三重积分的概念化三重积分为累次积分三重积分换元法

§5 §5 三重积分三重积分

问题的提出设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )

求立体 V 的质量 M

为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、

求和、取极限四个步骤 .

首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 iV

一、三重积分的概念

其次在每个小块 Vi 上任取一点 ),,( iii

则 Vi 的质量 iiiii VfM ),,(

然后对每个小块 Vi 的质量求和：

n

iiiii VfM

1

),,(

最后，取极限

n

iiiii

TVfM

10||||

),,(lim

其中 }{max||||0

的直径ini

VT

定义 1 设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积

区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 iV

的有界区域 V 上的有界函数 , 把 V 任意地分成 n 个小

}{max||||0

的直径ini

VT

记在每个小块 Vi 上任取一点 ),,,( iii 若极限

n

iiiii

TVf

10||||

),,(lim

存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V 上可积，并称此极限为

f ( x, y, z ) 在 V 上的三重积分，记为

V

Vzyxf d),,( 或 V

zyxzyxf ddd),,(

三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质 .

例如 V

Vd V 的体积

设 f ( x, y, z ) 在长方体 ],[],[],[ hedcbaV

上连续，则

h

e

d

c

b

aV

zzyxfyxzyxzyxf d),,(ddddd),,(

二、化三重积分为累次积分

设 }),(),,(),(|),,{( 21 DyxyxzzyxzzyxV

}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxD

则 V

zyxzyxf ddd),,(

z

x

yo

V

D

),(1 yxzz

),(2 yxzz

)(1 xyy

)(2 xyy

),(

),(

2

1

d),,(ddyxz

yxzD

zzyxfyx

),(

),(

)(

)(

2

1

2

1

d),,(ddyxz

yxz

xy

xy

b

azzyxfyx

V

zyxzyxf ddd),,(

其中 V 为三个坐标例 . 计算 ,dddV

zyxx

12 zyx 所围成的闭区域 .

1x

y

z1

21

解

yx

DV

zxyxzyxx21

0dddddd

)1(

0

1

0

21

d)21(dx

yyxxx

D

yxyxx dd)21(

1

0

32 d)2(4

1xxxx

48

1

面及平面

x

y

1

2

1

1

2

x

y

z

O

例 1 计算 V yx

zyx22

ddd

其中 V 为由平面 x = 1, x = 2, z = 0

y = x, z = y 所围的区域 .

解

x

y

21O

D

xy

V yx

zyx22

ddd

y

D yx

zyx

0 22

ddd

x

D

yyx

yxyx

yx

y0 22

2

122 dddd

2

1 022 d|)ln(

2

1xyx x ln2

2

1

若 V 可以表示为：

则三重积分可采用先在区域 Dz 上计算二重积分，再计算一个定积分的方法来计算

V

zyxzyxf ddd),,(

zD

b

ayxzyxfz dd),,(d

zD

yxO

z

a

b

x

y

z例 . 计算

解 : :Vczc

2

2

2

2

2

2

1:c

z

b

y

a

xDz

ab

c zD

z

其中 V 是椭球体 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

V

zyxzI ddd2

V

zyxz ddd2 zD

c

cyxzz ddd 2

zD

c

cyxzz ddd2

c

zc

zabz

0 2

22 d)1(2 3

15

4abc

c

例 3 计算 V

zyxc

z

b

y

a

xI ddd)( 2

2

2

2

2

2

其中 V 是椭球体

解

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

zD

z

y

x

O

V

zyxa

xI ddd2

2

V

zyxc

zddd2

2

zD

c

cyx

c

zz ddd 2

2

z

zD

c

cyxz

c

zddd2

2

c

cz

c

zab

c

zd)1( 2

2

2

2

VV

zyxc

zzyx

b

ydddddd 2

2

2

2

abc15

4

空间中的区域把设变换 uvw

wvuzz

wvuyy

wvuxx

T ,

),,(

),,(

),,(

:

，函数空间中的区域一对一的映射为 VxyzV

),,(),,(),,( wvuzzwvuyywvuxx ，，

内连续且函数函列式的一阶偏导数在V

三、三重积分换元法

Vwvu

w

z

v

z

u

zw

y

v

y

u

yw

x

v

x

u

x

wvu

zyxwvuJ

),,(,0),,(

),,(),,(

V

V

wvuJwvuzwvuywvuxf

zyxzyxf

ddd||)),,(),,,(),,,((

ddd),,(则

1 、柱面坐标变换

z

r

zz

ry

rx

T

20

0

sin

cos

o

x

y

z

常数r

坐标面分别为圆柱面

常数 半平面常数z 垂直于轴 z 的平面

o

z),,( zyx

r)0,,( yx

rr

r

zr

zyxzrJ

100

0cossin

0sincos

),,(

),,(),,(

V

zyxzyxf ddd),,(

V

zrrzrrf ddd),sin,cos(

计算例3 V

dxdydzyx )( 22

.4)(2 22 为边界的区域与是曲面其中 zzyxV

其中 V 为由例 . 计算

xyx 222 0),0(,0 yaazz

解 : 作柱面坐标变换

dcos3

42

0

32

a

及平面

2

a

x

y

z

o

cos2

0

22

0

2

dd2

rra

a

D

zzrdrd0

2 d

V

zyxyxz ddd22

2

9

8a

柱面

cos2r

所围成半圆柱体 .

V

zrrrz ddd

20

0

0

cos

sinsin

cossin

:

r

rz

ry

rx

T

o

xy

z

r ),,( r

坐标面分别为常数r 球面常数 半平面常数 锥面

2. 球坐标变换

V

zyxzyxf ddd),,(

V

rrrrrf dddsin)cos,sinsin,cossin( 2

例 . 计算

解

所围立体 .

其中 V 为锥面

与球面

R

rr0

4 d

)22(5

1 5 R

4

0dsin

2

0d

xy

z

o

4

在球面坐标系下

例 . 计算

解所围立体 .

其中 V 为锥面

与平面

cos

0

2 dsincosh

rrr

4

4h

4

0d

2

0d

xy

z

o

4

解

4

4h

xy

z

o

4

解

4

4h

xy

z

o

4

若平面区域 D 关于 x 轴对称，则下列积分的值为零

若平面区域 D 关于 y 轴对称，则下列积分的值为零

例如，若 D 是以原点为圆心的圆，则

进一步，对于变量的奇、偶函数，

可得到与定积分类似的性质 .

思考思考

若空间区域 V 关于 xy 平面对称，则有：

若空间区域 V 关于 xz 平面对称，则有：

若空间区域 V 关于 yz 平面对称，则有：

例如，若 V 是以原点为球心的球体，则

立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面

则其体积为 D

yxyxfV dd),(

• 占有空间有界域 V 的立体的体积为

V

zyxV ddd

例 4 求由圆锥体 cot22 yxz

和球体 2222 )( aazyx

所确定的立体体积，其中 0,2

0 a

x

O y

z

a

解 立体的体积为

cos2

0

2

0

2

0dsinddd

a

V

rrV

0

33

dsincos3

82

a

)cos1(3

4 43

a

例 5 求 V

zyxzI ddd

其中 V 为由 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x 与 0z

所确定的区域 .

解 作广义球坐标变换

cos

sinsin

cossin

:

crz

bry

arx

T

于是 sin2abcrJ

V

VzI d

4

2abc

1

0

22

0

2

0dsincosdd rabcrcr