جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي 2017 - موقع...
TRANSCRIPT
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١
: تعریف الدالة تسمى دالةصص الى سس مجموعتین غیر خالیتین فإن العالقة من صص ، سس إذا كانت
صص بعنصر واحد فقط من عناصر سس إذا ارتبط كل عنصر من عناصر ) س(د= أو ص صص C سس: و تكتب د
: نعبر عن الدالة بطریقتین صص C سس: د ) بیان الدالة ( بة كمجموعة من االزواج المرت) ١( ) س(د= ص ) :الصور التى تأخذھا الدالة ( بقاعدة ریاضیة تسمى قاعدة الدالة ) ٢(
:المجال و المجال المقابل و المدى : من الشكل المقابل لدالة ما : المجال
اتجیر س بحیث یكـون النـر التى یأخذھا المتغاصمجموعة العنھو
} ٤ ، ٣ ، ٢، ١{ = سس " .عـدد حقیقى " كمیة معرفة )الفترة المقابلة للشكل البیانى على محور السینات( و تكون قیمھ على محور السینات
}٩ ، ٨ ، ٧ ، ٦ ، ٥{ = صصھو مجموعة األعداد التى تأخذھا : المجال المقابل
} ٩ ، ٨ ، ٦{ : المدى
صص فى سسصر مجموعة صور عنا ) العناصر فى ص المرتبطة بعناصر س (
ھو مجموعة العناصر الحقیقیة التى یأخذھا المتغیر ص ونحصل علیھ بیانیا من محور الصادات
][أعلى قیمة ، أسفل قیمة ][
ح ھى دالة كل من مجالھا و مجالھا المقابل مجموعة جزئیة من : الدالة الحقیقیة
الدوال الحقیقیة: الوحدة األولى
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢
اختبار الخط الرأسى ( القة تكون دالة بیانیا الع: ( إذا مثلث عالقة بمجموعة من النقاط فى مستوى احداثى متعامد و قطع الخط الرأسي
عند كل عنصر من عناصر المجال تمثیلیھما البیانى فى نقطة فقط فإن ھذه العالقة تمثل دالة
الة فى س و لماذا ؟ أیا من االشكال اآلتیة یمثل د: مثال
-٢
]١[
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢ س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٢
-٢
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
س ٢ ١ ١-
ص٢ ١
-١
-٣[ ]٢[ ٢- ٢[
]٤[ ]٥[ ]٦[
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣
:الحل ] : ١[ الشكل
یقطع الشكل البیانى فى نقطتین ) ٠ ، ٠( ال یمثل دالة ألن الخط الرأسى المار بالنقطة ] : ٢[ الشكل
یقطع المنحنى فى ) المجال ( تمثل دالة ألن الخط الرأسي عند كل نقطة على محور السینات .دة فقط نقطة واح
.ال یمثل دالة ألن یوجد خط رأسي یقطع المنحنى فى أكثر من نقطة ] : ٣[ الشكل تمثل دالة ] : ٦ ، ٥ ، ٤[ االشكال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : قـواعــــد ھـــامة لتعیین المجال *
.ح = مھما كان درجتھا دالة كثیرة الحدودمجال أى ) ١
: الدالة كثیرة الحدود ھى الدالة التى ال تحتوى على متغیر فى المقام مثل
١+ س + ٢س) = س( ، د٥ س ــ ٢) = س( س ، د٣) = س( ، د٥) = س( د
) = س( ، د٤+ س ٢ ــ ٣س) = س( د
. أصفـــــــار المقــــــــام - ح = الدالة الكسریةمجال ) ٢
الدالة الكسریة ھى الدالة التى یكون مقامھا یحتوى على متغیر
صفر = مجموعة أصفار المقام ھى مجموعة قیم س التى تجعل المقام : ملحوظة
نوجد أصفار المقام ) =س( مثال لمعرفة مجال الدالة د
}٣ ، ــ ٣{ ح ــ ) = س( مجال دB ٣ ±= س B ٩ = ٢ سB ٠ = ٩ ــ ٢بوضع س
:ح فى الحاالت األتیة = مجال الدالة الكسریة : حـــالة خـــــاصة
. المقام دالة ثابتة *
+ ح Эأ ، زوجى ← حیث ن أ + نالمقام على الصورة س *
.حیث الممیز یكون سالبا : جـ + ب س + ٢المقام على الصورة أ س*
) = س(مجال الدالة د: مثال
٩= ج ، ٠= ب ، ١= ا حیث ٠ = ٩ + ٢نضع س
٣س ــ ٢
٢ س ــ ٩ ــ ٢س
٢ س ــ ٩ + ٢س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤
) لبة كمیة سا ( ٠ < ٣٦ــ = ٩ × ١ × ٤ ــ ٢ ) ٠ ( = ا ج ٤ ــ ٢ب= الممیز
Bح ) = س( مجال د
:مجال الدالة الجذریة) ٣
) یقال دالة جذریة إذا كانت قاعدة الدالة تشتمل على الجذر التربیعى (
٠ Xالمجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى البسط : أوال
٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر : إذا كان الجذر فى المقام : ثانیا
: حالة خاصة
كثیرة حدود ) س( ، ھـ + صص gن حیث ")"س"( ھـ ؟ ن) = س(الدالة د
تسمى دلیل الجذر ن ، ح= مجال الدالة : عدد فردى فإن ن عندما :أوال
٠ X) س(مجال الدالة ھو مجموعة قیم س التى تجعل ھـ: عدد زوجى فإن ن عندما : ثانیا
:ون دلیل الجذر فــردیا عندما یك : أوال
ح ) = س ( مجال د ← ) =س ( د مثال
:عندما یكون دلیل الجذر زوجیا : ثانیا
) = س ( د : مثال
[ ، ٥ ) = [س ( مجال د ← ٥ س ← ٠ ٥ ــ س ˙.˙
) = س ( د عین مجال : مثال
:لالح
٠ = ١٢ - س - ٢س بوضع
٠) = ٣+ س )( ٤ -س (
٠ = ٣+ س ٠ = ٤ -س ٣ -= س ٤= س
٣ - ٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥
) ٠ ( مجال الدالة الجذریة كمیة غیر سالبة ˙.˙
] ٣ - ، - ]بآل [ ، ٤) = [ س ( مجال د . ˙.
[٤ ،٣ــ ] -ح =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد اآلتیة : مثال
" ٩"ــ " ٢س ؟ ) = س ( ٢ د ] ٢ [ " ٤"+ " س ؟) = س ( ١ د ] ١ [
) = س ( ٤د ] ٤) = [ س ( ٣د ] ٣ [
" ٣"+ " س ؟ ٣ ) = س ( ٦د ] ٦) = [ س ( ٥د ] ٥ [
:الحل ]١ [A دلیل الجذر زوجى B ٤+ س X ٠ C س X – ٤
B ضض ، ٤ - [ –ح = المجال ]
]٢ [ A دلیل الجذر زوجىB٩ – ٢ س X ٠ C٢ س X ٩ C س X ± ٣
B [ ٣ ، ٣ – ] -ح [ = ضض ، ٣ [ بآل ] ٣ - ، ضض -= ] المجال
١ أ، ٢= س C ٠ ) = ١ –س )( ٢ –س ( B ٠ = ٢+ س ٣ ــ ٢نضع س ] ٣[
B ٢ ، ١ { –ح = المجال {
ح = المجال B فیكون الممیز كمیة سالبة ٠ = ٩ + ٢نضع س ] ٤[
٣ - = ، س ٣= س C ٠ ) = ٣+ س )( ٣ –س ( B ٠ > ٩ – ٢نضع س ] ٥[
A ٠> المجال ھو الفترة ما تحت الجذر B ٣ ، ٣ - [ –ح = المجال [
]٦ [ A دلیل الجذر فردى B ح = المجال
٢ س ــ
٩ + ٢س ٣+ س ٢ ٢+ س ٣ ــ ٢ س
١
" ٩"ــ " ٢ س؟
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦
:ایجاد المجال و المدى للدالة المعرفة بأكثر من قاعدة*
ارسم منحنى الدالة و اذكر مجالھا و مداھا : مثال ) = س(د) ب () = س(د) أ(
: الحل )١ - ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠< عند س ) أ(
)١ ، ٠( دالة ثابتة تمثل شعاع یوازى محور السینات و یبدأ من ٠> عند س
} ٠{ ح ــ = المجال
}١ - ، ١{ = المدى
نرسم جدول لكل قاعدة ) ب(
٠< س
٠ X س
[٢ ، ٢ -[ ح ــ = ح ، المدى = المجال
٠ س
- ١
- ٢
٤ - ٣ - ٢ - )س(د
٠ س
١
٢
٤ ٣ ٢ )س(د
٠< س ١ــ
٠> س ١ ٠ X س ٢+ س
٠< س ٢ –س
٣
-٣ ٢ ١ ١- ٢
١
-١
٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧
) = س(إذا كانت د: مثال
انى للدالة و من الرسم استنتج مجال و مدى الدالة ارسم الشكل البی
: الحل
[ ∞ ، ٢ -= [ مجال الدالة : من الرسم
[ ∞ ، ١-= ] المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢< س Y ٢ - س عندما – ٣: مثال ) = س( إذا كانت د
٥ Y س Y ٢ س عندما
لشكل البیانى للدالة و استنج من الرسم ارسم ا
مجال الدالة و مداھا
: الحل
]٥ ، ١= ] ، المدى ] ٥ ، ٢ -= [ المجال
٢ ١ ٠ ٠ ١- ٢- س ٣ ٢ ١ ١- ٠ ٣ )س(د
٠< س Y ٢ - ١ - ٢س
٠ X س ١+ س
١+ س ١ – ٢ س
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨
ح حیثC ] ٤ ، ٢ -: [ إذا كانت الدالة د : مثال
٠< س Y ٢ - عندما ٣+ س ٢ ) = س ( د
٤ Y س Y ٠ ــ س عندما ١
ارسم الشكل البیانى للدالة د و من الرسم استنج مجال و مدى الدالة
: الحل
- ٢ Y ٠ ٠< س Y س Y ٤
]٤ ، ٢ -= [ المجال
[ ٣ ، ٣ -= [ المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ل ( كان ح محیط مربع طول ضلعھ ل اكتب محیط المربع كدالة فى طول ضلعھ ح إذا: مثال
( ) ح ) ب ) ( ٣( ح ) أ : ( ثم أوجد
:الحل A ل ( ح = (ل × ٤B ح )١٥= × ٤( ) = ، ح ١٢ = ٣ × ٤ ) = ٣
٤ ١ ٠ ٠ ١ - ٢ - س
٣ - ٠ ١ ٣ ١ ١ - ص
٤ ٣ ١ ١- ٢- ٢ -٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣ -٤
١٥ ٤
١٥ ٤
١٥ ٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩
ـــــدوالالعملیات على الـــ
:نالحــظ من ھذا التعریف أن
صفر فى = ما عدا القیم التى تجعل دالة المقام ٢ م بال ١العملیات للدالة الجدیدة یساوى م جمیع .عملیة القسمة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "١ـ "س ـ؟) = س( ، ر٤ ــ ٢س) = س(إذا كانت د ، ر دالتین حقیقیتین حیث د: مثال
( )،( ) ، ) ر . د( ، ) ر –د ( ، ) ر + د : ( مجال كل من الدوال اآلتیة ) أ : ( أوجد
:لكل من الدوال اآلتیة ) إن أمكن ( القیم العددیة ) ب (
)٢ -( )(، ) ٣( )(، ) ٢) (ر . د ( ، ) ٥) (ر + د ( : الحل A ٢ - ، ٢{= ، مجموعة اصفار د [ ∞ ، ١ = [ ٢م= ح ، مجال ر = ١م= مجال د{
} ٠{ = ، مجموعة اصفار ر
"١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س(ر) + س(د) = س) (ر + د ) ( أ (
B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر + د ( مجال ، ∞ ]
"١ـ "س ـ؟ ــ ٤ ــ ٢س) = س(ــ ر) س(د) = س)(د ــ ر (
B ١ [ = [ ∞ ،١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = د ــ ر ( مجال ، ∞ ]
( )
( )
( )
د ر
ر د
د ر
ر د
١م ح
١
٢م
١
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠
"١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س(ر) . س(د) = س) (ر . د (
B ١ [ = [ ∞ ، ١ [ بالح = ٢ مبال ١م) = ر . د ( مجال ، ∞ ]
) = = س ( ) (
) ر ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال
[ ∞ ، ١= ] } ١{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =
) = = س ( ) (
) د ( ــ ص٢ مبال ١م) = س( ) ( مجال
} ٢ - ، ٢{ ــ [ ∞ ، ١ [ بالح =
٢ -= حیث الدالة غیر معرفة عند س } ٢{ ــ [ ∞، ١ [ =
[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ + ٤ ــ ٢س) = س) (ر + د ( ) ب (
A ٥ g ] ١ ، ∞ ] B ) ١٩ = " ١ "– ٥؟ + ٤ ــ ٢)٥) = (٥)(ر + د
[ ∞ ، ١ [ g لكل س "١ـ "س ـ؟ ) ٤ ــ ٢س) = ( س) (ر . د (
A ٢ g ] ١ ، ∞ ] B ) صفر = "١ـ " ـ٢؟ ) ٤ – ٢ ٢) = ( ٢) (ر . د
[ ∞ ، ١ ] gلكل س ) = س ( ) (
A ٣ g [ ١ ، ∞ ] B)( ) ٣ = = (
} ٢{ ــ [ ∞، ١ [ gلكل س ) = س ( ) (
A – ٢ h ] ٢{ ــ [ ∞، ١ { B)( ) -غیر معرفة ) = = ٢
د ر
)س( د )س(ر
٤ ــ ٢ س د "١ـ "س ـ؟
ر
١م ح
١
٢م
١
ر د
)س( ر )س( د
"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س
ر د
١ ١م ح ٢م
٢ - ٢
- ٢ ٢
د ر
٤ ــ ٢ س "١ـ "س ـ؟
د ر
٤ ــ ٢ ٣ "١ـ " ـ٣؟
٥ ٢؟
ر د
"١ـ "س ـ؟ ٤ ــ ٢ س
ر د
"١ـ " ٢-؟) -٤ – ٢)٢
" ٣- ؟ صفر
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١
:مثال توضیحى
س حیث س= ) س(إذا كان ھناك مصنع یقوم بتصدیر جزء من انتاجھ و یمثل بالعالقة د
یمثل عدد الوحدات المنتجة فى العام األول ، و كان عدد الوحدات المصدرة فى العام التالى یعطى
كم یكون عدد . حیث د عدد الوحدات المصدرة فى العام األول ١٥٠٠ + د) = د ( ربالعالقة
:الوحدات المصدرة فى العام الثانى إذا كان انتاج المصنع فى العام األول
وحدة ٨٠٠٠٠) ب( وحدة ٢٠٠٠٠) أ (
:یمكن عمل رسم یوضح االنتاج و التصدیر كالتالى : الحل
Aدالة التصدیر العام الثانى ١٥٠٠+ د ) = د ( رس دالة التصدیر العام االول ، ) = س( د
B ١٥٠٠+ س ) = س ( ر
وحدة٦٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٢٠٠٠٠× ) = ٢٠٠٠٠ × (ر B ٢٠٠٠٠= عند س
وحدة ٦٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى
وحدة٢١٥٠٠ = ١٥٠٠٠ + ٨٠٠٠٠× ) = ٨٠٠٠٠× ( ر B ٨٠٠٠٠= عند س
وحدة ٢١٥٠٠= عدد الوحدات المصدرة فى العام الثانى
بعض حیث نعوض بدالة االتصدیر العام األول فى دالة الخالصة أن ھناك دالتین مرتبطتان ب
) ایجاد دالة داخلیة ثم ایجاد دالة خارجیة ( التصدیر العام الثانى و ھذه فكرة تركیب دالتین
تركیب الــــدوال
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
١ ٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٢
: تعریف
إذا كانت ر، د دالتین وكان مدى الدالة د مجموعة جزئیة من مجال الدالة ر
ھىریدة تتركب من الدالتین د ، الجدع فإنھ یمكن ایجاد دالة التركیب
) ]س(د [ ر) = س) ( د º ر)= ( س( ع
بعد د ر أو تركیب د رو تقرأ
رحیث تطبق د أوال ثم الدالة
)س) ( د º ر( ممكن أن تكون الدالة :ملحوظة
] لیس لھا قیمةأولھا قیمة معینة [ معرفة أو غیر معرفة
. تركیبھما مھم و لذلك ترتیب الدالتین عند
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د ºر ( ، ) س)( ر ºد : ( س أوجد ٢) = س( ، ر٢ س٤) = س(إذا كان د: مثال )س)(
.ذا تالحظ و ما
٢ س١٦ = ٢) س ٢( × ٤) = س ٢( د)] = س(ر[ د ) = س)( ر ºد : ( الحل
د ºر ( ٢ س٨) = ٢ س٤( × ٢) = ٢ س٤( ر) ] = س(د[ ر = )س)(
د ºر ( {) س)( ر ºد : ( یالحظ أن ) تركیب الدوال لیس ابدالى ( )س)(
دºر ( الیجاد : ملحوظة نعوض بالدالة د بدال من المتغیر س فى الدالة ر)س)(
. نوجد الدالة د أوال ثم الدالة ر
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ٣) = س( ، ر٦ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال
٤٢) = س) ( ر ºد( حدد قیم س التى تجعل : ثانیا ) ٣) ( ر ºد ( أوجد : أوال
مدى د رمجال
)]س(د[ر )س(د س
مجال د
)]س(د[ ر
مدى ر
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٣
:الحل ٦+ ٢ س٩ = ٦ + ٢) س٣) = ( س٣(د) ] = س(ر[ د ) = س) ( ر ºد : ( أوال
B ) دº ٨٧ = ٦ + ٢)٣ (٩) = ٣) ( ر
٨٧ = ٦ + ٢)٩) ] = (٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد ( B ٩ = ٣ × ٣) = ٣( رA : حل آخر ٩ بالقسمة ٣٦ = ٢ س٩ B ٤٢ = ٦+ ٢ س٩ B ٤٢) = س) ( ر ºد ( A: ثانیا B٤ = ٢ س B ٢ ±= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ "٣ "س ــ؟) = س( ، ر١ + ٢س) = س(إذا كان د: مثال
)٣) ( ر ºد ( فى أبسط صورة محددا المجال ثم أوجد ) س)( ر ºد : ( أوجد : الحل
١ + ٢ )"٣ "س ــ؟ ) = ( "٣ "س ــ؟( د ) ] = س(ر[ د ) = س)( رºد ( ٢ –س = ١ + ٣ –س =
[ ∞ ، ٣= [ } ح g ، س ٣ Xس : س { ) = س)( رºد ( مجال
١ = ٢ – ٣) = ٣) ( ر ºد (
١ = ١ + ٢ )٠ ) = ( ٠( د ) = "٣ " ــ٣؟( د)] = ٣(ر[ د ) = ٣) ( ر ºد : ( حل آخر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
"٣ س؟) = س(إذا كان ع: سؤال للتفكیر كون فأوجد الدالتین د ، ر بحیث ی"٤ "–"
) س)( ر ºد ) = ( س( ع
)ھناك أكثر من حل لھذا السؤال : ( الحل A٣ " ــ")١"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟) = س( ع " B س(ع تحقق "٣ "–" س ؟ ) = س( ، د١ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (
" ٢ " ــ")٢"ــ " ٣س( ؟ = "٤ "–""٣ س؟= )س( عA: حل آخر B س(ع تحقق "١ "–" س ؟ ) = س( ، د٢ ــ ٣س = )س(ر ) = ( دº ر )(س (
"٣ س؟) = س( عA: حل آخر "–" ٤" Bس(عتحقق س؟) = س( ، د٤ ــ ٣س) = س( ر ) = ( دº ر )(س(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٤
