушиться, двумерный тор 2T в фазовом

пространстве после чего траектории попадут на множество с фрактальной

размерностью 2 d , [0;1]d , образующееся в окрестности тора и называемое

mop-хаосом. Такой сценарий можно рассматривать как особый случай перехода

к хаосу через квазипериодическое движение.

В отличие от сценария Фейгенбаума, переход 2T CA требует

двупараметрического анализа. Это связано с тем обстоятельством, что характер

квазипериодического режима зависит от числа вращения , определяющего

отношение базовых частот колебаний. Если рационально, то имеет место

резонанс на торе (и, соответственно, периодические колебания). При

иррациональном значении числа вращения движение на торе будет

эргодическим. Наблюдать переход от тора к хаосу при фиксированном

значении числа вращения можно, контролируя, как минимум, два параметра

системы одновременно. На линии рождения тора, задаваемой бифуркационным

условием 1,2 exp j , где 1,2 – пара комплексно-сопряженных мультипликаторов

предельного цикла, а число вращения определяется как / 2 . Области

резонансов на плоскости двух управляющих параметров имеют форму языков,

опирающихся острым концом на соответствующие точки линии рождения тора.

Эти области называют языками или клювами Арнольда (в честь В.И. Арнольда,

исследовавшего структуру резонансных областей. Для каждого выбранного пути

движения в пространстве параметров характерна своя последовательность

бифуркаций, связанных с возникновением и исчезновением различных

резонансов на торе.

Для понимания механизмов разрушения двумерного тора и рождения тор-

хаоса очень важны результаты, полученные математиками в рамках

качественной теории динамических систем. Л.П. Шильниковым и

B.C. Афраймовичем доказана теорема о разрушении двумерного тора 2T с

резонансной структурой на нем и указаны возможные пути возникновения

хаотической динамики [40].

Рассмотренные в теореме механизмы разрушения резонансного тора приводят

к образованию в окрестности тора хаотического множества, которое может

стать притягивающим. Хаотический аттрактор порождается отображением типа

подковы с гладким изгибом и является квазиаттрактором. Описанные

механизмы возникновения хаоса связаны с бифуркациями резонансных циклов


73

на торе. Они не ведут к резкой перестройке поглощающей области и поэтому

составляют бифуркационный механизм мягкого перехода к хаосу. Общий

характер выводов теоремы о разрушении тора был подтвержден численными и

натурными экспериментами для широкого класса дискретных и потоковых

систем.

а) б)

Рис. 3.18 – Отображение кольца в случае существования инвариантной

замкнутой кривой L (а) и образования локального отображения типа подковы

(б) [40]

Если в эксперименте попытаться проследить за эволюцией инвариантной

кривой в сечении тора, изменяя параметры таким образом, чтобы число

вращения оставалось иррациональным, можно увидеть следующее: перед

разрушением форма инвариантной кривой в сечении эргодического тора

искажается, повторяя форму неустойчивого многообразия седлового

резонансного цикла. Затем происходит потеря гладкости и разрушение

эргодического тора, но хаос возникает не сразу, так как в окрестности

разрушившегося тора с иррациональным числом вращения в фазовом

пространстве ДС существуют еще не разрушившиеся резонансные торы,

которые являются аттракторами системы. Таким образом, переходу к хаосу

всегда предшествует резонанс на 2T . Линия разрушения тора на плоскости двух

управляющих параметров имеет сложную структуру. Она состоит из счетного

множества отрезков линий, на которых происходит разрушение резонансного

тора в соответствии с указанными теоремой механизмами, и множества точек

разрушения эргодического тора, имеющих совокупную нулевую меру.

Отображение окружности. Универсальные закономерности мягкого

перехода от квазипериодических колебаний к хаосу. Движение на двумерном

торе в общем случае моделируется изоморфным диссипативным отображением

кольца Q в себя. Для различных значений параметров отображения возможны

следующие случаи [40]:

1. Внутри кольца существует замкнутый контур L (рис. 3.18,а),

преобразующийся в себя (т.е. инвариантная замкнутая кривая отображения,

соответствующая двумерному тору в потоковой системе). На контуре L можно

задать новое отображение, которое будет одномерным и гомеоморфным

отображению окружности:

1 ( , )mod(1)n n , (3.16)


74

где – векторный параметр отображения окружности.

2. Возникает отображение типа подковы, порождающее счетное множество

периодических и непрерывное множество непериодических гиперболических

траекторий. Такая структура образуется тогда, когда некоторая часть области Q

(обозначим ее ) преобразуется в , как показано на рис. 3.18,б. Замкнутого

контура L в этом случае не существует, а модельное отображение (3.16)

становится необратимым. Наиболее часто отображение окружности задается в виде

1 ( , , ) sin(2 ) mod(1)2

n n n n

KK

, (3.17)

где угол определен в интервале [0;1] , 0K и [0;1] – параметры отображения.

Вообще говоря, форма задания функции ( ) почти не существенна (как и в

случае с логистическим отображением), но должны выполняться следующие

условия: 1) ( 1) 1 ( ) ; 2) при crK K функция ( ) и обратная функция 1( )

существуют и дифференцируемы (т.е. отображение есть диффеоморфизм

окружности); 3) при crK K функция 1( ) теряет дифференцируемость в точке 0 ,

а при crK K не существует однозначной обратной функции. Для (3.17) все эти

условия выполняются, причем 1crK .

Динамика точки в отображении окружности характеризуется числом

вращения :

0 0( )lim .

n

n n (3.18)

Оно представляет собой средний угол поворота изображающей точки на

окружности за одну итерацию. Для гладкого взаимно однозначного

отображения (т.е. в случае 0 1K ) предел (3.18) существует и не зависит от

начальной точки 0 . Из этого факта следует, что при иррациональном значении

числа вращения отображение (3.17) не имеет неподвижных точек, а при

рациональном значении /p q (где p и q взаимно простые числа) отображение

окружности имеет четное число устойчивых и неустойчивых неподвижных

точек кратности q , т.е. по крайней мере один устойчивый и один неустойчивый

q -цикл отображения. Числитель p определяет число полных оборотов по

окружности за q итераций. Резонансная структура, соответствующая

рациональному значению числа вращения, является грубой. Каждое

рациональное значение сохраняется в некоторой области изменения

параметров (в клюве Арнольда). Зависимость числа вращения от параметра

называется «чѐртовой лестницей» и представляет собой фрактальную кривую,

состоящую из бесконечного числа «ступенек», соответствующих

рациональным значениям , и множества отдельных точек, соответствующих

иррациональным значениям . При 0K число вращения для (3.17) совпадает-с

параметром и имеет множество рациональных значений меры нуль. При

0 1K мера как рациональных, так и иррациональных значений числа

вращения отлична от нуля. С ростом K мера рациональных значений растет, а

иррациональных – убывает, обращаясь в нуль на критической линии 1K


75

(сумма длин всех ступенек равна единице). Однако при 1K еще имеется

счетное множество точек с иррациональными значениями числа вращения.

При 1K отображение окружности не имеет квазипериодпческих траекторий.

Зависимость ( ) становится неоднозначной, что соответствует перекрытию

клювов Арнольда. В закритической области отображение окружности

описывает резонансы на торе и хаотические движения в окрестности

разрушившегося тора 2T . Оно демонстрирует указанные в теореме сценарии

разрушения тора и возникновения хаотической динамики. В клювах Арнольда

устойчивый резонансный цикл теряет устойчивость на линии удвоения периода.

В каждом клюве наблюдается переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. В

областях перекрытия областей синхронизация имеют место кризисы,

приводящие к объединению хаотических аттракторов, возникших на базе

различных резонансных циклов. В результате объединения хаотических

множеств формируется тор-хаос. Диаграмма режимов отображения (3.17) на

плоскости параметров отражает сложную самоподобную структуру языков

Арнольда.

3.5. Бифуркации-кризисы в динамических системах, катастрофы и

синергетика

Основы динамического (или детерминированного) описания эволюционных

процессов на понятии ДС, которое можно определить как объект любой

природы, состояние которого изменяется во времени в соответствии с

непрерывным законом. Таким образом, понятие ДС является следствием

определенной идеализации, при котором пренебрегают влиянием случайных

возмущений, неизбежно присутствующих в любой реальной системе.

Изменение параметров системы может привести к качественному

преобразованию фазового портрета системы, называемому бифуркацией [40].

Под качественным изменением фазового портрета подразумевается его

структурная перестройка, нарушающая топологическую эквивалентность.

Бифуркации могут происходить с любыми предельными множествами фазового

портрета системы, но наибольший интерес представляют бифуркации

аттракторов, которые подразделяют на внутренние (мягкие) бифуркации и

кризисы (жесткие бифуркации) [40]. Внутренние бифуркации связаны с

топологическими изменениями самих притягивающих предельных множеств,

но не затрагивают их бассейнов притяжения. Кризисы аттракторов

сопровождаются качественной перестройкой границ притяжения.

Поведение ДС определяется из решения системы дифференциальных

уравнений (1.1) (или в векторной форме (1.2)). Решение ix ( 1,2,..., )i n уравнений

(1.1) называют переменными состояния. Предполагается, что функции jf в (1.1)

(или F в (1.2)) зависят от некоторых параметров C (числа Рейнольдса,

напряженности магнитного поля и т.д.), т.е. последние могут качественно

влиять на свойства решений jx ( 1,2,..., )j n , и естественно называть их

управляющими параметрами.


76

Особый интерес представляет изучение состояния равновесия 0jx ( 1,2,..., )j n ,

которое просто определяется с помощью потенциальной функции (энергии)

( , )jV x c . Теория катастроф – наука о том, каким образом состояния равновесия

( )jx c потенциальной функции ( , )jV x c измепняются при изменении

управляющих парметров c ( 1,2,..., )c n [43].

Например, для описания катастроф в экономических системах вводят

управляющий параметр /I N , где I – число различных состояния

фундаментальной информации, N – число возможных состояний.

Для описания катастроф в [50] разработана теория «самоорганизованной

критичности». Было предположено, что катастрофы в сложных системах

происходят не только вследствие внешних причин, но и вследствие того, что

мелкие причины, складываясь вместе, могут приводить к цепной реакции.

Обычно используется метафора кучи песка, которая медленно насыпается

сверху. Очевидно, что время от времени будет возникать ситуация, когда

достаточно всего лишь одной песчинки, чтобы вызвать лавину. После этого

куча оседает и процесс повторяется снова. Метафора кучи песка позволяет

понять многие природные и социальные системы, у которых видим одну и ту

же динамику: эволюционируя, системы самоорганизуются до критического

предела, после чего стремительно разрушаются, чтобы затем опять спонтанно

организоваться.

В физике, химии, биологии, экономике и др. науках велика роль

коллективных эффектов (не детерминированных) в процессах

самоорганизации. Такое направление в науке Г. Хакен назвал синергетикой.

Один из основных принципов самоорганизации – общий принцип подчинения

[6,7]. Основываясь на нем, в сложных системах можно исключить большое

число переменных и свести задачу к решению с небольшим числом

переменных, играющих роль параметров порядка. Поэтому сложные системы

хорошо описываются с помощью ДС. Путем рассмотрения последовательности

бифуркаций, приводящих ко все более сложным движениям, можно сделать

вывод о роли флуктуаций. Сценарии перехода к детерминированному хаосу в

ДС идентичны сценариям перехода к турбулентности в сложных системах.

3.6. Хаос и турбулентность

В своей синергетике [6,7] Герман Хакен отождествляет хаос с

турбулентностью, и описывает 4 сценария перехода к турбулентности (или, что

тоже самое в понимании Германа Хакена сценарии перехода к хаосу): сценарии

Ландау-Хопфа, сценарий Такенса-Рюэля, сценарий через удвоение периода

(универсальность Фейгенбаума), сценарий через перемежаемость (путь Помо-

Манневиля к турбулентности). Более того, как указал в предисловии редактора

перевода Ю.Л. Климонтович, при переходе от ламинарного течения к

турбулентному уменьшается энтропия как мера неопределенности, т.е. при

этом идет процесс самоорганизации (синергетики).


77

При описании сценария развития хаоса в динамических системах [40]

говорится только о трех путях: через удвоение периода (универсальность

Фейгенбаума), через перемежаемость (бифуркационный механизм

возникновения хаоса Помо и Манневиля), переход через разрушение

двухчастотных колебаний (сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауса). Более того,

сценарий Ландау-Хопфа, согласно [40], даже в присутствии флуктуаций не

является хаотическим.

Таким образом, отождествление хаоса с турбулентностью требует

дополнительных доказательств, например, вычисление энтропии хаоса ДС и

сравнение ее с энтропией ДС до ее перехода в состояние хаоса.


1. Изучите закон Фейгенбаума и свойства скейлинга на примере простого

логистического отображения 2

1n nx x или 1 (1 )n n nx rx x .

Получите значение константы Фейгенбаума из внешнего вида

бифуркационной диаграммы. Для этого постройте ее два скейлинговых

увеличения той области общей бифуркационной диаграммы, которая похожа на

нее саму. Точность параметра бифуркации задавайте до пятого-шестого знака

после запятой.

2. Получите жесткий переход к хаосу через перемежаемость в системе

Лоренца

( )x y x ,

y rx y xz ,

z xy bz ,

являющуюся моделью тепловой конвекции в атмосфере, при следующих

значениях параметров: 10 , 166r , 8 / 3b [40]. Получите эволюцию всех трех

координат системы по отдельности и сравните результаты.


78

Глава 4. Стохастические и фрактальные шумы в динамических системах

4.1. Стохастические шумы [40]

Чисто детерминистическое описание ДС является неполным, поскольку в

любой реальной диссипативной системе неизбежно присутствует шум.

Переменные, описывающие состояние ДС в присутствии шума, будут

случайными величинами. Их изменение во времени представляет собой

стохастический (случайный) процесс. Наблюдаемая реализация такого

процесса зависит от случайного выбора. Таким образом, исследование системы

предполагает изучение свойств ансамбля реализаций и требует вероятностного

подхода.

Причины, по которым должна учитываться стохастичность, очень

разнообразны. С одной стороны, переменные ДС, как правило, описывают

свойства системы, состоящей из большого числа микрочастиц. Поэтому

переменные на макроуровне постоянно испытывают тепловые флуктуации. К

шуму в системе неизбежно приводит конечное число макропеременных,

учитываемых при математическом моделировании ДС, а также квантовый

характер микрочастиц. Шум, связанный с указанными причинами, обычно

называют внутренним, поскольку он неотъемлемо присутствует в системе.

С другой стороны, ДС описывает реальный процесс только на некотором

определенном уровне. Обычно проводят разграничение между системой и

окружающей ее средой. В этом случае взаимодействие маломерной системы с

окружающей средой описывается с помощью внешнего шума, воздействующего

на систему.

В настоящее время в рамках статистической физики активно используется

учет случайных источников при описании ДС. Включение случайных

источников приводит к флуктуациям переменных относительно их средних

значений и к возникновению диссипативных сил, противодействующих этим

отклонениям. Их общее проявление сформулировано во флуктуационно-

диссипационных соотношениях различного вида, связывающих характерные

временные масштабы диссипативных и флуктуационных сил. Однако, по

сравнению с выдающимися достижениями и успехами статистической физики

на мезо- и макроскопических уровнях, микроскопическое описание

флуктуационных сил все еще основывается на априорном представлении

вероятностных концепций. В частности, такие концепции необходимо ввести

для описания крупномасштабного осреднения, для процессов декорреляции мод

и событий, а также для достижения термодинамического предела. На каждом

таком шаге происходит потеря точных данных и выполняется их замена в

соответствии с вероятностными предположениями [51].

Множество исследований последних лег было посвящено стохастическим

неравновесным системам. Устойчивые неравновесные состояния всегда

возникают в результате воздействии внешней среды, которые могут

флуктуировать. Внешние силы и потоки препятствуют диссипативной

флуктуирующей системе достичь положения равновесия. Но из-за большого


79

разнообразия возможных ситуаций даже на мезо- и макроскопических уровнях

в настоящее время общая теория неравновесных систем отсутствует. Тем не

менее, многие неравновесные системы имеют много общего при интенсивном

взаимодействии с окружающей средой. В большей части работ осматриваются

простейшие модели, в которых внешние возмущения действуют как

независимые силы. Считается, что поведение флуктуирующей неравновесной

ДС управляется такими дополнительными параметрами, как интенсивность или

времена корреляции источников внешних возмущений изменения параметров

случайных воздействии могут значительно менять отклик ДС на эти

воздействия. Последнее обстоятельство нашло свое отражение в большом

количестве работ, посвященных исследованию индуцированных шумом

переходов в неравновесных ДС.

Фазовая траектория детерминированной ДС однозначно определяется

начальным состоянием. В случае стохастического поведения состояние ( )x t

системы отображается во времени не единственным образом. Соответствующая

математическая модель может быть задана с помощью стохастических

дифференциальных уравнений, явно учитывающих случайные источники

( , ( ))x f x t .

Здесь ( )t представляет собой последовательность случайных чисел,

сгенерированных по некоторому правилу. В результате оператор эволюции во

времени зависит от конкретного выбора ( )t , и, следовательно, является

стохастическим (случайным) процессом.

4.1.1. Уравнения Ланжевена. Поль Ланжевен ввел в рассмотрение

стохастические дифференциальные уравнения, добавив случайную силу в

уравнение движения броуновской частицы. Ланжевен предположил равенство

нулю среднего значения и корреляции между положением частицы и случайной

силы в один момент времени. В этих предположениях он рассмотрел ансамбль

систем и получил обыкновенные дифференциальные уравнения для средних

величин. В пределе сильного трения результаты интегрирования выявили

диффузионное поведение частицы, т.е. линейное увеличение среднего квадрата

смещения частицы с течением времени. Базируясь на равномерном

распределении энергии, Ланжевен вывел флуктуационно-диссипационные

соотношения, связывающие диффузию с коэффициентом трения Стокса,

которые были получены Эйнштейном тремя годами раньше на основе

кинетического уравнения для плотности вероятности броуновских частиц.

Пусть 1( ) [ ( ),..., ( )]nx t x t x t является вектором, составленным из временных,

задающих состояние динамической системы. В самом общем виде уравнение

Ланжевена для каждой из компонент процесса может быть записано

следующим образом:

1 1 1( ) ( ,..., , ) ( ,..., , ( ),..., ( ), )i i n i n mx t f x x t g x x t t t . (4.1)

В этом уравнении выделяются две различные части, задаваемые в общем

случае нелинейными функциями: детерминированная часть ( , ) [ ( , ),..., ( , )]i nf t f t f tx x x

и стохастическая часть ( , , ) ( , , ),..., ( , , )i ng t g t g tx x x , причем ( , 0, ) 0ig tx .


80

Многомерный случай процесс 1( ) [ ( ),..., ( )]nt t t представляет собой совокупность

случайных сил (шумов), воздействующих на систему. В дальнейшем

предполагается, что ( ) 0i t .

В случае внутреннего шума, который присутствует в системе, находящейся в

термодинамическом равновесии, интенсивности источников шума

удовлетворяют особым флуктуационно-диссипационным соотношениям,

включающим противодействующие флуктуациям диссипативные силы.

Например, хорошо известное соотношение Эйнштейна связывает

интенсивность случайной силы с коэффициентом трения Стокса, входящим в

детерминированную часть ( )f x (4.1). Точно так же интенсивность шума в

радиотехнической цепи, согласно теореме Найквиста, связана с таким

параметром цепи, как активное сопротивление. Ситуация упрощается в случае

внешнего шума, который возникает вне системы: две части уравнений

Ланжевена могут рассматриваться как независимые, и характеристики

случайных сил становятся дополнительными независимыми параметрами

системы [51]. Обычно рассматриваются ситуации, для которых шум входит в

уравнение Ланжевена линейно, что значительно упрощает описание:

,

1

( ) ( , ) ( , ) ( )m

i i i j j

j

x t f x t g x t t . (4.2)

Кроме того, если для данного j все коэффициенты , consti jg , то говорят об

аддитивном шуме, так как интенсивность воздействия j на все переменные

состояния ( )ix t не зависит от мгновенных значений ( )ix t . Противоположная

ситуация, когда ,i jg зависит от переменных состояния системы, называется

мультипликативным шумом.

Характеристики шума. Существует много возможных способов ввести

случайные функции ( )t с различными свойствами. При самом общем подходе

различают дискретные процессы, которые могут принимать только дискретное

множество значений, и непрерывные процессы, которые определены на

непрерывном множестве значений. Другая характерная черта – множество

моментов времени, на котором задана случайная функция ( )t . Состояние

системы может изменяться либо непрерывно во времени, либо скачками в

дискретные моменты времени.

4.1.2. Гауссовы процессы. Гауссовы процессы представляют собой большой

подкласс случайных процессов. Совместная плотность вероятности задается

распределением Гаусса

,

, 1

1 1

1exp ( ( ))( ( ))

2( , ,..., , )

(2 ) Det[ ( , )]

n

i j i i j j

i j

n n nn

i j

b x a t x a t

p x t x tR t t

. (4.3)

где

( ) ( )i ia t x t (4.4)


81

есть среднее значение, в общем случае зависящее от времени, а ( , )i jR t t –

корреляционная матрица. Элементы матрицы

, ( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )i j i i j j i j i jR x t a t x t a t x t x t a t a t , (4.5)

a ,i jb – элементы обратной матрицы 1R . Таким образом, для определения

гауссова процесса необходимо знать только два первых момента случайного

процесса.

4.1.3. Винеровский процесс. Броуновское движение можно моделировать

гауссовским процессом. Если iW есть случайная величина, определяющая

положение броуновской частицы в момент времени it , то ее многомерное

распределение, зависящее от единственного параметра D , имеет вид 2

1

1 1

1 11

( )1 1( , ,..., , ) exp

44 ( )

ni i

n n n

i i ii i

W Wp W t W t

D t tD t t, (4.6)

где 0 0W и 0 0t . Такой процесс ( )W t называется в честь Норберта Винера

винеровским процессом. Он генерирует ансамбль не дифференцируемых, но с

вероятностью 1 непрерывных траекторий. Очевидно, что данный процесс

является марковским, так как сомножители с 2i в произведении (4.6) являются

вероятностями перехода между двумя последовательными состояниями: 2

1

1 1

11

( )1 1( , | , ) exp

44 ( )

i i

i i i i

i ii i

W Wp W t W t

D t tD t t. (4.7)

Они не зависят от предыстории и удовлетворяют уравнению Чепмена-

Колмогорова. Винеровский процесс не является стационарным ни в широком,

ни в строгом смысле. При заданном начальном условии 0 0 0( , 0) ( )p W t W для 0t

можно найти плотность вероятности: 2

1 0 0 0 0

1( , ) ( , | , ) ( ) exp

24

Wp W t dW p W t W t W

DtDt, (4.8)

которая явно зависит от времени. Первый момент винеровского процесса с

заданным начальным условием тождественно равен нулю: ( ) 0W t , но второй

момент растет линейно с течением времени:

1 2 1 2( )( ( ) 2 min( , )W t W t D t t , (4.9)

так что для 1 2t t t имеем 2( ) 2W t Dt . Таким образом, введенный параметр D

определяет скорость роста дисперсии. В случае броуновского движения эта

скорость совпадает с коэффициентом диффузии.

Важное заключение может быть сделано для приращений 1 2, 1 2 1( );t tW W t t t . Как

следует из соотношения (4.7), приращения имеют равные нулю средние

значения

1 2, 0t tW . (4.10)

Кроме того, приращения удовлетворяют условию стационарности

1 2

2

, 2 1( ) 2 ( )t tW D t t . (4.11)

Очень важным является свойство статистической независимости приращений

на неперекрывающихся интервалах времени:

1 2 2 3, , 0t t t tW W ; 3 2 1t t t . (4.12)


82

Последовательные приращения формируют стационарный марковский

процесс, поскольку (4.7) является точным решением уравнения Чепмена-

Колмогорова, и, следовательно, 1 2 2 1,t t t tW W . В дифференциальной форме при

1 0i it t это уравнение приобретает вид диффузионного уравнения: 2

0 0 0 02( , | , ) ( , | , )p W t W t D p W t W t

t W. (4.13)

4.1.4. Белый гауссовский шум. Винеровский процесс может быть

представлен как сумма последовательных независимых приращений:

1

1

0

( )k k

n

t t

k

W t W . (4.14)

Возникает вопрос, какими должны быть свойства процесса ( )t , чтобы можно

было представить винеровский процесс в виде стохастического интеграла

0

( ) ( )

t

W t ds s . (4.15)

Формально в этом случае ( )t является производной по времени от

винеровского процесса /W t . Однако эта производная не существует в

среднеквадратическом пределе при 0t , так как гауссово распределение /W t расходится. Интеграл от ( )t по времени имеет смысл, только в том

случае, если его заменять суммами по приращениям, и использовать свойства

приращений.

Тем не менее, использование ( )t с указанными свойствами в уравнении

Ланжевена довольно обычно в физической литературе. Вычисления,

производимые для стационарных в широком смысле процессов, определяют

свойства, которыми должен обладать процесс ( )t . Это процесс, имеющий

гауссово распределение со средним значением, равным 0. Корреляционная

(ковариационная) функция (4.9) винеровского процесса может быть получена,

если предположить, что ковариационная функция процесса ( )t имеет вид

, 1 2 1 2( ) 2 ( )c t t D t t . Следовательно, значения процесса ( )t , определяемою (4.15),

не коррелируют в различные моменты времени, что соответствует

независимости приращений. Спектр мощности ( )G постоянен на всех

частотах: ( ) 2G D . По этой причине процесс ( )t называют белым шумом.

Белый шум не имеет каких-либо физических аналогов. Действительно,

проинтегрированная по всем частотам мощность белого шума бесконечно

велика. В связи с этим при моделировании реальных процессов белым шумом

возникают определенные математические сложности, но имеется и огромное

преимущество. Только в том случае, когда случайный в уравнении Ланжевена

(4.3) является белым шумом, результирующий процесс ( )x t будет марковским.

Это важное упрощение теряется для любых источников шума, отличающихся

от модели белого шума.

Возможное физическое обоснование для использования белого шума

основано на разделении масштабов времени случайных возмущении и чисто

детерминированной динамики. В пределе, если время корреляции шума c


83

пренебрежимо мало по сравнению с временем релаксации r

детерминированной системы, приходим к модели с воздействием в виде белого

шума.

Гауссов белый шум характеризуется единственным параметром –

интенсивностью D . Но значение зависит от выбранного масштаба времени.

Преобразование 't at дает ( ') ( ) /t t a . Для ковариационной функции в новом

временном масштабе нетрудно найти ' ' ' '

, 1 2 1 2( ) 2( / ) ( )c t t D a t t . Следовательно,

величина интенсивности шума обратно пропорциональна масштабу времени.

Везде далее в этом разделе будем обозначать гауссов белый шум как ( )t и

считать, что ( ) ( ) ( )t t , а для приращения винеровского процесса будем,

соответственно, полагать 2

tW t . Интенсивность белого гауссова шума, а

также значение дисперсии приращения могут быть введены в явном виде, как

мультипликативный множитель перед ( )t или tW .

4.1.5. Пуассоновский процесс. Пусть случайная функция ( )N t определяет,

сколько раз некоторое случайное событие произойдет на интервале времени

[0, ]t , причем (0) 0N . Ясно, что процесс ( )N t характеризуется дискретным

множеством значений, причем само значение всегда возрастает во времени.

Вероятность обнаружить состояние N в момент времени t задается

распределением Пуассона: ( )

( ) exp( )!

N

N

tP t t

N, (4.16)

где 0t . Такой процесс ( )N t называется пуассоновским. Все его свойства

определяются только значением . Пуассоновский процесс, очевидно, не

является гауссовским. Его первый момент, а также все более высокие моменты

выражаются через . Рассмотрим среднее и второй момент:

( )N t t , ( ) ( ) ( ') ( ') min( , ')N t N t N t N t t t . (4.17)

Распределение Пуассона (4.16) является решением управляющего уравнения

1 0 0( ) ( ) ( ); 1, ( ) ( )N N NP t P t P t N P t P t , (4.18)

описывающего одношаговый процесс («процесс.рождения») 1N N с

вероятностью перехода в единицу времени ( 1)W N N . Управляющее

уравнение представляет собой дифференциальную форму уравнения Чепмена-

Колмогорова для дискретного множества состояний. Оно описывает эволюцию

во времени вероятностей состояний. Важно отметить, что для получения ( )NP t t

нужно знать только ( )NP t . Следовательно, пуассоновский процесс ( )N t является

марковским.

Подобно винеровскому процессу, процесс Пуассона имеет независимые

приращения. Приращение ( ) 0N t для шага 0 0 ( )N N N t в интервале 0[ , )t t не

зависит от предыстории. Можно показать, что для вероятности перехода из

состояния 0 0N при 0t t в состояние ( )N t при 0t t также справедливо

распределение Пуассона. Это распределение с const , определяет теперь

стационарный марковский процесс ( )N t с


84

0

0 0 0

[ ( )]( , | 0, ) exp[ ( )], 0.

!

Nt tP N t N t t t N

N (4.19)

Можно рассматривать задачу, связанную со временем жизни в различных

состояниях. Как долго процесс остается в определенном состоянии 0N N , если

он находился там при 0t ? Для пуассоновского процесса ответ дается легко. Из

(4.17) с 1N тут же получаем, что 1t . Действительно, вероятность того, что

за период времени [0, ] не происходит никакого скачка, равна 0 ( )P .

Следовательно,

0( ) 1 ( )D P (4.20)

есть вероятность того, что процесс будет оставаться в состоянии 0N на данном

интервале времени. Для вероятности скачка, который произойдет в интервале

[ , ] , получаем

0( ) exp( ) ( )N

dPdD d d w d

d. (4.21)

Усреднение дает

0 0

1exp( ) ( )Nt w d . (4.22)

В (4.21) была введена функция ( )Nw , называемая плотностью вероятности

времен пребывания (ожидания). Она является мощным инструментом описания

стохастических процессов и широко используется в литературе для решения

различных проблем [40].

4.1.6. Дробовой белый шум. Подобно винеровскому процессу представим

пуассоновский процесс с помощью интеграла:

0

( ) ( )

t

SNN t ds s . (4.23)

Подынтегральная функция SN представляет собой случайный процесс,

называемый дробовым шумом и не являющийся гауссовым. Дробовой шум

представляет собой последовательность -импульсов, возникающих в случайные

моменты времени it :

( ) ( )SN i

i

t t t . (4.24)

Моменты времени it имеют пуассоновское распределение по i . Каждый

дельтообразный пик соответствует скачку значения ( )N t на величину 1N .

Такое представление было введено В. Шоттки для описания импульсов,

наводимых отдельными электронами, имитируемыми катодами в вакуумных

лампах. При усреднении ( )SN t получаем отличное от нуля

значение ( ) 0SN t . Иногда удобнее бывает рассматривать флуктуации

относительно среднего ( ) ( )SN SNt , представляющие собой белый шум с

нулевым средним значением. Из-за независимости приращений N

последовательность -пиков в моменты времени it должна характеризоваться

независимыми значениями в различные моменты времени. Этот факт

соответствует следующему равенству, получаемому для второго момента:


85

1 2 1 2( ) ( ) ( )SN SNt t t t . (4.25)

Таким образом, пуассоновский дробовой шум, также называемый процессом

Кемпбелла, является белым шумом.

4.1.7. Цветной шум: процесс Орнштейна-Уленбека. Как уже отмечалось,

белый шум является математической абстракцией. Именно поэтому так важно

изучить влияние конечных времен корреляции случайных сил на управляемую

шумом динамическую систему. Чтобы избежать проблем, возникающих с

немарковскими процессами, можно представить цветной источник шума (т. е.

шум с конечной корреляцией) как результат фильтрации нормально

распределенного белого шума. В простейшем случае фильтр является линейным

(подобно RC - или RCL -цепочкам, слово «фильтр», очевидно, заимствовано из

радиотехники).

Простой фильтр низких частот описывается следующим уравнением

Ланжевена: 1 2

( ) ( )c c

Dy t y t , (4.26)

с гауссовым белым шумом ( )t , имеющим нулевое среднее значение и

( ) ( ) ( )t t . Процесс ( )y t , задаваемый уравнением (4.26), называется

процессом Орнштейна-Уленбека. Легко проверить, что процесс Орнштейна-

Уленбека в асимптотическом пределе является стационарным гауссовым

процессом со стационарной плотностью вероятности

2( ) exp2 2

c cP y yD D

, (4.27)

автоковариационной функцией

( ) exp( )yy

c c

Dc (4.28)

и спектром мощности

2 2

2

1yy

c

DS . (4.29)

Во многих публикациях процесс Орнштейна-Уленбека используется в

качестве источника цветного шума, воздействующего на динамическую

систему. Было показано, что, в отличие от белого шума, процесс Орнштейна-

Уленбека может значительно влиять как на стационарное вероятностное

распределение, так и на поведение системы во времени.

4.1.8. Цветной шум: марковский дихотомический или случайный

телеграфный процесс. Дискретным аналогом процесса Орнштейна-Уленбека с

экспоненциальным затуханием корреляционной функции в (4.28) является

дихотомический марковский процесс tI . Он представляет собой

последовательность переключений между двумя постоянными состояниями и

' . Переходы между состояниями характеризуются экспоненциальным

распределением времени ожидания со средними значениями времени ожидания


86

для перехода ' и ' для ' . В этом случае процесс tI является

марковским и вероятности перехода удовлетворяют управляющему уравнению

0 0 0 0 0 0

'

0 0 0 0 0 0

1 1( , | , ) ( , | , ) ( ', | , ),

1 1( ', | , ) ( , | , ) ( ', | , )

dP t I t P t I t P t I t

dt

dP t I t P t I t P t I t

dt

(4.30)

с начальным состоянием 0I . Откуда можно сразу же легко получить

стационарное распределение 0

0 0( ) ( , | , )P I P i t I t :

0

'

( )P , 0 '

'

( ')P . (4.31)

Обозначив через c время корреляции, определенное соотношением

'

1 1 1,

c

(4.32)

нетрудно записать зависящее от времени решение (4.30) в виде

'

1 1( , | , 0) exp

2

c

c

tP t t , (4.33)

'

1( ', | , 0) 1 exp

2

c

c

tP t t . (4.34)

Если 0I характеризуется исходным стационарным распределением, получаем

стационарный процесс со следующими средними значениями и

корреляционной функцией:

'

'

'tI ,

1 1 2 2

1 2expt t t t

c c

t tDI I I I , (4.35)

где 3

2

'

( ')cD . (4.36)

В пределе '' constt получаем дробовой белый шум ( )SN t с нулевым

средним значением. В этом случае пребывание tI в состоянии 0 в среднем в

течении времени чередуется с дельта-выбросами с весовыми множителями

. Интенсивность такого дробового шума 2D . (4.37)

В пределе стремящихся к нулю весовых множителей можно перейти от

дробового шума к гауссовому белому шуму с постоянной интенсивностью D .

Действительно, при 0 и c constD получаем последовательность

быстрых переключений между положительными и отрицательными

бесконечными значениями с нулевым весом, которая характеризуется

требуемой корреляционной функцией. Кумулянты, порядок которых выше

второго, определяются выражениями ( 2)( ) nD и стремятся к нулю.

Следовательно, в пределе процесс является гауссовым. Следуя Ван-ден-Броку,

можно охарактеризовать величину как параметр «негауссовости»

процесса.


87

4.1.9. Дифференциальная форма уравнения Чепмена-Колмогорова. Альтернативный подход к описанию марковских процессов основан на

уравнениях эволюции для плотности вероятности перехода 0 0( , | , )p x t x t , что

гарантирует полное знание марковской динамики. Рассмотрим вывод

дифференциальных операторов для плотности вероятности перехода.

Поскольку 0 0( , | , )p x t x t зависит от двух пар переменных ( ,x t и 0 0,x t ), то в общем

случае можно рассматривать две разных эволюционных задачи для плотности

вероятности перехода, связанные с двумя сопряженными операторами

эволюции. Первая задача – прямая – соответствует эволюции состояния x в

прямом времени 0t t при фиксированном начальном состоянии 0x в момент 0t .

Аналогично, обратная задача эволюции рассматривает в качестве переменных

начальное состояние 0x и момент времени 0t при заданных ,x t . Использование

того или другого оператора эволюции зависит от конкретной физической

проблемы. Например, обратная задача возникает при исследовании интервала

времени 0t t , в течение которого траектория случайного процесса, исходящая из

заданной начальной точки 0x , достигает некоторого фиксированного значения x .

Оба дифференциальных оператора эволюции выводятся из уравнения

Чепмена-Колмогорова. Дифференциальная форма прямой задачи имеет вид:

0 0

0 0

1

( , | , )( 1) ( , ) ( , | , )

nn

nnn

p x t x tK x t p x t x t

t x, (4.38)

где кинетические коэффициенты ( , )nK x t определяются как скорости изменения

условных средних значений

0 0

( )

1 1 1( , ) lim [ ' ] ( ', | , ) ' lim

! !

n

n

ndt dt

x t x

dxK x t x x p x t dt x t dx

n dt n dt. (4.39)

Обратное уравнение по отношению (4.38) имеет вид

0 0 0 0

0 0

10 0

( , | , ) ( , | , )( , )

n

n nn

p x t x t p x t x tK x t

t x. (4.40)

Операторы эволюции в (4.38) и (4.40) связаны друг с другом и значительно

упрощаются для так называемых диффузионных процессов. Для этих процессов

только два коэффициента (4.39) с 1n и 2n отличны от нуля, в то время как

остальные 0nK для 2n [40]. В этом случае уравнения (4.38) и (4.40)

называются прямым и обратным уравнениями Фоккера-Планка (или Фоккера-

Планка-Колмогорова).

4.1.10. Задача о выходе из ограниченной области. В общем случае можно

утверждать, что, помимо диффузии, влияние шума на ДС приводит к

качественно новой задаче, связанной с выходом из бассейна притяжения

аттрактора. За какое время и с какой вероятностью траектория покинет данный

аттрактор и, соответственно, какова скорость выхода из области аттрактора –

эти вопросы являются принципиальными в исследовании ряда стохастических

явлений.

Впервые вопрос о выходе из ограниченной области был сформулирован в

теории зародышеобразования и в теории химических реакций. Образование


88

зародышевой структуры подразумевает стохастический рост доли нового

состояния до критического размера, что невозможно без флуктуации. В

энергетическом представлении критическая зародышевая структура формирует

конфигурацию, подобную седловой точке, неустойчивую в направлениях

меньшего и большего размеров капельки или пузыря. При превышении

критического размера с большой вероятностью происходит рост «зародыша».

Точно так же в процессе химической реакции частице необходимо преодолеть

потенциальный барьер, чтобы разорвать связь с другой частицей. Преодоление

барьеров происходит во многих других процессах, среди которых можно

упомянуть возбуждение нейронов, перенос по ионным каналам различного

типа, расселение популяций, электронные и оптические реле.

Задача о достижении границы области притяжения аттрактора под

воздействием случайных сил может быть рассмотрена на примере

механических осцилляторов. Впервые это было сделано Крамерсом в его

основополагающей работе, вышедшей в 1940 г. Крамерс рассчитал

стационарный поток sj через некоторые границы в фазовом пространстве ,x v

обобщив попытки, сделанные ранее в теории формирования зародышевых

структур, на случай двух переменных. Он определил скорость r выхода на

границу как

0

sjr

n, (4.41)

где 0n обозначает плотность вероятности в окрестности аттрактора, выход из

которого рассматривается. Крамерсу удалось получить скорости выхода за

энергетический барьер U в случаях слабого, среднего и сильного

коэффициента диссипации .

Чуть ранее, Понтрягин, Андронов и Витт [40] распространили метод первого

достижения границы на задачи о выходе из заданной области. Они ввели

распределение вероятностей

0 0 2 0 0( | , ) ( , | , )W t x t p x t x t dx (4.42)

для времени t , прошедшего от начального момента 0t , когда система

находилась в заданном состоянии 0x , до первого выхода на границу области .

Очевидно, что для стационарных процессов вероятность W , как и ее плотность

/dW dt , зависят от 0t t . Используя заданный оператор эволюции 2 0 0( , | , )p x t x t .

Понтрягин с соавторами сумели получить обыкновенные дифференциальные

уравнения для моментов nT плотности вероятности 0 0( | )w t t x .

4.1.11. Перспективы применения моделей шумов. В данном разделе

рассмотрены элементы теории случайных процессов и ее применение к

динамическим системам. Несмотря на тот факт, что основные концепции и

приложения случайных процессов в физике восходят к началу 20-го столетия,

использование стохастических методов все еще остается современной, быстро

развивающейся и вызывающей большой интерес областью физики и

нелинейной динамики.


