第三章 线性代数方程组 3 ． 1 矩阵的秩 3.1.1 概念 定义 1 对于 mхn 矩阵 A ，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数 k 为 A 的秩 (rank) ，记作

r(A) ，并规定 r(O)=0 。 A 的任一方子矩阵的行列式称为 A 的子行列式（简称子式），则定义 1 可以如下叙述： r(A) 是 A 的一切非零子式的最高阶数。 结论：若 A 的秩为 k ，则 A 至少有一个不为零的

k 阶子式，但是所有 k+1 阶子式都为零，进一步可以推出 A 的所有阶数大于 k 的子式都为零 。 为什么？

例 1 ：求下列矩阵的秩

分析例中 3 个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论：（ 1 ） A=0 的充要条件是 rank(A)=0 ；（ 2 ）若 A 有一个 k 阶子式不为零，那么 r(A)≥k ； 当 r(A) = k 时 ，则 A 至少有一个不为零的 k 阶子式， 但不是所有 k 阶子式都不为零，而且可以断言所有高于 k 阶的子式 ( 如果存在 ) 都为零； (3) 若 A 是 mхn 矩阵，那么 r(A)≤min{m,n} ； r(A)=r(AT) ； (4) 若 A 是 n 阶矩阵，则 r(A) ≤n 。 r(A)=n detA≠0 是 A 可逆。 称行列式不为零的矩阵为满秩阵 ( 非退化阵 ) ；行列式为零的矩阵为降秩阵 ( 退化阵 ) 。

练习 1 对于矩阵1 2 3 23 6 9 64 10 12

Ak

k取何值时，可使： （ 1 ） r(A)=1 (2) r(A)=2 (3) r(A)=3。练习 2 证明 r(A)=r(AT)。

3 ． 1 ． 2 计算定义 2满足以下两个条件的 mхn 矩阵称为梯矩阵：1 ．第 k+1 行的首个非零元（如果有的话）前的零元个数多于第 k 行的非零元（如果存在）前的零元个数， k=1, 2, …, m-1 ；2 ．如果某行都是零元，则其下所有行的元都是零。

例 2 说明0 3 0 7 10 0 8 0 20 0 0 0 50 0 0 0 0

A

é ùê úê úê ú= ê úê úê úë û为梯矩阵，并求出 rank(A)。

结论 如果 A 是梯矩阵，那么 r(A)=A的 非零行的行数。对于一般的 mхn 矩阵，从秩的定义求A 的秩是不方便的。希望将 A 经过初等变换，变换成梯矩阵，然后再求 A 的秩。问题： 经过初等变换的矩阵，其秩会变化？

定理 1 任一 mхn 矩阵 A 经有限次初等变换后，其秩不变。证明 设 A 经一次行初等变换后成为 B ，首 先证明 r(A)≤r(B) ， （ B=RA ；） 推得： r(B)≤r(A) ， （ 因为 A=R-1B ） 得到 r(A)=r(B) 。 因此，只要分别对三类初等变换证明 r(A)≤r(B) 。 设 r(A)=k 。

对第一类行初等变换，

因为 r(A)=k ，即 A 中必有一个 k 阶子式 Mk≠0 。 B 中有一个与 Mk 对应的 k 阶子式 Nk ，满足下述之一的条件： （ 1 ）当 Mk 中不包含 A 的第 i 行和 j 行的元素，那么 Mk=Nk ； （ 2 ）当 Mk 中仅包含 A 的第 i 行（或 j 行）元素；只要适当交换 Nk 的行，就可以得到 Mk ， Mk=± Nk 。 （ 3 ）当 Mk 中包含 A 的第 i 行和第 j 行，只要交换 Mk 中与 A 的第 i 、 j 行对应的行，就可以得到 Nk ，所以 Mk= - Nk 。 综上所述，当 A 中 k 阶子式 Mk≠0 ，那么 B 中存在 k 阶子式 Nk≠0 ，所以， r(A)≤r(B) ；

对第二类行初等变换，

：

设 Mk≠0 是 A 的一个 k 阶子式， Nk 是 B 中与 Mk 对应的行组成的 k阶子式。若 Mk 中含第 i 行，则Nk=αMk≠0 ；若 Mk 中不含第 i 行，则

