第一节 集合 映射
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一、集合. 二、映射. 第一节 集合 映射. 教学内容:. 通过介绍基本概念,引出基变换和坐标. 变换,对线性空间和子空间进行了详尽地分析.. 教学目的及要求:. 以向量空间为几何模型帮助学生. 理解有关概念,. 让学生搞清线性空间的基本结构,. 会进行一些基本运算.. 教学重点:. 以线性空间维数和基的求解为重点.. 教学难点:. 难点为对同构和直和的理解.. 一、集合. 在这一章我们先来介绍. 作为本章的准备 ,. 一些基本概念 ,. 主要是集合和映射的概念. 熟悉. 对于一. 这些概念不但对于代数的学习是必要的 ,. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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第一节 集合 映射 一、集合 二、映射
2© 2009, Henan Polytechnic University 2§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间教学内容:通过介绍基本概念,引出基变换和坐标变换,对线性空间和子空间进行了详尽地分析.教学目的及要求:以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念,让学生搞清线性空间的基本结构,会进行一些基本运算.教学重点:以线性空间维数和基的求解为重点.教学难点: 难点为对同构和直和的理解.
3© 2009, Henan Polytechnic University 3§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间
作为本章的准备 , 在这一章我们先来介绍一些基本概念 , 这些概念不但对于代数的学习是必要的 ,
般数学的学习也是不可少的 .
主要是集合和映射的概念 . 熟悉对于一
一、集合
1 、定义把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合;组成集合的这些事物称为集合的元素.
4© 2009, Henan Polytechnic University 4§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间常用大写字母 A 、 B 、 C 等表示集合;当 a 是集合 A 的元素时,就说 a 属于 A ,记作: a A
当 a 不是集合 A 的元素时,就说 a 不属于 A ,记作: a A
用小写字母 a 、 b 、 c 等表示集合的元素.
集合的表示方法一般有两种:描述法、列举法
描述法:给出这个集合的元素所具有的特征性质 .
M ={ x | x 具有性质 P }
5© 2009, Henan Polytechnic University 5§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间列举法:把构成集合的全部元素一一列举出来 .
例如 2 2
2 2{( , ) 1, , }x yM x y x y R
a b
例如 {0,1,2,3, },N 2 {0, 2, 4, 6, }N
M ={ a1 , a2 ,…, an }
空集:不含任何元素的集合,记为 φ .注意:{ φ }≠ φ
6© 2009, Henan Polytechnic University 6§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间2 、集合间的关系
则称 B 是 A 的子集,记作 , (读作 B 包含于A ) B A
B A x B x A
则称 A 与 B 相等,记作 A = B .
A B A B B A 且
子集 如果 B 中的每一个元素都是 A 中的元素,
相等 如果 A 、 B 两集合含有完全相同的元素,
7© 2009, Henan Polytechnic University 7§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间3 、集合间的运算
交集: ; { }A B x x A x B 且
并集: { }A B x x A x B 或
显然有, ;A B A A A B
例如 {1 2 3 4}; {2 4 6 8 10}A B ,,, ,,,,
则 {2 4}A B ,
{1 2 3 4 6 8 10}A B ,,,,,,
8© 2009, Henan Polytechnic University 8§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间例 1 、证明等式 : .( )A A B A
( )x A A B 从而 , .( )A A A B
证: 显然, ( )A A B A
( )A A B A
x A B 有,x A 又
例 2 、已知 , A B 证明:
A B A
证: , ,x A A B x B x A B
,A A B A B A 又 , A B A
9© 2009, Henan Polytechnic University 9§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间二、映射设 M 、 M´ 是给定的两个非空集合,如果有 一个对应法则 σ ,通过这个法则 σ 对于 M 中的每一个元素 a ,都有 M´ 中一个唯一确定的元素 a´ 与它对
称 a´ 为 a 在映射 σ 下的象,而 a´ 称为 a 在映射应 , 则称 σ 为 M 到 M´ 的一个映射,记作 : : 'M M
σ 下的原象,记作 σ(a) = a´ 或 : .a a
1 、定义
'M M 或
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第六章 线性空间第六章 线性空间
① 设映射 , 集合 , : 'M M ( ) { ( ) }M a a M
称之为 M 在映射 σ 下的象,通常记作 Imσ .
② 集合 M 到 M 自身的映射称为 M 的一个变换.