89

В настоящее время большие надежды связывают с использованием

стохастических методов в биофизике. Задачи, возникающие в этой области,

неразрывно объединяют нелинейность, неравновесность, сигналы и шум

(флуктуации). Некоторые из методов, развитых в статистической физике,

оказываются очень полезными при рассмотрении биологических проблем. Но

наиболее важной новой областью физических исследований является изучение

и применение новых стохастических методов на качественно более высоком

уровне.

4.2. Фрактальные шумы [52]

Самоподобие является одним из основных свойств фракталов. В главе 3

представлены некоторые самоподобные структуры. Но самоподобие

существует не только в планиметрии, но и лежит в основе значительной части

алгебры.

4.2.1. Самоподобные степенные законы [52]. Рассмотрим однородную

степенную функцию

( )f x cx , (4.43)

где c и – постоянные. При 1 , например, мы получаем частный случай

( )f x cx , который при 0c описывает восстанавливающую силу линейной

пружины. При 2 (и по-прежнему отрицательном c ) уравнение (4.43)

становится законом всемирного тяготения Ньютона 2( )f x cx . Эти простые

степенные законы, во множестве встречающиеся в природе, являются, в

действительности самоподобными: если подвергнуть x преобразованию

подобия (умножив его на некоторую константу), то функция ( )f x по-прежнему

будет пропорциональна x , хотя и с другим коэффициентом

пропорциональности.

Таким образом, однородные функции обладают интересным свойством

масштабной инвариантности: при изменении масштаба они воспроизводят сами

себя. Такая инвариантность может пролить свет на некоторые темные уголки

физики, биологии и других наук и даже помочь объяснить особенности нашего

восприятия музыки [52].

Масштабная инвариантность обусловлена тем, что однородные степенные

законы не имеют естественных масштабов; в них нет места характерной

единичной мере (такой, как единичная длина, единица времени или единичная

масса). Поэтому такие законы называют масштабно-независимыми, или, что

несколько парадоксально, «истинными для всех масштабов». Разумеется,

последнее утверждение справедливо в строгом смысле только для

математических моделей. Реальная пружина не растягивается линейно вне

зависимости от масштаба длины: при некоторой характеристической длине

растяжения наступает разрыв. Даже закон всемирного тяготения Ньютона, если

его надлежащим образом проквантовать, несомненно, породит какую-никакую

характеристическую длину.


90

Концепция независимости от масштаба является одной из центральных тем

настоящей книги. Говорят, что (причем первым, кто высказал это достаточно

громко, был Мандельброт) горные ландшафты интересны только тогда, когда

их характерные особенности (скалы, расщелины, пики и долины) повторяются

во многих масштабах длины.

4.2.2. Фрактальный метод нормированного размаха Херста (R/S-анализ).

Стандартная гауссова статистика хорошо работает при некоторых

ограничивающих предположениях. Центральная предельная теорема (закон

больших чисел) утверждает, что по мере проведения все большего числа

испытаний предельное распределение случайной системы будет обладать

нормальным распределением. Исследуемые события должны быть

независимыми и идентично распределены. Но что делать, если для системы не

выполняются данные условия? К счастью, существует непараметрическая

методология, открытая еще в 1951 году Х.Е. Хѐрстом, знаменитым британским

гидрологом. Он разработал метод нормированного размаха (R/S-анализ),

используемый для различения случайного временного ряда и фрактального

ряда. Ниже опишем эту методологию на примере резервуара реки Нил [52].

В течении каждого промежутка времени t такой резервуар принимает приток

( )t из озера, в то время, как регулируемый объем воды (сток) спускается из

водохранилища. Необходимо найти требуемое количество воды в резервуаре,

чтобы ежегодно можно было спускать из него количество воды равное

среднему притоку за этот период. Средний приток за период в лет равен

1

1( )

t

t .

Тогда ( )X t – накопившееся отклонение приток ( )t от его среднего значения

является суммой

1

( , ) ( )t

u

X t u .

Размах отклонений будет определяться как

11( ) max ( , ) min ( , )

ttR X t X t .

Стандартное отклонение можно получить по формуле квадратного корня из

дисперсии

21( ) ( )S t .

а) б) в) г)


91

Рис. 4.1 – Временные диаграммы шумов: (а) – белый шум с 01/ f -спектром мощности; (б) – «розовый» шум с 1/ f -спектром; (в) – «коричневый» шум с 21/ f -

спектром; (г) – черный шум с 31/ f -спектром [52]

Как обнаружил Хѐрст, для многих временных рядов, наблюдаемый

нормированный размах /R S очень хорошо описывается эмпирическим

соотношением в виде степенного закона:

/ ( )HR S , (4.44)

где H – показатель Хѐрста. Тут следует отметить, что размах именуется

нормированным, поскольку он по замыслу Хѐрста должен делиться на

квадратный корень из дисперсии. Это позволяет применять метод к самым

различным системам. Показатель Хѐрста является устойчивой мерой некоторых

статистических явления, для которых дисперсия таковой не является [52].

4.2.3. Классификация фрактальных шумов. В основе классификации шума

ляжет однородный степенной закон (4.43). Классификацию шумов производят в

зависимости от значения показателя степени :

0 – белый шум;

1 – розовый шум;

2 – коричневый шум;

3 – черный шум.

В белом шуме любое его значение в момент времени t совершенно не

зависит от своего прошлого – оно всегда неожиданно (рис. 4.1,а). Напротив, в

«коричневой» музыке (броуновское движение – это тоже «коричневый» шум)

только инкременты не зависят oт своего прошлого, в результате чего шум

получается утомительно однообразным.

На рис. 4.1,б представлен образец шума с гиперболическим степенным

спектром 1f . Такие функции известны также под названием розового шума,

потому что они занимают промежуточное положение между коричневым

(броуновским) ( 2f ) и белым шумом ( 0f ) (см., соответственно, рис. 4.1,в и

рис. 4.1,а. Поскольку спектр мощности любого шума подчиняющегося

однородному степенному закону ( f ), самоподобен, соответствующая

временная диаграмма также должна быть самоподобна. Действительно, если

масштаб вдоль оси частот изменить в r раз, то по закону взаимности Фурье

масштаб вдоль оси времени соответствующей временной диаграммы изменится

в 1/ r раз. Разумеется, в случае шума (и других вероятностных явлений)

самоподобие носит лишь статистический характер: увеличенный фрагмент не

является точной детерминированной копией формы сигнала до изменения

масштаба.

Кроме того, чтобы сохранить мощность при изменении масштаба частот,

амплитуды должны измениться в / 2r раз. Поэтому, строго говоря, такие

стохастические процессы самоаффинны, т.е. имеют более одного

масштабирующего множителя: r для частот (или, что эквивалентно, 1/ r для

значений времени) и / 2r для амплитуд.


92

Вообще говоря, розовый (а также белый и коричневый) шум является

идеальным образчиком статистически самоподобного процесса. Явления,

спектры мощности которых представляют собой однородные степенные

функции, не имеют собственных масштабов времени и частоты: они

масштабно-независимы. Здесь нет таких понятий как характеристическое

время или характеристическая частота: то, что происходит в одном временном

или частотном интервале, происходит при любом масштабировании времени

или частоты. Если такие шумы записать на магнитную ленту и проиграть на

различных скоростях, то звучать они будут одинаково.

Степенные законы отнюдь не ограничены целочисленными показателями, как

в случае белого, розового и коричневого шумов. В природе в изобилии

встречаются и дробные показатели. Самоподобию, в конце концов, все равно,

целочисленный у нас показатель или нет. Нередко дробный показатель содержит

важный ключ к решению запутанной головоломки. Часто дробные показатели

законов, описывающих совершенно разные явления (например, плавление и

магнетизм), оказываются похожи, что служит указанием на существование

аналогичных «универсальных» механизмов, лежащих в основе этих явлений.

Существуют много и других простых степенных законов с дробными

показателями, описывающих самые разнообразные явления: разливы рек,

разорение игроков, распределение галактик во вселенной и т.д. Из этих

законов выделим главное: часто сложные функции двух и более переменных

ведут себя вблизи «критических точек» как простые степенные законы.

Например, функцию двух переменных ( , )f x y очень часто можно представить в

следующем общем виде:

( , ) ( / )f x y x g y x , (4.45)

где функция ( , )f x y заменена функцией только одной переменной g . Для любого

интервала переменных, на котором функция g постоянна, функция ( , )f x y

приближенно представима простым степенным законом от x .

Такого рода представление – через степенные законы и их показатели –

оказывается необычайно плодотворным при анализе различных критических

явлений.

Оказывается, и розовый, и черный шумы распространены весьма широко.

Розовые процессы возникают во многих физических ситуациях и находят

удивительные эстетические применения в музыке и других видах искусства.

Черные спектры описывают развитие во времени многих естественных и

противоестественных катастроф, таких как разливы рек, засухи, рынки с

тенденцией к понижению курсов и различные аварийные ситуации – например,

перебои в подаче электроэнергии. Из-за своих черных спектров подобные

неприятности нередко случаются по нескольку раз к ряду.

Такие однородные спектры, а также пространственные и временные сигналы,

из которых они получены, демонстрируют простую масштабную

инвариантность: если такой процесс сжать с постоянным коэффициентом

подобия s , то соответствующий спектр Фурье растянется в 1/ s раз. Однако

изменение масштаба частот в любое (постоянное) число раз не изменяет


93

частотной зависимости для степенных спектров: форму свою они сохраняют.

Это можно великолепно продемонстрировать на акустическом примере. Если

такой процесс записать на магнитофонную ленту (надлежащим образом

изменив временной масштаб, чтобы исследуемый сигнал попал в область

слышимых частот) и прослушать с увеличенной или уменьшенной скоростью,

то звук не повысится и не понизится. Звук не изменится совсем, изменится

только громкость! Следовательно, черные спектры самоподобны, а

описываемые ими процессы статистически самоподобны или самоаффинны.

4.2.4. Розовый шум. Розовый шум, называемый также 1/ f -шумом, или

фликкер-шумом, обладает одинаковой мощностью в полосах частот шириной в

октаву или в любых постоянных интервалах в логарифмической частотной

шкале. Благодаря этому свойству он находит множество применений.

Например, розовый шум является одним из излюбленных тестовых сигналов в

исследованиях слуха и акустических исследованиях в целом, поскольку он

близок ко многим естественным шумам. Розовый шум обладает также

свойством возбуждать на приблизительно равных по длине участках основной

перепонки в нашем внутреннем ухе равные по амплитуде колебания, тем

самым стимулируя постоянное количество окончаний слуховых нервов,

передающих звуковые сигналы в мозг [52]. Таким образом, розовый шум

представляет собой психоакустический эквивалент белого шума.

Розовый шум встречается также в самых различных физических системах, в

том числе в полупроводниковых устройствах. Одной из причин вездесущности

1/ f -шумов является то, что их порождают параллельные релаксационные

процессы, в изобилии встречающиеся в природе. В релаксационном процессе

(представьте себе электроны, запертые между стенок потенциальной ямы в

полупроводнике) запертая частица переходит в возбужденное состояние, в

котором и остается в течение экспоненциально распределенного интервала

времени со временем релаксации . Спектр мощности (т.е. квадрат амплитуды

преобразования Фурье) такого процесса ( )P f есть не что иное, как хорошо нам

знакомая лоренцева резонансная кривая, центрированная на частоте 0

(инженер-электрик назвал бы такой спектр характеристикой первого порядка

фильтра низких частот):

0

2

4( )

1 (2 )

PP f

f. (4.46)

Полная мощность 0P релаксационного процесса, т.е. интеграл от ( )P f по

всему диапазону положительных частот, не зависит от .

Многие физические, химические или биологические системы имеют не одно

релаксационное время , а целый спектр таких времен, зависящих от значений

энергии потенциальных барьеров E , которые в течение некоторого времени

удерживают запертую в потенциальной яме систему в возбужденном

состоянии. Отношение между временем релаксации и энергией барьера E –

имеет следующий вид: /

0

E kTe , (4.47)


94

где T – абсолютная температура, а k – постоянная Больцмана. Предположим,

что эти энергии равномерно распределены в интервале [ 1 2,E E ]. Тогда

распределение времени релаксации ( )p может быть получено из соотношения

(4.47) с помощью элементарных правил преобразования вероятностей. Оно

оказывается гиперболическим по :

2 1

1( )

kTp

E E, 1 2 , (4.48)

где 1,2 0 1,2exp( / )E kT .

Наложение большого числа независимых релаксационных процессов на

спектры мощности типа (4.46) и времена релаксации, распределенные по

формуле (4.48), приводит к спектру

0

2 1

2 1

2( ) arctg(2 ) arctg(2 )

( )

kTPP f f f

E E f,

где разность в квадратных скобках, несмотря на несколько громоздкий вид,

практически постоянна в интервале частот

2 1

1 1

4f . (4.49)

Здесь необходимо подчеркнуть, что интервал частот (4.49) может быть очень

широким и в многочисленных ситуациях действительно бывает весьма широк.

Допустим, к примеру, что значения энергии потенциального барьера разделены

интервалом шириной 7kT . Тогда 3

2 1/ 10 . Соответствующие частоты, для

которых 1/ f -закон 1( )P t f выполняется с точностью до 3 децибел (дБ),

заполняют в 1200 раз более широкий диапазон.

Распределения времени релаксации по широким диапазонам значений

наблюдались во многих физических и биологических явлениях. Например,

падение со временем электрического напряжения на лейденской банке, одном

из самых первых аккумуляторов, не подчиняется экспоненциальному закону с

одним-единственным временем релаксации. Скорее, процесс разрядки

лейденской банки имеет гиперболический характер, который подразумевает

широкий диапазон времен релаксации. Утечка внутреннего заряда в

вездесущем электретном микрофоне (современном аналоге лейденской банки)

происходит по сходному закону [52].

Перемежаемость, возникающая при касательной бифуркации в

логистической параболе и других итерированных нелинейных отображениях

является также механизмом гиперболического поведения, порождающего

широкодиапазонные 1/ f спектры.

Если генерировать коричневый шум довольно легко (нужно лишь

суммировать независимые случайные числа), то получить розовый шум

несколько сложнее. Сравнительно простой метод генерирования розового или

1/ f шума на компьютере состоит в том, чтобы сложить несколько

релаксационных процессов со спектром мощности типа (4.46) (характеристика

фильтра нижних частот первого порядка) и со значениями времени релаксации

, образующими самоподобную прогрессию с коэффициентом подобия 10 (или

меньше – для лучшей сходимости). При таком подходе достаточно всего лишь


95

трех значений времени релаксации для того, чтобы покрыть частотный

диапазон шириной почти в три десятых порядка (рис. 4.2).

Релаксационный процесс с дискретными значениями времени nx можно

задавать с помощью имеющегося в компьютере генератора случайных чисел,

который позволяет получать независимые случайные числа nr (нулевой меры),

подставляемые затем в рекуррентное соотношение 2

1 1n n nx x r , 0 0x .

Здесь – требуемый коэффициент корреляции между соседними случайными

значениями. Со временем релаксации этот коэффициент связан

соотношением exp( 1/ ) .

Рис. 4.2 – Спектр мощности розового шума, порождаемого релаксационными

процессами. Сплошной кривой дано наложение трех релаксационных процессов,

штриховой линией – наложение значений, выпавших на трех игральных костях

[52]

Таким образом, для набора значений времени релаксации, каждое из которых в

10 раз превосходит предыдущее ( 1,10,100,...), коэффициенты корреляции

получаются вычислением последовательных корней десятой степени (т.е.

0.37,0.9,0.99...).

Если не требуется высокая точность, то генераторами случайных чисел могут

послужить три игральные кости: первую кость бросаем для каждого нового

значения розового шума, вторую кость бросаем через раз, а третью – через три

раза на четвертый. Сумма очков, выпавших на всех трех костях, образует

случайную величину со средним значением 10,5 и дисперсией (мощностью

шума) 8,75, что является грубым приближением розового шума в ограниченном

диапазоне частот.

В таком игровом варианте генерации розового шума различные времена

релаксации имитируются тем, что число очков, выпавшее на каждой из трех

костей, сохраняется в течение различного времени (в нашем случае период

времени каждый раз увеличивается вдвое): на первой кости оно изменяется

(или по крайней мере может измениться) при каждом бросании, на второй

кости сохраняется вдвое дольше, на третьей – в четыре раза дольше. Однако

метод трех игральных костей (штриховая линия на рис. 4.2) совсем не дает

такого же хорошего приближения к 1/ f -прямой, как метод наложения трех

релаксационных процессов (сплошная кривая на рис. 4.2).


96

4.2.5. Самоподобные тенденции на фондовой бирже (коричневый шум). Самоподобие между дневными, недельными и месячными ценам наблюдаются

вплоть до 30-тисекундных интервалов [52]. Время от времени в данных о

колебаниях биржевого курса происходит нехарактерный скачок, такой,

например, какой произошел в октябре 1987 г. (рис. 4.3), когда компьютеры,

ведавшие торговыми операциями, вдруг впали в неистовство.

Рис. 4.3 – «Обвал» рынка ценных бумаг в октябре 1987 г. [52]

Специалисты называют такие скачки цен «инновационными процессами».

Тенденции и флуктуации биржевых курсов были в свое время чрезвычайно

подробно проанализированы с точки зрения таких понятий теории информации

как перекрестная энтропия и взаимная информация.

Ныне анализ состояния рынка, наряду с другими экономическими

приложениями энтропийных принципов, принадлежит к числу наиболее

разработанных разделов теории информации. А поскольку биржевые операции

производятся сейчас на быстродействующих и бездушных машинах,

управляемых мгновенной обратной связью, возникла необходимость в

серьезном переосмыслении правил всеми заинтересованными сторонами:

правлением биржи, аналитиками и незадачливыми инвесторами.

При рассмотрении биржевых курсов в первом приближении можно счесть,

что их реальные уровни складываются под влиянием независимых приращений.

Получающийся в результате «ценовой шум» обладает спектром мощности,

обратно пропорциональным квадрату частоты. Такие случайные процессы

часто называют броуновскими (или коричневыми) шумами из-за их сходства с

броуновским движением – хаотическим мельтешением взвешенных в воде

частиц цветочной пыльцы, открытым под микроскопом шотландским

ботаником Броуном. (В броуновском движении инновационный процесс

состоит из независимых толчков, получаемых взвешенными частицами со

стороны молекул той жидкости, в которой они плавают).

Другим, еще более чистым примером коричневого шума могут служить

флуктуации капитала игрока, для которого роль инновационного процесса

выполняют независимые броски игральных костей [52].

4.2.6. Черные шумы и разливы Нила. Чтобы охарактеризовать черные

процессы, нам потребуется новая мера расходимости. И такая мера была

предложена Харольдом Эдвином Херстом и Бенуа Мандельбротом. Величина, о


97

которой идет речь, называется нормированным размахом /R S и по существу

представляет собой размах ( )R t данных на временном интервале t (после

вычитания любого линейного тренда) деленный на стандартное отклонение

выборки ( )S t . Для белого гауссова шума отношение /R S при больших t

стремится к постоянной. В некотором смысле и R , и S служат мерой размаха

данных, но R «рассматривает» данные линейно, a S – после возведения в

квадрат. Для некоторых процессов нормированный размах /R S не дает новой

информации и асимптотически стремится к постоянной, т.е. пропорционален 0t . Однако в случае многочисленных геофизических записей, относящихся к

разливам рек, и множества других, столь же мрачных, данных отношение /R S

ведет себя иначе.

Для броуновской функции (спектр мощности которой пропорционален 2f )

величина /R S пропорциональна 1/ 2t , что отражает кроющуюся за коричневыми

процессами долговременную зависимость, называемую устойчивостью.

Статистика колебаний уровня воды в Рейне (во всяком случае там, где сходятся

границы Швейцарии, Франции и Германии, недалеко от Базеля) вот уже на

протяжении весьма долгого срока демонстрирует тенденцию к аналогичному

поведению c 0.55/R S t . Например, минимальные уровни воды в Ниле по

записям за период с 622 по 1469 г. образуют зависимость 0.9/R S t (рис. 4.4);

показатель 0.9 отражает высокую степень устойчивости.

Показатель Херста, определяемый как ln( / ) / ln( )H R S t , служит удобной

мерой устойчивости статистического явления. В случае полного отсутствия

устойчивости (белый шум) показатель 0.5H , тогда как при несомненном ее

наличии (коричневый шум) 0.5H [52].

Интересно, что между показателем Херста H и спектральным показателем

существует простое соотношение: 2 1H . Следовательно, «нильский шум»

имеет спектр мощности, пропорциональный 2.8f f , что как и большой

показатель Херста 0.9H , предполагает долгосрочную устойчивость, при

которой для сдерживания наводнений и предотвращения разрушительных

последствий необходимо сооружать необычайно высокие преграды (такие, как

Большая плотина в Асуане).

4.2.7. Угроза глобального потепления (черный шум). Процессы с ярко

выраженной статистической устойчивостью ставят перед нами

головоломнейшие задачи, и предлагаемые интерпретации таких процессов

часто оказываются неверными. То и дело поднимается крик о нависшей над

нами страшной опасности, стоит только какому-нибудь паникеру столкнуться с

данными, которые, на его взгляд, свидетельствуют о какой-то угрозе, но

беспристрастный анализ, как правило, не обнаруживает ничего более

угрожающего, чем статистический артефакт.


98

Рис. 4.4 – Колебания

минимального уровня воды

в Ниле [52]

Рис. 4.5 – Зависимость

измеренного спектра

мощности от времени

наблюдения T [52]

Черный шум, затухающий при больших частотах f как 3f . При малых

частотах мы, разумеется, наблюдали бы расходимость спектра, что означало бы

бесконечную энергию процесса. Однако сколь бы катастрофичными ни были

реальные катастрофы, их энергия всегда конечна. Даже при отсутствии других

причин, конечные значения времени наблюдения T поставили бы предел

возможным эксцессам. Так, реалистический спектр мощности ( )P f с

асимптотической зависимостью 3f , построенный по данным за период T , мог

бы выглядеть следующим образом: 4

4 4( )

1

T fP f

T f ( 0f ). (4.50)

График этого спектра для периода наблюдений 1T (например, 1 год)

представлен на рис. 4.5.

А теперь предположим, что наблюдения продолжаются в течение двух лет.

«Новый» спектр мощности, построенный по расширенным наблюдениям,

изображен на рис. 4.5 штриховой линией. Таким образом, весь этот «роковой»

избыток мощности, изображенный на рис. 4.5 темным цветом, образуется с

помощью простого продления периода наблюдений с 1 года до 2 лет.

В качестве примера из реальной жизни можно взять наблюдаемые на

протяжении 50 лет годичные вариации количества животных в большой

сухопутной популяции. По данным экологов, флуктуации за 20-летний период

примерно вдвое больше тех, что зарегистрированы за период наблюдений

продолжительностью в 2 года, и это несмотря на относительную стабильность

размера данной популяции в течение полувека [52].

Поэтому, делая мрачные прогнозы на основе необычайно жаркого лета 1988

года на Среднем Западе США, не следует забывать о Херсте и его показателе,

равно как и о сильной зависимости экстремальности величины от

продолжительности наблюдений. Вполне возможно, что «парниковый эффект»,

выражающийся в глобальном потеплении климата, является суровой

реальностью, но для подтверждения этого нам необходимо набраться гораздо


99

больше терпения (требуемое количество углекислого газа мы, пожалуй, уже

набрали).

С другой стороны, минимальные способные к выживанию популяции видов,

которым грозит вымирание, должны быть значительно многочисленнее, чем

это следует из существующих ныне оценок, основанных на наблюдениях,

производившихся в течение ограниченного времени [53].

4.2.8. Дробное интегрирование – современный инструмент

математического анализа. Броуновское движение возникает и при

суммировании независимых приращений. Суммирование (или интегрирование)

приращений преобразует спектр из 0f (инновационные процессы) в 2f

(проинтегрированный процесс). Возникает вопрос: нельзя ли получить с

помощью интегрирования и процессы с 1f ? Оказывается, можно, только

прежде мы должны заново изобрести дробное интегрирование, а для этого нам

придется его определить.

Поскольку интегрирование приводит к умножению спектра мощности на 2f ,

определим полуцелое интегрирование как операцию, которая умножает спектр

мощности на 1f . Относительно сопряженной переменной Фурье (времени,

скажем, или пространственной переменной) такая операция представляет собой

свертку, ядро которой равно обратному Фурье-преобразованию функции 1/ 2

exp( ( ))f i f , где ( )f – соответствующим образом выбранная фаза.

Вообще говоря, можно определить v -дробное интегрирование через

операцию умножения спектра мощности на 2vf . Соответствующее ядро свертки

пропорционально 1vt .

Дробное интегрирование и дифференцирование уже довольно давно с

пользой применяются в квантовой механике и других областях науки. Теперь

они могут, кроме того, послужить удобными средствами для

автоматизированного построения фрактальных ландшафтов и других

самоподобных структур. Хотя вычисление свертки по временной или

пространственной области может потребовать немалых затрат машинного

времени и значительных объемов памяти, альтернативный подход (синтез

Фурье по заданному спектру) может привести к наложению паразитных (не

существующих в действительности) периодичностей на образующийся в

результате построения фрактал.

4.2.9. Оценка вероятности дохода банков [53,54]. Банки – неотъемлемая

составляющая современного денежного рынка, их деятельность тесно связана с

потребностями воспроизводства. Банки создают основу рыночного механизма,

с помощью которого функционирует экономика любой страны. В связи с

периодом глубоких преобразований в банковском деле, многочисленных

новшеств в организациях и методах, резко возросла оценка их финансовых

резервов. В частности, важен анализ прибыли банка.

В последнее время претерпела крах парадигма «эффективного рынка» –

рынка, на котором все активы оцениваются в соответствии с доступной


100

информацией, и как покупатели, так и продавцы не склонны к авантюрам [54].

С точки зрения «эффективного» рынка, он всегда находится в состоянии

равновесия. Вторая проблема – эконометрический взгляд на время в мире:

эконометрика игнорирует время, в лучшем случае, рассматривает его как

переменную наравне с другими переменными модели рынка. Идея о том, что

лишь одно какое-то событие может изменить будущее, чужда эконометрике –

вот в чѐм причина пропуска экономистами поворотных точек экономических

эволюций [54].

Множество ошибочных результатов гипотезы «эффективного рынка»

(например, предположение о том, что прибыли нормально распределены)

заставило Э.Э. Петерса [54] предположить новую гипотезу фрактального

рынка, как альтернативу «эффективного рынка». Фракталы локально случайны,

но глобально детерминированы [54]. При этом рынок, естественно, является

нелинейной детерминированной системой.

В 1990 году Тонис Веге в статье [55] предложил гипотезу когерентного

рынка. За основу Веге взял теорию социальной имитации для моделирования

поляризации общественного мнения.

Он предложил, что существует связь между рыночной поляризацией и

доходностью ценных бумаг. С учетом особенностей доходности следует учесть,

что в отличие от бруска железа, фондовый рынок представляет собой открытую

систему.

Предполагая непрерывный поток денежных средств для сохранения

возможности фазовых переходов от «беспорядка» к более организованному

состоянию. По аналогии, можно привести в пример лазер, нуждающийся во

внешней накачке для поддержания непрерывного потока электронов для

излучения света. Если поток энергии в лазере недостаточен, он будет излучать

лишь слабый, «случайный» свет.

Для переноса модели Изинга на рынки капитала Веге предположил

следующие допущения. Пусть n – число инвестиционных групп на финансовом

рынке (число инвесторов).

Рис. 4.6 – Распределения плотности вероятности доходов: 1 – Сбербанка

( 1.3 0.989k ), 2 – Газпромбанка ( 1.3 0.899k )

при 220n , 0.005h

Рис. 4.7 – Распределения плотности вероятности доходов: 1 – Сбербанка

( 1.3 0.989k ), 2 – Газпромбанка ( 0.13 0.899k )

при 220n , 0.02h


101

Мнение инвесторов, ожидающих рост котировок, можно обозначить, как «+»

(будем называть его позитивным или бычьим), аналогично, мнение инвесторов,

ожидающих падение котировок, обозначим как «–» (будем называть его

отрицательным или медвежьим), при этом в любой момент времени инвестор

может поменять своѐ мнение на противоположное. В результате была получена

следующая формула для распределения вероятности дохода q [55,56]:

1/ 2

( )( ) exp[2 ]

( ) ( )

qc K q

f q dqQ q Q q

, (4.51)

где c – это нормирующая константа, а ( )K q и ( )Q q вычисляются соответственно:

( ) [sinh( ) 2 cosh( )],

( ) [cosh( ) 2 sinh() ].

K q kq h q kq h

Q q kq h q kq hn

(4.52)

Распределение рыночных доходностей ( )f q Веге сопоставил с

распределением вероятностей поляризации и дал следующую интерпретацию

управляющих параметров системы: h – фундаментальное смещение (результат влияния внешних экономических

условий). Параметр варьируется от –0,02 , что соответствует негативным

окружающим условиям (то есть тем, влияние которых потенциально может

уменьшать стоимость ценных бумаг, что может привести к медвежьему рынку),

до значения +0,02, соответствующего позитивным окружающим условиям

(соответственно, это такие условия, влияние которых потенциально может

увеличить стоимость ценных бумаг, что может привести к бычьему рынку).

Значения, лежащие около нуля, соответствуют нейтральной экономической

ситуации; 1.3k H – рыночные настроения или показатель степени согласованности

инвесторов. Параметр может принимать значения от 1.8 до 2.2 . При этом 1.8k

соответствует полностью случайному временному ряду. Ситуацию, когда k

принимает значения от 2 и более, Веге назвал «Режимом толпы». (Здесь H –

показатель Хѐрста, определяемый из предположения, что рынок является

фрактальным);

n – число степеней свободы, или количество участников рынка. Будем

называть участником рынка – группу инвесторов со сходными

инвестиционными действиями и ожиданиями относительно дальнейшего

направления рынка. Данный параметр Веге предполагает фиксированным и

равным 186 (количество промышленных групп).

В [55,56] дан анализ функции вероятности дохода при разных значениях

параметров , ,h k n . Заметим, что параметр k у Веге варьировался от (1) 1.8k до (2) 2.2k .

На рис. 4.6 приведѐн график распределения вероятности доходов Сбербанка

и Газпромбанка при 0,005h , а на рис. 4.7 приведѐн график распределения

вероятности доходов Сбербанка и Газпромбанка при 0.02h .


102

Из сравнения этих графиков можно сделать вывод, что вид функции

распределения доходов банков существенно зависит от значений управляющих

параметров n , h , k .

Таким образом, нами предложен алгоритм устойчивой оценки

персистентности динамики цен акций банков на основании показателя Хѐрста.

Параметр k является управляющим при определении функции плотности

вероятности дохода предприятия.


1. Постойте на разных временных масштабах фрактальные шумы,

описываемые функцией Вейерштрасса.

( 2)

1

( ) sin( )D K K

k

t t ,

где 1 2D , 1 . Для реальных радиотехнических систем 15K . Функция

Вейерштрасса обладает одно интересной особенностью – она абсолютно не

дифференцируема ни в одной свой точке. Еще она является сигналом с

аддитивной фрактальной структурой. Получите временные ряды фрактальных

шумов для следующих значений коэффициентов:

а) 1.6D , 1.2 , 50K ;

б) 1.99D , 1.9 , 5K ;

в) 1.99D , 2 , 17K ;

г) 1.99D , 1.2 , 50K ;

д) 1.99D , 1.2 , 5K .

2. Для построенных в предыдущей задаче сигналов рассчитайте показатель

Херста. Проверьте гипотезу связи корреляционной размерности со значением

показателя Хѐрста : 2H D .

3. Постройте бифуркационную диаграмму зашумленного логистического

отображения [46] 2

1 1n n nx x ,

где n – ―классическая‖ случайная величина, лежащая в пределах [0,1], –

амплитуда шума.

4. Получите значение константы Фейгенбаума из внешнего вида

бифуркационной диаграммы из предыдущей задачи. Для этого постройте ее два

скейлинговых увеличения той области общей бифуркационной диаграммы,

которая похожа на нее саму. Точность параметра бифуркации задавайте до

четвертого знака после запятой. При этом, на каждом шаге скейлинга

амплитуду шума необходимо уменьшать на величину 6.61903...F [46].

5. Получите скейлинговый эффект внешнего вида аттрактора Эно по обеим

координатам двумерного отображения [57]: 2

1

1

1 1,4 ,

0,3 .

n n n

n n

x x y

y x


103

Глава 5. Фрактальная размерность и мультифрактальность

5.1. Фрактальная размерность

5.1.1. Введение в теорию фракталов [58]. Геометрия встречающихся в

природе объектов самых различных размеров – от атомных масштабов до

Вселенной – занимает центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы

«понять» природу. Геометрия траекторий частиц; линий тока в гидродинамике,

волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий; ландшафтов, гор,

островов, рек, ледников и отложений; зерен в скалистых породах, металлах и

композитных материалах; растений, насекомых и живых клеток, а также

геометрическая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в

частности, протеинов, короче говоря, геометрия природы занимает центральное

место в различных областях естествознания, и поэтому мы склонны считать

геометрические аспекты чем-то само собой разумеющимся. Каждая область

стремилась развить свои приспособленные к ее потребностям понятия

(например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура,

конформация и дислокация), интуитивно используемые учеными,

работающими именно в этой области. По традиции основой интуитивного

понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности,

сферы и тетраэдры.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки

традиционной геометрии, но, к сожалению, в прошлом эти понятия не

привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных

наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за

предостережений относительно «опасности», связанной с использованием

такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт

пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии-понятию, введенному

самим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных

им фракталами, избрав для этого весьма необычную и весьма стимулирующую

читателя к самостоятельной творческой работе форму изложения. Книга Бенуа

Мандельброта «Фрактальная геометрия природы»-общепризнанный

стандартный справочник по фракталам и содержит как элементарные понятия,

так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей (как,

например, мультифракталы), находящихся сейчас в центре внимания тех, кто

занимается геометрией фракталов. Синтетические фрактальные пейзажи

выглядят настолько правдоподобно, что большинство людей принимают их за

естественные. Появление в последние годы недорогих компьютеров и

компьютерной графики привело к исследованию нетрадиционных

геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных

геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой

деятельности. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и

распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на


104

телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных

математических объектов и многого другого. Мандельброт написал несколько

книг о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные

работы и вдохновившие многих на применение фрактальной геометрии в

области собственных исследований:

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во многих

областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых

различных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта

замечательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они

междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек,

легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность,

экономику, частоты появления слов и многое-многое другое. Все эти, казалось

бы, разнородные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими

представлениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и

заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по

мере расширения работ в области фрактальной геометрии его идеи позволят все

более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь

пробное определение понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что

предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того,

впоследствии он отказывается от своего определения, В своих книгах

Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия

важна для описания природы, но ускользает от читателя, когда тот пытается

проследить за деталями аргументации автора. Математические доказательства

перемежаются на страницах книг Мандельброта с анекдотами и историческими

сведениями. Различнейшие вопросы перемешаны в его книгах так, что

разделить их практически невозможно. Но, вооружившись терпением,

любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий

спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них

подлинное вдохновение.

5.1.2. Общее понятие фрактальной размерности [54]. Геометрическое

понятие фрактальной размерности хорошо описано в книге Петерса [54]. В

своей книге он писал следующее:

Страница, которую вы читаете, представляет собой трехмерный кусок

бумаги. Предположим, что она не имеет толщины, а в действительности

двумерна, т. е. является куском евклидовой плоскости. Если бы вы вырвали

этот двумерный лист из книги и смяли в комок, то этот объем бумаги не был бы

уже двумерным, но и не был бы в точности трехмерным. Бумага была бы вся в

складках, и ее размерность была бы меньше трех. Чем больше спрессовывать

бумагу, тем будет ближе ее размерность к трем, т. е. к размерности сплошного

тела. Только если бы исходная страница была изготовлена из пластичного

материала вроде глины, она, будучи сжата в комок, могла бы спрессоваться до

истинно трехмерного тела. Но бумага всегда имеет складки.

Бумажный комок имеет дробную, или «фрактальную», размерность. Она не

является целочисленной. Евклидова геометрия с ее чистыми гладкими формами


105

не может описать размерность бумажного шара. Он не может быть представлен

с помощью евклидовой геометрии кроме как посредством большого количества

линейных интерполяций. В терминах математического анализа поверхность

такого шара не дифференцируема.

Мы склонны думать обо всех объектах, которые имеют глубину, как о

«трехмерных». С точки зрения математики это неверно. Линия, прочерченная в

трехмерном пространстве, имеет глубину, но эта линия остается одномерной.

Истинно трехмерный объект – сплошное тело, не имеющее отверстий или

трещин на своей поверхности. Вот почему представление естественных форм с

помощью евклидовой геометрии является столь трудным. Большинство

реальных объектов не сплошны в классическом, евклидовом смысле – они

имеют бреши в полости. Они просто располагаются в трехмерном


Неспособность евклидовой геометрии описать большинство естественных

объектов ограничивает нашу способность понять то, как объект устроен. Для

случая временных рядов классическая геометрия не может оказать

существенной помощи в понимании происхождения их структуры, если только

это не случайное блуждание – система настолько сложная, что предсказать ее

поведение невозможно. В терминах статистики число степеней свободы, или

факторов влияния на систему очень высоко.

Фрактальная размерность, которая описывает, как объект (или временной

ряд) заполняет свое пространство, является продуктом всех тех факторов

влияния на систему, которые и порождают этот объект (или временной ряд).

Если камень случайным образом бомбардируется равномерно со всех сторон

потоками воды, то по прошествии тысячелетия или двух он станет совершенно

круглым. Каждая часть камня будет подвергнута равномерной эрозии.

Количество потоков воды (или количество степеней свободы) может быть

бесконечным.

Если количество таких потоков невелико, камень не станет гладким шаром.

Если камень подвергается ударам воды только с некоторых сторон, он не

станет круглым. Если будут три потока, то в камне окажутся три впадины. Если

один поток будет интенсивнее других, то одна впадина будет глубже других.

В результате камень, подвергающийся эрозии большим количеством равной

силы потоков, будет гладким, симметричным и – евклидовым. Камень со

смещением в равномерности воздействий будет шероховатым и

несимметричным.

Временной ряд будет только тогда случаен, когда он является следствием

большого количества равновероятных событий. В терминах статистики – он

имеет большое количество степеней свободы. Неслучайный временной ряд

будет отражать неслучайную природу влияний. Скачки данных будут

соответствовать скачкам влияющих факторов, отражая присущую им

корреляцию. Иными словами, временной ряд будет Фракталом.

Обычно мы помещаем объект в пространство, большее чем фрактальная

размерность этого объекта. Мы полагаем, что шарик скомканной бумаги


106

является трехмерным, хотя он и не заполняет все отведенное ему трехмерное

пространство. Это пространство, рассматриваемое как объект, называется

размерностью вложения, или топологической размерностью. Когда объекты

имеют размерность между двумя и тремя, мы склонны думать о них как о

трехмерных. Примерами могут служить горы и облака.

Мы думаем о береговой линии как о двумерной, в то время как в

действительности ее размерность меньше. Временной ряд относится к той же

категории объектов. Только случайный временной ряд, который бы сплошь

покрыл плоскость, был бы истинно двумерным.

Одна из характеристик фрактальных объектов состоит в том, что они

оставляют себе свою собственную размерность, будучи помещены в

пространство размерности, больше чем их фрактальная размерность.

Случайные распределения (белый шум) не имеют этой характеристики. Белый

шум заполняет свое пространство подобно тому, как газ заполняет объем. Если

определенное количество газа поместить в контейнер большего объема, газ

просто растечется в большем пространстве, поскольку молекулы газа ничто не

связывает между собой. С другой стороны, твердое тело имеет молекулы,

сцепленные друг с другом. Аналогично этому во фрактальном временном ряде

положения точек определены корреляциями, но таких корреляций не

существует в случайном ряде. Во фрактале, подобном треугольнику

Серпинского, каждая точка коррелирована с точкой, нанесенной до нее. Если

мы увеличим размерность пространства вложения треугольника, то корреляции

останутся неизменными и будут стягивать точки в группы. Размерность

треугольника останется неизменной, так же как осталась бы неизменной

размерность временного ряда.

В случайном временном ряде нет корреляций точек. Ничто не удерживает

точки в том же соседстве, сохраняя их размерность. Вместо того они целиком

заполняют отведенное им пространство.

Фрактальная размерность определяется тем, как объект или временной ряд

заполняет пространство. Фрактальный объект заполняет пространство

неравномерно, поскольку его части зависимы, или коррелированы. Чтобы

определить фрактальную размерность, мы должны определить, каким образом

объект группируется в единое целое в своем пространстве.

Существует много способов расчета размерности, но все они включают в

себя подсчет объема или площади фрактальной формы и того, как она

изменяется в масштабах в том случае, если этот объем или форма

увеличиваются.

Береговые линии являются хорошим примером, особенно если провести

параллель между ними и временными рядами. Мандельброт [8,59,60] выдвинул

постулат о том, что мы никогда не сможем измерить действительную длину

береговой линии, поскольку измеряемая длина зависит от длины используемой

для измерения линейки.

Предположим, например, что мы хотим измерить длину побережья. Мы

начнем с самой северной точки и будем мерить, накладывая на поверхность


107

земли линейку шестифутовой длины. Мы будем складывать шестифутовые

приращения, двигаясь вниз по берегу, и придем к какому-то числу. Затем мы

повторим эту процедуру, используя трехфутовую линейку. На этот раз мы

сможем уловить больше деталей, так как линейка наша короче. Поскольку мы

сможем учесть большее количество бухточек и фиордов, мы в итоге получим

большую длину побережья. Если мы укоротим линейку еще на один фут, то

получим еще больше деталей и еще большую длину. Чем короче будет

становиться линейка, тем длиннее береговая линия. Получается, что длина

береговой линии зависит от размеров линейки!

Ввиду того, что это справедливо для всех береговых линий, длина как мера

не годится для сравнения береговых линий. Вместо нее Мандельброт

предложил использовать фрактальную размерность. Береговые линии

представляют собой зазубренные кривые, поэтому их фрактальная размерность

больше единицы (т. е. их евклидовой размерности); то, насколько она больше

единицы, зависит от степени зазубренности. Чем она больше, тем ближе

размерность береговой линии к двум – размерности плоскости.

Фрактальная размерность рассчитывается посредством измерения этого

свойства зазубренности. Мы подсчитываем количество окружностей

определенного диаметра, которое необходимо для покрытия береговой линии.

Мы увеличиваем их диаметр и снова считаем их количество. Продолжая эту

процедуру, мы найдем, что количество окружностей и их радиус связывает

показательная зависимость:

(2 ) 1DN r , (5.1)

где N – количество окружностей, r – радиус окружности, D – фрактальная

размерность.

Уравнение (5.1) может быть приведено к отношению логарифмов: log

log ( / 2)

ND

r.

Рис. 5.1 – Вычисление фрактальной размерности

Можно использовать некоторую часть снежинки Коха в качестве простейшей

береговой линии; средняя треть этой линии несет на себе равносторонний

треугольник. Если длина этой ломаной цепочки равна единице, то тогда нам

нужно четыре окружности диаметром 0.3, чтобы покрыть эту кривую (рис. 5.1).

Фрактальная размерность кривой Коха будет равна: log (4)

1.26log (1/ 0.3)

D .

Реальные береговые линии устроены аналогичные образом. Береговая линия

Норвегии, например, имеет фрактальную размерность, равную 1.52, в то время


108

как берег Британии – 1.30. Это означает, что береговая линия Норвегии более

изрезана, чем в Британии, и поэтому ее размерность ближе к 2.00.

Фрактальная размерность показывает нам, как форма или временной ряд

заполняют пространство. Способ заполнения объектом пространства

определяется теми силами, которые определили его формирование. Для

береговой линии такими силами выступает геологическая активность,

обусловливающая ее формирование: давление ветра, вулканические явления и

др. Заметим, что метод окружностей для определения фрактальной размерности

неудобен в практическом отношении.

5.1.3. Основные обобщенные фрактальные размерности qD и спектр

Реньи [61]. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую

ограниченную область размера L в Евклидовом пространстве с размерностью d . Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество из

1N точек, как-то распределенных в этой области. Мы будем предполагать,

что в конце концов N . Примером такого множества может служить

треугольник Серпинского, построенный методом случайных итераций. Каждый

шаг итерационной процедуры добавляет к этому множеству одну новую точку.

Разобьем всю область на кубические ячейки со стороной L и объемом d . Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится

хотя бы одна точка. Пусть номер занятых ячеек i изменяется в пределах

1,2,3,... ( )i N , где ( )N – суммарное количество занятых ячеек, которое, конечно,

зависит от размера ячейки .

Пусть ( )in представляет собой количество точек в ячейке с номером i , тогда

величина ( )

( ) lim i

iN

np

N

представляет собой вероятность того, что наугад взятая точка из нашего

множества находится в ячейке i . Другими словами, вероятности ip

характеризуют относительную заселенность ячеек. Из условия нормировки

вероятности следует, что ( )

1

( ) 1.N

i

i

p

Введем теперь в рассмотрение обобщенную статистическую сумму ( , )Z q ,

характеризуемую показателем степени q который может принимать любые

значения в интервале q ( )

1

( , ) ( ).N

q

i

i

Z q p (5.2)

Спектр обобщенных фрактальных размерностей qD , характеризующих

данное распределение точек в области , определяется с помощью

соотношения ( )

,1

q

qD

q


109

где функция ( )q имеет вид

0

ln ( , )( ) lim .

ln

Z qq (5.3)

Как будет показано ниже, если constqD D , т. е. не зависит от q , то данное

множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который

характеризуется всего лишь одной величиной – фрактальной размерностью D .

Напротив, если функция qD как-то меняется с q , то рассматриваемое множество

точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется некоторой

нелинейной функцией ( )q , определяющей поведение статистической суммы

( , )Z q при 0 ( )

( )

1

( , ) ( ) .N

q q

i

i

Z q p (5.4)

Следует иметь в виду, что в реальной ситуации мы всегда имеем конечное,

хотя и очень большое число дискретных точек N , поэтому при компьютерном

анализе конкретного множества предельный переход 0 надо выполнять с

осторожностью, помня, что ему всегда предшествует предел N .

Покажем теперь, как ведет себя обобщенная статистическая сумма в случае

обычного регулярного фрактала с фрактальной размерностью D . В этом случае

во всех занятых ячейках содержится одинаковое количество точек

( ) ,( )

i

Nn

N

то есть фрактал является однородным. Тогда очевидно, что относительные

населенности всех ячеек, ( ) 1/ ( )ip N , тоже одинаковы, и обобщенная

статистическая сумма принимает вид 1( , ) ( ).qZ q N (5.5)

Теперь учитем, что согласно определению фрактальной размерности D ,

число занятых ячеек при достаточно малом ведет себя следующим образом ( ) .DN

Подставляя это в формулу (5.5) и сравнивая с (5.4), мы приходим к выводу,

что в случае обычного фрактала функция

( ) ( 1)q q D ,

т. е. является линейной. Тогда все qD D действительно не зависят от q . Для

фрактала, все обобщенные фрактальные размерности qD которого совпадают,

часто используется термин монофрактал.

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является

неоднородным, т. е. представляет из себя мультифрактал, и для его

характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных

размерностей qD число которых, в общем случае, бесконечно.

Так, например, при q основной вклад в обобщенную статистическую

сумму (5.2) вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц in в них и,

следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения

ip . Наоборот, при q основной вклад в сумму (5.2) дают самые разреженные


110

ячейки с малыми значениями чисел заполнения ip . Таким образом, функция qD

показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек

. В дальнейшем, для характеристики распределения точек необходимо знать

не только функцию ( )q , но и ее производную, непосредственно вычисляемую

из выражений (5.3) и (5.2) ( )

1

( )0

1

ln( )

lim .

ln

Nq

i i

i

Nq

i

i

p pd q

dqp

Эта производная, как будет показано далее, имеет важный физический

смысл. Здесь же повторим, что если она не остается постоянной и меняется с q ,

то это означает, что мы имеем дело с мультифракталом.

5.1.4. Основные свойства размерности Хаусдорфа 0D и информационной

размерности 1D [52]. Рассмотрим некоторые основные фрактальные

размерности из ряда fD при различных значения f . Для 0f из ( )

0

0

ln1

lim1 ln

M lf

i

i

fl

p

Df l

(5.6)

получим ( )

00 0

0

ln ( )lim ln 1 ln lim

ln

M l

l li

M lD l

l.

Из очевидного сходства этого выражения и формулы для определения

размерности Хаусдорфа [52] следует, что нуль-размерность 0D есть не что иное

как емкость аттрактора 0D D , т.е. размерность Хаусдорфа. При 1f из (5.6)

следует, что

10

( )lim

lnl

S lD

l, (5.7)

где ( )

1

0

lnM l

i i

i

S p p . (5.8)

Здесь 1S - приращение информации или информационная энтропия [52],

полученное из известных значений { }ip свидетельствующих о прохождении

фазовой траектории через i-ю ячейку. Поэтому величину 1D называют

информационной размерностью. Информационная размерность показывает,

как возрастает получаемая информация при 0l . На самом деле, 1S является

частным случаем обобщенной энтропии [52], которая определяется из

выражения ( )

1

1ln

1

M lf

f i

i

S pf

,

для 1f соответственно. Энтропия 1S и информационная размерность 1D

играют важную роль при анализе нелинейных динамических систем, особенно

в описании потери информации при эволюции хаотической системы во


111

времени. В данном контексте величина 1S называется энтропией Колмогорова

[52].

На основании анализа выражений (5.6)-(5.8) можно сделать некоторые

выводы. Например, для однородных аттракторов, когда все ip равны между

собой, т.е. 1/ ( )ip M l получим ( )

1

0

1 1ln ln ( )

( ) ( )

M l

i

S M lM l M l

,

т.е. информационная размерность 1D равна размерности Хаусдорфа 0D . Таким

образом, разность 0 1D D является мерой неоднородности странного

аттрактора. Кроме того, поскольку величина 1 ln ( )S M l , информационная

размерность всегда меньше или равна Хаусдорфовой. Эти выводы можно

обобщить следующим правилом:

'f fD D для 'f f , (5.9)

причем равенство справедливо только для однородного аттрактора.

5.1.5. Корреляционная размерность 2D и метод Грассбергера-Прокаччиа.

Корреляционная размерность 2D может быть вычислена по формуле (5.6) для

2f : ( )

2

0

20

ln

limln

M l

i

i

l

p

Dl

. (5.10)

Иногда, покрытие фазового пространства множеством многомерных ячеек

представляется весьма непростой задачей. Однако для частного случая 2f

применяется корреляционный интеграл [49]

, 1

1( ) lim

( 1)

N

i jN

i j

C l lN N

x x , (5.11)

где - функция Хевисайда, показывающая разделены ли точки ix и jx

расстоянием большим чем l . Определение корреляционной размерности 2D при

помощи корреляционного интеграла (5.11) называют методом Грассбергера-

Прокаччиа [62].

5.1.6. Размерность подобия и ее экспериментальное определение. Безусловной ценностью размерности Хаусдорфа-Безиковича является

возможность ее экспериментального определения. Некоторое множество может

быть измерено d -мерными ( d – целое) образцами со стороной 1l . Тогда,

количество образцов 1N покрывающих множество будет: 1 1/ dN A l . Значение

d должно быть основано на предварительных сведениях о размерности

множества, теоретически, если d будет меньше топологической размерности,

то 1N , а если nd R , где nR - евклидово пространство, то 1 0N .

Образец с размером 2l даст оценку 2 2/ dN A l , тогда размерностью подобия

будет:

2 1

2

/

1

logl l

ND

N. (5.12)


112

Например, линия длиной А 100 единиц может быть покрыта N = 10

отрезками 2l длиной 10 единиц, или 100 отрезками 1l длиной в 1 единицу

длины. Тогда, размерность линии, согласно (5.12) будет: 10 /1

10log 1

100D .

Прямоугольник площадью 64A единицы, может быть покрыт 16-ю

площадками 2

2l площадью 4 единицы (сторона 2) или 64 площадками 2

1l

площадью в 1 единицу (сторона 1). Тогда, размерность прямоугольника будет

2 /1

16log 2

64D .

Аналогично, для гладких объектов размерностью больше 2-х будем

получать целые значения 3, 4,...D . Для объектов, называемых самоподобными

фракталами, значения D почти всегда нецелые и больше значения nR .

Исключением, например, может служить «чертова лестница» - масса канторова

стержня с размерностью 1D .

Следует отметить, что использование размерности подобия удобно в случае

объектов, имеющих явное масштабное подобие. Такими объектами, прежде

всего, являются самоподобные фракталы – кривая Коха, множество

Мандельброта, Жюлиа и др. [8,7,52,62,58,44,49,11,63]. В тех же случаях, когда

подобие трудно установить даже при его наличии, удобно применять

приближенное вычисление размерности Хаусдорфа-Безиковича. Здесь, в

качестве примеров, можно рассмотреть стохастические самоафинные

фракталы, динамические отображения – странные аттракторы и т.д.

Для приближенного измерения размерности Хаусдорфа-Безиковича, на

исходном множестве (выборке) ( )x t устанавливается некоторая «мера» -

например, длина графика выборки.

Рис. 5.2 – Экспериментальное измерение размерности Хаусдорфа-Безиковича

Далее выборку надо измерить с помощью образца фиксированной длины1)

-

(см. рис. 5.2).

Затем нужно измерить выборку образцом длины в 2 . В итоге мы получим две

оценки длины A на «масштабе» - в виде 1A и на «масштабе» 2 - в виде 2A .

Размерность кривой на рис. 5.2 вычисляется по формуле:

1

( ) 2

2

logx t

AD

A. (5.13)

1)

Выборка, в данном случае должна быть упорядоченной. При анализе изображений и сигналов, выборки

упорядочены либо по координатам, либо по времени.


113

Если длина измеряется только целым числом образцов, то размерность может

быть вычислена по формуле (5.12), являющейся аналогом физического подобия

в отрезках.

Практическая реализация описанного метода, наталкивается на трудности

связанные с большим объемом вычислений. Связано это с тем, что для

вычисления размерности Хаусдорфа-Безиковича, нужно измерять не просто

соотношение, а верхнюю грань этого соотношения. Действительно, выбрав

конечный масштаб, большим двух дискретов временного ряда или одного

элемента изображения, мы создаем возможность «промахнуться» мимо

некоторых особенностей фрактала. Например, взяв кривую Коха, и померив ее

образцом длиной 1, получим значение длины кривой1 16L , померив в другой

раз образцом длиной 3 – получим длину 3 12L (размерность этой кривой

3log 4 ln 4/ ln3 1.26 ). В этой ситуации все правильно.

Проблема возникнет в том случае, если неизвестен конечный масштаб.

Например, взяв второй масштаб равный 2, получим 2 8L , что дает однозначную

оценку размерности 1D . Во многих случаях решить эту проблему помогает

построение фрактальной сигнатуры или же зависимости оценок типа (5.11) от

масштаба наблюдения. О понятии фрактальной сигнатурах и их приложениях

подробно рассказано в [11,64].

Рис. 5.3 – Быстрый способ оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича

Однако применение сигнатуры резко повышает требуемый объем

вычислений. Кроме этого, алгоритм должен получать новое значение выборки

и по нему измерять длину до начала измерений. Когда длина окажется близкой

в пределах допуска к , то будет найдена новая стартовая точка. Следующий

масштаб потребует точно таких же вычислений. В двумерном случае задача

измерения с помощью «измерительного квадрата со стороной » становится

очень сложной. Действительно, даже пересечение двух плоскостей,

представляющее собой линию, потребует построения другой плоскости,

опираясь на эту линию и так далее.

Можно уменьшить число шагов алгоритма следующим образом – взять из

упорядоченной выборки точки с координатами отстоящими на , 2 и т.д.

(рис. 5.3).

Кроме размерности подобия D существуют и другие определения нецелых

размерностей, являющихся следствием определения размерности Хаусдорфа-

Безиковича. Большинство этих размерностей также хорошо оцениваются

экспериментально.


114

5.1.7. Практическое определение фрактальной размерности для кривой

фазовой траектории и неровной поверхности [58]. Фракталы можно

рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например,

множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве,

имеет топологическую размерность 1TD и размерность Хаусдорфа-Безиковича

1D . Евклидова размерность пространства равна 3E . Так как для линии TD D ,

то линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что

подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек,

образующих поверхность в пространстве с 3E , имеет топологическую

размерность 2TD и 2D . Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна

независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера,

имеет 3D и 3TD . Эти примеры позволяют определить некоторые из

рассматриваемых нами типов множеств.

Рис. 5.4 – Измерение «величины» кривой

Рис. 5.5 – Измерение «величины» поверхности

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа-Безиковича и,

следовательно, фрактальной размерности D занимает понятие расстояния

между точками в пространстве. Как измерить «величину» множества точек в

пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей

или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие

кубы с ребром , как показано на рис. 5.4. Вместо кубов можно было бы взять

небольшие сферы диаметром . Если поместить центр малой сферы в какой-

нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии / 2r , окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер,

необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, мы получаем

меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число ( )N

прямолинейных отрезков длины , необходимых для того, чтобы покрыть ее.

Разумеется, для обычной кривой 0( ) /N L . Длина кривой определяется

предельным переходом 0

00( ) .L N L

В пределе при 0 мера L становится асимптотически равной длине кривой

и не зависит от .

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например,

площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов,


115

необходимых для ее покрытия. Если ( )N -число этих квадратов, а 2 площадь

каждого из них, то площадь кривой равна 2 1

00( ) .A N L

Аналогично объем кривой V можно определить как величину 2 2

00( ) .V N L

Разумеется, что для обычных кривых A и V обращаются в нуль при 0 , и

единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Рассмотрим далее множество точек, образующих поверхность (рис. 5.5).

Нормальной мерой такого множества служит площадь A , и мы имеем 2 0

00( ) .A N A

Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов,

необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при 0 выражением 2

0( ) /N A , где 0A -площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов

кубов, необходимых для покрытия поверхности: 3 2

00( ) .V N A

При 0 этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину?

Формально мы можем принять за такую длину величину 1

00( ) ,L N A

которая расходится при 0 . Этот результат имеет смысл, так как поверхность

невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков. Мы

заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек,

образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут быть

закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и,

действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость.

Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что

они заполняют пространство. Для того чтобы мы могли рассматривать и такие

необычные множества точек, полезно обобщить введенные нами меры

величины множества.

До сих пор, определяя меру величины множества точек в пространстве, мы

выбирали некоторую пробную функцию ( ) ( ) dh d -отрезок прямой, квадрат,

круг, шар или куб и покрывали множество, образуя меру ( )dM h . Для

прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент

( ) 1d . Для кругов / 4 и для сфер / 6 . Мы заключаем, что в общем случае

при 0 мера dM равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора d -

размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича D множества есть

критическая размерность, при которой мера dM изменяет свое значение с нуля

на бесконечность:

0

0, ;( ) ( ) ( )

, .

d d

d

d DM d d N

d D


116

Мы называем dM d -мерой множества. Значение

dM при d D часто конечно,

но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно

значении d величина dM изменяется скачком. Заметим, что в приведенном

выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как

локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства

множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере,

пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно,

фрактальная размерность D может также быть локальной характеристикой

множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов,

заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности

Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарами» не

обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры всех шаров

меньше . В этом случае d -мера есть нижняя грань, т.е., грубо говоря,

минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.

5.1.8. Особенности вычисления поточечной фрактальной размерности

для временных рядов [44]. В этом пункте авторы посчитали необходимым

отметить некоторые особенности вычисления фрактальных размерностей по

временной выборке сигнала.

В численных, и в физических экспериментах фрактальную размерность и

показатели Ляпунова чаще всего находят, дискретизируя сигналы

последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая

полученные данные на компьютере. Существует 3 основных метода:

а) временные дискретизации переменных в фазовом пространстве;

б) вычисление фрактальной размерности отображений Пуанкаре;

в) построение псевдофазового пространства по измерениям одной

переменной (иногда называемый методом вложения пространства).

В первом и третьем методах переменные измеряются через одинаковые

интервалы времени 0{ ( )}t nx , 0,1, 2...n , и записываются. Временной интервал

выбирается с таким расчетом, чтобы он составлял определенную долю периода

вынуждающей силы или характерного времени траектории. Если сечение

Пуанкаре в методе «б» проводится по временной переменной, то -период

траектории. В устройствах импульсной силовой электроники, где наличествует

генератор синхроимпульсов, целесообразно принимать T , где T -период

работы силового ключа. Если же сечение Пуанкаре проводится по каким-

нибудь другим переменным в фазовом пространстве, то собранные данные

соответствуют различным моментам времена в зависимости от конкретного

типа выбранного сечения Пуанкаре.

Основу численного нахождения фрактальной размерности можно

продемонстрировать на следующем примере. Предположим, что мы знаем (или

подозреваем) о существовании у хаотической системы аттрактора в трехмерном

фазовом пространстве с физическими переменными { ( ), ( ), ( )}x t y t z t . При

дискретизации речь идет о выборке временных значений { ( ), ( ), ( )}x t y t z t через

интервал, который должен быть меньше периода вынуждающей силы. Каждому


117

интервалу времени соответствует точка { ( ), ( ), ( )}x n y n z nx в фазовом


Для вычисления усредненной поточечной размерности выбирают случайным

образом несколько точек nx . Для каждой выбранной точки вычисляют

расстояния до ближайших окружающих точек 1nx и 1nx . Здесь речь идет о

точках, ближайших во времени, а не в пространстве. Использовать евклидову

меру расстояния не обязательно. Например, можно воспользоваться суммой

абсолютных величин компонент вектора n mx x , т. е

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nms x n x m y n y m z n z m

Затем подсчитывают число точек в шаре, кубе или другом геометрическом

теле (или фигуре) размера и находят вероятность как функцию параметра :

0

1( ) ( ),n nm

m

P H sN

где 0N -общее число точек в выборке, H -функция Хевисайда. Тогда

усредненная поточечная размерность есть величина

01

log ( ) 1lim ,

log

Mn

n n

n

Pd d d

M,

где предел в формуле для nd существует. Для некоторых аттракторов

вероятность nP зависит от не по степенному закону, а разрывно, или имеет

изломы. В этих случаях можно вычислять модифицированную поточечную

размерность, предварительно усредняя («сглаживая») nP . Например, можно

выбрать

1

1( ) ( )

M

n

n

C PM

, 0

log ( )lim

log

Cd .

Эта размерность аналогична корреляционной размерности.

В большинстве современных работ, где реально вычисляется фрактальная

размерность, используется от 2000 до 20 000 точек, хотя некоторые авторы

утверждают, что обладают надежными алгоритмами, позволяющими вычислять

размерность по 500 точкам [65]. Прямые алгоритмы для вычисления

фрактальной размерности по 0N точкам обычно содержат 2

0N операций и

требуют для реализации использования современных компьютеров. Но при

более рациональном использовании возможностей, заложенных в

компьютерах число операций удается понизить до 0 0lnN N и тем существенно

ускорить вычисления [66].

На практике 3 4

0 3 10 3 10N точек, 00,2M N . Число подбирают опытным путем,

начиная с какого-нибудь малого значения и постепенно увеличивая его до тех

пор, пока d не достигает предела.

Выбор также требует известной осмотрительности. Верхний предел

значений е гораздо меньше максимальной величины аттрактора, но достаточно

велик, чтобы «ухватить» крупномасштабную структуру в окрестности точки nx .

Наименьшее значение с должно быть таким, чтобы сфера радиуса или куб с

ребром содержали по крайней мере одну выборочную точку. Например, в


118

трехмерном фазовом пространстве, если средний глобальный масштаб

аттрактора равен L , то средняя плотность точек составляет величину

0

3

6N

L,

поэтому объем, связанный с масштабом , должен быть больше, чем 1 или

302

L

N

Другим ограничением на минимальную величину является уровень

«реального шума», или неопределенность в измерениях переменных состояния

( , , )x y z . В любом реальном эксперименте существует сфера неопределенности,

окружающая каждую измеренную точку в фазовом пространстве. Когда

становится радиусом этой сферы, рассмотренная выше теория фрактальной

размерности, строго говоря, становится неприменимой, так как при меньших

нельзя ожидать самоподобной структуры.

5.1.9. Дисперсионная размерность. Данный вид размерности удобно

использовать в случае стохастических структур. Для рассматриваемого случая,

это стохастические фрактальные сцены или одномерный фрактальный сигнал.

В качестве обоснования данного метода используется тот факт, что спектр

мощности ( )S фрактальных сигналов имеет следующий вид [8,58,11]:

( )S . (5.14)

Если процесс фрактальный и вложен в евклидово пространство с

размерностью 0D , то он будет иметь размерность 0

3

2D D , откуда

03 2( )D D . Замечая, что зависит только от D , можно для удобства

переписать (5.14), как '( ) DS , где 'D - оценка фрактальной размерности.

Спектр мощности динамического процесса ( )x t вследствие апериодической

"шумоподобной" структуры его хаотической реализации вычисляется как

преобразование Фурье от интенсивности процесса, и представляет собой

непрерывную функцию частоты ( )S . В качестве характеристик при анализе

такого динамического процесса могут быть использованы: вид функции

частоты ( )S и ее свойства, наличие четко выраженных максимумов на

характерных частотах, диапазон частот, который включает основную энергию

колебаний.

Рассмотрим случайный процесс X(t) со спектром мощности ( )S при

0 , . По теореме Винера-Хинчина имеем

2

1 1

0 0

( ) ( ) (0)S d S d C .

Пусть, далее, согласно (5.14) считаем '( ) DS . Тогда

2 ( ' 1)

1

1

0' 1

D

D .

Если произвести фильтрацию процесса X , так чтобы его полоса составила / 2 , то получим:


119

2 ( ' 1)

2

/ 21

0' 1

D

D.

Не обращая внимание на деление на 0 при ' 1D , найдем отношение 2

( ' 1)1

2

2

2 D ,

откуда 2

1

2 2

2

' 1 logD ,

или, если спектр обрезается с масштаба т до масштаба n , то 2 2

1 2log log' 1

log logD

m n. (5.15)

Логарифм в (5.15) может быть взят по любому основанию. Критерием

является только удобство вычисления. Далее можно определить

дисперсионную фрактальную размерность по формуле:

0

3 '

2

DD D . (5.16)

Сравним оценки фрактальной размерности различными методами для,

рассмотренного ранее отображения Энона и винеровского случайного процесса

– процесса с нормальными стационарными приращениями. На рис. 5.6 показан

характерный вид винеровского процесса.

Рис. 5.6 – Случайный процесс с независимыми нормальными приращениями

С математической точки зрения броуновское движение - непрерывный

гауссовский случайный процесс 0( ) tX X t , X0 = 0, с нулевым средним и

дисперсией 2 ( )tX t . Автокорреляционная функция его приращений – -

функция Дирака, что означает полное отсутствие корреляций в

последовательных значениях приращений величины tX и постоянство спектра

на всех частотах ( ( )f const , – частота). Спектр такого вида называется

"белым шумом" и успешно применяется для моделирования многих

климатических и гидрологических процессов.

Однако попытка его использования для объяснения эффекта Херста

потерпела неудачу [58]. Не спасает положения и применение случайных

процессов с конечным, не нулевым, как в процессе Винера, временем

корреляции. А.Н. Колмогоров в 1940 г. в двух своих работах впервые

рассмотрел случайные процессы с дисперсией 2 ( )tX t , 0t , 0 2 и назвал их

спиралями Винера. Это явилось первоначальным обобщением винеровского

процесса. В 1968 г. Б. Мандельброт ввел понятие обобщенного броуновского

движения [8]. Непрерывный гауссовский случайный процесс 0( ) tX X t

называется обобщенным (фрактальным) броуновским движением с


120

показателем Херста H , если дисперсия этого процесса следует соотношению 2 2( ) H

tX t , здесь t – время, 0 1H [8,58,11].

Произведем оценки фрактальной размерности для сгенерированной выборки

процесса с независимыми приращениями (рис. 5.6) со спектром мощности,

приведенным на рис. 5.7.

Представленный спектр аппроксимируется степенной зависимостью с

некоторым дробным показателем. Измерения, проведенные с помощью

масштабирования и измерения «длины» последовательности дают значения

1.48LD . Измерения с помощью оценки дисперсии дают 1.505D , а с помощью

измерения корреляционного интеграла 1.66СD . Отображение Энона имеет

теоретическую размерность 1.25D . Спектр мощности отображения Энона


Рис. 5.7 – Спектр мощности процесса с независимыми приращениями

Рис. 5.8 – Энергетический спектр отображения Энона

Такой спектр плохо представим в виде степенного закона, однако, оценка

1.29D наверняка приемлема с учетом того, что в численном эксперименте

нами было получено 1.22LD . Значение дробной размерности СD для этого

отображения получается равным 1.3СD .

5.1.10. Размерность по максимумам и способы ее нахождения. Здесь будет

рассмотрено четыре способа нахождения размерности по максимумам.

1) Пример элементарной оценки D. Напомним, что для оценки размерности

необходимо произвести оценку какой-либо меры множества хотя бы на двух

масштабах. Рассмотрим для примера предфрактал на основе кривой Коха

(рис. 5.9).

Для того чтобы оценить размерность кривой Коха, нужно найти отношение

длин двух поколений предфрактала. На рис. 5.9 первое (крупномасштабное)

поколение обозначено жирными точками, а второе поколение (масштаб в три

раза более точный) более мелкими, полыми точками. Таким образом, жирными

точками показаны особенности (сингулярности), соответствующие соседним


121

масштабам. Тогда, размерность кривой Коха будет, как известно, 3log 4 1.26D .

Данный расчет проведен с целью продемонстрировать, как просто определяется

размерность в случае, когда известны алгоритм построения кривой и

коэффициент скейлинга (равный 3 в данном случае).

Рис. 5.9 – Предфрактал из двух поколений для кривой Коха

2) Метод учета сингулярностей при оценке D. В случае же произвольной

кривой, фрактальность которой только предстоит установить, сам алгоритм

изменения масштаба и коэффициент такого изменения оказываются

неизвестными.

Однако здесь можно сделать следующее замечание. Если какой либо

масштаб предфрактала содержит особенность, то эта особенность должна быть

воспроизведена и на других масштабах. Этот вывод можно сделать из

первоначального определения фрактала, так как трудно предположить такое

«подобие в некотором смысле», которое бы уничтожало особенности

множества при переходе на другой масштаб. В случае с кривой Коха на роль

особенностей напрашиваются точки изломов линии – на крупном масштабе их

5, а на мелком их 17 (рис. 5.9). Заметив, что некоторая «длина - отрезок»

находится меж двух особенностей или, по другому, число отрезков меньше

числа особенностей на единицу получаем такую же оценку размерности, что и

при измерении длины, а именно 3

(17 1)log 1,26

(5 1)D .

Это подтверждает сделанный ранее вывод, что, действительно, если

некоторый масштаб линии будет иметь n особенностей, то более детальный

масштаб у фрактала с размерностью D должен иметь 1

Dn n особенностей,

откуда следует, что фрактальная размерность в данном случае больше

топологической, что, в свою очередь, совпадает с другим определением

фрактала.

Ценность данного подхода заключается в том, что исходная кривая не

подвергается никаким преобразованиям, и нет необходимости оговаривать

способ измерения. Ранее, оценка производилась по отношению мер на

исходном изображении и на сглаженном.

3) Метод функционалов. Однако, для этого можно обойтись и

особенностями множества, как в примере с кривой Коха или, даже

функционалами, например ( ( )) max ( )t

F x t x t .

Рассмотрим, сначала, одномерную функцию с фрактальными свойствами, т.е.

с некоторым скейлингом в конечном масштабе (рис. 5.10). Любая непрерывная

функция принимает на некотором временном отрезке T свои глобальные

максимальное и минимальное значения.


122

Рис. 5.10 – Максимумы функции на разных масштабах

Если разделить отрезок T на части, то в каждой из этих частей функция

также примет максимальное и минимальное значения. Очевидно, что только

некоторые из этих значений будут совпадать с глобальными максимумом и

минимумом функции на T и не один из максимумов (минимумов) не будет

превосходить глобального максимума (минимума) на T .

Самоподобная функция должна удовлетворять какому либо условию

подобия: ( ) ( )f x Af bx c , где , ,a b c - постоянные, причем 1A . Условие 1A

позволяет сделать вывод, что у подобной функции max ( ) max ( )t T T

f x f x . Другими

словами максимумы на более детальных масштабах всегда меньше максимумов

на крупных масштабах. Кроме того, максимумы на крупных масштабах будут

повторяться при различных делениях интервала T столько раз, сколько было

произведено делений, так как это показано на рис. 5.10.

Для оценки фрактальной размерности по функционалам, обратимся к

представлению некоторой функции с носителем в виде канторового множества

(рис. 5.11). Размерность функции в данном случае можно рассчитать

следующим образом. Соотнесем количества максимумов на отрезках между

двумя соседними поколениями предфрактала-носителя. В нашем случае имеем

2 1/ 2N N , а фрактальная размерность 3log 2 0.63D . Полученный результат

совпадает с классическим значением. Однако, в случае произвольного

множества, возникает вопрос – каким образом разделить максимумы по их

масштабам.

Первым возможным решением представляется деление множества на окна и

подсчет максимумов в этих окнах. Несмотря на простоту такого подхода,

исчезает зависимость оценки размерности от подбора масштабов. При этом

важно лишь, чтобы конечный масштаб не «сглаживал» подобных частей

фрактала, например, если для анализа фигуры рис. 5.9 взять второй масштаб

размером с половину фигуры.


123

Рис. 5.11 – Определение размерности функции с носителем в виде канторового

множества

Однако, несмотря, на все достоинства, данный подход имеет тот недостаток,

что максимумы должны находиться внутри «окон», а если максимумы

окажутся на границах окон, то, как их учитывать? В общем случае, при таком

произвольном делении возникают возможности для многочисленных ошибок.

4) Метод триад. Другой способ заключается в убирании соседних

максимумов. Делается это следующим образом. Во первых, исходная

последовательность разбивается на триады – множества, содержащие три

соседних элемента последовательности. Далее, если триада содержит

максимум: 0 0 0

1 1i i ix x x , то эта триада остается для дальнейшего анализа, а

элементу 0

ix присваивается ранг – 1. Затем, из триад, полученных на первом

шаге, строятся триады с максимумами: 1 1 1

1 1i i ix x x , и элементам 1

ix

присваивается ранг 2 и т.д., пока в выборке не останется всего три элемента.

В результате, у нас имеются наборы элементов j

ix . По соотношению между

соседними рангами максимумов можно оценить фрактальную размерность.

Основание логарифма в этом случае равно 3.

5.1.11. Практическое определение хаотичности работы и наличия

странного аттрактора [44]. Признаки хаотических колебаний, описанные в

этой книге, носят в основном качественный характер и требуют от

исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и

количественные признаки хаоса, использование которых приносит

определенный успех. Два наиболее распространенных критерия – это

показатель Ляпунова и фрактальная размерность рассмотренные ранее. Если

не вдаваться в подробности, эти два индикатора сейчас используются


1) положительный показатель Ляпунова указывает на хаотическую

динамику;

2) фрактальная структура орбиты в фазовом пространстве указывает на

присутствие странного аттрактора.

Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в

диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а

фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах.


124

С помощью показателей Ляпунова проверяется чувствительность системы к

вариациям начальных условий. Идея такой проверки заключается в том, чтобы

мысленно выделить в фазовом пространстве небольшой шар, в котором

сосредоточены начальные точки траекторий, и проследить за его деформацией

в эллипсоид в ходе динамической эволюции системы. Если d – максимальный

размер эллипсоида, а 0d – начальный размер сферы начальных условий, то

смысл показателя Ляпунова явствует из соотношения 0( )

0 2 .t t

d d

Здесь единичного измерения недостаточно и результаты расчета следует

усреднить по разным участкам фазового пространства. Такое среднее может

иметь вид

2

1 0 0

1 1lim log .

( )

Ni

Ni i i i

d

N t t d

В системах с хаотической динамикой области фазового пространства

вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на

исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются

лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое

подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность – мера

степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая

размерность – визитная карточка странного аттрактора. Имеется много

определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры

подсчета числа сфер N размера , необходимых для покрытия орбиты в

фазовом пространстве. Функция ( )N существенным образом зависит от

подпространства данной орбиты. Если эта орбита периодичиа, т. е.

принадлежит предельному циклу, то 1( )N . Если же движение происходит на

странном аттракторе, то ( ) dN , т. е.

0

ln ( )lim .

ln(1/ )N

Nd

Хотя оба этих количественных теста можно автоматизировать с помощью

компьютера, от исследователя по-прежнему требуются опыт и здравый смысл,

чтобы достичь убедительного заключения о хаотичности движения, т. е. о

присутствии странного аттрактора. И наконец, почти все физические примеры

странных аттракторов оказались хаотическими, т. е. нецелое значение d

указывает на то, что 0 . Однако были найдены и изучены несколько

математических моделей, где из одного утверждения не следует другое (см.,

например, [67]).

5.1.12. Насколько полезна фрактальная размерность [44]. Практическое

использование всех введенных выше фрактальных размерностей для

количественной и качественной характеристик хаотических колебаний пока все

еще остается делом будущего [44]. Во многих случаях оказывается

достаточным установить, что размерность – нецелое число и что аттрактор

действительно странный. Однако фрактальная размерность некоторых

аттракторов близка к целому числу (например, для аттрактора Лоренца


125

0 2,06D ), поэтому фрактальная размерность сама по себе еще не

свидетельствует о хаотической природе движения. В динамических

экспериментах лучше не полагаться на какой-нибудь один критерий хаоса, а

использовать для большей надежности два, три и более признака, например

отображение Пуанкаре, спектр Фурье, показатели Ляпунова или фрактальную

размерность, прежде чем провозглашать систему хаотической или странной.

5.2. Мультифрактальный скейлинг-спектр и показатель массы.

5.2.1. Введение в мультифрактальные меры [58]. С исследованием

распределения физических или каких-нибудь других величин на

геометрическом носителе связаны мулътифрактальные меры.

Основные понятия, лежащие в основе того, что теперь принято называть

мультифракталами, были первоначально введены Мандельбротом [68,69] при

обсуждении турбулентности и впоследствии распространены им на многие

другие ситуации. Применительно к турбулентности многофрактальный подход

был развит Фришем и Паризи [70] и Бенци и др. [71]. Особый интерес к

мультифракталам начался с работ Грассбергера [72], Хентшеля и Прокаччи

[73]. Аналогичную функцию размерности предложили Бадии и Полити [74].

Анализ экспериментальных результатов и введение функции ( )f Фришем и

Паризи [75] и Енсеном и др. [76] позволили достичь великолепного согласия

между простой теоретической моделью и наблюдениями. Эти авторы

продемонстрировали полезность использования мультифракталов при

описании экспериментальных данных. Аналогичный подход развивали в своих

работах Бенсимон и др. [77], Холси и др. [78], Глазьер и др. [79]. Предложенная

Фейгенбаумом и др. [80] термодинамическая формулировка мультифракталов

позволяет распространить эти идеи и на модель Изинга. Неаналитичности в

обобщенных размерностях мультифрактальных множеств, представляющих

физический интерес, могут быть интерпретированы по Катцену и Прокачче [81]

как фазовые переходы.

Распределение токов во фрактальной сети резисторов может быть описано с

помощью понятий, непосредственно связанных с мультифракталами (работы

Аркангелиса и др. [82], Раммала и др. [83], Аарони [84] и Блюменфельда и др.

[85]).

Молей и др. [86] исследовали динамику роста вязких пальцев при больших

капиллярных числах. Наблюдаемый рост допускает количественное описание с

помощью мультифрактальной структуры. Фрактальным агрегатам и их

фрактальным мерам посвящен обзор Микина [87].

Идея о том, что фрактальная мера может быть представлена

взаимосвязанными фрактальными подмножествами, изменяющимися по

степенному закону с различными показателями, открывает новый простор для

применений фрактальной геометрии к физическим системам. Исследование

мультифракталов представляет собой быстро развивающуюся область физики

фракталов.


126

5.2.2. Последовательность показателей массы ( ) [58]. При анализе

структур различных множеств наиболее широко используется метод

подсчета клеток. При этом методе E -мерное пространство наблюдений

разбивается на (гипер)кубы с ребром , после чего производится подсчет числа

( )N кубов, содержащих по крайней мере одну точку множества У. Ясно, что

такой подсчет дает грубую оценку меры множества и число ( )N не несет в

себе никакой информации о структуре этого множества. Например, если

береговая линия сильно изрезана и пересекает какую-то клетку in раз, то при

подсчете эта клетка все равно дает вклад в общее число клеток, покрывающих

множество , равный 1, что не вполне «честно». Существует ли способ,

позволяющий придавать клеткам с 1in больший вес, чем клеткам с 1in ?

