Τριγωνομετρία Ασκήσεις Ταυτοτητες Αποδεικτικες

Δηµήτρης Αντ. ΜοσχόπουλοςΚαθηγητ'ς Μαθηµατικ,ν

Πτυχιο2χος Αριστοτελε8ου Πανεπιστηµ8ου Θεσσαλον8κης

Β΄ Λυκείου

Άλγεβρα

Τριγωνοµετρία

Νέα Μουδανιά - Ιούλιος 2015 - 2η έκδοση

50αναλυτικά λυμένες ασκήσεις

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ)1Βασικές(τριγωνομετρικές(

ταυτότητες.

α)((Αποδεικτικές(ασκήσεις.

Η πηγή κάθε άσκησης καταγράφεται στην εκφώνησή της.Όπου δεν αναφέρεται, μού είναι άγνωστη.

1. Να δείξετε ότι ηµ4ω+ συν 4ω = 1−2ηµ2ω ⋅συν2ω .

2. Να δείξετε ότι ηµ4ω−συν 4ω = 1−2συν2ω .

3. Να δείξετε ότι ισχύει

συνω1− εϕω

+ηµω

1−1εϕω

= ηµω+ συνω .

4. Να δείξετε ότι (1−συνω) 1+

1συνω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ηµω ⋅εϕω .

5. Να δείξετε ότι

1

εϕω+1εϕω

= ηµω ⋅συνω .


1ηµω

− ηµω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1συνω

−συνω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟



ηµ5x + συν5x − ηµ7x −συν7xηµ3x + συν3x

= ηµ2x ⋅συν2x .

Θέμα ασκήσεων φυλλαδίου:

Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.α) Αποδεικτικές ασκήσεις.

Δηµήτρης Αντ. Μοσχόπουλος, καθηγητής Μαθηµατικών.

Τριγωνοµετρία.

Μαθηµατικό στέκι - www.mathsteki.gr

- 1 -

8. Να αποδείξετε ότι εϕ2α− ηµ2α = εϕ2α ⋅ηµ2α .

9. Να δείξετε ότι ισχύει εϕω+

1εϕω

=1

ηµω ⋅συνω.


εϕ2x −1εϕ2x +1

= ηµ2x −συν2x .

11. Να δείξετε ότι (εϕx + σϕx)

1συνx

−συνx⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1ηµx− ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 1 .


1συν 4x

−1συν2x

= εϕ4x + εϕ2x .


11− ηµx

+1

1+ ηµx=

2συν2x

.

14. Να αποδείξετε ότι

ηµα+ ηµβσυνα+ συνβ

+συνα−συνβηµα− ηµβ

= 0 .

15. Να δείξετε ότι εϕθ ⋅ηµθ+ συνθ =

1συνθ

.


1− ηµθ1+ ηµθ

−1+ ηµθ1− ηµθ

=−4 ⋅εϕθσυνθ

.


ηµω+ συνωηµω−συνω

=εϕω+1εϕω−1

.


συν2xσυνx − ηµx

+ηµ2x

ηµx −συνx= συνx + ηµx .

19. Να δείξετε ότι ισχύει ηµ2x −συν2y = ηµ2y−συν2x .

20. Να δείξετε ότι ισχύει ηµ2x ⋅συν2ϕ− ηµ2ϕ ⋅συν2x = ηµ2x − ηµ2ϕ = συν2ϕ−συν2x .

21. Να δείξετε ότι ισχύει συν2α ⋅συν2β− ηµ2α ⋅ηµ2β = συν2α− ηµ2β .




- 2 -

22. Να δείξετε ότι η παράσταση Α= (3ηµx + 4συνx)2 + (4ηµx −3συνx)2 είναι ανεξ- άρτητη του x.


1ηµx ⋅συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1− εϕ2xεϕx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

2

= 4 .

24. Να αποδείξετε ότι (1− εϕx)2 + (1−σϕx)2 =

1ηµx−

1συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

.

25. Να αποδείξετε ότι ισχύει (ηµ4α+ συν 4α)(εϕα+ σϕα)2 = εϕ2α+ σϕ2α .

26. Να αποδείξετε ότι ισχύει ηµ2θ+ εϕ2θ =

1−συν 4θσυν2θ

.

27. Να αποδείξετε ότι ισχύει

1+ εϕα+ εϕ2α1+ σϕα+ σϕ2α

= εϕ2α .


εϕα+ σϕβεϕβ+ σϕα

=σϕβσϕα

.

29. Να αποδείξετε ότι ισχύει σϕ2α−συν2α = σϕ2α ⋅συν2α .

30. Να αποδείξετε ότι ισχύει (1− ηµx) 1+

1ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= συνx ⋅σϕx .

