ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
DESCRIPTION
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica. Εισαγωγή. Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές DSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο NSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση. Εισαγωγή. Και οι δυο εντολές δέχονται - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/1.jpg)
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Μελέτη Δ.Ε. με χρήσητου Mathematica
![Page 2: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/2.jpg)
Εισαγωγή
Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές
DSolveDSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο
NSolveNSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση
![Page 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/3.jpg)
ΕισαγωγήΚαι οι δυο εντολές δέχονται
μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυσηΠρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσειςΓραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσειςΠροβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.
![Page 4: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/4.jpg)
Η εντολή DSolve
![Page 5: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/5.jpg)
Συμβολική επίλυση (symbolic solution)
Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξηςΓενική λύση ΔΕ:
eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ
DSolve[eqn,y[t],t]DSolve[eqn,y[t],t]όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕκαι t η μεταβλητή
![Page 6: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/6.jpg)
ΠαραδείγματαΈστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]
' ( )y ry m y
Οι εξισώσεις Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό 0ρίζονται με διπλό ==
![Page 7: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/7.jpg)
Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης cΗ λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα : .
1
mrt mc
mrt mc
e mye
![Page 8: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/8.jpg)
ΔΕ με αρχικές συνθήκες
Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες
eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ
con=con=αρχική συνθήκηαρχική συνθήκη
DSolve[DSolve[{{eqneqn,,concon}},y[t],t],y[t],t]
Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’y’
![Page 9: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/9.jpg)
ΠαραδείγματαΝα λυθεί το πρόβλημα ' 0
(0) 2
y y
y
![Page 10: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/10.jpg)
ΠρόβλημαΝα βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ
2 2
'
(1) 2
x yy
xy
y
![Page 11: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/11.jpg)
Λύση
Η λύση είναι με Mathematica
![Page 12: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/12.jpg)
Γραφικές παραστάσεις
Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής
![Page 13: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/13.jpg)
ΠρόβλημαΝα λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής
' cos5
(1) 0
xy y e x
y
Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1
![Page 14: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/14.jpg)
Λύση
Η λύση με Mathematica
![Page 15: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/15.jpg)
Γραφική λύση
![Page 16: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/16.jpg)
ΠαράδειγμαΝα βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ
Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)
2' cosy
y xx
![Page 17: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/17.jpg)
Λύση
Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:
![Page 18: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/18.jpg)
Γραφική παράσταση
Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot
Evaluate
![Page 19: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/19.jpg)
ΠαράδειγμαΝα λυθούν οι ΔΕ
Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0
2 3
' 5
'
y y
y y x
![Page 20: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/20.jpg)
Λύση
![Page 21: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/21.jpg)
Γραφική λύση
Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y
PlotRange
![Page 22: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/22.jpg)
Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.
![Page 23: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/23.jpg)
ΠαράδειγμαΝα λυθεί η ΔΕ
Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2
2
2
sin'y t
yt
![Page 24: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/24.jpg)
Λύση
![Page 25: ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081603/56815d01550346895dcb007c/html5/thumbnails/25.jpg)
Γραφική παράσταση
Η εντολή PlotStyle δείνει χρώμα στη κάθε γραφική παράσταση λύσης
PlotStyle RGBColor
H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα