: اذ

الرياضياتالرياضياتالرياضياتالرياضيات ::::املادةاملادةاملادةاملادة ثی ا ون اه

:::: أد م&ى ا$ع م! ك

I. م دا دی م,+ءا D :ت. ی- .

f دا دی D) أوf دا Dی + , &"! وح x Dآ# () '&% آ# "!, )

,&( )f x.

):, ا آ,.f.- اا ادی :مل ) 2f x x= −

:أ3# و أ' 2 ا1ول ا.,x 1 5

2

( )f x 6- 1- 2

7

13

II. ت. ی- دوال دی :م

:ت. ی- .f8 ح33د. .xا دی

'ی9 اا 1f33 ; ا:اد ا ا 1 = x ه ا& ( )f xد أي( )f xب, @, و ی. ),&

,& ,-,Af

D" & : f

x D∈B,' ( )f x ∈.

13ل إن:م2 f دا دی Aإذا آ,ن A ءا f

D.

DF. ::f دا دی f .:ا567حت D →

( )x f x→

1 ا Dی9 اا' 1 ' f.

x ا!"D ,=&:( )y f x=

← yرة .f &,اxی ص

.y ی س,&J ا"!xا"! ← آLM دا دی .8 حf33اا '.

ب إ 2" ى ا. )ا ); ;o i j

, O" . A,-, ین .,ا

): ا آ,.,f.- اا :مل )2

2

4 1

xf x

x=

−

حد f

Dی9 اا' 1f

III. ا دی :ا9 ا8 :ت. ی-

.f ء دا دی D.

,- ا. P# اf

Cا f) اا " ا"f (%3أو " 1 )ه );M x y=ى &. : ا

ا.یx9ا:!ل .D ی.1 8 .f &,اx ه صرةyا:ر'ب

" &x D∈و ( )y f x=.

7////درس رقمدرس رقمدرس رقمدرس رقم:א

: اذ

)إذا آ,ن: .ی9 ی"هMا ا ), fM x y C∈ن, x D∈و ( )y f x=.

x إذا آ,ن D∈و ( )y f x=ن, ( ), fM x y C∈.

)ا() )y f x="" ,د دی,ر' 'f

C2 ) ا ); ;o i j

.

) : ا آ,.,f.- اا :مل ) 2f x x=

.fأرس2 ا. P# ا -, اIV. ا : اا ا, دی-ا ا;وج

:اا ا;وج ) أ وx دا دی .8 حf33. :ت. ی-

fD,@Qی' 1 .

3ل إنfن ا.,,ن,RSا J3 : دا زو إذا '

#x f

D,"ی :x−إ ."'f

D.

#x f

D,"ی : ( ) ( )f x f x− =

7:) ,- )ا زوا.Uوی# ا

.f8. ح33 وx دا دی f

C2O" ",ه, 2 ., " ( ); ;o i j

.

ن'fF'ر ا:را" دا زو إذا و 3% إذا آ,ن " ر ' ,ث# ا f

C.

,+ یQ إS,ء) ا.ا دی( دا زو fإذا آ,W: م5ح<f

C fD+

∩ F'ر ا:را ( و &,. ,ث# &,"-

") ا 2ا.ا &,"- :ص#" !# اf

C+,& .

:اا ا, دی ) ب.f338 ح. وx دا دی

fC2O" ",ه, 2 ., " ( ); ;o i j

.

:ت. ی-.f338 ح. وx دا دی

fD 1 ,@Qی'

3ل أنfن ا.,,ن,RSا J3 : دا دی إذا '

#x f

D,"ی :x−إ ."' f

D.

#x f

D,"ی :( ) ( )f x f x− = −

)ا.Uوی# ا -, ا دی (:7

.f8. ح33 و دا دی f

C2O" ",ه, 2 ., " ( ); ;o i j

.

ن'f X3"ا W,0 دا دی إذا و 3% إذا آ"" آ ' ,ث# اf

C.

V. ات دا دی :ت@ : ی-.ت .1

.f1,ل .I دا دی ا

3ل إن اا f ,Xایی )( ',X( !(,"' (1,ل إذا آ,ن, إذا و 3% إذا آ,ن #, I ا1 2

x x≺ن, ( ) ( )1 2f x f x≺

)( ) ( )1 2f x f x(

3ل إن اا f1,ل إذا و 3% إذا آ,ن #, I ث,&. ا1

xو 2

x I,"ی : ( ) ( )1 2f x f x=

:جول ت@ ات دا .2 .f338 ح. وxدا دی

fD,@Qی' 1 .