Для решения этого вопроса Микин [87,88] ввел понятие – набор показателей

массы для поверхности.

Пусть множество , состоящее из N точек, имеет в i -й ячейке iN точек. Эти

точки можно рассматривать как выборку, отражающую распределение меры на

множестве. Воспользуемся «массой», или вероятностью /i iN N ,

соответствующей i -й клетке, и построим меру, которую можно записать в виде

01

0, ( ),( , ) ( , )

, ( ).

Nq d d

d i

i

d qM q N q

d q (5.17)

Эта мера обладает показателем массы ( )d q , при котором она не

обращается в нуль и в бесконечность, когда 0 . Показатель массы ( )q для

данного множества зависит от того, какой порядок момента q выбран. Мера

характеризуется всей последовательностью показателей ( )q , определяющих, по

какому степенному закону изменяются в зависимости от вероятности { }i . Из

формулы (5.17) следует, что взвешенное число клеток ( , )N q представимо в

виде ( )( , ) ,q q

i

i

N q (5.18)

а показатель массы определяется выражением

0

ln ( , )( ) lim .

ln

N qq (5.19)

Прежде всего заметим, что, выбирая 0q ( q -порядок момента), мы получаем 0 1q

i . Следовательно, ( 0, ) ( )N q N – это просто число клеток, образующих

покрытие множества, а (0) D есть фрактальная размерность множества.

Вероятности нормированы: 1i

i

, и из формулы (5.19) следует, что (1) 0 .

Выбор больших значений q , например q =10 или 100, в соотношении (5.18)

способствует повышению вклада ячеек с относительно большими значениями

i , поскольку, если 1q и i j , то q q

i j . Наоборот, выбор 1q способствует

повышению вклада ячеек с относительно малыми значениями меры i на

ячейке. Эти пределы удобнее всего рассматривать, вводя производную ( ) /d q dq ,

определяемую с помощью предела


127

0

ln( )

lim .

ln

q

i i

i

q

i

i

d q

dq (5.20)

Пусть - минимальное значение i в сумме. Тогда

0

' ln( )

lim

' ln

q

i

qq

i

d q

dq,

где штрих у знака суммы указывает на то, что суммирование проводится только

по ячейкам с i . Последнее выражение запишем в виде

max0

ln( )lim .

lnq

d q

dq

Здесь мы вводим понятие показателя Липшица-Гѐльдера . Аналогичные

рассуждения в пределе при q приводят к заключению о том, что

минимальное значение определяется выражением

min0

ln( )lim ,

lnq

d q

dq

где -наибольшее значение i , которое соответствует наименьшему значению

. Далее будет показано, что и в общем случае ( ) /d q dq .

При 1q получим такое выражение для ( ) /d q dq :

0 01

ln( ) ( )

lim limln ln

i i

i

q

d q S

dq;

оно имеет особый интерес: здесь ( )S -(информационная) энтропия разбиения

меры по ячейкам размера , то есть энтропия Колмогорова ( K -энтропия).

Энтропию разбиения можно записать в виде

1( ) ln ln .i i

i

s

Показатель 1 1( / )

qd dq f есть также фрактальная размерность множества, на

котором сосредоточена мера; он задает степенной закон, по которому

изменяется при изменении размера ячейки энтропия (разбиения) меры.

Заметим, что энтропия разбиения ( )S при разрешении может быть выражена

через энтропию меры по формуле ( ) lnS S .

Типичное поведение последовательности показателей массы ( )q можно

проиллюстрировать примером меры на отрезке, порожденной

мультипликативным биномиальным процессом. Для этого процесса,

определяемого выражением

( )

0

( , ) ( ) (1 ) ( (1 ) )n

n q k q n k q q n

k

k

N d p p p p

имеем показатель массы, который согласно (5.19) определяется выражением ln( (1 ) )

( ) .ln 2

q qp pq

Внешний вид ( )q биномиального мультипликативного процесса с 0.25p



128

Рис. 5.12 – Последовательность показателей массы ( )q как функция порядка q

для биномиального мультипликативного процесса с 0.25p

5.2.3. Функция мультифрактального спектра ( )f [61]. Мультифрактал –

объект, представляющего собой неоднородный фрактал [61]. Для его описания

мы ввели набор обобщенных фрактальных размерностей qD , где q принимает

любые значения в интервале q . Однако величины qD не являются,

строго говоря, фрактальными размерностями в общепринятом понимании этого

слова, из-за чего в некоторой литературе они носят название обобщенных

размерностей.

Поэтому часто наряду с ними для характеристики мультифрактального

множества используют так называемую функцию мультифрактального

спектра ( )f (спектр сингулярностей мультифрактала), к которой больше

подходит термин фрактальная размерность. Мы покажем, что величина ( )f

фактически равна хаусдорфовой размерности некоего однородного

фрактального подмножества из исходного множества , которое дает

доминирующий вклад в статистическую сумму при заданной величине q .

Одной из основных характеристик мультифрактала является набор

вероятностей ip , показывающих относительную заселенность ячеек ,

которыми мы покрываем это множество. Чем меньше размер ячейки, тем

меньше величина ее заселенности. Для самоподобных множеств зависимость ip

от размера ячейки имеет степенной характер ( ) ,i

ip

где i представляет собой некоторый показатель степени, разный для разных

ячеек i . Известно, что для регулярного (однородного) фрактала все показатели

степени i , одинаковы и равны фрактальной размерности D .

1/ ( ) D

ip N .

В этом случае статистическая сумма имеет вид ( )

( 1)

1

( , ) ( ) ( ) .q

NDq D q

i

i

Z q p N

Поэтому ( ) ( 1)q D q и все обобщенные фрактальные размерности qD D в

этом случае совпадают и не зависят от q .


129

Однако для такого более сложного объекта, как мультифрактал. вследствие

его неоднородности, вероятности заполнения ячеек ip в общем случае

неодинаковы, и показатель степени i для разных ячеек может принимать

различные значения. Как мы увидим ниже, достаточно типичной является

ситуация, когда эти значения непрерывно заполняют некоторый закрытый

интервал min max( , ) , причем max

min

ap , а min

max

ap .

Установим сперва связь предельных значений со значениями производной

от функции ( )q . А именно, рассмотрим пределы этой производной при q .

Так, если мы возьмем значение q , то при выполнении суммирования по i в

выражении ( )

1

( )0

1

ln( )

lim

ln

Nq

i i

i

Nq

i

i

p pd q

dqp

(5.21)

будет существенен вклад только наиболее заселенных ячеек, каждая из которых

характеризуется максимальной вероятностью заполнения maxp . Оставив в сумме

только такие ячейки (численностью maxN ), мы видим, что числитель выражения

(5.21) равен max max maxlnqN p p , а знаменатель max max lnqN p . В результате, учитывая, что min

maxp , искомый предел производной оказывается равным min . Аналогичным

образом, если q , то при суммировании в выражении (5.21) необходимо

учитывать только наименее заселенные ячейки, характеризующиеся

вероятностью minp . В этом случае очевидно, что производная /d dq стремится к

значению max .

Величину этой же производной при достаточно больших по модулю

значениях q можно вычислить и по-другому. Для этого заметим, что в том

случае, когда функция qD имеет конечные пределы при q (равные D ),

функция ( )q может быть аппроксимирована следующим образом: ( )q qD .

Таким образом, мы приходим к важному выводу, что

min

q

dD

dq,

max

q

dD

dq.

Т.е. интервал возможных значений определяется предельными значениями

(при q ) обобщенных фрактальных размерностей qD .

Перейдем теперь к вопросу о распределении вероятностей различных

значений i . Пусть ( )n d есть вероятность того, что i находится в интервале

от до d . Другими словами, ( )n d представляет собой относительное

число ячеек i , обладающих одной и той же мерой ip с ia , лежащими в этом

интервале. В случае монофрактала, для которого все i одинаковы (и равны

фрактальной размерности D ), это число, очевидно, пропорционально полному

количеству ячеек ( ) DN , степенным образом зависящим от размера ячейки .

Показатель степени в этом соотношении определяется фрактальной

размерностью множества D .


130

Для мультифрактала, однако, это не так. и разные значения i встречаются с

вероятностью, характеризуемой не одной и той же величиной D , а разными (в

зависимости от ) значениями показателя степени ( )f , ( )( ) fn .

Таким образом, физический смысл функции ( )f заключается в том, что она

представляет собой хаусдорфову размерность некоего однородного

фрактального подмножества из исходного множества , характеризуемого

одинаковыми вероятностями заполнения ячеек ip . Поскольку фрактальная

размерность подмножества очевидно всегда меньше или равна фрактальной

размерности исходного множества 0D , имеет место важное неравенство для

функции ( )f , а именно

0( )f D .

В результате мы пришли к выводу, что набор различных значений функции

( )f (при разных ) представляют собой спектр фрактальных размерностей

однородных подмножеств . на которые можно разбить исходное множество

. Отсюда становится понятным термин мультифрактал. Его можно

понимать как некое объединение различных однородных фрактальных

подмножеств исходного множества , каждое из которых имеет свое

собственное значение фрактальной размерности ( )f .

Поскольку любому подмножеству принадлежит лишь часть от общего числа

ячеек ( )N , на которые мы разбили исходное множество , условие нормировки

вероятностей, очевидно, не выполняется при суммировании только по этому

подмножеству. Сумма этих вероятностей оказывается меньше единицы.

Поэтому и сами вероятности ip с одним и тем же значением ia очевидно

меньше (или в крайнем случае одного порядка), чем величина ( )if , которая

обратно пропорциональна числу имеющихся ячеек, покрывающих данное

подмножество (напомним, что в случае монофрактала 1/ ( )ip N ). В результате

мы приходим к следующему важному неравенству для функции ( )f , а именно,

при всех значениях

( )f a .

Знак равенства имеет место, например, для полностью однородного

фрактала, где ( )f D . Впоследствии мы увидим, что это свойство тесно

связано со свойством функции qD , которая либо монотонно убывает, либо

остается постоянной при увеличении q .

5.2.4. Геометрические свойства мультифрактального скейлинг-спектра

( )f [61]. Проанализируем теперь поведение функции ( )f для различных

значений . Поскольку '( )f q , то при 0q производная функции ( )f

обращается в нуль. Это значит, что в некоторой точке 0 (0)a функция ( )f

имеет максимум. Значение функции в максимуме легко определить, если

воспользоваться выражением


131

1[ ( ) ( ( ))]

1qD q q f q

q, (5.22)

природа происхождения которого будет подробно описана в разделе

посвященном преобразованиям Лежандра. Положив в (5.22) 0q , мы получим,

что 0 0( )f D , т.е. максимальное значение ( )f равно хаусдорфовой размерности

мультифрактала 0D , т.е. фрактальной размерности носителя меры. Качественно

эта ситуация отражена на рис. 5.13. Там же показаны границы интервала

min max( , ) , в котором задана функция ( )f . Заметим, что обращение функции ( )f

в нуль на этих границах (как показано на рисунке) вовсе не обязательно, и в

ряде случаев ( )f в одной из этих точек (или в обоих) может быть и отлична от

нуля. Обязательным условием, однако, является обращение в бесконечность

производной '( )f в этих двух точках. Это является прямым следствием того

факта, что точки min и max соответствуют значениям q .

Рис. 5.13 – Максимум функции ( )f равен фрактальной размерности 0D .

Функция ( )f вблизи своего максимума может быть аппроксимирована

параболой. Кривизна параболы определяется значением второй производной от

этой функции в точке 0 . Пользуясь соотношением 1

2 2

2 2

( ) ( )d f d q

d dq,

получаем, что

0''( ) 1/ ''(0)f .

Дифференцируя теперь формулу ( ) ( 1) qq q D дважды и принимая во внимание,

что 0'(0) , мы приходим к выражению

0 0 0''(0) 2( ) ''qD D .

Отсюда следует искомая аппроксимация 2

0

0

0 0 0

( )( ) .

2[2( ) '' ]q

f DD D

Важным свойством функции ( )f является то, что она всюду выпукла. Из

условия выпуклости функции ( )f очевидно, что величина, стоящая в

квадратных скобках в этом выражении, должна быть всегда положительна.

Часто последнее слагаемое, 0''qD , в этих скобках численно мало, и им можно

пренебречь.

Рассмотрим теперь случай, когда 1q . Поскольку (1) 0 , то (1) ( (1))a f . С

другой стороны, поскольку ( ) /q df d , то производная от функции ( )f в этой


132

точке равна 1: '( ) 1f . Дифференцируя соотношение ( ) ( 1) qq q D по q с учетом

( ) /d q dq , имеем ( )

( 1) ' ( )q q

d qD q D q

dq,

и полагая 1q , мы получаем, что 1(1) D . Таким образом, мы имеем

1 (1) ( (1)),D f

Рис. 5.14 – Нахождение информационной размерности 1D :

1 ( )D f .

Рис. 5.15 – Геометрическое определение корреляционной размерности 2D .

т.е. информационная размерность 1D лежит на кривой ( )f в точке, где ( )f и

'( ) 1f . Это дает нам графический способ определения информационной

размерности по кривой ( )f (см. рис. 5.14).

То, что графики функций и ( )f касаются друг друга именно в точке

1 1( , )D D , вовсе не случайно. Напомним, что ( (1))f – это значение фрактальной

размерности того подмножества из , которое дает наибольший вклад в

статистическую сумму при 1q . Но при 1q статистическая сумма в силу

условия нормировки равна 1 и не зависит от размера ячейки . Следовательно,

этот наибольший вклад должен быть также порядка единицы. Поэтому в этом

(и только в этом) случае вероятности заполнения ячеек a

ip обратно

пропорциональны числу имеющихся ячеек ( )( ) fn , т.е. ( )f .

Рассмотрим теперь случай 2q . Пользуясь формулой (5.22), получаем

2 2 (2) ( (2)),D f

или 2( (2)) 2 (2)f D , что соответствует геометрическому построению на

рис. 5.15.

Как мы уже отмечали, неравенство ( )f a , выведенное нами выше из

качественных соображений, эквивалентно утверждению, что производная

' 0qD . Докажем здесь это. Для этого продифференцируем выражение

( ) /( 1)qD q q по q . Получим

2

( ).

( 1)

qdD f

dq q


133

Отсюда при ( )f a как раз и следует вышеприведенное неравенство ' 0qD .

5.3. Канторовское множество и чѐртова лестница

5.3.1. «Чѐртова лестница» канторовского множества [58]. Объяснение

сути понятия «чертовой лестницы» в основной литературе по хаосу

производится на основании понятия канторовского множества [58].

Условимся понимать под канторовским множеством нечто, отличное от

абстрактного триадного канторовского множества. Будем считать основой не

единичный отрезок, а стержень из какого-нибудь материала с плотностью 0 1 .

Исходный стержень имеет длину 0 1l и, следовательно, массу 0 1 . Операция,

связанная с применением образующего элемента, состоит из разрезания

стержня на две половины равной массы 1 2 0,5 , которые затем в результате

ковки укорачиваются до длины 1 2 1/3l l (одинаковой для обеих половин). В

результате такой обработки плотность возрастает до 1 1 1/ 3/ 2l . Повторяя всю

процедуру, мы получаем в n -м поколении 2nN маленьких стержней, каждый

из которых имеет длину 3 n

il и массу 2 n

i при 1, 2,...,i N . Заметим, что масса в

ходе обработки сохраняется, поэтому

1

1.N

i

i

Мандельброт [59,60,68] сравнивает этот процесс со свертыванием молока,

так как первоначально равномерное распределение массы в результате

разбивается на множество мелких областей с высокой плотностью.

Из сказанного следует, что масса отрезка длиной il , где il , определяется

выражением .i il

Скейлинговый показатель, известный нам ранее как показатель Липшица-

Гѐльдера, здесь равен ln 2 / ln 3 . Плотность каждого из малых отрезков стержня

определяется выражением 1

0

i

i i

i

ll

и расходится при 0il . Скейлинговый показатель здесь ведает

сингулярностью плотности и может быть назван показателем

сингулярности.

На рис. 5.16 изображен вариант триадного канторовского множества. Высота

каждого фрагмента определяется его плотностью i . Мы видим, что эта

модификация канторовского построения требует скейлингового показателя

для описания того, как возрастает высота фрагментов стержня при

уменьшении их ширины. Можно сказать, что сингулярности с показателем

имеют носитель с фрактальной размерностью f D .

Выше мы рассматривали i как вклад фрагмента в массу канторовского

стержня. Полученные нами результаты остались бы неизменными, если бы под

мы понимали электрический заряд, магнитный момент, гидродинамическую


134

завихренность или вероятность для некоторых явлений. В общем случае

может быть мерой любой величины, имеющей носителем геометрическое

множество.

На основе канторовского стержня можно получить интересную

конструкцию, так называемую чертову лестницу. Выбрав за начало отсчета

левый конец стержня ( 0)x , изображенного на рис. 5.17, запишем массу,

содержащуюся на отрезке [0, ]x , в виде

0 0

( ) ( ) ( ).

x x

M x t dt d t

Здесь «плотность» ( )x равна нулю в промежутках и равна бесконечности во

всех бесконечно многих точках, образующих канторовское множество. Масса

( )M x остается постоянной на интервалах, соответствующих пустым

промежуткам. Длины таких интервалов в сумме равны 1, т.е. длине всего

исходного стержня. Следовательно, на отрезке, равном длине интервала, ( )M x

не изменяется. Отсюда можно было бы сделать заключение, что ( ) 0M x , и такое

заключение было бы правильным для обычной гладкой кривой. Но масса

возрастает бесконечно малыми скачками в точках канторовского множества, и

эти скачки в сумме дают (1) 1M . Зависимость массы от x , представленная на

рис. 5.17, напоминает лестницу (называемую чертовой лестницей), которая

почти всюду горизонтальна. Самоаффинная природа чертовой лестницы

становится очевидной, если взглянуть на рис. 5.17. Причины, по которой

чертова лестница возникает во многих физических системах, анализируются в

работе Бака [58].

Рис. 5.16 – Триадный канторовский стержень. Стержень единичной длины и

единичной массы делится пополам. Каждая половина подвергается перековке, в

результате которой ее длина сокращается, а плотность увеличивается. Высота

стержня в n -м поколении пропорциональна его плотности i . Фрактальная

размерность носителя массы ln 2 / ln 3f D .


135

Рис. 5.17 – Масса триадного канторовского стержня как функция координаты,

отсчитываемой вдоль стержня. Эта кривая называется «чертовой лестницей».

Рис. 5.18 – Интегральная вероятность выигрыша при игре с использованием

«поглощающего» алгоритма: самоаффинная чертова лестница

5.3.2. «Чѐртова лестница» мультипликативного процесса [52]. Особый

интерес для силовой электроники представляет собой график «чѐртовой

лестницы» для математической реализации алгоритма жадного игрока. Этот

процесс носит также название поглощающего алгоритма. Тут следует пояснить

такой интерес к структуре этого графика. Авторы книги, в результате

исследования, обнаружив мультифрактальную природу аттракторов

импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа, построили для

них «чѐртову лестницу», и обнаружили структурное сходство с графиком

представленном на рис. 5.18. Это является еще одним из доказательств

мультифрактальной природы полученных авторами аттракторов.


136

Глава 6. Пример применения фрактальных и мультифрактальных мер

детерминированного хаоса к физическим системам

Современная математика, основанная на фрактальном исчислении и дробных

операторах, развивается быстрыми темпами, находя применение в различных

областях науки и техники [89]. На данный момент уже во многих системах

силовой электроники получены различные виды аттракторов в хаотическом

режиме работы. В частности, для импульсных стабилизаторов напряжения,

работающих по принципу широтно-импульсной модуляции за последний

десяток лет получены как бифуркационные диаграммы, так и различные виды

аттракторов как в фазовом пространстве, так и в сечениях Пуанкаре для

различных переменных состояния. Однако ни один из этих аттракторов, до

сегодняшнего момента, не был исследован полностью с точки зрения

современной математики. Поэтому не было ясно, может ли хотя бы один из них

носить название «странного», что не позволяет даже начинать их

классифицировать. Авторы в данной работе попытались частично закрыть эту

брешь, проведя разностороннее исследование различных хаотических

аттракторов импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа

(ИСН-3).

6.1. Построение математической модели инвертирующего ИСН

6.1.1 Особенности моделирования импульсных стабилизаторов

напряжения. Как в зарубежных, так и в большинстве отечественных

источниках литературы уравнения состояния для импульсного стабилизатора

напряжения (ИСН) инвертирующего типа (ИСН-3) приведены без учета

активных потерь на реактивных элементах силовой части. Есть разрозненные

работы, где отдельно учитываются активные потери либо на дросселе, либо на

конденсаторе. Авторы не встретили ни одной как отечественной, так и

зарубежной работы, где бы учитывались эти потери вместе. Кроме того, не

следует забывать, что современная элементная база, хотя и достаточно

продвинулась за последнее время, всѐ ещѐ далека от идеальной [89]. Именно

поэтому авторы считают, что учѐт активных потерь в полупроводниковых

элементах силовой части импульсных стабилизаторов может зачастую играть

не менее важную роль при синтезе различного рода, чем учѐт активных

сопротивлений реактивных элементов. Тем более, что потери эти на

качественном уровне влияют на работу схемы точно также, и зачастую

сопоставимы на количественном уровне с активными потерями на реактивных

элементах. И, наконец, самым главным является учѐт активного сопротивления

датчика тока. За последнее десятилетие, ИСН с обратной связью по

максимальному току дросселя в качестве доминирующей на ОС по выходному

напряжению устойчиво захватили как зарубежный, так и отечественный рынок

контроллеров питания. Во многих контроллерах данного типа стоит

внутренний опорный источник для сигнала с тока дросселя напряжением в 1В.


137

Это значит, что при входных значениях тока в десятки Ампер сопротивление

датчика тока может составлять от десятых долей до нескольких единиц Ом.

Конечно, это при условии, что в качестве датчика тока не будет использован

специальный трансформатор тока. Однако использование такого датчика как

усложнит производство, так и повысит стоимость самого стабилизатора. Кроме

того, стабильность работы стабилизатора ухудшится из-за возникновения

импульсных помех в обмотках датчика тока выполненного по принципу

трансформации. Именно поэтому авторы предлагают учитывать сопротивление

датчика тока, которое на 1-3 порядка может превосходить активное

сопротивление дросселя.

В настоящее время не существует единого мнения относительно уравнений

состояния для импульсных стабилизаторов инвертирующего типа. Чаще всего,

не совпадают знаки элементов матриц коэффициентов уравнений состояния. На

наш взгляд, это в первую очередь связано с тем, что разными авторами по-

разному выбираются знаки выходного напряжения и направления тока в

реактивных элементах схемы. В данной работе мы будем придерживаться

наиболее распространенного в научном мире на данный момент мнения, что

поскольку стабилизатор является инвертирующим, то напряжение на выходе

должно быть отрицательным. Для устранения всех неясностей в данном

вопросе ниже будут приведены исходные уравнения, из которых были

получены уравнения состояния.

6.1.2. Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора

напряжения инвертирующего типа с учетом активных потерь. На рис. 6.1

приведена функциональная схема ИСН-3 в режиме управления по

максимальному току дросселя с учетом активных потерь реактивных

элементов. Здесь Lr -активное сопротивление дросселя, Cr -активное

сопротивление конденсатора, ir -активное сопротивление датчика тока, ( )ir i t -

сигнал, поступающий с датчика тока на компаратор (Комп.) для сравнения с

напряжением опорного источника ОПU . При достижении этим сигналом уровня

опорного источника поступает импульс на R -вход RS -триггера. В начале

каждого периода работы силового ключа VT на S -вход RS -триггера поступает

сбрасывающий сигнал от тактового генератора с частотой f . Выход Q RS -

триггера управляет затвором силового ключа VT периодически переводя схему

ИСН из одного состояния в другое.

Во всех зарубежных работах посвященных обратной связи по

максимальному току дросселя показано, что на компараторе (Комп.)

происходит сравнение тока дросселя ( )i t с источником опорного тока ОПI ( refI ).

Однако на самом деле происходит сравнение напряжения датчика тока с

источником опорного напряжения ОПU . Кроме того, в большинстве

современных контроллеров, этот источник встроен в сам контроллер и его

напряжение, как уже говорилось ранее, составляет 1В. Это является логичным

и оправданным, поскольку уже достаточно давно доказано [90], что при

меньшем уровне этого напряжения устойчивость импульсных стабилизаторов


138

напряжения резко падает из-за помех, возникающих при коммутации силового

ключа. Поэтому в данной работе считается, что момент переключения силового

ключа настаѐт при достижении сигналом датчика тока ( )ir i t величины

внутреннего опорного источника контроллера 1ОПU В.

Эквивалентная схема силовой части ИСН-3 с учетом потерь на силовом

транзисторе (рис. 6.1а) при открытом ключе изображена на рис. 6.1б. Силовой

ключ VT имеет как постоянные потери по напряжению TU , так и зависящие от

тока условно-линейные активные потери Tr . Уравнение для напряжений для

этой схемы согласно законам Кирхгофа будет иметь следующий вид:

1

1

( )( )T T i L

di tU U L r r r i t

dt.

Отсюда

1

1

( ) 1( ) ( )T i L

T

r r rdi ti t U U

dt L L (6.1)

Уравнение для токов по Кирхгофу с учетом знаков будет иметь следующий

вид:

1( )0Н

du tC i

dt.

Здесь 1( ) C C

Н

Н

u t r ii

R, где 1( )

C

du ti C

dt. При подстановке получаем:

1

1

( ) 1( )

( )H C

du tu t

dt R r C. (6.2)

Объединив (6.1) и (6.2) в систему дифференциальных уравнений получим

уравнения состояния для ИСН-3 при замкнутом ключе. В матричном виде

система выглядит следующим образом 1 1

1 1

dA b

dtx x , (6.3)

Рис. 6.1 – Функциональная схема ИСН-3 с учетом активных потерь реактивных

элементов

где 1

1

1

( )

( )

i t

u tx , 1

0

10

( )

T i L

H C

r r r

LA

R r C

, 1

1

0

TU Ub L .

Эквивалентная схема силовой части ИСН-3 с учетом потерь на силовом

диоде (рис. 6.3а) при закрытом силовом ключе изображена на рис. 6.3б. Здесь,


139

как и в схеме при открытом ключе, силовой диод VD имеет как постоянные

потери по напряжению DU , так и зависящие от тока дросселя условно-линейные

активные потери Dr .

0

0 ( )D D i L H H

diU L r r r i t R i

dt.

Подставим в это уравнение Hi выраженное из уравнения 0 ( ) 0C Hi i i t . Получим

0

0 0( ) ( )D D i L H C H

diU L r r r i t R i R i t

dt. (6.4)

Ток конденсатора получим из уравнения для смежного контура

0

0 0( ) ( )D D i L C C

diU L r r r i t u t r i

dt. (6.5)

Выражение для Ci полученное из (6.5)

0

0 0

1( ) ( )C D i L D

C

dii L r r r i t u t U

r dt,

а) а)

б) б)

Рис. 6.2 Рис. 6.3

подставляем в (6.4) и получим окончательное уравнение

0

0 0

( ) 1( ) ( )D i L H C H

D

H C H C

di t r r r R r Ri t u t U

dt L R r L R r L L. (6.6)

Уравнение для токов при разомкнутом ключе по Кирхгофу с учетом знаков

будет иметь следующий вид:

0 ( ) 0C Hi i i t .

Поскольку здесь 1( ) C C

Н

Н

u t r ii

R, а 0 ( )

C

du ti C

dt то получим еще одно уравнение

состояния

0

0 0

( ) 1( ) ( )H

H C H C

du t Ri t u t

dt R r C R r C. (6.7)

Теперь, объединив (6.6) и (6.7) в систему дифференциальных уравнений

получим уравнения состояния для ИСН3 при разомкнутом ключе. При записи в

матричной форме система примет следующий вид 0 0

0 0

dA b

dtx x , (6.8)


140

где 0

0

0

( )

( )

i t

u tx , 0

1

D i L H C H

H C H C

H

H C H C

r r r R r R

L R r L R r LA

R

R r C R r C

, 0

1

0

DUb L .

Следует отметить, что полученные матричные коэффициенты при

уравнениях (6.3) и (6.8) учитывают все активные потери, чего нет во всех

встречаемых авторами источниках литературы. Если обнулить все значения

потерь, то полученная система уравнений будет соответствовать [91].

6.1.3. Построение математической модели работы ИСН-3 в режиме

управления по току дросселя. Для простоты изложения решения уравнений

состояния (6.3) и (6.8) введем следующие обозначения

11

2

0

0

AA

A, 11

0

bb

01 020

03 04

A AA

A A, 00

0

bb , (6.9)

где

1

T i Lr r rA

L, 2

1

( )H C

AR r C

, 1

1Tb U U

L, 01

D i L H C

H C

r r r R rA

L R r L,

02

H

H C

RA

R r L, 03

H

H C

RA

R r C, 04

1

H C

AR r C

, 0

1Db U

L.

С учѐтом обозначений (6.9) система дифференциальных уравнений,

описывающая состояние ИСН-3 при замкнутом ключе, примет следующий вид

1

1 1 1

1

2 1

( )( )

( )( )

di tA i t b

dt

du tA u t

dt

. (6.10)

Решение данной системы имеет следующий вид:

1 1

1 11

1

( )A t b

i t C eA

, (6.11)

2

1 12( )A t

u t C e , (6.12)

где 11C и 12C - постоянные составляющие зависящие от величины тока ( )i nT и

напряжения ( )u nT в начале каждого периода n . Следует отметить, что

выражение для тока дросселя (6.11) имеет нелинейную форму, что качественно

различается с решением без учета активных потерь в цепи дросселя, когда

решение имеет линейную зависимость. Значения 11C и 12C можно выразить из

(6.11) и (6.12) если подставить значение времени t nT в выражения тока 0 ( )i t и

напряжения 0 ( )u t в конце предыдущего периода:

1

10

1

11

( )

A nT

bi nT

AC

e,

2

0

12

( )A nT

u nTC

e . (6.13)

Теперь допустим, что величина коэффициента заполнения на каждом периоде

nd определяется исходя из равенства в момент времени, когда сигнал датчика

тока 1( )ir i t достигает величины опорного источника ОПU :

1 1

11

1

nA n d T

ОП

bU C e

A. (6.14)


141

Выражение для величины коэффициента заполнения на каждом периоде

получим с учетом (6.13):

1

1

110

1

1ln

( )

ОП

i

n

U b

r Ad

bATi nT

A

. (6.15)

Необходимо отметить, что при составлении различных математических

моделей должно существовать ограничение по значению nd , поскольку в

реальных стабилизаторах эта величина лежит в пределах 0,0.95 0.99nd в

зависимости от типа используемого контроллера.

Таким образом, в момент времени соответствующему d nt n d T произойдет

переключение ИСН-3 в состояние с разомкнутым ключом. Ниже приведена

система дифференциальных уравнений, описывающая состояние ИСН-3 при

разомкнутом ключе с учѐтом обозначений (6.9):

0

01 0 02 0 0

0

03 0 04 0

( )( ) ( )

( )( ) ( )

di tA i t A u t b

dt

du tA i t A u t

dt

. (6.16)

Из первого уравнения системы (6.16) выразим функцию напряжения

0

0 01 0 0

01

( )1( ) ( )

di tu t A i t b

A dt. (6.17)

Далее, продифференцировав первое уравнение системы (6.16), и подставив в

него второе уравнение этой системы и выражение (6.17) получим

дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида 2

0 0

1 2 0 32

( ) ( )( )

d i t di tX X i t X

dtdt, (6.18)

где 1 01 02( )X A A , 2 01 04 02 03X A A A A , 3 04 0X A b .

Так как решение характеристического уравнения, соответствующего (6.12),

будет иметь комплексные сопряженные корни, то решение самого уравнения

будет иметь вид

3

0 01 02

2

( ) sin( ) cos( )t Xi t e C t C t

X, (6.19)

где 1

2

X,

2

1

24

XX .

Продифференцировав это выражение и подставив в (6.17) можно получить

функцию напряжения

0 01 02 01 01

02

01 3

01 02 01 02 0

2

1( ) ( )sin( )

( )cos( ) .

tu t e C C A C tA

A XC C A C t b

X

(6.20)

На основании (6.19), (6.20), (6.11) и (6.12) составим систему линейных

алгебраических уравнений для нахождения неизвестных постоянных 01C и 02C

для каждого периода

1 01 2 02 3

4 01 5 02 6

L C L C L

L C L C L, (6.21)


142

где

1 sin( )dt

dL e t , 2 cos( )dt

dL e t , 3

3 1

2

(( ) )n

XL i n d T

X,

4 01

02

1( )sin( ) cos( )dt

d dL e A t tA

, 5 01

02

1sin( ) ( )cos( )dt

d dL e t A tA

,

01 3

6 1 0

02 2

1( )n

A XL u n d T b

A X,

при d nt n d T . Откуда выразим 01C и 02C

3 5 2 6

01

1 5 2 4

L L L LC

L L L L, 3 4 1 6

02

2 4 1 5

L L L LC

L L L L. (6.22)

Таким образом, можно получить значения для 0 ( 1)i n T и

0 ( 1)u n T в конце

каждого периода, чтобы в последствии подставить эти значения в выражения

для постоянных составляющих на следующем периоде.

6.2. Применение фрактальных мер к ИСН-3

6.2.1. Особенности построения бифуркационные диаграммы ИСН-3 с

учетом активных потерь. Для проверки правильности работы этой модели с

еѐ помощью была построена бифуркационная диаграмма (БД) с параметрами,

взятыми из [91]. Основные параметры модели ИСН-3 остались прежними, то

есть имеют следующие значения: напряжение входного источника 5U В,

сопротивление нагрузки 20R Ом, индуктивность дросселя 1L мГн, ѐмкость

конденсатора 4C мкФ, период работы силового ключа 50T мксек,

сопротивление дросселя 0.2Lr Ом, активное сопротивление конденсатора

0.1Cr Ом, активное сопротивление базы диода 0.1Dr Ом, активное

сопротивление базы транзистора 0.4Tr Ом, прямое падение напряжения на

диоде 0.7DU В, прямое падение напряжения на силовом ключе 0.2TU В,

сопротивление датчика тока ir варьировалось от 0.1 до 1.5 Ом.

Рассмотрим только некоторые БД. Одна из них представлена на рис. 6.4а –

зависимость напряжения конденсатора в конце каждого периода

установившегося состояния ( )u nT от ir , качественно соответствует диаграмме из

[91], однако является более точной из-за учета активных потерь. Эта же БД

нормированная по положительному среднему значению выпрямленного

напряжения ( )cp iu r показана на рис. 6.4б. Тут необходимо отметить, что для

нормировки данной диаграммы можно брать как модуль среднего значения

выходного напряжения, так и расчетное значение (определяемое по формуле

без учета того факта, что ИСН работает в хаотическом режиме). Качественно

это картину не меняет. Для того, чтобы диаграмма не была зеркально повернута

относительно оси параметра бифуркации авторы решили использовать

функцию модуля, так как это существенно улучшает еѐ восприятие и позволяет

произвести визуальное сравнение с ненормированной. Собственно сама

нормировка для бифуркационной диаграммы по выходному напряжению


143

особой роли не играет, однако для БД по току дросселя, подобная нормировка

является необходимостью. Если взглянуть на бифуркационную диаграмму для

тока дросселя ( )i nT , показанную на рис. 6.5а, то станет ясно, что без

нормировки картина перехода к хаосу не достаточно информативна.

Нормировка по среднему току дросселя ( )cp ii r позволяет явственно выделить

сценарий перехода к хаосу через бифуркацию кратного увеличения периода,

что видно из рис. 6.5б.

6.2.2. Спектр Реньи ИСН-3 с учетом активных потерь. Для определения

фрактальных размерностей аттрактора необходимо разбить фазовое

пространство, в котором находится аттрактор на элементарные ячейки, то есть

кубы различной размерности.

а) б)

Рис. 6.4 – Бифуркационные диаграммы для напряжения конденсатора ( )u nT – от

сопротивления датчика тока ir : а) – для ненормированного напряжения; б) – для

нормированного напряжения

а) б)

Рис. 6.5 – Бифуркационные диаграммы для тока дросселя ( )i nT от сопротивления

датчика тока ir : а) – для ненормированного тока; б) – для нормированного тока

Для обеспечения соответствия размерностей переменных фазового

пространства авторы предлагают избавиться от размерностей вообще, вписав

аттракторы в многомерный куб единичного объѐма. Тогда все аттракторы,

полученные в совершенно различных системах будут поставлены в одинаковые

условия. После нормировки единичный фазовый объѐм разобивается на nN

кубов со стороной , где n -размерность фазового пространства. В этом случае

размерности Реньи будут определены выражением [52,62]:


144

( )

0

0

ln1

lim1 ln

Mq

i

i

q

p

Dq

, (6.23)

из которого видно, что существует целый спектр размерностей для любого

действительного числа q , лежащего в пределах q . Авторами был

произведен расчет размерностей Реньи qD для q , лежащего в пределах 20 20q

и определены две специальные размерности - минимальная D , определяемая

из предела lim qq

D D , и максимальная D определяемая из предела lim qq

D D

[62]. Как показал анализ, для нахождения величин D и D с точностью до

~0.001% достаточно ограничиться 10000q . Авторы выделили некоторые

основные размерности спектра, имеющие приоритетную значимость на данный

период развития синергетики:

0D - Размерность Хаусдорфа, определяющая емкость аттрактора;

1D - информационная размерность, определяемая энтропией Колмогорова;

2D - корреляционная размерность, которая также может быть определена через

корреляционный интеграл по методу Грассбергера-Прокаччиа.

Справедливость выбранных приоритетных размерностей спектра Реньи

проверялась на известных значениях различных размерностей для известных

аттракторов, изображенных на рис. 6.6а-в. В частности, на рис. 6.6а изображен

аттрактор Эно для двумерного отображения при значениях 1.4a , 0.3b , а на

рис. 6.6б аттрактор этого же отображения, но при 1.2a , 0.3b . На рис. 6.6в

представлен аттрактор логистического отображения при 3.5699456 . На

рис. 6.6г показана секущая поверхность с изображением хаотического

аттрактора для ИСН-3 при сопротивлении датчика тока 0.7ir . На рис. 6.6д и

рис. 6.6е представлены отображения Пуанкаре ИСН-3 для напряжения и тока

соответственно при тех же значениях сопротивления датчика тока. Для всех

аттракторов, изображенных на рис. 6.6, были построены спектры Реньи,

представленные на рис. 6.7. Значения всех основных и специальных

размерностей спектра Реньи для этих аттракторов сведены в табл. 6.1.

Отдельным столбиком в табл. 6.1 выделена энтропия Колмогорова,

особенностью значений которой является инвариантность относительно

размера, и соответственно количества минимальных ячеек, которыми

покрывается множество точек, представляющих собой аттрактор. Формула для

данных значений энтропии была взята из [58], где она называлась

информационной энтропией и отличалась от обычного представления [8,44]

наличием основания логарифма, зависящего от полного количества ячеек,

содержащих в себе хотя бы одну точку аттрактора: ( )

( )

1

logM

i M i

i

S p p , (6.24)

где ( )M -количество ячеек размером , для которых 0ip [58].


145

Рис. 6.6 – Странные аттракторы, для которых вычислен спектр размерностей

Реньи: а) аттрактор Эно при 1.4a , 0.3b , б) аттрактор Эно при 1.2a , 0.3b , в)

аттрактор логистического отображения при 3.5699456... г) аттрактор модели

ИСН-3 на секущей поверхности при 0.7ir , д) и е) отображения Пуанкаре ИСН-3

для напряжения и тока соответственно

Рис. 6.7 – Спектры размерностей Реньи: а) аттрактора Эно при 1.4a , 0.3b ,

б) аттрактора Эно при 1.2a , 0.3b , в) аттрактора логистического отображения

при 3.5699456... г) аттрактора модели ИСН-3 на секущей поверхности при

0.7ir , д) и е) отображений Пуанкаре ИСН-3 для напряжения и тока

соответственно.

Обоснованность некоторых данных приведенных в таблице 6.1 частично

подтверждается известными теоретическими значениями, взятыми из известной

литературы по хаотической динамике и фракталам, значения которых

приведены в таблице 6.2. Из данных таблицы 6.2 хорошо видна сходимость

значений емкостей и корреляционных размерностей известных аттракторов с

данными, полученными авторами (табл. 6.1). Особо следует отметить хорошее

совпадение теоретического значения минимальной размерности D с данными

модели, причем значение предела lim qq

D D , определялось при 10000q .


