Математические вопросы механики разрушения

åéêéáéÇ ç.î.

åÄíÖåÄíàóÖëäàÖ Çéèêéëõ åÖïÄçàäà êÄáêìòÖçàü

117

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

ç. î. åéêéáéÇ

ë‡ÌÍÚ-èÂÚÂ·Û„ÒÍËÈ „ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ

ÇÇÖÑÖçàÖ

Корни науки о прочности теряются в глубиневеков. Висячие сады в древнем Вавилоне, пирамидаХеопса, величественные сооружения античной Гре-ции и Рима свидетельствуют, что неизвестные намспециалисты знали секреты науки о прочности. Вовремена средневековья Галилео Галилей был пер-вым, кто обратил внимание на дефекты как на пер-вопричины разрушения. Однако ученые более позд-него времени – Кулон, Мариотт, Мор и другие –рассматривали разрушение как спонтанный акт, неанализируя вопросы структуры, и по существу сле-дующий шаг был сделан только в 1920 году в работахА. Гриффитса, когда он [1] ввел понятие поверхно-стной энергии разрушения

П

, пропорциональнойплощади вновь образовавшихся поверхностей, ирешал вопрос о распространении трещины, состав-ляя уравнения энергетического баланса

1

∆

U

+ ∆

П

= ∆

A

. (1)

Здесь ∆

U

– разность упругих энергий в первом ивтором положениях (рис. 1), ∆

A

– дополнительнаяработа внешних сил при переходе из первого поло-жения во второе, ∆

П

= 2

γε

,

γ

– удельная поверхно-стная энергия; в случае трещины ∆

U

∼

ε

и ∆

A

∼

ε

.Подставляя найденные ∆

A

, ∆

U

и ∆

П

в соотношение(1), получаем критическое значение внешней на-грузки

p

. В 1957 году Дж. Ирвин [2] воспользовалсяасимптотическими формулами Снеддона для на-пряжений в окрестности вершины трещины

(2)σi j = K

r------ f ij θ( ),

THE MATHEMATICAL PROBLEMSOF FRACTURE MECHANICS

N. F. MOROZOV

The problems of high andsuperhigh rate loading arediscussed. A new crite-rion of fracture is pro-posed and a method ofcalculation of the neces-sary parameters is pre-sented. The results areused for solving twoapplied problems, erosionand disintegration. Thephenomenon of loss ofresistance of a medium isexplained. The existenceof fracture solitons theo-rem is proved.

ê‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡˛ÚÒfl ÔÓ-·ÎÂÏ˚ ·˚ÒÚÓ„Ó ËÒ‚Âı·˚ÒÚÓ„Ó Ì‡„ÛÊÂ-ÌËfl. Ç‚Ó‰ËÚÒfl ÌÓ‚˚ÈÍËÚÂËÈ ‡ÁÛ¯ÂÌËfl ËÔÂ‰Î‡„‡ÂÚÒfl ÏÂÚÓ‰ ‰ÎflÓÔÂ‰ÂÎÂÌËfl ÌÂÓ·ıÓ‰Ë-Ï˚ı Ô‡‡ÏÂÚÓ‚. êÂ-ÁÛÎ¸Ú‡Ú˚ ÔËÎ‡„‡˛ÚÒfl ÍÂ¯ÂÌË˛ ÔËÍÎ‡‰Ì˚ıÔÓ·ÎÂÏ: ˝ÓÁËË Ë ‰ÂÁ-ËÌÚÂ„‡ˆËË. Ç Á‡ÍÎ˛˜Â-ÌËÂ ‰ÂÎ‡ÂÚÒfl ÔÓÔ˚ÚÍ‡Ó·˙flÒÌËÚ¸ ÙÂÌÓÏÂÌ‡ÌÓÏ‡Î¸ÌÓÈ ÔÓÚÂË ÒÓ-ÔÓÚË‚ÎÂÌËfl ÒÂ‰˚. ÑÓ-Í‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡-ÌËÂ ÒÓÎËÚÓÌ‡ ‡ÁÛ¯Â-ÌËfl.

© å

ÓÓÁ

Ó‚ ç

.î.,

1996

a a

+

ε

1

Здесь и дальше для простоты будем рассматривать толькомодельные задачи.

Рис. 1.

Сравнение двух трещин длины

a

и длины

a

+

ε

.

