第九章 完全随机和随机区组试验的统计分析
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第九章 完全随机和随机区组试验的统计分析. 第一节 完全随机试验设计的统计分析 第二节 单因素随机区组试验结果的统计分析 第三节 多因素随机区组试验结果的统计分析. 第一节 完全随机试验设计的统计分析. 一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析. 第一节 完全随机试验设计的统计分析. 完全随机试验设计是指每一供试单位都有同等机会 ( 等概率 ) 接受所有可能处理的试验设计方法,没有局部控制,但要求在尽可能一致的环境中进行试验。它用于估算试验误差的自由度最多,统计显著性要求的 F 值最小。 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第九章 完全随机和随机区组试验的统计分析
第一节 完全随机试验设计的统计分析
第二节 单因素随机区组试验结果的统计分析
第三节 多因素随机区组试验结果的统计分析
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第一节 完全随机试验设计的统计分析
一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析
二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析
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第一节 完全随机试验设计的统计分析
完全随机试验设计是指每一供试单位都有同等机会( 等概率 ) 接受所有可能处理的试验设计方法,没有局部控制,但要求在尽可能一致的环境中进行试验。它用于估算试验误差的自由度最多,统计显著性要求的 F 值最小。 单向分组资料是指观察值仅按一个方向分组的资料示。所用的试验设计为完全随机试验设计。
一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析三、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析
分类
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一、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析 这是在 k 组处理中,每处理皆含有 n 个供试单位的资料如表6.1。 在作方差分析时,其任一观察值的线性模型皆由 表示,方差分析如表 6.10 。ijiijy
2)( yyn i22 n
22 n
2)( iij yy 2 2
2)( yyij
表 6.10 组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析
变 异 来 源
自由度DF
平方和SS
均方MS
F
期望均方 EMS
固定模型 随机模型
处理间 k- 1 MSt MSt/MSe
误 差 k(n -1)
MSe
总变异 nk- 1
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[ 例 6.10] 作一水稻施肥的盆栽试验,设 5 个处理,A 和 B 系分别施用两种不同工艺流程的氨水, C 施碳酸氢铵, D 施尿素, E 不施氮肥。每处理 4 盆 ( 施肥处理的施肥量每盆皆为折合纯氮 1.2 克 ) ,共 5×4=20 盆,随机放置于同一网室中,其稻谷产量 ( 克 / 盆 ) 列于表 6.11 ,试测验各处理平均数的差异显著性。
iTiy
表 6.11 水稻施肥盆栽试验的产量结果
处 理 观察值 (yij)(克 /盆 )
A (氨水 1) 24 30 28 26 108 27.0
B (氨水 2) 27 24 21 26 98 24.5
C (碳酸氢铵 )
31 28 25 30 114 28.5
D (尿素 ) 32 33 33 28 126 31.5
E (不施 ) 21 22 16 21 80 20.0
526 26.3
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(1) 自由度和平方和的分解
总变异自由度 DFT=nk - 1=5×4 - 1=19
处理间自由度 DFt=k - 1=5 - 1=4
误差 ( 处理内 ) 自由度 DFe=k(n - 1)=5×(4 - 1)=15
矫正数 8138334552622 .)/(nkTC
2402213024 2222 .CCySST
23014)8098108( 2222 .C/CnTSS it
010123012402 ...SSe
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(2) F 测验将上述结果录入表 6.12
表 6.12 表 6.11资料的方差分析
变异来源 DF SS MS F F0.05 F0.01
处理间 4 301.2 75.30 11.19** 3.06 4.89
处理内 (试验误差 )
15 101.0 6.73
总变异 19 402.2
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假设 H0: , HA:
不全相等。
为了测验 H0 ,计算处理间均方对误差均方的比率,
算得 F =75.3/6.73=11.19