31. Να δείξετε ότι ισχύει (1− ηµx ⋅συνx)(ηµx + συνx) = ηµ3x + συν3x .


ηµα+ συνασυν3α

= εϕ3α+ εϕ2α+ εϕα+1 .


1−2ηµxσυν2x

−1−3ηµx1− ηµx

= 3εϕ2x .

34. Να δείξετε ότι ισχύει (1+ ηµα+ συνα)2 = 2(1+ ηµα)(1+ συνα) .




- 3 -

35. Να δείξετε ότι το γινόμενο 1+συνα−1ηµα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+ηµα+1συνα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ είναι ανεξάρτητο του α.

36. Να δείξετε ότι (ηµx + συνx)4 −(ηµx −συνx)4 = 8ηµx ⋅συνx .


συν3αηµα

+εϕα

1+ εϕ2α= σϕα .

38. Να δείξετε ότι ισχύει | εϕθ+ σϕθ | = | εϕθ | + | σϕθ | .

39. Να αποδείξετε την ταυτότητα

1ηµϕ

−ηµϕ

1+ συνϕ= σϕϕ .

Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄Λυκείου, τεύχος Α΄, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

40. Να αποδείξετε την ταυτότητα 1− εϕx ⋅συνx ⋅ηµx = συν2x .



1συν2ϕ

−1σϕ2ϕ

= 1 .



1+ ηµ2xσυν2x

−2εϕ2x = 1 .


43. Να αποδείξετε την ταυτότητα 1+

1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 1−1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=2

συν2ω.


44. Να δείξετε ότι ηµα ⋅συνα ⋅(1+ εϕα)(1+ σϕα) = 1+ 2ηµα ⋅συνα .

Πηγή: Μαθηµατικά Α΄ Λυκείου, Άλγεβρα (σχολικό βιβλίο), Ο.Ε.Δ.Β, Αθήνα, 1990 (;)

45. Να δείξετε ότι ηµ6x + συν6x = 1−3ηµ2x ⋅συν2x .





- 4 -


εϕθ+ σϕωεϕω+ σϕθ

=εϕθεϕω

.



εϕ2x + σϕ2xεϕx + σϕx

=1−2ηµ2x ⋅συν2xηµx ⋅συνx

.


48. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α=

ηµ2x1−συνx

+ηµ2x

1+ συνx έχει σταθερή τιμή.



ηµ4ϕ−συν 4ϕ+ συν2ϕ1−συνϕ

−συνϕ έχει σταθε- ρή τιμή. Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄Λυκείου, τεύχος Α΄, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

50. Να δείξετε ότι η παράσταση Α=

5συνα− 43−5ηµα

−3 + 5ηµα5συνα+ 4

έχει σταθερή τιμή.





- 5 -

1. Να δείξετε ότι ηµ4ω+ συν 4ω = 1−2ηµ2ω ⋅συν2ω .

Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ηµ4ω+ συν 4ω+ 2ηµ2ω ⋅συν2ω = 1⇔

⇔ (ηµ2ω)2 + (συν2ω)2 + 2ηµ2ω ⋅συν2ω = 1⇔ (ηµ2ω+ συν2ω)2 = 1⇔ 12 = 1 , που ισχύει.

Σχόλιο. Ακολούθησα αυτήν την αποδεικτική µέθοδο, διότι πρόσεξα το άθροισµα τετραγώνων του πρώτου µέλους και την ύπαρξη ενός διπλάσιου γινοµένου στο δεύτερο. Μόνο δουλεύοντας σ' όλη την ζητούµενη σχέση θα µπο-ρούσα να µεταφέρω το διπλάσιο γινόµενο στο πρώτο µέλος και να «ενώσω» την ταυτότητα.

Δεύτερος τρόπος.Ο τρόπος αυτός είναι πιο «τεχνικός» και περισσότερο ευφάνταστος (είν' η αλήθεια), αλλά θέλω να τον καταθέσω κι αυτόν, επειδή στο πρώτο µέλος εµφανίζεται ένα πολύ χαρακτηριστικό άθροισµα τετραγώνων. Πρόσεξε ιδιαίτερα τα βήµατα της λύσης, διότι η κίνηση που θα δεις στην συνέχεια, µπορεί να δώσει λύση σε άλλη άσκηση, όπου ακολου-θώντας την «κλασσική» οδό των «συνηθισµένων» πράξεων, θα φτάσουµε σε αδιέξοδο.

Από την σχέση ηµ2ω+ συν2ω = 1 προκύπτει

(ηµ2ω+ συν2ω)2 = 12 ⇒ ηµ4ω+ συν 4ω+ 2ηµ2ω ⋅συν2ω = 1⇒

⇒ ηµ4ω+ συν 4ω = 1−2ηµ2ω ⋅συν2ω .