:ایا من العالقات اآلتیة ال تمثل دالة ] ١[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: جمیع العالقات اآلتیة تكون فیھا ص دالة فى ما عدا العالقة ] ٢[ حا س= ص ) ٤ (٢ – ٢ص= س ) ٣ (٤ ــ ٢س= ص ) ٢ (٣ س ــ ٢= ص ) ١ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: عین مجال كل من الدوال الحقیقیة المعرفة بالقواعد االتیة ] ٣[ "٣ــ " س ٢؟) = س(د) ٣ (٥ــ ) = س(د) ٢( س ٢ ــ ٢س) = س(د) ١(
) = س(د) ٦ ("" ٢س" " ــ٤ ؟) = س(د) ٥) = (س(د) ٤(
)١( تمارین
٩ - ٢س
٣ –س
٢+ س ٣
"٢ " +" س؟
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٥
٢< عندما س ٢ ــ
٢ X ـ س عندما س ٤
) = س(د) ٨) = (س(د) ٧( " ٦" -" س" " +٢" س؟ ٣) = س(د) ١٠) = (س(د) ٩(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثل الدوال االتیة بیانیا و عین مداھا ] ٤[
) = س( ح ، دC ] ٥ ، ١ -: [ إذا كانت د )١(
) ٥( ، د)٤(، د) ٣(، د) ٢(، د) ١(، د) ٠(، د) ١-( فأوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) = س(إذا كانت د) ٢ (
) ٤ -( ، د ) ١ -( ، د) ٠(، د) ١(، د) ٤(، د) ٣(، د) ٢( فاوجد كال من د . ثم ارسم الشكل البیانى للدالة و استنتج من الرسم مداھا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ح حیث C ] ٣ ، ٣ -: [ إذا كانت د ) ٣ (
) = س ( د
ارسم الشكل البیانى للدالة و من الرسم استنج مدى ھذه الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١ – س ٣) = س(١ ح حیث دCح : ١إذا كانت د) ٤(
٤+ س ٢) = س(٢ ح حیث دC ] ٣ ، ٢ - : [ ٢ د
.ل دالة مبیا مجال ك) س ) (٢ ــ د١د( ، ) س ) (٢د + ١د: ( أوجد
٢ س ــ
٦+ س ٥ ــ ٢ س
"٢ "س ــ؟ ١ ــ ٢ س
٢< س Y ١- س عندما -٤
٥ Y س Y ٢ س عندما
٢ X س عندما س ٢
٢< عندما س ٢+ س
٠< س Y ٣ - عندما ١ + ٢ س
٣ Y س Y ٠ عندما ٢+ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٦
س ٢ + ٢س) = س (٢، د ] ٤ ، ٣ - = [ ١ و مجال د٢+ س ) = س(١د: إذا كان ) ٥(
:أوجد ] ٣ ، ١ - = [ ٢ و مجال د
مبیا مجال كل دالة ) س( )(، ) س( )(، ) س )(٢ ــ د١د( ، ) س )(٢د + ١د (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد ٢س) = س( ، ق٥ – ٢س) = س( ، ر١+ س ٣) = س(د: إذا كان ) ٦(
()١)(ق ºر ( )جـ( )س)(د ºر ) ( ب) (٢) ( رºد ) ( أ ( ( )د )٢-)(د ºق
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد ٣+ س ) = س(، ر) = س(د: إذا كان ) ٧(
. و حدد مجال كل منھما ) س)( د ºر ( ، ) س)( رºد (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
"٢ "س ــ؟) = س( ، ر٣ – ٢س) = س(إذا كان د) ٨( )٣) ( ر ºد ( بسط صورة محددا المجال ثم أوجد فى أ) س)( ر ºد : ( أوجد
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١د ٢د
٢د ١د
١ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٧
: التماثل فى الدوال ] ١[
أن درسنا التماثل حول مستقیم و نقطة األصل حیث یمكن طى الشكل على لقد سبق
.لینطبق نصفا المنحنى تماما ) أو نقطة األصل ( المستقیم
: التماثل حول محور السینات )١(
: فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) ص -س ، ( النقطة
) ص س ، ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة علیھ ایضا باالنعكاس حول محور السینات
: التماثل حول محور الصادات )٢(
:فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) س ، ص -( النقطة
)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة علیھ أیضا باالنعكاس حول محور الصادات
) ٠ ، ١( صورة النقطة ) ٠ ، ١ -( النقطة : مثال
باالنعكاس حول محور الصادات
بعض خواص الدوال
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٨
: التماثل حول نقطة األصل )٣(
:فى الشكل المقابل
الواقعة على الشكل البیانى) ص - س ، -( النقطة
)س ، ص ( لمنحنى الدالة ھى صورة النقطة
الواقعة على نفس المنحنى أیضا باالنعكاس
حول نقطة األصل
: فى الشكل المقابل
المنحنى متماثل حول نقطة األصل
)١ - ، ١ -( صورة النقطة ) ١ ، ١( مثال النقطة
باالنعكاس فى نقطة األصل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ]نوع الدوال [ :الدوال الزوجیة و الفردیة ] ٢[
: الدالة الزوجیة: أوال
تكون زوجیة ص ←س : الدالة د : جربيا
)س ( د ) = س -( د : إذا كانت
س -، س g الرمز [ . المجالیقال لكل [
.تكون الدالة زوجیة إذا كان الشكل البیانى لھا متماثال حول الصادات : بيانيا
ص ، س ( النقطة فإذا كانت (g منحنى الدالة فإن النقطة )- ص ، س (g منحنى الدالة .
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٩
: الدالة الفردیة: ثانیا
ص تكون فردیة←س : الدالة د : جربيا
. المجال g س -، س ) س ( د -) = س -( د : إذا كانت
. كان الشكل البیانى لھا متماثال حول نقطة األصل تكون الدالة فردیة إذا: بيانيا
تقع أیضا ) ص -، س -( تقع على منحنى الدالة فإن النقطة ) ص ، س ( فإذا كانت النقطة
.على منحنى الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: خطوات بحث نوع الدالة جبریا *
فى الدالة االصلیة ) س -( بــ ) س ( و ذلك یتم باستبدال كل ) س -( نوجد د) ١
.نتعامل مع األقواس و نفكھا ) ٢
.ب ما سبق نقارن بین الدالة الناتجة و الدالة األصلیة و نحكم على نوع الدالة حس) ٣
: مالحظات ھامة عند بحث نوع الدالة جبریا*
نفس العدد الفردى ــ س = عدد فردى ) س -( ، نفس العدد الزوجى س = عدد زوجى ) س -) ( ١
.تعامل معاملة الربع الرابع فى إشارة الدوال المثلثیة ) س -( الزاویة السالبة )٢
حتا س ) = س -( ــ طا س ، حتا ) = س -( س ، طا ــ حا) = س -( حا : مثال
٠) = س -( د ) + س ( د ) ٣
مجال الدالة h س -كثیر من الدوال لیست زوجیة و لیس فردیة إذا كان س ، ) ٤
) س-( دون ایجاد د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
باستخدام البرامج الرسومیة مثل الدوال اآلتیة و ابحث أى من الدوال زوجیة أو فردیة أو : مثال . غیر ذلك ثم تحقق من اجابتك جبریا
س + ٣س) = س(د) ٢( س ٤ – ٢س) = س(د) ١ (
س حا س) = س(د) ٣ (
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٠
: الحل س٤ – ٢س) = س(د: نكون الجدول ) ١(
الشكل البیانى لیس متماثال حول محور الصادات
و لیس متماثال حول نقطة األصل ) س -( × ٤ – ٢) س -) = ( س -( د
) س ( ــ د{ س ٤ + ٢س = B الدالة ال زوجیة و ال فردیة س + ٣س) = س(د) ٢(
الشكل البیانى متماثل حول نقطة األصل ) س - + ( ٣) س -) = ( س -( ، د
)س + ٣س ( -= س – ٣ س- = ) س (ــ د =
B الدالة فردیة
س
- ١
٠
١
٢
٣
٣ - ٤ - ٣ - ٠ ٥ )س(د
س
- ٢
- ١
٠
١
٢
١٠ ٢ ٠ ٢ - ١٠- )س(د
سس
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢١
س حا س) = س(د) ٣(
الشكل البیانى متماثال حول محور الصادات
Aس(د= س حا س ) = س -( س حا -) = س -( د (
B الدالة زوجیة .
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مثل بیانیا الدالة د حیث: مثال
) =س( د
. ثم بین ھل الدالة زوجیة أم فردیة أم غیر ذلك و تحقق من ذلك جبریا
٢ -< س ٢ – Xس : الحل
الشكل البیانى متماثال حول محور السینات Aس - ( د = (
=
) س( د- {
B ال فردیة الدالة لیست زوجیة و
٣ - ١ - ٢ - ٠ ١ - ٢ - س
١ ١ - ٠ ٢ ١ ٠ ص
٢ - X سC ٢+ س
٢ -< سC ٢ــ س ــ
٢ - X س - C ٢+ س -
٢ -< س - C ٢ س ــ
٢ Y س - C ٢+ س -
٢ - > س C ٢ س ــ
- ٢ سس
صص
١
٢
- ٣ - ١ - ١ ٠
٣
١
-٣
- ٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٢
:الدالة األحادیة ] ٣*[
:أثبت أن كال من الدالتین د ، ر دالة أحادیة : مثال
) = س(ر) ٢ (٣ –س ) = س(د) ١ (
٣ –ب ) = ب ( ، د ٣ – ا) =ا ( ح ، دg ، ب ا إذا كان ) ١: (الحل
من الطرفین ) ٣ -( بحذف ٣ –ب = ٣ – ا B ) ب ( د) = ا ( بوضع د
B ب = ا B د دالة أحادیة
) = ب (ر، ) = ا (ر، } ٥ { - ح g ، ب ا إذا كان ) ٢ (
بالضرب التبادلى نجد = B) ب ( ر ) = ا( ربوضع
) ٣ – ب ٢ ( )٥ – ا ) = (٥ –ب ) ( ٣ – ا ٢ (
١٥ + ا ٣ – ب ١٠ – ب ا ٢ = ١٥ + ا١٠ – ب ٣ – ب ا ٢
ا ٣ – ا ١٠= ب ٣ – ب ١٠
B ا ٧= ب ٧ B ب = ا B دالة أحادیة ر
تسمى دالة أحادیة صص C سس: الدالة د ب = افإن ) ب(د ) = ا( ، دسس g، ب ا إذا كان لكل
) ب( د{ ) ا( ب فإن د{ اأو لكل
و یتحقق من ذلك بیانیا بالخط األفقى الذى ال یمر بأكثر من نقطة واحدة من بیان الدالة
٣ – س ٢
٥ – س
٣ – ا ٢
٥ – ا
٣ – ب ٢
٥ – ب ٣ – ا ٢ ٥ – ا
٣ – ب ٢ ٥ – ب
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٣
:اختبار الخط األفقى*
) الموازي لمحور السینات ( فقىاألخط الإذا قطع دالة احادیة صص C سس: تكون الدالة د . واحدة نقطة عند كل عنصر من عناصر مدي الدالة یقطع منحنى الدالة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : بین أن كل من الدالتین لیست أحادیة : مثال
٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (٣ + ٢س) = س(د) ١ ( :الحل
٣ + ٢س) = س(د )١( : نكون الجدول اآلتى
A ٤ = ٣ + ٢ ١ ) = ١( د
٤ = ٣ + ٢ )١- ) = ( ١ -( ، د
B١ -( د ) = ١( د (
A - ١ { ١ B د لیست أحادیة .
١ ، ١ –ظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ینا٤= ونالحظ أن الخط األفقى عند ص
٦+ س ٥ – ٢س) = س(ر) ٢ (
A ٢ = ٦ + ١ × ٥ – ٢ ١ ) = ١( ر ٢ = ٦ + ٤ × ٥ – ٢ ٤ ) = ٤( ر ،
B ٤( ر ) = ١( ر ( A ٤ { ١
B دالة لیست أحادیة ر
٤ ، ١ یناظر قیمتین غیر متساویتین للمتغیر س ھما ٢= و نالحظ أن الخط األفقى عندما ص
٣- س - ٢ - ١ ٢ ١ ٠
٧ ٤ ٣ ٤ ٧ ١٢ )س(د
٤
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
٤٣
- ١ ١
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٤
)اطـــــــــراد الــدالـــــــة ( ] ٤[
تزایدیة تناقصیة ثابتة ]ب ، ا[الة أنھا تزایدیة فى الفترة یقال للد ) الدالة التزایدیة ( - ١
:یتحقق الشرط اآلتى ]ب ، ا [g ٢س ، ١ إذا كان لكل س ) ٢س ( د > ) ١س ( د ٢س > ١ إذا كان س
تكون تزایدیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة:
. بإزدیاد قیمة س قیمة الدالة تتزاید
تكون تزایدیة إذا كان المماس لمنحنى) س ( د : وبطریقة أخرى
.الدالة یصنع زاویة حادة مع االتجاه الموجب لمحور السینات
]ب، ا [ یقال للدالة أنھا تناقصیة فى الفترة ) الدالة التناقصیة ( -٢
]ب، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س : یتحقق الشرط اآلتى
) ٢س ( د < ) ١س ( د ٢س > ١إذا كان س
قیمة الدالة تتناقص بإزدیاد قیمة س :تكون تناقصیة إذا كانت ) س ( د : وبصفة عامــــة .
تكون تناقصیة إذا كان المماس) س ( د : وبطریقة أخرى
رجة مع االتجاه الموجب یصنع زاویة منف لمنحنى الدالة
.لمحور السینات
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٥
]ب ، ا[ یقال للدالة أنھا ثابتھ فى الفترة ) الدالة الثابتھ ( -٣
]ب ، ا [ g ٢س ، ١ إذا كان لكل س
ا ) = ٢س ( د ) = ١س ( د ٢س > ١إذا كان س : یتحقق الشرط اآلتى تكون ثابتة إذا كانت قیمة الدالة ثابتة مھما كانت قیمة س ) س ( د : وبصفة عامــــة.
:الخالصة
المجال و فترات االطراد تقرأ على محور السینات أما المدى یقرأ على محور الصادات : أنتذكر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: ابحث اطراد كال من الدوال االتیة مع ذكر المدى : مثال
) ٣(الشكل ) ٢(الشكل ) ١( الشكل
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢ -٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
-٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ١- ٢
٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٦
:الحل ] ٢ ، ٠= [ مدى ال) : ١(فى الشكل
] ٥ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى ] ٠ ، ٢ -[ الدالة متزایدة فى : االطراد [ ∞ ، ٢ -= [ المدى ) : ٢(فى الشكل
] ١ ، ∞ -] ، متناقصة فى [ ∞ ، ١[ متزایدة فى : االطراد ] ٣ ، ∞ –= ] المدى ) : ٣(فى الشكل
] ٣ ، ٠[ ، ثابتة فى [ ∞ ، ٣[ ، متناقصة فى ] ٠ ، ∞ -] متزایدة فى الدالة: االطراد
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) جبریا . ( ابحث نوع الدوال اآلتیة من حیث زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ١[ ) = س(د] ٣[ س ؟ ٤) = س(د] ٢ [٢ س– ٢) = س(د] ١ [ حتا س + ٣س) = س(د] ٥) = [س(د] ٤ [ )=س(د] ٧ ["٦"+ " ٢ س؟) = س(د] ٦ [ س حتا س) = س(د] ٨ [
تمارین على بعض خواص الدوال
٠> س C ٣ س ــ
٠< سC ٣ــ س ــ
س٣ حا ٣ س
٤س + ١
٠ X س C ١س ــ
٠< سC س ٧
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٧
بب ؟حدد الدوال األحادیة المعرفة كما یلى مع ذكر الس] ٢[
٣ – س – ٢ س٢) = س(د) ٢ (١+ س ٣) = س(د) ١ (
) = س(د) ٤ (١+ س ٢ + ٤س) = س(د) ٣ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد مدى كل دالة وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ] ٣[
١+ س ٢
١ – س
٣
-٣ ٢ ١ ١- ٢
١
-١
٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٣ ٢ ١
-١ -٢
-٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢
]٢[ ] ١ [
]٤[ ] ٣ [
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٨
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ارسم كل من الدوال المعرفة كما یلى ثم بین أى منھا زوجیة و أى منھا فردیة و أیھا غیر ] ٤[
. ذلك و تحقق من ذلك جبریا
=) س(د) ب ( ) = س(د) أ ( ) = س(د) د ( ) = س(د) جـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٥ [ ]٦[
]٥[ ] ٦ [
٠> عندما س ٢
٠< سعندما ٢ -
٠ X س عندما س -
٠< سعندما س
٠ X عندما س ١ – س
٠< سعندما س ٧ قاعدة ( نون الجیب قا
)الجیب
٠ X عندما س ١+ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٢٩
:الدالة كثیرة الحدود : الحدود التى قاعدتھا على الصورة سبق أن درست الدالة كثیرة
ن س نا + ٠٠٠٠ + ٣ س٣ا + ٢س٢ا+ س ١ا+ ٠ا) = س( د ٠ { ن ا، ح g ن ا، ٠٠٠٠ ، ٢ ا، ١ ا، ٠ا: حیث
و لذلك تسمى ھذه الدوال ) مالم یذكر خالف ذلك ( ح وعلمنا أن المجال و المجال المقابل ھو لدرجة ن ، و درجة كثیرة الحدود ھى أعلى قوة یأخذھا المتغیر بدوال كثیرة الحدود من ا
المستقل س
: مالحظات ھامة
.فإن د تسمى دالة كثیرة الحدود الثابتة ٠ {ا ، ا ) = س(إذا كان د) ١
دوال كثیرة الحدود من الدرجة األولى تسمى دواال خطیة ، و من الدرجة الثانیة تسمى دواال) ٢ .عیة ، ومن الدرجة الثالثة تسمى دواال تكعیبیة تربی
.عند جمع أو طرح دوال قوى مختلفة و ثوابت ، نحصل على دالة كثیرة الحدود ) ٣
.أصفار الدالة كثیرة الحدود ھى االحداثیات السینیة لنقط تقاطع منحنیھا مع محور السینات) ٤
لدرجة نفسھا و كانت معامالت قوى س تتساوى دالتا كثیرتا الحدود د ، ر إذا كان لھما ا) ٥ . المتناظرة فیھما متساویة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ )٥+ س ا = ( )س(إذا كان د ، ر كثیرتا حدود حیث د: مثال
، جـا أوجد قیمتى ) س(ر) = س( ، و كان د٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩) = س( ، ر : الحل
٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا = ٢ )٥+ س ا ) = ( س( د Aس(ر) = س( د (B ٤جـ ــ + س ٣٠ + ٢ س٩ = ٢٥+ س ا ١٠+ س ٢ا Bة متساویة معامالت قوى س المتناظر.
