О методе пробных ансамблей в динамике звездных систем

Чумак О.В., Расторгуев А.С.

"Современная звездная астрономия 2013"

(ГАО РАН, 10-12 июня 2013)

ГАИШ МГУ им.М.В.Ломоносова

Вспомним определения, так как это важно…

Статистический ансамбль - это совокупность большого числа невзаимодействующих одинаковых физических систем - "копий" данной системы, находящихся в одинаковых макроскопических, но разных микроскопических состояниях; микросостояния отвечают всем допустимым для системы значениям – это в случае, если речь идет о Гиббсовском 6N – мерном пространстве состояний системы.

Ансамблем в кинетике называют также группу невзаимодействующих одинаковых физических объектов, выделенных в системе по набору значений динамических переменных или иных параметров в количестве, необходимом для получения статистически достоверных выводов – это в случае, если речь идет о Больцмановском 6-мерном кинетическом пространстве Объекты такого ансамбля взаимодействуют с объектами системы, а кинетические уравнения описывают их эволюцию. Часто их называют пробными ансамблями, по аналогии с пробной частицей. Пробные ансамбли - эффективный инструмент кинетических исследований. Далее речь о таких ансамблях…

«Элементарный макроскопический объем - эмо»

Свойства эмо:

1. Эмо выделен в пространстве координат

2. Эмо составлен из звезд «поля»

3. Характеристики эмо, как инструмента, зависят от места его приложения в системе

4. Для малонаселенных систем критерии эмо не выполняются

К.Ф.Огородников

(1900—1985)  а3(r0)n(r0) ≥ Nmin а(r0)<<R0

)()(|)|)(()()( 03

000 rarnrrrarNrNa

Пробные ансамбли в кинетике газов и плазмы

Ансамбль, как элемент фазового объема:

( , ) ( , , )а аN r v f t r v drdv

Ансамбль, как элемент пространства скоростей:

Свойство: пространство координат и пространство скоростей не связаны друг с другом и ансамбль может представлять собой компактное облако точек только в пространстве скоростей.

0 0( , , ) | ( )a t af t r v n v v

Пример подобного пробного ансамбля: Плоскопараллельный поток частиц

vdvtfnVvdrdvrtfvN aаa

r

aa

),(),,()(

Динамика и кинетика пробных ансамблей

2

2i

i reg irr dif out

d rm F F F Fdt

Пробная звезда и пробный ансамбль в звездной системе. «Основное» уравнение динамики пробных ансамблей

Переход к задаче N тел

31;

2

2

( )

| |

Nj i j

j i j i

ii out

jdif

m r rG

r

d rm F Fdt r

Переход к кинетике tm ~ (td4tc)1/5 (Расторгуев, Семенцов, 2005)

( ) 0;ar r v v reg

дfdiv j div j

дt

( )

regv reg a a

Fдvj f f

дt m

;r aj vf

После эпохи ‘violent relaxation’

( ) 0;av v irr

дfdiv j

дt

2

( ) ...a av irr i a ik ikj

k k j

дf д fj a f b c

дv дv дv

� ��

( ) ;i av irr a ik

k

F дfj f D

m дv

�

Приближения и упрощения…

( ) ( )

1( ) ;av v reg v irr reg i a ik

k

дfj j j F F f D

m дv

���

3

33

( )( );k k i k

reg k

p i k

n r r rF Gm dr

r r

Иррегулярные силы в регулярном поле

2 2 2

2

4( ) ;

k

i k k ii k k

v k i

G m m v vF f v dv

M v v

22 24 ( )

k

ik i k k i kix iy v

дD G m f v v v dv

дv дv

�

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

222

2

0 )(exp)(2

)(),( yx

z vvr

v

r

rnvtf

Функция распределения в сферическом слое для задачи В.А. Антонова

22

0 3/2 2 2 2( , ) exp

(2 )xyz

z t z t

vvnf t v

Обобщенная функция распределения для этой же задачи

0av v

дfdiv j

дt

Кинетическое уравнение для рассматриваемой задачи

(1)

(2)

(3)

2 2 '2 ' '

'v ikk k

дf дfj G m U f f dv

дv дv

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

Поток j в пространстве скоростей для функции распред. пробного ансамбля запишем симметричной форме (Ландау, 1936)

2ik i k

iki k

d u u uU

dv dv u u

где

u = v – v’, dv’ = dvx dvy dvz.

2 2z z zv fdv 2 2 2( )x x x x tv dv v dv f Учитывая, что

И выполняется закон сохранения энергии σz2 + σt

2 = const,

Из кинетического уравнения задачи (3) находим:

(4)

2 221 2

't z zz z z z

z

d d дjv dv j v dv

dt dt n дv n

(5)

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

Подставляя в (4) функцию f, определенную формулой (2) и, записанную в том же виде функцию fa, для jz, получаем выражение: 22 2

2 22 2 3

2 z xyt zz a a

t z

u uj G m f f dv

u

(6)

Учитывая (5), получаем для изменения дисперсии скоростей в радиальном направлении следующее выражение:

22 2 2 22

2 2 3

4 ( ) z xy zt zza a

t z

u u vG mdf f dvdv

dt n u

(7)

Выполнив необходимые действия, получим:

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

22 2 216 2 3 13 ln

12tz

z

dd G m n

dt dt

(8)

Где β =(σz2 - σt

2)/ σz2.

13

2 2

3 13 ln

116 2 2z

G m n

Откуда из (8) получаем для характерного времени выражение:

(9)

Эта формула дает оценку времени переходного процесса при произвольном значении отношения полуосей эллипсоида скоростей

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

При σz2~ σt

2, β→0, 1

ln 21

, и из (9) имеем:

3

2 216 2z

G m n

- привычное выражение для времени релаксации

(10)

При σz2>> σt

2 и β→ 1. β = 1 – ε2, ε2 = σt2 / σz

2→0, √ β ~ 1- ε2/2

3

2 2 216 2 ln(4 / )z

zG m n

2 3

2 2 216 2 ln(4 / )z

tG m n

(11) (12)

1.Случай гауссова распределения

2.Случай радиального распределения

1. Поскольку, характерное время «схлопывания» орбит tJ ~ (Gmn)-1/2 то, как видно из (10) и (11), при надлежащем выборе ε2, оба процесса могут быть достаточно быстрыми для того, чтобы предотвратить трансверсальный коллапс орбит в системе.

Стохастическое дополнение к задаче В.А.Антонова

2. Если в начальный момент возникновения системы преобладают чисто радиальные движения, то из-за наличия в такой системе трансверсальной неустойчивости, возможно возникновение бароподобных конфигураций.3. Формула для времени релаксации (8) позволяет рассчитать его значение для распределения с любым отношением полуосей и на любом расстоянии от центра системы.

Выводы:

1.В силу центральной или осевой симметрии гравитирующих систем, пробные ансамбли, выделенные из общего населения системы по тем или иным признакам, позволяют решать широкий круг задач звездной динамики. 2.Способом пробных ансамблей можно решать задачи о переходных процессах и характерных кинетических временах различных структурно выделенных подсистем в галактиках или звездных скоплениях. 3. При этом, в рамках «основного» уравнения для пробных ансамблей, должны быть четко определены основные динамически значимые силы для рассматриваемой задачи и выбран адекватный метод ее количественного анализа.

Заключение

Благодарю за внимание!