2. Να δείξετε ότι ηµ4ω−συν 4ω = 1−2συν2ω .

Είναι ηµ4ω−συν 4ω = (ηµ2ω)2−(συν2ω)2 = (ηµ2ω+ συν2ω)(ηµ2ω−συν2ω) =

= 1 ⋅(1−συν2ω−συν2ω) = 1−2συν2ω .

Ακολουθείται η κλασσική οδός απόδειξης: ξεκινάω από το ένα µέλος της ζητούµενης σχέσης, κάνω πράξεις κι επι-διώκω να φτάσω στο άλλο µέλος της.




- 6 -


συνω1− εϕω

+ηµω

1−1εϕω


Είναι

συνω1− εϕω

+ηµω

1−1εϕω

=συνω

1− εϕω+ηµω

1−σϕω=

συνω

1−ηµωσυνω

+ηµω

1−συνωηµω

=

=συνω

συνω− ηµωσυνω

+ηµω

ηµω−συνωηµω

=συν2ω

συνω− ηµω+

ηµ2ωηµω−συνω

=

=

συν2ωσυνω− ηµω

−ηµ2ω

συνω− ηµω=συν2ω− ηµ2ωσυνω− ηµω

=(συνω− ηµω)(συνω+ ηµω)

συνω− ηµω=


4. Να δείξετε ότι (1−συνω) 1+

1συνω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟


Είναι (1−συνω) 1+

1συνω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= (1−συνω) ⋅συνω+1συνω

=(1−συνω)(1+ συνω)

συνω=

=

1−συν2ωσυνω

=ηµ2ωσυνω

=ηµω ⋅ηµωσυνω

= ηµω ⋅ηµωσυνω



1

εϕω+1εϕω


Είναι

1

εϕω+1εϕω

=1

εϕω+ σϕω=

1ηµωσυνω

+συνωηµω

=1

ηµ2ω+ συν2ωηµω ⋅συνω

=11

ηµω ⋅συνω

=



1ηµω

− ηµω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1συνω

−συνω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟


Είναι

1ηµω

− ηµω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1συνω

−συνω⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=1− ηµ2ωηµω

⋅1−συν2ωσυνω

=συν2ωηµω

⋅ηµ2ωσυνω





- 7 -



= ηµ2x ⋅συν2x .

Είναι


=ηµ5x ⋅(1− ηµ2x)+ συν5x ⋅(1−συν2x)

ηµ3x + συν3x=

=ηµ5x ⋅συν2x + συν5x ⋅ηµ2x

ηµ3x + συν3x=ηµ2x ⋅συν2x ⋅(ηµ3x + συν3x)

ηµ3x + συν3x= ηµ2x ⋅συν2x .

8. Να αποδείξετε ότι εϕ2α− ηµ2α = εϕ2α ⋅ηµ2α .

Είναι εϕ2α− ηµ2α =

ηµ2ασυν2α

− ηµ2α = ηµ2α ⋅1

συν2α−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ηµ2α ⋅1−συν2ασυν2α

=

= ηµ2α ⋅

ηµ2ασυν2α

= ηµ2α ⋅εϕ2α .

9. Να δείξετε ότι ισχύει εϕω+

1εϕω

=1

ηµω ⋅συνω.

Είναι εϕω+

1εϕω

= εϕω+ σϕω =ηµωσυνω

+συνωηµω

=ηµ2ω+ συν2ωηµω ⋅συνω

=1

ηµω ⋅συνω.




Είναι


=

ηµ2xσυν2x

−1

ηµ2xσυν2x

+1=

ηµ2x −συν2xσυν2x

ηµ2x + συν2xσυν2x


11. Να δείξετε ότι (εϕx + σϕx)

1συνx

−συνx⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1ηµx− ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 1 .

Είναι (εϕx + σϕx)

1συνx

−συνx⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1ηµx− ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=ηµxσυνx

+συνxηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⋅1−συν2xσυνx

⋅1− ηµ2xηµx

=

=ηµ2x + συν2xηµx ⋅συνx

⋅ηµ2xσυνx

⋅συν2xηµx

= 1 .




- 8 -


1συν 4x

−1συν2x

= εϕ4x + εϕ2x .

Είναι

1συν 4x

−1συν2x

=1−συν2xσυν 4x

=ηµ2xσυν 4x

=ηµ2x

συν2x ⋅συν2x=ηµ2xσυν2x

⋅1συν2x

=

= εϕ2x ⋅

1συν2x

.

Από την σχέση συν2x =

11+ εϕ2x

έχω

1συν2x

= 1+ εϕ2x , οπότε

1συν 4x

−1συν2x

= εϕ2x ⋅1συν2x

= εϕ2x ⋅(1+ εϕ2x) = εϕ2x + εϕ4x .