٣= ا B ٣٠= ا ١٠: و بمقارنة معامل س نجد ٢٩= جـ B ٢٥ = ٤ -جـ : ، مقارنة الحد المطلق
التمثیل البیانى للدوال و التحویالت الھندسیة
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٠
*رسم منحنیات الدوال *
: أوال رسم منحنیات دالة كثیرة الحدود
* حgكل س ثابت لا حیث ا ) = س(الصورة العامة للدالة الثابتة ھى د و تمثل بیانیا بمستقیم یوازى محور السینات
) ا ، ٠( و یقطع محور الصادات فى النقطة
:كما فى الشكل الموضح ، الدالة زوجیة } ا { = ح ، مداھا = مجالھا
و ھى الدالة الوحیدة التى مداھا نقطة أو مجموعة من النقاط
یم یكون أعلى محور السینات موجبة فإن المستقا إذا كانت : ملحوظة سالبة فإن المستقیم یكون أسفل محور السیناتا ، و إذا كانت
ومن الرسم ٣) = س(ارسم الدالة د حیث د: مثال
واالطراد والنوع عین المدى
: الحل } ٣{ = المدى
ثابتة على مجالھا دات زوجیة لتماثلھا حول محور الصا
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠ {ا ، حح gب لكل س + س ا ) = س(الصورة العامة للدالة الخطیة ھى د و یقطع محور ) ، ب ٠( ، ویقطع محور الصادات فى النقطة ا = یلھ و تمثل بخط مستقیم م
، ب الجزء المقطوع من محور الصادات ) ٠، ( السینات فى النقطة
الدالة الثابتة: أوال
صص
سس
)ا ، ٠( ا ) = س(د
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
لدالة الخطیة ا( دالة الدرجة األولى أو : ثانیا (
ب- ا
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣١
ح = ح ، مداھا = مجالھا :اطرادھا
)موجبة ( ٠> ا الدالة تزایدیة عندما متزایدة ٢ – س ٣ = )س(الدالة د: مثال
)سالبة ( ٠< ا الدالة تناقصیة عندما س متناقصة ٣ – ٢) = س(الدالة د: مثال
:نوعھا
٠= الدالة لیست زوجیة و لیست فردیة بصفة عامة و لكنھا فردیة عندما ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال ) =س( ارسم الدالة د
. و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا
: الحل
] ٢ ، ٠= [ ، المدى ] ٤ ، ٤ -= [ المجال
] ٢ ، ٢ –] ، ثابتة فى ] ٢ - ، ٤ -[ ة فى الدالة متزاید
] ٤ ، ٢] ، تناقصیة فى
الدالة زوجیة النھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال ) =س( ارسم المنحنى للدالة د
و من الرسم استنتج مدى الدالة و اطرادھا و نوعھا
) ، ب ٠(
ب- )٠، ( ا
سص
سس
]٢ - ، ٤ - [ g ، س ٤+ س ]٢ ، ٢ – ] g ، س ٢ ] ٢ ، ٠ [ g س ، س – ٤
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣- ٤
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٠ X ، س ٢+ س
٠< ، س ٢ س ــ
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٢
: الحل ٠< س ٠ X س
١- ٠ س ١ ٠ س ٣ ٢ ص
٣ - ٢ - ص
ح = مجال الدالة
[∞ ، ٢ [ بآل[ ٢ - ، ∞ -= ] مدى الدالة
[ ٢ ، ٢ -[ أو ح ــ
الدالة تزایدیة على مجالھا
الدالة لیست فردیة و لیست زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( *
"٢ س؟= | س | . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) المقیاس العــدد ( *
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٢٥ ؟= | ٥ -| : مثال
) خواص دالة المقیاس : ( لة المقیاسرسم دا*
١ ± = ك، ب+ | ا -س | ك) = س(د: الصورة العامة ھى
) ، ب ا( ھى نقطة رأس المنحنى ) ، ب ا( تمثل بیانیا بشعاعین من النقطة
ا= االزاحة الصادیة ، معادلة محور التماثل ھو س = االزاحة السینیة ، ب = ا
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)القیمة المطلقة ( دالــة المقـیاس : ثالثا
١ ٢
١ ٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٣
] ، ب ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞ب ، = [ مدى الدالة ]ا ، ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ ، ا[ الدالة تزایدیة فى [∞ ، ا[ ى الدالة تناقصیة ف ] ا ، ∞ -] الدالة تناقصیة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
:الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال
)، ب ا (
) ، ب ا(
سالبة ( ٠< ك (
)موجبة ( ٠> ك
تناقصیة تزایدیة
تزایدیة
تناقصیة
:الحل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٤
و لكن بازاحة ثالث وحدات فى االتجاة الموجب | س|منحنى ھذه الدالة نفس منحنى :حل آخر ٠= ، و االزاحة الصادیة ٣= االزاحة السینیة . لمحور السینات
. ثم نكمـــــل الحل كما سبق : ملحوظة
صفر المقیاس = االزاحة على محور السینات )العدد المضاف الى المقیاس( العدد خارج المقیاس = االزاحة على الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى| س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
)٠ ، ٠( ى رأس المنحن المجال ح
]٠ ، -= ]المدى [٠، -]د متزایدة فى
[ ، ٠[د متناقصة فى د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
تمثل بیانیا شعاعین بدایتھما نقطة األصل فى الربع الثالث و الرابع و ینصفان الزاویة بین المحورین
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ التحویالت الھندسیة لدالة المقیاس
:)فى اتجاه محور الصادات ( االزاحة الرأسیة * لمدى ابحث اطرادھا وبین مع ذكر المجال وا٣+ | س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
′س )٠،٠ (
′ص
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٢ ١
-١ -٢
:الحل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٥
٣= ، االزاحة الصادیة ٠= االزاحة السینیة : حل آخر B تسمى نقطة الرأس للمنحنى نكمل الحل بنفس الحل ) ٣ ، ٠( مبدا الشعاعین
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ابحث اطرادھا وبین ثم مع ذكر المجال والمدى٢-| س | ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
:نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
)٢ - ، ٠( نقطة الرأس المجال ح
[ ، ٢-= [المدى [٠، -]د متناقصة فى [ ، ٠[د متزایدة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
.مع ذكر مجال و مدى الدالة | س | ــ ٢ ) =س(ارسم منحنى الدالة د :مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
المجال ح ]٢ ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ،٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ والمدى مع ذكر المجال٢ -| س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
المجال ح ]٢- ، -= ]المدى
[٠، -]د متزایدة فى [ ، ٠[د متناقصة فى
د زوجیة ألنھا متماثلة حول محور الصادات
)٢- ،٠( ′س س
′ص
ص
)٠ ،٢-( )٠ ،٢(
)٠ ، ٢(
′ص
′س س
ص
)٢ ، ٠( )-٠ ، ٢(
)٢- ،٠( ′س
′ص
ص
س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٦
):فى اتجاه محور السینات ( االزاحة األفقیة *
مع ذكر المجال والمدى | ٢ –س | ) =س(منحنى الدالة دارسم : مثال :ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
)الحل( )٠ ، ٢( راس المنحنى B ٠= ، الصادیة ٢= االزاحة السینیة
المجال ح [ ،٠= [المدى
[٢، -]د متناقصة فى [ ، ٢[ة فى د متزاید
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :بحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ا
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( ، راس المنحنى ٠= ، الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح [ ، ٠= [المدى
[٢-، -]د متناقصة فى [ ، ٢-[د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مع ذكر المجال والمدى| ٢ –س | ــ ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة
)الحل( ) ٠ ، ٢( نقطة رأس المنحنى
]٠ ، -= ]المدى ، المجال ح [ ، ٢[د متناقصة فى ، [٢، -]د متزایدة فى
د الزوجیة والفردیة
)٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)-٠ ، ٢( ′س س
ص
′ص
)٢ ، ٠(
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)٠ ، ٢(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٧
مع ذكر المجال والمدى | ٢+ س | -) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من
)الحل( ) ٠ ، ٢ -( نقطة راس المنحنى
المجال ح ]٠ ، -= ]المدى
[٢-، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :)فى اتجاھى محورى االحداثیات ( االزاحة األفقیة و الرأسیة *
مع ذكر المجال والمدى٣ + | ٢+ س | - ) =س( ارسم منحنى الدالة د: مثال :و فردیة أو غیر ذلك ابحث اطرادھا وبین نوعھا من حیث كونھا زوجیة أ
)الحل( ٣= ، االزاحة الصادیة ٢ -= االزاحة السینیة
المجال ح ]٣ ، -= ]المدى
[٢ - ، -]د متزایدة فى [ ، ٢-[د متناقصة فى
د الزوجیة والفردیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال :الحل
)٢- ،٠(
س ′س
ص
′ص
)-٠ ، ٢(
)١ ،٠( س ′س
ص
′ص
)-٣ ، ٢(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٨
انعكاس دالة المقیاس:
| س | ــ ) = س( منحنى الدالة ر حیث ر
) س( ھو انعكاس لمنحنى الدالة د
على محور السینات|س | ) = س( حیث د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
| ٣+ س | - ٢) = س(ع) ب ( ٢ - | ١ –س | ــ ) = س(ر) أ (
:الحل )أ( ) ب(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٣٩
٠ {ا ، ج + ٢) س ــ ب ( ا ) = س(دالصورة العامة ھى : إذا كانت تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین ألعلى أو ألسفل
) ب ، جـ = ( و تكون نقطة الرأس المنحنى ب = ، معادلة خط التماثل ھى س
ب ) = االنتقال فى اتجاه محور السینات( االزاحة السینیة جـ ) = االنتقال فى اتجاه محور الصادات ( ، االزاحة الصادیة
)سالبة ( ٠< ا : إذا كان ) موجبة ( ٠> ا : إذا كان ] ، جـ ∞ -= ] مدى الدالة [ ∞جـ ، = [ مدى الدالة
] ، ب ∞ -] الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ الدالة تزایدیة فى [ ∞ب ، [ فى الدالة تناقصیة ] ، ب ∞ -] الدالة تناقصیة فى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
الدالة التربیعیة
)ب ، جـ (
)ب ، جـ ( تناقصیة تزایدیة
تزایدیة تناقصیة
قیمة صغرى ج =
٠> ا
٠< ا
قیمة عظمى ج =
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٠
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات
) ج ب ، ( نقطة رأس المنحنى ھى نحدد ج+ ٢) ب-س (ا) = س(لرسم د .١ الدالة التربیعیة و دالة المقیاس لھما نقطة رأس للمنحنى .٢
فى محور السینات) س(ــ د) = س( ھو انعكاس للمنحنى د٢س) = س(المنحنى د .٣
:قبل رسمھا مثال ) القیاسیة ( یجب وضع الدالة فى صورتھا العامة .٤ ٢ -٢)٣ +س = (٩-٧ )+٩+س ٦ +٢س = (٧+س ٦ +٢س ) = س(د ) ٥ - س ٤+ ٢س (- = ٥ +س ٤-٢ س-) = س(د
٩+٢)٢+س (-= }٩ – ٢)٢+س( {- = } ٤- ٥ – )٤+س٤ + ٢س ( {-=
فى معادلة المنحنى٠=طع مع محور الصادات نضع س إلیجاد نقط التقا .٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ إزاحة أفقیة ( سسإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور: (
: لتمثیل الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د : مثال
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢ (٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١ (
:الحل
٢ )٢ –س ) = ( س(ر) ١( بإزاحة وحدتین فى االتجاه ٢س) = س(د ھو منحنى
. الموجب لمحور السینات
سص
)٠ ، ٢ (
)٤ ، ٠ س )
س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤١
٢ )٣+ س ( ــ ) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحتھ بثالث وحدات فى االتجاه السالب لمحور السینات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) :إزاحة رأسیة ( صصإزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محور * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢ (٢ + ٢س) = س(ر) ١ (
. و أوجد مدى الدالة و من الرسم عین نقطة رأس المنحنى
:الحل ٢ + ٢س) = س(ر) ١(
بازاحة وحدتین فى ٢س) = س( ھو منحنى د
االتجاه الموجب لمحور الصادات
) ٢ ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى
[∞ ، ٢= [ ، المدى
سص
سس )- ٠ ، ٣(
)٩ ، ٠(
)٢ ، ٠(
صص
صس
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٢
١ ــ ٢ــ س) = س(ع) ٢(
باالنعكاس فى محور السینات ٢س) = س( ھو منحنى د
ثم ازاحة وحدة واحدة فى االتجاه السالب لمحور الصادات
)١ - ، ٠( نقطة رأس المنحنى ھى
] ١ - ، ∞ -= ] ، المدى
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :إزاحة منحنى الدالة فى اتجاھى محورى اإلحداثیات*
أوجد رأس المنحنى و المدى و ٢)١ -س ( - ٢) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال
.دالة و معادلة محور التماثل االطراد ونوع ال
:الحل
٢ = ، االزاحة الصادیة ١ =االزاحة السینیة B ٢ ، ١( راس المنحنى (
للرسم بدقة نوجد نقطة التقاطع مع محور الصادات ) ١ ، ٠ ( C ٠= و ذلك بوضع س
و على نفس المسافة من محور التماثل ) ١ ، ٢( و نستنتج النقطة
ح= جال الم ] ٢ ، ∞ -= ] المدى
]١ ، ∞ -] متزایدة فى : االطراد [∞ ، ١[ متناقصة فى
ال زوجیة و ال فردیة : النوع لعدم تماثلھا حول محور الصادات أو نقطة االصل
١= معادلة محور التماثل س
صس
)١ - ، ٠(
صص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٣
الصورة ت علیھ ازاحات فأخذ المنحنى ثم أجری٢ س-) = س( رسم منحنى الدالة د:مثال عین ھذه اإلزاحات واذكر قاعدة الدالة مع ذكر ٢ - ٢)١ + س (- ) =س(د: اآلتیة
.المدى ومعادلة محور التماثل )الحل(
إزاحة مقدارھا وحدة واحدة فى االتجاه السالب مقدارھا وحدتین لمحور السینات متبوعة بإزاحة
.السالب لمحور الصادات جاهفى االت ٢ -٢)١+س (-) =س(د :قاعدة الدالة ھى
]٢- ، -= ]مدى الدالة
١-=س : معادلة محور التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
محور بحث اطرادھا واذكر مداھا ومعادلة وا٦+س٤+٢س= )س( ارسم منحنى الدالة د:مثال ٢س) = س(التماثل ، ثم بین كیف یمكن الحصول على منحنى الدالة من المنحنى د
)الحل( یجب اعادة تعریف الدالة الى الصورة القیاسیة للدالة
٢+ ٢) ٢ + س = ( ٤-٦ + )٤+ س٤ +٢س) = (س(د [ ، ٢-[د متزایدة فى ، [٢- ،-]، د متناقصة فى
، د لیست زوجیة والفردیة [ ، ٢= [، المدى
٢-=، معادلة محور التماثل ھى س ٦+ س ٤+٢س) = س(، ویتم الحصول على منحنى الدالة د
وذلك٢س) = س(من منحنى الدالة د الب بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الس لمحور السینات ، متبوعة بإزاحة مقدارھا وحدتین فى االتجاه الموجب لمحور الصادات
س
ص
) -٢-،١( )٣- ،٠(
′س
