第十一章 几类重要的图第十一章 几类重要的图11.1 欧拉图与哈密尔顿图11.1 欧拉图与哈密尔顿图11.2 二部图11.2 二部图11.3 树11.3 树11.4 平面图11.4 平面图

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11.1 11.1 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图17361736 年瑞士数学家欧拉发表了图论的第一年瑞士数学家欧拉发表了图论的第一

篇著名论文“哥尼斯堡七桥问题”篇著名论文“哥尼斯堡七桥问题” (( 下称七桥问下称七桥问题题 )) 。这个问题是这样的：哥尼斯堡城有一条横。这个问题是这样的：哥尼斯堡城有一条横贯全城的普雷格尔河，城的各部分用七桥联结，贯全城的普雷格尔河，城的各部分用七桥联结，每逢节假日，有些城市居民进行环城周游，于每逢节假日，有些城市居民进行环城周游，于是便产生了能否“从某地出发，通过每桥恰好是便产生了能否“从某地出发，通过每桥恰好一次，在走遍了七桥后又返回到原处”的问题。一次，在走遍了七桥后又返回到原处”的问题。

在图在图 11.1.111.1.1 画出了哥尼斯堡城图，城的四块画出了哥尼斯堡城图，城的四块陆地部分以陆地部分以 AA ，， BB ，， CC ，和，和 DD 标记。欧拉巧妙地标记。欧拉巧妙地把哥尼斯堡城图化为图把哥尼斯堡城图化为图 11.1.211.1.2 所示图所示图 GG ，他把陆，他把陆地设为图地设为图 GG 中的结点，把桥画成相应地联结陆地中的结点，把桥画成相应地联结陆地即结点的边。于是，通过哥尼斯堡城中每座桥恰好即结点的边。于是，通过哥尼斯堡城中每座桥恰好一次问题，等价于在图一次问题，等价于在图 GG 中从某一结点出发找出中从某一结点出发找出一条链，它通过每条边恰好一次后回到原出发结点，一条链，它通过每条边恰好一次后回到原出发结点，亦即等价于在图亦即等价于在图 GG 中寻找一个圈，它通过中寻找一个圈，它通过 GG 中每中每一条边恰好一次。一条边恰好一次。

图 图 11.1.111.1.1

图 图 11.1.211.1.2

欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥问题是不能解的。下面就来讨论这个问题。定七桥问题是不能解的。下面就来讨论这个问题。定义定义 11.1.111.1.1 图图 GG 中的一圈中的一圈 (( 或回路或回路 )) ，若，若它通它通 GG 中的每一条边中的每一条边 (( 或弧或弧 )) 恰好一次，则称该恰好一次，则称该圈圈 (( 或回路或回路 )) 为欧拉圈为欧拉圈 (( 或回路或回路 )) ，具有这种圈，具有这种圈

(( 或回路或回路 )) 的图称为欧拉无向的图称为欧拉无向 (( 或有向或有向 )) 图。图。定理定理 11.1.111.1.1 给定连通无向图给定连通无向图 GG ，， GG 有欧拉有欧拉圈圈 GG 中每个结点都是偶度结点。中每个结点都是偶度结点。

由定义由定义 11.1.111.1.1 可知，具有欧拉圈的图可知，具有欧拉圈的图是欧拉图，故图是欧拉图，故图 GG 为欧拉图为欧拉图 GG 中每个中每个结点都是偶度结点。结点都是偶度结点。

由于七桥问题所对应的图中每个结点由于七桥问题所对应的图中每个结点都是奇度结点，根据上述定理可知都是奇度结点，根据上述定理可知，七桥，七桥问题无解。问题无解。

定义定义 11.1.211.1.2 图图 GG 中的一条链中的一条链 (( 或路或路 )) ，若它通，若它通过过 GG 中的每条边中的每条边 (( 或弧或弧 )) 恰好一次，则称该链恰好一次，则称该链 (( 或路或路 ))

为欧拉链为欧拉链 (( 或路或路 )) 。。定理定理 11.1.211.1.2 给定连通无向图给定连通无向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， uu ，，

vv∈∈VV 且且 uu≠≠vv ，， uu 与与 vv 间存在欧拉链间存在欧拉链 GG 中仅有中仅有 uu 和和 vv

为奇度结点。为奇度结点。

定理定理 11.1.311.1.3 给定弱连通有向图给定弱连通有向图 GG ，， GG 有欧拉回有欧拉回路路 GG 中的每个结点的入度等于出度。中的每个结点的入度等于出度。

定理定理 11.1.411.1.4 给定弱连通有向图给定弱连通有向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， uu ，，vv∈∈VV 且且 uu≠≠vv ，， uu 与与 vv 存在欧拉路存在欧拉路 GG 中唯有中唯有 uu 和和 vv 的的入度不等于出度，且入度不等于出度，且 uu 的入度比其出度大于的入度比其出度大于 11 和和 vv 的的出度比其入度小于出度比其入度小于 1(1( 或者反之或者反之 )) 。。

这两个定理的证明，可以看作是关于无向图这两个定理的证明，可以看作是关于无向图的欧拉圈和欧拉链的推广。因为对于有向图的任的欧拉圈和欧拉链的推广。因为对于有向图的任意一个结点来说，如果入度与出度相等，则该结意一个结点来说，如果入度与出度相等，则该结点为偶度结点；如果入度与出度之差为点为偶度结点；如果入度与出度之差为 11 时，该时，该结点必是奇度结点，所以定理结点必是奇度结点，所以定理 11.1.311.1.3 和和 14.1.414.1.4 与与前面两个定理的证明类似。前面两个定理的证明类似。

与欧拉圈和链与欧拉圈和链 (( 或回路和路或回路和路 )) 非常类似的问题非常类似的问题是哈密尔顿圈和链是哈密尔顿圈和链 (( 或回路和路或回路和路 )) 的问题。的问题。 18591859 年，年，爱尔兰数学家哈密尔顿爱尔兰数学家哈密尔顿 (W.R.Hamilton)(W.R.Hamilton) 首先提出首先提出“环球周游”问题。他用一个正十二面体的“环球周游”问题。他用一个正十二面体的 2020 个顶个顶点代表世界上点代表世界上 2020 个大城市个大城市 (( 见图见图 11.1.4(11.1.4(aa)))) ，这个，这个正十二面体同构于一个平面图正十二面体同构于一个平面图 (( 见图见图 11.1.4(11.1.4(bb)) ，平，平面图的定义稍后给出面图的定义稍后给出 )) ，要求旅游者能否找到沿着，要求旅游者能否找到沿着正十二面体的棱，从某个顶点正十二面体的棱，从某个顶点 (( 即城市即城市 )) 出发，经出发，经过每个顶点过每个顶点 (( 即每座城市即每座城市 )) 恰好一次，然后回到出恰好一次，然后回到出发顶点发顶点 ?? 这便是著名的哈密尔顿问题。这便是著名的哈密尔顿问题。