11− ηµx

+1

1+ ηµx=

2συν2x

.

Είναι

11− ηµx

+1

1+ ηµx=

1+ ηµx +1− ηµx(1− ηµx)(1+ ηµx)

=2

1− ηµ2x=

2συν2x

.

14. Να αποδείξετε ότι

ηµα+ ηµβσυνα+ συνβ

+συνα−συνβηµα− ηµβ

= 0 .

Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει

(ηµα+ ηµβ)(ηµα− ηµβ)+ (συνα+ συνβ)(συνα−συνβ) = 0⇔

⇔ ηµ2α− ηµ2β+ συν2α−συν2β = 0⇔ (ηµ2α+ συν2α)−(ηµ2β+ συν2β) = 0⇔

⇔ 1−1 = 0 , που ισχύει.Σχόλιο. Σαν δεύτερος τρόπος απόδειξης, προτείνεται ο κλασσικός, δηλαδή να ξεκινήσουµε από το πρώτο µέλος, να κάνουµε οµώνυµα κλάσµατα και τις πράξεις που θα προκύψουν. Δεν συστήνεται όµως, διότι έχει πολλές πράξεις και πολύ περισσότερο γράψιµο.

15. Να δείξετε ότι εϕθ ⋅ηµθ+ συνθ =

1συνθ

.

Κάνοντας απαλοιφή του παρονομαστή, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει

εϕθ ⋅ηµθ ⋅συνθ+ συν2θ = 1⇔

ηµθσυνθ

⋅ηµθ ⋅συνθ+ συν2θ = 1⇔ ηµ2θ+ συν2θ = 1 ,

που ισχύει.




- 9 -





.

Είναι



=(1− ηµθ)2−(1+ ηµθ)2

(1+ ηµθ)(1− ηµθ)=

1+ ηµ2θ−2ηµθ−1− ηµ2θ−2ηµθ1− ηµ2θ

=

=−4ηµθσυν2θ

=−4 ⋅ηµθ

συνθ ⋅συνθ=−4 ⋅

ηµθσυνθ

⋅1συνθ

=−4εϕθ ⋅1συνθ


.


ηµω+ συνωηµω−συνω

=εϕω+1εϕω−1

.

Είναι

εϕω+1εϕω−1

=

ηµωσυνω

+1

ηµωσυνω

−1=

ηµω+ συνωσυνω

ηµω−συνωσυνω

=ηµω+ συνωηµω−συνω

.



+ηµ2x

ηµx −συνx= συνx + ηµx .

Είναι


+ηµ2x

ηµx −συνx=


−ηµ2x

συνx − ηµx=συν2x − ηµ2xσυνx − ηµx

=

=

(συνx − ηµx)(συνx + ηµx)συνx − ηµx

= συνx + ηµx .

19. Να δείξετε ότι ισχύει ηµ2x −συν2y = ηµ2y−συν2x .

Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ηµ2x + συν2x = ηµ2y + συν2y ⇔ 1 = 1 , που ισχύει.

Δεύτερος τόπος.Είναι ηµ

2x −συν2y = 1−συν2x −(1− ηµ2y) = 1−συν2x −1+ ηµ2y = ηµ2y−συν2x .

Τρίτος τρόπος.Είναι ηµ

2y−συν2x = 1−συν2y−(1− ηµ2x) = 1−συν2y−1+ ηµ2x = ηµ2x −συν2y .




- 10 -

20. Να δείξετε ότι ισχύει ηµ2x ⋅συν2ϕ− ηµ2ϕ ⋅συν2x = ηµ2x − ηµ2ϕ = συν2ϕ−συν2x .

Σχόλιο. Όταν ζητείται ν' αποδειχθεί διπλή ισότητα, τότε αποδεικνύουµε την ισχύ δύο εκ των τριών ισοτήτων που υπάρχουν στην διπλή ισότητα.

Πρώτα θα δείξω ότι ισχύει ηµ2x − ηµ2ϕ = συν2ϕ−συν2x .

Πράγματι, ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει ηµ2x + συν2x = ηµ2ϕ+ συν2ϕ⇔ 1 = 1 , το

οποίο ισχύει.

Τώρα θα δείξω ότι ισχύει ηµ2x ⋅συν2ϕ− ηµ2ϕ ⋅συν2x = ηµ2x − ηµ2ϕ .

Είναι ηµ2x ⋅συν2ϕ− ηµ2ϕ ⋅συν2x = ηµ2x ⋅(1− ηµ2ϕ)− ηµ2ϕ ⋅(1− ηµ2x) =

= ηµ2x − ηµ2x ⋅ηµ2ϕ− ηµ2ϕ+ ηµ2ϕ ⋅ηµ2x = ηµ2x − ηµ2ϕ .

