复数代数形式的四则运算—乘除运算

六安市新安中学数学组胡永祥

一、知识回顾

( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i 复数的加 /减运算法则：

1 2 2 1

（ ）1 2 3 2 1 3

( )交 律

合律

+ = +Ζ Ζ Ζ Ζ

Ζ Ζ ）+Ζ Ζ Ζ +Ζ ） （ + = +（换

结

加法运算规律：对任意 z1,z2,z3∈C. 有

二、新课教学1. 复数乘法运算：我们规定，复数乘法法则如下：设 z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数，那

么它们的乘积为： (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2

= ac+adi+bci-bd

= (ac-bd)+(ad+bc)i

注意：两个复数的积是一个确定的复数

2. 应用举例计算 (3+4i)(-2-3i)

解：原式 = -6-9i-8i-12i2

= -6-17i+12 = 6-17i

分析：类似两个多项式相乘，把 i2 换成 -1

3. 探究：复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？对任意复数 z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni则 z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2

=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而 z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2

=(ac-bd)+(ad+bc)i∴z1·z2=z2·z1

( 交换律 )

4. 乘法运算律

对任意 z1 , z2 , z3 C. ∈ 有

z1·z2=z2·z1 ( 交换律 )

(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) ( 结合律 )

z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 ( 分配律 )

5. 例题讲解例 3. 计算 ⑵(3+4i)(3-4i)⑴(1+i)2

⑵ 原式 = 9-12i+12i-16i2

= 9-(-16)

= 25

解： ⑴原式 = (1+i)(1+i)

= 1+2i+i2

= 1+2i-1 = 2i

注：可用实数系中乘法相应公式进行运算

分析：可利用复数的乘法法则计

算

( 是一个虚数 )

( 是一个实数 )

与实数系中完全平方展开式

一样

6. 共轭复数

记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作

= a-bi

定义：实部相等，虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。

口答：说出下列复数的共轭复数

⑴z=2+3i

⑶z= 3

⑵z= -6i

注意：⑴当 a=0 时的共轭复数称为共轭虚数

( 如上⑵ )

⑵ 实数的共轭复数是它本身 ( 如上⑶ )

z( =2-3i )

( =6i )

( =3 )

7. 思考 ？若 z1 , z2 是共轭复数，那么

⑴ 在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？

⑵z1·z2 是一个怎样的数？解：⑴作图

得出结论：在复平面内，共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称。

⑵ 令 z1=a+bi, 则 z2=a-bi

则 z1·z2=(a+bi)(a-bi)

=a2-abi+abi-bi2

=a2+b2

结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。

y

x

(a,b)

(a,-b)

z1=a+bi

o

y

x(a,o)

z1=a

ox

y

z1=bi

(0,b)

(0,-b)

o

8. 复数的除法法则探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探 究复数除法的法则 .复数除法的法则是： (c+di≠0) ( ) ( ) ?=

a bia bi c di

c di

提示：这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数）从而使分母“实数化”。

( ) ( )即：a bi

a bi c dic di

a a( b- c)=b+ c ( b+ c)( b- c)

ab- ac= (分母有理化)b- c

( )( )

( )( )

a bi c di

c di c di

2 2 2 2 2 2

( )ac bd bc ad i ac bd bc adi

c d c d c d

例 4. 计算 (1+2i) ÷(3-4i)

解: i i(1 2 ) (3 4 )

i i i 2

2 2

3 6 4 8

3 4

先写成分式形式

然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复

数

结果化简成代数形式

i

i

1 2

3 4

i i

i i

(1 2 )(3 4 )

(3 4 )(3 4 )

i5 10

25

i1 2

5 5

9. 沙场练兵

⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)

计算 :

⑴ 原式 = (3+4i-6i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i2

= -20+15i

⑵ 7+i3+4i(7+i )(3- 4i )

(2)原式 =(3+4i )(3- 4i )

2

2 2

21- 25i - 4i=

3 +425- 25i

=25

=1- i

解 :

三 .小结

⑴ 复数乘法的运算法则、运算规律，共轭 复数概念 .⑵ 复数除法运算法则 .

四 .作业 P62.练习

(1)( 3 2 )( 3 2 )i i 2

(2)2

i

i

2(1)原式 =-3+ 6i - 6i +2i3 2

52i (2+i )

(2)原式 =(2- i )(2+i )

2

2 2

4i +2i=

2 +14i - 2

=5

2 4=- + i

5 5

习题：

解：

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