图 图 11.1.411.1.4

按图按图 11.1.4(11.1.4(cc)) 中所给的编号进行旅游，中所给的编号进行旅游，便是哈密尔顿问题的解。便是哈密尔顿问题的解。

对于任何连通图也有类似的问题。对于任何连通图也有类似的问题。

图 图 11.1.411.1.4

定义定义 11.1.311.1.3 图图 GG 中的一圈中的一圈 (( 或回路或回路 )) ，若它，若它通过通过 GG 中每个结点恰好一次，则该圈中每个结点恰好一次，则该圈 (( 或回路或回路 )) 称称为哈密尔顿圈为哈密尔顿圈 (( 或回路或回路 )) ，具有哈密尔顿圈，具有哈密尔顿圈 (( 或回或回路路 )) 的图称为哈密尔顿无向的图称为哈密尔顿无向 (( 或有向或有向 )) 图。图。

由该定义可知，完全图必是哈密尔顿图。由该定义可知，完全图必是哈密尔顿图。

定义定义 11.1.411.1.4 图图 GG 中的一链中的一链 (( 或路或路 )) ，若它通，若它通过过 GG 中的每个结点恰好一次，则该链中的每个结点恰好一次，则该链 (( 或路或路 )) 称为称为哈密尔顿链哈密尔顿链 (( 或路或路 )) 。。

哈密尔顿图尽管在形式上与欧拉图极其相似，哈密尔顿图尽管在形式上与欧拉图极其相似，但其结论上却有很大不同，至今还没有得到关于哈但其结论上却有很大不同，至今还没有得到关于哈密尔顿图的非平凡的充要条件，这是图论尚未解决密尔顿图的非平凡的充要条件，这是图论尚未解决的主要问题之一。然而，还是有不少重要成果，下的主要问题之一。然而，还是有不少重要成果，下面给出几个必要和充分条件的定理。面给出几个必要和充分条件的定理。

定理定理 11.1.511.1.5 若连通图若连通图 GG=<=<VV ，， EE>> 是哈密尔是哈密尔顿图，顿图， SS 是是 VV 的任意真子集，则的任意真子集，则 ωω((GG--SS)≤|)≤|SS|| 。。

本定理给出是哈密尔顿图的一个必要条件，本定理给出是哈密尔顿图的一个必要条件，但这个条件又不便于使用，因为它要求对但这个条件又不便于使用，因为它要求对 GG 的结的结点集合的所有真子集进行验证。尽管如此，利用点集合的所有真子集进行验证。尽管如此，利用它还可以证明某些图不是哈密尔顿图。它还可以证明某些图不是哈密尔顿图。

下面给出图下面给出图 GG 是哈密尔顿图的充分条件，是哈密尔顿图的充分条件，这个结果是于这个结果是于 19521952 年年 G.A.DiracG.A.Dirac研究得到的。研究得到的。

定理定理 11.1.611.1.6 给定简单图给定简单图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， ||VV|=|=

nn ，若，若 nn≥3≥3 和和 δδ≥≥nn/2/2 ，则，则 GG 是哈密尔顿图。是哈密尔顿图。请注意，本定理给出的仅是充分条件。例如，请注意，本定理给出的仅是充分条件。例如，

十多边形显然是哈密尔顿图，但十多边形显然是哈密尔顿图，但 δδ=2≥ =2≥ =5=5 。。

BondyBondy 和和 ChvatolChvatol 于于 19691969 年证明了更强的充年证明了更强的充分条件。他们的方法是建立下面两个引理之上的。分条件。他们的方法是建立下面两个引理之上的。

引理引理 11.1.111.1.1 给定图给定图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， ||VV|=|=nn≥3≥3 。。若若 uu ，， vv∈∈VV ，， uu 与与 vv 不邻接且不邻接且 dd((uu)+)+dd((vv)≥)≥nn ，则，则 GG

是哈密尔顿图是哈密尔顿图 GG++〔〔 uu ，， vv〕是哈尔密顿图。〕是哈尔密顿图。受引理受引理 11.1.111.1.1 启示，可以定义图的闭包概念。启示，可以定义图的闭包概念。

定义定义 11.1.411.1.4 给定图给定图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， ||VV|=|=

nn 。图。图 GG 的闭包是由的闭包是由 GG 通过相继地用边连接通过相继地用边连接两个其度之和至少为两个其度之和至少为 nn 的不邻接结点，直到的不邻接结点，直到不能如此进行为止而得到的图。用不能如此进行为止而得到的图。用 CC((GG)) 表表示图示图 GG 的闭包。的闭包。引理引理 11.1.211.1.2 CC((GG)) 是唯一确定的。是唯一确定的。

下面定理是引理下面定理是引理 11.1.111.1.1 的直接结果：的直接结果：定理定理 11.1.711.1.7 简单无向图简单无向图 GG 是哈密尔顿图是哈密尔顿图

CC((GG)) 是哈密尔顿图。是哈密尔顿图。容易看出，至少有三个结点的所有完全图都容易看出，至少有三个结点的所有完全图都

是哈密尔顿图。由此可得到下面推论：是哈密尔顿图。由此可得到下面推论：推论推论 给定简单无向图 给定简单无向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， ||VV|≥3|≥3 。。

若若 CC((GG)) 是完全图，则图是完全图，则图 GG 是哈尔密顿图。是哈尔密顿图。

对于有向图的哈密尔顿回路和路也有此类似对于有向图的哈密尔顿回路和路也有此类似结果，但其证明却是困难得多，因此这里只叙述结果，但其证明却是困难得多，因此这里只叙述由由 Ghoula-HouriGhoula-Houri 给出的定理如下：给出的定理如下：

定理定理 11.1.811.1.8 给定给定 nn 阶强连通图阶强连通图 GG=<=<VV ，， EE>> 。。若对任意若对任意 vv∈∈VV ，有，有 dd++((vv)+)+dd--((vv) ≥) ≥nn ，则，则 GG 有哈密有哈密尔顿回路。尔顿回路。

11.2 11.2 二部图二部图本节简要介绍二部图及二部图中匹配理论本节简要介绍二部图及二部图中匹配理论

的主要概念和成果。的主要概念和成果。定义定义 11.2.111.2.1 给定简单无向图给定简单无向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，，

且且 VV==VV11∪∪VV22 ，， VV11∩∩VV22== 。若。若 VV11 和和 VV22 的诱导子的诱导子图图 <<VV11>> 和和 <<VV22>> 都是零图，则称都是零图，则称 GG 是二部图或是二部图或偶图，并将二部图记作偶图，并将二部图记作 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22>> ，并，并称称 VV11 ，， VV22 是是 VV 的划分。的划分。

在一个二部图在一个二部图 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22>> 中，若中，若 ||VV11|=|=mm ，，||VV22|=|=nn ，且对任意的，且对任意的 uu∈∈VV11 ，， vv∈∈VV22均有均有 uu ，， vv〕∈〕∈EE ，则称，则称 GG 为完全二部图，记为为完全二部图，记为 KKmm ，， nn 。。

定理定理 11.2.111.2.1 简单图简单图 GG 为二部图为二部图 GG 中所有基中所有基本圈的长度为偶数。本圈的长度为偶数。

定义定义 11.2.211.2.2 给定简单无向图给定简单无向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，若，若 MMEE 且且 MM 中任意两条边都是不邻接的，则子集中任意两条边都是不邻接的，则子集MM 称为称为 GG 的的一个匹配或对集，并把一个匹配或对集，并把 MM 中的边所关联的两个结点称为中的边所关联的两个结点称为在在 MM 下是匹配的。下是匹配的。