21. Να δείξετε ότι ισχύει συν2α ⋅συν2β− ηµ2α ⋅ηµ2β = συν2α− ηµ2β .

Είναι συν2α ⋅συν2β− ηµ2α ⋅ηµ2β = συν2α ⋅(1− ηµ2β)− ηµ2β ⋅(1−συν2α) =

= συν2α−συν2α ⋅ηµ2β− ηµ2β+ ηµ2β ⋅συν2α = συν2α− ηµ2β .

22. Να δείξετε ότι η παράσταση Α= (3ηµx + 4συνx)2 + (4ηµx −3συνx)2 είναι ανεξ- άρτητη του x.

Είναι Α= 9ηµ2x +16συν2x + 24ηµx ⋅συνx +16ηµ2x + 9συν2x −24ηµx ⋅συνx ⇒

⇒Α= 25ηµ2x + 25συν2x = 25(ηµ2x + συν2x) = 25 ⋅1⇒Α= 25 , δηλαδή είναι ανεξάρτητη

του x.


1ηµx ⋅συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1− εϕ2xεϕx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

2

= 4 .

Είναι

1− εϕ2xεϕx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

2

=1−

ηµ2xσυν2xηµxσυνx

=

συν2x − ηµ2xσυν2xηµxσυνx

=συν2x − ηµ2xηµx ⋅συνx

,

οπότε το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης δίνει

1ηµ2x ⋅συν2x

−(συν2x − ηµ2x)2

ηµ2x ⋅συν2x=

1−(συν2x − ηµ2x)2

ηµ2x ⋅συν2x=

=

(1+ συν2x − ηµ2x)(1−συν2x + ηµ2x)ηµ2x ⋅συν2x

=(συν2x + συν2x)(ηµ2x + ηµ2x)

ηµ2x ⋅συν2x=

=

2συν2x ⋅2ηµ2xηµ2x ⋅συν2x

= 4 .




- 11 -

24. Να αποδείξετε ότι (1− εϕx)2 + (1−σϕx)2 =

1ηµx−

1συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

.

Είναι (1− εϕx)2 + (1−σϕx)2 = 1−

ηµxσυνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 1−συνxηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=συνx − ηµxσυνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ηµx −συνxηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=

=

(συνx − ηµx)2

συν2x+

(ηµx −συνx)2

ηµ2x=

(ηµx −συνx)2

συν2x+

(ηµx −συνx)2

ηµ2x=

=ηµ2x ⋅(ηµx −συνx)2 + συν2x ⋅(ηµx −συνx)2

ηµ2x ⋅συν2x=

(ηµx −συνx)2(ηµ2x + συν2x)ηµ2x ⋅συν2x

=

=

(ηµx −συνx)2

ηµ2x ⋅συν2x=ηµx −συνxηµx ⋅συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=ηµx

ηµx ⋅συνx−

συνxηµx ⋅συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=1συνx

−1ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=

=

1ηµx−

1συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

.

25. Να αποδείξετε ότι ισχύει (ηµ4α+ συν 4α)(εϕα+ σϕα)2 = εϕ2α+ σϕ2α .

Είναι (εϕα+ σϕα)2 = εϕ2α+ σϕ2α+ 2εϕα ⋅σϕα =

ηµ2ασυν2α

+συν2αηµ2α

+ 2 ⋅1 =

=ηµ4α+ συν 4α+ 2ηµ2α ⋅συν2α

ηµ2α ⋅συν2α=

(ηµ2α+ συν2α)2


12


1ηµ2α ⋅συν2α

,

οπότε το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης δίνει

(ηµ4α+ συν 4α) ⋅

1ηµ2α ⋅συν2α

=ηµ4α+ συν 4αηµ2α ⋅συν2α

=ηµ4α

ηµ2α ⋅συν2α+

συν 4αηµ2α ⋅συν2α

=

=ηµ2ασυν2α

+συν2αηµ2α

= εϕ2α+ σϕ2α .

26. Να αποδείξετε ότι ισχύει ηµ2θ+ εϕ2θ =

1−συν 4θσυν2θ

.

Είναι ηµ2θ+ εϕ2θ = ηµ2θ+

ηµ2θσυν2θ

= ηµ2θ ⋅ 1+1συν2θ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ηµ2θ ⋅συν2θ+1συν2θ

=

=

(1−συν2θ)(1+ συν2θ)συν2θ

=1−συν 4θσυν2θ

.




- 12 -

27. Να αποδείξετε ότι ισχύει


= εϕ2α .

Είναι 1+ σϕα+ σϕ2α = 1+

1εϕα

+1εϕ2α

=εϕ2α+ εϕα+1

εϕ2α, οπότε


=1+ εϕα+ εϕ2α1+ εϕα+ εϕ2α

εϕ2α

= εϕ2α .