ëéêéëéÇëäàâ éÅêÄáéÇÄíÖãúçõâ ÜìêçÄã, ‹8, 1996

118

подсчитал ∆

A

и ∆

U

и в силу соотношения Гриффит-са (1) получил простое и наглядное условие нерас-пространения трещины

K

<

K

c

. (3)

I. çéÇõÖ èéÑïéÑõ Ç áÄÑÄóÄï åÖïÄçàäà ïêìèäéÉé êÄáêìòÖçàü

Теория Гриффитса–Ирвина является в настоя-щее время основой для всех расчетов на трещино-стойкость в инженерном деле. Существенно, что

K

c

является постоянной, присущей данному материа-лу, его параметром, как модуль Юнга, коэффициентПуассона, теплоемкость и т.д. Однако в последние20 – 30 лет более углубленные и изощренные экспе-рименты обнаружили определенные условия, в ко-торых теория Гриффитса–Ирвина “работает” не-удовлетворительно. В статике это прежде всегообразцы и конструкции с угловыми вырезами. Рас-смотрим (рис. 2) две следующие ситуации: пластинас прямолинейным разрезом и пластина с вырезом ввиде лунки, близкой к разрезу. Расчеты по Снеддонудают следующие выражения:

(I)

(II)

а анализ по Гриффитсу–Ирвину демонстрирует су-щественное расхождение ситуаций (I) и (II), чтопротиворечит здравому смыслу.

σi j = CI

1( )

r λ1I

-------- f ij 1( )I θ( )

CI2( )

r λ2I

-------- f ij 2( )I θ( ), λ1

I = λ2

I+ ,

σi j = CII

1( )

r λ1II

-------- f ij 1( )II θ( )

CII2( )

r λ2II

-------- f ij 2( )II θ( ), λ1

II λ2

II< ,+

б

ó

льшие трудности при применении теории Гриф-фитса–Ирвина возникают в задачах о динамическомбыстром и сверхбыстром нагружении. Большинст-во ученых – экспериментаторов и теоретиков – на-деялись, что при динамическом нагружении можнобудет пользоваться критерием типа

K

(

t

) <

K

d

,

где

K

d

– так же как

K

c

, параметр материала. Однакоэти надежды не осуществились. Приведем несколь-ко разъясняющих примеров.

1. Прежде всего рассмотрим мысленный экспе-римент Г.П. Черепанова (1974 год) [4]. Анализиру-ется полубесконечная трещина, к берегам которойвнезапно приложена нагрузка

p

, действующая в те-чение времени

T

. Коэффициент интенсивности

K

этой задачи легко вычисляется [4]:

Отсюда видно, что, выбрав

pT

Q

, а

T

0, по-лучим и коэффициент интенсивностистановится как угодно большой величиной припроизвольно малом импульсе

Q

.

2. Приведем основополагающие опыты Рави-Чандара и Кнаусса [5] из Калифорнийского техно-логического института (1984 год). Взяв пластинуиз Гомалита-100, экспериментаторы нагружали бе-рега трещины и фиксировали нагрузку. В моментстарта трещины

t*

измеряли коэффициент интен-сивности

K

d

(рис. 3). Верхняя кривая на рис. 3 убе-дительно демонстрирует, что

K

d

не есть постояннаяматериала, какой является

K

c

, и лишь при боль-шом времени до разрушения выходит на статичес-кую асимптотику

K

c

.

K t( ) = 4 pc2

c1 πc1

----------------- c1

2 c2

2– Re t t T––( ).

K t( ) Q∼ / t,

2

π

–

ω

2

π

Рис. 2.

Сравнение трещины и тонкой лунки.

Теоретическое обоснование ситуации с угловымвырезом проведено в работах В.Г. Мазьи, С.А. Наза-рова и автора этих строк [3]. Авторами показано(1989 год), что в случае углового выреза 2

π

−

α

, срав-нивая две ситуации (см. рис. 1), получаем ∆

П

∼ ε

, но

и, следовательно, метод Гриффитса–Ирвина полу-чения критической нагрузки не “работает”. Еще

∆ A U–( ) ε2π

2π α–----------------

∼ ,

K

d

Kc

0 t

Ш

P – K

Рис. 3. График экспериментов по динамическомуразрушению.