令令 MM 是是 GG 的一个匹配，若结点的一个匹配，若结点 vv 与与 MM 中的边关联，中的边关联，则称则称 vv 是是 MM——饱和的；否则，称饱和的；否则，称 vv 是是 MM—— 不饱和的；若不饱和的；若GG 中的每个结点都是中的每个结点都是 MM——饱和的，则称饱和的，则称 MM 是完全匹配。是完全匹配。如果如果 GG 中没有匹配中没有匹配 MM11 ，使，使 ||MM11|| ＞＞ ||MM|| ，则称，则称 MM 是最大是最大匹配。显然，每个完全匹配是最大匹配，但反之不真。匹配。显然，每个完全匹配是最大匹配，但反之不真。

定义定义 11.2.311.2.3 令令 MM 是图是图 GG=<=<VV ，， EE>> 中的一个中的一个匹配。若存在一个链，它是由分别由匹配。若存在一个链，它是由分别由 EE--MM 和和 MM 中中的边交替构成，则称该链是的边交替构成，则称该链是 GG 中的中的 MM——交错链；交错链；若若 MM——交错链的始结点和终结点都是交错链的始结点和终结点都是 MM—— 不饱和不饱和的，则称该链为的，则称该链为 MM——增广链；特别地，若增广链；特别地，若 MM——交交错链的始结点也是它的终结点而形成圈，则称该错链的始结点也是它的终结点而形成圈，则称该圈为圈为 MM——交错圈。交错圈。

在匹配理论中，人们特别关心的是最大匹配。在匹配理论中，人们特别关心的是最大匹配。BergeBerge 在在 19571957 年给出了一个图中的一个匹配为最年给出了一个图中的一个匹配为最大匹配的充要条件。在证明这一结论时，将要用大匹配的充要条件。在证明这一结论时，将要用到两个集合的对称差的概念，现叙述如下：到两个集合的对称差的概念，现叙述如下：

给定两个集合给定两个集合 SS 和和 TT ，， SS 与与 TT 的对称差，记的对称差，记为为 SΔTSΔT ，其定义为：，其定义为：

SSTT=(=(SS∪∪TT)-()-(SS∩∩TT))

引理引理 11.2.111.2.1 设设 MM11 和和 MM22 是图是图 GG 中的两个中的两个匹配，则在匹配，则在 <<MM11MM22>> 中，每个分图或是交错链，中，每个分图或是交错链，或是交错圈。或是交错圈。

定理定理 11.2.211.2.2 (Berge (Berge ，， 1957)1957) 图图 GG 的一个匹的一个匹配配 MM 是个最大匹配是个最大匹配 GG 中不含有中不含有 MM——增广链。增广链。

在许多应用中，希望在二部图在许多应用中，希望在二部图 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22

>> 中找出一个匹配中找出一个匹配 MM ，使得，使得 VV11 中每个结点都是中每个结点都是 MM——饱和的。饱和的。 19351935 年，年， HallHall 首先给出存在这样匹配的充首先给出存在这样匹配的充分必要条件的定理。分必要条件的定理。定理定理 11.2.311.2.3 给定二部图给定二部图 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22>> ，， GG中存在使中存在使 VV11 中每个结点饱和的匹配中每个结点饱和的匹配对任意对任意 SSVV11 有有||NN((SS)|≥|)|≥|SS| (2)| (2)其中其中 NN((SS)) 表示与表示与 SS 中结点邻接的所有结点集合。中结点邻接的所有结点集合。

推论推论 若 若 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22>> 是二部图，且对于任是二部图，且对于任意意 vv∈∈VV11 或或 VV22 有有 dd((vv)=)=kk ＞＞ 00 ，则，则 GG 有一个完全匹配。有一个完全匹配。

在定理在定理 11.2.311.2.3 的证明中，它提供了在二部图的证明中，它提供了在二部图 GG==<<VV11 ，， EE ，， VV22>> 中寻找一个匹配中寻找一个匹配 MM ，使，使 VV11 中每个结中每个结点是点是 MM 一饱和的。下面给出的称为一饱和的。下面给出的称为 HungarianHungarian 方法方法的算法。令的算法。令 MM 是是 GG=<=<VV11 ，， EE ，， VV22>> 中任意一个匹配，中任意一个匹配，该算法是：该算法是：

(1) (1) 若若 VV11 中每个结点是中每个结点是 MM——饱和的，停止。否则，令饱和的，停止。否则，令 vv 是是 VV11中中 MM—— 不饱和结点，作不饱和结点，作SS={={vv}}和和 TT==(2) (2) 若若 NN((SS)=)=TT ，因为，因为 ||TT|=||=|SS|-1|-1 ，则，则 ||NN((SS)|)|＜＜ ||SS|| ，由，由 HallHall 定理定理知，不存在使知，不存在使 VV11 中每个结点都是饱和的匹配，停止，否则，令中每个结点都是饱和的匹配，停止，否则，令 yy∈∈NN((SS)-)-TT 。。(3) (3) 若若 yy 是是 MM——饱和的，令〔饱和的，令〔 yy ，， zz〕∈〕∈MM ，作，作SS←←SS∪∪{{zz}}和和 TT←←TT∪∪{{yy}}并转到并转到 (2)(2) ；否则，令；否则，令 CCMM 是以是以 vv 为始结点和为始结点和 yy 为终结点的为终结点的 MM

——增广链，作增广链，作 MM←←MΔEMΔE((CCMM))并转到并转到 (1)(1) 。其中。其中 EE((CCMM)) 表示表示 CCMM 中所中所有边的集合。有边的集合。

11.3 11.3 树树定义定义 11.3.111.3.1 一个无圈的连通图，称为树。一个无圈的连通图，称为树。显然，由定义可知，树是个简单图，即它显然，由定义可知，树是个简单图，即它无环和无平行边。无环和无平行边。在树中，度为在树中，度为 11 的结点称为叶或悬挂结点；的结点称为叶或悬挂结点；度数大于的结点称为内结点或分枝结点；而与度数大于的结点称为内结点或分枝结点；而与叶或悬挂结点所关联的边，称为叶边或悬挂边。叶或悬挂结点所关联的边，称为叶边或悬挂边。若图中的每个连通分图是树，则称该图为若图中的每个连通分图是树，则称该图为森林。森林。

定理定理 11.3.1 11.3.1 树树 TT 中任两个结点间恰有一条中任两个结点间恰有一条链。链。

定理定理 11.3.211.3.2 若图若图 GG 中每对结点间有且仅有中每对结点间有且仅有一条链，则一条链，则 GG 为树。为树。

定理定理 11.3.311.3.3 具有具有 nn 个结点的树中有个结点的树中有 nn-1-1 条条边，即树边，即树 TT=<=<VV ，， EE>> 中，中， ||EE|=||=|VV|-1|-1 。。

注意，具有注意，具有 nn 个结点和恰有个结点和恰有 nn-1-1 条边的图条边的图未必是树，但有下面两个定理：未必是树，但有下面两个定理：

定理定理 11.3.411.3.4 给定连通图给定连通图 GG=<=<VV ，， EE>> ，若，若 ||EE|=||=|VV|-1|-1 ，则，则 GG 是树。是树。

