8-1

第八章 时间序列分析 第一节 时间序列分析概述 第二节 时间序列分析的水平指标 第三节 时间序列分析的速度指标 第四节 时间序列的长期趋势分析 第五节 季节变动与循环波动分析

8-2

第一节 时间序列分析概述 一、时间序列的概念 二、时间序列的种类 三、时间序列的编制原则

8-3

一、时间序列的概念社会经济现象总是随着时间的推移而变化，呈

现动态性。统计对事物进行动态研究的基本方法是编制时间序列。

时间序列又称动态数列或时间数列时间序列又称动态数列或时间数列就是把各个不同时间的社会经济统计指标数值，就是把各个不同时间的社会经济统计指标数值，

按时间先后顺序排列起来所形成的统起来所形成的统计数列计数列 ..

8-4

时间数列—— 按时间顺序排列的 某项统计指标的一串值。如： 1991—1996 年间，我国逐年的GDP ， 构成一个时间序列。记： y1 , y2 , … , yn ( n 项 )或： y0 , y1 , y2 , … , yn ( n+1 项 )

8-5

时间数列的构成要素： 1. 现象所属的时间； 2. 不同时间的具体指标数值。

ni

ni

y y y y yy t t t t t t

210

210

8-6

年 份 1992 1993 1994 1995 1996 1997职工工资总额

（亿元） 3939.2

4916.2

6656.4

8100.0

9080.0

9405.3

年末职工人数（万人） 14792 14849 14849 14908 14845 14668

国有经济单位职工工资总额所占比重 ( ％ ) 78.45 77.55 77.78 45.06 74.81 76.69

职工平均货币工资（元） 2711 3371 4538 5500 6210 6470

例如：

8-7

时间序列的作用：1) 计算水平指标和速度指标，分析社会经济现象发展过程与结果，并进行动态分析；

2) 利用数学模型揭示社会经济现象发展变化的规律性并预测现象的未来的发展趋势；

3) 揭示现象之间的相互联系程度及其动态演变关系。

8-8

二、时间数列的分类：

派生时间序列

绝对数序列

相对数序列平均数序列

时期序列时点序列

8-9

年 份 1992 1993 1994 1995 1996 1997职工工资总额

（亿元） 3939.2

4916.2

6656.4

8100.0

9080.0

9405.3

年末职工人数（万人） 14792 14849 14849 14908 14845 14668

国有经济单位职工工资总额所占比重 ( ％ ) 78.45 77.55 77.78 45.06 74.81 76.69

职工平均货币工资（元） 2711 3371 4538 5500 6210 6470

时间序列的种类

时期数数列

时点数数列

相对数数列

平均数数列

8-10

时期数列与时点数列时期指标时间序列具有以下特点：A ）可加性，不同时期的总量指标可以相加；B ）指标值的大小与所属时间的长短有直

接关系。C ）指标值采用连续统计的方式获得。

8-11

时期数列与时点数列时点指标时间序列具有以下特点：A ）不可加性。不同时点的总量指标不可相加，这是因为把不同时点的总量指标相加后，无法解释所得数值的时间状态。B ）指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系。在时点数列中，相邻两个指标所属时间的差距为时点间隔。C ）指标值采用间断统计的方式获得。

8-12

时间数列的特点：

派生性—有绝对数列派生而得不可加性

可加性、关联性、连续登记

不可加性—不同时期资料不可加无关联性—与时间的长短无关联间断登记—资料的收集登记

平均相对时期时点

特 点序列

8-13

1. 时间长短（或间隔）一致。时期指标时间序列，各指标值所属时期长短应一致。对于时点指标时间序列，各指标的时点间隔应一致。2. 口径一致。总体范围一致；计算价格一致； 计量单位一致 ; 经济内容一致3. 计算方法一致。