åéêéáéÇ ç.î. åÄíÖåÄíàóÖëäàÖ Çéèêéëõ åÖïÄçàäà êÄáêìòÖçàü 119

3. Существенными для понимания процесса ди-намического разрушения явились опыты Шоки идр. (Стенфорд, 1986 год) [6] по определению функ-ции минимальной амплитуды: нагрузку на трещинудержали фиксированное время T, постепенно повы-шая уровень (амплитуду) нагружения. Определялиминимальное пороговое значение амплитуды, прикоторой впервые при заданном времени происхо-дит разрушение. Затем время нагружения меняли.В результате получили функцию p = pmin(T), характе-ризующую процесс разрушения. Если измерять ко-эффициент интенсивности напряжений в моментразрушения, то получим нижнюю кривую на рис. 3.

4. В качестве заключительного примера укажемопыты Н.А. Златина, Г.С. Пугачева и др. [7] (Физи-ко-технический институт им. А.Ф. Иоффе Акаде-мии наук СССР, Ленинград, 1974 год). Разрушениепроисходит с задержкой ∆t после максимальногоуровня напряжения, что также входит в противоре-чие с традиционными представлениями о критери-ях разрушения.

Приведенные примеры, а число их можно суще-ственно увеличить, демонстрируют необходимостьновых подходов к проблеме хрупкого динамическо-го разрушения.

В 1988 году Ю.В. Петров, А.А. Уткин и авторэтих строк [8] предложили новый феноменологиче-ский критерий разрушения

(4)

Если в какой-то момент t равенство выполняется,то разрушение может иметь место. Здесь σI – глав-ное напряжение, σc – прочность на разрыв безде-фектного образца из данного материала, d – пара-метр длины, τ – параметр времени.

Предлагаемый критерий является естественнымобобщением статического критерия Нейбера–Но-вожилова

и критерия критического импульса Никифоровско-го–Шемякина

Очевидно, основная трудность применения крите-рия в правильном выборе параметров d и τ. Намипредложено вычислять d по формуле

(5)

В силу этого выбора предложенный критерий дляпростых задач статики дает критические значения

max1

τ-- 1

d--- σI r t ′,( ) rd t′d

0

d

∫t τ–

t

∫ σc≤ .t

1

d--- σI r( ) rd

0

d

∫ σc≤

σI t ′( ) t ′d

0

t*

∫ Jc≤ .

d = 2

π---

Kc1

σc2

------.

внешних нагрузок, совпадающие с критическимизначениями по теории Гриффитса–Ирвина. Выборτ осуществляется по-разному для бездефектногоматериала и для задач с трещинами. Для бездефект-ного материала мы считаем τ по формуле

где c – максимальная скорость распространенияупругих волн. Так, выбранное τ хорошо согласуетсяс результатами экспериментов по отколу Р.Б. Бро-берга (Ирландия) [9], а также Златина и Пугачева(Россия) [7].

В окрестности вершины трещины выбор τ осуще-ствляется по другому принципу. Кальтхофф, Д. Шо-ки и др. установили экспериментально, что разруше-ние может иметь место, если текущий коэффициентинтенсивности не превышает некоторого критичес-кого значения в течение некоторого промежуткавремени – инкубационного времени tinc, являюще-гося параметром данного материала. Они опублико-вали в виде таблиц результаты экспериментов поопределению tinc для основных материалов.

Следует обратить внимание, что указанные экс-перименты достаточно трудоемки и сложны. Я пред-лагаю следующую альтернативную процедуру. Надсерией стандартных образцов из выбранного мате-риала проводим эксперименты по определению1

p = pmin(T). (6)

Затем в силу критерия (4) рассчитываем эту жефункцию p, она будет зависеть еще и от параметра τ:

p = pmin(T, τ). (7)

Выбираем τ из условия максимальной близости кри-вых (6) и (7). Можно доказать (см. [10]), что найден-ное так τ удовлетворяет всем условиям для tinc, то есть

τ = tinc.

Резюмируя, можно сформулировать следующиеположения:

1) поведение материалов и конструкций в усло-виях быстрого и сверхбыстрого нагружения не мо-жет быть предсказано на основе простой экстрапо-ляции результатов статических испытаний;

2) необходимо проводить специальное тестиро-вание материалов на быстрое нагружение;

1 Заметим, что основной проблемой при проведении экс-периментов является создание в пределах микросекунд-ных промежутков времени очень высоких уровней напря-жения. Эта проблема была решена в Санкт-Петербург-ском техническом университете, где под руководствомГ.А. Шнеерсона разработан и сконструирован электромаг-нитный прибор, обеспечивающий получение на берегахтрещин уровня напряжений порядка 300 МПа за 3 – 4 мкс.Это позволяет проводить эксперименты для определе-ния pmin не только с материалами типа оргстекла, но и сметаллами.