定理定理 11.3.511.3.5 给定图给定图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， ||EE|=||=|VV|-|-11 且且 GG 中无圈，则中无圈，则 GG 是树。是树。

连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特性；连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的边使结树还有另外一个重要性质是：它以最少的边使结点可达或连通。这便导出下面的最小连通的概念。点可达或连通。这便导出下面的最小连通的概念。

定义定义 11.3.211.3.2 给定连通图给定连通图 GG=<=<VV ，， EE>> ，若对，若对任意任意 ee∈∈EE ，均使，均使 GG--ee 不连通，则称连通图不连通，则称连通图 GG 是是最小连通的。最小连通的。

显然，最小连通图不可能有圈。因为删去显然，最小连通图不可能有圈。因为删去圈中的一条边后仍使图连通。于是，最小连通圈中的一条边后仍使图连通。于是，最小连通图是树。反之， 如果一个连通图图是树。反之， 如果一个连通图 GG 不是最小连不是最小连通的，则必存在通的，则必存在 GG 中一条边中一条边 eeii ，使，使 GG--eeii 连通。连通。所以所以 eeii位于一圈中，这意味着位于一圈中，这意味着 GG 不是树。故可不是树。故可得到下面定理：得到下面定理：

定理定理 11.3.611.3.6 图图 GG 是树是树 GG 是最小连通的。是最小连通的。上面的六个定理可以总结为下面五个不同的但却是上面的六个定理可以总结为下面五个不同的但却是等价的树的定义。给定图等价的树的定义。给定图 GG=<=<VV ，， EE>> ，， GG 是树的等价定是树的等价定义是：义是：

① ① GG 是连通且无圈是连通且无圈 ② ② GG 是连通且是连通且 ||EE|=||=|VV|-1|-1 ③ ③ GG 是无圈且是无圈且 ||EE|=||=|VV|-1|-1 ④ ④ GG 中每对结点间恰有一条链中每对结点间恰有一条链 ⑤ ⑤ GG 是最小连通图是最小连通图

定理定理 11.3.711.3.7 给定树给定树 TT=<=<VV ，， EE>> ，若，若||VV|≥2|≥2 ，则，则 TT 中至少存在两个悬挂结点。中至少存在两个悬挂结点。

对于一些图，它本身未必是树，但它对于一些图，它本身未必是树，但它的子图是树。一个图可能有多个子图是树，的子图是树。一个图可能有多个子图是树，其中很重要的一类树是生成树。其中很重要的一类树是生成树。

定义定义 11.3.311.3.3 给定图给定图 GG=<=<VV ，， EE>> 。若。若 GG 的生的生成子图成子图 TT 是树，则称是树，则称 TT 是是 GG 的生成树。的生成树。 TT 中的边中的边称为枝，是称为枝，是 GG 中的边但不为中的边但不为 TT 中的边称为弦。中的边称为弦。

定理定理 11.3.811.3.8 图图 GG=<=<VV ，， EE>> 有生成树有生成树 TT=<=<VVTT ，，EETT>>GG 是连通的。是连通的。

假设图假设图 GG=<=<VV ，， EE>> 是连通图，是连通图， GG 的一个生成树的一个生成树是是 TT=<=<VV ，， EETT>> ，则，则 ||EETT|=||=|VV|-1|-1 。因此，要确立。因此，要确立 GG 的一的一棵生成树必须从棵生成树必须从 GG 中删去中删去 ||EE|-(||-(|VV|-1)|-1) 条边。称数条边。称数 (|(|EE|-||-|VV||

+1)+1) 为图为图 GG 的基本圈的秩，它表现打破全部基本圈所必的基本圈的秩，它表现打破全部基本圈所必须从须从 GG 中删去的最小边数，即由中删去的最小边数，即由 GG 产生的生成树应删产生的生成树应删去弦的数目。例如，对于图去弦的数目。例如，对于图 11.3.311.3.3 所示的图，其圈秩所示的图，其圈秩是是 33 。。

定理定理 11.3.911.3.9 若若 TT 是图是图 GG 的一棵生成树，的一棵生成树， ee=[=[uu ，， vv]] 是是弦，则存在唯一的由弦，则存在唯一的由 ee 和和 TT 中某些边构成的基本圈中某些边构成的基本圈 CC 。若。若 ff

是是 CC 上与上与 ee 不同的边且由不同的边且由 ff替换替换 ee而得到图而得到图 TT11 ，则，则 TT11 也是也是GG 的一棵生成树。的一棵生成树。

定理定理 11.3.1011.3.10 设设 TT11 和和 TT22 是图是图 GG 的两棵生成树。若的两棵生成树。若 ff 是是TT11 的边但不为的边但不为 TT22 的边。则存在一条是的边。则存在一条是 TT22但不为但不为 TT11 的边的边 ee ，，使得用使得用 ee 代替代替 TT11 中的一条边而得到图中的一条边而得到图 GG 的一棵生成树的一棵生成树 TT33 。。

下面讨论利用生成树为讨论加权图的最小连接问题。下面讨论利用生成树为讨论加权图的最小连接问题。设设 GG=<=<VV ，， EE ，， WW>> 是加权的连通图，对任意边是加权的连通图，对任意边 ee

，其权，其权 ww((ee)≥0)≥0 。令。令 TT=<=<VVTT,,EETT,,WWTT>> 是是 GG 的一查枷权生的一查枷权生成树，其所有枝上的权的总和 成树，其所有枝上的权的总和 ((ee)) ，称为树，称为树 TT 的权，的权，记为记为 ww((TT)) 。一般说来，对于。一般说来，对于 GG 的不同生成树的不同生成树 TT ，， ww((TT))

也是不同的。可以知道，其中必有一个最小者，而这正也是不同的。可以知道，其中必有一个最小者，而这正是人们最为感兴趣的。因此，有如下定义。是人们最为感兴趣的。因此，有如下定义。

定义定义 11.3.411.3.4 给定连通加权图给定连通加权图 GG=<=<VV ，， EE ，， WW>> ，，TT00=<=<VV ，， EETT00 ，， WWTT00>> 是是 GG 的加权生成树，的加权生成树， ww((TT00)) 为为 TT00

的权。若对的权。若对 GG 的任意加权生成树的任意加权生成树 TT均有均有 ww((TT00)≤)≤ww((TT)) ，，则称则称 TT00 是是 GG 的最小生成树。的最小生成树。

下面给出一种求最小生成树的方法——下面给出一种求最小生成树的方法—— KruskalKruskal

算法算法 (1956)(1956) ，它的本质是树生成过程，因此得名避圈，它的本质是树生成过程，因此得名避圈法。法。

定理定理 11.3.1111.3.11 设设 GG 是有是有 nn 个结点的连通图，下面算法产个结点的连通图，下面算法产生的是最小生成树。生的是最小生成树。

(1) (1) 选取具有尽可能小的权的边选取具有尽可能小的权的边 ee11 ；假定；假定 ii＜＜ nn-1-1 和已选和已选取边为取边为 ee11 ，， ee22 ，…，，…， eeii 。。