编制时间数列的原则 — 指标的可比性：

8-14

第二节 时间序列的水平指标时间序列的水平指标 1. 发展水平 2. 平均发展水平 序时（动态）平均数

3. 增长水平 逐期增长量 累计增长量 平均增长量

8-15

一、发展水平和平均发展水平（一）发展水平时间序列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。

nni y y yy y 110

最末水平 最初水平

中间水平

8-16

（二）平均发展水平（序时平均数 动态平均数）

— 是将时间数列中各时期的发展水平加以平均而得出的平均数。序时平均数将指标在各时间上表现的差异加以抽象，

以一个数值来代表现象在这一段时间上的一般发展水平。

发展水平和平均发展水平

8-17

注意：序时平均数，要根据不同数列总

量指标数列（具体又分为时期数、时点数）、相对指标数列和平均指标采用不同的计算公式计算！

8-18

1. 总量指标时期数列的序时平均数：算术平均法算术平均法 y

n1

ny yyy i

n21

y1y2

yi yn

1 2 … … i … … n

…

时期

发展水平

y y y y y y yy

8-19

年 份 1991 1992 1993 1994 1995 1996

国内生产总值（亿元） 21618 2663834634 467565847867885

1991～ 1996 年平均国内生产总值：

亿元 668 426

678855847846756346342663821618

yn1y i

时期数列

8-20

年份 能源生产总量（万吨标准煤）19941995199619971998

118729129034132616132410124000

1994-1998年中国能源生产总量

万吨标准煤8.1273575

124000132410132616129034118729

ny

y

【例】

8-21

连续每天资料不同持续天内资料不变间隔时间相等间隔时间不等

总量指标时点数列的序时平均数

※

连续时点数 列

间断时点数 列连续每天资料

时点数列

：

8-22

（ 1 ）连续时点数列的序时平均数：算术平均法

列数点时续连

in y

nny yy

y 121

ffy

f fffy fyfy

yn

nn ＝

21

2211

持续天数—if

连续每天资料不同

持续天内资料不变

8-23

日期 6 月 1日 6 月 2日 6 月 3日 6 月 4日 6 月 5日收盘价 16.2元 16.7元 17.5 元 18.2 元 17.8元

)(28.175

8.172.185.177.162.16 元

n

yy解：：

某股票连续 5 个交易日价格资料如下：【例】

8-24

某单位五天库存现金数如下表：星 期 一 二 三 四 五库存现金（千 元） 3 2 5 4 1

现金平均库存额： 千元 3

514523 y

ny

连续时点数列（每天资料）

8-25

n

ii

n

iii

n

nn

f

fy

ffffyfyfy

y

1

1

21

2211

※连续时点间隔不相等时，采用加权算术平均法

对于逐日记录的时点数列 , 每变动一次才登记一次

某企业 5月份每日实有人数资料如下：日 期 1~9 日 10~15 日 16~22 日 2

3~31 日实有人数 780 784 786 783

)(7839769

9783778667849780人

fyf

y

8-26

某商品 4 月份库存情况如下表：

3 5 27634持续天数51384329395249库存量

(台 )

21～ 2324～ 28 29～ 3014～ 208～ 135～ 71～ 4日 期

4月份某商品平均库存量：

40 2537634

251538343729639352449

台

fyf

y

连续时点数列（持续天内资料不变）

8-27

由间断时点每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值

※间隔相等相等 时，采用首末折半法计算

222254433221 yyyyyyyy

1y 2y 3y 4y 5y一季度初

二季度初 三季度初 四季度初 次年一季度初

122

1222 12

113221

n

yyy

y

n

yyyyyy

y

nn

nn

（ 2 ）间断时点数列的序时平均数

8-28

※间隔不相等不相等 时，采用时间间隔长度加权平均

222433221 yyyyyy

211

22

12

12

433221

yyyyyy

90 天 90 天 180 天1y 2y 3y 4y一季度初 二季度初 三季度初 次年一季度初

121

11

232

121

222

N

NNN

fff

fyy

fyy

fyy

y

8-29

列数点时断间

※ n

y21y yy

21

y n1n10

1n21

1nn1n

232

121

fff

f2

yyf

2yy

f2

yy

y

间隔时间相等

间隔时间不等

（ 2 ）间断时点数列序时平均数：

8-30

年 份 1991 1992 1993 1994 1995 1996

年底人数（亿人） 11.58 11.71 11.85 11.99 12.11 12.24

1992 年～ 1996 年我国平均人口总数：

91.11 16

24.122111.1299.1185.1171.1158.11

21

n

y21y yy

21

yn1n10

亿人

间断时点数列（间 隔 相 等）

例， 1991 年底～ 1996 年底我国人口总数：

8-31

时间 3 月末 4月末 5月末 6 月末库存量（百件） 66 72 64 68

百件67.6714

2686472

266

n

y21y yy

21

n1n10

y

解：第二季度的月平均库存额为：

某商业企业 2004年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额。【例】

8-32

22323间隔年数1837

51685

11407

11182

899498350年底人数

（万 人）

1995 19971993199019881985年 份

1985 年～ 1997 年我国第三产业从业人数（年底数）：

间断时点数列（间隔不等）

8-33

我国第三产业平均从业人数：

223232

183751685122

1685114071

32

1407111828221182899493

299498350

y

. 万人8185112

8-34

时间 1 月 1日 5 月 31日 8 月 31日 12 月 31日社会劳动者人数 362 390 416 420

万人75.396435

42

42041632

41639052

390362

y

单位：万人某地区 1999 年社会劳动者人数资料如下：【例】

解：则该地区该年的月平均人数为：

8-35

2. 相对数数列 ( 平均数数列）序时平均数

bay

na a a a 21：分子项

nb b b b 21：分母项

n21 y y y y ：指标项

b a y

b

ay

8-36

⑴ a 、 b 均为时期数列时

ay

abyb

ba

NbNa

ba

1 y

⑵ a 、 b 均为时点数列时

122

122 y

121

121

Nb

bbb

Na

aaa

ba

NN

NN

8-37

⑶ a 为时期数列、 b 为时点数列时

Nb

bbb

Naaaaba

NN

NN

22

y1

21

121

8-38

月 份 一 二 三计划利润（万元） 200 300 400

利润计划完成程度（﹪） 125 120 150

某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下：

因为 bay

计划利润实际利润

完成程度利润计划

所以，该厂一季度的计划平均完成程度为 ：﹪4.134

4003002004005.13002.120025.1

3/3/

y

byb

ba

【例】【例】

8-39

月 份 三 四 五 六 七工业增加值（万元） 11.0 12.6 14.6 16.3 18.0

月末全员人数（人） 2000 2000 2200 2200 2300

【例】已知某企业的下列资料：

要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率 ； ②该企业第二季度的月平均劳动生产率； ③该企业第二季度的劳动生产率。

a

b

8-40

解：①第二季度各月的劳动生产率：四月份：

人元6300220002000

100006.121

y

五月份： 人元4.6952

222002000100006.14

2

y

六月份： 人元1.7409

222002200100003.16

3

y

8-41

③该企业第二季度的劳动生产率：

cN

ba

y

人元28.20714

142

2200220020002

2000100003.166.146.12

②该企业第二季度的月平均劳动生产率：

人元76.6904

142

2200220020002

200033.166.146.1210000 y

ba

8-42

3.64

23.76

44.54

6 月

3.54…2.943.213.75流通费用 yt

23.16…23.9821.3520.82月初库存 bt

42.11…40.7143.6442.30零售额 at

5 月…3 月2 月1 月月份 t某商场 05年上半年资料如下：单位：￥ 106

已知 6 月末库存款为 24.73 百万元。

8-43

求：上半年A . 商品平均流转次数；( = 月均零售额 / 月均库存额 )