Nk =Mk≠0 ，所以， r(A)≤r(B) ；

对于第 3类初等变换，

对于 A 中的 k 阶子式 Mk≠0 ，则有四种可能： （ 1 ） Mk 中同时含 A 的第 i 和 j 行，此时， B 中的 k 阶子式可以取与 Mk 对应的行，得到 k 阶子式 Nk ，那么 Nk =Mk≠0 ，得到 r(A)≤r(B) ；( 相当于将 Mk 中的第 i 行的 α 倍加到第 j

行 ) （ 2 ） Mk 中含 A 的第 i 行，但不含第 j行元，则 B 中对应的 Nk ，必有 Nk =Mk≠0 ，得到 r(A)≤r(B) ；

（ 3 ） M k中含 A的第 j行元，但不含第 i行元： 选择 B中与M k中序号对应的行元组成 N k，

则其包含 B中第 j行元，但不含第 i行元，那么

由于 Mk ≠0 ，所以 Nk 与 N2k 不同时为零，否则 Mk=0 ，与题设矛盾。 ( 讲义中的证明不完全正确 ) 如果 Nk≠0 ，已知 Nk 是 B 的一个 k 阶子式，那么 r(B)≥r(A) ； 如果 N2k ≠0 ，它也与 B 的一个 k 阶子式对应：将B 中第 j 行元替换成第 i 行元，再取与 Mk 相同的行元组成的 k 阶子式，得到 r(A)≤r(B) ； （ 4 ） Mk 中既不含 A 的第 i 行元，也不含 A 的第 j行元，此时，在 B 中取与 Mk 相同序号的行元，得到Nk ， 则有 Nk =Mk≠0 ，得到 r(A)≤r(B) 。 综上述，由（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）得到 r(A)≤r(B) 。

推论 1 任一 mхn 矩阵 A ，经有限次列初等变换后，不改变秩。推论 2 A 是任一 mхn 矩阵， B 是任一 m （或 n ）阶满秩矩阵，则必有： r(BA)=r(A) （或 r(AB)=r

(A) ）推论 3 设 A 是任一 mхn 矩阵，已知其标准形分解 A=PNQ ，其中， 那么 r(A)=r 。

定理 2 任一 mхn 矩阵 A ，必可以通过有限次行初等变换而成为梯矩阵。 例 3 给定矩阵 A ，依据证明的步骤，用初等行变换将其化成梯矩阵。

练习 3 确定矩阵 A 的秩

3.2 线性代数方程组的解 相容性：一个存在解的线性代数方程组称为相容的，否则就是不相容或矛盾方程。 3.2.1 齐次方程组 m x n 的齐次线性代数方程组为：

写成矩阵——向量形式： Ax=0 ，其中， x=0 ，是方程的一个解——零解，称为平凡解。那么齐次方程总是相容的。对于齐次方程，需要解决的问题：1 ） 在何种情况下，存在非平凡解？2 ） 存在非零解的条件下，如何表示所有的解，即解的一般形式是什么？

定理 3 方程 Ax=0 存在非平凡解的充要条件是 r(A) < n ，且在任一通解式中含有 n – r (A) 个任意参数。证 对 m x n 系数矩阵 A 作标准形分解， A=PNQ P ： m 阶可逆阵， Q ： n 阶可逆阵。 因为， Ax=0 → PNQx=0 → NQx=0 记 y=Qx, 那么 Ny=0

记 则构成方程的一个基础解系。而且方程的任一解 x 都可以表示成， 由于解表达式中 yi , i=r+1,…,n ，是 n-r 任意常数，故称为方程的通解。

1

0

01 0 1, ,0

0

ix Q i r n

1 21 2r r n

r r nx y x y x y x

非齐次方程组的通解对于非齐次方程组 AX=b 设 是其导出组的一个基础解系， 是非齐次方程的一个特解，那么方程组的通解：

1 2, , , n r *

1 1 2 2 *n r n rx c c c

课堂讨论题： (1) 问： a,b 取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4 5

1 2 3 4 5

13 2 3

2 2 6 35 4 3 3

x x x x xx x x x x ax x x xx x x x x b

ì + + + + =ïïïï + + + - =ïïíï + + + =ïïï + + + - =ïïî

解：当 a=0,b=2 时，方程有解。因为1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 5 23 2 1 1 3 0 1 2 2 6 30 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 35 4 3 3 1 0 1 2 2 6 5