例 3 判断下列 M 到 M ´ 对应法则是否为映射 1 ) M ={ a , b , c }、 M´ ={ 1 , 2 , 3 ,4 } σ : σ(a) = 1 , σ(b) = 1 , σ(c) = 2 δ : δ(a) = 1,δ(b) = 2,δ(c) = 3,δ(c) = 4
Im 'M 显然,
注 :
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第六章 线性空间第六章 线性空间2 ) M = Z , M´ = Z +,σ : σ(n) = |n|, n Z
τ : τ(n) = |n| + 1, n Z
3 ) M = , M´ = P ,( P 为数域) n nP
σ : σ(A) = |A| , n nA P
4 ) M = P , M´ = ,( P 为数域)n nP
τ : τ(a) = aE , ( E 为 n 级单位矩阵)a P 5 ) M 、 M´ 为任意两个非空集合, a0 是 M´ 中的
σ : σ(a) = a0 , a M 一个固定元素 .
12© 2009, Henan Polytechnic University 12§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间例 4 M 是一个集合,定义 I :
I(a) = a , a M
即 I 把 M 上的元素映到它自身, I 是一个映射,
任意一个在实数集 R 上的函数 y = f(x) 都是实数集R 到自身的映射,即,函数可以看成是映射的
称为 M 上的恒等映射或单位映射.
一个特殊情形.
注:
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第六章 线性空间第六章 线性空间2 、映射的乘积设映射 , : ', : ' ''M M M M 乘积
定义为: (a) = τ(σ(a)) a M
即相继施行 σ 和 τ 的结果, 是 M 到 M" 的一个映射.
① 对于任意映射 ,有 : 'M M
M MI I
注:
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第六章 线性空间第六章 线性空间
有 ( ) ( )
② 设映射 : ', : ' '', : '' '''M M M M M M ,
证明 只需证明( ) ( ) ( )( )a a 有,a M
由定义 ( ) ( ) ( )( ( ) ( ( ( )))a a a )
( )( ) (( )( )) ( ( ( )))a a a
所以有结合律成立:( ) ( )
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第六章 线性空间第六章 线性空间3 、满射、单射、双射
设映射:: 'M M
1 )若 Im 'M ,即',y M
(或称 σ 为映上的) . 则称 σ 是 M 到 M´ 的一个满射,x M有 ( )y x使
2 )若 M 中不同元素的象也不同,即 1 2, ,a a M 1 2 ,a a 1 2( ) ( )a a 若 则
16© 2009, Henan Polytechnic University 16§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间
或称 σ 为 1—1 对应 .
3 )若 σ 既是单射,又是满射,则称 σ 为双射 ,
则称 σ 是 M 到 M´ 的一个单射(或称 σ 为 1—1 的) .
或 1 2, ,a a M 1 2a a1 2( ) ( ),a a 若 则
例 6 判断下列映射的性质1 ) M ={ a , b , c }、 M´ ={ 1,2 , 3 }
σ : σ(a) = 1 , σ(b) = 1 , σ(c) = 2
τ : τ(a) = 3 , τ(b) = 2 , τ(c) = 1
17© 2009, Henan Polytechnic University 17§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间2 ) M = P , M´ = ,n nP P 为数域 , E 为 n 级单位矩阵
τ : τ(a) = aE , a P
σ : σ(a) = a0 , a M
4 ) M 是一个集合,定义 I :I(a) = a , a M
5 ) M=Z , M´ = 2Z ,σ : σ(n) = 2n, n Z
3 ) M 、 M´ 为任意非空集合, 为固定元素 0a M
18© 2009, Henan Polytechnic University 18§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间
① 对于有限集来说,两集合之间存在 1—1 对
应;但是对于无限集未必如此 .
注:
σ 是 1—1 对应,但 2Z 是 Z 的真子集.
应的充要条 件是它们所含元素的个数相同; ② 对于有限集 A 及其子集 B ,若 B≠A (即 B 为
A 的真子集),则 A 、 B 之间不可能存在 1—1 对 如例 6 中的 5.
19© 2009, Henan Polytechnic University 19§1 §1 集合 映射集合 映射
第六章 线性空间第六章 线性空间4、可逆映射定义:设映射 : 'M M 的双射,
则有1 1,M MI I
②
①σ - 1 为 的双射,M M到
定义: 1( ) ,a a ( ) ',a a 若
且 1 1( )
为 σ 的逆映射1 称
则为 M 到 ''M 的双射 .: ', : ' ''M M M M 分别为双射,③