( = 月均 流通费用 / 月均零售额 )B . 商品平均流通费用率

8-44

1.2 时间序列的水平指标• 序时平均数

平均数相对数

间隔不等

间隔相等间

断

持续天内指标不变

每天资料连续

时 点

时 期序 时 平 均 数时 间 数 列

bay

in y

nny yy

y 121

n

nn

f fffy fyfy

y

21

2211

n

yy yyy

nn 21

21

110

b a y

110

11

10

22

n

nnn

fff

fyy

fyy

y

8-45

增长量和平均增长量：二、

增长量＝平水

报告期 水平

基期

0

1

yys yy

tt

ttt

累计增长量逐期增长量

增长量

时间序列的水平指标

8-46

三、增长量和平均增长量11201 ,,, nn yyyyyy

00201 ,,, yyyyyy n

逐期增长量累计增长量

二者的关系：⒈ 011201 yyyyyyyy nnn

⒉ niyyyyyy iiii ,,2,11010

8-47

数期逐期增长量

平均增长量

数逐期增长量的序时平均—

ns t

nt

数期累计增长量

增长量和平均增长量：

8-48

n

yyyyyy nn 11201

…— 01 yy 02 yy 0yyn

…— 01 yy 12 yy nn yy 1

…

…

累计逐期增

长量

发展水平时 间 0t 1t nt2t

0y 1y 2y ny

nyyn 0

8-49

第三节 时间序列的速度指标

辅助的水平指标

定基增长速度 平均增长速度

环比增长速度 平均发展速度 定基发展速度 环比发展速度

增长 1 ％的绝对值

二、增长速度

一、发展速度速 度 指 标

8-50

时间序列的速度指标

发展速度指标值也总是一个正数。当发展速度指标值大于 0 小于 1 时，表明报告期水平低于基期水平；当发展速度指标值等于 1 或大于 1 时，表明报告期水平达到或超过基期水平。

基期水平报告期水平

发展速度

一、发展速度

8-51

发展速度根据采用的基期不同，可分为：

11

2

0

1 ,,,n

n

yy

yy

yy

yy

t

t

1

y y t

0

定基发展速度

环比发展速度

发展速度

00

2

0

1 ,,,yy

yy

yy n

环比发展速度

定基发展速度

8-52

一、发展速度

定基发展速度 1 环比发展速度 ＝

y y

y y

y y

y y

1n

n

1

2

0

1

0

t

相邻定基发展速度的比环比发展速度 2

01

0

1 yyyy

yy

t

t

t

t

定基和环比发展速度相互关系 ）

8-53

【例】 某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下 : 1996 年为 103.9%， 1997年为 100.9%， 1998年为 95.5%， 1999 年为 101.6%， 2000

年为 108%，试计算 2000 年以 1995年为基期的定基发展速度。

(109.57%)

8-54

年距发展速度：报告期水平与上年同期水平对比达到的

相对程度。计算年距发展速度是为消除季节变动的影响。计算公式：

niLyy

i

Li ,,2,1124 ；或展速度年距发

8-55

基期水平

报告期增长量增长速度

二、时间序列的速度指标：增长水平

增长速度 =发展速度 -100%增长速度指标值有可能为正数，也有可能为负数，负数即负增长。

8-56

时间序列的速度指标

1

1

增长速度发展速度

发展速度增长速度

定基

环比增长速度

y

yy

t

tt

1

1

y yy t

0

0

定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。。

8-57

对值绝增长

% 1

：的绝对值增长 %1

100环比增长速度

量长增期逐 100

1

1

1

t

tt

tt

yyy

yy

1001 ty

绝对值增长 % 1

指现象每增长 1﹪所代表的实际数量

8-58

%292 万吨73)2598(

%18.7 万吨418)58206238(

万吨25.029273

万吨2.5818.7418

•例： 1949 年我国的钢铁产量为 25 万吨， 1950 年达 98 万吨，是上年的 3.92倍（即增长 292% ）；1989 年生铁产量是 5820 万吨， 1990 年高达 6238万吨，比上年增长 7.18% 。

100100 11

11

nnn

nnn

yyyyyy

8-59

我国 1991～ 1995 年能源生产量及速度指标

108.68106.91103.55102.30100

1187.31110.61072.61048.5—23.0713.245.932.30—

8.686.913.552.30—123.07113.24105.93102.30100

环比

增长 1 ％绝对值定基环比增长速度 (%)

定基发展速度 (%)

241901388562152412—累计10305767038032412—逐期增长量

( 万吨 )

129034118729111059107256104848发展水平 ( 万吨 )19951994199319921991年 份

8-60

1 平均发展速度＝平均增长速度

1) 求平均增长速度，只能先求出平均发展速度，再根据上式来求。

三、 平均发展速度和平均增长速度：

2) 平均发展速度的计算方法： 几何平均法（（水平法）） 高次方程法 (( 累计法 ))

8-61

nt y y y y y 210设：

则平均发展速度为设 ， x

11

2

0

1

n

n

yy

yy

yy

、、:环比发展速度

平均发展速度— 环比发展速度的几何平均数。

几何平均法：

8-62

n

1n

n

1

2

0

1

yy

yy

yy

x

n

n

x

定基发展速度

环比发展速度

平均发展速度为：n

n

yy

0

nnn

nnn XXXXR

yy

x 210

总速度 环比速度

8-63

﹪84.101%57.109

%108%6.101%5.95%9.100%9.1035

5

x

解：平均发展速度为：

平均增长速度为： ﹪﹪﹪ 84.110084.1011 x

【例】某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下， 1996 年为 103.9% ， 1997 年为 100.9% ， 1998 年为 95.5% ， 1999 年为 101.6% ， 2000 年为108% ，试计算 1995 年到 2000 年的平均增长速度。