τ = dc--- ,

Kd*


3) в качестве определяющих параметров предла-гаются σc, d, τ или в силу (5) σc, Kc, τ = tinc , причемσc и Kc – традиционные параметры, а τ следует оп-ределять либо по Кальтхоффу, либо по по нашейметодике.

II. èêàåÖçÖçàÖ çéÇõï äêàíÖêàÖÇ êÄáêìòÖçàü ä áÄÑÄóÄå ùêéáàà

Проблемы эрозионного разрушения являютсяактуальными как для промышленности (защита ле-тательных и космических аппаратов), так и для гло-бальных вопросов мироздания (лунные кратеры ит.д.). Проводимые эксперименты позволили опре-делить описанную ниже типичную схему эрозион-ного разрушения. Схематизируем задачу следую-щим образом: на упругое полупространство падаетабсолютно твердая частица – шарик заданного ра-диуса R. Утверждается:

1) при скорости V соударения меньше VIcr шарикотскакивает без разрушения среды,

2) при V > VIcr в среде наблюдается хрупкое раз-рушение,

3) при V > VIIcr пластическое разрушение.

Сравним результаты экспериментов Ю.В. Поле-жаева [11] и Л.И. Урбановича [12] с расчетами, ос-нованными на критерии (4). Воспользуемся теори-ей удара Герца в изложении [13] (рис. 4).

Записываем уравнение движения частицы-ша-рика:

(8)

где

(9)

Очевидно, что в момент встречи dh/dt = V, а макси-мальное внедрение h0 имеет место при dh/dt = 0.

md2h

dt2-------- = P t( )– ,

P t( ) = K R( )h3/2 t( ), K R( ) = 4

3--- R

E

1 ν2–--------------.

Решая уравнение (8), получаем

(10)

где t0 – полное время контакта. Следуя [13], предпо-лагаем

(11)

подсчитываем в силу [14] максимальное растягива-ющее напряжение

(12)

Если пороговая скорость VI, то в силу критерия(4) в случае известного τ значение VI может бытьнайдено как минимальный положительный кореньуравнения

(13)

Обратно, если мы знаем VI, то можем из (13) оп-ределить τ.

Урбанович [12] при исследовании бомбардиров-ки алюминиевого сплава В-95 (E = 73 ГПа, ν = 0,3;σc = 460 МПа, R = 150 мкм) определил первую кри-тическую скорость VI = 33 м/с, затем, учтя (13), вы-числил τ, оказавшееся равным 0,5 мкс.

Аналогичное значение для tinc было полученонами для данного сплава при анализе эксперимен-тов Златина–Пугачева [7], и, наконец, простыепредварительные вычисления по нашей теории да-ли значения

σc = 460 МПа, KIc = 37 МПа , c = 6500 м/с,

что является достаточно удовлетворительным ре-зультатом с двойной проверкой.

III. èêéÅãÖåõ ÑÖáàçíÖÉêÄñàà

Одной из чрезвычайных опасностей, которыеподстерегают человечество, является опасностьстолкновения Земли с каким-либо внеземным объ-ектом: кометой, большим метеоритом и т.д. В июне1994 года комета Шумейкеров–Леви столкнулась содной из планет Солнечной системы, но теоретически

h0 V R,( ) = 5mV2

4K--------------

2 5⁄

,

t0 V R,( ) = 2h0

V-------- dγ

1 γ5 2⁄–----------------------

0

1

∫ = 2,94h0

V-----,

h t( ) = h0

πtt0

-----sin ;

σzz t V R, ,( ) = 1 2ν–

2--------------- P t V R, ,( )

πa2 t V R, ,( )-----------------------------,

a t V R, ,( ) = 3P t V R, ,( ) 1 ν2–( ) R4E-------

1 3⁄

.

max σ S V R, ,( ) S σcτ–d

t τ–

t

∫ = 0.

м

τ = dc--- =

2K Ic2

πσc2c

------------ 0 6 мкс,,≈

h

V

Рис. 4. Схема внедрения шаровой частицы в упру-гую среду.

åéêéáéÇ ç.î. åÄíÖåÄíàóÖëäàÖ Çéèêéëõ åÖïÄçàäà êÄáêìòÖçàü 121

возможно столкновение небесных тел с Землей, по-этому необходимо:

1) уметь вычислить траекторию объекта,

2) создать оружие уничтожения,

3) дезинтегрировать объект оптимальным об-разом.