146

Таблица 6.1

Тип

аттактора

Размерн

ость ->

D 0D

1D 2D D К-

энтропия

Аттрактор Эно при

1.4a , 0.3b 1.3463 1.26261 1.23536 1.20056 0.87674 0.978419

Аттрактор Эно при

1.2a , 0.3b 1.3331 1.21851 1.18103 1.13626 0.86821 0.969244

Аттрактор

логистического

отображения при 1.3124 0.53303 0.489913 0.486241 0.39588 0.919109

Секущая

поверхность ИСН-3

при 0.7ir 1.6819 1.42604 1.38337 1.3527 1.1639 0.970078

Отображение

Пуанкаре

ИСН-3 для

напряжения

1.6820 1.40965 1.2839 1.08645 0.73522 0.910856

Отображение

Пуанкаре

ИСН-3 для тока

1.3402 1.2299 1.19304 1.15409 0.95545 0.970029

Таблица 6.2

Тип

аттрактора

Размер-

ность

Значение

модели

Известное

значение

Расхождени

е

Источник

данных

Аттрактор

Эно при

1.4a , 0.3b

0D 1.26261 1.26 ~0.2% [44],[49]

2D 1.20056 1.21 ~0.79% [44],[49]

Аттрактор

Эно при

1.2a , 0.3b 0D 1.21851 1.202 ~1.35% [49]

Аттрактор

логистическог

о

отображения

при3.5699456

0D 0.53303 0.538 ~0.93% [44],[49]

1D 0.489913 0.537 ~9.61% [49]

2D 0.486241 0.5 ~2.83% [44],[49]

D 0.39588 0.394 ~0.47% [49]


147

Рис. 6.8 – Спектры Реньи секущих поверхностей ИСН-3 при различных

значениях сопротивления датчика тока

На основании разработанной модели были построены спектры Реньи

секущих поверхностей ИСН-3 при различных значениях сопротивления

датчика тока. Некоторые из этих спектров представлены на рис. 6.8. Из рисунка

видно, что при изменении параметра бифуркации, коим является

сопротивление датчика тока ir , спектр Реньи меняется не линейно, как этого

следовало ожидать, а по совершенно непредсказуемому закону, причем имеет

место неоднократное пересечение спектров. Это говорит о том, что не все

размерности спектра Реньи уменьшаются с ростом параметра бифуркации. Для

более полного выяснения влияния параметра бифуркации на различные

фрактальные размерности авторами было проведено исследование эволюции

странного аттрактора импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего

типа с точки зрения размерностей Реньи.

6.2.3. Эволюция странного аттрактора ИСН-3 с точки зрения

размерностей Реньи. Хотя в некоторой литературе по детерминированному

хаосу утверждается, что аттрактор это единое множество, следует отметить, что

для секущей поверхности и тем более для сечения Пуанкаре это правило не

действует, поскольку они лишь частично отображают пространственную

картину аттрактора. На рис. 6.9 показан механизм изменения, и последующего

разделения аттрактора ИСН-3 на секущей поверхности при увеличении

сопротивления датчика тока, который в данном случае является параметром

бифуркации. Авторы считают, что для сравнения размерностей аттракторы

должны быть поставлены в равные условия не только по количеству взятых

точек, но и по размеру элементарной ячейки относительно размеров

аттрактора. Поэтому, перед тем как измерять размерности аттракторов, они

были пронормированы таким образом, чтобы быть вписанными в n -мерный куб

со стороной равной 1. Для секущей поверхности соответственно 2n .


148

Рис. 6.9 – Поверхности сечения нормированного странного аттрактора ИСН-3

при различных значениях сопротивления датчика тока: а) – ir 0.15 Ом , б) –

ir 0.2,

в) – ir 0.25, г) –

ir 0.3, д) – ir 0.35, е) –

ir 0.4, ж) – ir 0.45, з) –

ir 0.5,

и) – ir 0.55, к) –

ir 0.6, л) – ir 0.65, м) –

ir 0.7, н) – ir 0.75, о) –

ir 0.8,

п) – ir 0.85 Ом.

Рис. 6.10 – Зависимости основных и специальных размерностей Реньи

аттракторов

ИСН-3 от параметра бифуркации

Зависимости основных и специальных размерностей от параметра бифуркации

представлены на рис. 6.10 и сведены в таблицу 6.3.

Таблица 6.3

Размерности ,ir Ом D 0D 1D 2D D К-энтропия

0.85 1.3401 1.19313 1.16035 1.13132 0.93607 7.93744

0.8 1.3402 1.23696 1.21191 1.18813 1.0047 8.29015

0.75 1.3403 1.27728 1.25823 1.23667 1.0373 8.60698

0.7 1.3403 1.29059 1.27511 1.25684 1.0794 8.72243

0.65 1.3404 1.29811 1.28455 1.26801 1.0796 8.78703

0.6 1.3404 1.30053 1.28715 1.27022 1.0569 8.80483

0.55 1.3404 1.29531 1.2796 1.25968 1.0374 8.75313

0.5 1.3404 1.30152 1.28816 1.27088 1.057 8.81172


149

0.45 1.3404 1.30626 1.29388 1.27707 1.057 8.85082

0.4 1.3404 1.3128 1.30318 1.29024 1.106 8.91446

0.35 1.3404 1.31207 1.30171 1.28708 1.0375 8.90438

0.3 1.3404 1.31356 1.30379 1.2903 1.0795 8.91864

0.25 1.3404 1.3101 1.299 1.28398 1.057 8.88584

0.2 1.3404 1.3121 1.30154 1.2868 1.0749 8.90327

0.15 1.3404 1.3087 1.2957 1.27655 1.0202 8.86329

По данным рис. 6.10 и табл. 6.3 можно сделать следующие выводы:

- значение максимальной размерности D в исследуемых пределах параметров

бифуркации практически не меняется;

- основные размерности 0D , 1D и 2D зависят от параметра бифуркации ir по

одинаковому закону; - значение минимальной размерности D очень чувствительно к точности

модели, ведь имеют место выделенные особенности типа / , и для выбранной точности нельзя делать никаких качественных выводов;

- основные размерности 0D , 1D и 2D заметно меняют свои значения только в

области качественного изменения формы аттрактора;

- значения основных размерностей увеличиваются с уменьшением значения

параметра бифуркации, но только до определенного предела, после которого

наступает небольшой спад, что может говорить о некотором информационном

насыщении геометрической формы аттрактора.

6.3. Применение мультифрактальных мер к ИСН-3

6.3.1. Показатель массы для аттрактора ИСН-3. Одним из способов

подтверждения мультифрактальности какой-либо структуры, будь то

множество чисел или хаотический аттрактор диссипативной системы, является

исследование поведения зависимости показателя массы от его порядка.

Рис. 6.11 – Показатели массы для аттрактора Эно при 1.4, 0.3a b (а) и

поверхности сечения аттрактора ИСН-3 при 0.7ir (б)

Разделим фазовое пространство диссипативной системы, в котором

находится хаотический аттрактор, содержащий N точек, на бесконечное

количество ячеек d , где d – топологическая размерность фазового

пространства. Вероятность попадания точки, принадлежащей аттрактору в i -ю

ячейку ( 1,2,..., ( )i M ):

lim i

iN

Np

N, (6.25)


150

где iN – число точек [ ( ),( 0,1,..., )t j j Nx ] в этой ячейке. Здесь ( )M – число ячеек,

где 0iN . Тогда взвешенное число ячеек определяется выражением [58]: ( )

1

( , ) ( )M

q

i

i

Z q p . (6.26)

В литературе это выражение носит название обобщенной статистической

суммы [61]. В этом случае, показатель массы определяется соотношением

[58,61]: ln ( , )

( ) limln

Z qq . (6.27)

Формула показателя массы очень схожа с формулой размерностей Реньи, и

поэтому между ними справедливо известное соотношение [49,44,58,61]:

( ) (1 ) qq q D . (6.28)

Для мультифрактала показатель массы ( )q как зависимость от порядка q

является нелинейной функцией. На рис. 6.11 показаны показатели массы,

построенные на основании модели, разработанной авторами как для аттрактора

Эно при 1.4, 0.3a b , так и для аттрактора на поверхности сечения фазового

пространства ИСН-3 при 0.7ir . Вид зависимости показателя массы от порядка для обоих аттракторов

является типичным [58], что говорит о мультифрактальной природе аттракторов, поскольку мультифрактал характеризуется некоторой нелинейной

( )q [61]. Однако для выявления мультифрактальной природы аттракторов одного показателя массы недостаточно. Важным показателем является мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр.

6.3.2. Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр и показатель

Липшица-Гѐльдера для странных аттракторов ИСН-3. Многие переменные

подвержены флуктуациям, и чем меньше эти флуктуации, тем более часто они

встречаются. В случае устройств силовой электроники интерес представляют

флуктуации переменных состояния. Если облечь состояния переменных в

геометрическую форму, то можно представить эти флуктуации в виде

аттрактора фазовой траектории в фазовом пространстве. Однако, реальные

физические системы зачастую содержат более трех фазовых переменных и

поэтому геометрической интерпретацией становится фазовая плоскость или

фазовый портрет [63]. С исследованием распределения физических или каких-

нибудь других величин на геометрическом носителе связаны

мультифрактальные меры [58], среди которых основной является

мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр [62].

Мультифрактальный спектр – это зависимость некоторой функции от

показателя скейлингового показателя ( )q , который в свою очередь является

зависимостью от порядка q . Получить данную зависимость можно через

преобразования Лежандра [52,58]:

( ) ( ) ( )f q q q q , (6.29)

( ) ( )d

q qdq

. (6.30)


151

Эта пара уравнений параметрически задает зависимость сингулярного

скейлинг-спектра от скейлингового показателя ( )q [52,58]. Скейлинговый

показатель известен в математике как показатель Липшица-Гѐльдера [52,58].

Этот показатель определяет сингулярность плотности и может быть назван

показателем сингулярности [58]. Показатель массы ( )q может быть найден

непосредственно из выражения (6.27) через обобщенную статистическую

сумму (6.26). Если же известены значения спектра Реньи, то значения

показателя массы легко получить через соотношение (6.28). Численное

значение производной от показателя массы ( )q по порядку q можно взять,

используя формулу [61]: ( )

1

( )

1

ln

( ) lim

ln

Mq

i i

i

Mxq

i

i

p pd

qdq

p

, (6.31)

имеющую важный физический смысл: распределение плотности вероятности

соответствует мультифракталу [61].

Из (6.31), через преобразование Лежандра получаем зависимость показателя

Липшица-Гѐльдера от порядка q : ( )

1

( )

1

ln

( ) lim

ln

Mq

i i

i

Mxq

i

i

p p

q

p

. (6.32)

С учѐтом (6.31) выразив показатель массы (6.27) через обобщенную

статистическую сумму (6.26), можно получить сингулярный скейлинг-спектр

через преобразование Лежандра (6.29): ( ) ( )

0 1

( )

1

ln ( ) ( ) ln ( )

( ) lim limln

( ) ln

M Mq qi i i

i i

Mq

i

i

p p p

f q q

p

. (6.33)

На основании выражений (6.32) и (6.33) авторами была создана

математическая модель для построения сингулярного скейлинг-спектра как

зависимости от показателя Липшица-Гѐльдера. Правильность работы модели,

разработанной авторами, проверялась на известном аттракторе Эно из

логистического отображения при значениях основных параметров 1.4 и 0.3 .

Внешний вид полученного спектра показан на рис. 6.12а. Подобную форму

сингулярного скейлинг-спектра имеет неоднородный треугольник Серпинского

[61]. Правильность геометрической формы спектра можно проверить на

основании еѐ основных свойств, которые подробно описаны в [61] и частично

приведены в [62]. В частности максимум функции должен соответствовать

размерности Хаусдорфа 0D , минимальное значение показателя Липшица-

Гѐльдера соответствует минимальной размерности Реньи, а максимальное –

максимальной. Все эти и некоторые другие свойства выполняются для

аттрактора Эно, что видно из рис. 6.12б, что говорит о правильности работы

модели. При помощи этой модели были построены спектры для аттракторов

ИСН-3 при различных значениях сопротивления датчика тока. Некоторые из


152

них представлены на рис. 6.13. Из рисунков можно сделать вывод о том, что

фрактальные свойства аттрактора обладают весьма неочевидной зависимостью

от значения параметра бифуркации, коим является сопротивление датчика тока.

6.3.3. Чѐртова лестница странного аттрактора ИСН-3. Наряду с

фрактальными и мультифрактальными мерами, применяемыми к странным

аттракторам в фазовом пространстве, весьма нелишним будет

непосредственное рассмотрение распределения плотности вероятностей

прохождения траектории через ту или иную часть аттрактора. Для изучения

данной плотности авторы взяли странный аттрактор на секущей плоскости

фазового пространства ИСН-3

а) б)

Рис. 6.12 – Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр аттрактора Эно

при 1.4 , 0.3 (а) и геометрическая интерпретация его основных свойств (б)

Рис. 6.13 – Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр аттракторов

ИСН-3 при различных значениях сопротивления датчика тока

при сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом, что соответствует зоне сильной

хаотичности на бифуркационной диаграмме. Внешний вид данного аттрактора

представлен на рис. 6.14. Отображения Пуанкаре для тока дросселя и

выходного напряжения этого же аттрактора представлены на рис. 6.15 и

рис. 6.16 соответственно.

Для дальнейшего анализа аттракторов произведем нормировку всех трех

аттракторов, вписав их в безразмерные единичные квадраты. Разделим фазовое

пространство пронормированного аттрактора на ячейки единичной высоты.

Ширина ячеек обратно пропорциональна их количеству, то есть ~ 1/ N , при


153

N . Вероятность попадания точки, принадлежащей аттрактору в i -ю ячейку

( 1,2,..., ( )i M ):

Рис. 6.14 – Странный аттрактор ИСН-3 на секущей плоскости при

сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом

Рис. 6.15 – Странный аттрактор ИСН-3 на отображении Пуанкаре для тока

дросселя при сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом

lim i

iN

Np

N, (6.34)

где iN -количество точек аттрактора в i -ой ячейке. Тогда ip -относительная

плотность заселенности каждой из ячеек вдоль оси x или «масса» [58].

Естественно, что для (3.4.12) должно выполнятся условие [44]:

1

1N

i

i

p . (6.35)

В этом случае «чѐртова лестница» определится из выражения

1

( )xN

i

i

M x p , (6.36)


154

Рис. 6.16 – Странный аттрактор импульсного стабилизатора напряжения

инвертирующего типа на отображении Пуанкаре для напряжения выхода при


где x и i связаны соотношениями /x i N , для чего переменная x должна иметь

соответствующий шаг дискретизации.

Пронормированный аттрактор ИСН-3 на сечении Пуанкаре для выходного

напряжения представлен на рис. 6.17 с соответствующим ему распределением

плотности вероятностей вдоль оси абсцисс. Здесь диаграммы плотности

вероятностей для наглядности показаны в несколько «урезанном» виде. Полная

же диаграмма распределения представлена на рис. 6.18 вместе с «чѐртовой

лестницей». Из рисунка видно, что функция «чѐртовой лестницы» сечения

Пуанкаре для выходного напряжения обладает тем же геометрическим

характером фрактальности, что и биноминальный мультипликативный процесс

после 11 поколений (соответствующая «чѐртова лестница» приведена в [58]).

Такая же картина плотности распределения вероятности будет для этого

аттрактора, находящегося на секущей поверхности. Соответствующая ему

«чѐртова лестница» приведена на рис. 6.196. Визуальные отличия между

«чѐртовыми лестницами» для аттракторов на секущей поверхности и на

сечении Пуанкаре для выходного напряжения отсутствуют, что видно из

сравнения рис. 6.18 и рис. 6.19. Для сравнения, для этого же аттрактора,

расположенного на сечении Пуанкаре для тока дросселя картина иная.

Несмотря на то, что диаграмма распределения плотности вероятностей для него

имеет весьма неоднородную форму, что видно из рис. 6.20, картина «чѐртовой

лестницы» имеет нелинейный характер, как видно из рис. 6.21, но однородна, и

никаких фрактальных свойств не обнаруживает. Отсюда напрашивается вывод

о том, что за все фрактальные свойства распределения плотности вероятностей

нахождения вектора состояния внутри аттрактора в фазовом пространстве

отвечает только одна переменная состояния – ток дросселя.


155

Рис. 6.17 – Распределение плотности вероятностей вдоль оси ординат (б) для

пронормированного странного аттрактора на сечении Пуанкаре для выходного

напряжения (а) при сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом

6.3.4. Основные результаты применения мультифрактальных мер к

импульсным стабилизаторам напряжения. В результате работы было

проведено разностороннее исследование хаотических процессов, протекающих

в ИСН-3 с помощью фрактальных мер. Были получены фрактальные

размерности различных аттракторов модели ИСН-3 с учетом активных потерь.

Вычислены и исследованы их скейлинг-спектры, а также графики, именуемые

«чѐртовой лестницей». Даны обоснования для причисления полученных

аттракторов к классу «странных».


156

Рис. 6.18 – Распределение плотности вероятностей вдоль оси ординат (а)

странного аттрактора ИСН-3 на сечении Пуанкаре для выходного напряжения

при сопротивлении датчика тока 0.1ir и соответствующая ей «Чѐртова

лестница» (б)

6.4. Скейлинг структуры аттракторов импульсного стабилизатора

напряжения инвертирующего типа

6.4.1. Диссипативные системы и скейлинг. Решение диссипативных

динамических систем при t обладает свойством притягиваться к

некоторому подмножеству меры нуль в фазовом пространстве [44]. В случае

регулярной динамики это подмножество может быть либо устойчивой

стационарной точкой, либо устойчивым предельным циклом, либо

инвариантным тором. Все эти подмножества являются подмногообразиями

фазового пространства. Математическим образом хаотических колебаний

диссипативных систем служит странный аттрактор, который уже не обладает

гладкой структурой и достаточной непрерывностью, предполагаемой в понятии

подмногообразия. Геометрическое строение странных аттракторов более

сложное. Оно обладает геометрической (масштабной) инвариантностью, или,

скейлинговой структурой [90]. На сегодняшний момент самым известным

аттрактором обладающим скейлинговой структурой является аттрактор Хенона

(Henon) [92], более известный как аттрактор Эно [11,90]. Однако, как оказалось,

подобным свойством обладают и аттракторы, построенные при помощи

математической модели, разработанной авторами.


157

Рис. 6.19 – «Чѐртова лестница» странного аттрактора ИСН-3 для секущей

поверхности при сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом

Рис. 6.20 – Распределение плотности вероятностей вдоль оси ординат

странного аттрактора на сечении Пуанкаре для тока дросселя ИСН-3 при


Рис. 6.21 – «Чѐртова лестница» странного аттрактора ИСН-3 на сечении

Пуанкаре для тока дросселя при сопротивлении датчика тока 0.1ir Ом


158

6.4.2. Параметры модели импульсного стабилизатора напряжения

инвертирующего типа для синтеза аттракторов с геометрическим

самоподобием. Подробное описание модели приведено ранее, а упрощенная

функциональная схема импульсного стабилизатора напряжения (ИСН)

инвертирующего типа (ИСН-3) с учетом активных потерь приведена на

рис. 6.1. Кроме того, авторы считают, что учѐт активных потерь в

полупроводниковых элементах силовой части импульсных стабилизаторов

может зачастую играть не менее важную роль при синтезе различного рода, чем

учѐт активных сопротивлений реактивных элементов. На рис. 6.2 и рис. 6.3

приведены эквивалентные схемы и схемы замещения полупроводниковых

элементов в ИСН при различных режимах его работы. Наряду с учетом

активных потерь реактивных элементов, данная модель позволяет учитывать

сопротивление датчика тока, что как показал анализ, приводит не только к

качественному изменению формы кривой тока дросселя, но и к изменению

границы устойчивости с точки зрения возникновения хаотических колебаний.

Параметры модели ИСН взяты из [93], и имеют следующие значения:

напряжение входного источника 5U В, сопротивление нагрузки 20R Ом,

индуктивность дросселя 1L мГн, ѐмкость конденсатора 4C мкФ, период

работы силового ключа 50T мксек, сопротивление дросселя 0.2Lr Ом, активное

сопротивление конденсатора 0.1Cr Ом, активное сопротивление базы диода

0.1Dr Ом, активное сопротивление базы транзистора 0.4Tr Ом, прямое падение

напряжения на диоде 0.7DU В, прямое падение напряжения на силовом ключе

0.2TU В, сопротивление датчика тока 0.7ir Ом.

6.4.3. Геометрическое самоподобие поверхности сечения. Пусть наша

система обладает трехмерным фазовым пространством, одна из переменных

которого – время t в явном виде. В случае ИСН-3 две другие переменные это

ток дросселя ( )i t и напряжение конденсатора ( )u t . Тогда поверхность сечения

[94] представляет собой последовательность стробоскопических «мгновенных

снимков» плоскости двумерного фазового пространства ( ( )i t , ( )u t ) в моменты

времени nT , где 0,1, 2,...n . Множество точек ( ), ( )iX i t iT u t iT образуют

собственно саму поверхность сечения. Метод поверхностного сечения очень

удобно применять для неавтономных систем [94].

Здесь следует отметить, что поскольку система ИСН-3 синхронизируется

внешним генератором импульсов с фиксированным значением частоты, то не

стоит проблема выбора интервала выборки реконструированного аттрактора в

фазовом пространстве на сечение Пуанкаре. В этом случае говорят, что

дискретизация реализации фазовой реконструкции имеет естественную

природу [44].

Подобно аттрактору Эно, поверхность сечения импульсного стабилизатора

напряжения представляет собой сложную фрактальную структуру, что видно из

рис. 6.22. Наличие масштабной инвариантности является одним из основных

доказательств того, что данный аттрактор имеет полное право называться

странным.


159

6.4.4. Вертикальный скейлинг отображения Пуанкаре для выходного

напряжения инвертирующего импульсного стабилизатора. Если выбрать в

фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность S и расположить ее

в области аттрактора таким образом, чтобы фазовая траектория пересекала ее

без касания, то эту поверхность можно назвать секущей поверхностью потока

динамической системы. В результате своего движения фазовая траектория

будет пересекать поверхность сечения S и точка пересечения, например A ,

будет

Рис. 6.22 – Геометрическое самоподобие аттрактора на поверхности

сечения(секущей поверхности).

Рис. 6.23 – Геометрическое самоподобие сечения Пуанкаре для выходного

напряжения импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа

переходить в точку следующего пересечения в том же направлении, например

B , посредством соответствующего закона ( )B A . Тогда функция ,

последовательно переводящая точки пересечения из одной в другую будет

называться функцией последования или отображением Пуанкаре [95].

Вертикальный скэйлинг странного аттрактора диссипативной системы

является частным случаем масштабной инвариантности фазового портрета [44].

Рассмотрим полученную зависимость ( 1)U n T от U nT (рис. 6.23) более


160

а) б)

Рис. 6.24 – Увеличенные фрагменты сечения Пуанкаре, причем фрагмент (б)

является частью фрагмента (а)

подробно в цифрах для двух последовательных увеличений сечения Пуанкаре

(рис. 6.24а и 6.24б). Здесь iL - различные значения ( 1)U n T при 11U nT В

имеют следующие значения: 0 13.81281L , 1 13.7277L , 2 13.779916L , 3 13.8001L ,

4 13.8079L , 5 13.810914L . Определим масштабные коэффициенты соотношений

расстояний между траекториями 1

1 2

L n n

n

n n

L L

L L, 0

1 0

L n

n

n

L LF

L L, и которые в нашем

случае для 1,2,3n имеют следующие значения

1 2.587L , 2 2.58769L , 3 2.58792L ,

1 2.5874LF , 2 2.58804LF , 3 2.58859LF .

Это наглядно показывает, что структура аттрактора фрактальна.

6.4.5. Масштабная инвариантность отображения Пуанкаре для тока

дросселя инвертирующего импульсного стабилизатора. Как и для выходного

напряжения ИСН-3 получим отображение Пуанкаре для тока дросселя.

Рассмотрим полученную зависимость ( 1)I n T от I nT (рис. 6.25) в цифрах

более подробно. Ниже приведены I nT и ( 1)I n T при пересечении фазовых

траекторий полуосей 1.1828I nT А и ( 1) 1.157I n T А (рис. 6.26), которые имеют

следующие значения: 0 1.183006X , 1 1.1957X , 2 1.187667X , 3 1.184718X , 4 1.183635X ,

5 1.1832374X , 0 1.1622249Y , 1 1.181Y , 2 1.169572Y , 3 1.1651Y , 4 1.16335Y , 5 1.1626652Y .

Рис. 6.25 – Масштабная инвариантность сечения Пуанкаре для тока дросселя

импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа


161

Рис. 6.26 – Увеличенный фрагмент сечения Пуанкаре для тока дросселя

импульсного стабилизатора напряжения инвертирующего типа

Определим масштабные коэффициенты соотношений расстояний между

траекториями по следующим соотношениям [44]:

1

1 2

X n n

n

n n

X X

X X, 1

1 2

Y n n

n

n n

Y Y

Y Y, 0

1 0

X n

n

n

X XF

X X, 0

1 0

Y n

n

n

Y YF

Y Y

значения которых для 1,2,3n сведены в таблицу 6.4.

Из табл. 6.4 видно, что наличие масштабной инвариантности является также

одним из основных доказательств того, что данный аттрактор имеет полное

право называться странным [44].

Таблица 6.4

n 1 2 3 X

n 2.72397 2.72299 2.72384 X

nF 2.72345 2.72255 2.72178 Y

n 2.55546 2.55543 2.55549 Y

nF 2.55544 2.55542 2.55542

6.4.6. Итоги применения фрактальных и мультифрактальных мер к

инвертирующему ИСН. В результате работы было проведено разностороннее

исследование хаотических процессов протекающих в ИСН-3 с помощью

фрактальных и мультифрактальных мер детерминированного хаоса. Были

получены фрактальные размерности различных аттракторов модели ИСН-3 с

учетом активных потерь. Вычислены и исследованы их скейлинг-спектры, а

также графики именуемые «чѐртовой лестницей». Даны обоснования для

причисления полученных аттракторов к классу «странных». Доказана

мультифрактальная природа странных аттракторов ИСН-3.


162

Глава 7. Реконструкция динамических систем по фрактальным

временным рядам с помощью нейронных сетей

7.1. Реконструкция динамических систем в приближении «черного» ящика

Синергетика [6], или теория самоорганизации, сегодня представляется одним

из наиболее популярных и перспективных междисциплинарных подходов [100].

Вводя термин синергетика, Герман Хакен вкладывал в него два смысла.

Первый – теория возникновения новых свойств у целого, состоящего из

взаимодействующих объектов. Второй – подход, требующий для своей

разработки сотрудничества специалистов из разных областей.

Синергетика – раздел науки, позволяющий делать прогнозы развития

различных явлений. «Будущее…» – это самое главное. Оттого, насколько ясно

мы его представляем, зависят и наши сегодняшние усилия и научные стратегии

[100]. Прогнозы – дело неблагодарное, хотя и совершенно необходимое [100].

При изучении процессов и явлений в окружающем нас мире исследователи

постоянно оказываются в ситуации, когда в силу объективных причин нет

возможности получить полную информацию о внутреннем устройстве и

принципе функционирования изучаемого объекта. Более того, эволюции

состояния ДС во времени в общем случае могут соответствовать случайные,

детерминированные процессы или их суперпозиция. При формулировке

понятия ДС необходимо все это учитывать.

Под динамической системой мы понимаем реально существующую систему

[100], для которой возможно ввести понятие состояния в каждый момент

времени и предположить, что существует непрерывный или дискретный

оператор, приближенно описывающий его эволюцию (во времени и/или в

пространстве). При .этом под шумом можно понимать внутренние пли внешние

флуктуации или воздействие большого количества факторов, оказывающих

слабое влияние на повеление системы и по этой причине не учтенных при

задании состояния. Тогда минимальное количество независимых координат,

достаточное для описания состояния системы в заданном приближении, можно

назвать, ее размерностью.

На практике чаще всего нет возможности измерить зависимость от времени

всех координат состояния системы. Типична ситуация, когда доступной для

измерения является только одна из характеризующих процесс величин, одна из

координат состояния ( )t . Зависимость величины, описывающей состояние

системы, от некоторой независимой переменной, которая чаще всего является


163

Рис. 7.1 – Концепция подхода изучаемых фрактальных процессов по принципу

представления порождающих систем в виде «чѐрного ящика»

временем или пространственной координатой, называется (наблюдаемой)

реализацией системы. Ситуация, при которой единственный способ получения

представления об устройстве интересующей нас системы состоит в изучении ее

реализаций, а любая другая информация является недоступной, привела к

возникновению понятия «черного ящика» (рис. 7.1). Этим термином стали

называть любые системы, единственной информацией о которых является

сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, измеряемый на выходе, причем

существование первого сигнала не является обязательным. Зависящая от

времени реализация (наблюдаемая), дискретизированная с некоторым шагом

t , называется одномерным временным рядом ( ) ii t , 1,2,...,i N .

Реконструкция ДС собственно и состоит в восстановлении модельной системы

по экспериментальному временному ряду i .

В настоящее время проблема реконструкции ДС охватывает достаточно

широкий круг научных задач, решение которых направлено на получение

частичной или возможно максимальной информации о свойствах «черного

ящика» по одномерному временному ряду i , регистрируемому в эксперименте.

К этой проблеме относятся задачи реконструкции (восстановления)

аттракторов, топологически эквивалентных аттрактору исходной системы;

определения ряда количественных характеристик режима функционирования

системы (размерность аттрактора, показатели Ляпунова, вероятностная мера и

др.) и. наконец, задача глобальной реконструкции изучаемой ДС. Глобальная

реконструкция подразумевает восстановление модельных уравнений

анализируемой системы, которые с заданной точностью способны

воспроизводить экспериментально полученный временной ряд. В настоящей

главе мы рассмотрим некоторые из перечисленных выше задач.

При решении задач динамического прогноза поведения фрактальных

временных рядов, одной из главных задач является предварительный анализ

этих рядов, на основе которых строятся прогнозирующие нейронные сети

(ПНС), которые можно рассматривать как обобщение традиционных подходов

к анализу временных рядов [105]. На основании такого анализа были

построены ПНС. Изначально, предполагалось наличие связи между

фрактальной размерностью исследуемого временного ряда и параметрами ПНС

[15,106-108]. Далее, установлены зависимости параметров ПНС от

фрактальных характеристик сигнала системы: найдена оптимальная

конфигурация ПНС. Для решения данной задачи были построены различные

ПНС, на базе многослойного персептрона с различным количеством элементов

входного слоя 1n и с различным количеством нейронов скрытого слоя 2n .


164

7.2. Одномерный временной ряд как n -мерная реконструкция ( n -число

членов ряда) аттрактора динамической системы

Первым этапом фрактального анализа, на основе которого впоследствии

строятся прогнозирующие НС, является выбор временной задержки . До сих

пор, в литературе [100-102,104,14,62] выбор производился методами

статистики и полученному значению величины не придавали значения.

В книге [100] сказано, что выбор таких параметров как размерность

пространства вложения m и временной задержки влияет на диагностику

хаотичности, установления уровня шума, на оценку энтропии, время

предсказуемости и на верхний предел допустимой длины окна реконструкции

(эти две величины собственно и составляют длину окна реконструкции

( 1)m ).

Для выявления алгоритма метода решалась так называемая задача

«прозрачного ящика», когда параметры анализируемой системы известны, что

позволяет мгновенно оценить достоверность метода. В качестве анализируемых

дискретно-нелинейных систем были выбраны импульсные стабилизаторы

напряжения (ИСН) различных типов, работающих в хаотическом режиме.

Математические модели данных систем и их работа в хаотическом режиме

наиболее подробно описаны в [16]. Достоинством данных систем является то,

что параметры дискретизации заложены в их структуру, то есть являются

естественными.

Переключение состояний различных ИСН тактируется внутренним

генератором с фиксированной частотой, поэтому решается задача «чѐрного

ящика» с априори известным результатом, т.е. так называемая задача

«прозрачного ящика». Однако, в хаотичном режиме работы у некоторых

стабилизаторов переключение в момент подачи тактовых импульсов не

является обязательным. В частности, это ИСН понижающего типа (ИСН-1),

которые в данной работе также были рассмотрены. Как будет показано в

работе, у таких стабилизаторов амплитудный уровень фрактального шума в

спектре мощности будет значительно превышать амплитуду гармоники,

вызванной тактовым генератором. Однако, даже для данного случая,

предложенная методика выявления оптимального для таких систем

функционирует также исправно.

На данный момент, во всех работах посвященных данной теме, не

поднимался вопрос о времени начала регистрации выходного сигнала системы.

Ведь если проводить аналогию между временным лагом и периодом работы

дискретно-нелинейной системы T , то существует аналогия между фазовым

сдвигом и началом регистрацией сигнала, идущего от системы. Поэтому,

вторичной целью исследования являлось изучение влияния так называемого

«фазового сдвига» на различные фрактальные характеристики сигнала. А

также, можно ли фрактальными мерами выявить время срабатывания

внутреннего тактового генератора в хаотическом режиме работы.

При решении задач динамического прогноза фрактальных временных рядов

основной частью является задача анализа предсказываемого временного ряда. В


165

задачу анализа входят следующие важные составные части: восстановление

аттрактора и определение его фрактальной размерности, определение

размерности пространства вложения, определение энтропии и показателей

Ляпунова. Без нахождения этих важных характеристик задача прогноза

становится практически невозможной. Причем неважно, каким образом будет

решаться задача прогноза.

7.3. Методы выбора временного лага

Задача выявления временного лага состоит в следующем. Необходимо по

одному лишь сигналу выхода дискретно-нелинейной системы (в качестве

которой может выступать любой импульсный стабилизатор напряжения с

любой структурой силовой части и любым типом обратной связи) определить

временную задержку , связанную с работой внутреннего тактового

генератора. При этом ИСН для исследователя будет являться неким «серым

ящиком». Т.е. из априорных сведений об исследуемой системе известно только

то, что она, во-первых, является дискретно-нелинейной, и, во-вторых, еѐ работа

тактируется каким-то внутренним тактовым генератором, который и задает

характер ее работы.

На данный момент для выбора временной задержки при анализе

временного ряда существуют следующие основные методы [100,104,109-112]:

метод автокорреляционной функции;

метод взаимной информации;

метод основанный на вычислении спектра мощности;

метод среднего отклонения.

Первые два метода основаны на предположении, что временная задержка

является оптимальной, если координаты реконструированного аттрактора

являются максимально независимыми притом, что сама задержка имеет как

можно меньшее значение. Ниже следует краткая теория для каждого метода и

описаны полученные с помощью них результаты применительно к дискретно-

нелинейным системам в исследованиях авторов. Даны авторские методы

выявления временного лага и фазового сдвига, основанные на авторских

модификациях известных фрактальных методов.

7.3.1. Метод автокорреляционной функции [15]. Формула для

автокорреляционной функции выглядит следующим образом: 1

11

1( ) ( ) ( )

N

t

R y t y tN

,

где 1N N , а ( ) ( ) { }y t x t E x -центрированная версия ряда { (1), (2),..., ( )}X x x x N .

Для каждого конкретного значения функция ( )R возвращает коэффициент

корреляции между исходным временным рядом и его аналогом полученным

при помощи временной задержки (в тех же дискретах времени).

Согласно методу, оптимальная временная задержка выбирается в

соответствии с первым нулевым (либо близким к нулю) значением


166

автокорреляционной функции ( )R . Однако, поскольку вместо свойства

независимости используется неэквивалентное ему свойство

некоррелированности, то полученное значение временной задержки не всегда

является оптимальным [15].

Для рассматриваемых дискретно-нелинейных систем при применении метода

автокорреляционной функции значения выбранного , как оказалось, сильно

зависят от длины рассматриваемого участка выборки. На основании этого

можно сделать вывод о неприменимости метода автокорреляционной функции

к анализу временных рядов дискретно-нелинейных систем.

7.3.2. Метод взаимной информации [15]. Пусть 1( , )a b R -минимальный

временной интервал, содержащий все значения временного ряда X . Разобьем

данный интервал на L равных частей. Само число интервалов разбиения

выбирается по известной формуле Старка:

2([log ] 1)L N .

Введем следующие обозначения:

событие «значение ( )x t принадлежит i-му интервалу» обозначим через iA ;

событие «значение ( )x t принадлежит j-му интервалу» обозначим через

jB ;

событие «значение ( )x t принадлежит i-му интервалу и значение ( )x t

принадлежит j-му интервалу» обозначим через i jA B .

Тогда функция взаимной информации определяется соотношением:

2

1 1

( )( ) ( ) log

( ) ( )

L Li j

i j

i j i j

P ABI P AB

P A P B,

где ( )P -вероятность соответствующего события.

Функция взаимной информации является, с одной стороны, более точной

мерой независимости, чем автокорреляционная функция, а с другой стороны –

более сложной в вычислительном смысле. Согласно данному методу,

оптимальная временная задержка выбирается в соответствии с первым

минимумом функции ( )I . Результат оказался тем же самым, что и для

автокорреляционной функции.

7.3.3. Модифицированный метод взаимной информации [15]. Для

ускорения расчетом метода взаимной информации была предложена

следующая формула [15]: 2

1

1 1

( ) ( ) ( ) ( )L L

i j i j

i j

I P A B P A P B .

Функция 1( )I проявляет те же самые свойства, что и функция ( )I , то есть,

обе функции 1( )I и ( )I имеют максимумы и минимумы при одних и тех же и

имею возрастания и убывания на одних и тех же участках интервала аргумента.

Следует отметить, что, как и ожидалось, данный метод дал те же результаты,

что и обычный метод взаимной информации.


167

7.3.4. Метод, основанный на вычислении спектра мощности. Названия

данного метода в литературе не встречалось, поэтому он и был так назван в

данной работе. Как следует из названия, для определения необходимо найти

спектр мощности исследуемого временного ряда, который является быстрым

преобразованием Фурье автокорреляционной функции.

Согласно методу, если в спектре мощности присутствуют кратные пики, то

временная задержка выбирается равной четверти периода самой высокой из

доминирующих частот [104,100].

Полученные таким образом спектры мощности позволяют видеть основные

частоты, на которых работают тактовые генераторы. Однако, для систем

подобных понижающему ИСН (ИСН-1), частота тактового генератора не

является доминирующей. Поэтому, данный метод не может точно определить

для подобных дискретно-нелинейных систем. Кроме того, могут возникнуть

проблемы, связанные с конечностью исследуемой выборки при быстром

преобразовании Фурье из-за которых высокие кратные частоты могут

появиться в низкочастотной области.

7.3.5. Метод среднего отклонения [15]. Данный метод был впервые

предложен Розенштейном [110] в 1994 году. Он основан на оценке среднего

отклонения точек реконструированного аттрактора от главной диагонали

пространства вложения. Рассмотрим функцию среднего отклонения, заданную

соотношением: 1 1

2

1 11

1( ) [ ( ) ( )]

N m

m

t k

S x t k x tN

,

где -временная задержка (в шагах), m -размерность пространства вложения, а

верхний предел определяется как

1N N m .

Очевидно, что при 0 реконструированная траектория представляет собой

некоторое подмножество главной диагонали пространства вложения. При

увеличении временной задержки реконструированная траектория постепенно

отдаляется от главной диагонали, а функция mS возрастает и достигает

насыщения. Значение при котором достигается насыщение, считается

оптимальным. Для больших значений m , функция ( )mS достигает насыщения

при меньших . Однако, поскольку данный метод может быть применим

только при априори известном значении m , то в данной работе он не

рассматривался.

7.3.6. Применение модификации метода Грассбергера-Прокаччиа к

выявлению временного лага дискретно-нелинейных систем. Гораздо

больший интерес с точки зрения результатов представляет вычисление

корреляционного интеграла Ce согласно модификации, предлагаемой авторами

данной работы. Вся суть вычислении предлагаемого в данной работе

заключается в том, что сами вычисления зависимостей ( , )Ce N от нужно


168

производить не для всех значений Cm вплоть до насыщения значения

корреляционной размерности, а только для двумерного случая, т.е. 2Cm .

Это существенно сокращает время расчетов, и позволяет автоматизировать

процедуру исключив визуальный метод выделения линейного участка. В

данном случае вполне достаточно получить несколько зависимостей ( , )Ce N от

в двойном логарифмическом масштабе для различных значений , и по ним

оценить границы линейного участка.

После этого процедура автоматизируется и производится вычисление

наклона линейных участков, которые обозначим как 0( / )Ce . В результате,

искомому значению соответствуют абсолютные минимумы зависимостей

0( / )Ce .

