ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА ИЗРАЧУНАВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ...

Н.Громовић М.Е:Ш.''ГОША''

ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА

ИЗРАЧУНАВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ И ОТПОРНИХ МОМЕНАТА ПОПРЕЧНИХ ПРЕСЕКА


исход:

ученик да упозна и усвоји поступак израчунавања момената инерције и отпорних момената површина

да ученик примени поступак и израчуна моменте инерције и отпорне моменте датих површина


ГЕОМЕТРИЈСКА ФИГУРА (СЛИКА) У ПРЕСЕЧНОЈ РАВНИ

КОЈА ЈЕ НОРМАЛНА НА ОСУ ШТАПА ИЛИ ГРЕДЕ.

ПОПРЕЧНИ ПРЕСЕК ЈЕ ?


ОБЛИЦИ ПОПРЕЧНИХ ПРЕСЕКА правилне фигуре-фигуре састављене

из дефинисаних геометријских

облика


или неправилне фигуре – фигуре недефинисног геометријског облика


ГЕОМЕТРИЈСКЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ РАВНИХ ПРЕСЕКА ???

ПОВРШИНА

СТАТИЧКИ МОМЕНТИ

МОМЕНТИ ИНЕРЦИЈЕ

ОТПОРНИ МОМЕНТИ ...


МОМЕНТИ ИНЕРЦИЈЕ

ОТПОРНИ МОМЕНТИ

ЗАШТО?F

f1

F

f2

ДА ЛИ ДЕФОРМАЦИЈА, УГИБ, (САВИЈЕНОСТ) ЗАВИСИ САМО ОД ПОВРШИНЕ ПОПРЕЧНОГ ПРЕСЕКА???

ЗАВИСИ И ОД???


СТАТИЧКИ МОМЕНТ ПОВРШИНЕ ЗА ОСУ ???

збир производа елементарних површина и њихових растојања од осе!

За осе које пролазе кроз тежиште (тежишне осе) једнак је нули.

A2 (x2,y2)

y1

x1

A1

A3 (x3,y3)

]m[yAs 3II

n

1iX

][m xAs 3II

n

1iY


АКСИЈАЛНИ МОМЕНТ ИНЕРЦИЈЕ ПОВРШИНЕ ЗА ОСУ ???

једнак је збиру производа елементарних површина и кавдрата растојања од одговарајуће осе!

][m yAI 42iI

n

1iX

][m xAI 42iI

n

1iY

A2

y1

x1

A1

A3(x3,y3)

(x2,y2)


ЦЕНТРИФУГАЛНИ МОМЕНТ ИНЕРЦИЈЕ ПОВРШИНЕ ЗА ОСУ??

једнак је збиру производа елементарних површина и њихових растојања од одговарајућих оса!

][m xyAI 4iiI

n

1ixy

A2

y1

x1

A1

A3

(x2,y2)

(x3,y3)


ПОЛАРНИ МОМЕНТ ИНЕРЦИЈЕ ПОВРШИНЕ ЗА ОСУ ???

је збиру производа елементарних површина и њихових растојања од координатног почетка!

][m II yx

)yx(rAI

4

yX

n

1i

2

ii

n

1i

2

ii

n

1i

2

i

2

ii

2

II

n

1io

A2

y1

x1

A1

A3

(r2 )

(r3 )


АКСИЈАЛНИ ОТПОРНИ МОМЕНТ ПОВРШИНЕ ???

x

xmax

ym

ax

y][m W],[m 3

maxy

3

max x

I

y

IW yxx

koличник момента инерције за одговарајућу тежишну осу (сопствени момент инерције) и растојања најудаљеније тачке површине од те осе.


ПОЛАРНИ ОТПОРНИ МОМЕНТ ПОВРШИНЕ (Wо) ???

][m r

IW 3

max

oo

koличник поларног момента инерције за тежишну тачку и растојања најудаљеније тачке површине од те тачке (тежиште)

x

r maxу


ИЗРАЧУНАВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ И

ОТПОРНИХ МОМЕНАТА ПРЕСЕКА

пресеци једноставни - таблични

пресеци сложени симетрични састављени из површина чије се тежишне осе поклапају са тежишним осама пресека

пресеци сложени симетрични састављени и из површина чије се тежишне осе не поклапају са тежишним осама пресека

пресеци сложени састављени из површина чије се осе не поклапају са тежишним осама пресека


ЈЕДНОСТАВНИ ПРЕСЕЦИ -ТАБЛИЧНИ

322

y

322

x

433

y

433

x

3333.333mm6

5020

6

hbW

8333.333mm6

5020

6

bhW

m33333.333m12

5020

12

hbI

mm333,20833312

5020

12

bhI


FF

kojи се положај пресека више опире савијању???

3x 8333.333mmW 3

y 3333.333mmW 2.5

333.3333

333.8333

W

W

y

x

Па онај који има већи отпорни момент!