Опыт космических стыковок вселяет оптимизмв вопрос о расчете траекторий, и, по-видимому, ре-шение проблемы будет зависеть от быстродействиявычислительных машин.

Вторая задача еще ждет решения, но определен-ные идеи обсуждаются; в свое время А.Д. Сахаровпредложил использовать для этой цели ядерноеоружие и продумывал систему защиты Земли от по-следствий ядерного удара. Теоретические и практи-ческие аспекты этой проблемы были обсуждены нанескольких международных конференциях.

К нашей тематике относится третья задача. Наосновании критерия (4) мы можем рассчитать зада-чу о дезинтеграции упругохрупкого шара при посто-янном внешнем нормальном давлении p, внезапноснимаемом. Помимо предположения о справедли-вости критерия (4), принимаются следующие по-стулаты:

1) если критерий выполняется для r = r0, t = t0,мы предполагаем, что разрушается слой r0 − d/2 < r << r0 + d/2,

2) мы имеем новый шар 0 < r < r0 − d/2 и сфери-ческий слой r0 + d/2 < r < R, в которых процесс раз-рушения продолжается,

3) окончанием процесса разрушения можносчитать ситуацию, когда зоны разрушения покры-вают весь шар, однако мы можем рассчитать оста-новку процесса априори.

IV. îÖçéåÖç èéíÖêà ëéèêéíàÇãÖçàü ëêÖÑõ

В последние годы ученых, занимающихся проч-ностью, помимо магистральных задач о надежностиконструкций, интересуют также такие экзотичес-кие проблемы, как сверхпластичность, сверхпрово-димость, память формы и др.

Одной из таких проблем является феномен по-тери сопротивления среды. Суть его такова. В 80-егоды московские ученые К.И. Козорезов и Г.Г. Чер-ный при проведении экспериментов по бомбарди-ровке среды частицами обнаружили, что большинст-во частиц отскакивает от преграды, часть застреваетв районе пограничного слоя, но существуют еди-ничные экземпляры, которые проникают в слой наглубину порядка тысячи своих диаметров [15].

Можно дать такую трактовку обнаруженномуявлению [16]. Будем рассматривать упругую плос-кость с трещиной. Применим для описания ситуа-ции более простую гибридную модель Р. Томсона[17] (рис. 5). Упругая плоскость заменяется двумя

обладающими изгибной жесткостью стрингерами(упругими полосами) с насаженными на них мате-риальными точками, которые, в свою очередь, свя-заны соответствующими вертикальными пружина-ми. Пружины могут рваться и “залечиваться” всоответствии с законом, показанным на рис. 6.

Потенциал энергии такой системы имеет вид

(14)

где yi – ординаты i-й материальной точки, а Φ в силувышеуказанного закона определяется по правилу

(15)

Тогда уравнения движения системы таковы:

γ{yj + 2 − 4yj + 1 + 6yj − 4yj − 1 + yj − 2} + ρjβyj + m = 0.(16)

Здесь ρj = 0, если пружинка порвана, и ρj = 1 в про-тивоположном случае.

Будем идентифировать трещины с последова-тельным набором порванных пружинок. Математи-чески задача ставится следующим образом: дока-зать при определенном подборе параметров {β, γ, l,V } существование трещины длины l, движущейся спостоянной скоростью V. Сказанное эквивалентноусловию

U = 1

2--- γ yi 1+ yi–( )2 Φ yi( )∑+∑{ } ,

Φ r( ) = βr 2

, r u0,≤

βu0

2, r u0.>

y j

ρ j = 1, j Vt l , j Vt l– ,<–>–

0, l j Vt l ,<–<–

Рис. 6. График зависимости силы взаимодейст-вия между точками от растяжения пружины.

Рис. 5. Гибридная модель Р. Томсона.

0 U0 U

σ


а искомое стационарное решение

Удовлетворяя условиям гладкости

y(±l − 0) = y(± l + 0), y '(± l − 0) = y '(± l + 0)

и применяя преобразование Фурье, сводим нахож-дение y(τ) к проблеме собственных функций дляоднородного интегрального уравнения

Можно доказать [16], что при определенных усло-виях, которым удовлетворяют параметры (β, γ, l, V),существует собственная функция, которую можнотрактовать как солитон разрушения – некую ячей-ку, перемещающуюся в среде со скоростью V. Попа-данием частицы в такую ячейку можно объяснитьфеномен сверхглубокого проникновения частиц всреду. Любопытно, что полученный на основе стро-гих рассуждений результат ассоциируется с фантас-тическими романами типа Жюля Верна.