8-64

有关指标的推算 :

xyynxy n 00 ,则最末水平和、已知

⒈推算最末水平 yn ：

⒉预测达到一定水平所需要的时间 n ：

xyyn

yxy

n

n

lglglg

,

0

0

所需要的时间为：

则达到最末水平和、已知

推算的最末水平与实际资料的最末水平相同。

8-65

nt y y y y y 210设数列：

高次方程法： .2

, x若平均发展速度为

n02

000 y y y y xxx

则该数列可表示为：

nnn xyxyy

xyxyyxyy

0'

1'

20

'1

'20

'1

,

,,

8-66

n02

00 y y y xxx

yn21 y yy

n

1iiy

n

1ii

n20 y y xxx

0

n

1ii

n2

y

y ＝xxx

的高次方程：有 x

各期定基发展速度各期定基发展速度之和之和

8-67

着眼于各期水平累计之和 所以它又称为累计法。当 时，表明现象是递增的；

当 时，表明现象是递减的。

n

iiy

1

10

1 ny

yn

ii

10

1 ny

yn

ii

2. 特点

8-68

【例】某公司 2000 年实现利润 15 万元，计划今后三年共实现利润 60 万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。 151.104:

0,3,60,15

23

01

233210

xxxx

yyxxxnyyyyn

ii

，解得即

，则已知

平均每年增长﹪ 各年发展水平总和为基期的﹪1 年 2 年 3 年 4 年 5 年

… … … … … …14.9 114.9

0246.9

2398.6

1572.9

0773.17

15.0 115.00

247.25

399.34

574.24

991.04

15.1 115.10

247.58

400.06

575.57

1075.57

… … … … … … 15092.106.066.0

66.01.015.1

﹪则平均发展速度为

8-69

几何平均法和方程式法的比较 :

几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。1 、计算的理论依据不同。2 、目的不同。几何平均法侧重考察最末期的

水平，方程式法侧重考察现象的整个发展过程，研究整个过程的累计总水平。

8-70

3 、计算方法不同。几何平均法是求几何平均数，实际上只考虑了最初水平和最末水平。方程式法是解高次方程，考虑的是全期水平之和。4、计算结果不一定相同。按照几何平均法所确定的平均发展速度，所推算最末一年的发展水平，与实际资料最末一年的发展水平相同。按方程按照方程式法所确定的平均发展速度，所推算全期各年发展水平的总和与全期各年的实际发展水平的总和相同。

8-71

5、适用场合不同。若要求长期计划的最后一年应达到什么水平，以水平法计算；若要求整个计划期应完成多少的累计数，一般用累计法计算。

6 、对数据要求不同。水平法对时期、时点数列都适用，累计法只适合时期数列。

8-72

应用平均发展速度应注意的问题

平均发展速度指标计算方法的选择要考虑研究目的和研究对象的性质。平均发展速度要和各环比发展速度结合分析。对平均速度指标分析要充分利用原始序列的信息。

8-73

第四节 长期趋势分析 一、时间序列的构成因素和分析模型 二、长期趋势测定方法之时距扩大法 三、长期趋势测定方法之移动平均法 四、长期趋势测定方法之趋势模型法 五、长期趋势测定方法之趋势外推预测

8-74

一、构成因素和分析模型（ 1）长期趋势（ T）（ 2）季节变动（ S）（ 3）循环变动（ C）

（ 4）不规则变动（ I）可解释的变动

—不可解释的变动

（一）时间序列的构成因素：

8-75

又称趋势变动— 时间序列在较长持续期内表现出来的总

态势。— 是由现象内在的根本性的、本质因素决

定的，支配着现象沿着一个方向持续上升、下降或在原有水平上起伏波动。

1. 长期趋势变动（ T ）

8-76

2. 季节变动（ S ）由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯

季节因素（节假日）更替的影响，时间序列随季节更替而呈现的周期性变动。

季节周期：—通常以“年”为周期、—也有以“月、周、日”为周期的—准季

节变动。

8-77

3. 循环变动（ C ）— 时间序列中以若干年为周期、上升与下

降交替出现的循环往复的运动。如：经济增长中：“繁荣－衰退－萧条－

复苏－繁荣”—商业周期。固定资产或耐用消费品的更新周期等。

8-78

经济系统的内部因素

自然因素制度性因素

规律性低固定周期

循环季节

波动成因周期规律变动季节变动和循环变动的比较

8-79

—由于偶然性因素的影响而表现出的不规则波动。故也称为不规则变动。

随机变动的成因：—自然灾害、意外事故、政治事件；— 大量无可言状的随机因素的干扰。

4. 随机变动（ I ）：

8-80

（二）时间序列分析模型1. 加法模型：假定四种变动因素相互独立，数列各时期发展水平是各构成因素之总和。2. 乘法模型：假定四种变动因素之

间存在着交互作用，数列各时期发展水平是各构成因素之乘积。

ICSTY

ICSTY

8-81

（三）时间序列的分解分析时间序列的分解分析就是按照时间序列

的分析模型，测定出各种变动的具体数值。其分析取决于时间序列的构成因素。1 .仅包含趋势变动和随机变动（年度数据）：乘法模型为： Y=T×I加法模型为： Y=T+I