При истом оптерећењу у том пресеку јавиће се и мањи напон!

И зато нам је ово и потребно!


И када су таблични пресеци и није проблем! па и када пресек није пун, већ је у облику цеви.


ОДРЕЂИВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ И ОТПОРНИХ МОМЕНАТА СЛОЖЕНИХ СИМЕТРИЧНИХ ПРЕСЕКА

САСТАВЉЕНИХ ИЗ ПОВРШИНА ЧИЈЕ СЕ ТЕЖИШНЕ ОСЕ ПОКЛАПАЈУ СА ТЕЖИШНИМ ОСАМА ПРЕСЕКА


Погледајмо овај пресек!

Шта закључујемо на први поглед?

Пресек је симетричан ?

ДА! има две осе симетрије!

Где се налази тежиште пресека?

У пресеку оса симетрија.

Наша површина предтавља збир/разлику?

Разлика! Од правоуганика је одузет круг.

Какав је однос тежишта и тежишних оса појединих површина и свеукупне фигуре?

Поклапају се!


Yт,т1,т2

xт,т1,т2

Тежишне осе и тежиштa површина се поклапају!

Моменти инерција се добијаjу: ОДУЗИМАЊЕМ!

Поступак:

одредити моменте инерције појединих табличних површина

(правоугаоник, круг)

одузимањем сагласних величина долази се до вредности момената

инерције сложеног пресека

отпорни моменти се добијају применом одговарајућих образаца

][m W],[m 3

maxy

3

max x

I

y

IW yxx

][m r

IW 3

max

oo


Yт,т1,т2

xт,т1,т2

Момент инерција правоугаоника:

433

2yT

433

1xT

m65104.167m12

5025

12

hbI

mm260416.66712

5025

12

bhI

Момент инерција круга:

444

2yT2xT 7853.982mm20D

II

Моменти инерција сложене површине

4yTxTo

42yT1yTyT

42xT1xTxT

mm309812.8757250.185252562.685III

mm57250.1857853.982-65104.167III

mm252562.6857853.982-260416.667III



Yт,т1,т2

xт,т1,т2

Ym

ax=

25

Xmax=12.5

r max=

27.9

5

3

max

oo

3

max

yT

y

3

max

xTx

m11084.508m27.95

309812.87

r

IW

4580.015mm5.12

57250.185

x

IW

m10102.507m25

252562.685

y

IW


ОДРЕЂИВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ И ОТПОРНИХ МОMЕНАТА СЛОЖЕНИХ СИМЕТРИЧНИХ ПРЕСЕКА САСТАВЉЕНИХ И ИЗ

ПОВРШИНА ЧИЈЕ СЕ ТЕЖИШНЕ ОСЕ НЕ ПОКЛАПАЈУ СА ТЕЖИШНИМ ОСАМА ПРЕСЕКА


Погледајмо овај пресек!



ДА! има две осе симетрије!


У пресеку оса симетрија.

Наша површина представља збир/разлику?

Разлика! Од правоугаоника су одузета два круга.


Неке се поклапају! а друге се налазе на познатом растојању

T


Површине:

А1=50цм2 - правоугаоник

А2=А3=3.142цм2 – круг

Моменти инерција:

Правоугаоник:

yT4

33

1yT

xT4

33

1xT

I104.167cm12

105

12

hbI

I416.667cm12

105

12

bhI

Круг:

444

3,2yT3,2xT 0.785cm2D

II

Хт2

Хт3

Хт,т1

YT,T1,T2,T3


Хт2

Хт3

Хт,т1

YT,T1,T2,T3

За одређивање момента инерције површине ‘’2’’ и ‘’3’’ (круг) за осу Хт неопходно је применити Хајгенс - Штајнерову теорему јер се тежишна оса те површине не поклапа са тежишном осом Хт пресека:

Момент инерције круга за тежишну осу Хт једнак је збиру момента инерције круга за његову тежишну осу Хт2,, и производа површине круга и квадрата растојања између између тих оса (Хт,Хт2)

4222TT2

)2(2xT

)3(xT

)2(xT 13.353cm2142.3785.0)x(x AIII

Напомена: горњи индекси представљају редни број површине а доњи одговарајућу осу


Хт2

Хт3

Хт,т1

YT,T1,T2,T3Моменти инерције наше поршине (правоугаоник ‘’мање’’ два круга) за њену тежишну осу се добијају алгебарским збрајањем, у овом случају одузимањем сагласних момената појединих површина:

Момент инерције правоугаоника за осу Хт ,односно УТ,‘’мање’’ два момента инерције круга за осу Хт, односно Ут:

4yTxTo

4)3(yT

)2(yT

)1(yTyT

4)3(xT

)2(xT

)1(xTxT

492.558cm597.102961.389III

102.597cm785.02104.167IIII

389.961cm13.3532667.416IIII

3

max

yTy

3

max

xTx

41.039cm2.5

597.102

x

IW

77.992cm5

389.961

y

IW

Аксијални отпорни моменти:


Профил: NPI 500

A1 = 179 cm2

Iy1 = 68 740 cm4

Iz1= 2 480cm4

b = 185 mm = 18,5 cm

ПРЕСЕК САСТАВЉЕН ОД ДВА ‘’I’’ ПРОФИЛА NPI 500


3zz

31y

1y1yyy

4zyo

4

22

11zzTz

4211yTy

21

cm19245.18

35594

b

IW

cm550027502W2

2h

I2

2h

I2

2h

IW

173434cm35594137840III

cm35594306344960

2

5.18179224802

2

bA2I2II

cm1378406874020A2I2II

cm3581792A2A


ОДРЕЂИВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ И ОТПОРНИХ МОMЕНАТА СЛОЖЕНИХ ПРЕСЕКА САСТАВЉЕНИХ И ИЗ ПОВРШИНА ЧИЈЕ СЕ ТЕЖИШНЕ ОСЕ НЕ ПОКЛАПАЈУ СА ТЕЖИШНИМ ОСАМА ПРЕСЕКА


Погледајмо и овај пресек!



НИЈЕ!


НЕ ЗНАМ! МОРА СЕ И ТО ОДРЕДИТИ.

Наша површина представља збир/разлику?

Збир два правоугаоника.


НЕ ПОКЛАПАЈУ СЕ!


А2

А1

T2 (X2,Y2)

T1 (X1,Y1)

Y1

X2

Y2

X1

А2

А1

T2 (X2,Y2)

T1 (X1,Y1)

X2

О

Y1

Oлакшаћемо себи посао ако осе за одређивање положаја тежишта пресека ‘’протнемо’’ кроз тежишта појединих површина; тада ћемо ‘’радити’’ и са нулама.


cm364,165

0635

AA

yAyA Y

0.818cm65

5.1605

AA

xAxAX

cm0 y,cm5,1 x,cm616A

;cm3 y,cm0 x,cm515A

21

2211T

21

2211T

122

2

112

1

А2

А1

T2 (X2,Y2)

T1 (X1,Y1)

X2

ОY

1

Лако је:


ХТ

YТ

ХТ2

YТ2

YТ1

ХТ1

Kao kaрактеристике појединих површина нашег пресека лако можемо одредити и њихове сопствене моменте инерција, па је тако:

Површина ‘’1’’

433

1yT4

33

2xT cm1812

16

12

hbI ;cm5.0

12

16

12

bhI

Површина ‘’2’’

433

1yT4

33

1xT cm417.012

51

12

hbI ;10.417cm

12

51

12

bhI


ХТ

YТ

ХТ2

YТ2

YТ1

ХТ1

Применом Хајгенс-Штајнерове теореме израчунајмо моменте инерција наших

површина ‘’1’’ и ‘’2’’ за осе XT и YT.

422

2TT1)2(1yT

)2(yT

422

2TT2)1(1xT

)2(xT

422

1TT1)1(1yT

)1(yT

422

1TT1)1(1xT

)1(xT

20.791cm682.0618)yy(AII

11.663cm364.165.0)xx(AII

3.763cm818.05417.0)yy(AII

23.799cm636.15417.10)xx(AII

Збрајањем сагласних момената за тежишне осе, XT и YT, пресека добијaмo сопствене моменте инерције пресека:

4yxo

42yT1yTyTy

42xT1xTxTx

60.036cm24.55435.482III

24.554cm791.20763.3IIII

35.482cm683.11799.23IIII


Yм

ах=

4.1

36

Хмax=3.682


3

max

YY

3

max

xX

cm669.6682.3

554.24

X

IW

cm579.8136.4

482.35

Y

IW


Питања:

1. Опиши појам попречног пресека.

2. Наведи неколико примера могућих попречних пресека.

3. Наведи зашто у отпорности матријала површина није довољна као геометријска карактеристика попречног пресека носача.

4. Које су то карактеристике попречних пресека носача уведене у отпорности материјала.

5. Опиши следеће карактеристике: статички момент површине за осу, аксијални, центрифугални и поларни момент инерције, аксијални и поларни отпорни момент.

6. Опиши поступке одређивања момената инерције за приказане пресеке:


Одреди моменте инерција и отпорне моменте пресека

профил је

NPU10


ХВАЛА ШТО СТЕ БИЛИ ОК!

Презентација је доступна на:

http://skolagosangromovic.wordpress.com/

и можете да користите и страницу Механика за моје ђаке

на facebook-у

http://skolagosangromovic.wordpress.com/

ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА ИЗРАЧУНАВАЊЕ МОМЕНАТА ИНЕРЦИЈЕ...

Documents