查 F 表当 v1=4 , v2=15 时, F0.01=4.89 ,现实得 F=
11.19>F0.01 ,故否定 H0 ,
推断这个试验的处理平均数间是有极显著差异的。
EBA EBA 、、、
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(3) 各处理平均数的比较
算得单个平均数的标准误 29714736 . /. SE
根据 =15 ,查 SSR 表得 p=2 , 3 , 4 , 5 时的 SS
R0.05
与 SSR0.01 值,将 值分别乘以 SE 值,即得 值,列
于表 6.13 。进而进行多重比较 ( 表 6.14) 。
SSR LSR
p SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2 3.01 4.17 3.90 5.41
3 3.16 4.37 4.10 5.67
4 3.25 4.50 4.22 5.84
5 3.31 4.58 4.29 5.94
表 6.13 多重比较时的 值计算LSR
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表 6.14 施肥效果的显著性 (SSR测验 )
处 理 平均产量(克 /盆 )
差异显著性
5% 1%
尿 素 31.5 a A
碳酸氢铵 28.5 ab AB
氨水 1 27.0 bc AB
氨水 2 24.0 c BC
不 施 20.0 d C 推断:根据表 6.14 多重比较结果可知,施用氮肥 (A 、B 、 C 和 D) 与不施氮肥有显著差异,且施用尿素、碳酸氢铵、氨水 1 与不施氮肥均有极显著差异;尿素与碳酸氢铵、碳酸氢铵与氨水 1 、氨水 1 与氨水 2 处理间均无显著差异。
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二、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析
若 k 个处理中的观察值数目不等,分别为 n1 , n2 ,…,
nk ,在方差分析时有关公式因 ni 不相同而需作相应改变。
主要区别点如下:
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(1) 自由度和平方和的分解
knDF
kDF
nDF
ie
t
iT
误差自由度
处理间自由度
总变异自由度
1
1
k
i
n
jtTiije
k
iiiiit
T
i
SSSSyySS
CnTyynSS
CyyySS
1 1
2
1
22
22
)(
)(
)(
(6·19)
(6·20)
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(2) 多重比较平均数的标准误为:
)11
(2
)(2
1
BA
e
B
e
A
e
nn
MS
n
MS
n
MSSE
上式的 nA 和 nB 系两个相比较的平均数的样本容量。
但亦可先算得各 ni 的平均数 n0 。
))((
)(
1
22
0 kn
nnn
i
ii
然后有:0nMSSE e
或 02 nMSs eyy ji
(6·22)
(6·21)
(6·23)
(6·24)
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[ 例 6.11] 某病虫测报站,调查四种不同类型的水稻田28 块,每块田所得稻纵卷叶螟的百丛虫口密度列于表 6.15 ,试问不同类型稻田的虫口密度有否显著差异?
iT iy
y in
表 6.15 不同类型稻田纵卷叶螟的虫口密度
稻田类型
编 号ni
1 2 3 4 5 6 7 8
Ⅰ 12 13 14 15 15 16 17 102 14.57 7
Ⅱ 14 10 11 13 14 11 73 12.17 6
Ⅲ 9 2 10 11 12 13 12 11 80 10.00 8
Ⅳ 12 11 10 9 8 10 12 72 10.29 7
T=327 11.68 28
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该资料 =7+6+8+7=28 故
总变异自由度 DFT = - 1=28 - 1=27
稻田类型间自由度 DFt =k - 1=4 - 1=3
误差自由度 DFe = - k=28 - 4=24
in
in
in
求得:89381828)327( 2 ./C
11226893818004045121312 222 ...CSST
13967728806737102 2222 .C////SSt
98129.SSSSSS tTe
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表 6.16 表 6.15资料的方差分析
变异来源 DF SS MS F F0.01
稻田类型间 3 96.13 32.04 5.91** 4.72
误 差 24 129.98 5.42
总变异 27 226.11
表 6.16 所得 F=5.91>F0.01 ,因而应否定 H0 :
即 4 块麦田的虫口密度间有极显著差异。4321
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F 测验显著,再作平均数间的比较。需进一步计算 n0 ,
并求得 SE(LSR 测验)或 (LSD 测验 ) 。如在此可有:
ji yys
798.6)14(28
)7867(28 22222
0
n
)(88007425 头. /. SE
)(04117
4252头.
.s
ji yy
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随机区组试验结果的统计分析,可应用第六章所述
两向分组单个观察值资料的方差分析法。
这里可将处理看作 A因素,区组看作 B因素,其剩
余部分则为试验误差。设试验有 个处理, 个区
组,则其自由度和平方和的分解式如下:
k n
第二节 单因素随机区组试验结果的统计分析
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总自由度 =区组自由度 +处理自由度 +误差自由度
(12·3)
1)1)((1)(1)(1 knknnk
k n n k k n
trtr yyyyyynyykyy1 1 1 1 1 1
2222 )()()()(
(12·2)
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y表示各小区产量(或其他性状), 表示区组平均
数, 表示处理平均数, 表示全试验平均数。
总平方和=区组平方和+处理平方和+试验误差平方和
[例 12.3] 有一小麦品比试验,共有A、 B、 C、 D、 E、
F、 G、 H 8个品种 (k =8) ,其中 A是标准品种,采用随
机区组设计,重复 3次 (n =3) ,小区计产面积 25m2,其
产量结果列于表12.3,试作分析。
ry
ty y
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表 12.3 小麦品比试验 (随机区组 )的产量结果 (kg)
tT ty
rT
ry y
品 种 区 组
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
A 10.9 9.1 12.2 32.2 10.7
B 10.8 12.3 14.0 37.1 12.4
C 11.1 12.5 10.5 34.1 11.4
D 9.1 10.7 10.1 29.9 10.0
E 11.8 13.9 16.8 42.5 14.2
F 10.1 10.6 11.8 32.5 10.8
G 10.0 11.5 14.1 35.6 11.9
H 9.3 10.4 14.4 34.1 11.4
83.1 91.0 103.9 T=278.0
10.4 11.4 13.0 =11.6
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(1) 自由度和平方和的分解
① 自由度的分解:
总
区组
品种
误差
② 平方和的分解:
矫正数
2318)(31 nkDFT
2131 nDFR
7181 kDFt
141)(81)(31)1)(( knDFe
3220.1783
278.02
nk
TC
2
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总
区组
品种
误差
=84.61-27.56-34.08=22.97
nk
T CySS1
2 84.6114.49.110.9 222 C
n
rrR C
k
TyykSS
1
22)(
27.563220.178
103.991.083.1 222
k
ttt C
n
TyynSS
1
22)(
34.083220.173
34.137.132.2 222
tRT
k n
tre SSSSSSyyyySS 1 1
2)(
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(2) F 测验
将上述计算结果列入表 12.4 ,算得各变异来源的 MS值。
表 12.4 表 12.3 结果的方差分析
变异来源 DF SS MS F F0.05
区组间 2 27.56 13.78 8.40 3.74
品种间 7 34.08 4.87 2.97 2.77
误 差 14 22.97 1.64
总变异 23 84.61
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对区组间 MS作 F测验,在此有 H0: ,
HA: 、 、 不全相等 ( 、 、 分别代
表区组Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的总体平均数 ),
得 F =13.78/1.64=8.40 > F0.05,所以 H0应予否定,说
明 3个区组间的土壤肥力有显著差别。在这个试验中,
区组作为局部控制的一项手段,对于减少误差是相当
有效的 (一般区组间的 F测验可以不必进行,因为试验
目的不是研究区组效应 )。
321
1 2 3321
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对品种间 MS 作 F 测验,有 H0: , HA:
、 、…、 不全相等( 、 、…、
分别代表品种A、 B、…、H的总体平均数),得
F =4.87/1.64=2.97 > F0.05,所以 H0应予否定,说明 8 个
供试品种的总体平均数有显著差异。需进一步作多重比较。
(3) 品种间平均数的多重比较
① 最小显著差数法 (LSD 法 ) 本例目的是要测验各供试品种是否与标准品种A有显著差异,宜应用LSD
HBA
A B H A B
H
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法。首先应算得品种间平均数或总和数差数的标准误。在以各品种的小区平均产量作比较时,差数标准误为:
n
MSs e
yy
2 21
(12·4)
从而
01.001.0
05.005.0
21
21
tsLSD
tsLSD
yy
yy
(12·5)
如果以各品种的小区总产量作比较,则因总产量大 n 倍,故差数标准误为:
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(12·4)—(12·7) 中,为方差分析表中的误差项均方 MS; t值的,即误差项自由度。凡品种与对照的差异达到或超过者为显著,达到或超过者为极显著。
如果试验结果需以亩产量表示,只要将总产量和总产量的 LSD 皆乘以 cf 即可。
ee
TT nMSnn
MSs 2
2 21
(12·6)
并有:
01.001.0
05.005.0
21
21
tsLSD
tsLSD
TT
TT
(12·7)
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在此,如以各品种的小区平均产量 ( 即表 12.3 的 )进行比较,则
由于 时, =2.145 , =2.977 ,故
(kg) ,
(kg)
如对各品种的三个小区总产量 (表 12.3 的 ) 进行比较,则
1.0531.642
21 yys (kg)
14 05.0t 01.0t2.252.1451.05 05.0LSD
3.132.9771.05 01.0LSD
tT
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如以亩产量表示试验结果,则可算得化各品种总产量为亩产量的改算系数:
因此,品种 A 的亩产量 = (kg)
3.1421
1.6432TTs
6.742.1453.14 05.0LSD
(kg)
(kg)
(kg)
9.352.9773.14 01.0LSD
8.88253
666.67
cf
2868.8832.2 cfTA
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品种 B的亩产量 = (kg)
……,余类推
并且有
亩产量 (kg)
亩产量 (kg)
上述结果皆列于表 12.5 不论哪一种比较,结果都完全一样,只有 E品种与对照有极显著的差异,其余品种都和对照没有显著差异。
3308.8837.1 cfTB
59.88.886.74 05.0LSD
83.08.889.35 01.0LSD
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表 12.5 表 12.3 资料各品种产量和对照相比的差异显著性 tytT tytT
品 种 的比较 的比较 亩产量的比较
差 异 差 异 kg/亩 差 异
E 14.2 3.5** 42.5 10.3** 378 92**
B 12.4 1.7 37.1 4.9 330 44
G 11.9 1.2 35.6 3.4 316 30
H 11.4 0.7 34.1 1.9 302 16
C 11.4 0.7 34.1 1.9 302 16
F 10.8 0.1 32.5 0.3 288 2
A(CK) 10.7 32.2 286
D 10.0 -0.7 29.9 -2.3 266 -20
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② 新复极差测验 (LSR 法 ) 如果我们不仅要测验
各品种和对照相比的差异显著性,而且要测验各品
种相互比较的差异显著性,则宜应用 LSR 法。首先,
应算得品种的标准误 SE。
在小区平均数的比较时为
n
MSSE e (12·8)
在小区总数的比较时为 enMSSE (12·9)
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在亩产量的比较时为
然后,查附表 8当 时, 自 2至 的
SSR0.05和SSR0.01值,进而算得 LSR0.05和LSR0.01值。
本例如以小区平均数为比较标准,则有
查附表 8,得到自由度、不同显著水平和秩次距p下的SSR值,进而算得 LSR值 (表 12.6) 。品种平均数差
cf enMSSE (12·10)
1)1)(( kn p k
0.743
1.64SE (kg)
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异显著性结果见表 12.7 。
表 12.6 表 12.3 资料新复极差测验的最小显著极差
14,05.0SSR
14,01.0SSR
14,05.0LSR
14,01.0LSR
p 2 3 4 5 6 7 8
3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.41