长期趋势。消除随机变动，测算出

8-82

2.含趋势、季节和随机变动：按月（季）编制的时间序列通常具有这种

形态。分析步骤：a. 分析和测定趋势变动，求趋势值 T ；b. 对时间序列进行调整，得出不含趋势变动的

时间序列资料。IS

TIST

TY

乘法

IS

TISTTY

加法

8-83

c. 对以上的结果进一步进行分析，消除随机变动 I 的影响，得出季节变动的测定值 S 。

2.含趋势、季节和随机变动：

8-84

1. 测定各构成因素的数量表现，认识和掌握现象发展的规律；

2. 将某一构成因素从数列中分离出来，便于分析其它因素的变动规律；

3. 为时间序列的预测奠定基础。

分解分析的作用：

8-85

二、长期趋势的测定方法长期趋势测定的方法： 1. 时距扩大法； 2. 移动平均法； 3. 数学模型法等。

8-86

1. 时距扩大法：是测定长期趋势最原始、最简单的方法。将时间序列的时间单位予以扩大，并将相

应时间内的指标值加以合并，从而得到一个扩大了时距的时间序列。

作用：—消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势

8-87

一、时距扩大法•注意的问题 P225 。

ny

yyyyyyy

7

6

5

4

3

2

1

321 yyy

654 yyy

nnn yyy 12

32321 yyyy

35654 yyyy

3112 nnn yyy

ny

8-88

2. 移动平均法：是测定时间序列趋势变动的基本方法。对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐

期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原序列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。

8-89

2. 移动平均法：

移动平均法

简单移动

加权移动平均法

奇数项移动偶数项移动

8-90

奇数项移动平均法1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t原数列原数列

移动平均移动平均 3321 ttt

3432 ttt

3543 ttt

3654 ttt

3765 ttt

新数列新数列 2t 3t 4t 5t 6t

（ 1 ）简单移动平均

8-91

:时间序列 nn- y ,y ,y ,y 121

3211

2 31 y y yM

4321

3 31 y y yM

nnnn y y yM 121

1 31

8-92

（ 2 ）简单移动平均

偶数项的中心化简单平均数要经过两次移动计算才可得出。

例如：移动项数 N＝ 4 时，计算的移动平均数对应中项在两个时

期的中间：

偶数项移动平均法

8-93

4321152 4

1 yy y yM .

5432153 4

1 yy y yM .

由于这样计算出来的平均数的时期不明确，故

不能作为趋势值。解决办法： 对第一次移动平均的结果，再作一次移动平均。

8-94

MM M ..153

152

23 2

1

4222

21 54321 yyyyy

421

21

543212

3

yyyyyM

8-95

偶数项“移动法则”：1. 要取“ 2n + 1 ” 项；2. 采用“首尾取半法”计算移动平均数；3. 作为 n + 1 项的长期趋势值。

8-96

偶数项移动平均

44321 yyyy

45432 yyyy

46543 yyyy

47654 yyyy

移动平均

244

65435432 yyyyyyyy

移正平均

244

54324321 yyyyyyyy

421

21

54321 yyyyy

421

21

65432 yyyyy

)4( 项例如取

nyn

y

y

y

y

y

y

y

y

y

.

.9

.8

.7

.6

.5

.4

.3

.2

.1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

8-97

——

555 814.5

528 415.8——

—566 074.0

566 061.0

539 793.7

496 847.3

—

580 8192003

548 1332002

569 2702001

580 7802000

469 3311999

440 4311998

n = 4n = 3移 动 平 均 数产 量

（ y 吨）年 份例如

8-98

（ 2 ）加权移动平均法：— 是对各期指标值进行加权后计算的

平均数。注意事项：一般计算奇数项加权移动平均数；权数以二项展开式为基础。中项的权数最大，两边对称，逐期减小。如 N = 3 时，应以 （ a + b )2 = a2 + 2ab + b2 的系数

1 ， 2 ， 1 为权数：

8-995

4

3

2

1

.5

.4

.3

.2

.1

y

y

y

y

y

42 321 yyy

42 432 yyy

42 543 yyy

8-100

42 3211

2y yy

M

42 4321

3y yy

M

42 111

tttt

y yyM

8-101

如： N = 5 时，应以 （ a + b )4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 的系数 1 ， 4， 6 ， 4， 1 为权数：

8-102

16464 543211

3yyy yy

M

16464 654321

4yyy yy

M

16464 21121

tttttt

yyy yyM

8-103

移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强； 由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少， N为奇数时，趋势值数列首尾各少 项； N为偶数时，首尾各少 项； 局限：局限：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。