=σϕβσϕα

.

Είναι


=

1σϕα

+ σϕβ

1σϕβ

+ σϕα=

1+ σϕα ⋅σϕβσϕα

1+ σϕα ⋅σϕβσϕβ

=

1σϕα

1σϕβ

=σϕβσϕα

.

29. Να αποδείξετε ότι ισχύει σϕ2α−συν2α = σϕ2α ⋅συν2α .

Είναι σϕ2α−συν2α =

συν2αηµ2α

−συν2α = συν2α ⋅1ηµ2α

−1⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= συν2α ⋅1− ηµ2αηµ2α

=

= συν2α ⋅

συν2αηµ2α

= συν2α ⋅σϕ2α .

30. Να αποδείξετε ότι ισχύει (1− ηµx) 1+

1ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= συνx ⋅σϕx .

Είναι (1− ηµx) 1+

1ηµx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= (1− ηµx) ⋅ηµx +1ηµx

=(1− ηµx)(1+ ηµx)

ηµx=

1− ηµ2xηµx

=

=συν2xηµx

=συνx ⋅συνxηµx

=συνxηµx

⋅συνx = σϕx ⋅συνx .

31. Να δείξετε ότι ισχύει (1− ηµx ⋅συνx)(ηµx + συνx) = ηµ3x + συν3x .

Είναι (1− ηµx ⋅συνx)(ηµx + συνx) = (ηµ2x + συν2x − ηµx ⋅συνx)(ηµx + συνx) =

= ηµ3x + συν3x .

Στηρίχθηκα στην ταυτότητα (α+ β)(α2 − αβ + β 2) = α3 − β 3.




- 13 -


ηµα+ συνασυν3α

= εϕ3α+ εϕ2α+ εϕα+1 .

Είναι εϕ3α+ εϕ2α+ εϕα+1 = εϕ2α ⋅(εϕα+1)+ (εϕα+1) = (εϕα+1)(εϕ2α+1) =

=ηµασυνα

+1⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ηµ2ασυν2α

+1⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=ηµα+ συνασυνα

⋅ηµ2α+ συν2ασυν2α

=ηµα+ συνασυνα

⋅1

συν2α=

=ηµα+ συνασυν3α

.


1−2ηµxσυν2x


= 3εϕ2x .

Είναι

1−2ηµxσυν2x


=1−2ηµx1− ηµ2x


=1−2ηµx

(1− ηµx)(1+ ηµx)−

1−3ηµx1− ηµx

=

=

1−2ηµx −(1+ ηµx)(1−3ηµx)(1− ηµx)(1+ ηµx)

=1−2ηµx −1+ 3ηµx − ηµx + 3ηµ2x

συν2x=

3ηµ2xσυν2x

= 3εϕ2x .

34. Να δείξετε ότι ισχύει (1+ ηµα+ συνα)2 = 2(1+ ηµα)(1+ συνα) .

Είναι (1+ ηµα+ συνα)2 = 1+ ηµ2α+ συν2α+ 2ηµα+ 2ηµα ⋅συνα+ 2συνα =

= 1+1+ 2ηµα+ 2ηµα ⋅συνα+ 2συνα = 2 + 2ηµα+ 2ηµα ⋅συνα+ 2συνα =

= 2(1+ ηµα ⋅συνα+ ηµα+ συνα) = 2 ⋅[ηµα ⋅(συνα+1)+ (συνα+1)] =

= 2(συνα+1)(ηµα+1) .

Στο πρώτο βήµα χρησιµοποίησα την ταυτότητα (α+ β + γ)2 = α2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα .

35. Να δείξετε ότι το γινόμενο 1+συνα−1ηµα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+ηµα+1συνα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ είναι ανεξάρτητο του α.

Είναι Α= 1+

συνα−1ηµα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+ηµα+1συνα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=ηµα+ συνα−1

ηµα⋅συνα+ ηµα+1

συνα=

=

[(ηµα+ συνα)−1]⋅[(ηµα+ συνα)+1]ηµα ⋅συνα

=(ηµα+ συνα)2−12

ηµα ⋅συνα=

=ηµ2α+ συν2α+ 2ηµα ⋅συνα−1

ηµα ⋅συνα=

1+ 2ηµα ⋅συνα−1ηµα ⋅συνα

=2ηµα ⋅συναηµα ⋅συνα

= 2 ,

δηλαδή το δοθέν γινόμενο είναι ανεξάρτητο του α.




- 14 -

36. Να δείξετε ότι (ηµx + συνx)4 −(ηµx −συνx)4 = 8ηµx ⋅συνx .