′ص
و
س
ص
)-٢ ، ٢(
)٦ ، ٠(
′س و
′ص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٤
١ ± =ا ، جـ + ٣)س ــ ب ( ا ) = س(د: الصورة العامة تمثل بیانیا بمنحنى ذو فرعین أحدھما ألعلى و اآلخر ألسفل
)نقطة التماثل ( و ھى رأس المنحنى ) ب ، جـ ( ى الدالة متماثل حول النقطة منحن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مالحظات* )٠ب ، ( صفر فإن نقطة التماثل ھى = ا كانت جـ إذ-١ و تكون الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( صفر فإن نقطة التماثل = جـ = إذا كانت ب -٢ بعكس | ب | جـ بعد إزاحتھ أفقیا مقدار ) + ب –س ( ا ) = س( نحصل على منحنى الدالة د-٣
ة و للیسار إذا كانت ب سالبة إشارتھا على محور السینات للیمین إذا كانت ب موجب ألعلى إذا كانت جـ موجبة و ألسفل إذا كانت جـ سالبة | جـ | وازاحتھ رأسیا مقدار -٤ : فى الشكل المقابل -٥
صورة الدالة التكعیبیة باالنعكاس فى محور السینات
)موجبة ( ٠> ا
)ب ، جـ ( )ب ، جـ (
)سالبة ( ٠< ا
الربع الثانى و الرابع الربع االول و الثالث
الدالة تناقصیة على ح الدالة تزایدیة على ح الدالة ال زوجیة و فردیة الدالة ال زوجیة و فردیة
)الدالة التكعیبیة(دالة الدرجة الثالثة
٣س) = س(مثال د
٣ــ س) = س(مثال د
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٥
إزاحة منحنى الدالة فى اتجاه محورى اإلحداثیات: اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٢ + ٣)١ - س () = س(دارسم : مثال
)الحل(
) ٢ ، ١( نقطة التماثل ھى المدى ح
ح متزایدة على مجالھا الدالة الزوجیة والفردیة الدالة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ١ + ٣)١ + س ( -) = س(د ارسم : مثال
)الحل( ) ١ ، ١-( نقطة التماثل ھى
ح=المدى ح متناقصة على مجالھاالةد ال دیة والزوجیة الفرالةد ال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ اذكر مداھا وابحث اطرادھا ٣)١ + س ( - ٢) = س(دارسم : مثال : الحل
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل ھى ح = ح ، المدى = المجال تناقصیة على مجالھا : االطراد
ال زوجیة و ال فردیة : نوع الدالة
′س
′ص
)٢ ، ١( س
ص
س
ص
)-١ ، ١( ′س
′ص
س
ص
)-٢ ، ١(
′س
′ص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٦
لتمثیل كل من الدوال اآلتیة ٣س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال : ثم أوجد نقطة التماثل
٣ ــ ٣س) = س(ر) ب (٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ ( ٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د ( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(
: الحل ٣ ــ ٣س) = س(ر) ب( ٣ )٢ –س ) = ( س(ر) أ (
)٣ - ، ٠( اثل ھى نقطة التم ) ٠ ، ٢( نقطة التماثل ھى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ )٢+ س ( ــ ١) = س(ر) د( ٣ س– ٤) = س(ر) حـ(
)١ ، ٢ -( نقطة التماثل ھى ) ٤ ، ٠( نقطة التماثل ھى
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٧
ب {، س ٠ {جـ ، ك ) = + س(د: الصورة العامة
)ب ، جـ ( نقطة التماثل ھى
}جـ { –ح = ، مداھا } ب { –ح = ویكون مجالھا
فأن الدالة فردیة ) ٠ ، ٠( إذا كانت نقطة التماثل :ملحوظة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك : الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متناقصة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ك ب -س
) ب ، جـ-( س
ص
′س
′ص
′س س
ص
′ص
)جـ ب ،(
[ ، ب∞ -] ، [ ∞ب ، ] الدالة تناقصیة فى المنحنى یقع فى الربعین االول و الثالث
الدالة ال زوجیة وال فردیة
[∞ ب،-]، [ ب -، ∞ -] الدالة تزایدیة فى منحنى یقع فى الربعین الثانى و الرابعال
الدالة ال زوجیة وال فردیة
سریةالكالدالة
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
١ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٨
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر نوعھا ) = س(الدالة دارسم منحنى : مثال :من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
:الحل
}٠ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[، ٠]، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د فردیة ألنھا متماثلة حول نقطة األصل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ )فى اتجاھى محورى االحداثیات : ( التحویالت الھندسیة للدالة الكسریة *
ابحث اطرادھا واذكر المجال والمدى و ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}٢ {–ح = المجال }٠ {–ح = المدى
[ ، ٢] ، [ ٢ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ٢ +- ) =س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
}١- {–ح = المجال }٢ {– ح= المدى
[، ١-] ، [ ١- ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
- ١ س
س )٠ ، ٠(
ص
′س
′ص
- ١ ٢ - س
س )٠ ، ٢(
ص
′س
′ص ١ ١+ س
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٤٩
واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
- ٢ = -) = س( د
}٠ {–ح = المجال }٢ {–ح = المدى
[، ٠] ، [ ٠ ، -]د متزایدة فى د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ واذكر المجال والمدى وابحث اطرادھا ) = س( منحنى الدالة دارسم: مثال
:واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
+ ٣) = = = س( د
}١ {–ح = المجال }٣ {–ح = المدى
[ ، ١] ، [ ١ ، -]متناقصة فى د د الفردیة والزوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
المجال والمدى وابحث اطرادھا واذكر ) = س(ارسم منحنى الدالة د: مثال :واذكر نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك :الحل
– ٢) = = = س( د
١ - س ٢ س
س٢ س
١ س
١ س
ص
)٢ ، ٠( ′س س
′ص ٢ - س ٣
١ - س
٣ + ٢ – ٣ – س ٣ ١ - س
١) + ١ –س ( ٣ )١ –س (
١ ١ - س
′س س
ص
′ص
)٣ ، ١(
١ - س ٢ ١+ س
٢-١ – ٢+ س ٢ ١+ س
٣ –) ١+س (٢ ١+ س
٣ ١+ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٠
) ٢ ، ١-( نقطة التماثل
}١- { –ح = المجال }٢ { –ح = المدى
[∞ ، ١ – ] ، [ ١- ، ∞ -] ایدة فى الدالة متز الدالة ال فردیة و ال زوجیة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: لتمثیل ٠ {حیث س ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د: مثال
٣) = + س(د) ب) = (س(د) أ ( :الحل
) ب) (أ(
)-٢ ، ١( س
ص
′س
′ص
١ ١ - س
١ ١ س
٣+ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥١
اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو . دالة و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
٣+ س ٢) = س(د ] ٢[ س ) = س(د ] ١[ ) = س( د ]٤) = [ س(د ] ٣[ ) =س(د ] ٦) = [ س(د ] ٥[
) = س(د ] ٨) = [ س(د ] ٧[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:اختر االجابة الصحیحة من بین االجابات المعطاة : مثال
..........ھو : مدى الدالة الممثلة بالشكل المقابل ) ١(
ح ) د ( } ١ -{ ) جـ( } ١ - ، ١{ ) ب( } ١{ ) أ ( ................. س تكون – ٣) = س( د:الدالة د ) ٢(
تناقصیة على ح ) ب(تزایدیة على ح ) أ (
[ ∞ ، ٣[ تناقصیة فى ) د [ ( ∞ ، ٣] تزایدیة فى ) جـ (
تمارین على رسم المنحنیات
تدریب على الدالة الثابتة و الخطیة
٣ ــ ٢ س٣
١ – ٢ س
ــ س٣ س
س– ٢ س ٠ Y ، س ٢
٠> ، س ٢ــ
٠ Xس ، س
٠< ــ س ، س
]٢ ، ٠[ g س ، س ٣
[٤ ، ٢] g ، س ٦
]٦ ، ٤ [ g ، س ٢+ س
١< ، س ١+ س
٣< س < ١ ، ٢
٠ X س ، س
و
١
- ١
س
ص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٢
: على دالة المقیاستدریب*
اعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة مثل بیانیا كال من الدوال المعرفة بالقو] ١ [
. و ابحث اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا زوجیة أو فردیة أو غیر ذلك
. و اذكر معادلة محور التماثل إن وجد
| ٣ –س | ) = س(د) ٢ (٤+ | س | ) = س(د) ١ (
١ – س ٣+ | ٣+ س ٢| ) = س(ر) ٤(س + | س | ) = س(ر) ٣ (
٣+ | ٢ –س | ) = س(د) ٦( | ٣+ س | ) = س(د) ٥ (
٣ــ | س ٢ – س ٤| ) = س(د) ٨( | ٢ –س | ــ ١) = س(د) ٧ (
| س | ــ ٢) = س(د) ١٠ ( | ٣س ــ | س ــ ) = س(د) ٩ (
:لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع | س | ) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢ [
| ٢ –س | ) = س ( ع) ب( | ٤+ س | ) = س(ر) أ (
٦+ | س | ) = س(ع) ء (٥ -| س | ) = س(ر) حـ (
٤+ | ٢ –س | ) = س(ع) و (١ - | ٣+ س | = ) س(ر) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تدریب على الدالة التربیعیة * : لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(الة د حیث داستخدم منحنى الد] ١[
٢ )٣س ــ ( ــ ٢) = س(ع) ب (٤ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(ر) أ (
و من الرسم عین إحداثى نقطة رأس المنحنى و إحداثیات نقط تقاطع المنحنى .تین مع محورى اإلحداثیات ، و ابحث إطراد كل من الدال
: لتمثیل كل من الدالتین ر ، ع حیث ٢س) = س(استخدم منحنى الدالة د حیث د] ٢[ ٢ ــ ٢ــ س) = س(ع) ب (١ + ٢س) = س(ر) أ (
. ومن الرسم عین نقطة رأس المنحنى و عین مدى الدالة
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٣
وجد من الرسم رأس المنحنى ، ثم أ٩+ س ٦ ــ ٢س) = س(ارسم منحنى الدالة د ]٣[ المدى ، االطراد نوع الدالة ، معادلة محور التماثل
.ارسم كل من الدوال اآلتیة ثم عین المدى و االطراد و النوع و معادلة محور التماثل ]٤[
٢ )١س ــ ) = ( س(د) ٣ (٢ ــ س١) = س(د) ٢ (١ ــ ٢س) = س(د) ١( ١ + ٢ )٢ –س ) = ( س(د) ٥ (٢ )٢ –س ) = (س(د) ٤( ٢ )١ –س ( ــ ١) = س(د) ٧ (٢ )١س ــ ( ــ ) = س(د) ٦( ٢ )١ –س ( ــ ٤ــ ) = س(د) ٩ (١ + ٢س) = س(د) ٨( ح C ] ٣ ، ١ -: [ حیث د ٢س) = س(د) ١٠(
٤+ س ٤ ــ ٢س) = س( د)١٢ (٢ ــ ٢ )٢+ س ) = ( س(د) ١١(
| س | س ) = س(د) ١٤ (١+ س ٤ ــ ٢س) = س(د) ١٣(
)١٥ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ة التكعیبیة على الدالتدریب
]١ [
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٣ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ: ى الدالة الكسریةعلتدریب
مثل كال من الدوال المعرفة بالقواعد االتیة و من الرسم أوجد مجال و مدى كل دالة و ابحث ] ١[ : اطرادھا و نوعھا من حیث كونھا فردیة أو زوجیة أو غیر ذلك
٣) = + س(د) ٣) = (س(د) ٢= () س(د) ١ ) = س(د) ٦) = (س(د) ٥) = (س(د) ٤ ) = س(د) ٩) = (س(د) ٨) = (س(د) ٧
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٢[
- ٢ س
٢ س
١ س
١ ٣+ س
١ ٣ - س
٤+س ٢ ٣ - س
١ |٣+ س |
٢ )٢ –س (
|٣)٢ –س ( | ١ - س ٣ س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٥
]٣ [
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ]٤ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٦
حل المعادالت و المتباینات :حـل المعـــادالت: أوال
: تذكر أن* ) ٠ ( ھو عدد حقیقى غیر سالب ) مفھوم المقیاس ( . ھو الجذر التربیعى الموجب لمربع ھذا العدد ) مقیاس العــدد (
= | | ، ٠= | ٠| ، ٣ = ٩؟= | ٣| ، ٥ = ٢٥ ؟= | ٥ - | : مثال
: المقیاس" فك " تعریف *
= | ٢س ــ | = | س |
= | ٦+ س ٢ |
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حل معادالت المقیاس بیانیا *
ھو مجموعة قیم س لنقاط تقاطع منحنیى الدالتین) س(٢د) = س(١الحل البیانى للمعادلة د
: الطریقة العامة للحل
نجعل المقیاس فى طرف لوحده) ١
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیمن من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن د) ٢
]بدقة متناھیة ) [ س(نرسم الطرف األیسر من المعادلة كدالة منفصلة و لتكن ر) ٣
نحسب اإلحداثیات السینیة لنقط تقاطع الدالتین د ، ر ، و نكتب مجموعة الحل ھى قیم س) ٤
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ ٢
١ ٢
٠، س س ٠< ، س س -
٢، س ٢ - س ٢< ، س ٢+ س -
٣ - ، س ٦+س ٢ ٣ - < ، س ٦ –س ٢ -
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٧
٣س ، ٥ – ٣ – س ٣< ، س ٥ - ٣+ س -
٣، س ٨ – س ٣< ، س ٢ س ــ -
١> ــ س عندما س ٣ ) = س(ارسم الدالة د: مثال
١ Yا س س عندم + ١
٠) = س( ثم أوجد قیم س التى تجعل د
: الحل ١ Y س ١> س
١ -= ، س ٣= عند س ٠) = س( د }١ - ، ٣{ = ح . م
: التحقق الجبرى
٠) = س( حیث د تحقق الفترة المعطاة [ ∞ ، ١ ] g ٣= س B ٠= ــ س ٣ن فإ١> عندما س تحقق الفترة المعطاة[ ١ - ، ∞ - ] g ١ــ = س B ٠= س + ١ فإن ١ Yعندما س
}١ - ، ٣{ ھى ٠) = س(مجموعة حل المعادلة د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :حـ= | ــ ب ا س ــ| حل المعادلة على الصورة ] ١[
بیانیا وحقق الناتج جبریا٥= | ٣ – س |حل المعادلة : مثال ٠ = ٥ - |٣ –س | : نضع المعادلة على الصورة : الحل البیانى ٥ - |٣ –س | ) = س(نفرض أن د
=
) = س(د
١ - ٠ ١ ٢ ٣ ٤ س
٠ ١ ٢ ١ ٠ ١ - )س(د
′ص
ص
′س س ٠
) ٥ -، ٣(
٢ - ٣ ٨
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٨
) ٠ ، ٢ -( ، ) ٠ ، ٨( من الرسم المنحنى یقطع محور السینات فى
} ٢ - ، ٨{ = ح . م
:الحل الجبرى
[∞ ، ٣ [ g ٨ = س ٠=٨ - س فإن ٣ عندما س [٣ ، ∞ - ] g ٢ - = س ٠ = ٢ – س –فإن ٣< س عندما
٢ - ، ٨ {= مجموعة الحل{
٥) = س(، ر | ٣ –س | ) = س(د: نرسم : حل أخر
)س(یقطع منحنى الدالة د) س( منحنى الدالة ر ) ٥ ، ٢ -( ، ) ٥ ، ٨( فى النقاط
} ٢ - ، ٨{ = ح . م
:الحل الجبرى
٥= | ٣ –س | B ٥ ± = ٣ – س
B ٥ - = ٣ – س ٥ = ٣ – س تحقق٢ -= تحقق س ٨= س
B ٢ - ، ٨{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا و جبریا ٠ = ١+ | س | حل المعادلة : مثال
: الحل البیانى = ١+ | س|) = س( نرسم د
Ø= ح . م B منحنى الدالة ال یقطع محور السینات
: الحل الجبرى [∞ ، ٠[ h ١ -= س B ٠ = ١+ فإن س ٠ Xعندما س
[ ٠ ، ∞ -] h ١= س B ٠ = ١+ س – فإن ٠< س عندما Ø= ح . م B ال یحقق المعادلة ١ ، ١ -
صص
′سس سس
′صص
) ٢ - ) ٠ ، ٣
٥٠
٨
٠ X عندما س ١+ س ٠< عندما س ١+ س -
سس١
صص
١ ١ - ٠
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٥٩
٠ X| س| مرفوض الن ١ -= | س |B ٠ = ١+ | س |A : خرآحل جبرى B ح . م =Ø
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ء+ جـ س = | ب + س ا | حل المعادلة على الصورة ] ٢[
بیانیا و جبریا ٣+ س = | ٣ – س ٢| حل المعادلة : مثال