(2) (2) 在在 GG 中选取不同于中选取不同于 ee11 ，， ee22 ，…，，…， eeii 的边的边 eeii+1+1 ，使，使 {{ee11 ，，ee22 ，…，，…， eeii ，， eeii+1+1}}的诱导子图无圈且的诱导子图无圈且 eeii+1+1 是满足此条件的权是满足此条件的权尽可能小的边。重复作下去直至选出边尽可能小的边。重复作下去直至选出边 ee11 ，， ee22 ，…，，…， eenn-1-1 为为止。止。

定义定义 11.3.511.3.5 给定加权连通图给定加权连通图 GG=<=<VV ，， EE ，，WW>> ，对任意，对任意 ee∈∈EE均有均有 ww((ee)≥0)≥0 ，及，及 uu ，， vv∈∈VV 。。连接连接 uu 和和 vv 的链的链 CC00 ：： uu==xx11 ，， xx22 ，…，，…， xxkk==vv ，其，其链长记为链长记为 ll((vv)) 或或 ll((CC00)) ，等于 ，如果对，等于 ，如果对 GG 中连中连接接 uu 与与 vv 的任何链的任何链 CC 均有均有 ll((CC00)≤)≤ll((CC)) ，则称，则称 CC00 是是GG 中连接中连接 uu 和和 vv 的最短链。的最短链。

)( 0

)(cEe

ew

现在给出一种求从已知结点到另外一个结点的最现在给出一种求从已知结点到另外一个结点的最短链的方法—短链的方法— G.DantzigG.Dantzig算法，其本质也是一种树生算法，其本质也是一种树生长过程。长过程。

定理定理 11.3.1211.3.12 设有设有 nn 个结点的加权连通图个结点的加权连通图 GG=<=<VV ，，EE ，， WW>> ，， xx00∈∈VV 。依下面算法得到。依下面算法得到 GG 的一棵生成树的一棵生成树TT ，使得在，使得在 TT 中连接中连接 xx00 与与 xx≠≠xx00 的每一条基本链是的每一条基本链是 GG 中中连接连接 xx00 与与 xx 的最短链。的最短链。

令 令 XX00={={xx00}}和和 ll((xx00)=0)=0 ，执行以下步骤：，执行以下步骤：(1) (1) 选取选取 xx11 ，连接，连接 xx00 与与 xx11使使 ww([([xx00 ，， xx11])]) 尽尽

可能地小。令可能地小。令 ll((xx11)=)=ww([([xx00 ，， xx11])]) ，， XX11={={xx00 ，， xx11}}和和 EE11={[={[xx00 ，， xx11]}]} 。。

(2) (2) 假设已确定结点集假设已确定结点集 XXkk={={xx00 ，， xx11 ，…，，…， xxkk}}和边集和边集EEkk ，， kk11 。对于。对于 xxii∈∈XXkk选取选取 yyiiXXkk ，使得，使得 [[xxii ，， yyii]∈]∈EE 且且 ww([([xxii ，， yyii])]) 尽可能地小尽可能地小 (( 若选不取若选不取 yyii ，则略过，则略过 xxii)) 。选取。选取 xxpp∈∈XXkk ，使得对于，使得对于 ii=0=0 ，， 11 ，…，，…， kk 有有 ll((xxpp)+)+ww([([xxpp ，， yypp])≤])≤ll((xx

ii)+)+ww([([xxii ，， yyii])]) ，令，令 xxkk+1+1==yypp 和和 ll((xxkk+1+1)=)=ll((xxpp)+)+ww([([xxpp ，， yypp])]) ，再，再令令 XXkk+1+1={={xx00 ，， xx11 ，…，，…， xxkk ，， xxkk+1+1}}和和 EEkk+1+1==EEkk∪∪{{[[xxpp ，， xxkk+1+1]}]} 。。

(3) (3) 重复重复 (2)(2) ，直到，直到 XXnn-1-1={={xx00 ，， xx11 ，…，，…， xxnn-1-1}}和和 EEnn-1-1 为为止。止。

前面讨论的树，都是无向图中的树，即无前面讨论的树，都是无向图中的树，即无向树；下面将简单地介绍有向图中的树即有向向树；下面将简单地介绍有向图中的树即有向树。树。

定义定义 11.3.611.3.6 如果一个有向图的基础图是一如果一个有向图的基础图是一棵树，则该有向图称为有向树。其图形表示法棵树，则该有向图称为有向树。其图形表示法常采用倒置树表示之，且为方便计，有时略去常采用倒置树表示之，且为方便计，有时略去边之方向。边之方向。

定义定义 11.3.711.3.7 给定一个有向树，若只有一个给定一个有向树，若只有一个结点的入度是零，其余结点的入度都是结点的入度是零，其余结点的入度都是 11 ，则，则称该树为有根树。称该树为有根树。

在有根树中，入度为零的结点称为根或根在有根树中，入度为零的结点称为根或根结点，出度为零的结点称为叶或叶结点；出度结点，出度为零的结点称为叶或叶结点；出度不为零的结点称为分枝结点或内结点。不为零的结点称为分枝结点或内结点。

定义定义 11.3.811.3.8 在有根树中，从根到某个结点的路在有根树中，从根到某个结点的路长即该路中的弧数，称为该结点的级。其中结点的级长即该路中的弧数，称为该结点的级。其中结点的级的最大者，称为有根树的树高。的最大者，称为有根树的树高。由于有向树中没有回路，因此所有的路都是基本由于有向树中没有回路，因此所有的路都是基本路。可见，从树中任何结点到另外一个结点的路长即路。可见，从树中任何结点到另外一个结点的路长即是两结点的距离。故有根树的根结点的级是零；任何是两结点的距离。故有根树的根结点的级是零；任何结点的级，等于从根到该结点的距离。结点的级，等于从根到该结点的距离。在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。但在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对次序，实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对次序，这便导出有序树的概念。这便导出有序树的概念。

定义定义 11.3.911.3.9 在一棵有根树中，在每在一棵有根树中，在每一级的结点都指定某种次序，称树为有序一级的结点都指定某种次序，称树为有序树。例如，图树。例如，图 11.3.1111.3.11 与图与图 11.3.1011.3.10 表示两表示两棵不同的有序树棵不同的有序树。。

图 图 11.3.1011.3.10

图 图 11.3.1111.3.11

为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。令令 uu 是有根树中的分枝结点，若从是有根树中的分枝结点，若从 uu 到到 vv 有一条弧有一条弧或说或说 uu 与与 vv 是邻接的，则结点是邻接的，则结点 vv 称为结点称为结点 uu 的“儿的“儿子”，或称子”，或称 uu 是是 vv 的“父亲”；若从的“父亲”；若从 uu 到到 ww 有一条有一条路，称路，称 uu 是是 ww 的“祖先”，或称的“祖先”，或称 ww 是是 uu 的“子孙”，的“子孙”，同一个分枝结点的儿子称为“兄弟”。同一个分枝结点的儿子称为“兄弟”。在前面讨论的有根树或有序树中，其结点的出在前面讨论的有根树或有序树中，其结点的出度未加任何限制。现在将依据结点出度的不同情况度未加任何限制。现在将依据结点出度的不同情况进行讨论。进行讨论。