1 0 1 1 5 20 1 2 2 6 30 0 0 0 00 0 0 0 0 2

a aA

b b

ab

æ ö æ ö- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - - - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= »ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - - - -è ø è øæ ö- - - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø

（ 2 ）问： a ， b 取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1(2 1) 3 1

( 3) 2 1

ax bx xax b x xax bx b x b

ì + + =ïïïï + - + =íïïï + + + = -ïî

解：

当 时有唯一解； 当 时：

2 1 2 12 1 3 1 0 1 1 0

3 2 1 0 0 1 2 2

a b a bA a b b

a b b b b b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - » -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç+ - + -è ø è ø

0, 1a b¹ ¹ ±0, 1a b= ¹ ±

0 2 1 0 2 10 1 1 0 0 1 1 10 0 1 2 2 0 0 1 2 2

0 0 2 1 0 0 3 10 1 1 1 0 1 1 10 0 1 2 2 0 0 1 2 2

0 0 3 10 1 1 1

0 0 0 2

b bA b

b b b b

b b b

b b b b

b

b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - » - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç+ - + -è ø è øæ ö æ ö- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - - » - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç+ - + -è ø è ø

-- - -

»

»2 2

0 1 1 10 0 3 1

1 12 ( 1) 0 0 0 ( 6 5)3 3

b

b b b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - - - - +ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

（ a ） 时，没有解； （ b ） b=5 时，有无穷多个解。 当 时有无穷多解； b=-1 时， ，所以方程没有解。 因为

5b ¹

0, 1a b= =

2 10 2 1 00 0 0 4

a bA

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

( ) 2, ( ) 3r A r A= =

不论 a 是何值！

(3) 设 计算 1 2 3 2 1 0,n n na a a a a a- - ¹

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

00

0

0

n

n

n

n n n

a a a a a aa a a a a a

D a a a a a a

a a a a a a

+ + ++ + +

= + + +

+ + +

采用两次加边的方法

1 2 3

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

1 2 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

10 00 00 0

0 0

1111

1

n

n

n

n

n n n

n

n n n n

a a a aa a a a a a

a a a a a aD

a a a a a a

a a a a a a

a a a aa a a a

a a a aa a a a

a a a a

+ + ++ + += + + +

+ + +

- -- -= - -

- -

再加边，构成 n+2 阶行列式。

解答步骤1 2 3

1 2 1 3 1

2 1 2 3 2

3 1 3 2 3

1 2 2

1 2 31 2 3

1 1 1 11 1 1 1 1

2 2 2 22 2 2 2 2

3 3 3 33 3 3

10 00 00 0

0 0

1 0 0 0 0 01

0 11

11

11

1

1

n

n

n

n

n n n

nn

n n n n

a a a aa a a a a a

a a a a a aD

a a a a a a

a a a a a a

a a a aa a a a

a a a aa a a a a

a a a aa a a a a

a a a aa a a

a a a a

+ + ++ + += + + +

+ + +

- - - -- -= = - -- - -

- -3 3

1n n n n n

a a

a a a a a

-

- -

3~n+2 列减去第二列。

解答步骤首先， 3~n+2 列减去第一列。然后，

i

1_ column* 1_ column2

1_ column*(- ) 2 _ column2*a

i th th

i th th

(5) 证明

1 1 2 2 1 1

0 0 01 0 00 1 0 00 0 00 0 0 1

n

n n n n n

x y xyx y xy

x yx y xy

x y

x x y x y x y y

- - -

++

D = ++

+= + + + + +

按第 1 列分解成两个行列式之和。

1

0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1

0 0 00 0 0 0

0 0 01 0 0 0

0 1 0 001 0 0

0 0 00 0 0 1

0 0 0 1

n

x y xy x xyx y xy x y xy

x y x y

x y xy x y xyx y x y

y xyx

x y xyx

x yx y

x y xyx

x y

-

++ +

+ +=

+ ++ +

+++ = + D

++

那么1

1

1 1

1 1

( 1)

nn n

nn

nn n

n nn n

n n

n

x y

if x y then n x

if x y then y x

x y x y

x yx y

该题还可以用归纳法来证明：1 2( )n n nx y xy