|٣ – س ٢| ) = س(نرسم الدالتین د : الحل البیانى ٣+ س ) = س( ، ر
و من الرسم نجد نقط تقاطع منحنیى الدالتین ) ٩ ، ٦( ، ) ٣ ، ٠ ( B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
:الحل الجبرى ١ Xعندما س .٥
٣+ س = ٣ – س ٢فإن B ٦= س g ] تحقق [ ∞ ، ١.٥
١.٥< عندما س ٣+ س = ٣+ س ٢ –فإن
B – ٠= س ٣ B ٠= س g [ - ∞ ، ١.٥ ] تحقق B ٦ ، ٠{ = مجموعة الحل {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ و جبریا بیانیا٤ –س = | ٥+ س ٢| حل المعادلة : مثال
٤ –س ) = س(، ر | ٥+ س ٢| ) = س( نرسم الدالتین د:الحل البیانى نالحظ انھ ال یوجد نقط تقاطع للمنحیین
B مجموعة الحل =Ø : الحل الجبرى
٤ –س = ٥+ س ٢ B ٢.٥ – Xعندما س B ٩ -= س h ]- ال تحقق [ ∞ ، ٢.٥
٤ – س =٥ – س ٢ – B ٢.٥ -< عندما س B – ١= س ٣ B س =- h [ - ∞ ، - ٢.٥ ] ال تحقق
B مجموعة الحل =Ø
٠، ٢.٥ -( ٤( - ٤
٥
صص
سس١٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٠
: |ء + ج س | = | ب + ا س | حل المعادلة على الصورة ] ٣[
بیانیا وحقق الناتج جبریا | ٣+ س | = | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل البیانى
|٢ –س | = ١نرسم د |٣ +س | = ٢، د
)٢.٥ ،٠.٥-(نجد أن نقطة التقاطع ھى :الحل الجبرى
٢) |٣+ س | = ( ٢) | ٢ –س | : ( بتربیع الطرفین
٢ )٣+ س = ( ٢)٢ –س ( ٩+ س٦ +٢س= ٤+ س ٤-٢ س - ٥= س ١٠ س = = مجموعة الحل ={ }
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا وجبریا ٣= | ١ –س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال
٣+ | ١ –س | -= | ٢ –س | باعادة التعریف للمعادلة : الحل البیانى
٣+ | ١ –س | -) = س(، ر | ٢ –س | ) = س( نرسم الدالتین د
من الرسم نقط تقاطع المنحنین
) ٢ ، ٠( ، ) ١ ، ٣( ھى
B ٣ ، ٠{ = مجموعة الحل {
باعادة التعریف للمعادلة : الحل الجبرى
} ٣ ، ٠{ = ح . م
٢ –س ١ –س - ٣ ٣= س
٢+ س - ١ –س - ٣ - ٢
مرفوض
٢+ س - ١+ س -
- ٣ ٠= س
ص
′س )٠ ، ٢(
′ص
)٠.٥،٠-( )٠ ،٣-( س
١د ٢د
٢.٥
- ٥ ١٠
- ١ ٢
- ١ ٢
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
٢ ١
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦١
بیانیا١= | س | + | ٢س ــ | أوجد مجموعة حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة
| س | ــ ١= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ١) = س(٢ ، د
Z= مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بیانیا ٤= | س | + | ٢ –س | حل المعادلة : مثال :الحل
: نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٤= | ٢س ــ |
|٢ –س | ) = س(١نرسم الدالتین د |س | ــ ٤) = س(٢ ، د
}٣ ، ١ -{ = مجموعة الحل : من الرسم
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢= | س | + | ٢+ س | أوجد مجموعة الحل للمعادلة بیانیا : مثال :الحل
نضع المعادلة على الصورة | س | ــ ٢= | ٢+ س | | س | ــ ٢) = س(٢، د | ٢+ س | ) = س(١نرسم د
:نوجد نقط تقاطع الشكلین البیانیین فنجد ] ٠ ، ٢ -= [ ح . م
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
-٤ ٣ ٢ ١ ١- ٢- ٣
٤ ٣ ٢ ١
-١ -٢ -٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٢
١+ س ٣ – س
*حـل المعــــادالت جبریا* : العددمقیاسخواص *
٠= س إذا كان ٠= | س | ، ٠ X| س | ) ١(
مقیاس معكوسھ الجمعى = مقیاس العدد ) ٢( | س – ٢| = | ) س – ٢ ( -| = | ٢س ــ | ، | ٣ -| = | ٣| ، | ا -| = | ا | : مثال
| س – ٥| = | ٥ –س |
| ٤| + | س | Y | ٤+ س | مثال | ص | + | س | Y| ص + س | ) ٣(
|ص | × | س | = | س ص | حاصل ضرب مقیاسیھما = مقیاس حاصل ضرب عددین ) ٤( | س | ٣= | س | × | ٣ -| = | س ٣ -| : مثال
| ٥س ــ | ٢= | ٥س ــ | × |٢ -| = | ) ٥س ــ ( ٢ - | |٤ ــ ٢س| = | )٢س ــ )( ٢+ س ( | = | ٢س ــ | | ٢+ س |
= خارج قسمة مقیاسیھما = مقیاس خارج قسمة عددین ) ٥(
: = مثال الجذر التربیعي الموجب لمربع ھذا العدد = مقیاس العدد ) ٦(
٩ = ٢) |٣ -| ( ، ٢ا = ٢ )|ا | ( ، ٥ = ٢٥؟= | ٥| ، ٢ا ؟= | ا | : مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:تذكر أن
صفر المقیاس ھو قیمة س الناتجة من وضع ما بداخل المقیاس مساویا الصفر ٣= و منھا س ٠ = ٦ – س ٢نضع | ٦ – س ٢| إلیجاد صفر : مثال
B لةو ھو یفید فى تحقیق الحل لمعادلة المقیاس بسھو } ٣{ صفر ھذا المقیاس ھو
: فكــرة حل معادالت المقیاس
)صفر المقیاس ( X نأخذ ما بداخل المقیاس بنفس إشارتھ عندما س ) صفر المقیاس ( < ، و نأخذه بعكس إشارتھ عندما س
س ص
|س |
|١+ س | |ص |
|٣س ــ |
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٣
٣= | ٧ س ــ ٢| أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣.٥= = س G ٧= س ٢ G ٠ = ٧ – س ٢بوضع : صفر المقیاس
٣.٥< عندما س ٣.٥ X عندما س ٣ = ٧+ س ٢ – G ٣ ) = ٧ – س ٢ ( - ١٠= س ٢ G ٣ = ٧ س ــ ٢ G ٤ -= س ٢ - تحقق ٥= س G ق تحق٢= س
} ٥ ، ٢{ = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢= س ٣ــ | ٥ س ــ ٢| : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل ٢.٥= = س G ٠ = ٥ ــ س٢
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
٢= س ٣ ــ ٥+ س ٢ - ٢= س ٣ ــ ٥ س ــ ٢
G – ٧= س G مرفوض ٧ -= س G – ٣ -= س ٥ G ق تحق= س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠= | ٣ –س | + ٥: أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال : الحل
٣= س G ٠ = ٣ –س : اس صفر المقی ٣< عندما س ٣ X عندما س
٠ = ٣+ س – ٥ G ٠ ) = ٣ –س ( – ٥ مرفوض ٢ -= س G ٠ = ٣ –س + ٥ مرفوض ٨= س
Z= ح . م
و ھذا مرفوض الن ناتج أى ٥ -= | ٣ –س | : بالنظر للمعادلة األصلیة نجد أن : حل آخر . مقیاس البد أن یكون موجبا و بالتالى فال یوجد حل اذھھ المعادلة
٧ ٢
٥ ٢
٣ ٥
٣ ٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٤
١٨ -= | س | س ٣ ــ ٢ |س | : حل المعادلة : مثال :الحل
٠< عندما س ٠ X س عندما
١٨ -) = س -( × س ٣ ــ ٢ س١٨ -= س × س ٣ ــ ٢ س G – ١٨ - = ٢ س٢ G٩ = ٢ س G١٨ - = ٢ س٣ + ٢ س
G مرفوض ٣ -= ، س ٣= س G ١٨ - =٢ س٤ Gمرفوض = ٢ س
B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = : أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
) ٤+ س ٧ ( ٢= | ٥ – س ٢ | ٥: ینتج أن ١٠ بالضرب فى
٢.٥= = س G ٠ = ٥ – س ٢: صفر المقیاس
٢.٥< عندما س ٢.٥ X عندما س
)٤+ س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ - ) ٤ + س ٧ ( ٢ ) = ٥ – س ٢ ( ٥ G ٨+ س ١٤ = ٢٥ – س ١٠ G - ٨+ س ١٤ = ٢٥+ س ١٠ G – ٣٣= س ٤ G مرفوض ٨.٢٥ -= س G – ١٧ -= س ٢٤
G تحقق = س
{ } = ح . م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٥ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟دلة مثال أوجد مجموعة الحل للمعا : الحل
٥= | ١+ س | G ٥ = " ٢)" ١"+ "س ( ؟ = "١ " +"س" ٢"+ " ٢ س؟
-١٨ ٤
٤+ س ٧ ٥
| ٥ – س ٢ | ٢
٥ ٢
١٧ ١٧ ٢٤
٢٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٥
: تابع الحل ١ -< عندما س ١ – X عندما س
٥ = ١ – س – G ٥ ) = ١+ س ( - تحقق ٤= س G ٥ = ١+ س G - ٦= س G تحقق ٦ -= س
B س g } - ٤ ، ٦ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢: = أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال
٢ ± = B ٢ = A: الحل
= ٢ - = ٢
)١+ س ( ٢ - = ٣+ س ) ١+ س ( ٢ = ٣+ س
٥ -= س ٣ G ٢ – س ٢ - = ٣+ س ١ -= س - G ٢+ س ٢ = ٣+ س تحقق= تحقق س ١= س
} ، ١ { =ح . م
| ١+ س | ٢= | ٣+ س | G ٢ = G ٢ : = حل آخر
٢ )١+ س ( ٤ = ٢ )٣+ س : ( وبتربیع الطرفین
٤+ س ٨ + ٢ س٤ = ٩+ س ٦ + ٢س G ) ١+ س ٢ + ٢س ( ٤ = ٩+ س ٦ + ٢ س
٠ ) = ١ –س )( ٥+ س ٣ ( G ٠ = ٥ س ــ ٢ + ٢ س٤ G ٠ = ١ – أو س ٠ = ٥+ س ٣ G تحقق ١= تحقق أو س = س B ١{ = ح . م ، {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= | ٣س ــ | ــ | ٥+ س | حل المعادلة : مثال
)الحظ أن التربیع یلغى المقیاس ( بتربیع الطرفین | ٣ –س | = | ٥+ س | : الحل } ١ -{ = ح . نحل السؤال كما فى الحل اآلخر م
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
٣+ س ١+ س
- ٥ ٣
- ٥ ٣
٣+ س ١+ س
|٣+ س |
|١+ س |
- ٥ ٥ - ٣
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٦
٣= | ١ –س | | ١+ س | حل المعادلة : مثال :الحل
٣ ± = ١ – ٢ سG ٣= | ١ – ٢س | G ٣= | ) ١ –س )( ١+ س ( |
٣ - = ١ ــ ٢ س٣ = ١ – ٢ س
مرفوض ٢ - = ٢ تحققان س٢ ±= س G ٤ = ٢ س B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ٠.٥ ) + ١ -| س | )( ١+ س : ( أوجد مجموعة الحل للمعادلة : مثال :الحل
= | س |
٠< عندما س ٠ عندما س
٠ = ٠.٥ ) + ١ – س - )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥ ) + ١ –س )( ١+ س ( ٠ = ٠.٥+ س ٢ – ١ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ + ١ – ٢ س ١ - × ٠ = ٠.٥ – س ٢ – ٢ س- ٠ = ٠.٥ – ٢ س ٢ × ٠ = ٠,٥+ س ٢ + ٢س = ٠.٥ = ٢ س
٠ = ١+ س ٤ + ٢ س٢ ±= س
: تحقق باستخدام القانون العام = = س ١= ، جـ ٤= ، ب ٢= ا
٨ = ١ × ٢ × ٤ – ١٦= ا ج ٤ – ٢ب= الممیز مرفوض = س
± ١- = = س تحققان } - ١-، + ١-، { = ح . م
٠، س س ٠< ، س س -
١ ٢
٢؟٢
١ ٢؟
-١
حـ ا ٤ –۲ ب± ب – ٢؟ ا ۲
٢؟٢
١ ٢؟
٢؟٢
٢؟٢
٢؟٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٧
المعادالت حل على حیاتیة تطبیقات
٢ - | ٣ –س | ) = س(د ، ر حیث د الدالتین منحنیى ینب محصورة أرض قطعة: مثال أمتار ٨ الوحدة طول كان وإذا المربعة بالوحدات مساحتھا احسب ٣) = س(، ر .المربعة باألمتار األرض مساحة إحسب :الحل
بتمثیل منحنى الدالتین د ، ر بیانیا نجد انھما )٣ ، ٨( ، ب )٣ ، ٢ -( ا یتقاطعان فى النقط
ا ب ج و تكون قطعة االرض على شكل مثلث وحدات ١٠= ا ب القائم فى جـ حیث
وحدات ٥ ) = ٢ــ ( ــ ٣= ج ء ،
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مثال
: الحل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٨
*حـل المتبــــایــنـات*
مجموعة حل المتباینة فى متغیر واحد ھى قیمة أو قیم المتغیر التى تجعل المتباینة صحیحة
:تذكر أن
ا ±= فإن س ا = | س | إذا كان ) ١(
ا < س < ا - فإن ا | < س | ) ٢(
ا < ب - س < ا - فإن ا | < ب –س | ) ٣(
ا Y ب - س Yا -فإن ا Y| ب –س | ) ٤(
ا > ، س ا -< س فإن ا | > س | ) ٥(
ا X ب –أو س ا - Y ب – فإن س ا X| ب –س | ) ٦(
:مالحظات ھامة تستخدم عند حل متباینات المقیاس
ال نستخدم صفر المقیاس ) ١(
: اصغر من ) < ( عندما تكون عالمة التباین ) ٢( . تصبح مجموعة الحل على شكل فترة إما مفتوحة أو مغلقة
:اكبر من ) > ( عندما تكون عالمة التباین ) ٣( تصبح مجموعة الحل على شكل ح ــ فترة معكوسة
فى بدایة الكالم قبل حل المتباینة ) التى داخل المقیاس ( یجب جعل س ) ٤( | ٥ س ــ ٣| تصبح | س ٣ ــ ٥| ، | ٣ –س | تصبح | س - ٣| : مثال
عالمة التباین عند ضرب أو قسمة طرفى المتباینة فى عدد سالب فإننا نعكس ) ٥( ٣ -> فإن س ٣< ، ــ س ٥ -< س ٢ فإن ٥> س ٢ــ : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : فترة مجموعة حل كل من المتباینات اآلتیة أوجد على صورة: مثال
٥ Y | ٣+ س ٢| ) ٢ ٢ | < ٥ –س | ) ١
٠ X | ٧+ س | ) ٤ ٥ | > ٤ – س ٣| ) ٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٦٩
:الحل ٢ | < ٥ –س | )١(
٧< س G ٥ + ٢< س G ٢ < ٥ – إما س ٣> س G ٢ - > ٥ – س G ٢< ) ٥س ـ ( - أو
B [ ٧ ، ٣= ] ح . م
٥ Y | ٣+ س ٢| )٢(
١ Y س G ٢ Y س ٢ G ٣ – ٥ Y س ٢ G ٥ Y ٣+ س ٢ إما ٤ - X س G ٨ – X س ٢ G ٥ – X ٣+ س ٢ G ٥ Y ) ٣+ س ٢( أو ــ
B س g ] - ١ ، ٤ [
٥ | > ٤ – س ٣| )٣(
٣> س G ٩> س ٣ G ٥ > ٤ – س ٣ إما < سG ١ -< س ٣ G ٥ - < ٤ – س ٣ G ٥> ) ٤ – س ٣( أو ــ
B ٣، [ ح ــ = ح . م [
٠ X | ٧+ س | )٤(
٧ – X س G ٠ X ٧+ إما س ٧ – Yس G ٠ Y ٧+ س G ٠ X ) ٧+ س ( أو ــ
B ح= ح . م
)٤( و الحظ الفرق عن ٠ | < ٧+ س | عزیز الطالب أوجد مجموعة حل المتباینة : مالحظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:أوجد على صورة فترة حل كل من المتباینات اآلتیة : مثال
٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢ ٣ < "١٦ "+"س " ٨ـ " ـ٢ س؟) ١
| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣
- ١ ١ - ٣
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٠
:الحل ٣ | < ٤ –س | G ٣< " ٢ )"٤ –" "س ( ؟ G ٣ < ""١٦ "+"س "٨ –" ٢ س؟) ١(
٧< س G ٤ + ٣< س G ٣ < ٤ – إما س ١> س G ٣ - > ٤ – س G ٣< ) ٤ –س ( - أ،
B س g [ ٧ ، ١ ] ٢ X | ٥ – س ٣ | G ٢ X| س ٣ – ٥| ) ٢(
X س G ٧ X س ٣ G ٢ X ٥ – س ٣ إما
١ Y س G ٣ Y س ٣ G ٢ - Y ٥ – س ٣ G ٢ X ) ٥ – س ٣ ( - أ،
B س g [ ، ١ ] - ح | ٦ – س ٤ | - ٩ | > ٣ – س ٢ | G| س ٤ – ٦ | - ٩ | > ٣ – س ٢| ) ٣(
G | ٣ – س ٢ | ٢ – ٩ | > ٣ – س ٢ | G | ٩ | >٣ – س ٢ | ٢+ | ٣ – س ٢ G ٩ | > ٣ – س ٢ | ٣ G | ٣ | > ٣ – س ٢
٣> س G ٦> س ٢ G ٣ > ٣ – س ٢ إما ٠< س G ٠> س ٢ – G ٣ > ٣+ س ٢ - G ٣> ) ٣ –س ٢ ( - أ،
B ٣ ، ٠ [ -ح = ح . م [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٥ | ٤ - س ٣| : ینة حل المتبا: مثال ٥ - ٤ - س ٣ ٥ ٤ - س ٣ : الحل
١ - س ٣ ٩ س ٣
س ٣ س
] ، -= ] ح . م [ ، ٣= [ ح . م
] ، - ] بآل [ ، ٣= [ ح . م
[٣، ] -ح = ح . م
٧ ٣
٧ ٣
- ١ ٣
- ١ ١- ٣
١ - ٣ ٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧١
تتمارین على حل المعادالت و المتباینا :أوجد جبریا مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة ] ١[
س + ٤= | ٥+ س | ٢) ب ٠ = ٥ - | ١+ س | ٢) أ
٤ = " ٤" + " س"٤–" ٢ س؟) د ٠= | س – ٢ | ٢ - | ١ –س | ٣ ) جـ
]٢ [ ]٣[ ]٤ [
١(
٢( ٣( ٤(
٥(
٦( ٧( ٨(
٩(
١٠(
١١(
١٢(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١( ٢( ٣(
٤( ٥( ٦(
٧( ٨(
١( ٢( ٣( ٤( ٥(
٦( ٧( ٨( ٩(
١٠(
١١(
١٢(
١٣(
١٤(
١١(
٣( ٤(
١( ٢(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٣
:تذكر أن ا × ٠٠٠× ا × ا × ا × ا = نا : فإن + صص gن ، حح gا : إذا كان ) ١(
نأس ا : یقرا نا من المرات و الرمز ن امل مكرر كعا حیث اأ، لألساس ا أ، القوة النونیة للعدد
٢٥ × ١٦ = $ ]٥ة[ × $ ٢= ٤٤ ]٥ ة٢[ : مثال
رف غیر معصفر) صفر ( الن ٠{ ا بشرط ١ = صفر ا ) ٢ ( صفر = فإن ص ١ = ص ٥ ، ١ = صفر ]٧ - [ مثال مث