Είναι:• (ηµx + συνx)4 = [(ηµx + συνx)2 ]2 = (ηµ2x + συν2x + 2ηµx ⋅συνx)2 =

= (1+ 2ηµx ⋅συνx)2 = 1+ 4ηµ2x ⋅συν2x + 4ηµx ⋅συνx .

• (ηµx −συνx)4 = [(ηµx −συνx)2 ]2 = (ηµ2x + συν2x −2ηµx ⋅συνx)2 =

= (1−2ηµx ⋅συνx)2 = 1+ 4ηµ2x ⋅συν2x − 4ηµx ⋅συνx .

Άρα από το πρώτο μέλος της προς απόδειξη σχέσης έχω

1+ 4ηµ2x ⋅συν2x + 4ηµx ⋅συνx −1− 4ηµ2x ⋅συν2x + 4ηµx ⋅συνx = 8ηµx ⋅συνx .


συν3αηµα

+εϕα

1+ εϕ2α= σϕα .

Είναι

συν3αηµα

+εϕα

1+ εϕ2α=συν2α ⋅συναηµα

+

1σϕα

1+1σϕ2α

= συν2α ⋅συναηµα

+

1σϕασϕ2α+1σϕ2α

=

=1

1+ εϕ2α⋅σϕα+

σϕα1+ σϕ2α

=σϕασϕ2α+1σϕ2α

+σϕα

1+ σϕ2α=σϕ3α

1+ σϕ2α+

σϕα1+ σϕ2α

=

=σϕ3α+ σϕα

1+ σϕ2α=σϕα ⋅(σϕ2α+1)

1+ σϕ2α= σϕα .

38. Να δείξετε ότι ισχύει | εϕθ+ σϕθ | = | εϕθ | + | σϕθ | .

Ισοδύναμα θα δείξω ότι ισχύει

| εϕθ+ σϕθ |2= ( | εϕθ | + | σϕθ | )2 ⇔ (εϕθ+ σϕθ)2 = | εϕθ |2 + | σϕθ |2 +2⋅ | εϕθ | ⋅ | σϕθ |⇔

⇔ εϕ2θ+ σϕ2θ+ 2εϕθ ⋅σϕθ = εϕ2θ+ σϕ2θ+2⋅ | εϕθ ⋅σϕθ |⇔ 2 ⋅1 = 2⋅ | 1 | , που ισχύει.

Ίσως ο µοναδικός τρόπος απόδειξης της ζητούµενης σχέσης, αφού οι απόλυτες τιµές δεν µπορούν αλλιώς ν' απλο-ποιηθούν (αφού δεν ξέρουµε τα πρόσηµα των παραστάσεων που είναι µέσα τους).




- 15 -


1ηµϕ

−ηµϕ

1+ συνϕ= σϕϕ .


Είναι

1ηµϕ

−ηµϕ

1+ συνϕ=

1+ συνϕ− ηµ2ϕηµϕ ⋅(1+ συνϕ)

=συν2ϕ+ συνϕηµϕ ⋅(1+ συνϕ)

=συνϕ ⋅(συνϕ+1)ηµϕ ⋅(1+ συνϕ)

=

=συνϕηµϕ

= εϕϕ .

40. Να αποδείξετε την ταυτότητα 1− εϕx ⋅συνx ⋅ηµx = συν2x .


Είναι 1− εϕx ⋅συνx ⋅ηµx = 1−

ηµxσυνx

⋅συνx ⋅ηµx = 1− ηµ2x = συν2x .


1συν2ϕ

−1σϕ2ϕ

= 1 .


Είναι

1συν2ϕ

−1σϕ2ϕ

=1

συν2ϕ−

1συν2ϕηµ2ϕ

=1

συν2ϕ−ηµ2ϕσυν2ϕ

=1− ηµ2ϕσυν2ϕ

=συν2ϕσυν2ϕ

= 1 .


1+ ηµ2xσυν2x

−2εϕ2x = 1 .


Είναι

1+ ηµ2xσυν2x

−2εϕ2x =1+ ηµ2xσυν2x

−2ηµ2xσυν2x

=1+ ηµ2x −2ηµ2x

συν2x=

1− ηµ2xσυν2x

=

=συν2xσυν2x

= 1 .




- 16 -

43. Να αποδείξετε την ταυτότητα 1+

1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 1−1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=2

συν2ω.


Είναι 1+

1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+ 1−1σϕω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= (1+ εϕω)2 + (1− εϕω)2 =

= 1+ εϕ2ω+ 2εϕω+1+ εϕ2ω−2εϕω = 2 + 2εϕ2ω = 2(1+ εϕ2ω) = 2 ⋅ 1+

ηµ2ωσυν2ω

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

=

= 2 ⋅

συν2ω+ ηµ2ωσυν2ω

=2

συν2ω.

