Бийский лицей Алтайского края
DESCRIPTION
Бийский лицей Алтайского края. Алгебра 11 класс Комплексные числа. Вам поклоняюсь, вас желаю, числа! Свободные, бесплотные как тени, Вы радугой связующей повисли К раздумиям с вершины вдохновенья. Валерий Яковлевич Брюсов (русский писатель 1873-1924). Историческая справка. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Бийский лицей Алтайского края
Алгебра 11 классКомплексные числа
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!Свободные, бесплотные как тени,Вы радугой связующей повислиК раздумиям с вершины вдохновенья.
Валерий Яковлевич Брюсов(русский писатель 1873-1924)
Историческая справка
Итальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в видесуммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система
не имеет действительных решений. Величины, квадраткоторых равен отрицательному числу Кардано назвал«софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»
40
10
ху
ух
Основатели теории комплексных чисел
Бомбелли-итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий
Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа»
Эйлер-русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i , а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя.
из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа.
К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию.
Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом
Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных
чисел
2 xпри ,sincos xixеix
Словарь терминов
Комплексный-лат. составной, сложный. Термин введён Гауссом
i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый
Инверсия, inversio - лат. переворачивание
Цель занятия: повторение и обобщение знаний по теме;с выходом на ознакомление с теорией функций комплексного переменного.
План работы на уроке:1 этап - повторение вопросов теории2 этап - вычислительная работа3 этап - практическая работа, выход на новый материал4 этап – итоговый контроль
Этап 1.1
Работа в парах (устно)
1)Сформулируйте определение комплексного числа.2)Как изображается комплексное число на плоскости?3)Как вычислить модуль комплексного числа?4)Что называется аргументом?5) В каких границах заключен главный аргумент?6) Как записать число в тригонометрической форме?7) Какое число называется сопряженным? Свойство сопряженных чисел?8) Запишите теоремы о модуле и аргументе9) Формула Муавра для Z в степени n
Этап 1.2.Основные определения
Число вида z=a+bi называется комплексным, а и b-действительные числа, i-мнимая единица
Re z=a, Im z=b Модулем комплексного числа называется
Аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением полуоси ОХ и радиус-вектором ОМ, М(а,b)
Главный аргумент arg z заключен в границах
Тригонометрическая форма комплексного числа
22 baz
;(
sincos izz
Этап 1.3.Основные формулы
))sin()(cos(
)sin()cos(
))sin()(cos(
)sin(cos zz ),sin(cos
21212
1
2
1
21212121
22221111
22
ninzz
iz
z
z
z
izzzz
iizz
bazz
biaz
nn
Этап 2.1.Выполните действия, ответы запишите в тетрадь
1) (3+2i)+3(-1+3i) 2) i-2-(6-5i)3) (1+i)(1-i) 4)
5) 6)
Разложите на множители в комплексных числах:
1013 i ,i
i
3 4)1( i
16 x9) ,4а 8) ,1 )7 4222 bх
Этап 2.2. Проверь себя!
1) 11i 2) -8+6i 3) 2 4) –i, I 5) -3i 6) -4 7)(x-i)(x+i) 8)(a+2bi)(a-2bi) 9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)
Этап 2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Изобразите комплексное число на плоскости z=-2+2i
Запишите данное число в тригонометрической форме---------------------------------------------------------------------
4
3arg,22
zz
Этап 2.4.Решите задачу различными способами в алгебраической и тригонометрической форме
izzеслиzНайдите 84 , 6
Этап 2.5. Указания к решению.
1 способ.Если z=x+iy, то получаем уравнение 3x+3yi-x+yi=-4+8i, x+2yi=-2+4i,Используем условие равенства комплексных чисел, получаем, что х=-2, у=2.При возведении в квадрат, получаем число -8i, которое возводим в куб.Ответ: 512i
2 способ.Представленное в тригонометрической форме число возвести по формуле Муавра в 6-ю степень.
Этап 3.1.Геометрическое место точек
Изобразить на плоскости ГМТ, удовлетворяющих условиям:
01 wуравнения Решения.5
0)Re(.4
4arg
6.3
2Im.2
5,1.1
6
2
№
z№
z№
z№
iz№
Этап 3.2.1. Полученные ГМТ.
№1. Окружность с центром (0;-1) и радиусом 1,5№2. Полуплоскость у2.№3. Угол, заключенный между заданными лучами.№4. Прямые у=х и у=-х.№5. Точки, расположенные в вершинах правильного
6-тиугольника с центром (0;0).
Модуль равен 1. Простейший аргумент
6
Этап 3.2.2. Решения задач.
i2
1-
2
3 i;- ;
2
1
2
3- ;
2
1
2
3- i; ;
2
1
2
3 :форме скойалгебраиче
.6
11 ;
2
3 ;
6
7 ;
6
5 ;
2 ;
6 иаргументам с числа Получаем
Z.k ;6
2sin
6
2cos
:имеем Тогда ).sin1(cos 1-
1- .1w
5. №
-y. xилиy x0; y-x
;)2Re(x ;2 xz ;)(
4. №
2. y -2;y- ;z Im ;
.2
2
3)1( ;
2
3)1( );1( .1
6
22
222222222
222
222
iiiВ
ki
kw
i
формерическойтригонометвчислоЗапишем
yxyxyiyxyiiyxz
yiyxz
№
yxyxyixiz№
k
Этап 3.3. Функции комплексного переменного
Задайте условиями четверть круга с центром в точке (0;0), радиусом 2.
Выполните преобразования и постройте ГМТ w, удовлетворяющее условию:
Выполните: I вариант - а, в, д II вариант - б, г, д.
zwд
zwг
izв
zwб
izwа
1)
)
)1()
2)
)3()
3
Этап 3.4.1.Решения задач.
)4
sin4
(cos2
)4
sin4
(cos2i-1 );sin(cos
)0;0( 2
; 2
)
)sin(cos2 );sin(cos
.2 )0;0( )
).1;3( )
2
2arg0
izw
iizz
центромитомкоэффициенсгомотетия
стрелкечасовойпоуголнаповоротв
izwizz
томкоэффициеницентромсгомотетияб
векторнапереносыйпараллельнa
z
z
Этап 3.4.2.Решения задач.
. называется аниепреобразов Такое
фигуры. вне штриховка
внешние, во переходят
0arg2
2
1w
).sin()(cos(1
);0sin()0(cos(1
);0sincos0(11 )
2
3arg0
8w
);3sin3(cosz w)
00
00
3
инверсией
точкиВнутренние
w
iz
w
iz
w
iд
w
iг
Этап 4.1. Итоговый тест. Проверь себя! ( «да» или «нет»)
1. Число 1+i является действительным?2. -2(cos90 0+i sin90 0)-является тригонометрической формой
комплексного числа?3. Многочлен (х+4) можно разложить на множители в
комплексных числах?4. Если комплексное число равно своему сопряженному, то
оно является действительным?5. Число имеет аргумент равный /3 ?
i2
3
2
1
Этап 4.2. Ответы.
1. Нет2. Нет3. Да4. Да5. Нет
Молодцы! Спасибо за хорошую работу на уроке!
Урок подготовлен и проведен учителем математики высшей категории КГОУ «Бийский лицей Алтайского края»
Безкишкиной Мариной Васильевной
для слушателей курсов повышения квалификации БФАКИПКРО
и студентов ФМФ БГПУ им. В.М.Шукшина
2007г.