, fدراس " '8ات اا 1 ی" '1يء اf

Dن @, اا' " . 'ایی أو '",)! )X, أو ث,&.f إ أآ- 1,]ت

ول '8ات اا, و `_ .,^[ ه\ اراس ول و ا@2 , 'ایی )f,Xی" أن) '!,ي(&= ا@f , 2ی . ث,&.fی" أن) أX( )3, و ا@f 2ی" أن '",)!) '",ز(

: E ملfرت دا .3

#x ,x− ."'إ

fDی" أن

fD #ث, .

.0&,"- د

: اذ

:ت. ی- .I. دا دی 1,ل

3ل إن f1,ل .I أو '",)! )I ,X إذا آ,W 'ایی )I ,Xر'- )X, ا

VI. دیFاوال ا G. درا x:اا ax b+ ( )0a ≠

, ی ا f.- اا ادی:1مل & :( ) 2 1f x x= + .fأرس2 ا. P# ا -, ا

.23 ه fاا. P# ا -, : م5ح< ):2مل ) 4f x x=

.و 'ی ول ا.8ات2:اا

x ax ( )0a ≠ aم" A ,33دا ح.

, ی ا f.- اا ادی& :( ) 2f x ax=و ( )P2O" ,. 2 ,- P@, ا' .

:fزوج اا

x −xی", : ∋ ∈:( ) ( )2

f x a x− = )إذن, − ) ( )f x f x− . دا زوf و "+=

:fت@ ات7: W,0إذا آa ] 'ایی )f ,Xاا: [0,+∞ ,X( !(,"' و ] ],0−∞.

W,0إذا آa ] '",)! )f ,Xاا: ≻ [0,+∞ ,X( اییو ' ] ],0−∞.

0a :ا2 0a :ا2 ≺

ا :fا9 ا8

, أن&f ,@P + دا زو ,+ یQ أن .

"" )ث2 . 2 ا )PF'ر ا:را ري &,"- . &,س. ,ل ا. ,ث# ا

P# ا :ت. ی- " ا" 2اx ax ( )0a ≠, .ی ش1

21Sرأس ا ' 2 .ا"X3 أص# ا0a : ح, 0a :ح, ≺

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

−∞ 0 −∞ x

0

f −∞ 0 −∞ x

0

f

آ# "" ی3-# ,د 2ش#

Y aX==0 حa ≠

2( ); ;i jΩ

, ی ش1

ر Ωرأس+ ر ' ,ث+ ه و F'ا:را( )YΩ.

: اذ

a :ااx

x( )0a ≠

aم" A ,33دا ح

f33 , یxاا ادی .8 ا& ): و ا )a

f xx

)و )Hا ,- ) f,. 2 ا. P# ا ); ;o i j

.

'ی9 اا:ا. ی-م 1f ه :] [ ] [,0 0,fD = −∞ +∞∪

f : xزوج ااf

D ,,"یf

x D− ) و∋ ) ( )f x f x− . دا دیf إذن=

:fت@ ات

7: 0aإذا آ,ن [ '",)! )X, آ# ا f,1 ,ن اا [و∞+,0] [,0−∞ .

0aإذا آ,ن [ 'ایی )X, آ# ا f,1 ,ن اا≻ [و∞+,0] [,0−∞ .

0a :ا2 0a :ا2 ≺

ا :fا9 ا8 , أن &f #P [fدا دی ,+ یQ أن " اا, ∞+,0]" 2 أص# Oآي اMي آ\ &,س. ,ل ا. ,ث# ا fث2 .

2 .ا :ت. ی-

" اا"a

xx

( )0a ] آ\≠Mه 0x أص# ا 2 و .3 ,\ ا 3,ر&,ن ه ,Oی 0y و = =.

0a :ح 0a :ا2 ≺

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

) : ا بf دراس و ' P# اا:1مل )2

f xx

=

) : ا بf دراس و ' P# اا:2مل )3

f xx

−=

و ت@ ات اا2:ا9 ا8x ax bx c+ +

): ا آ,.,f.- اا ادی :مل ) 2

2 4 2f x x x= + −

:أ3# و أ' 2 ا1ول ا., .1

+∞ 0 −∞ x

f +∞ 0 −∞ x

f

: اذ

x 2 1 0 -1 -2 -3 -4

( )f x

.fأرس2 ا. P# ا -, ا .2

)ی ش1 , رأس+ fا. P# ا -, ا: م5ح< )1;0S ر\−) و ) : 1D x = −.