44. Να δείξετε ότι ηµα ⋅συνα ⋅(1+ εϕα)(1+ σϕα) = 1+ 2ηµα ⋅συνα .


Είναι ηµα ⋅συνα ⋅(1+ εϕα)(1+ σϕα) = ηµα ⋅συνα ⋅ 1+

ηµασυνα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1+συναηµα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

= ηµα ⋅συνα ⋅

συνα+ ηµασυνα

⋅ηµα+ συναηµα

= (ηµα+ συνα)2 = ηµ2α+ συν2α+ 2ηµα ⋅συνα =

= 1+ 2ηµα ⋅συνα .

45. Να δείξετε ότι ηµ6x + συν6x = 1−3ηµ2x ⋅συν2x .


Να προσεχθεί πάρα πολύ ο τρόπος αντιµετώπισης της άσκησης!!

Από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 προκύπτει

(ηµ2x + συν2x)3 = 13 ⇒ ηµ6x + 3ηµ4x ⋅συν2x + 3ηµ2x ⋅συν 4x + συν6x = 1⇒

⇒ ηµ6x + συν6x + 3ηµ2x ⋅συν2x ⋅(ηµ2x + συν2x) = 1⇒

⇒ ηµ6x + συν6x + 3ηµ2x ⋅συν2x ⋅1 = 1⇒ ηµ6x + συν6x = 1−3ηµ2x ⋅συν2x .



=εϕθεϕω

.


Είναι


=εϕθ+

1εϕω

εϕω+1εϕθ

=

εϕθ ⋅εϕω+1εϕω

εϕω ⋅εϕθ+1εϕθ

=

1εϕω1εϕθ

=εϕθεϕω

.




- 17 -




.


Είναι


=

ηµ2xσυν2x

+συν2xηµ2x

ηµxσυνx

+συνxηµx

=

ηµ4x + συν 4xηµ2x ⋅συν2xηµ2x + συν2xηµx ⋅συνx

=ηµ4x + συν 4xηµx ⋅συνx

.

Από την σχέση ηµ2x + συν2x = 1 έχω

(ηµ2x + συν2x)2 = 12 ⇒ ηµ4x + συν 4x + 2ηµ2x ⋅συν2x = 1⇒

⇒ ηµ4x + συν 4x = 1−2ηµ2x ⋅συν2x .

Επομένως είναι



.


ηµ2x1−συνx

+ηµ2x

1+ συνx έχει σταθερή τιμή.


Είναι Α= ηµ2x ⋅

11−συνx

+1

1+ συνx

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= ηµ2x ⋅1+ συνx +1−συνx(1−συνx)(1+ συνx)

⇒

⇒Α= (1−συν2x) ⋅

21−συν2x

⇒Α= 2 , δηλαδή έχει σταθερή τιμή.


ηµ4ϕ−συν 4ϕ+ συν2ϕ1−συνϕ

−συνϕ έχει σταθε- ρή τιμή. Πηγή: Βασίλης Παπαδάκης, Άλγεβρα Β΄Λυκείου, τεύχος Α΄, εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα, 2012.

Είναι

ηµ4ϕ+ συν2ϕ ⋅(1−συν2ϕ)1−συνϕ

=ηµ4ϕ+ συν2ϕ ⋅ηµ2ϕ

1−συνϕ=ηµ2ϕ ⋅(ηµ2ϕ+ συν2ϕ)

1−συνϕ=

=

ηµ2ϕ1−συνϕ

=1−συν2ϕ1−συνϕ

=(1−συνϕ)(1+ συνϕ)

1−συνϕ= 1+ συνϕ , οπότε είναι

Α= 1+ συνϕ−συνϕ⇒Α= 1 , δηλαδή έχει σταθερή τιμή.




- 18 -

50. Να δείξετε ότι η παράσταση Α=

5συνα− 43−5ηµα

−3 + 5ηµα5συνα+ 4

έχει σταθερή τιμή.


Είναι Α=

(5συνα− 4)(5συνα+ 4)−(3−5ηµα)(3 + 5ηµα)(3−5ηµα)(5συνα+ 4)

.

Για την παράσταση του αριθμητή, έχω

(5συνα)2− 42−[32−(5ηµα)2 ] = 25συν2α−16−(9−25ηµ2α) =

= 25συν2α−16−9 + 25ηµ2α = 25(συν2α+ ηµ2α)−25 = 25 ⋅1−25 = 0 ,

οπότε είναι Α=

0(3−5ηµα)(5συνα+ 4)

⇒Α= 0 , δηλαδή έχει σταθερή τιμή.




- 19 -

Τριγωνομετρία Ασκήσεις Ταυτοτητες Αποδεικτικες

Documents