عدد صحیح موجب نن صفر ، {عدد حقیقى ا إذا كان ) ٣ (
= نن - ا ، = نن ا : فإن
= ٢ – ٧ ، ٨١= = ٤ ٣ :مثال ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مالحظات ١= صفرا = نن - ا × نن ا : حیث أن نن - ا معكوس ضربى للعدد نن ا العدد -١
١=٤ - ]٥ة[ × ٤ ]٥ة[ ، ١ = ٥ ٣ × ٥ – ٣: مثال
= ٤=[ ] ٤ - [ ]: مثال نن- = [ ]نن [ ]- ٢
ـــ ـــ ـــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ) قوانین القوى الصحیحة فى ح : ( قوانین األسس
:فإن صص g ن ، حح g ب ، ا ـ : إذا كان
٩ = ٤ ]٣ة ] = [ ٣ة [ × ٣ ] ٣ة [ ، ٥ ٧ = ٢ ٧ × ٣ ٧مثال ن+ م ا = نا × ما - ١
٨١ = ٤ ٣ = ٣ – ٧ ٣ = ٣ ٣ ÷ ٧ ٣مثال ن- م ا = ن ا ÷ م ا - ٢
٥ ة ٥ - = ٣]٥ة- = [١٢ ] ٥ ة - [ ÷ ١٥ ] ٥ ة - [،
ة ي ن ا ث ل ا ة د ح و ل ا األسس و اللوغاریتمات و تطبیقات علیھا
١ نن- ا
١ ننا
١ ٤- ٣
١ ٧ @
ا ب
ب ا
٢ ٣
٣ ٢
١٦ ٨١
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٤
ن ٥ × ن ٣ = ن ] ٥ × ٣ = [ ن ١٥مثال نب × نا = ن ]ا ب [ - ٣
ن= [ ]، = ن [ ] مثال نب ÷ ن ا = ن ] ب ÷ ا [ - ٤
س٢ ٣ = س ] ٢ ٣[ ـ ، ٦ س = ٢ ] ٣ س [ مثال م نا = ن ] م ا [ - ٥
: مالحظات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : اختصر البسط صورة : مثال
: = = الحل
٥ = ١ × ٥ = ٠ ٣ × ٥ = ن٣ – ن ٣ ٣× ن ٣ – ١+ ن ٣ ٥ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أوجد فى ابسط صورة قیمة : مثال
= = المقدار : الحل
٣ = ١ × ٣ = صفر ٢ × ١ ٣ = ٤ – ٤ ٢ × ٨ + ٢ + ٩ – ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
فأوجد قیمة س ١٠ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ كان إذا: مثال : الحل
١٠ = ١٠ × ١ - س ٣= ] ١ + ٩ [ ١ - س ٣ ] = ١ + ٢٣ [ ١ - س ٣ = ١ - س ٣ + ١+ س ٣ B ١ = ١ – س ٣ B ٠ = ١ – س B ١= س
٣= × ١٠ = س ٣ G ١٠= × س ٣ G ١٠) = ١ – ٣ + ٣ ( س ٣: حل آخر
٥ ٧
٣ ٥
ن٣ ن٥
ن٥ ن٧
ن ب - نا { ن )ب - ا( ، نب+ نا { ن)ب + ا) ( ١ (
٨١ = ٤ ٣ = ٤ )٣ -( مثال) عدد زوجى نحیث ( ن ا= ن )ا -) ( ٢ (
٢٧- = ٣ ٣- = ٣ )٣ -( مثال ) عدد فردى نحیث ( ن ا -= ن )ا -) ( ٣ (
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥ ن ]٣ ٣[ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ] ٥ × ٣ [
ن ٣ ٣ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ٥ × ن٣ ٣
ن ٢٧ × ١+ ن ٣ ٥
ن ٣ ١٥
) ٢)١٢( × ٣ -)٢٧ ٢ -)٨١( × ١٦
) ٢)٢ ٢ × ٣( × ٣ -)٣ ٣ ٢ -)٤ ٣( × ٤ ٢
٤ ٢× ٢ ٣× ٩ - ٣ ٨ - ٣ × ٤ ٢
١٠٣
٣ ١٠
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٥
= أثبت أن : مثال
= = الطرف األیمن : الحل
الطرف األیسر= = × = ٥÷ = = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:ة اختر االجابة الصحیح: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات
..... ) ، ١١ ، ٧ ، ٥ ، ٣ ، ٢( عند حل مسائل األسس البد من جعل األساس عددا أولیا )١
ص ٤ + ٢ صBص = س ٧ یمكن فرض س ٧ × ٤ + س ٢ ٧إذا كانت )٢
١ س ــ ٢ ــ ٥ ٧ × ص ــ س + س ٣إذا كان الكسر یمكن كتابتھ )٣
نستغنى عن شرطة الكسر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: الجذور النونیة*
٣ - ، ٣ لھا جذران حقیقیان ھما ٩ = ٢ المعادلة س .....و ھكذا ) و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ لھا حل وحید ھو ٨ = ٣ المعادلة س
من الجذورن لھا + صgن . ح gا حیث ا = نالمعادلة س : بوجة عام
:ا = ن سالحاالت المختلفة للمعادلة : موجباا إذا كان ن زوجیا ، ] ١ [
)باقى الجذور أعداد مركبة ( فإن المعادلة لھا جذران حقیقیان أحدھما موجب و اآلخر سالب
١ -ن٢ ٣ × ٤ - ن ٢ ٣ ×٥
ن٢ ٣ - ١+ ن ٢ ٣ × ٢
١١ ١٥
١ -ن٢ ٣×٢ ٢ - ن ٢ ٣ ×٥
)١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣ ) ١ – ٣ × ٢ ٢ – ٥ (ن٢ ٣ )١ – ٣ × ٢ ( ن ٢ ٣
ــ٥ ٥
٤٣١١
٣ ١١ ٣
١ ٥
١١ ١٥
ص ٣ × ٥ ٧ × س ٣ ١+ س ٢ ٣ ×س ٧
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٦
بالجذر النونى ا یسمى الجذر النونى الموجب للعدد و ا؟ ن ، ــ ا؟ ن و یرمز لھما ااآلساسى للعدد
٣ــ = ٨١؟ ٤ ، ــ ٣ = " ٨١؟ ٤ لھا جذران ھما ٨١ = ٤المعادلة س: مثال ]حذورھا تخیلیة[ لیس لھل جذور حقیقیة ا = نالمعادلة س : سالبا ا إذا كان ن زوجیا ، ] ٢ [
] ت ٤ - ت ، ٤لھا جذران تخیلیان [ لیس لھا جذور حقیقیة ١٦ - = ٤لمعادلة سا: مثال : ح gا فردیا ، ن إذا كان ] ٣ [
)باقى الجذور أعداد مركبة ( ا ؟ ن لھا جذر حقیقى وحید ھو ا = ن فإن المعادلة س ٢ - = " ٣٢ــ ؟ ٥و لھا جذر حقیقى وحید ھ٣٢ــ = ٥المعادلة س: مثال
:صفر = ا ، + صg نا كان إذ] ٤ [
صفر لھا حل حقیقى وحید ھو صفر = ن فإن المعادلة س صفر = صفر فإن س = م المعادلة س: مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : مجموعة حل كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
٢٤٣ = ٥س) ب (١٦ = ٤س) أ (
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٢ ±= " ١٦ ؟ ±= س B ١٦ = ٤س) أ : ( الحل B ٢ - ، ٢{ = ح . م {
)و باقى الجذور اعداد مركبة ( ٣ = " ٢٤٣؟ ٥= س B ٢٤٣ = ٥س) ب ( B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسـس الكسریة*
)٧ = ( ٧؟ ٣، ) ا =( ا ؟ ٣، ) ٣ = ( ٣ ؟، ) ا =( ا ؟: مثال
زوجى أو فردىن یراعى ا = ا = "نا ؟ ن ، ا = ا ؟ ن : بوجة عام
] ٢ =" ٤ |٢| ؟ ٤ = " ٤|"٢- |؟ ٤ = ١٦؟ ٤ مثال [ زوجى نإذا كان | ا | = نا ؟ ن] ١ : [ مالحظة ]٢ - = " ٣٢ -؟ ٥ ، ٢ = " ٣٢؟ ٥مثال [ فردى نإذا كان ا = نا ؟ ن] ٢ [
١ ٢
١ ٢
١ ٣٢
١ ٣١ ٢
ن ن ن
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٧
: خواص الجذور النونیة*
:فإن ص g، م } ١{ ــ + ص g، ن } ٠{ - ح gا ، ح g ب؟ ن ، ا؟ ن إذا كان ٦ ؟ ٧ = ٣؟ ٧ × ٢؟ ٧ ، ٣ ؟ ٣ × ٥ ؟ ٣ = " ٣ " ×٥ ؟ ٣ مثال ب؟ ن × ا؟ ن= "ا ب؟ ن ] ١[
مب ٣ = مل مب ٣= ، = مل مب ٥ مثال ٠ {، ب = مل مب ن] ٢[ ) س = ( ٢ )س ؟ ٥ = ( " ٢س ؟ ٥ مثال ا = م ) ا ؟ ن( = ما؟ ن] ٣[
یمكن تعمیم قوانین األسس الكسریة حیث انھا تخضع لنفس قوانین االسس الصحیحة : ملحوظة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:قیمة كل من ) إن أمكن ( أوجد : مثال ) ١٢٥ــ ] ( ٣ ) [٨١( ــ ] ٢ [" ٣٦؟ــ ] ١ [
) ٢٥ــ ] ( ٦ ) [٩ -] ( ٥[| "١٢٨ـ ؟ ٧ | ] ٤ [ : الحل
٦ــ = ٢ ٦؟ــ = " ٣٦؟ــ ] ١ [
٣ = ٣ ) ] = ٤ ٣[ ( ــ ) = ٨١( ــ ] ٢ [
) ٥ - ] = ( ٣ )٥ - ) = [ ( ١٢٥ــ ] ( ٣ [
٢= | ٢ -| = | ٧")٢ -( ؟ ٧ | =| "١٢٨ـ ؟ ٧ |] ٤ [
ح h "٢٥ - ؟ ٤ ) = ٢٥ -] ( ٦[ح h ٩ -؟ ) = ٩ -] ( ٥ [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى أبسط صورة كل من : مثال
" ١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ " ١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣ [" ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[ " ٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١[
٣ ب٢ا ٢ -= ب × ا ٢ــ ــ = ٩ ب؟ ٣ × ٦ا ؟ ٣ × ٨ ؟ ٣ــ = "٩ب" ٦ا ٨؟ ٣ــ ] ١: [الحل
ا ب
ا؟ ن ب؟ن
٣ ٥
٣ ؟ ٥ ٥ ؟ ٥
٢ ؟ ٣ ٤ ؟ ٣
٢ ٤
١ م ٢
٢ ن٥
١ ٤٥
١ ٣٤ ١
٢٣
١ ٤٢
١ ٤٥
١ ٤٥
٤٤٥ ١
٣٤
١ ٣٤
١ ٢٣
١ ٤٢
٦٣١
٩٣١
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٨
٢ س ص٢ = ٢|ص|× | س | × ٢ = " ٨ص ؟ ٤ × " ٤س ؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = " ٨"ص" ٤"س" ١٦؟ ٤] ٢[
٣ ا ٢= ا × ٢ = ١٢ا؟ ٤ × ١٦؟ ٤ = "١٢ا" ١٦ ؟ ٤] ٣[
٣) ص ٢+ س ) = ( ص ٢+ س = ( "١٨)"ص" ٢"+"س( ؟ ٦] ٤[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: أوجد فى ابسط صورة : مثال
= = المقدار : الحل
١ = ١ × ١ = صفر ٧ × صفر ٣ = ــ ٧ × ــ + ٣ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
= ن أثبت أ: مثال
= = الطرف األیمن : الحل
١ – س ٣ – ١+ س ٣ ٤ × س ٦ – ١ – س ٦ ٧ =
األیسر = = ١× = صفر ٤ × ١ – ٧ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ سم٦٠٠ ، حجمھا مل مب ٣ = نقیعطى بالعالقة ) نق(إذا كان طول نصف قطر كرة : مثال
: حجم الكرة ح فأوجد مقربا الناتج لثالثة أرقام عشریة حیث
مساحة سطح الكرة ) ٢طول نصف قطر الكرة ) ١
١٢ ٤
١٨ ٦
١٤٧( × ٣(
)٦٣ (
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢ ٧ × ٣( × ٣(
) ٧ × ٢ ٣ (
٧ × ٣ × ٣
٧ × ٣
١ ٢٣
١٦٥ ١
٣٦
٢٣٦
١٣٦
١ ٢٣
١٦٥
١ ٣٢
١ ٢٣
١٦٥
٢٣٢
١ ٣٢
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣٤٣ (
٤ × س٣)١٩٦ (
١ ٣٢
١ ٧٣
١+ س ٣ )٤( × س ــ ٢ )٣ ٧ (
٤ × س٣)٤ × ٢ ٧ (
١ ٣٢
١+ س ٣ )٤( × ١س ــ ٦ )٧ (
٤ × س٣)٤( × س٦ ) ٧ (
١ ٧٣
١ ٧٣
ح ٣٤ π
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٧٩
سم ٥.٢٣٢ T ٥.٢٣٢٢٣ T مل مل مب ٣ = مل مب ٣ = نق: الحل
٣٤٣.٩٨٩٦١٧٥ T ٢ )٥.٢٣٢( × π × ٤ = ٢نق π ٤= مساحة سطح الكرة
T ٢ سم٣٤٣.٩٨٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : األسیة فى حت حل المعــــادال*
:مالحظة ھامة حیث م عدد فردىا= فإن س ا = إذا كان س ) ١
٣= ، س ٨ = ٣ ٢ = ٢= س B ٢= س : مثال ل مشتركحیث م عدد زوجى ، م ، ن لیس بینھما عاما ±= فإن س ا = إذا كان س ) ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:لكل من المعادالت اآلتیة ح أوجد مجموعة الحل فى : مثال
٢٥ ) = ٢ –س ) ( ٢ ٢٧= س ) ١
٠ = ٤ س ــ ٣س ــ ) ٤ ٠ = ٩+ س ١٠س ــ ) ٣
٣٢ ) = ١+ س ) ( ٥
: حل آخر : الحل
برفع الطرفین للقوة ٢٧= س ٥ین للقوة برفع الطرف٢٧= س ] ١[
B ٢٧ = (٣ س( بأخذ الجذر التكعیبى للطرفین ٥ B س ) =٥ ٣ ] = ٣)٣) = [ (٢٧
B ٢٤٣ = ٥ ٣ = ٥ )٢٧؟ ٣= ( س B ٢٤٣= س
B ٢٤٣{ = ح . م { B ح . م = }٢٤٣ {
ح ٣٤ π
٦٠٠× ٣ ٤ π
٣٥٢
٢٣٥٢
٣٥
٤٣٥
٤٥٥
٢٥١ -٥
٢ - ٥ ٢
٣٥٢
٥٣
٣٥٢٥
٣٢
٥٣٢
م ن
ن م
١٣
٣١
٥٣
٣ ٥
م ن
ن م
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٠
٣ برفع الطرفین للقوة ٢٥ ) = ٢ –س ] ( ٢[
B ) حل آخر ٣)٢٥ = ( × ٣ )٢ –س:
B ) ٣ ٥ ± = ٣)٢٥؟ ( ±) = ٢٥ (± = ٢ – س ٣)٢٥ = (٢ ) ٢ –س
B ٣ ٥ ± = ٣ )٢٥؟ (± = ٢ – س B ١٢٥ ± = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س B ١٢٥ - = ٢ – أو س ١٢٥ = ٢ – س
B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س B ١٢٣ -= أو س ١٢٧= س
B ١٢٣ - ، ١٢٧{ = ح . م { B ح . م = }١٢٣ - ، ١٢٧ {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ =٤ س ــ ٣س ــ ] ٤ [٠ = ٩+ س ١٠س ــ ] ٣[
٠ ) = ١+ س ) ( ٤ -س ( بالتحلیل ٠ ) = ١ -س ) ( ٩ -س (
B ٠ = ١ - ، س ٠ = ٩ - س B ١ -= س ٤= س
B ٩= س B ١= س B ١ -= ٣)١ -= (٢ س ٣ ٤ = ٢ س
B٥ ٩ = ٢ س B ١ = ٥ ١ = ٢ س B ١ - ؟ ±= س ٣ )٤؟ ( ±= س h ح
B ٥ )٩؟ ( ±= س B ١ ±= س B ٨ ± = ٣ ٢ ±= س
B ٥ ٣ ±= س B ٨ - ، ٨{ = ح . م{
٢٤٣ ±= س
B ١ - ، ١ ، ٢٤٣ - ، ٢٤٣{ = ح . م {
٢٣٥٢
٣٥٣
٢٣
٤٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥ ٢
٥٥
٢٥٥
٢٣٥
٤٣٥٢٣٥
٢٣٥ ٢
٣٥
٢٣٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨١
: حل آخر ٣٢ ) = ١+ س ] ( ٥[
٢ برفع الطرفین للقوة ٢برفع الطرفین للقوة ــ : الحل
B ) ١+ س ( ٥ بأخذ الجذر للقوة ٣٢ = ٥ B ) ١ - ٣٢ = ٥ ــ )١+ س
B ٢ = " ٣٢؟ ٥ = ١+ س B ) ٣٢= ٥ )١+ س
B ١ = ١ – ٢= س B ٢ ) = ٥ ٢ = ( ١+ س
B ١{ = ح . م { B ١ = ١ – ٢= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: اختصر ] ١[
.، ب الحقیقیة ا صحیحة لجمیع قیم ب ؟ ن× ا ؟ ن متى تكون العالقة ] ٢[
: أكمـل ما یأتى ] ٣[
.......فى ابسط صورة تساوى ) ٦) ( ب.......... (فى ابسط صورة تساوى ) ٨ ) (أ(
......فى أبسط صورة تساوى ١ -مل )٣مل( مب ٣) د ..... ( فى أبسط صورة تساوى ) ( ) جـ(
.......فى أبسط صورة ) ٢ ٣ ــ ٢ ٥) ( ھـ(
- ١ ٢
- ٥ ٢
١٥٥
تمارین على األسس الكسریة والجذورالنونیة والمعادالت
ــ ٢ × ١ــ ٤ ×٨؟ ٢ ٣ × ٢ – ٦
٢٣٥
٢٣٥
١٤٥
٣٢٥
١٦ ٦٢٥
- ٣ ١ ٤
٤٥
١٣٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٢
:اكتشف الخطأ ] ٥[
٩ = ٨١؟ = ٢")٩ -( ؟ ) = ٩ - = ( ٩ــ ) أ ( ٣= س B ٨١؟ ٤= فإن س ٨١ = ٤إذا كان س) ب (
أوجد الزیادة= ( ) إذا كان طول نصف قطر كرة یعطى بداللة الحجم من العالقة نق ] ٦[
. وحدة مكعبة π ٣٦ إلى π فى طول نصف القطر عندما یتغیر الحجم من
]٧ [
ص + فما قیمة س ٢٧= ص ٣= إذا كان س ] ٨[
]٩ [
٢٢٥
ح ٣٤ π
١٢٥
٣٢ ٣
٣٢٥
٢٣٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٣
]١٠ [
: اختر االجابة الصحیحة ] ١١[
] ١، ا س ، ١ –ا ، ا = ...... [
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: و تطبیقاتھا الدالة األسیة *
} ١{ - + حgا لكل سا ) = س(حیث د+ ح Cح : إذا كانت د : تعریف +ح= ولھذا یكون مداھا + ح سا ، ح = ولھذا یكون مجالھا ح س ،
ا فإن د تسمى دالة أسیة أساسھا
، أسھا س ٣ اساسھا س ٣) = س(د: مثل ٢+ اساسھا ، أسھا س ٢+ س) = ( )س( ، د
: مثال
سا + ١+ س ا + ٢+ س ا
١ - سا + سا + ١+ س ا
١٢٥
١٢٥
: تذكر أن
ھو األساس أما األس عدد حقیقى) س ( یكون المتغیر المستقل : الدالة الجبریة] ١[ ٠٠٠٠س ، + ٣س) = س( ، د٢س) = س(د: مثل
ھو األس أما األساس ھوعدد حقیقى) س(یكون المتغیر المستقل : الدالة األسیة] ٢[ موجب ال یساوى الواحد
٠٠٠٠٠ ، ١ – س ٣) = س( ، د س ٢) = س(د: مثل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٤
: بیانى للدالة األسیةالتمثیل ال*
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الرسم أوجد و من] ٤ ، ٣ –[ في الفترة = (۲ ( دأرسم منحنى الدالة : مثال
) ١.٥( د ) ۲ ( ) ٠.٥ –(د ) ١ ( ١٠ ) =( دحل المعادلة ) ٤ ( /۲/٣خح [قیمة تقریبیة للعدد ) ٣(
: الحل
) :٠.٥ –(إلیجاد قیمة د یوازى محور الصادات٠.٥ – نرسم مستقیما عند
٠.٧لیقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٠.٧ ) = ٠.٥ –( د
نرسم كما سبق ) ١.٥( إلیجاد قیمة د ۲. ٨ ) = ١.٥( د : نجد أن
٥ ۲= ٣۲: نالحظ أن /۲/٣خح [إلیجاد قیمة
B ونرسم كما فى السابق ) ۲ ٢؛! (د = ) ٢؛% ( نوجد د
B ٥.٧ = /۲/٣خح [ قیمة
٣ ٤ ۲ ١ – ٠ ١ – ۲ – ٣
٨؛! ٤؛! ٢؛! ١ ۲ ٤ ٨ ١٦ ص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٥
١٠) = س ( د : إلیجاد حل المعادلة یوازى محور السینات ١٠= نرسم مستقیما عند ص
٣.٣ یقابل المنحنى عند نقطة فنجدھا تساوى تقریبا B ٣.٣= عندما س ١٠) = س ( د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات
) ١ ، ٠( احداثیى نقطة تقاطع الدالة األسیة مع محور الصادات ھى ) ھـ (
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٦
:نكون الجدول اآلتى : الحل
٣ ٢ ١ ٠ ١ - ٢ - ٣ - س
٨ ٤ ٢ ١ )س(١د
١ ٢ ٤ ٨ )س(٢د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مثال
١٨٢
١٤٢
١٢٢١
٢٢
١٤٢
١٨٢
(
( (
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٧
: ب = سا تطبیقات تؤول الى معادالت على الصورة
: دالة النمو األسي *
لتمثیل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات ن )ر + ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د
للنمو النسبة المئویة ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث
. فى الفترة الزمنیة الواحدة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: التضاؤل األسي*
ل النمو األسي بنسبة مئویة ثابتة فى فترات لتمثین )ر ـــ ١( ا ) = ن( تستخدم الدالة د
النسبة المئویة للنمو ر القیمة االبتدائیة ، ا ھى الفترة الزمنیة ، ن زمنیة متساویة حیث
. فى الفترة الزمنیة الواحدة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ كل أسبوع ، فإذا كان عدد النحل فى ٪ ٢٥یتكاثر النحل فى آحد الخالیا فیزداد بمعدل : مثال
اكتب دالة أسیة تمثل عدد النحل بعد ن أسبوع . نحلة ٦٠ البدایة . أسابیع٦ ، ثم قدرعدد النحل بعد
أسابیع ٦ = ن ، الفترة الزمنیة ٠.٢٥= = ر ، ٦٠= ا : الحل
: أسبوع ھى ن دالة النمو األسي بعد
ن )١.٢٥ ( ٦٠ = ن )٠.٢٥ + ١ ( ٦٠ = ن )ر + ١( ا ) = ن(د
نحلة ٢٢٩ T ٦ )١.٢٥ ( ٦٠ ) = ٦( د
نحلة ٢٢٩= أسابیع ٦ عدد النحل بعد ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
جنیة فإذا كان سعر السیارة یتناقص بمعدل١٢٠٠٠٠اشترى كریم سیارة جدیدة بمبلغ : مثال . كل سنة ٪ ١٢
. سنة من شرائھا ناكتب دالة أسیة تمثل سعر السیارة بعد ) ١
. سنوات من شرائھا ٦قدر ألقرب جنیة سعر السیارة بعد مرور ) ٢
٢٥ ١٠٠
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٨
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حاول بنفسك : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة األسیة و دالة النمو و التضاؤل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٨٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٠
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*حل المعادالت األسیة *
:قواعد ھامة
d ١ - ، ١ ، ٠ c - حح gا : حیث ن = م : فإن نا = ما : إذا كان -١
١ - = ٤ – ٣ = سB ٣ = ٤+ س فإن ٣ ٣ = ٤+ س ٣إذا كان : مثال
:فإن مب = ما : إذا كان -٢
ب _{ ا ، ٠{ ب ، ٠{ ا حیث ٠= م *
٤= س B ٠ = ٤ –س : فإن ٤ - س ٥ = ٤ - س ٧: مثال
٠{ ب ، ٠{ اا فردیا ، عددم إذا كان ب= ا *
= س B ٣ = [ ] = ٣ سإذا كان : مثال
٠{ ب ، ٠{ اعددا زوجیا ، م إذا كان | ب | = | ا | *
_= س B ٢= [ ] = ٢س : مثال
١ ٨
١ ٢
١ ٢
١ ٤
١ ٢
١ ٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩١
٣ _= ص B ٤ )٣ - = ( ٤) ٣ = (٨١ = $، ص
١ _{ ا ، ٠{ ا حیث ٠= م :فإن ١ = ما : إذا كان -٣ ٢= س B ٠ = ٢ – س B ١ = ٢ - س ]٣ة [ إذا كان : مثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: مثال
: الحل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د حل المعادلة س٣) = س ( إذا كانت د: مثال :الحل
A ٢٧٠) = ١ –س ( د ) + ١+س ( د B ٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١+ س ٣
B ١ ــ ٣ + ٣ ( س ٣ = (٢٧٠ B س ٣ ) ٢٧٠ + ) = ٣
B ٢٧٠= × س ٣ B ٤ ٣ = ٨١= × ٢٧٠ = س ٣
A االساس = االساسB األس = األسB ٤= س
ص = س ٣ بفرض٢٧٠ = ١س ــ ٣ + ١ + س ٣ : خرآحل
٢٧٠ = ١ــ ٣× ص + ٣× ص B ٢٧٠ = ١ــ ٣ × س ٣ + ٣ × س ٣
B ٢٧٠ + ) = ٣( ص B ٢٧٠= × ص B و بالتعویض ٨١= ص B ٤ ٣ = س ٣ B ٤= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=ــ : ن إثبت أ س٣) = س(إذا كان د: مثال
: الحل
١ –س – ١ – س ٣ – ١ +س -١ + س٣= ــــــــــــ - ــــــــــــ = یمن اال
=٩ = ٢- ٣ – ٢ ٣ - =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س ٢٧) = س ( ٢ د ، س٩) = س ( ١إذا كانت د: مثال
٢٥٢) = ١ –س ٢ (٢د) + س٣ (١د: حل المعادلة
١ ١٠ ٣
٣ ٣
١٠
١ ٣
١٠ ٣
١ + س٣ ١ – س ٣
١ - س٣ ١ – س ٣
١ ٩
٨٠ ٩
)١+س(د )١-س(د
)١-س(د )١+س(د
٨٠ ٩
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٣
: الحل B ٢٥٢ = ١ -س ٢ ٢٧ + س ٣ ٩ B ٢٥٢= ٣ –س ٦ ٣ + س٦ ٣
B ٢٥٢ ) =١ + ٣ ٣ ( ٣ -س ٦ ٣ B ٢٥٢ = ٢٨ × ٣ -س٦ ٣
B ٩ = ٣ -س ٦ ٣ B ٢ ٣= ٣ –س ٦ ٣ B ٢ = ٣ – س ٦ B ٥= س ٦ }{ = ح ٠ م
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
:مثال
: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ٤) = س(٢ ، دس ٨) = س(١إذا كان د: مثال
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ حل المعادلة د
س ٢ ٢ = س )٢ ٢) = ( س(٢ ، د س ٣ ٢ = س )٣ ٢) = ( س(١د: الحل
٨٠ ) = ١ – س ٣(٢د) + س ٢(١ د: المعادلة
B ٨٠ = )١ – س ٣ ( ٢ ٢ + س ٢ × ٣ ٢ C ٨٠ = ٢ – س ٦ ٢ + س ٦ ٢
C ٨٠) = ٢ - ٢ + ١( س ٦ ٢ C ٨٠= × س ٦ ٢
C ٨٠ = س٦ ٢ × B ٦ ٢ = ٦٤ = س ٦ ٢ B ٦= س ٦ B ١= س
٥ ٦
٥ ٤ ٤
٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٤
:حل المعادالت بیانیا *
اطع دالة خطیة مثال ثم نوجد نقطة تق) س(٢دالة أسیة ، د) س(١ نرسم منحنیي الدالتین د
االحداثى السینى لنقطة التقاطع= فإن مجموعة الحل ) س ، ص ( منحنیي الدالتین و لتكن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س – ٣) = س(٢ ، دس ٢) = س(١كل واحد منحنیى الدالتین دارسم فى ش: مثال
س – ٣ = س ٢ و من الرسم أوجد مجموعة الحل للمعادلة
: ومن الرسم نجد ٢ ، د١نرسم منحنیى الدالتین د: الحل
)٢ ، ١( نقطة تقاطع المنحنیین
B ١{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على حل المعادالت و تطبیقاتھا
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٥
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : الدالة العكسیة *
)أبو ب ا ( ع ب تعنى ا حیث صص الى سسالشكل المقابل یمثل عالقة من : مثال توضیحى ھذه العالقة دالة أحادیةصص g ، ب سس gا لكل ، ) ل عبد هللا ، أم( ، ) عماد ، نیرة ( { =١ع بیان
}) عاطف ، غادة ( ، ) أسامة ، جنة ( دالة أحادیة) ا ب إبنة ( تعنى سس الى صص وإذا كانت العالقة من
) أمل ، عبد هللا ( ، ) نیرة ، عماد ( { = ٢ع بیان } ) غادة ، عاطف (، ) جنة ، أسامة ( ،
٢عدالة عكسیة للدالة ١ع الدالة : نالحظ أن
: الدالة العكسیة صص إلى مجموعة سسإذا كانت الدالة د أحادیة من مجموعة
تسمى دالة عكسیة للدالة د سس الى صصمن ١ - الدالة د: فإن
١ – د g) ص ، س ( د فإن g) س ، ص ( لكل إذا كان
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٦
:مالحظات ھامة
س= ھو صورة منحنى الدالة د باالنعكاس فى المستقیم ص ١ــ منحنى الدالة د) ١
لكى یكون للدالة د دالة عكسیة یجب أن تكون د دالة أحادیة) ٢
خط األفقى أى یحقق منحنى د اختبار ال
إذا قطع أى مستقیم أفقى المنحنى فى نقطة واحدة (
) فإن المنحنى یمثل دالة أحادیة
) ال تحقق اختبار الخط األفقى ( إذا كانت الدالة لیست أحادیة ) ٣
)لیست أحادیة ( ٢س= مثل ص . فإن معكوسھا ال یمثل دالة
س ال یمثل دالة ؟= | ص | معكوسھا
.إلیجاد الدالة العكسیة أوال نقوم بتبدیل المتغیرات ثم نوجد ص بداللة س ) ٤
١+ س = ص ٣ B ١ – ص ٣= فإن س ١ – س ٣= إذا كان ص : مثال
B ١+ س = ( ص ( B١ــ د)١+ س ) = ( س(
س ) = س (١ــ دB ٣ص= فإن س ٣س= ، إذا كان ص
١ ٣
١ ١ ٣
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٧
:من خواص الدالة العكسیة دالة عكسیة لألخرى ) س(، ر) س(یقال أن د) ١
س) = س)( دºر( س ، ) = س) ( رºد ( إذا كان )س(١ـــمدى الدالة العكسیة د) = س(مجال الدالة د) ٢
)س(١ــ لة العكسیة دمجال الدا) = س( مدى الدالة د ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
و مثل الدالة و معكوسھا بیانیا١+ س ٢) = س(أوجد الدالة العكسیة للدالة د حیث د: مثال . فى شكل واحد
١ –س = ص ٢ B ١+ ص ٢= س B ١+ س ٢= ص A: الحل
B ١ –س = ( ص ( B١ــ د)١ –س ) = ( س (
:و یالحظ أن
ھما متماثالن منحنا١ ــ الدالة د و الدالة العكسیة د
س = بالنسبة للمستقیم ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: فأوجد "١" –"س ؟ + ٣) = س(إذا كانت د دالة بحیث د: مثال و عین مجالھا و مداھا) س(١ــ د) ب) س(و مدى د) س(مجال د) أ
)س(١ــ ، د) س(مستخدما أحد البرامج الرسومیة ارسم الشكل البیانى لكل من د) جـ
١ X أى س ٠ X ١ –معرفة لجمیع قیم س ) س(د) أ : ( الحل
B١) = [ س( مجال د ، ∞ ]
A ١" –"س ؟" X لجمیع قیم س الواقعة فى مجال الدالة ٠
١ ٠ ١ - س
٣ ١ ١ - )س(د
٠ ٠.٥ - ١ - )س(١ــ د
١٢
١٢
)س( ١ــمجال د
)س(د س
)س(مجال د )س(مدى د
)س( ١ــمدى د
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٨
B ١" –"س ؟ + ٣" X ٣ Gس( د (X ٣ Bمدى د )٣) = [ س ، ∞] باستبدال المتغیرات س ، ص "١" –"س ؟+ ٣= ص A) ب (
B ١" –"ص ؟+ ٣= س" B بتربیع الطرفین "١" –"ص ؟ =٣ – س B ) ٣ –س( ١ –ص = ٢ B ص ) = ١ + ٢ )٣ –س B١ + ٢ )٣ –س ) = ( س(١ــ د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة العكسیة
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
٩٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٦ (
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٠
: بیانیاالدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا *
+ح gص ، ح g س ،}١ {– +ح g ا : إذا كان :تعریف ا= ص األسیةدالة عكسیة للدالة سالـــــو = ص الدالة اللوغاریتمیة: فإن
س ٥ ٢ = ٣٢ E ٥ = ٣٢ ٢ ، لــو٣ = ٨ ٢ لـــــــوE ٣ ٢ = ٨: مثال
، ٥ ٣ = ٢٤٣ E٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــو : مالحظات
األساسس لوغاریتم تقرأ س ا لـــــو* الدالة اللوغاریتمیة ھى الدالة العكسیة للدالة اآلسیة *
ال معنى لھ صفر ۲لو ، ٣ – ٤ لو: ال معنى للحدیث عن لوغاریتم عدد غیر موجب فمثال *
جبا یختلف عن الواحد الصحیح ا مو یجب أن یكون عددااألساس *
ال معنى لھ ٧صفرلو ، ٨ ۲ - لو: فمثال
:اللوغاریتمات المعتادة * ]وقد أتفق على حذف ھذا األساس [وال یكتب ١٠= للوغاریتمات التى أساسھا ھى ا
٣ ١٠لو تعنى ٣لو : فمثال : وعلى ذلك یكون
١٠لو = ١٠٠ ، لو ١ = ١٠لو ۲
وھكذا ٣= ٣ ١٠لو = ١٠٠٠، لو ۲= وھكذا ٣ - = ٠.٠٠١، لو ۲ – = ٠.٠١ ، لو ١ – = ٠.١، لو
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ جالو= فإن ب ج = ب ا: اللوغاریتمیة العكس التحویل من الدالة األسیة الى
: مثال
٧ = ١٢٨ ٢ لـوB ١٢٨ = ٧ ٢ A) أ : ( الحل
١٠ = ٣٢ ٢ ؟ لــو B ٣٢ = ١٠ )٢؟ ( A) ب (
٢ ٢ -= لــو B = ٢ ــ ( )A) جـ (٣
٩٤
٩٢ ٤
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠١
: التحویل من الدالة اللوغاریتمیة الى الدالة األسیة
: حول كل مما یأتى إلى الصورة األسیة : مثال
صفر = ١لــو ) جـ ( ٥ - = ٣لــو ) ب (١٠ = ٣٢ ٢؟لـو ) أ (
٢ = ٩ ٣لـو ) و ( ٣ -= لــو ) د ( ١ = ٧ ٧لــو ) ھـ (
صفر = ( )١) جـ (٥ــ ٣) = ب ( ١٠ )٢ ؟ = ( ٣٢) أ : ( الحل
٢ ٣ = ٩) و ( ٣ ــ ١٠ = )د ( ١ ٧ = ٧) ھـ (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : ایجاد قیمة لوغاریتم عدد ألساس معلوم*
: مة كل من اوجد قی: مثال ٧ ٧ـوـل) ٤ ١۲٥ ٥ــو لـ) ٣ ۲٤٣ ٣ـولــ) ٢ ٦٤ ۲ــو لـ) ١
سB ۲ ٦٤ ۲ـو لــ= نفرض أن س ) ١ : الحل = ٦٤ = ۲ ٦
B ٦= س B ٦= ٦٤ ۲ـو لـــ
٣ B ٢٤٣ ٣ــــــــــولـ= نفرض أن س ) ۲ س
= ٣ = ٢٤٣ ٥
B ٥= س B٥ = ٢٤٣ ٣ لـــــــــــو
٥ B ١٢٥ ٥لـــــــــــو= نفرض أن س ) ٣ س
= ٥ = ١٢٥ ٣
B ٣= س B ٣ = ١٢٥ ٥لـــــــــــو
٧ B ٧ ٧ــــــــولـــ= نفرض أن س ) ٤ س
= ٧ = ٧ ١
B ١= س B ١ = ٧ ٧ لـــــــــــو
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧؟ ٤ ٣لــو ) ب (٠.٠٠١لـو ) أ : ( أوجد قیمة كل مما یأتى : مثال : الحل
١٢
١ ٢٤٣
١ ١٠٠٠
١ ٢٤٣
١٢
١ ١٠٠٠
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٢
: حل المعادالت اللوغاریتمیة*
: مجموعة كل من المعادالت اآلتیة ح أوجد فى : مثال
١=)١ -س ( ٣لو) ٤ (٢) = ٢+ س ( سلـو) ٣ (٢= س ٥ سلـو ) ٢= ( س ٨١لـو) ١(
: الحل
٢= س ٥ سلـو ) ٢ (= س ٨١لـو) ١ (
B ٣ ٣ ) = ٤ ٣ ) = ( ٨١= ( س B ٢س= س ٥
B ٢٧= س B ٢٧{= ح . م {B٠= س ٥ ــ ٢ س
٠ ) = ٥س ــ ( س Bـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــ
)٣ (A سلـو ) ٢ ) = ٢+ س B ٠= س h ٥= مجالھا ، س gمجالھا
B ٢س = ٢+ س B ٥{ = ح . م {
Bــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ٠ = ٢ ــ س ــ ٢ س
B ) ٤ (٠ ) = ١+ س )( ٢ –س (A٣ لو ) ١) = ١ -س
B ١ــ = ، س ٢= س h المجال B ١ ٣ = ١ – س B ٤ = ١ + ٣= س
B ٢{ = ح . م { B ح . م = }٤{
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو :اوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
١ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س( ٣ لـــــو٢لـــــــو
A لجمیع قیم س ٠ > ١٥+ س ٧ ــ ٢س g٠ > ١٩= أ جـ ٤ ــ ٢ ح الن الممیز ب
B ٢ = ١ ٢ ) = ١٥+ س ٧ ــ ٢س (٣ لـــو B٩ = ٢ ٣ =١٥+ س ٧ ــ ٢ س
B ٠ = ٦+ س ٧ ــ ٢س B ) ٠ ) = ٦ –س )( ١ –س
B ٦= ، س ١= س
٣٤
٣٣ ٤
٤٣٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٣
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: الحل
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٤
:إستخدام اآللة الحاسبة logإلیجاد اللوغاریتم المعتاد ألى عدد حقیقى موجب نستخدم
shift log ( 10( ، و إلیجاد العدد الحقیقى الموجب إذا علم لوغاریتمھ المعتاد نستخدم x
٥٧.٠٦ لو بإستخدام الحاسبة أوجد:مثال : الحل
= log 5 7 . 0 6: ة خطوات اآلل ١.٧٥٦٣ = ٥٧.٠٦لو : نجد أن
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
تمارین على الدالة اللوغاریتمیة و تمثیلھا
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٥
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
: یكون }١ {– +حح g ا ، +حح gإذا كان س ، ص
: خاصیة الضرب فى اللوغاریتمات – ١
ص × س ا لـــــو= ص ا لـــــو+ س ا لـــــو