áÄäãûóÖçàÖ

Завершая статью, хотел бы привлечь вниманиемолодежи и прежде всего выпускников школ к та-кой замечательной науке, как механика, и особенномеханика сплошной среды. Использование класси-ческого и современного математического аппарата,строгие логические выводы и рассуждения, с однойстороны, и в то же время реальные объекты и явле-ния природы, которые стоят за математическимиформулами, с другой, позволяют обнаружить и ис-следовать многочисленные тайны природы, при-коснуться к неизведанному, реально познать и ис-пользовать то, что еще недавно казалось чудом.

ãàíÖêÄíìêÄ

1. Griffith A. The Phenomena of Rupture and Flow in Sol-ids // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser A. 1921. V. 221.P. 163 – 198.

2. Irwin G. Analysis of Stresses and Strains near the Endof a Crack Traversing a Plate // J. Appl. Mech. 1957. № 3.P. 361 – 364.

y τ 2+( ) 4y τ 1+( )– 6 V2mγ---- d2

dτ2--------+

y τ( ) –+

− 4y τ 1–( ) y τ 2–( ) ρ τ( )βγ---y τ( ) = 0.+–

y τ( ) = 1

2π------β

γ--- e i τω–

∞–

+∞

∫ 16sin4ω

2---- –

V2ω2mγ----–

βγ---

1–

eiωτ

l–

l

∫ y τ( ) τ ω.dd+

3. Maz’ya V.G., Morozov N.F., Nazarov S.A. On the ElasticStrain Energy Release due to the Variation of the Domainnear the Angular Stress Concentrator. Linkoping Universi-ty. S-581. Linkoping, Sweden, 1983. P. 35.

4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.:Наука, 1974.

5. Ravi-Chandar K., Knauss W.G. An Experimental Inves-tigation into Dynamic Fracture // Int. J. Fracture. 1984.V. 25. P. 247 – 262.

6. Shockey D.A. et al. Short Pulse Fracture Mechanics //J. Eng. Fract. Mech. 1986. V. 23. P. 311 – 319.

7. Златин Н.А., Пугачев Г.С. и др. Временная зависи-мость прочности металлов // Изв. АН СССР. Физикатвердого тела. 1975. Т. 17. № 9. С. 2599 – 2602.

8. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин А.А. О разруше-нии у вершины трещины // Физико-химическая меха-ника материалов. 1988. № 4. С. 75 – 77.

9. Broberg R.B. Some Aspects of Mechanism of Scabbing.In: Stress Wave Propogate Materials. New York, London:Interscience, 1960. P. 229 – 246.

10. Petrov Y.V., Morozov N.F. On the Modeling of Frac-ture of Brittle Solids // ASME J. Appl. Mech. 1994. V. 61.P. 710 – 712.

11. Полежаев Ю.В. Термогазодинамические испыта-ния самолетов. М.: МАИ, 1986.

12. Урбанович Л.И. и др. Влияние механических и фи-зических свойств материалов на критическую ско-рость соударения. Тез. Межд. конференции “Анали-тические методы и оптимизация в жидкости и газовойдинамике”. Арзамас-16, 1994. С. 121 – 123.

13. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Контактная меха-ника разрушения. М.: Наука, 1989.

14. Lawn B.R., Wilshow T.R. Idention Fracture: Princi-ples and Application // J. Mater. Sci. 1975. V. 10. № 6.P. 1049 – 1081.

15. Черный Г.Г. Механизм аномально низкого сопро-тивления // ДАН. 1987. Т. 292. № 6. С. 1324 – 1328.

16. Morozov N.F., Paukshto M.W. On the Crack Simulation// J. Appl. Mech. 1991. V. 58. P. 290 – 292.

17. Thomson R., Hsieh C. Lattice Trapping of FractureCracks // J. Appl. Phys. 1971. V. 42. № 8. P. 3154 – 3160.

* * *

Никита Федорович Морозов, доктор физико-математических наук, профессор, член-коррес-пондент Российской Академии наук, зав. кафедройтеории упругости Санкт-Петербургского государ-ственного университета. Член Национального Ко-митета России по теоретической и прикладной ме-ханике. Главные научные интересы связаны сматематическими проблемами теории разруше-ния и с применением асимптотических методов кзадачам теории упругости. Автор более 120 науч-ных работ и четырех монографий.

Математические вопросы механики разрушения

Documents