1

Зачем изучать симметрию кристаллов?

А. Описание кристаллической структуры

B. Классификация состояний (электронных, фононных) и переходов между ними (спектров)

С. Определение вида тензорных характеристик

2

Кристаллическая структура:1. Решетка Браве: a, b, c2. Базис: список атомов и их позиций в ячейке

Симметрия кристалла:1 Сингония - кристаллическая система (7 типов)2 Тип решетки Браве (P, ABC, I, F - 14 типов)3 Кристаллическая система (32 типа)4 Типы частичных трансляций

230 пространственных групп

3

Пример: InN, вюрцитная модификация

P 63 m c a = 3.54 Å, c = 5.71 Å (Z=2)In ⅔, ⅓, 0.877N ⅓, ⅔, 0.

4

P 63 m c: C6v\4, N 186

Операции пространственной группы1 E x y z

2 C6 x-y, x, z+½

3 C3 -y x-y z

4 C2 -x, -y, z+½

5 -C3 -x+y -x z

6 -C6 y, -x+y, z+½

7 Ma -x+y -y z

8 M21 -y -x+y z

9 M+ -y -x z

10 M12 x-y, -y, z+½

11 Mb x, x-y, z+½

12 M- y, x, z+½

5

x y z E C6 C3 C2 -C3 -C6 Ma M21 M+ M12 Mb M-

In1 ⅔, ⅓, 0.877 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

In2 ⅓, ⅔, 0.377 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

N1 ⅓, ⅔, 0 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

N2 ⅔, ⅓, 0 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3

Размножение атомов

6

7

Ceolite Symmetry group F m -3 c (Oh\6, N = 226) a = 24.555 Å

x y z n

Si 0 .0932 .1850 24

Al 0 .1872 .0904 24

O1 0 .1137 .2466 24

O2 0 .1446 .1459 24

O3 .0538 .0587 .1715 48

Na .0996 .0996 .0996 16

8

9

B. Классификация состоянийСостояние – вектор, свойство – матрицаСобственный вектор гамильтониана – стационарное состояние

),(),(22

22222

22

2

rRErRRR

eZ

rr

e

rR

Ze

mM rR

),()(),( rRRrR

),()(),(2

222

2

rRRErRrr

e

rR

Ze

m elr

)()()(2

222

2

RERRERR

eZ

M adelR

...))(()( 0021

0 RRRRFURU RR

10

Инвариантность H к преобразованиям S

Следствие 1: правила отбораСледствие 2: разбиение на блоки векового уравнения

)()()( RRRH

)()( RHSRH

)()()( RSRRS S

)()()( RRRH SS

)(ScS

1)( Sc

2

1

2

1

)(

SCS

S

11

Пример: молекула AX4

Таблица умножения группы C4v.

E C41 C4

3 C42 x y d1 d2

C43 E C4

2 C41 d1 d2 y x

C41 C4

2 E C43 d2 d1 x y

C42 C4

3 C41 E y x d2 d1

x d1 d2 y E C42 C4

1 C43

y d2 d1 x C42 E C4

3 C41

d1 y x d2 C43 C4

1 E C42

d2 x y d1 C41 C4

3 C42 E

12

Неприводимые представления группы C4v

Пред-ставле

ние

E C41 C4

2 C43 x y d1 d2

A1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

A2 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

B1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 -1

B2 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1

E 1 00 1

0 -11 0

-1 00 -1

0 1-1 0

-1 0 0 1

1 0 0 -1

0 1 1 0

0 -1-1 0

13

Уравнение для ядерной подсистемы:

)()()( RRRH Собственные числа 2

ii

частоты, собственные векторы

)(Ri - формы нормальных колебаний.