١٥ ا لـــــو ) = ٥ × ٣ ( ا لـــــو = ٥ ا لـــــو + ٣ ا لـــــو: فمثال ٨ جـلـــو + ٧ جـلـــو ) = ٨ × ٧ ( ج لــــو = ٥٦ جـ ، لــــو
٧ ا لـــــو × ٣ ا لـــــو × ۲ ا لـــــو { ) ٧ × ٣× ۲ ( ا لـــــو= ٤۲ ا لـــــو، :مالحظة ھامة
ص ا لـــــو+ س ا لـــــو ≠ ) ص+ س ( ا لـــــو ص ا لـــــو× س ا لـــــو ≠) ص × س ( ا لـــــو ،
:خاصیة القسمة فى اللوغاریتمات – ۲
ـــــــ ا لـــــو= ص ا لـــــو–س ا لـــــو
٧ب ــ لــو٣ بلـــو = ب، لـــو ا لـــــو = ٧ ا لـــــو – ٥ ا ـولــــ : فمثال
ص ا لـــــو – س ا لـــــو ≠) ص –س ( ا لـــــو : مالحظة ھامة ص ا لـــــو÷ س ا لـــــو ≠) ص ÷ س ( ا لـــــو ،
بعض خواص اللوغاریتمات
س ص
٥٧
٣٧
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٧
: وغاریتم القوة خاصیة ل– ٣
س ا لـــــو ن
س ا لـــــون =
٣ ا لـــــو = ٩ ا لـــــو: فمثال ۲
٢ لــو ٣ = ٣ ٢ بلــو = ٨ ب ، لـــو ٣ ا لـــــو ۲ =
١= س ســــو ـل – ٤
١ = ٨٨ ، لــــــو ١ = ٧ ٧ ــولـــ ، ١ = ٦ ٦ لـــــو: فمثال
صفر = ١ ا لـــــو – ٥
صفر = ١ ٧ ، لــــــو صفر = ١ ٤ لـــــو: فمثال
= س صلـو : خاصیة تغیر األساس -٦
= = = = ٨ ٤ لـو: فمثال
١= ا بلو × ب ا حیث لو= ب ا لـو: خاصیة المعكوس الضربى -٧
١= × ٧ ٣لـو = ٣ ٧لـو × ٧ ٣لـو: فمثال
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣ "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢ "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١أوجد فى أبسط صورة : مثال
= ٥ ٥لـو ) = ٥ ( ٥لــو ) = ٣ ٥ ( ٥لـو = "١٢٥؟ ٤ ٥لـو) ١: الحل
= ٣ ٣لـو ) = ٣ ( ٣لـو ) = ٥ ٣ ( ٣لـو = "٢٤٣؟ ٧ ٣لـو) ٢
١ = ١٠لـو = لـو = ٣ ــ لـو ٣٠لـو ) ٣
سالـو ص ا لـو
٨ الـو ٤ ا لـو
٣ ٢ الـو
٢ ٢ ا لـو
٢ ا لـو٣
٢ ا لـو٢
٣٢
١ ا ب لـو
١ ٧ ٣ لـو
١٤
٣٣ ٤
٤ ٣٤
١٥ ٧
٧
٥٥ ٧
٧ ٣٠
٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٨
١.٤٦٥ T ٥ ٣ فى أبسط صورة إذا كان لـو١٥ ٣أوجد قیمة لـو: مثال
٢.٤٦٥ = ١ + ١.٤٦٥ = ٣ ٣لـو + ٥ ٣لـو = ٣ × ٥ ٣لـو = ١٥ ٣لـو: الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣٠ لو – ٣ لو ٢( + ) + لو + ٢٥ لو ٢: اختصر البسط صورة : مثال
٣٠ ــ لو ٢ ٣لو + لو + ٢)٢٥(لو = المقدار : الحل
١٠٠لو = × ٩ × × ٢)٢٥(لو =
٢ = ١٠ لو ٢ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٩ ٧لو × ٨ ٩لو × ٥ ٨لو × ٤٩ ٥لو: اختصر: مثال
٢= = = × × × = المقدار : الحل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣= أثبت أن : مثال
٢ ( )لو ÷ ٦( ) لو = لو ÷ لو = االیمن : الحل
الیسر ا = ٣= لو ٢÷ لو ٦ =
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٣ـو ل + ۲ـو لـ ( ۲ = ۲ــو س ص ل– لــو ص ٤+ لــو س ٣: إذا كان : مثال ]بنفس المعطى فى سؤال أخر یطلب قیمة س ص [ ٦= س ص : اثبت أن
:الحل ٣ــو ل۲ + ۲ــو ل۲ = ۲ـو س ص لـ– لــو ص ٤+ لــو س ٣
۲ )٣( ــول + ۲)۲( ـولــ = ۲ــو س ص لـ– ٤لــو ص + ٣ــو سل
٩ × ٤ــو لـ = ٩لـــــو + ٤ لــــو= ـــــــــــــــــ ــو ـــــلــ
٦= س ص B ٣٦ = ۲ ص۲س B ٣٦ـو لــ = ۲ ص۲ـــو سـل
١٣
١٥
٨ ١٥
٨ ١٥
١ ٣٠
٤٩ لـو ٥ لـو
٥ لـو ٨ لـو
٨ لـو ٩ لـو
٩ لـو ٧ لـو
٤٩لـو ٧ لـو
٧لـو٢ ٧ لـو
٦٤ ــ لو ٧٢٩ لـو
٤ ــ لو ٩ لـو ٧٢٩
٦٤ ٩ ٤
٣٢
٣٢
٣٢
٣٢
نجعل الطرف األیمن "لــو " بھ
واحد فقط باستخدام القوانین
٤ص × ٣ س ۲ص × س
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٠٩
لو ص+ لو س + ١) = ص+س( لو ٢ س ص أثبت أن ٨ = ٢ص + ٢إذا كان س: مثال
س ص للطرفین٢ س ص باضافة ٨ = ٢ص + ٢ سA: الحل
Bس ص ٢ + س ص ٨ = ٢ص+ س ص ٢ + ٢ س
B ) س ص بأخذ لوغاریتم الطرفین ١٠ = ٢)ص + س
B س ص ١٠لو = ٢)ص + س ( لو
B لو ص + لو س + ١= لو ص + لو س + ١٠لو ) = ص + س ( لو ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢ص ٣س ٢ لــو– ص ٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص : مثال :الحل
٢)س ص ( ٢لـــــو = ٢ ص٢ س٢لــــو= ـــــــــــــــــــــ ٢لــــــو= المقدار
٥ = ١ × ٥ = ٢ ٢ لــــو٥ = ٥ ٢ ٢لــــو= ٣٢ ٢لــــو = ٢ )٢ ؟ ٤ ( ٢ــــول = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
١ - = ٦٤ ٨ لــــــو٤و لـــــ٢ لــــو: إثبت أن :مثال
٨ ٨ لـــــو٢ ٤ لــــــو٢لـــــو = ٢ ٨ ٨ لـــــو٤ لــــــو٢لـــــو= المقدار : الحل
٤ ٤ لـــو٢لــــو = ) ٤ (٤ لــــــو٢لــــو =
١ - = ٢ ٢لـــو١- = ١- ٢ ٢لــــو= ٢لــــــو = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
: الحل A ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س
B ــــــــــــــــــــــــــــــ= لــــو س B ٥لــــو = لــــو س B ٥= س
٢ص × ٣س ٤ص × ٥س
١ ١ ٢
١ ٢ ٢
١٢٥ لو– ٢)٥لو( ٠.٠٠٥لو
٣ ٥ لو– ٢)٥لو( ١٠٠٠ لو – ٥لو
٥ لو٣ – ٢)٥لو( ٣ – ٥لو
٣ – ٥لو ]٣ – ٥لو [ ٥لو
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٠
:اللوغاریتمیة المعادالتحل *
: أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتیة :مثال ٠ ) = ٣+ س ٢( لـــو س ــ لـــو ٢) ١
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ( ) ٣
٢ لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س ( لو ) ٤
٢ = ٣ سلو+ س ٣لو) ٥
:الحل ١ ( A و س ــ لـــو لـــ٢ )٠ ) = ٣+ س ٢
B ٣+ س ٢( لــو = لــو س ٢ (
B٣+ س ٢( لــو = ٢ لــو س (
B ٣+ س ٢ = ٢ س B ٠ = ٣ – س ٢ – ٢ س B ) ٠ ) = ١+ س ) ( ٣ –س
B مرفوض ١ -= ، س ٣= س B ٣{= ح . م {
٢ ٣ـو لـ٣ ) = ١+ س ( ٣ـو لـ ) + ١ –س ( ٣ــو ـل )٢
B٣ ٢ ٣لــو ) = ١+ س )( ١ –س ( ٣ لــو B٨ ٣لــو ) = ١ ــ ٢س ( ٣ لــو B٨ = ١ – ٢ س B٩ = ٢ س B مرفوض٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٣ (A ) ٤ = ٣ــو سل – ٢) ـو س لــ
B )٠ = ٤ – ـو س لـ٣ – ٢) ـو س لـ B )٠ ) = ١+ ـو س لـ ) ( ٤ –ــو س ل
:مالحظة بالتعویض
عن قیمة س فى المعادلة األصلیة لمعرفة ما إذا كان یمكن قبول ھذا
العدد أم رفضھ حیث ال یوجد اریتم لعدد سالبلوغ
تذكر دائما أننا نجعل كل طرفواحد لنتمكن من " لــو " بھ
" لــو " الحل و ھنا نتخلص من بالتحویل الى الصورة األسیة
٢)لوغاریتم ( إذا وجدنا دائماتذكر دم التحلیل اعلم أننا سوف نستخ
لنتمكن من حل السؤال
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١١
B ١٠= منھا س ٤= لــو س ٤
=١٠٠٠٠ ١٠= منھا س ١ –= ـو س لـ،
٠.١ = ١ــ B ٠.١ ، ١٠٠٠٠{ = مجموعة الحل {
٤ (A لو ) ٢لو – ١ ) = ٢ –س ( لو ) + ٢+ س
B ٢ ــ لــو ١٠لــو ) = ٢س ــ ) ( ٢+ س ( لــو
B ٥لــو = لــو ) = ٤ ــ ٢س( لــو B٥ = ٤ ــ٢ س B٩ = ٢ س
B مرفوض ٣ -= ، س ٣= س B ٣{ = ح . م {
٥ (A ٢ = ٣ سلو+ س ٣ لو Bس٣ بالضرب فى لو٢+ = س ٣ لو
B ) س ٣لو (س ٣ لو٢ = ١ + ٢ B ) ٠ = ١+ لوس ٢ ــ ٢) س ٣لو B ) ٠ ) = ١ ــ س٣ لو ) ( ١ س ــ ٣لو B ١= س ٣ لو B ٣= س g المجال B ٣{ = ح . م {
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٢لــو= " ٢" -" س؟ ٣لــو + "١- " س٣ ؟ ٣لو حل المعادلة : مثال : الحل
B ٢لو ) = " ٢ "– "س")( "١" - "س" ٣ ( ؟ ٣ لــــو
B )بالتكعیب ٢ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣
B )٨ ) = ٢ –س ) ( ١ – س ٣ B ٨ = ٢+ س ٧ – ٢س٣
B ٠ = ٦ – س ٧ – ٢ س٣ B )٠ ) = ٣ –س ) ( ٢+س ٣
B ٣= س ، = س
B ٣، { = ح . م {
١٠ ٢
١ س٣ لـو
١ ٣
١ ٣
-٢ ٣
-٢ ٣
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٢
:حل المعادالت األسیة باستخدام اللوغاریتمات*
٩ فاوجد قیمة المقدار ٣ـو لـ ÷ ٥لـــو = إذا كانت س : مثال س
– ٣ ٢+ ١+ س
:الحل A ـــــــــــــ = س B ٥لـــو = ٣ س لــو B ٣ لــو
س٣ B ٥لــو =
س =٥
B ٩= المقدارس – ٣
) ٢ ٣ = (٢+ ١+ س س – ٣
٢ + ٣ × س
) = ٣س
( ٣ – ٢ ١٢ = ٢ + ١٥ – ٢٥ = ٢ + ٣ × ٥ – ٢)٥= (٢ + ٣ × س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠.٠٠٧٥ –= لو س : أوجد قیمة س إذا كان : مثال :الحل
shift log ( 10 ( – = 5 7 0 0 . 0 : خطوات اآللة x
٠ . ٩۲٨٩= س : نجد أن
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ) ٨: (اوجد مجموعة حل المعادلة : مثال
+ س
١) = ٩ (
–س ۲
:الحل للوغاریتم للطرفین نجد أنبأخذ ا
) ٨(لـــــــــــو + س
١
) ٩(لــــــــــــو = –س
۲ ٩لـــــــــو ) ۲ –س = ( ٨لــــــــــــو ) ١+ س (
٩ــو ـلـ۲ – ٩ــو س لــــ = ٨لـــــــو + ٨س لــــــــــو ٩ــو لــ۲ – ٨ـــو لــــ– = ٩ س لــــــو – ٨ـــو س لــــ
٩ـو لــ۲ – ٨ــــو ل– ) = ٩ لـــو – ٨ـو لـــ( س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
: باستخدام اآللة الحاسبة من الیسار إلى الیمین كاآلتي ( - 2 log 9 – log 8 ) ÷ ( - log 8 – log 9 ) =
B ٥٤.٩٦٤٥= س
٥ـو لــ ٣ــو لـ
٩لـــــــــو ۲ – ٨ لــــــــــو –
٩ لــــــــــو – ٨لــــــــــو
"لــو " تذكر دائما أننا نأخذ الطرفین فى المعادالت التى
یصعب أن نجعل فیھا األساس= األساس
و المعادالت االسیة
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٣
٥ ×۲: إذا كان : مثالص
فاوجد قیمة ص ألقرب رقم عشرى۲+ ص ۲ × ٥ = : الحل
: بأخذ اللوغاریتم للطرفین نجد أن ٥ ×۲( لــــــــــو
ص ) ۲+ ص ۲ × ٥(لـــــــــو ) =
٥لــــــــــو + ۲ لـــــــــوص
۲+ ص ۲لـــــــــو + ٥لـــــــــــو = ۲لــــــــو ) ۲+ ص + ( ٥لـــــــــو = ٥ص لـــــــــو + ۲ لــــــــو ۲لــــــــو ۲ + ۲ص لــــــــو + ٥لــــــــو = ٥ص لــــــــو + ۲ لــــــــو
۲ لــــــــو – ۲لــــــــو ۲ + ٥لــــــــو = ۲ ص لــــــــو – ٥ص لــــــــو ۲لــــــــو + ٥لــــــــو ) = ۲لــــــــو – ٥ـو لـــــــ( ص
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ص
( log 5 + log 2 ) ÷ (log 5 – log 2 ) =
۲ . ٥= ص ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ
٢+ س٣ × ٧= ١+س ٢ ٥أوجد قیمة س حیث : مثال :الحل
بأخذ لوغاریتم الطرفین A ٢+ س٣ × ٧لــــو = ١+س ٢ ٥لــو B ٢+ س٣لــو + ٧لــو = ١+س ٢ ٥و لـــ
B )٣لو)٢+س + (٧لو = ٥لو)١+س٢ B ٣لو٢ + ٣س لو + ٧لو = ٥لو+ ٥س لو٢
٥لو – ٣ لو ٢ +٧لو ) = ٣ لو – ٥لو٢(س B ٥ لو– ٣لو٢ +٧لو = ٣ س لو– ٥س لو٢
١.١٩= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٢٧ = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨ : أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال
:الحل بأخذ لوغاریتم الطرفین
B ٢٧لـــو = ٢+ س ٩× ١+س ٢ ٨لــو B ٢٧لو = ٢+ س ٩لـو + ١+س ٢ ٨ لـــو
۲لــــــــو + ٥ لــــــــو
۲ ــ لــــــــو ٥ لــــــــو
٥ لو– ٣ لو٢ + ٧لو ٣ لو– ٥لو٢
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٤
B )٢٧لو = ٩لو) ٢+س +(٨لو) ١+س٢ B٢٧لو = ٩لو٢+٩س لو +٨لو + ٨س لو٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو = ٩س لو + ٨س لو ٢
B ٨ لو– ٩لو٢ – ٢٧لو ) = ٩لو + ٨لو٢( س
B ٠.٥ -= ـــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــ= س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢ :أوجد قیمة س التى تحقق أن : مثال :الحل
٠ ) = ٥ – س٢) ( ٣ – س٢ (
٥ = س٢ ٣ = س٢
بأخذ لو الطرفین بأخذ لو الطرفین
٥لو = س٢ لو٣لو = س٢لــــو
٥لو = ٢ س لو٣لو = ٢س لو
ــــــــــــ= ـــــــــــ س = س
= ٢.٣= ١.٦
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٨ لو– ٩ لو٢ – ٢٧لو ٩لو + ٨ لو٢
٣لــو ٢لــو
٥لــو ٢لــو
تمارین على خواص اللوغاریتمات
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٥
٢ص ٣س ٢ لــو– ص٢ لــو٤+ س ٢ لــو٥ أوجد قیمة المقدار ٢ ؟ ٤= إذا كان س ص ) ٩(
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٦
:تمارین متنوعة على اللوغاریتمات
ــ: أوجد قیمــة كل من ] ١[
١٠ ٥لو + ١٦ ٥لو – ٤٠ ٥لو) ١
۲٤ ٤لو + ٤۲ ٤ لو – ٥٦ ٤لو+ ۲ ٤لو) ٢
٧٣ لـو - لـو ٤ - لـو ٢ - لـو ٣) ٣
٢٥ ٥ لــــــو٤ــــولـ ٢لــــو )٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــ: إثبــت أن ] ٢[
٢٧ ٣لـو = لـو + ٢ لـو- ٢لـو ) ١
٣٦ ٦وـ ل =٠.٣وـل ۲ – ١۲وـل + ٠.٧٥و ـل) ٢
٢) = ٣
)٣وـل + ٢وـل ( ٢ =٢ ص٥س وـل –وص ـ ل٤+وسـل ٧إذا كان = س ) ٤
س ص لو:ثم إثبت أن س صلو = ۲س وـل ) ٥
٣ س۲ص لو +
٦ سص لو ٦ =
ص ٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمــة س فیما یلى ] ٣[
١٧٥وـ ل + ١۲٥وـ ل –٣٥وـ ل =٤.٩وـل+ وس ـل) ١ ٠.٣ لـو ٢ - ١٢لـو + لـو = س ٢لـو ) ٢
٨لو ) = ١+ س ( و ـل ) + ١ –س ( وـل )٣ ١) = س٩ + ۲س( و ـل) ٤
١ ٢
٥ ٣
٥ ٧
١ ٣
٧ ١٢
٤٠ ١٣
٩١ ٦٠
٤٥ لو – ۲لو + ١ ١٥ لو – ١
٦ ص
٣ ٤
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٧
:ادالت اآلتیةعأوجـد مجمـوعة حل الم] ٤[
٨= س ۲وـ ل۲ + ۲ ) س۲وـل () ٢ ٣) = ٢-س ( ٢لـــــو+ س ٢لـــو) ١
٤= ــــــــــــــ + س ۲لو) ٤ ٤لـــــو س = ٣)لــــو س( ) ٣
٣٢ = ٦٤ × ٢) ٦ ٢ = | ١+ س | ٣وـل) ٥
٠ = ١٥ + س٢ × ٨ – س٢ ٢) ٨ ٤+ س ٣ = ٣ – س ٢ ٥) ٧ ١ ) = ١٧ – ٢س ( ٢لـو ٣لـو) ١٠ ) ظا (٣لو= س ) ٩
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :أوجد قیمة س ألقرب رقمین عشریین فى كل مما یأتى ] ٥[
٧.١٢ = ٥ – س ٣ )١٨(إذا كان ) ٢ ١٧ = س ٥إذا كان ) ١
) ٣٦ ÷ س ٦ = (١ –س ٥) ٤ ٢ –س ٩ = ١+ س ٨ إذا كان) ٣
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : عشرى بإستخدام حاسبة الجیب أوجد قیم س مقربا الناتج لرقم] ٦[
١ (۲ ۲ × ١٠ – س ۲
س + ۲٠= ٤
٥ × ٣) ٢ ١+ س ۲
=۲٩ × ٥ ١+ س
٢ لـــــو٣ – ٧ لــــو ٢= س ) ٣
٢٠٠) = ٢ –س ( د) + س( د، س ٣) = س(إذا كان د) ٤ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نق ط ٣؛$ = إذا كان حجم الكرة ] ٧[٣
٣ سم٩٠٤.٣۲ = أوجد طول نصف قطر الكرة التى حجمھا
لقرب سم ٣.١٤= متخذا ط ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــ أوجد قیمتى س ، صــــــــ= ــــــــــــــ = إذا كان ــــــــــــ ] ٨[
٣ س ۲لو
)لــوس ( ٢)لــوس (
ط ٣
لـــو س ٥لـــو
٩لـــو ٣ـو لــ
٤٩لـــو لــــوص
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٨
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١١٩
)علمى ( الصف الثانى الثانوى )جبـر( الریاضیات البحتة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠١١٥٤٨٠٢٨١١/ خالد المنفلوطى معلم خبیر ریاضیات ت / اعداد االستاذ
١٢٠