Данный анализ показал, что поскольку картина экстремумов от выбора

«фазового сдвига» не зависит, то вычисления 0( / )Ce для каждого лага можно

проводить только один раз при любом значении . Это позволит существенно

сократить время расчетов и получить достаточно быстрый метод оценки для

дискретно-нелинейных систем.

Положительным моментом будет являться то, что этот метод в отличии от

общеизвестных статистических методов, является по своей природе

фрактальным.

Из проведенного авторами анализа стало видно, что существует соответствие

минимумов зависимостей 0( / )Ce с наиболее ―компактными‖ или ―сжатыми‖

внешними видами аттракторов. То есть, для значений , соответствующих

минимумам зависимости 0( / )Ce аттракторы занимают наименьший фазовый

объем (точки аттрактора группируются в более плотные множества). Это

является логичным и закономерным, поскольку чем меньше корреляционная

размерность, тем меньший фазовый объем занимает аттрактор. Особенностью

данного исследования заключается в том, что полученные значения 0( / )Ce по

сути не являются корреляционной размерностью CD , поскольку они были

вычислены для псевдофазового пространства 2Cm . Однако оценка 0( / )Ce дает

хорошие результаты.

7.3.7. Применение модифицированного метода ложных ближайших

соседей к выявлению временного лага дискретно-нелинейных систем. В

авторских исследованиях оказалось, что полученное с помощью обычного

метода ЛБС значение размерности пространства вложения Cm не зависит ни от

лага , ни, тем более, от ―фазового сдвига». Однако, в ходе численного

эксперимента, было выявлено, что для размерности пространства вложения

2Cm отношение числа ближайших ложных соседей к длине выборки PN

при

переходе в пространство 3Cm существенно зависит от величины взятого лага .

Поэтому, мы предложили свой метод, согласно которому необходимо провести

такой же расчет зависимости 2Cm

PN

как функции нормированного лага 0

.

Согласно нашей модификации метода, искомому значению будет


169

соответствовать минимум данной зависимости. Результаты данного расчета

такие же, как и при применении метода Грассбергера-Прокаччиа, однако нет

необходимости производить вычисления при разных значения . Это

компенсирует сложность расчетов данного метода.

7.3.8. Применение метода нормированного размаха Хѐрста к выявлению

«фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем. После того, как

оптимальный временной лаг выявлен, встает вопрос о необходимости

выявления ―фазового сдвига‖. Во-первых, необходимо узнать, влияет ли

―фазовый сдвиг‖ на фрактальные характеристики (и, соответственно, насколько

сильно влияет). Во-вторых, если влияет, то можно ли определить исходный,

или, хотя бы, оптимальный ―фазовый сдвиг‖. В данном случае, под

оптимальным, понимается такой, который наиболее максимально соответствует

фрактальным характеристикам аттрактора исходной системы.

Из полученных авторами в своих работах результатов можно сделать два

важных вывода:

1. Значения показателя Хѐрста H при правильно выбранном лаге сильно

зависят от выбранного ―фазового сдвига‖ .

2. Оптимальный ―фазовый сдвиг‖ соответствует наибольшему значению

показателя H .

Эти результаты легли в основу предлагаемого в работе метода.

7.3.9. Алгоритм нахождения величины временной задержки для

хаотических сигналов порожденных дискретно-нелинейными системами. Алгоритм можно разбить на следующие этапы:

1. Вычисление спектра мощности исследуемого сигнала как быстрое

преобразование Фурье автокорреляционной функции.

Для этого необходимо зафиксировать ряд мгновенных значений в

течении ô èêñT =1сек. реального времени с шагом дискретизации t . Причем

шаг дискретизации должен удовлетворять условию t T , где T -

предполагаемый период работы тактового генератора исследуемой

системы. Здесь знак означает минимум два порядка, поскольку чем

меньше t тем более приближен восстановленный аттрактор к

изначальному сечению Пуанкаре. Тогда длина ряда мгновенных значений

составит /N t t .

2. Визуальное выявление частоты работы внутреннего

синхронизирующего тактового генератора системы, задающего

период ее работы и локализация участка частотного диапазона в

котором данная частота присутствует.

Здесь точность вычисления частоты по спектру не требуется,

поскольку в алгоритм заложено нахождения только участка содержащего

предполагаемую частоту. Точное нахождение выявление частоты

предполагается на следующем этапе


170

В результате будет найден предполагаемый диапазон, содержащий

искомую временную задержку:

10 15%ô èêñT

f t,

где f -приблизительный номер гармоники в спектре мощности,

отвечающей за частоту тактового генератора. Поскольку количество

отсчетов в исследуемом ряду можно определить как ô èêñTN

t, то можно

формулу для определения диапазона можно перезаписать в виде

10 15%N

f .

3. Получаем значения корреляционного интеграла Ce как функцию

( )Ce , где -непрерывный ряд целочисленных значений, лежащих в

диапазоне, указанном выше. Искомому значению будет

соответствовать минимум функции ( )Ce .

Для этого, получаем временные выборки из исходного ряда, каждая из

которой будет получена с соответствующим временным лагом .

Соответственно количество рядов будет равно количеству целых

значений лежащих в диапазоне / 10 15%N f .

На данном этапе необходимо соблюдать общие правила нахождения

корреляционного интеграла, т.е. обеспечить необходимую длину

выборки, правильно выбрать линейный участок для определения наклона

кривой. Для решаемой задачи достаточно найти наклон корреляционного

интеграла для двухмерного сечения Пуанкаре, полученного путем

реконструкции методом задержки.

Если получено несколько минимумов зависимости ( )Ce , то в данном

методе рекомендуется выполнить следующую процедуру. Для каждого

временного лага получить не один, а несколько рядов, меняя начало

отсчета , т.е. ввести подобие «фазового сдвига». Целочисленные

значения необходимо по возможности равномерно распределить в

диапазоне 0 . Соответственно, чем больше количество , и

соответственно полученных рядов, тем точнее результат.

Естественно, количество не должно превышать . Полученные

значения ( )Ce усредняются по всему ансамблю полученных таким

образом реализаций.

4. Определение оптимального «фазового сдвига» для полученного

значения Как было показано выше, пренебрегаемая ранее величина «фазового

сдвига» , то есть номера точки исследуемой реализации, с которой

начинается выбор значений через временной лаг , оказывает влияние на

некоторые фрактальные характеристики полученной выборки. В

частности, значения показателя Хѐрста, полученные для рядов с

одинаковым лагом , но с различными «фазовыми сдвигами» ,


171

существенно разнятся. Именно поэтому, метод вычисления оптимального

«фазового сдвига» , как раз и основан на вычислении показателя Хѐрста

для различных значений . Для этого, как уже было описано в

предыдущем пункте, необходимо получить целый ансамбль состоящий из

рядов полученных при , целочисленные значения которых должны

быть равномерно распределены в диапазоне 0 . Тогда оптимальным

значением будет то, при котором значение показателя Хѐрста будет

наибольшим.

7.4. Построение предсказывающих нейронных сетей динамической

системы на основе ее предварительного фрактального анализа

Для задачи предсказания фрактального ряда использовались построенные

авторами прогнозирующие НС. Вся проблема построения прогнозирующих

сетей состоит в том, что на данный момент практически отсутствуют

алгоритмы построения НС для конкретных случаев. На данный момент

предлагается построить огромное число НС с различным количеством

параметров, а затем выбрать из них лучшую. Отсутствие научного подхода

здесь очевидно. Существуют некоторые оценки различных параметров, но, как

будет показано ниже, они предлагают настолько широкий диапазон, что

практически бесполезны. Лишь в работах [14,15,62,104-108] даны конкретные

рекомендации по решению данных проблем, которые основаны на

предварительном фрактальном анализе. Нами показана жизнеспособность

данных рекомендаций применительно к рассматриваемой системе.

7.4.1. Выбор структуры предсказывающей НС. Первым этапом необходимо

выбрать структуру нейронной сети, которая будет решать задачи

прогнозирования. Поскольку, в данном случае, на выходе нам достаточно

одномерного отклика в виде продолжения прогнозируемого ряда, то

необходима архитектура ПНС с временной задержкой [105]. Данная структура

позволяет в себе реализовать метод задержек, и, таким образом, получая только

одномерный

Рис. 7.2 – структура предсказывающей НС с временной задержкой. Здесь блок 1

– реализация временной задержки, так называемая разветвленная линия

задержки, а 2 – предсказывающая НС


172

сигнал на своем входе, превратить его в реконструированный набор

многомерных векторов, как показано на рис. 7.2. Здесь под номером 1

обозначен блок реализации метода задержек, позволяющий из одномерного

сигнала получить многомерный вектор, как того требует метод Такенса [96], а

под номером 2 – сама ПНС. Тогда размерность входного вектора будет

соответствовать количеству входных элементов ПНС, и, соответственно,

количеству весовых коэффициентов каждого из нейронов скрытого слоя n .

Далее, необходимо выбрать структуру самой ПНС. Согласно следствиям из

теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена [113], теоретически

обоснованной является структура предсказывающей НС, построенная на базе

многослойного персептрона (МП) с одним скрытым слоем. Общий вид такой

структуры показан на рис. 7.3, где через ix обозначены компоненты входного

вектора, подаваемые на соответствующие входы, iH – нейроны скрытого слоя,

O – выходной нейрон, y – выходной прогнозируемый сигнал, n – количество

элементов входного слоя и m – количество нейронов скрытого слоя.

Реализация данной структуры предсказывающей НС с временной задержкой,

в упрощенном виде, будет выглядеть таким образом, как это показано на

рис. 7.4.

В качестве базовых элементов данной сети выбраны стандартные нейроны с

нелинейной функцией активации ( )v , где v – выходной сигнал сумматора,

реализующего функцию

1

m

i i

i

v w x b ,

где iw – значения весовых коэффициентов, ix – значения входных сигналов, m –

количество входов нейрона, b – порог данного нейрона. Схематично,

структура данного нейрона, на примере выходного нейрона, показана на

рис. 7.5.

Рис. 7.3 – Структура предсказывающей нейронной сети с одним скрытым слоем

(многослойный персептрон прямого распространения)


173

Рис. 7.4 – Принцип реализации временной задержки для предсказывающей

нейронной сети

Рис. 7.5 – Структура нелинейного нейрона для предсказывающей нейронной

сети

7.4.2. Выбор функций активации нейронов ПНС и предварительная

обработка данных. Из следствий теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-

Нильсена [113] следует обязательная нелинейность функций активации

скрытого слоя. Согласно рекомендациям [9,105,113,114], в качестве функции

активации скрытого слоя необходимо выбрать гиперболический тангенс,

поскольку его выходной интервал [-1;+1], позволяет реализовывать не только

«ускорение», но и «торможение» в равнозначной степени, так как является

антисимметричным. А вот для выходного слоя, рекомендуется избрать

логистическую функцию активации, поскольку ее выходной интервал [0;+1]

соответствует стандартной нормировке входного, и, соответственно выходного,

сигнала. Однако у нормировки имеется некоторые особенности. Обычно, при

фрактальном анализе, авторами в работах использовалась стандартная

нормировка min

max min

( )( )

x t xx t

x x,

которая позволяет вложить значения исследуемой зависимости в единичный

отрезок [0;1], также делая ее безразмерной. Однако, в данном случае, в

качестве предпроцессирования (с соответственным последующим

постпроцессированием), авторы использовали следующую нормировку: min

max min

( )( ) 0.25

2( )

x t xx t

x x.


174

Это сужает диапазон значений как входной, так и соответственно выходной,

переменных до интервала [0.25;0.75]. В этом случае, поскольку выходная

переменная будет находиться в том же диапазоне, что и входная, будет

использоваться только линейный участок функции активации выходного

нейрона ( )v , как показано на рис. 7.6, где рабочий участок функции активации

обведен пунктирным прямоугольником. Это сделано с двумя целями. Во-

первых, это увеличивает длину прогноза. А во-вторых, данная нормировка

позволяет видеть, когда сигнал прогноза выйдет за рамки нормировки, что

достоверно свидетельствует об ошибочном прогнозе.

7.4.3. Выбор количественных характеристик ПНС. Сначала, для

получения ориентировочных характеристик ПНС, возьмем одну из оценок

числа нейронов для решения данной задачи [113], согласно которой,

минимальное необходимое число весовых коэффициентов определяется из

неравенства [113]

21 logw

mNL

N, (8.1)

где N – длина обучающей выборки, m – размерность выходного сигнала.

Верхняя граница числа необходимых нейронов, согласно данным оценкам,

выбирается по формуле [113]

/ 1 ( 1)wL m N m n m m , (8.2)

Рис. 7.6 – Функция активации выходного нейрона предсказывающей НС.

Рабочий участок обведен пунктиром

где n – размерность входного сигнала. Необходимое число нейронов

предсказывающей сети связано с необходимым числом весовых

коэффициентов по формуле

wLL

n m. (8.3)

Теперь рассмотрим данную количественную оценку применительно к

нашему случаю более подробно. Согласно предварительному фрактальному

анализу, минимальная размерность пространства вложения Cm для

исследуемого сигнала 12Cm . Возьмем данное число за ориентировочное

значение размерности входа n согласно формуле (8.2). Поскольку выходной

сигнал одномерен, примем 1m . Отведем от исходного значения количества

отсчетов 3000 для тренировочного ряда, используемого при обучении

половину, и получим значение 1500N . Тогда, согласно формулам (8.1-8.3)


175

необходимое число нейронов скрытого слоя лежит в пределах 10 1617L . Это

достаточно широкий диапазон для перебора различных структур ПНС. К тому

же, здесь есть небольшая особенность, заключающаяся в том, что согласно (8.1-

8.3) границы этого диапазона смещаются в меньшую сторону при увеличении

размерности входа, и наоборот. Это на наш взгляд не совсем логично для

данной ситуации. Ведь если рассматривать прогнозирующую нейронную сеть с

точки зрения аппроксимирующей системы, то увеличение сложности

аппроксимируемого сигнала должно приводить к увеличению количества

членов аппроксимирующего полинома, а не наоборот.

Согласно работам [15,107,108], такие параметры как количество элементов

входного слоя n и количество нейронов скрытого слоя m , напрямую связаны с

фрактальными характеристиками прогнозируемого сигнала. Далее будем

отталкиваться от значения минимальной размерности пространства вложения

12Cm . Построим множество ПНС со значениями m и n относительно близкими

к значению Cm . При этом необходимо учитывать, что нейронная сеть

становится неэффективной, если количество нейронов скрытого слоя меньше

полусуммы количества входных и выходных элементом [9,105,113,114].

7.4.4. Обучение полученных сетей. В данной работе применялся

градиентный метод Левенберга-Марквардта [9]. При этом, исходный ряд был

поделен на 3 части. Первая часть использовалась в процессе обучения, вторая –

для кросс-проверки во время обучения, и третья для независимого

тестирования уже обученных сетей на предмет достоверности и длительности

прогноза. Результаты обучения и проверки сведены в таблицу 7.1, в которой

конфигурация нейронной сети расшифровывается следующим образом:

многослойный персептрон: число входных элементов : число нейронов

скрытого слоя : число нейронов выходного слоя. Все сети обучались помногу

раз, и наилучшие результаты использовались для прогнозирования.

Во второй столбец сведены значения ошибок кросс-проверки процессов

обучения, которые соответствуют наиболее хорошо обученным сетям.

Соответственно, чем меньше значение данной ошибки, тем лучшими

прогностическими свойствами обладает сеть. Также, в данной таблице

представлены значения количества правильно спрогнозированных периодов

различных тестовых рядов (для большей объективности использовано 3 участка

независимого тестового ряда). В качестве примера, на рис. 7.7, совместно с

оригинальными последовательностями, приведены прогнозы, полученные от

сети МП 14:14:1 для тестового ряда используемого при кросс-проверке в

процессе обучения, и независимого тестового ряда, который не участвовал в

процессе обучения.

Из табл. 7.1 следуют следующие очевидные выводы:

1. Самой лучшими предсказательными способностями обладает НС

МП 14:14:1.

2. Самыми лучшими вариантами НС, с точки зрения ошибки кросс-

проверки, для данной задачи являются те, у которых число входных


176

элементов совпадает с числом нейронов скрытого слоя, за исключением

только двух сетей: МП 20:14:1 и МП 18:14:1. Это можно объяснить тем

фактом, что числа нелинейных функций активации недостаточно для

обработки информации из более широкого окна реконструкции.

7.4.5. Восстановление аттракторов. Однако, на наш взгляд, более

объективной оценкой достоверности полученной прогнозирующей системы,

является способность данной системы к восстановлению аттрактора в фазовом

пространстве. Как написано в [9], качество модели во многом определяется ее

способностью к обобщению.

а) б)

Рис. 7.7 – Примеры прогнозирования ПНС МП14:14:1 для тестового ряда

используемого при кросс-проверке (а) и независимого тестового ряда (б),

который не использовался в процессе обучения (сплошная линия –

оригинальная последовательность исходного ряда, а пунктирной – ее прогноз)

Если система способна давать длительный прогноз, пусть и отличающийся от

оригинальной последовательности, но зато укладывающийся в рамки

существующей нормировки, то ПНС превращается в математическую модель

прогнозируемой системы. В свою очередь, достоверная модель позволяет

восстановить аттрактор в псевдофазовом пространстве. Исследуя полученный

аттрактор, можно провести дополнительное исследование предсказываемого

ряда, например, для получения фрактальных и мультифрактальных

характеристик. Это свойство является полезным, когда имеем дело рядом,

длина которого является достаточной для прогностических целей, но слишком

малой для построения аттрактора. Далее, полученная таким образом

математическая модель позволяет рассчитать показатели Ляпунова, на

основании которых высчитывается энтропия [100]. По данному значению

энтропии можно получить зависимость горизонта прогнозирования от

начальной ошибки. Расчет показателей Ляпунова для дискретно-нелинейных

систем будет предметом последующей публикации.

Согласно заложенной авторами нормировке, выявить адекватность

предсказывающей системы достаточно просто. Во-первых, нужно просто

проверить, выходит ли долгосрочный прогноз за рамки используемой

нормировки (0,25;0,75). Также, соответственно, долгосрочный прогноз должен

полностью заполнить данных диапазон. Во-вторых, необходимо проверить, не


177

выходит ли долгосрочный прогноз на периодический цикл. Отдельные

характерные примеры длительного прогнозирования (900 периодов

независимого тестового ряда) представлены на рис. 7.8. На рис. 7.8,а

представлен исходный тестовый ряд. Как уже говорилось, наиболее удачный

Табл. 7.1 Результаты прогнозирования различными ПНС

Конфигурация

ПНС

Значение ошибки

кросс-проверки

обучения

Количество правильно

предсказанных периодов с

относительной невязкой 0.02

для

тестового

ряда кросс-

проверки

для независимых

тестовых рядов

Тест

1

Тест

2

Тест

3

МП 8:6:1 0.022236 2 3 6 6

МП 8:8:1 0.011525 13 3 4 2

МП 10:6:1 0.032413 6 3 1 2

МП 10:8:1 0.025430 2 5 3 6

МП 10:10:1 0.012255 7 9 6 6

МП 12:8:1 0.015686 2 2 1 1

МП 12:10:1 0.009894 6 5 1 2

МП 12:12:1 0.007872 11 5 6 6

МП 14:10:1 0.009783 13 9 3 6

МП 14:12:1 0.007054 6 9 3 6

МП 14:14:1 0.006861 17 13 9 8

МП 16:10:1 0.014763 6 3 6 2

МП 16:12:1 0.011632 6 13 9 6

МП 16:14:1 0.009700 6 6 1 2

МП 16:16:1 0.007730 6 9 6 6

МП 18:14:1 0.011896 6 5 1 6

МП 18:16:1 0.012858 6 3 6 6

МП 18:18:1 0.011118 6 6 3 8

МП 20:14:1 0.011781 6 13 6 6

МП 20:16:1 0.018021 6 6 6 6

МП 20:18:1 0.013220 6 5 9 6

МП 20:20:1 0.013149 10 5 6 6

результат получен с помощью ПНС МП 14:14:1 (рис. 7.8,б). Это видно из того

факта, что спрогнозированный временной ряд имеет внешне хаотическую

структуру, и укладывается в соответствующий диапазон.

На рис. 7.8,в представлен случай, когда прогноз явственно не укладывается в

диапазон нормировки. А вот на рис. 7.8,г представлен случай, когда диапазон

значений прогноза заметно уже диапазона оригинальной последовательности.

Наиболее непригодным случаем для расчета показателя Ляпунова с помощью


178

построенной модели является спрогнозированный ряд, который при

длительном

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 7.8 – Независимый тестовый ряд (а) и результаты длительного

прогнозирования для следующих систем: б) МП 14:14:1; в) МП 20:20:1; г)

МП 20:16:1; д) МП 16:12:1

а) б)


179

в) г)

Рис. 7.9 – Внешний вид аттракторов для оригинальной последовательности (а)

и сетей МП 14:14:1 (б), МП 20:20:1 (в), МП 18:14 (г)

прогнозировании выходит на периодический аттрактор, как это показано на

рис. 7.8,д. В этом случае, ни о каком экспоненциальном расхождении речи быть

не может.

Большинство полученных в данной работе ПНС показали

неудовлетворительный результат, однако сеть МП 14:14:1 позволяет получить

аттрактор, наиболее близкий к оригинальному. Это видно из сравнения

аттракторов, представленных на рис. 7.9,а и б. Сеть МП 20:20:1 кроме того, что

вышла за рамки допустимого диапазона, дает много шума, что видно из

рис. 7.9,в. А вот сеть МП 18:14:1 хотя и избавлена от и излишней

зашумленности, но из-за неполного заполнения диапазона, полностью лишена

соответствующей части аттрактора, в чем легко убедится, сравнив рис. 7.9,а и

рис. 7.9,г.

Таким образом, в результате работы, был проведен полный разносторонний

фрактальный анализ сигнала ИСН-3, результатом которого явились различные

фрактальные характеристики.

В результате, был сделан вывод, что количество нейронов скрытого слоя,

должно быть больше или равно размерности пространства вложения Cm , в

которое можно полностью вписать аттрактор из имеющегося ряда.

Однако, дальнейшее увеличение числа нейронов ухудшает обобщающие

способности сети и несмотря на малую ошибку, полученные аттракторы

системы значительно менее качественны. Также, можно сделать вывод, что

увеличение числа входных элементов при неизменном количестве нейронов

скрытого слоя, не приводит к улучшению точности предсказания. Это можно

объяснит теми соображениями, что увеличение ширины окна прогнозирования.

Этот вывод подтверждает утверждение [114]: ―Увеличение числа входов

приводит к уменьшению точности предсказания‖.

7.4.6. Полный алгоритм предварительного фрактального анализа

временных рядов. Алгоритм анализа временного ряда можно описать


1. В начале, по показателю Хѐрста определяется тип фрактальной памяти

(хаоса) сигнала ( )x t системы. Следует помнить, что если для сигнала

показатель Хѐрста 0.5H , то он порожден чисто случайными процессами. В

этом случае прогноз поведения ряда осуществить нельзя.


180

2. Определение временной задержки и «фазового сдвига» сигнала

анализируемой системы.

3. Получение вместо одномерного сигнала ( )x t многомерного вектора в m -

мерном пространстве ( ) ( ), ( ), ( 2 ),..., ( ( 1)x t x t x t x t x t m , т.е. псевдофазовой

реконструкции сигнала ( )x t , для различных значений размерностей

пространства вложения m .

4. Восстановление хаотического аттрактора системы, как компактного

подмножества точек, к которому асимптотически притягиваются траектории

эволюции всех точек в окрестности фазового пространства, по полученным

значениям временной задержки и «фазового сдвига». Если, в

рассматриваемой дискретно-нелинейной системе можно выявить какую-

либо периодичность, как например, в работе [115] известной группы ученых,

работающих под руководством А.С. Дмитриева, то возможно восстановить

аттрактор. Приведенный в вышеупомянутой работе генератор относится к

классу устройств, обладающих хорошей визуальной периодичностью, в

отличие от рассматриваемых в работе систем.

5. Определение фрактальной размерности полученного аттрактора и

минимальной размерности пространства его вложения Cm .


181

Глава 8. Применение фрактальных методов детерминированного хаоса к

экономическим и биологическим системам

8.1. Основные методы фрактального анализа

В данном разделе даны некоторые необходимые понятия о фрактальных

методах анализа временных рядов, и рассмотрено их применение к данным

валютных рынков на примере отношения единой европейской валюты к

американскому доллару (Euro/USD). Производится сравнение между

различными качественными и количественными фрактальными мерами для

рядов ежедневных и ежеминутных значений отношения Euro/USD. Показано,

что характеристики, коррелирующие с трендовостью являются схожими не

только на качественном, но и на количественном уровне. А вот наличие

динамического шума в ежеминутных значениях отношения Euro/USD не

позволяет судить о количестве факторов, влияющих на данное соотношение, в

то время как, ежедневный курс этого отношения обладает свойствами

одномерного отображения порожденного многомерной динамической

системой.

8.1.1. Метод восстановления фазового пространства и теорема Такенса. Данный метод восстановления фазового пространства системы был предложен

Такенсом [48, 96-98]. Идея метода состоит в следующем. Любая динамическая

система должна через некоторое конечное время принимать положение сколь

угодно близкое к исходному, о чем говорит известная теорема Пуанкаре [99].

Среднее время возврата или цикл Пуанкаре определяется формулой,

предложенной Смолуховским:

1 1

k k

k k

t kP P ,

где kP - вероятность возврата системы в исходную область за время kt .

Известно, что величина цикла Пуанкаре для систем из большого числа

частиц огромна. Однако, стохастическое поведение может возникать и в

системе, состоящей всего из нескольких степеней свободы, в этом случае время

возврата доступно для наблюдения и оценки.

Наличие в системе некоего цикла позволяет при исследовании поступить так

же, как и в радиотехнике при обработке узкополосного сигнала, – сдвинуть

измеренную последовательность относительно себя на «половину периода».

«Периодом» в данном случае является оцененное значение среднего времени

возврата .

По теореме Такенса [96] можно вычислить корреляционный интеграл (о

котором будет сказано ниже) и фрактальную размерность по измерениям

временной последовательности лишь одной составляющей. Следуя Такенсу,

необходимо сконструировать пространство вложения (или псевдофазовое

пространство) с m -мерным вектором по значениям одной физической

переменной:

( ) ( ), ( ),..., ( ( 1) )i i i i iX X t x t x t T x t m T ,


182

взятым со сдвигом T . В данной работе, в роли этой физической переменной

выступает выходное напряжение рассматриваемых дискретно-нелинейных

систем, в роли которых выступают различные импульсные стабилизаторы

напряжения.

Распределение векторов состояния составляет реконструированное фазовое

пространство с размерностью m . Считается, что зависимость ( ) CDC r r

сохраняется для любого int[ ]m D , где int[ ] - операция выделения целой части D , а

D – истинная размерность объекта. Оказывается, что фазовое пространство,

восстановленное таким образом, имеет ту же размерность и тот же спектр

показателей Ляпунова, что и исходное пространство. Величина int[ ] 1N D

определяет число дифференциальных уравнений первого порядка,

необходимых для описания физического поведения исследуемого объекта.

Именно этот момент является важным при построении прогнозирующих

моделей для любых динамических систем. Т.е. если строить прогнозирующую

модель на базе нейронной сети, то количество нейронов в скрытом слое

многослойного персептрона и количество входов нейронной сети будут

напрямую зависеть от N и D и т.д. А если построить прогнозирующую модель

в виде системы линейных дифференциальных уравнений, то нижняя граница

размерности этой системы будет определяться также через N [100, 15, 101].

При реконструкции динамического аттрактора по упорядоченным

измерениям одной переменной необходимо построить пространство вложения

размерностью

' 2 1D N чтобы описать все возможные топологические особенности исходного

аттрактора.

8.1.2. Метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционного

интеграла. С помощью описанного выше метода задержек, сформируем из

исследуемого ряда аттракторы в m -мерных псевдофазовых пространствах для

1,2,3,...m Далее, для каждого аттрактора в пространстве m , рассчитаем

корреляционный интеграл по формуле 1

( , ) lim ( )( 1)

N N

i jN

i j

Ce NN N

x x , i j ,

где N -количество точек аттрактора, i jx x -абсолютное расстояние между i-ой и

j-ой точками аттрактора в m -мерном пространстве, -размер разрешающей

ячейки, -функция Хевисайда. По сути говоря, ( , )Ce N -зависимость

количества точек аттрактора в m -мерном пространстве, расстояние между

которыми , от размера разрешающей ячейки отнесенная к полному

количеству пар точек, т.е. 2~ N (в знаменателе формулы стоит ( 1)N N поскольку

поставлено условие i j ). Полученные зависимости ( , )Ce N откладываются в

двойном логарифмическом масштабе на плоскости (теоретически логарифм

может быть по любому основанию, но для наглядности лучше брать по

основанию 10). Затем, выделяют линейные участки отложенных кривых, и по


183

методу наименьших квадратов производят поиск аппроксимирующих их

прямых. Для всех полученных кривых ( , )Ce N вычисляют первую производную

от аппроксимирующих их прямых CD и откладывают ее как функцию от m .

Теоретически производная CD определяется из предела

0

lg ( , )lim lim

lgC

N

d Ce ND

d.

Данный алгоритм вычисления CD связан с тем, что при сравнительно малых

значениях должен соблюдаться степенной закон

( , ) CDCe N ,

где CD -корреляционная размерность. Поскольку корреляционная размерность

идет под индексом 2q в спектре Реньи, то она является нижней оценкой

размерности Хаусдорфа-Безиковича (которая идет под индексом 0q ), так как

спектр Реньи является ниспадающим с ростом индекса q .

На полученном графике ищут точку, когда зависимость ( )CD m достигнет

насыщения. Значение m точки насыщения будет соответствовать независимой

оценке размерности пространства вложения, а значение CD будет

соответствовать корреляционной размерности исследуемого псевдофазового

аттрактора восстановленного из исследуемого ряда. Согласно теореме Такенса,

эти характеристики отражают соответствующие значения динамической

системы породившей исследуемый ряд. Теоретически, точка насыщения

является таковой, если полученное значение корреляционной размерности CD

не будет меняться вплоть до int[2 ] 1Cm D (здесь операция int[ ] подразумевает

округление в большую сторону). Соблюдение данного условия гарантирует

надежность полученного результата.

8.1.3. Некоторые практические аспекты и оценка Экмана-Рюэля.

Конечно, на практике, предел N в формуле не имеет смысла, поскольку

длина исследуемых рядов всегда конечна. Размер разрешающей ячейки тоже

варьируется не в пределах от 0 до . Это связано прежде всего с тем, что с

одной стороны значение ограничено размерами аттрактора, а с другой

стороны, минимальным расстоянием между самыми близкими точками

аттрактора. Более того, линейный участок необходимо выделять по той

причине, что когда значение сопоставимо с размерами аттрактора (и

соответственно lg 0 ) то теряются сингулярности аттрактора. Кривизна

зависимости ( , )Ce N на этом участке зависит от неравномерности распределения

плотности заселения точками аттрактора пространства. С другой стороны, при

0 наблюдается недостаточная статистика, связанная с конечностью длины

исследуемого ряда N . Тут картину искривления ( , )Ce N создают точки

псевдофазового пространства, которые рискнем назвать ―слипшимися‖.

Недостатком такого метода является то, что необходимо участие исследователя

в выборе линейного участка. От длины такого участка будет соответственно

зависеть точность оценки, как корреляционной размерности, так и размерность

пространства вложения.


184

Количественную оценку данной точности предложили Экман и Рюэль (1981).

Обозначим через max максимальный размер элементарной ячейки, а через min

минимальный размер элементарной ячейки, которые соответствуют началу и

концу линейного участка зависимости ( , )Ce N от в двойном логарифмическом

масштабе. Тогда обозначим их отношение через max min/p . Считается, что при

наличии свойств фрактальности 2 3p , а для надежного измерения CD

необходимо 10p .

Также, одно из основных условий данной оценки заключается в соблюдении

неравенства

2lgCD N ,

где N -длина исследуемого ряда, а CD -вычисленная корреляционная

размерность этого ряда. Теоретическое обоснование данных оценок более

подробно дано в [100, 62, 102].

8.1.4. Вычисление корреляционной размерности CD и размерности

пространства вложения Cm для ИСН. Здесь определим, влияет ли выбор

временного лага и фазового сдвига на корреляционною размерность CD и

размерность пространства вложения? Фазовый сдвиг, для простоты восприятия

переведен в градусы относительно каждого рассмотренного значения лага .

а) б)

Рис. 8.1 – Зависимости корреляционного интеграла Ce от размера элементарных

ячеек для различных значений пространств вложения Cm (а) и зависимость

фрактальной размерности CD от размерности пространства вложения Cm (б) для

временного ряда ИСН-3 при 0 100 и 0

На рис. 8.1 представлены зависимости корреляционного интеграла Ce от

размера элементарных ячеек для различных значений пространств вложения

Cm (а) и зависимость фрактальной размерности CD от размерности пространства

вложения Cm (б) для выборки временного ряда порожденного ИСН-3, взятой с

лагом 100 с ―фазовым сдвигом‖ 0 . «Линейный» участок, по которому

производилось вычисление корреляционной размерности, ограничен

пунктирными линиями. Как и следовало ожидать, полученные графики

свидетельствуют о детерминированности системы породившей данный сигнал.

Это прежде всего выражается в наличии насыщения зависимости фрактальной


185

размерности CD от размерности пространства вложения

Cm (рис. 8.1,б). Если

посмотреть с точки зрения точности оценок, то размер линейного участка

соответствует 10p , что свидетельствует о надежности измерения CD . Длина

исследуемого ряда (1200) является достаточной для получения 6CD .

Далее произведем соответствующие вычисления для того же исходного

временного ряда, но с выборкой взятой с некоторым ―фазовым сдвигом‖ 180 ,

т.е. 50T (поскольку 100 ). Результаты представлены на рис. 8.2. Из

сравнения полученных данных видно, что размерность пространства вложения

12Cm не изменилась, а корреляционная размерность слегка увеличилась.

а) б)





а) б)





Теперь, если взять выборку с временным лагом 101 и 0 , то из

полученных результатов, которые представлены на рис. 8.3, видно, что

корреляционная размерность увеличилась в 2 раза, а размерность вложения

изменилась с 12Cm до 13Cm .


186

Кроме того, зависимости представленные на рис. 8.3 качественно отличаются

от зависимостей рис. 8.1 и 8.2. Это прежде всего выражается в смещении

области «линейного участка». Также, корреляционная размерность CD для ряда

с 101 уже для двумерного пространства вплотную подошла к порогу

насыщения, которого ряды с 100 достигают только при размерности

пространства вложения 12Cm .

При проведении дальнейших исследований данное наблюдение позволило (и,

как оказалось, с хорошим результатом) при вычислении корреляционной

размерности для различных временных лагов ограничится размерностью Cm =2,

что позволяет существенно сократить время расчетов (соответственно не менее

чем в 12 раз). Это имеет большое значение для длинных временных рядов,

поскольку кол-во вычислений растет по степенному закону.

Полученный результат позволяет утверждать, что выбор временного лага

существенно влияет на фрактальные характеристики дискретно-нелинейной

системы, а выбор ―фазового сдвига‖ 0 , также оказывает влияние на

величину корреляционной размерности CD , но оно несравнимо слабее.

8.1.5. Метод ложных ближайших соседей [15]. Данный метод основан на

теореме Такенса о вложении, из которой следует, что при соответствующем

выборе временной задержки и размерности пространства вложения m

оригинальный и реконструированный псевдофазовый аттракторы должны быть

топологически эквивалентны (гомеоморфны). Основы метода изложены в [103].

Поскольку траектории оригинального аттрактора не имеют самопересечений,

то и в реконструированном аттракторе траектории также не должны

пересекаться. Самопересечение траекторий реконструированного аттрактора

означает, что размерность вложения меньше фрактальной размерности

аттрактора, то есть соответствующая псевдофазовая реконструкция не является

биекцией. Условием того, что самопересечения будут отсутствовать, является

то, что все соседние точки аттрактора восстановленного в mR , будут также

являются соседними в 1mR . Метод ложных ближайших соседей (МЛБС)

позволяет определить наименьшее значение размерности m пространства

вложения, так, что при переходе к размерности ( 1)m количество ложных

соседей (точек аттрактора, близких друг к другу в mR и отстоящих далеко в 1mR )

будет относительно мало. Полученное таким образом значение m определяет

наименьшую размерность пространства, где возможна реконструкция

аттрактора без самопересечений.

Алгоритм метода ложных ближайших соседей состоит их следующих шагов:

1. Пусть 1m . Находится для каждой точки ( )x i временного ряда

ближайшего «соседа» ( )x j в m -мерном пространстве.

2. Вычисляется расстояние ( ) ( )x i x j .


187

а) б) в)

Рис. 8.4 – Зависимости отношения /P N от размерности пространства вложения

cm для различных временных рядов ИСН-3

3. Находится расстояние между данными точками на следующем шаге

( 1) ( 1)x i x j и определяется согласно формуле

( 1) ( 1)

( ) ( )i

x i x jR

x i x j

4. Если i tR R , где tR -подходящий порог, то точка ( )x j является ложным

ближайшим соседом по отношению к точке ( )x i . В результате

производится подсчет количества ложных ближайших соседей P для

каждой точки ( )x i .

5. Вычисляется соотношение /P N и алгоритм повторяется для 1m m .

6. Алгоритм продолжается до тех пор, пока частное /P N не станет близким

к нулю.

Рекомендуемое значение порога tR согласно [15] 2tR .

Рассмотрим применение МЛБС для анализа размерности пространства

вложения на примере различных временных рядов ИСН-3. В качестве объекта

исследования выступают три временных ряда. На рис. 8.4,а показана

зависимость отношения /P N от размерности пространства вложения cm для

ряда длиной 700 точек выбранных из исходного временного ряда с временным

лагом 100 . На рис. 8.4,б показана зависимость /P N от cm также для ряда

состоящего из 700 точек, но из исходного временного ряда с временным лагом

101 . На рис. 8.4,в та же зависимость для ряда с лагом 100 , но взятая не с

начала ряда, а со смещением / 2 . Для всех 3 рядов, согласно методу МЛБС,

полученная размерность вложения 15Cm , и не зависит от лага и «фазового

сдвига». Однако имеются различия в форме зависимостей, что послужило

основой дальнейших исследований.

8.2. Применение методов фрактального анализа к экономическим

системам

8.2.1. Исследуемые отношения Euro/USD. Тот факт, что различные

биржевые графики самоподобны на различных временных интервалах уже

известен давно. Однако оценка корреляции между фрактальными мерами на

различных временных масштабах является актуальной задачей. Одной из целей

данного исследования является ответ на вопрос: можно ли имея в наличии


188

только ежеминутный курс за одни сутки оценить персистентность многолетней

истории ряда и наоборот?

Таким образом, задачей анализа являлось выявление степени корреляции

между различными фрактальными значениями ежедневных и ежеминутных

колебаний отношения Euro/USD (€/$). Исследуемыми фрактальными мерами

являлись показатель Хѐрста и значение корреляционного интеграла для

двумерного отображения Пуанкаре, представляющего собой некий образ

функции последования. В качестве исследуемого временного ряда бралось

ежеминутное отношение €/$ за период с 29.03.2004г. по 30.12.2008г., то есть

практически за пять лет. Количество минут в сутках примерно совпадает с

количеством полноценных рабочих суток за 5 лет, исключая праздничные и

выходные дни. Тут справедливости ради следует отметить, что в истории

исследуемого ряда значения €/$ пропускались в сумме на 30-40 в каждые

рабочие сутки. При исследовании ежедневных курсов короткие рабочие сутки

(<1000 минут) также не учитывались.

8.2.2. Сравнение количественных характеристик отношений Euro/USD. На рис. 8.5 представлены значения отношений курса евро к доллару за 5 лет ( d -

порядковый номер рабочего дня с начала пятилетки) и за одни сутки ( m -

порядковый номер минуты с начала рабочих суток).

Фрактальными мерами, применяемым к исследуемым временным рядам

являлись значения показателя Хѐрста H и значения корреляционного интеграла

Ce для двумерных сечений Пуанкаре, оцененные по методу Грассбергера-

Прокаччиа. Их ежедневные значения как функция от порядкового номера

полных рабочих суток d представлены на рис. 8.6,а и рис. 8.6,б соответственно.

Как показали расчеты, зависимости рис. 8.5,а и 8.5,б имеют не только схожий

внешний вид, но и примерно одинаковые значения показателя H (0.964648 и

0.965082 соответственно). Ежесуточные значения Ce за исследуемый период

меняются в широком диапазоне (от 0.3 до 1.6) и среднее значение Ce

отличается от Ce средних ежесуточных изменений отношения €/$ (1.03946 и

1.644 соответственно). Поэтому сделан вывод об отсутствии корреляции между

значениями Ce , полученными по ежеминутным и ежесуточным временным

рядам.

а) б)

Рис. 8.5 – Значения отношений курса евро к доллару за 5 лет (средние значения

за каждые рабочие сутки с 29.03.2004г. по 30.12.2008г.) (а) и значения

отношений курса евро к доллару за одни сутки (18.05.2008г.) (б)


189

а) б)

Рис. 8.6 – Ежесуточные значения корреляционного интеграла (а) и показателя

Хѐрста (б) для отношения Euro/USD за 5 лет

При визуальном анализе полученные ряды (рис. 8.5,а,б и рис. 8.5,а,б)

представляют собой различные виды шумов. Для их более точной

классификации были получены их спектры мощности, которые представлены

на рис. 8.7. Ряды рис. 8.5,а и рис. 8.5,б представляю собой, вероятнее всего,

«коричневый» шум [52], поскольку их спектры мощности (рис. 8.7,а и рис. 8.7,б

соответственно) аппроксимируются степенной функцией 2~ 1/ f . Это также

следует из того, что спектр Фурье для ежеминутных колебаний отношения €/$

представленный на рис. 8.7,д аппроксимируется степенной функцией ~ 1/ f .

Спектр мощности ежесуточных значений корреляционного интеграла

(рис. 8.6,а) аппроксимируется степенной функцией ~ 1/ f что говорит о его

схожести с «розовым», или так называемым фликкер шумом. На рис. 8.7,г и

8.7,д представлены спектры мощности для ежедневных значений показателя

Хѐрста на различных частотных масштабах.

а) б)

в) г)


190

д) е)

Рис. 8.7 – Спектры мощности следующих рядов: а- для отношения €/$ за сутки;

б- для отношения €/$ за 5 лет; в- для ежесуточных значений корреляционного

интеграла; г и д – для различных частотных масштабов значений показателя

Хѐрста; е – спектр Фурье для отношения €/$ за сутки

Эти спектры могут аппроксимироваться степенной функцией 0~ 1/ f , что

говорит об их схожести с «белым» шумом. Разные частотные масштабы были

выбраны для того, чтобы показать масштабную инвариантность спектра, что

также характерно для «белого» шума [52].

а) б)

Рис. 8.8 – Значения отношений курса евро к доллару в течении суток за

26.10.2008г. (а) и за 9.10.2006г. (б)

8.2.3. Качественный анализ различия ежеминутных и ежедневных

значений отношения Euro/USD. Для качественного анализа отношения €/$

необходимо получить размерность пространства вложения исследуемого ряда

[100, 62, 104]. Это позволит не только оценить порядок эквивалентной системы,

т.е. оценить количество факторов, влияющих на отношение €/$, но и в

дальнейшем позволит оценить структуру прогнозирующей системы,

построенной как на базе нейронной сети в виде многослойного персептрона

[15, 101], так и на базе систем дифференциальных уравнений [12].

Качественность анализа заключается в том, что если размерность будет

найдена, то временной ряд порожден динамической системой, а если нет, то

доля стохастической составляющей слишком велика. Это также может зависеть

от длины исследуемого ряда. Размерность пространства вложения можно

оценить различными методами. На данный момент самыми распространенными

являются метод ближайших ложных соседей [48, 104] и метод оценки

корреляционной размерности CD с помощью корреляционного интеграла [104,

15, 14, 52, 100, 62, 101]. Для анализа были взяты не только выборки


191

представленные на рис. 8.5,а,б, (за период с 29.03.2004г. по 30.12.2008г. и за

9.10.2006г.), но и еще две выборки, представленные на рис. 8.8,а,б, на котором

изображены ежедневные курсы колебаний €/$ (за 26.10.2008г. и 9.10.2006г.

соответственно). Именно эти даты были выбраны потому, что наклоны

зависимостей корреляционного интеграла ( , )C N от размера элементарной

ячейки в двойном логарифмическом масштабе для сечений Пуанкаре для

этих дат были самыми минимальными и максимальными соответственно.

8.2.4. Применение метода ЛБС для анализа отношения Euro/USD. Согласно методу ложных ближайших соседей, размерность пространства

вложения определяется путем нахождения достаточно близкого к нулевому

значению /P N (количество ложных соседей к длине выборки) от размерности

пространства вложения cm . Исходя из полученных графиков, приведенных на

рис. 8.9, размерность пространства вложения для ежедневных значений

составляет cm =11, а для ежеминутных значений колеблется в пределах

12 15cm . Однако, в данном случае метод ближайших ложных соседей является

безликим, т.е. нельзя качественно оценить достоверность полученных

результатов. Поэтому более подробно остановимся на методе Грассбергера-

Прокаччиа.

8.2.5. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа

отношения Euro/USD. Как известно, значения курсов валют и акций на

фондовых и валютных рынках сильно зашумлены из-за таких объективных

факторов, как нерегулярность фиксации отметок (ранее уже говорилось о том,

что в исследуемых значениях наблюдались пропуски в среднем по 30-40 раз за

сутки), временной лаг в фиксации отметок связанный с задержкой регистрации

(причем каждый раз разный) [101]. Поэтому трудно ожидать хороших

линейных участков в лаговом пространстве. Как видно из рис. 8.10-8.13, для

ежедневных значений область ‖линейных‖ участков для расчета наклона

кривых, еще можно назвать прямой, но с искажениями, а вот для ежеминутных

значений эту область назвать областью ‖линейных‖ участков можно только

условно. Для наглядности, области линейных участков, по которым

производилось вычисление наклона соответствующих кривых ограничены

пунктирными линиями. Здесь вину можно свалить только на сильную

зашумленность данных, потому, что длина исследуемых рядов, согласно

формуле приведенной в [62] (max

2lgcD N ), является достаточной для получения

корреляционной размерности 6cD . Из рис. 8.10,б, 8.11,б, 8.12,б, 8.13,б видно,

что насыщение испытывает только зависимость ( )c cD m для ежедневных

значений.

8.2.6. Итоги применения фрактальных мер к отношению Euro/USD.

Интересным результатом явилось то, что значение показателя Хѐрста для

временного ряда, состоящего из ежедневных значений показателя Хѐрста за

вышеуказанный период составило 0.66713H , что показывает его фрактальность,


192

а значит, говорит о существовании долговременной памяти в ряде значений

самого показателя. Однако, если посмотреть на спектр мощности, создаваемый

данным рядом то видно сходство со спектром близким к «белому» шуму. Но

этот шум самоподобен, что также говорит о его фрактальной природе. В

результате анализа спектра мощности можно сделать предположение, что

анализ ежедневной динамики изменения показателя Хѐрста не даст никаких

долгосрочных прогнозов. Сам же показатель Хѐрста для ежеминутных

значений может быть использован для определения долгосрочности прогноза

ежедневных значений [100].

а) б)

в) г)

Рис. 8.9 – Определение размерности пространства вложения для следующих

временных рядов: а – ежедневные значения с 29.03.2004г. по 30.12.2008г.; б –

ежеминутные значения за 18.05.2008г.; в – ежеминутные значения за

26.10.2008г.; г – ежеминутные значения за 18.05.2008г.

а) б)

Рис. 8.10 – Зависимости корреляционного интеграла от при разных m в

двойном логарифмическом масштабе (а) и зависимость корреляционной

размерности от размерности пространства вложения (б) для ряда ежедневных

значений за период с 29.03.2004г. по 30.12.2008г.


193

а) б)

Рис. 8.11 – Зависимости корреляционного интеграла от при разных m (а) и

зависимость ( )CD m (б) для ряда ежеминутных значений за 18.05.2008г.

а) б)



а) б)



В результате показано, что существует высокая корреляция между

ежедневными и ежеминутными значениями показателя Хѐрста для колебаний

€/$. В частности, это подтверждается тем фактом, что среднее значение

показателя Хѐрста для его ежедневных значений составило 1.02116H а значение

показателя Хѐрста для средних ежедневных значений составило 0.964648H .

Первым основным результатом исследования является следующий вывод: Для

оценки персистентности ежедневного курса колебаний межвалютных

отношений достаточно произвести оценку ежеминутной динамики колебаний

за сутки и наоборот. При этом длина ряда должна составлять от 1000 до 1440

значений и ансамбль реализаций может быть как эквидистантным, так и

неэквидистантным [14].


194

Вторым результатом явилось то, что были исследованы зависимости

корреляционного интеграла от при разных m в двойном логарифмическом

масштабе не только ежедневных, но и ежеминутных значений отношения €/$.

Показано, что хотя метод ложных ближайших соседей дает конкретные

значения размерности пространства вложения, для ежеминутных значений

достоверность этих данных является сомнительной. Это подтверждается как

внешним видом корреляционных зависимостей (рис. 8.11,а, 8.12,а, 8.13,а), так и

отсутствием намека на насыщение зависимостей ( )C cD m (рис. 8.11,б, 8.12,б,

8.13,б). А вот для ежедневных значений полученное значение 4.07cD с учетом

шума, дает неплохую сходимость с результатом, о котором говорится в [101],

где 3.7 0.3cD для фьючерса на отношение €/$. Исходя из этого, можно сделать

вывод о том, что по ежеминутным значениям нельзя сделать вывод о

размерности пространства вложения аттрактора восстановленного из ряда

отношения €/$. Также напрашивается вывод о том, что предсказуемость и

прогнозируемость ежеминутных значений отношения €/$, с помощью

нейронных сетей и на базе систем дифференциальных уравнений, в рамках

современной теории нелинейной динамики, является трудновыполнимой

задачей. Это, как уже указывалось выше, связано с объективными причинами,

такими как нерегулярность фиксации отметок курса, что является

динамическим шумом [101]. Однако, устойчивая тенденция к насыщению в

графике рис. 8.10,б, позволяет говорить о том, что для курса ежедневного

отношения можно построить предсказывающую модель, хотя и высокой

размерности.

8.3. Применение фрактальных методов к выявлению глобальных

экономических кризисов

8.3.1. Временные экономические зависимости, позволяющие выявить

глобальный кризис. Не секрет, что одним их наиглавнейших факторов,

влияющих на состояние экономики практически любой развитой страны,

является цена на энергоносители. Сравнивая динамику изменения цен

практически на все основные энергоносители, такие как стоимость нефти-

сырца (тиккер Brent Crude), отопительной нефти (тиккер Heating Oil), светлого

сырца (тиккер Light Crude) и т.д., даже визуально легко выявить огромную

корреляцию между значениями этих цен. Это можно объяснить очень просто:

при увеличении цены на любой из данных энергоносителей, в кратчайшие

сроки будет подниматься спрос на альтернативные источники энергии, что в

свою очередь приведет к увеличению их стоимости. Наглядно данное

утверждение можно проиллюстрировать на исследуемых рядах. На рис. 8.14,а

представлена динамика цены на нефть-сырец BC (от названия тиккера Brent

Crude), за период c 15.09.2006 по 08.11.2009 в долларах США $ .

Соответственно, самые давние найденные авторами ежедневные данные

ограничивались датой 15.09.2006, а дата 08.11.2009 – момент начала

исследования. Эти данные были выложены в сети интернет и являлись самыми


195

полными из тех, что авторам удалось найти по энергоносителям. Однако, здесь

необходимо отметить, что имеются некоторые пробелы в фиксировании цены

на все энергоносители. В частности, на рис. 8.14,а видно, что имеются

значительные пробелы в фиксации цены за периоды 01.11.2007–01.02.2008 и

отсутствую данные за первую неделю октября 2008 года. Также, следует

отметить, что за 2006-2007гг. имеются пробелы в фиксации цены в средне по 3-

4 дня за месяц. Примерно те же самые диапазоны пробелов фиксации цены

наблюдаются для всех основных энергоносителей. На рис. 8.14,б представлена

динамика цены на отопительную нефть HO (от названия тиккера Heating Oil)

также в долларах США $. Чтобы представить совместную корреляцию цен на

энергоносители, в качестве примера были выбраны цены, представленные на

рис. 8.14. Для них была принята стандартная нормировка [101], согласно

которой нормированное значение любой цены S заключается в пределы

изменения значения [0,1] по формуле

min

max min

S SS

S S, (8.1)

а)

б)

Рис. 8.14 – Стоимость барреля нефти сырца (торговый тиккер BrentCrude) (а) и

стоимость барреля отопительной нефти (торговый тиккер Heating Oil) (б) в

долларах за период c 15.09.2006 по 08.11.2009


196

где minS и

maxS – минимальное и максимальное значение цены S за исследуемый

период, [ ]–оператор нормировки. Также, для представления совместной

корреляции между ценами на данные энергоносители, из их временных рядов

были убраны значения, которые соответствуют датам, когда цена

фиксировалась только для одного энергоносителя.

Рис. 8.15 – Совместное представление нормированных значений цены на нефть-

сырец BC (тѐмная линия) и отопительную нефть HO (светлая тонкая линия)

На рис. 8.15 представлены оба ряда из рис. 8.14 в нормированном виде,

совмещенные на одном рисунке. Корреляция между ценами HO и BC очевидна,

и не нуждается в численной оценке. Та же самая картина наблюдается для всех

остальных основных энергоносителей.

В качестве основного объекта исследования в данной работе выступила

динамика цены на нефть-сырец, поскольку именно она составляет львиную

долю экспорта Российской Федерации. Задача состояла в выявлении

определенных закономерностей между фрактальными мерами, вычисленными

для относительно короткого временного участка исследуемого временного

ряда, и сменой характера поведения этого ряда в ближайшее время. Для этого

использовались такие фрактальные методы, как метод нормированного размаха

Хѐрста, Метод вычисления корреляционного интеграла Грассбергера-

Прокаччиа и метод ложных ближайших соседей (МЛБС).

8.3.2. Применение метода нормированного размах к анализу

возникновения кризиса. Первым этапом фрактального анализа любого

фрактального ряда является расчет показателя Хѐрста по методу

нормированного размаха [54,116,58] разработанного самим Хѐрстом [117]. Для

этого авторами была составлена программа в среде Mathematica, позволяющая

рассчитывать показатель Хѐрста для различных временных рядов. Для данного

случая, значение бралось равным 1. С помощью данной программы было

рассчитано значение H для ряда, представленного на рис. 8.14,а. Полученное

значение показателя 1.13891H говорит о том, что исследуемый ряд имеет

фрактальную природу.

Для проверки правильности работы разработанной авторами программы,

данный ряд также был обработан с помощью программы Fractan 4.4,


197

разработанной в Лаборатории Обработки Данных Института Математических

Проблем Биологии РАН (г. Пущино Московской обл.) Сычевым В.В. Это

программа для вычисления корреляционной размерности, корреляционной

энтропии и показателя Хѐрста по временному ряду данных. Полученное с ее

помощью значение показателя H составило 1.1387H , что очень близко к

полученным авторами результатам. Различие между полученными значениями

показателей H можно объяснить различиями в предварительной обработки

данных, в частности в их нормировке. Авторы использовали стандартную

нормировку [101], точность которой была ограничена 19 знаками после

запятой, в то время как используемая в программе Fractan 4.4 целочисленная

нормировка аналогична ограничению точности в 5 значащих цифр после

запятой. Особенностью программы Fractan 4.4 является то, что рассчитываемые

с ее помощью ряды должны состоять не менее чем из 512 отсчетов. Также,

данной программой невозможно пользоваться для большого количества

расчетов из-за невозможности автоматизации данного процесса. Поэтому

программа Fractan 4.4 в дальнейших расчетах не использовалась.

Далее был произведен расчет динамических значений показателя ( )H n для

каждого дня исследуемого временного ряда на основании 90 отсчетов,

предшествующих данному дню. Данное количество отсчетов было выбрано

неслучайно, но об этом более подробно будет указано ниже. Авторы

разработали программу, которая позволяет автоматически рассчитывать

динамические значений показателя ( )H n для всех n для всего ряда за

исключением первых 90 отсчетов, которые составляют длину окна расчета. Под

длиной окна расчета будем понимать количество членов ряда,

предшествующих каждому конкретному значению рассчитываемого ряда,

которые собственно и используются для расчета. Результаты данных

вычислений представлены на рис. 8.16. На основании полученных данных

можно сделать следующие выводы:

- среднее значение показателя Хѐрста за период наблюдения ( )n

H n близко к

значению показателя для всего ряда H . Кроме того, значение ( )n

H n по

прошествии нескольких месяцев наблюдения переходит в установившееся

состояние, после чего практически не меняется;

- пределы отклонения динамического значения показателя колеблются в

интервале примерно от 0.7 до 1.35, что говорит об относительно большой

ошибке вычисления показателя по короткому ряду, однако однозначно

свидетельствует о фрактальности анализируемого ряда, что в свою очередь

говорит об его детерминистском происхождении;

- с точки зрения предсказания резких переломов в трендах для исследуемого

ряда данных расчет не дал никаких результатов;


198

Рис. 8.16 – Зависимость динамического значения ( )H n от дня наблюдения n ,

рассчитанная на основании предыдущих 90 значений. Здесь ( )n

H n – среднее

значение ( )H n за период наблюдения n

8.3.3. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа кризиса. Перед применением метода Грассбергера-Прокаччиа, к исследуемому ряду

необходимо применить метод восстановления фазового пространства системы,

который был предложен Такенсом. Следуя Такенсу [48,96,110-112],

необходимо сконструировать пространство вложения (или псевдофазовое

пространство) с m -мерным вектором по значениям одной наблюдаемой

величины:

( ) ( ), ( ),..., ( ( 1) )i i i i iX X t x t x t x t m , (8.2)

взятым со сдвигом . В данной работе, из-за малости исследуемых рядов

временная задержка бралась равной 1 .

Согласно теореме Такенса [96], можно вычислить корреляционный интеграл

(о котором будет сказано ниже) и фрактальную размерность по измерениям

временной последовательности лишь одной составляющей. Для этого, с

помощью описанного выше метода восстановления фазового пространства

также известного как метод задержек, сформируем из исследуемого ряда

аттракторы в m -мерных псевдофазовых пространствах для 1,2,3,...m Далее, для

каждого аттрактора в пространстве m , рассчитаем корреляционный интеграл по

формуле [12,14-16,52,62,100,102,104,109]: 1

( , ) lim ( )( 1)

N N

i jN

i j

Ce NN N

x x , i j , (8.3)


199

Рис. 8.17 – Зависимости корреляционного интеграла Ce от размера

элементарных ячеек для различных значений пространств вложения m (а) и

зависимость фрактальной размерности CD от размерности пространства

вложения m (б) для временного ряда нормированных значений цены на нефть-

сырец (Brent Crude)

где N -количество точек аттрактора, i jx x -абсолютное расстояние между i-ой и

j-ой точками аттрактора в m -мерном пространстве, -размер разрешающей

ячейки, -функция Хевисайда. По сути говоря, ( , )Ce N –зависимость

количества точек аттрактора в m -мерном пространстве, расстояние между

которыми , от размера разрешающей ячейки отнесенная к полному

количеству пар точек, т.е. 2~ N (в знаменателе формулы стоит ( 1)N N поскольку

поставлено условие i j ). Полученные зависимости ( , )Ce N откладываются в

двойном логарифмическом масштабе на плоскости (теоретически логарифм

может быть взят по любому основанию, но для наглядности лучше брать по

основанию 10). Затем, выделяют линейные участки отложенных кривых, и по

методу наименьших квадратов производят поиск аппроксимирующих их

прямых. Для исследуемого ряда, представленного на рис. 8.14,а, зависимости

корреляционного интеграла Ce от размера элементарных ячеек представлены

на рис. 8.17,а. Максимальная рассматриваемая размерность пространства

вложения, в данном случае, составляла max 35m . Далее, для всех полученных

кривых ( , )Ce N вычисляют первую производную от аппроксимирующих их

прямых CD и откладывают ее как функцию от m . Теоретически производная CD

определяется из предела [12,14-16,62,100,102,104]:

0

lg ( , )lim lim

lgC

N

d Ce ND

d. (8.4)

Данный алгоритм вычисления CD связан с тем, что при сравнительно малых

значениях должен соблюдаться степенной закон

( , ) CDCe N , (8.5)

где CD –корреляционная размерность. Поскольку корреляционная размерность

идет под индексом 2q в спектре Реньи, то она является нижней оценкой

размерности Хаусдорфа-Безиковича (которая идет под индексом 0q ), так как

спектр Реньи является ниспадающим с ростом индекса q .

На полученном графике ищут точку, когда зависимость ( )CD m достигнет

насыщения. Значение точки насыщения Cm m будет соответствовать

независимой оценке размерности пространства вложения, а соответствующее

значение CD будет соответствовать корреляционной размерности исследуемого

псевдофазового аттрактора восстановленного из исследуемого ряда. Согласно

теореме Такенса, эти характеристики отражают соответствующие значения

динамической системы породившей исследуемый ряд. Теоретически, точка

насыщения является таковой, если полученное значение корреляционной

размерности CD не будет меняться вплоть до int[2 ] 1Cm D (здесь операция int[ ]

подразумевает округление в большую сторону). Соблюдение данного условия


200

гарантирует надежность полученного результата. Для рассматриваемого ряда

значений цен нефти-сырца, зависимость ( )CD m представлена на рис. 8.17,б. Как

видно из рисунка, значение независимой оценки размерности пространства

вложения составило 31Cm . Соответственно, значение корреляционной

размерности составило 2.91299CD . Полученные значения корреляционной

размерности 2.91299CD и размерности пространства вложения 31Cm нуждаются

в дополнительной оценке достоверности.

8.3.4. Оценка точности результатов, полученных методом Грассбергера-

Прокаччиа и оценка Экмана-Рюэля. Конечно, на практике, предел N в

формулах корреляционного интеграла и корреляционной размерности не имеет

смысла, поскольку длина исследуемых рядов всегда конечна. Размер

разрешающей ячейки тоже варьируется не в пределах от 0 до . Это связано,

прежде всего, с тем, что с одной стороны значение ограничено размерами

аттрактора, а с другой стороны, минимальным расстоянием между самыми

близкими точками аттрактора. Более того, линейный участок необходимо

выделять по той причине, что когда значение сопоставимо с размерами

аттрактора (и соответственно lg 0 ) то теряются сингулярности аттрактора.

Кривизна зависимости ( , )Ce N на этом участке зависит от неравномерности

распределения плотности заселения точками аттрактора пространства. С другой

стороны, при 0 наблюдается недостаточная статистика, связанная с

конечностью длины исследуемого ряда N . Тут картину искривления ( , )Ce N

создают точки псевдофазового пространства, которые рискнем назвать

―слипшимися‖. Недостатком такого метода является то, что необходимо

участие исследователя в выборе линейного участка. От длины такого участка

будет соответственно зависеть точность оценки, как корреляционной

размерности, так и размерность пространства вложения.

Количественную оценку точности нахождения корреляционной размерности

предложили Экман и Рюэль (1981). Обозначим через max максимальный размер

элементарной ячейки, а через min минимальный размер элементарной ячейки,

которые соответствуют началу и концу линейного участка зависимости ( , )Ce N

от в двойном логарифмическом масштабе. Тогда обозначим их отношение

через max min/p . Считается, что при наличии свойств фрактальности 2 3p , а

для надежного измерения CD необходимо 10p .

Также, одно из основных условий данной оценки заключается в соблюдении

неравенства

2lgCD N , (8.6)

где N -длина исследуемого ряда, а CD -вычисленная корреляционная

размерность этого ряда. Теоретическое обоснование данных оценок более

подробно дано в [62,100,102].

Применяя данную оценку к исследуемому ряду, необходимо отметить

следующее обстоятельство. Насыщение зависимости ( )CD m у данного ценового

ряда появляется только при выборе границ линейного участка, показанных на


201

рис. 8.17,б пунктирными линиями. При расширении этих границ, насыщение

зависимости ( )CD m не наступает. Для полученных границ линейных участков

характерны значения max 0.199526 и min 0.0794328 для которых значение 2.51189p .

Согласно оценке Экмана-Рюэля, данное обстоятельство говорит о наличии

свойств фрактальности у исследуемого ряда, но надежного измерения

фрактальной размерности CD не гарантирует. Общая длина ряда N гарантирует

надежное измерение корреляционной размерности CD , вплоть до 6.

8.3.5. Применение метода ЛБС к ценам на нефть-сырец. Авторами был

произведен расчет по методу ЛБС для нефти-сырца (исходный ряд был

предварительно пронормирован). Результат представлен на рис. 8.18. в виде

графика зависимости количества ЛБС P отнесенного к общей длине ряда N от

размерности пространства вложения m . Из графика видно, что после

погружения аттрактора, полученного методом задержек из исследуемого ряда,

в псевдопространство с размерностью более чем 13, ложные соседи

практически отсутствуют, что говорит о максимальной верхней независимой

оценке размерности пространства вложения 13Cm .

Рис. 8.18 – Сопоставление экстремумов вычисленной зависимости Ce с

соответствующими значениями цены нефти-сырца (начало ряда размером окна

в 90 дней не показано)


202

Рис. 8.19 – Зависимость числа БЛС P отнесенного к общей длине ряда N от

размерности пространства вложения m для значений цены на нефть-сырец

8.3.6. Модификация метода ЛБС применительно к анализу цен на

энергоносители. Поскольку в экономике чаще всего встречаются относительно

короткие временные ряды, то вычисление количества степеней свободы с

помощью ЛБС является затруднительной задачей, поскольку длина ряда не

позволит восстанавливать аттракторы в многомерных пространствах. Тем

более, что для выявления закономерности авторы решили ограничиться длиной

ряда, не превышающей 120 отсчетов. Это связано с предположением, что

количество игроков рынка энергоносителей за больший период значительно

меняется. Тогда, опираясь на результаты исследований одного из авторов в

области применения фрактальных мер к дискретно-нелинейным системам,

была сделана следующая модификация ЛБС. В работах авторов было показано,

что само отношение числа ЛБС P к общей длине ряда N при переходе из

двумерного (псевдо)фазового пространства ( 2m ) в трехмерное ( 3m )

определяет ―скорость‖ сворачивания аттрактора в пространство вложения. Чем

меньше это значение, тем быстрее сворачивается аттрактор в (псевдо)фазовое

пространство вложения. Это косвенно говорит о том, что на динамику

исследуемого участка ряда влияет меньшее число факторов (т.е. в игроков

рынка энергоносителей). Справедливо и обратное утверждение. Далее,

проводилось вычисление отношения /P N по следующей схеме. Задавалось так

называемое окно w – количество отсчетов временного ряда предшествующих

дню, для которого вычислялось значение /P N . Таким образом, длина ряда, для

которого вычислялось отношение /P N , составляла w отсчетов, и,

соответственно, N w . Тогда, отступив от начала общего исследуемого ряда (в

нашем случае это ряд, представленный на рис. 8.14,а) на длину окна, можно для

каждого следующего дня до конца исследуемого периода, вычислить

отношение /P w , чтобы отследить динамику его изменения.

В процессе исследования длина окна w варьировалась в пределах от 60 до

120 дней, что соответствует примерно 2-4 месяцам реального времени.

Наиболее оптимальным, с точки зрения результатов, оказалось значение окна

90w . Поскольку, получаемые ряды были слишком короткими, то также

варьировалось значение порога tR в пределах от 2 до 10. Наиболее хороший

результат получался при (5;6)tR . Однако, при изменении значений w и tR в

указанных выше пределах, общая картина результатов не сильно менялась. На

рис. 8.20 показаны результаты вычислений отношения /P w для цены на нефть-

сырец при значении окна 90w и значении порога 2tR e . Здесь жирной линией


203

показано среднее значение величины /P w для каждого дня ряда за весь

наблюдаемый период, определяемое по формуле

1

1/ ( / )

n

ini

P w P wn

. (8.7)

Рис. 8.20 – Сопоставление экстремумов вычисленной зависимости количества

ложных ближайших соседей P отнесенной к длине окна w с соответствующими

значениями цены нефти-сырца (начало ряда размером окна в 90 дней не

показано)

Из рис. 8.20 видна интересная закономерность: перед каждым длительным

трендом наблюдается явный экстремум зависимости /P w от n . Причем перед

уменьшением цены это минимум зависимости /P w от n , а перед повышением

это максимум.

Данный результат может быть использован в прогностических целях. Из

полученных закономерностей можно сделать следующий вывод: как только

проходит экстремум минимального значения отношения (сильное отклонение

значения /P w от среднего наблюдаемого значения /n

P w ) предполагается

длительный тренд, связанный с понижением цены на соответствующий

энергоноситель. И наоборот, прохождение области сильного отклонения

значения /P w от среднего наблюдаемого значения /n

P w в сторону увеличения

свидетельствует о том, что в ближайшее время будет наблюдаться длительный

тренд, связанный с повышением цены на энергоноситель. Это явление можно

объяснить следующим предположением: снижение количества игроков данного

рынка энергоносителя (т.е. его покупателей) предполагает скорое снижение


204

цены на данный энергоноситель. Следуя данной логике, можно предположить,

что увеличение количества участников данного рынка приведет к скорому

планомерному повышению цены на данный энергоноситель.

8.3.7. Основные итоги применения фрактальных методов к выявлению

глобальных экономических кризисов. Основным фрактальным методом,

давшим определенный результат, явился метод ЛБС. В результате анализа

рынка цен на основные энергоносители был предложен фрактальный метод

анализа динамики изменения их цены. Данный метод позволяет предположить

на анализе предыдущих значений цены энергоносителя устойчивый тренд,

связанный как с повышением, так и понижением данной цены в ближайшем

будущем. Причем предполагаемые положительные и отрицательные тренды

имеют различные признаки. Характерной особенностью предлагаемого

авторами метода является то, что он является модификацией фрактального

метода, а значит, по своей природе, также является фрактальным.

Недостатком предлагаемого авторами метода является то, что необходима

подстройка под конкретную ситуацию, которая предполагает поиск

оптимального значения окна и порога.

8.4. Применение различных фрактальных мер детерминированного хаоса

к анализу электроэнцефалограмм при полисомнографии

Данный раздел написан совместно с заведующим сомнологической

лаборатории Захаровым Александром Владимировичем, с которым в

настоящий момент ведется тесное сотрудничество на предмет применения

фрактальным мер к различным аспектам анализа биоэлектрических сигналов

мозга и мышц. Захаров А.В. к.м.н., ассистент кафедры неврологии и

нейрохирургии самарского государственного медицинского университета

(СамГМУ), врач самарской областной клинической больницы (СОКБ) им.

Калинина. В этом разделе рассмотрена возможность применения различных

фрактальных методов детерминированного хаоса к автоматизированному

распознанию фаз сна по компьютерным электроэнцефалограммам (ЭЭГ).

Использовались такие методы, как метод нормированного размаха Хѐрста,

метод расчета корреляционного интеграла Грассбергера-Прокаччиа и метод

аппроксимационной энтропии. Показано, что используя данные методы, при

соответствующем подборе параметров самих методов, при использовании

необходимой нормировки исходных данных и усреднении результатов, можно

получить гипнограмму, имеющую полное совпадение определяемых фаз сна

для половины эпох регистрируемых ЭЭГ. Причем для получения данных

результатов достаточно использовать лишь один канал регистрации ЭЭГ.

8.4.1. Введение в проблематику современной сомнологии. Состояние сна

является неотъемлемой частью человеческого существования, и его

расстройства отражаются на всех сферах деятельности человека – социальная и

физическая активность, познавательная деятельность [118]. Сон занимает более


205

трети времени человеческой жизни. Физиологически сон неоднороден и имеет

характерную структуру [119]. Он включает в себя различные функциональные

состояния: фазы и стадии, чередующиеся в определенной последовательности и

образующие циклы сна. Нарушение естественных циклов сна является

признаком расстройств сна, которые в свою очередь могут иметь серьезные

негативные последствия для организма, такие как сниженная

работоспособность, утомляемость, нарушения деятельности

сердечнососудистой и центральной нервной систем. Часть нарушений сна

может проявляться в виде возникновения и прогрессирования уже имеющихся

психосоматических заболевания – гипертоническая болезнь, сахарный диабет 2

типа, метаболический синдром. Своевременное диагностирование расстройств

сна может выявить и предупредить развитие многих серьезных заболеваний. Во

время сна могут зарождаться или, наоборот, облегчаться многие

патологические процессы, поэтому в последние годы значительное развитие

получила медицина сна, изучающая особенности патогенеза, клиники и

лечения патологических состояний, возникающих в период сна и оказывающих

значительное влияние на функционирование организма в дневное время.

Сомнология – наука о сне – одно из наиболее динамично развивающихся

направлений современной медицины. Возникшая в XX веке, сомнология взяла

бурный старт и в XXI веке, начав его с представлений об орексин–

гипокретиновой гипоталамической системе [118]. В настоящее время

наибольшие диагностические и лечебные возможности сомнологии

развиваются в следующих направлениях: 1) инсомнии; 2) парасомнии; 3)

синдром «апноэ во сне» и другие нарушения дыхания во сне; 4) синдром

«беспокойных ног», синдром периодических движений в конечностях и другие

двигательные нарушения во сне; 5) гиперсомнии; 6) дневная сонливость

вследствие низкого качества сна; 7) импотенция; 8) эпилепсия. Перечень этих

направлений свидетельствует о том, что речь идет об очень распространенных

проблемах, имеющих большое значение для современной медицины. Такая

патология, как инсомния, является самым распространенным нарушением сна.

В популяции, в зависимости от тяжести клиники, встречается от 13 до 65%, а

для 12–22% популяции является клинической проблемой. Для объективного

изучения сна и его нарушений используется полисомнография – метод,

включающий параллельную регистрацию электрофизиологических сигналов,

таких как электроэнцефалограмма (ЭЭГ), электроокулограмма (ЭОГ) и

электромиограмма (ЭМГ). При необходимости уточнения причин вторичной

инсомнии, может дополняться каналами регистрирующими дыхательную

активность, двигательную активность во время сна, сердечную деятельность.

На основании анализа показателей электрофизиологической активности

человека строится гипнограмма - график, отражающий последовательность

стадий и фаз сна, определяющие цикличность ультрадианного ритма циклов

сна.

Общепринятая система классификации стадий сна была разработана

Рехчаффеном и Кейлсом в 1968 году. Согласно данному методу, эксперт


206

вручную анализирует записи электрофизиологических параметров,

длительность которых в среднем составляет восемь часов. Для каждого

тридцатисекундного отрезка записи последовательно рассчитываются

характеристики, на основании которых принимается решение об отнесении

рассматриваемого участка к той или иной стадии сна. Метод построения

гипнограмм по правилам Рехчаффена и Кейлса является до сих пор наиболее

распространенными и общепринятым, однако он имеет ряд существенных

ограничений, а именно: высокая трудоемкость и субъективность оценки, что

приводит порой к значительным расхождениям показателей одной и той же

гипнограммы, при расшифровке двумя разными людьми. Допустимый предел

расхождения на данный момент принято считать не более 20% в 8 часовой

записи. Поэтому в настоящее время существует необходимость в разработке

объективных автоматизированных методах распознавания стадий сна, которые

в совокупности с прибором для регистрации электрофизиологических сигналов

образуют систему для доступной диагностики расстройств сна.

8.4.2. Некоторые сведения из клинической электроэнцефалографии [118]. Сон человека представляет целую гамму особых функциональных состояний

мозга – 1, 2, 3 и 4-ю стадии фазы медленного сна (ФМС) и фазу быстрого сна

(ФБС). Каждая из перечисленных стадий и фаз имеет свои специфические ЭЭГ,

ЭМГ, ЭОГ и вегетативные характеристики. 1-я стадия ФМС характеризуется

замедлением частоты основного ритма (характерного для расслабленного

бодрствования данного человека), появлением бета– и тета–волн; снижением

частоты сердечных сокращений (ЧСС), частоты дыханий (ЧД), мышечного

тонуса и артериального давления (АД). 2–я стадия ФМС (стадия «сонных

веретен») названа так по основному ЭЭГ-феномену – «сонным веретенам» –

колебаниям синусоидальной формы с частотой 11.5-15 Гц (некоторые авторы

расширяют этот диапазон от 11.5 до 19 Гц) и амплитудой около 50 мкВ, кроме

того, в ЭЭГ представлены также К-комплексы – волны высокой амплитуды (в

2-3 раза превосходящие амплитуду фоновой ЭЭГ, в основном представленную

тета–волнами), двух или многофазные, с точки зрения вегетативных и ЭМГ-

показателей развиваются тенденции, описанные для 1-й стадии ФМС; в

небольших количествах могут встречаться эпизоды апноэ длительностью менее

10 секунд. 3-я и 4-я стадии называют дельта-сном, так как основным ЭЭГ-

феноменом является дельта-активность (в 3-й стадии она составляет от 20% до

50%, а в 4-й стадии – более 50%); дыхание в этих стадиях ритмичное,

медленное, АД снижено, ЭМГ имеет низкую амплитуду. ФБС характеризуется

быстрыми движениями глаз (БДГ), очень низкой амплитудой ЭМГ,

«пилообразным» тета-ритмом, сочетающимся с нерегулярной ЭЭГ; при этом

отмечают «вегетативную бурю» с дыхательной и сердечной аритмией,

колебаниями артериального давления, эпизодами апноэ (длительностью менее

10 секунд), эрекцией пениса и клитора. Стадии ФМС и ФБС составляют один

цикл сна и таких циклов у здорового человека бывает от 4 до 6 за ночь.


207

8.4.3. Постановка задачи разработки метода автоматизированного

распознания стадий сна. Данная задача решалась в работе [120], однако,

фрактальные меры детерминированного хаоса использовались в данной работе

только лишь для сегментации ЭЭГ на стационарные участки по методу расчета

фрактальной размерности Хигучи [121]. Сама же задача распознания стадий

сна решалась с помощью исследования фаз сна по ЭЭГ человека на основе

скрытых моделей Маркова [122]. В данной работе задача разделения стадий сна

решалась непосредственным применением фрактальных мер к анализу канала

ЭЭГ. Принципиальным моментом является тот факт, что сигналы ЭЭГ по своей

природе являются фрактальными [123] и поэтому применение фрактальных мер

в данном случае является более естественным. Соответственно, это позволит

дать более точные результаты при меньшем количестве информации. В

частности, в данной работе, для получения результатов достаточно иметь

запись только лишь одной ЭЭГ (без ЭОГ и ЭМГ) и только лишь одного канала.

Кроме того, в отличии от [120], в данной работе рассматривалась

фиксированная длина эпохи анализа. Это позволяет контролировать процесс

распознавания стадий сна и ввести элемент визуального контроля специалиста,

в случаях, когда это необходимо. Минусом данной работы является то, что при

таком минимуме информации практически очень сложно выделить стадию

парадоксального сна.

Для проверки работоспособности разработанного метода регистрировалась

полисомнограмма у добровольца с формой инсомнии, сопровождающейся

трудностью инициации и поддержания сна. Перед проведением

регистрационной ночи добровольцу была проведена адаптационная ночь с

наложенными электродами, при этом запись не регистрировалась, это

позволяло испытуемому адаптироваться к дискомфорту создаваемому

установленными электродами. Ночь регистрации назначалась на следующие

сутки после проведѐнной адаптационной ночи. Расположение ЭЭГ электродов

проводилось по системе «10-20», устанавливалось 6 каналов; в противофазе

устанавливались ЭОГ электроды (2 канала). Электроды ЭМГ устанавливались в

проекции жевательной мышцы, регистрация проводилась по 2 каналам с

симметричных участков. Длительность записи составляла 8 часов, точкой

отсчѐта начала записи являлось выключение света в комнате, где находился

доброволец.

8.4.4. Аппроксимационная энтропия для коротких временных рядов. Аппроксимационная энтропия является мерой детерминированного хаоса и

предназначена для получения информации о сложности процессов,

происходящих в системе на основании коротких временных рядов

(1), (2),..., ( )X x x x N , где N – длина исследуемого ряда, и составляет примерно от

75 до 5000 отсчетов [124]. Значение аппроксимационной энтропии зависит от

размерности псевдофазового пространства m , которое строится по методу

Такенса, ―фактора фильтрации‖ r и длины исследуемого ряда N , и

определяется из выражения:


208

1( , , ) ( ) ( )m mApEn m r N r r .

Здесь ( )m r и 1( )m r определяются из выражений:

1

1( ) ln ( )

N mm m

i

i

r C rN m

, 1 1

1

1( ) ln ( )

N mm m

i

i

r C rN m

.