4.21 4.42 4.55 4.63 4.70 4.78 4.83
2.24 2.35 2.42 2.46 2.49 2.51 2.52
3.12 3.27 3.37 3.43 3.48 3.54 3.57
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表 12.7 表 12.3 资料的新复极差测验结果
产量 ( ty 品 种 ) 差 异 显 著 性
5% 1%
E 14.2 a A
B 12.4 ab AB
G 11.9 ab AB
H 11.4 b AB
C 11.4 b AB
F 10.8 b AB
A 10.7 b AB
D 10.0 b B
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结果表明: E品种与 H、 C、 F、 A、 D 5 个品种有
5% 水平上的差异显著性, E 品种与 D 品种有 1% 水平
上的差异显著性,其余各品种之间都没有显著差异。
以上是以各品种的小区平均产量为比较标准。如以各
品种总产量或亩产量为比较标准,则只要应用由 (1
2·9) 或 (12·10) 算出的 SE 值即可,方法类同,
不再赘述。
用时,仅需选择上述 3种比较的任一种。
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第三节 多因素随机区组试验结果统计分析
一、二因素随机区组试验结果统计分析
二、三因素随机区组试验结果统计分析
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一、二因素试验的统计分析
设有 A和 B两个试验因素,各具 a和 b个水平,
那么共有 ab个处理组合,作随机区组设计,有 r次
重复,则该试验共得 rab个观察值。它与单因素随机
区组试验比较,在变异来源上的区别仅在于前者的处
理项可分解为 A因素水平间 (简记为 A)、 B因素水
平间 (简记为 B)、和 AB 互作间 (简记为 AB) 三个部
分。
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(13·1)
(13·2)
11
2
1
2
1
etRT
abr
klrjkl
ab
kl
r
r
abr
jkl
SSSSSSSS
yyyyyyryyabyy
abrabrabr
误差平方和处理平方和区组平方和总平方和
)()()()(
误差自由度处理自由度区组自由度总自由度1)1)((1)(1)(1
22
BABA
BABA
11
2
1
2
1
2
ABBAt
ab
lkkl
b
l
a
k
ab
kl
SSSSSSSS
yyyyryyrayyrbyyr
babaab
平方和的平方和的平方和处理组合平方和
)()()()(
自由度的自由度的自由度处理组合的自由度1)1)((1)(1)(1)(其中,
2
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其中, j=1, 2 …, , r; k=1, 2 …, , a; l=1,
2 …, , b ; 、 、 、 和 分别为第 r个区组
平均数、
A因素第 k个水平平均数、 B因素第 l个水平平均
数、处理组合 AkBl平均数和总平均数。表 13.1 二因素随机区组试验自由度的分解
ry ky ly kly y
CnTr 2
CrTAB 2
BA
B
A
1)1)((
1
1
ba
b
a
BAtAB
BB
AA
SSSSSSSS
CraTSS
CrbTSS2
2
Cy 2
SSR=
SSt=
SST=
变异来源 DF 平 方 和 区 组 r-1
处理组合 ab-1
误 差 (r-1)(ab-1) SSe=SST-SSR-SSt
总变异 rab-1
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二、三因素试验的统计分析
设有 A、 B、 C三个试验因素,各具 a、 b、
c个水平,作随机区组设计,设有 r个区组,则该
试验共有 rabc 个观察值,其各项变异来源及自由度
的分解见表 13.15 。
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表 13.15 三因素随机区组试验的平方和及自由度分解变异来源 DF SS
区 组 r-1
处 理 abc-1
A a-1
B b-1
C c-1
A×B (a-1)(b-1) -SSA-SSB
A×C (a-1)(c-1) -SSA-SSC
B×C (b-1)(c-1) -SSB-SSC
A×B×C (a-1)(b-1)(c-1) SSABC=SSt-SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC
误 差 (r-1)(abc-1) SSe=SST-SSt-SSR
总变异 rabc-1
CabcTSS rR 2
CrTSS ABCt 2
CrbcTSS AA 2
CracTSS BB 2
CrabTSS CC 2
CrcTSS ABAB 2
CrbTSS ACAC 2
raTSS BCBC2
CySST 2