21N

2N

移动平均法的特点

8-104

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

原数列原数列三项移动平均三项移动平均

五项移动平均五项移动平均 四项移动平均四项移动平均

8-105

3. 趋势模型法：也称曲线配合法，它是根据时间序列的数据特征，

建立一个合适的趋势方程来描述时间序列的趋势变动，推算各时期的趋势值。

建立趋势模型的程序：1. 选择合适的模型： 判断方法： a. 直接观察法（散点图法） b. 增长特征法

8-106

1 ）线性趋势方程— 逐期增长量大致相等。2 ）二次曲线趋势方程— 逐期增长量大致等量递增或递减。

3 ）指数曲线方程— 环比发展速度近似一个常数。

2ctbtay t

tbay t

常见的趋势方程

tt aby

8-107

btayt ˆ)1( 线性方程：

方程。一个常量，可配合直线量相对稳定近似若时间序列的逐期增长

2ˆ)2( ctbtayt 抛物线方程：

可配合抛物线方程。量大体相同，若时间序列的二级增长

tt aby ˆ)3( 指数曲线方程：

可配合指数曲线方程。速度大体相同，若时间序列的环比发展

5

4

3

2

1

0

y

y

y

y

y

y 增长量逐期

455

344

233

122

011

yy

yy

yy

yy

yy

—增长量二级

45

34

23

12

——

展速度环比发

45

34

23

12

01

yy

yy

yy

yy

yy—

8-108

t yi 一阶差分 yi - yi-1

1234n

a + ba + 2ba + 3ba + 4b

a + nb

—bbbb

btay ˆ直线趋势方程：直线趋势方程：

8-109

t yi 一阶差分 二阶差分1234n

a + b + ca + 2b + 4ca + 3b + 9ca + 4b + 16c

a + nb + n2c

—b+3cb+5cb+7c

b+(2n-1)c

——2c2c2c

2ˆ ctbtay 抛物线趋势方程：抛物线趋势方程：

8-110

t yi yi / yi-1

1234n

abab2

ab3

ab4

abn

—bbbb

taby ˆ指数曲线趋势方程：指数曲线趋势方程：

8-111

方法：• 分段平均法• 最小二乘法• 三点估计法…3. 计算趋势变动测定值— 将自变量 t 的取值，依次代入趋势方程，

求出相应时期的趋势变动测定值。

2.估计模型的参数

8-112

2tbtaty

tbnay

tbya

ttnyttyn

b

22 )(

用最小平方法 求解参数 a 、 b ，有

直线趋势的测定：最小二乘法tbay ˆ直线趋势方程： 经济意义： 数列水平的平均增长量

8-113

年份 t GDP (y) ty t2

1986198719881989199019911992199319941995199619971998

12345678910111213

7610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0

7610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0

149162536496481

100121144169合计 91 182505.8 1516487.3 819

【例】已知某省 GDP 资料（单位：亿元）如下， 拟合直线趋势方程，并预测 1999 年的水平。

8-114ty

tbya

ttnyttyn

b

tty

ytn

89.131268.4848ˆ

68.4848139189.1312

138.182505

89.1312

91819138.182505913.151648713

)(

,819,3.1516487

,8.182505,91,13

222

2

即直线趋势方程为：

则

已知解：解：

8-115

亿元14.232291489.131268.4848ˆ1999

y

预测：

8-116

btay ˆy

ta

y

a

0 1 2 3 4 5 6 7

求解求解 aa 、、 bb 的简捷方的简捷方法法

0 1 2 3-1-2-3

0 t取时间数列中间项为原点取时间数列中间项为原点

a’-a

8-117

当当 t = 0t = 0 时，有时，有

2tbty

nay

yn

ya

tty

b

2

tbya

ttnyttyn

b

22 )(

2tbtaty

tbnay

N 为奇数时，令 t = … ， -3 ， -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ，3 ， …N 为偶数时，令 t = … ， -5 ， -3 ， -1 ， 1 ， 3 ， 5 ， …

8-118

年份 t t GDP (y) ty t2

1986198719881989199019911992199319941995199619971998

12345678910111213

-6-5-4-3-2-10123456

7610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0

-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7

014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.0

3625169410149162536

合计 91 0 182505.8 238946.7 182

8-119

ty

yn

ya

tty

b

ttyy

nt

89.131291.14038ˆ

91.1403813

8.182505

89.1312182

7.238946

,182,7.238946,8.182505

,1307

2

2

即直线趋势方程为：

则

，项为原点，有取中间项第解：解：

亿元14.23229789.131291.14038ˆ1999 y预测：预测：

8-120

（ 2 ）指数曲线模型 tabyˆtaby由

btay lglglg 有

bBaAyy lg,lg,lg 令

BtAy 则

。、用最小二乘法求出 BA

。进而求出 ba,

3. 计算趋势值。

8-121

（ 2 ）加权最小二乘法min)ˆ( 2 ii yyQ普通最小二乘法

min)ˆ(2

iiin yyWS加权最小二乘法

称为加权系数。inW

10 W

由于加权系数序列单调递增，因此给予远期数据较小的权数，给予近期数据较大的权数。加权系数对于远期数据起了“打折扣”的作用，折扣的程度取决于 W 值的大小， W 的值越接近于 0 ，折扣作用越大； W 的值越接近于 1 ，折扣作用越小；当 W=1 时，即为普通最小二乘法。