Как и для корреляционного интеграла, ( )m

iC r и 1( )m

iC r определяются суммами: 1

1

1( ) ( ) ( )

1

N mm

i

j

C r r i jN m

x x ,

1

1

1( ) ( ) ( )

N mm

i

j

C r r i jN m

x x .

В результате, определение аппроксимационной энтропии может быть

сведено к получению значения ApEn с помощью общего выражения [125]:

11

( )1( , , ) ln

( )

mN mi

mi i

C rApEn m r N

N m C r,

с соответствующим вычислением значений ( )m

iC r и 1( )m

iC r для каждого i .

8.4.5. Результаты применения фрактальных методов к анализу ЭЭГ

сигналов. Для реализации вычислений на компьютере авторами была

разработана программа с использованием среды Borland C++ Builder.

Правильность работы программы проверялась путем сравнения результатов ее

работы, с результатами, полученными авторами в других работах и с

результатами других авторов [124,126-128].

Гипнограммы, полученные с помощью всех трех используемых в данной

работе методов, представлены на рис. 8.21 в виде пунктирных линий.

Гипнограмма, полученная специалистами, показана на этом же рисунке в виде

сплошной линии. На данном рисунке по оси абсцисс отложены номера эпох, со

времени начала регистрации ЭЭГ. По оси ординат отложены следующие фазы

[129]: ВД – время движения (нераспознаваемая фаза, связанная с наличием

двигательных артефактов, длительность которых составляет минимум 25%

времени эпохи), РБ – расслабленное бодрствование, БДГ – фаза с быстрым

движением глаз (фаза парадоксального сна), I,II,II,IV – 1,2,3 и 4 фазы сна

соответственно.

В результате применения всех вышеперечисленных методов было выявлено,

что при анализе только лишь одного канала ЭЭГ, выявить парадоксальную

стадию сна нельзя. Это связано с тем, что значения всех без исключения

фрактальных мер используемых в работе для фазы с БДГ совпадают со

значениями для поверхностного сна и для РБ. Подобные результаты были

получены зарубежными коллегами [124,126-128]. Причем, между собой, I и II

стадии сна, а также фаза РБ хорошо дифференцируются. Поэтому, поскольку в

данной работе для автоматизированного распознания фаз сна ставилась цель

анализировать только один канал ЭЭГ, было решено проигнорировать наличие

фазы с БДГ. Это привело к тому, что на результирующей гипнограмме, фаза

БДГ распознавалась программой либо как фаза РБ, либо как I или II стадия сна.

В данной работе также не производилось распознание фаз ВД, вызванных

двигательными артефактами [130].


209

На рис. 8.22 показаны внешние виды зависимостей различных фрактальных

размерностей и их сопоставление с гипнограммой полученной специалистами.

Как видно из полученных результатов, использование всех трех методов,

позволило увидеть общую картину сна, поскольку четко дифференцированы

фазы глубокого дельта-сна и выход в фазу РБ. Распознание поверхностных

стадий сна, как видно из рисунка, осложнено только лишь отсутствием

отделения фазы парадоксального сна.

Количественные характеристики совпадения гипнограмм, полученных с

помощью различных методов, используемых в программе и гипнограммы,

составленной специалистами вручную представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Количественная оценка совпадения гипнограмм, полученных различными

фрактальными методами, с гипнограммой, полученной специалистами.

Используемый метод

Кол-во эпох, имеющих

полное совпадение

фаз сна, %

Нормированный размах Хѐрста 52,2

Корреляционный интеграл

Грассбергера-Прокаччиа 47,8

Аппроксимационная

энтропия 48,5

а)

б)

в)

Рис. 8.21 – Сравнение гипнограммы полученной специалистами (сплошная

линия) с гипнограммами с гипнограммами полученными с помощью

следующих фрактальных методов детерминированного хаоса (пунктирные

линии): а – методом нормированного размаха Хѐрста; б – методом

Грассбергера-Прокаччиа; в – методом аппроксимационной энтропии


210

Если сравнивать по скорости вычисления, то использование метода

нормированного размаха Хѐрста позволило получить результаты на два

порядка быстрее, чем использование метода аппроксимационной энтропии, и

на три порядка раз быстрее, чем вычисление методом Грассбергера-Прокаччиа.

Таким образом, в результате данных исследований было показано, что путем

использования фрактальных мер детерминированного хаоса, без

дополнительного выявления пародоксальной стадии сна, анализируя только

лишь один сигнал ЭЭГ, можно получить гипнограмму, имеющую полное

совпадение определяемых фаз сна для половины регистрируемых эпох. При

этом, фаза с БДГ распознавалась программой либо как фаза РБ или одна из фаз

поверхностного сна (I и II стадии). Следует отметить, что данный результат

был получен для всех используемых в работе методов, причем без отсеивания

фаз, содержащих двигательные артефакты. Самая высокая скорость

вычислений достигалась с помощью метода нормированного размаха Хѐрста.

Результаты использования данного метода также наиболее точно совпали с

результатами, полученными дипломированными специалистами.

Рис. 8.22 – Сопоставление гипнограммы с различными значениями

фрактальных мер для соответствующих эпох: а – гипнограмма полученная

специалистами, б – значение показателя Хѐрста, в – значение корреляционной

размерности, г – значение аппроксимационной энтропии. Для фрактальных мер

тонкими линиями показаны значения без обработки, а толстыми линиями

данные значения после использования метода усреднения


211

Литература

1. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных

колебаний. М. : Едиториал УРСС , 2004. 251с.

2. Андронов А.А., Вит Е.А., Хайкин С.Е. Теория колебания. М. : Физматгиз,

1959. 915 с.

3. Андронов А. А. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний // Док-

лады VI съезда русских физиков. М., 1928. С. 23–24.

4. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. М. : Наука. Гл. ред. физ. мат.

лит., 1990. 128 с.

5. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с

англ. М. : Мир, 1985. 254 с.

6. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся

системах: Пер. с англ. М. : Мир, 1985. 423 с.

7. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб.

руководство. М. : Наука, 1990. 272 с.

8. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт

компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

9. McCulloch W.S., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous

activity // Bulletin of Mathematical Biophysics, 1943. vol. 5, P. 115–133.

10. Розенблат Ф. Принципы нейродинамики: Персептрон и теория механизмов

мозга. Пер. с англ. М. : Мир, 1965. 175 с.

11. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология

выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. М. :Логос, 2002. 1023 с.

12. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы

возникновения, структура и свойства динамического хаоса в

радиотехнических системах. М. : Наука, 1990. 312 с.

13. Кузнецов С.П., Кузнецов А.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М. :

Физматлит., 2005. 295 с.

14. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и

хаотические временные ряды. Саратов : Гос УНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

15. Головко В.А. Нейросетевые методы обработки хаотических процессов //

VII Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика

2005»: Лекции по нейроинформатике. М. : МИФИ, 2005. С. 43–91.

16. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов А.А. Детерминированный хаос и

фракталы в дискретно-нелинейных системах / под ред. и с предисловием

акад. Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН С.А. Никитова. – М.: Радиотехника,

2009.-235 с.

17. Антипов О.И., Неганов В.А. Фрактальный анализ дискретно-нелинейных

систем на примере импульсного стабилизатора, работающего в хаотическом

режиме, и построение на его основе прогнозирующих нейронных сетей //

Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2010. – Т. 13. –

№ 2 – С. 7-23.

18. Антипов О.И. Анализ хаотической работы составного стабилизатора,

состоящего из двух понижающих конверторов, связанных по схеме


212

ведущий-ведомый, при помощи фрактальных мер детерминированного

хаоса // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. – 2010. – Т. 18

– №1 – С. 101-111.

19. Антипов О.И., Неганов В.А. Применение метода нормированного размаха

Хѐрста к анализу стохастических временных рядов в импульсных

стабилизаторах напряжения // Физика волновых процессов и

радиотехнические системы. – 2009. – Т. 12. – № 3 – С. 78-85.

20. Антипов О.И., Неганов В.А. Влияние учета активных потерь на

детерминированный хаос в импульсном стабилизаторе напряжения

инвертирующего типа // Физика волновых процессов и радиотехнические

системы. – 2007. – Т. 10. – № 4 – С. 48-55.

21. Антипов О.И., Неганов В.А. Исследование динамического хаоса в

импульсном стабилизаторе напряжения инвертирующего типа с учетом

влияния активных потерь с помощью мер фрактального исчисления //

Нелинейный мир. – Москва, – 2008. – Т. 6. – № 7 – С. 364-377.

22. Антипов О.И., Неганов В.А. Сравнение детерминированного хаоса в

импульсных стабилизаторах напряжения различных типов // Физика

волновых процессов и радиотехнические системы. – 2008. – Т. 11. – № 3 –

С. 120-130.

23. Антипов О.И., Неганов В.А. Анализ и прогнозирование поведения

временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и

нейронные сети. – М.: Радиотехника, 2011. – 350 с.

24. Антипов О.И., Неганов В.А. Фрактальный анализ нелинейных систем и

построение на его основе прогнозирующих нейронных сетей // Физика

волновых процессов и радиотехнические системы. – 2010. – Т. 13. – № 3 –

С. 54-63.

25. Антипов О.И., Неганов В.А. Прогнозирование и фрактальный анализ

хаотических процессов дискретно – нелинейных процессов с помощью

нейронных сетей // Доклады Академии наук, 2011. – Том 436. - № 1. – С. 34-

37.

26. Antipov O.I., Neganov V.A. Neural Network Prediction and Fractal Analysis of

the Chaotic Processes in Discrete Nonlinear Systems // ISSN 1028-3358 Doklady

Physics, 2011, Vol. 56, №1, PP. 7-9.

27. Антипов О.И., Неганов В.А. Анализ и предсказание поведения временных

рядов самоорганизованных экономических и биологических систем с

помощью фрактальных мер// Физика волновых процессов и

радиотехнические системы, – 2011. – Т. 14 – № 3 – С. 78-89.

28. Неганов В.А., Антипов О.И., Неганова Е.В. Фрактальный анализ

временных рядов, описывающих качественные преобразования систем,

включая катастрофы // Физика волновых процессов и радиотехнические

системы, – 2011. – Т. 14 – № 1 – С. 105-110.

29. Антипов О.И., Добрянин А.В., Неганова Е.В., Неганов В.А. Фрактальный

анализ динамики цен на нефть // Экономические науки – 2010, Май, №5(66),

– С. 260-271.


213

30. Антипов О.И., Неганова Е.В. Анализ корреляции между фрактальными

мерами ежедневных и ежеминутных значений отношения EURO/USD //

Физика волновых процессов и радиотехнические системы, – 2010. – Т. 13 –

№ 4 – С. 96-101.

31. Антипов О.И., Ивахник В.В., Неганова Е.В., Неганов В.А. Фрактальный

анализ динамики цен на драгоценные металлы // Физика волновых

процессов и радиотехнические системы, – 2011. – Т. 14 – № 2 – С. 110-116.

32. Антипов, О.И., Нагорная М.Ю. Фрактальный анализ электрогастро-

энтерографического сигнала // Биомедицинская радиоэлектроника. – 2010. –

№10. – С. 40-48

33. Антипов О.И. Показатель Херста биоэлектрических сигналов / О.И.

Антипов, М.Ю. Нагорная // Инфокоммуникационные технологии. – 2011. –

№1 (9). – С. 75-77.

34. Антипов О.И., Куляс М.О., Нагорная М.Ю., Неганов В.А., Осипов О.В.,

Петров В.А. Результаты применения фрактальных методов анализа к

электрогастроэнтерографическим сигналам // Физика волновых процессов и

радиотехнические системы, – 2011. – Т. 14 – № 4 – С. 113-119.

35. Антипов О.И., Захаров В.А., Неганов В.А. Особенности применения

фрактальных мер детерминированного хаоса к автоматизированному

распознанию стадий сна при полисомнографии // Физика волновых

процессов и радиотехнические системы, – 2012. – Т. 15 – № 3 – С. 101-109.

36. Антипов О.И., Захаров В.А., Повереннова И.Е., Неганов В.А., Ерофеев А.Е.

Возможности различных методов автоматического распознавания стадий

сна // Саратовский научно-медицинский журнал. 2012. Т.8, №2. приложение

(нервные болезни) С.374-379.

37. Захаров А.В., Антипов О.И., Неганов В.А. Возможности использования

фрактальных методов в автоматизации оценки полисомнограммы / В

сборнике трудов XV юбилейной межрегиональной конференции неврологов

Самарской и Оренбургской областей «Нарушения сна и их коррекция»,

г.Тольятти, 2011., С.30-37.

38. Антипов О.И., Захаров А.В., Неганов В.А. Устройство для выявления

стадий сна при полисомнографии. Заявка на патент № 2012100807/14

(001144) от 11 января 2012г.

39. Антипов О.И., Повереннова И.Е., Неганов В.А., Захаров А.В. Программа

автоматического распознавания стадий сна. Свидетельство о

государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012614865, 31 мая

2012г.

40. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова

Г.И., Шимановский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и

стохастических системах. М., Ижевск : Институт Компьютерных

исследований, 2003. 544 с.

41. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных

колебаний. М.: Наука, 1972. 384 с.


214

42. Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Динамические системы и бифуркации

(задачи и примеры решений) – Саратов: издательский центр «РАТА», 2008,

40с.

43. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т1. М. : Мир, 350 с.

44. Мун Ф. Хаотические колебания. М. : Мир, 1990. 312 с.

45. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.:ФАЗИС, 1996.

–334 с.

46. Кузнецов А.П., Савин А.В., Тюрюкина Л.В. Введение в физику

нелинейных отображений – Саратов: изд-во «Научная книга», 2010, 134 с.

47. Кузнецов А.П. Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос. Саратов: Изд-во

ГосУНЦ «Колледж», 2000, – 98 с.

48. Рюэль Д. Такенс Ф. О природе турбулентности. В сб. Странные

аттракторы. М. : Мир, 1981. С. 117–151.

49. Шустер Г. Детерминированный хаос. М. : Мир, 1988. 240 с.

50. Дубовиков М.М., Старченко Н.В. Эконофизика и анализ финансовых

временных рядов. «Эконофизика. Современная физика в поисках

экономической теории» / Под. ред. В.В. Харитонова и А.А. Ежова. М. :

МИФИ, 2007. С. 244–293.

51. Стратонович Р. Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М. : Наука,

1985. 480 с.

52. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из

бесконечного рая. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,

2001. 528 с.

53. Lawton J.H. More time means more variation // Nature. 1988. V.334. P. 563.

54. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический

взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Пер. с англ. М. : Мир, 2000.

333 с.

55. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis / T.Vaga// Financial Analysts Journal

– December/January, 1991.

56. Яновский Л.П. Анализ состояния финансовых рынков на основе методов

нелинейной динамики / Л.П. Яновский, Д.А.Филатов // Научно-

практический и аналитический журнал: «Финансы и кредит» 2005 г. № 32

(200). –С. 2-14.

57. Henon M. A Two – Dimensional Mapping with a Strange Attractor // Comm.

Math. Phys., 1976. V. 50. P. 69-77.

58. Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

59. Мандельброт Б. //Странные аттракторы. - М.: Мир, 1981. С. 47-57.

60. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Change and Dimension. - San-Francisco: W.H.

Freeman and Company, 1977. 84 p.

61. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск: НИЦ

«Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.

62. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). – М.: Издательство

Физико-математической литературы, 2001.– 296 с.


http://books.prometey.org/download/15051.html

215

63. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике/ Пер.с англ.,

Науч.ред. В.А.Журавлев.–М.:Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.

64. Потапов А.А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в

современных радиосистемах. - Дополнение к кн.: Кроновер Р. Фракталы и

хаос в динамических системах / Пер. с англ.; Под ред. Т.Э. Кренкеля. – М.:

Техносфера, 2006. – С. 374-479.

65. Abraham N.B., Albano A.M., Das B. et al.// Phys. Lett. 1986. V. 114A. P. 217-

221.

66. Grassberger P., Procaccia I. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 346-349.

67. Grebogi C., Ott E., Pelican S., Yorke J.A. Srange Attractors that Are Not

Chaotic // Physica 13D, 1984. P. 261-268.

68. Mandelbrot B.B. Possible refinement of the lognormal hyrothesis concerning the

distribution of energy dissipation in intermittent turbulence // In: Statical Models

and Turbulence eds. M. Rosenblatt & C. Van Atta, Lecture Notes in Physics 12,

Springer, New York 1972, P. 333-351.

69. Mandelbrot B.B. Intermittent turbulence in self-simular cascades:Divergence of

high moments and dimention of the carrier // J. Fluid Mech. 1972. V. 62. P. 331-

358.

70. Frisch U., Parisi G. On the singularity structure of the fully developed

turbulence // In: Turbulence and Predictability in Geographysical Fluid Dynamics

and Climate Dynamics eds. M.Ghil, R. Benzi & G. Parisi, North-Holland, New

York 1985, P. 84-88.

71. Benzi R., Paladin G., Parisi G., Vulpani A. On the multifractal nature of fully

developed turbulence and chaotic systems // J. Phys. 1984, A17, 3521-3531.

72. Grassberger P. Generalized dimensions of strange attractors // Phys. Lett., A97,

1983. P. 227-230.

73. Hentschel H.G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions

of fractals and strange attractors // Physica, V. 8. 1983. P. 435-444.

74. Badii R., Politi A. Hausdorf dimension and uniformity of strange attractors //

Phys. Rev. Lett., V. 52, 1984. P. 1661-1664.

75. Frisch U., Parisi G. On the singularity structure of fully developed turbulence //

In: Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics and Climate

Dynamics eds. M. Ghil, R. Benzi & G. Parisi. North-Holland, New York, 1985.

P. 84-88.

76. Jensen M.H., KadanoffL.P., Libchaber A.. Procaccia I., Siavans J. Global

universality at the onset of chaos: Results of a forced Rayleigh-Benard

experiment. Phys. Rev. Lett., V. 55, 1985. P. 2798-2801.

77. Bensimon D., Jensen M.N., KadanoffL.P. Renormalizationgroup analysis of the

global structure of the period doubling atlractor. Phys. Rev. 1986. A33, P. 3622-

3624.

78. Halsey T.C., Jensen M.N., KadanoffL.P., Procaccia I., Shraiman B.I. Fractal

measures and their singularities: The characterization of strange sets. Phys. Rev.

1986. A33, P. 1141-1151.


216

79. Glazier J. A., Jensen H. П., Libchaber A., Stavans J. Structure of Arnold

tongues and the f(a) spectrum for period doubling: Experimental results // Phys.

Rev. 1986, A34, P. 1621-1624.

80. Feigenbaum M.J., Jensen M. N.. Procaccia I. Time ordering and the

thermodynamics of strange sets: Theory and experimental tests // Phys. Rev.

Lett., 1986. Vol. 57, P. 1503-1506.

81. Katzen D.. Procaccia I. Phase transitions in the ihermodynamic formalism of

multifracials // Phys. Rev. Lett., V. 58, 1987. P. 1169-1172.

82. de Arcangelis L., Redner S., Conialio A. Anomalous voltage distribution of

random resistor networks and a new model for the backbone at the percolation

threshold // Phys. Rev. 1985, B31, P. 4725-4727.

83. Rammal R., Tannous C.. Breton P., Tremblay A.M.S. Flicker (1/f) noise in

percolation networks: A new hierarchy of exponents // Phys. Rev. Lett., V. 54,

1985. P. 1718-1721.

84. Aharony A. Percolation // In: Directions in Condensed Matter Physics eds. G.

Grinstein & G. Mazenko, World Scientific, Singapore, 1986. P. 1-50.

85. Blumenfeld R., Meir Y, Aharony A., Harris A. B. Resistance fluctuations in

randomly diluted networks // Phys. Rev. 1987, B35. P. 3524-3535.

86. MutjyR.J., Boqer F., Feder J., Jfssang T. Dynamics and structure of viscous

fingers in porous media // In: Time-Dependent Effects in Disordered Materials

eds. R. Pynn & T. Riste, Plenum Press, New York, 1987. P. 111-138.

87. Meakin P. Fractal aggregates and their fractal measures // In: Phase Transitions

and Critical Phenomena eds. C. Domb & J. L. Lebowitz. Academic Press, New

York. 1987.

88. Meakin P. Scaling properties for the growth probability measure and harmonic

measure of fractal structures. Phys. Rev. 1987, A35, P. 2234-2245.

89. Дмитриков В.Ф. Повышение эффективности преобразовательных и

радиотехнических устройств. – М.: Радио и связь, Горячая Линия - Телеком,

2005. – 424 с.

90. Ridley R. Current mode or voltage mode? // Switching Power Magazine. –2000.

– P. 4-9.

91. Zhou Yufei, Iu Herbert H. C., Tse Chi Kong, Chen Jun-Ning. Controlling chaos

in DC/DC converters using optimal resonant parametric perturbation // ISCAS (3)

2005: P. 2481-2484.

92. Антипов О.И., Неганов В.А. Оценка пульсаций импульсных источников

электропитания методом усреднения // Физика волновых процессов и

радиотехнические системы. – 2003. – Т. 6. –№ 3. – С. 69-74.

93. Li. T.Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Am. Math. Monthly, 1975. –

Vol. 82. – P. 985.

94. Лукьянов Г.Н. Идентификация параметров хаотических процессов в

экспериментальных исследованиях // Вестник Академии Технического

Творчества «Демиург». – Санкт-Петербург: Изд. СПбГТУ, 1998. – №2. –

С. 13-49.


217

95. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev.

Mod. Phys. 1985,– Vol. 57, – P. 617.

96. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Dynamical Systems and

Turbulence. Lecture Notes in Mathematics. Berlin : Springer – Verlag, 1981.

898 p. P. 366–381.

97. Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and Fractals. N.Y. : Springer, 2004.

864 p.

98. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Такенс Ф. Структуры в динамике.

Конечномерные динамические системы: Пер. с англ.; Под ред. Л.М.

Лермана. М.; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.

99. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М. : Наука, 1984.

272 с.

100. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика:

Подходы, результаты, надежды. Изд. 2-е. М. : КомКнига, 2009. 280 с.

101. Ширяев В.И. Финансовые рынки: Нейронные сети, хаос и нелинейная

динамика: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. М. : Книжный дом

«ЛИБРОКОМ», 2009. 232 с.

102. Постнов Д.Э., Павлов А.Н., Астахов С.В. Методы нелинейной динамики:

Учеб. пособие для студ. физ. фак. Саратов 2008. 120 с.

103. Kugiumtzis D. State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic

time series – the role of the time window length, 1996.

104. Мусалимов В.М., Резников С.С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы

высшей математики. СПб : Санкт-Петербургский Государственный

Университет Информационных технологий Механики и Оптики (СПбГУ

ИТМО), 2006. 80 с.

105. Бэстенс Д.-Э., ван ден Берг В.-М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые

рынки: принятие решений в торговых операциях. М. : ТВП, 1997. 236 с.

106. Головко В., Чумерин Ю. Нейросетевые методы определения спектра

Ляпунова хаотических процессов // «Нейрокомпьютеры: Разработка и

применение», 2004. № 1.

107. Головко В.А., Савицкий Ю.В. Нейросетевые методы определения спектра

Ляпунова // Международный журнал «Компьютинг». 2002. № 1. С. 80–86.

108. Головко В.A., Чумерин Н.Ю., Савицкий Ю.В. Нейросетевой метод оценки

спектра Ляпунова по наблюдаемым реализациям // Вестник Брестского

государственного технического университета. 2002. №4. С. 66–70.

109. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors //

Physica D. № 9, 1983.

110. Rosenstein M.T., Colins J.J., De Luca C.J. Reconstruction expansion as a

geometry-based framework for choosing proper delay time // Physica D. – 73,

1994, P. 82–89.

111. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractor from

mutual information // Physical Review A. – 33, 1986, P. 1134–1140.


218

112. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorovich J., Tsimring L. The analysis of

observed chaotic data in physical systems // Review of Modern Physics, Vol. 65.

№ 4. 1993. P. 1331–1392.

113. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и

практика. 2-е изд., стереотип. М. : Горячая линия-Телеком, 2002. 382 с.

114. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике

и бизнесе. М. : МИФИ, 1998. 222 с.

115. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Кузьмин Л.В., Атанов Н.В. Генерация

потока хаотических импульсов в динамической системе с внешним

(периодическим) воздействием // Радиотехника и электроника, 2006. Т.51.

№ 5. С. 593–604.

116. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории

Хаоса в инвестициях и экономике. М. : Интернет-трейдинг, 2004. 304 с.

117. Hurst H.E. Long-term storage capacity of reservoirs // Trans. Am. Soc. Civ.

Eng. 1951. № 116. P. 770–808.

118. Левин Я.И. Сомнология: сон, его cтруктура и функции; инсомния // Рос.

мед. журн. 2007. Т. 15. № 15. С. 11–30.

119. Неврология. Национальное руководство /Гусев Е.И., Коновалов А.Н.,

Скворцова В.И., Гехт А.Б., М. : ГЭОТАР–Медиа, 2009. 1035 c.

120. Дорошенков Л.Г. Методы и алгоритмы обработки

электрофизиологических сигналов для автоматического распознавания

стадий сна: Дис…канд. техн. наук. М., 2009.

121. Дорошенков Л.Г., Гендель И.Г. Сегментация ЭЭГ на стационарные

участки по методу расчета фрактальной размерности Хигучи // XV

Всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов

«Микроэлектроника и информатика -2008». Тезисы докладов. М. : МИЭТ,

2008. С. 259.

122. Дорошенков Л.Г., Конышев В.А., Селищев C.B. Исследование фаз сна по

ЭЭГ человека на основе скрытых моделей Маркова // Медицинская техника.

2007. №1. С. 24–28.

123. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетичнский подход к

активности мозга, поведению и когнитивности деятельности. М. : ПЕР СЭ,

2001. 351 с.

124. Approximate Entropy in the Electroencephalogram During Wake and Sleep /

Naoto Burioka, Masanori Miyata, Germaine Cornélissen, Franz Halberg, Takao

Takeshima, Daniel T. Kaplan, Hisashi Suyama, Masanori Endo, Yoshihiro

Maegaki, Takashi Nomura, Yutaka Tomita, Kenji Nakashima and Eiji Shimizu //

Journal of Clinical EEG & Neuroscience, January 2005. № 36(1). P. 21–24.

125. Srinath Vukkadala, Vijayalakshmi S., Vijayapriya S. Automated Detection Of

Epileptic EEG Using Approximate Entropy In Elman Networks // International

Journal of Recent Trends in Engineering, May 2009. Vol. 1, № 1, P. 307–312.

126. Analysis of the human sleep electroencephalogram by the correlation dimension.

/ Kobayashi T., Madokoro S., Ota T., Ihara H., Umezawa Y., Murayama J.,


219

Kosaka H., Misaki K., Nakagawa H. // Psychiatry Clin Neurosci. 2000 Jun.

№ 54(3). P. 278–279.

127. Röschke J., Aldenhoff J. The dimensionality of human's electroencephalogram

during sleep // Biol Cybern. 1991. № 64(4). P. 307–313.

128. Non-linear analysis of EEG signals at various sleep stages / Acharya U.R., Faust

O., Kannathal N., Chua T., Laxminarayan S. // Computer Methods and Programs

in Biomedicine. 2005 Oct. № 80(1). P. 37–45.

129. Белов А.М. Анализ процесса сна при полисомнографии. М. : ТГТПС, 2000.

81 с.

130. Зенков Л.Р. Клиническая электроэнцефалография с элементами

эпилептологии. М. : МЕДпресс-информ, 2004. 187 с.


220

Содержание

Введение……………………………………………………………………………3

Список используемых сокращений………………………………………...........7

Глава 1. Бифуркации и кризисы нелинейных динамических систем ……..8

1.1. Основы динамического и статистического описания эволюционных

процессов в динамических системах …………………………………………….8

1.1.1. Фазовые портреты динамических систем…………………………………..10

1.1.2. Устойчивость (линейное приближение)………………………………………15

1.1.3. Линейный анализ устойчивости………………………………………………..17

1.1.4. Устойчивость состояний равновесия…………………………………………19

1.1.5. Устойчивость квазипериодических решений………………………………...22

1.2. Бифуркации динамических систем………………………………………….23

1.2.1. Седло-узловые бифуркации коразмерности один…………………………24

1.2.2. Бифуркация коразмерности два – трехкратное равновесие……………..24

1.2.3. Бифуркация Андронова-Хопфа………………………………………………….26

1.2.4. Бифуркации предельных циклов………………………………………………....28

1.2.5. Седло-узловая бифуркация………………………………………………….28

1.2.6. Бифуркация удвоения периода…………………………………………………..28

1.2.7. Бифуркация рождения (исчезновения) двумерного тора (бифуркации

Неймарка)………………………………………………………………………….29

1.3. Задачи для самостоятельного решения………………………………………31

Глава 2. Катастрофы, аттракторы и кризис…………………………………..32

2.1. Краткие сведения из теории катастроф……………………………………32

2.1.1. Теория особенностей Уитни…………………………………………………32

2.1.2. Применение теории Уитни. Машина катастроф…………………………..34

2.1.3. Бифуркации положений равновесия……………………………………...37

2.1.4. Каустики, волновые фронты и их метаморфозы…………………………..40

2.1.5. Особенности в задачах оптимизации: функция максимума……………...47

2.1.6. Теория катастроф применительно к развитию общества……………49

2.2. Аттракторы динамических систем. Кризис.………………………………..51

2.2.1. Регулярные аттракторы………………………………………………………..52

2.2.2. Грубые гиперболические аттракторы………………………………………..53

2.2.3. Квазигиперболические аттракторы. Аттракторы типа Лоренца……55

2.2.4. Негиперболические аттракторы………………………………………………55

2.2.5. Странные нехаотические и хаотические нестранные аттракторы….56

2.2.6. Кризис в динамической системе………………………………………………..57



221

Глава 3. Бифуркационные механизмы перехода к хаосу (кризисы) в

динамических системах и синергетика………………………………………..59

3.1. Потеря устойчивости равновесных и автоколебательных режимов…….60

3.2. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения

периода. Универсальность Фейгенбаума………………………………………..66

3.3. Жесткий переход к хаосу. Сценарий Помо-Манневиля через

перемежаемость..………………………………………………………………….73

3.4. Переход к хаосу через разрушение двухчастотных колебаний (сценарий

Рюэля-Такенса-Ньюхауса).……………………………………………………….76

3.5. Бифуркации-кризисы в динамических системах, катастрофы и

синергетика……………………………………………………………………......80

3.6. Хаос и турбулентность..……………………………………………………..82


Глава 4. Стохастические и фрактальные шумы в динамических

системах…………………………………………………………………………...83

4.1. Стохастические шумы……………………………………………………….83

4.1.1. Уравнения Ланжевена…………………………………………………………….84

4.1.2. Гауссовы процессы………………………………………………………………...86

4.1.3. Винеровский процесс.……………………………………………………………...86

4.1.4. Белый гауссовский шум...…………………………………………………………87

4.1.5. Пуассоновский процесс…………………………………………………………...89

4.1.6. Дробовой белый шум………………………………………………………………90

4.1.7. Цветной шум: процесс Орнштейна-Уленбека………………………………91

4.1.8. Цветной шум: марковский дихотомический или случайный телеграфный

процесс……………………………………………………………………………………….92

4.1.9. Дифференциальная форма уравнения Чепмена-Колмогорова.……………93

4.1.10. Задача о выходе из ограниченной области...………………………………..94

4.1.11. Перспективы применения моделей шумов.………………………………….95

4.2. Фрактальные шумы...……..……………...…………………………………..65

4.2.1. Самоподобные степенные законы.…………………………………………….96

4.2.2. Фрактальный метод нормированного размаха Херста (R/S-анализ)…..97

4.2.3. Классификация фрактальных шумов……………………………………….....98

4.2.4. Розовый шум……………………………………………………………………….100

4.2.5. Самоподобные тенденции на фондовой бирже (коричневый шум)……103

4.2.6. Черные шумы и разливы Нила…………………………………………………104

4.2.7. Угроза глобального потепления (черный шум)……………………………..105

4.2.8. Дробное интегрирование – современный инструмент математического

анализа……………………………………………………………………………………..107

4.2.9. Оценка вероятности дохода банков…………………………………………..108

4.3. Задачи для самостоятельного решения...………………………………….110


222

Глава 5. Фрактальная размерность и мультифрактальность ………….112

5.1. Фрактальная размерность...………………………………………………...112

5.1.1. Введение в теорию фракталов …………………………………………………112

5.1.2. Общее понятие фрактальной размерности…………………………………113

5.1.3. Основные обобщенные фрактальные размерности и спектр Реньи.117

5.1.4. Основные свойства размерности Хаусдорфа и информационной

размерности………………………………………………………………………………120

5.1.5. Корреляционная размерность и метод Грассбергера-Прокаччиа……..121

5.1.6. Размерность подобия и ее экспериментальное определение……………122

5.1.7. Практическое определение фрактальной размерности для кривой

фазовой траектории и неровной поверхности………………………….………..124

5.1.8. Особенности вычисления поточечной фрактальной размерности для

временных рядов ………………………………………………………………………..127

5.1.9. Дисперсионная размерность. ………………………………………………….129

5.1.10. Размерность по максимумам и способы ее нахождения……………….132

5.1.11. Практическое определение хаотичности работы и наличия странного

аттрактора ……………………………………………………………………………...135

5.1.12. Насколько полезна фрактальная размерность ……………………………137

5.2. Мультифрактальный скейлинг-спектр и показатель массы.………………137

5.2.1. Введение в мультифрактальные меры………………………………………137

5.2.2. Последовательность показателей массы …………………………………138

5.2.3. Функция мультифрактального спектра ……………………………………141

5.2.4. Геометрические свойства мультифрактального скейлинг-спектра…144

5.3. Канторовское множество и чѐртова лестница………………………………….147

5.3.1. «Чѐртова лестница» канторовского множества …………………………147

5.3.2. «Чѐртова лестница» мультипликативного процесса ……………………150

Глава 6. Пример применения фрактальных и мультифрактальных мер

детерминированного хаоса к физическим системам………………………151

6.1. Построение математической модели инвертирующего ИСН……………151

6.1.1. Особенности моделирования импульсных стабилизаторов

напряжения………………………………………………………………………..…….151

6.1.2. Вывод уравнений состояния импульсного стабилизатора напряжения

инвертирующего типа с учетом активных потерь……………………………..152

6.1.3. Построение математической модели работы ИСН-3 в режиме

управления по току дросселя………………………………………………………….156

6.2. Применение фрактальных мер к ИСН-3……………………………………….159

6.2.1. Особенности построения бифуркационные диаграммы ИСН-3 с учетом

активных потерь………………………………………………………………………..159

6.2.2. Спектр Реньи ИСН-3 с учетом активных потерь…………………………159

6.2.3. Эволюция странного аттрактора ИСН-3 с точки зрения размерностей

Реньи……………………………………………………………………………………….164

6.3. Применение мультифрактальных мер к ИСН-3………………………………166


223

6.3.1. Показатель массы для аттрактора ИСН-3……………………………….166

6.3.2. Мультифрактальный сингулярный скейлинг-спектр и показатель

Липшица-Гѐльдера для странных аттракторов ИСН-3……………………….168

6.3.3. Чѐртова лестница странного аттрактора ИСН-3………………………169

6.3.4. Основные результаты применения мультифрактальных мер к

импульсным стабилизаторам напряжения………………………………………..173

6.4. Скейлинг структуры аттракторов импульсного стабилизатора напряжения

инвертирующего типа…………………………………………………………..174

6.4.1. Диссипативные системы и скейлинг…………………………………………174

6.4.2. Параметры модели импульсного стабилизатора напряжения

инвертирующего типа для синтеза аттракторов с геометрическим

самоподобием…………………………………………………………………………….176

6.4.3. Геометрическое самоподобие поверхности сечения……………………..177

6.4.4. Вертикальный скейлинг отображения Пуанкаре для выходного

напряжения инвертирующего импульсного стабилизатора…………………..177

6.4.5. Масштабная инвариантность отображения Пуанкаре для тока

дросселя инвертирующего импульсного стабилизатора………………………...179

6.4.6. Итоги применения фрактальных и мультифрактальных мер к

инвертирующему ИСН…………………………………………………………………181

Глава 7. Реконструкция динамических систем по фрактальным

временным рядам с помощью нейронных сетей…………………………..182

7.1. Реконструкция динамических систем в приближении «черного»

ящика…………………………………………………………………………….182

7.2. Одномерный временной ряд как n -мерная реконструкция аттрактора

динамической системы…………………….……………………………………184

7.3. Методы выбора временного лага…………………………………………...185

7.3.1. Метод автокорреляционной функции ………………………………………186

7.3.2. Метод взаимной информации …………… ……………………………………186

7.3.3. Модифицированный метод взаимной информации ………………………187

7.3.4. Метод, основанный на вычислении спектра мощности…………………187

7.3.5. Метод среднего отклонения ..…………………………………………………188

7.3.6. Применение модификации метода Грассбергера-Прокаччиа к выявлению

временного лага дискретно-нелинейных систем……………………………………188

7.3.7. Применение модифицированного метода ложных ближайших соседей к

выявлению временного лага дискретно-нелинейных систем……………………189

7.3.8. Применение метода нормированного размаха Хѐрста к выявлению

«фазового сдвига» дискретно-нелинейных систем………………………………190

7.3.9. Алгоритм нахождения величины временной задержки для хаотических

сигналов порожденных дискретно-нелинейными системами…………………190

7.4. Построение предсказывающих нейронных сетей динамической системы на

основе ее предварительного фрактального анализа……………………………192

7.4.1. Выбор структуры предсказывающей НС… …………………………………192

7.4.2. Выбор функций активации нейронов ПНС и предварительная обработка


224

данных………………………………………………………………………………………195

7.4.3. Выбор количественных характеристик ПНС………………………………195

7.4.4. Обучение полученных сетей……………………………………………………197

7.4.5. Восстановление аттракторов..………………………………………………197

7.4.6. Полный алгоритм предварительного фрактального анализа временных

рядов………………………………………………………………………………………..202

Глава 8. Применение фрактальных методов детерминированного хаоса к

экономическим и биологическим системам…………………………………203 8.1. Основные методы фрактального анализа…………………………………203

8.1.1. Метод восстановления фазового пространства и теорема

Такенса……………………………………………………………………………………..203

8.1.2. Метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционного

интеграла…………...……………………………………………………………………..204

8.1.3. Некоторые практические аспекты и оценка Экмана-Рюэля…………..206

8.1.4. Вычисление корреляционной размерности и размерности пространства

вложения для ИСН………………………………………………………………………..206

8.1.5. Метод ложных ближайших соседей ………………………………………...209

8.2. Применение методов фрактального анализа к экономическим

системам...................................................................................................................211

8.2.1. Исследуемые отношения Euro/USD………………………………………….211

8.2.2. Сравнение количественных характеристик отношений Euro/USD……211

8.2.3. Качественный анализ различия ежеминутных и ежедневных значений

отношения Euro/USD…………………………………………………………………..214

8.2.4. Применение метода ЛБС для анализа отношения Euro/USD…………..214

8.2.5. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа отношения

Euro/USD..…………………………………………………………………………………215

8.2.6. Итоги применения фрактальных мер к отношению Euro/USD………..215

8.3. Применение фрактальных методов к выявлению глобальных

экономических кризисов ……….…………………………………………..219

8.3.1. Временные экономические зависимости, позволяющие выявить

глобальный кризис……………………………………….………………………………219

8.3.2. Применение метода нормированного размах к анализу возникновения

кризиса……………………………………………………………………………………..221

8.3.3. Применение метода Грассбергера-Прокаччиа для анализа кризиса……223

8.3.4. Оценка точности результатов, полученных методом Грассбергера-

Прокаччиа и оценка Экмана-Рюэля………………………………………………….225

8.3.5. Применение метода ЛБС к ценам на нефть-сырец………………………226

8.3.6. Модификация метода ЛБС применительно к анализу цен на

энергоносители …………………………………………………………………………228

8.3.7. Основные итоги применения фрактальных методов к выявлению

глобальных экономических кризисов………………………………………………...230

8.4. Применение различных фрактальных мер детерминированного хаоса к

анализу электроэнцефалограмм при полисомнографии……………………...230


225

8.4.1. Введение в проблематику современной сомнологии………………………231

8.4.2. Некоторые сведения из клинической электроэнцефалографии………...232

8.4.3. Постановка задачи разработки метода автоматизированного

распознания стадий сна…………………………………………………………………233

8.4.4. Аппроксимационная энтропия для коротких временных рядов………….234

8.4.5. Результаты применения фрактальных методов к анализу ЭЭГ

сигналов……………………………………………………………………………………234

Список литературы……………………………………………………………238


бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и...

Business