Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση
DESCRIPTION
Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συσχέτιση. Διγαλάκης Βασίλης. Η έννοια της συσχέτισης. Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ : Συσχέτιση: Ε{Χ Υ} Συμμεταβλητότητα : Συντελεστής συσχέτισης:. Παράδειγμα 1. Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ= a Χ+ b κ αι Ε{Χ}=μ Χ , Ε{(Χ-μ Χ ) 2 }= σ Χ 2 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Πιθανότητες & Τυχαία ΣήματαΣυσχέτιση
Διγαλάκης Βασίλης
Η έννοια της συσχέτισης Για 2 τυχαίες μεταβλητές Χ,Υ:
Συσχέτιση: Ε{Χ Υ}
Συμμεταβλητότητα:
Συντελεστής συσχέτισης:
)})({( YXXY YXE
)/( YXXYXY
Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Υ=aΧ+b και Ε{Χ}=μΧ, Ε{(Χ-μΧ)2}=σΧ
2
Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:
Παράδειγμα 1
babXEabaXEYE X }{}{}{22222 })({}){( XXY aXaEYE
22}){(
)}(){()})({(
XX
XXYXXY
aXEa
XaXEYXE
11
00
01
||||||
2
a
a
a
a
YX
X
YX
XYXY
Έστω Χ,Υ Τ.Μ. με Χ~Ν(0, σΧ2) και Υ=Χ2
Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:
Γραμμικά Ανεξάρτητες.
Παράδειγμα 2
2222 ),0(}{}{ XX dxXNXEYE
0),0()(}){( 2222
dXNXYE XYY
0}{}{)}{(
)}({)})({(2323
22
XEXEXXE
XXEYXE
XX
XYXXY
0YX
XYXY
Έστω Χ,Ζ ανεξάρτητες κανονικές Τ.Μ. και Υ=αΧ+b+Ζ
Υπολογίστε το συντελεστή συσχέτισης ρΧΥ. Λύση:
Παράδειγμα 3
ZX baZEbXaEZbaXEYE }{}{}{}{222222 }){(})({ EE
22 )}()()({
)}(){(
XX
XXXY
XXE
XXE
00
1 ή 1222
XY
XY
X
X
YX
XYXY
Τυχαία Διανύσματα Ορισμός: Η συλλογή των Τ.Μ. ορίζει ένα
Τυχαίο Διάνυσμα (Τ.Δ.), που παίρνει τιμές σε ένα m-διάστατο χώρο Rm.
mX
X
X
X2
1
Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οι στατιστικές ιδιότητες του Τ.Δ.
καθορίζονται από την από κοινού συνάρτηση κατανομής
Από κοινού Σ.Π.Π.:
),,,(),,,( 221121 mmm xXxXxXPXXXFX
),,,(...
),,,( 211
21...1 mXm
m
M XXXFXX
XXXf MXX
Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Οριακές Σ.Π.Π.:
(M-1)ης τάξης:
(M-2)ης τάξης:
1ης τάξης
MMMM dXXXXXfXXXf MXXX ),,,,(),,,( 121121 1
22131 ),,,(),,,( 1 dXXXXfXXXf MM MXXX
MMMM dXdXXXXfXXXf MXXX
121221 ),,,(),,,( 1
MM dXdXXXfXf MXXX
211 ),,()( 11
Στατιστικές ιδιότητες Τ.Δ. Υπό συνθήκη Σ.Π.Π. των Χ1, Χ2, Χ3 | Χ4 :
)(
),,,()|,,(
4
43214321
4
4,3,2,1
4|3,2,1Xf
XXXXfXXXXf
X
XXXX
XXXX
Αναμενόμενες τιμές
4143214321
4321
),,,(),,,(
)},,,({
4,3,2,1 dxdxXXXXfXXXXg
XXXXgE
XXXX
214321443321
4433443321
44334321
),|,(),,,(
},|),,,({
},|),,,({
4,3|2,1 dxdxXXXXfxXxXXXg
xXxXxXxXXXgE
xXxXXXXXgE
XXXX
Διανυσματικός συμβολισμός
Ορίσαμε το Τ.Δ. Χ ως ένα διάνυσμα m x 1
XT = (X1, X2, . . . , Xm)
Οι τιμές του Τ.Δ. μπορούν να οριστούν ως σημεία στον m-διάστατο χώρο Rm:
χT = (χ1, χ2, . . . , χm)
Μέση τιμή ενός Τ.Δ. Ορισμός: Μέση (αναμενόμενη) τιμή του Τ.Δ.
Χ ορίζεται ως το (m x 1) διάνυσμα
}{
}{
}{
2
1
2
1
mm xE
xE
xE
Πίνακας Συνδιακύμανσης ενός Τ.Δ. Ορισμός:
Ανεξάρτητες/Ασυσχέτιστες συνιστώσες Τ.Δ. Αν x1, x2,…,xM είναι ασυσχέτιστες θα έχουν
διαγώνιο πίνακα συνδιακύμανσης:
Αν x1, x2,…,xM είναι ανεξάρτητες ασυσχέτιστες διαγώνιος πίνακας συνδιακύμανσης.
Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ένα Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική
κατανομή εαν έχει Σ.Π.Π. της μορφής:
Αν οι συνιστώσες του διανύσματος είναι ανεξάρτητες:
Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Ο εκθέτης της Σ.Π.Π. γίνεται:
Η Σ.Π.Π. γίνεται:
Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν το Τ.Δ. Χ μπορεί να χωριστεί:
Όπου
Τότε:
2
1
X
XX
Ny
y
y
X2
1
1
M
N
N
y
y
y
X
2
1
2
}{
}{}{
2
1
X
XX
212
211
X
Ιδιότητες Πολυδιάστατης Κανονικής Κατανομής Αν ο πίνακας συνδιακύμανσης ΣΧ είναι
διαγώνιος και Χ ακολουθεί κανονική κατανομή οι συνιστώσες του Τ.Δ. Χ είναι ανεξάρτητες :
Για κανονικές κατανομές (μόνο): Κανονικές Ασυσχέτιστες ΤΜ ↔ Κανονικές
Ανεξάρτητες ΤΜ
Γραμμικές συναρτήσεις Τ.Δ. Θεωρείστε το Τ.Δ. Υ=aΧ+b. Υπολογίστε μέση
τιμή και πίνακα συνδιακύμανσης του Υ.
Παράδειγμα 1 Έστω Χ ακολουθεί τετραδιάστατη κανονική
κατανομή με
και Χ1 = (x1 x2)Τ, Χ2 = (x3 x4)Τ.
1) Υπολογίστε την κατανομή του Χ1
2) Αντίστοιχα:
41
14,
2
1~1 NX
Παράδειγμα 12) Υπολογίστε την κατανομή του
Y=AX=κανονική κατανομή με
43
21
1
2
2
XX
XX
X
Y
),,(~ NY
Παράδειγμα 13) Υπολογίστε την κατανομή του X1=(x1,x2)
δεδομένου του Χ2=(x3,x4)
X1|X2 ακολουθεί κανονική κατανομή με )|( 21| 21
XXXX
Συναρτήσεις Τυχαίας Μεταβλητής Y=g(X) Οι συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας
πιθανότητας ορίζονται με βάση ισοδύναμα ενδεχόμενα
Συνεχείς ΤΜ: Εστω οι K ρίζες της εξίσωσης y=g(x), x(1),x(2),
…,x(K). Η ΣΠΠ της ΤΜ Y δίδεται από
|)(|
)(
|)(|
)()(
)('
)(
)1('
)1(
k
kXX
Y xg
xf
xg
xfyf
Παράδειγμα Εστω ότι η ΤΜ X ακολουθεί τυπική κανονική
κατανομή. Δώστε την ΣΠΠ της ΤΜ Y=|Χ|.
1)('0
1)('0||)(
)2(
)1(
xgxyx
xgxyxXxgY
)()(|1|
)(
|1|
)()( xfxf
xfxfyf XX
XXY
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Δίδεται η από κοινού Σ.Π.Π. των X1, X2: fx1 x2(x1,
x2) και οι μετασχηματισμένες Τ.Μ. Y1, Y2
Y1 = g1(X1,X2)
Y2 = g2(X1,X2) Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 υπολογίζεται,
αντίστοιχα με τη συνάρτηση μιας Τ.Μ., από τις ρίζες του συστήματος εξισώσεων και την Ιακωβιανή (Jacobian) του μετασχηματισμού:
ί
xx
xx
yxxg
yxxg
kk
),(
),(
),(
),(
)(2
)(1
)1(2
)1(1
2212
1211
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Η από κοινού Σ.Π.Π. των Y1, Y2 είναι:
Ιακωβιανή:
2
2
1
2
2
1
1
1
21 ),(
x
y
x
yx
y
x
y
xxJ
|),(|
),(
|),(|
),(),( )(
2)(
1
)(2
)(1
)1(2
)1(1
)1(2
)1(1
212121
21 kk
kkXXXX
YYxxJ
xxf
xxJ
xxfyyf
Παράδειγμα Παράδειγμα: δύο αντιστάσεις Χ1, Χ2 είναι
ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα μεταξύ 9 και 11 ohms. Βρείτε την Σ.Π.Π. της Τ.Μ. Υ2 που αντιπροσωπεύει τον παράλληλο συνδυασμό των Χ1, Χ2.
Γραμμικός μετασχηματισμός Θεωρείστε το γραμμικό μετασχηματισμό Y =
A X + B ή
Υποθέτοντας οτι ο Α είναι nonsingular, έχουμε:
nnnnnn
n
n
n b
b
b
X
X
X
aaa
aaa
aaa
Y
Y
Y
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
Παράδειγμα: Άθροισμα δύο Τ.Μ. Παράδειγμα: Έστω Y1 = X1 + X2, όπου X1, X2
ανεξάρτητες Τ.Μ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. της Y1 συναρτήσει των Σ.Π.Π. των X1, X2
Παράδειγμα: X1, X2 είναι ανεξάρτητες Τ.Μ. ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [-1,1]. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του αθροίσματος τους.
Γραμμικός μετασχηματισμός πολυδιάστατης κανονικής κατανομής Το Τ.Δ. Χ ακολουθεί πολυδιάστατη κανονική
κατανομή με Ε{Χ} = 0 και πίνακα συνδιακύμανσης ΣΧ. Βρείτε τη Σ.Π.Π. του Τ.Δ. Υ = ΑΧ, όπου Α είναι αντιστρέψιμος.