8-122

btayyyWS iiin ˆmin)ˆ(

2若为满足

的偏导数，整理得和对对分别求 baS

tWbWayW inini

in

2 tWbtWatyW inin

iin

，即得模型。和解出 ba

加权最小二乘法—ty 895.66ˆ

普通最小二乘法—ty 82.607.75ˆ

i

ii

yyy ˆ

实际值误差相对误差

8-123

普通最小二乘与加权最小二乘误差比较：

加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加

加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加

加加加加加加加加加加加加加加加加加加

8-124

五、趋势外推预测 测定长期趋势的一个重要目的就是要利用这

一长期趋势对未来进行预测。常用的预测方法有：

移动平均法 最小二乘法 指数平滑法

8-125

1 、移动平均法 移动平均法预测值，实际是以移动中项的移动平均数作为预测期的趋势值。

需要注意的是，移动平均法只有一期的预测能力。

1

01111

1)(1ˆN

itNtttt yN

yyyN

y

8-126

2.最小二乘法 将预测期的自变量值代入拟合的趋势方程进行外推预测。

ff xbay ˆ预测：预测：

8-127

3. 一次指数平滑法ttt yyy ˆ)1(ˆ 1

。：平滑系数，

期的实际值。

期的预测值。

期的预测值。

10::ˆ

1:ˆ 1

tyty

ty

t

t

t

8-128

3. 一次指数平滑法ttt yyy ˆ)1(ˆ 1

]ˆ)1()[1( 11 ttt yyy

12

1 ˆ)1()1( ttt yyy

]ˆ)1([)1()1( 222

1 tttt yyyy

23

22

1 ˆ)1()1()1( tttt yyyy

33

22

1 )1()1()1( tttt yyyy

:0时，其总和列，当式中系数为无穷等比数 t 1)1(1

])1(1[lim0

t

t

。数据的加权算术平均数实质上是时间数列各期因此， 1ˆ ty

)( 33

22

11

ffx

ffx

ffx

ffxx n

n

8-129

2.5303

2.6039.5365.4503

ˆ 91908990

yyyy

2.53623.5362.5301.09.5369.0ˆ1.09.0ˆ 909091 yyy

5.5962.5361.02.6039.0ˆ1.09.0ˆ 919192 yyy

加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加

加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加 (0.1~0.3) 加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加 (0.5~0.8) 加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加

8-130

补充：三点法：在时间数列中找三个间隔相等的点，据以确定趋势模型 。）。为偶数，则去掉（若是奇数，且大于设时间数列 121 15,,, ynnyyy n

加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加 1 、 2 、 3 、 4 、 5 计算加权算术平均数。

155432 54221 yyyyyR

头部

155432 2112

ddddd yyyyyS中部 )2

1( nd

155432 1234 nnnnn yyyyyT

尾部

加加加加加加加加加 R 、 S 、 T 三个数据来确定；若为直线趋势，则用 R 、T 两个数据来确定，又称“两点法”。

8-131

2210 tbtbbyt 若为二次曲线 加

210

21

22

9121

311

373

5

)5()2(2

bbRb

bnn

RTb

nSTRb

btayt 若为直线趋势bRa

nRTb

3115

加

8-132

第五节 季节变动与循环波动分析 一、季节变动分析 二、循环波动分析

8-133

一、季节变动分析 ( 一 ) 季节变动含义1 、季节变动：在一定时期内由于受自然季节变化或人文习惯因素的影响而形成有规则的周期性的重复变动。2 、特征：有规律的变动，按一定的周期重复进行，每个周期变化大体相同，最大周期为一年。

8-134

季节变动分析之同期平均法1 、同期平均法

以若干年资料数据求出同月 ( 季 ) 的平均水平与各年总月 ( 季 ) 水平，进而对比得出各月 ( 季 ) 的季节指数来测定季节变动的程度。

一、季节变动分析

8-135

1 、季节变动的分析 之同期平均法1 ）直接按月 ( 季 ) 平均法。计算步骤：A 、计算各年同月 ( 季 ) 的平均数

(i=1~k 年， j =1~12月或 j =1~4季 ) （列平均）B 、计算各年所有月份 ( 或季度 ) 的总平均数 C 、计算季节指数 S I ，

y

yy

S jj

k

iijj y

ky

1

1

8-136

例：年 份 1季 2季 3季 4季19941995199619971998

25.224.423.826

25.1

17.118.419.419.118.6

12.614.113.815.715.1

19.318.921

21.620.8

。表示一年的月（季）数表示年数，用 nk

45 nk

1 ）直接平均法：平均数。）计算各年同月（季）（1

),3,2,1(1 njk

yy

k

iij

j

jy 9.24 52.18 26.14 32.20

）计算全期的平均数。（2

ny

y j 5.194

32.2026.1452.189.24

）计算季节指数。（3

),3,2,1( njyy

S jj

jS 276923.1 949744.0 731282.0 042051.1

·

8-137

A 、计算第 i年平均数；（行平均） B 、将历年各月 ( 季 ) 的实际数据同其本年的平均数相比，计

算 ( i 表示年度， j 表示季或月 ) 季节比率： C 、将各年度同期 (月或季 ) 的比率进行简单算术平均，求出

季节指数 Sj

i

ij

yy

kyy

S

k

i i

ij

j

1

NjkiyN

yN

jiji ,2,1;,2,11

1

2 ）比率按月 ( 季 ) 平均法。计算步骤：1 、季节变动的分析 之同期平均法

8-138

2 ）比率按月（季）平均法年 份 1季 2季 3季 4季 年平均数199819992000

324157

405165

617493

283657

40.25 50.5 68

。平均数）计算各年的月（季）（ iy1

n

yy i 25.40

428614032

1

y

ijS季节比率的年平均数，得各期的将各期的数值除以各自)2(

795.025.40

3211 S

i

ijij y

yS

jS数即为季节指数算各年同月（季）平均）对所得季节比率，计（3

8-139

（ 2 ）比率按月平均法季节指数计算表年份 第一季 第二季 第三季 第四季 合计

1999 0.795 0.9938

1.5155

0.6957 4

2000 0.8119

1.0099

1.4653

0.7129 4

2001 0.8382

0.9559

1.3676

0.8383 4

合计 2.4451

2.9596

4.3484

2.2469 12

季节指数% 81.50 98.65 144.95

74.90 400

%5.818150.03

8382.08119.0795.03

33

1

i

ij

j

j

ss

S数即为季节指数算各年同月（季）平均）对所得季节比率，计（

8-140

趋势剔除法：在具有明显的长期趋势变动的数列中，

为了测定季节变动，必须先将趋势变动因素在数列中加以剔除，而后计算季节比率。

若以移动平均法测定趋势值，则确定季节变动的步骤如下：

2 、季节变动分析之移动平均趋势剔除法

8-141

1 ）对原时间序列求移动平均数，作为相应时期的趋势值 T。

2 ）剔除原数列中的趋势变动 T，即将原数列各项除以移动平均数的对应时间数据： 。

3 ）以消除趋势变动后的数列 S—I计算季节指数，测定季节变动。

IST

IST

移动平均趋势剔除法步骤

8-142

旅游人数(万人) 年份

第一季 第二季 第三季 第四季

1999

2000

2001

32

41

57

40

51

65

61

74

93

28

36

57

例： 1999 年到 2001 年某城市旅游人数资料如表所示。 某风景旅游城市旅游人数资料

试用移动平均趋势剔除法分析季节变动

8-143

用移动平均趋势剔除法分析季节变动

季节指数计算表(一)