定义定义 11.3.1011.3.10 在有根树中，若每一个在有根树中，若每一个结点的出度都小于或等于结点的出度都小于或等于 mm ，则称该树为，则称该树为mm叉树。若每一个结点的出度恰好等于叉树。若每一个结点的出度恰好等于 mm

或等于或等于 00 ，则称这种树为完全，则称这种树为完全 mm叉树。若叉树。若所有的叶结点的级相同，则称正则所有的叶结点的级相同，则称正则 mm叉树。叉树。

定义定义 11.3.1111.3.11 在在 mm叉树中，如果对任何结点叉树中，如果对任何结点的的 mm 个个 (( 或少于或少于 mm 个个 ))儿子都分别指定好儿子都分别指定好 mm 个不个不同的确定位置，则称该树为位置叉树。同的确定位置，则称该树为位置叉树。当当 mm=2=2 时，便可得到常用的二叉树、完全二时，便可得到常用的二叉树、完全二叉树和正则二叉树。不难看出，二叉树中的每个叉树和正则二叉树。不难看出，二叉树中的每个结点结点 vv ，至多有两个子树，分别称为，至多有两个子树，分别称为 vv 的左子树和的左子树和右子树。若右子树。若 vv只有一个子树，则称它为左子树或只有一个子树，则称它为左子树或右子树均可。在二叉树的图形表示中，右子树均可。在二叉树的图形表示中， vv 的左子的左子树画在树画在 vv 的左下方，的左下方， vv 的右子树画在的右子树画在 vv 的右下方。的右下方。

在位置二叉树中，每个结点可用字符表在位置二叉树中，每个结点可用字符表 {{00 ，， 1}1} 上上的字符串唯一地表示。串中的字符个数称为串的长度。的字符串唯一地表示。串中的字符个数称为串的长度。结点结点 vv 的任何一个儿子所对应的串的前缀是的任何一个儿子所对应的串的前缀是 vv 所对应的所对应的串；任何一个叶结点的串不能放置在其它结点的串的串；任何一个叶结点的串不能放置在其它结点的串的前面，这树是位置二叉树的前面，这树是位置二叉树的 0-10-1串表示或称哈夫曼编码。串表示或称哈夫曼编码。对应于叶结点的串的集合形成一个前缀码或哈夫曼编对应于叶结点的串的集合形成一个前缀码或哈夫曼编码。例如，码。例如， {{000000 ，， 001001 ，， 0101 ，， 1010 ，， 110110 ，， 111}111} 是前是前缀码，因为它正是图缀码，因为它正是图 11.3.12(11.3.12(bb)) 中树的叶结点中树的叶结点 0-10-1串表串表示的集合。不难看出，利用字符表示的集合。不难看出，利用字符表 {{00 ，， 11 ，， 22 ，…，，…，mm-1}-1} 上的字符串，可表示位置上的字符串，可表示位置 mm叉树的各个结点。叉树的各个结点。

如前所叙，在任何位置二叉树的如前所叙，在任何位置二叉树的 0-10-1串表示中，串表示中，其叶结点的串集合是个前缀码，即哈夫曼编码树对其叶结点的串集合是个前缀码，即哈夫曼编码树对应着一个哈夫曼编码。不仅如此，还可以构造性证应着一个哈夫曼编码。不仅如此，还可以构造性证明其逆命题：明其逆命题：

定理定理 11.3.1311.3.13 任何一个前缀码都对应一棵位置任何一个前缀码都对应一棵位置二叉树的二叉树的 0-10-1串表示，即哈夫曼编码对应一棵哈夫串表示，即哈夫曼编码对应一棵哈夫曼编码树。曼编码树。

有很多实际应用，可用二叉树或有很多实际应用，可用二叉树或 mm 叉树表叉树表示。可以指出，按下面算法，任何一棵有序树示。可以指出，按下面算法，任何一棵有序树均能表成二叉树。其算法是：均能表成二叉树。其算法是：

(1) (1) 除最左边的分枝结点外，删去所有从每除最左边的分枝结点外，删去所有从每一个结点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点一个结点长出的分枝。在同一级中，兄弟结点之间用从左到右的弧连接。之间用从左到右的弧连接。

((2) 2) 选取直接位于给定结点下面的结选取直接位于给定结点下面的结点作为左儿子，与给定结点位于同一水平点作为左儿子，与给定结点位于同一水平线上且紧靠它的右边结点作为右儿子，如线上且紧靠它的右边结点作为右儿子，如此类推。此类推。

上述算法能够推广到有序森林上去上述算法能够推广到有序森林上去。。

二叉树的一个重要应用就是最优树问题。二叉树的一个重要应用就是最优树问题。给定一组数给定一组数 ww11 ，， ww22 ，…，，…， wwnn 。令一棵。令一棵

二叉树有二叉树有 nn 个叶结点，并对它们分别指派个叶结点，并对它们分别指派 ww11 ，，ww22 ，…，，…， wwnn 作为权，则该二叉树称为加权作为权，则该二叉树称为加权二叉树。二叉树。

定义定义 11.3.1211.3.12 在权分别为在权分别为 ww11 ，， ww22 ，…，，…， wwnn 的加的加权二叉树权二叉树 TT 中，若权是中，若权是 wwii 的叶结点，其级为的叶结点，其级为 LL((wwii)) ，，则 称为加权二叉树则 称为加权二叉树 TT 的权，并记为的权，并记为 ww((TT)) 。。

已知已知 ww11 ，， ww22 ，…，，…， wwnn 为权，为权， TT00 为加权二叉树，为加权二叉树，其权为其权为 ww((TT00)) ，如果对任意加权二叉树，如果对任意加权二叉树 TT ，它的权是，它的权是ww((TT)) ，均有，均有 ww((TT00)≥)≥ww((TT)) ，则称，则称 TT00 是最优树或是最优树或 HuffmaHuffmann 树。树。

定理定理 11.3.1411.3.14 设设 TT 为加权为加权 ww11 ，， ww22 ，…，，…， wwnn 且且 ww

11≤≤ww22≤…≤≤…≤wwnn 的最优树，则的最优树，则(1) (1) 加权加权 ww11 和和 ww22 的叶结点的叶结点 vvww11 和和 vvww22 是兄弟。是兄弟。(2) (2) 以叶结点以叶结点 vvww11 和和 vvww22 为儿子的分枝结点，它是为儿子的分枝结点，它是

所有分枝结点的级最高者。所有分枝结点的级最高者。

定理定理 11.3.1511.3.15 设设 TT 为加权为加权 ww11 ，， ww22 ，…，，…， ww

nn 且且 ww11≤≤ww22≤…≤≤…≤wwnn 的最优树，若将以加权的最优树，若将以加权 ww11 和和 ww

22 的叶结点为儿子的分枝结点改为加权的叶结点为儿子的分枝结点改为加权 ww11++ww22 的的叶结点而得到一棵新树叶结点而得到一棵新树 TT11 ，则，则 TT11 是最优树。是最优树。

根据上述两个定理，求一棵有根据上述两个定理，求一棵有 nn 个权的最优树，个权的最优树，可简化为求一棵有可简化为求一棵有 nn-1-1 个权的最优树，而这又可简个权的最优树，而这又可简化为求一棵有化为求一棵有 nn-2-2 个权的最优树，依此类推。具体个权的最优树，依此类推。具体作法是：作法是：