年份 季度 顺序 Yi 四季移动

平均 T

TYi

1999

2000

2001

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

32

40

61

28

41

51

74

36

57

65

93

57

—

—

41.4

43.9

46.9

49.5

52.2

56.2

60.4

57.8

—

—

—

—

1.473 4

0.637 8

0.874 2

1.030 3

1.417 6

0.640 6

0.943 7

1.124 6

—

—

8-144

季节指数计算表(二)

年份 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 合计

1999

2000

2001

0.874 2

0.943 7

1.030 3

1.124 6

1.473 4

1.417 6

0.637 8

0.640 6

同季平均 0.909 0 1.077 5 1.445 5 0.639 2 1.017 8

季节指数(%) 89.31 105.87 142.02 62.80 400

，需调整。由于 40712.46392.04455.10775.19090.0

9825.00712.44

调整系数

8-145

分析：季节指数最高，表明该季为旺季；季节指数最低，表明该季为淡季。调整：季节指数之和必须等于周期长度N （N为季或月），即 。当两者不等时，须做相应的调整。

调整系数为： 经调整，季节指数为：

Ns j

jsN

jjj s

Nss*

8-146

，需调整。由于 40712.46392.04455.10775.19090.0

9825.00712.44 调整系数

年 份 1季 2季 3季 4季199819992000

—0.87420.9437

—1.03031.1246

1. 47341.4176

—

0. 63780. 6406

—同季平均

季节指数

9090.0 0775.1 4455.1 6392.0

8931.0 0587.1 4202.1 6280.0

8-147

jS数）计算季节比率的平均（3

年份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

1996 1997 1998

— 0.2467 0.2107

— 0.1651 0.2211

— 0.5017 0.5035

— 0. 8296 0.7318

— 1.1736 1.1884

— 1.8952 1.9491

3.4613 3.7470

—

1.5868 1.4343

—

1.1680 1.0625

—

0.4784 0.4340

—

0.225 0.2986

—

0.1934 0.2731

—

jS 0.2287 0.1931 0.5026 0.7808 1.1810 1.9222 3.6041 1.5105 1.1152 0.4562 0.2618 0.2332

*jS 0.2289 0.1933 0.5030 0.7815 1.1820 1.9240 3.6073 1.5118 1.1162 0.4566 0.2620 0.2334

*)4( jS计算季节指数

jjj SSS 12*

00088.19894.111212

jS调整系数

8-148

二、循环变动的测定 （一）循环变动（波动）1 、循环变动： 在一个较长的时期中，现象变动呈现出从低到高，又从高到低的周而复始的近乎规律性的变动。2 、循环变动与季节变动的区别： 季节变动一般以一年、一季或一月等为一周期，其周期长度可以预见。而循环变动没有固定的周期，一般都在数年以上，很难事先预知。

8-149

二、循环变动的测定 3 、循环变动与长期趋变动的区别： 一般循环变动不同于长期趋势，它所表现的不是朝着某一个方向持续上升或下降，而是从低到高，又从高到低的周期性的变动。 4、分析特点： 对循环变动的分析研究不仅借助于统计分析，还要借助于定性的政治经济分析。

8-150

1 、直接法 1 ）测定方法：将每年各季或各月的数值与上

年同期进行对比，即求出年距发展速度。它适用于季度和月度时间序列。

年距发展速度：

12/4

t

t

yyIC

（二）循环变动的测定方法

8-151

2 ）特点：直接法简便易行，可以大致消除趋势变动和季节变动的影响。

主要局限性是在消除时间序列长期趋势的同时，相对放大了年度发展水平的影响，当某期发展水平偏低或偏高时，必然会影响 C·I的数值，使之偏高或偏低，使得循环波动的振幅被拉大。

8-152

（二）循环变动的测定方法2 、剩余法 1 ）剩余法：分解法，利用分解分析的原理，在时

间序列中逐次剔除季节变动的影响、长期趋势变动、，从而得到 C·I值。 2 ）计算步骤：

A ）剔除季节变动，先求季节指数而后剔除季节变动的影响。

ICTS

ICSTSY

8-153

B ）剔除趋势变动，一般以趋势模型法推算趋势值，剔除趋势值之后求循环变动值 CI

具体计算过程中，对时间序列的各个构成要素分解后再剔除，剔除的先后顺序依资料的特点而定。

ICT

ICT

8-154

时间数列的速度分析指标时间数列的速度分析指标

时间数列的水平分析指标时间数列的水平分析指标发展水平增长量

平均发展水平平均增长量

增长速度发展速度

平均增长速度平均发展速度

动态平均指标

动态比较指标

总结

8-155

影响时间数列变动的因素可分解为：影响时间数列变动的因素可分解为：（ 1）长期趋势（ T）（ 2）季节变动（ S）（ 3）循环变动（ C）

（ 4）不规则变动（ I）可解释的变动

—不可解释的变动

8-156

长期趋势长期趋势 现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势季节变动季节变动 现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动循环变动循环变动 现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动不规则变动不规则变动 是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动严格的随机变动和不规则的突发不规则的突发性影响很大的变动性影响很大的变动两种类型