首先找出两个最小的权值，设首先找出两个最小的权值，设 ww11 和和 ww22 。然后。然后对对 nn-1-1 个权个权 ww11++ww22 ，， ww33 ，…，，…， wwnn 求作一棵最优树，求作一棵最优树，并且将这棵树中的结并且将这棵树中的结 ww11++ww22 代之以代之以 ww1 1 ww22 ，依此类推。，依此类推。

11.4 11.4 平面图平面图在一些实际问题中，要涉及到图的平面性在一些实际问题中，要涉及到图的平面性的研究，比如大家都知道的印刷线路板的布线的研究，比如大家都知道的印刷线路板的布线问题。近些年来，大规模集成电路的发展，进问题。近些年来，大规模集成电路的发展，进一步促进了图的平面性的研究。本节将简要地一步促进了图的平面性的研究。本节将简要地介绍平面图的概念，欧拉公式和平面图的着色。介绍平面图的概念，欧拉公式和平面图的着色。定义定义 11.4.111.4.1 一个无向图一个无向图 GG=<=<VV ，， EE>> ，如，如果能把它画在平面上，且除果能把它画在平面上，且除 VV 中的结点外，任中的结点外，任意两条边均不相交，则称该图意两条边均不相交，则称该图 GG 为平面图。为平面图。

下面给出一种判别平面图的直观方法。下面给出一种判别平面图的直观方法。根据平面的定义，无圈的图显然是平面图。故，根据平面的定义，无圈的图显然是平面图。故，研究图的平面性问题，只需要限制有圈的一类图即可。研究图的平面性问题，只需要限制有圈的一类图即可。判别方法是：判别方法是：(1) (1) 对于有圈的图找出一个长度尽可能大的且边对于有圈的图找出一个长度尽可能大的且边不相交的基本圈。不相交的基本圈。(2) (2) 将图中那些相交于非结点的边，适当放置在将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定的基本圈内侧或外侧，若能避免除结点之外边已选定的基本圈内侧或外侧，若能避免除结点之外边的相交，则该图是平面图；否则，便是非平面图。的相交，则该图是平面图；否则，便是非平面图。

在图论中，称在图论中，称 KK3,33,3 和和 KK55 是库拉图斯基图。这是是库拉图斯基图。这是因为波兰数学家库拉图斯基因为波兰数学家库拉图斯基 (K.Kuratowski)(K.Kuratowski) 于于 19319300 年给出了的判别平面图充要条件年给出了的判别平面图充要条件 (( 后称库拉图斯后称库拉图斯基定理基定理 )) 曾用到这两个图。下面就来介绍这一定理，曾用到这两个图。下面就来介绍这一定理，不过它要用到两个图同胚的概念。可以看出，在给不过它要用到两个图同胚的概念。可以看出，在给定图定图 GG 的任何一条边上插入一个度为的任何一条边上插入一个度为 22 的结点，使的结点，使一条边成为两条边，或者涂抹图一条边成为两条边，或者涂抹图 GG 中度为中度为 22 的结点，的结点，使两条边成为一条边，这些都不会影响图的平面性。使两条边成为一条边，这些都不会影响图的平面性。

定义定义 11.4.211.4.2 若图若图 GG22 可由图可由图 GG11 中的一中的一些边上适当插入或涂抹度为些边上适当插入或涂抹度为 22 的有限个结的有限个结点后而得到，则称点后而得到，则称 GG11 与与 GG22 同胚。同胚。显然，任何两个基本圈是同胚的显然，任何两个基本圈是同胚的。。

定理定理 11.4.111.4.1 ( (库拉图斯基定理库拉图斯基定理 )) 一个图一个图 GG 是平面是平面图图 GG 中不含同胚于中不含同胚于 KK3,33,3 或或 KK55 的子图。的子图。

该定理的证明是看来不算很难但是冗长的，略去该定理的证明是看来不算很难但是冗长的，略去了，有兴趣读者可参见图论专著中的证明。了，有兴趣读者可参见图论专著中的证明。

库拉图斯基定理表述还是简明的，例如，图库拉图斯基定理表述还是简明的，例如，图 11.4.11.4.4(4(aa)) 所示的图称为彼得森图，它是非平面图。因为当所示的图称为彼得森图，它是非平面图。因为当删去边删去边 [[vv66,,vv88]] 和和 [[vv33,,vv44]] 时，它成为含有同胚于时，它成为含有同胚于 KK3,33,3 的的子图，如图子图，如图 11.4.4(11.4.4(bb)) 或或 ((cc)) 所示。所示。

图 图 11.4.511.4.5

下面介绍平面图中的重要的欧拉公式。下面介绍平面图中的重要的欧拉公式。定义定义 11.4.311.4.3 设设 GG 为一平面图，若由为一平面图，若由 GG 的一条的一条

或多条边所界定的区域内部不含图或多条边所界定的区域内部不含图 GG 的结点和边，的结点和边，这样的区域称为这样的区域称为 GG 的一个面，记为的一个面，记为 ff 。包围这个区。包围这个区域的各条边所构成的圈，称为该面域的各条边所构成的圈，称为该面 ff 的边界，其圈的边界，其圈的长度，称为该面的长度，称为该面 ff 的度，记为的度，记为 dd((ff)) 。为强调平面。为强调平面图图 GG 中含有面这个元素，今后把平面图表为中含有面这个元素，今后把平面图表为 GG=<=<VV ，，EE ，， FF>> ，其中，其中 FF 是是 GG 中所有面的集合。中所有面的集合。

为方便有时把平面图为方便有时把平面图 GG 的外部的无限区域当作一的外部的无限区域当作一个面，称为无限面或外部面，其余的面称为有限面或个面，称为无限面或外部面，其余的面称为有限面或内部面。内部面。

由定义不难证明下面定理：由定义不难证明下面定理：定理定理 11.4.2 11.4.2 令令 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> 是连通平面图，是连通平面图，

则 。则 。

定理定理 11.4.311.4.3 设设 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> 是连通平面是连通平面图，则图，则 ||VV|-||-|EE|+||+|FF|=2|=2 。。

这便是著名的欧拉公式。这便是著名的欧拉公式。推论推论 11 给定连通简单平面图给定连通简单平面图 GG=<=<VV ，， EE ，， FF

>> 。若。若 ||VV|≥3|≥3 ，则，则 ||EE|≤3||≤3|VV|-6|-6 。。推论推论 22 设设 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> 是一个连通简单是一个连通简单

平面图，若平面图，若 ||VV|≥3|≥3 ，则存在，则存在 vv∈∈VV ，使得，使得 dd((vv)≤5)≤5 。。

推论推论 3 3 给定连通简单平面图给定连通简单平面图 GG=<=<VV ，， EE ，，FF>> 。若对于每个面。若对于每个面 ff∈∈FF ，有，有 dd((ff)≥4)≥4 ，则，则

||EE|≤2||≤2|VV|-4|-4

推论推论 44 完全图完全图 KKnn 是平面图是平面图 nn≤4≤4 。。推论推论 55 完全二部图完全二部图 KKmm,,nn 是平面图是平面图 mm≤2≤2 或或

nn≤2≤2 。。

下面讨论平面图的着色问题。下面讨论平面图的着色问题。平面图的着色问题，最早起源于地图的着色。在平面图的着色问题，最早起源于地图的着色。在一张地图中，若相邻国家着以不同的颜色，那么最少需一张地图中，若相邻国家着以不同的颜色，那么最少需要多少种颜色呢？要多少种颜色呢？ 18401840 年，德国数学家麦比乌斯年，德国数学家麦比乌斯 (A.F.(A.F.

Mǒbius)Mǒbius) 在他的讲稿中第一次提出了确信用四种颜色可在他的讲稿中第一次提出了确信用四种颜色可以对地图着色的问题以对地图着色的问题 (( 以下简称四色猜想以下简称四色猜想 )) 。。 18791879 年肯年肯普普 (Kempe)(Kempe) 给出了这个猜想的第一个证明，但到给出了这个猜想的第一个证明，但到 18901890年希伍德年希伍德 (Hewood)(Hewood) 发现肯普证明是有错误的，然而他发现肯普证明是有错误的，然而他指出了肯普的方法虽不能证明地图着色用四种颜色就够指出了肯普的方法虽不能证明地图着色用四种颜色就够了，但却可以证明用五种颜色是够的，即五色定理成立。了，但却可以证明用五种颜色是够的，即五色定理成立。

在这里，研究的方法并不直接去考察地图在这里，研究的方法并不直接去考察地图着色问题，而是把它转化成平面图。为此，先着色问题，而是把它转化成平面图。为此，先给出对偶图的概念。给出对偶图的概念。

定义定义 11.4.411.4.4 给定平面图给定平面图 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> ，，且且 ff11 ，， ff22 ，…，，…， ffnn∈∈FF 。若有图。若有图 GG**=<=<VV** ，， EE**>>

满足下列条件：满足下列条件：

(1) (1) 对于任意对于任意 ffii∈∈FF内部有且仅有一个结点内部有且仅有一个结点 vv**ii∈∈VV** ；；

(2) (2) 对于对于 GG 中面中面 ffii 和面和面 ffjj 的公共边的公共边 eekk 有且仅有有且仅有一条边一条边 ee**

kk∈∈EE** ，使得，使得 eekk**==〔〔 vv**

ii ，， vv**jj〕且〕且 ee**

kk 与与 eekk相交；相交；(3) (3) 当且仅当当且仅当 eekk只是一个面只是一个面 ffii 的边界时，的边界时， vv**

ii 存存在一个环在一个环 eekk

** 且且 ee**kk 与与 eekk 相交，则称图相交，则称图 GG** 是图是图 GG 的的

对偶图。对偶图。

从对偶图的定义可以看出，若从对偶图的定义可以看出，若 GG**=<=<VV** ，， EE**>>是平面图是平面图 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> 的对偶图，则的对偶图，则 GG 也也 GG**

的对偶图。一个连通平面图的对偶图。一个连通平面图 GG 的对偶图的对偶图 GG** ，也是，也是平面图，而且有平面图，而且有

||EE((GG**)|=|)|=|EE((GG)|)|

||VV((GG**)|=|)|=|FF((GG)|)|

()=()=ddGG((ffii) ) ffiiFF ，， vv**

其中其中 EE((GG)) 表示图表示图 GG 的所有边集合，的所有边集合， FF((GG))

表示图表示图 GG 的所有面的集合。于是，可得到下的所有面的集合。于是，可得到下面定理：面定理：

定理定理 11.4.411.4.4 若若 GG=<=<VV ，， EE ，， FF>> 是平面图，是平面图，则 则 。 。

定义定义 11.4.511.4.5 若图若图 GG 的对偶图的对偶图 GG** 同构同构于于 GG ，则称，则称 GG 是自对偶图。是自对偶图。

定理定理 11.4.511.4.5 若平面图若平面图 GG=<=<VV ，， EE>> 是自对偶是自对偶图，则图，则 ||EE|=2(||=2(|VV|-1)|-1) 。。

从对偶图的定义容易知道，对于地图的着色问从对偶图的定义容易知道，对于地图的着色问题，可以化为一种等价的对于平面图的结点的着色题，可以化为一种等价的对于平面图的结点的着色问题。因此，四色问题可以归结为要证明：对任意问题。因此，四色问题可以归结为要证明：对任意平面图一定可以用四种颜色，对其结点进行着色，平面图一定可以用四种颜色，对其结点进行着色，使得相邻结点都有不同颜色。使得相邻结点都有不同颜色。

平面图平面图 GG=<=<VV ，， EE>> 的着色的着色 αα 是从结点集是从结点集 VV 到到色集色集 CC={={cc11 ，， cc22 ，…，，…， ccnn}}上一个映射，使对任意上一个映射，使对任意边边 [[vvii ，， vvjj]∈]∈EE均有均有 αα((vvii)≠)≠αα((vvjj)) ，即对，即对 GG 的每个结的每个结点指派一种颜色，使得相邻结点都有不同的颜色。点指派一种颜色，使得相邻结点都有不同的颜色。

对于平面图对于平面图 GG 着色时，需要的最少颜色数称着色时，需要的最少颜色数称为为 GG 的着色数，记为的着色数，记为 χχ((GG)) 。。定理定理 11.4.611.4.6 ( (五色定理五色定理 )) 对于任何简单平面图对于任何简单平面图

GG=<=<VV ，， EE>> ，均有，均有 χχ((GG)≤5)≤5 。。

由此定理及对偶图定义，可得出下面由此定理及对偶图定义，可得出下面定理。定理。

定理定理 11.4.711.4.7 任何地图任何地图 MM ，， MM 是五着是五着色的，即色的，即 χχ((MM)≤5)≤5 。。

自从四色猜想提出后，一百多年来，一直成自从四色猜想提出后，一百多年来，一直成为数学上的著名难题，它吸引许许多多的人，为之为数学上的著名难题，它吸引许许多多的人，为之而作出大量辛劳，也得到很多重要结果，但长久未而作出大量辛劳，也得到很多重要结果，但长久未能得到解决。直到能得到解决。直到 19761976 年年 66月，由美国伊利诺斯月，由美国伊利诺斯大学两名数学家爱普尔大学两名数学家爱普尔 (K.I.Apple)(K.I.Apple)、黑肯、黑肯 (W.Hak(W.Haken)en) 在考西在考西 (J.Koch)(J.Koch)帮助下借助于电子计算机，用帮助下借助于电子计算机，用了一百多亿次逻辑判断，花了了一百多亿次逻辑判断，花了 12001200多机时才证明多机时才证明四色猜想是成立的，从此宣告，四色猜想成为四色四色猜想是成立的，从此宣告，四色猜想成为四色定理。现将它叙述如下：定理。现将它叙述如下：

定理定理 14.4.814.4.8 ( ( 四色定理四色定理 )) 对于任何平面图对于任何平面图 GG ，，有有 χχ((GG)≤4)≤4 。。

相应地有下面的定理。相应地有下面的定理。定理定理 14.4.914.4.9 对于任何地图对于任何地图 MM ，， MM 是四着是四着

色的，即色的，即 χχ((MM)≤4)≤4 。。